APUNTES DE F´ISICA I ———————–
Reg. No.: 03-2007-02413370900-01 Queda prohibida su reproducci´on total o parcial por cualquier medio, fisico o electr´onico, sin el el permiso de autor.
c. Dr. Neptal´ın Z´arate V´asquez Profesor de F´ısica
Tlaxcala, Tlax., Verano 2007
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Dedicatorias
Al Dios feliz y del orden; El Excelent´ısimo, El poderoso Se˜ nor de los Ej´ ercitos. Le damos gracias por permitirnos entender un poquito de la grandeza de su creaci´ on [Jer 31:35, 33:25, Isa. 40:26, Sal. 19:7-11, 2 Tim. 3:16, Job 26:7, 8, 10-12, 38:-41:, Ecles. 1:4-7, Am´ os 5:8].
ii
´Indice general Pr´ ologo UNIDAD I Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica 1.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. La F´ısica y su Impacto en la Ciencia y la Tecnolog´ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Los M´etodos de Investigaci´on y su Relevancia en el Desarrollo de la F´ısica. . . . . 1.2. Magnitudes F´ısicas y su Medici´on. . . . . . . . . . 1.2.1. Magnitudes Fundamentales y Derivadas. . 1.2.2. Sistemas de Unidades CGS e Ingl´es. . . . . 1.2.3. El Sistema Internacional de Unidades, Ventajas y Limitaciones. . . . . . . . . . . . . 1.2.4. M´etodos Directos e Indirectos de Medici´on. 1.2.5. Notaci´on en Base 10 (Prefijos). . . . . . . 1.2.6. Transformaci´on de Unidades Entre Sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7. 1a Autoevaluaci´on . . . . . . . . . . . . . 1.2.8. La Precisi´on de los Instrumentos de Medici´on, Tipos de Errores. . . . . . . . . . . 1.3. Vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
6 8 41 41 45 48 50 51 56 56 59 66 81 91
iv
´INDICE GENERAL
1.3.1. Diferencia Entre las Magnitudes Escalares y Vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Caracter´ısticas de un Vector. . . . . . . . . 1.3.3. Representaci´on Gr´afica de Sistemas de Vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Descomposici´on y Composici´on de Vectores M´etodos Gr´aficos y Anal´ıticos. . . . . .
91 93 95 99
UNIDAD II MOVIMIENTO 121 2.1. Movimiento en una Dimensi´on . . . . . . . . . . . 122 2.1.1. Conceptos Fundamentales. . . . . . . . . . 122 2.1.2. Sistemas de Referencia (SR). . . . . . . . . 122 2.1.3. Movimiento Rectilineo Uniforme (MRU). . 129 2.1.4. 2a Autoevaluaci´on . . . . . . . . . . . . . 144 2.1.5. Movimiento Rectilineo Uniformemente Acelerado (MRUV o MUA). . . . . . . . . . . 150 2.1.6. Caida Libre y Tiro Vertical . . . . . . . . 159 2.2. Movimiento en Dos Dimensiones. . . . . . . . . . 168 2.2.1. Tiro Parab´olico Horizontal y Oblicuo. . . . 168 2.2.2. Movimiento Circular. . . . . . . . . . . . . 182 UNIDAD III LEYES DE NEWTON, TRABAJO, POTENCIA Y ENERG´IA 200 3.1. Leyes de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 3.1.1. Concepto de Fuerza • Tipos • Peso de los Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 3.1.2. Fuerzas de Fricci´on Est´atica y Din´amica. . 212 3.1.3. Primera Ley de Newton (• Ley de Inercia). 215 3.1.4. Segunda ley de Newton (• Ley de Fuerza). 218 3.1.5. 3a Autoevaluaci´on . . . . . . . . . . . . . 231
´INDICE GENERAL
3.1.6. Tercera Ley de Newton (• Ley de Acci´on y Reacci´on). . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7. Ley de la Gravitaci´on Universal. . . . . . 3.2. Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´anica. . . . . . 3.2.1. Trabajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Energ´ıa Mec´anica (Potencial y Cin´etica). 3.2.4. Principio de Conservaci´on de la Energ´ıa Mec´anica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Impulso y Cantidad de Movimiento. . . . 3.2.6. Principio de la Consevaci´on de la Cantidad de Movimiento. . . . . . . . . . . . . 3.2.7. Colisiones (Choques) . . . . . . . . . . . 3.2.8. Coeficiente de Restituci´on . . . . . . . . 3.2.9. 4a Autoevaluaci´on . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa
v
. . . . . .
238 240 248 249 250 254
. 257 . 260 . . . .
264 266 273 283 295
Ap´ endices 300 6.1. Apendice A: Respuestas a Preguntas y Ejercicios 302 6.2. Apendice B: Funciones y Gr´aficas . . . . . . . . . 302 6.3. Apendice C: Tipos de Proporcionalidad . . . . . . 307
vi
´INDICE GENERAL
´Indice de cuadros 1.5. Unidades Fundamentales en tres Sistemas de Unidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Unidades Fundamentales del SI. . . . . . . . . . 1.7. Equivalencia entre Sistemas de Unidades. . . . . 1.8. Potencias de Base 10 . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Tabla de datos del ejemplo: 2.1.3.1 . . . . . . . 2.2. para el problema 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ecuaciones del MRUV. . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Ecuaciones del MCUV ´o MCUA . . . . . . . . . 3.1. Coeficientes de Rozamiento Cin´etico para Diferentes Materiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Coeficientes de Rozamiento Est´atico y Din´amico para Diferentes Materiales. . . . . . . . . . . . . 3.3. Costo por kW − Hr en Tlaxcala abril 2,007 . .
. . . . . . . .
52 54 55 58 133 149 153 196
. 226 . 230 . 252
viii
´INDICE DE CUADROS
´Indice de figuras 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.
Sabios de la Antig¨ uedad. . . . . . . . . . . . . . . Cient´ıficos de la Mec´anica Cu´antica. . . . . . . . Cient´ıficos de loa Quarks. . . . . . . . . . . . . . Propiedades de la Materia. . . . . . . . . . . . . . Representaci´on de un Cubo de Hierro para el Ejemplo 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Mapa Conceptual de Fen´omeno . . . . . . . . . . 1.7. Tipos de Fuerza en la Naturaleza. . . . . . . . . . 1.8. Componentes de la Materia . . . . . . . . . . . . 1.9. Diagrama de flujo del M´etodo Cient´ıfico. . . . . . 1.10. Mapa Conceptual de Los Diferentes Tipos de Errores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. Vector y sus Caracter´ısticas: O: Origen, F: Sentido, θx : Direcci´on, X: Eje de Referencia. . . . . . . 1.12. Clasificaci´on de Vectores 1 . . . . . . . . . . . . . 1.13. Clasificaci´on de Vectores 2 . . . . . . . . . . . . . 1.14. Proceso que sufre un vector al actuar en un cuerpo por el principio de transmisibilidad. . . . . . . 1.15. ~v 20 uv 30◦ ր. Ejemplo: 1.3.3.1 . . . . . . . . . . 1.16. 600 km hr →, figura para el ejemplo: 1.3.3.2. . . . . . 1.17. Igualdad de Vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . 1.18. Vector Negativo de A.
18 19 20 31 35 38 40 40 42 85 94 95 96 97 98 99 100 100
x
´INDICE DE FIGURAS
1.19. Suma de Vectores, indicando el N´ umero del paso Realizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 1.20. Soluci´on del Ejemplo 1.3.4.1 V~1 = 4 pasos V~2 = 3 ~ = V~1 + V~2 = 7 pasos →. . . . . . . . . . 104 pasos, R 1.21. Soluci´on al Ejemplo 1.3.4.2 V~1 = 10pasos ր, ~ = V~1 + V~2 = 12,3 pasos 10◦ ր . 104 V~2 = 7pasos ց, R 1.22. Resta de Vectores, Indicando el N´ umero del paso Realizado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 1.23. Suma de Vectores por el M´etodo del Pol´ıgono . . 107 1.24. Resultante de la suma de los vectores de la figura: 1.23 por el M´etodo del Pol´ıgono . . . . . . . . . . 108 1.25. Representaci´on de un Vector y sus Componentes Rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 ´ ν ω fijar, 1.26. Hipotenusa del gr. υ`ιπoτ ǫηo` ν ςα ´o υ`πoτ ǫλ` sujetar fuertemente una cosa a otra . . . . . . . . 110 1.27. Figura para el Ejemplo 1.3.4.2. . . . . . . . . . . 112 2.1. Observaci´on de un Movimiento y su Vector de Posici´on (~r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2.2. Sistema de Referencia en Tres Dimensiones . . . . 125 ~ = 2.3. Vectores de Posici´on (~ri ) y Desplazamiento (D ∆~r = ~r2 −~r1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 2.4. Figura para el problema: 2.1.2 . . . . . . . . . . . 128 2.5. Posici´on (~r), Distancia (x) y Desplazamiento (d~ = ∆~r = ∆x) en un Movimiento Rectilineo . . . . . . 129 2.6. Gr´afica del Movimiento Rectil´ıneo Uniforme (MRU).132 2.7. Gr´afica d vs t para el ejemplo: 2.1.3.1. . . . . . . 133 2.8. Gr´afica d vs t para el MRU . . . . . . . . . . . . 136 2.9. Gr´afica r vs t de la figura 2.8. . . . . . . . . . . . 137 2.10. Representaci´on gr´afica para el problema 2.1.3.1 . 138 2.11. Representaci´on gr´afica para el problema 2.1.3.2. . 139
´INDICE DE FIGURAS
xi
2.12. Representaci´on gr´afica del problema 2.1.3.3. . . . 140 2.13. Pr´actica: Movimiento rectil´ıneo Uniforme. . . . . 142 2.14. Ejemplo 2.1.5.1 del MRUV . . . . . . . . . . . . . 154 2.15. Ejemplo 2.1.5.2 MRUV . . . . . . . . . . . . . . . 155 2.16. Ejemplo 2.1.5.3 MRUV . . . . . . . . . . . . . . . 157 2.17. Formas de Lanzar un Proyectil . . . . . . . . . . . 160 2.18. Tiro Vertical de un Proyectil, (la l´ınea punteada del color del proyectil indica la trayectoria de bajada.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 2.19. Ejemplo 2.1.6 Tiro Vertical . . . . . . . . . . . . . 162 2.20. Tiro Horizontal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 2.21. Figura para el problema 2.2.1. . . . . . . . . . . . 173 2.22. Gr´afica del Movimiento Parab´olico, mostrando las velocidades en varios puntos. . . . . . . . . . . . . 174 ´ 2.23. Envolvente de las Trayectorias Cuyo Angulo de o Disparo est´a Entre 0 y 180 (Par´abola de Seguridad)177 2.24. Ejemplo 2.2.1 Tiro Parab´olico. . . . . . . . . . . . 178 2.25. Gr´afica del Movimiento Circular . . . . . . . . . . 183 2.26. Velocidad Lineal(~v ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 2.27. Diagrama para el ejercicio 2.2.2 . . . . . . . . . . 188 2.28. Aceleraci´on Centr´ıpeta . . . . . . . . . . . . . . . 192 2.29. Diagrama para el ejercicio 2.2.2 . . . . . . . . . . 194 2.30. Diagrama para el ejercicio 1 . . . . . . . . . . . . 197 2.31. Diagrama para el ejercicio 2 . . . . . . . . . . . . 198 3.1. Joseph Louis Lagrange, Jean le Rond d’Alembert y William Rowan Hamilton. . . . . . . . . . . . . 205 3.2. Vector Fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 3.3. Fuerza Puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 3.4. Fuerzas Distribuidas . . . . . . . . . . . . . . . . 208 3.5. Fuerzas Por su Forma de trabajo . . . . . . . . . 209
3.6. Origen del Rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . 214 3.7. Otra Forma en que Actua el Rozamiento sobre un Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 3.8. Fuerza Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 3.9. Fuerza Normal y Rozamiento en un Plano inclinado216 3.10. Diagrama Representando la Fuerza Normal (ej. 3.1.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 3.11. Diagrama Representando Plano Inclinado (ej. 3.1.4)224 3.12. Acci´on y Reacci´on de la Tercera Ley de Newton . 239 3.13. Figura que muestra las tres leyes de Kepler . . . . 244 3.14. Choque de Dos Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . 265 3.15. a.- Una bola en movimiento golpea una bola en reposo. b.- Colisi´on frontal entre dos bolas en movimiento. c.- Colisi´on de dos bolas que se desplazan en la misma direcci´on. . . . . . . . . . . . . . 270 3.16. Sistema: Cohete y Combustible expulsado para un intervalo determinado de tiempo. . . . . . . . 275 3.17. Forma de las alas, Cualquiera Funcionan Bien . . 277 3.18. figuras para la Construcci´on del Cohete. . . . . . 278 6.1. Funci´on Lineal y = k . . . . . . . . . . . . . . . . 303 6.2. Funci´on Lineal y = kx . . . . . . . . . . . . . . . 304 6.3. Funci´on Lineal y = kx + b . . . . . . . . . . . . . 304 6.4. Funci´on Cuadr´atica y = x2 . . . . . . . . . . . . . 305 6.5. Funci´on Inversa y = x1 . . . . . . . . . . . . . . . 306 6.6. Funci´on Inversa Cuadr´atica y = x12 . . . . . . . . 306
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´INDICE DE FIGURAS
Pr´ ologo Este trabajo que se presenta, es el fruto de mas de 20 a˜ nos de experiencia en la ense˜ nanza de la F´ısica a nivel medio superior, es adecuado al programa de la SEP para el nivel mencionado, ´ AL CONOCIMIENTO DE LA inicia con la INTRODUCCION F´ISICA, las GENERALIDADES, como la historia de la F´ısica, la cual es tan interesante como lo es la lectura de una novela de misterio, en seguida; La F´ısica y su Impacto en la Ciencia y la Tecnolog´ıa, donde se presentan las diferencias entre estos conceptos, luego Los M´etodos de Investigaci´on y su Relevancia en el Desarrollo de la Ciencia, las Magnitudes F´ısicas y su Medici´on, las Magnitudes Fundamentales y Derivadas, los Sistemas De Unidades CGS e Ingl´es, El Sistema Internacional de Unidades con sus Ventajas y Limitaciones asi tambi´en los M´etodos Directos e Indirectos de Medici´on, la Notaci´on Cient´ıfica y Prefinanza, siguiendo jos presentando algunas formas curiosas de ense˜ la Transformaci´on de Unidades de un Sistema a Otro, situaci´on necesaria para entender como se debe medir y aplicar a la vida diaria. Al hacer una dosificaci´on del programa, se presenta en este punto una autoevaluaci´on par continuar con La precisi´on de Los Instrumentos en la Medici´on de Diferentes Magnitudes y los tipos de errores, luego contin´ ua con las cantidades tan importantes para la F´ısica como lo constituyen los Vectores y las
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Pr´ ologo
Diferencias Entre las Magnitudes Escalares y Vectoriales, las Caracter´ısticas de los Vectores y su Representaci´on Gr´afica de los Sistemas de Vectores tales como; Coplanares, no Coplanares, Deslizantes, Libres Colineales y Concurrentes y su Descomposici´on y Composici´on de Vectores por M´etodos Gr´aficos y Anal´ıticos. En la UNIDAD II se presenta el MOVIMIENTO, primero en una Dimensi´on situaci´on la cual es la mas sencilla, presentando los Conceptos de Distancia , Desplazamiento Rapidez, Velocidad, y Aceleraci´on. Los Sistemas de Referencia Absoluto y Relativo, y luego, el Movimiento Rectil´ıneo Uniforme, presentando en este punto la segunda autoevaluaci´on. Se sigue aqu´ı con el Movimiento Rectil´ıneo Uniformemente Variado. la Caida Libre y el Tiro Vertical as´ı como ejemplos del MUA o MRUV Movimiento Rectilineo Uniforme Acelerado. Se contin´ ua con el MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES, como son: el Tiro Parab´olico Horizontal y Oblicuo, en seguida El Movimiento Circular Uniforme y el Movimiento circular uniformemente Acelerado. La Tercera Unidad, presenta los tema sobre las LEYES DE NEWTON, el TRABAJO, la POTENCIA y para terminar la ENERG´IA. Iniciando con las Leyes de Newton, primero con los conceptos de FUERZA, sus Tipos y una cantidad importante de entender y diferenciar con la masa; el Peso de los Cuerpos, luego ´ tanto Est´atica se contin´ ua con las FUERZAS DE FRICCION, como din´amica, se contin´ ua con el enunciado y descripci´on de la Primera Ley de Newton o ley de Inercia, importante para entender porque un cuerpo podr´ıa moverse con Movimiento Rectilineo Uniforme, situaci´on hipot´etica pero necesaria para entender Porque se mueven los cuerpos.
Pr´ ologo
5
El siguiente temas es la Segunda Ley de Newton la cual explica el porque del movimiento. En este punto se presenta la tercera autoevaluaci´on por las razones que se mencionaron anteriormente. Se sigue con la Tercera Ley de Newton o Ley de acci´on y Reacci´on concepto que explica porque reacionan las cosas de la manera que sabemos. Sigue con la Ley de Gravitaci´on Universal la cual explica el movimiento planetario. El Trabajo, la Potencia, y la Energ´ıa Mec´anica tanto la Potencial como la Cin´etica, son los conceptos que se tratan a continuaci´on y luego uno de los principios fundmentales de las leyes de conservaci´on; la “Ley de la Conservaci´on de la Energ´ıa”. Para finalizar, se presenta otro principio fundamental de las leyes de conservaci´on, la “ley de la Conservaci´on del ´Impetu y la Cantidad de Movimiento”. Se termina con la cuarta autovaluaci´on dando fin asi con el curso de “F´ısica I”, sin dejar de mencionar que est´a en preparaci´on el libro de “F´ısica II”, libro que se presentar´a en fechas no muy lejanas. Para las evaluaciones, se hatratdo de encuadrarlas dentro de las seis categor´ıas de las competencias gen´ericas del perfil del egresado de la educaci´on medio superior. Antes de dar fin a estas palabras, quiero asumir toda la responsabilidad por los errores tanto conceptuales como ortogr´aficos y de cualquier tipo que puedan ser encontrados en estas l´ıneas y las que siguen, agradeciendo de antemano cualquier comunicaci´on al respecto. Neptal´ın Z´arate V´ asquez
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Pr´ ologo
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica “. . . ofrezco este trabajo como los principios matem´aticos de la filosof´ıa, pues la tarea mayor de la filosof´ıa parece consistir en esto: de los fen´omenos del movimiento investigar las fuerzas de la naturaleza, y entonces, de esas fuerzas, demostrar los otros fen´omenos;. . . ” ISAAC NEWTON Principos Matem´aticos de la Filosof´ıa Natural.
Isaac Newton (1642 − 1727)
Principia Mathematica.
8
1.1.
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Generalidades
Historia de la F´ısica. A˜no
Evento
624– 547 a. e. c.
Thales de Mileto postula que el agua es la susta cia b´asica de la Tierra. Tambi´en estaba enterado de la fuerza de atracci´on entre imanes y del efecto en el ´ambar, al frotarlo. 580– Pit´agoras sostuvo que la Tierra era esf´erica. 500 a. e. c. Busc´o una comprensi´on matem´atica del universo. 500 Anax´agoras desafi´o la afirmaci´on de los griegos, –428 a. e. c. sobre la creaci´on y destrucci´on de la materia, ense˜ nando que los cambios en la materia se deben a diferentes ordenamientos de part´ıculas indivisibles (sus ense˜ nanzas fueron un antecedente para la ley de conservaci´on de la masa). 484– Emp´edocles redujo estas partes indivisibles a cuatro 424 a. e. c. elementos: tierra, aire, fuego, y agua. 460– Dem´ocrito desarroll´o la teor´ıa que el universo est´a 370 a. e. c. formado por espacio vac´ıo y un n´ umero (casi) infinito de part´ıculas invisibles, que se diferencian unas de otras en su forma, posici´on, y disposici´on. Toda la materia est´a hecha de part´ıculas indivisibles contin´ ua en la sig. pag.
1.1 Generalidades
9
Historia de la F´ısica. (continued ) A˜no
Evento
llamadas ´atomos. 384 Arist´oteles formaliz´o la recopilaci´on –322 a. e. c. del conocimiento cient´ıfico. Si bien es dif´ıcil se˜ nalar como suya una teor´ıa en particular, el resultado global de esta compilaci´on de conocimientos fue proveer las bases fundamentales de la ciencia por unos mil a˜ nos. 310– Aristarchus Describe una cosmolog´ıa id´entica 230 a. e. c. a la propuesta por Cop´ernico 2, 000 a˜ nos m´as tarde. Sin embargo, dado el gran prestigio de Arist´oteles, el modelo helioc´entrico de Aristarchus fue rechazado en favor del modelo geoc´entrico. 287– Arqu´ımedes fue un gran pionero en f´ısica te´orica. 212 a. e. c. Proporcion´o los fundamentos de la hidrost´atica. 70– Ptolomeo de Alejandr´ıa recogi´o los conocimientos 147 e. c. ´opticos de su ´epoca. Tambi´en invent´o una compleja teor´ıa del movimiento planetario. ∼ 1000 e. c. Alhazen, ´arabe, produjo 7 libros sobre ´optica. 1214– Roger Bacon ense˜ n´o que para aprender los secretos de la 1294 e. c. naturaleza, primero debemos observar. Por lo tanto indic´o el m´etodo con el cual la gente puede desarrollar teor´ıas deductivas, usando las evidencias del mundo natural. contin´ ua en la sig. pag.
10
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Historia de la F´ısica. (continued ) A˜no
Evento
1473– 1543 e. c.
1564– 1642
Nicol´as Cop´ernico impuls´o la teor´ıa de que la Tierra gira alrededor del sol. Este modelo helioc´entrico fue revolucionario porque desafi´o el dogma vigente, a causa de la autoridad cient´ıfica de Arist´oteles, y caus´o una completa conmoci´on cient´ıfica y filos´ofica. es considerado por muchos como el padre de la f´ısica moderna, por su preocupaci´on por reemplazar los viejos postulados, en favor de teor´ıas nuevas, deducidas cient´ıficamente. Es famoso por sus teor´ıas sobre la mec´anica celeste, y sus trabajos en el ´area de la mec´anica, que le abrieron camino a Newton. contin´ ua en la sig. pag.
Historia de la F´ısica. A˜no 1571– 1630
1642–
Evento Tycho Brahe y Johannes Kepler. Los datos de los movimientos de objetos celestes muy exactos de Brahe, le permitieron a Kepler desarrollar su teor´ıa del movimiento planetario el´ıptico, y proporcionaron una evidencia para el sistema Copernicano. Adem´as, Kepler escribi´o una descripci´on cualitativa de la gravitaci´on. Sir Isaac Newton desarroll´o las leyes de la mec´anica contin´ ua en la sig. pag.
1.1 Generalidades
11
Historia de la F´ısica. (continued ) A˜no 1727 1773– 1829 1791– 1867
1799– 1878
1873
1874 1895 1898
Evento (la ahora llamada mec´anica cl´asica), que explican el movimiento de los objetos en forma matem´atica. Thomas Young desarroll´o la teor´ıa ondulatoria de la luz y describi´o la interferencia de la luz. Michael Faraday cre´o el motor el´ectrico, y fue capaz de explicar la inducci´on electromagn´etica, que proporciona la primera evidencia de que la electricidad y el magnetismo est´an relacionados. Tambi´en descubri´o la electr´olisis y describi´o la ley de conservaci´on de la energ´ıa. Las investigaciones de Joesph Henry sobre inducci´on electromagn´etica, fueron realizadas al mismo tiempo que las de Fa´ construy´o el primer motor; su trabajo con el electroraday. El magnetismo condujo directamente al desarrollo del tel´egrafo. James Clerk Maxwell realiz´o investigaciones importantes en tres ´areas: visi´on en color, teor´ıa molecular, y teor´ıa electromagn´etica. Las ideas subyacentes en las teor´ıas de Maxwell sobre el el electromagnetismo, describen la propagaci´on de las ondas de luz en el vac´ıo. George Stoney desarroll´o una teor´ıa del electr´on y estim´o su masa. Wilhelm R¨ontgen descubri´o los rayos x. Marie y Pierre Curie separaron los elementos radioactivos. contin´ ua en la sig. pag.
12
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Historia de la F´ısica. (continued ) A˜no 1898
1900 1905
1909
1911
1912 1913
Evento Joseph Thompson midi´o el electr´on, y desarroll´o su modelo “de la torta con pasas” del ´atomo - dice que el ´atomo es una esfera con carga positiva uniformemente distribuida, con peque˜ nos electrones negativos como pasas adentro. Max Planck sugiri´o que la radiaci´on est´a cuantificada (aparece en cantidades discretas). Albert Einstein, uno de los pocos cient´ıficos que tom´o en serio las ideas de Planck; propuso un cuanto de luz (el fot´on) que se comporta como una part´ıcula. Sus otras teor´ıas explicaronla equivalencia entre la masa y la energ´ıa, la dualidad part´ıcula-onda de los fotones, el principio de equivalencia, y especialmente la relatividad del espacio tiempo. Hans Geiger y Ernest Marsden, bajo la supervisi´on de Ernest Rutherford, dispersaron part´ıculas alfa mediante una hoja de oroy observaron grandes ´angulos de dispersi´on; sugirieron que los ´atomos tienen un n´ ucleo peque˜ no y denso, cargado positivamente. Ernest Rutherford infiri´o la existencia del n´ ucleo como resultado de la dispersi´on de las part´ıculas alfa en el experimento realizado por Hans Geiger y Ernest Marsden. Albert Einstein explic´o la curvatura del espacio-tiempo. Niels Bohr tuvo ´exito al construir una teor´ıa de la estructura contin´ ua en la sig. pag.
1.1 Generalidades
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Historia de la F´ısica. (continued ) A˜no
Evento
at´omica, bas´andose en ideas cu´anticas. 1919 Ernest Rutherford encontr´o la primer evidencia de un prot´on. 1921 James Chadwick y E.S. Bieler concluyeron que alguna fuerzas fuertes tienen que mantener unido el n´ ucleo. 1923 Arthur Compton descubri´o la naturaleza cu´antica (part´ıcula) de los rayos x, confirmando de este modo al fot´on como part´ıcula. 1924 Louis de Broglie propuso que la materia tiene propiedades ondulatorias. 1925 Wolfgang Pauli formul´o el principio de exclusi´on para (enero) los electrones de un ´atomo. 1925 Walther Bothe y Hans Geiger demostraron que la energ´ıa (Abril) y la masa se conservan en los procesos at´omicos. 1926 Erwin Schr¨odinger desarroll´o la mec´anica ondulatoria, que describe el comportamiento de sistemas cu´anticos constituidos por bosones. Max Born le di´o una interpretaci´on probabil´ıstica a la mec´anica cu´antica. G.N. Lewis propuso el nombre de “fot´on” para el cuanto de luz. 1927 Se observ´o que ciertos materiales emiten electrones (decaimiento beta). Dado que ambos, el ´atomo y el n´ ucleo, tienen niveles discretos de energ´ıa, es dif´ıcil entender por qu´e los electrones producidos en esta transici´on, pueden tener un contin´ ua en la sig. pag.
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Historia de la F´ısica. (continued ) A˜no 1927
1928
Evento espectro continuo (vea 1930 para tener una respuesta). Werner Heisenberg formul´o el principio de incertidumbre: cuanto m´as sabe ud. sobre la energ´ıa de una part´ıcula, menos sabr´a sobre el tiempo en el que tiene esa energ´ıa (y vice versa.) La misma incertidumbre se aplica al ´ımpetu y la coordenada. Paul Dirac combin´o la mec´anica cu´antica y la relatividad especial para describir al electr´on. contin´ ua en la sig. pag.
Historia de la F´ısica. A˜no 1930
1930 1931
Evento La mec´anica cu´antica y la relatividad especial est´an bien establecidas. Hay tres part´ıculas fundamentales: protones, electrones, y fotones. Max Born, despu´es de tomar conocimiento de la ecuaci´on de Dirac, dijo, “La f´ısica, como la conocemos, ser´a obsoleta en seis meses.” Wolfgang Pauli sugiri´o el neutrino para explicar el espectro continuo de los electrones en el decaimiento beta. Paul Dirac comprendi´o que las part´ıculas cargadas positivamente requeridas por su ecuaci´on eran nuevos objetos (el los llam´o “positrones”). Son exactamente como electrones, pero cargados positivamente. Este es el primer ejemplo de antipart´ıculas. contin´ ua en la sig. pag.
1.1 Generalidades
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Historia de la F´ısica. (continued ) A˜no
Evento
1931
James Chadwick descubri´o el neutr´on. Los mecanismos de las uniones nucleares y los decaimientos se convirtieron en problemas principales. 1933– Enrico Fermi desarroll´o una teor´ıa del decaimiento beta, que ´ 1934 introdujo las interacciones d´ebiles. Esta es la primera teor´ıa que usa expl´ıcitamente los neutrinos y los cambios de sabor de las part´ıculas. Hideki Yukawa combin´o la relatividad y la teor´ıa cu´antica, para describir las interacciones nucleares sobre la base del intercambio, entre protones y neutrones, de nuevas part´ıculas (mesones llamados “piones”). A partir del tama˜ no del n´ ucleo, Yukawa concluy´o que la masa de las supuestas part´ıculas (meso´ nes) es superior a la masa de 200 electrones. Este es el comienzo de la teor´ıa mes´onica de las fuerzas nucleares. 1937 Una part´ıcula con una masa de 200 electrones es descubierta en los rayos c´osmicos. Mientras que al principio, los f´ısicos pensaron que era el pi´on de Yukawa, se descubri´o m´as tarde que era un mu´on. 1938 E.C.G. Stuckelberg observ´o que los protones y los neutrones no decaen hacia ninguna combinaci´on de electrones, neutrinos, muones, o sus antipart´ıculas. La estabilidad del prot´on no puede ser explicada en t´erminos contin´ ua en la sig. pag.
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Historia de la F´ısica. (continued ) A˜no
Evento
de conservaci´on de energ´ıa o de carga; propuso la conservaci´on independiente del n´ umero de part´ıculas pesadas. 1941 C. M¨oller y Abraham Pais introdujeron el termino “nucle´on” como un t´ermino gen´erico para los protones y los neutrones. 1946– Los f´ısicos comprendieron que la part´ıcula del rayo c´osmico, 1947 que se pensaba que era el mes´on de Yukawa, es en cambio un “mu´on”, la primer part´ıcula en ser encontrada, de las de la segunda generaci´on de part´ıculas materiales. Este descubrimiento fue completamente inesperado –I. I. Rabi coment´o “¿qui´en orden´o ´esto?”– El t´ermino“lept´on” se introdujo para describir objetos que no interactuan demasiado fuerte (los electrones y los muones son leptones). 1947 En los rayos c´osmicos es encontrado un mes´on, que interact´ ua fuertemente, y se determina que es un pi´on. 1947 Los f´ısicos desarrollan procedimientos para calcular las propiedades electromagn´eticas de los electrones, positrones, y fotones. Se introducen los diagramas de Feynman. 1948 El sincro-ciclotr´on de Berkeley produce los primeros piones artificiales. 1949 Enrico Fermi y C.N. Yang sugieren que un pi´on es una estructura compuesta por un nucle´on y un antinucle´on. Esta idea de part´ıculas compuestas es completamente revolucionaria. contin´ ua en la sig. pag.
1.1 Generalidades
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Historia de la F´ısica. (continued ) A˜no
Evento
Descubrimiento de K+ v´ıa sus decaimientos. 1950 Es descubierto el pi´on neutro. 1951 Se descubren dos nuevos tipos de part´ıculas en los rayos c´osmicos. Son descubiertas mientras se observan unas trazas en forma de V; se las descubre al reconstruir los objetos el´ectricamente neutros, que ten´ıan que haber deca´ıdo, para producir los dos objetos cargados, que dejaron las trazas. Las part´ıculas fueron llamadas la λ0 y la κ0 . 1952 Descubrimiento de la part´ıcula delta: eran cuatro part´ıculas similares (δ++ , δ+ , δ0 , y δ− .) 1952 Donald Glaser invent´o la c´amara de burbujas. Comienza a operar el Cosmotr´on de Brookhaven, un acelerador de 1,3 GeV. 1953 El comienzo de la “explosi´on del n´ umero de part´ıculas” -una verdadera proliferaci´on de part´ıculas. 1953– La dispersi´on de electrones por un n´ ucleo, revela una dis1957 tribuci´on de la densidad de carga dentro de los protones, y neutrones. La descripci´on de esta estructura electromagn´etica de los protones y neutrones, sugiere cierta estructura interna en estos objetos; a pesar de eso se los sigue considerando como part´ıculas fundamentales. contin´ ua en la sig. pag.
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Arist´oteles
Arquimedes
Ticho Brahe
Jhoannes Kepler
Nicol´as Copernico
Galileo Galilei
Figura 1.1: Sabios de la Antig¨ uedad.
1.1 Generalidades
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Max Planck
Niels Bohr & Alberto Einstein
Louis de Broglie
Erwin Schr¨odinger
Werner Heisenberg en 1927
Richard Feynman
Figura 1.2: Cient´ıficos de la Mec´anica Cu´antica.
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
P. A. M. Dirac
Enrico Fermi
Abdus Salam
Sheldon Glashow
Steven Weinberg
Richard Feynman 1947.
Figura 1.3: Cient´ıficos de loa Quarks.
1.1 Generalidades
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Historia de la F´ısica. A˜no 1954
1957 1957– 1959
1961
1962
1964
Evento C.N. Yang y Robert Mills desarrollan un nuevo tipo de teor´ıa, llamada “teor´ıas de calibre (o de Gauge).” Aunque no fueron aceptadas en ese momento, este tipo de teor´ıas constituyen actualmente la base del Modelo Standard. Julian Schwinger escribe un trabajo proponiendo la unificaci´on de las interacciones d´ebiles y electromagn´eticas. Julian Schwinger, Sidney Bludman, y Sheldon Glashow, en trabajos separados, sugieren que todas las interacciones d´ebiles son mediadas por bosones pesados cargados, m´as tarde llamados W+ y W− . Realmente, Yukawa fue el primero en sugerirlo (veinte a˜ nos antes). El hab´ıa propuesto al pi´on como el mediador de las fuerzas d´ebiles, propiciando el intercambio de bosones. A medida que el n´ umero de part´ıculas conocidas se incrementaba, el grupo SU(3), un esquema de clasificaci´on matem´atico para organizar las part´ıculas, ayud´o a los f´ısicos a reconocer patrones en los tipos de part´ıculas. Los experimentos verificaron que existen dos tipos distintos de ´ neutrinos (neutrinos electr´on y neutrinos mu´on). Esto ya hab´ıa sido inferido, por consideraciones te´oricas. Murray Gell-Mann y George Zweig introdujeron la idea tentativa de los quarks. Sugirieron que los mesones y los bariones est´an compuestos por quarks o antiquarks de tres tipos, llamados up, contin´ ua en la sig. pag.
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Historia de la F´ısica. (continued ) A˜no
1964
1965
1966 1967
Evento down y strange (u, d, s), con spin 12 y cargas el´ectricas 32 , − 13 , − 31 , respectivamente (resulta que esta teor´ıa no es compl´etamente exacta). Ya que estas cargas nunca han sido observadas, la introducci´on de los quarks fue tratada como una explicaci´on matem´atica de los patrones de sabor, seguidos por las masas de las part´ıculas, m´as que como un postulado de existencia de objetos f´ısicos reales. M´as tarde, los desarrollos te´oricos y experimentales, nos permitieron considerar a los quarks como objetos f´ısicos reales, aunque no puedan ser aislados. Ya que los leptones ten´ıan cierto patr´on, varios trabajos sugirieron la existencia de un cuarto quark, con otro sabor, para que el patr´on de los quarks sea similar al de los leptones; actualmente los sabores se llaman generaciones de materia. Muy pocos f´ısicos tomaron seriamente esta sugerencia en ese momento. Sheldon Glashow y James Bjorken acu˜ naron el t´ermino “charm” (encanto) para el cuarto (c) quark. O.W. Greenberg, M.Y. Han, y Yoichiro Nambu introdujeron la propiedad de carga de color del quark. Todos los hadrones observados son de color neutro. El modelo del quark es aceptado en forma relativamente lenta, debido a que los quarks no han sido observados. Steven Weinberg y Abdus Salam separadamente propusieron
contin´ ua en la sig. pag.
1.1 Generalidades
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Historia de la F´ısica. (continued ) A˜no
Evento
una teor´ıa que unifica las interacciones electromagn´eticas y d´ebiles formando la interacci´on electrod´ebil. Sus teor´ıas requieren la existencia de un bos´on neutro, que interact´ ua en forma d´ebil (ahora llamado el Z0 ) y que sea el mediador de la interacci´on d´ebil; ese bos´on no hab´ıa sido observado a´ un en aquel tiempo. Ellos tambi´en predijeron la existencia de un bos´on, masivo, adicional, llamado el bos´on de Higgs que ha sido observado hasta el a˜ no 1995. . 1968– En el Acelerador Lineal de Stanford, en un experimento 1969 en el cual se hace que los electrones sean dispersados por protones, los electrones parecen “rebotar”contra un peque˜ no centro duro dentro del prot´on. James Bjorken y Richard Feynman analizaron estos datos en t´erminos de un modelo de part´ıculas constituyentes dentro del prot´on (ellos no usaron el nombre “quark” para los constituyentes aunque este experimento proporcion´o evidencia para los quarks.) 1970 Sheldon Glashow, John Iliopoulos, y Luciano Maiani reconocieron la importancia cr´ıtica de un cuarto tipo de quark en el contexto del Modelo Standard. Un cuarto quark permite una teor´ıa que tiene interacciones d´ebiles mediadas por un Z0 , con cambio de sabor. 1973 Donald Perkins, estimulado por una predicci´on del Modelo contin´ ua en la sig. pag.
