2. La aleatoriedad en la simulación de eventos discretos
Simulación
Prof. María Carolina Vásquez
¿Qué es aleatoriedad? Resultado a obtener
no puede preverse
antes de que suceda
Procesos cuyo resultado no es previsible más que en razón de la intervención del azar Para los procesos aleatorios sólo es posible calcular la probabilidad de ocurrencia del mismo
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Determinístico vs. estocástico Sistema Determinístico
Su comportamiento está determinado una vez que se hayan definido las condiciones iniciales y las relaciones entre sus componentes
Sistema Estocástico
Su comportamiento no es posible determinarlo en función de las condiciones iniciales y las relaciones entre sus componentes, algún elemento se comporta de forma aleatoria. El sistema se puede estudiar en términos de probabilidades.
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Tipos de variables aleatorias
Tipos de variables aleatorias
continuas
puede tomar un conjunto de valores posibles (conocido como el rango) que es infinito y no se puede contar (p.e. exponencial negativa, normal)
discretas
puede tomar valores que es posible contarlos, tales como una lista de enteros no negativos.(p.e. Poisson)
https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributions-and-random-data/supporting-topics/basics/continuousand-discrete-probability-distributions/#what-is-a-discrete-distribution
SimulaciĂłn
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Distribución de Probabilidades La distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable la probabilidad de que dicho suceso ocurra
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Distribución continua La distribución continua describe las probabilidades de los posibles valores de una variable aleatoria continua. Sólo los rangos de valores pueden tener una probabilidad diferente de cero. Para valores específicos, la probabilidad de ocurrencia siempre es cero (1/infinitos valores que
Área bajo la curva
puede tomar la variable = 0 )
https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributions-and-random-data/supportingtopics/basics/continuous-and-discrete-probability-distributions/#what-is-a-discrete-distribution
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Distribución discreta La distribución discreta describe las probabilidades de ocurrencia de los posibles valores de una variable aleatoria discreta. Cada valor de la variable aleatoria discreta puede tener una probabilidad diferente de cero. Estas distribuciones suelen representarse en forma tabular https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributions-and-random-data/supportingtopics/basics/continuous-and-discrete-probability-distributions/#what-is-a-discrete-distribution
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Entradas al modelo de simulación El modelo de simulación debe ser alimentado con entradas simuladas que permitan realizar inferencias sobre las salidas, para ello se hace uso de los números aleatorios
Entradas simuladas
Modelo de simulación
Salidas inferidas
• repetibles • independientes
http://www.ugr.es/~batanero/pages/ARTICULOS/Jaem2001.pdf
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Muestreos para alimentar el modelo Sistemas estocásticos
No es posible predecir el comportamiento de sus elementos Pueden enumerarse los resultados posibles del comportamiento de sus elementos
Muestreo de distribuciones https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributions-and-random-data/supportingtopics/basics/continuous-and-discrete-probability-distributions/#what-is-a-discrete-distribution
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Muestreos para alimentar el modelo A partir de la generación de números aleatorios
Se obtienen muestras independientes de variables aleatorias
Muestreo de distribuciones
https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/probability-distributions-and-random-data/supportingtopics/basics/continuous-and-discrete-probability-distributions/#what-is-a-discrete-distribution
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El modelo de simulación se alimenta con números aleatorios Datos reales: Sistema Real
• Cantidad • Duración • Frecuencia
Los valores reales varían dentro de un rango y de acuerdo a una función específica de densidad , definida por una distribución de probabilidad
Modelo de Simulación
Datos simulados: • Cantidad • Duración • Frecuencia
Se generan valores al azar a partir de la distribución de probabilidades de cada variable del sistema, usando los números aleatorios
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Generador de eventos Modelo de simulación Se requiere de un generador de eventos para alimentar el modelo según el escenario determinado. Los eventos pueden generarse a través de los números aleatorios transformándolos a la distribución de probabilidades que se requiera por ejemplo para las llegadas al proceso o para el tiempo de atención
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Alimentando el modelo de simulación Sistema real
Lijado
•Tarda de 1 a 1.3 minutos por pizarra
•Tarda de 2 a 4 minutos por pizarra
•Tarda de 2.2 a 3.5 minutos por pizarra
Chapeado
Laqueado
Sistema simulado • Genera un número al azar entre 1 y 1.3
Chapeado
Lijado • Genera un número al azar entre 2 y 4
• Genera un número al azar entre 2.2 y 3.5
Laqueado
Cuando se genera un valor a partir de una distribución de probabilidades, a ese valor se le llama variable aleatoria. Para generar variables aleatorias, es necesario utilizar números aleatorios.
