Duas ou mais retas paralelas entre si, pertencentes a um mesmo plano, formam um feixe de retas paralelas. Uma reta que corta esse feixe de paralelas é chamada reta transversal. Na figura ao lado, as retas a, b, c e d formam um feixe de retas paralelas e as retas r e t são as transversais. Além disso, definimos:
A
t
r A’ a B’ b C’ c
B C D
• A e A', são pontos correspondentes, assim como B e B', C e C', D e D'.
D’
• AB e A'B' são segmentos correspondentes, assim como BC e B'C', AC e A'C', BD e B'D' etc.
Ilustrações: Editoria de arte
Feixe de retas paralelas
d
a // b // c // d
Teorema de Tales O teorema de Tales estabelece a relação entre os segmentos de reta determinados por um feixe de retas paralelas sobre duas retas transversais.
r A B C
Corbis/Fotoarena
Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas transversais, então dois segmentos quaisquer de uma delas são proporcionais aos segmentos correspondentes da outra. s M
a
N
b P
a // b // c Æ
c
AB MN BC NP
Tales, matemático e filósofo que viveu no século VI a.C., era natural da cidade de Mileto, na Grécia, por isso ficou conhecido como Tales de Mileto.
Com base na figura acima, podemos considerar outras proporções, como: AB MN AC MP
ou
BC NP AC MP
Demonstração Vamos demonstrar esse teorema para o caso em que os segmentos são comensuráveis, ou seja, segmentos cujas medidas podem ser expressas por uma quantidade inteira de certa unidade. No entanto, o teorema de Tales também é válido para segmentos de reta de medida incomensurável. Considere um feixe de retas paralelas cortado por duas retas transversais r e s, como mostra a figura ao lado. Vamos supor que exista um segmento de medida u e dois números inteiros m e n tais que: AB m u CD n u
r
m vezes B C u n vezes uu u D
s
A
M
u u u u
u’ u’ u’ u’
a
b
N O u’ u’ u’ u’ P
c
d
Estabelecendo a razão AB , temos: AB m u m . I CD n u n CD Traçando retas paralelas ao feixe, pelos pontos que dividem AB e CD, dividimos MN e OP, respectivamente, em m e n partes iguais a u’. Assim, temos: m u' MN m OP n u' n
Comparando I e II , obtemos:
II
MN AB CD OP Capítulo 11
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Proporcionalidade e semelhança
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