Termo geral de uma PG Seja a PG: (a1, a2, a3, a4, ..., an 1, an, an 1, ...). q q q
q
q
Usando a definição de PG, temos: a2 a1 q a3 a2 q (a1 q) q a1 q2 2 a4 a3 q (a1 q ) q a1 q3 an an 1 q (a1 qn 2) q a1 qn 1
Em algumas situaçþes que envolvem termos consecutivos de uma PG, Ê conveniente recorrer às seguintes representaçþes:
EntĂŁo podemos concluir que: an a1 qn 1
• produto de três termos x consecutivos: , x, xq q • soma de três termos
fĂłrmula do termo geral de uma PG
em que: an a1
termo geral (ou enĂŠsimo termo) primeiro termo
n q
consecutivos: x, xq, xq2
ordem do termo razĂŁo
Essa expressão Ê conhecida como fórmula do termo geral de uma PG e permite calcular qualquer termo da PG conhecendo apenas o primeiro termo (a1) e a razão (q). Podemos, ainda, obter a lei de formação de uma PG dada. Por exemplo, vamos determinar a expressão do termo geral da PG (5, 10, 20, ...). 10 A razão da PG Ê q 2. 5 Substituindo q por 2 e a1 por 5 na fórmula do termo geral, obtemos a lei de formação dessa PG: an a1 qn 1 Æ an 5 2n 1
ExercĂcios resolvidos 1. Determine o 10o termo da PG (2, 6, ...). 16 Resolução A razĂŁo dessa progressĂŁo geomĂŠtrica ĂŠ igual a: 6 q 3 2 Se a1 2, o dĂŠcimo termo (n 10) ĂŠ: an a1qn 1 Æ a10 2 310 1 Æ a10 2 39 39 366
2. Em uma PG de quatro termos, a razĂŁo ĂŠ 5 e o Ăşltimo 17 termo ĂŠ 375. Calcule o primeiro termo dessa PG.
Resolução Sendo q 5 e a4 375, temos: a4 a1 q3 ä 375 a1 53 ä 375 a1 125 ä a1 3
3. Escreva uma PG de quatro termos, sabendo que a soma 18 do primeiro termo com o terceiro vale 150 e a soma do segundo termo com o quarto vale 1 050.
Resolução Uma PG de quatro termos (a1, a2, a3, a4) pode ser escrita da seguinte maneira: a3 a1q2 a1 a2 a1q
a4 a1q3
Assim, de acordo com o enunciado, podemos escrever as seguintes equaçþes: a1 a3 150 ä a1 a1q2 150 ä a1(1 q2) 150 a2 a4 1 050 ä a1q a1q3 1 050 ä ä a1q(1 q2) 1 050 Com as equaçþes acima obtemos o seguinte sistema: a1(1 q2) 150
I
a1q(1 q2) 1 050
II
Calculando a razão entre as equaçþes II e I , temos: a1q(1 q2) 1 050 äq 7 150 a1(1 q2) Substituindo o resultado na primeira equação, temos:
a1(1 72) 150 ä a1 3 Assim, a sequĂŞncia ĂŠ (3, 21, 147, 1 029). CapĂtulo 9
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