Amplitude - Matemática - 8

MATEMÁTICA

José Roberto Bonjorno

Regina Azenha Bonjorno

Ayrton Olivares

Marcinho Mercês Brito

Ensino Fundamental – Anos Finais

Componente curricular: Matemática

José Roberto Bonjorno

• Bacharel e licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Regina Azenha Bonjorno

• Bacharel e licenciada em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Professora do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Ayrton Olivares

• Bacharel e licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Marcinho Mercês Brito

• Doutor em Estatística e Experimentação Agropecuária pela Universidade Federal de Lavras (UFLA-MG)

• Mestre em Ciências Agrárias pela Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB-BA)

• Pós-graduado em Formação para o Magistério – Área de Concentração: Metodologia do Ensino e da Pesquisa em Matemática e Física pelas Faculdades Integradas de Amparo (FIA-SP)

• Engenheiro Agrônomo pela Universidade Federal da Bahia (UFBA)

• Licenciado em Matemática pela Faculdade de Ciências Educacionais (FACE-BA)

• Professor do Ensino Médio e do Ensino Superior

ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

COMPONENTE

CURRICULAR

MATEMÁTICA

MANUAL DO PROFESSOR

1a edição São Paulo, 2022

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Amplitude : matemática. 8 : ensino fundamental : anos finais / José Roberto Bonjorno...[et al.]. -- 1. ed. -- São Paulo : Editora do Brasil, 2022. -- (Amplitude matemática)

Outros autores: Regina Azenha Bonjorno, Ayrton Olivares, Marcinho Mercês Brito

ISBN 978-85-10-08395-9 (aluno)

ISBN 978-85-10-08396-6 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Bonjorno, José Roberto. II. Bonjorno, Regina Azenha. III. Olivares, Ayrton. IV. Brito, Marcinho Mercês. V. Série.

22-111843

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427

© Editora do Brasil S.A., 2022

Todos os direitos reservados

Direção-geral: Vicente Tortamano Avanso

Direção editorial: Felipe Ramos Poletti

Gerência editorial de conteúdo didático: Erika Caldin

Gerência editorial de produção e design: Ulisses Pires

Supervisão de artes: Andrea Melo

Supervisão de editoração: Abdonildo José de Lima Santos

Supervisão de revisão: Elaine Cristina da Silva

Supervisão de iconografia: Léo Burgos

Supervisão de digital: Priscila Hernandez

Supervisão de controle de processos editoriais: Roseli Said

Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes

Supervisão editorial: Everton José Luciano

Edição: Daniel Leme, Katia Queiroz, Lourdes Ferreira e Marcos Silva

Assistência editorial: Douglas F. Giaquinto e Wagner Razvickas

Revisão: Amanda Cabral, Andréia Andrade, Fernanda Sanchez, Gabriel Ornelas, Giovana Sanches, Jonathan Busato, Júlia Castello, Luiza Luchini, Maisa Akazawa, Mariana Paixão, Martin Gonçalves, Rita Costa, Rosani Andreani e Sandra Fernandes

Pesquisa iconográfica: Ana Brait

Design gráfico: APIS design

Capa: Estúdio Siamo

Imagem de capa: eugenesergeev/iStockphoto.com e Nutsaehun/ iStockphoto.com

Edição de arte: Daniel Souza, Marcela Tenguan e Mario Junior

Ilustrações: Adriano Gimenez, Aline Rivolta, André Martins, DAE, Danillo Souza, João P. Mazzoco, Luca Navarro, Luiz Lentini, Marcel Borges, Marcos Guilherme, Murilo Moretti, Reinaldo Vignati, Tarcísio Garbellini, Thiago Lucas e Wanderson Souza

Produção cartográfica: Sônia Vaz

Editoração eletrônica: Fórmula Produções Editoriais

Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Jennifer Xavier, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini

Controle de processos editoriais: Bruna Alves, Julia Nascimento, Rita Poliane, Terezinha de Fátima Oliveira e Valeria Alves

1a edição, 2022

Rua Conselheiro Nébias, 887

São Paulo/SP – CEP 01203-001

Fone: +55 11 3226-0211 www.editoradobrasil.com.br

Olá, professora. Olá, professor.

Entre os desafios que enfrentamos cotidianamente na formação dos estudantes, está aquele que mais tem nos motivado a concentrar esforços para construir uma aprendizagem significativa: o conhecimento aplicado às experiências de vida.

Como fazer as ações pedagógicas ganharem sentido na apropriação do conhecimento pelos estudantes? Como perceber o ensino da Matemática por meio da reavaliação de velhos estigmas, aprendizagem de fórmulas e de conceitos distanciados das experiências dos aprendizes?

Pensando nessas questões, elaboramos este material para que os conhecimentos da Matemática possam dialogar com o saber individual dos estudantes, ressignificando a aprendizagem deles, colocando-os como agentes do processo de construção do conhecimento e buscando mobilizar olhares para o reconhecimento da Matemática no dia a dia.

Pretendemos, com esta coleção, contribuir para o exercício da prática docente, ao apresentarmos novas ferramentas e possibilidades de ações que propiciem ampliar o trabalho pedagógico, oferecendo subsídios que colaborem para a execução das propostas curriculares dos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Os autores

Pressupostos teórico-metodológicos

Vivemos em um mundo que se transforma a todo instante, e as profundas mudanças ocorridas nos últimos anos impuseram à escola um olhar mais atento para a singularidade e a diversidade do ser humano. Pensar na singularidade humana é pensar nas diferenças que constituem cada pessoa, sejam elas relacionadas a aspectos físicos, subjetivos, cognitivos, relacionais, religiosos. A singularidade que nos constitui é o que torna o mundo em que vivemos tão diverso. Respeitar e valorizar as diferenças é, portanto, fundamental para a vida em sociedade.

Entre os inúmeros objetivos almejados para esta coleção, buscamos criar oportunidades para que os estudantes pensem na coletividade, desenvolvam atitudes empáticas e cooperativas, reflitam sobre temas contemporâneos – às vezes, polêmicos – que envolvem a discussão de valores, para que, assim, possam reconhecer e respeitar a diversidade e promover a inclusão

Garantir esses valores é afirmar compromisso com a formação integral e cidadã dos estudantes e com a permanente busca por uma educação equitativa e de qualidade

Além disso, é fundamental promover situações que favoreçam o trabalho com a resolução de problemas vinculados ao mundo real, a fim de oportunizar aos estudantes que se posicionem de forma crítica, responsável e construtiva e utilizem o diálogo para mediar conflitos.

Acreditamos que, na escola, os estudantes desenvolvem habilidades e competências – incluindo as socioemocionais – por meio das próprias experiências vividas, do conhecimento e das interações com seus pares. Nessa direção, inúmeras propostas apresentadas nesta coleção foram pensadas para propiciar e favorecer essas interações. Não basta mais apenas apresentar definições, axiomas e teoremas aos estudantes. É preciso oferecer-lhes oportunidades de ação e de reflexão sobre suas ações, de modo que consigam antecipar resultados e fazer previsões.

Neste momento, vale lembrar o que afirma Paulo Freire: Saber que ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua própria produção ou a sua construção. Quando entro em uma sala de aula devo estar sendo um ser aberto a indagações, à curiosidade, às perguntas dos alunos, a suas inibições; um ser crítico e inquiridor, inquieto em face da tarefa que tenho – a de ensinar e não a de transferir conhecimento (FREIRE, 1996, p. 47, grifo nosso).

E como os livros didáticos podem auxiliar no tão almejado desenvolvimento integral dos estudantes?

Acreditamos que as proposições apresentadas nesta coleção, tanto nas propostas do Livro do Estudante quanto nas sugestões apresentadas do Manual do Professor, poderão potencializar ainda mais o trabalho já desenvolvido na escola.

Assim, apresentamos, neste manual, os pressupostos que embasaram a construção de cada proposição e sugestão de aplicação nele presentes.

Esperamos que as informações aqui apresentadas favoreçam a reflexão de professores sobre a prática pedagógica, seja no trabalho diário com os estudantes em sala de aula, seja nos momentos de planejamento das aulas e da avaliação da aprendizagem.

Letramento matemático

O letramento matemático, segundo a BNCC – baseando-se na Matriz do Pisa de 2012 –, engloba as habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente.

Tais habilidades são constantemente mencionadas no ensino de Matemática, mas pouco se explora o significado de cada uma delas. A compreensão mais ampla desses verbos pode auxiliar o professor tanto nas escolhas para as práticas e intervenções em sala de aula como na organização das atividades propostas nesta coleção.

Raciocinar está relacionado a um conjunto de processos mentais que se ampara em conhecimentos internalizados para a produção de novos conhecimentos em um movimento complexo.

Na Matemática, muito se fala em raciocínio lógico, dedutivo e indutivo. Mas também podemos considerar outros, como o raciocínio abdutivo e o relacional.

Independentemente dos tipos, o raciocínio se desenvolve quando é posto em prática e usado na análise de processos de raciocínio externalizados por outros (no caso da escola, pelos colegas).

Representar é um verbo de grande desafio na área da Matemática. Considerando que muitos conceitos só existem nas teorizações, é por meio da representação que podemos torná-los visíveis. É a representação que dá acesso ao raciocínio.

As representações perpassam todas as unidades temáticas que compõem o ensino da Matemática. Na Geometria, por exemplo, vemos mapas, croquis e representações gráficas de figuras. Na Álgebra, há uma variedade de símbolos que descrevem regularidades e generalizações. Com relação aos números, o próprio símbolo numérico é uma representação de quantidade, ordem, código ou medida.

Devido à necessidade de representar conceitos, a fim de que se operem com eles, pesquisadores apontam a importância de trabalhar a maior variedade de representações para que a aprendizagem ocorra.

Comunicar e argumentar são duas ações que dependem diretamente da linguagem matemática. Os momentos de discussão são fundamentais para que os estudantes possam se comunicar matematicamente para além de registros gráficos convencionais.

As aulas de Matemática devem também valorizar as formas de comunicação oral em que os estudantes precisem escutar argumentos de colegas e organizar os próprios argumentos para fortalecer ou reconstruir aprendizagens. As atividades desta coleção possibilitam aos estudantes que tais habilidades sejam desenvolvidas, por exemplo, nos momentos em que são convidados a explicitar os caminhos percorridos e o raciocínio empregado na resolução de uma situação.

Resolução de problemas

O ensino de Matemática deve explorar a capacidade do estudante de compreender o mundo a seu redor, contextualizado socialmente, bem como promover o entendimento de como o conhecimento da Matemática pode auxiliá-lo nessa atividade.

O ensino de Matemática se apresenta hoje fortemente ligado a essa metodologia, pois ela exige que o estudante desenvolva a capacidade de descobrir e usar informações e estratégias próprias para resolver problemas.

Um dos grandes autores na área de resolução de problemas, Polya (20--) afirma que problema é uma situação que exige uma solução elaborada, que não é imediata. Ele destaca quatro pontos que devem ser considerados na resolução de um problema.

1. Compreensão do problema.

2. Elaboração de um plano de resolução.

3. Execução do plano.

4. Verificação da solução.

O foco na resolução de problemas enfatiza que os estudantes podem trabalhar individualmente ou em grupo, enquanto o professor atua como facilitador e guia. Dessa forma, o estudante é a figura central do processo. Ele analisa dados, estabelece relações e chega a conclusões tentando fundamentá-las, explicando-as, dando assim significado à aprendizagem.

Cálculo mental e calculadora

Quanto à resolução de problemas, é importante que os estudantes desenvolvam diferentes estratégias. O cálculo mental e o uso de calculadora levam os estudantes a raciocinar sobre suas ações. Calcular é uma operação com a qual os estudantes convivem desde pequenos, pois os números, a contagem e as operações costumam fazer parte do brincar, do jogar e do comércio. Para lidar com números pequenos, não são necessários cálculos

ou algoritmos elaborados, é possível usar cálculo mental. Você pode propor situações, problemas e desafios com cálculos simples de adição, subtração, multiplicação e divisão a serem feitos mentalmente com discussões sobre as maneiras de raciocinar. Em todas as situações possíveis, é necessário incentivar o cálculo mental.

Os estudantes terão intimidade cada vez maior com os números ao começarem a verbalizar os resultados e as estratégias utilizadas para a realização dos cálculos. As propriedades e as regularidades matemáticas surgirão naturalmente quando forem discutidas as formas e os caminhos percorridos para chegar ao resultado. Desse modo, os estudantes adquirem mais confiança em si mesmos ao perceber que são capazes de resolver problemas; também passam a respeitar mais os colegas, pois começam a vê-los como pessoas que pensam com autonomia e contribuem com outras soluções.

Além de incentivar o cálculo mental, é importante que o uso da calculadora esteja previsto na sala de aula. A BNCC orienta que cabe ao educador a tarefa de iniciar os estudantes na utilização de novas tecnologias, entre elas a calculadora. As razões que reforçam o uso da calculadora na escola são sociais e pedagógicas. As primeiras dizem respeito ao fato de que a escola não pode se distanciar da realidade, uma vez que o uso desse instrumento está totalmente popularizado. As razões pedagógicas dizem respeito ao uso da calculadora para explorar regularidades e relações matemáticas, além da possibilidade de ampliar os números. O uso desse recurso deve favorecer a aprendizagem de diferentes estratégias de cálculo e explorar os limites desse instrumento. Cabe ao professor decidir quando seu uso é adequado e quando o cálculo mental é mais eficiente. Outra possibilidade de uso da calculadora é tê-la como uma ferramenta de controle e verificação de resultados de operações feitas com papel e lápis, pois permite que os estudantes tenham autonomia na execução e na correção.

A prática docente

O perfil do professor

Na apresentação dos pressupostos teórico-metodológicos desta coleção, iniciamos dizendo que vivemos em um mundo em constante transformação. Diante disso, é primordial que o professor, dia a dia, repense seu papel no processo ensino-aprendizagem, especificamente na interação com os estudantes e com seus pares.

Para tanto, ele necessita planejar as aulas de maneira diferente, extrapolando os tradicionais métodos de ensino, que acabam por privilegiar a “transmissão” de conteúdo, afinal, se o mundo está em constante transformação, e a escola faz parte do mundo, ela também precisa mudar.

Ao repensar seu papel, o professor gera possibilidades de os estudantes repensarem o deles e de se tornarem protagonistas em sua aprendizagem, desenvolvendo competências e habilidades que serão essenciais à vida, nos mais variados contextos: pessoal, familiar, acadêmico, profissional, político, intelectual e outros.

Dessa forma, talvez seja necessário pensar na descentralização do papel do professor no processo ensino-aprendizagem, que, na atualidade, não deve mais estar pautado somente na transmissão de informações, mas na mediação do conhecimento, aqui entendida não apenas “com a função de ligar dois elementos mas sim de ser o centro organizador dessa relação” (AGUIAR et al., 2009, p. 58).

O professor, que antes era considerado apenas o detentor e transmissor do conhecimento, passa a ser também, considerado um mediador, um orientador da aprendizagem – organizando o ensino de acordo com a real capacidade dos estudantes – e do desenvolvimento de hábitos de estudo e de reflexão deles. Estes, que antes eram considerados “baldes vazios”, receptores dos conhecimentos neles “despejados” pelo professor, passam a ser seres ativos na construção do conhecimento, usando, para isso, capacidades, habilidades, inteligência, criticidade e criatividade, tendo o professor como orientador e incentivador da aprendizagem.

O professor passa, então, a fazer intervenções oportunas, necessárias e eficazes no processo ensino-aprendizagem e a propor aos estudantes problemas com base na observação atenta de conhecimentos e estratégias de resolução por eles manifestados.

Ações como experimentação, comparação, estabelecimento de relações, análises, justaposições, levantamento de hipóteses e argumentações são essenciais para que a aprendizagem aconteça de forma significativa.

Neste momento, uma pergunta se faz necessária: como articular a Matemática apresentada nos currículos com as reais necessidades dos estudantes, considerando os contextos nos quais eles estão inseridos? Para respondê-la, é preciso que a ideia de contexto/contextualização seja bem compreendida.

A contextualização, normalmente, é atrelada ao cotidiano dos estudantes, o que é muito importante para que eles possam estabelecer relações e realizar ampliações construindo repertórios potentes para resolver problemas. No entanto, o ensino de Matemática pode ir além, propondo contextos inexistentes no cotidiano de determinado estudante – mas frequentes na vida de outros – ou focando no contexto intramatemático, em que importantes discussões podem acontecer dentro das regularidades, ampliando a compreensão do funcionamento da linguagem matemática.

Considerando que a Matemática é uma construção humana, sempre haverá um contexto, ou seja, os conceitos construídos surgem de problemas que podem estar presentes em situações do dia a dia, em necessidades de ciências específicas – como para o desenvolvimento de um software ou para o cálculo de substâncias na composição de medicamentos – ou em teorizações matemáticas.

Quando pensamos no cotidiano atual dos estudantes, é necessário ter em mente a velocidade com que as informações se espalham por meio de diferentes mídias. Também é preciso considerar que o cotidiano não inclui apenas questões sociais, como a falta de moradia ou de alimentação – sem deslegitimar a importância de tais fatores – mas também aos jogos com os quais os estudantes estão em contato, às leituras que fazem de outras culturas e de outros espaços, entre outros temas que lhes são interessantes, mesmo que pareçam distantes de suas “realidades”.

É certo que os livros didáticos não darão conta da enorme diversidade cotidiana de cada comunidade escolar, daí a importância do papel do professor para aproximar os estudantes desses contextos “distantes”, fazendo inter-relações entre o novo e aquilo que já conhecem, ampliando, assim, o conhecimento de mundo deles.

Ao pensar nos contextos extramatemáticos, é válido observar a variedade de temas que podem ser abordados, considerando o rico cotidiano dos estudantes de hoje e a possibilidade de apresentar-lhes situações novas que exemplifiquem outras formas de estar no mundo.

O professor, ao mediar o aprendizado construído pelos estudantes, torna a aprendizagem mais significativa.

Monkey Business Images/Shutterstock.com

Desse modo, os conteúdos desta coleção são apresentados com base em diferentes contextos, assim como as atividades, que englobam tanto situações que se referenciam em possíveis cotidianos dos estudantes como as que focam no desenvolvimento intramatemático.

Como vemos, a prática do professor abrange uma diversidade de aspectos relacionados ao ensino, que precisam ser considerados para potencializar os momentos de aprendizagem: o planejamento das aulas; os conhecimentos didáticos; os conhecimentos dos conteúdos; a qualidade da relação com os estudantes, com os pais e com os demais atores que compõem a comunidade escolar; a disponibilidade de recursos que apoiem sua prática, entre outros.

Com relação ao planejamento, o professor precisa articular seus objetivos, os objetos de conhecimento definidos nos documentos curriculares, as possibilidades metodológicas para explorá-los e os conhecimentos dos estudantes sobre o assunto, tudo isso organizado em um tempo didático.

O livro didático poderá ser uma ferramenta indispensável para essa articulação; no entanto, caberá ao professor adaptá-la às necessidades dos estudantes e organizá-la no tempo organizá-la no tempo, espaço e recursos didáticos disponíveis em cada instituição escolar.

Esse processo de adaptação de atividades do livro didático, ou de qualquer outro recurso externo, depende de escuta ativa do professor sobre as ações dos estudantes. Muitas vezes, não basta perguntar ou aplicar um instrumento avaliativo ou diagnóstico para identificar os conhecimentos dos estudantes; é preciso estar atento ao cotidiano escolar: O que explicitam as situações de aprendizagens? Como realizam as atividades rotineiras, sem a pressão avaliativa, em situações de brincadeira, nas relações com seus pares? Conhecer os estudantes é, portanto, incluir na prática docente um olhar e uma escuta sensíveis para o que acontece na sala de aula e em outros espaços da escola.

Mesmo trazendo essas questões para o planejamento, sempre haverá o imprevisível, as situações com as quais o professor, por mais experiente que seja, poderá não saber lidar. Nesse sentido, os estudos de Alarcão (2011) sobre a noção de professor reflexivo apontam algumas questões sobre a prática docente que podem ajudar o professor a lidar com tal imprevisibilidade e que devem ser consideradas no planejamento e na gestão da sala de aula.

Para a autora:

A noção de professor reflexivo baseia-se na consciência da capacidade de pensamento e reflexão que caracteriza o ser humano como criativo e não como mero reprodutor de ideias e práticas que lhe são exteriores. É central, nesta conceptualização, a noção do profissional como uma pessoa que, nas situações profissionais, tantas vezes incertas e imprevistas, atua de forma inteligente e flexível, situada e reativa (ALARCÃO, 2011, p. 44, grifo nosso).

Fundamentada na concepção de professor reflexivo apresentada por Donald Schön, Alarcão (2011) destaca a importância de uma prática reflexiva embasada no conhecimento, na ação e em três tipos de reflexão: a reflexão na ação, a reflexão sobre a ação e a reflexão sobre a reflexão na ação.

A autora explica que a reflexão na ação acontece no decurso da própria ação, sem interrupções, embora com breves instantes de distanciamento: reformulamos o que estamos fazendo enquanto estamos fazendo.

Já a reflexão sobre a ação consiste em pensarmos retrospectivamente sobre a ação: reconstruímos a ação mentalmente e tentamos analisá-la.

Por fim, a reflexão sobre a reflexão na ação constitui-se em um processo de metarreflexão: pensamos sobre a reflexão que fizemos sobre a ação e encontramos novas formas de agir em situações futuras.

Alarcão (2011, p. 55) cita algumas estratégias de desenvolvimento da capacidade de reflexão, como:

a) a análise de casos;

b) as narrativas;

c) a elaboração de portfólios reveladores do processo de desenvolvimento seguido;

d) o questionamento dos outros atores educativos;

e) o confronto de opiniões e abordagens;

f) os grupos de discussão ou círculos de estudo;

g) a auto-observação;

h) a supervisão colaborativa;

i) as perguntas pedagógicas.

É importante destacar que o professor pode refletir sobre diversos aspectos, entre eles a gestão da sala de aula e os conhecimentos que possui em sua área de conhecimento. É justamente nesse processo reflexivo que pode romper com suas crenças sobre o ensino e os significados do componente curricular que ministra.

Com esse rompimento, a ampliação dos conhecimentos e a interação com os pares, o professor ganha mais segurança para planejar e pôr em prática situações vigorosas de ensino.

Os diferentes perfis dos estudantes

Considerar os diferentes perfis dos estudantes é de grande importância como forma de criar uma visão geral de cada estudante, assim como valorizar a multiplicidade e a diversidade individual e cultural. Essa visão influencia no processo ensino-aprendizagem. Dessa forma, criar um universo que facilite o aprendizado e a harmonia entre esses diversos perfis é de suma importância.

Gardner, em sua Teoria das Inteligências Múltiplas, considera que “a mente é um instrumento multifacetado de muitos componentes que não podem, de maneira legítima, ser capturados num simples instrumento, estilo lápis e papel”.

Estimular o pensamento crítico e a criatividade é relevante, dando oportunidade para que cada estudante possa analisar, filtrar, selecionar e usar informações novas, estabelecendo conexões entre os saberes que já possui e criando possibilidades para uso dos dados e dos pontos de vista, por meio de análises críticas, criativas e propositivas.

O desenvolvimento da capacidade argumentativa também deve ser estimulado, para que os estudantes tenham a oportunidade de opinar e apresentar seus próprios pontos de vista, tornando-se capazes não só de constatar fatos e emitir hipóteses mas também de justificar e defender suas ideias, quando confrontadas com os demais estudantes.

O estímulo à leitura de textos de diferentes gêneros é de grande importância e a inferência é um fator essencial que está relacionada à compreensão da leitura, no que se refere aos elementos explícitos e implícitos. Chegar a conclusões a partir de informações do texto é inferir, ou seja, concluir pelo raciocínio buscando sempre a essência do texto.

O trabalho em sala de aula

A gestão da sala de aula também inclui o tipo de relação que se constrói com os estudantes. É possível conceber relações verticais, em que o professor se posiciona como detentor do saber, ou relações horizontais, nas quais constrói uma gestão democrática, sem desconsiderar, porém, a assimetria naturalmente existente na relação professor-estudante.

A gestão democrática da sala de aula pode potencializar os trabalhos coletivos dos estudantes e abrir mais possibilidades de comunicação na relação professor-estudante, concebendo um espaço propício à aprendizagem voltada para as questões da cidadania, do respeito e da cooperação.

Há várias proposições que podem colaborar para que o professor alcance seus objetivos.

As propostas individuais permitem a mobilização de conhecimentos já elaborados, as atividades em duplas permitem uma interação mais focada e a discussão de ideias, e as organizações em grupos possibilitam trocas e debates.

O trabalho em pequenos grupos, por exemplo, potencializa a qualidade das aprendizagens e favorece a aquisição de conhecimentos pelos estudantes, a partir da interação entre eles (BONALS, 2003). Conhecer os estudantes, no entanto, é fundamental para agrupá-los de modo produtivo, a fim de que consigam expor suas ideias e fazer trocas sólidas e válidas.

Os agrupamentos podem considerar, dentre outros aspectos, o nível de conhecimento dos estudantes e a afinidade entre eles. Quando o nível de conhecimento dos estudantes é mais próximo, o diálogo pode ser mais equilibrado do que quando os conhecimentos de um estudante são muito diferentes dos de outro. Em tais situações, o diálogo pode nem acontecer, dada a dificuldade de compreensão das ideias entre eles.

Nos momentos em que os agrupamentos são organizados, o professor poderá circular pela sala de aula para observar como as interações acontecem para além das discussões sobre o conteúdo, identificando como está o nível de argumentação, de escuta e de articulação de ideias de cada um.

Em Matemática, um exemplo de agrupamento para desenvolver estratégias de cálculo mental pode ser a organização dos estudantes de modo ascendente, começando com o trabalho individual e evoluindo para duplas (em que cada estudante apresenta sua estratégia) e quartetos (em que os estudantes discutem e concluem qual é a estratégia mais econômica). O papel do professor, nesse tipo de atividade, é observar as estratégias individuais apresentadas pelos estudantes, pedindo que as expliquem, e fazer os agrupamentos em duplas e em quartetos a partir de suas observações (BIBIANO; SANTOMAURO; MARTINS, 2009).

Cabe destacar que o tipo de relação construída entre o professor e os estudantes inclui a forma como os erros e as ideias daqueles são recebidos por este. É possível que alguns estudantes deixem de fazer perguntas e de expor ideias quando sentirem que não são escutados ou que seus erros são repreendidos. A compreensão do erro como parte do processo de aprendizagem deve ser explorada com os estudantes. Esse tema tem sido estudado por muitos pesquisadores no campo da Educação Matemática. Alguns o fazem com o objetivo de entender os motivos que levam ao erro, investigando obstáculos que são colocados nos processos didáticos ou obstáculos que são construídos historicamente na produção dos conhecimentos. Outros analisam também o que os erros podem revelar sobre os estudantes. Há, ainda, aqueles que buscam diagnósticos de erros frequentes, caracterizando-os como problemas ou dificuldades de aprendizagem que necessitam de outros tipos de intervenção.

Reinaldo

Vignati

Para pensar a gestão da sala de aula, é necessário estabelecer um bom diálogo e uma escuta atenta para as situações de erro em sala de aula, as quais, muitas vezes, proporcionam uma aprendizagem potente e são descartadas somente por não se alinharem aos resultados esperados pelo professor.

Uma forma de o professor ativar a escuta e o olhar sensível para com o estudante e suas ações é perguntar-se frequentemente o que está acontecendo na sala de aula, mesmo que nada pareça acontecer, pois será com base em ações rotineiras e em erros muitas vezes desconsiderados que ele poderá construir uma relação mais aberta e mais sensível com os estudantes.

Como trabalhar com grupos grandes

Trabalhar com turmas que têm grande quantidade de estudantes é, certamente, um dos maiores desafios enfrentados pelo professor no exercício diário da prática docente. Pensar em caminhos que lhe possibilitem superar esse desafio leva-nos novamente a pensar na descentralização de seu papel no processo ensino-aprendizagem, como abordamos no tópico anterior.

É de grande importância refletirmos sobre novas metodologias para favorecer o aprendizado de grandes grupos de estudantes.

Essa descentralização pode ser obtida por meio da adoção de estratégias de ensino que coloquem os estudantes no centro da aprendizagem, como protagonistas do processo de construção do conhecimento (BRASIL, 2018), tendo o professor como mediador desse processo. Para isso, entendemos que se faz necessário aos estudantes desenvolver sua autonomia e interagir com seus pares em diferentes momentos e de diversas maneiras.

Essa interação entre pares também faz com que os próprios estudantes sejam mediadores do conhecimento e, portanto, promotores de aprendizagens para si e para os colegas.

Nessa direção, as metodologias ativas surgem como possível caminho para proporcionar aos estudantes meios para que consigam exercer o protagonismo e a autonomia em sua aprendizagem.

Moran (2017, p. 24) explica que as metodologias ativas “são estratégias de ensino centradas na participação efetiva dos estudantes na construção do processo de aprendizagem, de forma flexível, interligada, híbrida”.

Quando o professor trabalha com metodologias ativas, a construção do conhecimento, pelos estudantes, permite o desenvolvimento de diversas competências, entre elas:

• saber buscar e investigar informações com criticidade (critérios de seleção e priorização), a fim de atingir determinado objetivo, a partir da formulação de perguntas ou desafios dados pelos educadores;

• compreender a informação, analisando-a em diferentes níveis de complexidade, contextualizando-a e associando-a a outros conhecimentos;

• interagir, negociar e comunicar-se com o grupo, em diferentes contextos e momentos;

• conviver e agir com inteligência emocional, identificando e desenvolvendo atitudes positivas para a aprendizagem colaborativa;

• ter autogestão afetiva, reconhecendo atitudes interpessoais facilitadoras e dificultadoras para a qualidade da aprendizagem, lidando com o erro e as frustrações, e sendo flexível;

• tomar decisão individualmente e em grupo, avaliando os pontos positivos e negativos envolvidos;

• desenvolver a capacidade de liderança;

• resolver problemas, executando um projeto ou uma ação e propondo soluções (BRASIL, [2018?b], p. [1]).

Essas informações foram apresentadas por Glasser em forma de gráfico, dando origem à conhecida “pirâmide de aprendizagem” (DINIZ, 2021).

Aprendizagem ativa

Observando a “pirâmide de aprendizagem”, podemos facilmente concluir que, quanto mais interagimos com o outro e ampliamos o uso de nossas habilidades comunicativas, mais podemos aprender, o que nos leva a concluir também que existe uma profunda relação entre as metodologias ativas de ensino e a pirâmide de aprendizagem desenvolvida por Glasser.

Entre as principais metodologias ativas, destacamos as seguintes (SANTOS, 2021, p. [1]):

1. Sala de aula invertida: nessa prática, o professor inicialmente propõe aos alunos realizar uma tarefa específica ou pesquisar sobre determinado conteúdo antes de uma aula. Assim, durante a aula, o docente utiliza o que foi feito pelos alunos e, se necessário, complementa com mais explicações, momentos tira-dúvidas e com atividades e debates sobre o tema. Essa estratégia é um dos modelos de ensino híbrido.

2. Rotação por estações: consiste em organizar a sala de aula em pequenos grupos, nas chamadas estações, e, em cada uma delas, realiza-se uma tarefa diferente, embora todas estejam conectadas a um mesmo tema. A ideia é que os alunos façam um circuito por essas estações, passando por todas as atividades. O uso de um recurso digital em uma das estações pode ser útil para coletar dados sobre a aprendizagem dos alunos. Essa estratégia é outro modelo de ensino híbrido.

Reinaldo Vignati

3. Laboratório rotacional: segue dinâmica semelhante à da rotação, mas envolve outros espaços da escola. Aqui são formados dois grupos, sendo que um ficará no espaço com o professor (que não precisa ser a sala de aula) e o outro irá utilizar um recurso digital em outro local, como o laboratório de informática, a biblioteca ou outro espaço que cumpra a função. Novamente, as ferramentas digitais podem auxiliar a coleta de dados sobre a aprendizagem, possibilitando a personalização do ensino. Assim como as anteriores, trata-se de um modelo de ensino híbrido.

4. Aprendizagem baseada em projetos: possui várias definições, sendo um conceito bem amplo, que busca ensinar os conceitos curriculares aos alunos integrando várias disciplinas. É ideal que os projetos se baseiem em situações-problema reais do contexto escolar e dos alunos, buscando uma solução em forma de produto, o que vai envolver hipóteses, investigação, construção de um plano para a solução, e muito trabalho coletivo e colaborativo. Ao final, os estudantes podem compartilhar as soluções construídas com a turma toda, sendo mediados pelo professor.

5. Aprendizagem baseada em problemas: como o nome indica, utiliza problemas para a construção dos conceitos desejados pelo professor. É interessante que os problemas sejam baseados na realidade dos alunos, que podem resolvê-los de diversas formas – ou seja, são abertos e as respostas não podem ser obtidas por resoluções simples como a mera aplicação de uma fórmula. O processo de resolução dos problemas, inclusive, pode ser mais importante do que a própria solução, já que o docente pode analisar a compreensão dos alunos pelo modo como o resolveram. O trabalho em grupo ganha força com essa abordagem.

Embora as metodologias ativas sejam comumente associadas ao uso de tecnologias digitais, sabemos que estas, sozinhas, não têm o poder de promover a aprendizagem dos estudantes. O que, de fato, fará diferença no processo de ensino e aprendizagem será o planejamento das aulas pelo professor, tendo como foco a participação ativa dos estudantes nas atividades a serem realizadas.

O trabalho interdisciplinar

Embora os documentos curriculares oficiais e os livros desta e da maioria das coleções estejam organizados disciplinarmente, isto é, por componente curricular, as discussões sobre interdisciplinaridade estão presentes há muito tempo entre os professores e os pesquisadores interessados pelo tema.

A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) aponta que as aprendizagens essenciais definidas para cada etapa da Educação Básica só se materializarão mediante o conjunto de decisões que irão adequar as proposições da BNCC à realidade local (BRASIL, 2018), entre elas:

[...] decidir sobre formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares e fortalecer a competência pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à gestão do ensino e da aprendizagem (BRASIL, 2018, p. 16, grifo nosso).

Para possibilitar tais formas de organização curricular interdisciplinar, é preciso compreender a concepção de interdisciplinaridade e diferenciá-la de outras concepções que carregam o mesmo radical (“disciplina”), como multidisciplinaridade, pluridisciplinaridade e transdisciplinaridade

Segundo Nogueira (1998), a multidisciplinaridade ocorre em duas situações: quando há integração de diferentes conteúdos de uma mesma disciplina ou quando há justaposição de diferentes conteúdos de disciplinas distintas, sem, porém, nenhuma preocupação de integração.

Já a pluridisciplinaridade diz respeito à prática na qual já existem sinais de cooperação entre os diferentes componentes curriculares, mas ainda sem objetivos comuns. Não existe uma coordenação propriamente dita, sistemática, mas uma coordenação intuitiva.

Na interdisciplinaridade, por sua vez, “a tônica é o trabalho de integração das diferentes áreas do conhecimento. Um real trabalho de cooperação e troca, aberto ao diálogo e ao planejamento” (NOGUEIRA, 1998, p. 26, grifo nosso).

Por fim, como explica o autor, na transdisciplinaridade, as relações não seriam apenas de integração dos diferentes componentes curriculares, mas de um sistema sem fronteiras, em que a integração chegaria a um nível tão alto, que seria impossível distinguir os limites de cada um deles. Sabemos que a organização curricular por componente curricular viabiliza o processo ensino-aprendizagem, mas não devemos perder de vista que o conhecimento não se limita a uma ou a outra área. Na vida, os conteúdos estão integrados. Exemplo disso está na imagem a seguir.

Que componentes curriculares ou áreas do conhecimento estão presentes na cena?

Embora não haja “placas” que nos indiquem isso, sabemos que, de forma integrada, estão presentes conhecimentos sobre:

• cálculos, unidades de medida, números, formas geométricas (Matemática);

• força, gravidade, resistência (Física);

• compostos, materiais (Química);

• segurança no trabalho (Direito);

• comunicação oral e escrita, leitura de projetos (Língua Portuguesa);

• condições de trabalho e de empregabilidade (Sociologia);

• impacto ambiental (Ciências);

• formas de relevo, propriedades do solo (Geografia)... entre tantos outros.

Fazer essa análise ajuda-nos a entender que a realidade não é segmentada, ou seja, na vida, os conhecimentos das mais diferentes áreas interpenetram-se e inter-relacionam-se; existem de forma integrada.

E na escola? Como o professor pode superar a possível visão fragmentada de sua área de conhecimento, com enfoque meramente disciplinar?

Trabalhadores em um canteiro de obras.

Red ivory/Shutterstock.com

Uma das possibilidades é o trabalho com projetos interdisciplinares, sejam aqueles envolvendo professores de dois ou mais componentes curriculares, sejam aqueles desenvolvidos com os estudantes por um único professor, uma vez que este pode ter uma visão interdisciplinar de seu ensino e promovê-la em suas aulas.

Interdisciplinaridade, na verdade, é uma atitude. A integração deve ocorrer entre os saberes e não, necessariamente, entre os professores, embora saibamos que a realização de projetos interdisciplinares por dois ou mais docentes traz uma série de benefícios a todos os envolvidos, como engajamento da comunidade escolar, fortalecimento de vínculos, ampliação da capacidade de trabalhar em equipe, criação de ambientes mais colaborativos, entre outros.

Outra ideia equivocada que comumente encontramos nas escolas é de que projetos interdisciplinares precisam ser longos, por vezes, até exaustivos. Na verdade, a duração de um projeto interdisciplinar deverá ser condizente com a abrangência da temática desenvolvida, que, vale lembrar, precisa estar em consonância com situações-problemas reais vividas pelos estudantes.

Nesta coleção, as atividades são indicadas em consonância com os componentes curriculares definidos pela BNCC, no entanto, algumas propostas possibilitam um trabalho inter, multi ou pluridisciplinar, com base nas ampliações do professor. Em algumas atividades específicas, há indicações da possibilidade de trabalho interdisciplinar, a fim de auxiliar o professor em seu planejamento e na articulação de saberes.

Para trabalhar com essa perspectiva de diálogo entre os componentes curriculares, o professor precisa estar aberto ao diálogo com outros professores e atualizar constantemente seus conhecimentos, potencializando as ações pedagógicas.

Também, é necessário que tome alguns cuidados ao articular os componentes curriculares, pois algumas tentativas de aproximar conhecimentos em relação a um tema podem empobrecer o trabalho matemático, propondo relações artificiais ou reduzindo as atividades ao uso de tabelas e gráficos que, em geral, poderiam ser utilizados em uma grande diversidade de temas. Claro que o uso das tabelas e gráficos é importante, entretanto, as articulações entre os componentes curriculares devem ser mais ricas, proporcionando outros conhecimentos matemáticos igualmente importantes.

As práticas de pesquisa

Sabemos que, até pouco tempo, as “pesquisas” realizadas pelos estudantes, a pedido dos professores, resumiam-se a simples cópias de informações obtidas em livros e enciclopédias, prática que, com o advento da tecnologia, foi substituída pelos comandos “copiar” e “colar”, feitos no computador.

Nesse sentido, cabe uma reflexão: encontrar informações sobre determinado assunto, seja em suportes físicos ou digitais, e reproduzi-las consiste, de fato, no ato de pesquisar?

Lüdke e André (1986) afirmam que esse tipo de atividade não representa, verdadeiramente, o conceito de pesquisa, mas sim uma atividade de consulta que, embora importante para a aprendizagem dos estudantes, não esgota o sentido do termo.

Segundo as autoras, para a realização de uma pesquisa,

[...] é preciso promover o confronto entre os dados, as evidências, as informações coletadas sobre determinado assunto e o conhecimento teórico acumulado a respeito dele. Em geral, isso se faz a partir do estudo de um problema, que ao mesmo tempo desperta o interesse do pesquisador e limita sua atividade de pesquisa a uma determinada porção do saber, a qual ele se compromete a construir naquele momento. [...] Esse conhecimento é, portanto, fruto da curiosidade, da inquietação, da inteligência e da atividade investigativa dos indivíduos, a partir e em continuação do que já foi elaborado e sistematizado pelos que trabalharam o assunto anteriormente (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 1-2).

E assim, ano após ano, os estudantes seguem coletando e reproduzindo informações, sem, efetivamente, realizar pesquisas. Uma das razões para que isso aconteça seja, talvez, o fato de que precisem aprender a pesquisar, o que, muitas vezes, não acontece na escola.

Nessa direção, a pesquisadora brasileira Walkiria Rigolon, em entrevista concedida à Revista Ensino sobre o tema “Aprender a estudar” comenta que:

A escola, em geral, naturaliza alguns saberes, como se determinados conteúdos não precisassem ser ensinados, ou que pudessem ser aprendidos sem um modelo, sem apoio ou referência. Tratamos assim os procedimentos e técnicas de estudos como se fossem um dom natural (RIGOLON, 2017, p. [1]).

O ato de pesquisar, portanto, não é “natural”, e sim algo que precisa ser aprendido, sendo a escola lócus privilegiado para essa aprendizagem. Nessa perspectiva, os professores precisam criar situações de aprendizagem que possibilitem aos estudantes o desenvolvimento de algumas habilidades, entre elas:

• localizar, selecionar e compartilhar informações;

• ler, compreender e interpretar textos com maior grau de complexidade;

• consultar, de forma crítica, fontes de informação diferentes e confiáveis;

• formar e defender opiniões;

• argumentar de forma respeitosa;

• sintetizar;

• expor oralmente o que aprendeu apoiando-se em diferentes recursos;

• generalizar conhecimentos;

• produzir gêneros acadêmicos (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Se o desenvolvimento dessas e de outras habilidades necessárias ao ato de pesquisar constituir-se em ponto de atenção dos professores de diferentes componentes curriculares, certamente o processo ensino-aprendizagem ganhará outras dimensões, pois proporcionará aos estudantes que aprendam e se desenvolvam em diferentes áreas do conhecimento, de forma ativa e autônoma.

É de extrema importância a orientação do professor para o planejamento e para o acompanhamento das pesquisas realizadas pelos estudantes.

Ao propor aos estudantes a realização de uma pesquisa, é fundamental que o professor compartilhe com eles:

[...] por que a pesquisa será feita, que relação ela terá com o que estão aprendendo ou aprenderão e qual será o tempo estipulado para sua realização, entre outras informações que ajudem a contextualizar e problematizar a temática a ser investigada. Esse compartilhamento tem por objetivo criar nos estudantes expectativas que os ajudem a atribuir significado e sentido ao ato de pesquisar (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Outro ponto importante é a elaboração coletiva do roteiro, que deverá explicitar as etapas da pesquisa, [...] desde o levantamento inicial das informações, a seleção de diversas fontes, a leitura de todo o material selecionado, a utilização dos procedimentos de estudo para aprofundamento das leituras e os registros das aprendizagens construídas, até a apresentação dos resultados obtidos, garantindo que existam ao longo desse processo, sobretudo, momentos de compartilhamento do que se aprendeu (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Nessa perspectiva, o professor deverá atentar-se à forma como avaliará o trabalho realizado pelos estudantes, pois considerar apenas o resultado, e não o processo como um todo, seria incorrer em uma visão reducionista do processo ensino-aprendizagem.

Uma boa estratégia complementar à avaliação do professor é a realização da autoavaliação pelos estudantes e pelo próprio grupo. Assim, eles podem autoavaliar-se em cada etapa do processo de pesquisa,

[...] identificando suas dificuldades, os desafios do ato de pesquisar e, principalmente, seus avanços. Com essa estratégia de avaliação, é possível observar, por exemplo, que um estudante se saiu muito bem na seleção de material, porém não teve o mesmo êxito ao apresentar oralmente seus resultados; ou que teve sucesso na apresentação dos resultados, mas selecionou fontes não confiáveis. Nesse contexto, a avaliação final consideraria todas as etapas da produção da pesquisa, sem focar apenas um quesito (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Destacamos que o ensino sistemático da pesquisa desde os primeiros anos de escolaridade contribui para que os estudantes não cheguem aos Anos Finais da Educação Básica sem desenvolver essa capacidade que, certamente, será fundamental para o sucesso de seus estudos na universidade.

Veja como isso se materializa na BNCC (BRASIL, 2018, p. 305, 311, 315 e 319):

• 6? ano: (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

• 7? ano: (EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

• 8? ano: (EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

• 9? ano: (EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e o ensino da Matemática

A BNCC apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais que todos os estudantes devem desenvolver ao longo da Educação Básica, de modo que tenham assegurados seus direitos de aprendizagem e desenvolvimento, conforme estabelecido no Plano Nacional de Educação (PNE).

Ao longo desse período, as aprendizagens essenciais definidas no documento devem contribuir para assegurar aos estudantes o desenvolvimento de dez competências gerais que consolidam, no âmbito pedagógico, os direitos de aprendizagem e desenvolvimento.

A BNCC define competência como

[...] a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho (BRASIL, 2018, p. 8).

Vale comentar que, entre os marcos legais que embasam a BNCC, estão a Constituição Federal (CF) de 1988, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) no 9.394/1996 e a Lei no 13.005/2014, que promulgou o PNE.

A Constituição Federal, trinta anos antes da publicação integral da BNCC, já anunciava, em seu artigo 210, a concepção de currículo comum:

Serão fixados conteúdos mínimos para o Ensino Fundamental, de maneira a assegurar formação básica comum e respeito aos valores culturais e artísticos, nacionais e regionais (BRASIL, 2016, p. 124, grifo nosso).

Da mesma forma, a LDB, em seus artigos 9o (inciso IV) e 26o, anos antes da publicação da BNCC, já expressava essa concepção:

[Cabe à União] [...] estabelecer, em colaboração com os Estados, o Distrito Federal e os Municípios, competências e diretrizes para a educação infantil, o ensino fundamental e o ensino médio, que nortearão os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum (BRASIL, 2017, p. 12, grifo nosso).

[...]

Os currículos da educação infantil, do ensino fundamental e do ensino médio devem ter uma base nacional comum, a ser complementada, em cada sistema de ensino e em cada estabelecimento escolar, por uma parte diversificada, exigida pelas características regionais e locais da sociedade, da cultura, da economia e dos educandos (BRASIL, 2017, p. 19, grifo nosso).

Da mesma forma, na meta 7 do PNE, estratégia 7.1, também já se fazia presente a concepção de currículo comum: (7.1) estabelecer e implantar, mediante pactuação interfederativa, diretrizes pedagógicas para a básica e a base nacional comum dos currículos, com direitos e objetivos de aprendizagem e desenvolvimento dos(as) alunos(as) para cada ano do ensino fundamental e médio, respeitada a diversidade regional, estadual e local (BRASIL, 2014, p. [1], grifos nossos).

Também é importante mencionar que a BNCC tem como fundamentos pedagógicos o foco no desenvolvimento de competências e o compromisso com a educação integral. Com relação ao primeiro fundamento pedagógico, a BNCC indica que [...] as decisões pedagógicas devem estar orientadas para o desenvolvimento de competências. Por meio da indicação clara do que os alunos devem “saber” [...] e,

sobretudo, do que devem “saber fazer” [...], a explicitação das competências oferece referências para o fortalecimento de ações que assegurem as aprendizagens essenciais definidas na BNCC (BRASIL, 2018, p. 13).

Com relação ao segundo fundamento pedagógico, a BNCC reconhece que [...] a Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento humano global, o que implica compreender a complexidade e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão intelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do adolescente, do jovem e do adulto – considerando-os como sujeitos de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas suas singularidades e diversidades (BRASIL, 2018, p. 14).

Para que as aprendizagens essenciais definidas para cada etapa da Educação Básica se materializem, faz-se necessário que as proposições da BNCC sejam adequadas à realidade local. Nesse sentido, algumas ações precisam ser tomadas pela comunidade escolar, entre elas:

• contextualizar os conteúdos dos componentes curriculares, identificando estratégias para apresentá-los, representá-los, exemplificá-los, conectá-los e torná-los significativos, com base na realidade do lugar e do tempo nos quais as aprendizagens estão situadas;

• decidir as formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares e fortalecer a competência pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à gestão do ensino e da aprendizagem;

• selecionar e aplicar metodologias e estratégias didático-pedagógicas diversificadas, recorrendo a ritmos diferenciados e a conteúdos complementares, se necessário, para trabalhar as necessidades de diferentes grupos de estudantes, suas famílias e cultura de origem, suas comunidades, seus grupos de socialização etc.;

• conceber e pôr em prática situações e procedimentos para motivar e engajar os estudantes nas aprendizagens;

• construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa de processo ou de resultado que levem em conta os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros como referência para melhorar o desempenho da escola, dos professores e dos estudantes;

• selecionar, produzir, aplicar e avaliar recursos didáticos e tecnológicos para apoiar o processo de ensinar e aprender;

• criar e disponibilizar materiais de orientação para os professores, bem como manter processos permanentes de formação docente que possibilitem contínuo aperfeiçoamento dos processos de ensino e aprendizagem;

• manter processos contínuos de aprendizagem sobre gestão pedagógica e curricular para os demais educadores, no âmbito das escolas e dos sistemas de ensino (BRASIL, 2018, p. 16-17).

Implicações da BNCC no ensino de Matemática no contexto da sala de aula

No componente curricular de Matemática, é necessário destacar quais são as concepções assumidas sobre o ensino da área e como os conhecimentos organizam-se no período escolar.

Segundo a BNCC, equivalência, ordem, proporcionalidade, interdependência, representação, variação e aproximação são algumas das ideias fundamentais da área que precisam ser consideradas no desenvolvimento do pensamento matemático dos estudantes por meio de objetos de conhecimento. Essas ideias fundamentais perpassam as cinco unidades temáticas que compõem a Matemática escolar proposta pelo documento.

As unidades temáticas são uma forma de organizar os conhecimentos matemáticos, mas é importante salientar que, no trabalho a ser desenvolvido com os estudantes, elas devem estar inter-relacionadas.

Vejamos algumas informações acerca de cada uma dessas unidades temáticas, especificamente na etapa dos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Números

Por meio da exploração de campos numéricos, essa unidade temática inclui o desenvolvimento das ideias fundamentais de aproximação, proporcionalidade, equivalência e ordem.

Nos Anos Finais do Ensino Fundamental, os estudantes devem ampliar suas habilidades de operar com números naturais, inteiros e racionais. Os números irracionais também devem ser explorados, de acordo com a percepção dos estudantes e de sua necessidade, em situações nas quais os números racionais não são suficientes, por exemplo, em contextos geométricos. O cálculo e a compreensão de porcentagem bem como a identificação de números na reta numérica, explorando ordem, ampliam ainda mais o trabalho com essa unidade temática.

Os conceitos básicos de economia e finanças, que visam à educação financeira dos estudantes, também compõem o trabalho e facilitam a interlocução com outras áreas do conhecimento.

[...] podem ser discutidos assuntos como taxa de juros, inflação, aplicações financeiras (rentabilidade e liquidez de um investimento) e impostos. Essa unidade temática favorece um estudo interdisciplinar envolvendo as dimensões culturais, sociais, políticas e psicológicas, além da econômica sobre as questões do consumo, trabalho e dinheiro (BRASIL, 2018, p. 269).

Álgebra

Essa unidade temática envolve o desenvolvimento do pensamento algébrico, relacionado à identificação de regularidades e padrões, tanto em sequências numéricas como não numéricas, à construção ou à compreensão de leis matemáticas que representem relações de interdependência entre grandezas diversas e, também, às diversas representações gráficas e simbólicas. Os objetos de conhecimento dessa unidade relacionam-se às ideias de equivalência, variação, interdependência e proporcionalidade

[...] Em síntese, essa unidade temática deve enfatizar o desenvolvimento de uma linguagem, o estabelecimento de generalizações, a análise da interdependência de grandezas e a resolução de problemas por meio de equações ou inequações (BRASIL, 2018, p. 270).

