EJERCICIOS DE CÁLCULO 1 Integrales indefinidas y definidas Autor Prof. Marcelo Sproviero
Integrales Indefinidas *** Resolver las siguientes integrales inmediatas*** 5dx ∫
1)
∫
5
x 2 dx
2)
∫(3x
5)
4
+5 x 9
7) ∫(9 −x )(9 +x ) dx
∫
x −3 + x −2 − x −1 x −4
16)
∫
x −4
∫
x +2
8
∫
dx
11) 13)
∫
4 x −9 dx x2
( x + 2) 2 x
∫
9)
2x ∫
3)
2/3
8)
12) ∫−senx dx
∫(cos x +5e
x dx ∫ −x )dx 6) ∫x
− 4
4)
dx
x dx
x 3 +1 dx x +1
10)
dx
1 x − ) dx x
∫(2 cos x +
14)
1
∫ 2 e
+3 x dx
x
15)
−4 x −1 / 2 ) dx
x
dx
∫
17)
( x −3)( x +4) x+ 3
dx
20)
∫
x 8 − 256
dx
x 4 −16
sen 3 α + sen 2 α 1 − cos 2 α
18)
∫
( x 2 − 4)( x −1) x 2 −3 x + 2
dx
19)
dα
***Resolver las siguientes integrales por alguna sustitución conveniente*** 21)
∫(x
24)
∫ x −4 dx
25)
∫(5 x
28)
∫(8 x −3)
29)
6
−4
)
10
22) ∫(2 x 3 +9 x ) (6 x 2 +9 )dx 4
6 x 5 dx
4
−6 x 7
2 x 3 −1
∫x
4
−2 x
)
2/3
∫x
3
+2 x
dx
(10 x
3
dx
30)
3
∫
x3 + 6x x2 + 2 dx
sen( x 4 + 1) dx
(
∫
∫e
x
2 x− dx
x2 − 6x+ 1
)
40)
(x − 3) dx
sec x
∫ 3x
26)
∫tg x dx
33) ∫(1 +cos
∫x
e1 /
)
−3 dx
∫ cos x +sen x dx
35) 37)
5
31)
−6 x +1
dx
27)
∫sen
∫
cos
(
3
x +1 x +1
) dx
∫
46)
5
∫sec
4
4
∫ 3x
3
x2
5/3
−4
2
34) 36)
38) 41) ∫tg
4
x
1
47)
∫
5
∫
sen 3 x cos x dx
x sec 2 x dx
44)
x tg x dx
∫ 1 +sen x dx
32)
dx
( 4 x ) cos(4 x ) dx
sen x3 cos x dx
43)
∫cos(x )x
x ) 2 (cos 4 xsen x ) dx
∫ x +1 dx Obra registrada
x −1 2
dx
1
45)
3 x 2 +2
1
∫ x sen(ln x)dx
39)
23)
dx
∫ 3 +9 x
x x −1
42)
dx
2
48)
dx
∫
49)
x2 dx x −1
x +3
∫ ( x −3)
50)
2
dx
***Integrar por partes*** 51)
∫xe
− x
52)
dx
x
∫4 e
x
dx
53)
∫x
2
54) ∫x cos
e x dx
x dx
∫x sen x dx 56) ∫xsen(5 x)dx ln x dx 61) 57) ∫4 e dx 58) ∫cos x e dx 59) ∫e sen x dx 60) ∫ ∫x ln x dx 62) ∫x sen(2 x)dx 63) ∫cos(5 x ) e dx 64) ∫sen x cos x dx 65) ∫sen(ln x) dx 66) ln x dx xsec x dx 68) ∫ 69) ∫cos xln(sen x ) dx 67) ∫ cos x dx 70) ∫ 71) ∫8 sen( x / 3)dx 55) x
x
x
2
x
2
2
5x
2
3x
∫tg
2
2
− 1
72) ∫sen
x dx
∫senh x cos x dx
76)
− 1
( nx ) dx
ln x
∫
73)
x
dx
∫cos
74)
− 1
x dx
75)
∫cosh x sen x dx
***Integrar por el método de fracciones simples*** 77)
4 x −3
∫x
2
+6 x
∫
80) 81)
x 2 −x −6
8 x −3
85)
∫x
∫x
3
2
+3 x +2
∫
83)
∫x
87)
∫x
3
91)
∫x
1 −x 3 dx x +2
∫
dx 2
−9
2
86)
dx
∫ ( x −1)
2
( x + 4)
dx
88)
−2x
+ 5x 2 + 3x − 9 x 2 dx
∫ (x
2
2dx
∫x
96)
∫1 + x
4
−2 x dx
3
−6 x
2
dx
3
3x + 2 dx +3x 2 − 4
92)
2
dt 4
98)
−1
+4
)
2
+1
94)
dx
∫ ( x +3)( x −1)( x +1)
2
95)
dx
∫x(x −1)
3
3
3 x 3 +14 x 2
