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Gli operatori Per introdurre i postulati della meccanica quantistica abbiamo bisogno di uno strumento matematico: gli operatori. Illustriamo quindi preliminarmente cosa intendiamo per operatore e alcuni elementi dell’algebra degli operatori. Un operatore `e una regola che ci permette di agire su una funzione per ottenere una nuova funzione. operatore derivata ∂ (1) ∂x esempi di applicazione ∂ f(x) = f 0 (x) ∂x

(2)

∂ 2 (x + kx) = 2x + k ∂x

(3)

SQRT

(4)

operatore radice quadrata

esempi di applicazione SQRT(f(x)) =

√

f(x)

1/2 SQRT(x2 + kx) = x2+ kx

(5) (6)

Possiamo definire la somma di due operatori come (α + β)f (x) = αf (x) + βf (x)

(7)

Il prodotto di due operatori `e definito come successione ordinata della loro applicazione αβf (x) = α [βf (x)] (8) Il prodotto di commutatori gode della propriet`a associativa e cio`e α(βγ) = (αβ)γ

(9)

αβf (x) 6= βαf (x)

(10)

In generale

1

Esempio ∂ [f (x)] = xf 0 (x) ∂x

(11)

∂ ∂ x [f (x)] = [xf (x)] = f (x) + xf 0 (x) ∂x ∂x

(12)

x

e quindi ∂ ∂ x − x )f (x) = f (x) ∂x ∂x Possiamo definire il commutatore di due operatori (

[α, β] = αβ − βα nell’esempio precedente abbiamo ∂ ∂ ∂ ,x = ( x − x ) = 1 ∂x ∂x ∂x

(13)

(14)

(15)

Se [α, β] = 0 e quindi αβ = βα si dice che che i due operatori commutano. La quantit`a [α, β]

(16)

viene chiamata commutatore Nella meccanica quantistica siamo interessati ad operatori lineari, cio`e operatori che hanno la seguente propriet`a α(f (x) + g(x)) = αf (x) + αg(x)

(17)

αcf (x) = cαf (x)

(18)

dove c `e una costante. Si vede chiaramente che gli operatori derivata, integrale, moltiplicazione per sono operatori lineari mentre gli operatori estrazione di radice e elevazione al quadrato non sono operatori lineari. Talora applicando un operatore ad una funzione si riottiene la stessa funzione moltiplicata per una costante. Ad esempio α= αf (x) =

∂ ∂x

f (x) = ekx

∂ kx e = kekx = kf (x) ∂x 2

(19) (20)

In questi casi si dice che la funzione `e una autofunzione dell’operatore e la costante (nell’esempio k) `e un autovalore dell’operatore. Di particolare importanza in meccanica quantistica sono gli operatori Hermitiani che che hanno la seguente propriet`a Z Z ∗ Ψ (x)αΦ(x)dx = Φ(x)α∗ Ψ∗ (x)dx (21) dove Ψ e Φ sono delle funzioni, il simbolo ∗ indica il complesso coniugato e l’integrale `e esteso a tutto il campo di variabilit`a di x. Gli operatori Hermitiani hanno due importanti propriet`a: a) gli autovalori degli operatori Hermitiani sono reali; b) le autofunzioni degli operatori Hermitiani sono o possono essere scelte ortogonali. Due funzioni sono ortogonali se Z Ψ∗1 (x)Ψ2 (x)dx = 0 (22) Queste due importanti propriet`a possono essere dimostrate facilmente. Nella meccanica quantistica ci si trova costantemente a lavorare con operatori che agiscono su funzioni e con integrali di queste funzioni sulle coordinate spaziali. Pu`o allora essere utile avere una notazione compatta e semplificata. Questa `e la notazione di Dirac. In questa notazione una funzione che dipende da un indice m viene indicata con un ket ket

Ψm =⇒| Ψm >≡| m >

(23)

La funzione complessa coniugata viene invece indicata con un bra bra Ψ∗m =⇒< Ψm |≡< m |

(24)

Con questa notazione semplificata gli integrali di interesse possono essere scritti ed indicati in una forma molto pi` u compatta e cio`e Z Ψ∗m Ψn dτ =⇒< m | n > (25) Z

Ψ∗m αΨn dτ =⇒< m | α | n >=⇒ αmn

con le propriet`a

3

(26)

< m | n >∗ =< n | m >

(27)

< m | m >∗ =< m | m >

(28)

I postulati della meccanica quantistica Non esiste un set unico di postulati n`e come numero n`e come ordine. La cosa non `e rilevante in quanto la cosa veramente importante `e di introdurre tutti i concetti che sono necessari.