Vale destacar que essa unidade temática deve ser explorada desde os Anos Iniciais do Ensino Fundamental, mas cabe aos Anos Finais dar continuidade a ela, explorando as variáveis numéricas em expressões, estabelecendo generalizações, investigando novas regularidades e padrões, identificando valores desconhecidos, entre outras habilidades.

Além disso, segundo a BNCC, os conhecimentos envolvidos nessa e em outras unidades temáticas podem dar grande sustentação para o pensamento computacional, já que desenvolvem a capacidade de traduzir situações em linguagens específicas.

Números Álgebra

Geometria

Grandezas e medidas

Probabilidade e Estatística

Reinaldo Vignati

Geometria

Os objetos de conhecimento e as competências inseridos nessa unidade temática buscam desenvolver o pensamento geométrico, que propicia ao estudante um novo olhar para o mundo físico, por meio da exploração e do estudo de espaços, deslocamentos, formas, incluindo figuras planas e espaciais. Quanto ao aspecto funcional, essa unidade engloba as transformações geométricas.

Para o trabalho com os objetos de conhecimento, é importante considerar o desenvolvimento das ideias de construção, representação e interdependência

A BNCC destaca o trabalho com os conceitos de congruência e semelhança, de modo que os estudantes sejam capazes de realizar demonstrações simples, e enfatiza o quanto as atividades não podem ser reduzidas à aplicação de fórmulas ou aplicações imediatas de teoremas, já que pode haver outras formas e estratégias de resolver as problemáticas propostas.

Grandezas e medidas

O trabalho com medidas e com a relação entre elas pode ser um ponto integrador tanto com outras unidades temáticas (ampliação da noção de número, por exemplo) como com outros componentes curriculares (uso de escalas em mapas no campo da Geografia, por exemplo). É esperado que, nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, os estudantes reconheçam as unidades de medidas convencionais, para que o tema possa ser ampliado nos Anos Finais, com a exploração de densidade, velocidade e capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

Probabilidade e estatística

Essa unidade temática trata da parte da Matemática que lida com o incerto, com o tratamento de dados e o desenvolvimento das habilidades de coletar, organizar, representar, interpretar e analisar dados. Tais habilidades possibilitam um olhar crítico para as situações do dia a dia, de modo a permitir que os estudantes analisem a ocorrência de eventos ou identifiquem dados de determinadas situações que revelem necessidades de uma comunidade, de uma instituição ou de qualquer outro espaço. Esse tipo de conhecimento também alicerça a tomada de decisões, pois torna possível a antecipação de situações para se evitarem escolhas vazias.

O uso de tecnologias digitais

Como mencionamos, o mundo em que vivemos está em constante transformação, e boa parte das mudanças ocorridas, sem dúvida, tem sido ocasionada pelo significativo avanço tecnológico das últimas décadas. Hoje, as tecnologias digitais estão presentes não apenas nas grandes empresas mas também nas escolas e nas casas das pessoas.

Conforme aponta a BNCC (BRASIL, 2018), essas constantes mudanças advindas do avanço tecnológico repercutem na forma como as pessoas se comunicam, se relacionam, aprendem e trabalham, impactando diretamente no funcionamento da sociedade.

A preocupação com esse impacto está expressa na Base e se explicita na competência geral 5 para a Educação Básica:

Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva (BRASIL, 2018, p. 9).

A BNCC tematiza três dimensões que caracterizam a computação e as tecnologias digitais – o pensamento computacional, o mundo digital e a cultura digital – que, em articulação com as competências gerais, também foram contempladas nas competências específicas e nas habilidades dos diferentes componentes curriculares do Ensino Fundamental, respeitadas as características dessa etapa.

Nesse contexto, é preciso lembrar que incorporar as tecnologias digitais na educação não se trata de utilizá-las somente como meio ou suporte para promover

aprendizagens ou despertar o interesse dos alunos, mas sim de utilizá-las com os alunos para que construam conhecimentos com e sobre o uso dessas TDICs (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Na área de Matemática, a BNCC destaca o uso de tecnologias digitais como calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares de Geometria dinâmica para auxiliar na construção de figuras geométricas e suas transformações bem como na organização e na apresentação de dados. O documento salienta a necessidade do uso dessas e de outras tecnologias, digitais ou não, estarem integradas a situações que propiciem a reflexão dos estudantes, contribuindo para a sistematização e a formalização dos conceitos matemáticos (BRASIL, 2018).

Destacamos que, além de usar as tecnologias digitais apontadas pela BNCC, os estudantes sejam estimulados e orientados a produzir materiais multimidiáticos diversos, como histórias em quadrinhos digitais – para contar, por exemplo, a história da Matemática –, fanpages, blogs, podcasts, vídeos, entre outros.

Produzindo materiais desse tipo, eles passam a usar a tecnologia de forma ativa, deixando de ser apenas consumidores de informação para serem produtores de conhecimento.

O pensamento computacional

O pensamento computacional, uma das três dimensões que caracterizam a computação e as tecnologias digitais, conforme apresentado pela BNCC, envolve a compreensão de algoritmos e fluxogramas que permeiam os meios digitais e estão intimamente relacionados às competências matemáticas.

Segundo a Base, no Ensino Fundamental, a área de Matemática “centra-se na compreensão de conceitos e procedimentos em seus diferentes campos e no desenvolvimento do pensamento computacional, visando à resolução e formulação de problemas em contextos diversos” (BRASIL, 2018, p. 471).

Em outras palavras:

O pensamento computacional pode ser definido como uma estratégia usada para desenhar soluções e solucionar problemas de maneira eficaz tendo a tecnologia como base. Ao contrário do que a expressão pode inferir, não necessariamente significa o que está ligado à programação de computadores ou mesmo à navegação na internet, à utilização de redes sociais, entre outros.

[...] Resumidamente, [pensamento computacional] seria a capacidade criativa, crítica e estratégica de utilizar as bases computacionais nas diferentes áreas de conhecimento para a resolução de problemas (A LÓGICA..., [202-], p. [2]).

O pensamento computacional pode ser organizado em quatro etapas – decomposição, reconhecimento de padrões, abstração e algoritmos –, conforme ilustrado no infográfico a seguir.

Os 4 pilares do Pensamento Computacional Decomposição

Dividir um problema complexo em pequenas par tes, a m de solucioná-lo com mais facilidade.

Reconhecimento de padrões

Identi car aspectos comuns nos processos, encontrar o padrão ou os padrões que podem ajudar na solução.

Abstração

Priorizar elementos e processos importantes, diferenciando-os dos detalhes menos relevantes. Dessa forma, a solução pode ser válida para vários problemas diferentes

Algoritmos

Estipular uma ordem ou uma sequência de passos para resolver o problema, a partir das etapas anteriores. É a utilização da lógica e da racionalidade para a busca de uma solução.

Fonte: FERNANDES, Ester. O que é pensamento computacional? In: EDUCAPES. [Brasília, DF]: Portal eduCAPES, 25 mar. 2021. Disponível em: https://educapes.capes.gov.br/handle/capes/597639. Acesso em: 24 maio 2022.

Reinaldo Vignati

Entre as capacidades envolvidas no pensamento computacional, a BNCC destaca “as capacidades de compreender, analisar, definir, modelar, resolver, comparar e automatizar problemas e suas soluções, de forma metódica e sistemática, por meio do desenvolvimento de algoritmos” (BRASIL, 2018, p. 474).

Para alguns professores, a falta de computadores nas escolas ou de acesso à internet pode representar um grande desafio na hora de promover atividades relacionadas ao desenvolvimento do pensamento computacional dos estudantes, entretanto, é possível realizar as atividades com os recursos didático-pedagógicos disponíveis, usando a lógica do pensamento computacional. Desenvolver o pensamento computacional “envolve mais a lógica de resolução e análise de problemas do que de fato aplicá-los ao mundo digital” (A LÓGICA..., [202-], p. [2]).

O desenvolvimento de competências e habilidades

A BNCC oferece-nos um bom aporte para o entendimento do que são competências e habilidades, a partir da observação de como o documento está estruturado.

No caso do Ensino Fundamental, essa etapa está organizada em cinco áreas do conhecimento. Cada uma delas estabelece suas competências específicas de área, “cujo desenvolvimento deve ser promovido ao longo dos nove anos. Essas competências explicitam como as dez competências gerais se expressam nessas áreas” (BRASIL, 2018, p. 28, grifo nosso). Também são definidas as competências específicas do componente curricular, que deverão ser desenvolvidas pelos estudantes ao longo dos nove anos que constituem essa etapa de escolarização. Por fim, para que se garanta o desenvolvimento dessas competências específicas, cada componente curricular apresenta um conjunto de habilidades, que “estão relacionadas a diferentes objetos de conhecimento – aqui entendidos como conteúdos, conceitos e processos –, que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas” (BRASIL, 2018, p. 28, grifo do autor).

Esquematizando, temos o seguinte:

Competências gerais

Competências especí cas da área do conhecimento

Competências especí cas do componente curricular Unidades temáticas

Objetos de conhecimento

Habilidades

Como podemos observar, as competências “contêm” as habilidades, o que pode ficar ainda mais claro quando nos atentamos à definição de competência apresentada pela BNCC. No documento, competência é definida como “a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho” (BRASIL, 2018, p. 8, grifo nosso).

Esquematizando novamente, temos o seguinte:

Atitudes e valores

Conhecimentos

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf Acesso em: 24 maio 2022.

Vale destacar que as competências específicas do componente curricular [...] possibilitam a articulação horizontal entre as áreas, perpassando todos os componentes curriculares, e também a articulação vertical, ou seja, a progressão entre o Ensino Fundamental – Anos Iniciais e o Ensino Fundamental – Anos Finais e a continuidade das experiências dos alunos, considerando suas especificidades” (BRASIL, 2018, p. 28, grifo do autor).

Tomemos como exemplo disso e da relação existente entre as competências (amplas) e as habilidades (específicas) a competência específica 4 para o Ensino Fundamental:

Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

Para que os estudantes desenvolvam essa competência específica ao longo de todo o Ensino Fundamental, eles devem desenvolver as habilidades a seguir relacionadas a diferentes objetos de conhecimento.

(EF02MA23) Realizar pesquisa em universo de até 30 elementos, escolhendo até três variáveis categóricas de seu interesse, organizando os dados coletados em listas, tabelas e gráficos de colunas simples.

(EF03MA28) Realizar pesquisa envolvendo variáveis categóricas em um universo de até 50 elementos, organizar os dados coletados utilizando listas, tabelas simples ou de dupla entrada e representá-los em gráficos de colunas simples, com e sem uso de tecnologias digitais.

(EF04MA24) Registrar as temperaturas máxima e mínima diárias, em locais do seu cotidiano, e elaborar gráficos de colunas com as variações diárias da temperatura, utilizando, inclusive, planilhas eletrônicas.

(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018, p. 267, 285, 289, 293, 305, 311 e 319. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Temas Contemporâneos Transversais (TCTs)

Além do grande avanço tecnológico mencionado anteriormente, que não pode ser ignorado pelos currículos escolares, outros temas contemporâneos precisam ser considerados no ensino dessa nova geração de estudantes. Segundo a BNCC, as escolas devem incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas a abordagem de 15 temas contemporâneos que afetam a vida humana em escala local, regional e global, presentes em seis macroáreas, conforme a seguir.

Temas Contemporâneos Transversais

• Vida Familiar e Social

• Educação para o Trânsito

MEIO AMBIENTE

• Educação Ambiental

• Educação para o Consumo

• Trabalho

ECONOMIA

• Educação Financeira

• Educação Fiscal

SAÚDE

• Saúde

• Educação Alimentar e Nutricional

CIDADANIA E CIVISMO

• Educação em Direitos Humanos

• Direitos da Criança e do Adolescente

• Processos de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

• Diversidade Cultural

MULTICULTURALISMO

• Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

CIÊNCIA E TECNOLOGIA • Ciência e Tecnologia

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Caderno economia: Educação Financeira, Educação Fiscal, trabalho. Coordenação-geral de Maria Luciana da Silva Nóbrega. Brasília, DF: MEC, 2022. (Série Temas Contemporâneos Transversais: Base Nacional Comum Curricular). p. 16. Disponível em: http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/cadernos_tematicos/caderno_economia_consolidado_v_final_09_03_2022.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

A abordagem desses temas contemporâneos deve se dar, preferencialmente, de forma transversal e integradora, uma vez que não pertence a uma área do conhecimento em particular, mas atravessa todas elas.

Na BNCC, essas temáticas são contempladas em habilidades dos componentes curriculares, cabendo às escolas tratá-las de forma contextualizada, de acordo com a realidade de sua comunidade escolar.

Como podemos ver, esses temas são amplos e permitem a articulação de conhecimentos e habilidades de diversos componentes curriculares, na tentativa de superar a fragmentação do conhecimento, favorecendo sua aplicação no cotidiano.

No caso dos conhecimentos matemáticos, é possível mostrar como o componente curricular se aplica nos diferentes temas, tornando-a um vigoroso instrumento na busca de soluções em diferentes situações.

Nos Anos Finais do Ensino Fundamental, tais temas podem ser apresentados com mais profundidade, pois se espera que os estudantes já tenham entrado em contato com inúmeras questões de ordem social, cultural e política. Espera-se também que eles possam ampliar os conhecimentos de modo mais articulado.

Nessa etapa, é imprescindível olhar para as vivências e as necessidades dos estudantes em seus mais variados contextos, incluindo conhecimentos do componente curricular e de temas contemporâneos.

Nosso objetivo também é o desenvolvimento dos estudantes, tendo em vista a continuação dos estudos no Ensino Médio, contribuindo, assim, positivamente para a construção da trajetória e do projeto de vida deles.

Veja no quadro a seguir alguns dos Temas Contemporâneos Transversais contemplados em cada volume da coleção.

Reinaldo Vignati

6o ano Educação para o Consumo Educação Alimentar e Nutricional

7o ano Educação Ambiental

Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

8o ano Educação em Direitos Humanos Direitos da Criança e do Adolescente

9o ano Ciência e Tecnologia Educação Financeira

Cultura juvenil

Conforme mencionamos em tópicos anteriores, a BNCC tem como um de seus fundamentos pedagógicos o compromisso com a educação integral, entendida como a “construção intencional de processos educativos que promovam aprendizagens sintonizadas com as necessidades, as possibilidades e os interesses dos estudantes e, também, com os desafios da sociedade contemporânea”, o que “supõe considerar as diferentes infâncias e juventudes, as diversas culturas juvenis e seu potencial de criar novas formas de existir” (BRASIL, 2018, p. 14, grifo nosso).

Como vemos, cultura juvenil é um tema que está presente no documento, por isso é importante entendermos como se manifesta entre os estudantes do Ensino Fundamental – Anos Finais.

A entrada nessa etapa de escolarização corresponde ao período de transição dos estudantes, da infância para a adolescência, momento marcado por profundas transformações, não apenas orgânicas mas também psicossociais. Como aponta o Parecer CNE/CEB no 11/2010 (BRASIL, 2010a), nesse período, também se modificam as relações sociais e os laços afetivos e se ampliam as possibilidades intelectuais, resultando na capacidade de raciocinar de forma mais abstrata. Os estudantes desenvolvem a capacidade de descentração, isto é, de ver os fatos sob a perspectiva do outro, “importante na construção da autonomia e na aquisição de valores morais e éticos” (BRASIL, 2010a, p. 9).

As Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica destacam que, entre os estudantes dos Anos Finais do Ensino Fundamental, frequentemente, observa-se uma

[...] forte adesão aos padrões de comportamento dos jovens da mesma idade, o que é evidenciado pela forma de se vestir e também pela linguagem utilizada por eles. Isso requer dos educadores maior disposição para entender e dialogar com as formas próprias de expressão das culturas juvenis, cujos traços são mais visíveis, sobretudo, nas áreas urbanas mais densamente povoadas (BRASIL, 2013, p. 110, grifo nosso).

Segundo Prado (2012, p. 68), podemos entender cultura juvenil como a maneira com que “os jovens se manifestam no grupo, por meio da construção de vários estilos e formas de vida”. O autor ressalta que a cultura juvenil muda conforme a época e o local onde a pessoa vive.

Martins e Carrano, citando Cruz (2000, p. 11 apud MARTINS; CARRANO, 2011, p. 48), explicam que as culturas juvenis resultam de um conjunto de “práticas arraigadas no âmbito local que se alimentam incessantemente de elementos da cultura globalizada”. Desse modo, estão “baseadas no consumo de bens materiais e simbólicos que permitem observar as ligações entre o local e o global e as maneiras que as culturas se inter-relacionam e interagem naquele espaço”.

Não há como pensarmos na cultura globalizada, mencionada pelos autores, sem associá-la ao avanço tecnológico e às profundas transformações por ele provocadas na sociedade atual, sendo uma delas a inserção das pessoas na cultura digital, não apenas como consumidoras mas também como produtoras de informações e conhecimentos.

Com nossos estudantes dos Anos Finais do Ensino Fundamental não é diferente, afinal, mais do que muitos adultos, até, eles estão absolutamente imersos nessa “nova” cultura. Como aponta a BNCC, os adolescentes

[...] têm se engajado cada vez mais como protagonistas da cultura digital, envolvendo-se diretamente em novas formas de interação multimidiática e multimodal e de atuação social em rede, que se realizam de modo cada vez mais ágil. Por sua vez, essa cultura também apresenta forte apelo emocional e induz ao imediatismo de respostas e à efemeridade das informações, privilegiando análises superficiais e o uso de imagens e formas de expressão mais sintéticas, diferentes dos modos de dizer e argumentar característicos da vida escolar (BRASIL, 2018, p. 61).

Diante dessa realidade, a escola se depara com alguns desafios na formação dos estudantes, dentre eles:

• estimular a reflexão e a análise aprofundada, contribuindo para o desenvolvimento, nos estudantes, de uma atitude crítica em relação ao conteúdo e à multiplicidade de ofertas midiáticas e digitais;

• compreender e incorporar as novas linguagens e seus modos de funcionamento, descobrindo possibilidades de comunicação com eles;

• educá-los para usos mais democráticos das tecnologias e para uma participação mais consciente na cultura digital

Podemos citar, ainda, o desafio enfrentado pela escola de tornar mais harmônica e próxima possível a relação entre professores e estudantes, pois são pessoas de diferentes gerações. Como ressaltam Martins e Carrano (2011, p. 54), é necessário que a escola esteja atenta “para reconhecer que as culturas juvenis não se encontram subordinadas às relações de dominação ou resistência impostas pelas culturas das gerações mais velhas”. Esse reconhecimento, segundo os autores

[...] pode auxiliar a construção de projetos pedagógicos e processos culturais que aproximem professores e alunos. Através da elaboração de linguagens em comum, a escola pode recuperar seu prestígio entre os jovens, bem como o prazer deles estarem em um lugar que podem chamar de seu na medida em que são reconhecidos como sujeitos produtores de cultura (MARTINS; CARRANO, 2011, p. 54).

Vale lembrar que, para haver aprendizagem, é preciso que os estudantes vejam sentido naquilo que aprendem. Daí a importância e a necessidade de se inserirem no currículo escolar temas ligados às culturas juvenis e de os contextos em que vivem os jovens serem reconhecidos e valorizados pela comunidade escolar.

oneinchpunch/Shutterstock.com

Conhecer os estudantes, seus hábitos e gostos é de extrema importância para aproximar o aprendizado do cotidiano deles.

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018, p. 61. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Projeto de vida

Quando pensamos em projeto de vida, é muito comum pensarmos nos jovens e nos adultos fazendo planos para seu futuro, especialmente na esfera profissional, mas fazer planos, projetar o futuro não é algo que acontece naturalmente com todas as pessoas. Para muitas, isso demanda aprendizagem; é preciso aprender a se organizar e a selecionar as ações que levarão à concretização de seus planos que, em última instância, são reflexos de seus sonhos, seus desejos, seus interesses. E essa aprendizagem não acontece da noite para o dia, mas de forma gradual e contínua.

Tanto é assim que, entre as dez competências gerais apresentadas pela BNCC, as quais deverão ser desenvolvidas pelos estudantes ao longo da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio), está a competência geral 6, que faz referência ao projeto de vida, conforme destacamos a seguir: Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade (BRASIL, 2018, p. 9, grifo nosso).

Assim, entre os maiores desafios que se apresentam à escola esteja, talvez, o de conseguir conectar o currículo escolar aos projetos de vida dos estudantes, sejam eles relacionados ao estudo ou ao trabalho.

Nessa direção, no Ensino Fundamental – Anos Finais, a escola pode contribuir para o delineamento do projeto de vida dos estudantes, ao estabelecer uma articulação não somente com os anseios desses jovens em relação ao seu futuro como também com a continuidade dos estudos no Ensino Médio. Esse processo de reflexão sobre o que cada jovem quer ser no futuro, e de planejamento de ações para construir esse futuro, pode representar mais uma possibilidade de desenvolvimento pessoal e social (BRASIL, 2018, p. 62).

Projeto de vida é um tema que deve ser trabalhado em todos os componentes curriculares, sempre que possível de forma interdisciplinar.

Se considerarmos que o projeto de vida pode se relacionar não apenas ao estudo e ao trabalho mas também às escolhas de estilos de vida, no ensino de Matemática, desde a Educação Infantil, os professores poderão trabalhar, por exemplo, a Educação Financeira, um dos temas contemporâneos transversais propostos pela BNCC, para desenvolver nos estudantes a percepção do dinheiro e de seu valor bem como a importância de se usar os recursos financeiros de modo responsável e consciente.

Os objetivos e as metas a serem atingidas são de extrema importância para planejar o futuro.

Cultura de paz

Em Assembleia Geral de 6 de outubro de 1999, as Nações Unidas definiram a cultura de paz como sendo

[...] um conjunto de valores, atitudes, tradições, comportamentos e estilos de vida baseados:

a) No respeito à vida, no fim da violência e na promoção e prática da não violência por meio da educação, do diálogo e da cooperação;

b) No pleno respeito aos princípios de soberania, integridade territorial e independência política dos Estados e de não ingerência nos assuntos que são, essencialmente, de jurisdição interna dos Estados, em conformidade com a Carta das Nações Unidas e o direito internacional;

c) No pleno respeito e na promoção de todos os direitos humanos e liberdades fundamentais;

d) No compromisso com a solução pacífica dos conflitos;

e) Nos esforços para satisfazer as necessidades de desenvolvimento e proteção do meio ambiente para as gerações presente e futura;

f) No respeito e promoção do direito ao desenvolvimento;

g) No respeito e fomento à igualdade de direitos e oportunidades de mulheres e homens;

h) No respeito e fomento ao direito de todas as pessoas à liberdade de expressão, opinião e informação;

i) Na adesão aos princípios de liberdade, justiça, democracia, tolerância, solidariedade, cooperação, pluralismo, diversidade cultural, diálogo e entendimento em todos os níveis da sociedade e entre as nações;

[...] e animados por uma atmosfera nacional e internacional que favoreça a paz (NAÇÕES UNIDAS, 1999, p. [1]).

Respeito à vida, não violência, diálogo e cooperação, entre outros valores e atitudes presentes nessa definição, podem e devem ser trabalhados na escola, com o objetivo de promover uma cultura de paz que possa ser levada para outros contextos de vida dos estudantes, como a família e a sociedade. Incentivar, na escola, um ambiente de respeito às diferenças, por exemplo, é um bom caminho para essa promoção, visto que a escola, assim como a realidade social que a cerca, caracteriza-se pela diversidade humana, seja ela racial, de gênero, regional, política ou religiosa.

Para a escola conseguir estabelecer a cultura de paz dentro e fora de seus muros, é fundamental que os estudantes sejam incentivados a assumir o protagonismo dessa ação e que toda a comunidade escolar seja envolvida nesse trabalho.

Estratégias que oportunizem aos estudantes ler, debater e refletir sobre o tema certamente contribuirão para que eles sejam organizadores e executores do próprio trabalho.

E como a Matemática, enquanto componente curricular escolar, pode ajudar na construção de uma cultura de paz?

Portanova (2006, p. 436, grifo da autora) acredita que [...] o uso da Matemática tenha sido uma das primeiras necessidades do homem, depois da comunicação e da sobrevivência. A contagem, a ordenação, a soma, a divisão etc. são conhecimentos essenciais para a convivência em grupo. Desde a colheita de alimentos até a ordenação dos ritos religiosos, sempre presentes no desenvolvimento da humanidade, a Matemática aparece como uma ferramenta. Ora auxilia na paz , ora no conflito , ora na guerra . Muitos exemplos a história nos mostra.

Ao refletir sobre a relação existente entre Educação Matemática e Educação para a paz, a autora destaca que o conhecimento matemático se amplia

[...] ao ser vinculado aos diversos processos de analisar e responder problemas (interdisciplinares, transdisciplinares) de diversas naturezas. Educar para a paz também é educar para resolver conflitos, a ser criativos, a ser persistentes nos seus objetivos, a respeitar a opinião dos outros e o processo de aprendizagem (matemático) desenvolve cada uma dessas competências (PORTANOVA, 2006, p. 442).

Falando de sua experiência como professora de Matemática na Educação Básica e orientadora de pesquisas no Ensino Superior, Portanova (2006) afirma que esse componente curricular pode contribuir muito para a elevação da autoestima dos estudantes. Segundo a autora:

Experiências de sala de aula nos mostram que uma criança, ou um adolescente, que tem a sua autoestima elevada é menos agressivo, convive melhor com outras crianças, com os colegas e com a família. Vive em paz consigo e com os que o cercam. A paz social começa com a paz que cada um tem dentro de si. Essa paz interior, que começa na infância e se reflete na adolescência, depende muito da valorização da criança pelas pessoas que com ela convivem

[...]

Algumas experiências realizadas com alunos, que apresentavam deficiência de aprendizagem, muito agressivos e de difícil relacionamento com colegas e professores, mostraram modificações em sua conduta quando incentivados e apoiados em sala de aula. Eles conseguiram melhorar seu desempenho em Matemática e passaram a ser aceitos pelo grupo tornando-se menos agressivos (PORTANOVA, 2006, p. 443, grifo nosso).

Assim, ao pensar nas possíveis formas de aliar o ensino de Matemática ao estabelecimento de uma cultura de paz dentro e fora da escola, os professores poderão refletir sobre como os conhecimentos matemáticos podem ser trabalhados em projetos dessa natureza, envolvendo os estudantes para que se sintam valorizados e, cada vez mais, participem ativamente das atividades propostas na escola.

Projetos que tenham como tema o respeito às diferenças poderão impactar diretamente a vida dos estudantes, que poderão trazer à tona discussões e reflexões acerca de bullying e saúde mental, por exemplo, um problema vivido diariamente em nossas escolas.

Avaliação

No sistema educacional brasileiro, no que diz respeito a sua abrangência, a avaliação acontece de modo interno e formativo – aplicado pela própria instituição escolar – e externo e em larga escala, como o Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb), que permite a realização de um diagnóstico da Educação Básica brasileira, e o Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa), que propicia um estudo comparativo internacional sobre o desempenho dos estudantes ao término da escolaridade básica obrigatória.

Ao abordarmos a avaliação da aprendizagem, é fundamental mencionarmos a LDB no 9.394/1996 (BRASIL, 2017), que regulamenta a educação brasileira.

Em seu artigo 24, inciso V, a LDB dispõe que a verificação do rendimento escolar deverá observar os seguintes critérios:

a) avaliação contínua e cumulativa do desempenho do aluno, com prevalência dos aspectos qualitativos sobre os quantitativos e dos resultados ao longo do período sobre os de eventuais provas finais;

b) possibilidade de aceleração de estudos para alunos com atraso escolar;

c) possibilidade de avanço nos cursos e nas séries mediante verificação do aprendizado;

d) aproveitamento de estudos concluídos com êxito;

e) obrigatoriedade de estudos de recuperação, de preferência paralelos ao período letivo, para os casos de baixo rendimento escolar, a serem disciplinados pelas instituições de ensino em seus regimentos (BRASIL, 2017, p. 18).

Nesse artigo, a LDB, um dos marcos legais que embasam a BNCC, deixa implícitos os direitos do estudante quanto à forma de ser avaliado e o dever das instituições escolares quanto à forma de avaliar. Esse pressuposto deve orientar a prática avaliativa e a escolha das bases teóricas que regem a educação brasileira.

A BNCC evidencia a necessidade de: “Construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa de processo ou de resultado que levem em conta os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros como referência para melhorar o desempenho da escola, dos professores e dos alunos” (BRASIL, 2018, p. 17).

A Resolução CNE/CEB no 7/2010 (BRASIL, 2010a, p. 39), outro marco legal que embasa a BNCC, apregoa, em seu artigo 32, que:

A avaliação dos alunos, a ser realizada pelos professores e pela escola como parte integrante da proposta curricular e da implementação do currículo, é redimensionadora da ação pedagógica e deve:

I. assumir um caráter processual, formativo e participativo, ser contínua, cumulativa e diagnóstica [...];

II. utilizar vários instrumentos e procedimentos, tais como a observação, o registro descritivo e reflexivo, os trabalhos individuais e coletivos, os portfólios, exercícios, provas, questionários, dentre outros [...];

III. fazer prevalecer os aspectos qualitativos da aprendizagem do aluno sobre os quantitativos, bem como os resultados ao longo do período sobre os de eventuais provas finais [...];

IV. assegurar tempos e espaços diversos para que os alunos com menor rendimento tenham condições de ser devidamente atendidos ao longo do ano letivo; prover, obrigatoriamente, períodos de recuperação, de preferência paralelos ao período letivo [...];

V. assegurar tempos e espaços de reposição dos conteúdos curriculares, ao longo do ano letivo, aos alunos com frequência insuficiente, evitando, sempre que possível, a retenção por faltas;

VI. possibilitar a aceleração de estudos para os alunos com defasagem idade-série.

A avaliação contínua, também chamada formativa (ZABALA, 1998), pode ter diferentes funções, de acordo com o momento de sua realização.

Quando feita no início de uma etapa de trabalho, para levantar os conhecimentos prévios dos estudantes, exerce a função diagnóstica. As informações obtidas permitem ao professor planejar o trabalho e orientar na sua atuação. Também possibilitam ao estudante reconhecer o que já sabe e preparar-se para a construção de novos conhecimentos.

Quando ocorre durante um processo, com a intenção de acompanhar as aprendizagens em relação aos objetos de conhecimento e às habilidades, tem a função reguladora. As informações obtidas contribuem para que o professor faça ajustes no planejamento e para que o estudante acompanhe o processo de aprendizagem. Quando realizada ao final de uma etapa ou de um período de aprendizagem, exerce a função integradora e possibilita localizar o desenvolvimento do estudante em relação aos objetivos estabelecidos inicialmente e validar as estratégias adotadas. O estudante pode avaliar sua aprendizagem e perceber os pontos fortes e frágeis de seu desempenho.

Conhecimentos prévios (o que meu estudante sabe, sabe fazer e como ele é)

Intervenção adequada

Adaptação das atividades e novas intervenções

Aprendizagem adquirida

Conhecimento e avaliação de todo o percurso

É importante lembrar que cabe ao professor instruir e estimular a atitude crítica do estudante em relação à própria aprendizagem. Ao identificar suas dificuldades e reconhecer suas competências e potencialidades, ao fazer a autoavaliação, o estudante sente-se confiante e cada vez mais responsável pelo próprio desempenho.

Vale destacar também a importância de o professor registrar sistematicamente os procedimentos empregados na avaliação. Recursos como relatórios e fichas cumulativas, entre outros, podem ser incorporados à prática diária e são úteis para a composição de notas, conceitos ou pareceres sobre a aprendizagem dos estudantes.

Sugerimos ao professor que, com base no planejamento, destaque os objetos de conhecimento e as habilidades considerados prioritários para a continuidade dos estudos, enfatizando-os em suas práticas avaliativas e nos registros realizados.

Necessidade de uso de recursos sistemáticos no princípio, durante e no nal de qualquer unidade didática

Planejamento

Avaliação diagnóstica

Eventuais ajustes no planejamento

Avaliação de processo

Avaliação nal do ciclo

Fonte: ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar. Tradução: Ernani F. F. Rosa. Porto Alegre: ArtMed, 1998

Reinaldo Vignati

Instrumentos de avaliação

Recorrer a variados instrumentos avaliativos – como práticas orais e escritas, pesquisas, relatórios, autoavaliação, observação, portfólio, seminários e outros – e empregá-los de diferentes maneiras – por meio de atividades individuais, em duplas, em pequenos grupos e coletivas (toda a turma) –, é fundamental para a avaliação da aprendizagem, pois permite medir diferentes competências e habilidades.

Atividades individuais

• Práticas orais e escritas

• Pesquisa

• Relatórios

• Autoavaliação

• Observação

• Portfólio

• Seminários e outros

Atividades em duplas

Atividades em grupos

Atividades coletivas

Partindo da observação de cada atividade realizada, de cada questionamento ou intervenção, de cada reação de interesse ou desatenção, individual ou em grupo, o professor poderá avaliar quais são as dificuldades dos estudantes, em que área eles se destacam, quais são seus estilos de aprendizagem, entre outros aspectos.

Avaliação por rubrica

Avaliar pode consistir em uma das tarefas mais complexas do processo ensino-aprendizagem, principalmente porque exige do professor a tomada de decisões e o estabelecimento de critérios de correção nem sempre claros para ele. Que objetos de conhecimento e habilidades, de fato, devem ser avaliados? O que é fundamental que os estudantes saibam? Como avaliar de forma isenta, ou seja, o menos subjetiva possível? Como mensurar a aprendizagem dos estudantes? Como fazê-los entender a nota, o conceito ou o parecer que foi atribuído pelo professor? Essas e outras perguntas evidenciam a complexidade da avaliação da aprendizagem.

Algo que pode contribuir significativamente para essa tarefa são as rubricas, pois um dos principais objetivos desse instrumento é tornar os critérios de avaliação mais objetivos e explícitos, tanto para os educadores quanto para os estudantes.

Segundo Biagiotti (2005, p. 2):

Podemos definir rubricas, na educação, de diversas maneiras. Uma das definições que mais me agrada é a que escutei de Maria Alice Soares por ocasião da realização do workshop sobre rubricas. Segundo ela, rubricas são esquemas explícitos para classificar produtos ou comportamentos, em categorias que variam ao longo de um contínuo. Podem ser usadas para classificar qualquer produto ou comportamento, tais como redações, ensaios, trabalhos de pesquisa, apresentações orais e atividades. A avaliação pode ser feita pelos próprios estudantes, ou por outros, como professores, outros alunos, supervisores de trabalho ou revisores externos. Rubricas podem ser usadas para prover feedback formativo dos alunos, para dar notas ou avaliar programas.

De acordo com o autor, para que as rubricas se tornem, realmente, uma boa ferramenta para avaliar o desempenho dos estudantes nas tarefas, elas devem ter algumas características, dentre as quais destacamos:

• Facilidade: tornar fácil avaliar trabalhos complexos;

• Objetividade: avaliar de forma objetiva, acabando com aquela aura de subjetividade que comumente se imprime à avaliação;

• Granularidade: possuir a granularidade adequada, isto é, níveis adequados de minúcia;

• Transparência: tornar o processo de avaliação transparente, a ponto de permitir ao estudante controlar seu aprendizado.

Ao se elaborar uma rubrica, dois itens são primordiais: os critérios de avaliação e as graduações ou níveis de desempenho – por exemplo “Atende totalmente”, “Atende parcialmente” e “Não atende” (aos critérios estabelecidos) ou “Excelente”, “Bom”, “Regular” e “Insuficiente”.

Veja, a seguir, um exemplo de rubrica para avaliar a resolução de problemas matemáticos.

Resolução de problema Atende Atende parcialmente Não atende

Compreensão da situação-problema

Analisou e compreendeu completamente o problema.

Estratégia

Demonstrou claramente a estratégia utilizada e chegou ao resultado esperado.

Compreendeu parcialmente os dados do problema.

Demonstrou parcialmente a estratégia utilizada e não chegou ao resultado esperado.

Não compreendeu o problema.

Não evidenciou a estratégia utilizada e não chegou ao resultado esperado.

É importante destacar que a forma como o professor elabora os instrumentos de avaliação, independentemente de quais sejam eles, pode impactar diretamente o desempenho dos estudantes. Por essa razão, é fundamental atentar-se para alguns cuidados, como:

• escolher um instrumento que seja compatível com o conteúdo que se deseja avaliar;

• delimitar adequadamente o conteúdo a ser avaliado, identificando quais são as aprendizagens essenciais;

• formular, com clareza enunciados, consignas e alternativas empregados nos instrumentos;

• considerar, na elaboração do instrumento, o tempo necessário para o estudante realizar a atividade;

• valorar as questões atentando-se para o grau de elaboração das respostas.

Estratégias para correção de eventuais defasagens

Para corrigir eventuais defasagens, o professor deve observar a participação dos estudantes e refletir sobre possíveis estratégias que possam ser empregadas para favorecer a aprendizagem, como: orientar a organização do horário de estudo do estudante em casa; indicar leituras e vídeos relacionados aos objetos de conhecimento que necessitam ser aprendidos; orientar sobre a postura no momento dos estudos, para que os estudantes dediquem atenção ao que estão realizando.

O professor também pode orientar os estudantes quanto à elaboração de estratégias para verificação dos erros. Para alguns, por exemplo, pode ser eficiente revisitar os enunciados das atividades que não foram concluídas adequadamente ou observar se a dificuldade ocorreu no momento da execução, ou ainda, se o equívoco aconteceu no registro da resposta.

Ao corrigir as atividades, independentemente do resultado final, é de extrema importância que o professor observe o percurso realizado durante a execução da atividade, mesmo que o estudante não chegue ao resultado correto. Dessa forma, poderá considerar as estratégias por ele utilizadas para fazer interferências que o levem a refazer o percurso, buscando chegar ao resultado esperado.

Diferentes estratégias podem ser utilizadas para favorecer a aprendizagem, entre elas: manipulação de materiais concretos; registros no caderno; comparações entre fenômenos; experimentações; uso de simuladores ou de softwares de Geometria dinâmica; elaboração de glossário que possa ser consultado e revisitado sempre que necessário.

Conheça o livro

Organização da obra

Esta coleção é composta de quatro volumes destinados aos Anos Finais do Ensino Fundamental. Cada volume corresponde a um ano de escolaridade (6o, 7o, 8o e 9o anos), organizados em oito unidades. As unidades estão divididas em capítulos que tratam de conteúdos específicos.

Seções e boxes

Abertura de unidade

A abertura de unidade, em página dupla, apresenta imagem e um pequeno texto relacionado ao conteúdo que será trabalhado.

Traz questões que têm por finalidade instigar a curiosidade e propor um momento de troca de ideias. Apresenta, também, os principais objetivos de aprendizagem, o que dá ciência ao estudante do que será desenvolvido, promovendo a autonomia.

Inicia todos os capítulos e convida os estudantes a mobilizar e comunicar seus conhecimentos. Essa seção oportuniza ao professor observar as hipóteses dos estudantes sobre o conteúdo que será trabalhado em cada capítulo.

Propõe situações em que os estudantes devem mobilizar os conhecimentos de forma investigativa, fazendo inferências ou mesmo pequenas pesquisas sobre o conteúdo que está sendo apresentado.

Seção que vem entremeada aos tópicos trabalhados. Apresenta atividades diversificadas e permite o acompanhamento processual da aprendizagem dos estudantes. Traz, também, atividades desafiadoras e propicia o trabalho em duplas ou em pequenos grupos, favorecendo a troca de estratégias, ideias e discussões sobre o processo de resolução.

Apresenta Temas Contemporâneos Transversais, bem como a relação da Matemática com outras áreas do conhecimento. Promove o desenvolvimento de análises críticas, criativas e propositivas bem como o desenvolvimento do trabalho com atitudes e valores. Pode ser ampliada, de acordo com o interesse da turma pelo tema, dando origem a pequenos projetos bem como ao trabalho colaborativo com professores de outras áreas.

Promove o uso de tecnologias digitais.

Apresenta uma variedade de atividades lúdicas. Esse tipo de atividade, além de mobilizar o interesse dos estudantes, estimula-os a utilizar conhecimentos em contextos diferentes e desafiadores. É um ótimo momento para desenvolver o trabalho com atitudes e valores

Além dos conhecimentos matemáticos necessários nos processos de compra e venda, são abordados temas como consumo e consumismo.

Presente no fim de algumas seções Atividades, tem por finalidade trabalhar a habilidade de argumentação com foco no desenvolvimento do pensamento lógico matemático. Raciocínios e estratégias de resolução podem ser compartilhados para que os estudantes comecem a refletir sobre processos lógicos.

Blocos de atividades que retomam os conteúdos trabalhados nas unidades. São apresentadas atividades diversificadas bem como de avaliações oficiais. O professor pode, a seu critério, utilizá-las como ferramenta avaliativa, a fim de dar continuidade aos trabalhos das unidades seguintes.

Relaciona a história da Matemática ao conteúdo que está sendo estudado. É importante que esse trabalho seja ampliado para além do conhecimento de nomes e biografias de grandes matemáticos, a fim de que os estudantes conheçam, explorem e reconheçam que a Matemática é uma ciência em construção.

Apresenta fatos curiosos em que a Matemática está presente.

Indicação de livros, sites, vídeos etc.

Orientações específicas para as Unidades e capítulos

Esse manual oferece sugestões e informações para o professor distribuídas em colunas laterais e na parte inferior das páginas, com uma forma reduzida do Livro do Estudante representada ao centro. Esse manual apresenta as seções a seguir.

• Principais objetivos da unidade: destaca os principais objetivos de aprendizagem que serão trabalhados.

• Justificativa: relaciona os principais objetivos às habilidades que se pretende desenvolver nos estudantes.

• Pré-requisitos pedagógicos: destaca o que os estudantes já devem conhecer para dar continuidade e desenvolver as habilidades indicadas.

compreendam diferentes representações para localização de objetos no plano por meio de pares ordenados. Avaliação diagnóstica importante observar o que os estudantes dominam em relação aos pré-requisitos relacionados. Promova uma roda de conversa em seguida, elabore algumas atividades BNCC na unidade Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade. Competências gerais 2 5 Competências específicas EF06MA25 EF06MA26 EF06MA27 EF06MA28

Para aprofundar O artigo indicado seguir apresenta uma pesquisa partindo da etnomatemática como contextualização, utilizando tecnológica. O texto está disponível em: http://www.ebrapem2016. ufpr.br/wp-content/uploads/2016/04/gd16_gerson_alten burg.pdf (acesso em: 10 jun. 2022).

que lugares são esses ou viram outras imagens deles? Conseguem identificarguma forma ou elemento geométrico? Chame a atenção dos estudantes para os destaques em vermelho nas fotos, que indicam ângulos e retas. Antes de encaminhar as atividades propostas, discuta com os estudantes quais são as figuras geométricas os conceitos encontrados nas imagens que abrem a unidade e peça que falem suas percepções sobre uso da Geometria no cotidiano. Anote as respostas na lousa incentive participação de todos.

• BNCC na Unidade: destaca as principais competências gerais, específicas e habilidades que serão trabalhadas na unidade.

• Avaliação diagnóstica: evidencia a necessidade de verificar as aprendizagens já adquiridas.

• Foco na BNCC: apresenta as principais competências gerais, específicas e habilidades que serão trabalhadas em cada capítulo.

• Foco nos TCTs: indica os principais Temas Contemporâneos Transversais contemplados no capítulo.

• Orientações: busca auxiliar à prática pedagógica e traz comentários e/ou resolução de todas as atividades propostas.

• Para aprofundar: sugere textos para aprofundamento pedagógico, contribuindo para a formação continuada.

• Atividades complementares: sugere atividades que podem ampliar ou aprofundar o conteúdo trabalhado.

Sugestões de cronograma

Apresentamos as possibilidades de planejamento do curso ao longo de um ano, por meio dos cronogramas a seguir.

1o bimestre Unidades 1 e 2

2o bimestre Unidades 3 e 4

Planejamento bimestral

3o bimestre Unidades 5 e 6

4o bimestre Unidades 7 e 8

1o trimestre Unidades 1, 2 e 3

Planejamento trimestral

2o trimestre Unidades 4, 5 e 6

3o trimestre Unidades 7 e 8

1o semestre Unidades 1, 2, 3 e 4

Planejamento semestral

2o semestre Unidades 5, 6, 7 e 8

Competências gerais, específicas e habilidades da BNCC

Competências gerais da Educação Básica

1 Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

2 Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

3 Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

4 Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

5 Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

6 Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

7 Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

8 Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

Competências gerais da Educação Básica

9 Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

10 Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamental

1 Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

2 Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

3

Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

4 Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

5 Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

6 Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

7 Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

8 Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Habilidades da BNCC para o 6o ano

EF06MA01 Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

EF06MA02

EF06MA03

Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

EF06MA04 Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).

EF06MA05

Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.

EF06MA06 Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

EF06MA07 Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

EF06MA08

Habilidades da BNCC para o 6o ano

Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.

EF06MA09 Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.

EF06MA10 Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

EF06MA11 Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.

EF06MA12 Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

EF06MA13 Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

EF06MA14

Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

EF06MA15 Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

EF06MA16 Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1? quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

EF06MA17 Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

EF06MA18 Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.

EF06MA19 Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

EF06MA20 Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

EF06MA21 Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

EF06MA22 Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

EF06MA23 Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

EF06MA24

Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

EF06MA25 Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.

EF06MA26 Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão.

EF06MA27 Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

EF06MA28 Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.

EF06MA29 Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

EF06MA30

Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

Habilidades da BNCC para o 6o ano

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

EF06MA34

Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).

Habilidades da BNCC para o 7o ano

EF07MA01

Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

EF07MA02 Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

EF07MA03 Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

EF07MA04 Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

EF07MA05 Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

EF07MA06 Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura, podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

EF07MA07 Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

EF07MA08 Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

EF07MA09 Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

EF07MA10 Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

EF07MA11 Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

EF07MA12 Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

EF07MA13 Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

EF07MA14 Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

EF07MA15 Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

EF07MA16 Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

EF07MA17 Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

EF07MA18 Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1? grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

EF07MA19 Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

EF07MA20 Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

EF07MA21

Habilidades da BNCC para o 7o ano

Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

EF07MA22 Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

EF07MA23 Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

EF07MA24 Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

EF07MA25 Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

EF07MA26 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

EF07MA27

Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

EF07MA28 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

EF07MA29 Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

EF07MA30 Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

EF07MA31 Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

EF07MA32 Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

EF07MA33 Estabelecer o número como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

EF07MA34 Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

EF07MA35 Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

EF07MA36 Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

EF07MA37 Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

Habilidades da BNCC para o 8o ano

EF08MA01 Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.

EF08MA02 Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

EF08MA03 Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.

EF08MA04 Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

EF08MA05 Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.

EF08MA06 Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

EF08MA07 Associar uma equação linear de 1? grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.

EF08MA08

Habilidades da BNCC para o 8o ano

Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1? grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

EF08MA09 Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2? grau do tipo ax2 = b.

EF08MA10 Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.

EF08MA11 Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.

EF08MA12 Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.

EF08MA13 Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.

EF08MA14 Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

EF08MA15 Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.

EF08MA16 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

EF08MA17 Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas

EF08MA18 Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.

EF08MA19

Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.

EF08MA20 Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes.

EF08MA21 Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.

EF08MA22 Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

EF08MA23 Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

EF08MA24 Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.

EF08MA25

EF08MA26

EF08MA27

Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.

Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada).

Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

Habilidades da BNCC para o 9o ano

EF09MA01

Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).

EF09MA02

Habilidades da BNCC para o 9o ano

Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

EF09MA03 Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

EF09MA04 Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

EF09MA05

EF09MA06

Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

EF09MA07 Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

EF09MA08

EF09MA09

EF09MA10

Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2? grau.

Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

EF09MA11 Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

EF09MA12 Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

EF09MA13 Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

EF09MA14 Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

EF09MA15 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares

EF09MA16 Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

EF09MA17 Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

EF09MA18

Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

EF09MA19 Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

EF09MA20 Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

EF09MA21 Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

EF09MA22

EF09MA23

Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

Quadro de conteúdos e relação com a BNCC

Nos quadros a seguir, estão apresentadas as principais competências, habilidades e os Temas Contemporâneos Transversais trabalhados nos capítulos, ao longo da coleção.

6o ano

Competências gerais

1

1 Sistema de numeração decimal

• Reconhecer as principais características do sistema de numeração decimal.

• Identificar semelhanças e diferenças com outros sistemas de numeração.

Competências específicas

1, 2 e 6

Habilidades

EF06MA02

EF06MA03

EF06MA04

Competências gerais

2 Números naturais

• Caracterizar o conjunto dos números naturais.

• Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais.

• Representar números naturais na reta numérica.

2, 5, 7 e 9

Competências específicas

2 5 e 6

Habilidades

EF06MA01

EF06MA04

EF06MA12

3 Adição e subtração

4 Multiplicação e divisão

• Efetuar adições e subtrações com números naturais por meio e estratégias diversas.

• Explorar a adição e a subtração como operações inversas.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam adição e subtração.

• Efetuar multiplicações e divisões com números naturais por meio e estratégias diversas.

• Explorar as ideias da multiplicação e suas propriedades.

• Efetuar divisões e identificar seus termos.

• Resolver problemas que envolvem multiplicação e divisão.

5 Expressões numéricas

• Entender os conceitos envolvendo expressões numéricas.

• Resolver expressões numéricas com números naturais envolvendo as quatro operações.

Competências gerais

2 e 7

Competências específicas

2

Habilidades

EF06MA01

EF06MA03

Competências gerais

1, 2, 3, 6 e 10

Competências específicas

1 e 2

Habilidades

EF06MA03

EF06MA06

EF06MA12

EF06MA15

Competências gerais

2, 4, e 5

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF06MA03

EF06MA14

Educação em Direitos Humanos

Educação para o Consumo

• Reconhecer as características dos divisores e múltiplos de um número natural.

• Estabelecer critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.

• Reconhecer as características de números primos e compostos no conjunto dos números naturais.

• Decompor números naturais em fatores primos.

• Resolver e elaborar problemas utilizando a partição de um todo em partes proporcionais.

• Efetuar potenciação com números naturais, conhecer seus termos e aplicar propriedades.

• Aproximar números para a potência de 10 mais próxima.

• Identificar e representar ponto, reta, plano e ângulo, usando a notação adequada.

• Reconhecer reta, semirreta e segmento de reta.

• Identificar retas paralelas, perpendiculares e concorrentes no plano.

• Determinar a medida de abertura de ângulo com a utilização de régua e transferidor.

• Classificar ângulos considerando suas medidas em graus.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo a noção de ângulo em diferentes contextos.

Competências gerais 1, 2, 5, 8 e 9

Competências específicas

1, 2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF06MA03

EF06MA04

EF06MA05

EF06MA06

EF06MA15

Competências gerais 2 e 3

Competências específicas 2, e 3

Habilidades

EF06MA03

EF06MA11

EF06MA12

Competências gerais

1, 2, 3, 4 e 5

Competências específicas

1, 2, 3, 5, 6 e 8

Habilidades

EF06MA22

EF06MA23

EF06MA25

EF06MA26

EF06MA27

Competências gerais

1, 2, 4 e 9

• Associar, no plano cartesiano, vértices de polígonos a pares ordenados.

• Interpretar plantas baixas e vistas aéreas.

Competências específicas

1, 3, 5, 6 e 8

Habilidades

EF06MA16

EF06MA23

EF06MA28

2 O plano cartesiano

1 Números racionais na forma fracionária

2 Porcentagem

• Ler, escrever e comparar números racionais na forma fracionária.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam frações de quantidade, tendo como resultado um número natural.

