Brochure - KERN Wiskunde

WISKUNDE KERN

KERN Wiskunde zorgt voor een flow in het leerproces van de leerlingen. Als we leren over de rekenvolgorde, doen we een prachtige paragraaf over het omrekenen van graden Fahrenheit in graden Celsius aan de hand van een rekenregel. De eerste stap naar formules is gemaakt op een prachtige, onderbouwde manier.

samantha van den heiligenberg Marnix College, Ede

KERN Wiskunde vmbo Succesbeleving voor alle vmbo-leerlingen

v Niveau-indeling

In de onderbouw zijn de boeken geschikt voor dakpanklassen. In de bovenbouw zijn de niveaus basis, kader en gt gesplitst.

v Boeken en bijmateriaal

KERN Wiskunde vmbo-basis werkt met leerwerkboeken, vmbo-kgt en -t / havo werken met leerboeken. Werkbladen zijn als printbestanden los beschikbaar of optioneel in boekvorm leverbaar.

v Focus op de kern

Wiskundige concepten vormen het uitgangspunt van de doorlopende leerlijn die is opgebouwd vanuit de leerdoelen.

v Overzichtelijk en gestructureerd

KERN Wiskunde heeft een vaste structuur met een overzichtelijke en herkenbare indeling. De uitleg is makkelijk terug te vinden. Afbeeldingen worden functioneel ingezet.

v Leerdoelgestuurd

Iedere paragraaf start met een leerdoel en eindigt met een leerdoelcheck op vier cognitieve niveaus (RTTI). Zowel de uitleg als de opdrachten sluiten aan bij het leerdoel. De opdrachten en de meegeleverde toetsen zijn RTTI-gelabeld.

v Toegankelijk voor alle leerlingen

Uitleg en opdrachten zijn helder geformuleerd. De taal sluit aan op het taalniveau van de leerling. Daardoor wordt het vak toegankelijker voor de leerling zonder concessies te doen aan het niveau van de leerstof.

v Link met de realiteit

Er is veel aandacht voor praktische toepassingen en algemene kennisontwikkeling. Leerlingen krijgen een goed beeld van waar ze in de praktijk wiskunde voor nodig hebben.

v Ondersteuning docent

De docent wordt ondersteund met geanimeerde PowerPoints bij alle theorie, uitlegvideo’s, toetsen en extra opdrachten.

v Digitale licentie

Bij KERN Wiskunde is een digitale licentie verkrijgbaar met uitlegvideo’s en gerandomiseerde opdrachten, gemaakt in samenwerking met AlgebraKiT.

v Bekijk op de volgende bladzijden voorbeeldpagina’s uit KERN Wiskunde vmbo.

v Meer informatie?

boomvoortgezetonderwijs.nl / kern-wiskunde

vmbo-basis Leerdoelgestuurd

Compacte, heldere uitleg

1.4

Rechthoek, vierkant en driehoeken

doel → Je leert wat rechthoeken, vierkanten en driehoeken zijn.

Hoeken

Rechthoek en vierkant

ɲ Rechthoeken, vierkanten en driehoeken noem je vlakke figuren

ɲ Rechthoek

Een rechthoek heeft vier hoekpunten

De zijden van een rechthoek staan loodrecht op elkaar. Hieronder zie je rechthoek KLMN met hoekpunten K, L, M en N. Lijnstukken KL LM MN en KN zijn de zijden van de rechthoek.

ɲ Vierkant

Een vierkant heeft vier hoekpunten. De zijden van een vierkant staan loodrecht op elkaar en zijn allemaal even lang. De zijden van vierkant PQRS zijn 3 cm lang.

Opdrachten — Rechthoek en vierkant

Waar of niet waar?

Zet een kruisje in de juiste kolom. r waar niet waar

Een vierkant heeft vier hoekpunten.

Een rechthoek heeft vier even lange zijden.

De zijden van een rechthoek staan loodrecht op elkaar.

Hieronder zie je een rechthoek. t1

a Noteer de letters van de hoekpunten. en

b De rechthoek heet

c Noteer de zijden van de rechthoek.

d Meet de zijden van deze rechthoek. PQ = cm en QR = cm lang.

22

Opdrachten en leerdoelcheck gekoppeld aan cognitieve

niveaus van RTTI

ɲ Driehoek

Een driehoek is een vlakke figuur met drie hoekpunten. Je schrijft driehoek ABC als Δ ABC De driehoek heeft zijden AB, BC en AC

driehoek ABC

Opdrachten — Driehoeken

Welke driehoek is een rechthoekige driehoek? Omcirkel deze. t1

ɲ Rechthoekige driehoek

In driehoek ABC staan AB en BC loodrecht op elkaar. Deze driehoek noem je een rechthoekige driehoek

a Teken lijnstuk AC van 3 cm lang loodrecht op AB t1

b Verbind de punten B en C met een lijnstuk. t1

c Welke soort figuur heb je nu getekend? t1

d Maak van deze figuur een rechthoek. Leg dat uit met een tekening. i

driehoek ABC

a Teken hieronder een rechthoek van 5 cm bij 3 cm. t2

b Zet bij de hoekpunten de letters K, L, M en N t1

c Noteer de vier zijden van de rechthoek. t1

d Teken lijnstukken KM en LN in de rechthoek. t2

e De lengte van KM is cm. t1

a Teken een loodrechte lijn vanuit punt D door lijnstuk AB Noem het snijpunt S t2

b Teken ook een loodrechte lijn vanuit punt C door lijnstuk AB. Noem het snijpunt T t2

c Maak de lijnstukken ST TC CD en DS rood. t2

d De lijnstukken uit opdracht c zijn , , en cm lang. t2

e Figuur STCD is een i

Hiernaast zie je een vierkant.

a Noteer de hoekpunten van het vierkant. t1 en

b Noteer de zijden van het vierkant. t1 en

c Welke twee eigenschappen moet je controleren om zeker te zijn dat dit een vierkant is? t2

Bekijk de figuur hieronder.

a Meet de zijden van de gele rechthoek. cm en cm. t1

b Is de blauwe figuur een vierkant? Leg uit. i

Je ziet hieronder een glas-in-loodraam.

a Hoe heten de witte vlakke figuren? t1

b Welke kleur(en) hebben de driehoeken? t1

c Welke vlakke figuur krijg je als je een blauwe en een gele figuur samenvoegt? i

Breinbreker

Bekijk de afbeelding hiernaast. Hoeveel vierkanten zie je?

Hieronder staan twee beweringen. Bespreek met een klasgenoot welke bewering waar is of welke beweringen waar zijn. Leg uit waarom. i

A Met twee even grote rechthoekige driehoeken kun je een rechthoek maken.

B Een vierkant kan bestaan uit vier rechthoekige driehoeken.

Woorden

zijde rechthoek vierkant hoekpunt driehoek rechthoekige driehoek vlakke figuur

Doel bereikt?

Kruis aan :

◻ Ik weet wat rechthoeken, vierkanten en r driehoeken zijn.

◻ Ik kan rechthoeken, vierkanten en driehoeken t1 herkennen.

◻ Ik kan rechthoeken, vierkanten en driehoeken t2 tekenen.

◻ Ik begrijp hoe je met bepaalde vlakke figuren andere i vlakke figuren kunt maken.

vmbo-kgt Leerdoelgestuurd Theorie herkenbaar en helder geformuleerd in één kolom per paragraaf Opdrachten met verwijzing naar theorie

negatieve getallen 5 5.1

Positieve en negatieve getallen

DOEL → Je leert wat positieve en negatieve getallen zijn en waar je ze plaatst op een getallenlijn.

Positief en negatief

Getallen kun je op een getallenlijn plaatsen.

negatieve getallen positieve getallen

ɲ Positieve getallen liggen rechts van 0.

ɲ Negatieve getallen liggen links van 0.

ɲ Het getal 0 is niet positief en niet negatief.

ɲ Twee tegengestelde getallen liggen even ver van de nul.

Het ene getal ligt links en het andere rechts van de nul.

en 5 zijn tegengestelde getallen.

Tip: op je rekenmachine gebruik je voor het negatief maken van een getal of de knop

Groter dan en kleiner dan

ɲ Hoe verder naar rechts op de getallenlijn, hoe groter

het getal: 6 is groter dan 5. Je schrijft: 6 > 5.

ɲ Hoe verder naar links op de getallenlijn, hoe kleiner

het getal: –6 is kleiner dan –5. Je schrijft: –6 < –5.

Tip: het teken < zit in de letter K van leiner.

Voorbeeld ▸ –2 is groter dan –3, want –3 ligt verder van 0 dan –2.

Opdrachten – Positief en negatief

6 Wat zijn negatieve getallen? r

7 Teken een getallenlijn van –8 tot 8 en zet pijltjes bij de volgende getallen: t1 a 2 c 6 e 8 g 4 i –4

–6 d 0 f –2 h 7 j –7

8 Kijk naar de getallen in opdracht 7. t1

a Welke getallen zijn positief?

b Welke getallen zijn negatief?

c Welke getallen zijn elkaars tegengestelde?

9 Hoeveel graden is het op de thermometers hieronder? t1

Per hoofdstuk twee lessen praktische wiskunde

Leerdoelgestuurd op basis van praktisch lesdoel

7 breuken

Praktische wiskunde Verf mengen

10 Gisteren was het in Lapland s nachts –8 °C en overdag 5 °C.

a Teken een thermometer en geef deze temperaturen erop aan. t1

b Hoeveel graden was het overdag warmer dan ’s nachts? t2

Toepassen opgedane kennis in praktijksituatie

DOEL → Je leert hoe je nieuwe kleuren maakt door primaire kleuren te mengen.

Als je om je heen kijkt, zie je allerlei kleuren. In de schilderkunst zijn er drie hoofdkleuren: rood, geel en blauw. Dit noem je de primaire kleuren. Je kunt met deze drie kleuren alle andere kleuren maken door ze te mengen. Kleuren die je krijgt door twee primaire kleuren te mengen, noem je secundaire kleuren. Als je een primaire kleur mengt met een secundaire kleur, krijg je een tertiaire kleur

Verf mengen

Oranje verf bestaat uit 1 deel rode verf en 1 deel gele verf.