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Historia de la F´ısica. (continued ) A˜no
1973
1973
1974
1974
Evento Standard, volvi´o a analizar algunos datos viejos del CERN y encontr´o indicadores de interacciones debiles sin intercambio de carga de color (debida al intercambio de un Z0 .) Fue formulada una teor´ıa cu´antica de campos, para las interacciones fuertes. Esta teor´ıa de quarks y gluones (que ahora es parte del Modelo Standard) es similar, en su estructura, a la electrodin´amica cu´antica (QED), pero dado que las teor´ıa se llama interacciones fuertes act´ uan sobre las cargas de color, esta cromodin´amica cu´antica (QCD). Los quarks est´an destinados a ser part´ıculas reales, con una carga de color. Los gluones son los cuantos, sin masa, del campo de las interacciones fuertes. Esta teor´ıa de interacciones fuertes fue primero sugerida por Harald Fritzsch y Murray Gell-Mann. David Politzer, David Gross, y Frank Wilczek descubrieron que la teor´ıa de color de las interacciones fuertes tiene una propiedad especial, hoy llamada “libertad asint´otica.” Esta propiedad es necesaria para describir los datos de 1968 − 1969 en relaci´on con el prot´on. En una conferencia, John Iliopoulos present´o, por primera vez en un u ´nico reporte, la visi´on de la f´ısica ahora llamada el Modelo Standard. Burton Richter y Samuel Ting, liderando experimentos
contin´ ua en la sig. pag.
1.1 Generalidades
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Historia de la F´ısica. (continued ) A˜no (Nov.)
1976
1976
1977
1978
Evento independientes, anunciaron el mismo d´ıa su descubrimiento de la misma nueva part´ıcula. Ting y sus colaboradores en Brookhaven llamaron a esta part´ıcula la part´ıcula “J”, mientras que Richter y sus colaboradores en SLAC llamaron a esta part´ıcula la part´ıcula ψ. Ya que los descubrimientos tuvieron igual importancia, la part´ıcula es conocida com´ unmente como la part´ıcula J/ψ. La part´ıcula J/ψ es un mes´on charm-anticharm. Gerson Goldhaber y Francois Pierre encontraron el mes´on D0 (y los quarks antiup y charm). Las predicciones te´oricas concordaron dram´aticamente con los resultados experimentales, ofreciendo un fuerte soporte al Modelo Standard. El lept´on τ fue descubierto por Martin Perl y sus colaboradores en SLAC. Ya que este lept´on es la primer part´ıcula registrada de la tercera generaci´on, fue completamente inesperado. Leon Lederman y sus colaboradores en el Fermilab descubrieron sin embargo otro quark (y su antiquark). Este quark fue llamado el quark “bottom”. Ya que los f´ısicos se imaginaban que los quarks ven´ıan en pares, este descubrimiento incentiv´o la b´ usqueda del sexto quark -“top.” Charles Prescott y Richard Taylor observaron una interacci´on d´ebil mediada por un Z0 , en la dispersi´on por deuterio, de contin´ ua en la sig. pag.
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Historia de la F´ısica. (continued ) A˜no
1979
1983
1989
1995
1996
Evento electrones polarizados, en la que aparece una violaci´on de la conservaci´on frente a paridad, como lo predijo el Modelo Standard y confirmando as´ı la predicci´on te´orica. Se encuentra en PETRA una fuerte evidencia de un glu´on radiado por un quark o antiquark iniciales. PETRA es una facilidad de colisi´on de haces del laboratorio DESY en Hamburgo. Los bosones intermediarios, Wn ˜ y el Z0 , requeridos por la teor´ıa electrod´ebil, son observados en dos experimentos que usan el sincrotr´on del CERN y que emplean las t´ecnicas desarrolladas por Carlo Rubbia y Simon Van der Meer para colisionar protones y antiprotones. Los experimentos llevados a cabo en SLAC y en CERN sugirieron fuertemente que hay tres y s´olo tres generaciones de part´ıculas ´ fundamentales. Esto se infiere de la observaci´on que el tiempo de vida del bos´on Z0− , s´olo es consistente con la existencia de exactamente tres neutrinos muy livianos (o sin masa). Despu´es de dieciocho a˜ nos de b´ usqueda en muchos aceleradores, los experimentos CDF y D0 en el Fermilab descubrieron el quark top o bos´on de Higgs con una masa inesperada de 175 GeV. Nadie entiende por qu´e la masa es tan diferente de la de los otros cinco quarks. Se observa el 5o estado de la materia.
contin´ ua en la sig. pag.
1.1 Generalidades
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DEFINICIONES CIENCIA.
Conjunto de conocimientos ordenados, sistematizados y jerarquizados. La parte mas importante de la ciencia, consiste en aplicar los m´etodos que se utilizan para producir conocimientos, es una forma de pensar y un c´ umulo de conocimientos. F´ISICA.
F´ısica (del griego ϕ` υ ςικ´ ε physike: naturaleza). Ciencia que se encarga del estudio de la materia, la energ´ıa y las interrelaciones que suceden entre ellas.
El significado de estudiar es; investigar, analizar y concluir.
La propiedades se refieren a las caracter´ısticas que definen la energ´ıa y la materia. Para un mejor entendimiento de la F´ısica, se propone seguir el procedimiento siguiente:
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
´ Paso 1. Explicar Como suceden los fen´omenos. Ambito Conceptual. Paso 2. Ejemplificar la medici´on cuantitativa (ma´ proceditem´atica) del cuanto sucede. Ambito mental. ´ Paso 3. La explicaci´on del Porque sucede. Ambito Conceptual y procedimental.
El objeto del estudio de la F´ısica es el de poder comprender y explicar los fen´omenos que acontecen a nuestro alrededor y que todos los dias podemos observar. Lo anterior mediante un proceso adecuado de evaluaci´on, podr´a ser tomado como la evidencia de la Competencia.[1] Divisi´ on de la F´ısica para su Estudio.
Esta divisi´on consta de dos partes: F´ısica Cl´ asica
La que a su vez se divide en: 1. Mec´anica. 2. termolog´ıa.
1.1 Generalidades
3. Ondas.
´ 4. Optica.
5. Magnetismo
6. Electricidad
F´ısica Moderna
Que consta del Estudio del:
1. N´ ucleo
´ 2. Atomo
3. Mol´eculas
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Actividad. 3.1.7.1 1. Realice una investigaci´on sobre: Divisi´ on de la F´ısica para su Estudio. 2. Conf´ormense en equipos de hasta 5 elementos, nombrando un representante. 3. Con base en la investigaci´on realizada escriba por lo menos dos de las definiciones de cada una de las partes de la F´ısica. 4. para la evaluaci´on se tomar´a en cuenta: Entrega en tiempo y forma (una semana m´ aximo). Claridad en las definiciones presentadas. Coherencia de lo escrito. Validez y pertinencia de las ideas expuestas (que tenga relaci´ on con la situaci´on actual). e) Presentaci´ on. f ) Profundidad del escrito.
a) b) c) d)
5. Escriba en los espacios correspondientes de este libro, las definiciones mas adecuadas para las diferentes partes de la f´ısica.
Materia Estado y Propiedades.
Materia: Todo lo existente en la naturaleza y ocupa un lugar en el espacio.
Estado: Forma, manera en que se encuentra la materia.
1.1 Generalidades
Figura 1.4: Propiedades de la Materia.
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
S´olido L´ıquido Gas Plasma Condensado de Bose Einsten
Actividad. 1.1.2 1. Realice una investigaci´on sobre: Los Estados de la Materia. 2. Conf´ormense en equipos de hasta 5 elementos, nombrando un representante. 3. Con base en la investigaci´on realizada escriba un ensayo sobre los estados de la materia. 4. Para la evaluaci´on de la actividad se tomar´a en cuenta: a) b) c) d) e) f) g)
Entrega en tiempo y forma (una semana m´ aximo). Claridad. Coherencia. Validez y pertinencia de las ideas expuestas. Profundidad de los conceptos. Presentaci´ on. Profundidad del escrito.
5. Como colof´ on, escriba en los espacios correspondientes de este libro, las definiciones que resulten mas adecuadas para los diferentes Estados de la Materia.
Propiedades: Son las Caracter´ısticas de la materia
1.1 Generalidades
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Pueden seer: Generales y particulares. Algunas de las generales son: Masa: Es la cantidad de materia que contiene un cuerpo y se mide en kilogramos [kg].
Peso: Fuerza de atracci´on que ejerce la tierra sobre la materia, se mide en Newtons [N ].
Volumen: Espacio que ocupa un cuerpo, se mide en metros c´ ubicos [m3 ]. Una propiedad que algunos autores consideran particular es la: Densidad: cociente entre la masa y el volumen h i kg de un cuerpo. m3 . m kg d=̺= V m3 1 litro=1000 cm3 1 ml=1 cm3
(1.1)
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Actividad. 1.1.3 1. Realice una investigaci´on sobre: Las Propiedades de la Materia. 2. Conf´ormense en equipos de hasta 5 elementos, nombrando un representante. 3. Con base en la investigaci´on realizada dibuje un mapa mental personal sobre Los Estados de la Materia. 4. Reunirse en equipo y realizar un mapa conceptual grupal. 5. Analizar el mapa conceptual grupal de forma individual. 6. para la realizaci´on del mapa personal y grupal tomar en cuenta: a) ¿Cuales son los conceptos mas importantes?. b) ¿Est´an expuestos los conceptos mas importantes en el mapa?. c) ¿Las ligas (flechas) son suficientes? d ) ¿Existe jerarqu´ıa y uniones cruzadas suficientes?. e) ¿Se encuentra actualizada la informaci´ on?. f ) Para el nivel del curso justificar la Profundidad del mapa. 7. Reunirse nuevamente, realizar un mapa mental final.
1.1 Generalidades
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Para la evaluaci´on de la actividad 1.1.3 se tomar´a en cuenta: 1. Entrega en tiempo y forma (una semana m´ aximo). 2. Claridad en los Mapas presentados. 3. Coherencia. 4. Validez y pertinencia de las ideas expuestas. 5. Profundidad de los conceptos. 6. Presentaci´ on al grupo por el coordinador. 7. Obtenci´ on de un mapa conceptual grupal final. 8. Una conclusi´ on importante es contestar si: ¿La densidad es una propiedad general o particular?
Se midi´o un cubo de hierro de 1cm de lado siendo su masa de 7,8 gramos ¿cual es la densidad del hierro?, calculando su volumen.
Ejemplo: 1.1
a). Diagrama; se presenta en la fig 1.5
Figura 1.5: Representaci´on de un Cubo de Hierro para el Ejemplo 1.1.
b). ¿Cual es su masa (m)? m = 7.8 g pero esta se necesita en kilogramos (kg) por lo que hay que realizar la conversi´on.
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Se sabe que 1 kg = 1000 g
7,8g 1
1kg 1000g
=
7,8g/kg 1000g/
=
0,0078kg 1
c). ¿Cual es la longitud (l) del lado del cubo? l = 1cm Pero en el sistema internacional, las longitudes se miden en metros por lo que se debe realizar la conversi´on de las unidades de medida; sabiendo que 1 m= 100 cm. 1m 1cm րm 0,01m 1cm = = = 0,01m 1 100cm 100cm ր 1 d). Se calcula el volumen (V ) V = l3 V = (0,01m)3 = (0,01m)(0,01m)(0,01m) = (0,01)(0,01)(0,01)(m)(m)(m) V = 0,000001m3 e). ¿Cual la densidad? Mediante la relaci´on 1.1 m kg D=̺= V m3
m 0,0078kg = V 0,000001m3 kg ̺ = 7800 3 m kg La densidad (̺) es 7800 m3 ̺=
1.1 Generalidades
37
Fen´ omeno F´ısico y Relaciones con Otros Fen´ omenos Naturales.
Fen´ omeno: Suceso que ocurre en la naturaleza. Ejemplos. Un eclipse de sol o luna. Vaciar agua en un recipiente. La lluvia, etc.
F´ısico: sucede cuando no se alteran las propiedades del objeto que sufre el fen´omeno. Ej. Corte de papel. Qu´ımico: cuando existe una reacci´on qu´ımica y los ´atomos y mol´eculas se reacomodan. Ej. Quemar papel Biol´ ogicos: cuando existe una combinaci´on de fen´omenos fisicos y qu´ımicos. Es decir que se afectan sus propiedades y sufre una reacci´on qu´ımica. Ej. Crecimiento de un arbol.
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Micromundo.
Se refiere a los fen´omenos f´ısicos que se presentan a nivel at´omico. De manera sencilla el ´atomo est´a constituido por cuarks, los cuales cuando se unen forman electrones, protones y neutrones, los electrones tienen carga negativa, los protones carga positiva, los neutrones sin carga, la masa es similar a la del prot´on y es de aproximadamente mn = mp = 0,00000000000000000000000000166kg = 1,66×10−27 kg El electr´on tiene una masa de me = 0,000000000000000000000000000000911kg. = 9,11×10−31 kg
Figura 1.6: Mapa Conceptual de Fen´omeno
1.1 Generalidades
39
El prot´on tiene carga positiva(+) y el electr´on tiene carga negativa (−) El valor de la carga tanto del electr´on como del proton es de: −qe = qp = 0,00000000000000000016C(oulombs) = 1,6×10−19 C De aqu´ı se observa porque se habla del Micromundo, porque los valores con que se miden sus propiedades son muy peque˜ nos. La notaci´on que se muestra al final del valor dado, se conoce como notaci´on Cient´ıfica, pero aqu´ı se le llama notaci´on “compacta”, porque es mas sencilla que el valor con varios ceros. Macromundo.
fen´omenos f´ısicos que se presentan a nivel mucho mayor que las dimensiones at´omicas. El micromundo constituye al macromundo cuando forma ´atomos, mol´eculas, compuestos, cuerpos, planetas, estrellas, sistemas solares, galaxias, y el universo. p. e. La masa de la tierra es: mT = 5980000000000000000000000.kg = 5,98 × 1024 kg y aqui se observa que los valores con que se miden sus propiedades son muy grandes, por lo que constituyen al macromundo. Tanto el macromundo como el micromundo, est´an unidos por fuerzas, las cuales rigen en ciertas condiciones; estas fuerzas son: El ´ atomo est´a unido por fuerzas el´ectricas (fuerza de Coulomb).
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
El universo (Macromundo), est´a unido por la fuerza gravitacional. La fuerza nuclear, la cual es de corto alcance, mantiene unidos a los protones y neutrones en el n´ ucleo. La fuerza d´ ebil es la responsable de la radiactividad.
Figura 1.7: Tipos de Fuerza en la Naturaleza.
Figura 1.8: Componentes de la Materia
1.1 Generalidades
1.1.1.
41
La F´ısica y su Impacto en la Ciencia y la Tecnolog´ıa.
El objetivo de la ciencia es: Responder preguntas mas que nada te´oricas, para que despu´es de observar hechos, fen´omenos y su relaci´on con la naturaleza, expresar teor´ıas. Por otra parte, la tecnolog´ıa: Son generalmente m´etodos para resolver problemas pr´acticos. Herramientas t´ecnicas y procesos en los cuales se aplican los descubrimientos de la ciencia. La uni´on de la ciencia y la tecnolog´ıa, da como resultado beneficios para la sociedades es decir se proyecta, se dise˜ na y se crea.
1.1.2.
Los M´ etodos de Investigaci´ on y su Relevancia en el Desarrollo de la F´ısica.
M´ etodo Cient´ıfico.
Para poder Investigar o crear conocimiento, hay que aplicar un procedimiento o m´etodo, el cual para la ciencia se conoce como: Metodo Cient´ıfico, este es un conjunto de pasos a seguir para llegar a una conclusi´on sobre un fen´omeno.
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Figura 1.9: Diagrama de flujo del M´etodo Cient´ıfico.
1.1 Generalidades
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Procedimiento para Aplicar el Metodo Cient´ıfico.
Paso 1. Planteamiento de un problema Paso 2. Investigaci´on preeliminar del fen´omeno. (puede ser en libros, internet, encuesta, etc.) Paso 3. Observaci´on del fen´omeno. Que sucede, como sucede, etc. Paso 4. Hip´otesis. Posible explicaci´on del fen´omeno Paso 5. Experimentaci´on. Repetici´on del fen´omeno (cuantas veces sea necesario) en condiciones favorables. Paso 6. Contrastar los resultados experimentales con la hip´otesis formulada. Paso 7. Si los resultados explican el fen´omeno, se comprueba la hip´otesis. Paso 8. Si no se comprueba la hip´otesis, esta debe reformularse (nueva hip´otesis) y repetir desde el paso n´ umero 3. Paso 9. Si se cumple la hip´otesis y se explica el fen´omeno, se enuncia una ley.
Aqui es necesario clarificar los conceptos de ley y teor´ıa, ya que estos en algunos casos, se toman como sin´onimo.
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Ley: regla y norma constante e invariable que rige los fen´omenos de la naturaleza.[27]
Teor´ıa: Serie de leyes que sirven para relacionar determinado orden de fen´omenos.[27]
Por lo que hay que remarcar que una Teor´ıa es un conjunto de leyes.
Actividad. 1.1.2.1 1. Conf´ormense en equipos de hasta 5 elementos, nombrando un representante. 2. Democr´aticamente, escoja uno de los siguientes temas. a) b) c) d) e) f)
Autodeterminaci´on y cuidado de uno mismo. Expresi´on y comunicaci´ on. Aprendisaje aut´onomo. Participaci´on en la sociedad con responsabilidad. El trabajo en forma colaborativa. Pensamiento critico y reflexivo.
3. Aplicar al tema el Metodo Cient´ıfico.
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
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Para la evaluaci´on de la actividad 1.1.2.1 se tomar´a en cuenta: 1. Entrega en tiempo y forma (dos semanas m´ aximo). 2. Claridad en las definiciones presentadas. 3. Coherencia de lo escrito. 4. Profundidad del escrito. 5. Presentaci´ on ante el grupo mediante un debate. 6. Validez y pertinencia de las ideas expuestas (que tenga relaci´ on con la situaci´on actual). 7. Se aplicar´a una coevaluaci´on con los integrantes de los equipos. Ponerse de acuerdo con el profesor.
1.2.
Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
Introducci´ on
La existencia de gran n´ umero de diversas unidades, creaba dificultades en las relaciones internacionales de comercio, en el intercambio de resultados de investigaciones cient´ıficas, etc. Como consecuencia los cient´ıficos de diversos pa´ıses intentaron establecer unidades comunes, v´alidas en todos ellos. Durante la Revoluci´on Francesa se cre´o el Sistema M´etrico Decimal que, seg´ un sus autores, deber´ıa servir en todos los tiempos, para todos los pueblos, para todos los pa´ıses. Su caracter´ıstica principal es que las distintas unidades de una misma magnitud se relacionan entre s´ı como exponentes enteros de diez. Desde mediados del siglo XIX, el sistema m´etrico comenz´o a difundirse ampliamente, fue legalizado en todos los pa´ıses y constituye la base de las unidades que sirven para la medici´on de
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
diversas magnitudes en la F´ısica, en otras ciencias y en la ingenier´ıa. Algunos estudiantes recuerdan haber o´ıdo a sus padres o abuelos acerca de las unidades propias de su lugar de origen, pero no suelen conocer su definici´on. Mediante algunos ejemplos ilustrativos se puede poner de manifiesto la necesidad de disponer de unidades de medida que tengan un ´ambito de aplicaci´on lo m´as amplio posible, dado lo anterior, los estudiantes deber´an conocer las propiedades que caracterizan a las unidades, cuales son las magnitudes fundamentales en el Sistema Internacional de Unidades y como se obtiene la unidad de una magnitud derivada dada su definici´on. Algunas medidas de uso com´ un eran: El Almud (mas conocido como almur). La Vara. La cuarta. El geme. El Kilo. El litro. La lata de sardina etc.
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
Actividad. 1.2 1. Conf´ormense en equipos de hasta 5 elementos, nombrando un representante. 2. En equipo dise˜ ne cinco preguntas adecuadas para saber sobre cada una de las medidas de uso com´ un mencionadas anteriormente. las preguntas deben ser del tipo: a) Conoce o ha usted usado el . . . b) Me podr´ıa usted decir que es, como es, o como hacer un ... c) Conoce usted la equivalencia entre el . . . y el . . . d) . . . . . . 3. Aplique la encuesta a diez personas de edad mayor (padres, un. abuelos, conocidos) sobre: las medidas de uso com´ 4. Con base en las respuestas obtenidas, escriba las definiciones de cada una de las medidas de uso com´ un mencionadas anteriormente y algunas equivalencias que se conozcan entre ellas. 5. para la evaluaci´on se tomar´a en cuenta: Entrega en tiempo y forma (dos semanas m´ aximo). Claridad en las definiciones presentadas. Coherencia de lo escrito. Validez y pertinencia de las ideas expuestas (que tenga relaci´ on con la situaci´on actual). e) Presentaci´ on. f ) Profundidad de las definiciones. g) N´ umero de equivalencias obtenidas.
a) b) c) d)
6. Escriba en los espacios correspondientes de este libro, las definiciones mas adecuadas para las medidas de uso com´ un y las equivalencias encontradas.
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1.2.1.
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Magnitudes Fundamentales y Derivadas.
La observaci´on de un fen´omeno es en general incompleta a menos que d´e lugar a una informaci´on cuantitativa. Para obtener dicha informaci´on se requiere la medici´on de una propiedad f´ısica. As´ı, la medici´on constituye una buena parte de la rutina diaria del ser humano.
La medici´on es la t´ecnica por medio de la cual se asigna un n´ umero a una propiedad f´ısica.
Medir: Es el resultado de la comparaci´on de una propiedad con otra similar tomada como patr´on, la cual se ha adoptado como unidad. Es decir que Medir es comparar las dimensiones de un cuerpo con las de otro. Las dimensiones del cuerpo contra el que se compara se llama patr´on de medida o unidad de medida, sin embargo al medir un cuerpo se tienen errores los cuales no se pueden eliminar pues tienen diferentes causas por lo que ninguna persona o instrumento har´a medidas iguales. Existen magnitudes de dos tipos: Fundamentales, las cuales se definen y a partir de estas se obtienen las derivadas.
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
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Magnitudes Fundamentales.
Las Magnitudes o Cantidades Fundamentales son las unidades que se definen como base para medir los diferentes cuerpos. Generalmente se definen tres magnitudes o cantidades fundamentales: La unidad de Masa. La unidad de Longitud. La unidad de Tiempo. Magnitudes derivadas.
Cuando se realizan operaciones como sumar, multiplicar, dividir, etc. estas operaciones tambien las experimentan las unidades de medida, por ejemplo si se requiere sumar 3 metros con 4 metros, la operaci´on que se realiza es: 3m + 4m = 7m es decir que el resultado conserva las unidades caracter´ısticas de las cantidades que sufrieron la operaci´on. Otro caso es cuando se multiplica. Por ejemplo: 3kg con 4m (3kg)(4m) = (3)(4)(kg)(m) = 12kgm las unidades tambi´en se multiplicaron.
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Las unidades de las Cantidades Derivadas se obtienen al realizar operaciones entre unidades, asi se obtienen otras unidades de medida.
A estas cantidades asi obtenidas se les conoce como Cantidades Derivadas ya que se obtienen como resultado de la multiplicaci´on o divisi´on entre otras cantidades fundamentales.
1.2.2.
Sistemas de Unidades CGS e Ingl´ es.
Un Sistema de Unidades es aquel al que se le definen sus unidades primordiales de medida y luego se utilizan para medir.
Sistema CGS.
Por ejemplo se puede medir las longitudes en cent´ımetros (cm), las masas en gramos (g) y el tiempo en segundos (s). Cuando se toman estas tres unidades como fundamentales, el sistema de unidades se llama Sistema de Unidades CGS, siendo las iniciales las de las unidades fundamentales. Con estas tres unidades fundamentales, se pueden obtener todas las otras unidades derivando las dem´as unidades de medida al realizar operaciones entre estas unidades fundamentales.
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
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Sistema Ingl´ es de Unidades.
Asi tmbi´en en E. U. e Inglaterra, las unidades que se toman como fundamentales son: para la masa la libra masa (lb), para la longitud el pie (ft) y para la fuerza la libra fuerza (pd), es decir que ahi las cantidades fundamentales son cuatro y no tres como para el sistema CGS. 1.2.3.
El Sistema Internacional de Unidades, Ventajas y Limitaciones.
Por legislaci´on, en M´exico se utiliza el Sistema Internacional de Unidades (S I) el cual tiene las siguientes unidades patr´on: Cantidad de materia que contiene un cuerpo. En el Sistema Internacional de Unidades (SI), se define como: Unidad de Masa.
La Masa de un cilindro de Platino e Iridio que se conserva en la oficina internacional de pesas y medidas en S`evres Francia. Su unidad de medida es el kilogramo[kg]. Unidad de Longitud.
Es el metro [m],
es la longitud que recorre la luz en ex´actamente..
1 299,792,458
s
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Unidad de tiempo:
En el S I es el segundo:
Es la duraci´on de 9, 192, 631, 770 ciclos de la radiaci´on correspondiente a la transici´on entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del ´atomo de Cesio 133 (133 Cs)
SI LONGITUD MASA TIEMPO
abr.
metro (m) kilogramo (kg) segundo (s)
CGS
abr.
cent´ımetro (cm) gramo (g) segundo (s)
´ INGLES abr. pie libra segundo
(f t) (pd) (s)
Cuadro 1.5: Unidades Fundamentales en tres Sistemas de Unidades.
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
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Ventajas y Limitaciones del S. I. U.
El SI, naci´o como un deseo de unificar todos los sistemas de unidades conocidos, todo esto como una consecuencia de la Revoluci´on Francesa que en la epoca de Napole´on, bajo la coordinaci´on de Joseph Louis Lagrange, se realiz´o este intento mediante la realizaci´on de un congreso internacional que se llev´o a cabo en S`evres Francia, al cual por cierto, nuestro pais envi´o como delegado a un poeta, sin embargo, los paises anglosajones, aunque asistieron, por la rivalidad cient´ıfica con Francia decidieron no acatar los acuerdos y tal unificaci´on no se llev´o a cabo. La ventaja de tener un solo sistema de medici´on es evidente, pues la ciencia el comercio y la legislaci´on solo tendr´ıa que utilizar este sistema para la medici´on en todo el planeta. En la pr´actica esto no result´o tan sencillo, por esto, se dan aqu´ı algunos ejemplos que constituyen las deventajas del SI. En lo muy peque˜ no, lo ideal ser´ıa que el patr´on de masa fuera la masa del electr´on, sin embargo es muy peque˜ na −31 (9,11 × 10 kg) dando como resultado que las dem´as medidas ser´ıan muy grandes, por lo que se utiliza actualmente el mol. En 1790, en la conferencia de S`evres, se defini´o el metro como la cuarentamillon´esima parte del meridiano terrestre que pasa por S`evres, con el tiempo mediciones mas exactas
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
demostraron que por la rotaci´on de la tierra el meridiano se ensancha, por lo que result´o ser de 40009.153 m. La definici´on de metro tuvo que modificarse sucesivamente, en 1875, 1959, 1960 y finalmente en 1983 donde quedo como se dijo en el p´arrafo 1.2.3. La unidad de tiempo es el segundo, inicialmente se defini´o en funci´on del a˜ no solar medio de 1900, esta definici´on tambi´en tuvo que ser modificada porque la rotaci´on de la tierra es variable con el tiempo, quedando en 1967 como se defini´o en 1.2.3. Unidades B´ asicas del SI
En la XIV Conferencia General de pesas y Medidas de 1971 se seleccionaron las unidades que constituyen la base del Sistema Internacional de Unidades, las cuales se presentan en la tabla 1.6 CANTIDAD FUNDAMENTAL
UNIDAD
S´IMBOLO
longitud Masa Tiempo Corriente El´ectrica Temperatura Termodin´amica Cantidad de Sustancia Intensidad Luminosa
metro kilogramo segundo ampere kelvin mol candela
m kg s A K mol cd
Cuadro 1.6: Unidades Fundamentales del SI.
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
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Actividad. 1.2.3 1. Realice una investigaci´on sobre: La definici´on de las Unidades Fundamentales del SI. 2. Conf´ormense en equipos de hasta 5 elementos, nombrando un representante. 3. Con base en la investigaci´on realizada escriba La definici´on de las Unidades Fundamentales del SI. 4. Para la evaluaci´on de la actividad se tomar´a en cuenta: a) b) c) d) e) f) g)
Entrega en tiempo y forma (una semana m´ aximo). Claridad. Coherencia. Validez y pertinencia de las ideas expuestas. Profundidad de los conceptos. Presentaci´ on. Profundidad del escrito.
5. Escriba en los espacios adecuados de este libro, las definiciones que resulten mas adecuadas Unidades Fundamentales del SI.
UNIDAD
SI
1 1 1
1 1 1
metro kilogramo segundo
´ INGLES
CGS m kg s
100 1000 1
cm g s
3,2808 2,2075 1
pie(ft) lb(pd) s
Cuadro 1.7: Equivalencia entre Sistemas de Unidades.
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1.2.4.
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
M´ etodos Directos e Indirectos de Medici´ on.
Medici´ on Directa.
Se realizan cuando lo que se mide es comparable con el propio instrumento de medida, p. e. La medici´on de una hoja de cuaderno. Medici´ on Indirecta.
Se realizan cuando para medir es necesario valerse de otros par´ametros medibles. p. e. Distancia entre la tierra y el sol. El ´area de un cuerpo. El volumen de un cubo, etc. 1.2.5.
Notaci´ on en Base 10 (Prefijos).
Una vez establecida la unidad patr´on se acuerdan los subm´ ultiplos y m´ ultiplos, los cuales son cantidades menores y mayores de la unidad en cuesti´on. Se emplea el sistema m´etrico decimal el cual como va de diez en diez, significa que se van tomado sucesivamente porciones de unidad 10 veces mas chica en el caso de los subm´ ultiplos, o 10 veces mas grandes en el caso de los m´ ultiplos. Si se divide el metro en diez partes, cada parte se llama dec´ımetro (simbolizado con dm), en consecuencia un metro contendr´a diez dec´ımetros, lo cual en s´ımbolos se escribe: 1 m = 10 dm. Si el dec´ımetro se divide en diez partes, el metro queda dividido diez veces en diez es decir que el metro se divide en cien partes y cada parte se llama cent´ımetro, un metro contiene cien cent´ımetros es decir: 1m = 100cm. La mil´esima parte del metro se denomina mil´ımetro y entonces un metro contiene mil
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
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mil´ımetros o sea: 1m = 1000mm 1m = 10dm = 100cm = 1000mm 1m = 10dm = 102 cm = 103 mm Esto conduce a los m´ ultiplos de la unidad patr´on: diez metros corresponden a un dec´ametro es decir 10m = 1Dm . Cien metros corresponden a un hect´ometro y mil metros a un kil´ometro 10m = 1Dm 100m = 1hm 1000m = 1km Se utilizan prefijos para denotar las proporciones de subm´ ultiplos y m´ ultiplos y estos prefijos se generalizan para cualquier unidad. De ah´ı que, por ejemplo, a la mil´esima parte del segundo se la llame milisegundo, luego, un segundo contiene mil milisegundos es decir: 1s = 1000ms En un esfuerzo por eliminar la necesidad de arrastrar la cadena de ceros asociada con los n´ umeros muy peque˜ nos o muy grandes, se defini´o la notaci´on cient´ıfica (o compacta) que aparece en la tabla 1.8. Un conteo simple a partir del punto decimal hacia la derecha del n´ umero 1 da la potencia apropiada de 10 si se procede de izquierda a derecha se obtiene un exponente negativo, y de derecha a izquierda un exponente positivo.
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
N´ umero 1, 000, 000, 000, 000, 000, 000 1, 000, 000, 000, 000, 000 1, 000, 000, 000, 000 1, 000, 000, 000 1, 000, 000 1000 100 10 1 1 10 1 100 1 1000 1 1000,000 1 1000,000,000 1 1000,000,000,000 1 1000,000,000,000,000 1 1000,000,000,000,000,000
Not. Base 10 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 100 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18
Nombre exa peta tera giga mega kilo Hecto Deca uno deci centi mili micro nano pico femto atto
Cuadro 1.8: Potencias de Base 10
Abreviatura E P T G M k H D d c m µ n p f a
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
1.2.6.
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Transformaci´ on de Unidades Entre Sistemas.
Cuando se habla de un microsegundo se refiere a una millon´esima de segundo es decir que 1 µs = 1×10−6 s = 0,000001s. Cinco hectolitros se escribe 5 hl (l es la letra “ele”, abreviatura de litro) que corresponde a 5 × 102 l. Suponga que se quiere indicar el espesor de un alambre cuyo di´ametro es de 0,002 m, “cero punto, cero, cero, dos metros” ¿no es mas sencillo decir 2 mm o sea “dos mil´ımetros”? Se conoce la distancia aproximada de D. F. a Veracruz la cual es de aproximadamente 400 km, pero no es com´ un escuchar esa distancia expresada en metros. Ahora ¿ha escuchado expresar cantidades de magnitud en unidades diferentes a las cuales se acostumbra, como por ejemplo: 100 millas; 5 yardas; 120 Fahrenheit; 3 pulgadas; 8 onzas; 20 nudos, etc.? Aqu´ı se utiliza el sistema internacional de unidades pero a´ un hay naciones que emplean, sistemas basados en otros patrones de medida, en consecuencia se tiene que encontrar el modo de transformar esas unidades a las del SI para poder saber de que medida se est´a hablando. La manera de transformar es a trav´es de las equivalencias de unidades. Por ejemplo en el sistema de medida ingl´es la unidad es la pulgada, cantidad de longitud que corresponde a 0.0254 m o 2.54 cm o 25.4 mm etc. En otro ejemplo una onza equivale a 28.34 gramo, adem´as este sistema no tiene m´ ultiplos decimales: en el caso de la longitud , un m´ ultiplo inmediato de la pulgada es el “pie” que corresponde a 12 pulgadas, despu´es sigue la yarda que corresponde a 3 pies, etc. como se ve la proporci´on no va de diez en diez. En el caso de la onza, un m´ ultiplo inmediato es la
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
libra que corresponde a 16 onzas 1pulgada = 2, 54cm 1onza = 28, 34g 1pie = 12pulgadas 1yarda = 3pies 1libra = 16onzas Una transformaci´on de unidades consiste en expresar una cierta magnitud que est´a dada en una cierta unidad, en otra ya sea del mismo sistema de medida o en otro. Para ello es necesario conocer las equivalencias entre las unidades en cuesti´on. Por ejemplo; sea una cierta cantidad de longitud, por ejemplo 58 cm y se desea: a) Expresarla en metros b) Expresarla en pulgadas a) Se sabe que 1m = 100cm, Si se pasa los 100 cm dividiendo al primer miembro, nos queda 1m =1 100cm ahora escribiendo (58cm) (1) = 58cm
(1.2)
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
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es decir que no se alter´o el resultado, pero de (1.2) 1 = 1m 100cm , entonces 58cm 1m 1m = (58cm) 100cm 1 100cm Multiplicando numeradores y denominadores se tiene: 58cm ւm (58cm) = 100cm ւ 58m = 0,58m 100 (58cm) = 0,58m
muchos dir´an que es mas f´acil correr el punto y ya, sin embargo se ver´a que es el u ´nico modo de convertir unidades mas complejas y que una vez que se aprende el mecanismo, notar´an que es sencillo ya que consiste en un despeje, una sustituci´on y una operaci´on final. b) Ahora 1pulgada = 2,54cm, Si se pasa los 2,54 cm dividiendo al primer miembro, nos queda 1pulgada =1 2,54cm nuevamente escribiendo (58cm) (1) = 58cm de (1.3) 1 =
1pulgada 2,54cm ,
entonces 58cm 1pulgada 1pulgada = (58cm) 2,54cm 1 2,54cm
(1.3)
62
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Multiplicando numeradores y denominadores se tiene: 58cm ւ pulgada (58cm) = 2,54cm ւ 58pulgada = 22,83pulgada 2,54 ⇒ (58cm) = 22,83pulgada
Mas ejemplos . . . Se sabe que una hora contiene 60 minutos, a su vez un minuto contiene 60 segundos, por lo que se puede afirmar que 1 h contiene 60 veces 60 s , es decir 60 × 60 segundos lo que da un total de 3600 s . Luego se puede escribir las siguientes equivalencias: 1h = 60min 1min = 60s 1h = 3600s Se desea saber cuantos minutos corresponden a 18 s Soluci´on 1) Se busca la relaci´on entre segundos y minutos 1min = 60s 2) como se quiere pasar de segundos a minutos despejando de nuestra relaci´on de equivalencia pasando el 60 s dividiendo queda: 1min =1 60s 3) 18s 1min 18s ւ min = 1 60s 60s ւ ⇒ 18s = 0,3min
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
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Por ejemplo la velocidad se expresa en ms o el peso espec´ıfico que se expresa en mN3 , etc. en estos casos resulta mas dif´ıcil realizar la conversi´on de unidades a subm´ ultiplos o m´ ultiplos de las mismas o a otro sistema de unidades, por esto se justifica aplicar el siguiente procedimiento:
Unidades Derivadas
Procedimiento 1.2.6
Paso 1. Iniciar poniendo la cantidad a convertir, como un cociente explicito. Paso 2. Multiplicar por una equivalencia en forma de cociente, de manera que al multiplicarse, las unidades en el numerador puedan dividirse y convertirse en la unidad (comunmente se conoce como eliminaci´on de unidades). Paso 3. Repetir el paso 2 hasta obtener las unidades deseadas. Es necesario anotar que cuando las unidades est´an elevadas al cuadrado o cubo, el cociente debe tambi´en elevarse a la potencia requerida.
Ejemplo: 1.2.6.1
Expresar una velocidad de 5 Paso 1
m s
en
Paso 2
km hr paso 3
z }| { z }| { z }| { 5m 1km 3600s · · 1s 1000m 1hr
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Multiplicando los numeradores y denominadores (culminaci´on del Paso 2): 18000m ւ kms ր km = 18 1000s րm ւ hr hr Ejemplo: 1.2.6.2
Una unidad astron´omica (UA) es la distancia promedio de la tierra al Sol, que aproximadamente es de 1.5×108 km. (150,000,000 km), La rapidez de la luz (c) es de alrededor de 3,0 × 108 ms . Expresar la velocidad de la luz en t´erminos de unidades astron´omicas por minuto. Soluci´on: Si una U A = 1,5 × 108 km y c = 3,0 × 108 ms ,
c=
entonces la rapidez es; 3,0×108 m 60s ր min
ր s
1
⇒ c =0.12
UA min
1km ւ 103 m
UA 1,5×108 km ւ
= 0.12
UA min
la distancia es:
3 1,5 × 108 km ւ 10 m = 1,5 × 1011 m 1 1km ւ
Ejemplo: 1.2.6.3 masa ) del agua es exactamente Suponer que la densidad (̺ = volumen g 1 cm3 , expresar la densidad del agua en kilogramos por metro kg c´ ubico ( m 3)
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
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Soluci´on: Ya que 1kg = 1 × 103 g, entonces; 6 3 ւ g 1kg 10 cm ր 3 kg 1 3 = 10 cm ր 1 × 103ւ g 1m3 m3 Suponer que un recipiente con 5700m3 de agua toma 10h para drenarse ¿Cu´al es el flujo de masa en kilogramos por segundo de agua del recipiente? Soluci´on: Puesto que 1m3 = 1000kg entonces;
5,700m ւ3 10hr ր
kg 1000 3 m ւ
1hr ր 3600s
= 158,3
kg s
Ejercicios
kg 1. Expresar 8000 m 3 en:
a)
b)
kg dm3 kg dm3
R: 8
g cm3
g cm3
2. Expresar 90 km hr en: a)
Soluci´on: 8
m s
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
R: 25 b)
cm s cm s
R: 2500 c)
m s
cm min
R: 150000 3. Expresar 2,5 gcal ◦ C en
J kg ◦ C
cm min
; (1J = 0,24 cal ) R: 10416,67 kgJ◦ C
1.2.7.
