Interés Compuesto

Cualquier problema de matemática financiera es una ecuación de valor, puesto que conociendo algunos datos debemos determinar el que nos interesa.

Ejemplo:

Una empresa tiene que pagar tres letras de cambio de Q.2,000.00 cada una en las fechas siguientes: 1 de junio, 15 de agosto y 20 de septiembre, por no contar con la liquidez suficiente en esas fechas para cancelar las letras conviene con el acreedor en pagarlas hasta el 15 de diciembre, reconociendo en la operación el 18% de interés simple. ¿Cuánto tendrá que pagar el 15 de diciembre?

1 junio 15 agosto 20 sept 15 dic 2000 2000 2000 2000

N= 197 días n= 122 días n= 86 días

R/ Deberá pagar Q. 6405.00

Interés Compuesto Es el rendimiento que, si no se paga en el periodo, se aumenta al capital y junto con él, produce más interés. Por lo tanto, en cada periodo posterior, el interés es mayor ya que está calculado sobre el capital original más los intereses de los periodos anteriores. Cuando esto sucede, se dice entonces que el interés se capitaliza lo que sucede únicamente con el interés compuesto.

El interés compuesto es una serie de cálculos de interés simple, aplicados cada vez sobre el capital más los intereses devengados en los periodos anteriores.

PRINCIPALES APLICACIONES

El interés compuesto se aplica generalmente en operaciones financieras cuyo término excede del año, es decir a largo plazo, ya que mientras mayor sea el tiempo, más capitalizaciones del mismo se dan y mayor es el rendimiento que produce en relación con el interés simple.

También se aplica en otros campos no financieros como por ejemplo en el estudio de fenómenos relacionados con los seres vivos que se reproducen de manera geométrica. Nos ayuda a determinar la tasa de natalidad y el crecimiento de las poblaciones, tanto de seres humanos como de otras especies naturales por ejemplo peces, ganado, bosques y otros.

INCREMENTO DEL INTERÉS COMPUESTO

En la gráfica de tiempo y valor siguiente vemos como de un capital inicial de Q. 100.00, invertido al 10% anual de interés compuesto, cada año que pasa el rendimiento que se obtiene es mayor al que se obtuvo en el período anterior, debido a la acumulación periódica del interés al capital, lo que conocemos como la capitalización del interés. En el interés simple esta situación no se da, siendo igual el rendimiento del interés en cada periodo anual. 1er. Año 2do. Año 3er. Año 4to. Año 5to. Año P 100 110 121 133.1 146.41 I 10 11 12.1 13.31 14.64

DIFERENCIAS ENTRE EL INTERÉS COMPUESTO Y EL INTERÉS SIMPLE

10. El interés simple muestra un crecimiento aritmético, el interés compuesto un crecimiento geométrico. 11. El interés simple es igual en cada uno de los períodos del plazo de la operación, el interés compuesto es mayor en cada periodo posterior.

12. El interés simple se calcula sobre un mismo capital, el interés compuesto se calcula cada vez sobre un capital mayor al que se le han sumado los intereses generados en el período anterior.

SIMILITUDES ENTRE EL INTERÉS COMPUESTO Y EL INTERÉS SIMPLE:

Para el cálculo de ambos deben darse los factores ya estudiados del Capital o Principal (P), el tiempo (n) y la tasa de interés, que puede simbolizarse como "i” o " j"

Se aplican los conceptos básicos de: Interés Monto Valor Actual

PERIODO DE CAPITALIZACIÓN

El interés compuesto se puede capitalizar, es decir sumar al capital para producir más interés, en períodos anuales o menores de un año, ya sea en forma semestral, trimestral, mensual, quincenal, etc. Dependiendo de cómo se haya convenido entre el deudor y el acreedor.

FRECUENCIA DE CAPITALIZACIÓN

Es el número de veces en un año que el interés se suma al capital o se capitaliza. Es el número de capitalizaciones por año.