Er zijn in totaal 2 delen. 2 1 2 1

5 liter oranje verf maak je zo:

Neem 5 × 1 2 = 2

2 liter rood en 5 ×

Meng de verf goed door elkaar.

liter geel.

groen secundair oranje secundair

roodoranje tertiair blauw primair rood primair

geelgroen tertiair geeloranje tertiair blauwgroen tertiair blauwviolet tertiair roodviolet tertiair

primair geel rood blauw

geel primair geel rood oranje geel blauw groen rood blauw violet

violet secundair secundair oranje violet groen

tertiair geeloranje roodoranje roodviolet blauwviolet blauwgroen geelgroen

Paarse verf bestaat uit 1 deel rode verf, 1 deel gele verf en 4 delen blauwe verf.

Er zijn in totaal

paarse verf maak je zo: Neem 24 × 1

door elkaar.

Opdrachten – Groter dan en kleiner dan

11 Met welk teken geef je aan dat een getal kleiner is dan een ander getal? r

12 Neem over en vul in. Kies < of > t1

a 10 3 d –13 5 g –4 0

b –3 –8 e –89 –98 h –5 –3

c 9 –15 f –3 3 i 217 198

13 Neem over en vul in. Kies < of > t1

a –3 –1 f –35 –34,5

b –3,5 –3,75 g –89,2 –98,1

c –17 –23 h 0 –30

d 17,825 17,7 i –99 –100

e –36 –63 j –0,125 –0,127

14 Bekijk het kaartje en maak de zinnen kloppend. i a In Amsterdam is het warmer / kouder dan in Breda, want 5 < / > b In Maastricht is het warmer / kouder dan in Groningen, want < / >

positieve en negatieve getallen 5.1

15 In een vriezer is het –18 ºC. De buitentemperatuur is 16 ºC. Hoe groot is het temperatuurverschil? t2

Breinbreker

De top van de Mount Everest is het hoogste punt op aarde en ligt op 8848 meter boven de zeespiegel. De Mauna Kea is de grootste berg op aarde. Het hoogste punt van deze berg ligt op 4207 meter boven de zeespiegel.

a De Mauna Kea is in totaal 10 203 meter hoog. Hoeveel meter van deze berg ligt onder de zeespiegel?

b De top van de Mount Everest is het hoogste punt op aarde, maar de Mount Everest is niet de grootste berg op aarde. Leg uit hoe dit kan.

Woorden

positief getal negatief getal tegengesteld getal

Doel bereikt?

ɲ Ik weet wat positieve en negatieve getallen zijn. r

ɲ Ik kan getallen op een getallenlijn plaatsen en ik kan aangeven of een getal groter of kleiner is dan een ander getal. t1

ɲ Ik kan het verschil tussen een positief en een negatief getal bepalen in praktijksituaties. t2

ɲ Ik begrijp het verband tussen een getallenlijn en positieve en negatieve getallen in mijn omgeving, zoals bij temperaturen. i

Extra uitdagende opdracht Aandacht voor begrippen

praktische wiskunde

Opdrachten – Verf mengen

78 Noteer de drie primaire kleuren in de schilderkunst. r

79 Werkblad 7.79

Groene verf bestaat uit 1 deel gele verf en 1 deel blauwe verf.

a Hoeveel delen zijn er in totaal? t1

b Verdeel de cirkel op je werkblad in het juiste aantal delen en geef de delen de juiste kleur om groen te maken. Schrijf de breuken erbij. t1

c Je wilt 1000 mL groene verf maken. Hoeveel mL verf heb je dan van elke kleur nodig? t2

80 Werkblad 7.80

Roze verf bestaat uit 3 delen gele verf en 2 delen rode verf. Je wilt 15 liter roze verf maken.

a Verdeel de cirkel op je werkblad in het juiste aantal delen en geef de delen de juiste kleur. Schrijf de breuken erbij. t1

b Bereken hoeveel liter gele verf je nodig hebt. t2

c Bereken hoeveel liter rode verf je nodig hebt. t2

81 Je gaat een houten schutting verven. De schutting heeft een oppervlakte van 42 m2. Met 1000 milliliter (mL) bruine verf kun je 12 m2 verven.

a Bereken hoeveel mL bruine verf je moet maken. t2

Om bruine verf te maken, heb je 1 deel blauwe verf, 2 delen rode verf en 2 delen gele verf nodig.

b Maak een schets van een cirkel met de verdeling van de verfkleuren. t1

c Bereken hoeveel mL je van elke kleur nodig hebt. t2

82 Je gaat paarse verf maken. Je hebt nog 600 mL rode verf en 400 mL blauwe verf staan. Om paars te maken gebruik je 2 delen rode verf en 1 deel blauwe verf. a Schrijf de delen rode en blauwe verf als breuken. t1 b Als 2 delen rode verf gelijk is aan 600 mL, hoeveel mL is er dan gelijk aan 1 deel? i c Heb je genoeg blauwe verf in huis om met alle rode verf die je hebt paarse verf te maken? t1

Je laat de pot blauwe verf vallen. De helft van de verf ligt nu op de grond en is niet meer bruikbaar.

d Hoeveel paarse verf kun je nu nog maximaal maken zonder er verf bij te kopen?

De paarse verf vind je te donker. Je besluit de paarse verf lichter te maken door wit toe te voegen. De nieuwe kleur bestaat uit 3 delen paars en1 deel wit. Je gebruikt alle paarse verf uit opdracht c

e Hoeveel mL witte verf moet je toevoegen aan je paarse verf om de nieuwe lichte kleur paars te krijgen?

Woorden

primaire kleur tertiaire kleur secundaire kleur

Doel bereikt?

ɲ Ik weet wat de primaire kleuren zijn. r

ɲ Ik kan de verdeling van de kleuren verf die nodig zijn om een bepaalde kleur te mengen, weergeven in een cirkel. t1

ɲ Ik kan berekenen hoeveel verf ik nodig heb voor het mengen van een bepaalde kleur. t2

ɲ Ik begrijp hoe ik in praktijksituaties kan rekenen met breuken, bijvoorbeeld bij het mengen van verf. i

Leerdoelcheck: opdrachten

gekoppeld aan cognitieve niveaus van RTTI

Vaste lesopbouw: elke paragraaf in het boek is een les in de klas.

Leerdoelgestuurd

Lijnsymmetrie en draaisymmetrie

doel → Je leert wat lijnsymmetrie is en hoe je een lijnsymmetrische figuur afmaakt.

Lijnsymmetrie

v Een figuur heet lijnsymmetrisch als de twee helften bij het dubbelvouwen precies op elkaar passen.

v De twee helften van de figuur zijn elkaars spiegelbeeld

v De vouwlijn heet de symmetrieas

Voorbeelden ▸

Een vlieger, de letter V en een hart zijn lijnsymmetrisch.

1

symmetrieas

v Een figuur kan meerdere symmetrieassen hebben.

1 symmetrieas

2 symmetrieassen 4 symmetrieassen

Lijnsymmetrische figuur afmaken

v Staat de figuur op een rooster, dan tel je de hokjes. Aan beide kanten van de symmetrieas moeten evenveel hokjes staan.

v Als er geen rooster is, doe je het zo:

1 Teken de loodlijn vanuit elk hoekpunt door de symmetrieas.

2 Meet de afstand van elk hoekpunt tot de symmetrieas.

3 Teken het spiegelbeeld van elk hoekpunt op dezelfde afstand aan de andere kant van de symmetrieas.

4 Maak de figuur af.

Voorbeeld ▸ Maak de lijnsymmetrische figuur af.

1 Teken de loodlijn vanuit het hoekpunt door de symmetrieas.

2 Meet de afstand van het hoekpunt tot de symmetrieas.

3 Teken aan de andere kant op dezelfde afstand het spiegelbeeld. Gebruik de tekens voor ‘even lang’.

4 Maak de figuur af.

doel → Je leert wat draaisymmetrie is en hoe je de kleinste draaihoek berekent.

Draaisymmetrie

v Een figuur is draaisymmetrisch als de figuur na ronddraaien over minder dan 360° precies op zichzelf past.

v Het punt waar je omheen draait, heet het draaipunt

Voorbeelden ▸

1 Deze figuur van een molen is draaisymmetrisch.

Na ronddraaien over 90° past de figuur op zichzelf.

Bij een volledige draai over 360° past de figuur vier keer op zichzelf.

draaipunt 90°

2 Een rechthoek is draaisymmetrisch.

Na ronddraaien over 180° past de rechthoek op zichzelf. Bij een volledige draai over 360° past de figuur twee keer op zichzelf.

draaipunt

Kleinste draaihoek

v De hoek waarover je de figuur moet draaien zodat de figuur voor de eerste keer weer op zichzelf past, heet de kleinste draaihoek. Deze bereken je zo:

1 Draai de figuur helemaal rond en tel hoe vaak de figuur tijdens dat rondje precies op zichzelf past.

2 Deel 360° door dit getal.

Voorbeelden ▸

1 Bij ronddraaien over 360° past deze molen drie keer op zichzelf. De kleinste draaihoek is dus 360° : 3 = 120°.

v Sommige figuren zijn draaisymmetrisch én lijnsymmetrisch.

2 Bij ronddraaien over 360° past een vierkant vier keer op zichzelf. De kleinste draaihoek is 360° : 4 = 90°.

Een vierkant is ook lijnsymmetrisch.

3 Deze sneeuwvlok is:

v draaisymmetrisch, de kleinste draaihoek is 360° : 6 = 60°;

120°

v lijnsymmetrisch met zes symmetrieassen. 60°

vlakke figuren

Lijnsymmetrie

88 Wanneer noem je een figuur lijnsymmetrisch? r

89 Werkblad 1.89 Teken de symmetrieas van elk van deze figuren. t1 1 2 3

90 a Teken een rechthoek van 6 cm bij 4 cm. t1 b Teken de twee symmetrieassen in de rechthoek. t1

91 Werkblad 1.91

a Je ziet vier figuren. Welke figuren zijn lijnsymmetrisch? t1 b Teken alle symmetrieassen. t2

H

1 2 3 4

92 a Teken de gelijkbenige driehoek KLM met basis KM = 4 cm en ∠K = ∠M = 65°. t2

b Teken de symmetrieas van ΔKLM t1 c Hoe kun je deze lijn ook noemen? i Tip: meet de hoeken bij het snijpunt van de symmetrieas en de basis.