1a Autoevaluaci´ on
Nombre del alumno ————————————– Gpo. 30———I.- Subraya la Respuesta Correcta a las Siguientes Preguntas
1.1 GENERALIDADES
1. Que es la ciencia? a) el que dise˜ na b) se encarga c) conjunto de herramientas del estudio de conocimientos y maquinas materia y energ´ıa. Sistematizados. 2. Qu´e es la tecnologia? a) m´etodos para b) se encarga resolver problemas del estudio de practicos
c) conjunto de conocimientos
materia y energ´ıa. Sistematizados.
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
67
3. Qu´e es la f´ısica? a) m´etodos para b) ciencia de c) encarga del resolver problemas los oficios. estudio de la pr´acticos. materia y energ´ıa. 4. Con que otro nombre se le conoce a la tecnolog´ıa? a)El estudio b) el conocimiento c) comprensi´on o la ciencia de de los m´etodos. del entorno los oficios. material. 5. Cu´al es la parte mas importante de la ciencia? a) C´ umulo de b) aplicaci´on c) proyecci´on. conocimientos. de los m´etodos. 6. cuales son los resultados que dan como union la ciencia y la tecnolog´ıa? Beneficios b) comprensi´on c) creaci´on de hacia la sociedad.
del entorno Material.
conocimientos
7. Cu´ales son los procesos que se aplican al descubrimiento de la tecnolog´ıa? Beneficios b) comprensi´on c) creaci´on de hacia la del entorno conocimientos sociedad. Material. 8. Fue un gran pionero de la f´ısica proporciono los fundamentos de la hidrost´atica a) Arqu´ımedes b) Einstein c) Newton
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Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
9. Postula que la sustancia b´asica es el agua a) Thales de Mileto b) Arist´oteles c) S´eneca 10. Descibe una cosmolog´ıa directa) a) Copernico b) Aristarcos c) Pit´agoras 11. Desarrollo la teor´ıa del universo a) Dem´ocrito b) Anax´agoras c) Emp´edocles 12. Es considerado como el padre de la F´ısica Moderna a) Michael fadaray b) Tycho brahe c) Galileo Galelei 13. Creo el motor el´ectrico A) Michael Faraday b) Aristarchus c) Newton 14. Desarrollo la teor´ıa ondulatoria de la luz y describi´o la interferencia de la luz A) Kepler b) Thomas Young c) Democrito 15. Desarrollo la leyes de la mec´anica A) Isaac Newton b) Aristarchus c) Tycho Brahe 16. Explico la curvatura del tiempo a) Marie Curie b) Hamilton c) Einstein 17. En que a˜ no se descubre la part´ıcula delta a) 1872 b) 1949 c) 1875
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
69
1.1.1 LA F´ISICA Y SU IMPACTO EN LA CIENCIA Y LA TECNOLOG´IA
1. Responde a preguntas mas que nada te´oricas a) Ciencia b) Matem´aticas c) F´ısica 2. Son generalmente m´etodos para resolver problemas pr´acticos a) Tecnolog´ıa b) ciencia c) M´etodo Cient´ıfico 3. Son el resultado de beneficios para las sociedades es decir se dise˜ na, proyecta y se crea a) Ciencia y Tecnolog´ıa b) Ciencias Naturales c) Tecnolog´ıa y Rob´otica 4. Son conjuntos de conocimientos ordenados y jeraquizados a) Matem´aticas b) Ciencia c) Tecnolog´ıa 5. Esta nos ayuda a tener un mejor estado social a) Geograf´ıa b) Rob´otica c) Tecnolog´ıa 6. Ellos hacen la ciencia a) Doctores y Maestros b) Profesores c) Humanidad 7. Es un ejemplo de tecnolog´ıa a) Rob´otica b) Conocimiento Matem´atico c) Filosof´ıa 8. Es una creaci´on innovadora del hombre a) carros b) sillas c) mesa 9. Esta se crea a) Materia b) Tecnolog´ıa c) Aritm´etica
70
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
10. Es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio a) Masa b) Materia c) Hidrost´atica
1.1.2 Los M´ etodos de Investigaci´ on y su Relevancia en el Desarrollo de la Ciencia
1. Es un m´etodo indispensable para la ciencia a) M´etodo Cient´ıfico b) M´etodo Matem´atico c) M´etodo Qu´ımico 2. En este paso se investiga preliminarmente al fen´omeno a) Ciencia b) Observaci´on c) Hip´otesis 3. Repetici´on del fen´omeno cuantas veces sea necesario a) Ciencia b) experimentaci´on c) Conclusi´on 4. Constata los resultados a) Experimentaci´on b) Hip´otesis c) Planteamiento 5. Si se cumple la: hip´otesis se enuncia una a) teor´ıa b) experimentaci´on c) Ley 6. Es un conjunto de leyes a) Teor´ıa b)Mapa c)Ley 7. Son resultados que explican el fen´omeno a) Hip´otesis b) Ley c) Ciencia 8. En este se observa como sucede el fen´omeno a) Observaci´on b) Proceso c) Funciona
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
71
9. M´etodo experimental a) Ciencia b) M´etodo Cient´ıfico c)Historia 10. Ciencia que estudia la estructura y la interacci´on de la materia a) Qu´ımica. b) Matem´aticas c)F´ısica
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on
1. Se creo durante la Revoluci´on Francesa A) SI B) CGS C) cm, m, km d) Sistema M´etrico Decimal 2. Son las principales unidades de medida del SI a) Metro, kilogramo y segundo b) longitud, masa y tiempo c)metro, segundo y kilogramo 3. Significa Sistema Internacional de Unidades a) SIU B) SI C)CGS 4. Es la t´ecnica por la cual se asigna el n´ umero de medida a) Medici´on b) Peso c) Tiempo 5. Es el resultado de la comparaci´on de un cuerpo con otro a) medir b)peso c)kilogramo 6. Son las magnitudes Fundamentales a) Longitud masa y tiempo b) kilogramo s, km c) m, kg, Segundo,
72
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
7. Son las cantidades derivadas a) Se obtienen a trav´es de divisi´on multiplicaci´on, etc. b) Son lo mismo que las fundamentales c) se inventan 8. Esta es una unidad fundamental a) Masa b)metro c)tiempo 9. Se caracteriza por la unidad de medida llamada metro a) Longitud b) Masa C) kilogramo 10. Se obtienen de las medidas fundamentales a) Diversas b) Derivadas c) Fundamentales
1.2.1 Magnitudes Fundamentales y Derivadas
1. Se utilizan para, medir diferentes cuerpos a) Magnitudes Fundamentales b) Cuerpos c) Cilindros 2. Se obtienen como resultado de la multiplicaci´on o divisi´on de unidades. a) Derivadas b) Cuanti´ıtas c) Fundam´entales 3. Existen dos tipos a) Fundamentales y derivadas b) Cuanti´ıta c) Matem´aticas 4. Es comparar las dimenciones con otro cuerpo a) Medir b) Masa c) Tiempo
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
73
5. las diemsiones del cuerpo contra el que se compara se le llama a) Patr´on b) Medida c) Formato
1.2.2 Sistemas De Unidades CGS e Ingl´ es
1. Es aquel que se define por sus unidades a) Masa b) Sistema c) Mapa 2. Forman al Sistema CGS a) ml y cm b) cm y kg c) cm g y s 3. Son las unidades fundamentales en Inglaterra a) Masa, tiempo y segundo b) lb, y ft c) my s 4. Se define con las siglas CGS A) cm, g y s b)t,g y m c)s,t y dm 5. Se obtienen de las fundamentales a) Masa b) Tiempo c) Derivada 6. Que une al macromundo a) conforma la tierra. b) Protones y neutrones c) Esta unido por la fuerza Del n´ ucleo. Gravitacional. 7. Que significa micromundo a) Propiedades muy peque˜ nas b) Fen´omenos F´ısicos que presentan c) Constituye al universo Al nivel at´omico
74
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
8. Que significa volumen a) Es aquel que se mide b) Espacio que ocupa un cuerpo c) Cantidad de materia que contiene En cent´ımetros. Un cuerpo. 9. Que significa densidad a) Cociente entre la masa y b) Fuerza de atracci´on que ejerce c)Caracter´ısticas de la materia 10. Menciona un ejemplo de fen´omeno Biol´ogico a) Crecimiento de un ´arbol b) Al llover b) al tirar alg´ un objeto. El volumen de un cuerpo. La tierra sobre la materia.
1.2.3 El Sistema Internacional de Unidades, Ventajas y Limitaciones
1. Este Sistema se Utiliza en M´exico a) SI b) CGS C) ITC 2. Cantidad de materia que posee un cuerpo a) Peso b) Unidad de masa c) Antimateria 3. Es la unidad que recorre la luz a) Unidad de Longitud b) masa c) Luz 4. Es la duraci´on de ciclos en la radiaci´on a) Masa b) Unidad de tiempo c) peso 5. Naci´o como el deseo de unificar a todos los sistemas a) SI b) tiempo c) Duraci´on
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
75
6. Que es f´ısica a) Ciencia que se encarga b)conjunto de conocimientos c)Todo lo existente en la naturaleza Del estudio de la materia ordenados 7. Que es ciencia a) Conjunto de conocimientos b) Comprender y explicar los c)Estudia a la naturaleza Ordenados y Jerarquizados. Fen´omenos 8. De cuantas divisiones consta la F´ısica y cuales son a) De 2 Cl´asica y moderna b) De 5 mec´anica, calor, sonido, c) 1 Cu´antica. Luz, magnetismo. 9. Menciona un ejemplo de un fen´omeno Qu´ımico a) Al cortar un papel b) Al quemar un papel c) Al vaciar agua a un recipiente. 10. Menciona cuatro tipos de fuerzas a) Gravitacional, el´ectrica, nuclear b) Natural, f´ısica, qu´ımica, universal. c) A´erea, territorial, acu´atica, y d´ebil. Biol´ogica.
1.2.4 M´ etodos Directos e Indirectos de Medici´ on
1. Qu´e es una medida directa a) Cuando lo que se mide es b )Lo que se mide c)Son medidas Comparable con el mismo instrumento
76
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
2. Es un ejemplo de medida directa a) Masa b) La medici´on de una hoja de cuaderno c) La masa ye l tiempo 3. Es comparable con su propio instrumento a) Masa b)cuerpo c)Medida directa 4. Son dos tipos de m´etodos a) Base y metro b) Longitud y distancia c) Directos e indirectos 5. Necesitan de otro patr´on para ser medidas a) Mediadas indirectas b) Medidas indirectas c) Volumen 6. Se realizan para cuando para medir se necesitan de otro par´ametro a) Medidas directas indirectas b) Medidas indirectas c) Notaci´on de base 7. El ´area de un cuerpo es ejemplo de a) Medida directa b) Medida indirecta c) Densidad 8. La Distancia entre el sol y la tierra es ejemplo de a) Medida b) Distancia c ) Medida indirecta 9. En que se diferencia la medida ¡directa de la indirecta a) Que se mide con su propio patr´on y necesita de otro para se¡medida b) Son iguales c)Es lo mismo 10. El volumen de un cubo es ejemplo de a) Medida indirecta b)Medida directa c)Medida directa e indirecta
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
77
1.2.5 Notaci´ on Cient´ıfica y Prefijos
1. Son cantidades menores y mayores de¡la unidad en cuesti´on a) Prefijos de 10 b) Subm´ ultiplos y m´ ultiplos c) Notaci´on cient´ıfica 2. Cu´antos cm tiene un metro a) 10 dm b) 0.0100cm c) 0100cm 3. C´omo se le denomina a la mil´esima parte metro a) Cent´ımetro b) Millon´esima c) Mil´esima 4. A cuantos metros equivale un dec´ametro a)10 m b)20 m c)100m 5. Se utilizan para denotar las proporciones de subm´ ultiplos y m´ ultiplos a) Prefijos b) Bases c) T´erminos 6. Cu´anto tiempo contiene un segundo a) 60 s b) 100ms c) 300m 7. Es el nombre de algunos prefijos en base 10 a) Penta y cent´ıgrado b) exa, peta y tera c)ms, masa y tiempo 8. Es el valor de exa a)1018 b) 106 c) 1012 9. Es la representaci´on del prefijo mega a) Mega b) m c) M
78
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
10. Es el valor del prefijo mega a) 108 b) 106 c) 109
1.2.6 Transformaci´ on de Unidades de un Sistema a Otro
1. Cu´ando se habla del micro mundo se refiere a a) Una millon´esima b) Toneladas c) Montones 2. Cu´antos tipos de Sistemas hay a) CGS Y SIU b) TCI Y GFT C) CGS Y ST 3. Es una equivalencia de unidades de peso a) Masa b) Tiempo c) libra fuerza 4. A cuanto equivale una pulgada en cm a) 2,5 cm b) 2.2cm c) 2,54 cm 5. Consiste en expresar cierta magnitud que esta dada en cierta unidad a) Transformaci´on de unidades b) Masa c) Tiempo 6. Es el Sistema que se utiliza en todo el mundo a) CJT b) FGT C) SIU 7. Cuanto equivale un metro en cm a) 100ml b) 100 cm c) 1000ml 8. A cuantos minutos Equivale una hora a) 80 min. b) 60 fines c) 60 min.
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
79
9. A cuanto equivale un dec´ımetro en cm a) 10 cm b)3 ton 4) mil´ımetros 10. A cuanto equivale una hora en segundos a) 800s b) 3600s c) 8400s
1a Autoevaluaci´ on (continuaci´ on) Nombre del alumno —————————————— Gpo. 30 ———I.- Escribe dentro del Par´entesis la letra que corresponda. 1.- ¿Cual de los siguientes enunciados es una hip´ otesis cient´ıfica? a) Los ´ atomos son las part´ıculas de materia mas peque˜ nas que existen b) El universo est´a rodeado de otro universo el cual no se detecta de ninguna manera c) Alberto Einstein es el fisico mas grande del siglo XX 2.- Cual de las disciplinas siguientes implican grandes cantidades de pasi´on talento e inteligencia humana a) Arte b) Literatura c) M´ usica d) Ciencia e) Todas las anteriores 3.- El submultiplo llamado micro segundo se escribe: 1 1 m b) µ s c) 1000 s d) mm a) 100 4.- De los sistemas de medici´ on siguientes cuales son actuales a) Mks, CGS y SI b) Ingl´es, Cgs y Mks c) SI, Ingl´es y CGS d) a y c 5.- La F´ısica es: a) La ciencia mas fundamental b) mejor que la literatura c) Igual que la Qu´ımica II.- Completa cada una de las siguientes definiciones. 1. El lenguaje cuantitativo de la f´ısica es la: ——————– 2. La finalidad de la ciencia es crear: —————————3. La longitud, la masa y el tiempo son las cantidades: ————————– 4. El peso es una cantidad: ———————————– 5. Para obtener la densidad la masa y el volumen se: —————————– III Problemas
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
80
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica 1. Exprese con los multiplos y submultiplos de 10, (pueden resultar palabras no ortogr´aficas): a). 101 idos b). 10−1 didos c). 10−2 mientos d). 10−18 micos e). 10−12 tazos 2. Cual el n´ umero de km equivalentes a 20 millas, si se sabe que : 1milla = 5280f t, 1f t = 12pulg.
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
81
Para evitar la incidencia de errores en la medici´on, el tipo de errores y su tratamiento estad´ıstico se estudia en la teor´ıa de la medici´on. 1.2.8.
La Precisi´ on de los Instrumentos de Medici´ on, Tipos de Errores.
Error en la medida: En una cantidad, es la diferencia entre el valor verdadero, suponiendo que se conoce y una aproximaci´on al valor verdadero, o la cantidad en que el valor obtenido en un c´alculo o en una medici´on difiere del valor exacto. Ea = Vv − Vc
(1.4)
Ea = Error absoluto Vv = Valor verdadero Vc = Valor medido o calculado. • Tipos de Error.
Sistem´atico: Se clasifican en cuatro clases: instrumentales, te´oricos, ambientales y sistem´aticos. Estos se deben a causas identificables. Aleatorios: Se deben a variables no controladas. Por defecto: Debido a equipos descalibrados o en mal estado. Observacionales: De paralaje dependen de la posici´on desde donde se observe la escala de medici´on. Calibraci´on: Es instrumental es un error del instrumento.
82
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Escala: Es tambi´en un error instrumental. Ambientales: se deben a cambios impredecibles. Por ejemplo variaciones de la presi´on, temperatura, la humedad, el ruido electr´onico y otros factores. Te´oricos: Se deben a la simplificaci´on de las teor´ıas. Errores Aleatorios, estoc´asticos o circunstanciales: Se deben a variables no controladas que inciden en la estad´ıstica, sus causas son Observacionales y ambientales. Observacionales: Son debidos al juicio o la reacci´on del observador. Error relativo:
Es el cociente entre el error absoluto y la aproximaci´on; Er =
Ea Vv − Vc = aprox V¯
(1.5)
El error relativo se da frecuentemente en porcentaje ( %), por lo que se hace: Ea Er = × 100 aprox Pn Vi (1.6) aproximaci´on = hV i = V¯ = i=1 n V1 + V2 + V3 + ...Vn hV i = n la aproximaci´on es la suma de todos los valores medidos, dividida por el n´ umero de valores. Esta cantidad se le conoce como el valor promedio, “aproximaci´on”,“valor verdadero” o “valor medio”
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
83
1.2.8. Se ha medido el tiempo (t) cuatro veces los resultados han sido: 6.3 s, 6.2 s, 6.4 s y 6.2 s Encuentre:
Ejemplo:
a). El Valor promedio (valor verdadero o aproximaci´on). 6,3 + 6,2 + 6,4 + 6,2 aprox = hV i = V¯ = 4 25,1 = 6,275 ≈ 6,3 V¯ = 4 b). El error absoluto para cada medida. Ea = hV i − Vc Ea1 = 6,3 − 6,3 = 0,0 Ea2 = 6,3 − 6,2 = 0,1 Ea3 = 6,3 − 6,4 = −0,1 Ea4 = 6,3 − 6,2 = 0,1 c). El error relativo para cada medici´on. Er =
Ea aprox
0 Ea1 = hV i 6,3 Er1 = 0,0 Ea2 0,1 Er2 = = hV i 6,3 Er2 = 0,0158 Er1 =
84
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Er3 =
−0,1 6,3
Er3 = −0,0158 Er4 =
0,1 6,3
Er4 = 0,0158 d). El Error relativo en % Er1 =
0,0 × 100 6,3
Er3 = 0 % Er2 =
0,1 × 100 6,3
Er2 = 1,58 % Er3 = − 0,0158 × 100 = −1,58 % Er4 = 0,0158 × 100 = 1,58 % e). El promedio del error absoluto. hEa i = hEa i =
Ea1 + Ea2 + Ea3 + Ea4 4
0 + 0,1 + (−0,1) + (0,1) 4 0,1 hEa i = 4 hEa i = 0,025
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
Figura 1.10: Mapa Conceptual de Los Diferentes Tipos de Errores.
85
86
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Reglas Para Expresar Medidas y Su Error.
1. Todo resultado experimental debe ir acompa˜ nado del valor promedio del error absoluto y enseguida sus unidades de medida. X = 297 ± 2mm Limsup = 299mm Liminf = 295mm 2. Los errores se deben dar con una cifra significativa solamente. 297 ± 2mm correcto 245 ± 2,98mm incorrecto 245 ± 3m correcto 3. La u ´ltima cifra en el valor de la magnitud y su error deben corresponder al mismo orden de magnitud 24000 ± 3000m Limsup = 27000m Liminf = 21000m
24,00 ± 0,06 Limsup = 24,06 Liminf = 23,94
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
87
Se ha medido el tiempo (t) para un experimento los resultados han sido: 5.5 s, 5.7 s, 6.2 s y 6.5 s Encuentre:
Ejercicio 1.2.8.
a). El Valor promedio (valor verdadero o aproximaci´on). b). El error total. c). El valor absoluto del error total. d). El error relativo para cada medici´on. e). El Error cuadr´atico. f ). Exprese cada medici´on en corcondancia con las reglas para expresar la medida y su error. Nota: si en este ejercicio existe alg´ un concepto que usted no conoce, debe aplicar lo que ha hecho en alguna de las actividades y aplicarlo. Pr´ actica 1. Objetivo.
Aplicaci´on de los conceptos aprendidos hasta este
subtema. Mediante el uso de materiales de uso com´ un, realizar mediciones directas e indirectas. Aplicar la teor´ıa de errores para la expresi´on de los resultados y mediciones. Experimento 1: Medici´ on Directa.
88
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Material.
1. Goma para borrar. 2. Una lata de chiles en vinagre. 3. Caja de medicina 4. caja de un litro de leche. 5. Una naranja o bal´on. 6. Regla graduada en cent´ımetros, metro flexible y/o vernier. ´ 7. Formulario para el c´alculo de Areas y volumenes. Observe la forma del cuerpo a medir, consulte el formulario para que decida que medidas realizar, realicelas y anotelas, cada medida debe tener su unidad de medida. Dibuje o fotograf´ıe los pasos realizados. calcule el volumen para cada material utilizado. Descripci´ on del Procedimiento.
Experimento 2: C´ alculo de la densidad y el volumen de un cuerpo. (Medici´ on Indirecta) Material.
1. Taza o biber´on con unidades de medida en mililitros (aqu´ı se le llamar´a recipiente indistintamente) 2. Una piedra que pueda entrar en el recipiente. 3. una pelota de pl´astico.
1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´ on.
89
4. Una canica “tombola”.
5. Balanza granataria o b´ascula electr´onica (aqu´ı se le llamar´a balanza indistintamente).
Medir en la balanza la masa de la piedra, anotarla. Vaciar agua en el recipiente, anotando el valor en ml. colocar la piedra dentro del recipiente midiendo el volumen final anotarlo. Descripci´ on del Procedimiento.
Con ´estos datos calcular la densidad del cuerpo expresandola kg g , cmg 3 y m en ml 3 .. Realice lo mismo pero ahora con la “tombola”. Dibuje o fotograf´ıe los pasos realizados.
90
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Indicaciones para el Reporte. 1. Conf´ormense en equipos de hasta 5 elementos, nombrando un representante. 2. Se entregar´a un reporte por equipo. 3. El reporte de la pr´actica debe contener: * Presentaci´ on. * Introducci´ on. * Desarrollo. * Conclusiones. * Bibliograf´ıa. 4. Discuta en equipo el contenido de cada uno de los puntos que debe contener el reporte 5. Para el paso llamado desarrollo, tomar como base en la pr´actica personal realizada: 6. Reunirse en equipo e intercambiar datos y opiniones sobre los experimentos realizados. a) Proceder en el orden en que se enumer´o el material. b) si alg´ un material no tiene la misma forma o tama˜ no, realizar la medici´ on nuevamente, de manera que no haya diferencias. c) como son cinco integrantes deben reportarse cinco mediciones. d ) Anotar la descripci´ on de los pasos numer´andolos, por ejemplo: 1.- Se observ´ o que la goma es rectangular por lo que se necesitan tres medidas, largo ancho y altura. 2.- La atura se midi´ o con el . . . , porque; 3.- El ancho es: . . . 4.- . . . . . . 5.- El c´alculo del volumen es . . . porque tiene la forma: .... e) Realizar un cuadro donde se presenten las mediciones y c´alculos realizados. f ) Discuta en equipo el contenido de las conclusiones y la bibliograf´ıa.
1.3 Vectores.
91
Para la evaluaci´on de la Pr´actica 1 se tomar´a en cuenta: 1. Entrega en tiempo y forma (dos semanas m´ aximo). 2. Validez y pertinencia de las ideas expuestas. 3. Profundidad de los conceptos. 4. Revisi´on del contenido. 5. Presentaci´ on al profesor por el coordinador. 6. habra una coevaluaci´on por lo que se debe poner de acuerdo con el profesor. 7. La evaluaci´on se reportar´ a en un cuadro como el siguiente: Indicador si no ponder. calif. Present´o en tiempo y forma 1 El reporte contiene Introducci´ on 1 Desarrollo 2 Conclusiones 1 bibliograf´ıa 1 existe Validez y pertinencia 1 de las ideas expuestas Existe Claridad y coherencia 1 en el escrito. Existe Profundidad en los 2 conceptos
1.3.
Vectores.
1.3.1.
Diferencia Entre las Magnitudes Escalares y Vectoriales.
En la vida real, existen diferentes tipos de cantidades en especial, para la f´ısica, dos tipos son importantes. Cantidades Escalares
Quedan totalmente especificadas si se conoce:
92
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
1. El n´ umero de objetos de que se trata. 2. Unidad de medida de los objetos. Ejemplo:
22 alumnos 50 butacas 20 kilogramos 3 cm3 10 · lapiceros |{z} | {z }
n´ umero
unidad
Cantidades Vectoriales
Este tipo de cantidades requieren de mayor especificaci´on, es decir contestar la pregunta “hacia donde”, a esas cantidades se les debe asignar una direcci´ on y un sentido, por lo tanto para que queden completamente especificadas, se necesitan cuatro caracter´ısticas; 1. N´ umero 2. Unidad de medida 3. Direcci´on 4. Sentido
1.3 Vectores. Ejemplo:
Lanzar Acelerar Velocidad Desplazamiento Girar Campo Magn´etico Campo El´ectrico
Representaci´ on de una Cantidad Vectorial.
Estas cantidades se representan en F´ısica: Por medio de l´ıneas rectas con una punta de flecha, a las cuales se les llama vectores.
1.3.2.
Caracter´ısticas de un Vector.
Las caracter´ısticas de los vectores son:
93
94
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
a) Longitud de la l´ınea; indica magnitud (n´ umero y unidad) de la cantidad vectorial. b) Inclinaci´on con respecto a la horizontal; indica la direcci´ on del vector y se expresa por medio de un ´angulo. c) Punta de la flecha; indica el sentido del vector. .
Figura 1.11: Vector y sus Caracter´ısticas: O: Origen, F: Sentido, θx : Direcci´on, X: Eje de Referencia.
−→ En la figura: 1.11 OF indica la Magnitud del vector.
Notaci´ on.
Los vectores se representan con letras, → − a, ~a, a ˜, ab, a ˆ, A
(1.7)
1.3 Vectores.
1.3.3.
95
Representaci´ on Gr´ afica de Sistemas de Vectores.
En el Plano de acci´ on
Vectores que act´ uan sobre un mismo plano, formado por dos ejes ortogonales de coordenadas: x vs y, x vs z, y vs z. Coplanares:
Vectores Coplanares
Vectores No Coplanares
Vectores Concurrentes
Vectores no Concurrentes
Figura 1.12: Clasificaci´on de Vectores 1
Vectores que act´ uan en planos distintos. Los ejes de referencia ser´an los ejes de coordenadas x, y, z. No coplanares:
96
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
En Direcci´ on de su Recta de Acci´ on Concurrentes:
Sus rectas de acci´on se cortan en alguna parte
en el plano Colineales:
Act´ uan sobre la misma recta de acci´on
Vectores Colineales
Vectores Paralelos
Figura 1.13: Clasificaci´on de Vectores 2
1.3 Vectores.
97
Dos o m´as vectores cuyas rectas de acci´on tienen la misma direcci´on. Paralelos:
Principio de Transmisibilidad.
Basado en las condiciones de los vectores deslizantes, los cuales son vectores que se pueden mover sobre su l´ınea de acci´on, establece que: El efecto externo de un vector en un cuerpo r´ıgido, es el mismo para todos los puntos de aplicaci´on, a lo largo de su l´ınea de acci´on. Sin embargo, su efecto interno depende directamente del punto de aplicaci´on del vector sobre el cuerpo.
Figura 1.14: Proceso que sufre un vector al actuar en un cuerpo por el principio de transmisibilidad. Ejemplo 1.3.3.1
Dibuje un vector de 20uv a 30◦ hacia arriba a la derecha. Utilice una escala adecuada.
98
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Soluci´ on:
Aplicar el siguiente procedimiento: Procedimiento. 1.3.3
Paso 1. Se miden con el transportador los grados. Para este caso: 30◦ . Paso 2. Se toma una escala. p. e. para este caso: 1cm = 4uv ⇒ 5cm = 20uv. Paso 3. Se traza una l´ınea recta con esta medida en direcci´on del ´angulo medido. Paso 4. Se dibuja la punta de flecha en el extremo de la l´ınea trazada, teniendo cuidado de no exceder su medida.
Figura 1.15: ~v 20 uv 30◦ ր. Ejemplo: 1.3.3.1
1.3 Vectores.
99
Ejemplo 1.3.3.2.
Un avi´on viaja hacia el este a 600 km hr . Utilice una escala adecuada para dibujar el vector velocidad que lleva el avi´on. Soluci´ on:
Aplicando el procedimiento: 1.3.3
Figura 1.16: 600 km →, figura para el ejemplo: 1.3.3.2. hr
1.3.4.
Descomposici´ on y Composici´ on de Vectores M´ etodos Gr´ aficos y Anal´ıticos.
Igualdad de Vectores.
Dos vectores son iguales si y solo si:
a). Tienen la misma magnitud b). La misma direcci´on y c). El mismo sentido
100
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Un vector que tiene la misma magnitud que otro pero va en sentido contrario constituye el vector negativo del primero.
Figura 1.17: Igualdad de Vectores.
~ Figura 1.18: Vector Negativo de A.
1.3 Vectores.
101
Actividad. 1.3.4 1. Conf´ormense en equipos de hasta 5 elementos, nombrando un representante. 2. Responda las siguientes preguntas: a) Mediante un diagrama; ¿Es posible demostrar la igualdad de vectores? b) ¿y que un vector sea el negativo de otro? c) Utilice los resultados de la actividad 3.1.7.1. 3. Aplicar al tema el Metodo Cient´ıfico. 4. para la evaluaci´on se tomar´a en cuenta: a) Entrega en tiempo y forma (una semana m´ aximo). b) Claridad en el escrito presentado. c) Coherencia de lo escrito con las preguntas realizadas. d ) Argumentos de la demostraci´ on. e) Demostraci´ on de las preguntas.
Suma de Vectores.
Su representaci´on algebr´aica es:
~ =A ~ +B ~ R
(1.8)
Para realizar este proceso de forma gr´afica, se realizan los siguientes pasos:
102
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Procedimiento: 1.3.4 Suma de Vectores
Paso 1. Dibujar los vectores de acuerdo a sus caracter´ısticas. Paso 2. Trasladar un vector al extremo del otro. Paso 3. Cerrar el triangulo trazando una l´ınea. desde el inicio del vector base hasta el extremo del vector trasladado. Paso 4. El vector suma o resultante est´a representado por esta l´ınea. Paso 5. medir y expresar el valor del vector suma en sus unidades correspondientes.
Una persona se mueve 4 pasos hacia la derecha, luego 3 pasos m´as. Utilice una escala adecuada. Ejemplo 1.3.4.1
Soluci´ on
1. Aplicando el procedimiento 1.3.4 2. Haga un diagrama descriptivo del problema. 3. Realice las representaciones de los vectores para cada n´ umero de paso. 4. la escala es: 1cm = 1 paso. 5. El vector resultante est´a representado por la l´ınea trazada desde el inicio del primer vector hasta el final del segundo.
1.3 Vectores.
103
Figura 1.19: Suma de Vectores, indicando el N´ umero del paso Realizado.
6. medir y expresar el valor del vector suma en sus unidades correspondientes.
Una persona se mueve 10 pasos hacia el noreste, luego 7 pasos hacia el sureste, resuelva el problema utilizando una escala adecuada. Ejemplo 1.3.4.2
Soluci´ on
1. Haga un diagrama descriptivo del problema. 2. Realice las representaciones de los vectores para cada n´ umero de pasos. 3. la escala es: 1cm = 1 paso.
104
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
~ = Figura 1.20: Soluci´on del Ejemplo 1.3.4.1 V~1 = 4 pasos V~2 = 3 pasos, R V~1 + V~2 = 7 pasos →.
4. El vector resultante est´a representado por la l´ınea trazada desde el inicio del primer vector hasta el final del segundo. 5. medir y expresar el valor del vector suma en sus unidades correspondientes.
Figura 1.21: Soluci´on al Ejemplo 1.3.4.2 V~1 = 10pasos ր, V~2 = 7pasos ց, ~ = V~1 + V~2 = 12,3 pasos 10◦ ր R Resta de Vectores.
Su representaci´on algebr´aica es: ~ =A ~ −B ~ R
(1.9)
1.3 Vectores.
105
se realizan los siguientes pasos:
Procedimiento 1.3.4 Resta de vectores
Paso 1. Dibujar los vectores de acuerdo a sus caracter´ısticas. Paso 2. Cambiar el sentido al vector a restar. Paso 3. Trasladar un vector al extremo del otro. Paso 4. Cerrar el triangulo trazando una l´ınea desde el inicio del vector base hasta el extremo del vector trasladado. Paso 5. El vector resta o resultante est´a representado por esta l´ınea. Paso 6. medir y expresar el valor del vector suma en sus unidades correspondientes.
M´ etodo del Pol´ıgono.
Se utiliza para encontrar la resultante gr´afica de m´as de dos Vectores.
106
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Procedimiento: 1.3.4 M´ etodo del Pol´ıgono
Paso 1. Se coloca un vector a continuaci´on de otro, conservando sus caracter´ısticas: magnitud, direcci´on y sentido. Paso 2. La resultante se traza del punto de aplicaci´on del primer vector al extremo del u ´ltimo trazado. Paso 3. El sentido de la resultante ser´a desde el origen del primer vector al u ´ltimo vector trazado.
Figura 1.22: Resta de Vectores, Indicando el N´ umero del paso Realizado.
1.3 Vectores.
Figura 1.23: Suma de Vectores por el M´etodo del Pol´ıgono
107
108
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Figura 1.24: Resultante de la suma de los vectores de la figura: 1.23 por el M´etodo del Pol´ıgono
1.3 Vectores.
109
Teorema de Pit´ agoras. En la Suma y Resta de Vectores Mutuamente Perpendiculares.
Un vector se puede representar como un par de n´ umeros en el plano cartesiano, p. e. A(x, y)
Figura 1.25: Representaci´on de un Vector y sus Componentes Rectangulares
Como se observa en la figura 1.25, se forman dos tri´angulos los cuales tienen dos lados perpendiculares entre si, es decir forman 90◦ , por lo que son tri´angulos rectangulos. Los lados que forman el ´angulo de 90◦ se llaman catetos y la diagonal que los une; hipotenusa. Los Babilonios conoc´ıan este triangulo y encontraron una relaci´on entre los lados, esta relaci´on fue hecha famosa por el griego Pit´agoras de Samos por quien se conoce
110
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
como Teorema de Pit´agoras. Establece que: La suma de los cuadrados de los Catetos (del gr. κ´ ατ ǫτ oς perpendicular, l´ınea que cae a plomo) es igual a la hipotenusa al cuadrado
´ ν ω fijar, sujetar fuerFigura 1.26: Hipotenusa del gr. υ`ιπoτ ǫηo` ν ςα ´o υ`πoτ ǫλ` temente una cosa a otra
V 2 = Vx2 + Vy2
(1.10)
~ si est´a representado Cuanto vale el vector A por las cordenadas A(3,2) Ejemplo: 1.3.4.1
A2 = A2x + A2y A2 = 32 + 22 A2 = 9 + 4 = 13 √ √ A2 = 13 √ A = 13
1.3 Vectores.
111
el angulo que forma con el eje horizontal se encuentra mediante: Ay θ = tan−1 (1.11) Ax −1 2 θ = tan 3 θ = 33o 41′
~ representado por el par Se tiene un vector A de n´ umeros A(3,4)
Ejemplo: 1.3.4.2
1. ¿Cual es su representaci´on? 2. ¿Cual es su direcci´on con el eje horizontal? El angulo que forma se encuentra mediante: −1 Ay θ = tan Ax 4 θ = tan−1 3 θ = 53◦ 7′ 48′′
3. ¿cual es su magnitud? A2 = A2x + A2y A2 = 32 + 42 A2 = 9 + 16 = 25 √ √ A2 = 25 su magnitud es: A=5
112
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Figura 1.27: Figura para el Ejemplo 1.3.4.2.
1.3 Vectores.
113
Suma por Vectores Unitarios.
Las cantidades vectoriales tambi´en se expresan en t´erminos de vectores unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene magnitud igual a uno. Sirven para especificar una direcci´on determinada. Se usan los s´ımbolos ˆı, ˆ y kˆ para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones x, y y z positivas, respectivamente.
~ puede escribirse Ahora V ~ = Vxˆı + Vyˆ V
(1.12)
~ = Axˆı + Ayˆ con el vector Si es necesario sumar el vector A ~ = Bxˆı + Byˆ, se escribe: B ~ =A ~ +B ~ = Axˆı + Ayˆ + Bxˆı + Byˆ = (Ax + Bx )ˆı + (Ay + By )ˆ R ~ = A ~ +B ~ son Rx = Ax + Bx y Ry = Las componentes de R Ay + By
114
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
Preguntas tema 1.2.7.La precisi´ on de los instrumentos de medici´ on tipos de errores
1. ¿Qu´e es un error? a) una mala determinaci´on b) un mal se˜ nalamiento c) Algo improbable. d) a) y b) e) ninguna es cierta 2. ¿Cu´antos tipos de errores hay? a) 10 b) 5 c) 7 d) 20 3. Se clasifica en cuatro clases instrumentales, ambientales y sistem´aticas. a) de Calibraci´on. la.
b) Sistem´aticos.
c) de Esca-
4. ¿Se deben a variables no controlados? a) Por defecto b) Ambientales c) Aleatorias 5. ¿Es la suma de todos los valores medidos? a) Aproximaci´on
b) Error.
c) Valor
6. ¿Como se le conoce a los valores medidos dividida por el n´ umero de valores? a) Aproximaci´on verdadera o valor medio. maci´on c) Valor.
b) Aproxi-
7. ¿En donde se da el valor relativo? a) Porcentaje.
b) Medici´on
c) Aproximaci´on
8. Medir es comparar ¿Como se puede hacer? a) Directo.
b) indirecto.
c) Exacto
1.3 Vectores.
115
9. Errores en la medici´on son constantes y se clasifican: a) Por defecto o instrumentales dici´on c) Valor o porcentaje.
b) Comparaci´on y me-
10. ¿Qu´e es un error en la medida? a) Una cantidad
b) Valor
c) Aproximaci´on.