1◦ postulato Tutte le informazioni sul nostro sistema sono contenute in una funzione delle coordinate q e del tempo t, Ψ(q,t) che viene detta funzione di stato o funzione d’onda. Ci`o detto ci chiediamo quali propriet`a debbano avere queste funzioni per essere funzioni adatte per la meccanica quantistica. Le funzioni devono essere - continue - a singolo valore ed inoltre devono essere tali che < Ψ | Ψ >=⇒ f inito

(29)

Questo `e necessario se | Ψ(q) |2 dq deve rappresentare una probabilit`a di trovare la particella nell’elemento di volume dq. La funzione di stato deve allora essere normalizzata nel senso < Ψ | Ψ >= 1 in modo che la probabilit`a totale sia uguale a uno.

4

(30)

2◦ postulato Ad ogni variabile dinamica viene associato un operatore. Gli operatori associati alle variabili fondamentali sono i seguenti Variabile t q p

Operatore t q ∂ h ∂ = ~i ∂q 2πi ∂q

tempo coordinata momento

h dove ~ ≡ 2π . Con queste regole base ed usando le regole per agire sugli operatori illustrate sopra possiamo scrivere l’espressione per l’operatore associato a qualsiasi grandezza fisica (che pu`o essere espressa in funzione delle coordinate, del tempo e dei momenti). A questo fine scriviamo prima l’espressione classica della grandezza e poi procediamo alla trasformazione

Energia cinetica Energia potenziale Energia totale (Hamiltoniano)

p2 ~2 ∂ 2 T = 2m Tb = − 2m ∂q 2 b V(q) V = V (q) p2 ~2 ∂ 2 b H = 2m + V (q) H = − 2m + V (q) ∂q 2

3◦ postulato La funzione di stato soddisfa l’equazione di Schr¨odinger dipendente dal tempo ~ ∂Ψ (31) i ∂t dove H `e l’operatore Hamiltoniano. Pi` u esplicitamente possiamo scrivere l’equazione ~2 ∂ 2 ~ ∂Ψ − + V (q) Ψ(q, t) = − (32) 2 2m ∂q i ∂t HΨ(q, t) = −

Poich´e H `e un operatore Hermitiano lineare se Ψ(q, t) `e una buona funzione di stato lo `e anche la funzione cΨ(q, t) con c costante complessa. Quindi la 5

funzione di stato `e definita a meno di una costante. D’altra parte ad un certo punto applicheremo la condizione di normalizzazione e questo fissa il modulo della costante c ma non la sua fase. Quindi la funzione di stato `e definita a meno di un fattore eiα . Se H non dipende dal tempo in modo esplicito ci sono delle soluzioni speciali. Possiamo infatti scrivere la funzione di stato nella forma Ψ(q, t) = Ψ(q) · e

−iEt ~

(33)

dove la parte spaziale soddisfa allora l’equazione di Schr¨odinger indipendente dal tempo ~2 ∂ 2 − + V (q) Ψ(q) = EΨ(q) (34) 2m ∂q 2 Abbiamo allora degli stati stazionari che non dipendono dal tempo per i quali la funzione di stato `e autofunzione dell’operatore H. Per ora consideriamo E come una costante: vedremo in seguito quale `e il suo significato.