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¿Qué es número aleatorio? Un número aleatorio es aquel obtenido al azar, en donde todos los números tienen la misma probabilidad de ser seleccionado, y la elección de uno no dependa de la elección del otro.
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Cualquier número que pertenezca al rango de interés debe tener la misma probabilidad de resultar sorteado
No correlación serial
Distribución Uniforme
Propiedades de los números aleatorios La aparición de un número en la secuencia no afecta la probabilidad de sortear otro (o el mismo) número
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Generación de números aleatorios Métodos manuales • lanzamiento de monedas, lanzamientos de dados, dispositivos mecánicos, dispositivos electrónicos
Métodos de computación analógica, • son métodos que dependen de ciertos procesos físicos aleatorios, por ejemplo, el comportamiento de una corriente eléctrica. Métodos de computación digital, • cuando se usa un algoritmo computacional (pseudoaleatorios).
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¿ Qué son los números pseudoaleatorios ? Los números U(0,1) obtenidos a través de un generador de números aleatorios (algoritmo computacional) no son verdaderamente aleatorios, ya que el generador puede reproducir la misma secuencia de números una y otra vez, lo cual no indica un comportamiento aleatorio. Se les llama pseudo-aleatorios.
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Generador de eventos de una simulación
Generación a partir de números aleatorios
•
Distribución discreta para un intervalo [a,b]
Distribución uniforme continua para un intervalo [a,b].
Media
μ = (b + a)/2
μ = (b + a)/2
Varianza
σ2 = [(b – a + 1)2/12] – 1
σ2 = (b – a)2/12
Generador con U[0,1)
x = a + |(b - a + 1).U|
x = a + (b - a).U
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Generador de eventos de una simulación
Generación a partir de números aleatorios
Media Varianza
Distribución de Poisson μ=λ
Distribución exponencial. μ=β
σ2 = λ
σ2 = β2
Generador sum = 0, i = -1 while (sum ≤ ) • con y = unif(0,1) z = - ln(y) u[0,1)
sum = sum + z i=i+1 endwhile return(i)
Simulación
x = - β ln(u)
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Generador de eventos de una simulación Generación a partir de números aleatorios
Media Varianza •
Generador con ui[0,1)
Distribución normal μ=μ
Distribución de Erlang. μ = a.m
σ2 > 0
σ2 = a2.m
x 1 cos( 2 u 1 )
2 ln( u 2 )
x 2 sen ( 2 u 1 )
2 ln( u 2 )
Simulación
x = - a ln(u1.u2…um)
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Corridas al modelo de simulación Replicaciones
Correr el modelo • Muestras de las variables aleatorias
Comportamiento General • Se realiza una corrida o ejecución de la simulación
Resultados estadísticamente válidos • Varias corridas con distintos números aleatorios
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Corridas al modelo de simulación Replicaciones Cada corrida es una replicación
Se realizan “n” corridas para generar “n” respuestas
Cada corrida con torrentes de números aleatorios diferentes e independientes
Es aconsejable realizar varias corridas independientes para tomar varias muestras como respuestas a fin de calcular la media y desviación estándar
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¿ Cómo ayuda la aleatoriedad ? Permite resolver problemas de inferencia y de predicción en presencia de incertidumbre Resolver problemas para situaciones con incertidumbre
Modelo matemático
inferencia
situación que pueda ser repetida en las mismas condiciones
predicción
independencia de resultados en dos repeticiones http://www.ugr.es/~batanero/pages/ARTICULOS/Jaem2001.pdf
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