Geometria a l’espai
3
El teorema de Pitàgores a l’espai 3.1 Recorda
En un triangle rectangle, el quadrat de la hipotenusa c és
Càlcul de la diagonal d’un ortoedre
Per calcular les diagonals d’un ortoedre d’amplada a, longitud b i alçada c cal aplicar el teorema de Pitàgores.
c =a +b 2
2
2
diagonal
c
Fixa’t que la diagonal D és el segment QR. Aplicant el teorema de Pitàgores al triangle PQR; s’obté:
Q
P
b
a
D2 = (PQ) + c2 2
igual a la suma dels quadrats dels catets a i b.
R
S
D’altra banda, el triangle PQS, també és rectangle: els seus catets són a i b; per tant, (PQ)2 = a2 + b2. Combinant aquesta la fórmula amb l’anterior s’obté: D 2 = a2 + b2 + c 2
D = a2 + b2 + c 2
Aquesta darrera fórmula ens permet calcular la diagonal d’un ortoedre. c
a
Exemple
b
11. La diagonal d’un cub d’aresta unitat mesura: D = a 2 + b 2 + c 2 = 12 + 12 + 12 = 3 = 1,73 cm
c=1 b=1 a=1
3.2
202
Càlcul de l’apotema d’una piràmide regular
Recorda
En una piràmide regular, cal distingir entre l’apotema de la base i l’apotema d’una de les cares laterals. La relació entre aquestes magnituds ve donada pel teorema de Pitàgores.
B
L’apotema d’un polígon regular és el segment que va des
El triangle ABC és rectangle. L’apotema de la base és el segment AC, l’apotema d’una cara lateral és AB i l’altura de la piràmide és el segment BC. La relació que mantenen és AB 2 = AC 2 + BC 2 .
del centre del polígon al punt mitjà d’un dels seus costats; o dit d’una altra manera, el segment traçat des del centre del
Designant amb h l’altura de la piràmide, amb aC l’apotema d’una cara i amb aB l’apotema de la base, la relació anterior s’escriu:
A
C
polígon que és perpendicular a
aC2 = aB2 + h2
un dels seus costats.
Exemple 12. Calcula l’alçada d’una piràmide de base quadrada, el costat de la qual fa 10 m, i l’apotema d’una cara, 20 m. h = aC2
aB 2
h = 202
52
h = 375 = 19,36 m
Aplica
Resol
9 ■ Calcula la diagonal d’un ortoedre d’arestes 3, 4 i 12 cm.
12 ■■ L’àrea de la base d’un ortoedre de base quadrada és de 36 dm2. Calcula la diagonal de l’ortoedre si la seva altura és de
10 ■ Calcula l’apotema d’una piràmide de base quadrada,
45 cm.
l’apotema lateral de la qual fa 10 cm, i l’altura, 8 cm. Quina és l’àrea de la base?
13 ■■ La base d’una piràmide és un hexàgon de 3 cm de costat. L’altura de la piràmide és de 6 cm. Calcula les dimensions
11 ■ Calcula les dimensions de l’aresta d’una piràmide de base
de l’apotema de cada cara i les dimensions de l’aresta de la pi-
quadrada d’apotema lateral 10 cm i altura 8 cm.
ràmide.
Mates3ESO_U10.indd 202
24/1/11 13:14:42