4◦ postulato Sia il nostro sistema descritto da una sua funzione di stato e consideriamo una variabile dinamica A a cui associamo il suo operatore. Ci chiediamo quale sar`a il valore della grandezza in quello stato. Se facciamo delle misure avremo una certa dispersione dei risultati delle misure; il valore medio della grandezza `e dato da Z < A >= Ψ∗ AΨdq (35) o pi` u sinteticamente < A >= hΨ | A | Ψi

(36)

Dato che A `e Hermitiano il valore di aspettazione sar`a reale. Noi siamo particolarmente interessati al valore di aspettazione dell’energia. Considerando l’operatore H abbiamo < E >=< Ψ | H | Ψ > Se in particolare siamo in uno stato stazionario 6

(37)

HΨ = EΨ

(38)

< E >=< Ψ | H | Ψ >= E < Ψ | Ψ >

(39)

avremo

e quindi, in uno stato stazionario, il valore di aspettazione dell’energia `e un valore perfettamente definito uguale all’autovalore. C’`e una importante implicazione di questo postulato. Supponiamo di avere una quantit`a f (x, y, z) e di volerne trovare il valor medio. Da un punto di vista classico ne prendiamo il valore in ogni punto n, moltiplichiamo per la probabilit`a nel punto e sommiamo normalizzando (se la probabilit`a non lo `e gi`a per conto suo) N 1 X f =< f >= f (qn )P (n) N In meccanica quantistica abbiamo Z Z Z ∗ ∗ < f >= Ψ f Ψdq = f Ψ Ψdq = f Ψ2 dq −

(40)

(41)

questo giustifica per analogia il significato di Ψ2 come probabilit`a nel punto (x, y, z) secondo l’interpretazione della Scuola di Copenhagen. Come abbiamo detto, se la funzione `e autofunzione dell’operatore, la grandezza ha un valore preciso e lo scarto tra il valore misurato ed il valor medio `e zero. Una questione di grande importanza `e la relazione tra gli errori (esattamente le deviazioni quadratiche medie) di due grandezze diverse A e B. Questa domanda ripropone la questione del principio di indeterminazione che abbiamo visto nella forma elementare ∆x∆px v ~

(42)

Si pu`o giungere ad una formulazione pi` u generale del principio di indeterminazione. Si pu`o dimostrare che si ha ∆A∆B ≥

1 <Ψ|C|Ψ> 2

(43)

dove C `e il commutatore di A e B iC = [A, B] 7

(44)

Omettiamo la dimostrazione e prendiamo questa come la formulazione pi` u generale del principio di indeterminazione. Possiamo convincerci semplicemente di questo calcolando il principio per posizione e momento. In questo caso avremo ∂ ∂ iC = xpx − px x = i~ x − x = i~ (45) ∂x ∂x per cui si riottiene 1 ∆x∆px ≥ ~ (46) 2 Usando i postulati che abbiamo gi`a visto possiamo trovare come varia nel tempo, mentre il sistema evolve, il valore di aspettazione di una grandezza A: vogliamo cio`e trovare la equazione del moto per il valore di aspettazione. Si pu`o facilmente dimostrare che d<A> ∂A =< Ψ | [A, H] | Ψ > + < Ψ | |Ψ> (47) dt ∂t da cui si vede che ci sono due contributi: il secondo dipende dalla dipendenza intrinseca dell’operatore dal tempo ed il primo dal commutatore con l’Hamiltoniano. Si vede quindi che il commutatore con H ha un significato particolare. Se A non dipende dal tempo esplicitamente e se commuta con H allora hAi non varia con il tempo: in questo caso A `e una costante del moto. Caso particolare ma importante `e quello dell’Hamiltoniano di un sistema conservativo per il quale ∂H = 0. In questo caso E = hHi `e ovviamente una costante del ∂t moto. Ci`o vale anche se non siamo in uno stato stazionario e quindi non `e un risultato banale. Partendo da questo ultimo risultato e conoscendo come varia hAi nel tempo possiamo considerare un principio di indeterminazione tra energia e tempo i~

∆E∆t v ~

(48)

Naturalmente `e necessario definire t sopratutto considerando che il tempo non `e una vera variabile dinamica ma piuttosto un parametro numerico. Se A non dipende esplicitamente dal tempo possiamo scrivere ∆E∆A ≥

1 1 1 d<A> < Ψ | [A, H] | Ψ >= i~ 2 i 2i dt 8

(49)