• Relacionar números fracionários a pontos na reta numérica.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo adição e subtração na representação fracionária.

• Resolver problemas envolvendo a multiplicação de um número natural por fração.

• Resolver problemas relacionados ao conceito de porcentagem sem o uso da regra de três.

Competências gerais

1, 2 e 4

Competências específicas

2, 3 e 5

Habilidades

EF06MA07

EF06MA08

EF06MA09

EF06MA10

EF06MA23

Competências gerais

7, 8, 9 e 10

Competências específicas

2

Habilidades

EF06MA13

Competências gerais

Educação Alimentar e Nutricional

Educação Ambiental

1 Figuras geométricas planas

• Reconhecer, nomear e comparar polígonos no plano e nas faces dos poliedros.

• Identificar e classificar os triângulos em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

• Identificar e classificar os quadriláteros em relação aos lados e ângulos.

2 Figuras geométricas espaciais

• Quantificar e estabelecer relação entre o número de faces, vértices e arestas de prismas e pirâmides.

• Resolver problemas que envolvam o número de arestas, faces e vértices de um sólido geométrico.

3 Construção de figuras semelhantes

• Identificar relações de proporcionalidade em figuras geométricas planas.

• Resolver problemas que envolvam ampliação e redução de figuras planas.

• Reconhecer, nomear, comparar e escrever números racionais na representação decimal.

• Transformar números racionais da representação fracionária para a representação decimal.

2, 3 e 4

Competências específicas

2, 3 e 5

Habilidades

EF06MA18

EF06MA19

EF06MA20

EF06MA22

Competências gerais

1 e 9

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF06MA17

Competências gerais

2

Competências específicas

3

Habilidades

EF06MA21

Competências gerais

8 e 9

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF06MA01

• Relacionar números decimais a pontos da reta numérica.

• Efetuar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais na representação decimal.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais na representação decimal.

Competências gerais

8 e 9

EF06MA08 2

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF06MA04

EF06MA06

EF06MA10

EF06MA11

Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

Unidade 6

3

Probabilidade

• Identificar situações em que a probabilidade está presente.

• Calcular a probabilidade de eventos simples e registrá-la na forma fracionária e na forma decimal.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo o cálculo de probabilidade.

Unidade 7 • Grandezas e medidas

1 Unidades de medida de comprimento e de área

2

Unidades de medida de volume, de capacidade e de massa

3 Unidades de medida de tempo e de temperatura

1

Leitura de variáveis, legendas, tabelas e gráficos

• Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de comprimento e de área.

• Identificar e utilizar unidades de medida de comprimento e de área.

• Compor e decompor figuras para determinação de área.

• Identificar unidades de medida de volume, capacidade e massa.

• Resolver problemas que envolvem medidas de volume, massa e capacidade.

• Identificar unidades de medida de tempo e de temperatura.

• Resolver problemas que envolvem medidas de tempo e de temperatura.

• Compreender o que são variáveis numéricas e categóricas.

• Utilizar legendas e símbolos de maneira adequada.

• Ler, analisar e interpretar gráficos e tabelas.

Competências gerais

8 e 9

Competências específicas

3

Habilidades EF06MA08 EF06MA30

Competências gerais

1, 3 e 9

Competências específicas

1 e 6

Habilidades EF06MA24 EF06MA29

Competências gerais

2

Competências específicas

2 Habilidades EF06MA24

Competências gerais

1, 7 e 8

Competências específicas 1, 3 e 7

Habilidades

EF06MA24

Competências gerais 7 e 8

Competências específicas 2, 4 e 6

Habilidades

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

2 Coleta, organização e registro de dados

• Coletar, organizar e registrar dados oriundos de diferentes fontes de informação.

• Utilizar fluxogramas para representar etapas de um processo.

• Construir gráficos e tabelas em planilhas eletrônicas.

Educação Ambiental

3

Probabilidade

• Compreender a probabilidade como a chance de um evento ocorrer.

• Calcular a probabilidade de um evento acontecer.

Competências gerais 2, 4 e 5

Competências específicas 3, 5 e 8

Habilidades

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

EF06MA34

Competências gerais

8

Competências específicas

4

Habilidades

EF06MA13

EF06MA30

EF06MA33

Educação Alimentar e Nutricional

1 Múltiplos e divisores de um número natural

• Identificar múltiplos e divisores de números naturais.

• Resolver e elaborar problemas com múltiplos, divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum por meio de estratégias diversas.

• Reconhecer, comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos.

• Identificar o sucessor e o antecessor de um número inteiro.

2 Números inteiros

3 Adição e subtração com números inteiros

• Representar os números inteiros na reta numérica.

• Reconhecer os números simétricos ou opostos.

• Determinar o módulo ou o valor absoluto de um número inteiro.

• Representar pontos no plano utilizando coordenadas cartesianas.

• Resolver e elaborar problemas de adição e subtração com números inteiros.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da adição.

• Resolver expressões numéricas que envolvam adição e subtração em à

• Efetuar multiplicações com números inteiros.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da multiplicação.

4 Multiplicação, divisão e potenciação com números inteiros

• Efetuar divisões com números inteiros.

• Resolver expressões numéricas que envolvam adição, subtração, multiplicação e divisão em Z

• Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

• Calcular potências com base inteira e expoente natural.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da potenciação.

5 Radiciação

• Entender a radiciação como operação inversa da potenciação.

• Efetuar, quando possível, a radiciação com números inteiros.

Competências gerais

9 Competências específicas

2 e 7

Habilidades

EF07MA01

EF07MA06

EF07MA07

Competências gerais

1, 2 e 3

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

Competências gerais

1, 2 e 5

Competências específicas

1, 2 e 5

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

EF07MA07

Capítulo Objetivos do capítulo BNCC TCT Unidade

Competências gerais

3, 4, e 5

Competências específicas

1, 2, 3 e 5

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

EF07MA05

EF07MA06

EF07MA07

Competências gerais

7 e 9

Competências específicas

8

Ciência e Tecnologia

Educação Ambiental

Habilidades

EF07MA04

3 Experimentos aleatórios

• Compreender variável representada por letras ou símbolos, por meio da relação de dependência entre diferentes grandezas.

• Utilizar expressões algébricas para generalizar e representar situações matemáticas.

• Reconhecer a equivalência de expressões algébricas.

• Identificar a regularidade em uma sequência.

• Obter uma sequência numérica com base em seu termo geral.

• Identificar uma equação polinomial do 1? grau com uma incógnita.

• Entender a definição de incógnita como o termo desconhecido de uma equação

• Resolver equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita utilizando procedimentos construídos com base nas propriedades da igualdade.

• Reconhecer a raiz ou a solução de uma equação.

• Definir o conjunto universo.

• Reconhecer o conjunto-solução como um subconjunto do conjunto universo.

• Representar e resolver situações-problema por meio de equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita.

• Efetuar adição e subtração com números racionais utilizando o mmc.

• Introduzir o conceito de razão e destacar a escala como uma razão particular, explorando-a em diferentes situações-problema.

• Identificar grandezas obtidas por meio da razão entre duas grandezas.

• Compreender o conceito de proporção e suas propriedades.

• Resolver situações-problema que envolvem a ideia de números e grandezas direta ou inversamente proporcionais.

• Resolver problemas de contagem que envolvam árvores de possibilidades.

• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo da probabilidade de determinado evento.

Competências gerais

1 e 8

Competências específicas

1, 2, 3, 4, 6 e 8

Habilidades

EF07MA13

EF07MA14

EF07MA15

EF07MA16

EF07MA17

Competências gerais

1, 4, 7 e 9

Competências específicas

1, 2 e 5

Habilidades

EF07MA18

Educação em Direitos Humanos

Competências gerais

2

Competências específicas

2

Habilidades EF07MA01

EF07MA09

EF07MA12

EF06MA18

Competências gerais

3 e 10

Competências específicas

1, 3 e 6

Habilidades

EF07MA08

EF06MA09

EF06MA17

Competências gerais

3, 6 e 10

Competências específicas

3 Habilidades

EF07MA34

Educação Ambiental

1 A circunferência

• Reconhecer a circunferência como lugar geométrico, em que o ponto fixo é o centro da circunferência, e identificar seus elementos.

• Construir circunferência usando compasso.

• Estabelecer o número p como a razão entre a medida da circunferência e seu diâmetro para resolver problemas.

• Identificar ângulos congruentes e ângulos adjacentes, ângulos opostos pelo vértice, sua congruência e aplicações.

2 Ângulos

• Identificar e construir a bissetriz de um ângulo dado.

• Definir e aplicar as relações existentes entre pares de ângulos complementares e ângulos suplementares.

• Identificar as relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal.

• Reconhecer polígonos de acordo com suas características.

3 Ângulos e polígonos

1 Cálculo de áreas de figuras planas

• Calcular a medida de ângulos internos de polígonos.

• Construir triângulo equilátero e quadrado utilizando régua e compasso.

• Descrever por escrito e por meio de fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular.

Competências gerais

6

Competências específicas

1, 3 e 6 Habilidades

EF07MA22

EF07MA33

Diversidade Cultural

2 Volume de blocos retangulares

• Calcular a área de figuras planas pela decomposição e composição de figuras, utilizando a equivalência entre áreas.

• Estabelecer expressões de cálculo da área de triângulos e quadriláteros.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo de área de triângulos e quadriláteros.

Competências gerais

5

Competências específicas

3 e 5

Habilidades

EF07MA23

Competências gerais

3, 5, 6 e 9

Competências específicas

1, 2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF07MA24

EF07MA25

EFMA0726

EF07MA27

EF07MA28

Diversidade Cultural

• Resolver problemas que envolvem cálculo do volume do bloco retangular e do cubo.

Competências gerais

2

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF07MA31

EF07MA32

Competências gerais

2 e 8

Competências específicas

3 e 7

Habilidades

EF07MA29

EF07MA30

Educação Ambiental

1

Identificando o conjunto dos números racionais

• Números racionais

• Identificar e comparar números racionais.

• Representar números racionais na reta numérica.

6

Unidade

7 • Simetria e transformação geométrica de polígonos

Unidade

2

Operações com números racionais

• Efetuar operações com números racionais.

• Compreender e aplicar as propriedades da multiplicação e da divisão na potenciação envolvendo números racionais.

• Calcular raízes de números racionais nas formas fracionária e decimal.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo números racionais

Competências gerais

7 e 10

Competências específicas

1 e 2

Habilidades

EF07MA10

1

Simetrias de translação, rotação e reflexão

• Identificar simetrias de reflexão, de translação e de rotação em figuras geométricas planas.

• Utilizar a malha quadriculada e instrumentos como régua e transferidor para obter transformações isométricas de figuras planas em relação aos eixos e à origem.

Competências gerais

5, 7 e 10

Competências específicas 5 e 8

Habilidades

EF07MA10

EF07MA11

EF07MA12

Educação Financeira

2

• Reconhecer, no plano cartesiano, o simétrico de uma figura em relação à origem e aos eixos.

• Compreender como a multiplicação das coordenadas do vértice de uma figura no plano cartesiano se relaciona com as transformações geométricas.

Competências gerais

3

Competências específicas

1 e 2

Habilidades

EF07MA21

Competências gerais

9

Competências específicas

8

Habilidades

EF07MA19

EF07MA20

EF07MA21

1 Gráfico de setores

2 Planejamento e execução de pesquisa

3 Média aritmética

• Interpretar e analisar dados utilizando gráficos de setores.

• Compreender situações que podem ser representadas por meio de gráficos de setores.

• Identificar a relação entre a área de um setor e o valor numérico que ela representa.

• Compreender o que são pesquisas censitárias e pesquisas amostrais.

• Diferenciar população de amostra.

• Planejar e fazer pesquisas estatísticas.

• Utilizar conhecimentos matemáticos e recursos tecnológicos para organizar e analisar dados obtidos em pesquisas.

Competências gerais 7

Competências específicas 2, 4, 6, 7 e 8

Habilidades

EF07MA02

EF07MA37

Competências gerais 5 e 6

Competências específicas 3, 4, 5, 6 e 7

Habilidades

EF07MA02

EF07MA35

EF07MA36

EF07MA37

Competências gerais

2

• Aplicar a ideia de média aritmética na resolução de problemas.

• Utilizar ferramentas tecnológicas para explorar a média de um conjunto de dados.

Competências específicas 2 e 7

Habilidades

EF07MA12

EF07MA35

EF07MA36

Educação Financeira

Educação para a valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

1 Cálculos com números reais

• Determinar a fração geratriz de dízimas periódicas.

• Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros.

• Compreender e utilizar a notação científica.

• Relacionar potências a raízes e entender a raiz como potência de expoente fracionário.

• Compreender e utilizar a porcentagem em situações de acréscimo ou decréscimo.

2 Porcentagem

• Resolver e elaborar problemas envolvendo cálculos de porcentagens.

• Utilizar calculadora para efetuar cálculos de porcentagem.

3 Contagem e possibilidades

• Compreender o princípio multiplicativo da contagem.

• Elaborar e resolver problemas que envolvam o princípio multiplicativo da contagem.

• Identificar e diferenciar os tipos de gráfico.

• Identificar todos os elementos que um gráfico deve conter.

• Construir gráficos de setores com base no cálculo do ângulo de cada setor.

• Construir um gráfico com base nos dados apresentados em uma tabela.

• Organizar os dados de uma pesquisa em diferentes classes.

• Identificar a frequência de uma classe.

• Associar uma tabela de frequência a um gráfico.

Competências gerais

1 Competências específicas

1 e 2 Habilidades EF08MA01 EF08MA02 EF08MA05 EF08MA06

Competências gerais

1

Competências específicas

1 Habilidades

EF08MA04

Competências gerais

1 e 9 Competências específicas

2, 4 e 6 Habilidades

EF08MA03

EF08MA04

Competências gerais

9 Competências específicas

2 e 4 Habilidades

EF08MA04

EF08MA23

EF08MA27

Competências gerais

9 Competências específicas

2 e 4 Habilidades

EF08MA24

EF08MA27

Saúde

Vida Familiar e Social

Educação em Direitos Humanos

Direitos da Criança e do Adolescente

Saúde

1 Equação linear do 1? grau com duas incógnitas

• Reconhecer equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas inferindo possíveis soluções de pares ordenados.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do valor numérico de expressões algébricas utilizando as propriedades das operações.

• Representar algébrica e graficamente equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Identificar sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Determinar graficamente a solução de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

2 Sistemas de equações polinomiais do 1? grau

• Discutir, com base na resolução gráfica de um sistema de equações polinomiais do 1? grau, se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.

• Determinar soluções para sistemas de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas pelo método da substituição e da adição.

• Representar e resolver problemas por meio de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Identificar, compreender e aplicar os casos de congruência entre triângulos na resolução de problemas.

• Identificar e explorar propriedades dos triângulos isósceles e equiláteros.

• Identificar e explorar propriedades de paralelogramos e trapézios.

• Compreender o significado de mediatriz de segmento e bissetriz de ângulo.

2 Construções geométricas

• Resolver problemas aplicando os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos.

• Traçar ângulos de 90‘, 60‘, 45‘ e 30‘

• Construir polígonos regulares utilizando instrumentos de desenho e softwares de Geometria dinâmica.

Competências gerais

1, 2, 3, 4 e 8

Competências específicas

1, 2, 3 e 6

Habilidades

EF08MA06

EF08MA07

Competências gerais

3, 4, 5 e 8

Competências específicas

3, 5, 6 e 8

Habilidades

EF08MA07

EF08MA08

Educação Ambiental

Competências gerais

2, 3, 4, 5, 7, 9 e 10

Competências específicas

2

Habilidades

EF08MA14

EF08MA18

Competências gerais

2 e 5

Competências específicas

3 e 5

Habilidades

EF08MA15

EF08MA16

EF08MA17

1 Sequências

2 Proporcionalidade

• Identificar regularidades de sequências numéricas não recursivas e construir um algoritmo por meio de fluxogramas.

• Identificar a regularidade de sequências numéricas recursivas e construir algoritmos por meio de fluxogramas.

• Identificar a natureza da variação de duas grandezas (direta e inversamente proporcionais ou não proporcionais).

• Expressar uma relação entre grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de uma sentença algébrica.

• Resolver problemas que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas.

• Compreender a definição de equações polinomiais do 2? grau.

1 Equação polinomial do 2? grau com uma incógnita

• Explorar estratégias de resolução de equações polinomiais do 2? grau.

• Resolver equações do 2? grau do tipo ax2 + c = 0.

• Resolver e elaborar problemas que podem ser representados por equações polinomiais do 2? grau do tipo ax2 + c = = 0.

• Aplicar o princípio multiplicativo da contagem no cálculo de probabilidades.

• Elaborar e resolver problemas que envolvam o princípio multiplicativo da contagem.

2

Possibilidades e probabilidade

• Explorar a ideia de espaço amostral.

• Relacionar a probabilidade à razão entre o número de eventos favoráveis e o número de eventos possíveis.

• Reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

Competências gerais

3 Competências específicas

1 e 3 Habilidades EF08MA10 EF08MA11

Competências gerais

1, 8 e 10 Competências específicas 2, 3 e 7 Habilidades EF08MA12 EF08MA13

Educação para o Trânsito Saúde

Competências gerais

1 e 4

Competências específicas

1

Habilidade EF08MA09

Competências gerais

1, 3, 7 e 9

Competências específicas

1, 4, 6, 7 e 8

Habilidades

EF08MA03 EF08MA22

1 Simetrias: reflexão, rotação e translação

• Reconhecer transformações geométricas de isometria.

• Construir figuras obtidas por meio de composições que envolvem simetrias de rotação, translação ou reflexão.

• Utilizar instrumentos de desenho geométrico e softwares de Geometria dinâmica para construir figuras por composições de transformações geométricas.

• Determinar e utilizar expressões para o cálculo de área de quadriláteros, triângulo e círculo.

• Resolver e elaborar problemas que envolvem medidas de área de figuras planas.

2 Área, volume e capacidade

• Reconhecer a relação entre volume e capacidade.

• Reconhecer a relação entre litro e decímetro cúbico.

• Determinar o volume de blocos retangulares.

• Elaborar e resolver problemas que envolvem volume e capacidade.

• Compreender e calcular a média, a moda e a mediana de um conjunto de dados.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam as medidas de tendência central.

• Utilizar tabelas de frequência para organizar um conjunto de dados.

• Compreender o que são pesquisas censitárias e pesquisas amostrais.

• Diferenciar os tipos de amostragem.

• Entender os procedimentos de execução de uma pesquisa estatística.

• Planejar e fazer uma pesquisa amostral.

• Organizar um conjunto de dados.

Competências gerais

1, 2, 3 e 5

Competências específicas

1 e 3

Habilidades

EF08MA18

Competências gerais

2, 9 e 10

Competências específicas

2, 4 e 7

Habilidades

EF08MA19

EF08MA20

EF08MA21

Educação em Direitos Humanos

Competências gerais

10

Competências específicas 7 e 8

Habilidade

EF08MA25

Competências gerais 4, 5 e 7

Competências específicas 2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF08MA26

EF08MA27

Educação Ambiental

Capítulo Objetivos do capítulo BNCC

• Reconhecer números irracionais como números reais.

• Localizar e representar números reais na reta numérica.

• Reconhecer que existem segmentos de reta cujo comprimento é expresso por um número racional.

Competências gerais

1

Competências específicas

2 e 3

Habilidades

EF09MA01

EF09MA02 EF09MA04

Competências gerais

1 e 3

2 Potências e raízes

• Resolver problemas envolvendo potenciação e radiciação.

• Resolver e elaborar problemas com números reais e em notação científica.

Competências específicas

1, 4, 6 e 8

Habilidades

EF09MA03

EF09MA04 EF09MA18

Competências gerais

1, 2 e 5

3 Unidades de medida na informática

• Entender conceitos da linguagem binária de um computador

Competências específicas

2 • Vistas ortogonais e volume de prismas e cilindros

1 Vistas ortogonais de figuras geométricas espaciais

• Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

• Conhecer e utilizar a nomenclatura das diferentes vistas de uma figura geométrica espacial em relação ao observador.

• Utilizar o conhecimento de vistas ortogonais para desenhar objetos em perspectiva.

2 Volume de prismas e cilindros

• Resolver problemas que envolvam o cálculo do volume de prismas e de cilindros retos.

• Compreender a relação entre os volumes de sólidos geométricos equivalentes.

• Representar sólidos geométricos e vistas usando software de Geometria dinâmica.

1 Produtos notáveis

• Diferenciar os produtos notáveis e utilizá-los para simplificar expressões algébricas.

Competências gerais

2 e 5

Competências específicas

2 e 5

Habilidades EM09MA17

Competências gerais

1

Competências específicas

1, 3 e 5

2 Habilidades EM09MA04 EM09MA18 Unidade

Habilidades EM09MA17 EF09MA19

Competências gerais

1, 3 e 4

Competências específicas 6 e 8

Habilidades EF09MA09

Competências gerais

2 e 4

2 Fatoração

• Compreender os processos de fatoração e sua relação com produtos notáveis e expressões algébricas.

Competências específicas

2

Habilidades EF09MA09

Competências gerais

3

Equações polinomiais do 2? grau

• Resolver equações polinomiais do 2? grau por diferentes métodos.

• Resolver sistemas de equações polinomiais do 2? grau.

2

Competências específicas

1 e 2

Habilidades EF09MA09

Ciência e Tecnologia

1

Função afim

• Entender o conceito de função

• Identificar uma função polinomial do 1? grau.

• Identificar e representar graficamente uma função afim.

• Identificar uma função polinomial do 2? grau.

• Interpretar e representar gráficos de funções polinomiais do 2? grau.

2

Função quadrática

• Identificar o domínio, contradomínio e o conjunto imagem de uma função.

• Calcular o(s) zero(s) de uma função.

• Identificar a concavidade de uma parábola.

• Calcular o valor máximo ou mínimo de uma função polinomial do 2? grau.

• Reconhecer eventos dependentes e independentes em experimentos aleatórios.

1

Probabilidade

• Calcular a probabilidade da ocorrência de eventos dependentes e independentes em experimentos aleatórios.

• Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes.

Competências gerais

2 e 8

Competências específicas

3 4 e 6

Habilidades EF09MA06

Competências gerais

4

Competências específicas

1

Habilidades EF09MA06

Competências gerais

2, 4 e 7

Competências específicas

2 e 8

Habilidades EF09MA20

Competências gerais

2

Competências específicas

• Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagem.

• Compreender a aplicação de percentuais sucessivos e determinação de taxas percentuais.

8 e 10

Habilidades EF09MA07

EF09MA08

Competências gerais

2, 3 e 4

Competências específicas

Educação para o Trânsito 3 Porcentagem

2, 3, 6, 8 e 9

Habilidades EF09MA05

Educação Financeira

Referências

AGUIAR, W. M. J. et al. Reflexões sobre sentido e significado. In: BOCK, A. M. B.; GONÇALVES, M. G. M. (org.). A dimensão subjetiva da realidade: uma leitura sócio-histórica. São Paulo: Cortez, 2009.

O livro aborda a “realidade” considerando o sujeito que a constitui e que, ao mesmo tempo, é constituído por ela. No capítulo “Reflexões sobre sentido e significado”, os autores tratam de duas importantes categorias de análise da perspectiva sócio-histórica: “sentido” e “significado”.

ALARCÃO, I. Professores reflexivos em uma escola reflexiva. 8. ed. São Paulo: Cortez, 2011. (Coleção Questões da nossa época, v. 8).

O livro discute importantes temáticas para a escola da atualidade, entre elas: o papel dessa instituição frente à sociedade da informação, do conhecimento e da aprendizagem; a formação do professor crítico-reflexivo; a dimensão coletiva do trabalho docente e a gestão para uma escola reflexiva.

A LÓGICA da tecnologia: o que é pensamento computacional? In: CAPES. eduCapes. Brasília, DF, [202-]. Disponível em: https://educapes.capes.gov.br/ bitstream/capes/597639/2/INFOGR%C3%81FICO%20 -%20O%20QUE%20%C3%89%20PENSAMENTO% 20COMPUTACIONAL.pdf. Acesso em: 24 maio 2022. Infográfico que apresenta a definição de “pensamento computacional” e as quatro etapas para a organização dessa estratégia: decomposição, reconhecimento de padrões, abstração e algoritmos.

BIAGIOTTI, L. C. M. Conhecendo e aplicando rubricas em avaliações. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA, 12., 2005, Florianópolis. Anais [...]. Florianópolis: ABED, 3 abr. 2005. Disponível em: http://www.abed.org.br/congresso2005/por/ pdf/007tcf5.pdf. Acesso em: 24 maio 2022. Artigo que apresenta a rubrica como um potente instrumento de avaliação. Discute as características e as aplicações desse instrumento bem como os procedimentos para sua elaboração e as vantagens e desvantagens de sua utilização.

BIBIANO, B.; SANTOMAURO, B.; MARTINS, A. R. Como agrupo meus alunos? Nova Escola, [São Paulo], 1 mar. 2009. Disponível em: https://novaescola.org.br/ conteudo/1475/como-agrupo-meus-alunos. Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que apresenta e discute diferentes critérios para agrupamento dos estudantes na sala de aula, tendo como ponto de partida o diagnóstico do que cada um sabe sobre o tema em estudo.

BONALS, J. O trabalho em pequenos grupos em sala de aula. Tradução: Neusa Kern Hickel. Porto Alegre: Artmed, 2003.

O livro aborda o trabalho em pequenos grupos na sala de aula, oferecendo ao professor alguns elementos para realizá-lo de maneira satisfatória.

BRASIL. [Constituição (1988)]. Constituição da República Federativa do Brasil de 1988. Brasília, DF: Presidência da República, [2016]. Disponível em: https://www2.senado.leg.br/bdsf/bitstream/handle/ id/518231/CF88_Livro_EC91_2016.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Lei máxima do país que trata da elaboração de todas as outras leis e do conteúdo mínimo que devem ter.

BRASIL. Lei no 13.005, de 25 de junho de 2014 Aprova o Plano Nacional de Educação – PNE e dá outras providências. Brasília, DF: Presidência da República, 2014. Disponível em: http://www.planalto. gov.br/ccivil_03/_ato2011-2014/2014/lei/l13005.htm. Acesso em: 24 maio 2022.

Lei que aprova o Plano Nacional de Educação (PNE), o qual determina diretrizes, metas e estratégias para a política educacional brasileira no período de 2014 a 2024.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/ BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Documento de caráter normativo, aplicado exclusivamente à educação escolar, que define o conjunto orgânico e progressivo de aprendizagens essenciais que todos os estudantes devem desenvolver ao longo da Educação Básica, de modo a terem garantidos seus direitos de aprendizagem e seu desenvolvimento, conforme estabelecido no Plano Nacional de Educação (PNE).

BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica Brasília, DF: MEC, 2013. Publicação que reúne as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Básica, que buscam prover os sistemas educativos, nas esferas municipal, estadual e federal, de instrumentos para que todos os estudantes possam se desenvolver plenamente, em consonância com a idade e o nível de aprendizagem. São essas diretrizes que estabelecem a Base Nacional Comum Curricular (BNCC).

BRASIL. Ministério da Educação. Metodologia de pesquisa na escola. Brasília, DF: MEC, [2018?a]. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/192-metodologia-de-pesquisa-naescola. Acesso em: 24 maio 2022.

Disponível no portal da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), esse artigo discorre sobre alguns dos múltiplos aspectos envolvidos no planejamento de ações pedagógicas que utilizam metodologia de pesquisa na Educação Básica.

BRASIL. Ministério da Educação. O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação de competências. Brasília, DF: MEC, [2018?b]. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/202-o-uso-de-metodologias-ativas -colaborativas-e-a-formacao-de-competencias-2.

Acesso em: 24 maio 2022.

O artigo, disponível no portal da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), discorre sobre o uso de metodologias ativas colaborativas, como jogos de tabuleiro e/ou games, e sua importância para o desenvolvimento de competências e aprendizagens significativas dos estudantes.

BRASIL. Ministério da Educação. Parecer CNE/CEB no 11, de 7 de julho de 2010 – Diretrizes Curriculares

Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos. Brasília, DF: MEC, 2010a. Disponível em: http:// portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman &view=download&alias=6324-pceb011-10&cate gory_slug=agosto-2010-pdf&Itemid=30192.

Acesso em: 24 maio 2022.

Parecer do sociólogo, educador e pesquisador Cesar Callegari sobre as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de nove anos.

BRASIL. Ministério da Educação. Resolução no 7, de 14 de dezembro [de] 2010. Fixa Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos. Brasília, DF: MEC, 2010b. Disponível em: http:// portal.mec.gov.br/dmdocuments/rceb007_10.pdf.

Acesso em: 24 maio 2022.

Resolução da Câmara de Educação Básica do Conselho Nacional de Educação que fixa as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de nove anos.

BRASIL. Ministério da Educação.Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação no contexto escolar: possibilidades. Brasília, DF: MEC, [2018?c].

Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/193-tecnologias-digitais-dainformacao-e-comunicacao-no-contexto-escolarpossibilidades. Acesso em: 24 maio 2022.

Disponível no portal da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), o artigo aborda a incorporação das Tecnologias Digitais da informação e Comunicação (TDICs) às práticas docentes como meio de promover aprendizagens significativas aos estudantes. Também apresenta possibilidades de aplicação das TDICs nas aulas, com exemplos de práticas pedagógicas.

BRASIL. Senado Federal. LDB. Lei de diretrizes e bases da educação nacional. Brasília, DF: Senado Federal: Coordenação de Edições Técnicas, 2017. Disponível em: https://www2.senado.leg.br/bdsf/ bitstream/handle/id/529732/lei_de_diretrizes_e_ bases_1ed.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Lei que estabelece as diretrizes e as bases da educação nacional, as quais definem e regularizam o sistema educacional brasileiro com base nos princípios presentes na Constituição Federal.

DINIZ, Y. Entenda o que são e como trabalhar as metodologias ativas. In: IMAGINIE. Educação. [S. l.], 19 maio 2021. Disponível em: https://educacao.imaginie. com.br/metodologias-ativas/. Acesso em: 24 maio 2022. Texto que explica o que são “metodologias ativas” e apresenta alguns exemplos de sua aplicação na sala de aula.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 25. ed. São Paulo: Paz e Terra, 1996.

O livro enfoca a questão da formação docente e a reflexão sobre a prática educativo-progressiva em favor da autonomia dos estudantes. Em três capítulos, apresenta e discute os inúmeros saberes necessários à prática educativa.

LÜDKE, M.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, 1986. (Coleção Temas básicos de educação e ensino).

O livro aborda temas relacionados à pesquisa em educação, na perspectiva das abordagens qualitativas. Discorre sobre a evolução da pesquisa educacional e apresenta algumas abordagens qualitativas de pesquisa (pesquisa etnográfica e estudo de caso), bem como alguns métodos de coleta de dados (observação, entrevista e análise documental). Traz, ainda, importantes questões relacionadas à análise de dados.

MARTINS, C. H. dos S.; CARRANO, P. C. R. A escola diante das culturas juvenis: reconhecer para dialogar. Educação, Santa Maria, v. 36, n. 1, p. 43-56, jan./abr. 2011. Disponível em: https://periodicos.ufsm.br/ reveducacao/article/view/2910/1664. Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que apresenta e discute os processos sociais e culturais que produzem as chamadas “culturas juvenis”, enfatizando a necessidade de a escola reconhecer esses processos.

MORAN, J. Metodologias ativas e modelos híbridos na educação. In: YAEGASHI, S. et al. (org.). Novas tecnologias digitais: reflexões sobre mediação, aprendizagem e desenvolvimento. Curitiba: CRV, 2017.

O livro discute as contribuições das tecnologias digitais para a educação, com ênfase na formação de professores e nos processos de ensino-aprendizagem. No capítulo

“Metodologias ativas e modelos híbridos na educação”, o autor discorre sobre como os modelos híbridos e as metodologias ativas contribuem para envolver os estudantes no processo de ensino-aprendizagem, tornando-o mais interessante e significativo.

NAÇÕES UNIDAS. Declaração e Programa de Ação sobre uma Cultura de Paz. In: COMITÊ PAULISTA

PARA A DÉCADA DA CULTURA DE PAZ. [S. l.], 1999. Disponível em: http://www.comitepaz.org.br/dec_prog

_1.htm. Acesso em: 24 maio 2022.

Publicação que apresenta as resoluções aprovadas pelas Nações Unidas, em assembleia geral realizada no dia 6 de outubro de 1999, para que se promova e se fortaleça uma cultura de paz em todo o mundo.

NOGUEIRA, N. R. Interdisciplinaridade aplicada. São Paulo: Érica, 1998.

O livro aborda detalhadamente a temática da interdisciplinaridade e apresenta várias alternativas para os professores aplicarem-na em seu cotidiano escolar, com exemplos de projetos interdisciplinares voltados para o Ensino Fundamental.

PORTANOVA, R. A educação matemática e a educação para a paz. Educação, Porto Alegre, v. XXIX, n. 2, p. 435-444, maio/ago. 2006. Disponível em: https://www.redalyc.org/pdf/848/84805910.pdf.

Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que aborda as contribuições da Educação Matemática para a construção de um mundo de paz, destacando outros valores além do conteúdo matemático.

PRADO, A. R. do. Cultura juvenil. Encontros Teológicos, Florianópolis, ano 27, n. 3, p. 67-80, 2012. Disponível em: https://facasc.emnuvens.com.br/ret/ article/viewFile/177/168. Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que apresenta e discute as características mais significativas da cultura juvenil urbana.

RIGOLON, Walkiria. Aprender não é um dom natural. [Entrevista cedida a] Redação. Revista Educação, [São Paulo], 19 maio 2017. Disponível em: https:// revistaeducacao.com.br/2017/05/19/aprender -nao-e-um-dom-natural/. Acesso em: 24 maio 2022. Entrevista com a professora e pesquisadora Walkiria Rigolon sobre a naturalização de alguns saberes e a responsabilidade da escola e da universidade no ensino de procedimentos e técnicas de estudo.

SANTOS, V. O que são metodologias ativas e como elas favorecem o protagonismo dos alunos, Nova Escola, [São Paulo], 8 set. 2021. Disponível em: https://novaescola.org.br/conteudo/20630/especial -metodologias-ativas-o-que-sao-as-metodologias -ativas-e-como-funcionam-na-pratica. Acesso em: 24 maio 2022.

Texto que aborda as metodologias ativas como estratégias que colocam os estudantes no centro do processo de ensino-aprendizagem, oferecendo algumas reflexões para se reavaliar o papel do estudante e do professor nesse processo. Também apresenta alguns exemplos de aplicação de metodologias ativas na sala de aula.

ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar.

Tradução: Ernani F. F. Rosa. Porto Alegre: ArtMed, 1998.

O livro aborda a prática educativa, sob diversos enfoques, como: as variáveis que configuram a prática educativa; a função social do ensino; a aprendizagem dos conteúdos segundo sua tipologia (conteúdos factuais, conceituais, procedimentais e atitudinais); as sequências didáticas e as sequências de conteúdo; as relações interativas em sala de aula; a organização da classe, com enfoque na forma de agrupamento dos estudantes; a organização dos conteúdos; o processo avaliativo e outros.

José Roberto Bonjorno

• Bacharel e licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Regina Azenha Bonjorno

• Bacharel e licenciada em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Professora do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Ayrton Olivares

• Bacharel e licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Marcinho Mercês Brito

• Doutor em Estatística e Experimentação Agropecuária pela Universidade Federal de Lavras (UFLA-MG)

• Mestre em Ciências Agrárias pela Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB-BA)

• Pós-graduado em Formação para o Magistério – Área de Concentração: Metodologia do Ensino e da Pesquisa em Matemática e Física pelas Faculdades Integradas de Amparo (FIA-SP)

• Engenheiro Agrônomo pela Universidade Federal da Bahia (UFBA)

• Licenciado em Matemática pela Faculdade de Ciências Educacionais (FACE-BA)

• Professor do Ensino Médio e do Ensino Superior

ENSINO

FUNDAMENTAL

ANOS FINAIS

COMPONENTE CURRICULAR

MATEMÁTICA

1a edição São Paulo, 2022

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Amplitude : matemática. 8 : ensino fundamental : anos finais / José Roberto Bonjorno...[et al.]. -- 1. ed. -- São Paulo : Editora do Brasil, 2022. -- (Amplitude matemática)

Outros autores: Regina Azenha Bonjorno, Ayrton Olivares, Marcinho Mercês Brito

ISBN 978-85-10-08395-9 (aluno)

ISBN 978-85-10-08396-6 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Bonjorno, José Roberto. II. Bonjorno, Regina Azenha. III. Olivares, Ayrton. IV. Brito, Marcinho Mercês. V. Série.

22-111843

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427

© Editora do Brasil S.A., 2022

Todos os direitos reservados

Direção-geral: Vicente Tortamano Avanso

Direção editorial: Felipe Ramos Poletti

Gerência editorial de conteúdo didático: Erika Caldin

Gerência editorial de produção e design: Ulisses Pires

Supervisão de artes: Andrea Melo

Supervisão de editoração: Abdonildo José de Lima Santos

Supervisão de revisão: Elaine Cristina da Silva

Supervisão de iconografia: Léo Burgos

Supervisão de digital: Priscila Hernandez

Supervisão de controle de processos editoriais: Roseli Said Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes

Supervisão editorial: Everton José Luciano

Edição: Daniel Leme, Katia Queiroz, Lourdes Ferreira e Marcos Silva

Assistência editorial: Douglas F. Giaquinto e Wagner Razvickas

Revisão: Amanda Cabral, Andréia Andrade, Fernanda Sanchez, Gabriel Ornelas, Giovana Sanches, Jonathan Busato, Júlia Castello, Luiza Luchini, Maisa Akazawa, Mariana Paixão, Martin Gonçalves, Rita Costa, Rosani Andreani e Sandra Fernandes

Pesquisa iconográfica: Ana Brait

Design gráfico: APIS design

Capa: Estúdio Siamo

Imagem de capa: eugenesergeev/iStockphoto.com e Nutsaehun/ iStockphoto.com

Edição de arte: Daniel Souza, Marcela Tenguan e Mario Junior Ilustrações: Adriano Gimenez, Aline Rivolta, André Martins, DAE, Danillo Souza, João P. Mazzoco, Luca Navarro, Luiz Lentini, Marcel Borges, Marcos Guilherme, Murilo Moretti, Reinaldo Vignati, Tarcísio Garbellini, Thiago Lucas e Wanderson Souza

Produção cartográfica: Sônia Vaz

Editoração eletrônica: Fórmula Produções Editoriais

Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Jennifer Xavier, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini

Controle de processos editoriais: Bruna Alves, Julia Nascimento, Rita Poliane, Terezinha de Fátima Oliveira e Valeria Alves

1a edição, 2022

Rua Conselheiro Nébias, 887

São Paulo/SP – CEP 01203-001

Fone: +55 11 3226-0211

www.editoradobrasil.com.br

Apresentação

Cara estudante, caro estudante

Vivemos hoje em uma sociedade dinâmica, complexa e tecnológica. Nesse universo, mesmo sem perceber, estamos todos conectados a números, algoritmos, operações, medidas etc. Ao falar sua data de nascimento, você usa os números; para pagar uma compra, você também os utiliza; as páginas da internet e das redes sociais que você acessa funcionam por meio de algoritmos, e assim por diante. Com esta coleção, queremos aproximar ainda mais a Matemática de sua realidade, de modo que você possa raciocinar matematicamente, pensar de maneira lógica, comparar grandezas, analisar evidências e argumentar com base em números. Assim, você poderá programar um futuro melhor, no qual símbolos que representam matematicamente a desigualdade e a diferença poderão ser socialmente substituídos pelos sinais de igualdade e semelhança. Para construir esse futuro, precisamos aprender a pensá-lo matematicamente melhor!

Bons estudos!

Os autores

Vista de parte desmatada da Floresta Amazônica perto de Manaus (AM), 2020.

Calcule média, mediana e a moda do desmatamento na Região Norte em 2019.

Para começar

Abertura de unidade

Em cada uma das oito aberturas, você encontrará imagens, textos e questões relacionados ao tema estudado na unidade.

Abertura de capítulo

Os conteúdos são apresentados de forma objetiva e organizada.

Sequências

A sequência de figuras representadas abaixo obedece a um padrão de formação:

Quantas compõem sétima figura dessa sequência?

E décima figura dessa sequência, quantas tem?

Por exemplo, na sequência 2, 3, 5, 7, 11, ..., o primeiro segundo 3 e o quinto Para representar um termo qualquer, utilizamos ou mo, ou termo de ordem n em que n 1, 2, 3, ... Por esse motivo, é chamado termo geral da sequência. Determinando os termos de uma sequência Os termos de uma sequência podem ser determinados formação também chamada de fórmula do termo geral calculado em função de sua posição "n", ou por recorrência, calculado conhecendo seu antecessor. Acompanhe os exemplos Lorenzo determinou o termo geral da sequência 11, cular quinquagésimo termo. Cada termo dessa sequência, a partir do primeiro, é adicionado a 10. Veja:

A reflexão é um movimento que muda a posição da figura, mantendo o tamanho original, mas inverte sua orientação. Para que ocorra reflexão, é necessário ter um eixo que serve como referência, cujo nome é eixo de reflexão Observe que o triângulo III foi refletido por um eixo para chegar à posição IV. Pelo fato de preservarem as distâncias entre dois pontos, a reflexão dá origem a figuras congruentes. Observe na figura que:

A reflexão uma transformação muito possível identificá-la?

A é simétrico de A em relação ao eixo de reflexão; é simétrico de em relação ao eixo de reflexão; C é simétrico de C em relação ao eixo de reflexão. Assim, podemos concluir que o triângulo IV é congruente ao triângulo III.

a transformação geométrica do plano na qual uma figura refletida em relação a um eixo, chamado de eixo de reflexão.

Rotação Veja como fazer o triângulo V coincidir com o triângulo VI.

rotação Ilustrações: DAE

Para fazer o triângulo V coincidir com o triângulo VI, usamos o movimento de rotação É como se o triângulo V girasse ao redor de um ponto, sob determinado ângulo, até ocupar a posição VI. Os triângulos apresentados em cada caso podem ser sobrepostos ponto ponto; portanto, também são congruentes.

Rotação é transformação geométrica do plano na qual uma figura é girada ao redor de um ponto ou de uma reta sob determinado ângulo.

Veja agora os triângulos VII e VIII.

Eles não são congruentes, pois não têm o mesmo formato nem as mesmas dimensões. Assim, não podem ser sobrepostos, de modo que coincidam ponto ponto.

12 (CESGRANRIO-RJ) Um carteiro decide registrar o número de cartas enviadas a um endereço nos últimos 7 dias. No entanto, ele se esquece do número de cartas do primeiro dia, lembrando-se apenas daqueles correspondentes aos 6 dias restantes: 3, 5, 4, 5, 4 e 3, e de que, nos 7 dias considerados, a média, a mediana e a moda foram iguais. O número de cartas enviadas no primeiro dia foi: a) 2. b) 3. c) 4.

d) 5. e)

13 Elabore três problemas em que seja conveniente calcular a média em um, a moda em outro a mediana no outro. Em seguida, resolva-os.

(UFU-MG) Em uma reunião para comemorar o Ano Novo, 13 familiares estavam reunidos em um salão de festas e cada um levou um presente embalado com apenas uma cor, sendo que 3 presentes estavam embalados na cor branca, 4 na cor cinza, 4 na cor amarela e 2 na cor verde. Dois membros dessa família fizeram as seguintes afirmações independentes. Membro Se eu trocar a cor da embalagem do meu presente por uma nova embalagem na cor verde, então a moda passará a ser somente presentes embalados de cinza. Membro II. Se mais uma pessoa chegar à nossa reunião e trouxer um presente embalado da mesma cor que a do meu presente, então a embalagem cinza deixará de ser moda. Baseando-se nas informações apresentadas, é correto afirmar que: a) os membros e II trouxeram presentes com embalagens amarelas. b) o membro trouxe um presente com embalagem cinza o membro II, com embalagem amarela. c) o membro trouxe um presente com embalagem amarela e o membro II, com embalagem cinza. d) os membros e II trouxeram presentes com embalagens cinza.

O jogo dos 3Ms [...] Denominamos nosso jogo de “O jogo dos 3Ms”, por considerar as três principais medidas de tendência central da Estatística Descritiva. [...] Para a realização do “Jogo dos 3Ms”, utilizamos:

1–Material O jogo requer 36 cartas de um baralho comum, numeradas de a 10, com quatro cartas de cada número e uma folha de papel para anotações das jogadas. Para este jogo, consideramos apenas número da carta, e não o naipe.

2–Objetivo Obter o maior número de pontos. As pontuações serão obtidas em função dos maiores valores de uma das medidas de posição, dentre média, mediana ou a moda. Em cada rodada, um dos jogadores escolhe qual dessas medidas de posição será utilizada.

Atividades

Considere os polígonos a seguir.

BC G

Considere as figuras a seguir.

Apresenta perguntas disparadoras e testagem de conhecimentos prévios sempre no começo de cada capítulo.

É hora do jogo

Prepare-se para encarar jogos matemáticos desafiadores nesta seção.

Atividades

H L K

a) Identifique os ângulos e os lados correspondentes desse polígono. b) Os ângulos internos correspondentes desses polígonos têm mesma medida? Justifique sua resposta. c) Os lados correspondentes desses polígonos têm a mesma medida? d) Esses polígonos são congruentes? Explique sua resposta.

Desenhe as figuras acima em uma folha de papel quadriculado imaginando que elas efetuaram uma rotação de 90º graus no sentido horário.

3 Quais figuras abaixo são congruentes?

Explique como você pensou para responder.

4 A figura ao lado representa fractal chamado árvore de Pitágoras, que recebe esse nome porque cada trio de quadrados que se forma determina um triangulo retângulo. a) Desenhe no caderno uma parte da árvore de Pitágoras. b) Os quadrados que você desenhou são congruentes? Troque ideias com um colega, explique seu raciocínio e observe raciocínio que ele utilizou.

118 119

Esta seção irá ajudá-lo a concretizar os conteúdos estudados.

168

Introdução É comum observarmos conjuntos cujos elementos estão dispostos em certa ordem, seguindo ou não determinado padrão. Dizemos que esse conjunto corresponde a uma sequência sucessão Sequência dos números naturais pares: 0, 2, 4, 6, 8, ... Sequência dos números naturais primos: 2, 3, 5, 7, 11, ... Sequência de formas geométricas planas:

Ilustrações: DAE

1. Qual é o 6 número natural ímpar? 2. E o 10 número natural par? Registre suas conclusões no caderno, explique como chegou elas e compare suas respostas com as de um colega.

índice um" ou "a um". 1 termo 3 termo enésimo termo

Pense e responda

Traz questões que funcionam como reflexão em meio à teoria.

Apresenta fatos curiosos ligados a algum tema em discussão.

Indicação de livros, sites, vídeos etc.

No final de algumas seções Atividades, é o momento para trabalhar o raciocínio lógico.

Faça uma viagem no tempo com este boxe para descobrir a origem de determinado tema/conteúdo.

Sendo um número natural diferente de zero, termo Esse termo possibilita obter qualquer termo da sequência sua posição ou ordem. Fazendo n 50, obtemos o quinquagésimo

então,

+ 500, logo Portanto, o 50

É importante lembrar que é sucessor de natural diferente de zero.

Cavan-Images/Shutterstock.com

8 Com base nesses dados, qual das afirmativas a seguir é falsa?

Quadriláteros Elementos de um quadrilátero Agora, vamos rever e ampliar o conhecimento sobre as propriedades dos quadriláteros. O pintor holandês Piet Mondrian (1872-1944) produziu diversas obras utilizando quadriláteros. Observe obra a seguir.

Educação Financeira

no nosso cotidiano. Composição 1918.Óleo sobre tela,80,2 cm * 49,9 cm. Quadriláteros são polígonos de quatro lados. I. O triângulo ABC é equilátero. II. O triângulo BAD é retângulo. III. O triângulo ADC é isósceles. é 60 V. O valor de y é 120 Embalagem influencia decisão de compra do brasileiro,

Veja outros exemplos em que podemos observar a forma de quadriláteros

A definição mais aceita para desenvolvimento sustentável o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração atual, sem comprometer capacidade de atender as necessidades das futuras gerações. É desenvolvimento que não esgota os recursos Essa definição surgiu na Comissão Mundial sobre Meio Ambiente e Desenvolvimento, criada WWF BRASIL. Brasília, DF, c2022. Disponível em: https://www.wwf.org.br/natureza_brasileira/questoes_

Quadra de tênis. Tampo de uma mesa.

1. Você já decidiu comprar algum produto levando em consideração a embalagem?

2. Na sua opinião, como deve ser a embalagem ideal?

MatemaTIC

Maxim Blinkov/Shutterstock.com

Organizando informações com planilhas eletrônicas Vamos calcular a média das notas da turma organizando as informações em uma tabela e apresentando-as em um gráfico, usando uma planilha eletrônica? Siga o passo a passo. Ao abrir a planilha eletrônica, você encontrará uma tela similar à da imagem abaixo.

Sandra Lass/Shutterstock.com

Óleo acondicionado em diferentes recipientes.

Como as nações unidas apoiam os Objetivos de

Tapete com formas geométricas. Portão de uma propriedade.

Matemática Interligada

A ONU e seus parceiros no Brasil estão trabalhando para atingir os Objetivos de Desenvolvimento Sustentável em nosso país. São 17 objetivos ambiciosos e interconectados que abordam os principais desafios de desenvolvimento enfrentados por pessoas no Brasil e no mundo. [...] são um apelo global à ação para acabar com a pobreza, proteger meio ambiente e o clima e garantir que as pessoas, em todos os lugares, possam desfrutar de paz e de prosperidade. Estes são os objetivos para os quais as Nações Unidas estão contribuindo a fim de que possamos atingir ONU Sobre nossotrabalhoparaalcançarosObjetivosdeDesenvolvimentoSustentávelnoBrasil Brasília, DF: ONU Brasil, 2022. Disponível em: https://brasil.un.org/pt-br/sdgs. Acesso em: 14 maio 2022.

Nesta seção, você precisará do apoio de tecnologias digitais para executar variadas atividades sobre diversos assuntos.

2 passo Insira os títulos e as notas dos estudantes na planilha, conforme a imagem ao lado. Nesse exemplo, os dados são fictícios.

3 passo Na célula E4 digite =SOMA(B4:C4/3), referente ao estudante A, e tecle “Enter”. Com isso, você encontrará a

Seção que apresenta temas contemporâneos e relaciona a Matemática a outras áreas do conhecimento.

1 Em relação ao

ODS-7, por meio de uma pesquisa, busquem informações atuais sobre o acesso dos brasileiros à energia limpa. Organizem as informações obtidas e definam melhor forma de apresentá-las (painel, planilha, tabela, gráfico, multimídia), de forma que resultem em informações e esclarecimentos importantes para compartilhar com todos.

seu bem-estar; e 4) necessárias à sua reprodução física cultural. [...] O QUE são Terras Indígenas? TerrasIndígenasnoBrasil s. [20--?]. Disponível em: https://terrasindigenas.org.br/pt-br/node/23. Acesso em: 12 maio 2022.

Marcos Amend/Pulsar Imagens

cm Caixa 60º

Acapuri de Cima. TerrasIndígenasnoBrasil [20--?]. Disponível em: https://terrasindigenas.org.br/pt-br/terras-indigenas/4184; TERRA Indígena Acimã. TerrasIndígenasnoBrasil Disponível em: https://terrasindigenas.org.br/pt-br/terras-indigenas/3935. Acessos em: 12 maio 2022.

