686 Parte terza
5.2. Integrali per sostituzione Sc F(y) e primiliva Ji ./
(I),
(ioe
F lv)
allora, operando la soslituzione y
--+
=
~c
Inr) dy
y(x), si ha
F ll(x)] = \;ry(x )] y' (x ) dx dai momento che dy
=
d((y(x))
=
dy dx dx
=y
,
dx.
La precedente rel azione [oroisce un metoda immediato per trovare la primitivu della funzione g(x) = f[y(x)] . y'(x)
se
e nota
!a pnmltJ va F(y) della funzione fey). Ad esempio, consideriamo !'integra!e indefinito \ senn x cosxdx. senx si ha y'(x) = cosx e !'integra!e considerato si puo scrivere
Ponendo y(x) nella forma :
\ senn x cosx dx che
e risolto
= \yn y' dx = \yll dy,
dalla funzione F(y) = (n
+
y<n + l ) =
1)
n
+
1
sen(n+l) x.
Come altro esempio, consideriamo !'integrale .:'.,
\ tgx dx. Operando la sostituzione y = cosx si ha y ' (x) = - senx e !'integrale considerato si puo scrivere nella forma:
gx
.~
= \
sen x dx = \ _ a~~路
. cos."'.路
- [- I ~ .d.
y
5.3. Integrali per parti Questa tecnica di integrazioce si basa
5
lIa s-;;g ;;o:e [Or:::L:1. :
\f(X) g' (x) dx = \ f dg = f(x) g(x) -
~f' (x) g (x ) dx: ,
in cui il fattore f( x) si dice fattore finito e 1a quantita g! (x) dx faltore diffe renziale . "101 . 11,
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...
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