Definiamo la quantit`a ∆t =

∆A d < A > /dt

(50)

che ha certamente dimensioni di un tempo. Secondo questa definizione ∆t moltiplicato per la velocit`a di variazione di hAi ci dice di quanto varia hAi ∆A nel tempo d<A>/dt . Usando questa definizione possiamo scrivere 1 ∆E∆t ≥ ~ (51) 2 L’incertezza energia-tempo allora riguarda l’incertezza quadratica media sull’energia e il tempo in cui hAi varia di una quantit`a paragonabile con l’incertezza quadratica media. Per illustrare il significato di tutto questo consideriamo un sistema inizialmente in uno stato stazionario. Se accendiamo una perturbazione il sistema evolver`a nel tempo e ci sar`a ora una incertezza ∆E sulla energia. La variazione col tempo di una qualsiasi grandezza A diventer`a determinabile (cio`e dell’ordine della deviazione quadratica media) dopo un ~ tempo 21 ∆E . Perci`o il tempo di vita di uno stato stazionario (∆E = 0) `e infinito. La presenza di perturbazioni (come l’interazione con l’ambiente) porta all’accorciamento dei tempi di vita.

5◦ postulato Questo postulato riguarda gli sviluppi in serie. Consideriamo l’equazione di Schr¨odinger agli autovalori e consideriamo una particolare soluzione k HΨk = εk Ψk

(52)

L’insieme delle soluzioni {Ψk } costituisce quello che si dice un set completo e chiuso per tutti gli operatori del sistema. Set completo vuol dire che qualsiasi funzione Φ con le stesse condizioni al contorno delle nostre autofunzioni pu`o essere espresse come una combinazione lineare delle autofunzioni e cio´e X Φ= ck Ψk (53) k

dove i c sono coefficienti numerici (eventualmente complessi e dipendenti dal tempo). Ci`o detto ci chiedimo quale sia il significato dei coefficienti 9

nella espansione. Per questo, ricordando che le autofunzioni di operatori Hermitiani sono o possono essere ortogonali) scriviamo X < Ψn | Φ >= ck < Ψn | Φk >=< Ψn | Ψn > cn = cn (54) k

da cui vediamo che il coefficiente cn `e la sovrapposizione tra Ψn e Φ cio`e rappresenta quanto componente dell’uno c’`e nell’altro. Esiste una perfetta analogia tra questo ed il formalismo che abbiamo in uno spazio di vettori. Se identifichiamo con le autofunzioni di base (cio`e con le funzioni Ψn ) i vettori fondamentali dello spazio vettoriale in questione (ad esempio i,j e k che indichiamo genericamente con ei con i=1,2,3) e con le costanti c le componenti del vettore possiamo scrivere i corrispettivi delle equazioni viste sopra come X r= ci ei (55) i

ci = ei · r

(56)

La propriet`a di chiusura significa che se A `e l’operatore associato ad una qualsiasi variabile dinamica del sistema anche AΦ si pu`o espandere nel set completo X AΦ = bk Ψk (57) k

Questo `e ovvio in quanto AΦ `e anche essa una funzione dello stesso spazio funzionale. Di nuovo esiste una completa analogia con gli spazi vettoriali: infatti se agiamo con un operatore su un vettore certamente otterremo un nuovo vettore nello stesso spazio (genericamente un vettore ruotato) il quale si potr`a ancora esprimere in termini delle sue componenti nella base X Rr = r0 = c0i ei (58) i

Quindi in base a questo postulato se conosciamo le autofunzioni di un operatore (ad esempio H) di un sistema possiamo esprimere le autofunzioni di H di un altro sistema in questa base, purch´e le condizioni al contorno siano le stesse. Anche se questo `e teoricamente possibile ci sono delle limitazioni dovute al fatto che ci sono infinite funzioni nel set di base e quindi dovremmo trovare infiniti coefficienti. L’efficacia degli sviluppi in serie `e massima quando la funzione da sviluppare `e simile ad una funzione della base 10

perch´e in questo caso possiamo limitare lo sviluppo in termini di un gruppo limitato del set di base. Ci sono due importanti propriet`a dei set completi di autofunzioni. La prima dice che se due operatori commutano essi hanno un set completo di autofunzioni comune. La commutazione `e condizione necessaria e sufficiente come si pu´o dimostrare facilmente. Condizione necessaria: Sia AΨi = ai Ψi

(59)

BΨi = bi Ψi

(60)

ABΨi = Abi Ψi = bi AΨi = ai bi Ψi

(61)

BAΨi = Bai Ψi = ai bi Ψi

(62)

allora potremo scrivere

ed anche

per cui avremo per tutte le Ψi (AB − BA)Ψi = 0 Inoltre per una funzione arbitraria avremo X Φ= ci Ψi

