Consequências da semelhança de triângulos A partir da semelhança de triângulos algumas consequências podem ser demonstradas. A seguir, apresentamos algumas delas. 1a consequência
Se a razão de semelhança entre dois triângulos é igual a k, então: • a razão entre os perímetros também é k; • a razão entre duas alturas homólogas também é k;
• a razão entre duas bissetrizes homólogas também é k; • a razão entre as áreas é igual a k2.
Vamos demonstrar esta última afirmação.
Demonstração Considere dois triângulos ABC e DEF tais que ABC DEF, como mostra a figura ao lado. Então, pela semelhança de triângulos temos: AB BC AC k DE EF DF
A D
B
G
C
E
H
F
Traçando as alturas homólogas AG e DH, temos que, pelo caso AA de semelhança, ABG DEH. Então, podemos escrever: AB AG k DE DH Calculando as respectivas áreas, temos: BC AG 2 Æ A1 BC AG BC AG k k k2 EF DH A2 EF DH EF DH área DEF A2 2
área ABC A1
A
2a consequência
Se um segmento de reta une os pontos médios de dois lados de um triângulo, então esse segmento de reta é paralelo ao terceiro lado e sua medida é metade da medida do terceiro lado. 3a consequência
M
N
MN // BC Æ MN
B
BC 2
C
Se pelo ponto médio de um lado de um triângulo, traçarmos uma reta paralela a outro de seus lados, ela encontrará o terceiro lado em seu ponto médio.
Exercícios resolvidos 1. 4 Um homem de 1,80 m de altura projeta uma sombra de 2,70 m de comprimento no mesmo instante em que um poste projeta uma sombra de 9,60 m de comprimento. Qual é a altura do poste?
Resolução Com base nas informações podemos fazer o esquema ao lado. Como os raios de sol são praticamente paralelos, temos B E e C F .
220
Unidade 6
x A 1,80 B 2,70
C
E
9,60
F
Ilustrações: Editoria de arte
Assim, os triângulos ABC e DEF são semelhantes. Sendo x a altura do poste, temos: 1,80 1,80 2,70 2,70 2,70 1,80 2,70 BC BC 1,80 BC AB AB BC AB AB ⇒ ⇒ 2,70x 2,70x 17,28 17,28 ⇒ xx 6,4 6,4 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 2,70x 17,28 ⇒ xx 6,4 ⇒ ⇒ 2,70x 17,28 ⇒ 6,4 Æ Æ Æ DE DE EF EF EF xxxx 9,60 DE DE EF 9,60 9,60 9,60 Portanto, a altura do poste é 6,40 m.
D
Introdução à Trigonometria
CS-MAT-EM-3029-V1-U06-C11-210-227-LA.indd 220
5/12/16 17:52