∫x
x4
dx −4 x 3 +4 x 2
4
∫t
)
90)
+ 2 x +1 x
93)
∫ (x
2
x 3 −x −12 dx x −3
79)
dx
5x dx 3 + x −1 2
3dx 3
5 x 2 +6
dx
82)
+ 2x − x − 2 ( 2 x −1) dx
∫x
97)
2 x 4 +3 x 3 −2
∫x
∫x
78)
∫3 x +5 dx 84)
89)
dx
∫u
du 3
+u 2 +u +1
dx
Obra registrada
2
99)
x 3 − x +1
∫ x (x 2
2
)dx
+1
100)
101)
∫
x 4 − x 3 + 2 x 2 +1 dx 3 x 2 +1
(
)
10 x
∫ ( x −3)(x 105)
∫
∫
102)
x4
∫ 25 − x
2
dx
103
6x + 4
∫ 2 −x −x
dx
2
104)
)dx
2
+1
sen 2 x cos x dx 3 sen x + 9
cos 3 x sen x cos 2 x −4
106)
∫
6 + ln x dx 2 ln x −1 x
107)
e x −e 2x
∫e
x
+e 2x
dx
108)
dx
EJERCICIOS VARIOS ***Resolver las siguientes integrales*** tg ∫
109)
∫
s
3
∫ sen
110)
x dx
dx 2
x cos
2
111)
x
∫
sen(2 x ) dx 112) cos x
2
−s +1 ds s −1
∫
113)
2
xn − 1 dx x− 1
114)
∫(sen(5 x) +cos(5 x) )
2
dt
∫t (1 −t )
115)
m
∫(tg(2 x) −4)
2
116)
dx
dx
***Resolver utilizando las identidades: cos 2 x =
1 + cos(2 x) 2
sen 2 x =
y
1 − cos( 2 x ) 2
***
∫sen x dx 120) ∫e sen x cos xdx 2
117)
118)
∫cos
2
(5 x) dx
119) ∫sen
2
x cos 2 x dx
x
***Resolver*** 121) ∫sen 24)
∫
125)
3
122) ∫cos
x dx
2
t sen 3 t dt
123)
∫sen
3
T cos 3 T dT
e x ex dx + x x e − ln 2
cos x −e −x
∫ sen x +e
−x
dx
126)
(1 +cos x )5
∫
e sen
−1
x
1 −x 2
dx 127)
cos x
∫π+sen x dx
128)
∫cot g x +cos ec x dx 129)
∫
3 −cos x
sen dx 1 +sen x
2
x
dx 130)
sec x tg x
∫1 +2 sec x dx
ln (ln x ) dx 132) x ln x
131)
∫
135)
∫1 −16 x
∫
133)
dx
∫ 4 +9 x
2
tg −1 ( 4 x )
∫ 1 +16 x
2
Obra registrada
134)
dx
∫ ( x −5)
2
+5
dx
3
dx
2
136)
∫x
137)
2
138) ∫cosh
senh( x 3 − 1) dx
(6 y ) senh(6 y ) dy
cosh( 2 x) +1 y 2
***Resolver utilizando las identidades cosh 2 x = senh 2 x =
2
cosh(2 x) −1 *** 2
139) ∫cosh
2
140) ∫senh
( x / 2) dx
2
(3t ) cosh 2 (3t ) dt
***Resolver*** 141)
∫
144)
∫ sen
(cosh 3 x +senh 3 x ) dx
x −sen x −2
2 ln x
∫x ∫x
cos x 2
2
+4 x +4
dx
148)
1 tg − (3 x ) dx
3
∫
142)
145) ∫sec
dx
∫ [x − ln( x
150)
thx dx
2
− 3x
∫xsenh
3
x dx
(senh
143)
∫
146)
∫x tg
−1
(5 x)
)
100
dx
4 +100 x 2
)] ( 2 x − 3) dx
− 1
147)
x dx
149)
x 2 − 3x
x dx
***Utilizar la sustitución x = a tg u *** 151)
∫ (x
dx 2
+ 25
)
(sugerencia a = 5 )
2
152)
∫ (x
x2 2
+9
)
2
dx
***Resolver las siguientes integrales llevándolas a la forma du
∫1 +u 153)
∫x
dx
∫x
154)
2
+100 dx
∫1 −(4 x −1) 157)
= tg −1 u +c
2
158)
2
6x −7 2
− 4x +3
∫x
164)
∫ x(ln
2
−x −1 dx 2
dx 2
155)
+ 6 x +1
u <1
si
dx
∫ 25 +9 x
156)
2
dx
∫ 4 +4x − x
159)
2
∫x
dx 2
160)
−4x
dx
x 2 −x +1
