Exercícios resolvidos 10 Foi feita uma rifa com cartões numerados de 1 a 50. Quem tirar o cartão de número 1 paga R$ 1,00, quem tirar o cartão de número 2 paga R$ 2,00, e assim por diante. Quanto renderá a rifa?
sabendo que os termos do 1o membro formam uma PA.
Resolução Na PA, temos: a1 1; an x; Sn 280; r 6
Resolução
Vamos calcular n usando a fórmula geral:
Podemos representar os cartões numerados pela PA (1, 2, 3, ..., 50) cuja razão r é igual a 1. Para determinar quanto renderá a rifa, é necessário calcular a soma dos termos dessa PA. Temos: a1 1; an 50; n 50.
( a1 a n ) n
(1 50)50 Æ S50 Æ S50 1 275 2 2 A rifa renderá R$ 1 275,00.
Sn
3. (Inatel-MG) Resolver a equação 1 7 ... x 280, 12
2. Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir. 11
Editoria de arte
Observe que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforos.
an = a1 (n 1)r Æ x 1 (n 1)6 Æ x 5 Æ x 1 6n 6 Æ n 6 Substituindo na fórmula da soma, temos: (1 x ) x 5 a1 a n ) n ( 6 Sn Æ 280 Æ 2 2 Æ x2 6x 3 355 0 Resolvendo a equação: x2 6x 3 355 0 Æ 36 13 420 13 456 6 ± 116 x 2
x1 55 x2 61
Como a PA (1 7 ... x) é crescente, devemos ter x 0. Portanto, S {55}. Figura 1
Figura 2
Figura 3
a) Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Escreva a expressão do termo geral e, em seguida, calcule a quantidade de palitos necessária para formar a 12a figura. b) Determine a quantidade de palitos necessários para construir as primeiras 40 figuras.
Resolução a) Considerando que, para construir a figura 1, são necessários 4 palitos, para a figura 2, 12 palitos, e para a figura 3, 20 palitos, podemos afirmar que a sequência das figuras forma a PA (4, 12, 20,...) em que a1 4 e r 12 4 8. Logo: an 4 + (n 1)8 ä an 8n 4, n N* Assim, a12 8 12 4 92 ä 92 palitos. b) A quantidade total de palitos é dada pela soma dos 40 primeiros termos, ou seja: (a1 a40) 40 S40 2 Como a40 8 40 4 316 ä 316 palitos, temos: (a1 a40) 40
(4 316) 40
6 400 2 2 Portanto, serão necessários 6 400 palitos. S40
13 Na seção História da Matemática foi apresentada a fórmula que Gauss supostamente utilizou para calcular a soma dos 100 primeiros números naturais. Essa fórmula não serve para calcular, por exemplo, os 100 primeiros números ímpares. Determine a fórmula que permite calcular a soma dos n primeiros números ímpares.
Resolução Para encontrar a fórmula da soma dos n primeiros números ímpares vamos utilizar a fórmula que calcula a soma dos n primeiros elementos de uma sequên( a an ) n . cia qualquer, ou seja: Sn 1 2 Sabemos que o primeiro número ímpar é o 1. Assim, podemos concluir que a1 1. Outra informação importante que devemos considerar é que todo número ímpar obedece a lei 2n 1, assim podemos concluir que an 2n 1. Substituindo esses valores na fórmula da soma, temos: Sn
( a1 a n ) n Æ S
n 2 2 Æ Sn 2n Æ Sn n 2 2
(1 2n 1)n Æ 2
Assim, para calcular a soma dos n primeiros números ímpares basta calcular n2.
Capítulo 9
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Progressões
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