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MÁS SOBRE CÓNICAS
En el caso de que algunos coeficientes en Ax2 + Cy2 + F = 0 sean cero, tenemos d) Si AC > 0 y F = 0, tenemos un punto. e) Si AC < 0 y F = 0, tenemos dos rectas que se intersecan. f) Si AC = 0 y ( A + C ) F > 0, no hay lugar geométrico. g) Si AC = 0 y ( A + C ) F < 0, tenemos líneas paralelas. h) Si AC = 0 y F = 0, tenemos una línea. Ecuaciones sin el término “xy”. En la ecuación Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F
= 0.
(A.9)
D2 E2 + − F. 4A 4C
(A.10)
Si A ni C son cero, completando cuadrados tenemos
D A x+ 2A Si hacemos el cambio de variable x 0 = x +
2
E +C y+ 2C
2
=
E D , y0 = y + , la ecuación (A.9) se convierte en 2A 2C
Ax 02 + Cy02 +
4ACF − CD2 − AE2 = 0. 4AC
Esta ecuación es del mismo tipo que la ecuación (A.8), así que podemos concluir que a) si AC > 0 y
4ACF − CD2 − AE2 < 0, tenemos una elipse, 4C
b) si AC < 0 y
4ACF − CD2 − AE2 ≷ 0, tenemos una hipérbola. 4AC
Usando la ecuación (A.10) podemos establecer centro, vértices, etc., en términos de los coeficientes A, C, D, E y F. Casos A = 0 ó C = 0. Ecuación Ax2 + Dx + Ey + F = 0. Si A 6= 0 y E 6= 0, completando cuadrados en la ecuación, se obtiene la ecuación canónica de la parábola
D x+ 2A
2
E F D2 =− y+ − A E 4EA
Ecuación Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Si C 6= 0 y D 6= 0, completando cuadrados en la ecuación, se obtiene la ecuación canónica de la parábola
E y+ 2C
2
D F E2 =− x+ − C D 4CD
Ecuaciones con el término “xy”. Si la ecuación A x2 + B xy + C y2 + D x + E y + F = 0 corresponde a una cónica propia, la presencia del término “Bxy” indica que la cónica no esta en posición estándar sino que presenta una rotación de ángulo θ, respecto al origen. El “discriminante” B2 − 4AC, si se trata de una cónica no degenerada, indica la naturaleza de la cónica.