Leia as informações acima responda às questões a seguir.

a) Qual foi a unidade de medida utilizada para indicar área dessas duas terras indígenas?

b) Qual é a diferença entre as áreas dessas duas terras indígenas?

c) Você já visitou alguma terra indígena? Faça uma pesquisa para verificar se há terras indígenas no estado em que você mora.

Volume e capacidade do bloco retangular e do cubo

Relações entre volume e capacidade O bloco retangular tem três dimensões: comprimento c), largura e altura h Assim, fórmula para calcular o volume V de um bloco retangular é dada por:

Ilustrações: DAE

Um cubo é um bloco retangular em que altura, a largura e o comprimento têm a mesma medida. Chamando essa medida de

Para encerrar

V .W h

Atividades complementares apresentadas ao final de cada unidade cujo objetivo é revisar o conteúdo estudado.

(OMRP-SP) Todos os números de quatro algarismos que “terminam” em 17 são escritos em ordem

crescente. Em qual posição nessa sequência está situado o número 2 017? (Atenção: o primeiro algarismo esquerda não pode ser zero.)

a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 18

Em qual das caixas abaixo cabem mais cubinhos cujas arestas medem 1 cm?

2 (OMDF) Laura convidou suas amigas, Amanda, Bruna, Clara, Daniela e Eliane, para jogarem um jogo, com as seguintes regras:

Analise a situação a seguir. Marina adquiriu uma caixa cúbica de volume 1 dm (um decímetro cúbico), isto é, uma caixa cúbica cujas arestas medem 1 dm. Ela forrou a caixa com plástico e despejou nela um litro de água. Marina observou que toda a água coube na caixa e não transbordou. Ela concluiu, assim, que 1 dm

Ícones

Autoavaliação

Momento para você verificar o que aprendeu na unidade.

Laura deveria pensar em 10 números naturais.

II. Em cada rodada, Amanda iniciaria escolhendo um número natural ganharia 1 ponto se esse fosse um dos números pensados por Laura. Em seguida, Bruna escolheria outro número natural e também ganharia 1 ponto se esse fosse um dos números pensados por Laura. Em seguida, seria Clara e assim sucessivamente, procedendo em ordem alfabética.

III. O jogo acabaria quando todos os números pensados por Laura tivessem sido escolhidos. Assim, ao final de uma rodada, se ainda não tivessem sido escolhidos todos os números pensados por Laura, elas iniciariam uma nova rodada. Sabendo que: Laura pensou nos números da forma 201 17, com 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.

Amanda iniciou a primeira rodada escolhendo o número 1.

O jogo procedeu de forma que, se um jogador escolhesse o número o próximo jogador escolheria o número + 1. a) Determine todos os números pensados por Laura.

b) Em qual rodada o jogo acabou?

c) Ao final do jogo, quantos pontos foram obtidos por cada jogadora?

3 (IFRJ) As Artes Plásticas são diversas em suas formas, cores representações, tendo o poder de transmitir uma mensagem sem precisar usar palavras. Pensando nisso, um artista criou um tapete a partir da repetição de uma única figura e alternou quatro cores, segundo seguinte sequência: 1-vermelho, 2-amarelo, 3-azul,

4-verde, 5-vermelho, 6-amarelo, 7-azul, 8-verde e assim, sucessivamente, conforme esta figura.

Então, cor da figura de número 1 045 será o: a) vermelho. b) amarelo. c) azul. d) verde.

(OMM E REGIÃO-PR) João rasgou um pedaço de papel em 7 pedaços. Depois ele pegou um dos pedaços e o rasgou em 7 pedaços novamente.

a) Quantos pedaços ele obteve?

b) Se ele continuar fazendo esse procedimento, isto é, escolhendo um dos pedaços de papel e rasgando em 7 pedaços menores, quantos pedaços ele terá depois de fazer o procedimento pela décima vez?

c) Quantas vezes ele terá que executar o procedimento para ter 2 017 pedaços?

5 (PUCC-SP) Para fazer a digitalização de 30 páginas, um estagiário leva 28 minutos. Se o estagiário trabalhar durante suas 4 horas e 40 minutos de expediente com o dobro dessa velocidade de digitalização, nesse expediente de trabalho, ele será capaz de digitalizar um total de páginas igual a: a) 300. b) 480. c) 600. d) 680. e)

diâmetro do disco dentado

186 187 6 (IFMG) O carro de Paula percorre 65 km com 5 litros de combustível. Quantos litros desse combustível serão necessários para Paula percorrer 156 km? a) 9

8 (CMPA-RS) Às 6h, o relógio muito bem ajustado da Igreja Santa Terezinha levou 30 segundos para dar as seis badaladas. Sendo assim, pode-se concluir que o tempo, em segundos, necessário para esse relógio dar as doze badaladas correspondentes às 12h é igual a: a) 64. b) 58. c) 66. d) 62. e) 60. 9 (ENEM) Um ciclista quer montar um sistema de marchas usando dois discos dentados na parte traseira de sua bicicleta, chamados catracas. A coroa é o disco dentado que é movimentado pelos pedais da bicicleta, sendo que a corrente transmite esse movimento às catracas, que ficam posicionadas na roda traseira da bicicleta. As diferentes marchas ficam definidas pelos diferentes diâmetros das catracas, que são medidos conforme indicação na figura. O ciclista já dispõe de uma catraca com 7 cm de diâmetro e pretende incluir uma segunda catraca, de modo que, à medida que corrente passe por ela, a bicicleta avance 50% mais do que avançaria se a corrente passasse pela primeira catraca, a cada volta completa dos pedais. O valor mais próximo da medida do diâmetro da segunda catraca, em centímetro e com uma casa decimal, é: a) 2,3. b) 3,5. c) 4,7. d) 5,3. e) 10,5.

Autoavaliação Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade. C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi O que aprendi CPN Identifico regularidades de sequências numéricas não recursivas sei construir algoritmos por meio de fluxogramas. Identifico a regularidade de sequências numéricas recursivas sei construir algoritmos por meio de fluxogramas. Identifico a natureza da variação de duas grandezas (direta e inversamente proporcionais ou não proporcionais). Expresso uma relação entre grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de uma sentença algébrica. Resolvo problemas que envolvem grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas. Para Criar Calculadora Atividade em dupla

Este selo indica o trabalho sobre um Tema Contemporâneo Transversal.

Principais objetivos da unidade

• Determinar a fração geratriz de dízimas periódicas.

• Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros.

• Compreender e utilizar a notação científica.

• Relacionar potências a raízes e entender a raiz como potência de expoente fracionário.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo cálculo de porcentagem.

• Utilizar calculadora para determinar cálculos de porcentagem.

• Compreender o princípio multiplicativo da contagem.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam o princípio multiplicativo da contagem.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF0MA05 por meio do reconhecimento, da utilização e obtenção de fração geratriz para o estudo de dízimas periódicas. O trabalho com notação científica permite o desenvolvimento da habilidade EF08MA01 por meio da resolução de cálculos com expoentes inteiros. A resolução e elaboração de problemas usando a relação entre potenciação e radicação para explorar potência com expoente fracionário contribui para o desenvolvimento da habilidade EF08MA02

A abordagem de porcentagem com e sem uso da calculadora favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA04. A utilização do princípio multiplicativo no estudo das possibilidades permite o desenvolvimento da habilidade EF08MA03

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• relacionem a escrita fracionária e a decimal;

• calculem operações de potenciação com números inteiros;

• calculem potências com expoentes inteiros de base 10;

• estabeleçam a relação entre potenciação e radiciação;

• calculem porcentagens;

• saibam interpretar e calcular situações que envolvam multiplicação.

Avaliação diagnóstica

É importante observar se os estudantes já dominam os pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade. Para isso, promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre os pré-requisitos elencados e a citar exemplos do cotidiano. Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retome os conteúdos propostos para garantir que todos os estudantes os tenham compreendido.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1 e 9

Competências específicas 1, 2, 4 e 6

Habilidades EF08MA01, EF08MA02, EF08MA03, EF08MA04, EF08MA05 e F06MA06

Foco nos TCTs

• Saúde

• Vida Familiar e Social

• Educação em Direitos Humanos

O microscópio é uma ferramenta para visualizar com precisão objetos minúsculos que não seriam perceptíveis a olho nu.

A nanotecnologia na medicina auxilia na visualização e no diagnóstico de doenças.

Cálculos com números reais, porcentagem, contagem e possibilidades

A nanotecnologia pode ser definida como a engenharia das coisas extremamente pequenas. O prefixo nano (representado pela letra n) corresponde à bilionésima parte de uma unidade:

10–9 = 0,000000001

Para se ter uma ideia de quão pequeno é 1 nanômetro, (a bilionésima parte do metro), vamos pensar, por exemplo, na espessura média de um fio de cabelo humano, que é de 0,07 mm, o que corresponde a 70 000 nm!

1. Você já ouviu falar de nanotecnologia?

2. Pesquise esse tema e dê pelo menos dois exemplos de aplicação da nanotecnologia.

Resposta pessoal. Resposta pessoal.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• determinar a fração geratriz de dízimas periódicas;

• efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros;

• resolver e elaborar problemas envolvendo cálculo de porcentagem;

• resolver problemas de contagem.

Orientações

O tema proposto na abertura desta unidade possibilita retomar conhecimentos sobre o uso de potências para representar os números decimais, o cálculo de potências negativas ou a equivalência entre as representações dos números na forma fracionária e decimal.

Resposta da questão 2

Na Biomedicina, na indústria textil, na eletrônica, entre outros.

Atividades complementares

Peça aos estudantes que assistam ao vídeo OqueéNanotecnologia? (3min15s), criado pela TV e Rádio Unisinos (RS), e depois escrevam um pequeno relatório com o que entenderam. O vídeo está disponível em: https://www.youtube.com/watch? v=36WpkdUy9x4 (acesso em: 13 jun 2022).

Objetivos do capítulo

• Determinar a fração geratriz de dízimas periódicas.

• Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros.

• Compreender e utilizar a notação científica.

• Relacionar potências a raízes e entender a raiz como potência de expoente fracionário.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1 Competências específicas

1 e 2

Habilidades EF08MA01, EF08MA02, EF08MA05 e EF08MA06

Foco nos TCTs

• Saúde

Orientações

Em Para começar, verifique se os estudantes estabelecem estratégias para representar, na forma decimal, os números apresentados na forma fracionária.

Resolução do Para começar

4

50 0, 08 = (tem duas casas decimais)

47 3 15 , 666 = (6 se repete indefinidamente)

35

99 0, 353535 = … (35 se repete indefinidamente)

De acordo com os resultados obtidos, apresente outros exemplos e explore a ideia de dízima periódica.

Estimule os estudantes a determinar outros números na forma de fração que podem ser representados por uma dízima periódica.

Em seguida, incentive-os a definir maneiras de obter a fração que representa determinados números na forma decimal. Primeiro, pode-se propor números na forma decimal finita e, depois, explorar números que apresentem dízimas periódicas.

Cálculos com números reais

Observe as frações 4 50 ,  47 3  e 35 99 ?

Respostas no Manual do Professor.

• Utilize a calculadora para efetuar as divisões e representar as frações na forma decimal. • O que podemos observar nas casas decimais de cada um desses números?

Dízima periódica

Considere as frações decimais que têm como denominador produtos de potências de 2 e de 5. Veja alguns exemplos.

Considerando essas frações, temos que 45

são frações decimais, pois o denominador é 10, 100, 1 000 etc. Já

não são frações decimais, mas, por meio de frações equivalentes, podem ser escritas como frações decimais. Veja a seguir.

Observe que os números decimais que representam essas frações têm um número finito de casas após a vírgula e, por isso, são denominados números decimais exatos.

Quando uma fração não aparente não puder ser escrita como fração decimal, sua representação decimal terá infinitas casas após a vírgula. Veja alguns exemplos:

7 9 0,77777... =

O algarismo 7 se repete infinitamente.

14 3 4,66666 =

O algarismo 6, após a vírgula, repete-se infinitamente.

= 23 99 0,23232323

Após a vírgula, é o número 23 que se repete infinitamente.

= 137 90 1,522222...

Nesse exemplo, após a vírgula aparece o algarismo 5 e, na sequência, a repetição infinita do algarismo 2.

= 893 1650 0,5412121212...

O número que se repete infinitamente, nesse caso, é o 12, mas, antes dele, logo após a vírgula, aparecem os algarismos 5 e 4.

Números racionais com essa forma são chamados de dízimas periódicas

A parte do número que se repete infinitamente após a vírgula é denominada período.

Assim, dos exemplos acima, temos:

• 0,77777..., 4,66666… e 0,23232323... são dízimas periódicas simples, pois após a vírgula vem o período.

• 1,522222... e 0,5412121212... são denominadas dízimas periódicas compostas, pois, após a vírgula, há números que não pertencem ao período (chamados de parte não periódica).

As dízimas periódicas podem ser representadas de forma abreviada usando-se uma barra sobre o período. Assim:

• A dízima periódica 3,55555... pode ser representada por 3,5

• A dízima periódica 1,832323232... pode ser representada por 1, 832

As frações que dão origem às dízimas periódicas são denominadas frações geratrizes

Por exemplo, uma fração geratriz de 1,52222... é 137 90

Apenas a fração geratriz 14 3 produz a dízima 4,6666...? Como você explica isso?

Não. Qualquer fração equivalente a 14 3 vai resultar na mesma dízima periódica. Faça no caderno

Atividades

1 Quais das frações abaixo representam uma dízima periódica?

3 15

2 Quais são os períodos das dízimas a seguir?

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA05

Explore a questão do Pense e responda solicitando aos estudantes que apresentem outras frações que representem o número 4,666..., retomando o conceito de frações equivalentes.

Resolução da atividade 1

a

) 3 : 8 = 0,375

b) 3 : 15 = 0,2

c) 2 : 9 = 0,222... O número 2 é o período do número decimal 0,2222...

d) 5 : 3 = 1,6666... O número 6 é o período do número decimal 1,6666...

Como 3 8  e 3 15 têm denominadores que são múltiplos de 2 e de 5, eles não representam dízimas periódicas.

Entretanto, os denominadores de 2 9  e 5 3 são múltiplos de 3, que representam dízimas periódicas.

Resolução da atividade 2

a) Como o número que se repete é 5, esse é o período da dízima.

b) Como o número que se repete é 29, esse é o período da dízima.

c) Como o número que se repete é 425, esse é o período da dízima

d) Como o número que se repete é 8, esse é o período da dízima.

DAE

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA05

Resolução da atividade 3

a) Como 19 5 = 3,8 e 58 7 =

= 8,285714285714..., temos: 45678 19 5 58 7

Portanto, os estudantes podem citar os números 4, 5, 6, 7 e 8.

b) Há várias possibilidades como:

4,1; 5,5; 6,3; 7,2; 8,1 etc.

c) Há várias possibilidades como: 4,222..., 5,111..., 6,333... etc.

3 Considere os números 19 5 e 58 7

a) Quais são os números inteiros que ficam entre 19 5 e 58 7 na reta real?

b) Escreva dois números decimais que ficam entre 19 5 e 58 7 na reta real.

c) Escreva uma dízima periódica que fica entre 19 5 e 58 7 na reta real.

            3 2 12 1 4 11 2 30 -:+-4, 5, 6, 7 e 8

Exemplo: 4,

Fração geratriz de uma dízima periódica

Já sabemos que a fração geratriz dá origem a uma dízima periódica. Mas como encontrar as frações que geram essa dízima?

Acompanhe os exemplos.

Vamos determinar a fração geratriz da dízima 0,6666... Veja como podemos calcular, passo a passo, essa fração.

0,1111...

1 2 2       : 9 4            + 1 - 1 = 1 4       .            4 9 =

1?) Chame a dízima de x:

x = 0,6666... 

2?) Multiplique ambos os membros da  por 10 para deixar um período da dízima (6) do lado esquerdo da vírgula:

10x = 6,666666... ‚

3?) Subtraia, membro a membro, a igualdade  da igualdade ‚ para eliminar a parte decimal e, em seguida, resolva a equação resultante:

10x = 6,666666... ‚

-

x = 0,666666... 

9x = 6

x = 6 9

4?) Simplifique, quando possível, o resultado da equação:

x == 6 9 2 3

Agora, vamos determinar a fração geratriz da dízima 0,727272...

1?) Como no caso anterior, chame a dízima de x:

x = 0,727272... 

2?) Multiplique ambos os membros da  por 100 para deixar um período da dízima (72) do lado esquerdo da vírgula:

100x = 72,727272... ‚

3?) Subtraia, membro a membro, a igualdade  da igualdade ‚ para eliminar a parte decimal e, em seguida, resolva a equação resultante:

100x = 72,727272... ‚

x = 0,727272... 

99x = 72

x = 72 99

4?) Simplifique, quando possível, o resultado da equação:

x == 72 99 8 11

5?) Pronto. Uma fração geratriz da dízima 0,727272... é 8 11

Para finalizar, vamos determinar a fração geratriz da dízima periódica composta 4,2181818...

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA05

Escreva outras dízimas periódicas na lousa, a fim de que apliquem o método e verifiquem se obtêm as frações geratrizes corretas.

Verifique se os estudantes compreenderam o procedimento utilizado para o cálculo da fração geratriz. Caso apresentem dúvidas, organize os estudantes em duplas e peça que um explique ao outro o passo a passo e depois invertam os papéis.

1?) Chame a dízima de x:

x = 4,21818181818... 

2?) Multiplique ambos os membros da  por 10 e por 1 000, obtendo, respectivamente, as igualdades ‚ e ƒ: 10x = 42,1818181818... ‚ e 1 000x = 4218,181818... ƒ

3?) Subtraia, membro a membro, a igualdade ‚ da igualdade ƒ:

=

Orientações

As atividades dessa página desenvolvem a habilidade EF08MA05 Resolução da atividade 1 do Pense e responda

• x = 0,111... então 10x = 1,111...

x - x = 1,111... - 0,111...

9x = 1 6 x = 1 9

• x = 0,222... então 10x = 2,222...

10x - x = 2,222... - 0,222...

9x = 2 6 x 2 9 =

• x = 0,333... então 10x = 3,333...

10x - x = 3,333... - 0,333...

9 x = 3 6 x = 3 9 1 3 =

Observando a regularidade podemos obter as demais frações geratrizes = 4 9 ,  5 9 ,  6 9 2 3 ,  7 9 e  8 9

a) Toda as frações geratrizes dessa atividade, não simplificadas, têm denominador 9 e o período é igual ao numerador.

b) Apenas um 9 no denominador.

c) x = 0,999... então 10x = 9,999...

10x - x = 9,999... - 0,999...

9x = 9 6 x = 9 9 1 =

0,9999... pode ser aproximada para 1. Resolução da atividade 2 do Pense e responda

x = 0,636363... então 100 x =

= 63,636363... 100x - x = 63,636363... -

Atividades

1. Determine a fração geratriz das dízimas periódicas a seguir.

• 0,111...

• 0,222...

• 0,333...

• 0,444...

• 0,555...

• 0,666...

a) Escreva as regularidades que você observou.

• 0,777...

• 0,888...

b) O denominador correspondente de cada dízima encontrada possui quantos “noves”?

c) Faça uma pesquisa sobre a fração geratriz da dízima 0,999... e, depois, troque ideia com o professor e com os colegas, sobre o resultado encontrado.

2. Determine a fração geratriz das dízimas: 0,636363... e 0,327327327...

a) Quantas casas decimais tem o período de cada uma dessas dízimas?

b) O denominador correspondente de cada dízima encontrada possui quantos “noves”?

c) Em uma dízima periódica de casas decimais o período é a quantidade de “noves” do denominador da fração geratriz da dízima. Que relação você pode estabelecer? Como você explica isso?

1 Utilize as técnicas apresentadas nos exemplos para calcular a fração geratriz irredutível de cada dízima.

a) 0,82222222... 74 90

b) 4,27272727... 47 11

c) 0,84848484... 28 33

d) 1,2488888888... 281 225

e) 1,222... 11 9

2 Da maneira que achar conveniente, determine a fração geratriz irredutível das dízimas abaixo.

a) 0,5555... 5 9

b) 0,424242...

c) 0,0111... 1 90

d) 2,3888... 43 18

x = 0,327327... então 1 000x =

= 327,327327...

1 000x - x =

= 327,327327... - 0,327327...

999x = 327 6 x = 327 999 109 333 =

a) Respectivamente, 2 e 3 casas decimais.

b) Respectivamente, 2 e 3 números 9.

c) O número de “noves” no denominador da fração geratriz depende da quantidade de casas decimais do período da dízima.

Importante lembrar que frações equivalentes geram a mesma dízima periódica.

Resolução da atividade 1

a) x = 0,822222.... então 10x =

= 8,2222... e 100x = 82,2222...

100x - 10x = 82,222... - 8,222...

90x = 74 6 x = 74 90 37 45 =

b) x = 4,272727....

100x = 427,272727...

3 Veja como Kátia determinou a fração geratriz da dízima periódica 1,888...

1,888... = 1 + 0,888...

= 1 + 8 9 =+ 9 9 8 9 = 17 9

Portanto, a fração geratriz é 17 9

Use o mesmo procedimento e determine a fração geratriz das dízimas abaixo.

a) 1,555...

14 33 14 9

b) 2,3333... 7 3

c) 6,343434... 628 99

d) 1,245245245... 1 244 999

4 Observe como Carla determinou a fração geratriz da dízima periódica 2,555...

• Ela escreveu um número formado pela parte inteira (2), seguida do período (5) 4 25.

• Subtraiu do número formado (25) a parte inteira (2) da dízima periódica 4 25 - 2 = 23.

• Escreveu uma fração cujo numerador é o resultado da subtração (23) e o denominador é a quantidade de “noves” correspondente à quantidade de algarismos do período. No caso, apenas um nove, pois o período é 5 (1 algarismo) 4 23 9 Veja os cálculos que ela fez.

2,555... = - 25 2 9 = 23 9

Portanto, 2,5555 = 23 9

Ou seja, 23 9 é a fração geratriz da dízima periódica 2,5555...

Com o mesmo procedimento determine a fração geratriz das dízimas:

a) 1,777...; 16 9

b) 3,2222...;

c) 1,343434...; 133 99

d) 2,145145145... 2 143 999

5 Observe, agora, como Márcia determinou a fração geratriz da dízima periódica composta 3,2444...

• Ela escreveu um número formado pela parte inteira (3), seguida da parte não periódica (2) e do período (4) 4 324.

• Subtraiu do número formado (324) a parte inteira (3) da dízima periódica, seguida da parte não periódica (2) 4 324 - 32 = 292.

• Escreveu uma fração cujo numerador é o resultado da subtração (292) e o denominador é a quantidade de “noves” correspondente à quantidade de algarismos do período seguido da quantidade de “zeros” correspondente à quantidade de algarismos da parte não periódica. No caso, apenas um nove, pois o período é 4 (1 algarismo) e a parte não periódica é 2 (1 algarismo) 4 292 90

Veja os cálculos que ela fez.

3,2444... =32432 90 = 292 90 = 146 45

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA05

Para resolver as atividades 4 e 5, é importante que os estudantes leiam com atenção os enunciados. Observe se eles compreendem a estratégia apresentada.

Portanto, 3,2444... = 146 45

Ou seja, 146 45 é a fração geratriz da dízima periódica 3,24444...

Com o mesmo procedimento, determine a fração geratriz das dízimas: a) 1,3777...; 62 45 b) 3,12222...; 281 90 c)

Orientações

A atividades e o conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA05

Para apresentar os números irracionais, pode-se utilizar softwares de planilha eletrônica ou calculadoras digitais. Peça aos estudantes que usem essas ferramentas para calcular valores já conhecidos, como raízes quadradas ou cúbicas não exatas e o valor de p. Pergunte se esses números têm dízimas periódicas, conduzindo-os a perceber que, no limite das casas decimais dos equipamentos, não há nenhuma dízima periódica.

Resolução da atividade 7

Escrever x = 0,444...

Multiplicar x por 10 (10x = 4,444...)

Efetuar a subtração: 10x - x (9x = 4,444... - 0,444...)

7 Elaborem um fluxograma para determinar a fração geratriz da dízima 0,444…

Resposta no Manual do Professor.

8 (UFAC) Sejam x e y dois números reais. Sendo x = 2,333... e y = 0,1212... dízimas periódicas. A soma das frações geratrizes de x e y é:

Alternativa c

a) 7 3 b) 4 33 c) 27 11 d) 27 33 e) 27 3

9 (ENEM) Um estudante se cadastrou numa rede social na internet que exibe o índice de popularidade do usuário. Esse índice é a razão entre o número de admiradores do usuário e o número de pessoas que visitam seu perfil na rede. Ao acessar seu perfil hoje, o estudante descobriu que seu índice de popularidade é 0,3121212… O índice revela que as quantidades relativas de admiradores do estudante e pessoas que visitam seu perfil são:

a) 103 em cada 330.

b) 104 em cada 333.

c) 104 em cada 3 333.

Alternativa a Respostas pessoais.

d) 139 em cada 330.

e) 1 039 em cada 3 330.

10 Elabore quatro dízimas periódicas e entregue-as para um colega determinar a fração geratriz, enquanto você determina as que ele elaborou. Depois de finalizada a tarefa, destroquem e utilizem uma calculadora para verificar se as frações geratrizes estão corretas.

Números irracionais

Existem números que não podem ser escritos na forma a b , sendo a e b números inteiros e b q 0, ou seja, não são números racionais. Esses números são chamados de números irracionais

Uma das características desse tipo de número, em sua representação decimal, é que a quantidade de casas após a vírgula é infinita e não periódica, ou seja, não há um padrão de repetição na parte decimal.

Observe o número a seguir.

18 4,2426406871192851464050661726291... infinitas casas decimais e não periódicas =

As raízes não exatas, sejam quadradas, cúbicas, quartas etc., têm essa característica.

Veja alguns exemplos:

• = 21, 41421356237...

• -=-31,7320508075...

• = 12 2,289428485... 3

Há outros números com essa característica. O mais famoso deles é o número p (pi), que é a razão entre a medida do comprimento de uma circunferência e a medida de seu diâmetro. Veja o valor do número p mostrando 30 casas decimais!

p= 3,141592653589793238462643383279...

Resolução da atividade 9

A fração geratriz de 0,3121212... é dada por:

1 000 x = 312,1212...

- 10 x = 3,1212...

990 x = 309

x = 309 990 = 103 330

Logo, tem 103 em cada 330. Alternativa a

Resolução da atividade 10

Essa é uma atividade de criação. Observe se os estudantes compreendem o enunciado e se conseguem criar dízimas periódicas e depois obter as frações geratrizes das dízimas propostas pelos colegas. Ao final, peça que confiram juntos os resultados e façam os devidos ajustes, se necessário.

Você sabia que o número p tem um dia do ano dedicado a ele? É o dia 14 de março. Isso porque, na notação americana, essa data é escrita como 3/14, e 3,14, é a aproximação mais usual de p

Números reais

Sabemos que todo número que pertence ao conjunto dos números naturais também pertence ao conjunto dos números inteiros e que todo número inteiro pertence ao conjunto dos números racionais. No entanto, nenhum número irracional pertence ao conjunto dos números racionais.

Assim, temos um novo conjunto numérico, que reúne o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais, denominado conjunto dos números reais, que representamos pelo símbolo ℝ

Veja a representação no diagragrama a seguir.

Atividades

1 Você tem o hábito de ler as informações que aparecem nos rótulos das embalagens dos produtos que consome? Observe a seguir as informações nutricionais do rótulo de um pacote de feijão.

Orientações

No tópico “Números reais”, retome a representação de conjuntos por meio do diagrama, indicando a relação entre os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais.

Resolução da atividade 1

I. Falsa, pois existem números decimais na tabela (15,1 e 24,2).

II. Verdadeira, pois todos os números decimais e naturais podem ser escritos na forma racional.

III. Verdadeira, não existem números irracionais na tabela.

IV. Verdadeira, pois os números naturais e os números racionais apresentados na tabela também são números reais.

Atividades

complementares

Se possível, apresente aos estudantes o texto e o vídeo apresentado a seguir.

• NÚMERO PI: Histórias e aplicações. In: UNICAMP. IME. [Campinas]: Unicamp, [20--?]. Disponível em: http://www.ime.unicamp. br/~apmat/numero-pi/. Acesso em: 29 jul. 2022.

Quais das afirmativas a seguir são verdadeiras para os números que aparecem no rótulo?

I. Todos os números são naturais.

II. Existem números racionais.

III. Não existem números irracionais.

IV. Todos são números reais.

II, III e IV.

Wanderson Souza

Orientações

As atividades e o conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA01

Resolução da atividade 2 po 3,14, entre 3 e 4

2 o 1,41, entre 1 e 2

3 o 1,73, entre 1 e 2

5 o 2,23, entre 2 e 3

10 o 3,16, entre 3 e 4

Resolução da atividade 3

a) Observe que os números 1 estão colocados em uma sequência: na 2a casa decimal, depois na 5a; 9a, 14a; 20a; 27a ... Portanto, na 25a casa, o número será o zero.

b) Continuando a contagem dos números 1, temos: 35a; 44a; 54a; 65a; 77a; 90a; 104a; 119a; 135a; 152a; 170a; 189a; 209a; 230a; 252a; 275a; 299a; 324a; 350a; 377a; 405a; 434a; 464a; 495a; 527a. Portanto, na 500a casa, o número será o zero.

c) O número X não pode ser escrito na forma de fração, portanto, ele é um número irracional. Resolução da atividade 4

A resolução é mais fácil se transformarmos todos os números em decimais, assim, respectivamente

temos: - 2,236; 1; - 0,6; 0,375. Colocados em ordem decrescente ficam: 1; 0,375; -0,6 e -2,236.

Alternativa c

Explore o tópico “Potência com expoentes inteiros” de maneira que os estudantes possam assimilar o significado de potências com expoentes negativos. Se necessário, resgate a ideia de sequência de potências, como (... 24, 23, 22, 21, 20, 2-1, 2-2, ...).

Escrevendo essa sequência sem usar potências, tem-se: (... 16, 8, 4, 2, 1, x, y, ...). Auxilie-os a perceber que cada termo da sequência é a metade do anterior e, assim, determinar que x = 1 2 e y = 1 4

Depois, explore o exemplo desenvolvendo-o na lousa com os estudantes.

2 Os números p, 2, 3, 5e 10 são todos números irracionais. Considerando os números inteiros de 1 até 10, cada um desses números irracionais está entre quais números inteiros?

3 (OBMEP) Considere o número X = 1,01001000100001...

(O padrão se mantém, ou seja, a quantidade de zeros consecutivos entre os algarismos 1 sempre aumenta exatamente em uma unidade.)

a) Qual é a sua 25a casa decimal após a vírgula?

b) Qual é a sua 500a casa decimal após a vírgula?

c) O número X é racional ou irracional?

4 (UEG) Se colocarmos os números reais: 5, 1,  3 5  e 3 8 em ordem decrescente, teremos a sequência:

Potência com expoentes inteiros

Você estudou, nos anos anteriores, a operação de potenciação, que consiste na multiplicação sucessiva de fatores iguais.

Sendo a um número real e n um número inteiro (n > 1), temos: aaa aa n

n fatores .=

Nessa potência:

• o fator repetido é denominado base;

• a quantidade de vezes que o fator se repete é o expoente

Por exemplo, em 53 = 5 5 5 = 125, o número 5 é a base da potência e o 3 é o expoente. Acompanhe o exemplo.

Calcule o valor da expressão x3 – y2 para x = 1 2 e y =1 4

Substituindo os valores de x e y na expressão e efetuando os cálculos, temos:

Portanto, o valor numérico da expressão é 1 16

Atividades

1 Determine o resultado das potências a seguir.

23

(-2)4

104

2 Calcule o valor das expressões a seguir.

a) 3 (-9)2 – (-1)4 + (-2)3 - 1

b)

-+1 10 1 10

23 9 1 000 -

3 Escreva a expressão correspondente a cada frase seguinte e calcule seu valor numérico.

a) Multiplique a soma de 3 e 4 pelo quadrado de 5 e, então, subtraia 10.

b) Eleve ao cubo a diferença entre 10 e 6 e, do resultado, subtraia a quinta potência de 2.

c) Divida por 4 o quadrado de 10 e multiplique o resultado pela soma de 8 e -5.

4 Represente cada número a seguir por uma potência de base 10.

a) 100

b) -100 000

5 Escreva os números a seguir na forma de potência.

a) 81

b) 128

6 Considere a expressão

a) x = 4

c) 0,1

d) 0,0000001

. Calcule o valor numérico dessa expressão para:

= 2

7 Calcule o valor numérico das expressões algébricas a seguir.

a) x2 - 4x + 8 para x =-1

b) x2 - 6x + 2 para x = 0,1

8 A fórmula para calcular o volume V de uma esfera de raio r é Vr 4 3 3 =p . Usando essa fórmula, calcule o volume de uma esfera de:

a) raio igual a 20 cm;

b) diâmetro igual a 10 cm. Considere po 3,14.

cm3 523,33... cm3 Resposta no Manual do Professor.

9 Explique por que um número positivo elevado a uma potência negativa resulta em um número positivo.

10 Como podemos calcular a metade da soma de 2 elevado a 21 com 4 elevado a 12 e expressar o resultado na forma de potência?

9 220

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA01, EF08MA02 e EF08MA06

Resolução da atividade 1

f) (0,4) (0,4) = 0,16

g) Como o expoente é 1, resulta em 12.

h) (-0,4) (-0,4) = 0,16

Resolução da atividade 2 a) 3 81 - 1 - 8 - 1 = 243 - 10 = 233

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA01

Retome as propriedades da potenciação e peça aos estudantes que as mencionem. É importante explorar essas propriedades de maneira que as compreendam com significado. Por exemplo, para a multiplicação ou divisão de potências de mesma base, proponha alguns exemplos, como os apresentados a seguir: 73 . 77 =

Propriedades das potências

Vamos retomar algumas propriedades que facilitam o cálculo com potências.

Usando o algarismo 7 apenas três vezes, como podemos obter o número 1?

(7 : 7)7

Usando essas propriedades, podemos notar que

• se o expoente for zero e a q 0, o resultado da potência será igual a 1, ou seja, a0 = 1.

Veja por quê.

I. a a n n = 1 4 Qualquer número diferente de zero dividido por ele mesmo dá 1.

II. a a n n = an - n = a0 4 Usamos a propriedade da divisão de potências de mesma base.

Explore essa ideia com os estudantes e peça a eles que façam o mesmo procedimento em outras multiplicações ou divisões de potência de mesma base para verificar a propriedade e a vantagem de sua utilização. Esse trabalho favorece o desenvolvimento da competência específica 2 Resolução

Considerando as igualdades I e II e a propriedade transitiva da igualdade, concluímos que a0 = 1.

• o expoente de uma potência também pode ser um número inteiro negativo. Quando isso acontece, a potência é igual ao seu inverso com expoente positivo, isto é, a a n n = 1 com a q 0.

Veja por quê.

a a a aa nn nn=== 1 0 0 4 Usamos a propriedade de divisão de potências de mesma base. Acompanhe os exemplos.

• Mostre que

Usando a definição de potência de expoente negativo, temos:

Desenvolvendo a potência do denominador, temos:

Atividades

2 Use as propriedades das potências para simplificar as expressões a seguir.

(36 34) : (35 : 32)

3 Calcule o valor numérico da expressão A = a2 +

4 Simplifique a expressão 23 5 30 99 9

5 Determine o valor de y na expressão abaixo.

Orientações

Um número diferente de zero elevado ao expoente zero é igual a 1. e) Um número diferente de zero elevado ao expoente zero é igual a 1.

Orientações

As atividades e o conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA01

7 Calcule o valor da expressão .

Resolução da atividade 9

As respostas para essa atividade são pessoais.

Sugestão de respostas:

a) 22 + 23 q 25, pois 22 = 4 e 23 = 8

e 4 + 8 = 12, enquanto 25 = 32

b) 22 + 32 q (2 + 3)2, pois 22 = 4

e 32 = 9 e 4 + 9 = 13, enquanto

(2 + 3)2 = 52 = 25

Resolução da atividade 10

Utilizando uma calculadora podemos obter os seguintes valores:

oo22 ,82  e  32 , 08. 3 2 2 3

Então, o maior número é 2  3 2 Comente, ainda que superficialmente, que o expoente pode ser qualquer número, inclusive frações e raízes. Porém, haverá um momento adequado para o estudo desses conceitos.

Resolução da atividade 11 164a

Bases iguais, somamos os expoen-

a) (-2x)4

b) x x2 x0

c) (x3)4 x2 x1

d) a2 b4 a5 b3

e) (x2 . y3)5

-

55 55 36 41

8 Simplifique cada expressão a seguir.

9 Dê um exemplo numérico para mostrar que:

a) am + an q am + n;

b) an + bn q (a + b)n

10 Que número é maior:

11 Transforme a expressão 164a

12 O número n(0,2)-2 é quantas vezes maior do que n?

base 2.

13 O censo realizado em uma cidade apontou uma população de 250 mil habitantes e um crescimento populacional de 2% ao ano. Chamando de y a população, em milhares de habitantes, e de x o tempo, em anos, a partir da data do censo, a fórmula que fornece y no decorrer do tempo x é y = 250 . (1,02)x Calcule a população dessa cidade após:

a) 2 anos da data desse censo;

b) 5 anos da data desse censo.

260,1 mil o 276,02 mil

Notação científica

Para simbolizar a escrita de números que representam quantidades muito grandes ou muito pequenas, podemos usar potências de 10. Observe alguns exemplos a seguir.

A velocidade da luz no vácuo é de aproximadamente 300 000 000 m/s.

Um modo de representar esse valor é: 300 000 000 = 3 100 000 000 = 3 108 6 3 108 m/s

O diâmetro do Sol é de aproximadamente 1 390 000 km.

Podemos representar essa medida usando uma potência de base 10. Veja algumas maneiras.

• 1 390 000 = 139 10 000 = 139 104 6 139 104 km

• 1 390 000 = 13,9 100 000 = 13,9 105 6 13,9 105 km

• 1 390 000 = 1,39 . 1 000 000 = 1,39 . 106 6 1,39 . 106 km

O raio do átomo de hidrogênio mede 0,000000005 cm. Podemos escrever esse número de várias maneiras. Veja a seguir.

• 0,000000005 = 50 . 10-10 6 50 . 10-10 cm

• 0,000000005 = 0,5 0,00000001 cm = 0,5 10

• 0,000000005 = 5 0,000000001 cm =

Logo, 25n é 25 vezes maior que n Resolução da atividade 13

a)

b)

Existem diversas maneiras de escrever esses números usando potências de base 10.

Para padronizar a escolha, adotamos a notação científica

Os números em notação científica são escritos na forma: a . 10b, em que 1 k a < 10 ou -10 < a k-1 e b é um número inteiro.

Os números 3 108 m/s, 1,39 106 km e 5 10-9 cm estão escritos em notação científica.

Veja como podemos escrever esses números usando uma calculadora científica. As teclas EXP ou E ou EE indicam o expoente a ser tomado na base.

3 108 4 3 EXP 8

1,39 106 4 1 . 3 9 EXP 6

5 10 -9 4 5 EXP 9 +/

Algumas calculadoras apresentam diretamente a tecla 10x

Nesse caso, basta colocar o valor do expoente e acionar a tecla para obter a potência que se deseja.

Há calculadoras científicas que usam a tecla ê para indicar potências. A expressão n ê m significa elevar n ao expoente m, por exemplo 2 ê 7 = 27

Acompanhe o seguinte exemplo e simplifique a expressão 5,4 10-4 + 1,5 10-3

Para adicionar esses números, precisamos escrevê-los com a mesma potência de 10:

5,4 10-4 + 1,5 10-

0,54

+

= (0,54 + 1,5) . 10

= 2,04 10-3

Portanto, a expressão é igual a 2,04 . 10-3

Atividades

1 Escreva em notação científica os números a seguir.

a) 285 milhões

b) 293 mil

c) 0,0000007

2 O quadro mostra a distância média de alguns planetas até o Sol.

até o Sol (km)

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA01

Ilustrações:

Desenvolva, na lousa, os exemplos apresentados e outros semelhantes para que os estudantes possam aplicar as propriedades de potência nas operações com números escritos em notação científica. Se possível, solicite que utilizem calculadoras para trabalhar os exemplos apresentados.

Resolução da atividade 1

a) 285 000 000 = 2,85 . 108

b) 293 000 = 2,93 105

c) 0,0000007 = 7,0 10-7

Resolução da atividade 2

Terra: 1,496 108 km.

Mercúrio: 5,791 107 km.

Saturno: 1,4294 . 109 km.

Resolução da atividade 3

Contando o número de zeros

temos:

2 10-27 kg

Escreva cada uma dessas distâncias usando notação científica.

3 A massa de um próton é aproximadamente igual a 0,000000000000000000000000002 kg.

essa massa em notação científica.

10-27 kg

Fonte: SILVA, Edna M. E. O Sistema Solar In: PLANETÁRIO. [Santa Catarina]: UFSC, [201-]. Disponível em: https://planetario.ufsc.br/o-sistema-solar/. Acesso em: 12 abr. 2022.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA01

Resolução da atividade 4

a) três casas decimais para a esquerda: 0,0023

b) cinco casas decimais para a direita: 540 000

c) quatro casas decimais para a direita:-78 000

d) duas casas decimais para a esquerda: 0,062

e) quatro casas decimais para a esquerda: 0,00012

f) seis casas decimais para a direita:-4 300 000

Resolução da atividade 5

Em milhões de anos:

230 - 45 = 185.

São 185 milhões de anos, isto é, 1,85 . 108 anos.

Resolução da atividade 6

a) 3,47 = 3 + 0,4 + 0,07 = = 3 100 + 4 10–1 + 7 10–2

b) 0,563 = 0 + 0,5 + 0,06 + + 0,003 = 0 100 + 5 10–1 + 6 . 10–2 + 3 10–3

c) 18,2 = 10 + 8 + 0,2 = 18 . 100 + + 2 . 10–1

d) -0,007 =-7 . 10–2

e) -0,00089 =

=- 0,0008 - 0,00009 =

=- 8 10–4 - 9 10–5

Resolução da atividade 7

Para efetuar as operações, as potências devem ter a mesma base, assim, fazemos:

x = 6 . 103 e y = 0,5 . 103

4 Escreva, sem usar potências, os números a seguir, que estão expressos em notação científica.

a) 2,3 10-3

b) 5,4 105

c) -7,8 104

d) 6,2 10-2

e) 1,2 10-4

f) -4,3 106

5 Os primeiros dinossauros surgiram há cerca de 230 milhões de anos, e os primeiros elefantes há aproximadamente 45 milhões de anos. De acordo com esses dados, os primeiros elefantes apareceram quantos anos após o aparecimento dos primeiros dinossauros? Escreva a resposta em notação científica.

6 Veja como podemos decompor um número escrito na forma decimal em potência de 10.

1,54 = 1 + 0,5 + 0,04

1,54 = 1 100 + 5 10-1 + 4 10-2 Decomponha os números abaixo em potência de 10.

a) 3,47

b) 0,563

c) 18,2

d) -0,07

e) -0,00089

7 Sendo x = 6 103 e y = 5 102, efetue as operações abaixo e escreva o resultado em notação científica.

a) x + y

b) x - y

c) x y

d) x : y

8 A distância de Júpiter até o Sol mede aproximadamente 770 milhões de quilômetros. Essa distância pode ser escrita na forma: a 108 km. Qual é o valor de a?

9 A velocidade da luz no vácuo é de aproximadamente 300 000 km/s. Que distância, em quilômetros, a luz percorre em uma hora? Escreva a resposta em notação científica.

10 O reservatório de água de um município tem 60 metros de comprimento, 30 metros de largura e 2,5 metros de profundidade. De quantos litros de água é a capacidade desse reservatório?

Expresse esse número em notação científica. Lembre-se que 1 L = 1 dm3

11 Considere que a distância média:

• da Terra ao Sol é aproximadamente igual a 150 milhões de quilômetros;

• de Marte ao Sol é aproximadamente 1,52 vezes a distância média da Terra ao Sol. Determine a distância média, em quilômetros, de Marte ao Sol. Expresse o resultado em notação científica.

12 Uma construtora utilizou 10,8 mil toneladas de aço na construção de uma ponte. Na construção de outra ponte, utilizou o dobro dessa quantidade. Determine a quantidade total de aço, em toneladas, que foi utilizada na construção das duas pontes. Expresse o resultado em notação científica.

Resolução da atividade 12

A quantidade de aço, em toneladas, usada na segunda ponte é igual a:

usado nas

pontes é

Radicais

Vamos relembrar a operação de radiciação.

• 1, 44 = 1,2, porque (1,2)2 = 1,44

• -8 3 =-2, porque (-2)3 = 8

• 16 4 = 2, porque 24 = 16

• 32 5 =-2, porque (-2)5 =-32

• 36 não existe no conjunto dos números reais, porque não existe número real que elevado ao quadrado seja igual a -36 Veja isso em uma calculadora digitando as teclas a seguir.

Calculadora simples 3 6 +/- ERROR

Calculadora científica - 3 6 = ERROR

Ilustrações:

A radiciação é a operação que possibilita encontrar a base de uma potência cujo expoente é um número natural maior ou igual a 2. Observe:

Se a n = b, então, bn = a a n = b

índice radicando raiz

De modo geral, sendo a e b números reais e n um número natural l 2, podemos escrever que a n = b equivale a bn = a nas seguintes condições:

• se n é par, a e b são números reais tais que a l 0 e b l 0;

• se n é ímpar, a e b são números reais quaisquer.

Quando não é possível extrair a raiz de um número real? Como você explica isso?

Quando o índice do radical for um número par e o radicando for um número negativo.

O livro de álgebra Die Coss (1525) do Matemático Christoph Rudolf (14491545). Foi o primeiro a apresentar o símbolo de raiz, porém sem o travessão na parte superior. Supõe-se que o símbolo foi usado para representar a forma manuscrita da letra r, abreviando a palavra “radix”.

Nessa publicação, os índices também não eram indicados, ou seja, não era mencionado o 2 para raiz quadrada, o 3 para raiz cúbica e assim por diante.

Foi John Wallis (1616-1707) apresentou o índice da raiz quadrada, como utilizamos hoje.

Fonte: CHRISTOPH Rudolpf. In: BIOGRAFIAS. [S. l.], [20--]. Disponível em: http://biografias.netsaber.com. br/biografia-1748/biografia-de-christoph-rudolf. Acesso em: 19 maio 2022.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA02

Em Pense e responda e verifique se os estudantes reconhecem que não existe raiz real para raízes de radicando negativo e índice par, ou seja, não existe número real que elevado ao quadrado dê como resultado um número negativo. Se necessário, dê alguns exemplos para demonstrar esse fato.

Leia com os estudantes o texto apresentado em Curiosidade , que fa vorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA02

Trabalhe o tópico “Radicais e potências com expoentes na forma de fração” por meio de exemplos que associem uma raiz a uma potência com expoente fracionário. Além disso, peça aos estudantes que calculem algumas raízes utilizando a calculadora, ou outro recurso tecnológico, e, em seguida, calculem também a potência com expoente fracionário equivalente, a fim de que percebam que = aanm m n é uma relação válida.

Radicais e potências com expoentes na forma de fração

Você já pensou que o expoente de uma potência pode estar na forma de fração? Como resolver uma potência se seu expoente estiver escrito na forma de fração, por exemplo, 4? 1 2

Sabemos que = 42, ou seja, 22 = 4.

Fazendo x = 4 e elevando essa igualdade ao quadrado, temos:

Agora, fazendo y = 4

2 e elevando essa nova igualdade ao quadrado, obtemos:

De (1) e (2), concluímos que x2 = y2 e, assim, deduzimos que x = y, pois x e y são positivos. Além disso, temos:

Assim como fizemos acima, podemos mostrar que:

Resposta pessoal.

De modo geral, da ideia de radiciação, com a, b e n satisfazendo as condições de existência da raiz, temos a n = b (1) equivalente a bn = a (2).

Substituindo (1) em (2), obtemos: ()aa n n =

Usando essa relação e o mesmo raciocínio que utilizamos para concluir que

= 44 1 2 , vamos mostrar que aa m n m n =

Elevando os dois membros ao expoente n, temos:

aa a m n n m n

n mm a =6=

Logo, aa m n m n = , com a real positivo, n natural maior do que 1 e m um número inteiro qualquer. Essa relação possibilita dizer que um radical pode ser escrito como uma potência de expoente na forma de fração e vice-versa.

Atividades

2 Transforme estas potências em radicais.

3 Transforme os radicais a seguir em uma potência com expoente na forma de fração.

4 Calcule o valor da expressão 3494

5 O tempo que um pêndulo leva para completar um ciclo completo é chamado de período.

Logo, ao quadruplicar o comprimento de L, o período dobra. Nesse caso, passaria a ser 6 segundos.

O período T, em segundos, de um pêndulo com comprimento L, em metros, é dado por

onde g = 10 m/s2 é o valor da gravidade e po 3,14.

a) Calcule o valor numérico de T, em segundos, para L = 0,9 m.

b) “O período de um pêndulo é de 3 segundos. Se o comprimento L deste pêndulo for multiplicado por 4, então seu período passará a ser 12 segundos”. Esta afirmação é verdadeira? Justifique.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA02

Resolução da atividade 1

Verifique as estratégias usadas pelos estudantes para encontrar a resposta. Certifique-se de que compreenderam as propriedades envolvidas.

Orientações

As atividades e o conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA02

Na atividade 6, acompanhe como os estudantes estão utilizando a calculadora para resolver cada item. Se necessário, organize os estudantes em duplas, para que todos tenham acesso a uma calculadora.

Na discussão dos itens “Radicais equivalentes” e “Simplificação de radicais”, retome as propriedades de potência e a associação entre raiz e potência com expoente fracionário.

6 Observe como podemos calcular raízes quadradas usando uma calculadora simples.

Agora, utilize a calculadora para fazer o que se pede nos itens a seguir.

a) Determine:

b) Determine -4 e -10 . O que você observa no visor da calculadora?

Não existem no conjunto dos números reais.

c) Usando a calculadora, dê o valor aproximado com duas casas decimais de:

Radicais equivalentes

Os radicais 4 e 64 6 são iguais e equivalem a 2. Veja:

Multiplicando o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número natural positivo, obtemos um radical equivalente ao radical dado. Assim:

am n = amp np

De maneira análoga, dividindo o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número natural diferente de zero, obtemos um radical equivalente ao radical dado.

aa m n mp np =: :

• 4 = 2, porque 22 = 4

• 64 6 = 2, porque 26 = 64 Nesse caso, dizemos que os radicais são equivalentes e podemos escrever

====  4 22 264 22 3 23 6 66

Os radicais 729 6 e 27 3 também são iguais. Observe:

==== :: 729 33 327 6 6 6 62 62 3 33

Usando esse procedimento, estamos simplificando o radical.

Simplificação de radicais

Alguns radicais podem ser escritos de maneira mais simplificada. Observe alguns exemplos.

O radical 45 pode ser simplificado para 35 Fatoramos o radicando: 45 : 45 = 3 3 5 = 32 5.

Em seguida, substituímos o radicando pela fatoração: 45 = 35 2 Para continuar, vamos usar a seguinte propriedade:

===.=.ababab ab ab n n nn n nn ()() 1 11 1

Assim, temos: =.=.=.= 45 35 35 35 35 22

Acompanhe esses exemplos.

• Qual número é maior: 7 ou 5? 3

Antes de comparar esses números, é necessário determinar o mínimo múltiplo comum (mmc) dos índices dos radicais.