93 Hoeveel symmetrieassen heeft een cirkel? i

lijnsymmetrie en draaisymmetrie – 1

Lijnsymmetrische figuur afmaken

94 Werkblad 1.94

Je ziet de helft van twee lijnsymmetrische figuren.

Maak de figuren af. t1

a b

95 Werkblad 1.95

Je ziet de helft van drie lijnsymmetrische figuren.

Maak de figuren af. t2 a c b

96 Werkblad 1.96

Je ziet de helft van twee lijnsymmetrische figuren. Maak de figuren af. t2 a b

1.5

lijnsymmetrie en draaisymmetrie – 2

Kleinste draaihoek

Draaisymmetrie

97 Wanneer noem je een figuur draaisymmetrisch? r

98 Werkblad 1.98

a Deze figuren zijn draaisymmetrisch. Teken het draaipunt in elke figuur. t1

b Geef voor elke figuur aan na hoeveel graden ronddraaien de figuur op zichzelf past. t1

1 2 3

99 Werkblad 1.99

Je ziet een wiel zonder spaken.

a Teken spaken in het wiel. De hoek tussen twee spaken is steeds 40°. t2

b Het wiel is draaisymmetrisch. Leg uit waarom. t1

c Hoe vaak past het wiel op zichzelf bij ronddraaien over 360°? t1 d Is de figuur lijnsymmetrisch? Zo ja, hoeveel symmetrieassen heeft de figuur? t2

100 Werkblad 1.100

Je ziet een wiel zonder spaken. Teken zes spaken in het wiel. Zorg ervoor dat de figuur draaisymmetrisch is. i

101 Werkblad 1.101

Figuur A is lijnsymmetrisch, figuur B is draaisymmetrisch. Maak de figuren af. t2

A B

102 Werkblad 1.102 Deze figuren zijn draaisymmetrisch. t1

a Teken het draaipunt in elke figuur.

b Bereken voor elke figuur de kleinste draaihoek.

1 2 3 4

103 Je ziet zes figuren. t1

a Welke figuren zijn niet draaisymmetrisch?

b Bereken voor de andere figuren de kleinste draaihoek.

1 2 3

Vaste opbouw: elke les in het boek is een les in de klas

4 5 6

104 a Teken vierkant DEFG met zijden van 6 cm. t1

b Teken alle symmetrieassen in het vierkant. t1

c Bereken de kleinste draaihoek van het vierkant. t1

105 a Teken gelijkzijdige ΔABC met zijden van 5 cm. t1

b Teken alle symmetrieassen in de driehoek. t2

c Bereken de kleinste draaihoek van de driehoek. t1

v breinbreker Kan een figuur een kleinste draaihoek van 50° hebben?

Leg je antwoord uit.

naar

Praktische wiskunde − Keltische knopen

doel → Je leert wat Keltische knopen zijn.

Hoofdstukopening:

De Kelten waren een groep volken die in het eerste millennium v.Chr. in Europa woonden. Ze gebruikten bijzondere figuren als versiering. Deze figuren heten Keltische knopen. De figuren zien eruit als vlechtwerk, en de banen van dat vlechtwerk hebben geen begin of einde. Een Keltische knoop kan uit één of meer banen bestaan.

Zo maak je zelf een Keltische knoop

1 Teken met bijvoorbeeld een dikke stift een lijnsymmetrische figuur.

2 Teken lijntjes langs de overgangen. Zorg ervoor dat de richting van twee naast elkaar liggende overgangen tegenovergesteld is. Het maakt niet uit waar je begint.

3 Teken alle randen.

één baan twee banen

Omdat de Kelten deze figuren in steen of brons maakten, zijn ze bewaard gebleven. De Kelten hebben geen geschreven documenten nagelaten, dus we weten niet wat het vlechtwerk betekent.

3 lineaire verbanden

Wiskundeweetje – Hoe steil moet een trap zijn?

doel → Je leert wat steile en luie trappen zijn en op welke trappen je goed kunt lopen.

ɲ Steile en luie trappen

Trappen zijn er in allerlei soorten. Bij een steile trap zijn de treden niet diep. Je voet past er maar net op. Bij een luie trap zijn de treden diep. Een steile trap loopt niet makkelijk, maar neemt weinig ruimte in. Daarom is een trap in een huis vaak steiler dan een trap in bijvoorbeeld een school. Op een luie trap kunnen meer mensen tegelijkertijd naar boven of beneden lopen.

ɲ Een goede trap

Als de aantrede te klein is, past je voet er niet meer op. Als de optrede te hoog is, kun je gemakkelijk struikelen. Bij het ontwerpen van een trap wordt rekening gehouden met de gemiddelde staplengte van een volwassen persoon. Die ligt tussen 57 en 63 cm. Deze staplengte (in cm) kun je berekenen met de trapformule:

staplengte = lengte aantrede + 2 × lengte optrede Als vuistregel wordt aangehouden dat een trap goed beloopbaar is als de staplengte tussen 57 cm en 63 cm ligt.

De berekening met de trapformule werd voor het eerst gebruikt door de Franse architect François Blondel, die leefde in de 17e eeuw.

steile trap luie trap

ɲ Aantrede en optrede

Elke trap heeft een aantrede. Dat is het stuk waar je je voet op zet. Een trap heeft ook een optrede. Dat is het stuk waar de trap omhoog gaat.

aantrede

optrede

De verhouding tussen optrede en aantrede moet goed zijn, want anders is de trap moeilijk beloopbaar.

ɲ Als de verhouding van de aantrede tot de optrede kleiner is dan 1 : 0,56, is het een luie trap.

ɲ Als de verhouding van de aantrede tot de optrede groter is dan 1 : 1, is het een steile trap.

toeristen op de steile trappen in het Angkor Wattempelcomplex in Cambodja

Elke derde les is praktische wiskunde

Keltische knopen

106 Werkblad 1.106

Je ziet de helft van een lijnsymmetrische figuur. Maak de figuur af. t1

107 Werkblad 1.107

a Deze figuren zijn lijnsymmetrisch. Teken de symmetrieassen. t1

1 2 3

b Door van de figuren een Keltische knoop te maken, zijn ze niet meer lijnsymmetrisch. Leg uit waarom. t2

3 1 2 c Bereken de kleinste draaihoek van elke figuur. t1

108 Uit hoeveel banen bestaan de volgende Keltische knopen? t2 a b c

109 Werkblad 1.109 Hieronder zie je vier lijnsymmetrische figuren. Kies er twee en maak daar volgens het stappenplan Keltische knopen van. t2

1 2 3 4

110 Kijk terug naar de figuur die je in opdracht 106 hebt afgemaakt. Maak er volgens het stappenplan een Keltische knoop van. t2

111 Met het stappenplan voor een Keltische knoop kun je ook een slang tekenen die zichzelf in de knoop heeft gelegd. Teken je eigen slang. t2

Doelen bereikt?

v Ik weet wat lijn- en draaisymmetrie is. r v Ik kan lijn- en draaisymmetrische figuren herkennen. Ook kan ik (een) symmetrieas(sen) tekenen en de kleinste draaihoek bepalen. En ik kan eenvoudige halve lijnsymmetrische figuren zo afmaken dat ze symmetrisch zijn. t1 v Ik kan ingewikkelde halve lijnsymmetrische figuren zo afmaken dat ze symmetrisch zijn. t2 v Ik kan beredeneren hoeveel symmetrieassen een figuur heeft. i

Vaste opbouw: drie lessen per paragraaf

Leerdoelcheck: controleer of de lesdoelen zijn gehaald en de stof is begrepen op de vier cognitieve niveaus van RTTI

Woorden lijnsymmetrisch draaisymmetrisch spiegelbeeld draaipunt symmetrieas kleinste draaihoek

39

Hoe steil moet een trap zijn?

1 Hoe heet het deel van de trap waar je je voet op zet? r

2 Bereken voor de volgende trappen de verhouding aantrede : optrede = 1 :  t1

Een trap met:

a een aantrede van 28 cm en een optrede van 14 cm;

b een aantrede van 20 cm en een optrede van 25 cm;

c een aantrede van 30 cm en een optrede van 24 cm.

3 Geef voor de trappen van opdracht 2 aan of de trap steil, lui of normaal is. t1

4 Een trap heeft een aantrede van 24 cm en een optrede van 17 cm. Met de trapformule bereken je de staplengte.

a Neem over en vul in. r staplengte = + 2 ×

b Bereken de staplengte in cm. t1

c Ligt de staplengte tussen 57 cm en 63 cm? t1

d Is de trap goed beloopbaar? t1

5 Een trap heeft een aantrede van 30 cm en een optrede van 18 cm. Is de trap goed beloopbaar? Leg uit. t2

6 Teken van de volgende twee trappen van vijf treden een zijaanzicht. Gebruik een schaal van 1 : 10. t2

a De aantrede van de trap is 25 cm. Kies de optrede zó, dat de trap lui is.

b De optrede van de trap is 15 cm. Kies de aantrede zó, dat de trap steil is.

wiskundeweetje

Aandacht

voor begrippen

7 Een trap heeft een aantrede van 10 cm en een optrede van 24 cm.

a Laat met een berekening zien dat de trap goed beloopbaar is volgens de trapformule. t2 b Hoewel de staplengte van deze trap tussen 57 cm en 63 cm ligt, is de trap in de praktijk niet goed beloopbaar. Leg uit waarom. i

8 Een trap heeft een optrede van 16 cm. Bepaal met de trapformule hoeveel cm de aantrede minimaal en maximaal mag zijn bij deze optrede zodat de trap goed beloopbaar is. i

9 Meet een trap in je school op, en ga na of de trap goed beloopbaar is volgens de trapformule. t2

Woorden steile trap optrede luie trap trapformule aantrede

Doel bereikt?

