Matematica 1

Conjunto dos nĂşmeros reais

3

2

1

Ď€

1

0

5 4

2

1 2

3

4

Ď€

2

Cada ponto da reta numĂŠrica pode ser associado a um Ăşnico nĂşmero real e cada nĂşmero real pode ser associado a um Ăşnico ponto da reta numĂŠrica, ou seja, dizemos que hĂĄ uma correspondĂŞncia biunĂ­voca entre os nĂşmeros reais e os pontos da reta.

No conjunto R dos números reais, destacamos os seguintes subconjuntos: • números reais não nulos: R* R {0} • números reais não negativos: R {x R | x 0} • números reais não positivos: R {x R | x 0} • números reais positivos: R* {x R | x 0} • números reais negativos: R* {x R | x 0}

R

Ilustraçþes: Editoria de arte

Reunindo os números racionais aos números irracionais, formamos o conjunto dos números reais, que representamos por R. Assim, os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais estão contidos no conjunto dos números reais, ou seja, são subconjuntos de R. Observe o diagrama ao lado. É possível demonstrar que, ao registrar os números racionais e os irracionais na reta orientada, ela fica completa, com todos os números reais. A reta assim construída Ê denominada reta numÊrica ou reta real.

Observe abaixo a reta real com alguns nĂşmeros racionais e irracionais indicados.

N

Z

Q

N 3 Z 3 Q 3 R e 3 R, ou seja, Q 6 R

O ponto que representa o nĂşmero zero tambĂŠm ĂŠ chamado de origem da reta real.

As letras N, Q e R sĂŁo as iniciais das palavras nĂşmero (ou natural), quociente e real.

A letra Z ĂŠ inicial da palavra zahl, que significa nĂşmero em alemĂŁo.

LIMA, Elon L. e outros. A matemĂĄtica do ensino mĂŠdio. Rio de Janeiro: SBM, 2012. v. 1. p. 66.

(Coleção do Professor de Matemåtica).

Intervalos reais

Existem, ainda, outros subconjuntos de R que são determinados por desigualdades. Esses subconjuntos são chamados de intervalos e podem ser representados na reta real, na notação de conjuntos e na notação com colchetes.

Dados dois nĂşmeros reais a e b, chamados de extremos do intervalo, com a b, temos: Intervalo aberto {x R | a x b} ]a, b[ Intervalo fechado {x R | a x b} [a, b] Intervalos semiabertos {x R | a x b} [a, b[ {x R | a x b} ]a, b] Intervalos infinitos {x R | x a} ] , a[ {x R | x a} ] , a] {x R | x a} ]a, [ {x R | x a} [a, [ R ] , [

a

b

a

b

a

b

a

b

Outra maneira de representar os intervalos abertos ĂŠ utilizando parĂŞnteses. Veja: ]a, b[ (a, b) ]a, b] (a, b] [a, b[ [a, b)

a a a a

Observaçþes: • A bolinha vazia ( ) indica que os extremos não pertencem ao intervalo. • A bolinha cheia ( ) indica que os extremos pertencem ao intervalo. • O símbolo (lê-se: mais infinito) indica que o intervalo cresce indefinidamente. • O símbolo (lê-se: menos infinito) indica que o intervalo decresce indefinidamente. • Os símbolos e não são números reais, são apenas símbolos da notação de intervalos infinitos.

CapĂ­tulo 2

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Conjuntos numĂŠricos

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