• 7 2 e 5 3 4 mmc (2, 3) = 6

Agora, é preciso encontrar radicais equivalentes cujo expoente seja igual ao mmc encontrado.

Para isso, dividimos o mmc pelo índice de cada radical inicial e multiplicamos o quociente obtido pelo expoente de cada um dos radicandos.

• ===77 7 343 1 2 13 23 3 66

• ===55 525 1 3 12 32 2 66

Uma vez que os índices são os mesmos, podemos comparar os radicandos.

Como 343 > 25, temos: > 6634325 ; então, > 75 3

• Simplifique o radical 800

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA02

Situações como as apresentadas nos exemplos também podem ser trabalhadas, a fim de que os estudantes utilizem as propriedades de potências, associando-as às raízes, para resolver problemas.

Se necessário, retome os procedimentos de fatoração, já estudados em anos anteriores. É importante que os estudantes observem que os conhecimentos em Matemática vão se aprofundando a cada ano.

Logo, 800 = 2552

Como há um expoente ímpar na decomposição, 800 não é um quadrado perfeito. Portanto, 800 não é um número inteiro. Separando um fator primo 2, temos:

•

Transformando as potências, temos:

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA02

Na atividade 1, peça aos estudantes que compartilhem as respostas para observação das várias possibilidades.

Resolução da atividade 2

a) 9 5 4 = 33 33 25 4 10 4 10 4 5 2 === 33 33 10 4 10 4 5 2 ===

b) 33 1 81 3 4 3 4 ==-

()()

Atividades

1 Escreva dois radicais equivalentes a:

5 Coloque em ordem decrescente os números 11 ,11 e  11 43

6 Efetue:

a) 57 ; 35

b) 3324 ;

c) 55 4 1 4 = ()

d) 64 1  000 4 10 2 5 3 ==

Resolução da atividade 3

Podemos transformar a raiz em uma potência de expoente fracionário e simplificar a fração.

a) 33 3 6 4 3 2 3 ==

b) == aax 4 8 1 2 c) ==22 2 4 8 1 2

2 Simplifique ao máximo cada potência abaixo.

c) 23 4 44 4 ; 24 4

d) 23 43 63 48 3

7 Calcule cada raiz a seguir decompondo os radicandos em fatores primos.

a) 1 024

b) 8 836

3 Simplifique esses radicais até obter o radical com o menor índice possível.

c) 8 000 3

d) 625 4

e) -46 656 3

f) 2 744 3

8 Calcule a medida de lado de um quadrado de área igual a 2 700 m2

4 Escreva, no caderno, o menor número citado em cada item a seguir. a)

9 A área de um terreno quadrado é igual a 600 m2. Qual é a medida, em metros, do lado desse terreno?

10 Qual é, em metros, o perímetro de um quadrado cuja área é igual a () 0,027 2 3m2?

(OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DE MARINGÁ E REGIÃO) Uma caixa contém apenas bolas vermelhas, outra contém apenas bolas azuis, e outra contém bolas vermelhas e azuis. Todas as caixas foram nomeadas de forma errada, isto é, nenhum nome corresponde ao que tem na caixa. Sabendo que estava tudo errado, mas sem saber o que tinha em cada caixa, Maria tirou uma bola da caixa 1 e viu que era vermelha. Quais são os conteúdos de cada uma das caixas?

Caixa 1 vermelhas e azuis

Resposta no Manual do Professor.

Caixa 2 vermelhas

Caixa 3 azuis

Resolução da atividade 9 A área do terreno quadrangular é 600 m2

Importância da água para o corpo humano

Sabemos que a água é uma substância presente em todos os organismos vivos, mas, em alguns, ela se apresenta em maior quantidade que em outros. Essa substância não é estocada em nosso corpo, por isso, deve ser reposta todos os dias por várias vezes. […]

[…] A água representa cerca de 60% do peso total do corpo de um indivíduo adulto e quase 80% do corpo de uma criança. Ela é o principal componente das nossas células mas também é encontrada fora dessas estruturas (líquido extracelular). […]

[…] Destaca-se também o papel da água na regulação da temperatura do corpo. Quando o calor torna-se exagerado, inicia-se a liberação de suor, que possui água em sua composição. Ao entrar em contato com o meio, o suor evapora na superfície da pele, causando o resfriamento do corpo. [...]

SANTOS, Vanessa dos. Importância da água para o corpo humano. In: BRASIL ESCOLA. [S. l.], c2022. Disponível em: https://brasilescola.uol.com.br/biologia/importancia-agua-para-corpo-humano.htm. Acesso em: 19 maio 2022.

1 Que fração representa a parte de água do peso total do corpo de um indivíduo adulto? E de uma criança? O termo “peso” refere-se a qual grandeza?

Adulto: 3 5 ; criança: 4 5 . O termo “peso” refere-se à massa corporal.

2 Como a água regula a temperatura do corpo?

Por meio da liberação de suor.

3 A quantidade de água a ser ingerida por uma pessoa está relacionada com as atividades que ela realiza e com seu estado de saúde. Para um adulto, recomenda-se a ingestão de pelo menos dois litros e meio de água diariamente para que o organismo funcione adequadamente. Se essa recomendação for seguida, quantos litros de água uma pessoa tomará em 30 dias?

30 2,5 = 75 4 75 L

4 Cite três sintomas que podem ser observados quando nosso corpo fica sem água. Pesquise.

Resposta pessoal.

Orientações

O conteúdo de Matemática Interligada permite uma reflexão a respeito do Tema Contemporâneo Transversal: Saúde e colabora para o desenvolvimento da competência específica 2

Evidencie o uso de conhecimentos matemáticos para a compreensão da quantidade de água necessária para o bom funcionamento do organismo humano.

Resolução da atividade 1

De acordo com o texto, para um adulto, a água representa 60%, isto é, 3 5 , e para uma criança, 4 5 O termo “peso” se refere à massa do corpo.

Resolução da atividade 2

A água regula a temperatura do corpo pela liberação do suor. Resolução da atividade 3

Se em 1 dia uma pessoa deve tomar 2,5 L de água, em 30 dias deverá tomar: 2,5 . 30 = 75, isto é, 75 L.

Resolução da atividade 4

A resposta é pessoal, mas como a proposta é uma pesquisa, deve-se observar se os estudantes citam o principal sintoma da falta de água no corpo humano, que é a desidratação.

Portanto, o perímetro é igual a: 4. 100 9 400 9 =

Resolução de Lógico, é Lógica! Como na caixa 1 há uma bola vermelha e o nome na caixa está errado, a caixa 1 só pode ser a caixa que tem apenas bolas vermelhas. A caixa que só tem bolas azuis não pode ser a 3, do contrário ela estaria nomeada corretamente. Logo, a caixa que tem apenas bolas azuis é a caixa 2, e a caixa que tem bolas vermelhas e azuis é a caixa 3.

Precisamos cuidar da água do nosso planeta, elemento tão essencial à nossa sobrevivência.

Objetivos do capítulo

• Compreender e utilizar a porcentagem em situações de acréscimo ou decréscimo.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo cálculo de porcentagens.

• Utilizar calculadora para efetuar cálculos de porcentagem.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidade trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1

Competências específicas 1

Habilidades EF06MA04

Foco nos TCTs

• Vida Familiar e Social

Orientações

Aproveite a proposta do Para começar e verifique se os estudantes compreendem a ideia de porcentagem e sabem como determinar o percentual de uma quantidade em relação a outra.

Proponha que determinem percentuais de outros valores e, depois, elaborem problemas utilizando diferentes contextos.

Resolução do Para começar

A primeira hipótese não serve, pois se 1 carioca sair, ficam 98 hóspedes cariocas, e o total de hóspedes será 99, e não 100.

Se 50 hóspedes cariocas saírem, ficam 49, e o total de hóspedes será 50, o que satisfaz a redução do percentual para 98%, pois 98 100 49 50 0, 9898%===

Encaminhe a leitura coletiva dos exemplos sobre acréscimos e decréscimos apresentados e incentive os estudantes a discutir a resolução de cada situação.

Em uma escola há 54 alunos matriculados no 6? ano. Eles vão fazer uma visita ao Museu do Amanhã, na cidade do Rio de Janeiro (RJ). Lá, serão divididos em grupos com o mesmo número de alunos, cada um com mais de 5 e menos de 20 alunos. De quantas formas diferentes esses grupos poderão ser feitos?

Em um hotel havia 99 hóspedes cariocas e 1 pernambucano. O percentual de cariocas era de 99% 99 100   

Quantos hóspedes cariocas devem sair do hotel para reduzir esse percentual para 98%?

Você acha que deve sair:

• 1 hóspede carioca?

• de 6 a 10 cariocas?

• mais de 10 cariocas?

Respostas no Manual do Professor.

Como você explica sua resposta?

Acréscimos e decréscimos

No dia a dia, utilizamos porcentagem para expressar uma quantidade como parte de um valor total. Vamos analisar alguns exemplos.

• Imagine que o preço de um produto é R$ 50,00, mas que, em certo dia de promoção, ele estará à venda por 90% desse valor.

Para saber o valor do produto no dia da promoção, é preciso determinar quanto é 90% de 50.

90 100 50 0, 95045.=.=

Portanto, o produto estará à venda por R$ 45,00 no dia da promoção.

• Se tivermos a informação de um valor, também podemos encontrar a que percentual do total esse valor corresponde. Imagine que um produto custe normalmente R$ 40,00, mas esteja à venda por R$ 30,00. Qual percentual de desconto está sendo praticado?

Para calcular o percentual, vamos dividir 30 por 40. Veja a seguir.

30 40 0,75 75 100 == , que corresponde a 75%

A fração equivalente nos dá o percentual, que é de 75%.

Portanto, o percentual de desconto é de 100% - 75% = 25%.

• O número 39 corresponde a que percentual aproximado de 21?

Para calcular esse percentual, vamos dividir 39 por 21.

Veja: 39 21 = 1,8571428...

Arredondando esse número para a casa decimal dos centésimos, obtemos 1,86.

Daí, vem: 1,86 equivale a 186 100 , que equivale a 186%. Portanto, 39 é aproximadamente 186% de 21.

Quantos por cento R$ 20,00 é de R$ 10,00? 200%

• Uma loja está vendendo tudo com 15% de desconto. Qual será o preço a pagar por uma blusa que custava, originalmente, R$ 120,00?

Primeiro, determina-se 15% de 120: .=.= 15 100 120 0,1512018

Sabendo que o desconto é de R$ 18,00, para saber o preço a pagar é preciso subtraí-lo do preço original: 120 - 18 = 102

Logo, o preço a ser pago pela blusa será R$ 102,00.

Também podemos resolver subtraindo 15% do preço original da blusa, que corresponde a 100%, e multiplicando o resultado por R$ 120,00.

100% - 15% = 85%

85% de 120 = 0,85 120 = 102 4 R$ 102,00

Veja como fazemos esse cálculo com uma calculadora.

1 2 0 * 8 5 % = 102

1 Em uma escola com 450 estudantes, 63 são estudantes do 8? ano. Qual é o percentual de estudantes matriculados no 8? ano nessa escola?

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA04

Em Pense e responda, auxilie os estudantes a atribuir significado para potências de porcentagens. Para resolver a questão proposta, explique que, de acordo com a pergunta, 10 reais equivalem a 100%, então, 20 reais equivalem a 200%, pois é o dobro.

Resolução da atividade 1

63

450 0,14 14 100 14% ===

Resolução da atividade 2

20

100 . 35 = 7

Resolução da atividade 3

Reprovados: 35%.

Aprovados: 100% - 35% = 65%.

Logo, 65% de 2 580:

65

100 2  580 1  677. .=

Resolução da atividade 4

O total de cupcakes vendidos é dado por:

112 + 84 + 56 + 140 + 168 = = 560

2 Em uma papelaria, 20% dos envelopes à venda são amarelos. Quantos são os envelopes amarelos se o total de envelopes disponíveis é 35?

3 Inscreveram-se em um concurso 2 580 candidatos. Quantos foram aprovados, se foram reprovados 35%?

4 O gráfico apresenta as vendas de cupcakes vendidos durante uma semana. Qual é o sabor que representa 10% do total das vendas realizadas?

14% 7 1 677 Alternativa e

a) Limão.

b) Coco.

c) Brigadeiro.

d) Creme.

e) Uva.

560 cupcakes equivalem a 100%, portanto, 10% serão dados por: 0,1 . 560 = 56

O sabor que representa 10% do total de vendas é uva.

Alternativa e

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA04

Na atividade 5, oriente os estudantes para que utilizem as informações da terceira coluna.

O item b permite o trabalho com atitudes e valores. Incentive os estudantes a expor o raciocínio que usaram para elaborar as questões, de forma que prevaleça o respeito e todos tenham oportunidade de se expressar.

Resolução da atividade 6

Existem diferentes meios de se fazer esse cálculo. Um deles pode ser a multiplicação.

0,235 400 = 94 4 R$ 94,00.

A atividade 6 propõe aos estudantes que utilizem diferentes estratégias para a resolução. Solicite que exponham as estratégias que utilizaram e estimule estratégias diferentes, que podem ser apresentadas na lousa.

Resolução da atividade 6

23 ,5

100 . 400 = 23,5 . 4 = 94 4

4 R$94,00.

Resolução da atividade 7

a) Observando a tabela, temos:

40,1% de 8 000:

40 ,1

100 8 000 = 3 208

b) 11,2% de 8 000:

11,2

100 . 8 000 = 896

Resolução da atividade 8

3% de R$ 15,00:

3 100 15 = 0,45

15,00 + 0,45 = 15,45 4

4 R$ 15,45.

Resolução da atividade 9

a) 25% de 24 m3:

25 100 . 24 = 6 24 - 6 = 18 4 18 m3

b) Exemplos de atitudes: Fechar a torneira sempre que não estiver usando, evitar o uso de mangueira, tomar banhos rápidos, eliminar possíveis vazamentos, instalar redutores nas torneiras, caso a pressão da água seja forte etc.

5 Podemos calcular mentalmente a porcentagem de certo valor x quando ele é uma fração equivalente a outra mais simples. Veja:

a) Usando os procedimentos acima, calcule mentalmente:

• 10%, 5%, 25%, 75% e 30% de R$ 2.000,00;

• 10%, 5%, 25%, 75% e 30% de 80 m;

• 10%, 5%, 25%, 75% e 30% de 25 L.

b) Organizem-se em duplas e elaborem perguntas para calcular a porcentagem de certo valor. Troquem com outras duplas e respondam às perguntas. Depois, conversem como foi o processo de resolução.

6 Calcule 23,5% de R$ 400,00. Que estratégia você utilizou para responder?

7 O quadro abaixo mostra os resultados percentuais de uma pesquisa referente à disputa a uma prefeitura em que foram consultadas 8 000 pessoas.

Candidato A 40,1%

Candidato B 38,8%

Nenhum deles 11,2%

Não sabe 9,9%

Com base nesses dados, responda.

a) Quantas pessoas preferem o candidato A?

b) Quantas pessoas não preferem nenhum dos candidatos?

8 Devido à inflação, os preços em um supermercado foram reajustados em 3% em certo mês. Qual passou a ser o preço de um pacote de arroz que custava R$ 15,00 antes do aumento?

9 O consumo de água em uma residência costumava ser de 24 m3 por mês. Participando de uma campanha de redução de consumo de água, os moradores conseguiram economizar 25% desse volume durante o mês.

a) Qual foi o volume de água consumido nessa residência no mês da campanha?

b) E você, já tentou reduzir o consumo de água em sua casa? Que atitudes você deve tomar para reduzir esse consumo?

Resolução da atividade 13

Do enunciado temos:

d = R$ 60,00.

10 Analise o fluxograma para calcular por quanto foi vendido um sapato que custava R$ 300,00 com um desconto de 20% sobre esse preço. Execute esse fluxograma e calcule p

Fluxograma no Manual do Professor.

Início

Ler R$ 300,00

p = R$ 240,00.

Ler 20% = 0,20

Calcular o desconto d d = 20% de R$ 300,00 ou d = 0,20 R$ 300,00

4x = 16 6 x = 4 4 4 cm

a) A = 4 4 = 16 4 16 cm2

b) 50% de 4 cm equivalem a 2 cm. Portanto, o lado do novo quadrado terá 6 cm, e a área A, em cm2, será:

A = 6 . 6 = 36 4 36 cm2

Fim Mostrar p

Calcular o preço de venda (p) p = R$ 300,00 - d

Mostrar d

11 Um celular custava R$ 1.200,00. Em uma promoção, ele foi vendido com um desconto de 10%. Por quantos reais o celular foi vendido? Construa um fluxograma para esse resultado. Depois, execute-o.

Como 36 16 2, 25 225 100 == , o percentual de aumento da área é de 225%.

Resolução da atividade 14

0,09 . 5 000 000 = 450 000 4

450 000 t

12 (IF SUDESTE-MG) João tem um carro que custa R$ 24.200,00. Sabendo que seu carro desvaloriza 10% ao ano, quantos reais, aproximadamente, João pagará de IPVA daqui a 2 anos, considerando que o IPVA será 4% do valor do carro?

p = R$ 1.080,00. Fluxograma no Manual do Professor. Alternativa

0,13 5 000 000 = 650 000 4 650 000 t

1 tonelada 4 85 L de etanol. Logo:

a) R$ 774,40.

b) R$ 784,00. c) R$ 871,20. d) R$ 930,00. e) R$ 968,00.

13 (OMM-MG) João tem um barbante de 16 cm de comprimento.

a) Qual é a área do maior quadrado que João pode fazer utilizando o barbante?

16 cm2

b) Se João formar um novo quadrado, com um barbante 50% maior, qual será o percentual de aumento da área?

14 (UNIVAG-MT) A Diatraea saccharalis, conhecida popularmente como broca da cana, afeta as lavouras brasileiras da cultura, acarretando prejuízo para os produtores. As infestações da broca da cana geram uma perda na produção que varia de 9% a 13%.

Considere uma safra prevista de 5 milhões de toneladas de cana sadia destinada exclusivamente à produção de etanol; e que uma tonelada de cana produz 85 litros de etanol, cujo litro é vendido, em média, por R$ 2,00.

Para o caso de essa safra sofrer uma infestação da broca da cana, o prejuízo gerado, em milhões de reais, na arrecadação da venda do etanol é estimado entre:

a) 38,2 e 55,2.

b) 153,0 e 221,0.

450 000 85 = 38 250 000 4 38,25 milhões de litros de etanol

650 000 . 85 = 55 250 000 4 55,25 milhões de litros de etanol.

O prejuízo está entre R$ 76,5 milhões (38,25 . 2) e R$ 110,5 milhões (55,25 2).

Alternativa c

Resolução da atividade 15

a) 110 100 = 1,1 > 1

b) 0,10 . 2560 = 256 4 R$ 256,00.

c) Representa um acréscimo de 10%.

Resolução da atividade 11

Sugestão:

c) 76,5 e 110,5.

d) 90,2 e 139,5. e) 7,6 e 11,0.

15 O preço de uma televisão é R$ 2.560,00. Como vou comprá-la a prazo, o preço sofre um acréscimo de 10% sobre o preço à vista. Darei 30% de entrada e pagarei o restante em duas prestações iguais.

a) Estabeleça a razão entre o valor pago pelo financiamento da televisão e o seu valor real pelo pagamento à vista. Ela é maior ou menor do que um? Por quê?

2 816 2560

b) Qual é a diferença entre o valor a ser pago de forma parcelada e o valor a ser pago à vista?

c) O que essa diferença representa em relação ao valor real da televisão?

Alternativa c Um acréscimo de 10%.

Maior. Porque o preço real sofreu um acréscimo.

R$ 256,00.

d) Cite outras situações do dia a dia nas quais possam ser aplicados os conceitos usados para resolver essa questão.

Resposta pessoal.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA04

Resolução da atividade 10

d = 20% de 300 ou d = 0,20 300 6 d = R$ 60,00

p = 300 - d 6 p = 300 - 60 6 p = R$ 240,00

A resolução da atividade 11 está logo após a resolução da atividade 15

Resolução da atividade 12 Como são dois descontos sucessivos de 10%, em reais, temos:

24 200 0,92 = 24 200 0,81 = 19 602

Calculando 4% de 19 602, em reais, temos:

.=4 4 100 19 602784 ,08 R$ 784,08

Alternativa b

MUNGKHOOD STUDIO/ Shutterstock.com

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA04

A atividade 16 propõe a elaboração de questões com base nos dados do enunciado. Essa atividade pode ser realizada em grupos e sua correção pode ser na lousa.

Na atividade 16, a resposta é pessoal.

Resolução da atividade 17

O percentual de pessoas que usa internet, por categoria, é:

• Trabalho:

35 200 17 ,5 100 17 ,5% ==

• Entretenimento:

54 200 27 100 27% ==

• Estudo: 16 200 8 100 8% ==

• Comunicação:

67 200 33 ,5 100 33 ,5% ==

• Informação:

28 200 14 100 14% ==

Assim, apenas a afirmação da alternativa d é correta.

16 Em seu sítio, Marlene cultiva árvores frutíferas distribuídas conforme representado no gráfico a seguir.

Sabendo que no sítio há um total de 250 árvores, elabore perguntas com base nos dados apresentados e peça a um colega que as responda. Responda às questões dele e, depois, confiram juntos as respostas.

Resposta pessoal.

17 (IFMS) Realizou-se uma pesquisa com 200 pessoas para saber qual a finalidade da internet no seu dia a dia. O resultado da pesquisa pode ser observado no gráfico abaixo.

Para que finalidade você utiliza a internet

De acordo com o gráfico, é correto afirmar que:

a) a maioria das pessoas utiliza a internet com a finalidade de obter informações.

b) 16% das pessoas que responderam à pesquisa utilizam a internet com a finalidade de trabalho.

c) 22% das pessoas que responderam à pesquisa utilizam a internet com a finalidade de trabalho ou estudo.

d) 27% das pessoas que responderam à pesquisa utilizam a internet com a finalidade de entretenimento.

e) 111 pessoas utilizam a internet com a finalidade de trabalho ou entretenimento.

Fonte: Dados fictícios.

Renato recebeu um salário mensal de R$ 1.800,00 e uma gratificação de 20% sobre esse salário. Sabe-se que do salário bruto são descontados 10% de encargos. Calculem, usando a tecla % da calculadora, quanto ele vai receber de salário líquido. Descreva o processo que vocês utilizaram

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA04

Resolução da atividade 18

19 (ENEM) Uma rede de supermercados vende latas de sucos em packs (pacotes) com 12 latas. A venda é feita da seguinte forma:

• um pack é vendido por R$ 21,60;

• na compra de dois packs, o segundo tem 40% desconto sobre seu valor.

Entretanto, essa rede de supermercados costuma disponibilizar também o valor unitário do produto em cada uma das situações de compra. Para obter esse valor, basta dividir o total gasto pela quantidade de latas adquiridas.

Em determinado dia, nos cinco supermercados da rede que vendem os packs da forma descrita, os registros do valor unitário da lata de suco para o cliente que comprava dois packs eram diferentes entre si, conforme os dados:

Loja I: R$ 1,08;

Loja II: R$ 1,40;

Loja III: R$ 1,44;

Esse supermercado corresponde à loja:

a) I.

b) II.

c) III.

Loja IV: R$ 1,76;

Loja V: R$ 1,78.

Em um dos supermercados, o valor unitário está correto, de acordo com o costume da rede ao vender dois packs.

R$ 1.944,00. Resposta pessoal. Alternativa

d) IV.

e) V.

Porcentagem (%)

Foi a partir do século XV que este símbolo passou a ser utilizado em operações comerciais para o cálculo de juros, impostos, lucros etc. Mas foi o imperador romano Augusto quem, muito antes, criou um imposto sobre todas as mercadorias vendidas. O valor desse imposto era 1 100 , (além é claro dos já existentes 1 20 e 1 25 ) sobre compra e venda de escravos respectivamente. Note que todas as frações com facilidade eram redutíveis a centésimos. Durante o século XV, o número 100 tornou-se a base para cálculos de percentuais, se encontram em documentos dessa época expressões como 20 p 100 para vinte por cento, x p cento para dez por cento, e VI p C 0, para seis por cento. Depois firmaram-se cálculos comerciais na sociedade, mas o símbolo atual % pode ter sua origem ligada a um manuscrito italiano anônimo, datado de 1425, onde o autor escreveu 'P ; depois, em 1650, aparece a escrita per no lugar do símbolo mais tarde o per foi suprimido, restando apenas , e daí, com o tempo, passou-se a escrever %.

• Represente os números 1 20 , 1 25 e 1 100 usando o símbolo %. 5%, 4% e 1%

O desconto dos 10% é feito sobre o salário acrescido da bonificação, ou seja, 120% de R$ 1.800,00.

Usando a tecla %

1 800,00 120% 90% = 1.944,00

Resposta: R$ 1.944,00.

Resolução da atividade 19

Na compra de 1 pack de latas, o custo unitário é:

21,60 : 12 = 1,80, ou seja, 1 lata de suco custa R$ 1,80.

Na compra de 2 packs, há um desconto de 40% no preço do segundo pack, cujo preço, então, passa a ser: 21,60 . 0,60 = 12,96. Desse modo, na compra de 2 packs (ou 24 latas de suco), o preço será de:

21,60 + 12,96 = 34,56.

O valor unitário nessa compra será de: 34,56 : 24 = 1,44 4 R$ 1,44, que é o preço da loja III. Alternativa c

O conteúdo de Viagem no tempo favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1. Se possível, instrua os estudantes a pesquisar o uso da porcentagem ao longo da história, de modo que percebam como esse conhecimento está associado, por exemplo, à cobrança de impostos ou às taxas utilizadas na comercialização.

Fonte: CONTADOR, Paulo Roberto Martins. Matemática: uma breve história São Paulo: Livraria da Física, 2012. v. 1, p. 145-146.

Orientações

O texto apresentado em Matemática Interligada favorece o desenvolvimento de atitudes e valores, ao propor uma reflexão sobre o cyberbullying, que é uma das formas mais agressivas de bullying, pois é realizado no meio virtual, promovendo um grande alcance de público.

Essa reflexão oportuniza o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal: Vida Familiar e Social Resolução das atividades

a) Resposta pessoal. Dados pessoais devem ser compartilhados com moderação e cuidado. Professor, fique atento para que não haja exposição desnecessária, piorando alguma situação desagradável.

Caso algum estudante decida expor, aproveite para pedir que fale sobre como se sentiu e quais foram as consequências na sua vida diária.

b) A rigor, não. Às vezes, basta que o agressor tenha inveja ou ciúme da vítima, ou mesmo que deseje ter sobre ela uma relação de poder. No entanto, é possível tomar algumas atitudes para se proteger. Por exemplo: pensar antes de compartilhar informações e imagens pessoais; não revidar agressões; responder bloqueando o agressor; jamais divulgar fotos com nudez total ou parcial, entre outras.

c) Se mesmo após conversar com o agressor (se for possível), o cyberbullying continuar, é importante pedir ajuda e denunciar, na família, no ambiente escolar e nos canais oficiais.

d) Muitas vítimas podem se deprimir, isolar-se socialmente e desenvolver transtornos alimentares e pensamentos suicidas, entre muitas outras consequências.

Para aprofundar

Uma matéria bem completa a esse respeito pode ser encontrada no site do Unicef, disponível em: https:// www.unicef.org/brazil/cyberbullying -o-que-eh-e-como-para-lo (acesso em: 13 jun. 2022).

Cyberbullying

A internet trouxe vários pontos positivos para a sociedade. Por meio dela é possível comunicar-se de maneira rápida e interagir com pessoas de toda parte do mundo. Entretanto, existem consequências negativas e preocupantes em relação a essa popularização. Uma delas é o cyberbullying, que é a prática de humilhar, falar mal, ameaçar, magoar, perseguir e difamar por meio de canais virtuais.

[...] “ciberbullying é a modalidade virtual do bullying, mas com características próprias, pois tem um efeito multiplicador e de grandes proporções quando acontece na web. Nessa modalidade de bullying, as tecnologias como celulares e as câmeras fotográficas, e os ambientes como as redes sociais, servem para produzir, veicular e disseminar conteúdos de insulto, humilhação e violência psicológica que provocam intimidação e constrangimento dos envolvidos”.

[...]

CIBERBULLYING não é brincadeira. In: TURMINHA DO MPF. [S. l.], [20--]. Disponível em: https://turminha.mpf.mp.br/explore/seguranca-na-internet/ciberbullying-nao-e-brincadeira. Acesso em: 19 maio 2022.

a) Algum de vocês já sofreu algum ataque por meio de cyberbullying? Gostaria de compartilhar com os colegas?

b) Vocês acreditam que é possível agir de maneira a evitar o cyberbullying?

c) Sugiram algumas ações que vocês poderiam realizar para evitar o cyberbullying

d) Façam uma pesquisa e citem algumas consequências para a saúde mental dos estudantes vítimas de cyberbullying

O cyberbullying pode causar depressão e outros problemas emocionais.

Katya Rekina/Shutterstock.com

Respostas pessoais.

Contagem e possibilidades

Objetivos do capítulo

• Compreender o princípio multiplicativo da contagem.

• Elaborar e resolver problemas que envolvam o princípio multiplicativo da contagem.

Foco na BNCC

Ângela, Rosa e Cida podem sentar, cada uma em um lugar, em um banco de três lugares.

a) Cite uma disposição se Ângela sentar no lado esquerdo do banco. E se Ângela sentar no meio?

Em uma escola há 54 alunos matriculados no 6? ano. Eles vão fazer uma visita ao Museu do Amanhã, na cidade do Rio de Janeiro (RJ). Lá, serão divididos em grupos com o mesmo número de alunos, cada um com mais de 5 e menos de 20 alunos. De quantas formas diferentes esses grupos poderão ser feitos?

Ângela, Rosa e Cida ou Ângela, Cida e Rosa. Rosa, Ângela e Cida ou Cida, Ângela e Rosa.

b) De quantas maneiras diferentes elas podem se sentar?

Princípio multiplicativo da contagem

Acompanhe os exemplos a seguir.

Se uma decisão P pode ser tomada de x maneiras diferentes e, se uma vez tomada a decisão P, outra decisão Q pode ser tomada de y maneiras diferentes, então, o número de possibilidades de se tomarem as decisões P e Q é igual a x y

• Para montar seu sanduíche, Joana tem dois tipos de pão e três tipos de recheio:

- Pãodesal Pãodefôrma

Queijo coalho Queijo branco Requeijão

Quantas combinações diferentes existem para Joana montar esse sanduíche com um tipo de pão e um tipo de recheio?

Algumas situações envolvendo o princípio fundamental da contagem podem ser representadas por um diagrama de árvore ou árvore de possibilidades. Esse diagrama ajuda a visualizar e resumir todos os resultados possíveis.

queijo coalho (pão de sal, queijo coalho)

pão de sal

2 possibilidades

queijo branco

(pão de sal, queijo branco)

requeijão (pão de sal, requeijão)

queijo coalho (pão de fôrma, queijo coalho)

queijo branco

(pão de fôrma, queijo branco)

requeijão (pão de fôrma, requeijão)

3 possibilidades

6 possibilidades

Portanto, são 6 combinações (2 3 = 6) diferentes para montar o sanduíche.

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1 e 9 Competências específicas

2, 4 e 6

Habilidades EF06MA03 e EF08MA04

Foco nos TCTs

• Educação em Direitos Humanos

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da competência específica 2 e da habilidade EF08MA03

Aproveite a proposta do Para começar para discutir com os estudantes as diferentes maneiras de organizar um conjunto de três elementos. Possibilite que compartilhem estratégias e respostas, verificando se identificam todas as possibilidades. Utilize outros exemplos, aumentando a quantidade de elementos, de maneira que percebam a necessidade de um procedimento que os auxilie nesse processo de organização. Explore o primeiro exemplo indicado, a fim de apresentar o diagrama de árvore e aplicar a ideia do princípio multiplicativo da contagem.

Resposta do item b

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA03

Para trabalhar o segundo exemplo, questione os estudantes se seria prático representar a situação por meio de um diagrama de árvore. Espera-se que percebam que há muitas possibilidades e que o diagrama não seria adequado para resolver o problema.

Resolução do Pense e responda

Como é possível repetir letras, temos para as letras: 5 . 5 = 25.

E para os números, temos:

4 4 4 4 = 256.

Então, temos:

256 25 = 6 400 possibilidades

• Uma empresa tem 15 funcionários e todos eles podem ocupar os seguintes cargos de uma comissão: diretor, vice-diretor e tesoureiro. Quantas comissões diferentes podem ser formadas sabendo que o mesmo funcionário não deve ocupar mais de um cargo?

Do enunciado, temos:

comissão

vice-diretor tesoureiro diretor

1; etapa ‒ Escolha do diretor: temos 15 possibilidades, pois são 15 funcionários que podem ocupar o cargo de diretor.

2; etapa ‒ Escolha do vice-diretor: como não pode haver repetição de funcionário, devemos ter um funcionário diferente do escolhido para diretor. Assim, restam (15 - 1) funcionários, ou seja, 14 possibilidades.

3; etapa ‒ Escolha do tesoureiro: devemos ter um funcionário diferente dos dois funcionários escolhidos para os cargos anteriores. Assim, restam (14 -1) funcionários, ou seja, 13 possibilidades. O número de possibilidades para cada etapa é:

Vice-diretor 14 Tesoureiro 13 Diretor 15

Pelo princípio multiplicativo, a escolha dos cargos da comissão pode ser feita de 15 14 13 maneiras diferentes; ou seja, são 2 730 comissões diferentes que podem ser formadas.

Olleg/Shutterstock.com

Em uma pequena cidade, os participantes de uma corrida de rua serão identificados com uma senha constituída de duas letras iniciais escolhidas entre A, B, C, D e E, seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 1, 2, 3 e 4. Nessas condições, qual é o número máximo de participantes que podem se inscrever para a corrida? 6 400

• Na emissão de um cartão de crédito, o cliente registra uma senha composta de seis algarismos, escolhidos de 0 a 9. Se a repetição de algarismos é permitida, de quantos modos pode-se escolher uma senha?

A senha deve conter seis algarismos escolhidos entre:

0123456789

Como pode haver repetição de algarismos, temos dez opções de escolha para cada algarismo da senha.

Cartões de crédito.

Número de possibilidades 101010101010

Assim, usando o princípio fundamental da contagem, o número de senhas que pode ser formado é igual a: 10 10 10 10 10 10 = 106 = 1 000 000. Portanto, existem um milhão de senhas possíveis para escolher.

• Uma escola de natação tem dez alunos. Deseja-se formar uma equipe de três alunos para representá-la em uma competição. Quantas equipes poderão ser formadas?

Usando o princípio multiplicativo, temos 10 9 8 equipes, ou seja, 720 equipes. Suponha que A, B e C sejam três dos alunos escolhidos entre os dez alunos da escola. Na formação das equipes, a ordem em que os alunos são escolhidos não faz diferença. Assim, a equipe formada por A, B e C e a equipe formada por C, A e B é a mesma. Nesse caso, cada equipe foi contada 3 2 1 vezes, ou seja, 6 vezes.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA03

Verifique se os estudantes compreenderam o exemplo da senha do cartão de crédito e aproveite para discutir a importância do uso de senhas seguras para evitar que estranhos tenham acesso a dados pessoais. Essa discussão favorece o desenvolvimento da competência específica 6 Explore o exemplo da escola de natação, verificando se os estudantes percebem semelhanças e diferenças na aplicação do princípio multiplicativo da contagem. Depois, incentive-os a enunciar esse princípio em termos matemáticos.

Veja: Equipe

1; 3 possibilidades

2; 2 possibilidades

3; 1 possibilidade

As equipes repetidas devem ser eliminadas da quantidade total de 720 equipes. Para isso, dividimos o total de equipes obtidas inicialmente pelo número de repetições.

= 720 6 120

Portanto, poderão ser formadas 120 equipes.

Crianças praticando natação.

Orientações

As atividades favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA03

Proponha aos estudantes que resolvam algumas atividades e depois faça a correção coletiva utilizando a lousa para esclarecer as dúvidas.

Veja a resolução da atividade 1 no rodapé da página.

Resolução da atividade 2

São 12 possibilidades: cara - 1, cara- 2, cara- 3, cara- 4, cara5, cara - 6, coroa - 1, coroa - 2, coroa-3, coroa-4, coroa-5, coroa-6

Resolução da atividade 3

Lúcia tem 6 opções, ou seja:

40 + 29 = 69,00 4 R$ 69,00;

40 + 19 = 59,00 4 R$ 59,00;

30 + 29 = 59,00 4 R$ 59,00;

30 + 19 = 49,00 4 R$ 49,00;

28 + 29 = 57,00 4 R$ 57,00;

28 + 19 = 47,00 4 R$ 47,00.

Opção mais cara: R$ 69,00.

Resolução da atividade 4

Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes proponham questões como: Quantas opções diferentes existem? Se fixarmos Adílson como presidente, quantas opções de vice existem?

Resolução da atividade 5

4 caracteres: 10 10 10 10 = 104; 6 caracteres:

10 10 10 10 10 = 106

6 4 = 102 = 100 4 100 vezes

Atividades

1 Márcio foi a uma lanchonete para comer empada. Veja, na ilustração abaixo, as opções de tipo e sabor.

a) Construa um diagrama de árvore mostrando todas as opções de Márcio.

Resposta no Manual do Professor.

b) Quantas opções ele tinha? 8

c) Faça um novo diagrama de árvore com o acréscimo de uma possibilidade de sabor: calabresa.

Resposta no Manual do Professor.

2 No lançamento de um dado de forma hexaédrica, são seis possibilidades de resultado: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. No lançamento de uma moeda, são duas as possibilidades de resultado: cara ou coroa.

Quantas e quais são as possibilidades de resultado no lançamento simultâneo desse dado e dessa moeda?

12 possibilidades.

3 Em um quiosque de flores, há as seguintes opções de vasos e buquês:

Lúcia quer comprar um vaso e um buquê de flores. Quantas opções ela tem para fazer essa compra? Em qual ela gastará mais?

4 Adílson e Laís são candidatos à presidência de um clube. Juliana, Gilberto, Paulo e Kátia são candidatos à vice-presidência, separadamente. Elabore duas perguntas sobre as possibilidades de escolha desses candidatos e responda-as. Depois de respondidas, converse com um colega sobre como foi o processo de resolução.

Lúcia tem seis opções, sendo que a mais cara custará R$ 69,00. Respostas pessoais.

5 Para aumentar a segurança do seu e-mail, Márcio mudou a senha de quatro caracteres numéricos para outra de seis caracteres numéricos. Se a repetição de algarismos é permitida em ambos os casos, em quantas vezes Márcio aumentou as possibilidades de obter senhas diferentes?

Resolução da atividade 1

a) empada

grande pequena

cam.pal. leg.fr. cam.pal.leg.fr.

b) 2 . 4 = 8

c) empada

grande pequena

cam.pal.leg.fr. cal. cam.pal.leg.fr. cal.

Dado hexaédrico.

Moeda de 1 real.

Imagens da página fora de proporção.

Imagens da página fora de proporção.

ilustrações: DAE

6 A senha é um conjunto de caracteres que possibilita acesso a vários serviços digitais. Todo cuidado é pouco com a escolha da senha e com o seu sigilo.

a) Pesquisem quais são as características de uma “senha boa” e de uma “senha ruim”. O que isso significa?

Resposta no Manual do Professor.

b) Criem algumas senhas de cinco caracteres e de oito caracteres.

c) Conversem com os colegas sobre a forma de representação mais adequada para essas senhas. Apresentem justificativas matemáticas para dizer se certa senha é mais segura do que outra.

7 O setor de emergência de um hospital conta com cinco ortopedistas e três anestesistas para os plantões noturnos. As equipes de plantão devem ser constituídas de três médicos: dois ortopedistas e um anestesista. Quantas equipes diferentes podem ser organizadas para o plantão noturno?

8 Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, sabendo que:

a) os algarismos podem ser repetidos?

b) os algarismos devem ser distintos?

9 Um anagrama é qualquer disposição das letras de uma palavra em certa ordem, de modo a formar uma palavra com ou sem sentido. Por exemplo: ORTES, TORES etc. são anagramas da palavra SETOR. Quantos anagramas da palavra SETOR começam com a letra T?

10 De quantas maneiras Lorenzo pode pintar as faces do dado representado abaixo, cada uma com uma só cor, com as cores verde, azul, vermelha, amarela, preta e lilás?

é preciso adequar a estratégia de resolução.

Resolução da atividade 8

a) Posso ter os 6 algarismos em cada posição dentro do número, então: 6 . 6 . 6 = 216.

b) Como não pode haver repetição, temos: 6 . 5 . 4 = 120.

Resolução da atividade 9

Se o anagrama começa com a letra T, restam 4 opções para as demais letras. Logo, são 24 anagramas que começam com T (4 . 3 . 2 . 1 = 24).

Resolução da atividade 10

O dado tem 6 faces. Assim, usando o princípio fundamental da contagem, temos:

6 5 4 3 . 2 . 1 = 720.

Portanto, o dado poderá ser pintado de 720 maneiras diferentes. Resolução da atividade 11

a) A fileira pode começar com torcedores do time A ou do time B alternando pessoas de mesmo time a partir da segunda posição. Assim, temos: ABABABAB ou

11 Oito amigos, quatro torcedores do time A e quatro do time B, compraram ingressos para lugares contíguos em uma mesma fileira a fim assistir a um jogo de futebol. De quantas maneiras diferentes eles podem se sentar de modo que:

a) torcedores do time A e torcedores do time B sentem-se em lugares alternados?

b) todos os torcedores do time A se sentem juntos e todos do time B também se sentem juntos

12 O modelo atual de placas de veículos usado para todo o Mercosul, o que inclui o Brasil, é composto de quatro letras e três algarismos. Veja o modelo da placa abaixo.

8 7 6 5 4 3 2 1 = 40 320 maneiras.

b) Temos as possibilidades:

Portanto, são 1 152 (2 576) maneiras de se sentarem. Resolução da atividade 12 São 26 letras, então, para as 4 letras temos: 26 26 26 26 = 456 976. São 10 algarismos, então, para os 3 algarismos, temos: 10 . 10 . 10 = 1 000. No total, temos: 456 976 1 000 = 456 976 000.

Nesse modelo, podem ser usadas as 26 letras do alfabeto, incluindo repetições, e os dez algarismos, também incluindo repetições. Determine a quantidade de placas desse modelo que podem ser criadas. 456 976 000

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA03

Observe se, ao resolver essas atividades, os estudantes conseguem analisar o fato de poder existir ou não repetição. Esta é uma observação importante na resolução da atividade 12

Resolução da atividade 6

a) “Senha boa” é uma senha segura, difícil de descobrir.

“Senha ruim” é uma senha fácil de descobrir ou deduzir.

b) Respostas pessoais.

c) O importante para uma senha numérica é que os nú-

meros não estejam relacionados entre si, como datas. Resolução da atividade 7

Sendo os 5 ortopedistas A, B, C, D, E, as equipes com 2 ortopedistas seriam:

ABACADAEBCBDBECDCEDE

Logo, 10 duplas. Como temos 3 anestesistas, é possível formar 30 equipes (3 10 = 30).

Explore com os estudantes a pertinência de usar o princípio multiplicativo da contagem, possibilitando que percebam que, nesse caso, a ordem não importa e, portanto,

Modelo de placa do Mercosul.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA03

Resolução da atividade 13

a) Com dois sabores: 5 2 = 10 Com três sabores, temos: M/P/C; M/P/N; M/P/Ma; M/C/Ma; M/C/N; M/N/Ma, isto é, 6 opções diferentes.

b) Resposta pessoal.

c) Resposta pessoal.

Resolução da atividade 14

a) 6 . 3 . 3 = 54, ou seja, 54 maneiras diferentes.

b) Como Telma tem 54 visuais diferentes para compor, e considerando que cada mês tem 4 fins de semanas (em média), 54 4 = 13,5 meses.

Resolução da atividade 15

Cada um dos pontos se liga a outros 4 pontos, conforme se verifica no quadro a seguir.

ABCDE

A ABACADAE

B ABBCBDBE

C ACBCCDCE

D ADBDCDDE

E AEBECDDE

Mas é possível também observar que cada corda aparece duas vezes no quadro.

Assim, podem ser formadas:

54 2 = 10; 4 10 cordas.

Resolução da atividade 16

Primeiro, vamos considerar o aspecto geral do problema.

Serão cartões com números de 1 a 9 e fotos de 5 animais. Então, podemos ter: 9 . 5 = 45.

Vamos agora excluir:

• os cartões com números ímpares e com uma zebra:

5 1 = 5, pois são 5 números ímpares (1, 3, 5, 7, 9) e apenas 1 animal;

• os cartões com números 4 ou

5 com um gato ou um pássaro:

2 . 2 = 4, pois são 2 números (4 e 5) e 2 animais (gato ou pássaro).

Ao final, teremos: 45 - 5 - 4 = 36 Alternativa b

13 Em uma pizzaria, há os seguintes sabores de pizza:

a) De quantas maneiras diferentes uma pessoa pode fazer o pedido de uma pizza

• com dois sabores?

• com três sabores?

b) Pesquisem o preço de uma pizza e os sabores mais comuns na região em que você mora.

c) Escrevam uma síntese sobre a origem da pizza. Troquem ideias com os colegas.

14 Telma foi a uma loja e comprou 3 saias, 6 blusas e 3 sandálias, todas de modelos diferentes.

a) De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir compondo seu visual com uma blusa, uma saia e uma sandália dessa compra?

b) Sabendo que Telma só usará essas roupas uma vez por semana, por quantos meses, aproximadamente, ela não precisará repetir o visual (mesma saia, mesma blusa e mesma sandália)?

15 Em uma circunferência são marcados cinco pontos, A, B, C, D e E. Ligando-se quaisquer dois desses pontos, obtém-se uma corda. Qual é o número total de cordas que podem ser formadas?

16 (UNIVAG) Para uma atividade serão confeccionados alguns cartões. Cada cartão deverá conter um número e a figura de um animal, nessa ordem. Os números podem ser de 1 a 9 e os animais podem ser elefante, cachorro, gato, pássaro ou zebra. Não serão confeccionados cartões com números ímpares cuja imagem de animal seja uma zebra. Não serão confeccionados cartões com os números 4 ou 5 cuja imagem de animal seja um gato ou um pássaro. Nessas condições, o número de cartões distintos que podem ser criados é

a) 35

b) 36 c) 37

34 e) 38

Mussarela

Napolitana Marguerita

Palmito

Calabresa

Desigualdades sociais por cor ou raça no Brasil

Falar sobre desigualdade social no Brasil é, também, falar sobre desigualdade racial. Esta afirmação é fruto das pesquisas realizadas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, o IBGE, que apontam que as pessoas pretas ou pardas são as que mais sofrem no país com a falta de oportunidades e a má distribuição de renda. Embora representem a maior parte da população (55,8%) e da força de trabalho brasileira (54,9%), apenas 29,9% destas pessoas ocupavam os cargos de gerência, segundo dados da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua 2018. A relativa desvantagem também se aplica ao ganho mensal de cada raça ou cor. Os números apontam que o rendimento médio mensal da pessoa ocupada preta ou parda gira em torno dos R$ 1.608 contra os R$ 2.796 das pessoas brancas. E esta desigualdade é mantida ainda que se leve em consideração o nível de escolaridade, pois a maior parcela das ocupações informais e da desocupação é composta pela população preta ou parda, independentemente do nível de instrução que ela possua. Entre aqueles que concluíram o Ensino Superior, essa diferença tende a ser um pouco menor.

Orientações

O conteúdo e atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA04, além das competências gerais 1 e 9 e da competência específica 4

O texto favorece o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal: Educação em Direitos Humanos

Os estudantes podem pesquisar termos que aparecem no texto, como “população desocupada” ou “população subutilizada”. Eles também podem pesquisar políticas públicas ou ações de ONGs que atuam para atenuar a desigualdade social.

Resolução das atividades

1. Segundo o texto, 55,8% da população brasileira é preta ou parda. Estimando a população em 212 milhões de habitantes, a quantidade de pretos ou pardos é: 212 . 0,558 o 118,3, isto é, 118,3 milhões.

2. Considerando os valores de R$ 1.608,00 e R$ 2.796,00 como respectivamente os ganhos médios de pessoas pretas ou pardas e de pessoas brancas, temos que a diferença percentual é:

(2 796 - 1 608) : 1 608 = 0,7388, isto é, 73,88%.

IBGE. Desigualdades sociais [...]. In: IBGE. Educa Jovens. Rio de Janeiro, c2022. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/jovens/materias -especiais/21039-desigualdadessociais-por-cor-ou-raca-no-brasil.html. Acesso em: 19 maio 2022.

1 Sabendo que o Censo Demográfico 2021, do IBGE, estima em mais de 212 milhões de habitantes a população do Brasil, qual é a população de pessoas pretas ou pardas, de acordo com o texto?

Mais de 118,3 milhões.

2 Qual é a diferença percentual do rendimento médio mensal da pessoa ocupada preta ou parda em relação ao das pessoas brancas?

73,8%

3 De acordo com o gráfico, qual é a diferença do rendimento médio real habitual do trabalho principal das pessoas com ocupação formal brancas em relação às pretas ou pardas?

R$ 1.200,00.

4 Faça uma reflexão sobre a seguinte afirmação: “Embora [as pessoas pretas ou pardas] representem a maior parte da população (55,8%) e da força de trabalho brasileira (54,9%), apenas 29,9% destas pessoas ocupavam os cargos de gerência, segundo dados da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua 2018”. O que poderia ser feito para evitar essa diferença?

Resposta pessoal.

5 Faça uma pesquisa com o objetivo de comparar os dados do gráfico referentes a 2018 com os dados atuais e redija um texto com as conclusões.

Resposta pessoal.

3. De acordo com o gráfico:

3 282 - 2 082 = 1 200, isto é, R$ 1.200,00.

4. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes deem sugestões como melhorar a condição de vida nas comunidades mais carentes, programas de educação mais eficientes etc.

Orientações

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize as atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

1 (ENEM) A imagem representa uma calculadora científica com duas teclas destacadas. A tecla A eleva ao quadrado o número que está no visor da calculadora e a tecla B extrai a raiz cúbica do número apresentado no visor.

Uma pessoa digitou o número 8 na calculadora e, em seguida, apertou três vezes a tecla A e depois uma vez a tecla B.

A expressão que representa corretamente o cálculo efetuado na calculadora é:

a) ++ 8 333 2

b) ** 8 222 3

c) 888 333 2 ++

d) 888 222 3 ++

e) ** 888 222 3

2 (ENEM) O diagrama a seguir representa a energia solar que atinge a Terra e sua utilização na geração de eletricidade. A energia solar é responsável pela manutenção do ciclo da água, pela movimentação do ar, e pelo ciclo do carbono que ocorre através da fotossíntese dos vegetais, da decomposição e da respiração dos seres vivos, além da formação de combustíveis fósseis.

Proveniente do Sol

200 bilhões de MW

Aquecimento do solo Evaporação da água

Aquecimento do ar Absorção pelas plantas

Energia potencial (chuvas)Petróleo, gás e carvão

Usinas hidroelétricas 100 000 MW

Usinas termoelétricas 400 000 MW

Eletricidade 500 000 MW

De acordo com o diagrama, a humanidade aproveita, na forma de energia elétrica, uma fração da energia recebida como radiação solar, correspondente a:

Orientações

3 (ENEM) A gripe é uma infecção respiratória aguda de curta duração causada pelo vírus influenza. Ao entrar no nosso organismo pelo nariz, esse vírus multiplica-se, disseminando-se para a garganta e demais partes das vias respiratórias, incluindo os pulmões. O vírus influenza é uma partícula esférica que tem um diâmetro interno de 0,00011 mm.