1.3.1. Diferencia entre las magnitudes escalares y vectoriales.
1. ¿Para la f´ısica cuales tipos de cantidades son importantes? a) Cantidades escalares y vectoriales. recci´on. c) Correcto e incorrecto. les y derivadas.
b) N´ umero y did) Fundamenta-
2. ¿22 alumnos a que tipo de cantidad pertenece? a) Cantidades vectoriales Prefijo d) Coplanar.
b) Cantidades escalares
c)
3. ¿Como se llaman los vectores que act´ uan sobre un mismo plano, formado por dos ejes ortogonales de coordenadas? a) Concurrente d) Angulares
b) No Coplanar.
c) Coplanares.
4. Son ejemplos de magnitudes vectoriales. a) Masa y peso b) Longitud y peso masa d) Desplazamiento y velocidad
c) Fuerza y
5. Dos vectores son iguales cuando tienen la misma direc´ ci´on, magnitud y: a) Naturaleza b) Area c) Sentido d) Principio
116
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
6. Como se llaman las cantidades que se sabe el n´ umero de objetos y la unidad de medida de los objetos. a) Escalares cunstanciales
b) Colineales
c) Libres
d) Cir-
7. Se representan por medio de l´ıneas con una punta de flecha, las cuales se llaman: a) T´ermino res
b) Principio
c) Vectores
d) Erro-
8. Son dos o m´as vectores cuyas rectas de acci´on tienen la misma direcci´on. a) Paralelos Iguales
b) Colineales
c) Perpendicular
d)
9. Son los vectores que act´ uan sobre la misma recta de acci´on: a) Concurrentes Aceleraci´on
b) Paralelos
c) Colineales
d)
10. Son los vectores en los cuales sus rectas de acci´on se corta en alguna parte del plano. a) Colineales No coplanares
b) Coplanares
c) Concurrentes
1.3.2.Caracter´ısticas de un vector.
1. Es todo segmento de recta dirigido en el espacio: a) Vector
b) Sentido
c) Origen
2. Al origen tambi´en se le denomina. a) Espacio
b) Vector
c) Punto de aplicaci´on
d)
1.3 Vectores.
117
3. Viene dada por la orientaci´on de la recta que lo contiene: a) M´odulo
b) Direcci´on
c) Origen
4. Es la longitud o tama˜ no de un vector y debes medir desde su origen hasta su extremo a) M´odulo
b) Direcci´on
c) Sentido
5. Indica hacia qu´e lado de la l´ınea de acci´on se dirige el vector. a) Sentido
b) Origen
c) M´odulo
6. Cuando dos vectores tienen el mismo m´odulo y la misma direcci´on son: a) vectores libres vectores
b) vectores iguales
c) suma de
7. Que vector es caracterizado por su m´odulo direcci´on y sentido. a) Vector igual diente
b) vector libre
c) vector indepen-
8. Cuantas caracter´ısticas importantes tiene un vector: a) 3 b) 9 c) 5 9. Con el vector se forman: a) rectas
b) segmentos
c) las dos anteriores
10. En que materia se utiliza el vector a) Qu´ımica c) Matem´aticas d) todas las anteriores
b) F´ısica
118
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
1.3.3.Representaci´ on gr´ afica de sistemas de vectores Coplanares, deslizantes, libres colineales y concurrentes.
1. ¿Qu´e son los vectores coplanares? a) Son los vectores que act´ uan en planos distintos. b) Vectores que act´ uan sobre un mismo plano. c) Son vectores no tienen caracter´ısticas. 2. ¿Qu´e son los paralelos? a) Son dos o m´as vectores cuyas rectas de acci´on tienen la misma direcci´on. b) Son vectores lineales. c) En direcci´on de su recta de acci´on. 3. ¿Qu´e son los concurrentes? a) Sobre la misma recta de acci´on b) Son vectores deslizantes. c) Son rectas de acci´on se cortan en alguna parte del plano. 4. ¿Qu´e son los colineales? a) Act´ uan sobre la misma recta de acci´on. b) Se cortan en alguna parte del plano. c) En direcci´on de su recta. 5. ¿Cu´al es su efecto interno de un vector? a) En un cuerpo ligero b) Depende directamente del punto de aplicaci´on del vector sobre el cuerpo. c) Deslizante que establece el efecto. 6. ¿Cu´ales son las condiciones de los vectores deslizantes? a) Punto de aplicaci´on. b) Su efecto interno. Establece que el efecto externo de un cuerpo r´ıgido.
c)
1.3 Vectores.
119
7. ¿Como se clasifican los coplanares? a) Coplanares, no coplanares. c) Coplanares y vectores.
b) Coplanares en plano.
8. ¿Cu´ales son los cuatro tipos de vectores? a) Vectores internos, externos y concurrentes. Problemas 1. Encuentre por el m´etodo gr´afico y anal´ıtico las componentes rectangulares o perpendiculares de los siguientes vectores: ~ 1 = 33T 50 a) V
o
ր
V1X = 21,212T = 25,278T
Respuesta
V1Y ~ = 2,5 N 35 b) V C Respuesta
o
տ
~ x = −2,048 N V C
~ y = 1,434 N V C ~ = 200 m2 60 c) V s Respuesta
o
ւ
~ x = −100 m2 V s
~ y = −173,2 m2 V s
~ x = 10 m y A ~ y = 6 m. 2. Las componentes de un vector son A ¿Qu´e ´angulo forma este vector con el eje x positivo?
120
Introducci´ on al Conocimiento de la F´ısica
~ 3. Calcule las componentes rectangulares de los vectores A que, estando contenidos en el plano x e y, forman un ´angulo ~ θ con el eje x, para los siguientes valores del m´odulo de A yθ: ~ = 10T, θ = 30◦ ; (a) A ~ = 5 N , θ = 45◦ ; (b) A C
(c) vecA = 7km, θ = 60◦ ; ~ = 5 m2 , θ = 90◦ (d) A s
~ = 15 km , θ = 150◦ ; (e) A hr m ~ = 10 , θ = 240◦ (f ) A ~ = (g) A
s 8 sm2 , θ
= 270◦ .
~ tiene la magnitud de 8 m y forma un ´angulo 4. Un vector A ~ yC ~ se expresan como de 37 ◦ con el eje X. Si los vectores B ~ = (3ˆı − 5ˆ) m y C ~ = (6ˆı + 3ˆ) m, determine: B ~ en la forma: A ~ = (axˆı − ayˆ) m (a) exprese el vector A ~ =A ~ + C; ~ (b) D ~ =B ~ − A; ~ (c) E ~ =A ~ − 2B ~ + 3C; ~ (d) F
~ tal que G ~ −B ~ =A ~ + 2C ~ + 3G. ~ (e) un vector G
Movimiento “Los cient´ıficos se resist´ıan a creer que todos los cuerpos c´aen a la misma velocidad. Fue f´acil convencerlos: las piedras de diferente tama˜ no arrojadas desde lo alto de la torre de Pisa llegaron al mismo tiempo, aunque, por supuesto sus pesos eran muy diferentes.” GALILEO GALILEI La ca´ıda de los Cuerpos.
Galileo Galilei.
Libro de Galileo (1610).
122
2.1. 2.1.1.
Movimiento
Movimiento en una Dimensi´ on Conceptos Fundamentales.
Definici´on: Cinem´atica (gr. κιηεµα (kinema): movimiento) Parte de la mec´anica (gr. µεκ´ αηε: mekane:) que se encarga de estudiar el movimiento sin explicar las causas del movimiento.
¿Que Estudia la Cinem´ atica?
Estudia y explica como se mueven los cuerpos. La Cinem´ atica; Estudia los movimientos de los cuerpos independientemente de las causas que lo producen. Es decir que describe la forma o manera en que se mueven los cuerpos, pero no explica porque se mueven asi. Movimiento Relativo.
Depende del punto desde donde se observa el movimiento, esto es desde el Sistema de Referencia de Observaci´on 2.1.2.
Sistemas de Referencia (SR).
Es el punto desde donde se observa un movimiento.
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
123
Existen dos tipos, Sistema de Referencia Inercial (SRI) y Sistema de Referencia No-Inercial (SRNI) Sistema de Referencia Inercial (SRI).
Un Sistema de Referencia Inercial (SRI), es aquel que se mueve con velocidad constante con respecto a otro. Un ejemplo de sistema de referencia inercial puede ser un tren que se mueve en un tramo de v´ıa rectil´ıneo con una velocidad constante. Sistema de Referencia No Inercial (SRNI).
Un Sistema de Referencia No-Inercial (SRNI) se mueve con respecto a otro con una aceleraci´on.
La propia Tierra constituye un sistema de referencia no inercial, ya que gira con una aceleraci´on normal, que si bien es peque˜ na, en ciertos fen´omenos se observa con claridad, pero que a velocidades peque˜ nas se considera Sistema de Referencia Inercial. En la mayor´ıa de los trabajos f´ısicos y de ingenier´ıa se considera inercial cualquier sistema ligado a la superficie de la Tierra, la cu´al evidentemente no est´a quieta ni movi´endose en forma rectil´ınea y uniforme, sin rotaci´on, pero el error que se comete al considerarlo como Inercial es insignificante.
124
Movimiento
Los sistemas de referencia en f´ısica se representan mediante los sistemas de coordenadas. Algunos de los m´as usados son : El sistema de coordenadas cartesiano rectangular en dos y tres dimensiones El sistema de coordenadas polares en dos dimensiones El sistema de coordenadas cil´ındricas en tres dimensiones El sistema de coordenadas esf´ericas en tres dimensiones
Preguntas
1. ¿Cu´antos tipos de sistema de referencia existen ? 2. ¿Qu´e quiere decir SRI? 3. ¿Qu´e quiere decir SR?
Figura 2.1: Observaci´on de un Movimiento y su Vector de Posici´on (~r)
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
4. ¿Que significado tiene la abreviaci´on: SRNI 5. ¿C´omo es la velocidad del SRI? 6. De un ejemplo de SRI 7. De un ejemplo de SR
Figura 2.2: Sistema de Referencia en Tres Dimensiones
125
126
Movimiento
Posici´ on, Distancia, Desplazamiento
El estudio del movimiento requiere que se conozcan algunos conceptos necesarios para su estudio, los m´ınimos son los siguientes:
Posici´ on.
Punto donde se encuentra ubicado un cuerpo, el cual se introduce en un eje de coordenadas.
Trayectoria.
Curva que realiza un cuerpo al moverse.
Distancia
Magnitud escalar que se encuentra midiendo la longitud de la trayectoria.
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
127
Desplazamiento.
Vector trazado desde el punto donde se comienza la observaci´on del movimiento hasta dode se deja de observar.
~ = ∆~r = ~r2 − ~r1 ) Figura 2.3: Vectores de Posici´on (~ri ) y Desplazamiento (D Ejemplo 2.1.2
Sobre una barca que se mueve sobre un rio viajan 2 personas, sobre la orilla se encuentra otra persona que observa a la barca. El rio se mueve recorriendo dos km en cada minuto y sobre la barca una persona rema, y la otra se mueve sobre la barca recorriendo los cuatro metros que mide la barca en 10 segundos. a). Haga un diagrama que describa el problema. b). ¿Que longitud tiene la barca?
128
Movimiento
Figura 2.4: Figura para el problema: 2.1.2
R: 4 m c). ¿Cuantos sistemas de referencia existen en este problema? R: Tres d). ¿Que distancia recorre el rio? 2 Kilometros en 60 s. e). ¿Que trayectoria describe el rio respecto: e.1. El observador de la orilla. R: Una l´ınea recta que se aleja de el hacia adelante. e.2. El observador que rema.
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
129
R: Una l´ınea recta que se aleja de el hacia atr´as. e.3. El observador que se mueve sobre la barca R: Una l´ınea recta que se aleja hacia atr´as de el. Preguntas
1. ¿Qu´e es el desplazamiento? 2. ¿Qu´e es la posici´on? 3. Significado de distancia 4. Significado de trayectoria
Velocidad 2.1.3.
Movimiento Rectilineo Uniforme (MRU).
Para este caso, la trayectoria es una l´ınea recta. La distancia y el desplazamiento coinciden. La posici´ on se puede representar por un punto sobre la l´ınea de la trayectoria.
Figura 2.5: Posici´on (~r), Distancia (x) y Desplazamiento (d~ = ∆~r = ∆x) en un Movimiento Rectilineo
130
Movimiento
Caracter´ısticas del MRU
a). La trayectoria es una l´ınea recta. b). El cuerpo recorre distancias iguales en tiempos iguales. c). La gr´afica distancia contra tiempo (d o x vs t) es una l´ınea recta. d). La divisi´on de la distancia (d) entre el valor del tiempo (t), es la rapidez y es un valor igual para cada punto.
Velocidad:
~ medido en Cociente entre el Desplazamiento (d) [m]etros y el tiempo medido en [s]egundos en el Sistema Internacional de Unidades (SI).
v = ~v =
de la figura 2.5:
d~ t
d~ = ∆~r = r~2 − r~1
(2.1)
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
⇒ ~v =
131
r~2 − r~1 t2 − t1
(2.2)
la que para el Movimiento Rectil´ıneo (MR) queda: v=
∆x x2 − x1 = t2 − t1 ∆t
(2.3)
Rapidez.
Cociente entre la distancia (d) medida en [m]etros y el tiempo (t) medido en [s]egundos en el Sistema Internacional de Unidades (SI). r = |~v | =
d t
(2.4)
de acuerdo a la figura 2.5, x = d por lo que: x hmi r= t s
(2.5)
en el Sistema Internacional. De lo anterior, se debe notar que: La rapidez es una cantidad escalar y la velocidad es una cantidad vectorial. La gr´afica de la posici´on (x ´o d) contra el tiempo es de la forma 2.6 en la p´agina 132. Tambi´en se puede ver la gr´afica; 6.2 en la p´agina 303
132
Movimiento
Figura 2.6: Gr´afica del Movimiento Rectil´ıneo Uniforme (MRU).
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
133
Se suelta un bal´ın desde una rampa, al final de esta, se toma como el inicio del movimiento, en l´ınea recta horizontal, se midieron los valores de tiempo y distancia recorridos, los que se presentan en el cuadro: 2.1. Ejemplo: 2.1.3.1
d [m] 0 2 4 6 8 10 12 14
t [s] 0 1 2 3 4 5 6 7
r = dt [ ms ] — 2 2 2 2 2 2 2
Cuadro 2.1: Tabla de datos del ejemplo: 2.1.3.1
Figura 2.7: Gr´afica d vs t para el ejemplo: 2.1.3.1. Velocidad Promedio.
La rapidez promedio se encuentra sumando los valores de las velocidades y se divide entre el n´ umero de velocidades
134
Movimiento
hri = r¯ =
n P
ri
i=1
n
(2.6)
En un veloc´ımetro de automovil, se obtuvieron km km km los siguientes valores de rapidez: 40 km hr , 80 hr , 60 hr , 70 hr , 90 km hr . ¿Cual es la rapidez media o promedio? aplicando la relaci´on (2.6) Ejemplo: 2.1.3
40 km +80 km +60 km +70 km +90 km
340 km
hr hr hr hr = 5 hr = 68 km hri = hr 5 hr m ? ¿Cuanto es esta rapidez en s 68km ր 1hr ւ 1000m 68000m · · = =18.89 ms 1hr ւ 1km ր 3600s 3600s
Velocidad Instantanea.
En general, la velocidad de un cuerpo, var´ıa de instante en instante, el valor que toma en cualquier instante es la velocidad instantanea. La noci´on de instante es una abstracci´on, pero es posible realizar una aproximaci´on a este concepto, considerandolo como un intervalo de tiempo peque˜ nisimo, (asi lo hizo Newton) asi el instante es una millon´esima de segundo y ese tiempo puede tomarse como el instante en el que no cambia la magnitud de la velocidad. Para indicar un cambio en valor, se utiliza la letra griega ∆ delta, seguida de la letra a la que se le “mide” el cambio, por ejemplo: ∆x indica que cambi´o la variable x, as´ı que para variaciones muy peque˜ nas se pueden expresar, utilizando una
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
135
“d”. Un intervalo de tiempo muy peque˜ no, se representar´a por “dt” y la variaci´on del espacio medio sobre la trayectoria se representa como “d~x” de manera que la velocidad instantanea se escribe:
v~i =
d~x dt
(2.7)
y se le´e: La velocidad instant´anea es la variaci´on de la posici´on de un cuerpo con respecto al tiempo.
Gr´ aficas de Movimientos.
Cuando un cuerpo se mueve sobre una l´ınea recta, se produce un movimiento rectil´ıneo. Si su trayectoria es una curva cerrada, es el´ıptico como el de un planeta o circular como el de las manecillas de un reloj. Cuando describe una trayectoria en l´ınea recta y recorre distancia iguales en tiempos iguales es un Movimiento Rectilineo Uniforme (MRU), adem´as la velocidad es siempre la misma y su gr´afica es un l´ınea recta, como ya se dijo anteriormente. En la figura 2.8, se presenta la gr´afica x vs t, de un MRU. La figura 2.9, es la gr´afica r vs t, de ese mismo movimiento. El ´area sombreada es un rect´angulo en el que en la parte horizontal se tiene el tiempo y en la vertical la rapidez. El ´area de un rectangulo se encuentra multiplicando el largo × altura, para este caso es largo (t) × altura (r) ´o r × t = (r)(t) = r · t, pero r
136
Movimiento
es la rapidez (que se mide en ms y t es el tiempo en s), entonces: h i / r ms t [s] = rt ms = rt [m], es decir la distancia, entonces se s/ puede decir que al multiplicar la rapidez por el tiempo se obtiene la distancia y tambi´en es el ´area del rectangulo que se forma bajo la gr´afica de la velocidad (v) o rapidez (r) vs t en un MRU.
En un (MRU); la distancia es el ´area del rect´angulo que se forma bajo la gr´afica de la velocidad (v) o rapidez (r) vs (t).
Este resultado aunque se obtuvo para el MRU, es v´alido para cualquier movimiento, esto se puede enunciar de manera general como:
Figura 2.8: Gr´afica d vs t para el MRU
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
137
Figura 2.9: Gr´afica r vs t de la figura 2.8.
En un (Movimiento); la distancia es el ´area bajo la gr´afica de la velocidad (v) o rapidez (r) vs el tiempo (t). Para el caso del ejemplo 2.9, m (40 − 5) /s = 175m d= 5 /s es la distancia recorrida. ¿Aproximadamente a que distancia del DF se encuentra Hermosillo Sonora si un avi´on tarda 2.5 hrs para llegar y se mueve a una velocidad de crucero de 600 km hr representaci´on gr´afica: r = 600 km hr t = 2,5hr d r= t Ejemplo: 2.1.3.1
138
Movimiento
d =? Sustituyendo:
km d = hr (2,5hr) km · (2,5hr ր) ⇒ d = 600 ր hr 600
multiplicando
d = 1500km Una persona sale de un punto a las 8 a m con una rapidez de 15 km hr , y a las 10 a m sale otra persona en motocicleta a una rapidez de 50 km hr ¿A que hora y lugar se encontrar´an? Soluci´on: La relaci´on del movimiento se puede representar como el de una l´ınea recta de la forma x = vt + b donde v representa la Ejemplo: (dificultad media) 2.1.3.2
Figura 2.10: Representaci´on gr´afica para el problema 2.1.3.1
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
139
velocidad. Puesto que sale a las 8 a. m. entonces en ese momento su posici´on es cero y como son dos motocicletas diferentes; km x1 = 15 t − b1 hr km (8hr ր) − b1 ⇒ 0 = 15 ր hr ⇒ b1 = 120km
La relaci´on general para la 1a motocicleta ser´a: km ⇒ x1 = 15 t − 120km hr
de manera similar, para la segunda motocicleta: km t − 500km x2 = 50 hr
Figura 2.11: Representaci´on gr´afica para el problema 2.1.3.2.
140
Movimiento
Ahora se puede encontrar que la soluci´on gr´afica es el punto donde se crucen estas l´ıneas: Se encuentran en el punto X = 42.855 km, en la hora: 10: 51’26” De la observaci´on de la gr´afica, entonces, el punto de encuentro es en d =42.855 km, en la hora: 10: 51’ , 26” Una persona camina hacia el este como se muestra en la grafica: 2.12 Ejemplo: 2.1.3.3
Figura 2.12: Representaci´on gr´afica del problema 2.1.3.3.
a). ¿Que rapidez adquiri´o entre 0 y 200 m?: R: r1 =
(200−0)m (11−0)min
m = 18,18 min
b). En el intervalo de 11 a 19 min ¿que velocidad tiene?: R: r2 =
(200−200)m (19−11)min
=
0 m 8 min
m = 0 min
De otra forma: como es una l´ınea paralela al eje t, la rapidez es cero, por lo que la persona se encuentra en reposo. c). En el intervalo de tiempo de 19 a 30 minutos:, ¿Que distancia ha recorrido? R: r3 =
[200−(−100)]m (30−19)min
=
[200+100]m (11)min
=
300m 11min
m = 27,28 min
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
por lo que recorre:
141
m 28,28 min ր
(11min ր) = 300m
d). En el intervalo de tiempo de 30 a 39 minutos:, ¿Que distancia ha recorrido? [0−(−100)]m (39−30)min
100m m = (9)min = 100m 9min = 11,11 min m (9min ր) = 100m y recorre: 11,11 min ր
R: r4 =
Pr´ actica 2.
Movimiento Rectilineo Uniforme. Observaci´on de un Movimiento Rectil´ıneo Uniforme (aproximado). Aplicaci´on de los conceptos aprendidos hasta este subtema. Mediante el uso de materiales de uso com´ un, observar el Movimiento Rectil´ıneo Uniforme. Medici´on de distancia y tiempo aplicando las ecuaciones conocidas, as´ı como, la teor´ıa de errores para la expresi´on de los resultados y mediciones. Objetivo.
Construcci´ on del instrumento. Material.
1. Duela de 2. m de longitud. 2. Clavos alfilerillo (15 o m´as). 3. Manguera de nivel 1.5 cm de di´ametro (o mayor) 2.3 m. 4. Canica o bal´ın peque˜ no. 5. Agua, aceite o shampoo.
142
Movimiento
6. Dos pedazos de madera cilindricos de diametro igual al de la manguera (u otro material) que puedan servir como tap´on. 7. Cron´ometro (algunos celulares tienen esta funci´on). Descripci´ on de la Construcci´ on.
Dibuje o fotograf´ıe los pasos realizados. Sobre la duela de 2 m, coloque la manguera de manera que quede lo mas recta posible. Para que esto sea posible, clave dos alfilerillos a cada lado de la manguera, cada diez centimetros. Tape un extremo de la manguera. Llene con el l´ıquido cuidando de poner la canica o bal´ın dentro. Tape el otro extremo de la manguera. Experimento.
Figura 2.13: Pr´actica: Movimiento rectil´ıneo Uniforme.
Colocar la manguera sobre una madera o libro de manera que quede inclinada unos cemt´ımetros. inclinar la duela con la manguera, cuidando que la canica quede en el extremo superior. Descripci´ on del Procedimiento.
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
143
Medir el tiempo que tarda en pasar los pimeros 10 cm, cuidando de que el cron´ometro inicie cuando pase por el primer clavo incrustado en la madera. realice este procedimiento por lo menos cinco veces. Dibuje o fotograf´ıe los pasos realizados.
Indicaciones para el Reporte. 1. Conf´ormense en equipos de hasta 5 elementos, nombrando un representante. 2. Se entregar´a un reporte por equipo. 3. El reporte de la pr´actica debe contener: * Presentaci´ on. * Introducci´ on. * Desarrollo. * Conclusiones. * Bibliograf´ıa. 4. Discuta en equipo el contenido de cada uno de los puntos que debe contener el reporte 5. Para el paso llamado desarrollo, tomar como base en la pr´actica realizada: 6. Reunirse en equipo la obtenci´on del material y la construcci´ on del prototipo. 7. Anotar la descripci´ on de los pasos numer´andolos, por ejemplo: 1.- Construcci´on. 2.- Desarrollo 3.4.- . . . . . . 5.- Realizar un cuadro donde se presenten las mediciones y c´alculos realizados. 6.- como son cinco integrantes deben reportarse cinco mediciones. 7.- Discuta en equipo el contenido de las conclusiones y la bibliograf´ıa.
144
Movimiento
Para la evaluaci´on de la Pr´actica 2 se tomar´a en cuenta: 1. Entrega en tiempo y forma (Una semana m´ aximo). 2. Validez y pertinencia de las ideas expuestas. 3. Profundidad de los conceptos. 4. Revisi´on del contenido. 5. Presentaci´ on al profesor del prototipo por el coordinador. 6. Habra una coevaluaci´on por lo que se debe poner de acuerdo con el profesor. 7. La evaluaci´on se reportar´ a en un cuadro como el siguiente: Indicador si no ponder. calif. Present´o en tiempo y forma 1 Present´o el prototipo 1 El reporte contiene: Introducci´ on 1 Desarrollo 2 Conclusiones 1 Bibliograf´ıa 1 Existe Validez y pertinencia 1 de las ideas expuestas Existe Claridad y coherencia 1 en el escrito. Existe Profundidad en los 1 conceptos
2.1.4.
2a Autoevaluaci´ on
Nombre del alumno —————————————— Gpo. 30—– I.- Contesta con la Respuesta Correcta a las Siguientes Preguntas 1. ¿Qu´e es el error de medida? 2. ¿C´omo se representa el valor absoluto? 3. ¿C´omo se representa el valor verdadero?
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
145
4. ¿C´omo se representa el valor calculado? 5. ¿Qu´e es el error sistem´atico? 6. ¿Qu´e es el error aleatorio? 7. ¿Que es el error por defecto? 8. ¿Qu´e es el error de escala? 9. Este te tipo de error se debe a la simplificaci´on de teor´ıas 10. Menciona cual es el tipo de error que se debe cambios imprescindibles 11. ¿Se deben al juicio o a la reacci´on de observadores? 12. ¿Este tipo de error es la diferencia entre el valor absoluto y la aproximaci´on? 13. ¿Este es el cociente entre el valor absoluto y la aproximaci´on? 14. ¿Este tipo de error se presenta en porcentaje? 15. ¿Los errores se deben dar en una cifra significativa de que manera? 16. ¿Qu´e son las cantidades escalares? 17. Menciona 5 ejemplos de cantidades escalares 18. ¿Qu´e son las cantidades vectoriales? 19. ¿Caracter´ısticas tienen las catidades vectoriales? 20. ¿Menciona algunos ejemplos de cantidades vectoriales?
146
Movimiento
21. ¿Menciona las caracter´ısticas de un vector? 22. ¿Con que letras se representa a los vectores? 23. ¿Sobre que se representan los vectores? 24. ¿En que se basa el principio de transmisibilidad? 25. ¿Cuando son iguales Dos vectores ? 26. ¿Cu´ando se entiende que es un vector negativo? 27. ¿Formula como se representa a la suma de vectores? 28. ¿Formula como se representa a la resta de vectores? 29. ¿C´omo se representa los vectores por n´ umeros en el plano cartesiano? 30. ¿Formula el teorema de Pitagoras? 31. ¿Qu´e estudia la cinem´atica? 32. ¿Qu´e es el movimiento relativo? 33. ¿Qu´e es sistema de referencia? 34. ¿Cu´antos tipos de sistemas de referencia existen? 35. ¿Cual es el Sistema de Referencia Inercial? 36. ¿Cu´al es el Sistema de Referencia No Inercial? 37. ¿Ejemplo del SRI? 38. ¿Ejemplo del SNI? 39. ¿Qu´e es posici´on?
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
147
40. ¿Qu´e es la distancia? 41. ¿Qu´e es el desplazamiento? 42. ¿Qu´e es la trayectoria? 43. ¿Qu´e significa MRU? Menciona algunas caracter´ısticas de MRU 44. ¿Formula que representa la velocidad? 45. ¿Qu´e es la velocidad? 46. ¿Qu´e es la rapidez? 47. ¿Qu´e es la velocidad promedio? 48. ¿Cu´al es la rapidez media o promedio? 49. ¿Qu´e es la velocidad instant´anea? 2a Autoevaluaci´ on (continuaci´ on) Nombre del alumno —————————————— Gpo. 30—– I.- Contesta Correctamente las Siguientes Cuestiones (2 puntos) 1.- De las siguientes magnitudes especifique: V para Vectorial, E para escalar
148
Movimiento
Cantidad Tipo a) campo magn´etico b) Carga El´ectrica c) Potencia d) Diferencia de Potencial e) Campo El´ectrico f) Fuerza g) Distancia h) Desplazamiento i) Velocidad j) Rapidez 2.- Deducir las dimensiones de las siguientes cantidades, mencionando tambi´en si son Vectoriales (V) o escalares (E) Cantidad
Expresi´on Matem´atica Unidades Tipo
velocidad
=
Fuerza π sin α
~r t
= m~a =
long.circunf erencia diametro catopuesto = hipotenusa ~ = F~ E q
Campo Electrico II.- Resuelva los Siguientes Problemas
1. Por cualquier M´etodo gr´afico, obtener la resultante de los siguientes vectores: F~1 = 300N ր, F~2 = 500N տ y F~3 = 400N ↓ a) Dibuje los vectores b) Encuentre la resultante
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
149
a) Dibuje la resultante con magnitud direcci´on y sentido N ~ ~ ˆ 2. Para los vectores V1 = (4ˆı + 3ˆ) C , V1 = −5ˆı + 8j N C y V~3 = (5ˆı − 4ˆ) N C
a) Dibuje los vectores b) Encuentre la resultante por el m´etodo anal´ıtico a) Dibuje la resultante con magnitud direcci´on y sentido d) Escriba la expresi´on de la resultante 3. Se han tomado los valores de Posici´on y tiempo para una canica que se mueve dentro de un tubo, dando los siguientes resultados: Cuadro 2.2: para el problema 3 x[m] 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10
t[s] 4,3 ± 0,2 8,4 ± 0,2 16,7 ± 0,2 25,2 ± 0,2 33,4 ± 0,2 41,7 ± 0,2
r=
d t
m s
a) Realice un dibujo que describa el problema b) Encuentre el cociente entre x y t para cada punto c) Dibuje la gr´afica x vs t d) De acuerdo a lo que realiz´o diga si es un MRU, escribiendo porque lleg´o a tal conclusi´on.
150
Movimiento
Aceleraci´ on. El MRU es el caso mas simple del movimiento, pero en la naturaleza los movimientos no suceden asi, pues la velocidad cambia tanto en magnitud como en direcci´on, por lo que entra en juego una cantidad llamada aceleraci´ on la cual es de naturaleza vectorial tambi´en. Concepto de Aceleraci´ on
La aceleraci´ on se define como El cambio de velocidad dividida por el cambio en el tiempo en lenguaje de matem´aticas:
~a =
2.1.5.
∆~v ∆t
(2.8)
Movimiento Rectilineo Uniformemente Acelerado (MRUV o MUA).
Cuando la velocidad solo aumenta o disminuye, el movimiento se conoce como Movimiento Rectilineo Uniforme Variado (MRUV), en este caso la velocidad puede aumentar o disminuir, por ejemplo en la ca´ıda libre de un cuerpo desde una altura. Este caso fue estudiado por Galileo, encontrando que la aceleraci´on que adquiere un cuerpo cayendo desde una altura y lo hace en MRUV con aceleraci´on constante e igual a 9,81 sm2
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
151
Ecuaciones del MRUV
Se parte de la relaci´on dada para la aceleraci´on (2.8): ~a =
multiplicando;
∆~v ~vf − ~vi = ∆t tf − ti
⇒ ~a(tf − ti ) = ~vf − ~vi ~atf − ~ati = ~vf − ~vi
(2.9)
~at = ~vf − ~vo
(2.10)
⇒ ~vf = ~vo + ~at
(2.11)
si tf = t, to = 0 y ~vi = ~vo , y se sustituyen estos valores en la relaci´on: 2.9 ~atf − ~a(0) = ~vf − ~vo Velocidad Final.
Posici´ on Final.
La velocidad promedio est´a dada por la ec. 2.6 si se toma solo la velocidad inicial ~vo y la velocidad final (~vf ), la velocidad promedio es: P2 ~vi ~vo + ~vf h~v i = i=1 = (2.12) 2 2 pero esta es igual a: h~xi ~vo + ~vf = t 2 ~vo + ~vf ⇒ h~v i t = h~xi = t 2 h~v i =
152
Movimiento
o mejor: h~xi =
~vo t + ~vf t ~vo + ~vf t= 2 2
(2.13)
pero de 2.11 ~vf = ~vo + ~at sustituyendo en 2.13: ~vo t + (~vo + ~at)t ~vo t + (~vo t + ~at2 ) h~xi = = 2 2 2~vo t + ~at2 ~at2 h~xi = = ~vo t + 2 2 finalmente:
1 ~x = ~vo t + ~at2 2
(2.14)
Velocidad Final En Funci´ on de la Posici´ on.
Si se toma la expresi´on para la velocidad promedio 2.12 h~v i =
h~xi ~vo + ~vf = t 2
⇒ h~xi =
~vo + ~vf t 2
(2.15)
de 2.10 ~at = ~vf − ~vo ~a =
~vf − ~vo t
calculando la cantidad: ~a · ~x por ser conveniente en este caso, se tiene:
(2.16)
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
153
2~a · ~x = (~vf − ~vo ) · (~vo + ~vf ) 2ax = vf2 − vo2
(2.17)
vf2 = vo2 + 2ax
(2.18)
vf2 − vo2 = 2ax
en conclusi´on: las relaciones: 2.12, 2.13, 2.11, 2.14 y 2.18, son las ecuaciones de MRUV es conveniente que se escriban en una ficha bibliogr´afica.
~vo+~vf h~v i = 2 ~vo+~vf h~xi = 2 t vf = ~vo + ~at ~x = ~vot + 21~at2 vf2 = vo2 + 2ax Cuadro 2.3: Ecuaciones del MRUV.
Ejemplos MRUV.
La velocidad de un auto aumenta desde 3 ms en un tiempo de un segundo hasta 16 ms al tiempo de 4,5s
Ejemplo: 2.1.5.1.
a). Diagrama; se presenta en la fig 2.14
154
Movimiento
b). ¿Cual es la velocidad inicial (vo ) del auto? vo = 3
m s
c). ¿Cual es la velocidad final (vf ) del auto? vf = 16
m s
d). ¿Cual es el tiempo inicial? ti = 1s e). ¿Cual es el tiempo final? tf = 4,5s f ). ¿Cual es el cambio en la velocidad? m m m = 13 ∆v = vf − vi = 16 − 3 s s s g). ¿Cual es el cambio en eltiempo? ∆t = tf − ti = 4,5s − 1s = 3,5s h). ¿Cual es la aceleraci´on del auto?
Figura 2.14: Ejemplo 2.1.5.1 del MRUV
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
155
R. De la relaci´on 2.8 ~a =
~vf − ~vi tf − ti
m 16 ms − 3 ms 13 ms = = 3,71 s a= 4,5s − 1s 3,5s s
~a = 3,71 sm2 hacia la derecha.
Un ni˜ no se mueve con una velocidad inicial de su aceleraci´on es de 2 sm2 Todo esto en tiempo de 3 segundos.
Ejemplo:2.1.5.2
5
m s,
a). Diagrama; se presenta en la fig. 2.15
Figura 2.15: Ejemplo 2.1.5.2 MRUV
b). ¿Cual es la velocidad final (vf ) del ni˜ no? Por la ec. 2.11 ~vf = ~vo + ~at m m m m m m ms/ vf = 5 + 2 2 (3s) = 5 + 6 =5 + 6 = 11 s s s s · /s s s s
~vf = 11 ms hacia la derecha
156
Movimiento
c). ¿Cual es la distancia que recorre en ese tiempo? De la ec. 2.14
1 ~x = ~vo t + ~at2 2
sustituyendo: m 1 m x= 5 (3s) + 2 2 (3s)2 s 2 s ms/ 1 m 2 x = 15 2 2 (9s ր) + /s 2 ր s 1 x = 15m + (18m) 2 18 x = 15m + m 2 x = 15m + 9m ~x = 24m a la derecha. Se lanza una piedra desde una altura de 15 m partiendo del reposo. Ejemplo: 2.1.5.3
a). Diagrama; se presenta en la fig. 2.16 b). ¿Cual es la velocidad inicial (v0 )? Puesto que parte del reposo, su velocidad inicial es cero; vo = 0 c). ¿Cual es su velocidad en un tiempo de 1 s? En ca´ıda libre, como se dijo en la secci´on: 2.1.5, la ca´ıda libre es un MRUV, con aceleraci´on de -9.81 sm2 , por lo que son v´alidas las relaciones dadas en la tabla: 2.3, cambiando x→hya→g
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
Mediante la ec. 2.11 ~vf = ~vo + ~at cambiando variables ~vf = ~vo + ~g t sustituyendo:
~vf = 9,81 ms
m m + −9,81 2 (1s) ~vf = 0 s s m ~vf = −9,81 (1s/) s · /s m ~vf = −9,81 s hacia abajo.
d). ¿Cuanto habr´a caido en un tiempo de 1 s? por ; 2.14
1 ~x = ~vo t + ~at2 2
Figura 2.16: Ejemplo 2.1.5.3 MRUV
157
158
Movimiento
cambiando variables ~h = ~vo t + 1 ~g t2 2
(2.19)
Sustituyendo: 1 m m ~hf = 0 (1s/) + −9,81 2 (1s)2 /s 2 s 2 ~hf = 1 −9,81 m (1s ր) 2 2 ր s ~h = 1 (−9,81m) 2 ~h = −4,905m
~h = 4,905m hacia abajo.
e). ¿Con que velocidad toca el suelo? por ; 2.18 vf2 = vo2 + 2ax cambiando variables vf2 = vo2 + 2gh Sustituyendo: m = 0 + 2 −9,81 2 (−15m) s 2 m vf2 = 2 147,15 2 s pero como se busca vf , entonces se debe sacar la raiz cuadrada a ambos miembros de la igualdad para que no se altere: r q m2 2 vf = 294,3 2 s vf2
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
159
tomando el valor negativo de la raiz1 , la velocidad con que toca el suelo es: vf = −17,16 ms
Casos de Movimientos Acelerados. 2.1.6.