(63)

(64)

i

e quindi X

(AB − BA)ci Ψi = (AB − BA)Φ = 0

(65)

i

e quindi `e dimostrato che gli operatori commutano. Condizione sufficiente: Sia [A, B] = 0. Se BΨi = bi Ψi possiamo scrivere

11

(66)

ABΨi = bi AΨi = BAΨi

(67)

e quindi anche AΨi `e autofunzione di B con lo stesso autovalore di Ψi e quindi sar`a uguale a Ψi moltiplicata per una costante, cio`e AΨi = ai Ψi

(68)

La seconda importante propriet`a `e la seguente. Sia [A, B] = 0 ed inoltre AΨi = ai Ψi

(69)

AΨj = aj Ψj

(70)

ai 6= aj

(71)

< Ψi | B | Ψj >= 0

(72)

< Ψi | BA | Ψj >= aj < Ψi | B | Ψj >=< Ψi | AB | Ψj >= < BΨj | A | Ψi >∗ = ai < BΨj | Ψi >∗ = ai < Ψi | B | Ψj >

(73)

aj < Ψi | B | Ψj >= ai < Ψi | A | Ψj >

(74)

con

Si pu`o dimostrare che

Infatti abbiamo:

e cio`e

da cui discende la propriet`a che volevamo dimostrare. Da questo postulato e da queste propriet`a si vede che le propriet`a di commutazione sono particolarmente importanti. Se H commuta con un operatore A vuol dire che ci sono stati in cui E ed A hanno valori perfettamente definiti. Se anche B commuta con H e con A, esiste un set completo di stati in cui le tre quantit`a sono perfettamente definite. Pi` u grande `e il numero di operatori che commutano vicendevolmente pi` u completa sar`a la caratterizzazione possibile dello stato del sistema. Gli autovalori simultanei sono costanti del moto e forniscono lo stato di massima conoscenza possibile consentita dal principio 12

di indeterminazione. Se a questo punto prendo una nuova variabile che non commuta con il set di variabili precedenti e cerco di misurare anche questa con precisione, automaticamente introduco una incertezza in almeno un’altra delle variabili. Si dicono variabili compatibili quelle che hanno operatori che commutano. Esempio: particella libera V (x, y, z) = 0 ~ ∂ i ∂x ~ ∂ py = i ∂y

px =

(75) (76)

~ ∂ i ∂z 2 1 2 ~2 ∂ ∂2 ∂2 2 2 H= (p + py + pz ) = − + + 2m x 2m ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 pz =

(77) (78)

H e le tre componenti del momento ovviamente commutano tutti tra loro (in quanto l’ordine di derivazione non ha importanza). Quindi le autofunzioni di H sono anche autofunzioni delle tre componenti del momento e nello stato di massima conoscenza possibile del sistema sono contemporaneamente definite perfettamente queste 4 variabili. Se volessi conoscere con precisione un’altra variabile, ad esempio la posizione lungo x, introdurrei una incertezza in una delle variabili precedenti, in questo caso px . In particolare per la particella libera le autofunzioni di H, come vedremo in seguito, hanno la seguente forma Ψk (r) = N e−ikr

(79)

dove N `e un fattore di normalizzazione e gli autovalori delle nostre variabili compatibili saranno E ~2 2 k 2m

px ~kx

py ~kx

pz ~kx

Concludiamo con un’ultima considerazione che riguarda gli sviluppi in serie. Il sistema sia in uno stato generico Ό che noi esprimiamo con una espansione

13

nelle autofunzioni di massima conoscenza relativa alle variabili compatibili E,A,B..... X Φ= ck Ψk (80) k

La probabilit`a che in esperimento di misura il sistema si trovi nello stato di massima conoscenza Ψk sar`a chiaramente wk =| ck |2 =|< Ψk | Φ >|2

(81)