Disponível em: www.gripenet.pt. Acesso em: 1 jan. 2020 (adaptado).

Em notação científica, o diâmetro interno do vírus influenza, em mm, é:

a) 1,1 10-1

b) 1,1 10-2

c) 1,1 . 10-3

d) 1,1 10-4

e) 1,1 10-5

4 (IFPE) O valor de A na expressão A = 0,50 0,25 - é:

a) 0,1.

b) 0,1

c) 0,50.

d) 4-1

e) 0,125.

Alternativa c

Alternativa d

Resolução da atividade 3 0,00011 mm = 1,1 . 10–4 mm

4

Alternativa c Resolução da atividade 5 Seja x o valor da mesada de cada um.

Marcos gastou x 3 5 , e sobraram x 2 5

Bruna gastou 50% de x, e sobraram 50% de x, ou seja, x x 50 100

5 (CMM-AM) Marcos e Bruna receberam de mesada a mesma quantia. Marcos já gastou 3 5 do que recebeu enquanto Bruna já gastou 50%. Juntando o que ainda resta de cada um, obtém-se uma quantia total de R$ 108,00. Que quantia Bruna já gastou?

Alternativa b

a) R$ 48,00.

b) R$ 60,00.

c) R$ 72,00.

d) R$ 120,00.

e) R$ 132,00.

6 (IFPE) Deseja-se cobrir o piso de um quarto retangular de 3 metros de largura por 5 metros de comprimento com cerâmicas quadradas de 40 cm de lado. Sem levar em conta a largura do rejunte, e comprando uma quantidade que forneça uma área pelo menos 10% maior (para as quinas e possíveis quebras), quantas caixas dessa cerâmica temos que comprar, sabendo que em cada caixa temos 8 cerâmicas?

Alternativa a

a) 13

b) 12

c) 10

d) 15

e) 11

Bruna já gastou R $ 60,00, pois 50 100 12060.=

Alternativa b Resolução da atividade 6

A área do quarto é: 3 5 = 15

Ou seja, 15 m2

A área de cada cerâmica é: 0,4 . 0,4 = 0,16 4 0,16 m2

A área do quarto mais 10% dela é: 15 + 1,5 = 16,5 4 16,5 m2

Para cobrir toda a área, serão necessárias:

16,5 : 0,16 = 103,125, ou seja, 104 cerâmicas.

Se cada caixa contém 8 cerâmicas, serão necessárias 104 : 8 = 13, isto é, 13 caixas.

Alternativa a

Orientações

Resolução da atividade 7

Do enunciado, temos 4 algarismos (0, 1, 2 e 3) para colocar em três posições. Usando o princípio fundamental da contagem, concluímos que são 24 possibilidades (4 3 2 = 24).

Alternativa a Resolução da atividade 8

Como a senha tem uma letra M e dois algarismos dos quais um é o 7, temos 9 algarismos que podem ocupar 2 posições diferentes, assim:

M 7 ___ ou M __ 7 ou 7 __ M ou 7 M ___ ou ___ 7 M ou ___ M 7

Ou seja, 6 . 9 = 54

Adicionando 54 com as 6 tentativas de posicionar a letra M e o número 7, temos: 54 + 6 = 60.

Alternativa c Resolução da atividade 9

O círculo é composto de quatro regiões. Rotulamos as regiões como na figura a seguir.

7 (CMJF-MG) Ao enviar uma carta, é preciso preencher o envelope com alguns números, chamados de CEP (Código de Endereçamento Postal).

Considere o número do CEP da carta ilustrada e observe que os três últimos algarismos do traço não aparecem.

Ao completar, depois do traço, com os algarismos 0, 1, 2, 3, sem repetição, quantos números de CEP serão criados para a identificação individual de cada local do distrito de Vila Nova Conceição?

Alternativa a

a) 24

b) 27

c) 48

d) 64

8 (OLM-MG) Marcio esqueceu a senha de seu cofre. A senha é formada por uma sequência de uma letra e dois algarismos. Marcio se lembra que a letra M faz parte da senha e que um dos números é 7, mas não se lembra a posição deles. Qual o número mínimo de tentativas que Marcio precisará para garantir que ele abra o cofre?

Alternativa c

a) 10

b) 30

c) 60

d) 80

Se a região c pode ser pintada de 4 cores distintas, a região d pode ser colorida de 3 cores. A região a pode ser colorida de 3 cores, e a região b de 2 cores. Portanto, são 72 maneiras para colorir a figura, pois 4 . 3 . 3 . 2 = 72.

Alternativa d

9 (OBMEP) Paulo tem tintas de quatro cores diferentes. Ele quer pintar cada região da figura de uma cor de modo que regiões vizinhas tenham cores diferentes. De quantas maneiras diferentes ele pode fazer isso?

Alternativa d

a) 16

b) 24

c) 64 d) 72 e) 256

10 (ENEM) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos, distribuídas conforme a tabela abaixo.

Grupos taxonômicos

Orientações

Resolução da atividade 10 São 1 320 conjuntos distintos, pois 2 . 20 . 33 = 1 320.

Alternativa a

A atividade traz informações sobre biodiversidade e espécies de mamíferos. Se julgar conveniente, explore os conhecimentos dos estudantes sobre os grupos citados.

Fonte: T&C Amazônia, ano 1, n. 3, dez. 2003.

Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos – uma do grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. O número de conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a: a) 1 320. b) 2 090. c) 5 845. d) 6 600. e) 7 245. Alternativa a

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Determino a fração geratriz de dízimas periódicas.

Efetuo cálculos com potências de expoentes inteiros.

Compreendo e utilizo a notação científica.

Relaciono potências a raízes e entendo a raiz como potência de expoente fracionário.

Resolvo e elaboro problemas envolvendo cálculo de porcentagem.

Utilizo calculadora para determinar cálculos de porcentagem.

Compreendo o princípio multiplicativo da contagem.

Resolvo e elaboro problemas que envolvam o princípio multiplicativo da contagem.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras. Com base no retorno dessa autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Principais objetivos da unidade

• Identificar e diferenciar os tipos de gráfico.

• Identificar todos os elementos que um gráfico deve conter.

• Construir gráfico de setores com base no cálculo do ângulo de cada setor.

• Construir um gráfico com base nos dados de uma tabela.

• Organizar os dados de uma pesquisa em diferentes classes.

• Identificar a frequência de uma classe.

• Associar uma tabela de frequência a um gráfico.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF08MA23, ao discutir as principais características de gráficos de barras, de setores e de linhas, com a finalidade de interpretar corretamente seus dados e avaliar qual tipo é mais adequado para representar um conjunto de dados.

Nas diversas situações que envolvem dados em gráficos, da análise à sua interpretação, os conhecimentos envolvendo cálculo de porcentagem são explorados e ampliados, desenvolvendo, assim, a habilidade

EF08MA04

Para grandes quantidades de dados, em especial para variáveis contínuas, discutem-se as maneiras de agrupá-los por meio de tabelas de frequências, resumindo-os adequadamente, o que contempla a habilidade

EF08MA24

A realização de pesquisas, bem como a interpretação de seus resultados por meio de relatórios, favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA27

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• Compreendam as quatro operações com números racionais;

• Trabalhem com os significados dos números negativos;

• Realizem cálculos envolvendo porcentagem;

• Construam ângulos com transferidor.

Fonte: IBGE. Indicadores IBGE: Levantamento Sistemático da Produção Agrícola [...]. [Rio de Janeiro]: IBGE, 8 out. 2020. p. 4. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/ visualizacao/periodicos/2415/epag_2020_set.pdf.

Fonte: BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Valor da produção agropecuária deste ano é atualizado para R$ 806,6 bilhões. Brasília, DF: Ministério da Agricultura, 9 out. 2020. Disponível em: https://www.gov.br/ agricultura/pt-br/assuntos/noticias/valor-da-producao-agropecuaria-deste-ano-e -atualizado-para-r-806-6-bilhoes. Acesso em: 13 maio 2022.

Avaliação diagnóstica

É importante observar se os estudantes já dominam os pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade. Para isso, promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre os pré-requisitos elencados e citar exemplos do cotidiano. Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retome-os para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 9

Competências específicas 2 e 4

Habilidades EF08MA04, EF08MA23, EF08MA24 e EF08MA27

Foco nos TCTs

• Direitos da Criança e do Adolescente

• Saúde

Acesso em: 13 maio 2022.

Atualmente, o Brasil é um dos maiores exportadores de grãos do mundo.

Tipos de gráfico e organização de dados em classes

O Valor Bruto da Produção Agropecuária (VBP) de 2020 é 11,5% superior ao de 2019 [...]. O faturamento das lavouras aumentou 15%, atingindo R$ 543 bilhões, e a pecuária, 4,9%, alcançando R$ 263,6 bilhões” [...] Soja, bovinos, milho e café foram os principais responsáveis por esses resultados da agropecuária.

[...]

BRASIL. Ministério da Agricultura, Pecuária e Abastecimento. Valor da Produção Agropecuária deste ano é atualizado para R$ 806,6 bilhões. Brasília, DF: MAPA, 2020. Disponível em: https://www.gov.br/agricultura/pt-br/assuntos/noticias/ valor-da-producao-agropecuaria-deste-ano-e-atualizado-para-r-806-6-bilhoes. Acesso em: 9 mar. 2022.

1. Quais tipos de gráfico você conhece?

Resposta pessoal.

2. Ao observar os gráficos, quais conjuntos numéricos você consegue identificar? Inteiros e racionais.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• interpretar e analisar dados indicados por gráficos de barras, de setores ou de linhas;

• reconhecer o tipo de gráfico que melhor representa um conjunto de dados de uma pesquisa;

• compreender a classificação de frequências de uma variável contínua em classes.

Orientações

Peça aos estudantes que observem os gráficos na abertura da unidade. Aproveite esse momento para verificar o que eles já conseguem inferir sobre esses tipos de gráfico.

Na questão 1, espera-se que os estudantes apresentem seus conhecimentos prévios sobre variados tipos de gráfico. É possível que relacionem os gráficos da abertura da unidade com nomes ou locais em que costumam encontrá-los.

Na questão 2, espera-se que os estudantes mencionem os números inteiros e racionais. Questione-os se é possível existirem gráficos com números negativos, e em quais contextos isso poderia ser observado.

Na questão 3 , estimule-os a questionar familiares e vizinhos sobre exemplos de produção agropecuária local, para que apresentem o repertório de conhecimentos que a comunidade como um todo tem sobre a economia local.

Objetivos do capítulo

• Identificar e diferenciar os tipos de gráfico.

• Identificar todos os elementos que um gráfico deve conter.

• Construir gráfico de setores com base no cálculo do ângulo de cada setor.

• Construir um gráfico com base nos dados apresentados em uma tabela.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 9 Competências específicas

2 e 4

Habilidades EF08MA04, EF08MA23 e EF08MA27

Foco nos TCTs

• Direitos da Criança e do Adolescente

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA23

Inicie o trabalho do capítulo com a atividade proposta em Para começar. Explore os principais elementos dos exemplos apresentados: título, variáveis envolvidas, escala, fonte etc. É possível que os estudantes já nomeiem alguns tipos de gráfico e apresentem algumas de suas semelhanças e diferenças. Oriente-os nesse sentido.

Faça perguntas sobre as informações presentes nos gráficos e peça a eles que elaborem perguntas também. Explique como sintetizar, por escrito, as conclusões a que se pode chegar por meio dos gráficos.

Tipos de gráfico

Márcio entrevistou 70 de seus clientes para saber o nível de satisfação em relação ao atendimento oferecido em sua loja. O resultado foi o seguinte: 45 muito satisfeitos, 17 satisfeitos, 5 pouco satisfeitos e 3 nada satisfeitos

Ele gostaria de representar esse resultado em um gráfico, mas está em dúvida sobre qual tipo utilizar.

Fonte: Dados fictícios.

Pesquisa

Fonte: Dados fictícios.

Fonte: Dados fictícios.

Quais tipos de gráfico você conhece? A que conclusões é possível chegar por meio deles? Respostas pessoais.

Os gráficos são importantes ferramentas para organizar informações, possibilitando que elas sejam interpretadas com mais facilidade e rapidez.

Neste capítulo, será retomado o estudo dos gráficos de barras e de setores já trabalhados em anos anteriores, porém, com ênfase em novos elementos. Em seguida, será apresentado o gráfico de linhas.

Gráfico de barras

O gráfico de barras é muito utilizado para representar dados que podem ser divididos em grupos. Esse tipo de gráfico pode ser horizontal ou vertical, podendo receber, neste último caso, o nome de gráfico de colunas

O gráfico de colunas e o de barras indicam, geralmente, dados categorizados em grupos representados por barras retangulares cuja altura é proporcional ao número de observações da respectiva categoria. Nos gráficos de colunas, os dados são indicados na posição vertical, enquanto os grupos apresentam-se na posição horizontal; já no gráfico de barras, os dados são indicados na posição horizontal, e os grupos qualitativos, na posição vertical. Observe o exemplo a seguir.

• Em Nevecity é comum ver neve em certa época do ano. No gráfico abaixo estão representadas as temperaturas mínimas registradas da cidade de 28 de setembro a 2 de outubro de 2022.

Temperaturas mínimas registradas em Nevecity

Esse tipo de gráfico permite a comparação direta entre os dados. Alguns dos elementos que você precisa conhecer e não pode esquecer na hora de elaborar um gráfico de barras, ou de colunas, estão indicados abaixo.

• Título: expressa o assunto que o gráfico representa. No exemplo, temos: Temperaturas mínimas registradas em Nevecity.

• Eixos: sendo um vertical, que no exemplo representa as temperaturas em graus Celsius, e um horizontal, que representa as datas.

• Unidade de escala: no exemplo, usamos ‘C e escolhemos marcas no eixo vertical para indicar a unidade de escala de 10 em 10 graus Celsius. Em ambos os eixos, as distâncias que representam as unidades da escala devem ser rigorosamente uniformes. Por exemplo, se 1 cm representar 10 ‘C, 2 cm representarão 20 ‘C, 4 cm representarão 40 ‘C etc.

• Barras: devem ser proporcionais às escalas escolhidas.

• Rótulos: ficam ao lado de cada eixo (no gráfico anterior, os rótulos são temperatura em °C e datas).

• Fonte: referência de onde foram retiradas as informações. No caso do gráfico acima, os dados são fictícios.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA23

Um dos tipos de gráfico mais difundidos nas mídias sociais é o de barras, apresentado com a descrição de seus elementos. Reforce com os estudantes que esse tipo de gráfico é apropriado quando o interesse está em representar dados que podem ser divididos em grupos e comparados. Comente sobre a escala do gráfico e para o fato de que, nas barras retangulares, os comprimentos devem ser proporcionais aos dados representados. Apresente dois gráficos aos estudantes, um construído com uma escala adequada e outro não. Questione-os sobre como a configuração da escala influencia as conclusões que se pode tirar desses gráficos.

O gráfico apresentado, “Previsão da temperatura em Nevecity”, possui alguns dados negativos. Verifique se os estudantes compreendem o significado desses valores negativos.

Fonte: Dados fictícios.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA23

O Pense e responda tem como objetivo direcionar uma análise dos dados representados no gráfico de barras “Previsão da temperatura em Nevecity”.

Na questão 1, os estudantes devem verificar que nenhuma das barras alcança o valor de 10 ‘C representado no eixo vertical, assim como nenhuma alcança o valor de

10 ‘C.

Na questão 2, os dias com previsão de temperatura abaixo de zero grau Celsius são aqueles que possuem barras abaixo do eixo horizontal.

Na construção do gráfico de barras horizontais a partir da tabela, apresente essa como outra possibilidade para além do gráfico de barras verticais. Peça aos estudantes que concluam sobre quais as vantagens do gráfico de barras horizontais quando comparado com o gráfico de barras verticais, e vice-versa, e em quais classes de situações cada tipo se adéqua melhor.

Observe novamente o gráfico sobre as temperaturas mínimas registradas em Nevecity entre 28 de setembro e 2 de outubro e responda às questões a seguir.

Temperaturas mínimas registradas em Nevecity

Fonte: Dados fictícios.

1. Alguma temperatura mínima registrada é maior que 10 ‘C? E menor que –10 ‘C? Não.

2. Em quais dias houve previsão de temperatura abaixo de zero grau Celsius? 28 e 29 de setembro e 2 de outubro

Vamos analisar o seguinte exemplo.

• A tabela abaixo mostra os países campeões da Taça Libertadores da América desde sua criação, em 1960, até 2021. Foram 62 edições disputadas.

Fonte: TODOS os campeões da Libertadores – Infográfico completo. In: FUTDADOS. [S l.], c2021. Disponível em: https://futdados.com/libertadores-campeoes/. Acesso em: 17 maio 2022.

Para elaborar o gráfico referente às informações contidas na tabela, vamos colocar as barras na posição horizontal e a escala do eixo horizontal será de 5 em 5.

Quantidade de títulos por país

Troféu da Taça Libertadores da América.

Fonte: TODOS os campeões da Libertadores – Infográfico completo. In: FUTDADOS. [S l.], c2021. Disponível em: https://futdados.com/libertadores-campeoes/. Acesso em: 17 maio 2022.

Atividades

1 O infográfico abaixo mostra as diferenças encontradas entre as regiões e também entre grupos de idade das pessoas que utilizaram a internet.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA04 e EF08MA23

A seção Atividades tem como objetivo analisar e interpretar corretamente os dados representados em um gráfico de barras e construir gráficos desse tipo a partir de dados apresentados em tabelas.

Resolução da atividade 1

a) 77,7% - 75,0% = 2,7%

b) 60 anos ou mais; 45%

c) Calculando as diferenças, temos:

• 10 a 13 anos:

77,7% - 75,0% = 2,7%.

• 14 a 19 anos:

90,2% - 88,6% = 1,6%.

• 20 a 24 anos:

92,7% - 91,0% = 1,7%.

• 25 a 29 anos:

92,6% - 90,7% = 1,9%.

• 30 a 39 anos:

De acordo com o gráfico de barras acima, responda ao que se pede.

a) Entre os brasileiros com idade entre 10 e 13 anos, a utilização da internet variou qual valor percentual de 2018 a 2019?

90,4% - 87,9% = 2,5%.

• 40 a 49 anos:

84,6% - 80,5% = 4,1%.

• 50 a 59 anos:

b) Entre os brasileiros com 10 anos ou mais de idade, qual grupo de idade detinha o menor percentual de utilização da internet em 2019, e qual é esse valor?

c) Qual grupo de idade apresentou a menor diferença entre os percentuais de utilização da internet nos anos de 2018 e 2019?

2,7% 60 anos ou mais; 45% 14 a 19 anos

2 Bruna fez uma pesquisa em sua sala de aula para ver o gosto musical preferido dos colegas e, com os dados obtidos, elaborou o seguinte gráfico.

a) Quantos estudantes participaram da pesquisa feita por Bruna?

b) Quantos estudantes preferem reggaeton?

c) Quais tipos de música, juntas, representam 1 3 da preferência dos estudantes?

d) E você, que tipo de música prefere?

45 estudantes 7 Rock e música eletrônica. Resposta pessoal.

74,2% - 67,9% = 6,3%.

• 60 anos ou mais:

45,0% - 38,7% = 6,3%.

Portanto, a menor diferença foi no grupo de 14 a 19 anos.

Resolução da atividade 2

a) 12 + 7 + 11 + 6 + 9 = 45

b) 7

c) Rock e música eletrônica: 6 + 9 = 15, que é um terço de 45.

Fonte: USO de internet, televisão e celular no Brasil. In: IBGE. Educa Jovens. [Rio de Janeiro], c2021. Disponível em: https://educa. ibge.gov.br/jovens/materias-especiais/20787-uso-de-internet-televisao-e-celular-no-brasil.html. Acesso em: 17 maio 2022.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA04 e EF08MA23

Veja sugestão de gráfico da atividade 3 no rodapé da página. Comente com os estudantes para que avaliem qual tipo de gráfico é mais apropriado para essa representação. Peça que construam os gráficos em duplas, de tal forma que possam cooperar ativamente nessa construção. Eles podem construir o gráfico manualmente, com lápis e papel, ou utilizando planilha eletrônica.

Resolução da atividade 4

a) A Região Sul, em que 68,5% dos domicílios possuem automóvel.

3 A movimentação financeira de uma banca de revista durante a semana estão registrados no quadro a seguir.

Segunda-feiraTerça-feiraQuarta-feiraQuinta-feiraSexta-feiraSábado - R$ 20,00 - R$ 20,00 -R$ 10,00R$ 40,00R$ 90,00R$ 110,00

Represente esses dados em um gráfico.

Gráfico no Manual do Professor.

4 O objetivo da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua (PNAD Contínua), realizada pelo IBGE, é conhecer e divulgar várias características dos brasileiros e de suas moradias.

Observe o gráfico abaixo, da PNAD Contínua, sobre a posse de automóveis e motocicletas nas grandes regiões do Brasil.

Domicílios, por posse de automóveis e motocicletas, segundo as Grandes Regiões (%)

b) A Região Norte, em que 28,1% dos domicílios têm automóvel e 31,8%, motocicleta. Rendimento

Percentual de domicílios com posse de automóveis e motocicletas

Fonte: DOMICÍLIOS brasileiros. In: IBGE. Educa Jovens. [Rio de Janeiro], c2021. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-obrasil/populacao/21130-domicilios-brasileiros.html. Acesso em: 17 maio 2022.

a) Que região registrou o maior percentual de domicílios com posse de automóveis? A Região Sul.

b) Que região apresentou um percentual de domicílios com posse de motocicletas superior ao percentual de domicílios com posse de automóveis? A Região Norte.

Reinaldo Vignati Fonte:

5 O gráfico a seguir mostra o desempenho por piloto em uma corrida de motovelocidade. Essa corrida teve um total de 60 voltas, e o gráfico aponta o número de voltas que cada piloto completou antes de ser dada a bandeirada de chegada ao vencedor, pois, depois disso, não houve mais contabilização das voltas dos outros competidores. Analise atentamente esse gráfico de colunas e responda às questões a seguir.

Desempenho por piloto em uma corrida de motovelocidade

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA23

A partir dos gráficos apresentados nas atividades, faça outras perguntas, tanto por você quanto pelos estudantes.

Resolução da atividade 5

a) O piloto que venceu foi aquele que deu exatamente 60 voltas, que pelo gráfico foi o piloto F

b) O piloto que teve menos voltas contabilizadas foi aquele cuja barra possui uma altura menor, que pelo gráfico foi o piloto E

c) 55 - 20 = 35 4 35 voltas.

d) 50 voltas

a) Qual piloto venceu a corrida?

b) Qual piloto teve menos voltas contabilizadas?

Piloto F Piloto E

c) O piloto B completou 20 voltas a menos do que o piloto D. Quantas voltas ele completou?

d) Quantas voltas completou o piloto C?

Os dez maiores artilheiros do Campeonato Brasileiro de Futebol por pontos corridos

Jogador

Luís Fabiano

Rafael Moura

Borges

Wellington Paulista

Alecsandro

Paulo Baier

Diogo Souza

Fred

020406080100120140160

Número de gols

Fonte: SCHMIDT, André. Gabigol entra na lista dos 15 maiores artilheiros da era dos pontos corridos. Lance, Rio de Janeiro, 14 dez. 2020. Disponível em: https://www.lance.com.br/numeros-da-bola/gabigol-entra-lista-dos -maiores-artilheiros-era-dos-pontos-corridos.html. Acesso: 17 maio 2022.

Após análise do gráfico anterior, responda às questões:

a) Sabendo que Wellington Paulista marcou 18 gols a mais que Washington nesse período, quantos gols Washington marcou?

b) Sabendo que Paulo Baier marcou 24 gols a mais que Washington, quantos gols marcou Paulo Baier? 82 gols 106 gols

Resolução da atividade 6

a) Wellington Paulista marcou

100 gols. Logo, Washington marcou 100 - 18 = 82 4 82 gols.

b) Paulo Baier marcou 82 + 24 = = 106 4 106 gols.

Fonte: Dados fictícios.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA04 e EF08MA23

Resolução da atividade 7

a) De acordo com o gráfico, o percentual da população brasileira com acesso à internet, como um todo, é 82,7%. Espera-se que os estudantes respondam que esse dado é importante para conhecer a realidade e elaborar políticas públicas que garantam que todas as pessoas tenham acesso à internet, pois hoje ela é uma importante ferramenta de trabalho, educação e acesso à informação.

c) 86,7% - 55,6% = 31,1%.

d)

Região Áreas urbanas Áreas rurais Diferença

Norte86,5%38,4%48,1%

Nordeste81,3%51,9%29,4%

Sudeste88,8%64,6%24,2%

Sul87,5%67,2%20,3%

Centro-

-Oeste 88,9%62,1%26,8%

Portanto, a Região Norte, com 48,1%.

e) Nas grandes regiões urbanas do país.

Resolução da atividade 8

a) Não, pois o gráfico de linhas é mais adequado para apresentar dados que variam ao longo de um período.

b) Sim, pois podemos fazer um gráfico de barras indicando o percentual de cada plantação ou calcular a área ocupada por cada uma delas.

7 Segundo uma pesquisa do IBGE em 2019, a internet era utilizada em 82,7% dos domicílios brasileiros – um crescimento considerável se comparado ao ano de 2018 (79,1%). A maior parte desses domicílios fica concentrada nas áreas urbanas das grandes regiões do país, conforme mostra o gráfico a seguir.

Domicílios em que havia utilização da internet,

(%)

Fonte: USO de internet, televisão e celular no Brasil. In: IBGE. Educa Jovens. [Rio de Janeiro], c2021. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/jovens/materias-especiais/20787-uso-de-internet -televisao-e-celular-no-brasil.html. Acesso em: 17 maio 2022.

a) Qual é o percentual da população brasileira com acesso à internet? Qual é a importância desse dado para a sociedade?

b) O que o comprimento das barras do gráfico indica?

82,7%. Resposta pessoal. Indica a porcentagem dos domicílios em que havia utilização da internet.

c) Qual é a diferença do percentual entre os domicílios em que havia utilização da internet nas áreas urbanas e aqueles nas áreas rurais do Brasil?

31,1%

d) Em qual região a diferença entre o percentual de domicílios em que havia utilização da internet nas áreas urbanas e nas áreas rurais é maior?

Região Norte, com 48,1%.

e) Onde se concentra a maior parte dos domicílios com acesso à internet?

Nas áreas urbanas das grandes regiões do país.

8 Em um terreno de 1 200 m2 de área, há uma plantação de abacate, de pera e de laranja, sendo 25% de abacate e 30% de pera. Com base nessas informações, faça o que se pede a seguir.

a) Esses dados podem ser representados por um gráfico de linha? Justifique sua resposta.

Não, porque os dados não representam variações ao longo do tempo.

b) Esses dados podem ser representados por um gráfico de colunas ou de barras? Justifique sua resposta.

Podem ser apresentados por um gráfico de barras ou de colunas. Justificativa pessoal.

Tarcísio Garbellini

por situação do domicílio

c) Esses dados podem ser representados por um gráfico de setores? Justifique sua resposta.

Podem. O gráfico de setores é o mais apropriado para representar esse conjunto de dados.

d) Desenhe o gráfico mais indicado para representar o conjunto de dados.

e) Quantos metros quadrados foram destinados à plantação de pera? E à plantação de abacate?

360 m2; 300 m2

f) Que percentual representa a plantação de laranja? A qual área corresponde esse percentual?

45%; 540 m2

g) Quais procedimentos de cálculo você utilizou para responder às questões anteriores?

Resposta pessoal.

9 Analise o gráfico a seguir para responder às questões.

População, por sexo – Total do Estado de São Paulo

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA04 e EF08MA23 Continuação da resolução da atividade 8

c) Sim. O gráfico de setores é o mais indicado para representar a participação de partes em um todo.

d) Exemplo para um gráfico de setores que representa adequadamente os dados desta atividade.

a) Esse gráfico de barras é adequado para representar esse conjunto de dados?

b) Que outro gráfico poderia representar bem esse conjunto de dados?

Gráfico de linhas (Uma para cada item da legenda).

10 Joana colocou, em uma tabela, os dados sobre a temperatura de sua cidade em determinada semana. Ela anotou a temperatura de cada dia às 15 horas.

Temperatura aferida às 15 horas

e) Pera: 0,3 1 200 = 360 4 4 360 m2; abacate: 0,25 . 1 200 = 300 4 4 300 m2

f) O percentual é:

100% - 25% - 30% = 45%.

Fazendo 45% de 1 200, temos: 0,45 1 200 = 540 4 540 m2

g) Resposta pessoal.

Resolução da atividade 9

a) Sim. Gráfico de barras é um dos tipos de gráfico adequados.

b) Gráfico de linhas, com linhas de cores diferentes.

Resolução da atividade 10

a) Veja exemplo de gráfico no rodapé.

b) Sexta-feira.

a) No caderno ou em uma folha de papel quadriculado, construa o gráfico que representa as temperaturas aferidas por Joana ao longo dessa semana. Resposta no Manual do Professor.

b) Em qual dia estava mais quente às 15 horas?

c) Qual foi a temperatura mais baixa às 15 horas no período retratado?

d) Qual foi a variação de temperatura das 15 horas da quarta-feira para as 15 horas da sexta-feira?

Resolução da atividade 10

Fonte: Dados coletados por Joana. Sexta-feira. 15 ‘C 10 ‘C

a) Exemplo de um gráfico de barras que representa adequadamente os dados da atividade.

c) 15 ‘C

d) 25 - 15 = 10 4 10 ‘C

Para aprofundar

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) disponibiliza um site construído pensando no professor. Nele, há grande variedade de propostas pedagógicas que contemplam diversas habilidades da BNCC por meio de atividades interdisciplinares. Algumas delas podem se aplicar a sua realidade e objetivos. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/professores

Acesso em: 29 jul. 2022.

Fonte: SÃO PAULO (Estado). Seade. IMP. População e estatísticas vitais. São Paulo: Seade, [202-]. Disponível em: http://www.imp.seade.gov.br/frontend/#/dashboards. Acesso em: 17 maio 2022.

Sim.

Resposta pessoal.

da cidade às 15 horas

Fonte: Dados fictícios.

Fonte: Dados coletados por Joana.

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA23

No passo a passo da construção do gráfico de setores, lembre aos estudantes, previamente, como realizar o cálculo de porcentagem e o fato de que o ângulo de um círculo completo é 360‘

Gráfico de setores

O gráfico de setores, também conhecido como gráfico circular ou gráfico de pizza, é muito utilizado para representar a parte (ou as partes) de um todo.

Construção do gráfico de setores

Vamos construir um gráfico de setores, com base nas informações a seguir.

• Foi feita uma pesquisa com 200 sócios para saber a intenção de votos na eleição para presidente do clube, disputada por 3 candidatos. Veja na tabela a seguir, os votos apurados.

Intenção de votos

Candidato A Candidato B Candidato C

Quantidade de votos 60 40 100

Fonte: Organizadores da pesquisa.

Os dados são divididos em grupos (ou classes), sendo cada um associado a um setor do círculo, de modo que todos os setores (ou partes) reunidos formam o círculo todo.

1? passo: Calcular o percentual de votos de cada candidato em relação ao total de votos.

Candidato A 4 60 200 = 30 100 = 30%

Candidato B 4 40 200 = 20 100 = 20%

2? passo: Calcular em graus a abertura de cada setor.

Candidato A: 30% de 360° 4 0,3 360 = 108 4 108°

Candidato B: 20% de 360° 4 0,2 . 360 = 72 4 72°

Candidato C: 50% de 360° 4 0,5 . 360 = 180 4 180°

Candidato C 4 100 200 = 50 100 = 50%

3? passo: Traçar uma circunferência com o compasso e marcar os ângulos dos setores usando o transferidor.

Tarcísio Garbellini

Imagens fora de proporção.

Legenda

Candidato

Candidato

A B C

DAE

Orientações

5? passo: Colocar título, legenda e fonte dos dados.

Legenda

Candidato

Candidato Candidato

A B C

Fonte: Organizadores da pesquisa.

6? passo: Indicar em cada setor o percentual correspondente a cada candidato. A soma dos percentuais deve ser sempre igual a 100%.

Intenção de votos

50% 30% 20%

Atividades

Legenda

Candidato

Candidato

Candidato

A B C

Fonte: Organizadores da pesquisa.

1 Junte-se a um ou mais colegas para fazer a atividade a seguir.

Respostas dependem dos dados atualizados no momento da pesquisa.

1. Entrem no site do IBGE (https://www.ibge.gov.br/apps/populacao/projecao/) e pesquisem a projeção mais recente da população do Brasil.

2. Pesquisem a projeção da população nas Unidades da Federação do Brasil.

3. Elaborem uma tabela para a projeção da população atual do Brasil e de algumas Unidades da Federação, conforme o modelo abaixo.

Projeção da população para o ano de...

UF Total

Estado A

Estado B

Estado C .

Fonte: PROJEÇÃO da população do Brasil e das Unidades da Federação. Portal IBGE, [Rio de Janeiro], c2021. Disponível em: https://www.ibge.gov.br/apps/populacao/projecao/. Acesso em: 17 maio 2022.

4. Com base nas informações da tabela, construam um gráfico de setores, para representar a porcentagem da população dos estados pesquisados em relação à população do Brasil. Resposta pessoal.

5. Elaborem algumas questões que envolvam a leitura e a interpretação dos gráficos construídos e, depois, peçam aos estudantes de outro grupo que as respondam enquanto vocês respondem às que eles formularam. Ao final, confiram juntos as respostas. Resposta pessoal.

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA04 e EF08MA23

Oriente os estudantes para que resolvam a atividade 1 com autonomia e de maneira cooperativa, trabalhando atitudes e valores

Para a resolução do item 4, certifique-se de que os estudantes saibam realizar corretamente as operações envolvidas no processo, tal como a divisão e o cálculo de porcentagem, e de que conseguem manipular o compasso e o transferidor na construção do gráfico. Questione-os sobre a possibilidade de utilizar a mesma cor com o mesmo tom em mais de um setor. Conduza-os a concluir que isso não deve ser feito, uma vez que prejudica a leitura dos dados. Reforce que a legenda é indispensável.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades

EF09MA04 e EF08MA23

As atividades 2 e 3 podem ser utilizadas para verificar os conhecimentos dos estudantes por meio de uma avaliação processual, possibilitando oferecer feedbacks em tempo real para eles e retomar alguns conceitos e procedimentos antes de seguir, caso seja necessário. Resolução da atividade 2

a) De acordo com o gráfico, o percentual de 88,4% equivale ao setor verde, que, conforme a legenda, representa as instituições privadas. Da tabela, o total de instituições privadas é:

90 + 283 + 1 933 = 2 306.

b) De acordo com a tabela, há 108 universidades públicas e 90 universidades privadas. Logo, há mais universidades públicas.

c) Federais: 4,2%, estaduais: 5,1% e municipais: 2,3%.

Resolução da atividade 3

O consumo de energia referente ao chuveiro elétrico foi reduzido em 18%. Logo, apenas 82% desse consumo se manteve no mês de fevereiro. De maneira análoga, o consumo de energia referente ao ferro elétrico e ao condicionador de ar foram reduzidos em 16% e 7%, respectivamente. Logo, apenas 84% e 93% do consumo com ferro elétrico e condicionador de ar, nessa ordem, mantiveram-se no mês de fevereiro.

Portanto:

Chuveiro elétrico:

0,82 33 = 27,06 4 27,06%.

Ferro elétrico:

0,84 26 = 21,84 4 21,84%.

Condicionador de ar:

0,93 21 = 19,53 4 19,53%.

Juntando com os 20% referentes ao consumo dos demais equipamentos, que não se alterou, temos: 27,06 + 21,84 + 19,53 + 20 = = 88,43 4 88,43%.

Uma vez que o consumo no mês de fevereiro foi apenas 88,43% do consumo no mês de janeiro, então houve uma economia de 100 - 88,43 = 11,57 4 11,57%.

Alternativa a

2 Analise os dados da tabela e do gráfico e, depois, responda às questões a seguir.

a) Que número total de Instituições de Educação Superior, por Organização Acadêmica e Categoria Administrativa, corresponde a 88,4%?

b) A maioria das universidades é pública ou privada?

2 306 instituições privadas Pública.

c) Segundo o gráfico, como estão distribuídos os percentuais das instituições públicas?

4,2% correspondem às instituições federais, 5,1% às estaduais e 2,3% às municipais.

3 (CMRJ) O consumo de energia de uma residência, em janeiro de certo ano, está representado no gráfico a seguir.

Em fevereiro desse mesmo ano, houve uma redução no consumo de energia em 18%, 16% e 7%, referente ao uso de chuveiro elétrico, de ferro elétrico e de condicionador de ar, respectivamente, não havendo alteração no consumo dos demais equipamentos. No mês de fevereiro, em relação a janeiro, a economia foi de: Alternativa a

a) 11,57%.

b) 14,46%.

c) 17,53%.

d) 1,50%.

e) 41,00%.

Fonte: BRASIL. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Censo da Educação Superior. Brasília, DF: Inep, [Brasília, DF], [2020?]. Disponível em: https://download.inep.gov.br/educacao_superior/censo_superior/documentos/2020/Notas_Estatisticas _Censo_da_Educacao_Superior_2019.pdf. Acesso em: 17 maio 2022.

Tarcísio Garbellini

Fonte: Dados fictícios.

A Escola Book representou o desempenho de seus estudantes no curso de Inglês por meio de um gráfico de colunas e um gráfico de barras.

Desempenho dos estudantes no curso de Inglês

Orientações

A atividade dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF09MA04 e EF08MA23

Para responder aos itens a e b, os estudantes devem obter o título do gráfico e o título do eixo vertical, respectivamente.

Resolução da atividade 4

a) Desempenho dos estudantes.

b) Avaliação do desempenho: ruim, regular, bom e ótimo.

c) Exemplo de um gráfico de setores que representa adequadamente os dados da atividade.

a) Que informações podemos obter desse gráfico?

Desempenho dos estudantes no curso de Inglês.

b) Como foi avaliado o desempenho dos estudantes no curso de Inglês?

Foi avaliado em ruim, regular, bom e ótimo.

c) Essas informações poderiam ser representadas por meio de um gráfico de setores? Em caso positivo, desenhe o gráfico. Sim. Gráfico no Manual do Professor.

Legenda Reinaldo Vignati

Fonte:

Orientações

Resolução da atividade 5

Chamando de x o número total de unidades de perfume vendidas, a arrecadação para cada tipo de perfume será dada pelo número de unidades vendidas multiplicado pelo preço do perfume por unidade. Assim, temos:

Tipo I: 0,13 . x . 200 = 26x.

Tipo II: 0,10 . x . 170 = 17x.

Tipo III: 0,16 x 150 = 24x.

Tipo IV: 0,29 x 100 = 29x.

Tipo V: 0,32 x 80 = 25x. Portanto, o perfume que gerou a maior arrecadação foi o do tipo IV.

Alternativa d

Resolução da atividade 6

100 - 30 - 24 - 16 = 30 4

4 30%.

0,3 1 200 = 360 4 360 pessoas

Alternativa c

5 (ENEM) O gerente de uma loja de cosméticos colocou à venda cinco diferentes tipos de perfume, tendo em estoque na loja as mesmas quantidades de cada um deles. O setor de controle de estoque encaminhou ao gerente registros gráficos descrevendo os preços unitários de cada perfume, em real, e a quantidade vendida de cada um deles, em percentual, ocorrida no mês de novembro.

Dados a chegada do final de ano e o aumento das vendas, a gerência pretende aumentar a quantidade estocada do perfume do tipo que gerou a maior arrecadação em espécie, em real, no mês de novembro.

Luca Navarro Luca Navarro

Nessas condições, qual o tipo de perfume que deverá ter maior reposição no estoque? Alternativa d a) I b) II c) III d) IV e) V

6 (OBMEP) Os resultados de uma pesquisa das cores de cabelo de 1 200 pessoas são mostrados no gráfico abaixo.

Gráfico de pizza DAE

Legenda

Quantas dessas pessoas possuem cabelo loiro?

a) 60

b) 320

c) 360

Alternativa c Preto Castanho Loiro Ruivo

d) 400

7 (UERJ) Em determinado mês, a secretaria de um instituto da Universidade teve um gasto de R$ 5.600,00, distribuídos de acordo com o gráfico de setores apresentado a seguir.

0,25 5 600 = 1 400 4 R$ 1.400,00 Alternativa a Resolução da atividade 8

Nesse mês, o valor total gasto com papel A4 foi igual a: Alternativa a

a) R$ 1.400,00

b) R$ 1.500,00

c) R$ 1.680,00

d) R$ 1.900,00

8 (VUNESP) O gráfico representa a distribuição da quantidade de pessoas que responderam “sim” a quatro perguntas apresentadas em uma pesquisa.

O ângulo central do setor que representa a pergunta 4 mede 135‘; logo, a união dos demais setores é igual a 360 - 135 = 225 4 4 225‘. Além disso, os três setores que totalizam 225‘ correspondem a 150 pessoas (50 + 40 + 60). Assim concluímos que a cada 3‘, 2 pessoas são representadas.

Assim, 135 : 3  = 45 4 45‘. Multiplicando esse quociente por 2, obtemos um total de 90 pessoas. Alternativa e

Pergunta

Pergunta

manutenção de equipamentos DAE

Pergunta

Sabendo que o ângulo central do setor que representa a pergunta 4 mede 135°, é correto afirmar que o número de pessoas que respondeu a essa pergunta foi Alternativa e

a) 70

b) 75

c) 80

d) 85

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF09MA04 e EF08MA23

Na atividade 9, os estudantes irão elaborar algumas questões, em grupo, relacionadas às informações dadas nos gráficos. Acompanhe os grupos para orientá-los nesse processo criativo. Estimule-os a não reduzir suas criações apenas a problemas aritméticos mas também explorar outros elementos, como a adequação dos diferentes tipos de gráfico a esse conjunto de dados.

A atividade proposta no Lógico, é lógica! favorece o desenvolvimento da competência específica 2 Resolução do Lógico, é lógica! De acordo com as duas colocações do juiz 1, vamos testar apenas as possibilidades em que André foi o primeiro ou que Beto foi o segundo, pois uma delas deve ser verdadeira: 1? 2? 3? 4?

9 A PNAD Contínua, em 2018, estimou que o número de crianças (pessoas de até 12 anos de idade) no Brasil chega a 35,5 milhões, correspondente a 17,1% da população estimada nesse mesmo ano, que era de cerca de 207 milhões.

Crianças na população brasileira

Percentual de crianças (até 12 anos de idade) no total da população do Brasil

Testando cada uma dessas linhas, apenas a linha marcada é condizente com as duas colocações de cada juiz. Logo, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente, André, Caio, Dênis e Beto. Alternativa b

Fonte: PERFIL das crianças do Brasil. In: IBGE. Educa Jovens. [Rio de Janeiro], c2021. Disponível em: https://educa. ibge.gov.br/jovens/materias-especiais/20786-perfil-das-criancas-brasileiras.html. Acesso em: 17 maio 2022.

Elabore, em grupo, algumas questões relacionadas às informações dadas. Resposta pessoal.

Lógico, é lógica!

(TTN/ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa: Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo”. Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro”. Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto”. Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente,

Alternativa b

a) André, Caio, Beto, Dênis.

b) André, Caio, Dênis, Beto.

c) Beto, André, Dênis, Caio.

d) Beto, André, Caio, Dênis.

e) Caio, Beto, Dênis, André.

Gráfico de linhas

O gráfico de linhas é um tipo de representação que serve para expressar variações ocorridas em uma sequência cronológica. É formado por uma linha que une os pontos que representam os dados.

O gráfico de linhas é composto de dois eixos, um vertical e outro horizontal, e de uma linha que mostra a evolução de um fenômeno ou processo no decorrer de determinado período. Sempre que for necessário ou quando se quer elaborar um gráfico cuja variável seja cronológica – ou seja, relacionada a tempo (ano, década, mês, semana, dia, hora etc.) –, o mais indicado é o gráfico de linhas.

Ao construir esse tipo de gráfico, deve-se ter um grande cuidado com a escolha da unidade da escala, verificando qual é a mais apropriada para cada situação, pois qualquer descuido ou alteração pode distorcer as informações.

Observe o gráfico a seguir.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidade

EF08MA23

Explore com os estudantes o gráfico de linhas apresentado, destacando seus principais elementos, em especial as variáveis envolvidas e a legenda, de modo que eles possam analisar corretamente os dados. Apresente outros exemplos de gráficos de linhas.

Nesse gráfico, podemos observar as temperaturas e precipitações diárias em julho de 2020 no Mirante de Santana, na capital paulista. Normalmente, no eixo horizontal são apresentadas as unidades de tempo, e no eixo vertical os valores, ou seja, as quantidades. Em cada período, o valor é representado por um ponto que apresenta a intersecção entre as retas vertical e horizontal, e esses pontos são ligados por um traço para tornar visível a variável estudada, formando o gráfico de linhas.

Fonte: SÃO PAULO capital, balanço de junho de 2020. Boletim Meteorológico, São Paulo, 1 jun. 2020. p. 3. Disponível em: https://portal.inmet.gov.br/uploads/notastecnicas/BOLETIM-SP_CAPITAL_JUNHO_2020.pdf. Acesso em: 17 maio 2022.

julho

e Precipitação: Julho de 2020 Mirante de Santana, São Paulo – SP (OMM 86910/A701)

Chuva Temp. Máx. Temp. Mín. Média TMáx Normal TMáx Normal TMín Média TMín

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA23

Na atividade 1, oriente os estudantes para comparar todas as características de cada tipo de gráfico estudado, verificando qual deles apresenta uma estrutura mais adequada para cada situação.

Na atividade 2, observe se os estudantes identificam que ao analisar um gráfico de linhas, para cada instante observado, é necessário verificar a posição vertical do ponto que é extremidade dos segmentos que ele une. Para períodos observados, é necessário verificar se os segmentos representam um crescimento ou um decrescimento.

Para aprofundar

O Educa IBGE disponibiliza o artigo PrincipaistiposdegráficosparaaEducaçãoBásica. Nele há uma síntese dos principais elementos e das características dos gráficos de colunas, de barras, de setores e de linhas, com exemplos e dicas para analisar os dados. Se julgar conveniente, compartilhe o material com os estudantes.

Principais tipos de gráfico para a Educação Básica. Educa IBGE. Principaistiposdegráficosparaaeducaçãobásica. [Rio de Janeiro]: IBGE, c2022. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/professores/edu ca-recursos/20773-tipos-de-grafi cos-no-ensino.html#:~:text=Para%20 a%20educa%C3%A7%C3%A3o%20 b%C3%A1sica%2C%20os,em%20par tes%2C%20para%20apresentar%20 propor%C3%A7%C3%B5es. Acesso em: 14 jun. 2022.

Atividades

1 Existem diversos tipos de gráfico para escolher qual representa melhor os seus dados, mas nem todos podem ser usados em qualquer situação. Para chegar a essa conclusão, você precisa responder a três questões essenciais, que servirão de guia para suas escolhas:

• O que você pretende mostrar com o seu gráfico?

• Quantas variáveis, itens ou categorias seu gráfico irá mostrar?

• Quem é o público que vai ler esse gráfico?

Assim, determine, em cada alternativa abaixo, que gráfico melhor representaria seus dados.

a) Representar valores em um período de tempo, sendo possível identificar o comportamento dos dados ao longo desse período.

b) Comparar os dados por categorias.

c) Comparar os dados por categorias representando as partes de um todo.

Gráfico de linhas. Gráfico de barras ou colunas. Gráfico de setores. Gráfico de barras ou colunas.

d) Representar os dados por meio de retângulos, com o intuito de analisar as projeções no período determinado.

e) Expressar as informações em uma circunferência fracionada.

Gráfico de setores.

f) Comparar mudanças ao longo do mesmo período para vários grupos ou categorias.

Gráfico de linhas.

2 A PNAD Contínua em 2020 trouxe o resultado de uma pesquisa realizada mensalmente sobre o número de desempregados no Brasil até outubro desse mesmo ano.

Fonte: CABRAL, Umberlândia. Número de desempregados chega a 14,1 milhões no trimestre até outubro. Agência IBGE Notícias, [Rio de Janeiro], 29 dez. 2020. Disponível em: https://agenciadenoticias. ibge.gov.br/agencia-noticias/2012-agencia-de-noticias/noticias/29782-numero-de-desempregados -chega-a-14-1-milhoes-no-trimestre-ate-outubro. Acesso em: 9 mar. 2022.

Depois de analisar o gráfico, responda ao que se pede.

a) No período retratado, em que trimestre foi maior a taxa de desocupação?

b) Em que período a taxa de desocupação esteve em queda?

c) Qual foi a taxa aproximada de desocupação no trimestre encerrado em abril de 2019?

Agosto, setembro e outubro de 2020. Entre abril de 2019 e janeiro de 2020. Aproximadamente 12,5%.

Número de desempregados segundo o resultado PNAD Contínua 2020

3 (ENEM) O termo download é utilizado para designar o processo pelo qual um arquivo é transferido de algum site da internet para o dispositivo do usuário (computador, tablet, celular etc.). Quando a transferência é interrompida, diz-se que o download travou. O esboço do gráfico a seguir representa o andamento do download de um arquivo que demorou 16 segundos para ser concluído.

Por quanto tempo, em segundos, esse download ficou travado?

Alternativa b

a) 9

b) 5

c) 3

d) 2

e) 0

03 610121316 Tempo (s)

4 Observe os dados representados de uma pesquisa, realizada pelo Sindicato Nacional da Indústria de Componentes para Veículos Automotores (Sindipeças), que mostra a evolução da frota de veículos por combustível.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidade EF08MA23

Resolução da atividade 3

O download ficou travado quando a velocidade de dados baixados se manteve constante. No gráfico de linhas, os valores dos dados se mantêm constantes quando, em determinado intervalo, o segmento de reta for paralelo ao eixo horizontal. Isso ocorre entre 3 e 6 segundos e entre 10 e 12 segundos, o que totaliza 5 segundos.

Alternativa b

Na atividade 4, acompanhe de perto a elaboração do relatório escrito pelos estudantes. As conclusões que eles registrarão devem estar corretas, ser condizentes com os dados representados no gráfico e indicar panoramas globais, como de que a frota de veículos à gasolina decresceu no decorrer dos anos, enquanto a frota de veículos flex cresceu no mesmo intervalo de tempo; que no ano de 2011 esses valores se encontraram muito próximos e que a partir de 2012 a frota de veículos flex foi superior à frota de veículos à gasolina, tendência oposta à observada até 2010.

Fonte: SINDIPEÇAS. Relatório da frota circulante 2018. São Paulo: Sindipeças, 2018. Disponível em: https://www. sindipecas.org.br/sindinews/Economia/2018/R_Frota_Circulante_2018.pdf.

Que conclusões você pode obter a respeito dessa pesquisa? Elabore um pequeno relatório. Respostas pessoais.

Acesso em: 17 maio 2022.

Orientações

Matemática Interligada apresenta textos que abrangem a temática do trabalho infantil e do que existe na legislação com o intuito de assegurar os direitos e deveres das crianças e dos adolescentes, o ECA. Essa discussão propicia o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal: Direitos da Criança e do Adolescente Organize uma roda de conversa com os estudantes para que possam dialogar sobre essa temática.