Caida Libre y Tiro Vertical
Uno de los casos es la ca´ıda libre de los cuerpos, estudiada por Galileo Galilei en el siglo XVII, para el cual se ha realizado el Ejemplo 2.1.5. Al hablar sobre la ca´ıda de los cuerpos, Galileo dice: Todos sabemos que es subir y lo que es caer, lo que est´a arriba y lo que est´a abajo. Sabemos desde muy peque˜ nos que lo que sube tiene que caer. Si se lanza una piedra hacia arriba, cuando se le acabe el impulso se parar´a un instante y depu´es caer´a r´ apidamente al suelo... Cuando se suelta una piedra que se tiene en la mano, cae en l´ınea recta hasta el suelo. Si se arroja hacia adelante, se ve que avanza un poco en l´ınea recta, horizontal al suelo, y luego [sic] comienza a curvarse hacia abajo hasta caer. Esto mismo ocurre con con la bala cuando se dispara un ca˜ n´on, lo cual causa muchos problemas a los artilleros para dar en el blanco. Lo anterior, describe tres formas de lanzar un proyectil, ver la figura: 2.17 iniciando con el primer caso: Tiro Vertical.
El cuerpo parte con una velocidad, sube hasta una altura h, se detiene un instante y comienza a caer hasta chocar con el 1
Conteste esta pregunta: ¿por qu´e la raiz negativa?. Explique sus razones.
160
Movimiento
suelo. Generalmente se busca la altura a la que llega el proyectil lanzado, el tiempo que tarda en subir y bajar y la velocidad que
Figura 2.17: Formas de Lanzar un Proyectil
Figura 2.18: Tiro Vertical de un Proyectil, (la l織覺nea punteada del color del proyectil indica la trayectoria de bajada.)
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
161
adquiere en alg´ un instante, por esto, se tratar´an estos casos. Altura M´ axima Alcanzada
Para este caso se da la velocidad inicial vo , entonces por 2.18 vf2 = vo2 + 2ax cambiando variables vf2 = vo2 + 2gy pero vf = 0,
0 = vo2 + 2gy v2 ⇒y=− o 2g
(2.20)
Tiempo que tarda en subir
El tiempo que tarda en subir, se puede encontrar por medio de la ec2.11 ~vf = ~vo + ~at cambiando variables: ~vf = ~vo + ~g t aqu´ı puesto que ~vf = 0; 0 = ~vo + ~g t vo ⇒ ts = − (2.21) g el tiempo que tarda en llegar al lugar donde parti´o es igual al de subida, por lo que tarda en el vuelo: 2ts a lo que se le llama tiempo de vuelo (tv ). ⇒ tv = −2
vo g
(2.22)
162
Movimiento
Se lanza una pelota en forma vertical hacia arriba con una velocidad de 3 ms . Ejemplo: 2.1.6.
a). Diagrama; se presenta en la fig. 2.19
Figura 2.19: Ejemplo 2.1.6 Tiro Vertical
b). ¿Cual es la velocidad inicial (v0 )? Su velocidad inicial es; vo = 3 ms c). ¿Cual es su velocidad en un tiempo de 0,3 s? Mediante la ec. 2.11 ~vf = ~vo + ~at cambiando variables ~vf = ~vo + ~g t sustituyendo: m m (0,3s/) ~vf = 3 + −9,81 s s · /s
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
163
m m m − 2,943 = 0,0057 s s s hacia arriba, la velocidad disminuy´o (casi es
~vf = 3 ~vf = 0,0057 ms cero).
c). ¿Cual es su velocidad en un tiempo de 1 s? Mediante la ec. 2.11 ~vf = ~vo + ~at cambiando variables ~vf = ~vo + ~g t sustituyendo: m m ~vf = 3 + −9,81 (1s/) s s · /s
m m m − 9,81 = −6,81 s s s m ~vf = 6,81 s hacia abajo, es decir que ha pasado del lugar de donde parti´o. ~vf = 3
d). ¿Cuanto tiempo tarda en subir?. Por 2.21:
3 ms vo ts = − = − g −9,81 sm2
m ր s ts = 0,306 m = 0,306s ր s·s
e). ¿Cuanto tiempo esta en vuelo?. tv = 2ts = 2(0,306s) = 0,612s
164
Movimiento
f ). ¿que altura alcanza?. Por 2.20:
(3 ms )2 vo2 y=− =− 2g 2(−9,81 sm2 ) ( m·m 9 ( ms )2 2 sր) y= = 0,459 m m ր 19,62 s2 s2
ha subido: = 0,459m
2.1.6. Se lanza una pelota en forma vertical hacia arriba con una velocidad de 30 m/s, Encuentre: El tiempo de subida, el tiempo de vuelo, la altura m´axima alcanzada y la distancia total recorrida. Ejemplo:
a). ¿Cual es la velocidad inicial (v0 )? Su velocidad inicial es; vo = 30 ms b). ¿Cuanto tiempo tarda en subir?. Por 2.21:
30 ms vo ts = − = − g −9,81 sm2 m ր s
= 3,06s ts = 3,06 m ր ր·s s
c). ¿Cuanto tiempo esta en vuelo?. tv = 2ts = 2(3,06s) = 6,12s d). La altura m´axima alcanzada es. Por 2.20:
(30 ms )2 vo2 y=− =− 2g 2(−9,81 sm2 )
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
165
( m·m 900 ( ms )2 2 sր) = 45,87 y=− m m ր 19,62 s2 s2
ha subido: = 45,87m
e). La distancia total recorrida es la distancia que sube y la que baja por lo que es: 2(altura subida)=2(45.87 m)=91.74 m Pr´ actica 3.
Movimiento Rectilineo Uniforme Acelerado Objetivo.
Observaci´on de un Movimiento Rectil´ıneo Uniforme
Acelerado. Aplicaci´on de los conceptos aprendidos sobre este subtema. Mediante el uso de materiales de uso com´ un, observar el Movimiento Rectil´ıneo Uniforme Acelerado. Medici´on de distancia y tiempo aplicando las ecuaciones conocidas, as´ı como, la teor´ıa de errores para la expresi´on de los resultados y mediciones. Introducci´ on
Existen varias maneras de poder observar este tipo de movimiento, el mas sencillo es la caida libre, la dificultad es a medici´ondel tiempo, sin embargo actualmente existen los tel´efonos celulares que tienen la capacidad de fotografiar, o filmar, la caida libre. Una variaci´on de este m´etodo lo invent´o Galileo, consiste en retardar el movimiento de caida libre. Esto se consigue realizando una rampa por la cual se deslice un bal´ın o canica. El canal puede ser:
166
Movimiento
Un tubo transparente. Dos tubos de luz fluorescente de dos o tres metros unidos con cinta adhesiva. Una rampa de laboratorio exprofeso para esta pr´actica. En esta pr´actica, el equipo decidir´a que material a utilizar.
Construcci´ on del instrumento.
Conf´ormense en equipos de hasta 5 elementos, nombrando un representante. Decidan que tipo de material usar´an. Realice una descripci´on de la construcci´on del prototipo. De ser posible Como camara fotogr´afica y cron´ometro utilice un celular. Dibuje o fotograf´ıe los pasos realizados.
Experimento.
Medir el tiempo que tarda en pasar los pimeros 10 cm, o 20 cm seg´ un sea el caso, cuidando de que el cron´ometro inicie cuando pase por el inicio del movimiento. Descripci´ on del Procedimiento.
realice este procedimiento por lo menos cinco veces. Dibuje o fotograf´ıe los pasos realizados.
2.1 Movimiento en una Dimensi´ on
Indicaciones para el Reporte. 1. Conf´ormense en equipos de hasta 5 elementos, nombrando un representante. 2. Se entregar´a un reporte por equipo. 3. El reporte de la pr´actica debe contener: * Presentaci´ on. * Introducci´ on. * Desarrollo. * Conclusiones. * Bibliograf´ıa. 4. Discuta en equipo el contenido de cada uno de los puntos que debe contener el reporte 5. Para el paso llamado desarrollo, tomar como base en la pr´actica realizada: 6. Reunirse en equipo la obtenci´on del material y la construcci´ on del prototipo. 7. Anotar la descripci´ on de los pasos numer´andolos, por ejemplo: 1.- Construcci´on. 2.- Desarrollo 3.4.- . . . . . . 5.- Realizar un cuadro donde se presenten las mediciones y c´alculos realizados. 6.- como son cinco integrantes deben reportarse cinco mediciones. 7.- Discuta en equipo el contenido de las conclusiones y la bibliograf´ıa.
167
168
Movimiento
Para la evaluaci´on de la Pr´actica 2 se tomar´a en cuenta: 1. Entrega en tiempo y forma (Una semana m´ aximo). 2. Validez y pertinencia de las ideas expuestas. 3. Profundidad de los conceptos. 4. Revisi´on del contenido. 5. Presentaci´ on al profesor del prototipo por el coordinador. 6. Habra una coevaluaci´on por lo que se debe poner de acuerdo con el profesor. 7. La evaluaci´on se reportar´ a en un cuadro como el siguiente: Indicador si no ponder. calif. Present´o en tiempo y forma 1 Present´o el prototipo 1 El reporte contiene: Introducci´ on 1 Desarrollo 2 Conclusiones 1 Bibliograf´ıa 1 Existe Validez y pertinencia 1 de las ideas expuestas Existe Claridad y coherencia 1 en el escrito. Existe Profundidad en los 1 conceptos
2.2.
Movimiento en Dos Dimensiones.
2.2.1.
Tiro Parab´ olico Horizontal y Oblicuo.
Como dice Galileo: Si [...] arrojamos [una piedra] hacia adelante, vemos que avanza un poco en l´ınea recta, horizontal al suelo, y luego [sic] comienza a curvarse hacia abajo hasta caer, realmente, su trayectoria es curva inmediatamente que se comienza a mover, ya que
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
169
actua la aceleraci´on de la gravedad, el movimiento es una combinaci´on de un movimiento horizontal y uno vertical (caida libre) por lo que este tipo de movimiento (como el circular) es en un plano. Como en sentido horizontal lo que impuls´o al cuerpo dej´o de actuar en el momento en que se comenz´o a mover, el movimiento es del tipo mencionado en el p´arrafo: 2.1.3, Movimiento rectilineo Uniforme, y en el vertical es Movimiento rectilineo uniforme variado, los que al componerse dan el tipo de movimiento mencionado. La velocidad esta compuesta por la suma vectorial de dos velocidades; una en la direcci´on horizontal ~vo y otra en la direcci´on vertical ~vv , por lo que seg´ un el p´arrafo. 1.3.4 ~v = ~vo + ~vv
Figura 2.20: Tiro Horizontal.
como se observa en la figura 2.20, ambas velocidades son per-
170
Movimiento
pendiculares (forman 90o entre ellos), por lo que se puede realizar un an´alisis en las dos dimensiones. En sentido horizontal,
voh =
xmax tc
(2.23)
donde voh = velocidad inicial en sentido horizontal, la que adem´as no cambia porque es MRU xmax = distancia m´axima recorrida o alcance, tc = tiempo de caida, de: 1 ~y = ~vov t + ~g t2 2 puesto que en sentido vertical es caida libre e inicia del reposo, ~vov = 0: 1 2y ~y = ~g t2 ⇒ t2 = 2 g sacando la raiz cuadrada: r 2y t= g si y = hc ⇒ t = tc :
tc =
entonces el alcance es:
s
2hmax g
(2.24)
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
xmax = voh tc
171
(2.25)
En sentido vertical, por la ec. 2.11, vf v = vov + at puesto que es caida libre e inicia del reposo, vov = 0 y a = g, entonces:
vf v = gt
(2.26)
la velocidad con la que toca el suelo es:
vf v = gtc
(2.27)
el ´angulo que forman las velocidades en cualquier instante es: tan θ =
vf v voh
tan θ =
g t voh
sustituyendo 2.26
(2.28)
172
Movimiento
2.2.1. Desde un avi´on se lanza una bomba a una altura de 3000 m; si la velocidad que lleva el avi´on es de 648 km hr . Ejemplo:
a). ¿Cual es la velocidad inicial (voh )? m Su velocidad inicial es; voh = 648 km hr = 180 s
b). ¿Cuanto tiempo tarda la bomba en llegar a la tierra?. Por 2.24: tc =
tc =
s
tc =
s
2hmax g
2(−3000m ւ) ւ −9,81 m s2 s
6000 9,81 s12
tc = 24,73s c). La distancia horizontal m´axima alcanzada es. Por 2.25: xmax = voh tc sustituyendo xmax
m = 180 (24,73s/) /s
Cae a una distancia de: = 4446.m del sitio donde se lanz´o.
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
173
Figura 2.21: Figura para el problema 2.2.1. Movimiento Parab´ olico.
Es el movimiento realizado por un proyectil disparado con una velocidad inicial (vo ) a un ´angulo (θ), este movimiento es compuesto porque en el interaccionan un MRU (en sentido horizontal) y un MRUV (en sentido vertical), por esto constituye un movimiento en un plano. La componente horizontal vx es constante puesto que una vez lanzado el proyectil, no act´ ua ninguna fuerza, por lo que es MRU. vx = voh = vo cos θ
(2.29)
en sentido vertical por la relaci´on 2.11 ~vf = ~vo + ~at ~vf = ~vy = ~voy + ~g t pero para este caso: voy = vo sin θ por lo que se tiene:
174
Movimiento
vov = vo sin θ + gt
(2.30)
la velocidad resultante seg´ un la relaci´on: 1.8es: ~v = ~vx + ~vy el angulo que forma esta velocidad con el eje horizontal es mediante la relaci´on 1.11 θ = tan−1
vy vx
Figura 2.22: Gr´afica del Movimiento Parab´olico, mostrando las velocidades en varios puntos.
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
175
relaci´ on de la Trayectoria
mediante la ec 2.23: x t x =⇒ t = (vo cos θo ) vo cos θ =
la ordenada es por 2.19: 1 y = vo t + gt2 2 sustituyendo el tiempo (t): (vo sin θo ) 1 y= x+ g (vo cos θo ) 2
y=
x (vo cos θ)
g (vo sin θo ) 2 x+ 2x (vo cos θo ) 2 (vo cos θ)
2
(2.31)
la que corresponde a la relaci´on de una par´abola. Tiempo de vuelo
De la figura: 2.22, se puede ver que cuando alcanza la m´axima altura, ha recorrido la mitad del tiempo de vuelo o en otras palabras el tiempo que tarda en subir. Por otra parte, en ese punto, la velocidad en sentido vertical es cero. Por lo que: 0 = (vo sin θo ) + gts
176
Movimiento
(vo sin θo ) g pero lo que tarda en subir es igual a lo que tarda en caer, por lo que el tiempo de vuelo es: =⇒ ts = −
tv = 2ts = −
(2vo sin θo ) g
(2.32)
Altura M´ axima (hmax ).
Obsevando de nueva cuenta la figura: 2.22, en el punto donde se alcanza la altura m´axima la componente de la velocidad en sentido vertical es cero (vy = 0), por lo que de la misma forma que en la subsecci´on 2.1.6, relaci´on 2.20, con la particularidad que vo toma el valor de vo sin θ por ser ´esta la componente en sentido vertical para el tiro parab´olico. hmax = −
(vo sin θ)2 2g
Alcance (Rango).
Por la relaci´on 2.25 xmax = voh tv
(2.33)
pero voh = vo cos θ y el tiempo de vuelo (tv ) por la relaci´on 2.32 es (2vo sin θo ) tv = − g
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
177
sustituyendo en 2.33 (2vo sin θo ) R = (vo cos θo ) − g utilizando las propiedades de la igualdad, se puede escribir: 2 sin θ cos θ ) o o R = −vo2 g pero por la identidad trigonom´etrica: sin(2θ) = 2 sin θ cos θ, se puede escribir:
R=−
vo2 sin(2θo ) g
(2.34)
´ Figura 2.23: Envolvente de las Trayectorias Cuyo Angulo de Disparo est´a Eno tre 0 y 180 (Par´abola de Seguridad)
178
Movimiento
2.2.1 Se lanza una bala mediante un ca˜ n´on con un ´anguo de 65o .
Ejemplo:
a). Dibujo de la trayectoria fig 2.24
b). ¿Cual es la componente horizontal de la velocidad inicial (voh ) de la bala?. Por 2.29 voh = vo cos θ m voh = 50 cos 65o s m voh = 50 (0,42261826) s m voh = 21,13 s c). ¿Cual es la componente vertical de la velocidad inicial (vov ) de la bala?. Por 2.30 vov = vo sin θ + gt
Figura 2.24: Ejemplo 2.2.1 Tiro Parab´olico.
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
179
pero t = 0 por ser el inicio del vuelo: m vov = 50 sin 65o s m (0,906308) voh = 50 s m voh = 45,31 s d). ¿Que altura m´axima alcanza? por 2.34 hmax hmax
(vov sin θo )2 =− 2g
2 50 ms sin(65o ) =− 2(−9,81 sm2 )
pero 50 ms sin(65o ) = 45,31 ms ya que se calcul´o en el inciso b) 2 45,31 ms hmax = − (−19,62 sm2 ) m·m / 2052,9961 ւ s2 hmax = − m / (−19,62ւ s2 ) R. La altura que alcanza es 104,64m.
e). ¿Cual es el alcance? usando la ec. 2.34 vo2 sin(2θo ) g m 2
R=− R=−
50 s o m sin(2(65 )) −9,81 s2
180
Movimiento
R=
/ 2500 m·m ւ s2 m / 9,81ւ s2
sin(130o )
R = 254,84m(0,766044) El alcance R es : 195,22m e). ¿Cual es el tiempo de vuelo? por 2.32 (2vo sin θo ) g 2 50 ms sin(65o ) tv = − −9,81 sm2 ւ m (100ւ s )(0,906307) tv = m ւ 9,81 s·s ւ tv = −
El tiempo de vuelo es: 9,24s
e). ¿Cual es la velocidad resultante a lo 3 segundos despu´es de que se dispara la bala? por 1.8 ~v = ~vx + ~vy ahora bien, ya que vx = voh = 21,13 ms y por 2.30 vv = vo sin θ + gt m m o vv = 50 sin(65 ) + −9,81 2 (3s) s s m m vv = 50 (0,906308) − 29,43 s s m m − 29,43 vv = 45,31 s s
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
181
m hacia arriba s entonces la velocidad resultante es: p vr = vx2 + vv2 r m 2 m 2 21,13 vr = + 15,88 s s s m2 698,65 2 vr = s ~vv = 15,88
la velocidad resultante para el tiempo de tres segundos es: vr = 26,43 ms
f ). ¿que ´angulo forma con el eje horizontal? por la ec. 1.11 −1
θ = tan θ = tan−1
vy vx
! 15,88 ms 21,13 ms
θ = tan−1 (0,751538) ′
′′
El ´angulo es: 36o 55 34 Problemas
1. Un avi´on en vuelo horizontal a una altura de 300 m y con una velocidad de 60 ms , deja caer una bomba. Calcular el tiempo que tarda en llegar al suelo, y el desplazamiento horizontal de la bomba. 2. Se lanza un cuerpo desde el origen con velocidad horizontal de 40 ms , y con una velocidad vertical hacia arriba de 60 ms . Calcular la m´axima altura y el alcance horizontal.
182
Movimiento
3. Resolver el ejercicio anterior, tomando como lugar de lanzamiento la cima de una colina de 50 m de altura. 4. Se lanza un proyectil desde una colina de 300 m de altura, con una velocidad horizontal de 50 m/s, y una velocidad vertical de -10 m/s (hacia abajo). Calcular el alcance horizontal y la velocidad con que llega al suelo. 5. Un ca˜ n´on dispara una bala desde lo alto de un acantilado de 200 m de altura con una velocidad de 46 ms haciendo un ´angulo de 30 o por encima de la horizontal. Calcular el alcance, el tiempo de vuelo, y las componentes de la velocidad de la bala al nivel del mar. Hallar tambi´en la altura m´axima. (Hallar primero, las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial). 2.2.2.
Movimiento Circular.
Para este movimiento, la trayectoria es un c´ırculo. Lo que se desplaza el cuerpo puede ser caracterizado por la medida de la trayectoria (s) o por el desplazamiento angular, lo u ´ltimo se realiza comunmente. La unidad de medida utilizada para los ´angulos es en este caso el radian (rad), este valor se define como: El cociente entre el el arco de c´ırculo (s) recorrido y el radio del c´ırculo. θ=
s r
(2.35)
cuando lo que se recorre es una vuelta completa, la distancia recorrida es igual al per´ımetro del c´ırculo por lo que:s = 2πr, entonces:
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
Figura 2.25: Gr´aďŹ ca del Movimiento Circular
183
184
Movimiento
θ=
2πr r
(2.36)
por lo que una vuelta completa es igual a: 2π[rad] puesto que lo que ha recorrido se mide en metros y el radio tambi´en, al realizar el cociente ente s y r, ya no quedan unidades y por lo tanto, el radian es una cantidad sin dimensiones, adimensional o n´ umero puro. Movimiento Circular Uniforme (MCU).
Cuando un cuerpo se mueve en forma de c´ırculo, recorriendo angulos iguales en tiempos iguales. El movimiento es circular porque es la forma que tiene la trayectoria y uniforme porque tarda el mismo intervalo de tiempo en recorrer el ´angulo, este caso es an´alogo al MRU, las caracter´ıstiacs que presenta son: Periodo (T ). El tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor de un centro. Frecuencia (f ´ o ν). es el n´ umero de vueltas que da un cuerpo en un tiempo (t). ´ Desplazamiento Angular: Angulo sobre el que se mueve la part´ıcula o el radio vector.
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
185
Velocidad Lineal (~v ). Vector tangente a la trayectoria perpendicular al radio vector.
Figura 2.26: Velocidad Lineal(~v )
Analizando las definiciones de Periodo (T ) y frecuencia (f ), se llega a la conclusion que son inversas por lo que se dice que: f=
1 T
(2.37)
como el Periodo (T) se mide en segundos [s], entonces la frecuencia se medir´ıa en 1s , unidad a la que se le llama Hertzio o Hertz [Hz] en honor al f´ısico Estadounidense Hernry Hertz quien fue el primero en detectar las Ondas Electro-Magn´eticas. 1 f [=] [=]s−1 [=]Hz. s En algunos textos, la frecuencia se representa por medio de la letra griega “nu” (ν)
186
Movimiento
Velocidad Angular.
Se define como: El cambio en el desplazamiento angular (radianes) didvidido por el cambio en el tiempo (segundos), se designa por medio de la letra griega omega min´ uscula (ω)
∆θ~ ω ~ = ∆t
ω ~ =
θ~f − θ~i tf − ti
(2.38)
(2.39)
por lo que la velocidad angular ω ~ se mide en rad s Velocidad Lineal
Por la definici´on de velocidad, se tiene; ∆~d s~f − s~i ~v = = ∆t tf − ti
(2.40)
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
187
despejando ~s de la relaci´on (2.35), ~ ~s = θr de la figura 2.26, se puede observar que a cada ~s, le corresponde una velocidad lineal, por lo que; ~v =
θ~f r − θ~i r tf − ti
factorizando r, se tiene: θ~f − θ~i r ~v = tf − ti
(2.41)
pero por (2.39), ~v = ω ~r
(2.42)
Ejercicios
Un cuerpo atado a una cuerda de 1 metro, gira 50 vueltas en un tiempo de un minuto. a). Haga un diagrama que describa el problema. b). ¿Cuantas vueltas da? R: 50 vueltas c). ¿En que tiempo medido en segundos gira? R: 60 s
188
Movimiento
Figura 2.27: Diagrama para el ejercicio 2.2.2
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
189
d). ¿Cuantas revoluciones por minuto da? 1 revoluci´on = 1 vuelta rev. rev. por min.= 50 1 min e). ¿Cuantas revoluciones por segundo da? 5 rev. 50 rev. rev. por seg.= 60 s = 6 s rev. por seg.= 0.83 rev. s f ). ¿Cual es su Velocidad angular (~ω )? por cada vuelta el desplazamiento angular es θ = 2π[rad] pero como da 50 vueltas: ⇒ θ = 2(50)π[rad] = 100π [rad] 100π[rad] 60[s] 10 rad ω ~ = π 6 s rad ω ~ = 5,24 s ω ~ =
g). ¿Cual es su Frecuencia (f )? da 50 vueltas en un minuto, entonces: 50 vueltas 5 1 f= = 60 s 6 s f = 0,83 [Hz] h). ¿Cual es su periodo (T )? 1 1 = f 0,83 [Hz] 1 T = 1,20 1
T =
s
190
Movimiento
T = 1,20 s
i). ¿Cual es su velocidad lineal (~v )? mediante la relaci´on: (2.42)
v = ωr
rad v = 5,23 (1[m]) s
v = 5,23
hmi s
Acelaraci´ on Centr´ıpeta.
En el Movimiento Circular uniforme, la velocidad lineal es la misma siempre, pero cambia de direcci´on constantemente, como se puede ver en la figura 2.26, puesto que la aceleraci´on es el cambio en la velocidad en el cambio en el tiempo, en este caso se tiene una aceleraci´on como resultado de esta situaci´on. Actividad: Tarea
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
191
Actividad. 2.2.2 Para determinar su valor, se realizar´a el siguiente procedimiento: Paso 1. Trazar un c´ırculo de 10 cm de radio. Paso 2. Delimitar mediante dos radios un arco de c´ırculo (s) de 10 cm. Se construy´ o as´ı un radi´an. Paso 3. En cada extremo del arco, trazar l´ıneas perpendiculares a los radios iguales a 10 cm. Paso 4. Encontrar el punto medio del ´angulo y trazar por este punto un radio del c´ırculo. Paso 5. Leer nuevamente la secci´ on 1.3.4, para recordar como se encuentra la dferencia de vectores. Paso 6. Consultar la secci´ on 2.1.4 para recordar como se puede encontrar la aceleraci´on. Paso 7. Contestar las siguientes preguntas: Pregunta 1. Hacia donde esta dirigido el vector cambio en la velocidad (∆~v ). Pregunta 2. Los tri´ angulos que se dibujaron ¿se parecen?, es decir ¿son semejantes? Pregunta 3. ¿Que dice la geometr´ıa sobre la semejanza de tri´ angulos?
Aprovechando la semejanza de tri´angulos, se puede admitir que: ∆v s s = ⇒ ∆v = v v r r aprovechando la propiedad de la igualdad que dice que al dividir los dos miembros de la igualdad por un valor ´esta no se altera, entonces dividiendo ambos miembros por el cambio en el tiempo (∆t), se tiene s v s ∆v =v = ∆t r(∆t) r ∆t se observa que el primer miembro de esta igualdad es la aceles raci´on y que el cociente ∆t , es la velocidad. Entonces: El Movimiento Circular Uniforme (MCU)
192
Movimiento
Figura 2.28: Aceleraci´on Centr´ıpeta
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
193
Propiedad 1. Aun cuando su velocidad lineal no cambia, produce una aceleraci´on. Propiedad 2. La acleraci´on se encuentra dirigida hacia el centro. Por lo que se le llama Centr´ıpeta. Su valor se encuentra mediante la expresi´on: vv v2 ac = = r r
(2.43)
¿En que se mide? 2
( ms2 ) m · m ( ms )2 / = m = ac [=] m m /s2 1 m ac [=] 2 s Ahora bien recordando que v = ωr, sustituyendo en (2.43), se tiene ω 2r2 ac = r ac = ω 2 r Donde: ac = Aceleraci´on Centr´ıpeta sm2 v = Velocidad Lineal o Tangencial ω = Velocidad angular rad s r radio de la trayectoria m
(2.44)
m s
194
Movimiento
Ejercicios
¿Que aceleraci´on tiene un movil que viaja sobre una circunferencia de 12 m de radio con una velocidad tangencial de 6 ms ? a). Haga un diagrama que describa el problema.
Figura 2.29: Diagrama para el ejercicio 2.2.2
b). ¿Que velocidad lineal lleva? R: 6 ms c). ¿Cual es el radio de la trayectoria? R: 12 m d). ¿Cual es su aceleraci´on centr´ıpeta? mediante la expresi´on (2.43)
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
195
(6 ms )2 v2 = ac = r 12m 2
(36 ms2 ) ac = 12m m ac = 3 2 s Movimiento Circular Uniforme Variado (MCUA).
As´ı como existe un Moviento Rectilineo Uniforme Variado (MUA), tambi´en existe un Movimiento Circular Uniforme Variado, ya que la velocidad angular puede cambiar a consecuencia de una Fuerza que aumente la aceleraci´on angular. La aceleraci´on angular es el cambio en la velocidad angular dividida por el cambio en el tiempo, dada por:
α=
∆~ω ω ~f − ω ~i = (2.45) tf − ti ∆t
donde: ∆~ω = Cambio en la Velocidad angular rad s ∆t = Cambio en el tiempo [s] α = aceleraci´on angular rad s2
Las ecuaciones del movimiento Circular Uniforme Variado (MCUA) son semejantes a las del MUA, por lo que se ponen en este lugar, dando, de paso, tambi´en un ejemplo de las simetr´ıas (semejanzas) que existen en la f´ısica.
196
Movimiento
2.2.2 La velocidad angular de un motor es de 900 rpm, y desciende de manera uniforme hasta 300 rpm, en 2.5 segundos. Ejemplo
a) ¿Cual es su velocidad angular inicial? rev ր rad rad 1min ւ ω0 = 900 2π = 30π min ւ rev ր 60s s b) ¿Cual es su velocidad angular final? rad rev ր rad 1min ւ ωf = 300 2π = 10π min ւ rev ր 60s s c) ¿Cual es el cambio en la velocidad angular? rad rad rad − 30π = −20π ∆ω = 10π s s s d) ¿Cual es la aceleraci´on angular?
~vo+~vf h~v i = 2 ~vo+~vf h~xi = 2 t ~vf = ~vo + ~at ~x = ~vot + 21~at2 vf2 = vo2 + 2ax
ω ~ o+~ωf 2 Dh~ωEi = ω ~ +~ ~θ = o ωf t 2 ω ~f = ω ~o + α ~t θ~ = ω ~ ot + 12 α ~ t2 ωf2 = ωo2 + 2αθ
Cuadro 2.4: Ecuaciones del MCUV ´o MCUA
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
197
−20π rad s α= 2,5s rad α = −8π s2 Ejercicios
1. ¿Que aceleraci´on angular tiene una rueda de 80cm de di´ametro que gira desde 0 ms hasta 1800rpm en 40s? a). Haga un diagrama que describa el problema.
Figura 2.30: Diagrama para el ejercicio 1
b). ¿Que velocidad lineal alcanza?
198
Movimiento
c). ¿Cual es el radio de la trayectoria? d). ¿Cual es su aceleraci´on centr´ıpeta? e). ¿Cual es su aceleraci´on angular? 2. Una m´aquina gira de 800rpm hasta 600rpm dando 100 vueltas. a). Haga un diagrama que describa el problema.
Figura 2.31: Diagrama para el ejercicio 2
b). ¿Cual es su aceleraci´on angular? c). ¿En que tiempo efect´ ua las 100 vueltas?
2.2 Movimiento en Dos Dimensiones.
d). ¿Cual es su aceleraci´on centr´ıpeta?
199
200
Movimiento
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa. “El cambio en el movimiento es proporcional a la fuerza impresa, y se efect´ ua en la misma l`ınea recta en la que se aplica la fuerza.” ISAAC NEWTON Segunda Ley
202
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
Introducci´ on
Como la mec´anica fue la primera teor´ıa de la f´ısica en desarrollarse, sirvi´o como modelo para los trabajos futuros, en alg´ un momento existi´o el deseo y la ilusi´on de reducir toda la f´ısica a la mec´anica (la unificaci´on es una idea sencilla y atractiva que siempre se va a encontrar a lo largo de la historia). Issac Newton. El siglo XVII result´o ser una mala ´epoca para Inglaterra. A los a˜ nos de revoluci´on, guerra civil, dictadura, restauraci´on, d´ısputa religiosa, desorden general, muertes y calamidades que asolaron el pa´ıs a mediados del siglo, sigui´o una plaga de peste bub´onica que, caus´o m´as de 68,000 muertes. En el verano de 1665, menciona un documento de la ´epoca, placi´o a Dios Todopoderoso en su justa severidad que visitase esta villa de Cambridge la plaga de la pestilencia. Se dispuso cerrar los colegios de la universidad y dispersar a sus estudiantes por el pa´ıs. El Trinity College lo hizo el 7 de agosto. Entre los alumnos se hallaba un muchacho “sobrio, silencioso y pensativo” llamado Isaac Newton. El joven estudiante abandon´o Cambridge y se dirigi´o a su casa materna de Woolsthorpe, en el condado de Lincolnshire, donde hab´ıa nacido 23 a˜ nos antes. All´ı pasar´ıa cerca de dos a˜ nos. En un pasaje autobiogr´afico, el propio Newton relataba cincuenta a˜ nos m´as tarde, que en ese bienio hab´ıa hallado el m´etodo de las series aproximadas para reducir la dignidad (potencia) de un binomio; el m´etodo de tangentes; la teor´ıa de los colores. . .
Din` amica
203
Anni mirabilis (a˜ nos maravillosos) se ha llamado a ese bienio 1665 − 1666, puesto que al parecer, en su transcurso Isaac Newton ide´o todo lo que le debe la ciencia. Por aquel entonces, contaba con 24 a˜ nos de edad. Ten´ıa, una man´ıa sumamente u ´til: apuntarlo todo en cuadernitos. Conocido es el de sus pecados, en el que hac´ıa constar cosas como impertinencia con mi madre; peg´andole a mi hermana; robando cerezas a Eduard Storer; haciendo una ratonera en tu d´ıa, Se˜ nor, y otros pecadillos por el estilo, sin embargo, llen´o otros cuadernos con notas y diagramas cient´ıficos precisos. En su obra ((Principia)) (1687), aplica por igual su nueva ley de gravedad a los arcos descritos por las balas de ca˜ n´on, a las ´orbitas de los sat´elites y planetas y a las trayectorias de los cometas, calculando sus posibles rutas en forma detallada. Era tambi´en un hombre de fe religiosa. Es as´ı que, en las mismas Principia, Newton describe al espacio a semejanza al cuerpo de Dios: “El Dios Supremo es un Ser eterno, infinito, absolutamente perfecto. . . Perdura eternamente y es omnipresente; y esta existencia eterna y omniprescencia constituyen la duraci´on y el espacio”. Igualmente, Newton sostiene que “este bell´ısimo sistema de Sol, planetas y cometas s´olo podr´ıa provenir de la sabidur´ıa y dominio de un Ser poderoso e inteligente”. As´ı, para Newton, el universo considerado como un todo, era est´atico. Pensaba que el universo no pod´ıa estar expandi´endose o contray´endose globalmente puesto que tales movimientos requieren por necesidad de un centro, tal como una explosi´on tiene su centro y la materia esparcida en un espacio infinito no define ning´ un centro. Esta situaci´on es erronea, puesto que se ha demostrado que el universo se expande. En consecuencia, estudiando los hechos hacia el pasado, el cosmos deber´ıa ser est´atico; o sea, que
204
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
termin´o sustentando la tradici´on aristot´elica de un cosmos sin alteraci´on. A fin de cuentas, el legado de Arist´oteles termin´o hasta fines de la d´ecada de 1920, ya que s´olo entonces, esa tradici´on, se empez´o a cuestionar debido a la teor´ıa general de la relatividad y a las evidencias observacionales. Existe algo u ´nico en el hecho de que Isaac Newton, todo un profesor del Trinity College (Colegio de la Trinidad), fuera un Unitario, es decir que sab´ıa que Jes´ us no forma parte de la Trinidad. Isaac Newton muri´o un 20 de marzo de 1727, y fue enterrado con todos los honores en la abad´ıa de Westminster junto a los grandes hombres de la historia inglesa. Su epitafio dice: ¡ Mortales, congratulaos de que un hombre tan grande haya existido para honra de la raza humana !. El legado cient´ıfico de Isaac Newton radica en el hecho de que fu´e el primero que brinda una teor´ıa unificada y racional del universo: las mismas leyes que rigen el movimiento de los astros, rigen tambi´en el de los modestos objetos que nos rodean en la Tierra y todas pueden expresarse a trav´es de las matem´aticas. El poeta Alexander Pope, quien vivi´o en tiempos de Newton, escribi´o:
La Naturaleza y sus leyes yac´ıan escondidas en la noche Dios dijo: “¡Hagamos existir a Newton!” y se hizo la luz.
3.1 Leyes de Newton.
205
3.1.
Leyes de Newton.
3.1.1.
Concepto de Fuerza • Tipos • Peso de los Cuerpos
El estudio de la mec´anica se remonta a los tiempos de Arist´oteles y Arqu´ımedes, pero es Newton(1642 − 1727) quien formula satisfactoria de sus principios fundamentales. Estos principios fueron m´as tarde modificados por D’Alembert, Lagrange y Hamilton. Su validez permaneci´o sin discusi´on hasta que Einstein formul´o su teor´ıa de la relatividad en el a˜ no de 1905. Aun as´ı, la mec´anica Newtoniana sigue siendo la base de las ciencias F´ısicas. El concepto b´asico par la din´amica es la:
Figura 3.1: Joseph Louis Lagrange, Jean le Rond d’Alembert y William Rowan Hamilton.
