puede representar en el plano de la pizarra. La complicación aparece al introducir la integral en varias variables, por lo que hemos empezado a utilizar objetos en las clases. Hemos complementado la utilización de materiales con las gráficas que aparecen en el texto de Rogawski (2012), que también ha sido la referencia utilizada para todo lo relacionado con el cálculo en varias variables que se menciona en este artículo. La aproximación de una función de dos variables (cuya gráfica es un subconjunto de R3) puede modelarse con un juego de agujas. Hay varias versiones de estos juegos pero todas ellas son estupendas para poder aproximar una función (imagen 1). Ahí vamos a ver la aproximación por rectángulos y, si podemos medir las alturas a las que quedan las agujas, podremos estimar el volumen de determinados objetos sin más que medir las alturas a las que sobresalen, multiplicar el área de cada uno de los cuadrados que conforman la partición y sumar. Obviamente, cuantas más agujas tenga nuestro juguete, mejor será la aproximación. De este modo podemos introducir las particiones del área de integración. Si trabajamos con una partición que es más fina, se obtendrán mejores resultados que cuando trabajamos con una partición menos fina.
Principio de Cavalieri y teorema de Fubini Utilizando el principio de Cavalieri se puede evaluar el volumen de un sólido con secciones cono-
La complicación aparece al introducir la integral en varias variables, por lo que hemos empezado a utilizar objetos en las clases
Uno Revista de Didáctica de las Matemáticas | núm. 63 | julio 2013
Fernando Blasco
El uso de materiales manipulativos en la enseñanza universitaria
Imagen 1. Juego de agujas
cidas. Esa es una de las primeras cuestiones que abordamos al introducir la integración múltiple. De hecho, los alumnos son capaces de aprender cómo se hace sin saber por qué es correcto. Para presentar esta cuestión, sugerimos ir a la charcutería. En efecto, pediremos que nos corten un trozo de salchichón en rodajas muy finas. Si reordenamos ese loncheado, obtendremos un cuerpo con el mismo volumen y distinta forma (imagen 2). Podemos añadir imaginación a nuestras ideas y diseñar formas que, aun teniendo el mismo volumen, no son propiamente cilindros. Sabemos que los volúmenes son iguales porque conocemos el proceso con el que se han construido. Además, como hemos comprado el salchichón al peso, sabemos que el volumen del cuerpo resultante tiene que ser el mismo (y si alguno se resiste a creerlo, puede volver a pesar el producto). 35