Peça aos estudantes que expressem suas opiniões e os conduza para que respeitem a opinião dos colegas também, reforçando que o respeito é um valor fundamental quando nos deparamos com opiniões divergentes das nossas, o que contempla a competência geral 9 e a competência específica 4

Número de crianças em trabalho infantil atinge recorde de 160 milhões no mundo

Este Dia Mundial contra o Trabalho Infantil, em 12 de junho, será marcado por um alerta sombrio: o número recorde de crianças nessas condições em todo o globo.

O relatório “Trabalho Infantil: Estimativas Globais 2020, Tendências e Futuro” foi divulgado para chamar a atenção para o aumento de 8,4 milhões a mais de crianças trabalhando nos últimos quatro anos.

[...]

Segundo o relatório, 70% do trabalho infantil ocorre na agricultura com 112 milhões de menores. Depois vem o setor de serviços com 20% e a indústria com 10%.

[...]

Quase 28% dos menores entre 5 e 11 anos e 35% das crianças de 12 a 14 anos em trabalho infantil estão fora da escola.

Os meninos tendem a ser mais vítimas do trabalho na infância do que meninas. A prevalência ocorre em áreas rurais, com três vezes mais chance que em áreas urbanas.

A ONU alerta para os riscos de doenças mentais e físicas em crianças que trabalham. Elas têm ainda comprometidos o direito à educação e a um futuro caindo um círculo vicioso de pobreza e exploração.

Fonte: NÚMERO de crianças em trabalho infantil atinge recorde de 160 milhões no mundo. ONU News, [Nova York], 10 jun. 2021. Disponível em: https://news.un.org/pt/story/2021/06/1753172. Acesso em: 17 maio 2022.

Gerson Gerloff/Pulsar Imagens

O que é o ECA e qual sua importância?

O ECA (Estatuto da Criança e do Adolescente) é o “nome” da Lei n? 8.069, promulgada em julho de 1990. Ela nasceu para proteger, de acordo com as diretrizes do direito, integralmente as nossas crianças e adolescentes, instituindo, para isso, os direitos e deveres dos cidadãos responsáveis pelos menores, da sociedade e do Estado.

Para a lei, são consideradas crianças aqueles indivíduos com até 12 anos incompletos e adolescentes os que têm de 12 a 18 anos. Em alguns casos excepcionais, previstos na lei, essa idade pode se estender até os 21 anos.

A partir da criação do Estatuto, houve o surgimento de mecanismos que protegem as crianças e os adolescentes em diversas esferas, como nas áreas de saúde, educação, trabalho e assistência social.

[...]

Dessa forma, podemos entender que, a partir da promulgação do ECA, as crianças e os adolescentes brasileiros tiveram, legalmente, os seus direitos fundamentais assegurados que são: liberdade, respeito, dignidade, saúde, educação, cultura, convivência familiar e comunitária, lazer e proteção. [...]

CONHEÇA 11 deveres das crianças que fazem parte do ECA. [Brasil]: Child Fund Brasil, [201-]. Disponível em: https://www.childfundbrasil.org.br/blog/deveres-da-crianca/#:~:text=O%20ECA%20%C3%A9%20uma%20 legisla%C3%A7%C3%A3o,seu%20desenvolvimento%20saud%C3%A1vel%20e%20seguro. Acesso em: 17 maio 2022.

Orientações

A atividade 1 envolve uma imersão maior dos estudantes no ECA. Reforce que eles não devem buscar essas informações em qualquer lugar, pois nem todo site apresenta dados confiáveis.

Na atividade 2 , os estudantes realizarão uma pesquisa na própria escola. Sistematize como será o cronograma dessa pesquisa (datas em que irão até os estudantes de cada turma, organizarão os dados construídos, construirão os gráficos e elaborarão os textos com as conclusões obtidas). Planeje com eles como será a abordagem com os participantes da pesquisa, como irão registrar os dados etc. Essa atividade promove o desenvolvimento da habilidade EF08MA27

1 Façam uma pesquisa em sites confiáveis para saber quais são os direitos e os deveres da criança e do adolescente de acordo com essa lei.

2 Com a orientação do professor, façam uma pesquisa com cinco estudantes de cada turma do 6? ao 9? ano de sua escola e perguntem:

• Você sabe o que é o ECA e sua importância para as crianças e os adolescentes?

Após a obtenção dos dados, representem as escolhas de cada turma em um gráfico e elaborem um texto com as conclusões.

Adriano Kirihara/Pulsar Imagens

Objetivos do capítulo

• Organizar os dados de uma pesquisa em diferentes classes.

• Identificar a frequência de uma classe.

• Associar uma tabela de frequência a um gráfico.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 9 Competências específicas 2 e 4

Habilidades EF08MA24 e EF08MA27

Foco nos TCTs

• Saúde

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA24

Em Para começar, explique aos estudantes que a forma com que os dados estão dispostos no quadro dificulta a análise. Observe as estratégias que os estudantes utilizaram para agrupar os dados e peça a eles que as expliquem aos colegas.

É importante que os estudantes compreendam o que são os intervalos de classes, utilizados em cada tabela, e como determiná-los.

Organização de dados em classes

Funcionários da biblioteca municipal de uma cidade fizeram uma pesquisa com 40 de seus usuários para descobrir o tempo que eles se dedicam, diariamente, à leitura por lazer ou trabalho. Eles registraram os dados coletados no quadro a seguir.

Dados coletados

1h7h4h2h30min2h5h3h30min2h

2h3h4h3h30min3h2h30min5h8h

Fonte: Dados fictícios.

• Analisando o quadro, como você poderia agrupar esses dados para fazer uma melhor leitura deles?

• Explique como você chegou a essa conclusão. Respostas pessoais.

Agrupamento de dados

Quando temos uma grande quantidade de dados para organizar e analisar, é mais prático agrupá-los. O objetivo dos agrupamentos, como o próprio nome diz, é organizar os dados em grupos.

Os dados coletados em uma pesquisa podem ser agrupados de algumas maneiras. Vejamos, ao lado, duas maneiras distintas de agrupar os dados coletados pelos funcionários da biblioteca.

Uma leitura dessas tabelas nos informa, por exemplo, que:

• na tabela 1, os dados foram agrupados em 5 classes; na tabela 2, em 10 classes;

• ao somar as frequências em cada uma das duas tabelas tem-se 40 como resultado, verificando, assim, o número de leitores selecionados;

Tabela 1: Frequência para dados agrupados

2: Frequência para dados agrupados

• observando a tabela 2, por exemplo, verificamos que a classe 2 B 3 apresenta o resultado 10, ou seja, tem a maior frequência, significando que essa é a quantidade de tempo que mais usuários da biblioteca se dedicam à leitura;

• o número de usuários da biblioteca que se dedicam entre 8 e 10 horas à leitura é 3;

• os dados podem ser agrupados em classes, que são identificadas por intervalos de números reais;

• podemos indicar as classes assim: 0 B 2. O tracinho vertical indica que o número nessa extremidade (0) pertence ao intervalo considerado, e o outro número (2) não pertence.

Na tabela 1, os intervalos de classe 0 B 2 e 2 B 4 são determinados seguindo as orientações a seguir.

1. Escolhe-se um número de classes, de preferência entre 5 e 20.

2. Calcula-se a amplitude do conjunto de dados numéricos, ou seja, a diferença entre o maior e o menor número. No caso do quadro do tempo de leitura, em hora, tem-se uma amplitude de 8, pois 9 - 1 = 8.

3. Divide-se a amplitude encontrada pelo número de classes e se obtém o intervalo de cada classe. Arredonda-se para cima o valor encontrado, ou seja, 8 : 5 = 1,6, que deve ser arredondado para 2.

4. Deve-se ficar atento aos valores extremos das classes e designar corretamente cada dado à sua classe.

5. Começa-se a contagem pelo menor valor. Pode-se optar, ainda, pela ampliação do intervalo de dados, conforme mostra a tabela 2.

6. Considera-se que, ao ampliar ou reduzir o número de classes, a contagem dos elementos de cada classe muda (conforme mostram as tabelas 1 e 2).

Atividades

1 Levando em conta a situação apresentada anteriormente, sobre a pesquisa realizada pelos funcionários da biblioteca, faça um pequeno relatório que descreva o resultado dessa pesquisa.

2 A tabela a seguir apresenta o número do calçado de 45 estudantes do 8? ano B da Escola Crescer.

8 ? ano B

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA24

A seção Atividades tem como objetivo levar os estudantes a analisar e interpretar corretamente os dados representados em uma tabela de frequência com dados agrupados, assim como construir tabelas.

Na atividade 1, acompanhe-os na construção dos relatórios, verificando se as principais conclusões estão presentes.

Resolução da atividade 2

a) Os números dos sapatos foram agrupados em 5 classes: de 32 até valores inferiores a 34; de 34 até valores inferiores a 36; de 36 até valores inferiores a 38; de 38 até valores inferiores a 40; de 40 até valores inferiores a 42.

b) 3 + 7 + 18 + 12 + 5 = 45.

c) A classe que apresenta menor frequência é a do número do calçado maior ou igual a 32 e menor que 34. Isso significa que poucos estudantes calçam os números 32 e 33.

d) Observando a classe que representa o número de calçado maior ou igual a 36 e menor que 38, podemos concluir que 18 estudantes calçam os números 36 e 37. Explore a configuração da tabela, suas principais características e como analisá-la corretamente.

Para aprofundar

Com base na tabela, faça as atividades a seguir.

a) Em quantas classes foram agrupados os dados da tabela?

b) Obtenha a soma das frequências na tabela e verifique se corresponde ao número de estudantes pesquisados.

O resultado da soma dever ser 45.

c) Qual classe apresenta a menor frequência? O que isso significa?

d) Quantos estudantes usam os números 36 e 37 de sapato?

Resposta no Manual do Professor.

e) Com base na leitura e interpretação dos dados agrupados, redija um pequeno texto que descreva a situação apresentada.

Resposta pessoal.

O artigo Tabeladefrequências apresenta uma síntese dos principais conceitos e procedimentos para a construção de tabelas de frequências para dados agrupados e não agrupados.

• MARTINS, M. E. G. Tabela de frequências. In : CASA DAS CIÊNCIAS. [S.l.]: Fundação Belmiro de Azevedo, 2013. Disponível em: https://rce.casadasciencias.org/ rceapp/art/2013/025/. Acesso em: 29 jul. 2022.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA24

Resolução da atividade 3

a) Exemplo de tabela de frequência, agrupando os valores de 5 em 5 reais.

Valores economizados pelos estudantes

ValoresFrequência

R$ 10,00 B R$ 15,00 16

R$ 15,00 B R$ 20,00 14

R$ 20,00 B R$ 25,00 18

R$ 25,00 B R$ 30,00 7

R$ 30,00 B R$ 35,00 5

Fonte: Estudantes das turmas A e B do 8o ano.

b) Considerando a distribuição acima:

R$ 30,00 B R$ 35,00 4 5 estudantes.

c) Observe se os estudantes organizaram adequadamente as classes de frequência e verifique as conclusões a que chegaram. Peça a eles que as compartilhem com os colegas.

d) 34 - 10 = 24.

e) Considerando a distribuição acima:

R$ 20,00 B R$ 25,00 4 18 estudantes.

f) Ainda considerando a tabela acima:

R$ 15,00 B R$ 20,00 4 14 estudantes.

A depender do número de classes escolhido, as respostas serão diferentes, com exceção dos itens d e f, que terão a mesma solução em qualquer caso.

Resolução da atividade 4

a) A + 45 + 64 + 32 + 18 = 200.

A = 41 4 41 anos de serviço

b) Observe se os estudantes responderam que a quantidade de enfermeiros está relacionada ao tempo de serviço.

c) 32 + 18 = 50.

Resolução da atividade 5

a) 15 pacientes dormiram de 4h até quase 8h.

b) 8 + 15 + 24 + 20 + 13 = 80.

20 : 80 = 0,25 = 25%

3 Os estudantes das turmas A e B do 8? ano de uma escola aderiram a uma campanha cujo desafio era comprar artigos para doação e, por isso, começaram a economizar. A seguir, vemos no quadro os valores economizados individualmente pelos estudantes durante quatro semanas.

a) Com base nesse conjunto de dados, elabore uma tabela de frequência para dados agrupados.

Respostas no Manual do Professor.

b) Em qual classe se encontra os estudantes que mais economizaram? Quantos estudantes estão nessa classe?

c) Em quantas classes você agrupou os dados? Poderia ter agrupado de forma diferente? O que isso significaria?

d) Qual é a amplitude do conjunto de dados numéricos?

e) Qual classe tem maior frequência?

f) Quantos estudantes economizaram entre R$ 15,00 e R$ 20,00?

4 A tabela ao lado mostra os anos de serviço dos enfermeiros em um determinado hospital em dezembro de 2021.

Com base nos dados da tabela, responda ao que se pede.

a) Qual é o valor de A?

b) O que significa o número 64 na tabela?

41 A quantidade de enfermeiros que trabalham entre 15 anos completos e 20 anos incompletos.

c) Quantos enfermeiros trabalham há 20 anos ou mais nesse hospital?

5 Os dados a seguir referem-se ao tempo, em horas, que 80 pacientes hospitalizados dormiram após a administração de determinado anestésico.

0 B 5A

5 B 1045

15 B 2064

20 B 2532

25 B 3018

Total200

Fonte: Dados fictícios.

a) Dê a interpretação para a frequência da 2; classe.

b) Qual o percentual de pacientes da 4; classe?

15 pacientes dormiram de 4h até quase 8h Aproximadamente 25%.

6 A medida aproximada da altura dos estudantes do 8? ano da Escola Sêneca Junior está registrada, em centímetros, no quadro ao lado.

a) Com base nesse conjunto de dados, elabore uma tabela de frequência para dados agrupados com pelo menos cinco classes.

Respostas no Manual do Professor.

b) Em quantas classes você agrupou os dados? Poderia ter agrupado de forma diferente?

c) Em qual intervalo se encontra o grupo de estudantes mais altos?

d) Qual é a amplitude do conjunto de dados numéricos?

e) Qual classe tem maior frequência?

f) Elabore duas questões para a tabela construída.

7 Em grupo, cada estudante deve obter a medida aproximada de sua altura, em centímetros. Registrem as medidas em um quadro e, depois, façam uma tabela de frequência para dados agrupados.

Resposta pessoal.

8 A tabela a seguir apresenta a frequência de dados agrupados relativos à temperatura registrada em um observatório a cada hora de um dia da semana.

a) Elabore questões a respeito do conjunto de dados agrupados nessa tabela e troque com um colega para responder às questões que ele elaborou.

Continuação da atividade 6

c) Independentemente do número de classes escolhidas, é na última classe que se encontra o grupo de estudantes mais altos.

d) 175 - 150 = 25.

e) Resposta condicionada à distribuição adotada pelo estudante.

Na atividade 7, auxilie os estudantes no processo de medição das alturas e do respectivo registro dessas medidas.

Resolução da atividade 8

a) e c) Respostas pessoais.

b) A soma das frequências é 6 + + 5 + 5 + 4 + 4 = 24, de fato correspondendo ao número de horas de um dia.

Resolução de Lógico, é lógica! Chamando Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo e Ernaldo de A, B, C, D e E, respectivamente, podemos montar o quadro a seguir.

1o 2o 3o 4o 5o

Linha 1 AB

Linha 2 AB

b) Obtenha a soma das frequências e verifique se correspondem ao número de horas de um dia.

c) Redija um relatório a respeito desse conjunto de dados e compartilhe suas conclusões com os colegas da turma.

Resposta pessoal. Resposta pessoal.

b) 24. Portanto, corresponde às 24 horas de um dia.

Lógico, é lógica!

(OMRP-SP) Cinco amigos disputaram uma corrida: Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo e Ernaldo. Sabemos que:

1. Arnaldo chegou duas posições na frente de Bernaldo.

2. Cernaldo chegou na frente de Dernaldo.

3. Ernaldo chegou três posições na frente de Dernaldo.

4. Bernaldo não chegou em último. Qual competidor chegou na quarta posição?

a) Arnaldo b) Bernaldo c) Cernaldo d) Dernaldo e) Ernaldo Alternativa b

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA24

Resolução da atividade 6

a) Segue exemplo de tabela de frequência com cinco classes.

Linha 3 AB

Linha 4 ED

Linha 5 ED

Linha 6 AEBD

Solução AEBCD

Da condição 1, as únicas possibilidades para as posições de A e B são as das linhas de 1 a 3. Mas, da condição 4, excluímos a possibilidade da linha 1. Da condição 3, as únicas possibilidades para as posições de E e D são as das linhas 4 e 5. Das linhas de 2 a 5, a única possibilidade para as posições de A, B, D e E é a da linha 6. Unindo essa informação à condição 2, obtemos a linha solução, na qual observamos que o competidor que chegou na quarta posição foi Cernaldo. Alternativa c Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 2

Fonte: Estudantes do 8? ano da escola Sêneca Junior

Orientações

Matemática Interligada discute os riscos que o mundo virtual pode representar aos usuários. Esta é uma temática de extrema urgência na sociedade e deve ser debatida com profundidade. Ela aborda o Tema Contemporâneo Transversal: Saúde

Questione os estudantes sobre como eles gerenciam o próprio tempo nas redes e se já perceberam malefícios decorrentes do exagero desse uso, neles ou em colegas.

A atividade 1 explora exatamente a percepção do estudante sobre a temática.

Na atividade 2, peça aos estudantes que socializem todas as medidas elencadas por eles, de modo que os colegas tenham acesso a elas. Enfatize que o cuidado de si passa também pelo cuidado com conteúdos indesejáveis nas redes, que podem prejudicar a saúde emocional e até física, o que contempla a competência geral 9 e a competência específica 4

Na atividade 3, acompanhe de perto a pesquisa realizada pelos estudantes, assim como a elaboração do relatório da pesquisa na atividade 4. As atividades 3 e 4 favorecem o desenvolvimento da habilidade

EF08MA27

Saúde orienta sobre riscos e cuidados com crianças e adolescentes na Era Digital

O uso excessivo da internet por crianças e adolescentes e os riscos a ela associados preocupam pais, educadores e profissionais da saúde. Se por um lado o mundo virtual é uma ferramenta de aprendizagem e socialização para os jovens, de outro, é espaço que os deixa mais vulneráveis a conteúdos inapropriados ou, ainda, reféns da criminalidade on-line. [...]

O uso inadequado e excessivo da internet pode acarretar problemas emocionais e de saúde.

Fonte: RIO GRANDE DO SUL. Secretaria da Saúde. Saúde orienta sobre riscos e cuidados com crianças e adolescentes na Era Digital Porto Alegre: Secretaria da Saúde, 8 abr. 2019. Disponível em: https://saude.rs.gov.br/saude-orienta-sobre-riscos-e-cuidados-com -criancas-e-adolescentes-na-era-digital. Acesso em: 17 maio 2022.

Agora, faça as atividades a seguir. Respostas pessoais.

1 O que você pensa sobre a temática da reportagem?

2 Cite algumas medidas que podem ser tomadas para evitar acessos a sites indesejáveis.

3 Faça uma pesquisa com os colegas da turma ou da escola para saber quantas horas por dia cada um fica na internet. Depois, elabore:

a) uma tabela de frequência para dados agrupados, registrando o tempo em horas;

b) um gráfico para representar os dados.

4 Faça um relatório para apresentar os dados de sua pesquisa.

1 (PMSP) Para uma festa junina, foi contratada uma barraca de pastéis, que levou os seguintes tipos de recheios: carne, queijo e palmito. A tabela a seguir mostra a quantidade de pastéis vendidos na festa.

Orientações

Esta seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Em relação ao número total de pastéis vendidos na festa, o gráfico que representa essas informações, em porcentagem, é: Alternativa b

Resolução da atividade 1 56 + 72 + 32 = 160.

Percentual de carne:

56 : 160 = 0,35 4 35%.

Percentual de queijo: 72 : 160 = 0,45 4 45%.

Percentual de palmito: 32 : 160 = 0,20 4 20%. Portanto, alternativa b

Orientações

Resolução da atividade 2 Podemos notar que durante as primeiras 5 semanas, o número de acessos a partir da segunda semana é sempre 2 unidades a mais do que na semana anterior (152, 154, 156, 158 e 160). Se o número de acessos mantiver o crescimento semanal para as próximas 5 semanas, então os números de acessos serão

162, 164, 166, 168 e 170. Logo, o número de acessos que a confeiteira acredita ser suficiente é 170.

Alternativa b

Resolução da atividade 3

112 + 84 + 56 + 140 + 168 = 560

25% de 560:

0,25 560 = 140

Que corresponde ao número de vendas do sabor morango. Alternativa a

2 (ENEM) Uma confeitaria pretende divulgar em um sítio da internet os doces que produz, mas só fará isso se acreditar que o número de acessos por semana compensará seu gasto com a divulgação. Por isso, pediu que lhe enviassem dados sobre o número de acessos ao sítio nas últimas 5 semanas e recebeu o gráfico a seguir. Alternativa b

O número de acessos que a confeiteira acredita ser suficiente para que a divulgação no sítio valha a pena é

a) 162.

b) 170.

c) 172.

d) 312.

e) 320.

3 (CMM-AM) O gráfico apresenta as vendas da sorveteria “Doce Ice” no mês de setembro. Qual é o sabor que representa 25% do total de vendas realizadas neste mês? Alternativa a

a) Morango.

b) Chocolate.

c) Baunilha.

d) Flocos.

4 Fernanda fez uma pesquisa para saber qual é o período do dia em que as pessoas sentem-se mais dispostas para realizar atividades físicas. Veja o resultado a seguir.

Manhã108Tarde80Noite134

O gráfico que representa a disposição das pessoas entrevistadas para realizar atividades físicas é:

Alternativa d

Orientações

Resolução da atividade 4

O número de pessoas entrevistadas é igual a: 108 + 80 + 134 = 322. Os percentuais são iguais a:

108 322 33%; 80 322 25%; 134 322 42% ooo

108 322 33%; 80 322 25%; 134 322 42% ooo

Ouro Bronze Prata

O gráfico que melhor representa é o da alternativa d Resolução da atividade 5 Como 25% preferem o produto A, temos:

0,25 . 2 400 = 600 4 600 consumidores. Alternativa c

Ouro Bronze Prata

5 (CADERNO ESCOLAR MATEMÁTICA PERNAMBUCO) Uma empresa de cosméticos lançou no mercado 5 produtos diferentes: A, B, C, D e E. O gráfico abaixo mostra o resultado de uma pesquisa feita para verificar a preferência dos consumidores em relação a esses produtos.

30%

Ouro Bronze Prata Ouro Bronze Prata PRODUTOS PREFERIDOS

Se foram entrevistados 2 400 consumidores, podemos afirmar que preferem o produto A:

25% 15% 10% 20%

a) 1 200 consumidores.

b) 720 consumidores.

c) 600 consumidores.

Alternativa c B

Orientações

Resolução da atividade 6

O percentual da produção de descarte de vidro em relação ao total é o que falta para completar 100%.

Portanto:

x = 100% - 21% - 45% - 18% = = 16%.

Alternativa c Resolução da atividade 7

Há, ao todo, 4 possibilidades para a escolha da região. Destas, 3 atendem à recomendação de possuir uma temperatura inferior a 31 ‘C (Rural, Residencial Urbano e Residencial Suburbano). Portanto, a probabilidade é de 3 4 Alternativa e

6 (CEMP-PE) Observando o gráfico abaixo, podemos afirmar que a produção de descarte de vidro em relação ao total de lixo produzido na cidade X é: Alternativa c Perfil do lixo produzido na cidade X

a) maior que 30%.

b) equivalente a 26%.

c) equivalente a 16%.

d) menor que 10%.

7 (ENEM) Rafael mora no centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbana ou Residencial Suburbana. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31 ‘C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é:

Tarcísio Garbellini

8 (CMM-AM) Patrícia foi visitar a casa de sua avó no município de Itacoatiara. O gráfico representa o tempo gasto por Patrícia para fazer o percurso Manaus-Itacoatiara pela distância percorrida em quilômetros. Sabendo-se que ela saiu de sua casa em Manaus às 8h da manhã e que, na primeira hora da viagem, ela percorreu 80 km, determine, analisando o gráfico, quantos quilômetros ela percorreu entre 10h e 11h. Alternativa d

Orientações

Resolução da atividade 8

200 - 160 = 40 4 40 km. Alternativa d

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

Identifico e diferencio os tipos de gráfico.

Identifico todos os elementos que um gráfico deve conter.

Calculo o ângulo dos diferentes setores em um gráfico circular.

Construo um gráfico com base nos dados de uma tabela.

Organizo os dados de uma pesquisa em diferentes classes.

Identifico a frequência de uma classe.

Associo uma tabela de frequência a um gráfico.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras. Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Principais objetivos da unidade

• Reconhecer as equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas, inferindo possíveis soluções por meio de pares ordenados.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do valor numérico de expressões algébricas utilizando as propriedades das operações.

• Representar algébrica e graficamente equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Identificar sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Determinar graficamente a solução de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Resolver problemas por meio de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF08MA06, ao sistematizar os processos para o cálculo do valor numérico de diversos tipos de expressão algébrica, com o intuito de que o estudante seja capaz de resolver e elaborar problemas envolvendo esses processos.

Ao apresentar as equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas e sua representação no plano cartesiano, contempla-se a habilidade EF08MA07, essencial para, entre outras coisas, desenvolver a habilidade EF08MA08, também presente nesta unidade por meio do trabalho com sistemas de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas, incluindo resolução e elaboração de diversas situações-problema solúveis algebricamente.

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• resolvam expressões numéricas (inclusive envolvendo cálculos com potências, frações e números negativos);

• identifiquem os principais elementos e a estrutura do plano cartesiano; resolva equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita.

Avaliação diagnóstica

É importante observar se os estudantes já dominam os pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade. Para isso, promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre os pré-requisitos elencados e citar exemplos do cotidiano. Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retome os conteúdos propostos para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 2, 3, 4, 5 e 8

Competências específicas 1, 2, 3, 5 e 6

Habilidades EF08MA06, EF08MA07 e EF08MA08

Foco nos TCTs

• Educação Ambiental

Competição de "cabo de guerra" mista.

Equações e sistemas de duas equações polinomiais do 1 ? grau

A fotografia mostra uma disputa conhecida como “cabo de guerra”. As duas equipes devem puxar uma corda, simultaneamente, em sentidos opostos, com o objetivo de arrastar a equipe adversária para o seu lado.

1. Pesquise a cidade e o ano dos jogos olímpicos em que o "cabo de guerra" foi uma modalidade.

2. Pesquise quais critérios devem ser considerados na formação de cada equipe? Resposta no Manual do Professor.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• reconhecer as equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas, inferindo suas possíveis soluções por meio de pares ordenados;

• resolver problemas que envolvam o cálculo do valor numérico de expressões algébricas;

• determinar soluções para sistemas de equações do 1? grau com duas incógnitas.

1. Resposta: 1900 em Paris; 1904 em Saint Louis; 1908 em Londres; 1912 em Estocolmo; 1920 em Antuérpia.

Orientações

O estudo de equações polinomiais e sistemas de equações é fundamental para os estudantes compreenderem a importância da Álgebra na resolução de problemas. Nesta unidade, serão retomados alguns conteúdos com o objetivo de ampliar, aplicar e consolidar esse conhecimento.

No Ensino Fundamental, a Álgebra é um dos tópicos mais abstratos da Matemática. Para os estudantes se apropriarem desse conteúdo, e utilizá-lo de forma adequada, proponha diferentes situações e significados ao conhecimento adquirido, apresentando o estudo de equações e sistemas por meio de exemplos e explorando a resolução de problemas.

Para iniciar o assunto, explore a imagem de abertura com o uso das perguntas, em que os estudantes deverão pesquisar sobre o “cabo de guerra” e concluir quais critérios são considerados na formação de uma equipe.

Oriente os estudantes para que busquem as respostas das atividades na internet.

Resolução da questão 1 1900 em Paris; 1904 em Saint Louis; 1908 em Londres; 1912 em Estocolmo; 1920 em Antuérpia. Resolução da questão 2 Exemplo de resposta: força e disciplina.

Objetivos do capítulo

• Reconhecer as equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas, inferindo possíveis soluções por meio de pares ordenados.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do valor numérico de expressões algébricas utilizando as propriedades das operações.

• Representar algébrica e graficamente equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 2, 3, 4 e 8

Competências específicas 1, 2, 3 e 6

Habilidades EF08MA06 e EF08MA07

Orientações

O desenvolvimento do pensamento e da linguagem algébrica possibilita ao estudante observar generalidades e descrever regularidades, favorecendo a capacidade de abstração e a autonomia.

Em Para começar, verifique os conhecimentos prévios dos estudantes. Depois que responderem, faça a correção coletiva, pedindo a eles que expliquem a estratégia utilizada para chegar à solução e esclareça eventuais dúvidas quanto ao cálculo de perímetro. Se necessário, apresente exemplos com figuras mais simples, como o do quadrado de lado x, cujo perímetro é igual a 4x É importante verificar se os estudantes dominam o conceito de perímetro. Caso apresentem dificuldade, uma sugestão é fazer um exemplo semelhante, sem utilizar variáveis.

Para explorar as expressões numéricas, apresente a seguinte situação: “Caio foi a uma lanchonete com R$ 100,00 para comprar 2 sanduíches naturais e 3 copos de suco. Se os preços do sanduíche natural e do copo de suco são, respectivamente, a e b, ambos em reais, qual é a expressão numérica que representa quanto ele receberá de troco?”.

Uma expressão numérica que representa essa situação é 100 - 2a - 3b. Uma situação contextualizada como essa contribui para o estudante se identificar com a temática em foco.

Equação linear do 1 ? grau com duas incógnitas

Na figura seguinte, x e y são números reais não nulos que expressam as medidas indicadas em uma mesma unidade de comprimento.

Como você representaria o perímetro da figura acima? Resposta pessoal.

Expressões algébricas

Você já viu, em anos, anteriores, que as letras podem ser usadas para representar números desconhecidos e, agora, você vai estudar um pouco mais sobre as situações algébricas.

Acompanhe as situações a seguir.

• Mário pensou em dois números inteiros e distintos. Multiplicou o primeiro por 3 e elevou o segundo ao quadrado. Multiplicou os resultados obtidos e subtraiu 5 desse produto. Como podemos representar essa situação?

Vamos resolver essa situação por meio de um passo a passo.

1? Passo: Considere que m é o primeiro e n, o segundo.

2? Passo: Multiplicamos o primeiro número por 3 e obtemos 3m

3? Passo: Elevamos o segundo número ao quadrado e obtemos n2

4? Passo: Multiplicamos os resultados obtidos e obtemos 3m n2

5? Passo: Subtraímos 5 do produto e obtemos 3m n2 - 5.

As letras m e n são as variáveis, pois podem assumir valores variados. Portanto, a expressão algébrica que representa essa situação é 3m n2 - 5. Veja, agora, como saber qual é o valor numérico da expressão considerando m =-1 e n = 2.

Substituindo os valores de m e n na expressão 3m n2 - 5, temos:

3 (-1) (2)2 - 5

Note que, ao substituir os valores, obtivemos uma expressão numérica cujo resultado foi obtido por meio das operações que você já conhece.

3 (-1) (2)2 - 5 4 Calculamos primeiro a potência.

3 . (-1) . 4 - 5 4 Depois efetuamos as multiplicações.

-12 - 5 4 E só depois efetuamos a subtração.

O resultado é -17.

• O quíntuplo de um número menos o dobro desse número.

Observe como podemos representar essa sentença.

Chamando o número de x, o quíntuplo desse número é 5x, e o dobro, 2x Assim, podemos representar a sentença acima pela expressão algébrica 5x – 2x Usando a propriedade distributiva da multiplicação, podemos simplificar ainda mais. Veja.

5x - 2x = (5 - 2)x = 3x

Dizemos que as expressões 5x - 2x e 3x são equivalentes, pois podemos substituir uma pela outra.

Lembre-se que é comum observarmos fórmulas que contêm expressões algébricas. Veja alguns exemplos.

• Perímetro P de um quadrado cujo lado mede x: P = 4x

• Área A de um trapézio cujas bases medem b e B, e cuja altura mede h:

A = 5= () 2 bB h +

• Tempo t, em segundos, que um objeto leva para cair de certa altura h, em metros, até o solo: t = 0,45 h

• Quantia Q, em reais, a ser paga pelo aluguel de um carro por d dias:

Q = 42,50 + 0,58d

Atividades

1 Carlito e Taise estão estudando de um jeito diferente. Cada um, na sua vez, fala um comando e o outro deverá escrever a expressão algébrica correspondente.

Observe o que Carlito disse em cada caso.

a) Um número adicionado a 7.

b) O dobro de um número.

c) Um número menos 3.

d) A terça parte de um número.

Agora, observe o que disse Taise.

e) O triplo de um número mais 5.

f) A adição de dois números diferentes.

Orientações

Qual é o valor numérico da expressão 3m n2 - 5 se considerarmos os valores m = 1 e n =-1? -2

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA06

Discuta com os estudantes a diferença entre calcular o valor numérico de uma expressão algébrica e determinar o valor de uma expressão numérica, já que os estudantes devem saber diferenciar procedimentos algébricos de aritméticos.

Apresente outros exemplos de expressões algébricas, privilegiando situações correlatas ao contexto regional em que o estudante está inserido (economia, turismo e manifestações artístico-culturais locais, por exemplo). Resolução de Pense e responda

3 1 (-1) 2 - 5 = 3 - 5 =-2

Se achar oportuno, peça a todos que se organizem em duplas para resolver a atividade 1 Nessa etapa, circule pela sala para verificar possíveis dúvidas e a necessidade de fazer alguma intervenção. Depois, solicite a uma dupla que explique a resolução de um item para os colegas. Resolução da atividade 2

Se n = 1 6 5 . (1) + 1 = 6

Se n = 2 6 5 . (2) + 1 = 11

Se n = 3 6 5 . (3) + 1 = 16

Se n = 4 6 5 . (4) + 1 = 21

Se n = 5 6 5 (5) + 1 = 26

g) O produto entre o dobro de x e a soma entre y e 1.

h) O perímetro de um quadrado de lado medindo x

Represente em cada item uma expressão algébrica do que Carlito e Taise disseram.

2 Considerando n um número natural diferente de zero, a expressão algébrica 5n + 1 é adequada para indicar os números de uma sequência numérica. Substitua n pelos números naturais em sequência (1, 2, 3,...) e obtenha os cinco primeiros números da sequência indicada pela expressão algébrica.

Pergunte aos estudantes se eles percebem uma regularidade nessa sequência. Espera-se que notem que cada número da sequência, a partir do segundo, é igual ao anterior mais cinco. Crie conjecturas sobre essa regularidade e, se necessário, apresente outros exemplos correlatos.

Atividades complementares

Divida a turma em grupos. Escreva no quadro uma expressão algébrica e desafie os estudantes a obter outras expressões equivalentes a ela. Cada grupo deve apresentar uma expressão diferente da apresentada por você e pelos grupos anteriores. Realize um sorteio no início para definir a ordem em que os grupos apresentarão suas respostas. Se todos os grupos conseguirem apresentar uma solução, inicia-se uma nova rodada.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA04 e EF08MA06

Resolução da atividade 3

a) +=+== 2 4 4 2 2 4 8 4 10 4 5 2 +=+== 8 4 10 4 5 2

b) 3 . (2)2 - 2 . (-11) . 4 = 12 +

+ 88 = 100

c) 2 . (- 2)4 - 3 . (- 2)3 + 5 .

. (-2)2 - 2 . (-2) + 1 = 32 +

+ 24 + 20 + 4 + 1 = 81

Resolução da atividade 4

a) Algumas possibilidades são:

x  + ( x + 2) + 2 x + ( x + 3),

5x + 5 e 5(x + 1).

b) Algumas possibilidades são:

+++ xxxx1 2 1 2 , 2x + x e 3x.

Resolução da atividade 5

a) ++

yyyy 2 4 2 4 1 4 51 4

b) +=+ a a 5 5 10 5 2

c)

A atividade 6 tem o objetivo de estimular os estudantes a criar situações envolvendo expressões algébricas. Estimule-os a explorar outras situações além do perímetro e da área do retângulo, como escrever uma expressão algébrica que represente a diferença entre as medidas do comprimento e da largura desse retângulo.

Resolução da atividade 7

A expressão algébrica que representa a situação é 0,25x + 0,60x Podemos ainda simplificar a expressão:

0,25x + 0,60x = 0,85x

Resolução da atividade 9

a) 16x + 8y, já que 16 e 8 são os preços dos ingressos respectivamente de adultos (x) e de crianças (y).

b) 16 . 95 + 8 . 210 = 3 200 4

4 R$ 3.200,00

Explore com os estudantes outras possibilidades para os valores de x e de y

3 Calcule o valor numérico das expressões algébricas a seguir.

a) (m : n) + (n : m), para m = 2 e n = 4

b) 3x2 - 2yz, para x = 2, y =- 11 e z = 4

c) 2a4 - 3a3 + 5a2 - 2a + 1, para a =-2

d) Elabore uma expressão algébrica com duas variáveis e peça a um colega que calcule o seu valor numérico para alguns valores estabelecidos enquanto você calcula a elaborada por ele. Depois, destroquem os exercícios e conversem sobre o processo de resolução.

2 100 81 Resposta pessoal.

4 Escreva duas expressões algébricas equivalentes para representar o perímetro de cada figura a seguir.

Resposta pessoal.

Sugestões:

a) 5x + 5 e 5(x + 1)

b) 2x + x e 3x

5 Escreva uma expressão equivalente a:

6 Considere a figura na qual x é um número natural maior que

Elabore duas perguntas que envolvam expressões algébricas com as medidas do comprimento e da largura desse retângulo e entregue para um colega responder enquanto você responde as que ele elaborou. Depois de respondidas, conversem sobre o processo de resolução.

7 Que expressão algébrica corresponde a 25% de uma quantia x mais 60% dessa quantia?

8 Se i representa a idade de Roseane hoje, como podemos indicar:

a) a idade que ela tinha há cinco anos?

b) a idade de Roseane daqui a onze anos?

c) o triplo da idade de Roseane daqui a quatro anos?

3(i + 4)

9 Na bilheteria de um cinema, há o cartaz ao lado, com o preço dos ingressos.

Para uma sessão, foi vendida uma quantidade x de ingressos para adultos e uma quantidade y de ingressos para crianças.

a) Que expressão algébrica representa o total arrecadado nessa sessão?

16x + 8y

b) Quantos reais foram arrecadados nessa sessão, se x = 95 e y = 210?

R$ 3.200,00.

10 Segundo os fisiologistas, um indivíduo sadio e em repouso apresenta um número N de batimentos cardíacos por minuto variando com a temperatura ambiente t, em grau Celsius, de acordo com a fórmula

N = -+40900 10 2 tt

Calcule o número de batimentos cardíacos por minuto de um indivíduo sadio quando a temperatura for 20 ‘C.

11 Para calcular o tempo t, em segundos, gasto por um objeto para cair de uma altura h até o solo, usamos a fórmula t = 0,45 h

Calcule o tempo gasto por um objeto para cair de um prédio de 144 m de altura.

12 Em um supermercado, o estacionamento é retangular e mede 40 metros por 20 metros. O gerente quer aumentar o comprimento e a largura em x metros para que a área do novo estacionamento seja de 800 metros quadrados. Traduza, em linguagem matemática, a situação apresentada.

5,4s (40 + x) (20 + x) = 800

DESAFIO

Resolução da atividade 12 O comprimento, que inicialmente era de 40 metros, passará a ser de (40 + x) metros após o aumento. A largura, que inicialmente era de 20 metros, passará a ser de (20 + x) metros após o aumento. A medida da área do novo estacionamento será, portanto, (40 + x) (20 + x). Como essa medida deve ser igual a 800 metros quadrados, então temos que: (40 + x) (20 + x) = 800. Resolução da atividade 13 Sendo x a quantia de Sérgio e y a quantia de Hideo, temos: x + 100 = 2(y - 100) e y + 100 = x - 100. Resolução de Lógico, é lógica! Vamos representar as posições do banco com os números de 1 a 5.

13 Se Hideo der R$ 100,00 a Sérgio, este ficará com o dobro de Hideo. Entretanto, se o Sérgio der R$ 100,00 a Hideo, ambos ficarão com a mesma quantia.

Traduza em linguagem matemática a situação apresentada.

Sendo x a quantia de Sérgio e y a quantia de Hideo, temos: x + 100 = 2(y - 100) e y + 100 = x - 100.

(OPM-PR) Maria, Deise, Sílvia, Isabela e Catarina estão sentadas em um banco no parque. Maria não está sentada na extrema direita. Deise não está sentada na extrema esquerda. Sílvia não está sentada nem na extrema direita nem na extrema esquerda. Catarina não está sentada do lado de Sílvia nem a Sílvia está sentada ao lado de Deise. Isabela está sentada à direita de Deise, mas não necessariamente logo do seu lado. Qual das meninas está sentada mais longe da extrema direita?

a) Isabela.

b) Sílvia.

c) Deise.

d) Catarina.

e) Não dá para saber.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA06

O objetivo das atividades 10 e 11 é resolver situações-problema aplicadas por meio do cálculo do valor numérico de uma expressão algébrica.

Alternativa d

De acordo com o enunciado, as possibilidades são:

Posições

Sendo, M: Maria; D: Denise; S: Sílvia; I: Isabela e C: Catarina. Logo, quem está sentado mais longe da extrema direita é Catarina. Alternativa

diy13/Shutterstock.com

Vista superior de parte do estacionamento.

Orientações

Em Curiosidade, apresentamos a definição do número primo de Germain e a expressão algébrica que o define. Na atividade 1, verifique se os estudantes conseguem identificar se um número maior, como o 47, é primo. Caso apresentem dificuldade em concluir, revisite alguns métodos para verificar se um número é primo, como o apresentado a seguir: Dado que os três primeiros números primos são 2, 3 e 5, podemos utilizar o fluxograma abaixo para verificar se números naturais maiores do que 5 são primos.

Seja um número natural N > 5

N é divisível por 2, 3 ou 5?

Divida N pelo próximo número primo

O resto da divisão é zero?

N não é primo

Sophie Germain

Sophie Germain nasceu em Paris em 1776 e desenvolveu profundo interesse pela matemática. Como mulher, estava impedida de matricular-se na Escola Politécnica. Não obstante, ela conseguiu as notas de aula de vários professores e, com trabalhos escritos, submetidos sob o pseudônimo masculino de M. Leblanc, ganhou rasgados elogios de [Joseph-Louis] Lagrange. Em 1816 foi agraciada com um prêmio pela Academia de Ciências da França por um artigo sobre a matemática da elasticidade [...].

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 2. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 1997. p. 524.

O quociente da divisão é menor do que o divisor?

N é primo

Resolução da atividade 1

a) p = 2 6 2 2 + 1 = 5. Como 5 é primo, então 2 é primo de Germain.

p = 7 6 2 . 7 + 1 = 15. Como 15 não é primo, então 7 não é primo de Germain.

p = 11 6 2 11 + 1 = 23. Como 23 é primo, então 11 é primo de Germain.

p = 23 6 2 23 + 1 = 47. Como 47 é primo, então 23 é primo de Germain.

44 não é primo, então não é candidato a primo de Germain

Utilize as questões 2 e 3 para dialogar com os estudantes sobre relações de gênero dentro das ciências, o preconceito, o que já mudou e o que ainda precisa melhorar. O trabalho

Sophie Germain introduziu em seus cálculos matemáticos um tipo especial de número primo, descrito a seguir.

Se p é um número primo e se 2p + 1 é também um número primo, então o número primo p é denominado primo de Germain.

Os números 2, 11 e 23 são primos de Germain. Resposta pessoal.

1 Dos números 2, 7, 11, 23 e 44, qual deles é primo de Germain? Justifique sua resposta.

2 Pesquise e verifique se ainda há dificuldade para as mulheres nas ciências e quais foram as conquistas modernas de mulheres na Matemática. Reúna-se a um colega e façam um quadro com os nomes dessas mulheres e suas respectivas conquistas.

Resposta pessoal.

3 Em que dia do ano se comemora o Dia Internacional da Mulher?

com esta seção favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1

Atividades complementares

A fim de reforçar a discussão sobre a temática estudada, apresente o vídeo que conta a história de Sophie Germain e pode ser acessado no link: https://youtu.be/qxdlmtb5ouU Acesso em: 28 jul. 2022. O vídeo tem duração de 4min35s.

Dia 8 de março.

Proponha aos estudantes que pesquisem qual é o índice de participação das estudantes da escola em atividades científicas e olimpíadas, como a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) e a Olimpíada Nacional de Ciências (ONC), entre outras, refletindo sobre os resultados obtidos e dialogando com a comunidade escolar sobre o papel da escola em estimular as mulheres a participar de atividades como essas.

Stock Montage/Getty Images

Busto de Sophie Germain (1776 –1831).

Equação polinomial do 1 ? grau com duas incógnitas

Para resolver alguns problemas, é necessário utilizar equações polinomiais do 1? grau com mais de uma incógnita. Um exemplo é a situação em que temos uma mistura de dois líquidos e conhecemos o volume resultante; nesse caso, usamos duas incógnitas diferentes para representar o volume de cada líquido. Acompanhe a situação a seguir.

• Um copo com café e leite contém 200 mL da mistura. Qual é a quantidade de café e de leite?

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA07

Para representar as quantidades de leite e de café adicionadas, vamos chamar de x o volume de café e de y o volume de leite, ambos em mililitros. Assim, obtemos a equação: x + y = 200, em que x e y são as incógnitas.

Dizemos que x + y = 200 é uma equação do 1? grau com duas incógnitas, x e y Denomina-se equação polinomial do 1 ? grau com duas incógnitas toda equação que pode ser reduzida à forma ax + by = c, em que a, b, c são números reais, com a q 0 e b q 0.

O quadro a seguir mostra alguns dos possíveis valores de x e de y, indicando cada dupla de valores como um par ordenado cuja notação é (x, y).

10190(10, 190)

20180(20, 180)

30170(30, 170)

100100(100, 100)

15050(150, 50)

Os pares ordenados ( x, y) de números que satisfazem essa equação, ou seja, que tornam a igualdade verdadeira, podem ser representados graficamente em um sistema cartesiano ortogonal ou plano cartesiano.

O sistema cartesiano ortogonal consta de duas retas reais com origem comum e perpendiculares entre si. A reta real horizontal, eixo x, é chamada de eixo das abscissas. A reta real vertical, eixo y, é denominada eixo das ordenadas

Inicialmente, trabalharemos as equações polinomiais do 1 ? grau com duas incógnitas e a representação gráfica dessas equações, no plano cartesiano, no campo dos números reais, como uma reta, para depois apresentar a solução de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas, como o ponto de interseção dessas duas retas. Apresente uma equação polinomial do 1? grau com duas incógnitas e solicite aos estudantes que apresentem soluções para essa equação. Por exemplo, a equação x - y = 10. Garanta que as soluções apresentadas não estejam todas no universo do conjunto dos números naturais, sugerindo, se necessário, soluções no universo do conjunto dos números inteiros, como (0, -10), (-5, -15); e soluções no universo do conjunto dos números racionais, como (24,5; 14,5),

entre outros. Verifique se os estudantes compreenderam que há infinitas soluções para essa equação.

Atividades complementares

Apresente aos estudantes a seguinte situação: “Rafael possui R$ 4,00 a mais do que o seu irmão Pedro. Quantos reais Rafael e Pedro possuem?”. Chamando de x a quantia de Rafael e de y a quantia de Pedro, ambos em reais, obtemos a equação x - y = 4. Algumas soluções dessa equação são (4, 0), (5, 1), (6, 2).

Verifique se os estudantes compreenderam o significado dessas soluções, ou seja, que o par ordenado (5, 1), por exemplo, indica a solução na qual Rafael possui R$ 5,00 e Pedro possui R$ 1,00.

Explore também soluções no conjunto dos números racionais, como (8,5; 4,5), (5,7; 1,7).

Entretanto, x e y , nessa situação, não podem ser números negativos, por se tratar de valores monetários, mas a equação x - y = = 4, fora do contexto apresentado, também possui soluções desse tipo no universo dos números inteiros, como (0, -4), (-1, -5), (-2, -6), que são soluções da equação, mas não fazem sentido na situação descrita anteriormente.

Xícara de café com leite.

Ionov Artem/Shutterstock.com

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA07

Escreva uma equação polinomial do 1? grau com duas incógnitas e peça aos estudantes que determinem alguns pares ordenados que a satisfazem dentro de um conjunto universo estabelecido. Oriente-os para que escrevam os pontos que representam as soluções da equação no plano cartesiano. Espera-se que tenham familiaridade com o sistema cartesiano ortogonal, também denominado plano cartesiano, porém é importante retomar essa forma de representação observando a posição e as denominações dos eixos, dos quadrantes e das coordenadas de um ponto.

Em Pense e responda, explique as restrições para os valores de x e de y na situação apresentada. Mostre aos estudantes valores como x =-20 e y = 250 e questione se é possível x e y assumirem esses valores. Oriente os estudantes para que registrem conclusões sobre isso.

Resolução da questão 1

Os valores de x e de y precisam ser maiores do que zero porque, nesse caso, um dos líquidos não estaria presente na mistura; e precisam ser menores do que 200 porque, nesse caso, ultrapassaria o volume da mistura.

Resolução da questão 2 x = 0 significa que não há café na mistura.

O par (x, y) são as coordenadas do ponto no plano cartesiano associado a esse par. Veja a representação gráfica dos pares ordenados indicados no quadro da página anterior que satisfazem a equação x + y = 200.

Para essa situação, podemos ainda atribuir a x qualquer valor real, desde que x > 0 e x < 200, ou seja, 0 < x < 200. Há então infinitos valores reais possíveis para x assumir.

1. Porque os valores de x e de y precisam ser maiores do que zero e menores do que 200?

2. Na prática, o que significaria x = 0? Respostas no Manual do Professor.

Como para o intervalo 0 < x < 200 podemos atribuir infinitos valores a x, então vamos obter infinitos valores para y

Por exemplo, se x = 42,5 mL, o valor de y é:

42,5 + y = 200 6 y = 200 - 42,5 6 y = 157,5 mL

Obtemos, assim, o par ordenado (42,5; 157,5).

No plano cartesiano, os infinitos pares ordenados (x, y) que satisfazem a equação x + y = 200 (para 0 < x < 200) determinam um segmento de reta excluindo-se suas extremidades.

Os pares ordenados correspondentes aos pontos que pertencem a esse segmento de reta, excluindo seus pontos extremos, são as soluções da equação x + y = 200 e representam as quantidades de café e de leite, respectivamente.

Note que existem pares ordenados de números reais que não são soluções dessa equação (não pertencem ao segmento de reta). Por exemplo:

• (30, 110) não é solução, pois 30 + 110 = 140, e torna x + y = 200 uma sentença falsa.

• (75, 180) não é solução, pois 75 + 180 = 255, e torna x + y = 200 uma sentença falsa. Veja o exemplo.

Represente no plano cartesiano as seguintes equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas, considerando que x e y são números reais quaisquer.

a) x - 2y =-2

b) 5x + 2y = 0

Uma equação do 1? grau com duas incógnitas, que podem assumir quaisquer valores reais, pode ser representada por uma reta no plano cartesiano. Sabemos que para determinar uma reta precisamos apenas de dois pontos que pertençam a ela.

a) x - 2y =-2

Tomamos, por exemplo, os valores x = 0 e x =-2 e calculamos os valores correspondentes de y. Assim, obtemos:

Para x = 0:

0 - 2y =- 2 6-2y =-2 6 y = 1

Para x =-2: -2 - 2y =- 2 6-2y = 0 6 y = 0

A partir dos pontos (0, 1) e (-2, 0) podemos desenhar a reta da equação.

b) 5x + 2y = 0

Tomamos, por exemplo, os valores x = 0 e x =  2 e calculamos os valores correspondentes de y Assim, obtemos:

Para x = 0:

5 0 + 2y = 0 6 2y = 0 6 y = 0

Para x = 2:

5 (2) + 2y = 0 6 2y =- 10 6 y =- 5

A partir dos pontos (0, 0) e (2, -5) podemos desenhar a reta da equação.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA07

Em que condições o ponto (0, 0) pertence à reta da equação ax + by = c?