• Fuerza: Representa la acci´on de un cuerpo sobre otro cuerpo, puede ser ejercida por contacto fisico o por medio de campos. Una fuerza se caracteriza por su: punto de aplicaci´on, magnitud y su direcci´on y se representa por un vector. Todos los
206
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
cuerpos interact´ uan entre s´ı por medio de fuerzas. Otras caracter´ısticas, se han definidio en la secci´on 1.1
Figura 3.2: Vector Fuerza
−→ OF = Magnitud o intensidad [N ] θx = Direcci´on respecto al eje x grados o radianes. O = Punto de aplicaci´on. → = Sentido
• Tipos de Fuerzas (Clasificaci´ on) En el Plano de acci´ on
Fuerzas que act´ uan sobre un mismo plano, formado por dos ejes ortogonales de coordenadas: x vs y, x vs z, y vs z Coplanares:
Fuerzas que act´ uan en planos distintos. Los ejes de referencia ser´an los ejes de coordenadas x, y, z. No coplanares:
3.1 Leyes de Newton.
207
En Direcci´ on de su Recta de Acci´ on Concurrentes:
Sus rectas de acci´on se cortan en alguna parte
en el plano Colineales:
Act´ uan sobre la misma recta de acci´on
Dos o m´as fuerzas cuyas rectas de acci´on tienen la misma direcci´on. Paralelas:
La superficie sobre la cual act´ ua una fuerza es peque˜ no en comparaci´on con la superficie total del cuerpo correspondiente. Fuerzas puntuales concentradas, o aisladas:
Figura 3.3: Fuerza Puntual
Fuerza distribuida:
La superficie o la longitud sobre la cual act´ ua la fuerza es significativa para los c´alculos. Carga uniforme constante Carga Uniforme Variable
208
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
Por su Forma de trabajo
fuerzas que act´ uan a lo largo del eje longitudinal centroidal del elemento. Axiales:
De Tracci´ on:
Tienden a halar o estirar el cuerpo sobre el cual
act´ uan. Compresi´ on:
Tienden a acortar o apretar el cuerpo.
Fuerzas que act´ uan perpendiculares al eje longitudinal centroidal del elemento. Producen flexi´on en el elemento. Flexoras:
Torsoras:
producen giro alrededor del eje longitudinal
Principio de Transmisibilidad
Basado en las condiciones de los vectores deslizantes, establece que el efecto externo de una fuerza en un cuerpo r´ıgido, es el mismo para todos los puntos de aplicaci´on, a lo largo de su l´ınea de acci´on. Sin embargo, su efecto interno depende directamente del punto de aplicaci´on de la fuerza sobre el cuerpo.
Uniformes
Variables
Figura 3.4: Fuerzas Distribuidas
3.1 Leyes de Newton.
209
• Peso de los Cuerpos.
Arist´oteles Naci´o en Estagira, en el a˜ no 384 a.C. al norte de la Grecia actual, en el seno de una familia de m´edicos. Cuando ten´ıa dieciocho a˜ nos se traslad´o a Atenas para formarse como fil´osofo en la Academia de Plat´on, donde permaneci´o durante los siguientes veinte a˜ nos. Tras la muerte de Plat´on, Arist´oteles dej´o Atenas y vivi´o durante alg´ un tiempo en Asia Menor, en la corte de un tirano que hab´ıa sido condisc´ıpulo suyo y se cas´o con una hija adoptiva de ´este personaje. Posteriormente Filipo, rey de Macedonia, lo llam´o a su corte y le encarg´o la educaci´on de su hijo Alejandro [Magno]. Poco despu´es de iniciar el reinado de Alejandro, Arist´oteles regres´o a Atenas y fund´o su escuela, el Liceo, donde despleg´o una importante labor de investigaci´on y ense˜ nanza en
Axiales de Tracci´on
Axiales de Compresi´on
Flexoras
Torsoras
Figura 3.5: Fuerzas Por su Forma de trabajo
210
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
las distintas ramas del saber. Con la muerte de Alejandro, Arist´oteles, tuvo que hacer frente al sentimiento antimacedonio que estall´o en Atenas. Acusado de ate´ısmo, Arist´oteles tuvo que exiliarse y se refugi´o en Calcis, donde morir´ıa al a˜ no siguiente, el 322 a.C., a los 62 a˜ nos de edad. En astronom´ıa, Arist´oteles propuso la existencia de un Universo esf´erico y finito con la Tierra como centro. La parte central compuesta por cuatro elementos: tierra, aire, fuego y agua. En su F´ısica, cada uno de estos elementos tiene un lugar adecuado, determinado por su peso relativo o “gravedad espec´ıfica ”. Cada elemento se mueve, de forma natural, en l´ınea recta (la tierra hacia abajo, el fuego hacia arriba) hacia el lugar que le corresponde, en el que se detendr´a una vez alcanzado, de lo que resulta que el movimiento terrestre siempre es lineal y siempre acaba por detenerse. Los cielos, sin embargo, se mueven de forma natural e infinita siguiendo un complejo movimiento circular, por lo que deben, conforme con la l´ogica, estar compuestos por un quinto elemento, que ´el llamaba aither (´eter), elemento superior que no es susceptible de sufrir cualquier cambio que no sea el de lugar realizado por medio de un movimiento circular. La teor´ıa aristot´elica de que el movimiento lineal siempre se lleva a cabo a trav´es de un medio de resistencia es, v´alida para todos los movimientos terrestres observables. Para Arist´oteles, el peso de los cuerpos tiene que ver con su “gravedad espec´ıfica”, adem´as, sosten´ıa que los cuerpos m´as pesados de una materia espec´ıfica caen de forma m´as r´apida que aquellos que son m´as ligeros cuando sus formas son iguales, concepto equivocado que se acept´o como norma hasta que Galileo llev´o a cabo su experimento con pesos arrojados desde la torre
3.1 Leyes de Newton.
211
inclinada de Pisa. Galileo Galilei Naci´o el 15 de febrero de 1564 en Pisa, Italia, muri´o el l8 de enero de 1642 en Arcetri, cerca de Florencia, Italia. Matem´atico, astr´onomo y f´ısico, considerado el fundador del m´etodo experimental. Galileo estudia medicina en la Universidad de Pisa y matem´aticas con un tutor privado. Despu´es de completar el tratado sobre el centro de gravedad de los s´olidos, llega a dar conferencias de matem´aticas en la universidad a la edad de 25 a˜ nos. Posteriormente pasa a la Universidad de Padua como profesor de matem´aticas. Una parte substancial de su trabajo est´a relacionado con la mec´anica ya que es el primero en aplicar matem´aticas para su an´alisis. En 1609 desarrolla el telescopio astron´omico con una lente convergente y otra divergente. Empleando planos inclinados y un reloj de agua perfeccionado demostr´o que los objetos tardan lo mismo en caer, independientemente de su masa (lo que invalidaba los postulados de Arist´oteles), que la velocidad de los mismos aumenta de forma uniforme con el tiempo de ca´ıda. Sus trabajos sobre mec´anica precedieron la obra del matem´atico y f´ısico brit´anico del siglo XVII Isaac Newton. Para Galileo, el peso de los cuerpos es una propiedad natural, la cual poseen todos los cuerpos, es la que los obliga a caer en direcci´on del centro de la tierra. As´ı a esa propiedad el llama peso, sin definir su significado. Al hablar de la caida de los cuerpos dice textualmente: Salviati lleva a Simplicio a aceptar que en el caso del [movimiento ] del plano hacia abajo la bola baja espontaneamente debido a que es un cuerpo “grave” con masa. Lo anterior indica que el peso de los cuerpos tiene que ver
212
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
con la masa de un cuerpo o con la inercia. Tiene que llegar Newton y mediante la segunda ley, definir lo que es el peso e inercia de los cuerpos. 3.1.2.
Fuerzas de Fricci´ on Est´ atica y Din´ amica.
entre dos superficies en contacto ha sido aprovechado desde los tiempos mas remotos para hacer fuego frotando madera. En nuestra ´epoca, el rozamiento tiene gran importancia econ´omica, se estima que si se le prestase mayor atenci´on se podr´ıa ahorrar much´ısima energ´ıa y recursos econ´omicos. Hist´oricamente, el estudio del rozamiento comienza con Leonardo da Vinci que dedujo las leyes que gobiernan el movimiento de un bloque rectangular que desliza sobre una superficie plana. Sin embargo, este estudio pas´o desapercibido. En el siglo XVII Guillaume Amontons, f´ısico franc´es, redescubri´o las leyes del rozamiento estudiando el deslizamiento seco de dos superficies planas. Las conclusiones de Amontons son esencialmente las que se estudian en los libros de F´ısica General: El Rozamiento o Friccci´ on
Propiedad 1 La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de un bloque que desliza sobre un plano. Propiedad 2 La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal que ejerce el plano sobre el bloque. Propiedad 3 La fuerza de rozamiento no depende del ´area aparente de contacto. El cient´ıfico franc´es Coulomb a˜ nadi´o una propiedad m´as
3.1 Leyes de Newton.
213
Propiedad 4 Una vez empezado el movimiento, la fuerza de rozamiento es independiente de la velocidad. La mayor´ıa de las superficies, a´ un las que se consideran pulidas son extremadamente rugosas a escala microsc´opica. Los picos de las dos superficies que se ponen en contacto determinan el ´area real de contacto que es una peque˜ na proporci´on del ´area aparente de contacto (el ´area de la base del bloque). El ´area real de contacto aumenta cuando aumenta la presi´on (la fuerza normal) ya que los picos se deforman. Los metales tienden a soldarse en fr´ıo, debido a las fuerzas de atracci´on que ligan a las mol´eculas de una superficie con las mol´eculas de la otra. Estas soldaduras tienen que romperse para que el deslizamiento se presente. Adem´as, existe siempre la incrustaci´on de los picos con los valles. Este es el origen del rozamiento est´atico. Cuando el bloque desliza sobre el plano, las soldaduras en fr´ıo se rompen y se rehacen constantemente. Pero la cantidad de soldaduras que haya en cualquier momento se reduce por debajo del valor est´atico, de modo que el coeficiente de rozamiento cin´etico es menor que el coeficiente de rozamiento est´atico. Finalmente, la presencia de aceite o de grasa en las superficies en contacto evita las soldaduras al revestirlas de un material inerte. La explicaci´on de que la fuerza de rozamiento es independiente del ´area de la superficie aparente de contacto es la siguiente: Como puede verse en la figura 3.6, la superficie m´as peque˜ na de un bloque est´a situada sobre un plano. En el dibujo situado encima, se ve un esquema de lo que se observar´ıa al microscopio: grandes deformaciones de los picos de las dos Origen del Rozamiento por Contacto.
214
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
superficies que est´an en contacto. Por cada unidad de superficie del bloque, el ´area de contacto real es relativamente grande (aunque esta es una peque˜ na fracci´on de la superficie aparente de contacto, es decir, el ´area de la base del bloque). En la figura 3.7, la superficie m´as grande del bloque est´a situada sobre el plano. El dibujo muestra ahora que las deformaciones de los picos en contacto son ahora m´as peque˜ nas por
Figura 3.6: Origen del Rozamiento
Figura 3.7: Otra Forma en que Actua el Rozamiento sobre un Cuerpo
3.1 Leyes de Newton.
215
que la presi´on es m´as peque˜ na. Por tanto, un ´area relativamente m´as peque˜ na est´a en contacto real por unidad de superficie del bloque. Como el ´area aparente en contacto del bloque es mayor, se deduce que el ´area real total de contacto es esencialmente la misma en ambos casos. Ahora bien, las investigaciones actuales que estudian el rozamiento a escala at´omica demuestran que la explicaci´on dada anteriormente es muy general y que la naturaleza de la fuerza de rozamiento es muy compleja. reacci´on del plano o fuerza que ejerce el plano sobre el bloque depende del peso del bloque, la inclinaci´on del plano y de otras fuerzas que se ejerzan sobre el bloque. La Fuerza Normal,
Figura 3.8: Fuerza Normal
Suponiendo que un bloque de masa m est´a en reposo sobre una superficie horizontal, las u ´nicas fuerzas que act´ uan sobre ´el ~ ~ son el peso P = m~g , y la fuerza normal N . En los siguientes p´arrafos se ver´a como se pueden determinar las Fuerzas que se mencionaron. 3.1.3.
Primera Ley de Newton (• Ley de Inercia).
hace o Por ejemplo se hace una tarea porque el profesor la va a Nadie deja de hacer calificar y cotnar´a para el examen si no fuera as´ı, ¿para que algo si no lo obligan.
216
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
hacerla? Ahora bien: Si en el universo existiese un solo cuerpo (una part´ıcula), nada podr´ıa interferir con su movimiento, si no hay fuerzas sobre ´el, es razonable pensar que no se mueva nunca, si no se estaba moviendo, o que no se detenga nunca si se estaba moviendo. As´ı pens´o Newton para enunciar su primera ley, la cual se expresa de la siguiente manera: Una part´ıcula libre se mueve con velocidad constante o sin aceleraci´on. Puesto que con esta ley Newton no ha definido lo que es la fuerza, entonces esta ley es parte de esa definici´on. Leyendo de nuevo el enunciado se puede concluir: Las fuerzas son las cosas responsables de los cambios en el movimiento de los cuerpos. Cuando se empuja una carretilla, se puede creer que la primera ley de Newton no es tan cierta como se dice, para que la carretilla se mueva a velocidad constante, se debe estar empujando constantemente. As´ı que parece mentira que sobre un cuerpo que se mueve a velocidad constante no act´ ua ninguna fuerza, pero si se piensa; ¿Existen otra interacciones o no? es
Figura 3.9: Fuerza Normal y Rozamiento en un Plano inclinado
3.1 Leyes de Newton.
217
decir ¿hay otros cuerpos que interactuen con la carretilla? ¡Claro que si!, a saber: la gravedad, la fricci´on del piso y la resistencia del aire que son fuerzas que est´an actuando sobre la carretilla. Entonces, para evaluar la veracidad de la primera ley se debe considerar el efecto conjunto de todas la fuerzas como una sola, y a la carretilla como el u ´nico objeto del universo, solo as´ı se puede someter a prueba el enunciado con ´exito. La sumatoria o superposici´on de las fuerzas que act´ uan sobre la carretilla es nula y como consecuencia, se mueve con velocidad constante. Por esta situaci´on en otros textos, la primera Ley de Newton de enuncia como: 1ra ley: Todo cuerpo permanece en estado de reposo o se mueve con Movimiento Rectilineo uniforme, si no existe una fuerza que lo obligue a cambiar su estado. Otra forma: Si la fuerza resultante que act´ ua sobre una part´ıcula es cero, la part´ıcula permanecer´a en reposo (si originalmente estaban en reposo) o se mover´a con rapidez constante en l´ınea recta (si originalmente estaba en movimiento). Esto significa que en ausencia de fuerzas, un cuerpo en reposo seguir´a en reposo, y un cuerpo movi´endose a velocidad constante en l´ınea recta continuar´a haci´endolo indefinidamente.
218
3.1.4.
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
Segunda ley de Newton (• Ley de Fuerza).
2da ley: El cambio de movimiento es siempre proporcional a la fuerza motriz que se imprime; y se efect´ ua en la direcci´on de la l´ınea recta seg´ un la cual act´ ua la fuerza.
F~ = m~a
(3.1)
Donde: m = Masa de un cuerpo [kg]. ~a = aceleraci´on obtenida sm2 F~ = Fuerza aplicada [N ] Esta ley proporciona una f´ormula expl´ıcita que es una de las m´as u ´tiles, la aceleraci´on a es una cantidad bien definida, es el cambio por segundo en la velocidad y tiene direcci´on y sentido, es un vector. Si la fuerza resultante que act´ ua sobre una part´ıcula es diferente a cero, la part´ıcula adquirir´a una aceleraci´on proporcional a la magnitud de la resultante y en direcci´on de esta fuerza resultante. Cuando se aplica una fuerza a un objeto (“cuerpo”) se acelera en la direcci´on de la fuerza aplicada. La aceleraci´on es directamente proporcional a la intensidad de la fuerza e inversamente proporcional a la masa a mover. La Fuerza es igual al producto de la masa por la aceleraci´on. Si una fuerza cualquiera genera un movimiento, una fuerza doble
3.1 Leyes de Newton.
219
generar´a un movimiento doble, una fuerza triple un movimiento triple, ya sea que la fuerza act´ ue enteramente y de una vez, o gradualmente y sucesivamente. . . Frente a la acci´on de una fuerza neta, un objeto experimenta una aceleraci´on directamente proporcional a la fuerza neta e inversamente proporcional a la masa del objeto. a=
F m
(3.2)
Recuerde, que F = Fuerza neta [N ]. m = Es la masa sobre la cual ua la fuerza neta [kg] m act´ a = Aceleraci´on obtenida s2 Es una herramienta poderosa para contestar con precisi´on preguntas como las siguientes: ¿qu´e ´orbitas son posibles para planetas y cometas ante la atracci´on del Sol? ¿Qu´e curva describe en el aire el ombligo de un ba˜ nista que se tira a la piscina desde un tabl´on? ¿Qu´e ´angulo tiene que darle un futbolista a la pelota para que llegue lo m´as lejos posible?, si el Sol y su s´equito de planetas giran a novecientos mil kil´ometros por hora en torno al centro de la galaxia, distante doscientos cuarenta mil billones de kil´ometros, ¿cu´al es la masa contenida en el interior?, etc. (Respuestas: las ´orbitas posibles son las que se forman por la intersecci´on de un plano con un cono: el c´ırculo, la elipse y la hip´erbola; la curva del ombligo del ba˜ nista es una par´abola; el ´angulo es de 45 grados si se deja fuera la intervenci´on del aire; la masa es de unas cien mil millones de masas solares.) Ernest Mach, que vivi´o en Alemania dos siglos despu´es que Newton, argumentaba que las leyes de Newton se un´ıan en
220
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
una sola: “Cuando dos objetos compactos (“puntos masa” en palabras de f´ısica) act´ uan uno sobre el otro, aceleran en direcciones opuestas y la relaci´on de sus aceleraciones es siempre la misma”. L´ealo de nuevo: no menciona fuerzas ´o masas, solo aceleraci´on, la cual puede medirse. Cuando una pistola act´ ua sobre una bala, un cohete sobre su chorro, el Sol sobre la Tierra (en la escala de la distancia que los separa, el Sol y la Tierra pueden ser vistos como objetos compactos), las aceleraciones son siempre opuestas. La masa y la fuerza se derivan f´acilmente. Si uno de los objetos es un litro de agua, su masa se define como un kilogramo. Si luego act´ ua sobre otro objeto (quiz´as, para el experimento, con el agua convertida en hielo), la relaci´on de su aceleraci´on aw con la aceleraci´on del otro objeto da la masa del objeto m: aw m = =m a 1kg Luego ma = 1 kg.aw esto se puede interpretar diciendo que una unidad de fuerza de magnitud aw existe entre las dos F = ma = 1 [kg] .aw Esa unidad de fuerza ser´a la fuerza que causa que 1kg se acelere a 1 sm2 , esto es, su velocidad se incrementa cada segundo en 1 ms Es pues correcto llamar a esa unidad el Newton.
3.1 Leyes de Newton.
221
Gravedad y Peso de los Cuerpos.
Un cuerpo cayendo, tanto si es ligero como si es pesado, tiene la misma aceleraci´on ~g : 9,8 sm2 ↓. ¿Donde entra F~ = m~a aqu´ı? Newton llam´o a la fuerza que produce la citada aceleraci´on gravitaci´on, y propuso que era proporcional a la masa. Esa fuerza, medida en Newtons, con m en kilogramos, es F~ = m~g ↓
Sustituyendo esto en la expresi´on F~ = m~a, da m~g = m~a
(3.3)
⇒ ~a = ~g
La u ´ltima l´ınea indica que la aceleraci´on de un objeto cayendo siempre es igual a ~g , tanto si es un guijarro como una gran roca. La fuerza que tira de la roca hacia abajo, su “peso”, es mucho mayor: no obstante su masa, la inercia que deber´a vencer para moverla, es grande tambi´en, con el mismo factor. La conclusi´on es que, grande ´o peque˜ na, la aceleraci´on siempre es igual a ~g . Surge aqu´ı un problema; la masa de un objeto puede ser medida de dos maneras diferentes: Compar´andose con la masa de un litro de agua, usando la gravedad al pes´arla. Se Obtiene la masa gravitatoria; indicandose como m. Al prescindirse de la gravedad, como los astronautas abordo del Skylab y medir la “masa inercial”, llam´andola M. Masa Gravitacional o Masa Inercial.
El f´ısico h´ ungaro Roland E¨otv¨os (Loungaro) compar´o las dos a lo rand en h´
222
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
largo de un siglo usando instrumentos muy sensibles y lleg´o a la conclusi´on que eran las mismas con una precisi´on de varios decimales. Esta igualdad se convirti´o en una de las bases de la f´ısica, en especial de la teor´ıa general de la relatividad. Ejemplo: 3.1.4.1 Objetos en Descanso.
Cuando se est´a de pi´e en el suelo, la gravedad contin´ ua tirando su cuerpo hacia abajo ( ver figura 3.1.4 a la izquierda) con fuerza F = m~g ↓ Por qu´e no cae? ¡Porque el suelo no le deja! Las part´ıculas integrantes del suelo est´an juntas y no permiten a su pi´es bajar m´as (como lo har´ıa si estuviera sobre arenas movedizas). El hecho de que la fuerza F no produzca aceleraci´on es la evidencia de que otra fuerza, opuesta al movimiento, es producida por el suelo: F ′ = −m~g (hacia arriba) F y F ′ se suman y su resultante es cero, sus pies y su cuerpo quedan quietos. si nada cambia, las fuerzas suman cero. El cuerpo est´a “en equilibrio”, un concepto que ser´a muy u ´til en la pr´oxima secci´on. Tome nota de que no tiene nada que ver con la 3a ley de Newton: la 3a ley se ocupa de las fuerzas que producen el movimiento, mientras que aqu´ı todas las fuerzas se cancelan. Regla General:
3.1 Leyes de Newton.
223
Ejemplo: 3.1.4.2
Calcule la normal que una mesa ejerce sobre un cuerpo de 10kg de masa, si el cuerpo est´a en reposo.
Si el cuerpo est´a en reposo significa que su aceleraci´on total es nula. Entonces aplicando la segunda ley de Newton Soluci´ on
F~x = m~ax = m(0) = 0 a un eje vertical se tendr´a que: F~y = m~ay = m~g + N = 0 donde se ha supuesto que la mesa est´a perfectamente horizontal y por tanto la normal tendr´a s´olo una componente en el eje; 0 = m~g + N en este caso −m~g = N La fuerza normal, reacci´on del plano o fuerza que ejerce el plano sobre el bloque depende del peso del bloque, la inclinaci´on del plano y de otras fuerzas que se ejerzan sobre el bloque; Cuando un bloque de masa m est´a en reposo sobre una superficie horizontal (figura 3.10), las u ´nicas fuerzas que act´ uan sobre ~ . Por las condiciones ´el son su peso P~ = m~g y la fuerza normal N ~ = m~g la fuerza normal es de equilibrio se obtiene que P~ = N igual al peso. Ejemplo: 3.1.4.3
224
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
Pero si el plano est´a inclinado un ´angulo θ (figura 3.11), el bloque est´a en equilibrio en sentido perpendicular al plano in~ es igual a la componente clinado por lo que la fuerza normal N ~ = m~g cos θ del peso perpendicular al plano, es decir: N Considerando de nuevo el bloque sobre la superficie horizontal. Si se ata una cuerda al bloque que forme un ´angulo θ con la ~ , deja de ser igual al peso P~ . La horizontal, la fuerza normal N condici´on de equilibrio de traslaci´on en la direcci´on perpendicular al plano establece que la fuerza normal N sea igual al peso P = mg menos la componente de la fuerza Fy = F sin θ que es perpendicular al plano. N = mg − F senθ
Figura 3.10: Diagrama Representando la Fuerza Normal (ej. 3.1.4)
Figura 3.11: Diagrama Representando Plano Inclinado (ej. 3.1.4)
3.1 Leyes de Newton.
225
Fuerza de Rozamiento Cin´ etico
Un bloque arrastrado por una fuerza F~ horizontal. Sobre el ~ que es igual al bloque act´ uan el peso P~ = m~g , la fuerza normal N peso, y la fuerza de rozamiento F~k entre el bloque y el plano sobre el cual desliza. Si el bloque se desliza con velocidad constante la fuerza aplicada F~ ser´a igual a la fuerza de rozamiento F~k . Si se duplica la masa m del bloque colocando encima de ´este otro ~ se duplica, la fuerza igual cuando se desliza, la fuerza normal N F~ con la que jala el bloque, tambi´en se duplica y por tanto, F~k se duplica. La fuerza de rozamiento din´amico F~k es proporcional a ~ . Recordar que las proporcionalidades se ven la fuerza normal N en el apendice 1 ~ F~k = µk N (3.4) La constante de proporcionalidad µk es un n´ umero sin dimensiones que se denomina coeficiente de rozamiento cin´etico. El valor de µk es casi independiente del valor de la velocidad para velocidades relativas peque˜ nas entre las superficies, y decrece lentamente cuando el valor de la velocidad aumenta. Pero es diferente para cada material que se desliza, por lo que existen tablas de Valores para los coeficientes de rozamiento. Un cuerpo de 4kg est´a deslizando por una superficie lisa con coeficiente de rozamiento (din´amico) µk = 0,25. Si sobre este cuerpo no act´ uan m´as fuerzas que el peso y dicha fuerza de rozamiento ¿con qu´e aceleraci´on se mueve el cuerpo?. Aplicando la ecuaci´on de Newton al eje vertical. En este eje, las fuerzas que aparecen son el peso y la normal y, por tanto; ~ + P~ = 0 N Ejemplo: 3.1.4.4
226
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
~ = −P~ = −m~g ⇒N Como un cuerpo sobre una superficie plana no va rebotando sobre ella, por lo que su altura, medida sobre la superficie, es siempre 0, se tendr´a que. Aplicando al eje horizontal, se tiene que la u ´nica fuerza en el eje es la de rozamiento, y la que lo acelera, por tanto F~x − F~r = 0 ⇒ F~x = F~r ~ m~ax = µk N
⇒ m~ax = µk m~g ⇒ ~ax = µk~g ~ax = (0,25)(−9,81
m s2
Cuadro 3.1: Coeficientes de Rozamiento Cin´etico para Diferentes Materiales. Superficies en contacto Acero sobre acero Acero sobre hielo (patines) Acero sobre hierro Hielo sobre hielo Patines de madera sobre hielo y nieve Goma (neum´atico) sobre terreno firme Correa de cuero (seca) sobre metal Bronce sobre bronce Bronce sobre acero Roble sobre roble en la direcci´on de la fibra
µk 0.18 0.02-0.03 0.19 0.028 0.035 0.4-0.6 0.56 0.2 0.18 0.48
3.1 Leyes de Newton.
227
m s2 El signo negativo (−) se debe a que, como el cuerpo avanza hacia la derecha, el rozamiento se opondr´a al avance y tender´a, por tanto, a detenerse. ~ax = −2,45
Un bloque de masa 100kg inicia a moverse, despu´es de 5 segundos, alcanza una velocidad de 10 ms , la fuerza de rozamiento cinetico es de 500N . Ejemplo: 3.1.4.5
Soluci´ on al Ejemplo:3.1.4.5
a) ¿Cual es la fuerza Normal? Aplicando la ecuaci´on de Newton al eje vertical. En este eje, las fuerzas que aparecen son el peso y la normal y, por tanto; ~ + P~ = 0 N ~ = −P~ = −m~g ⇒N m ~ ⇒ N = −(100kg) −9,81 2 s ~ = 981N, N la cual es la fuerza normal(N ) b) ¿Cual es la aceleraci´on que adquiere? por la ec. (2.8) vf − vi a= tf − ti 10 ms − 0 a= 5s − 0 m a=2 2 s
228
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
c) ¿Cual es la fuerza que lo acelera? Sobre el eje x F~a − F~r = m~ax
⇒ F~a = m~ax + F~r m Fa = (100kg) 2 2 + 500N s Fa = 700N
c) ¿Cual es el coeficiente de rozamiento cin´etico (µk )? Por la ec. (3.4) ~ F~k = µk N aqui F~k es la fuerza de rozamineto, es decir F~r , en tonces: ~ F~r = µk N Fr N 500N µk = 981N µk = 0,5097 ⇒ µk =
Fuerza de Rozamiento Est´ atico.
Tambi´en existe una fuerza de rozamiento entre dos objetos que no est´an en movimiento relativo en la figura la fuerza F~ aplicada sobre el bloque aumenta gradualmente, pero el bloque permanece en reposo. Como la aceleraci´on es cero la fuerza aplicada es igual y opuesta a la fuerza de rozamiento est´atico F~e . F~ = F~e
3.1 Leyes de Newton.
229
La m´axima fuerza de rozamiento corresponde al instante en el que el bloque est´a a punto de deslizar. ~ F~e = µe N max
La constante de proporcionalidad µe se denomina coeficiente de rozamiento est´atico. Los coeficientes de rozamiento est´atico y din´amico dependen de las condiciones de preparaci´on y de la naturaleza de las dos superficies y son casi independientes del ´area de la superficie de contacto. Desde el origen O hasta el punto A la fuerza F~ aplicada sobre el bloque no es suficientemente grande como para moverlo. Estamos en una situaci´on de equilibrio est´atico ~ (3.5) F~ = F~e < µe N En el punto A, la fuerza de rozamiento F~e alcanza su m´aximo ~ valor µe N ~ (3.6) F~ = F~emax = µe N Si la fuerza F~ aplicada se incrementa un poquito m´as, el bloque comienza a moverse. La fuerza de rozamiento disminuye r´apidamente a un valor menor e igual a la fuerza de rozamiento cin´etico, ~ (3.7) F~k = µk N Si la fuerza F~ no cambia, punto B, y permanece igual a F~emax el bloque comienza movi´endose con una aceleraci´on (F~ − F~k ) ~a = (3.8) m Si incrementamos la fuerza F~ , punto C, la fuerza neta sobre el bloque F~ − F~k se incrementa y tambi´en se incrementa la aceleraci´on.
230
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
En el punto D, la fuerza F~ aplicada es igual a F~k por lo que la fuerza neta sobre el bloque ser´a cero. El bloque se mueve con velocidad constante. En el punto E, se anula la fuerza aplicada F~ , la fuerza que act´ ua sobre el bloque es -F~k , la aceleraci´on es negativa y la velocidad decrece hasta que el bloque se detiene. Cuadro 3.2: Coeficientes de Rozamiento Est´atico y Din´amico para Diferentes Materiales. Superficies en contacto Cobre sobre acero Acero sobre acero Aluminio sobre acero Caucho sobre concreto Madera sobre madera Madera encerada sobre nieve h´ umeda Tefl´on sobre tefl´on Articulaciones sinoviales en humanos
µe 0.53 0.74 0.61 1.0 0.25-0.5 0.14 0.04 0.01
µk 0.36 0.57 0.47 0.8 0.2 0.1 0.04 0.003
Rozamiento en Fluidos.
El rozamiento con un fluido se expresa como: F~r = µf ~v
(3.9)
Cuando aumenta la velocidad del flujo, el rozamiento depende de la velocidad al cuadrado como: F~r = µf v 2 uˆ
(3.10)
3.1 Leyes de Newton.
231
Problemas
1. Sobre un cuerpo de 20kg, apoyado en un plano horizontal, act´ uan dos fuerzas concurrentes de 10N cada una, que forman entre s´ı un ´angulo de 60 ◦ . Si no hay rozamiento, calcula la fuerza resultante que act´ ua sobre ´el y la aceleraci´on que adquiere. 2. Por un tramo recto y horizontal de una autov´ıa circula un cami´on cuya tara es de 6ton, siendo su carga de 25ton. Cuando el veloc´ımetro se˜ nala 72 km on acelera y, en h , el cami´ km un minuto, alcanza una velocidad de 90 h . Despreciando la acci´on de las fuerzas de rozamiento, ¿qu´e fuerza “ha hecho el motor” en esa variaci´on de la velocidad? Expresa el resultado en unidades S.I. 3.1.5.
3a Autoevaluaci´ on
Nombre del alumno Gpo. 30 I.- Subraya la Respuesta Correcta a las Siguientes Preguntas 1. ¿Qu´e son las leyes de Newton? a) son tres principios concernientes al movimiento de los cuerpos b) leyes que rigen la gravedad c) leyes que explican el fin y el inicio de la humanidad 2. ¿Desde cuando se remonta el estudio de la mec´anica? a) desde los tiempos de Arist´oteles y Arqu´ımedes b) desde que el hombre es un ser pensante c) desde el descubrimiento de la rueda 3. ¿Por quien fue publicada la formulaci´on matem´atica? a) por Isaac Newton b) por Edisson c) por kepler
232
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
4. ¿en que a˜ no se public´o la formulaci´on matem´atica? a) en 1687 b) en 1234 c) en 1678 5. ¿Qu´e constituye la base de la mecanica clasica? a) las leyes de Newton b) leyes de Keplar c) ley de la gravitaci´on universal 6. ¿Qu´e constituye la primera ley de Newton? a) Definici´on de fuerza a causa de la velocidad de los cuerpos b) A toda acci´on le corresponde una reacci´on c) Todo lo que sube tiene que bajar 7. ¿Qu´e introduce en fisica, la primera ley de Newton? a) introduce el concepto del sistema de referencia inercial b )que el cuerpo permanece inerte hasta que es empujado por una fuerza c) el cuerpo en movimiento mantiene su fuerza inicial 8. ¿Qu´e es la fuerza? a) es la acci´on mediante la cual cambia el estado de un cuerpo b) es la cantidad de energ´ıa que agregas a tus movimientos c) es cuanta fuerza pones a un aparato 9. ¿Qu´e mostraron Newton y Galileo? a) que los cuerpos se mueven a velocidad constante y en l´ınea recta si no hay fuerzas que act´ uen sobre ellos b) que la tierra era redonda c) que el universo y los cuerpos tienen un constante 10. ¿con que otro nombre se le conoce a la segunda ley de Newton? a) ley de la fuerza b)ley de la gravitaci´on universal c)ley de la inercia
3.1 Leyes de Newton.
233
11. ¿ que hace la segunda ley de Newton? a) relaciona las fuerzas actuantes y la variaci´on de la cantidad de movimiento o momento lineal b)explica como los cuerpos mantienen una aceleraci´on constante y que solo cambian cuando esta fuerza es detenida. c) que la aceleraci´on es constante y que solo los cuerpos en reposo pueden cambiarla. 12. ¿Cu´ando formul´o Einsten su teor´ıa de la relatividad? a) en 1905 b) en 1985 c) en 2005 13. ¿Por qu´e se caracteriza una fuerza? a) por su punto de aplicaci´on, magnitud y su direcci´on b) por el punto de inclinaci´on y aceleraci´on c) por el punto de energ´ıa 14. ¿como se representa una fuerza? a) por medio de un vector b) por medio magnitud c) por el punto de inclinacion 15. ¿Como se representa Newton? a) (N) b) n c) NW 16. ¿como se representa el punto de aplicaci´on? a) (O) b)p. c)p.a 17. ¿Qu´e son las fuerzas no coplanares? a) son Fuerzas que act´ uan en planos distintos. Los ejes de referencia b) son las fuerzas que no est´an encarreradas c) son fuerzas en el mismo plano pero con diferente valor 18. ¿Qu´e son la fuerzas coplanares? a) Fuerzas que act´ uan sobre un mismo plano, formado por
234
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
dos ejes b) Fuerzas que actuan en diferentes planos c) fuerzas que act´ uan paralelamente 19. ¿Cu´ales son las fuerzas concurrentes? a) Sus rectas de acci´on se cortan en alguna parte en el plano b) Son fuerzas que no tienen punto de interseccion y que actuan en diferente plano c) son fuerzas que actuan paralelamente con otras eb diferente plano 20. ¿que son las fuerzas colineales? a) son las que act´ uan sobre la misma recta de acci´on b) Son las que actuan sobre diferente plano c) Son las que act´ uan sobre una recta paralele con otra 21. ¿Qu´e son las rectas paralelas? a) son dos a mas fuerzas cuyas rectas de acci´on tienen la misma direcci´on b) Son rectas que se intersectan entre si c) son rectas que tienen una distancia determinada 22. ¿Qu´e son las fuerzas puntuales? a) es cuando La superficie sobre la cual act´ ua Una fuerza es peque˜ no en comparaci´on con la superficie total del cuerpo Correspondiente. b) Es cuando una superficie liza es relativa con la otra c) Es cuando la fuerza de uno es mayor que otra 23. ¿Qu´e significa fuerza distribuida? a) cuando La superficie o la longitud sobre la cual act´ ua la fuerza es significativa para los c´alculos. b) Es cuando la fuerza se encuentra compacta c) Es la longitud sobre la cual la aumenta o disminuye la fuerza 24. ¿Qu´e son las fuerzas axiales? a) son fuerzas que act´ uan a lo largo del eje longitudinal
3.1 Leyes de Newton.
235
centroidal del Elemento. b) son fuerzas que intersectan en un punto determinado c) las fuerzas axiales tienen fuerza propia 25. ¿Qu´e son las fuerzas de atracci´on? a) tienden a estirar el cuerpo sobre el cual act´ uan b) Contraen el cuerpo sobre el cual actuan c) Se atraen una a la otra 26. ¿Qu´e son las fuerzas de comprensi´on? a) tienden a acortar o apretar el cuerpo b) tienden a partir un cuerpo c) atraen los cuerpos 27. ¿Qu´e son las fuerzas flexoras? a) son fuerzas que act´ uan perpendiculares al eje longitudinal centroidal del elemento b) son fuerzas que actuan sobre un eje en particular c) son fuerzas que actuan sobre un eje de diferente plano 28. ¿que son las fuerzas torsoras? a) son las que producen giro alrededor del eje longitudinal b) son fuerzas que no tienen giro c) son fuerzas que tienen un giro en direccion contraria al eje 29. ¿ que establece el principio de transmisibilidad? a) establece que el efecto externo de una fuerza en un cuerpo r´ıgido es el mismo para todos los puntos de aplicaci´on a lo largo de su l´ınea de acci´on b) es cuando tienen las fuerzas actuan a lo largo de eje c) Es la superficie sobre la cual actuan las fuerzas flexoras 30. ¿Qu´e importancia tiene el rozamiento, en nuestra ´epoca? a) tiene una gran importancia econ´omica b) mucho ya que esta inmerso en nuestro contexto c) genera ingresos
236
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
31. ¿con quien comienza el estudio del rozamiento? a) con Leonardo Da vinci b) con Galileo Galilei c) con Isaac newton 32. ¿que hizo Leonardo Da Vinci respecto al rozamiento? a) dedujo las leyes que gobiernan el movimiento de un bloque rectangular que desliza sobre una superficie plana b) dedujo que el movimiento se desliza sobre una base liza c) dedujo que es imposible tener rozamiento sobre una superficie plana 33. ¿Qui´en redescubri´o las leyes del rozamiento? a) Galileo y Einstein b) Pericles c) El f´ısico franc´es Guillaume Amontons 34. ¿en que siglo se redescubrieron las leyes del rozamiento? a) en el siglo XVII b) en el siglo XVI c) en el siglo XV 35. ¿Qu´e otro nombre tiene la primera ley de Newton? a) ley de la inercia b) ley del movimiento de los cuerpos c) tercera ley de Newton 36. ¿a que se refiere la ley de inercia? a) nadie hace o deja de hacer algo si no lo obligan b) que un cuerpo en movimiento puede hacer cambiar a otro c) un cuerpo solo permanece inerte hasta que se detiene 37. ¿Como se expresa la primera ley de Newton? a) una part´ıcula libre se mueve con velocidad constante o sin aceleraci´on b) Una particula solo tiene aceleraci´on cuando esta en contacto con otra c) una particula libre se mueve con aceleracion
3.1 Leyes de Newton.
237
38. ¿Qu´e son las fuerzas? a) son las cosas responsables de los cambios en el movimiento de los cuerpos. b) son los cambios de velocidad c) son los cambios de longitud 39. ¿Qui´en era Isaac Newton? 40. ¿Cu´antas leyes descubri´o? 41. ¿Cu´ales fueron? 42. ¿ Que es la inercia? 43. ¿ Que pasa cuando esta se detiene? 44. ¿Qu´e es sistema de referencia inercial? 45. ¿C´omo se considera la relatividad? 46. ¿Qu´e es velocidad? 47. ¿Qu´e es fuerza?