ɲ Ik ken de trapformule. r

ɲ Ik kan met behulp van de verhouding tussen de aantrede en de optrede bepalen of een trap steil of lui is. Ook kan ik de trapformule invullen en de uitkomst berekenen. t1

ɲ Ik kan bepalen of een trap volgens de trapformule een goed beloopbare trap is. t2

ɲ Ik begrijp dat een trap waarvan de uitkomst van de trapformule tussen 57 cm en 63 cm ligt, niet altijd goed beloopbaar is. i

Vanaf leerjaar 3 na elk hoofdstuk examenvoorbereiding

Praktische wiskunde – Sport en bewegen

DOEL → Je leert hoe je een wedstrijdprogramma voor een sporttoernooi maakt.

Originele examenonderwerpen die aansluiten bij het hoofdstuk

Als je regelmatig sport, ben je gezonder, voel je je beter en leef je langer. In Nederland kun je veel soorten sport beoefenen bij een sportvereniging. Bij sportverenigingen zorgen vrijwilligers voor het geven van trainingen, het fluiten van wedstrijden en de barbezetting. Je kunt ook kiezen voor een individuele sport, zoals joggen, wielrennen of freerunnen. Of je wordt lid van een sportschool. Je kunt dan zelf beslissen wanneer je gaat sporten. Ook als je individueel sport, is het leuk om mee te doen aan een sportevenement: een marathon, een wielerwedstrijd of een mudrun.

Sport en bewegen

Na het volgen van een opleiding sport en bewegen, weet je hoe je een sportevenement organiseert. Je kunt ook sportlessen bedenken en geven. Omdat je veel over de werking van spieren hebt geleerd, kun je bijvoorbeeld gehandicapte of oudere mensen helpen om goed te bewegen. Je kunt op veel verschillende plekken aan het werk, bijvoorbeeld bij een fitnesscentrum, een sportvereniging, een zwembad, een verzorgingshuis, een vakantiepark, of zelfs een gevangenis.

verbanden 3 118

Wiskundig lezen – IJsberg, wortelverband & eindlengte

Je gaat oefenen met het maken van examenvragen. De teksten en vragen komen uit oude examens. Door de toegevoegde deelvragen leer je wiskundige informatie uit een tekst halen, beoordelen en gebruiken om de examenvragen te beantwoorden. De examenvragen zijn genummerd met Romeinse cijfers. Achter elke vraag staat het aantal punten.

IJsberg

IJsbergen ontstaan doordat grote stukken ijs afbreken van een gletsjer en dan de zee in drijven. Een ijsberg die naar het zuiden drijft, wordt kleiner doordat hij langzaam smelt. Onderzoekers hebben het gewicht van zo’n ijsberg geschat, zie de tabel.

t (maanden) 0 2 4 6 8 10

G (ton) 80 000 70 000 62 000 55 000 48 000 41 000

a Bekijk de tabel en vul de juiste grootheden en eenheden in.

In de bovenste rij staat de in

In de onderste rij staat het in

b Hoeveel weegt de ijsberg na 2 maanden?

c Hoeveel ton ijs is er in de eerste 2 maanden gesmolten?

I Bereken met hoeveel procent het gewicht van de ijsberg in de eerste 2 maanden is afgenomen. 3p

De onderzoekers hebben een formule gemaakt die goed bij de tabel past

G = 80 000 – 4900 × t + 113 × t2 t3

d Welk soort verband laat de formule zien?

e Bereken het gewicht van de ijsberg na 8 maanden. Rond af op duizendtallen. f Controleer of jouw antwoord overeenkomt met de waarde onder 8 in de tabel. Is dit niet zo? Typ de berekening dan nogmaals in je rekenmachine in. Let goed op het kwadraat en de macht. g Bereken het gewicht van de ijsberg na 19 maanden. h Bereken het gewicht van de ijsberg na 20 maanden.

II Laat met een berekening zien dat in de twintigste maand volgens de formule ongeveer 1600 ton ijs gesmolten is. 3p

Op het werkblad staat een assenstelsel getekend.

III Werkblad 3.III IJsberg Teken in het assenstelsel de grafiek die bij de formule hoort. Gebruik hierbij de tabel. Maak zelf een juiste verdeling bij de verticale as. 4p

Je wilt berekenen wanneer de ijsberg gesmolten is. i Wat is het gewicht van de ijsberg dan? j Stel de bijbehorende vergelijking op.

IV Bereken in de hoeveelste maand na het afbreken van de ijsberg het laatste stukje van de ijsberg volgens de formule gesmolten moet zijn. 3p

Gebaseerd op examen vmbo-tl 2016 tijdvak 1, opdracht 1 tot en met 4.

‘Wiskundig lezen’

Toegevoegde deelvragen helpen om informatie

Sport en bewegen

62 Voor een voetbaltoernooi heb je 8 teams gemaakt. Elke team speelt één keer tegen elk ander team. Het totale aantal wedstrijden W kun je berekenen met de formule:

W = n 2 n 2 Hierin is n het aantal teams.

a Hoeveel wedstrijden moet je inplannen? t1

Er passen 2 velden in de sporthal. Elke wedstrijd duurt 15 minuten. Je plant na elke wedstrijd ook 5 minuten in voor het opstellen van de nieuwe teams. Je kunt de sporthal van 13:00 uur tot 16:00 uur huren.

b Passen alle wedstrijden in de tijd die je hebt? t2

Je besluit om de 8 teams in 2 poules van 4 teams in te delen. In de finale spelen de nummers 4 van beide poules tegen elkaar, de nummers 3, enzovoort.

c Hoeveel wedstrijden moet je nu inplannen? t1

d Passen alle wedstrijden in de tijd die je hebt? t2

63 Werkblad 3.63

Je wilt het wedstrijdprogramma in de sporthal ophangen. Op het werkblad is al een begin gemaakt. Je wilt niet dat een team twee wedstrijden achter elkaar moet spelen, dus in ronde 1 spelen de teams van poule 1 op beide velden en in ronde 2 spelen de teams van poule 2 op beide velden.

a Neem de letters A tot en met H voor de 8 teams en vul de poulewedstrijden op het werkblad in. t2

Bij het noteren van de finalewedstrijden gebruik je ‘poule 1 nr.4’ tegen ‘poule 2 nr.4’, enzovoort. Tijdens de wedstrijd van de nummers 1 worden geen andere wedstrijden gespeeld.

b Vul de finalewedstrijden op het werkblad in. t2

c Hoeveel ronden duurt het voetbaltoernooi in totaal? t1 d Hoe lang moet een team maximaal wachten tussen twee wedstrijden?

kwadratisch verband en machtsverband – 3 3.3

64 Wie niet hoeft te spelen, kan voor zijn of haar team extra punten behalen door een bal door een hoepel te schoppen. De hoepel heeft een diameter van 50 cm en hangt op een afstand van 10 m. De onderkant van de hoepel bevindt zich 2 m van de grond. Drie spelers wagen een poging. De baan die hun bal aflegt, kun je beschrijven met de volgende formules:

A h = –0,1a2 + 1,25a + 0,65

B h = –0,03a2 + 0,51a

C h = –0,2a2 + 2,2a

Hierin is h de hoogte van de bal in m en a de horizontale afstand die de bal aflegt.

a Geef voor deze spelers aan of hun bal door de hoepel gaat. Gebruik grafieken.

b Wie van deze spelers schopt de bal niet vanaf de grond?

c Wie van deze spelers schopt de bal tegen de onderkant van de hoepel?

Woorden

kwadratische formule top kwadratisch verband lijnsymmetrie parabool symmetrieas vloeiende kromme machtsverband dalparabool draaisymmetrisch bergparabool draaipunt

Doelen bereikt?

ɲ Ik weet wat een kwadratisch verband en een machtsverband zijn. Ook weet ik dat de grafiek van een kwadratisch verband een parabool heet. r

ɲ Ik kan kenmerken van een grafiek bij een kwadratisch en een machtsverband afleiden uit de formule en de grafiek tekenen. Ik kan bij een parabool de coördinaten van de top aflezen en de formule van de symmetrieas opstellen. t1

ɲ Ik kan bij berekeningen in praktijksituaties mijn kennis over kwadratische en machtsverbanden gebruiken. t2

ɲ Ik begrijp hoe ik aanpassingen in een situatie moet doorvoeren in formules en vergelijkingen. i

Eindlengte

Wortelverband

In het assenstelsel is de grafiek van de formule y = 2 × √ x 3 getekend.

y

A

3 1 x O

4 5 6 4 5 6 7 8 9 10 2 3 1

De grafiek gaat door het punt A(6,2; 3,6). De y-coördinaat van punt A is afgerond op één decimaal.

a Leg uit hoe je de y-coördinaat van punt A berekent.

I Geef de y-coördinaat van punt A, afgerond op twee decimalen. 1p

De grafiek gaat door het punt (x 8).

b Stel de bijbehorende vergelijking op.

II Geef de x-coördinaat van dit punt. 2p

Lucy beweert dat je niet alle getallen voor x kunt invullen.

c Schrijf de formule op.

d Wat voor soort formule is dit?

III Heeft Lucy gelijk? Leg je antwoord uit. 3p

De gegeven formule y = 2 × √ x 3 verandert in y = 2 × √ x 2

IV Werkblad 3.IV Wortelverband

Teken op het werkblad in hetzelfde assenstelsel de grafiek die bij de nieuwe formule hoort. Vul eerst de tabel in. 4p

Gebaseerd op examen vmbo-tl 2019 tijdvak 2, opdracht 22 tot en met 25.

Als je weet wat de lengte van de vader en de lengte van de moeder van een meisje is, kun je de verwachte eindlengte van dit meisje berekenen met de formule eindlengte = (lengte vader + lengte moeder  13) 2 + 4,5 Hierin zijn eindlengte, lengte vader en lengte moeder in centimeters.

De lengte van de vader van Nicolette is 185 cm en de lengte van haar moeder is 170 cm.

