Ilustrações: Editoria de arte
y 6
f(x) 3x
3 2 1 1 2 3
y x (reta que contém as bissetrizes do 1o e 3o quadrantes) x f 1(x) 3 x
6
Gráfico da função inversa É possível demonstrar que os gráficos de uma função e de sua inversa são simétricos em relação à reta que contém as bissetrizes dos quadrantes ímpares (1o e 3o quadrantes) do sistema cartesiano ortogonal, pois, de acordo com a definição, a cada ponto (x, y) de f corresponde em f 1 o ponto (y, x). Lembre-se: se (a, b) f, então (b, a) f 1.
Exercícios resolvidos y
16 1. Obter a lei da função inversa da função f dada por y x 2 e esboce os gráficos de f e f em um mesmo plano cartesiano. 1
f
4
Resolução
f 1
3 2
y x 2
1
x y 2
Isolamos x.
y x 2
Trocamos y por x e x por y.
Então, y x 2 é a lei da função inversa da função dada por y x 2.
0 1 1
Construindo os gráficos das funções f e f 1 em um mesmo sistema de coordenadas, temos o gráfico ao lado.
17 Determinar a função inversa da função g(x)
2
1
2
3
4
x
f: y x 2 f 1: y x 2
{}
x 5 , cujo domínio é D R 3 . 2x 3 2
Resolução Isolando o x: x 5 3y 5 g(x) y Æ y(2x 3) x 5 Æ 2xy 3y x 5 Æ 2xy x 3y 5 Æ x(2y 1) 3y 5 Æ x 2x 3 2y 1 Trocando x por y na sentença: y
3x 5 2x 1
Como há variável no denominador, devemos restringir o domínio de f 1: 2x 1 0 Æ x 1 2 A restrição no domínio de f deve ser mantida na imagem de f 1 para que a função f seja bijetora e, portanto, admita inversa. 3x 5 3 1 Logo, g 1 R éR dada por y é a função inversa procurada. 2x 1 2 2
{}
{}
18 Seja a função invertível f: R é [ 4, [ definida pela lei f(x) x2 4. Determine a lei da inversa de f. Resolução Como D(f) R e CD(f) [ 4, [, a função f dada por f(x) x2 4 é bijetora. Assim, usando a regra prática, temos: y x2 4 x2 y 4 x ± y 4 y ±
x 4
Como y 0, a lei da inversa é f 1(x)
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Unidade 2
x 4 .
Introdução às funções
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