238
3.1.6.
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
Tercera Ley de Newton (• Ley de Acci´on y Reacci´on).
El universo est´a formado por todos los cuerpos materiales, y entre ellos existen interacciones que se manifiestan como fuerzas ejercidas por unos sobre los otros. Si se suman todas estas fuerzas la resultante es nula, cada fuerza tiene una compa˜ nera que la equilibra. Este es el contenido de la tercera ley. A cada acci´on se opone siempre una reacci´on igual: o las acciones mutuas de dos cuerpos uno sobre el otro, son siempre iguales, y dirigidas en sentido contrario. · · · . Las fuerzas son siempre producidas en pares, teniendo direcciones opuestas e igual magnitud. Si el cuerpo 1 act´ ua con una fuerza F~ sobre el cuerpo 2, el cuerpo 2 actuar´a sobre el 1 con una fuerza de igual intensidad y direcci´on opuesta. 3ra ley: Las fuerzas de acci´on y reacci´on entre cuerpos en contacto tienen la misma magnitud, la misma l´ınea de acci´on y sentidos opuestos. Esta ley se puede interpretar diciendo que nadie va a hacer lo que le obliguen as´ı nada m´as. Va a oponer resistencia. Mientras m´as lo obliguen, m´as resistencia opone. En un sistema donde ninguna fuerzas externas est´an presente, cada fuerza de acci´on son iguales y opuestas, adquiriendo velocidades inversas proporcionales a sus masas. Si usted presiona una piedra con su dedo, el dedo tambi´en es presionado por la piedra· · · Si un cuerpo golpea contra otro, y debido a su fuerza cambia el movimiento del otro cuerpo, ese cuerpo tambi´en sufrir´a un cambio igual, en su propio movimiento, hacia la parte contraria. Los cambios ocasionados por estas acciones son igua-
3.1 Leyes de Newton.
239
les, no en las velocidades sino en los movimientos de los cuerpos; es decir, si los cuerpos no son estorbados por alg´ un impedimento
Figura 3.12: Acci´on y Reacci´on de la Tercera Ley de Newton
F~ab = −F~ba
(3.11)
o bien; Matem´aticamente la tercera ley del movimiento de Newton suele expresarse como sigue: F~1 = F~2 donde F1 es la fuerza que act´ ua sobre el cuerpo 1 y F2 es la fuerza reactiva que act´ ua sobre el cuerpo 2. En una aplicaci´on combinada de la segunda y tercera ley de Newton se tiene que: m1~a1 = m2~a2 donde los sub´ındices est´an referidos a los cuerpos 1 y 2. La fuerza de atracci´on F1 que ejerce la Tierra sobre un objeto en su superficie es igual y opuesta a la fuerza de atracci´on F2 que emite el objeto. Ambos, la Tierra y objeto se aceleran, pero como la masa de la Tierra es inmensamente mayor, la aceleraci´on de efecto que recibe es ´ınfima comparada
Ejemplo: 3.1.6
240
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
con la que experimenta el objeto (su masa comparativa es muy peque˜ na). A ello se debe la raz´on del por qu´e nosotros se puede percibir la aceleraci´on de un objeto que cae sobre la superficie de la Tierra, que es de 9,81 sm2 ; sin embargo, no se detecta la aceleraci´on de la Tierra, que es de aproximadamente 1,5 X 10−21 cm s2 para un objeto de 90 kg. Cuando dos cuerpos comportan masas semejantes, como un par de estrellas binarias, entonces podr´ıase observar la aceleraci´on de ambas masas. Ejemplo: 3.1.6
3.1.7.
Ley de la Gravitaci´ on Universal.
Los antecedentes de esta ley se fundamentan en los estudios de Tycho Brahe y Johannes Kepler, por lo que se mencionar´an brevemente.
3.1 Leyes de Newton.
241
Tycho Brahe Sin instrumentos, solamente con una esfera y un comp´as, consigui´o detectar graves errores en las tablas astron´omicas de la ´epoca y se dispuso a corregirlos. Era un observador meticuloso que pas´o a˜ nos estudiando los movimientos de los planetas, el Sol y la Luna. Los datos, obtenidos con instrumentos dise˜ nados por ´el, eran sorprendentemente precisos y tuvieron un papel crucial para el desarrollo de la astronom´ıa, nunca acept´o totalmente el sistema de Cop´ernico del Universo por lo que busc´o una forma de compromiso entre el de Cop´ernico y el antiguo sistema de Tolomeo. El sistema de Brahe presupon´ıa que los cinco planetas conocidos giraban alrededor del Sol, el cual, junto con los planetas, daba una vuelta alrededor de la Tierra una vez al a˜ no. La esfera de las estrellas giraba una vez al d´ıa alrededor de la Tierra inm´ovil. La teor´ıa de Brahe sobre el movimiento de los planetas era defectuosa, pero los datos que obtuvo durante su vida desempe˜ naron un papel fundamental en el desarrollo de la descripci´on correcta del movimiento planetario
242
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
Johannes Kepler utiliz´o los datos de Brahe para desarrollar sus tres famosas leyes del movimiento planetario. Las Leyes de Kepler.
Estas leyes han tenido un significado especial en el estudio de los astros, ya que permitieron describir su movimiento; fueron deducidas emp´ıricamente por Johannes Kepler (1571 − 1630) a partir del estudio del movimiento de los planetas, para lo cual se sirvi´o de las precisas observaciones realizadas por Tycho Brahe (1546 − 1601). S´olo tiempo despu´es, ya con el aporte de Isaac Newton (1642 − 1727), fue posible advertir que estas leyes son una consecuencia de la llamada Ley de Gravitaci´on Universal. Primera Ley de Kepler,
puede enunciarse de la siguiente mane-
ra: Los planetas en su desplazamiento alrededor del Sol describen elipses, con el Sol ubicado en uno de sus focos. Debe tenerse en cuenta que las elipses planetarias son muy poco exc´entricas (es decir, la figura se aparta poco de la circunferencia) y la diferencia entre las posiciones extremas de un planeta son m´ınimas (a la m´axima distancia de un planeta al Sol se denomina afelio y la m´ınima perihelio). La Tierra, por ejemplo, en su m´ınima distancia al Sol se halla a 147 millones
3.1 Leyes de Newton.
243
de km, mientras que en su m´axima lejan´ıa no supera los 152 millones de km. puede expresarse como: Las ´areas barridas por el segmento que une al Sol con el planeta (radio vector) son proporcionales a los tiempos empleados para describirlas. Esta ley implica que el radio vector barre ´areas iguales en tiempos iguales; esto indica que la velocidad orbital es variable a lo largo de la trayectoria del astro siendo m´axima en el perihelio y m´ınima en el afelio (la velocidad del astro ser´ıa constante si la ´orbita fuera un c´ırculo perfecto). Por ejemplo, la Tierra viaja a km 30,75 km s en el perihelio y “rebaja” a 28, 76 s en el afelio. Segunda ley de kepler,
finalmente, dice que: El cuadrado del per´ıodo de revoluci´on de cada planeta es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol. La tercera ley permite deducir que los planetas m´as lejanos al Sol orbitan a menor velocidad que los cercanos; dice que el per´ıodo de revoluci´on depende de la distancia al Sol. Pero esto s´olo es v´alido si la masa de cada uno de los planetas es insignificante en comparaci´on con la del sol. Si se quisiera calcular el per´ıodo de revoluci´on de astros de otro sistema planetario, se deber´ıa aplicar otra expresi´on com´ unmente denominada tercera ley de Kepler generalizada. Esta ley generalizada tiene en cuenta la masa del planeta y extiende la tercera ley cl´asica a los sistemas planetarios con una estrella central de masa diferente a la del Sol. Por otra parte, Newton menciona en el libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica [1687] (Principios matem´atiTercera ley,
244
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
cos de la filosof´ıa natural): . . . Y el mismo a˜ no comenc´e a pensar que la gravedad se extiende a la ´orbita de la Luna y . . . deduje que las fuerzas que mantienen los planetas en sus ´orbitas deb´ıan de ser proporcionales a la inversa de los cuadrados de sus distancias a los centros alrededor de los que giran; en consecuencia, compar´e la fuerza necesaria para mantener la Luna en su ´orbita con la fuerza de la gravedad en la superficie de la Tierra, y encontr´e que la respuesta era muy aproximada. Todo esto fue en los a˜ nos de la plaga de 1665 − 1666. Porque en ellos yo estaba en mi mejor edad mental para la invenci´on y me interesaban las matem´aticas y la filosof´ıa m´as que en ninguna otra ´epoca posterior. 1
Establece que dos part´ıculas de masa M y m se atraen mutuamente con fuerzas iguales y opuestas F y −F de magnitud F dado por la expresi´on: La Ley de la gravitaci´ on de Newton:
1
v´ease [22]
Figura 3.13: Figura que muestra las tres leyes de Kepler
3.1 Leyes de Newton.
245
F =G
m1 m2 uˆ d212
(3.12)
donde: m1 Es la masa de un cuerpo [kg] m2 Corresponde a la masa de un segundo cuerpo [kg] d12 Distancia entre los centros de ambos cuerpos [m] F Fuerza de gravedad mutua entre ellos [N ], y de la Gravitaci´on Universal, que vale: 6.67 ×10−11 hG Constante i Nm2 kg 2
uˆ = Vector unitario en direcci´on de la fuerza.
La constante gravitacional G, fue estimada por primera vez tal vez por Galileo2 , posteriormente la forma de medirla fue ideada por Jhon Michell y en el siglo XVIII, en 1798 fue medida por Sir Henry Cavendish (1731 − 1810), a quien se le conoce como el pesador del mundo. Un aparato similar fue utilizado por Coulomb para el estudio de las fuerzas el´ectricas y magn´eticas. Se atribuye que el primer cient´ıfico que logr´o estimar la constante de gravedad fue Galileo, cuando realiz´o el experimento de lanzar dos pelotas de diferentes masas desde la c´ uspide de la Torre de Pisa, las cuales cayeron con una aceleraci´on constante, pero es un antecedente que no se encuentra confirmado.
2
tal vez en su honor Newton le llam´o G a la constante
246
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
Actividad. 3.1.7.1 1. Realice una investigaci´on sobre: Que es, como es, y como se utiliza una “Balanza de Cavendish”. 2. Conf´ormense en equipos de hasta 5 elementos, nombrando un representante. 3. para la evaluaci´on se tomar´a en cuenta: a) Entrega en tiempo y forma (una semana m´ aximo). b) Claridad en lo escrito. c) Coherencia de lo escrito. d ) Validez y pertinencia de las ideas expuestas (que tenga relaci´ on con la situaci´on actual). e) Presentaci´ on. f ) Profundidad del escrito.
Utilizando una Balanza de Cavendish se midio la fuerza de atracci´on entre dos personas, una con masa de 50kg y otra de 70kg, las cuales est´an separadas 1mm. ¿Cuanto marc´o la escala de fuerza? Ejemplo 3.1.7.1
Soluci´ on al Ejemplo 3.1.7.1
Por la ecuaci´on (3.12)
F =G
F =
m1 m2 d212
2 −11 Nm 6,67 × 10 kg 2
(60kg)(70kg) (1 × 10−3 m)2
F = 0,28N es la fuerza equivalente al peso de: 28,6 gramos.
3.1 Leyes de Newton.
247
La fuerza de atracci´on de la tierra sobre una masa de 1Kg es de 9,81N , el radio medio de la tierra es 6380km. Calcule la masa de la tierra. Ejemplo 3.1.7.2
Soluci´ on al Ejemplo 3.1.7.2
Por la ecuaci´on (3.12)
F =G
m1 m2 d212
2 (1kg)mt −11 Nm 9,81N = 6,67 × 10 kg 2 (6380 × 103 m)2
donde mt indica la masa de la tierra.
mt = 5,98 × 1024 kg asi procedi´o Cavendish para conocer la masa de la tierra. El volumen de la tierra (considerandola esf´erica) es: 4 V = πr3 3 4 V = π(6380000m)3 3 V = 1,0878 × 1021 m3 y su densidad es: ̺=
m V
5,98 × 1024 kg ̺= 1,0878 × 1021 m3 ̺ = 5497
kg kg ≈ 5500 m3 m3
248
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
Problemas
1. En un experimento con la balanza de Cavendish, se realizaron las siguientes mediciones: m1 = 0,8kg m2 = 0,004kg f = 13 × 10−11 N d = ,04m
Calcule con esto datos el valor de la constante de gravitaci´on universal (G) 1 de la masa de la tierra, su radio 2. La masa de la luna es de 81 1 on entre estos 4 del de la tierra, la distancia de separaci´ cuerpos es de 300000km
a) ¿Con que fuerza se atraen? b) ¿Cual sera la atracci´on de la luna sobre un cuerpo? o de otra manera ¿Cual es la aceleraci´on de la gravedad en la luna?
3.2.
Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica. Arqu´ımedes da a partir de proposiciones pr´acticamente autoevidentes, la ley de la palanca que permite introducir el concepto de trabajo en f´ısica. Suponiendo que se quier elevar un peso con una palanca cuya relaci´on de tama˜ no de los brazos es 3:1, entonces por presi´on sobre
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
249
el extremo de la palanca se puede hacer con una fuerza tres veces menor que el peso de la piedra. La distancia que se ha movido la piedra es obviamente tres veces menor que el desplazamiento que ha realizado [28]-[31], por lo que se cumple que: F uerzaaplicada × desplazamiento = P esode
la piedra
× altura
F ·d=P ·h El principio de la palanca se aplic´o a otro aparato que utiliz´o Arqu´ımedes para sorprender al rey Hieron moviendo el solo un gran barco: la polea. 3.2.1.
Trabajo.
El define el trabajo T como el producto de la fuerza F~ por el desplazamiento d~ T = F~ · d~ (3.13) por lo que la ley de la palanca implica que el trabajo (T ) invertido para levantar la piedra es exactamente el mismo que el necesario para elevar un peso (P ) en contra de la gravedad. Recordando que la fuerza (F ) se mide en Newton [N ], la distancia en metros [m]. Con estas unidades, el trabajo se expresa en [N m] Cantidad que se denomina Joule en honor al f´ısico brit´anico James Prescott Joule quien centr´o sus in-
250
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
vestigaciones en los campos de la electricidad y la termodin´amica. Demostr´o que el calor es una transferencia de energ´ıa y determin´o el equivalente mec´anico del calor. En espa˜ nol esta cantidad se traduce como Julio. Una caracter´ıstica importante que debe ser notada es que el producto est´a representado en esta expresi´on por medio de un “punto ” (·), lo que significa un producto especial un producto escalar el cual es un producto entre dos vectores que da como resultado un escalar. Un Joule o Julio es el trabajo realizado por una fuerza de 1 N aplicada para producir un desplazamiento de 1 m.
3.2.2.
Potencia.
Mide la rapidez con que se realiza un trabajo. La potencia es igual al trabajo realizado dividido entre el intervalo de tiempo a lo largo del cual se efect´ ua dicho trabajo. En t´erminos matem´aticos;
P =
T t
(3.14)
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
251
El concepto de potencia no se aplica exclusivamente a situaciones en las que se desplazan objetos mec´anicamente, resulta u ´til, por ejemplo, en electricidad. La potencia siempre se expresa en unidades de energ´ıa divididas entre unidades de tiempo. La unidad de potencia en el Sistema Internacional es el vatio [W ], que equivale a la potencia necesaria para efectuar 1 julio [J] de trabajo por segundo [s]. La potencia, se nombra as´ı en honor a James Watt (1736 − 1819), inventor e ingeniero mec´anico escoc´es quien realiz´o mejoras a la m´aquina de vapor y determin´o las propiedades del vapor, en especial la relaci´on de su densidad con la temperatura y la presi´on. Existe la idea extendida, pero equivocada, de considerar a Watt como el inventor de la m´aquina de vapor, ´esta se debe al gran n´ umero de aportaciones que hizo para su desarrollo. La unidad de potencia tradicional es el caballo de vapor (CV), que equivale aproximadamente a 736 vatios.
Caballo de vapor:
Unidad tradicional para expresar la potencia mec´anica, es decir, el trabajo mec´anico que puede realizar un motor por unidad de tiempo; suele abreviarse por CV. En el Sistema Internacional de unidades, la unidad de potencia es el vatio; 1 caballo de vapor equivale a 736 vatios. Su valor original era, por definici´on, 75 kilogr´ametros por segundo.
252
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
El kW − Hr
Las compa˜ nias de generaci´on de electricidad, en M´exico la CFE, miden la energ´ıa utilizada por el usuario no en Joules ni en calorias sino en una unidad llamada kW − Hr, (kilowat-hora o kilovatio por hora), esta cantidad resulta de multiplicar la potencia en kilovatios por una hora de uso, por lo que puesto que: 1W = 1 Js , 1kW = 1000W y 1Hr = 3600s, entonces: 1kW − Hr = 1,000W − Hr 1kW − Hr = (1,000W ) · (3,600s) = 3,600,000W · s 1J · s/ 1kW − Hr = 3,600,000 s/ 1kW − Hr = 3,600,000J En M´exico a esta unidad, la compa˜ nia le asigna un valor de acuerdo a cuantos kW − Hr se utilicen y la zona del pa´ıs donde se encuentre el usuario, dividiendose en tres costos; B´asico, Intermedio y Excedente, el cual en abril del 2,007 en Tlaxcala, ten´ıa los siguientes costos3 : Cuadro 3.3: Costo por kW − Hr en Tlaxcala abril 2,007 Concepto l´ımite (kW − hr) costo (Pesos) B´asico > 0a150 0,63 Itermedio > 150a250 0,74 Excedente > 250 2,00
preguntas 1) ¿Qu´e es el trabajo mec´anico?. 3
Tomado directamente de un recibo de la CFE
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
253
2) ¿En que unidades se mide el trabajo?. 3) ¿Cu´ales son sus equivalencias?. 4) Si se levanta un cuerpo desde el suelo, ¿hay trabajo?. 5) ¿Las m´aquinas simples, realizan trabajo?. Ejercicios 1) Transformar 250 kgm a Joule y kW · hr. R. : 2450 J y 0, 0007 kW · hr. 2) ¿Cu´antos kgm y Joule representan 25 kW · hr.?. R. : 9,10J y 9183673 kgm 3) Indicar cu´antos Joul y kW.h son 125478 kgm.
R. : 12296844 J y 3, 4 kW · hr. 4) Indicar el trabajo necesario para deslizar un cuerpo a 2 m de su posici´on inicial mediante una fuerza de 10 N.
R. : 20 J 5) ¿Qu´e trabajo realiza un hombre para elevar una bolsa de 70 kgf a una altura de 2, 5 m?. Expresarlo en:
254
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
a) kgm. : 175 kgm
R.
b) Joule. : 1715 J
R.
c) kWh. : 0, 00047 kW · hr.
R.
6) Un cuerpo cae libremente y tarda 3 s en tocar tierra. Si su peso es de 4 N, ¿qu´e trabajo deber´a efectuarse para elevarlo hasta el lugar desde donde cayo?. Expresarlo en: a) Joule. :1728, 7 J
R.
b) kgm. :176,4 kgm 3.2.3.
R.
Energ´ıa Mec´ anica (Potencial y Cin´ etica).
Energ´ıa potencial gravitacional.
Para levantar un peso (P ) con una palanca hasta una altura (h) se tiene que realizar un trabajo (T ) T = P~ · ~h
Pero, si el cuerpo se encuentra a una altura ~h y cae, puede realizar un trabajo desde la altura h, esto es; es capaz de realizar trabajo. Esta reflexi´on lleva decir que se tiene una Energ´ıa potencial gravitacional en la cantidad P~ · ~h, pero de (3.3) Ep = P~ · ~h = m · ~g · ~h
(3.15)
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
255
ahora bien en la secci´on 2.1.5, se mencion´o que ~g = 9,81 sm2 hacia abajo y se demostr´o en la secci´on 3.1.4. Una interesante propiedad es que sl el trabajo realizado para llevar un cuerpo hasta una altura h es independiente de la manera en que uno lo sube hasta all´ı. Esto conduce a diferenciar dos tipos de sistemas, a saber: Conservativos y no-conservativos. Con esta propiedad es sencillo realizar muchos problemas que se suelen hacer en la ense˜ nanza media con planos inclinados. Suponiendo que se tiene un plano inclinado de lados 3, 4 y 5 metros y una masa de 1 kg situado en la base. Queriendo calcular el peso P que colocar en el extremo de la cuerda para que el sistema est´e en equilibrio. Eso significa que en equilibrio los pesos pueden ser desplazados a un lado y a otro sin esfuerzo (esto no es cierto en la realidad, solamente en donde no existiera rozamiento en ninguna parte del sistema) lo cual significa que se puede cambiar la energ´ıa potencial del cuerpo de peso P en 5 P mientras la energ´ıa potencial del cuerpo de 1Kg s´olo cambia en 3 unidades. Si el trabajo realizado por el cuerpo de peso P tiene que ser igual al realizado sobre el peso de 1kg, se tiene que Ejemplo:3.2.3.1
5P = 3 3 ⇒ P = kg 5 Esta relaci´on puede deducirse de la manera que figura en el epitafio de la tumba de Simon Stevin (1548 − 1620). Es tambi´en u ´til para darse cuenta que el peso efectivo de un cuerpo que se mueve por un plano inclinado est´a en la misma relaci´on al peso del cuerpo como la relaci´on entre la altura que sube el plano por unidad de distanica recorrida sobre el plano. Esa relaci´on es el seno del ´angulo de inclinaci´on del plano.
256
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
Energ´ıa Cin´ etica.
Energ´ıa relacionada con el movimiento: Cuando se suelta un p´endulo que se encuentra a una altura h respecto a su altura m´ınima, este pierde una energ´ıa potencial igual a P~ · ~h ¿Hacia d´onde se va esa energ´ıa potencial?. Bueno, el p´endulo despu´es de pasar por el punto m´as bajo se sigue moviendo y vuelve a subir hasta la misma altura por el otro lado. ¡La energ´ıa potencial se recupera de nuevo!. La diferencia consiste en que en los momentos intermedios el cuerpo est´a en movimiento. Parece que debe existir una energ´ıa relacionada con el movimiento. Calculando el trabajo necesario para llevar un cuerpo desde el reposo hasta una velocidad ~v . Suponiendo que la forma en que se lleve al cuerpo hasta esa velocidad no va a afectar a la energ´ıa que posea, que se hace con una aceleraci´on uniforme ~a en un tiempo conocido t, es decir se cumple la expresi´on (2.8) v ~a = ∆~ ∆t El trabajo es entonces T = F~ · d~ = m~a · d~ la u ´ltima parte de esta expresi´on se parece a la que se utiliz´o en la secci´on 2.1.5, ecuaci´on: (2.17), con la salvedad que aqu´ı se usa d~ y en esa parte se us´o: ~x, pero finalmente son desplazamientos. Utilizando el resultado de la expresi´on (2.17), se tiene: 2ax =
vf2
−
vo2
vf2 − vo2 ⇒ ax = 2
vf2 − vo2 T = max = m 2
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
257
que se puede escribir 1 T = m vf2 − vo2 2
(3.16)
que significa que el trabajo se conviente en un cambio en las cantidades: 1 2 mv 2 y esta es la expresi´on de la energ´ıa cin´ etica. 1 Ec = mv 2 2
(3.17)
(3.18)
Lo anterior significa que la energ´ıa potencial se convierte en cin´etica y la cin´etica en potencial de tal manera que la suma de ambas es siempre constante. Esa es una forma de establecer un principio de conservaci´on muy importante en f´ısica: el principio de conservaci´on de la energ´ıa. 3.2.4.
Principio de Conservaci´ on de la Energ´ıa Mec´ anica.
La energ´ıa mec´anica es la suma de las energ´ıas cin´etica y potencial.
Em = Ec + Ep
(3.19)
258
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
El principio de conservaci´on asegura que Em =constante. Una forma sencilla de formular este principio es: la cantidad de Energ´ıa Cin´etica gastada se convierte en potencial o viceversa.
Se tira un objeto hacia arriba con una velocidad de 30 ms , ¿hasta que altura ser´a capaz de llegar?. 2 Inicialmente el cuerpo tiene una energ´ıa cin´etica Ec = 12 m 30 ms Esta energ´ıa es convertida en energ´ıa potencial Ep = mgh, por lo que: Ejemplo: 3.2.4.1
despejando h
1 m 2 = mgh m 30 2 s 1 / 2m
m /
ւ 900 mm ր s2
m ւ 9,81ր s2
=h
⇒ h = 45,9m
Se resolvi´o el problema sin aplicar la cinem´atica, pero mediante la cual el lector debe comprobar el resultado. ¿tiene limitaciones este principio de conservaci´on?. Si el lector considera un choque de dos objetos que permanecen posteriormente unidos, parece que existe una p´erdida de energ´ıa cin´etica. Por ejemplo, en el caso de dos masas que se aproximan con velocidad v y chocan para formar una masa 2m en reposo, ¿a d´onde va la energ´ıa cin´etica?. Se pueden hacer dos sugerencias:
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
259
1. La energ´ıa cin´etica desaparece 2. La energ´ıa cin´etica se convierte en otra forma de energ´ıa que queda almacenada en los cuerpos. Pero el principio de conservaci´on de la energ´ıa tiene un car´acter general, por lo que se debe admitir la existencia de otras formas de energ´ıa. A nadie le extra˜ na que dos cuerpos que chocan de frente se deforman y calientan. Entonces; la energ´ıa cin´etica se ha convertido en energ´ıa calor´ıfica. Ejemplo: 3.2.4.2
Cuando dos objetos chocan como dos bolas de billar. En ese tipo de choques (conocidos como choques inel´asticos) ocurre considerar que la energ´ıa cin´etica s´ı que se conserva. Puede uno imaginarse que los cuerpos que sufren el choque inel´astico est´an unidos por peque˜ nos muelles. Ejemplo: 3.2.4.3
Un muelle o resorte, tiene la propiedad de devolver la energ´ıa que se le proporciona, as´ı como el campo gravitacional cuando se levanta una piedra, mediante una compresi´on adquiere energ´ıa potencial y una descompresi´on realiza trabajo, claro que en un muelle real existe la posibilidad de una deformaci´on que hace que no toda la energ´ıa proporcionada para la compresi´on se pueda devolver en la descompresi´on posterior. Ejemplo: 3.2.4.4
El caso de una pelota de superficie bien tersa que bota sucesivamente en el suelo. Si el choque fuera exactamente el´astico ascender´ıa siempre a la misma altura, pero un jugador de baloncesto sabe perfectamente que tiene que imprimir una Ejemplo: 3.2.4
260
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
peque˜ na fuerza al bal´on para mantenerlo a suficiente altura, el hecho es que un bal´on termina por parar despu´es botar. La elasticidad perfecta es una aproximaci´on excelente cuando chocan dos part´ıculas subat´omicas o cuando un cometa es desviado de su trayectoria por la proximidad de un cuerpo celeste como un planeta o una estrella. Ejemplo: 3.2.4.5
Un aeroplano vuela a 20m debajo de otro aeroplano del mismo tama˜ no y peso. Ambos viajan a una velocidad m de crucero de 600 s . a) Qu´e aeroplano tiene energ´ıa m´as cin´etica? b) Cu´al tiene m´as energ´ıa potencial?
Ejercicio: 3.2.4.1
Ejercicio: 3.2.4.2
Imagine que usted est´a en un columpio, osci-
lando en el patio. a) En qu´e punto en su oscilaci´on usted va a tener mayor energ´ıa cin´etica? b) En qu´e punto usted tiene m´as energ´ıa potencial? nota: Responda realizando un diagrama para cada ejercicio. 3.2.5.
Impulso y Cantidad de Movimiento.
Para Descartes, la Cantidad de Movimiento estaba relacionada con el producto de la materia y la rapidez, pero su idea de la esencia de la materia no era la masa, sino el volumen. Newton redefine tal noci´on, definiendo cantidad de movimiento, o momento lineal como el producto de la masa y la velocidad. Esto es el ´ımpetu de Buridan reinterpretado f´ısicamente y muy parecido al momento de Galileo ( peso por velocidad).
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
261
La tercera ley de Newton conduce directamente al principio fundamental de la conservaci´on del momento lineal; esta ley establece que: Si se quiere cambiar la cantidad de movimiento de un cuerpo se tiene que ejercer un impulso sobre el. La cantidad de movimiento antes y despu´es debe de ser igual para que se cumpla la ley. Cantidad de Movimiento
La cantidad de movimiento se representa por la letra ~p se define como: producto de la masa de un cuerpo por su velocidad. Es decir:
~p = m · ~v
(3.20)
La cantidad de movimiento tambi´en se conoce como momento (o mom´entum). Es una magnitud vectorial y, en el Sistema Internacional se mide en kg · ms .
262
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
Impulso
Aplicaci´on de una fuerza constante que act´ ua sobre un sistema durante un lapso de tiempo (no indefinidamente): ~I = F ~ · (tf − ti ) ~I = F ~ · ∆t
(3.21)
(la fuerza se tiene que escribir con su signo y el impulso tambi´en, hay que tener cuidado con su sentido y direcci´on) Las unidades del impulso son: N · s. Si lo que se necesita es el impulso de fuerzas no constantes recurre al gr´afico de fuerzas en funci´on del tiempo, el ´area dar´a el impulso promedio. por otra parte, el cambio en la cantidad de movimiento producido en un cuerpo por una fuerza externa, depende de la magnitud de la fuerza y tambi´en del tiempo que esta act´ ua sobre el cuerpo. De acuerdo con la segunda ley de Newton, se tiene: = m~a ∆v =m ∆t ∆(mv) = ∆t
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
~ = ∆~p F ∆t
263
(3.22)
pudiendo enunciarse la siguiente ley, (enunciada por Newton): La variaci´on de la cantidad de movimiento de un cuerpo es proporcional a la fuerza que act´ ua sobre el. De la ecuaci´on anterior si se despaja ∆p, se deduce que F~ ∆t = ∆~p
(3.23)
El producto de la fuerza por el tiempo que esta act´ ua es el ~ impulso (I), el cual mide la variaci´on de l cantidad de movimiento producida por la fuerza durante el tiempo de su aplicaci´on, pudiendo escribirse que, en un intervalo de tiempo, la variaci´on total de la cantidad de movimiento vendr´a dada por: ∆~p = F~ ∆t
(3.24)
En la ecuaci´on (3.24) el valor de la fuerza puede ser interpretado como el valor medio de la misma durante el intervalo de la variaci´on. En un impacto la fuerza no permanece casi nunca constante durante el intervalo de tiempo de la colisi´on, sino que var´ıa dentro de unos l´ımites muy grandes. Por tanto, la Ec. (3.22) determina el valor medio de la fuerza durante el intervalo de contacto. Si es preciso conocer la fuerza en un instante dado de la colisi´on, esta vendr´a determinada por la variaci´on de la
264
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
cantidad de movimiento en ese instante. Siendo muy dif´ıcil conocer esa variaci´on, se puede, sin embargo, estudiar la fuerza en funci´on de la deformaci´on producida en el momento del choque. Las ecuaciones (3.22) indican que ning´ un objeto puede ser parado instant´aneamente y que cuanto mas corto es el intervalo requerido para detener un cuerpo tanto mayor puede ser la fuerza necesaria para conseguirlo. Una bomba tirada desde una altura de varios miles de metros, tendr´a una gran cantidad de movimiento en el impacto. Si el blanco es un barco, se parara en un corto espacio de tiempo o atravesara la cubierta del barco. La cubierta acorazada de un barco es, generalmente, insuficiente para impedir la penetraci´on de la bomba, por que las fuerzas en juego son extremadamente grandes. El signo negativo del resultado indica que la fuerza es de sentido opuesto a la velocidad, dando un resultando l´ogico. Por (3.21), (3.23) y (3.24), se tiene
~I = ∆~p
(3.25)
Esta ecuaci´on significa que el Impulso es igual al cambio en la cantidad de movimiento es decir el impulso no se pierde sino que se convierte en un Cambio en la cantidad de movimiento. Esto conduce al: 3.2.6.
Principio de la Consevaci´ on de la Cantidad de Movimiento.
Dos esferas se desplazan en direcciones opuestas, con velocidades ~v1a y ~v2a (la letra (a) indica que es antes de chocar), sus
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
265
cantidades de movimiento son ~p1 y ~p2 respectivamente, puesto que sus masas son m1 y m2
Antes del Choque
En el Momento del Choque
Despu´es del Choque
Figura 3.14: Choque de Dos Cuerpos
En un momento dado chocan como se muestra en la figura (3.14). Por la tercera ley de Newton la fuerza que ejerce cada una de ellas es igual pero de sentido opuesto. ~ = −F ~ F Multiplicando ambos miembros por el cambio en el tiempo; ~ ~ F∆t = −F∆t por (3.25) ~I = −~I Obtenemos el impulso, pero como se mostr´o anteriormente, ~I = ∆~p Entonces: ∆~p1 = −∆~p2 ∆~p1 + ∆~p2 = 0
266
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
~p1d − ~p1a + ~p2d − ~p2a = 0 ⇒ ~p1d + ~p2d = ~p1a + ~p2a
(3.26)
Es decir que la suma de las cantidades de movimiento despu´es de un choque son iguales a la suma de cantidades de movimiento antes de un choque. Este resultado aunque se obtuvo para una dimensi´on es v´alido para otras dimensiones. 3.2.7.
Colisiones (Choques)
Si se imagina a dos machos cabr´ıos con sus imponentes cornamentas, enfrentados en un combate por un territorio repleto de hembras. Los dos magn´ıficos animales se levantan sobre sus patas traseras “impuls´andose” para descender a topetazos sobre su oponente. Este violento encuentro ilustra perfectamente la situaci´on de una colisi´on donde act´ uan fuerzas externas relativamente grandes durante un tiempo estimativamente corto. Como se puede determinar la posici´on de cada animal durante todo el proceso, podemos tratarlos f´ısicamente como si fueran part´ıculas. Si bien la idea b´asica de una colisi´on es que, en movimiento o quietas, dos o m´as part´ıculas (o por lo menos una de ellas) cambian bruscamente su direcci´on, lo que es muy evidente es el cambio de velocidad que experimentan las part´ıculas involucradas antes y despu´es del choque. Durante la colisi´on la fuerza var´ıa de una manera tan compleja que resulta muy complicada medirla. Estas fuerzas, denominadas impulsivas, act´ uan durante un brev´ısimo instante. Lo que hay que estacar es que la cantidad de movimiento se mantiene constante. La cantidad de movimiento, como se ha
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
267
visto, es el producto entre la masa y la velocidad. As´ı que se tendr´a la cantidad de movimiento de cada part´ıcula antes y despu´es del choque, la cantidad total de movimiento (la suma de las cantidades de movimientos de ambos cuerpos) ser´an iguales antes y despu´es de chocar. Si ambas part´ıculas quedaran “adheridas” en un solo cuerpo en movimiento, el choque se denominar´a pl´astico. Pero si rebotaran separ´andose, el choque se designar´a con el nombre de el´astico. Choque pl´ astico (Totalmente Inel´ astico)
Las colisiones inel´asticas tienen la peculiaridad de que la energ´ıa cin´etica aunque se conserva, los objetos que se deforman no vuelven a su forma original, por lo que en este tipo de colisiones act´ uan fuerzas no conservativas como la fricci´on y en el momento de chocar generan calor. m1~v1 + m2~v2 = (m1 + m2 )~vf
(3.27)
Choque el´ astico
Las colisiones el´asticas son aquellas en que la energ´ıa cin´etica total se conserva; por lo que podemos decir que tanto antes como despu´es de la colisi´on la energ´ıa cin´etica ser´a la misma. m1~v1a + m2~v2a = m1~v1d + m2~v2d
(3.28)
Durante la colisi´on parte de la energ´ıa cin´etica inicial se convierte temporalmente en energ´ıa potencial a medida que los objetos se deforman, luego de la deformaci´on m´axima viene otra etapa donde los objetos regresan a su forma original y el sistema tiene la misma cantidad de energ´ıa cin´etica que al principio de
268
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
la colisi´on. Tambi´en este tipo de colisiones se caracterizan por no generar calor. Choque el´astico: golpe percutante Podr´ıamos distinguir dos tipos, el central y el oblicuo seg´ un la recta que une los dos centros de gravedad de ambos cuerpos coincida o no con la direcci´on de sus respectivas velocidades. El estudio del choque oblicuo es muy complejo ya que tiene en cuenta el c´alculo vectorial de las velocidades considerando los respectivos ´angulos de incidencia. Por este motivo se limita en el estudio al caso central. Consideremos el esquema del choque 3.15 c, donde quedan expuestas las masas ( m ), direcciones (→) y velocidades ( ~v ) de los cuerpos antes y despu´es del choque : Por tratarse de un choque el´astico se conserva tanto la cantidad de movimiento o momento lineal (definido por el producto de la masa por la velocidad : ~p = m~v ) como la energ´ıa cin´etica del sistema (definida por el semiproducto de la masa por el cuadrado de la velocidad : E = 12 mv 2 ). En consecuencia, aplicando ambos teoremas de conservaci´on al sistema se obtiene de forma general : m1~v1a + m2~v2a = m1~v1d + m2~v2d (ecuaci´on vectorial) 1 1 1 1 2 2 2 2 m1 v1a + m2 v2a = m1 v1d + m2 v2d 2 2 2 2 (ecuaci´on escalar) Este sistema consiste en un sistema de ecuaciones, el que desarrollando matem´aticamente, se obtiene la siguiente soluci´on: v1d =
(m1 − m2 ) 2m2 v1a + v2a (m1 + m2 ) (m1 + m2 )
(3.29)
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
269
2m1 (m2 − m1 ) v1a + v2a (3.30) (m1 + m2 ) (m1 + m2 ) De este resultado podemos extraer las siguientes conclusiones1 : v2d =
a) Si las dos masas de los cuerpos son id´enticas ( m1 = m2 ) resulta que : v1d = v2a y v2d = v1a es decir que los cuerpos intercambian sus velocidades. b) Si adem´as de ser iguales las masas de los dos cuerpos uno de ellos, por ejemplo el cuerpo 2, est´a en reposo (v2 = 0) se obtiene: v1d = 0 y v2d = v1d es decir que el primero se detiene al chocar y el segundo adquiere la misma velocidad que llevaba el primero. c) Si la masa inicialmente en reposo es mucho mayor que la otra ( m2 >> m1 ) se obtiene: v1d = −v1a y v2d = 0 es decir que la primera invierte su velocidad mientras que la segunda se mantiene en reposo. Este ser´ıa el caso de un golpe de pu˜ no o patada en una pared de la cual se saldr´ıa rebotando sin conseguir moverla o derribarla. 1
vease [5]
270
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
d) El caso m´as interesante y real es aquel en el que una de las masas es ligeramente mayor que la otra (m2 > m1 ) manteni´endose en reposo la segunda (v2 = 0), del cual podemos deducir que : (m1 − m2 ) v1d = v1a (m1 + m2 ) 2m1 v2d = v1a (m1 + m2 ) Como se puede apreciar en las f´ormulas a medida que se aumenta la masa del primer cuerpo (m1 ) y se disminuye la del segundo (m2 ) manteniendo constante la velocidad inicial (v1a ) se obtendr´an mayores velocidades finales. Manteniendo constantes las masas y aumentando la velocidad de ejecuci´on del mismo (v1 ) se obteniene una mayor velocidad de retroceso (−v1d ) y se imprime mayor velocidad a la otra masa.
