Lei dos senos Outra maneira de calcular as medidas de lados e ângulos de um triângulo qualquer Ê por meio da lei dos senos, apresentada a seguir. Em qualquer triângulo, as medidas dos lados são poporcionais aos senos dos respectivos ângulos opostos e a constante de proporcionalidade Ê igual à medida do diâmetro da circunferência circunscrita a esse triângulo. C
Assim, dado um triângulo ABC qualquer com as medidas dos lados e dos ângulos como indicado na figura ao lado, podemos escrever:
b
a b c 2R sen sen sen
A
Acompanhe a seguir a demonstração da lei dos senos para o ângulo .
B
c
O triângulo ABC representado a seguir estå inscrito em uma circunferência de centro O e raio R. Nessa figura, traçamos o diâmetro fiBD°. A eD A são ângulos inscritos, temos: Como A med(BC)   2 ä med(BC)   2
a
A
Îą
b
c
Ď•
D
O B
C
a
Observe que o triângulo BCD Ê retângulo em C, pois estå inscrito em uma a a a Æ sen Æ 2R semicircunferência. Assim, temos: sen 2R 2R sen Analogamente, podemos provar que: 2R b e 2R c sen sen
ExercĂcio resolvido 5 Um barco pesqueiro A emite um sinal de socorro que ĂŠ recebido por outros dois barcos, B e C, distantes entre si
70 km. Sabendo que os ângulos AB BC e AB CB medem, respectivamente, 64° e 50°, responda: qual dos barcos, B ou C, se encontra mais próximo do barco pesqueiro? A que distância ele estå do barco A?
Resolução Representando a situação em um triângulo ABC, temos a figura ao lado. A soma das medidas dos ângulos internos do triângulo ABC Ê 180°. Logo: med(BA) med(BB) med(BC) 180° Æ med(BA) 64° 50° 180° Æ med(BA) 66° Portanto, o ângulo BA mede 66°.
b
c
Usando a lei dos senos, obtemos:
64°
70 c b sen 66° sen 64° sen 50°
B
Ilustraçþes: Editoria de arte
A
50° a 70 km
C
Consultando a tabela de razĂľes trigonomĂŠtricas no final do capĂtulo, adotaremos as seguintes aproximaçþes: sen 50° 0,77, sen 64° 0,90 e sen 66° 0,91. • Calculando a distância entre A e C, temos: 70 b Æ b 69,2 0,91 0,90
• Calculando a distância entre A e B, temos: 70 c Æ c 59,2 0,91 0,77
O barco mais próximo de A Ê o barco B, que estå a 59,2 km de distância.
CapĂtulo 12
CS-MAT-EM-3029-V1-U06-C12-228-257-LA.indd 241
Trigonometria nos triângulos
241
5/6/16 4:42 PM