4. Формула Пуассона. Нерівність npq > 9 навіть для великих n може не виконуватися (а отже, похибка при використанні локальної формули Лапласа буде дуже великою) у випадку рідкісних (малоімовірних) подій А, тобто таких подій, для яких р значно менше 0,1 (р << 0,1). В таких випадках слід користуватися іншим наближенням правої частини формули Бернуллі. Одне із них дається таким твердженням. Теорема Пуассона. Якщо в кожному із n повторних випробувань імовірність р появи події А стала і мала (р << 0,1), а число випробувань n досить велике, то імовірність того, що подія А настане в цих випробуваннях рівно m разів, знаходиться за формулою λm e − λ Pn (m) ≈ , (3.6) m! де λ = np. Зауваження. Похибка в наближеній рівності (3.6), яка називається формулою Пуассона, тим менша, чим більше число випробувань n. λm e − λ Значення функції P (m) = двох змінних λ та m для деяких m! m та λ наведені в табл. 2 додатків. Відмітимо, що формула Пуассона використовується також до числа невідбуття події А, якщо q << 0,1, а nq невелике. 5. Інтегральна формула Лапласа. Інтегральна теорема Лапласа (Муавра—Лапласа). Якщо імовірність р появи події А в кожному із n повторних випробувань є сталою (0 < p < 1), а число випробувань досить велике, то імовірність того, що подія А в цих випробуваннях відбудеться не менше m1 разів і не більше m2 разів, знаходиться за такою наближеною рівністю (інтегральною формулою Лапласа): Pn (m1 ≤ m ≤ m2 ) ≈ Φ( x 2 ) − Φ( x1 ), (3.7)
де Φ( x ) =
1 2π
x
∫ e − t 2 dt — функція Лапласа, 2
0
m − np , x2 = 2 . npq npq Функція Лапласа протабульована і її значення наведені в табл. 3 додатків. При користуванні цією таблицею потрібно враховувати такі x1 =
m1 − np
28