Figura 3.15: a.- Una bola en movimiento golpea una bola en reposo. b.Colisi´on frontal entre dos bolas en movimiento. c.- Colisi´on de dos bolas que se desplazan en la misma direcci´on.
Ejemplo 3.2.7 Desarrollado: Una bala de 0, 05 kg. masa se desplaza con una velocidad de 350 ms . cuando impacta sobre un bloque de madera, de 0, 36 kg. de masa, incrust´andose en ´el.
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
271
Hallar la velocidad con que se mueve el sistema luego del choque. Soluci´on: Al impactar la bala queda incrustada dentro del bloque de madera, por lo cual se puede suponer despu´es del impacto ambos cuerpos se desplazan juntos. Se est´a frente a un choque pl´astico, en el cual, antes del choque, la bala se encuentra movi´endose mientras que el bloque est´a quieto (velocidad inicial cero). Datos: m m v1 = 350 , m1 = 0, 05kg, v2 = 0 , m = 0, 36kg. s s Inc´ognita: v2 = ? (velocidad bala - madera). Aplicando la ecuaci´on del choque pl´astico (3.28) y reemplazando por sus respectivos valores. m1~v1 + m2~v2 = (m1 + m2 )~vf ~v = ~vf (350
m ) · (0, 05kg) + 0 = ~v (0, 41kg) s m ⇒ ~v = 42,683 s
Ejercicios 1. Una locomotora que pesa 10000kgf se mueve sobre una v´ıa recta y choca contra otra locomotora igual que se halla en reposo, moviendose unidas despu´es del choque. Si la velocidad de la primera es de 45 km hr , calcular: a) cantidad de movimiento del sistema antes del choque.
272
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
(Resp.: 125,000kg. ms ) b) la velocidad de ambas m´aquinas despu´es del choque. ( Resp.: vf = −6,25 ms ) c) cantidad de energ´ıa cin´etica se pierde durante la colisi´on. ( Resp.: 390,625J) 2. Una bala de 10g de masa choca contra un p´endulo bal´ıstico cuya masa es de 2kg. Por efecto del choque, la base del p´endulo se eleva una altura de 10cm, quedando la bala empotrada en ´el. Calcular la velocidad inicial de la bala. (Resp.: 280 ms ) 3. Una bala de 2g de masa, que lleva una velocidad de 500 ms , ha sido disparada horizontalmente contra un bloque de madera de 1kg de masa, que se halla inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. La bala atraviesa el bloque y sale de ´el con una velocidad de 100 ms , en tanto que el bloque se desliza una distancia de 20cm sobre la superficie antes de detenerse. Calcular: a) el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie. ( Resp.: µk = 0, 16) b) la p´erdida de energ´ıa cin´etica que experimenta la bala.
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
273
Resp.: 240J c) la energ´ıa cin´etica del bloque inmediatamente despu´es de ser atravesado por la bala. Resp.: 0, 32J 3.2.8.
Coeficiente de Restituci´ on
Siempre existe una conversi´on de energ´ıa a energ´ıa calor´ıfica, en consecuencia la velocidad despu´es del choque ha de ser menor que la que pose´ıa antes. Por ´esto se introduce el Coeficiente de Restituci´on definido como : (v1d − v2d ) r=− (3.31) (v1a − v2a )
magnitud escalar adimensional que indica el grado de elasticidad del choque. Este coeficiente var´ıa entre 0 (choque perfectamente inel´astico) y 1 (choque perfectamente el´astico). Pr´ actica 4. Pr´actica: Cohete de Agua4 Objetivo
Confecci´on de un dispositivo para hacer un estudio cualitativo (observaci´on e identificaci´on de los fen´omenos que ocurren) de la Tercera Ley de Newton y la Conservaci´on de la Cantidad 4
[26]
basado en el art´ıculo obtenido en la p´agina www.ungs.edu.ar/ici/fisica/fisica1/cohete/
274
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
de Movimiento. El dispositivo es de f´acil construcci´on de bajo costo. Que pueda ser desarrollado por alumnos de bachillerato, despertado el inter´es del alumno. Introducci´ on.
La propulsi´on a chorro es una aplicaci´on de la Tercera Ley de Newton y la conservaci´on de la Cantidad de Movimiento. El cohete gana impulso expulsando el combustible de su interior hacia afuera de el, como onsecuencia, el cohete ejerce una fuerza sobre el combustible que escapa y por la Tercera Ley de Newton, se ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el cohete propuls´andolo hacia adelante. El momento lineal perdido por el combustible expulsado es igual al momento lineal ganado por el cohete. Por lo tanto, se concluye que el cohete, se impulsa en sentido contrario al combustible que escapa. An´ alisis del Movimiento
El an´alisis requiere del uso de ecuaciones diferenciales, sin embargo, se realizan aproximaciones que dan un resultado v´alido para este nivel. Se analiza el sistema total (cohete y combustible expulsado) ver figura 3.16 para un intervalo determinado de tiempo. Igualando esta variaci´on al impulso ejercido sobre el sistema por las fuerzas externas que act´ uan sobre ´el. Las variables son: Fext designa la fuerza externa resultante que act´ ua sobre el cohete. m es la masa del cohete m´as la cantidad de combustible que se encuentra en su interior. ∆m masa de combustible expulsado.
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
275
Figura 3.16: Sistema: Cohete y Combustible expulsado para un intervalo determinado de tiempo.
276
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
v es la velocidad en el instante t relativa a la tierra (fig. 1a ). uex Velocidad de expulsi´on del combustible. t es el tiempo en que inicia la salida de combustible. En un instante posterior: t + ∆t la masa del cohete es: m − |∆m|
moviendose con una velocidad:
v − uex . Si el combustible es expulsado con una velocidad uex respecto al cohete, la velocidad respecto a la Tierra en el instante t + ∆t es v − uex El ´Impetu del sistema en el instante ∆t es: Fext ∆t = ∆mv
(3.32)
El cambio en la cantidad de movimiento del sistema en el instante t + ∆t es: ∆mv = (m − |∆m|) · (v + ∆v) + |∆m|uex − mv
(3.33)
∆mv = m∆v − |∆m|v − |∆m|∆v + |∆m|uex
Donde se elimina (en lenguaje matem´atico, se dice que se desprecia) el t´ermino ∆|m| · ∆v ya que es el producto de dos magnitudes muy peque˜ nas en comparaci´on con las dem´as, cuando el intervalo t es muy peque˜ no. Igual´andola al impulso (relaci´on 3.32), se obtiene: Fext ∆t = m∆v − |∆m|v + |∆m|uex
(3.34)
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
277
Dividiendo entre el intervalo de tiempo (∆t); Fext = m
|∆m| ∆v |∆m| − v+ uex ∆t ∆t ∆t
Tomando el l´ımite cuando ∆t tiende a cero, el t´ermino ∆v ∆t se on, y el t´ermino aproxima a la derivada dv dt , que es la aceleraci´ |dm| |∆m| on ∆t se aproxima a − dt , que es el valor absoluto de la variaci´ de la masa del cohete, el signo negativo se debe a que es una disminuci´on. con respecto al tiempo. As´ı se obtiene la ecuaci´on de la Fuerza que impulsa al cohete: Fext = m
dv d|m| d|m| + v− uex ) dt dt dt
(3.35)
d|m| d mv − uex ) (3.36) dt dt La magnitud uex |dm/dt| es la fuerza de impulsi´on del cohete. Fext =
Construcci´ on de las alas.
El material con el que las alas deben construirse es madera balsa. Las razones principales son el bajo peso y costo de este material, adem´as de que se puede trabajar f´acilmente. No
Figura 3.17: Forma de las alas, Cualquiera Funcionan Bien
hay recomendaciones acerca de la forma de las alas, cualquiera funcionan bien. El pegado de las alas al cohete debe ser relativamente d´ebil, esto es porque el cohete impacta contra el piso luego de ser
278
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
lanzado. Si el pegado fuese fuerte es probable que se parta la madera, en cambio, con un pegamento d´ebil se logra que las alas se separen del cohete al chocar con el suelo sin que se rompan. Construcci´ on del Cohete.
Paso 1
Paso 2 y 3
Figura 3.18: figuras para la Construcci´on del Cohete.
Paso 1 Se debe disponer de dos botellas. Una de las mismas se utiliza entera y a la otra se corta de manera que el pico quede con un tercio del total de la botella. Paso 2 El pico de la botella cortada se inserta en la base de la botella entera. Paso 3 Ambas partes se sellan utilizando cualquier tipo de cinta adhesiva o silic´on fr´ıo (preferentemente cinta canela).
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
279
Procedimiento Experimental.
Paso 1 Conectar el pico inferior del cohete a un tanque de agua lo m´as alto posible, as´ı el agua del interior posee mayor energ´ıa potencial respecto del lugar donde se encuentra el cohete. A mayor altura del tanque de agua se lograr´a un mayor llenado del cohete, alcanz´andose mayores alturas en los lanzamientos. Paso 2 abrir la v´alvula del agua sosteniendo el cohete mientras ingresa agua en ´el. Se llega a un nivel en el que ya no ingresa agua, esto se debe a que la presi´on que ejerce el aire que qued´o en el interior del cohete equipara a la presi´on que hace el agua que quiere entrar. En este instante se debe soltar el cohete. Paso 3 Filmar una serie de lanzamientos realizar un estudio de lo que ocurre observando cuadro por cuadro. Recomendaciones
En general no se puede lograr que el pico de la botella que se conecta a la manguera cierre herm´eticamente. Esto genera p´erdidas importantes de agua cuando la presi´on dentro del cohete comienza a ser grande. Una manera de solucionar este inconveniente es utilizar una ′ manguera de 43 (tres cuartos de pulgada) conectada a un tubo del mismo di´ametro, al que se conecta el cohete. Si a´ un se tienen p´erdidas en esta u ´ltima conexi´on, se debe colocar un anillo oring en el pico de la botella. As´ı pr´acticamente se eliminan las p´erdidas.
280
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
En el “aterrizaje”. Cuando el cohete cae contra el piso suelen romperse las alas de madera. La manera m´as f´acil de evitar esto es con un grupo de observadores que “atajen” al cohete antes de que este se golpee. La persona que sostiene al cohete hasta lanzarlo resulta mojada, porque el agua que sale del mismo salpica todo lo que esta a su derredor, lo que se recomienda es “salvese el que pueda”; hay que correr.
Consejos para las Conclusiones
El aumento de la velocidad del cohete a medida que disminuye la cantidad de agua dentro del mismo es apreciable a simple vista, luego, con un simple an´alisis de las fuerzas actuantes en el sistema tambi´en se ve la Tercera Ley de Newton. Un mejor an´alisis se puede hacer si se filma alg´ un lanzamiento, al pasar el video cuadro por cuadro se aprecia perfectamente como en cada cuadro la distancia recorrida por el cohete es mayor que la distancia recorrida en el cuadro anterior. Realizar una investigaci´on sobre cohetes y su implementaci´on. Realizar un reporte con las cracter´ısticas necesarias, colocando en la introducci´on un resumen de la investigaci´on realizada. Los resultados cumplen los objetivos propuestos ya que los mismos son de car´acter cualitativo.
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
Indicaciones para el Reporte. 1. Conf´ormense en equipos de hasta 5 elementos, nombrando un representante. 2. Se entregar´a un reporte por equipo. 3. El reporte de la pr´actica debe contener: * Presentaci´ on. * Introducci´ on. * Desarrollo. * Conclusiones. * Bibliograf´ıa. 4. Discuta en equipo el contenido de cada uno de los puntos que debe contener el reporte 5. Para el paso llamado desarrollo, tomar como base los mencionados anteriormente. 6. Reportarlo como: 1.- Se observ´ o que . . . 2.- La atura se midi´ o con el . . . , porque; . . . 3.- . . . . . . 4.- . . . . . . . 7. Realizar un cuadro donde se presenten las mediciones y c´alculos realizados. 8. Discuta en equipo el contenido de las conclusiones y la bibliograf´ıa.
281
282
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
Para la evaluaci´on de la Pr´actica 4 se tomar´a en cuenta: 1. Entrega en tiempo y forma (dos semanas m´ aximo). 2. Validez y pertinencia de las ideas expuestas. 3. Profundidad de los conceptos. 4. Revisi´on del contenido. 5. Presentaci´ on a l plantel por el equipo. 6. habra una coevaluaci´on por lo que se debe poner de acuerdo con el profesor. 7. La evaluaci´on se reportar´ a en un cuadro como el siguiente: Indicador si no ponder. calif. Present´o en tiempo y forma 1 El reporte contiene Introducci´ on 1 Desarrollo 2 Conclusiones 1 bibliograf´ıa 1 existe Validez y pertinencia 1 de las ideas expuestas Existe Claridad y coherencia 1 en el escrito. Existe Profundidad en los 2 conceptos
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
3.2.9.
283
4a Autoevaluaci´ on
Nombre del alumno ————————————– Gpo. 30—– I.- Subraya la Respuesta Correcta a las Siguientes Preguntas 1. ¿Qu´e ES EL MRU? a)Es cuando la velocidad solo aumenta o disminuye b)Se parte de la ecuaci´on dada para la aceleraci´on c)Velocidad constante 2. ¿ Que SIGNIFICA MRUV? a) Movimiento Rectil´ıneo Uniforme Acelerado b) Movimiento Rectil´ıneo Uniforme Variado 3. ¿Qu´e DICE AL GALILEO AL RESPECTO CON LA CAIDA LIBRE? 4. ¿Cu´ales son las tres formas de lanzar un pryectil? a) Tiro Vertical, altura maxima alcanzada, tiempo que tarda en subir b) tiro libre tiro vertical tiro horizontal c) Altura maxima alcanzada , tiempo que tarda en subir, tiro libre 5. ¿Que es EL TIRO VERTICAL? 6. ¿Que ES LA ALTURA MAXIMA ALCANZADA? 7. ¿ DE QUE ESTA COMPUESTA LA VELOCIDAD? a) por la suma vectorial de dos velocidades b) por la velocidad horizontal c) por la velocidad vertical 8. ¿Qu´e es EL MOVIMIENTO PARABOLICO? 9. ¿ Como ES REALIZADO EL MOVIMIENTO PARABOLICO? a) en sentido horizontal b) en sentido vertical c) movimiento en un plano 10. ¿C´omo es el MOVIMIENTO CIRCULAR?
284
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
11. ¿C´omo pude SER CARACTERIZADO EL movimiento circular? a) por la medida de la trayectoria b) por el desplazamiento angular 12. ¿Dame un ejemplo de movimiento circular 13. ¿C´omo se define EL RADIAN? a) el cociente entre el arco del circulo recorrido y el radio del c´ırculo b)El radio del circulo entre el di´ametro 14. ¿Cuando se dice que se ha recorrido EL PERIMETRO DEL CIRCULO? 15. ¿Cu´ando se dice que es un MCU? 16. ¿Qu´e ES MCUV? 17. ¿Cu´ales son las caracter´ısticas que presenta el MCU? 18. ¿ Por que se dice que son inversas las definiciones de periodo y frecuencia? 19. ¿COM SE DEFINE la velocidad ANGULAR? 20. ¿ DA LA DEFINICION DE VELOCIDAD LINEAL? 21. ¿D´onde NACIO ARISTOTELES? a) Naci´o EN Estagira b) Nacio en Grecia c) Nacio en Europa ˜ NACIO ARISTOTELES? A) 384 a. c. b) 22. ¿En que ANO 500 a.c. c) 450 a.c. 23. ¿ DONDE NACIO GALILEO GALILEI? 24. ¿En que a˜ no NACIO GALILEO GALILEI? 25. ¿ EN QUE FECHA MUERE GALILEO GALILEI?
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
285
26. ¿ EN QUE LUGAR MURIO? 27. ¿Qu´e ES LA FUERZA? 28. Una FUERZA POR QUE SE REPRESENTA? 29. ¿ que CARACTERIZA A UNA FUERZA? A) Punto de apliaccion B) magnitud c) Por su doreccion 30. CUALES SON LOS TIPOS DE FUERZAS? a) coplanares b) no coplanares c) por vectores 31. MENCIONA cuales son las fuerzas COPLANARES 32. MENCIONA cuales son las fuerzas NO COPALNARES 33. Menciona cuales son los que van en direccion de su recta de accion a( concurrentes b) colineales c) Paralelos 34. CUALES SON Las fuerzas CONCURRENTES 35. CUALES SON LAS fuerzas COLINEALES? 36. CUALES SON LAS fuerzas PARALELAS? 37. CUALES SON LAS FUERZAS AISLADAS? l 38. CUAL ES una FUERZA DISTRIBUIDA 39. Son una de las fuerzas por su acci´on a) axiales b) de traccion c) de comprensi´on d) flexoras e) torsoras 40. CUALES SON LAS fuerzas AXIALES 41. ¿Cu´ales SON LaS fuerzas DE TRACCION? 42. CUALEs SON LaS fuerzas DE COMPREsI´oN?
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Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
43. CUAlesS SON LAS fuerzas FLEXORAS? 44. ¿Cu´ales SON LAS fuerzas TORSORAS? 45. de un ejemplo de fuerza flexora 46. ¿Cu´al esLA FUERZA DE ROZAMIENTO? 47. ¿Explique EL PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD? a) Basado en las condiciones de los vectores deslizantes b) Establece el efecto externo de una fuerza en un cuerpo rigido c) Establece que la acci´on es la misma para todos lo puntos de aplicaci´on 48. ¿Cu´al ES EL ORIGEN DEL ROZAMIENTO AL CONTACTO? a) son extremadamente rugosas a escala microscopica b) Los picos de las dos superficies se ponen en contacto determina el area c) es una peque˜ na proporcion del area rela de contacto 49. ¿Qu´e ES AL FUERZA NORMAL? a) Re accion del plano o fuerza que ejerce el planmo sobre el bloque b)La inclinaci´on del plano c) otras fuerza que ejrcen en el bloque 50. ¿dibuja una FUERZA NORMAL? 51. ¿Qu´e dice LA PRIMERA LEY DE NEWTON? a)ticula libre se mueve con velocidad constante o sin aceleraci´on b) nadie hace o deja de hacer algo si no lo obligan c) todo cuerpo permanece en estado de reposo o se mueven con movimientos rectilineos unoforme si no existe una fuerza que lo obligue a cambiar su estado. 52. ¿Qu´e son las leyes de Newton? a) son tres principios concernientes al movimiento de los
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
287
cuerpos b) leyes que rigen la gravedad c) leyes que explican el fin y el inicio de la humanidad 53. ¿Desde cuando se remonta el estudio de la mec´anica? a) desde los tiempos de Arist´oteles y Arqu´ımedes b) desde que el hombre es un ser pensante c) desde el descubrimiento de la rueda 54. ¿Por quien fue publicada la formulaci´on matem´atica? a) por Isaac Newton b) por Edisson c) por kepler 55. ¿en que a˜ no se public´o la formulaci´on matem´atica? a) en 1687 b) en 1234 c) en 1678 56. ¿Qu´e constituye la base de la mecanica clasica? a) las leyes de Newton b) leyes de Keplar c) ley de la gravitaci´on universal 57. ¿Qu´e constituye la primera ley de Newton? a) Definici´on de fuerza a causa de la velocidad de los cuerpos b) A toda acci´on le corresponde una reacci´on c) Todo lo que sube tiene que bajar 58. ¿Qu´e introduce en fisica, la primera ley de Newton? a) introduce el concepto del sistema de referencia inercial b )que el cuerpo permanece inerte hasta que es empujado por una fuerza c) el cuerpo en movimiento mantiene su fuerza inicial 59. ¿Qu´e es la fuerza? a) es la acci´on mediante la cual cambia el estado de un cuerpo b) es la cantidad de energ´ıa que agregas a tus movimientos c) es cuanta fuerza pones a un aparato
288
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
60. ¿Qu´e mostraron Newton y Galileo? a) que los cuerpos se mueven a velocidad constante y en l´ınea recta si no hay fuerzas que act´ uen sobre ellos b) que la tierra era redonda c) que el universo y los cuerpos tienen un constante 61. ¿con que otro nombre se le conoce a la segunda ley de Newton? a) ley de la fuerza b)ley de la gravitaci´on universal c)ley de la inercia 62. ¿ que hace la segunda ley de Newton? a) relaciona las fuerzas actuantes y la variaci´on de la cantidad de movimiento o momento lineal b)explica como los cuerpos mantienen una aceleraci´on constante y que solo cambian cuando esta fuerza es detenida. c) que la aceleraci´on es constante y que solo los cuerpos en reposo pueden cambiarla. 63. ¿Cu´ando formul´o Einsten su teor´ıa de la relatividad? a) en 1905 b) en 1985 c) en 2005 64. ¿Por qu´e se caracteriza una fuerza? a) por su punto de aplicaci´on, magnitud y su direcci´on b) por el punto de inclinaci´on y aceleraci´on c) por el punto de energ´ıa 65. ¿como se representa una fuerza? a) por medio de un vector b) por medio magnitud c) por el punto de inclinacion 66. ¿Como se representa Newton? a) (N) b) n c) NW
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
289
67. ¿como se representa el punto de aplicaci´on? a) (O) b)p. c)p.a 68. ¿Qu´e son las fuerzas no coplanares? a) son Fuerzas que act´ uan en planos distintos. Los ejes de referencia b) son las fuerzas que no est´an encarreradas c) son fuerzas en el mismo plano pero con diferente valor 69. ¿Qu´e son la fuerzas coplanares? a) Fuerzas que act´ uan sobre un mismo plano, formado por dos ejes b) Fuerzas que actuan en diferentes planos c) fuerzas que act´ uan paralelamente 70. ¿Cu´ales son las fuerzas concurrentes? a) Sus rectas de acci´on se cortan en alguna parte en el plano b) Son fuerzas que no tienen punto de interseccion y que actuan en diferente plano c) son fuerzas que actuan paralelamente con otras eb diferente plano 71. ¿que son las fuerzas colineales? a) son las que act´ uan sobre la misma recta de acci´on b) Son las que actuan sobre diferente plano c) Son las que act´ uan sobre una recta paralele con otra 72. ¿Qu´e son las rectas paralelas? a) son dos a mas fuerzas cuyas rectas de acci´on tienen la misma direcci´on b) Son rectas que se intersectan entre si c) son rectas que tienen una distancia determinada 73. ¿Qu´e son las fuerzas puntuales? a) es cuando La superficie sobre la cual act´ ua Una fuerza es peque˜ no en comparaci´on con la superficie total del cuerpo
290
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
Correspondiente. b) Es cuando una superficie liza es relativa con la otra c) Es cuando la fuerza de uno es mayor que otra 74. ¿Qu´e significa fuerza distribuida? a) cuando La superficie o la longitud sobre la cual act´ ua la fuerza es significativa para los c´alculos. b) Es cuando la fuerza se encuentra compacta c) Es la longitud sobre la cual la aumenta o disminuye la fuerza 75. ¿Qu´e son las fuerzas axiales? a) son fuerzas que act´ uan a lo largo del eje longitudinal centroidal del Elemento. b) son fuerzas que intersectan en un punto determinado c) las fuerzas axiales tienen fuerza propia 76. ¿Qu´e son las fuerzas de atracci´on? a) tienden a estirar el cuerpo sobre el cual act´ uan b) Contraen el cuerpo sobre el cual actuan c) Se atraen una a la otra 77. ¿Qu´e son las fuerzas de comprensi´on? a) tienden a acortar o apretar el cuerpo b) tienden a partir un cuerpo c) atraen los cuerpos 78. ¿Qu´e son las fuerzas flexoras? a) son fuerzas que act´ uan perpendiculares al eje longitudinal centroidal del elemento b) son fuerzas que actuan sobre un eje en particular c) son fuerzas que actuan sobre un eje de diferente plano 79. ¿que son las fuerzas torsoras? a) son las que producen giro alrededor del eje longitudinal
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
291
b) son fuerzas que no tienen giro c) son fuerzas que tienen un giro en direccion contraria al eje 80. ¿ que establece el principio de transmisibilidad? a) establece que el efecto externo de una fuerza en un cuerpo r´ıgido es el mismo para todos los puntos de aplicaci´on a lo largo de su l´ınea de acci´on b) es cuando tienen las fuerzas actuan a lo largo de eje c) Es la superficie sobre la cual actuan las fuerzas flexoras 81. ¿Qu´e importancia tiene el rozamiento, en nuestra ´epoca? a) tiene una gran importancia econ´omica b) mucho ya que esta inmerso en nuestro contexto c) genera ingresos 82. ¿con quien comienza el estudio del rozamiento? a) con Leonardo Da vinci b) con Galileo Galilei c) con Isaac newton 83. ¿que hizo Leonardo Da Vinci respecto al rozamiento? a) dedujo las leyes que gobiernan el movimiento de un bloque rectangular que desliza sobre una superficie plana b) dedujo que el movimiento se desliza sobre una base liza c) dedujo que es imposible tener rozamiento sobre una superficie plana 84. ¿Qui´en redescubri´o las leyes del rozamiento? a) Galileo y Einstein b) Pericles c) El f´ısico franc´es Guillaume Amontons 85. ¿en que siglo se redescubrieron las leyes del rozamiento? a) en el siglo XVII b) en el siglo XVI c) en el siglo XV
292
Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
86. ¿Qu´e otro nombre tiene la primera ley de Newton? a) ley de la inercia b) ley del movimiento de los cuerpos c) tercera ley de Newton 87. ¿a que se refiere la ley de inercia? a) nadie hace o deja de hacer algo si no lo obligan b) que un cuerpo en movimiento puede hacer cambiar a otro c) un cuerpo solo permanece inerte hasta que se detiene 88. ¿Como se expresa la primera ley de Newton? a) una part´ıcula libre se mueve con velocidad constante o sin aceleraci´on b) Una particula solo tiene aceleraci´on cuando esta en contacto con otra c) una particula libre se mueve con aceleracion 89. ¿Qu´e son las fuerzas? a) son las cosas responsables de los cambios en el movimiento de los cuerpos. b) son los cambios de velocidad c) son los cambios de longitud 90. ¿que afirma la tercera ley de Newton? a) afirma que cuando un objeto ejerce una fuerza sobre otro, este otro objeto ejerce tambi´en una fuerza sobre el primero. b) afirma que cuando un objeto aplica fuerza sobre otro este permanece inerte c) afirma que un cuerpo permanece inerte hasta que su longitud cambia 91. ¿Qu´e implica la tercera ley de Newton? a) la conservaci´on del movimiento lineal b) a toda accion corresponde una reaccion c) ley de la conservaci´on de la materia 92. ¿Qu´e es la energ´ıa? a) es la capacidad de un sistema f´ısico para realizar un
3.2 Trabajo, Potencia y Energ´ıa Mec´ anica.
293
trabajo b) es la cantidad de fuerzas ejercida sobre un cuerpo c) El trabajo que realiza medido por la fuerza 93. ¿que hizo James Prescott Joule? a) centr´o sus investigaciones en los campos de la electricidad y termodin´amica b) gran astronomo italiano c) utilizo la bombilla como uno de sus inventos mas importantes 94. ¿Qu´e demostr´o Joule? a) demostr´o que el calor es una transferencia de energ´ıa b) que la transferencia de energia solo se puede realizar con un cuerpo igual c) que la energia es una transferencia de calor 95. ¿Qu´e determin´o Joule? a) el equivalente mec´anico del calor b) el equivalente de la energ´ıa c) el equivalente de la mecanica 96. ¿Como se traduce al espa˜ nol la cantidad “Joule”? a) se traduce como julio b) Se traduce como Julieta c) se traduce como juy 97. ¿Qu´e es un joule? a) el el trabajo realizado por una fuerza [N], aplicada para Producir un desplazamiento [m]. b) Es el trabajo que se realiza sin desplazamiento c) Es el trabajo que se realiza con un desplazamiento irregular 98. ¿Qu´e mide la potencia? a) Mide la rapidez con que se realiza un trabajo. b) mide la energia de una cuerpo c) mide el trabajo que tiene un cuerpo 99. En t´erminos matem´aticos ... ¿Qu´e es la potencia? a) es igual al trabajo realizado dividido entre el intervalo
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Leyes de Newton, Trabajo, Potencia y Energ´ıa
de tiempo a lo largo del cual se efect´ ua el trabajo b) Es el producto de l trabajo realizado por un cuerpo en reposo y uno en movimiento c) Es el intervalo realiza entre dos cuerpos 100. ¿Qu´e es inercia? a) Propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento si no es por la acci´on de una fuerza. b) Es cuando un cuerpo permanece en movimiento c) Es cuando un cuerpo permane en movimiento y es capas de modificar su estado 101. ¿Cuando no se realiza un trabajo? a) Cuando se ejerce una fuerza sobre un objeto pero la fuerza no hace que el objeto se mueva. b) Es cuando dos cuerpos intercambian energ´ıa c) Cuando se ejerce una fuerza a un objeto y este reacciona.
Bibliograf織覺a
296
´ BASICA:
Bibliograf´ıa
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Ap´ endices
302
6.1.
Ap´ endice B: Funciones y Gr´ aficas
Apendice A: Respuestas a Preguntas y Ejercicios
1.1Generalidades 1.a 2a 3b 4a 5c 6a 7b 8a 9c 10 b 1.1.1 La F´ısica y su Impacto en la Ciencia y la Tecnolog´ıa 1a 2 a 3a 4b 5c 6a 7a 8a 9b 10b 1.1.2 Los M´etodos de Investigaci´on y su Relevancia en el Desarrollo de la Ciencia 1a 2b 3b 4 b 3c 5c 6 a 7 a 8 a 9b 10 c 1.2 Magnitudes F´ısicas y su Medici´on 1a 2c 3b 4 a 5 a 6 a 7a a 9 a 10 b 1.2.1 Magnitudes Fundamentales y Derivadas 1a2aba3a4a5a
6.2.
Apendice B: Funciones y Gr´ aficas
En las ciencias existen relaciones entre cantidades a las que se les llama variables, porque pueden tomar diferentes valores. Estas varibles, forman una figura en el papel si en los ejes de coordenadas, se dibujan sus valores, asignando a cada una un eje para que se pueda representar. La figura obtenida , se conoce como g´afica de la funci´on. Variables: Cantidades sin un valor definido se representan por letras. Por su tipo, pueden ser dependientes e independientes. A la que se encuentra en el lado izquierdo del signo igual, se le conoce como variable dependiente las que se encuentran a la derecha del signo igual, se les conoce como variables independientes y puede se una combinaci´on de t´erminos con exponentes y o sin ellos adem´as de cantidades “ constantes” cuyo valor no cambia..
Ap´ endice B
303
Figura 6.1: Funci´on Lineal y = k
A las variables independientes se acostumbra darles valores y obtener as´ı el valor de la variable dependiente. Funciones Elementales
Funciones: 1. constante: y=k
(6.1)
y = kx
(6.2)
y = ax + b
(6.3)
2. Lineal:
3. Lineal desplazada:
304
Ap´ endice B: Funciones y Gr´ aficas
Figura 6.2: Funci´on Lineal y = kx
Figura 6.3: Funci´on Lineal y = kx + b
Ap´ endice B
305
Figura 6.4: Funci´on Cuadr´atica y = x2
4. Cuadr´atica: Par´abola y = ax2 + bx + c
5. Inversa: Hip´erbola y=k
6. Inversa cuadr´atica:
1 x
(6.4)
(6.5)
1 (6.6) x2 Existen otros tipos de funciones, pero para el prop´osito de estos apuntes, solo se tratar´an estas. y=k
306
Ap´ endice B: Funciones y Gr´ aficas
Figura 6.5: Funci´on Inversa y =
1 x
Figura 6.6: Funci´on Inversa Cuadr´atica y =
1 x2
6.3 Apendice C: Tipos de Proporcionalidad
6.3. dad
307
Apendice C: Tipos de Proporcionali-
proporcionalidad:
1. Directa: Se obtiene cuando de dos columnas de valores, a). Los valores en ambas, aumentan o disminuyen b). Cuando los valores se grafican, se obtiene una funcion lineal ecuaciones:(6.2) o (6.3) c). Al dividir el valor de la variable dependiente entre el valor de la independiente, se obtiene un valor igual, este se conoce como “ Constante de proporcionalidad ”.
Proporcionalidad Directa con el Cuadrado:
2. a). Los valores en ambas, aumentan o disminuyen b). Cuando los valores se grafican, se obtiene una funcion cuadr´atica ecuacion:(6.4) c). Al dividir el valor de la variable dependiente entre el valor de la independiente elevada al cuadrado, se obtiene un valor igual, este se conoce como “Constante de proporcionalidad”.
308
Ap´ endice C: Tipos de Proporcionalidad
3. Proporcionalidad Inversa: a). Los valores en una columna, aumentan y en la otra disminuyen o al contrario. b). Cuando los valores se grafican, se obtiene una funcion inversa ecuacion:(6.5) c). Al multiplicar el valor de la variable dependiente entre el valor de la independiente elevada al cuadrado, se obtiene un valor igual, este se conoce como “Constante de proporcionalidad”. Proporcionalidad Inversa con el Cuadrado
4. a). Los valores en una columna, aumentan y en la otra disminuyen o al contrario. b). Cuando los valores se grafican, se obtiene una funcion cuadr´atica inversa ecuacion:(6.6) c). Al multiplicar el valor de la variable dependiente por el valor de la independiente elevada al cuadrado, se obtiene un valor igual, este se conoce como “Constante de proporcionalidad”.
´Indice alfab´ etico leyes de newton, 205 ciencia fuerza, 205 definici´on, 27 fuerzas de fricci´on, 212 cinem´atica origen, 213 conceptos fundamentales, 122 la Gravitaci´on Universal, 240 energ´ıa, 254 masa gravitacional e inercial, cin´etica, 256 221 conservaci´on de la, 257 peso, 221 potencial, 254 peso de los cuerpos, 209 errores primera ley, 215 reglas, 86 segunda ley, 218 tipos, 81 tercera ley, 238 leyes Kepler, 242 F´ısica definici´on, 27 m´etodo cient´ıfico, 41 divisi´on, 28 macromundo, 39 historia, 8 magnitudes impacto de la, 41 fundamentales y derivadas, Fen´omeno, 37 48 biol´ogico, 37 medici´on, 45 F´ısico, 37 materia Qu´ımico, 37 propiedades, 30 impulso y cantidad de movimien- medici´on, 48 metodos de, 56 to, 260 directa, 56 conservaci´on del, 264
310
indirecta, 56 medir, 48 metodo cient´ıfico, 41 micromundo, 38 movimiento aceleraci´on, 150 circular, 182 aceleraci´on centr´ıpeta, 190 uniforme, 184 uniforme acelerado, 195 velocidad angular, 186 desplazamiento, 127 distancia, 126 en dos dimensiones, 168 gr´aficas, 135 MUA casos, 159 ejemplos, 153 posici´on final, 151 tiro vertical, 159 velocidad final, 151 parab´olico, 173 posici´on, 126 rapidez, 131 rectil´ıneo uniforme acelerado ecuaciones, 153 rectil´ıneo uniforme acelerado (MUA), 150 rectilineo uniforme, 129
´INDICE ALFABETICO ´
relativo, 122 sistema de coordenadas, 124 sistema de referencia, 122 sistema de referencia inercial, 123 sistema de referencia no inercial, 123 tiro horizontal, 169 trayectoria, 126 velocidad, 130 instantanea, 134 promedio, 133 notaci´on base 10, 56 potencia, 250 procedimiento dibujo de vectores, 98 sistemas de unidades, 50 CGS, 50 ingl´es, 51 SI, 51 ventajas y limitaciones, 53 transformaci´on entre, 59 tecnolog´ıa, 41 trabajo, 249 vectores, 91 caracter´ısticas, 93 descomposici´on de, 99
´INDICE ALFABETICO ´
magnitudes escalares y vectoriales, 91 notaci´on, 94 principio de transmisibilidad, 97 representaci´on, 93 representaci´on gr´afica, 95 resta de, 104 suma de, 101 m´etodo del pol´ıgono, 105 teorema de Pit´agoras, 109 unitarios, 113
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