Definición analítica del valor absoluto. Propiedades Destreza con criterio de desempeño: Identificar y analizar la definición analítica del valor absoluto y sus propiedades. (C)
Para todo número real x, el valor absoluto de x, |x|, se define como: x, si x ≥ 0 –x, si x < 0 Esto quiere decir que: ·· Si el número es positivo o cero (x ≥ 0), entonces ese número es el valor absoluto. ·· Si el número es negativo (x < 0), entonces el valor absoluto es el opuesto (negativo) de ese número.
Conocimientos previos Determina los resultados. a. | 5 |+ | –2 |
propiedades del valor absoluto ·· Para todo número real x, el valor absoluto de x siempre es positivo. |x| ≥ 0
b. | –2 |– | –8 |
·· El valor absoluto de 0 siempre es 0. |x| = 0 si y solo si x = 0 ·· El valor absoluto de todo número real x elevado al cuadrado es igual al número elevado al cuadrado. |x|2 = x2
Toma en cuenta • Sean a y b elementos de los números reales, se cumple que el valor absoluto de la suma de dos números reales a y b es menor o igual que la suma de sus valores absolutos.
·· La raíz cuadrada de un número real x elevado al cuadrado es igual al valor absoluto de ese número.
x 2 = |x|
·· Sea a > 0, entonces |x| = a se cumple si y solo si x = a o x = –a. ·· Sean b y x elementos de los números reales, donde b > 0, se cumple que: |x| ≤ b si y solo si –b ≤ x ≤ b. ·· Sean b y x elementos de los números reales, donde b > 0, se cumple que: |x| ≥ b si y solo si x ≤ –b o x ≥ b.
|a + b| ≤ |a| + |b| • Sean a y b elementos de los números reales, se cumple que el valor absoluto del producto de dos números a y b es igual al producto de sus valores absolutos. |a · b| = |a| · |b| • Sean a y b elementos de los números reales, se cumple que el valor absoluto del cociente de dos números a y b es igual al valor absoluto de a sobre el valor absoluto de b, siempre que b sea distinto de cero. a a = b b
Ejemplo Indicar las propiedades utilizadas para obtener los resultados. |–5| = 5
Respuesta: Se cumple la propiedad |x| ≥ 0.
|3|2 = 32
Respuesta: Se cumple la propiedad |x|2 = x2.
__
√ 42 = |4|
Actividades 1. Verifica que se cumplan las propiedades. a. |(–2) + 3| ≤ |–2| + |3|
; b≠0
__
Respuesta: Se cumple la propiedad √x2 = |x|.
b. |(–4)(–5)| = |–4||–5|
c. ____ –40 = ____ –40 5 5
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