I Bereken hoeveel cm de verwachte eindlengte van Nicolette is. 2p

Carla groeit niet meer. Haar eindlengte is 190 cm. Haar vader is 2 meter lang.

a Welke eenheid hebben de variabelen in de formule?

b Stel de bijbehorende vergelijking op.

II Bereken hoeveel cm de lengte van de moeder van Carla volgens de formule moet zijn. 3p

De gemiddelde lengte van een Nederlandse man is 180 cm. Neem voor lengte vader 180 cm.

c Vul de lengte van de vader in de formule in en schrijf de formule zo kort mogelijk.

III Werkblad 3.III Eindlengte Teken in het assenstelsel op het werkblad de grafiek die bij de formule hoort. Je mag de tabel gebruiken.

Maak zelf een juiste verdeling bij de verticale as. 4p

Als je voor lengte vader 180 cm invult in de formule voor de berekening van de eindlengte, kun je de formule ook schrijven als eindlengte = 0,5 × lengte moeder + ...

d Welk soort verband laat de formule zien?

e Welk getal moet je berekenen?

IV Maak bovenstaande formule af door het juiste getal in te vullen op de puntjes. 2p

Gebaseerd op examen vmbo-tl 2017 tijdvak 1, opdracht 1 tot en met 4.

Originele examenvragen

Wiskundige concepten uit de paragraaf toegepast in praktijksituaties

Eindelijk een wiskundeboek dat het vak wiskunde de werkelijkheid in trekt. Een boek dat zowel in vormgeving als inhoudelijk de link legt met geschiedenis, kunst en de wereld om ons heen.

Daarnaast is elke opdracht anders waardoor een leerling niet bezig is met stappenplannen herhalen maar steeds moet omdenken. Top!

ruth reints

Bernard Lievegoed College, Maastricht

Ook in een Engelstalige editie ! (tto)

KERN Wiskunde havo & vwo Daagt leerlingen uit met échte wiskunde

v Focus op de kern

In KERN Wiskunde staan de wiskundige concepten centraal. De theorie is kernachtig en voorzien van relevante voorbeelden en functionele afbeeldingen.

v Helder en overzichtelijk

De theorie wordt per onderdeel helder en overzichtelijk uitgelegd op één bladzijde. Na de theorie volgen oefenopdrachten met duidelijke verwijzing naar de onderdelen in de uitleg.

v Leerdoelgestuurd

Iedere paragraaf start met een leerdoel en eindigt met een leerdoelcheck op vier cognitieve niveaus (RTTI). Zowel de uitleg als de opdrachten zijn hieraan gekoppeld. Ook de meegeleverde toetsen voldoen aan de RTTI-standaard.

v Aandacht voor taal en structuur

Er is veel aandacht besteed aan de formulering van de uitleg en opdrachten. Ook is de opbouw en structuur van hoofdstukken overal gelijk. Wiskunde wordt toegankelijker voor de leerling zonder concessies aan het niveau van de leerstof.

v Aandacht voor begrippen en rekenen

Begrippen die de leerlingen moeten kennen, zijn in de tekst gemarkeerd. Elke paragraaf eindigt met een lijst van deze begrippen. Ook bevat elke paragraaf een rekenopdracht, bedoeld om de rekenvaardigheden te onderhouden.

v Uitdaging en variatie in opdrachten

Het doel van KERN Wiskunde is om leerlingen uit te dagen met relevante en interessante leerstof. De oefenopdrachten omvatten de theorie. Elke opdracht is anders. ‘Ontdekken en Onderzoeken’ biedt verbreding en verdieping bij het onderwerp van de paragraaf.

v Digitale licentie

Bij KERN Wiskunde is een digitale licentie verkrijgbaar met uitlegvideo’s en gerandomiseerde opdrachten, gemaakt in samenwerking met AlgebraKiT.

v Bekijk op de volgende bladzijden voorbeeldpagina’s uit KERN Wiskunde havo & vwo.

v Meer informatie? boomvoortgezetonderwijs.nl / kern-wiskunde

Leerdoelgestuurd

Theorie herkenbaar en helder geformuleerd

Periodieke verbanden Als er bij een verband sprake is van herhaling, dan spreek je van een periodiek verband. De bijbehorende grafiek is dan schuifsymmetrisch. In de grafiek hiernaast treedt na elke vier eenheden herhaling op. De periode van dit verband is gelijk aan 4, omdat de grafiek zich na elke 4 eenheden herhaalt.

Voor een periodiek verband geldt dat als er een geheel aantal periodes tussen twee punten op de grafiek ligt, beide punten op dezelfde hoogte liggen. Zo ligt de grafiek bij x = 23 net zo hoog als bij  x = 3, omdat er tussen 23 en 3 precies 23 − 3 4 = 5 periodes liggen.

Voorbeeld Hieronder staat een grafiek van een periodiek verband. De periode van dit verband is gelijk aan 6, omdat de grafiek zich na elke 6 eenheden herhaalt. Dit betekent bijvoorbeeld dat de waarde van y bij

x = 100 hetzelfde is als bij x = 10, want er liggen precies 100 − 10 6 = 15 periodes tussen x = 10 en x = 100. In de grafiek kun je aflezen dat y = 3 als x = 10. Er geldt dus ook y = 3 als x = 100.

y

Duidelijk uitgewerkte voorbeelden

3.1

Aandacht voor begrippen

 Ontdekken

19 In de grafiek zie je dat de temperatuur afneemt als de hoogte toeneemt. T2

21 In de volgende tabel bestaat een lineair verband tussen de y- en de x-coördinaat. I a Neem de tabel over en vul de ontbrekende waarden in.

b Stel een formule op bij deze tabel. c Welke x-coördinaat hoort bij y = 50?

x 0 3 6 9 12 15 y 4 40

 Onderzoeken

22 Lees de tekst Zeespiegelstijging op de rechterbladzijde.

a Stel een formule op voor het verband tussen de temperatuur en de hoogte.

b Hoeveel neemt de temperatuur af per 1000 m?

c Bereken de temperatuur op 2,5 km hoogte.

d Hoe groot is het verschil in temperatuur bij een hoogteverschil van 2 km?

20 Voor een toets kun je maximaal 36 punten scoren; dan heb je een 10. Als je nul punten scoort, heb je een 1. Er bestaat een lineair verband tussen je cijfer en je score. T2

a Stel een formule op voor het verband tussen je cijfer c en je score s

b Vanaf welke score heb je een voldoende (5,5 of hoger)?

a Reken na dat de zeespiegel in de periode 1890-2017 met ongeveer 1,9 mm per jaar is gestegen. T2

Ga er in de rest van deze opdracht van uit dat de zeespiegel jaarlijks met 1,9 mm stijgt.

b In 2016 was het jaargemiddelde van de zeespiegel langs de Nederlandse kust 6,9 cm boven NAP. Stel een formule op voor het jaargemiddelde h in cm van de zeespiegel t jaar na 2016. T2 c Hoe hoog zal het jaargemiddelde van de zeespiegel langs de Nederlandse kust in 2050 zijn volgens de formule die je bij opdracht b hebt opgesteld? T2 d Tijdens de storm van 5 december 2013 werd in Vlissingen een waterstand van 3,99 m boven NAP gemeten. Vergelijk dit met het jaargemiddelde van de zeespiegel langs de Nederlandse kust in 2013. Geef minimaal drie mogelijke verklaringen voor het verschil in waterhoogte.

OPDRACHTEN — OEFENEN

 Periodieke verbanden

67 Bij welke van de onderstaande grafieken is er sprake van een periodiek verband? Bepaal voor die gevallen ook de periode. T1

69 Stel, het is vandaag een maandag.

a Wat voor dag is het over 50 dagen? T1 b Wat voor dag is het over 1000 dagen? T2

70 Hieronder staat een periodieke grafiek van de waterstand van een rivier op een maandag.

a Bepaal de periode. T1 b Hoe laat is het op dinsdag voor het eerst hoogwater? T1 c Hoe hoog staat het water dinsdag om 10.00 uur? T1 d Voor een brug over deze rivier geldt op maandagochtend om 7.00 uur een maximale doorvaarthoogte van 9,50 m.

Onderverdeling opdrachten

3.68

Je ziet hieronder de grafiek van een periodiek verband. T1

a Bepaal de periode van dit verband.

b Breid de grafiek aan de linker­ en de rechterkant uit met één periode. c Bereken de waarde van y als x = 100 en

Een schip steekt op dat moment 9,10 m boven het water uit. Tussen welke tijdstippen kan dit schip op dinsdag met dezelfde lading onder deze brug door varen? T2

Zeespiegelstijging

Door de opwarming van de aarde stijgt de zeespiegel. Dit komt doordat zeewater uitzet als het warmer wordt en bovendien smelten gletsjers en ijskappen. Langs de Nederlandse kust is de zeespiegel in de periode 1890-2017 met ongeveer 24 cm gestegen. Er zijn jaren dat de zeespiegel relatief veel stijgt of daalt, maar in de grafiek hiernaast kun je zien dat de zeespiegel langs de Nederlandse kust gemiddeld genomen gelijkmatig stijgt. Het is heel belangrijk om de zeespiegel goed in de gaten te houden en voorspellingen te doen over toekomstige ontwikkelingen. Want als je er niet op tijd bij bent, kunnen de gevolgen straks groot zijn.

REKENEN

R1 Bereken.

I 543 – (288 + 655) – 12

II 412 + 268 – 469 + 10

III 16,32 + (–54,12 + 6,2)

BEGRIPPEN lineair verband lineaire formule richtingscoëfficiënt startgetal

6 kuststations trend

Het jaargemiddelde van de zeespiegel over 6 kuststations in Nederland ten opzichte van NAP (Normaal Amsterdams Peil, een vast nulpunt dat in de 17e eeuw is gemeten als de gemiddelde vloedstand in het IJ bij Amsterdam).

 Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik weet wat de algemene vorm van een formule voor een lineair verband is en wat de richtingscoëfficiënt en het startgetal zijn.

T1 Ik kan een lineair verband herkennen aan een formule, een grafiek of een tabel. Ook kan ik een formule opstellen die hoort bij een grafiek, een tabel of een beschrijving van een lineair verband.

