inecuaciones de segundo grado con una incógnita Una inecuación de segundo grado con una incógnita se resuelve como si fuera una ecuación y se determinan los intervalos solución mediante tanteo. Ejemplo Resolver esta inecuación de segundo grado: x2 − x + 4 ≥ 5x −4. Primero. Se aplica las propiedades de las inecuaciones hasta obtener una ex presión algebraica en un miembro, y cero en el otro. x2 − x + 4 ≥ 5x − 4 → x2 − x + 4 − 5x + 4 ≥ 0 → x2 − 6x + 8 ≥ 0 Segundo. Se transforma la inecuación resultante en una ecuación. Para ello, se sustituye la desigualdad por una igualdad y se la resuelve como una ecuación de segundo grado. Resolvemos la ecuación x2 − 6x + 8 = 0. ________
6±√ 36 – 4 · 8 _____ 6±2 x = _____________ = 2
2
x1 = 4 x2 = 2
Tercero. Las soluciones dividen la recta real en intervalos. Se toma un punto de cada intervalo. 0
2
3
4
5
El punto x = 0 pertenece al intervalo ]−∞ , 2[. El punto x = 3 pertenece al intervalo ]2 , 4[. El punto x = 5 pertenece al intervalo ]4 , +∞[. Cuarto. Se comprueba si estos puntos son soluciones de la inecuación. Si un punto verifica la desigualdad, entonces todo el intervalo es solución. Si x = 0, se cumple que: 02 − 6 ∙ 0 + 8 ≥ 0 → 8 ≥ 0 → ]− ∞ , 2[ es solución. Si x = 3, se cumple que: 32 − 6 ∙ 3 + 8 ≥ 0 → −1 ≥ 0 → ]2, 4[ no es solución. Si x = 5, se cumple que: 52 − 6 ∙ 5 + 8 ≥ 0 → 3 ≥ 0 → ]4, + ∞ [ es solución. Trabajo individual Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado con una incógnita. a. x2 − 3x + 2 ≤ 0 b. x2 − 3x + 2 ≥ 0 c. x2 − 9x > 0
Quinto. Se comprueba si las soluciones de la ecuación, x = 2 y x = 4, son solu ciones de la inecuación. Si x = 2 → 22 − 6 ∙ 2 + 8 ≥ 0 → 0 ≥ 0 → 2 es solución Si x = 4 → 42 − 6 ∙ 4 + 8 ≥ 0 → 0 ≥ 0 → 4 es solución [4, +[
]−∞ , 2] 2
4
Por tanto, la solución de la inecuación es la unión de dos intervalos: ]−∞ , 2] [4, + ∞ [
d. x2 − 9 < 0 e. x2 + 2 ≤ 0
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