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CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
Ejemplo 3.38 (continuación). En cuanto a la otra pregunta, aunque la derivada direccional es nula en la dirección de un vector perpendicular al gradiente (vector rojo en la figura) esto solo dice que la razón de cambio instántaneo en esa dirección es cero. La trayectoria en la que la temperatra se mantiene constante es la curva de nivel T ( x, y) = T (0, 0) (curvas blancas). Es por ahí donde debería caminar el insecto.
3.16
Vector unitario tangente.
Sea r : I ⊆ R −→ Rn . Si la función vectorial r es continua en I, entonces la gráfica de r se le llama curva y decimos que esta curva esta descrita paramétricamente por r (t). Por ejemplo,
− →
Rectas en R3 . Si la recta L pasa por P en dirección de u
→ entonces r (t) = P + t− u , t ∈ R.
Elipse. Consideremos la elipse
parametrización es
( x − h )2 ( y − k )2 + = 1. Una 2 a b2
r (t) = (h + a cos(t)) bı + (k + b sen(t)) b, t ∈ [ 0, 2π ]
Figura 3.15: r (t) parametriza C
r (t + h) − r (t) . Si x (t) y y(t) son funciones derivables en h 0 0 0 b b b b ı ı I y si r (t) = x (t) + y(t) , entonces r (t) = x (t) + y (t) .
Derivada. La derivada de r (si existe) es r 0 (t) = limh→0
. Hacer clic en la figura para ver en 3D (en Internet)
(traslación) recta tangente
Figura 3.16: Vector tangente r 0 (t).
La interpretación geométrica de r 0 (t) sugiere la siguiente definición