T2 Ik kan werken met lineaire verbanden in toegepaste situaties. I Ik kan redeneren over lineaire verbanden.

Relevante onderwerpen

Bron: Deltares; PSML; bewerking PBL [bronvermelding alleen in illustratieverantwoording]

Aandacht voor rekenen

Opdrachten en leerdoelcheck gekoppeld aan cognitieve niveaus van RTTI

in ‘oefenen’, ‘ontdekken’ en ‘onderzoeken’

18

vwo

inspirerende onderwerpen als kunst, cultuur en wetenschap in een wiskundig perspectief

INFORMATIE

DOEL

Bij de Amerikaanse presidentsverkiezingen van 2016 versloeg de Republikein Donald Trump met 46,1 % van de stemmen de Democraat Hillary Clinton, die 48,2 % van de stemmen kreeg. Hoe was dat mogelijk?

First-past-the-post Elke Amerikaan van 18 jaar of ouder heeft bij verkiezingen één stem en kan voor een kandidaat kiezen, maar in de Verenigde Staten worden niet alle stemmen bij elkaar opgeteld. De Verenigde Staten bestaan uit vijftig verschillende staten, die elk een aantal kiesmannen leveren. Deze kiesmannen kiezen uiteindelijk de president. In de meeste staten geldt het first-pastthe-post ­systeem, wat betekent dat de kandidaat met meer dan de helft van de stemmen alle kiesmannen in deze staat krijgt. Dit systeem wordt ook wel ‘winner-takes-all’ genoemd. Het aantal kiesmannen van een staat hangt af van het aantal inwoners. De staten met het kleinste aantal inwoners hebben drie kiesmannen, grotere staten hebben er meer. Californië heeft de meeste kiesmannen, namelijk 55. Op de kaart op de rechterbladzijde zie je hoeveel kiesmannen elke staat heeft. In totaal zijn er 538 kiesmannen. De kandidaat met 270 of meer kiesmannen wint de verkiezingen.

Winnen met minder dan de helft van de stemmen Door het ‘first­past­the­post’­systeem kun je president worden met minder dan de helft van het totaal aantal stemmen. Als je in alle kleinere staten net iets meer dan de helft van de stemmen krijgt en in de grote staten niets, heb je toch genoeg kiesmannen om te winnen.

In theorie zou je zelfs met maar 24 % van de stemmen president kunnen worden.

Wyoming zouden bestaan. In de volgende tabel zie je hoeveel inwoners en kiesmannen deze staten hebben.

staat aantal inwoners aantal kiesmannen

Neem aan dat je meedoet aan de presidentsverkiezingen in deze vier staten en dat alle inwoners hun stem uitbrengen op jou of op de enige andere kandidaat. Stel dat je in Alaska, Vermont en Wyoming 50,5%, en in Kentucky 0% van de stemmen krijgt. In de volgende tabel zie je hoeveel mensen er dan op je gestemd hebben en hoeveel kiesmannen je hebt gewonnen.

percentage stemmen aantal stemmen aantal kiesmannen

dat je maar

528 van de 6 015 039 stemmen hebt behaald, maar dat je wel 9 van de 17 kiesmannen hebt gewonnen. In dit voorbeeld, waarbij het verschil in aantal inwoners tussen de staten heel groot is, zou je dus zelfs met maar 15 % van de stemmen president kunnen worden.

Opdrachten en

leerdoelcheck gekoppeld aan cognitieve niveaus van RTTI

4 94

INFORMATIE VERWERKEN

OPDRACHTEN

v Tekstvragen

1 a Wat houdt het ‘first­past­the­post’systeem in ? R

b Wat zijn kiesmannen? R

c Hoeveel kiesmannen heb je nodig om president van de Verenigde Staten te worden? R

2 Bekijk de kaart met resultaten van de Amerikaanse presidentsverkiezingen in 2016 op de vorige bladzijde. T 1

a Waar bevinden zich de meeste aanhangers van de Democraten?

b Welk deel van de Verenigde Staten is dunbevolkt? Leg uit hoe je dit kunt zien.

3 Stel dat je in het voorbeeld met de vier staten Kentucky, Alaska, Vermont en Wyoming het volgende aantal stemmen hebt behaald. T 1

staat aantal stemmen

Kentucky 1 350 240

Alaska 335 045

Vermont 318 908

Wyoming 240 055

totaal 2 244 248

a Hoeveel kiesmannen heb je dan gewonnen?

4 a Elke staat heeft ten minste drie kiesmannen. Leg uit of je dit eerlijk vindt of niet. T 2 b Leg uit waardoor de kandidaat met de meeste stemmen in de Verenigde Staten toch de verkiezingen kan verliezen. T 2

v Verdiepingsvragen

5 Lees de tekst Het Nederlandse kiessysteem op de rechterbladzijde en bekijk de kaart met de resultaten van de Tweede Kamerverkiezingen in 2017.

a Welke partij kreeg in de meeste gemeentes het grootste aantal stemmen? T 1 b Welke partijen kwamen wel in de Tweede Kamer, maar zijn in geen enkele gemeente de grootste partij geworden? T 1 c Hoe zou de Tweede Kamer er ongeveer uit hebben gezien als Nederland in elke gemeente een ‘first­past­the­post’­systeem zou hebben gehad? I

6 In 2017 was de kiesdeler 70 106.

a Wat betekent dit? T 1

b Hoeveel stemmen heeft de VVD ongeveer behaald? T 2 c In werkelijkheid kreeg de VVD ongeveer 75 duizend stemmen minder dan je hebt berekend bij opdracht b. Leg uit hoe dit mogelijk is. I

BEGRIPPEN kiesman first­past­the­post winner­takes­all kiesdeler

Hoofdstukopening:

Je ziet hier de resultaten van de Amerikaanse presidentsverkiezingen in 2016. Hoe donkerder de kleur, des te hoger het percentage van de winnaar. De getallen geven het aantal kiesmannen aan dat de winnaar van de staat heeft gekregen. Rood voor de Republikeinen, blauw voor de Democraten. Maine gebruikt een ander kiessysteem dan het ‘first­past­the­post’­systeem. Hierdoor kregen de Democraten daar 3 kiesmannen en de Republi­

keinen 1. In de staten Hawaï, Texas en Washington hebben enkele kiesmannen, de zogenaamde ‘faithless electors’, niet voor Clinton of Trump gekozen, maar voor een andere kandidaat. Het aantal faithless electors is in deze staten met een zwart getal aangegeven. Op de kaart ontbreken Alaska (3 kiesmannen voor de Republikeinen) en Hawaï (3 kiesmannen voor de Democraten en 1 faithless elector).

Het Nederlandse kiessysteem

In Nederland worden de leden van de Tweede

Kamer gekozen via een systeem waarbij het aantal stemmen op een politieke partij bepaalt hoeveel zetels die partij in de Tweede Kamer krijgt. Hiervoor wordt direct na de stemming een kiesdeler bepaald. Dit is het aantal stemmen dat nodig is voor één zetel. In totaal zijn er 150 zetels te verdelen. De kiesdeler is gelijk aan het totaal aantal geldig uitgebrachte stemmen gedeeld door 150.

Een partij die 76 of meer zetels weet te behalen, heeft een meerderheid en kan alleen een regering vormen. In Nederland zijn er veel politieke partijen en heeft geen van deze partijen de meerderheid.

Partijen moeten daarom samen met andere partijen een coalitie vormen om een meerderheid in Tweede Kamerzetels te krijgen en een regering te kunnen vormen.

v Onderzoeksopdracht

7 Onderzoek naar keuze het kiessysteem in een van de ons omringende landen. Beantwoord de volgende vragen:

v Hoe werkt het kiessysteem?

v Hoe is het kiessysteem ontstaan?

v Welke partijen zijn er?

v Wat waren de resultaten van de vorige verkiezingen?

v Welke partijen vormen de regering?

Verwerk je resultaten in een presentatie, nieuwsartikel, video, poster of quiz.

Gebruik voor je onderzoek ten minste drie verschillende bronnen. I

Resultaten van de Tweede Kamerverkiezingen per gemeente in 2017 Opkomst 81,9 %

v Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik weet wat een kiessysteem is, wat kiesmannen zijn en wat het ‘first­past­the­post’systeem inhoudt. T  1 Ik kan bij verschillende kiessystemen bepalen wie de verkiezingen gewonnen heeft.

T 2 Ik kan uitleggen waardoor de kandidaat met de meeste stemmen in de Verenigde Staten toch de verkiezingen kan verliezen.

Ik kan zelf het kiessysteem in een land onderzoeken en uitleggen hoe het werkt.

Aandacht voor begrippen

Elke paragraaf bevat twee bladzijden met theorie

2.3 VLAKKE FIGUREN

Vierhoeken, rechthoeken en vierkanten

v Een vierhoek is een vlakke figuur met vier hoekpunten en vier zijden. De lijnstukken tussen twee tegenover elkaar liggende hoekpunten heten diagonalen. Hieronder zie je vierhoek ABCD met diagonalen AC en BD v Een rechthoek is een vierhoek waarvan de zijden loodrecht op elkaar staan. De tegenover elkaar liggende zijden van een rechthoek zijn even lang en evenwijdig. De diagonalen van een rechthoek snijden elkaar middendoor. Hieronder zie je rechthoek KLMN

Zijden KL en MN zijn even lang en evenwijdig. Ook zijden KN en LM zijn even lang en evenwijdig.

v Een vierkant is een rechthoek waarvan alle zijden even lang zijn. De diagonalen van een vierkant staan loodrecht op elkaar. Hieronder zie je vierkant PQRS. Zijden PQ, QR, RS en PS zijn even lang.

In een figuur geef je aan dat lijnstukken even lang zijn door er dezelfde tekentjes op te plaatsen.

Verbreding en verdieping

Opdrachten en leerdoelcheck gekoppeld aan cognitieve niveaus van RTTI

2.3

vierhoek rechthoek vierkant C

B K N L M P Q S R

Cirkels Een cirkel is een figuur waarvan alle punten dezelfde afstand hebben tot een punt M. Dat punt heet het middelpunt van de cirkel.