161)
∫x
=th −1u +c
2
2
dx
∫ x −x
du
∫1 −u
y
dx
x + 4 ln x − 2
162)
∫e
ex 2x
+2e
x
+2
dx 163)
∫ 4 sen
cos x 2
x − sen x
dx
)
***Resolver las siguientes integrales llevándolas a la forma
∫
du 1 −u
2
165)
∫
dx
168)
∫
6x −x 2 dx x
2
∫
=sen −1 u +c
−4 x −1
Obra registrada
du 1 +u
166) 169)
∫
2
=senh −1 u +c dx
∫
x 2 −2 x +5
x +1 x
2
−4 x +1
4
dx
∫ 167)
∫
170)
∫
du u
2
−1 dx
=cosh −1 u +c
9 x 2 −16 x −2 1 −−9 x 2
dx
***Efectuar la sustitución x = 171)
∫x
dx x
2
∫x
172)
+1 dx
1 y resolver*** z
∫x
dx x
2
173)
−1
∫x
dx
174)
x 2 +36
9 −x 2
***Efectuar las sustituciones u =sen t ; u = senh t y u = cosh t según corresponda para llevar el integrando a la forma 1 − u2 ; 1+ u2 y u2 − 1 ***
∫ 178) ∫ 175)
4 −x 2 dx
176)
∫
x 2 +2 x + 10 dx
177)
∫
25 x 2 − 100 dx
x 2 −x dx
***Efectuar la sustitución x = t n (n es el mínimo común múltiplo de los índices) en las siguientes integrales*** dx x − 1 x +3 x 2 179)
∫
6
182)
180)
dx
x 2
∫x
x −6 x 3 5/ 2
+x 5 / 4
∫
x + 1
dx
181)
∫
3
x − x
dx
***Efectuar la sustitución ax + b = t n en las siguientes integrales*** 183)
∫
1 − x +3
∫1 +
x +3
dx
184)
∫
x +4 3
x +4 −1
dx 185)
x2
∫(3x −1)
5/ 2
dx
186)
dx 3
x +1 − x +1
***Efectuar la sustitución 187) 190)
u = tg(x / 2)
∫cos ecx dx
188)
en las siguientes integrales*** dx
∫ 1 + cos x +sen x
189)
dx
∫ cos x + 2 sen x + 2
sec x dx ∫
***Resolver las integrales considerando las identidades 1 1 sen x cos y = ( sen( x + y ) + sen( x − y ) ) cos x sen y = ( sen( x + y ) − sen( x − y ) ) 2 2 1 1 sen x sen y = ( cos( x − y ) − cos( x + y ) ) cos x cos y = ( cos( x + y ) + cos( x − y ) ) 2 2 191)
∫sen(4 x) cos(2 x)dx
194)
∫cos(2 x) sen x dx
∫cos(4 x +3) sen(1 −2 x)dx
Obra registrada
192) ∫cos x sen(3 x ) dx 195)
193)
∫sen(8 x) sen(3 x) dx
∫cos(3x −2) sen(5 x)dx
5
196)
Integrales Definidas ***Evaluar*** 2
197)
∫ 1
x 2 −1
2
∫
π
x
dx
198)
∫(−cos x )dx
2
199)
∫( x −1)( x −2)( x −3)dx
200)
− 1
0
3
∫x
x 3 dx +
0
5
dx
2
***Hallar el área limitada por las siguientes funciones, el eje de abscisas y los intervalos indicados*** 5 201) y = y =x − 3
[0,4] [2,5]
204) y =x 2
[0,6] [0,1]
y = x
3
4 205) y =x 2 −
[−2,2]
x3 + 1 207) y =−
[1,2]
3x 2 + 1 210) y =−
212) y =x
−x −6
211)
[−2,3]
3 y = x
[0,2π ] 214) [− = e 1,2]
sen x 213) y =
215)
y
1 y = x
[2,4]
[−2,2]
206)
[0,2]
[− 1,1]
[− π ,π ]
y = cos x
217) y =x 2 −2 x −3
[−2,5]
218)
[− 2, − 1] [0,4]
219) y +2 =3 x −x 2
