Verso l’algebra moderna e astratta
SEZIONE A
4 Strutture algebriche particolari Vediamo ora di classificare e studiare alcune strutture algebriche. DEFINIZIONI
Se in una struttura algebrica (I, ∗) la legge di composizione interna ∗ è associativa, allora (I, ∗) si chiama semigruppo. Se ha anche l’elemento neutro è un monoide. Se la legge di composizione interna ∗ è anche commutativa, il semigruppo (monoide) si dice commutativo o abeliano.
ESEMPI
• L’addizione e la moltiplicazione sono leggi di composizione interna associativa sull’insieme N; esse hanno 0 e 1 come elementi neutri. • Le strutture (N, +) e (N, ·) sono monoidi abeliani, perché per entrambe vale la proprietà commutativa. • La moltiplicazione è una legge di composizione interna sull’insieme Q dei razionali, è associativa e commutativa, e 1 è l’elemento neutro, quindi (Q, ·) è un monoide abeliano. DEFINIZIONE
Una struttura (I, ∗) si dice gruppo se sono verificate le seguenti condizioni: a I è dotato della legge di composizione interna ∗; b ∗ è associativa; c esiste l’elemento neutro; d ogni elemento di I è simmetrizzabile. Se la legge di composizione interna ∗ è anche commutativa, il gruppo è commutativo o abeliano.
ESEMPI
• La struttura (Z, +) è un gruppo, perché su Z l’addizione è una legge di composizione interna associativa, in cui l’elemento neutro è lo 0 e in cui ogni elemento è simmetrizzabile (i numeri interi opposti sono tra loro simmetrici). • Consideriamo la moltiplicazione e l’insieme dei numeri razionali positivi privati dello zero Q+, cioè la struttura (Q+, ·): - la moltiplicazione è una legge di composizione interna; - la legge è associativa; - esiste l’elemento neutro (1) poiché qualunque numero razionale positivo moltiplicato per 1 dà come risultato il numero razionale stesso; - ogni numero razionale ammette un simmetrico (in questo caso è l’inverso), quindi (Q+, ·) è un gruppo. • Consideriamo l’insieme A = {e, a, b, c} e la legge di composizione ⊗ definita in tabella: ⊗
e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c a e
c c b e a 36