De grootte van een cirkel geef je aan met de straal of met de diameter

De straal is de afstand van het middelpunt tot een punt op de cirkel.

diagonalen passer M

diameter straal D

64

straal

KERN_Wiskunde_VWO_1-A_Binnenwerk_160pp.indb 64 30-09-2021 09:42

OPDRACHTEN — ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN

v Ontdekken

53 Werkblad 2.53

Hieronder zie je een kaart van de provincie Overijssel. Geef op het werkblad aan welke plaatsen op minder dan 40 km afstand van Zwolle én op minder dan 20 km afstand van Almelo liggen. T 2

Zwolle Almelo

54 Werkblad 2.54 Hieronder zie je een zeshoek.

a Hoeveel scherpe hoeken heeft deze zeshoek? T 2

b Meet de grootste hoek in deze zeshoek. T 2 c De lijnstukken tussen twee niet naast elkaar liggende hoekpunten heten diagonalen. Teken alle diagonalen. Wat valt je op? T 2

v Onderzoeken

a Neem de onderstaande tabel over en vul hem in. T 1 b Welke regelmaat zie je in de tabel? T 2 c Hoeveel diagonalen heeft een regelmatige achthoek? T 2 d Hoeveel zijden en hoeveel diagonalen heeft een regelmatige vijfentwintighoek? I

regelmatige veelhoek 3 4 5 6 7

aantal zijden aantal diagonalen

a Leg uit wat de zijden en de diagonalen voorstellen.

b Hoeveel keer is er handen geschud in een groep van 5 mensen?

c En hoeveel keer in een groep van 25 mensen?

VLAKKE FIGUREN 2

OPDRACHTEN — OEFENEN

v Vierhoeken, rechthoeken en vierkanten

46 a Teken een vierkant met zijden van 4 cm. Teken ook de diagonalen. T 1 b Teken een rechthoek waarvan de kortste zijde 3 cm en de langste zijde 7 cm is. T 1

47 Geef voor elk van de volgende eigenschappen aan of deze hoort bij vierhoeken, bij rechthoeken en/of bij vierkanten. Let op: een eigenschap kan bij meerdere figuren horen. R

A De tegenoverliggende zijden zijn even lang.

B De figuur heeft vier hoekpunten en vier zijden.

C De figuur heeft twee diagonalen.

D De diagonalen snijden elkaar middendoor.

E De diagonalen staan loodrecht op elkaar.

F De zijden staan loodrecht op elkaar.

G Alle zijden zijn even lang.

H De tegenoverliggende zijden zijn evenwijdig.

48 Werkblad 2.48 Teken de beide diagonalen van onderstaande vierhoek. T2

50 a Teken een cirkel met een straal van 3 cm. T 1 b Teken ook een vierkant met zijden van 6 cm en de cirkel die door de hoekpunten van het vierkant gaat. T 2 c Meet de diameter van de cirkel die je in opdracht b hebt getekend. Geef je antwoord in millimeters nauwkeurig. T 1

51 Werkblad 2.51 a Teken alle punten die op 4 cm afstand van punt B liggen. T 1 b Teken alle punten die op 3 cm afstand van punt A en op 2 cm afstand van punt C liggen. T 2

c Teken alle punten die op 1 cm afstand van een van de zijden van driehoek ABC liggen. I

C

A B

Opdrachten met verwijzing naar bijbehorende theorie

52 Hieronder zie je het logo van een creditcardmaatschappij. Het logo bestaat uit twee even grote cirkels. Bereken de diameter van de cirkels. T2

D

A C B

v Cirkels

49 a Wat is een cirkel? R b Teken een cirkel met een straal van 4 cm.

Wat is de diameter van deze cirkel? T1

c Teken een cirkel met een diameter van 4 cm.

Wat is de straal van deze cirkel? T1

5 cm 23 cm

65

Onderwerpen uit kunst, natuurwetenschap en cultuur

Regelmatige veelhoeken

Een regelmatige veelhoek is een vlakke figuur waarvan de zijden allemaal dezelfde lengte hebben en alle hoeken even groot zijn. In de natuur komen regelmatige veelhoeken op diverse plekken voor. Zo bestaan honingraten uit regelmatige zeshoeken. Dit geldt ook voor sommige basaltformaties, zoals de Giant’s Causeway (Pad der Reuzen) in Noord-Ierland.

Giant’s Causeway (Noord-Ierland)

v Heb je het leerdoel bereikt?

R Ik weet wat driehoeken, vierhoeken, rechthoeken, vierkanten en cirkels zijn.

T  1 Ik kan herkennen met wat voor soort driehoek ik te maken heb en ik kan cirkels tekenen met behulp van een passer.

T  2 Ik kan een tekening van een vlakke figuur afmaken als een deel gegeven is.

Ik kan uitleggen wat regelmatige veelhoeken te maken hebben met het handenschudprobleem.

REKENEN BEGRIPPEN

R3 Van noord naar zuid is Nederland ongeveer 300 km lang en van oost naar west ongeveer 200 km breed. Welke afmetingen zou de kaart van opdracht 53 hebben als heel Nederland erop afgebeeld zou staan?

Overzicht behandelde begrippen

vlakke figuur rechthoek driehoek vierkant

zijde cirkel

scherphoekige driehoek middelpunt

rechthoekige driehoek straal

regelmatige vierhoek regelmatige zevenhoek KERN_Wiskunde_VWO_1-A_Binnenwerk_160pp.indb 67 30-09-2021 09:42

regelmatige vijfhoek 21

stomphoekige driehoek diameter vierhoek passer diagonaal regelmatige veelhoek

Verschijnen voorjaar 2024

De delen voor havo A en B klas 4 verschijnen in het voorjaar van 2024.

KERN Wiskunde havo & vwo Daagt leerlingen uit met échte wiskunde

v Focus op de kern

In KERN Wiskunde staan de wiskundige concepten centraal. De theorie is kernachtig en voorzien van relevante voorbeelden en functionele afbeeldingen.

v Helder en overzichtelijk

De theorie wordt per onderdeel helder en overzichtelijk uitgelegd op één bladzijde. Na de theorie volgen oefenopdrachten met duidelijke verwijzing naar de onderdelen in de uitleg.

v Leerdoelgestuurd

Iedere paragraaf start met een leerdoel en eindigt met een leerdoelcheck op vier cognitieve niveaus (RTTI). Zowel de uitleg als de opdrachten zijn hieraan gekoppeld. Ook de meegeleverde toetsen voldoen aan de RTTI-standaard.

v Aandacht voor taal en structuur

Er is veel aandacht besteed aan de formulering van de uitleg en opdrachten. Ook is de opbouw en structuur van hoofdstukken overal gelijk. Wiskunde wordt toegankelijker voor de leerling zonder concessies aan het niveau van de leerstof.

v Aandacht voor begrippen

Begrippen die de leerlingen moeten kennen, zijn in de tekst gemarkeerd. Elke paragraaf eindigt met een lijst van deze begrippen.

v Examentraining vanaf klas 4

Vanaf klas 4 is examentraining aan de hand van (bewerkte) examenopdrachten een vast onderdeel van elke paragraaf.

v Planning

De delen voor vwo A / C en B klas 4 zijn beschikbaar. Voorjaar 2024 verschijnen de delen voor vwo A/C en B klas 5 en voor havo A en B klas 4. Voor een pilot kunt u contact met ons opnemen.

v Digitale licentie

Bij KERN Wiskunde is een digitale licentie verkrijgbaar met uitlegvideo’s en gerandomiseerde opdrachten, gemaakt in samenwerking met AlgebraKiT.

v Bekijk op de volgende bladzijden voorbeeldpagina’s uit KERN Wiskunde vwo bovenbouw.

v Meer informatie? boomvoortgezetonderwijs.nl / kern-wiskunde

2.4

Telvraagstukken

DOEL  Je leert in welke situatie je de verschillende strategieën uit de vorige paragrafen in moet zetten.

In de vorige paragrafen heb je geleerd hoe je het aantal mogelijkheden kunt bepalen bij vraagstukken waar het gaat om keuzes uit verschillende mogelijkheden. Je gebruikt de vermenigvuldigingsregel als je een aantal keuzes achter elkaar moet maken. Bedenk vooraf of herhaling toegestaan is en of de volgorde van belang is.

 Is herhaling toegestaan? Dan is er sprake van trekken met terugleggen. Als de volgorde van belang is, bereken je het aantal mogelijkheden met machtsverheffen.

 Is herhaling niet toegestaan? Dan is er sprake van trekken zonder terugleggen. Als de volgorde van belang is, bereken je het aantal mogelijkheden met permutaties. Als de volgorde niet van belang is, bereken je het aantal mogelijkheden met combinaties.

Voorbeelden

1 Hoeveel verschillende drieletterige codes kun je maken?

Je kiest drie keer een letter, waarbij herhaling is toegestaan. Er is dus sprake van trekken met terugleggen. Omdat de volgorde van belang is, gebruik je machtsverheffen.

Er zijn 26 · 26 · 26 = 263 = 17 576 verschillende codes.

2 Op hoeveel manieren kunnen vier hardlopers finishen?

Je kiest voor elke positie een hardloper, waarbij herhaling niet is toegestaan. Er is dus sprake van trekken zonder terugleggen.

Omdat de volgorde van belang is, bereken je het aantal permutaties van 4. Er zijn dus 4! = 24 manieren waarop de hardlopers kunnen finishen.

3 Hoeveel verschillende letterreeksen zijn er die uit de acht letters

A, A, A, A, A, B, B en B bestaan?

Omdat de letters maar één keer gebruikt worden, is er sprake van trekken zonder terugleggen.

De A moet op vijf van de acht posities staan. Als je die posities hebt gekozen, liggen de posities van de drie B’s vast. Omdat de volgorde waarin de A’s staan niet uitmaakt, bereken je het aantal combinaties van 5 uit 8.

Er zijn dus (8 5) = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 5! = 56 verschillende letterreeksen.