220) y = −sen x
9− x2 [0,2] y = x− 3 [0,3] 222) y =x ( x −2)( x −3)
1 2
x ≤1
+1
227) y =
1 x +2
228) y =3 x 2 230) y =
x
2
−4
x +1 x −1
1 −1, 2
[−5,−3] 1 +e x +2 229) y = ex
3 −2 ,1
***Hallar el área del recinto limitado por las curvas***
Obra registrada
[− 1,1]
x 223) y =
226) y =
x ≤ 9
x +1
π − 6 ,2π 221)
π π − 4 , 4
2 224) y =sec x
x
203)
x
216) y −1 =( x −2) 2
225) y =
[0,1]
208) y = (x − 1)2
[0, 4]
209) y = x
2
y = 4− x
202)
6
[0,2]
y x = 1− ; 3 3 y = x 233)
231) y =x ; y = x2 ;
y = 3x ;
y = x;
2
234) y =x ; y = x ;
235)
y = 4;
y = − 8 ;
x = 0
236)
y = − x
237) y =x 2 ;
y =( x − 1) 2 ;
x2 − x+ 7; 239) y =− 4
x y = ; 2
y =3 x 2 ;
238) y =x 2 −9;
y =0
y =x − 8
x =1 ;
1 y = ; x
y =9 −x 2
240)
y =8
x = 1;
x = 4
242)
y =4
243) 4 y −3 x +9 = 0 ;
y =−
3 2 9 x + x 4 4
y =x 2 −6 x +8 ;
x +y =4
sen x ; 245) y =
x = 0 ;
x =0 ;
y =cos x ;
y =2 −x 2 ;
244)
y = 1;
x = π
y =− sen x ;
x y = e− ;
ex ; 247) y =
x
y = e
248)
x +y =2
250)
246)
π = 2
y =x
3
249) y =x ;
y =3 x + 2 ; y =e −x ;
y =e x ;
232)
x = 2
y = x
2
241)
y = 0
x =2
251) y =2 − (x − 1)2 ;
π
y =cos x ;
x =
253) y =16 −x 2 ; y =ln x ;
2
y =4 ;
;
π
x =−
2
x =1 −y 2
y =4 x − 2
252)
y =2 cos x
;
y =x 2 −4 x;
y =− 2;
255) x = y 2 ;
x =0 ;
x =6
254)
x =e 2
256) x =y ;
x = 2 −y
257)
x + y = −4
2
x =2 y −y ;
258) x + y =1 ;
x + y =4
259) 4 + y =
x y + =1 3 2
4 2 x ; 9
260) x 2 + y 2 =1 ;
x2 + y 2 =9
261) y 2 = x 2 ( x 2 − 4) ;
262) x 2 − y 2 = 3 ; y =
x =4
y =0
x ; 2
EJERCICIOS VARIOS *** Utilizar el teorema fundamental del cálculo y resolver*** d 263) dx d dx
x
∫(5t
2
)
−11t dt
0
d 264) dx
5 x +2
∫e
2t
dt
ln x
Obra registrada
7
2
∫ x
t +1 dt
d 265) dx
x2
∫ (t 0
3
)
+ t 2 dt
266)
x
267) Siendo
f
continua que cumple
∫ f (t ) dt = x + x
2
, hallar f (3)
0
268) Siendo g continua que satisface
x2
∫ g (t )dt = x
3
, hallar g ( 4)
0
***Hallar f ( x ) *** 269) x 2 f ′( x) −( x 3 + x 6 ) f ( x ) = 0 si f (0) = 2 f (0) = −3 y f ′(0) = 4
270) f ′′( x) + x = 1 si
271) Sea f una función continua en [0, +∞) que verifica x2
(x
2
+9) f ( x ) −5 = 2 x +
∫ f ( u )du , calcular
f ( x ) sabiendo que f (0) = 5
0
272) Sea f una función que admite derivada continua y que verifica x
∫
1 + f ′(r ) dr = 4 x 2 + x en
0
[0, +∞) ; si
f (0) = 3 , hallar f ( x ) b
2 273) Hallar k tal que k (b − a ) =
∫ ( f ( x) )
2
dx donde f ( x ) = sen x ;
a
Obra registrada
8
[a, b] = [0, 2π]