Il valore di aspettazione di una variabile A sar`a < A >=< Ψ | A | Ψ >=

X

c∗k cl < Ψk | A | Ψl >=

X

c∗k cl Al < Ψk | Ψl >=

X k

kl

kl

(82) e quindi in conclusione < A >=

X

wk Ak

(83)

k

Si vede quindi che wk ci da la frequenza (probabilit`a) con cui in un processo di misura trovo il mio sistema nello stato k. Cerchiamo di chiarire meglio il significato di questo. Sia il nostro sistema descritto da una Φ come definita sopra come sovrapposizione di tutti gli autostati del sistema. Se misurando la grandezza A trovo il valore Ak `e come se il mio apparato di misura avesse forzato il sistema ad una transizione Φ =⇒ Ψk (riduzione della autofunzione) senza che questo avvenga in base ad una tradizionale legge di causalit`a. Quindi wk `e la probabilit`a che il mio processo di misuarazione lasci il sistema nello stato k senza riferimento a come questo avviene. Conviene completare questa esposizione con una precisazione sull’uso della notazione di Dirac per le espansioni in serie anche per chiarire cosa significa che il set di autofunzioni di un operatore `e chiuso. L’espansione di una funzione X f= ci ϕi (84) i

pu`o essere riscritta come | f >=

X i

14

ci | ϕi >

(85)

| ck |2 Ak

con < ϕn | f >= cn Possiamo quindi riscrivere X X | f >= | ϕi > c i = | ϕi >< ϕi | f > i

(86)

(87)

i

da cui si ricava l’importante relazione X | ϕi >< ϕi |= 1

(88)

i

nota come relazione di chiusura.

` OPERATORE PARITA Abbiamo finora considerato operatori che sono associati a variabili dinamiche classiche. Diciamo che questi operatori hanno un analogo classico. Ci sono altri operatori che non sono associati a variabili dinamiche e che non hanno un analogo classico. Questi operatori per`o possono essere molto utili per dedurre propriet`a delle funzioni che a noi possono interessare. Uno di questi operatori `e l’operatore parit` a che agisce su una funzione cambiando di segno a tutte le variabili e cio´e Πf (x, y, z) = f (−x, −y, −z)

(89)

Vogliamo trovare gli autovalori e le autofunzioni dell’operatore parit`a Π Πgi = ci gi

(90)

Per questo notiamo che evidentemente Π2 f = ΠΠf = f

(91)

Π2 = 1

(92)

Π2 gi = ΠΠgi = Πci gi = ci Πgi = c2i gi

(93)

e quindi

da cui si ottiene che

15

Questo implica che c2i = 1 e quindi ci = Âą1 Se ci = 1 Î g(x, y, z) = g(x, y, z)

=⇒

g(−x, −y, −z) = g(x, y, z)

(94)

e la funzione si dice pari. Se invece ci = −1 Πg(x, y, z) = −g(x, y, z)

g(−x, −y, −z) = −g(x, y, z)

=⇒

(95)

e la funzione si dice dispari. Se l’operatore parit`a commuta con l’Hamiltoniano [Π, H] = 0

(96)

i due operatori avranno autofunzioni comuni e quindi le autofunzioni di H saranno necessariamente pari o dispari. Verifichiamo allora se commutano. Si ha [Î , H] = [Î , T + V ] = [Î , T ] + [Î , V ]

(97)

e per l’energia cinetica ~2 [T, Π] = − 2m

2 ∂ ∂2 ∂2 [ 2 , Π] + [ 2 , Π] + [ 2 , Π] ∂x ∂y ∂z

(98)

Poich´e Î

∂2 ∂ ∂ ∂2 f (x, y, z) = f (−x, −y, −z) = Πf (x, y, z) ∂x2 ∂(−x) ∂(−x) ∂x2

(99)

[T, Î ] = 0

(100)

allora

Per quanto riguarda l’energia potenziale abbiamo ΠV (x, y, z)f (x, y, z) = V (−x, −y, −z)f (−x, −y, −z) = V (−x, −y, −z)Πf (x, y, z) (101) e quindi se il potenziale `e una funzione pari V (−x, −y, −z) = V (x, y, z) 16

(102)

allora `e anche [V, Π] = 0

(103)

e quindi l’Hamiltoniano commuta con l’operatore parit`a. Questa conclusione pu`o essere estesa al caso di molte particelle e quindi se il potenziale `e una funzione pari in generale: [Π, H] = 0

(104)

In tale caso le autofunzioni di H saranno funzioni pari o dispari (avranno una parit`a definita)

17

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