Je kan ook eerst posities kiezen voor de drie B s. Dat kan op

(8 3) = 8 · 7 · 6 3! = 56 manieren. Je krijgt dezelfde uitkomst.

zonder terugleggen met terugleggen volgorde van belang permutaties machtsverheffen volgorde niet van belang combinaties

WISKUNDE A / C

BOEK-Kern-WK-LB-4vwo-A.indb 72 13-06-2023

Wis K un D ig r EDE n E r E n

1.1

De reële rechte

DOEL  Je leert wat de reële rechte is en wat intervallen zijn. Ook leer je wat de absolute waarde van een getal is.

reële rechte Alle getallen die je op de getallenlijn kunt plaatsen, worden reële getallen genoemd. Daarom heet de getallenlijn ook wel de reële rechte. De verzameling van alle reële getallen noteer je als ℝ intervallen Bij de ongelijkheid 1 < x ≤ 3 heeft de variabele x een waarde die groter is dan 1 en kleiner dan of gelijk aan 3. Op de reële rechte is dit een aaneengesloten stuk dat een interval wordt genoemd. In de intervalnotatie noteer je dit interval als 〈 1, 3] waarbij het puntige haakje aangeeft dat 1 niet bij het interval hoort en het rechte haakje dat 3 wel bij het interval hoort. Op de reële rechte geef je dit met een open en een dicht bolletje aan.

Als een interval aan één kant onbegrensd is, gebruik je een pijltje. Zo is 0, →⟩ het interval dat uit alle getallen x ≥ 0 bestaat.

Een interval waarvan beide eindpunten tot het interval behoren, zoals het interval [−1, 6] is een gesloten interval. Een interval waarvan beide eindpunten niet tot het interval behoren, zoals het interval ⟨3, 10⟩, is een open interval Combinaties van intervallen Je kunt ook een combinatie van intervallen hebben. Hiernaast zijn bijvoorbeeld alle getallen x weergegeven met x < 1 ∨ 4 ≤ x ≤ 8. In de intervalnotatie noteer je

⟨←, 1⟩ ∪ [4, 8]. Het symbool ∪ staat voor de vereniging van beide intervallen.

Reële rechte waarop de positie van enkele getallen aangegeven is.

WISKUNDE B

Voorbeelden ongelijkheid op de reële rechte intervalnotatie

60 Aan een hardloopwedstrijd doen 16 atleten mee. De vijf snelste mogen door naar de landelijke finale. Hoeveel verschillende vijftallen zijn er mogelijk? T1

61 In het binaire getallenstelsel wordt een getal voorgesteld door een rijtje van de cijfers 0 en 1. Hoeveel binaire getallen van vier cijfers zijn er?

En van acht cijfers? Neem aan dat getallen ook met een of meer nullen mogen beginnen. T1

62 Een kleurcode bestaat uit vier gekleurde cirkels.

Hoeveel verschillende kleurcodes kun je maken met zeven kleuren als:

a cirkels dezelfde kleur mogen krijgen? T1 b alle cirkels verschillend gekleurd moeten worden? T1

c naast elkaar liggende cirkels verschillend gekleurd moeten worden? T2

d de twee buitenste cirkels verschillend gekleurd moeten worden? T2

63 Twee personen (A en B) spelen zes keer een spelletje tegen elkaar. Na ieder potje noteren ze wie er wint (een gelijkspel is niet mogelijk).

Een mogelijk spelverloop is: T1

A – B – B – B – A – B

a Hoeveel verschillende spelverlopen zijn er waarbij persoon A twee keer wint?

b Hoeveel verschillende spelverlopen zijn er waarbij persoon A vier keer wint?

c Leg uit waarom je bij opdrachten a en b hetzelfde aantal krijgt.

d Hoeveel verschillende spelverlopen zijn er in totaal?

64 Yahtzee is een bekend dobbelspel waarin je met vijf dobbelstenen gooit. Een fullhouse is een worp met drie dezelfde en twee dezelfde aantallen ogen. Zo vormen bijvoorbeeld drie vijven en twee tweeën een fullhouse. Vijf dezelfde aantallen ogen telt niet als fullhouse. Hieronder zie je twee manieren waarop je een fullhouse van drie vijven en twee tweeën kunt gooien. T2

I

II

a Bereken op hoeveel manieren je een fullhouse van drie vijven en twee tweeën kunt gooien. b Bereken hoeveel verschillende fullhouses je kunt gooien.

65 Een marktonderzoeker probeert te ontdekken op grond van welke eigenschappen consumenten voor een bepaald product kiezen. Zij besluit daarom een aantal consumenten telkens drie gelijkwaardige producten voor te leggen en hun te vragen welk product hun voorkeur heeft. Het onderzoek heeft betrekking op acht producten A, B, C, D, E, F, G en H. De marktonderzoeker zet elke mogelijke combinatie van drie producten op een kaartje. Hieronder staan twee voorbeelden. T2

D F G B D H

a Hoeveel kaartjes moet de onderzoeker maken?

b Op hoeveel van die kaartjes komt product A voor?

c Op hoeveel van die kaartjes komt precies één van de producten B of C voor?

8 a Wat is de reële rechte? R b Teken in je schrift de reële rechte van −5 tot 5 en geef daarop de volgende getallen aan. T1

√3 π √( 3)2 ( 1)8 √1 4 (11 2)2 ( √9 4 )3

9 Welke ongelijkheden horen bij de onderstaande intervallen? Noteer deze intervallen ook in de intervalnotatie. T1 a –1 0 1 2 3 –3 4 5 –2 b 0 1 2 3 4 5

10 Teken de volgende intervallen op de reële rechte. T1 a [−5, 2] b ⟨←, 3⟩

11 Bij elk van de volgende ongelijkheden hoort een interval. Noteer deze intervallen in de intervalnotatie en teken ze op de reële rechte. T1 a 3 ≤ x < 6 b x ≥ −1

12 Welke ongelijkheden horen bij de onderstaande combinaties van intervallen? Noteer deze combinaties ook in de intervalnotatie. T1

13 Je ziet hieronder de reële rechte met de intervallen A en B T2

A ∪ B zo kort mogelijk in de intervalnotatie.

Welke ongelijkheid hoort bij A ∪ B

14 Bij de volgende ongelijkheden hoort een interval of een combinatie van intervallen. Schrijf steeds zo kort mogelijk in de intervalnotatie.

KERN Wiskunde, alle titels

KERN

KERN Wiskunde vmbo-theoretisch / havo

KERN

KERN

KERN

KERN

KERN

KERN

KERN

/ vwo / gymnasium + vmbo bovenbouw

KERN Wiskunde English edition (tto)

havo

KERN

KERN Wiskunde leerlinglicentie aanvullend

vmbo / havo / vwo / gymnasium + vmbo

KERN Wiskunde leerlinglicentie volledig digitaal onderbouw vmbo / havo / vwo / gymnasium + vmbo bovenbouw

vwo

KERN Wiskunde leerboek vwo 3 deel A — English edition

KERN Wiskunde leerboek vwo 3 deel B — English edition

KERN Wiskunde oplossingenboek vwo 3 deel A — English edition

KERN Wiskunde oplossingenboek vwo 3 deel B — English edition

KERN Wiskunde leerlinglicentie aanvullend onderbouw vmbo / havo / vwo / gymnasium + vmbo bovenbouw

KERN Wiskunde leerlinglicentie volledig digitaal onderbouw vmbo / havo / vwo / gymnasium + vmbo bovenbouw

KERN Wiskunde — Overig

KERN Wiskunde Gradenboog set à 25 stuks

KERN Wiskunde Geodriehoek set à 20 stuks

94 6442 007 4 leverbaar

94 6442 008 1 leverbaar

009 8 leverbaar

010 4

Docenten ontvangen 50% korting op de verkoopprijs van boeken en licenties. Bestel uw docentexemplaren op: shop.boomvoortgezetonderwijs.nl

Nog meer lesmethoden !

Tip uw collega

v BOOM VOORTGEZET ONDERWIJS

Bestel een docentexemplaar op shop.boomvoortgezetonderwijs.nl

v STAAL & ROELAND

FORUM Geschiedenis Onderbouw

Sociaal-emotionele vaardigheden voor het voortgezet onderwijs

SPQR Latijnse Taal & Cultuur

BESPIEGELING Kunst algemeen

Bestel een docentexemplaar op staal-roeland.nl EXPO Beeldende vakken

Neem contact op Voor inhoudelijke vragen over onze lesmethoden of het maken van een afspraak kunt u contact opnemen met onze educatieve adviseurs.

Alice Fahner

Educatief adviseur

Friesland, Noord-Holland, & Flevoland 06 20 46 43 14 a.fahner@boom.nl

Karen van der Kolk

Educatief adviseur

Groningen, Drenthe, Overijssel, Gelderland & Utrecht 06 29 43 61 19

k.vanderkolk @ boom.nl

Jolette Middeljans

Educatief adviseur

Zuid-Holland, Zeeland, Noord-Brabant & Limburg 06 21 6o 31 85

j.middeljans @ boom.nl

Boom voortgezet onderwijs BV

Stationsweg 66, 7941 hg Meppel

Klantenservice

Voor vragen over inloggen, toegang of problemen bij leerlinglicenties of vragen over uw bestelling kunt u contact opnemen met onze Klantenservice. Zij helpen u graag verder. De Klantenservice is bereikbaar op werkdagen tussen 08.00 en 17.00 uur.

Telefoon 0522–235250

E-mail service @ boomvo.nl

WhatsApp 06 466 744 42 ( alleen voor tekstberichten )

Nieuwsbrief KERN Wiskunde

Wilt u op de hoogte blijven van KERN Wiskunde? Schrijf u dan op onze website in voor onze nieuwsflits. boomvoortgezetonderwijs.nl / kern-wiskunde

facebook.com / BoomVoortgezetOnderwijs

linkedin.com/company / boom-voortgezet-onderwijs

instagram.com / boomvoortgezetonderwijs

KERN Wiskunde kwam tot stand in samenwerking met DocentPlus

DocentPlus is toonaangevend in het meten en verbeteren van leerprocessen in het primaire proces en is de grondlegger en ontwikkelaar van het RTTI-systeem.

KERN Wiskunde werkt samen met AlgebraKit