TASA DE INTERÉS EFECTIVA Y NOMINAL

Cuando solamente hay una capitalización de interés en el año, la tasa de interés es efectiva. Su símbolo continúa siendo "i". Cuando existen dos o más capitalizaciones de interés en el año, la tasa de interés es nominal. Su símbolo entonces es "j" y tiene que indicarse en número de capitalizaciones por año, aplicándose el símbolo "m"

Ejemplo:

Concepto: Simbología y Valor 10% anual de interés compuesto i= 0.10

12% anual capitalizable semestralmente j= 0.12 m= 2

15% anual capitalizable mensualmente

j= 0.15 m=12 18% anual de interés compuesto i= 0.18 8% anual de interés capitalizable cada 3 meses j= 0.08 m=4 8% de interés capitalizable cada 3 meses j= 0.32 m= 4 11.25% anual capitalizable cada 4 meses j= 0.1125 m=3

Cuando se trata de una tasa de interés efectiva, basta señalar el porcentaje de interés compuesto, se considera que la capitalización es anual. Sin embargo, cuando se trata de una tasa de interés nominal, debe señalarse el número de veces que se capitalizará en el año; por lo tanto, cada vez que se consigne el símbolo "j" debe señalarse también el valor de "m" es decir la frecuencia de capitalización.

Es importante saber definir bien la tasa de interés para darle su valor correcto. Como el caso mencionado entre el 8% anual de interés capitalizable cada 3 meses, que como ya vimos no corresponden a lo mismo, ya que en el primer caso se indica que la tasa es anual y en el otro no.

Ejercicios: Simbología y Valor 145% anual de interés compuesto i= 1.45%

27% anual capitalizable cada 4 meses j= 0.27% m=3

19.5% anual capitalizable cada 2 meses

j= 0.195 m=6 17% anual de interés compuesto i= 0.17 22.75% anual de interés capitalizable cada 3 meses j= 0.2275 m=4 6% de interés capitalizable cada 2 meses j=0.36 m=6 11.25% capitalizable cada 4 meses j=0.3375 m= 3 9% anual de interés compuesto i= 0.09 9% anual capitalizable semestralmente j=0.09 m=2

9% de interés capitalizable semestralmente 33% anual capitalizable mensualmente 12.70% anual 24% anual capitalizable mensualmente 2% capitalizable mensualmente 19% anual capitalizable cada 4 meses 18% semestralmente 18% anual bimestralmente 22% anual capitalizable bimensualmente

FORMULA DEL INTERÉS COMPUESTO FORMULA DEL MONTO (S)

S= P (1 + i) ^n

FORMULA DEL INTERÉS (I)

I= P (1 + i) ^ n - 1 j=0.18 m=2 j=0.33 m=12 i=0.127 j=0.24 m=12 j=0.24 m=12 j=0.19 m=3 j=0.36 m=2 j=0.18 m=6 j=0.22 m=24

FACTORES DEL INTERÉS COMPUESTO

FACTOR DE ACUMULACIÓN

Las fórmulas del Monto e Interés Compuesto, se han definido con tasa efectiva de interés para aplicar tasa nominal de interés, basta modificar la potencia cuya base (1 + i) se convierte en (1 + j/m) y el exponente n se convierte en mn, así:

POSITIVO

Estos factores se conocen como Factores de acumulación del interés compuesto. Tienen siempre un valor mayor que la unidad.

FACTOR DE DESCUENTO

Es el inverso del factor de acumulación, su exponente es negativo:

NEGATIVO

Estos factores de descuento de Interés Compuesto se utilizan para determinar el valor actual. Tienen siempre un valor menor que 1. Conocidas las fórmulas del Interés y del Monto, tanto con tasa efectiva como nominal, podemos derivar de ellas las fórmulas correspondientes a los otros elementos como el Principal, la tasa de interés y el tiempo. De las cuales, en el caso específico del tiempo, tenemos que hacer uso de los logaritmos.