Sergio Plaza
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Sierpinski obtenido comenzando con un disco y despues con un dinoaurio
4. Curva de Koch Consideremos las transformaciones afines wj (z) = aj z + bj , donde z ∈ C y aj , bj ∈ C , son constantes y j ∈ {1, 2, 3, 4} . Queremos transformar el intervalo unitario I = [0, 1] en la siguiente figura mediante transformaciones afines wj √ 3+ 3 i 6 .. ... ... ... ...... . . ... .. ... .. ..w w2 (I)...... ... 3 (I) ... .. .. ... . ... . ... ... . . ......................................................................... ......................................................................... 1 2 w1 (I) 3 w4 (I) 1 0 3
Conociendo la localizaci´on de las im´agenes de dos puntos podemos determinar aj y bj . A partir de la figura tenemos
w1 (0) = b1 = 0 ,
w2 (0) = b2 =
1 3
√ 1 3 + 3i w2 (1) = a2 + b2 = w1 (1) = a1 + b1 = , 3√ 6 3 + 3i 2 w3 (0) = b3 = , w4 (0) = b4 = 6 3 2 w4 (1) = a4 + b4 = 1 . w3 (1) = a3 + b3 = , 3
Podemos resolver esas ecuaciones para encontrar aj y bj . Otra forma es observar que cada pedazo tiene longitud 13 ×(longitud del intervalo I ). Luego, el factor de contracci´on es 13 ; para encontrar aj s´ olo necesitamos encontrar la rotaci´on producida. La constante π bj es siempre la imagen de 0. Un c´alculo muestra que w1 (z) = 13 z , w2 (z) = 13 ei 3 z + 13 , √ π w3 (z) = 13 e−i 3 z + 3+ 6 3 i , y w4 (z) = 13 z + 23 , donde eα+iβ = eα (cos(β) + i sen(β)) es la exponencial compleja cl´asica.