Como ampliação do trabalho desenvolvido nos exemplos desta página, para que os estudantes se familiar izem com a representação dos pares ordenados (x, y) com x e y números reais, que satisfazem uma equação polinomial do tipo ax + by = c, com a e b diferentes de zero, apresente uma equação desse tipo. Peça que determinem pares ordenados que sejam soluções dessa equação, buscando valores variados e próximos para a abscissa, a fim de determinar a ordenada, de forma que a representação dos pontos se aproxime cada vez mais, o que possibilitará visualizar a reta determinada pelas soluções da equação polinomial dada. Após esse procedimento, com base na premissa de que dois pontos determinam uma única reta, instrua os estudantes para que obtenham apenas dois pares ordenados para representar a reta det erminada pela equação polinomial ax + by = c . Esse trabalho favorece o desenvolvimento da competência específica 3 Para esses procedimentos, pode ser necessário utilizar tabelas para organizar os dados com o intuito de facilitar a compreensão dos estudantes. Você pode propor uma atividade de conversão entre a representação gráfica e a representação tabular, no sentido contrário, na qual os estudantes identifiquem alguns pontos no gráfico e os registrem em uma tabela.

Orientações

Em Curiosidade, o texto apresenta o matemático Diofanto de Alexandria. O trabalho com a história da Matemática favorece o desenvolvimento da competência específica 1 Aproveite para mostrar as equações diofantinas: equação algébrica com a restrição adicional de que suas variáveis são números inteiros. Por exemplo, uma equação do tipo 2x + + 3y = 12 é uma equação diofantina, e entre suas soluções encontramos, entre outros, os pares ordenados (3, 2), (-3, 6), (0, 4) e (6, 0). Em alguns casos, essas equações podem representar situações-problema em que as soluções devem ser números inteiros positivos. Sugerimos mostrar algumas dessas equações aos estudantes pedindo que obtenham soluções, quando possível, lembrando que os valores de x e y devem ser inteiros positivos. Se achar adequado, explique aos estudantes que há métodos para determinar todas as soluções possíveis de uma equação diofantina, mas nesta etapa não serão estudados.

Aproveite o texto apresentado em Viagem no tempo para conversar com os estudantes sobre a origem da Álgebra. Proponha uma pesquisa sobre o assunto, na qual eles usem a internet ou outras fontes que forem convenientes. Depois, eles podem elaborar um texto coletivo utilizando as informações obtidas. Reconhecer que todo conhecimento é resultado de um longo processo de estudos favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e das competências específicas 1 e 2

Diofanto de Alexandria, conhecido como o “Pai da Álgebra”, viveu provavelmente no século III d.C. Pouco sabemos sobre sua vida. A sua principal contribuição para a matemática foram os 13 livros que constituem a Aritmética, nenhum dos quais sobreviveu. Ao contrário dos textos da maioria dos matemáticos gregos, essa obra era uma coletânea de problemas algébricos propostos e resolvidos. Diofanto também foi o primeiro matemático a imaginar e empregar símbolos algébricos, [...]

ROONEY, Anne. A história da Matemática: desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. São Paulo: M. Books, 2012. p. 128-129.

A Álgebra, da Antiguidade ao presente

Podemos dizer que as origens da Álgebra se situam na formalização e sistematização de certas técnicas de resolução de problemas que já são usadas na Antiguidade – no Egito, na Babilônia, na China e na Índia. Por exemplo, o célebre papiro de Amhes/Rhind é essencialmente um documento matemático com a resolução de diversos problemas, que assume já um marcado cunho algébrico.

Pouco a pouco vai-se definindo o conceito de equação e a Álgebra começa a ser entendida como o estudo da resolução de equações. Um autor da Antiguidade, por alguns considerado o fundador da Álgebra, é Diofanto (c. 200-c. 284), que desenvolve diversos métodos para a resolução de equações e sistemas de equações num estilo de linguagem conhecido como “sincopado”. Deste modo, os enunciados dos problemas, que tinham começado por ser expressos em linguagem natural, passam a incluir pequenas abreviações.

O termo “Álgebra” só surge alguns séculos mais tarde, num trabalho de al-Khowarizmi (790-840), para designar a operação de “transposição de termos”, essencial na resolução de uma equação.

PONTE, João Pedro da; BRANCO, Neusa; MATOS, Ana. Álgebra no Ensino Básico. [Lisboa]: DGIDC, 2009. p. 5. Disponível em: https://matematicando.net.br/wp-content/uploads/2018/08/003_Brochura_Algebra_NPMEB_Set2009.pdf. Acesso em: 18 maio 2022.

Atividades

1 Considere os pares ordenados (1, 2), (-4, 4), (8, 0) e (0, 5). Quais são soluções da equação x + 3y = 8?

(-4, 4) e (8, 0)

2 Um caderno e duas canetas custam R$ 28,00.

a) Determine uma equação correspondente ao enunciado.

x + 2y = 28

b) Com a equação acima é possível saber quanto custa um caderno? E uma caneta?

Respostas no Manual do Professor.

3 O perímetro do triângulo isósceles representado na figura é de 30 cm.

Sabendo que x e y são as medidas de seus lados:

a) obtenha uma equação correspondente a esse problema;

b) dê três pares ordenados que satisfaçam essa equação.

2x + y = 30

(10, 10); (8, 14); (9, 12)

4 A diferença entre dois números é 1. Escreva no caderno uma equação que represente esse problema. Em seguida, construa o gráfico.

Resposta no Manual do Professor.

5 Encontre três soluções para a equação 2x + 3y = 30.

6 Considere o triângulo de vértices M, N e P representado a seguir.

Possíveis respostas: (3, 8); (6, 6); (9, 4). DESAFIO

de letras para essa representação e não apenas x e y Resolução da atividade 3 Para satisfazer a equação obtida no item a, há muitas possibilidades de medidas para x e y, entre os quais alguns valores não inteiros. Oriente os estudantes para que testem alguns valores. Certamente haverá variedade de soluções. Resolução da atividade 4 Adotando x e y como os valores dos dois números, temos:

x - y = 1 6 y = x - 1

- 12

A medida do ângulo interno de vértice M é 12‘ menor do que o dobro da medida do ângulo interno de vértice N; e a medida do ângulo interno de vértice P é x

a) Escreva a equação que relaciona as medidas x e y

x + y + 2y - 12 = 180

x + 3y = 192

b) Escreva duas soluções da equação que você obteve. Considere que, por serem medidas de ângulos, x e y devem ser positivos e 2y - 12 também precisa ser maior que zero.

(41, 43) e (66, 34)

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA06 e EF08MA07

Antes de discutir a resolução das atividades 3 e 6, respectivamente, retome o conceito de perímetro de um polígono e o fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180‘

Resolução da atividade 1

Do enunciado, temos:

(1,2)

(

(8,0)

Daí vem: xy 1 -1 00

Resolução da atividade 5 As respostas são pessoais. Veja a seguir algumas possíveis soluções:

• Se x = 6, temos:

2 . (6) + 3y = 30 6 3y = 30 - 12

3y = 18 y = 6.

Portanto, (6, 6) é uma solução da equação 2x + 3y = 30.

• Se x = 9, temos:

2 . (9) + 3y = 30 6 3y = 30 - 18

3y = 12 y = 4.

Portanto (9, 4) é uma solução da equação 2x + 3y = 30.

Resolução da atividade 6

a) x + y + 2y - 12‘ = 180‘ x + 3y = 192‘

b) Se x = 42‘, temos:

42‘+ 3y = 192‘

3x = 192‘ - 42‘

3y = 150‘6 y = 50‘

Se x = 12‘, temos:

12‘+ 3y = 192‘

3y = 192‘ - 12‘

3y = 180‘6 y = 60‘

(0,5) 4 0 + 3 5 = 0 + 15 = 15 q 8

Resolução da atividade 2

a) Indicando x e y como os preços do caderno e da caneta, respectivamente, temos:

x + 2y = 28

b) Não é possível determinar. Existe uma grande quantidade de valores possíveis para ambos.

Os estudantes devem selecionar quais letras vão representar as variáveis “número de cadernos” e “números de canetas”. Reforce que, nesse caso, eles podem escolher qualquer par

Há várias respostas possíveis para o item b. Instigue os estudantes a testar várias possibilidades, sempre calculando o valor dos 3 ângulos para confirmar as respostas.

Reinaldo Vignati

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA06 e EF08MA07, além das competências gerais 2, 3, 4 e 8 e das competências específicas 3 e 6 Resolução da atividade 8

a) 3x + 4y = 38

b) Não, pois assim teria:

3 5 + 4 5 = 35 4 35 versos.

c) Sim, é possível o poema possuir dois tercetos e oito quartetos, pois

3 . 2 + 4 . 8 = 38. Não, não é possível o poema possuir oito tercetos e dois quartetos, pois:

3 8 + 4 2 = 32.

Este item serve para evidenciar que a ordem dos elementos para uma solução desse tipo importa.

d) 3 . 6 + 4 . 5 = 38. Que é possível o poema ter seis tercetos e cinco quartetos.

e) Outro par ordenado que é solução da equação é (10, 2). É importante verificar se o estudante compreendeu que as soluções válidas para uma equação são sempre pares ordenados (a, b) com a, b óN

A criação da poesia é uma atividade pessoal. Dê oportunidade para que alguns estudantes compartilhem suas produções, se desejarem.

Resolução da atividade 9

Chamando o primeiro número oculto (da esquerda para a direita) de x, obtemos, de acordo com as regras do jogo, a seguinte sequência de números:

17, x, 17 + x, 17 + 2x, 34 + 3x,

51 + 5x, 269.

Daí, vem:

(34 + 3x) + (51 + 5x) = 269

85 + 8x = 269

x = 23

Portanto, os números que estão faltando são, da esquerda para a direita:

23, 40, 63, 103, 166.

Adicionando os números encontrados, temos:

23 + 40 + 63 + 103 + 166 = = 395.

A atividade tem como objetivo utilizar conhecimentos algébricos para resolver um desafio. Entretanto, os estudantes podem apresentar outros caminhos para resolver o problema. Caso isso ocorra, peça-lhes para explicar o procedimento e, se for coerente, socializá-lo com a turma.

7 Escreva uma equação do 1? grau com duas incógnitas e encontre três soluções diferentes. Em seguida, marque os pontos correspondentes às soluções que você obteve e um sistema cartesiano ortogonal. O ponto (1, 1) pertence à reta que você traçou? Resposta pessoal.

8 Leia o texto a seguir:

O que é poesia? Poesia é, antes de tudo, uma atitude artística. Graças a ela somos convidados a experimentar o interessante universo das sensações.

A poesia está presente nas mais diversas manifestações artísticas: na literatura, nas artes plásticas, na fotografia, no teatro, na dança ou na música. […]

PEREZ, Luana C. A. O que é poesia? In: MUNDO EDUCAÇÃO. [Goiânia], c2022. Disponível em: https://mundoeducacao.uol.com.br/literatura/o-que-poesia.htm. Acesso em: 17 maio 2022.

Um poema pode ser uma poesia, uma vez que expresse e estimule emoções. O poema é um gênero textual formado por versos e estrofes. Cada linha do poema é um verso, e cada conjunto de versos é uma estrofe.

Certo poema será escrito apenas com tercetos e quartetos, ou seja, estrofes com apenas três ou quatro versos. Sabe-se que esse poema tem 38 versos. Considere x o número de tercetos e y o número de quartetos.

a) Escreva uma equação polinomial do 1? grau com duas incógnitas que represente essa situação.

b) É possível que esse poema tenha cinco tercetos e cinco quartetos? Justifique.

Não, pois assim teria 3 5 + 4 . 5 = 35 versos.

c) É possível que esse poema tenha dois tercetos e oito quartetos? E oito tercetos e dois quartetos?

d) O par ordenado (6, 5) é solução da equação que você escreveu. O que isso significa no contexto das estrofes do poema?

Que é possível o poema ter seis tercetos e cinco quartetos.

e) Descubra mais um par ordenado que seja solução da equação. A partir dele, você terá uma quantidade de tercetos e quartetos. Escreva uma poesia respeitando essa quantidade. Lembre-se de que você deve, por meio da poesia, expressar-se e partilhar experiências e sentimentos, com muita imaginação e criatividade. É também uma oportunidade de se conhecer melhor. Resposta pessoal.

9 (OPM) Em um jogo de adivinhação, dois jogadores competem para encontrar números. Nas regras do jogo, cada jogador deverá indicar dois números inteiros ao seu oponente. O primeiro jogador sugere 7 e 8 como números iniciais em casas vizinhas, como segue:

78?????

Em seguida, o primeiro jogador pede para o segundo encontrar os próximos números até completar os quadros. Os números a serem encontrados sempre serão dados pela soma dos dois números anteriores a ele. Assim, o segundo jogador completa os demais números de forma correta, como mostrado abaixo:

781523386199

Agora, o segundo jogador resolve dificultar o jogo e, em vez de indicar números em casas vizinhas, ele indica um número na primeira casa e outro na última casa. Vamos ajudar o primeiro jogador a encontrar os demais números?

17?????269

Qual a soma de todos os números ocultos no quadro acima? 395

3x + 4y = 38

Sim. Não.

Sistemas de equações polinomiais do 1? grau

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 3, 4, 5 e 8

Competências específicas 3, 5, 6 e 8

Habilidades EF08MA07 e EF08MA08

Foco nos TCTs

Sistema de duas equações polinomiais do 1 ? grau com duas incógnitas

A solução de alguns problemas pode conduzir a duas equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas. Nesse caso, precisamos compor um sistema com essas duas equações.

Considere as situações a seguir.

• Em uma série de oito jogos pelo campeonato brasileiro de futebol, um time acumulou 14 pontos. Sabendo que a cada vitória são computados 3 pontos; a cada empate, 1 ponto; e que o time não perdeu nenhum dos jogos disputados, encontre o número de vitórias e de empates.

Vamos equacionar o problema e indicando o número de vitórias por x e o número de empates por y

Como o time não perdeu, o total de jogos (8) é a soma do número de vitórias (x) e do número de empates (y).

Daí, formamos a equação: x + y = 8.

O total de pontos ganhos (14) é obtido adicionando-se os pontos ganhos pelas vitórias, 3x, com os pontos ganhos pelos empates, 1y

Daí, obtemos a equação: 3x + 1y = 14 ou 3x + y = 14.

As duas equações constituem um sistema de duas equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas, que representamos assim: y xy 8 314 += += x

Veja, a seguir, alguns dos pares ordenados que satisfazem cada uma dessas equações, observando que, pela situação dada, x e y devem ser números naturais.

Objetivos do capítulo

• Identificar um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Determinar graficamente a solução de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Discutir com base na resolução gráfica de um sistema de equações polinomiais do 1? grau se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.

Resposta pessoal.

Como você faria para calcular o número de cada tipo de mesa em um restaurante em que há algumas mesas com 4 lugares e outras com 6 lugares, sabendo que o total de mesas é 11 e o total de lugares é 52? Troque ideias com um de seus colegas.

• Educação Ambiental

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades EF08MA07 e EF08MA08

Nesse capítulo, o estudante irá aprender a representar algumas situações por meio de sistemas de duas equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas, resolvendo problemas por meio de métodos (algébricos e gráficos) para a discussão e resolução desses sistemas.

Em Para começar, introduza uma situação que pode ser resolvida por meio de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas. Sejam x e y o número de mesas com 4 e 6 lugares, respectivamente, um sistema de equações que representa adequadamente a situação é

Entretanto, os estudantes podem apresentar estratégias variadas para resolver o problema. Caso sejam válidas, peça que socializem as estratégias. Ao final do capítulo, retome esse problema e discuta sobre a importância de conhecer estratégias diversas para resolver uma mesma classe de problemas.

• Determinar soluções para sistemas de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas pelo método da substituição e da adição.

• Representar e resolver problemas por meio de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF08MA07 e EF08MA08

Explique aos estudantes que, ao resolver um sistema de duas equações polinomiais com duas incógnitas, determinaremos, se existirem, os pares ordenados que sejam soluções a ambas as equações.

São apresentados alguns pares ordenados que satisfazem cada uma das equações dadas, com o objetivo de identificar uma solução comum, no caso (3, 5). Explique aos estudantes que existem infinitos pares ordenados que são solução de cada uma das equações e que nada garante, até então, que a única solução comum seja (3, 5). A partir daí, apresente a solução geométrica do sistema que faz uso da representação gráfica de cada equação em um mesmo plano cartesiano. Como as duas retas têm um único ponto em comum, então agora é possível afirmar que a solução (3, 5) é única.

Pergunte aos estudantes quais são as possíveis posições relativas entre duas retas no plano. São três: concorrentes, paralelas e coincidentes. Desenhe esses três casos no quadro. Agora, a partir das posições relativas entre duas retas no plano, questione quais são as possibilidades para o número de intersecções entre elas, conduzindo os estudantes a concluir que há apenas três possibilidades: podem ter apenas um ponto em comum, não ter nenhum ponto em comum ou ter todos os pontos em comum.

Explique-lhes que quando a representação gráfica de um sistema são duas retas concorrentes, ou seja, que se intersectam em um único ponto, o sistema é classificado como sistema possível e determinado (SPD). Explore com os estudantes outros exemplos de sistemas possíveis e determinados, reforçando que todos possuem solução única.

O par ordenado (x, y) que satisfaz as duas equações ao mesmo tempo é a solução do sistema. No caso, x = 3 e y = 5, ou seja, o par ordenado (3, 5) é a solução desse sistema porque satisfaz a ambas as equações. Portanto, nos oito jogos disputados, o time obteve 3 vitórias e 5 empates, acumulando 14 pontos. Esse sistema também pode ser resolvido geometricamente. Para isso, fazemos a representação gráfica de cada equação em um mesmo plano cartesiano, usando alguns dos pares ordenados já obtidos nas tabelas anteriores.

Os pontos comuns às duas retas são as soluções do sistema. Esses pontos são denominados pontos de intersecção das duas retas. Note que as duas retas têm um único ponto em comum, o ponto P, onde as retas se intersectam. Assim, as coordenadas do ponto P dadas pelo par ordenado (3, 5) são a única solução do sistema.

Quando um sistema de duas equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas tem uma única solução, é um sistema possível e determinado. A representação gráfica desse sistema são duas retas que se intersectam em um único ponto. O ponto determina o par ordenado que é solução do sistema.

professor pediu aos estudantes que resolvessem o sistema que ele escreveu na lousa.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA07

Observando o sistema e considerando que procuramos uma solução comum às equações, podemos substituir x por 2y na segunda equação, obtendo: 3x - 6y = 5 6 3 . 2y - 6y = 5

Note que obtemos 0 = 5 para qualquer valor de y colocado na equação 0 y = 5, ou seja, 0 = 5 é uma igualdade sempre falsa, independentemente do valor de y Nesse caso, a equação 0 . y = 5 não tem solução. Por essa razão, o sistema é impossível. Veja a representação geométrica desse sistema.

- 6y = 5

Observe que as retas que representam as equações que compõem o sistema são paralelas, não têm pontos em comum. Isso mostra que não existe um par (x, y) de números reais que satisfaça as duas equações. Logo, o sistema é impossível.

Quando um sistema de duas equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas não tem solução, dizemos que é um sistema impossível. A representação gráfica desse sistema são duas retas que não têm nenhum ponto em comum.

Percebendo que o sistema não tinha solução, o professor corrigiu e apresentou o novo sistema na lousa.

Apresenta-se um sistema cuja representação gráfica são duas retas paralelas, ou seja, que não têm nenhum ponto em comum. Explique aos estudantes que quando a representação gráfica de um sistema são duas retas paralelas, ou seja, que não se intersectam, o sistema é classificado como sistema impossível (SI). Esse fato também é observado algebricamente, ao substituir x por 2y na segunda equação e obter uma sentença falsa como resultado.

Para ampliar a proposta desta página, sugerimos apresentar aos estudantes duas equações polinomiais que representem retas paralelas e pedir-lhes que elaborem seus respectivos gráficos em um mesmo plano cartesiano, na lousa, ou em papel quadriculado, observando que essas retas não se cruzam, ou não têm ponto de interseção. Assim, o sistema formado por essas equações não tem solução, sendo denominado sistema impossível (SI).

Apresenta-se também, em seguida, um sistema que possui infinitas soluções, fato já observado algebricamente, ao substituir x por 2y na equação e obter uma sentença verdadeira para todo y. Explique-lhes que quando um sistema possui infinitas soluções ele é classificado como sistema possível e indeterminado (SPI).

Assim como no caso anterior, podemos substituir o x por 2y na segunda equação, obtendo:

3x - 6y = 0 6 3 2y - 6y = 0 6 6y - 6y = 0 6 0 y = 0

Note que obtemos 0 = 0 para qualquer valor de y colocado na equação 0 . y = 0, ou seja, 0 = 0 é uma igualdade sempre verdadeira, independentemente do valor de y Nesse caso, a equação 0 y = 0 tem infinitas soluções. Por essa razão, o sistema é chamado de sistema possível e indeterminado, isto é, tem infinitas soluções.

Desse modo, (8, 4) e (20, 10) são algumas das infinitas soluções do sistema. Todos os pares ordenados que satisfazem esse sistema são do tipo (2y, y), com y sendo qualquer número real.

Quanto ao SPI, apresente duas equações cuja representação gráfica sejam retas coincidentes, mostrando aos estudantes que todos os pontos são comuns às duas retas, ou seja, satisfazem simultaneamente as duas equações.

Orientações

O conteúdo e a atividade dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA07 Resolução

atividade 1

Atividades

Veja a representação geométrica desse sistema.

Nesse caso, as retas que formam as equações que compõem o sistema têm todos os pontos em comum, ou seja, as duas equações representam a mesma reta e o sistema é possível e indeterminado.

Quando um sistema de duas equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas apresenta infinitas soluções, ele é um sistema possível e indeterminado. A representação gráfica desse sistema são duas retas que têm todos os pontos em comum.

Quando duas retas têm todos os pontos em comum, dizemos que elas são coincidentes

1 Determine o conjunto-solução dos sistemas a seguir, resolvendo-os graficamente. Use papel quadriculado.

Respostas no Manual do Professor.

Atividades complementares

Organize os estudantes em grupos e peça-lhes que construam organizadores gráficos (mapas mentais, mapas conceituais, fluxogramas etc.) que sintetizem a classificação dos sistemas de duas equações polinomiais do 1? grau como SPD, SI ou SPI. Ao final, peça aos grupos que socializem as construções.

Segue um modelo de mapa conceitual para auxiliar na orientação dos grupos.

Sistema de equações

Possível e determinado (SPD)

Possível e indeterminado (SPI)

Impossível (SI)

Pode ser um sistema possui infinitas possui uma única não possui nenhuma

solução(ões)

2 Resolva os sistemas a seguir e interprete-os geometricamente.

a) 40 28 8 -= += xy xy

Respostas no Manual do Professor.

3 Resolva os sistemas e classifique-os.

a) x y xy 7 28 += -=

x = 5 e y = 2. Sistema possível e determinado.

b) aa a b b 33 2b 26 10 +=++= ()

c) xy yx 43 1 --==+

Sistema impossível.

b) ab ab 23 8 46 16 += +=

Sistema possível e indeterminado.

4 A soma de dois números é 23, e a soma do quádruplo do primeiro com o quádruplo do segundo é 7. Determine esses números.

Não existem números que satisfaçam a situação apresentada.

5 É comum nos depararmos com desafios nas redes sociais nos quais a linguagem matemática é substituída por figuras, conforme o exemplo abaixo.

10

12

Qual é o valor de ?

a) Podemos considerar esse desafio como um sistema de equações? Justifique.

Resposta no Manual do Professor.

b) Descubra quanto vale cada figura para satisfazer as igualdades.

círculo = 5; quadrilátero = 2; triângulo = 1

Resolução algébrica de um sistema

No tópico anterior, abordamos o método da substituição de uma forma bem sucinta, mas agora será aprofundado.

Acompanhe a situação a seguir.

• Na eleição para representante de classe do 8? ano, concorreram apenas dois candidatos: Marinalva e Beto.

x = 2 e y = 1 2 = 0,5

b) As duas equações representam a mesma reta. Portanto, o sistema é possível e indeterminado, ou seja, tem infinitas soluções.

Resolução da atividade 3

Em cada item, vamos construir os gráficos e classificar o sistema de acordo com a posição relativa entre as retas.

Como as retas são concorrentes, o sistema é possível e determinado.

b)

Votação para representante de classe.

A classe do 8? ano tem 40 estudantes, e Marinalva recebeu 6 votos a mais que Beto. Quantos votos cada um recebeu?

Orientações

As atividades e o conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA07 e EF08MA08, além da competência geral 4

Resolução da atividade 2

Construindo o gráfico das equações, temos:

Como as retas são coincidentes, o sistema é possível e indeterminado. c)

Como as retas são paralelas, o siste

ma é impossível.

As resoluções das atividades 4 e 5 estão na próxima página.

Resolução da atividade 4

Ao construir o gráfico de ambas as retas podemos verificar que elas são paralelas entre si. Portanto, não existe nenhum par ordenado que satisfaça a situação apresentada.

Há uma situação-problema escrita na língua materna. O estudante deverá primeiro representar a situação algebricamente para, em seguida, representá-lo graficamente e, assim, determinar a solução do problema.

Resolução da atividade 5

a) É um sistema cuja solução são números naturais.

b) Círculo: 2b = 10 6 b = 5.

Quadrilátero: 5 . q + q = 12 q = 2.

Triângulo: 5 2 - 5t = 5

10 - 5t = 5 t = (10 - 5) : 5 = 1.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA08

Espera-se que, depois de entenderem o significado da resolução de um sistema de equações pelo método gráfico, os estudantes lhe perguntem se existe outro método para obter a solução de um sistema. Se não o fizerem, instigue a curiosidade deles nesse sentido, informando que existem diversos métodos algébricos para resolver um sistema de duas equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas, entre eles, o método da adição e o método da substituição.

Explique aos estudantes que a resolução de um sistema pelo método da substituição, em que uma incógnita é isolada em uma equação e substituída na outra, possibilita obter uma equação com apenas uma incógnita cujo valor é possível determinar. Posteriormente, com o valor numérico encontrado para uma das incógnitas, pode-se substituir esse valor em qualquer uma das duas equações, obtendo-se assim o valor da outra incógnita.

Lembre aos estudantes que o indicado é isolar a incógnita que apresenta coeficiente 1, independentemente da posição e da equação em que se encontre. Por exemplo, no sistema

xy xy 23 35

é conveniente isolar o y na segunda equação, em que y = 5 - 3x, e substituir a expressão correspondente ao seu valor na primeira equação, 2x - (5 - 3x) = 3,

Chamando de x o número de votos que Marinalva obteve e de y o número de votos de Beto, podemos escrever o sistema:

xy xy 40 6 += -=   

Observe passo a passo de como resolvemos esse sistema pelo método da substituição

1? Passo: Escolhemos uma das equações para “isolar” uma das incógnitas no 1? membro dessa equação.

Nesse caso, vamos isolar a incógnita x da primeira equação.

x + y = 40 6 x = 40 - y

2? Passo: Substituímos a incógnita x na segunda equação pela expressão obtida na primeira equação.

Nesse caso, substituímos x por 40 - y

x - y = 6 6 (40 - y) - y = 6

3? Passo: Resolvemos a equação obtida e determinamos o valor de y

40 - y - y = 6

40 - 2y = 6

40 - 6 = 2y

2y = 34 6= 2 2 34 2 y 6 y = 17

4? Passo: Usamos o valor obtido para calcular a outra incógnita.

Nesse caso, substituímos y por 17 na equação x = 40 - y

x = 40 - y 6 x = 40 - 17 6 x = 23

5? Passo: Verificamos se os valores encontrados, além de satisfazer as duas equações, são compatíveis com a situação descrita.

Assim, substituímos x = 23 e y = 17.

xy xy 40 6 231740 (igualdade verdadeira) 2317 6(igualdadeverdadeira) += -= 6 += -=

A solução do sistema é o par (23, 17), uma vez que esses valores satisfazem as duas equações que compõem o sistema.

E como x e y indicam número de votos, eles devem ser números naturais. Os números 23 e 17 são naturais.

6? Passo: Respondemos ao que foi solicitado. Portanto, Marinalva obteve 23 votos. Beto obteve 17 votos.

tomando o devido cuidado em relação aos sinais. Com isso, obtém-se = x 8 5 e = y 1 5

Se todos os coeficientes das incógnitas forem diferentes de 1, sugerimos retomar o fato de que é possível multiplicar uma equação por um número real qualquer sem modificá-la.

Por exemplo:

23

equivalentes, portanto, admitem a mesma solução.

Observe passo a passo para a agora a resolução de outro sistema, agora pelo método da adição

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA08

1? Passo: Podemos adicionar, membro a membro, os termos das equações, a fim de obter outra equação com somente uma incógnita. Para isso, multiplicamos cada equação por um número não nulo, de modo que os coeficientes de uma das incógnitas se anulem ao adicionarmos os termos.

Por exemplo, em uma equação a incógnita x tem coeficiente 1 e na outra, 3. Assim, basta multiplicarmos a primeira equação por (-3).

Apesar de o método da substituição ser bastante didático, o método da adição muitas vezes é mais prático e fornece o valor de pelo menos uma das incógnitas com uma pequena quantidade de operações.

Agora, adicionamos as duas equações do sistema obtido: 36 54 34 14 1040

xy xy y

=-= -=-

2? Passo: Resolvemos a equação obtida, que tem uma única incógnita. - 10y =- 40 6 10y = 40 6 y = 4

3? Passo: Substituímos esse valor calculado em uma das equações do sistema para obter o valor da outra incógnita. No exemplo, determinamos o valor de x substituíndo y = 4 na equação x + 2y = 18.

2 4 = 18 6 x + 8 = 18 6 x = 10

4? Passo: Verificamos se os valores encontrados satisfazem as duas equações que compõem o sistema. Nesse caso, substituímos x = 10 e y = 4 nas equações originais.

218 34 14 10 24 18 (igualdade verdadeira)

3104 414 (igualdade verdadeira)

5 ? Passo: Escrevemos a solução do sistema. Como a resposta são números reais e satisfazem simultaneamente as duas equações, temos que a solução do sistema é (10, 4).

Não há uma regra que defina quando utilizar o método da substituição ou o da adição para resolver um sistema, mas é importante reforçar que o resultado obtido por qualquer um desses métodos será o mesmo. É importante analisar o problema antes de começar a resolvê-lo. A escolha do método pode facilitar as etapas de resolução.

Por exemplo, para resolver o sistema -+=+=-



xy xy 23 23 5 basta adicionar as duas equações, obtendo a equação 4y =-8 6 y =-2. Para obter o valor de x, pode-se também substituir o valor numérico de y em uma das duas equações ou multiplicar a primeira equação por -3 e novamente aplicar o método da adição, obtendo 8x = 4 6 x = 1 2

Convém observar que, no caso de os coeficientes serem primos entre si, pode-se multiplicar as duas equações para obter um sistema equivalente que possibilite aplicar o método.

Após apresentar os diferentes métodos de resolução de sistemas, é indicado que o estudante tenha liberdade para escolher o método que julgar mais conveniente para resolver o sistema, mas é importante que você reflita com os estudantes sobre as classes de sistemas para as quais cada método é mais prático.

Ao resolver situações-problema, consideramos importante observar que pode ser que alguns estudantes consigam obter a solução do problema aritmeticamente, sem utilizar recursos algébricos, o que não é incorreto, e, nesses casos, é importante que eles também apresentem a resolução algébrica.

Incentive os estudantes a utilizar as letras iniciais dos componentes do problema para representar as equações, lembrando que não apenas x e y representam incógnitas.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA08

Resolução da atividade 1

a) a = 45 + b

3(45 - b) + 2b = 50

135 - 3b + 2b = 50

b =-85 e a =-40

b) Multiplicando a primeira equação por 5 e a segunda por -3: 20x + 15y = 85 -18x + 15y =-75

2x = 10

x = 5 e y =-1

c) m =-1 - 3n 2(-1 - 3n) - n = 5

n =-1 e m = 2

d) Multiplicando a primeira equação por 6 e a segunda equação por 4, obtemos o sistema de equações

Atividades

1 Resolva os sistemas. As incógnitas são números reais.

a =-40 e b =-85

x = 5 e y =-1

m = 2 e n =-1

2 Obtenha o par ordenado de números inteiros que seja solução do sistema.

c = 9 e d = 4 (21, -10) (-10; -8,5)

cd cd 23 30 432

+= -=

Multiplicando a segunda equação por 3 e adicionando as duas equações, obtemos:

c = 9 e d = 4

Resolução da atividade 2

a) Simplificando as equações:

xy xy 39 2 26 18 24 2

Adicionando as equações, obtemos: y =-10 e x = 21.

b) Simplificando as equações: abab ab 46 29 61692 63 27

Adicionando as equações, obtemos: b = 5 e a = 2.

Resolução da atividade 3

Substituindo na segunda equação, a = 8 e b = 2: -3 = 6/7 (falso)

Substituindo na primeira equação, a = 0 e b =-35: -35/8 = 1/4 (falso)

Resolução da atividade 4

bt tb 561, 20 36

3 Dos pares ordenados, (8, 2) e (0, -35), determine se um dos pares satisfaz o sistema abaixo. Considere que estão escritos na forma (a, b).

Nenhum dos pares ordenados satisfaz o sistema de equações. +=

4 Edmilson comprou um tênis e uma bola e pagou em cinco prestações iguais de R$ 61,20. A prestação do tênis é R$ 36,00 a mais do que a prestação da bola.

a) Encontre um sistema de equações para representar essa situação.

b) Calcule o preço do tênis e o da bola.

61,20 36 bt tb

O preço do tênis é R$ 243,00 e o da bola é R$ 63,00.

5 Há cinco anos, a idade de Vera era o triplo da idade de Ana. Daqui a cinco anos será o dobro. Determine a idade de cada uma.

Vera tem 35 anos e Ana 15 anos.

6 Henrique comprou um caderno que custava R$ 5,90 e pagou com moedas de R$ 0,10 e de R$ 0,50. No total, ele utilizou 23 moedas. Quantas moedas de cada valor foram usadas?

14 moedas de R$ 0,10 e 9 moedas de R$ 0,50

7 Quando um copo está cheio de água, a massa correspondente é 385 gramas; quando esse copo está com 2 3 de água, a massa correspondente é 310 gramas.

a) Qual é a massa do copo vazio?

160 gramas

b) Qual é a massa do copo com 3 5 da água?

A massa do copo com essa quantidade de água é de 295 gramas.

Resolvendo, obtemos: c = 9 e d = 14.

Resolução da atividade 7

a) Sejam, x: massa do copo vazio e y: capacidade máxima.

Resolvendo obtemos: a = 15 e v - 3 15 =-10

Resolução da atividade 6 Seja, d: moeda de 10 centavos e c: moeda de 50 centavos.

xy xy

385 2 3 310

Resolvendo, obtemos: y = 225 e x = 160.

b) += 160 3 5 225 295.4 295 g

8 Em um quintal existem galinhas e coelhos, num total de 20 animais e 52 pés.

a) Determine o número de coelhos nesse quintal.

b) A resolução gráfica desse sistema é a representada abaixo? Justifique.

Não. Resposta pessoal.

Ilustrações:

Resolução da atividade 9 Do enunciado, temos o sistema. -=+++= 6 -+=+= ()                   yx xy xy xy 15 215 55 70 21 60 -=+++= 6 -+=+= 6 -= += ()                            yx xy xy xy xy xy 15 215 55 70 215 60 2  15 60 -=+++= 6 -+=+= 6 -= += ()                            yx xy xy xy xy xy 15 215 55 70 215 60 2  15 60

9 (IFBA) Hoje eu tenho x anos e meu irmão y anos. Há 15 anos meu irmão tinha o dobro de minha idade. Então a minha idade x, em anos, sabendo que daqui a cinco anos nossas idades somarão 70 anos, é:

a) 10.

b) 20.

Alternativa e

c) 15.

d) 30. e) 25.

10 (CMM-AM) O professor de Matemática lançou um desafio para a turma do 5? ano. Desenvolveu três fichas com quatro símbolos cada e atribuiu um valor numérico a cada uma das fichas, conforme a figura abaixo. O valor numérico de cada ficha corresponde à soma dos símbolos.

16 12 10

Qual é o valor numérico da ficha abaixo com 6 símbolos?

Alternativa d

a) 21

b) 28

c) 26 d) 23 e) 22

11 (VUNESP) Maria tem em sua bolsa R$ 15,60 em moedas de R$ 0,10 e de R$ 0,25. Dado que o número de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, o total de moedas na bolsa é:

a) 68

b) 75

c) 78

d) 81

e) 84

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA08

Resolução da atividade 8

+= +=          gc gc 20 24 52 6 g = 14 e c = 6.

Por tanto, há 6 coelhos nesse quintal.

642 -28 0 4 -2 -4 y x 2 101622141218262024 6 8 10 12 14 16 18 20 Reinaldo Vignati

Adicionando as duas equações, obtemos: 3x = 75 6 x = 25. E: 2 . 25 - y = 15 6 y = 35. A idade procurada é 25 anos. Alternativa e Resolução da atividade 10 Associe círculo a x, triângulo a y e coração a z. De acordo com as fichas, obtemos um sistema de equações com três incógnitas:

+       

xz xz 38 22 10 -== , cuja solução

é = x 7 2 e = z 3 2 . Substituindo esses valores em qualquer umas das equações originais, obtemos = y 11 2

+        xy

yx 0,100,2515,60 2 = =

Substituindo y = 2x na primeira equação, temos:

0,10x + 0,25 . 2x = 15,60 6 x = = 26.

Logo, y = 2 . 26 = 52.

Daí vem: x + y = 26 + 52 = 78. Alternativa c

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA08, além da competência geral 3 e da competência específica 6

Resolução da atividade 12

Fazendo x o preço da garrafa e y o preço da tampa, temos:

0, 60 0, 5

Substituindo y na primeira equação, vem:

y + 0,5 + y = 0,60 6 y = 0,05.

Alternativa a Resolução da atividade 13

Sendo x o preço do arroz e y o preço do feijão, temos:

12 (CEFET) Uma garrafa PET (politereftalato de etileno) com sua tampa custa sessenta centavos. Sabendo que a garrafa custa cinquenta centavos a mais que a tampa, quanto custa só a tampa? Alternativa a

a) R$ 0,05

b) R$ 0,15

Da segunda equação, temos:

x = 22 - 3y

Substituindo x na primeira equação:

4(22 - 3y) + 2y = 43 6 y = 4,5

Daí vem:

x = 22 - 3 . 4,5 6 x = 8,5.

Portanto, o preço do pacote de arroz foi R$ 8,50 e o do pacote de feijão foi R$ 4,50.

As atividades 14 e 15 dependem da criação e da interpretação pessoal de cada estudante. É interessante promover uma apresentação das diversas resoluções encontradas para propiciar a troca dos conhecimentos entre os estudantes.

Resolução da atividade 16

Cada 1 g de batata corresponde a

2,8 cal, uma vez que 560 : 200 = = 2,8. De maneira análoga, cada 1 g de sanduíche corresponde a

2 cal, uma vez que 500 : 250 = 2.

Daí, vem a expressão:

2x + 2,8y = 462.

Alternativa a

c) R$ 0,25

d) R$ 0,35

13 Lúcia foi ao supermercado duas vezes em uma mesma semana para comprar arroz e feijão. Na primeira vez, ela comprou 4 pacotes de arroz e 2 de feijão. Na segunda, ela comprou um pacote de arroz e 3 de feijão. Sabendo que os preços dos produtos não se alteraram entre uma compra e outra e que a primeira compra custou R $ 43,00 e a segunda R $ 22,00, qual foi o preço unitário do pacote de feijão? E do arroz?

Feijão: R$ 8,50; arroz: R$ 4,50.

14 Na eleição para o cargo de representante de uma escola havia dois candidatos: Ricardo e Nilson. Veja a manchete publicada no jornal da escola no dia seguinte à eleição.

Sabe-se que 1 260 pessoas votaram e 147 votos foram nulos. Elabore duas perguntas que envolvam os dados numéricos desse texto. Depois, peça a um colega que responda às perguntas que você elaborou. A resposta de uma das perguntas deve ser obtida por meio de um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Resposta pessoal.

15 Cada cidade tem suas características regionais retratadas no comércio local, tanto na culinária quanto no comércio e na prestação de serviços. Muitos dos elementos culturais locais estão presentes no comércio.

a) Identifique dois produtos típicos de sua região e pesquise os preços deles em algum estabelecimento próximo a sua residência. Registre esses preços. Em seguida, crie uma incógnita para cada um dos valores desses produtos e represente por escrito duas relações entre essas incógnitas.

b) Elabore um problema que seja resolvido por um sistema de equações polinomiais do 1? grau, cujo intuito seja descobrir os valores desses produtos. Troque o problema com um colega, para que um resolva o que o outro elaborou, e depois corrijam juntos as resoluções. Resposta pessoal.

16 (ENEM) Diante de um sanduíche e de uma porção de batatas fritas, um garoto, muito interessado na quantidade de calorias que pode ingerir em cada refeição, analisa os dados de que dispõe. Ele sabe que a porção de batatas tem 200 g, o que equivale a 560 calorias, e que um sanduíche tem 250 g e 500 calorias. Como ele deseja comer um pouco do sanduíche e pouco de batatas, ele se vê diante da questão: “Quantos gramas de sanduíche e quantos gramas de batatas eu posso comer para ingerir apenas as 462 calorias permitidas para essa refeição?”

Considerando que x e y representam, respectivamente, em gramas, as quantidades do sanduíche e de batatas que o garoto pode ingerir, assinale a alternativa correspondente à expressão algébrica que relaciona corretamente essas quantidades. Alternativa a

a) 2x + 2,8y = 462

b) 2,8x + 2y = 462

c) 1,8x + 2,3y = 1 060

d)

e)

Wanderson Souza

Resolvendo sistemas com uso do GeoGebra

Vamos calcular a solução de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas utilizando o GeoGebra.

Como exemplo, vamos usar o sistema:

1? Passo: Ao abrir o programa, digite na barra de entrada a equação I e, em seguida, aperte “Enter”. Na janela de visualização, aparecerá o gráfico correspondente a essa equação.

Orientações

MatemaTIC sugere a utilização de um software de Geometria dinâmica para a resolução gráfica de um sistema de equações com duas incógnitas. Existem vários programas de uso livre que possibilitam esse tipo de trabalho. No programa, o estudante digita cada uma das equações dos sistemas, tecla “Enter” e obtém o gráfico da reta que representa a equação linear. Construindo os gráficos das duas equações que compõem o sistema em um mesmo plano cartesiano, o estudante poderá obter a solução do sistema ou mesmo fazer uma análise rápida dele, classificando-o em SPD quando as retas obtidas forem concorrentes, SI se as retas forem paralelas ou SPI quando as retas forem coincidentes. Esse trabalho favorece o desenvolvimento das competências específicas 3 e 5 e da competência geral 5 É indicado explorar o programa previamente, a fim de dominar os principais comandos envolvidos na proposta apresentada.

2? Passo: Digite na barra de entrada a equação II e, em seguida, aperte “Enter”. Na janela de visualização, aparecerá o gráfico correspondente a essa equação.

Se possível, é interessante os estudantes terem acesso ao programa e o manipularem eles próprios. Caso não seja possível, o uso por você, professor, para apresentar/aprofundar os temas com os estudantes é repleto de potencialidades. Em pouco tempo é possível apresentar uma grande variedade de exemplos para classificar os sistemas de equações e até mesmo para resolvê-los, contemplando as habilidades EF08MA07 e EF08MA08

Analisando a representação gráfica das equações, vemos que as retas se intersectam em um único ponto; ou seja, existe um ponto que é, ao mesmo tempo, solução da equação I e da equação II Agora, vamos determinar as coordenadas desse ponto comum.

Orientações

Acompanhe os estudantes no passo a passo proposto e incentive-os a repetir os procedimentos para calcular a solução de outros sistemas de equações polinomiais do 1? grau. Apresente exemplos, também, de sistemas impossíveis e sistemas possíveis e indeterminados, para os estudantes visualizarem as representações algébricas na janela de visualização e reforçarem seus conhecimentos sobre a classificação de sistemas lineares de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

Depois, se julgar adequado, converse com eles sobre o uso desse tipo de ferramenta e comente que a Matemática faz parte de nosso cotidiano e sua aprendizagem é essencial. Enfatize que o uso da tecnologia como aliada ao processo de aprendizagem possibilita ampliar ainda mais esse universo. Aproveite as aulas de Matemática para, sempre que possível, incentivar o uso de softwares e orientá-los sobre o uso da internet quanto a fazer pesquisas em sites confiáveis.

Cabe destacar a existência de aplicativos de Geometria dinâmica para smartphones, com as mesmas funcionalidades que o apresentado aqui. Se for mais acessível para o grupo com o qual você trabalha, oriente-os para que façam o download do aplicativo GeoGebra no celular e realizem a atividade utilizando-o. O aplicativo funciona off-line, ou seja, é possível utilizá-lo mesmo sem acesso à internet (o acesso é necessário apenas para fazer o download do aplicativo).

3? Passo: Clique na função “ponto de intersecção de dois objetos” e, com o cursor, clique sobre o ponto comum entre as duas retas. Automaticamente, na janela “Álgebra”, aparecerão as coordenadas do ponto procurado.

vemos que o ponto encontrado tem coordenadas (4,5; 2). Isso significa que

Utilizando esse mesmo passo a passo, encontre a solução do sistema a seguir.

Energia solar no Brasil

A energia solar no Brasil vem crescendo a passos largos. Existem diversos benefícios econômicos e ambientais que estão ajudando a impulsionar o crescimento dessa fonte de energia renovável.

A energia solar no Brasil representa apenas 1,7% de toda matriz energética, porém, o número de sistemas fotovoltaicos instalados no território brasileiro tem crescido consideravelmente, principalmente nas regiões Sul e Sudeste do país.

A energia solar está sendo utilizada no Brasil majoritariamente em residências, como uma auxiliar na conta de luz, seja com utilização de energia térmica, aquecendo a água, ou com a utilização da energia fotovoltaica, gerando eletricidade.

O Brasil possui uma vantagem por conta do extenso potencial energético a partir da energia solar, tendo em vista que os níveis de incidência solar são superiores aos de países que desenvolvem projetos fotovoltaicos com mais frequência, como a Alemanha, França e Espanha. […] Estima-se que, em 2024, o território brasileiro contará com, aproximadamente, 887 mil sistemas de energia solar conectados à rede, estabelecendo maior economia em relação às distribuidoras convencionais, além da manutenção e preservação ambiental do país. […]

ENERGIA solar no Brasil. In PORTAL SOLAR. [São Paulo], c2014-2022. Disponível em: https://www.portalsolar.com.br/energia -solar-no-brasil.html. Acesso em: 17 maio 2022.

Energia solar, como funciona?

1. Os módulos captam a luz do Sol e a transformam em corrente contínua.

2. A corrente passa por um inversor, onde é transformada em corrente alternada.

3. O excesso de eletricidade produzida pode voltar para a rede.

4. A rede faz o uso da energia e, por isso, as unidades consumidoras (UCs) recebem créditos para sua conta de luz.

painel de captação

ENTENDA como funciona a energia solar fotovoltaica. In: ABSOLAR. São Paulo, c2022. Disponível em: https://www. absolar.org.br/mercado/o -que-e-energia-solar -fotovoltaica/. Acesso em: 11 abr. 2022.

poste de energia elétrica inversor

medidor de consumo ou excedente de energia

1 Em duas casas A e B, nas quais foram instaladas placas solares, foram consumidos ao todo 420 KWh (quilowatts-hora) no mês passado. Sabendo que na casa A o consumo foi de 90 KWh a mais do que o consumo na casa B, quantos quilowatts-hora foram consumidos em cada uma das casas?

2 Façam uma pesquisa para saber se a ampliação dos sistemas de energia solar no Brasil para 2024 ocorreu conforme a estimativa. Resposta pessoal.

Orientações

    

+=

A = 225 e B = 165. Portanto, o consumo em cada uma destas casas foi de 225 KWh na casa A e de 165 KWh na casa B. Na atividade 2, oriente os estudantes para que busquem as informações em sites confiáveis, que apresentem dados reais sobre a temática pesquisada.

A = 225 KWh; B = 165 KWh.

Orientações

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1

O triplo de massa M é 3M e o quadruplo do percentual de gordura G

é 4G. Logo, a expressão procurada

é + MG H 3   4

Alternativa b

Resolução da atividade 2

Cada número é igual à soma dos dois números adjacentes da linha de baixo (um ao lado do outro). Por exemplo, 48 + 46 = 94 ou 15 + + 3 = 18.

94 18

20 + y = 48 6 y = 28

z + 15 = 28

z = 13

x + 13 = 20

x = 7

Alternativa a

Os estudantes podem utilizar métodos aritméticos para resolver esse tipo de problema. Valorize a diversidade de estratégias, mas reforce a importância de desenvolver o pensamento algébrico, uma vez que, em algumas situações, métodos aritméticos não serão suficientes para resolver os problemas.

Resolução da atividade 3

Sejam, a: número de acertos e e: número de erros.

ae ae 80 2010 100

a = 80 - e 20(80 - e) - 10e = 100

e = 50

Logo, a = 80 - 50 = 30.

Alternativa a

1 (ENEM) Uma fórmula para calcular o Índice de Massa Corporal (IMC) foi publicada pelo Departamento de Nutrição da Universidade de São Paulo. O estudo propõe uma equação capaz de identificar os falsos magros que, apesar de exibirem uma silhueta esguia, apresentam altos níveis de gordura, e os falsos gordos, que têm um IMC alto em decorrência de ganho de massa muscular, e não de gordura. A equação considera a massa do indivíduo, além do peso e da estatura. A fórmula é expressa pela soma do triplo da massa (M), em quilograma, com o quádruplo do percentual de gordura (G), tudo dividido pela altura (H), em centímetro.

Disponível em: http://drauziovarella.com.br. Acesso em: 27 nov. 2012 (adaptado).

A expressão algébrica que representa a nova maneira de calcular o IMC é dada por: a)

2 (FATEC) Algumas das células da figura apresentada foram preenchidas com números de acordo com um

Obedecendo a esse critério, o valor de X é

a) 7

b) 9

c) 11

15

3 (ENEM) Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10,00. Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros e, ao final, recebeu R$ 100,00.

Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo?

a) 30

b) 36

c) 50

d) 60

e) 64

4 (ENEM) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é:

a) 20

b) 30

c) 4

Alternativa b

d) 50 e) 60

5 (ENEM) Chegando ao destino de uma mesma viagem, os turistas X e Y alugarão, cada um deles, um carro. Fizeram, previamente, cotações com as mesmas três locadoras de automóveis da região. Os valores dos aluguéis estão representados pelas expressões dadas no quadro, sendo K o número de quilômetros percorridos, e N o número de diárias pagas pelo aluguel.

O turista X alugará um carro em uma mesma locadora por três dias e percorrerá 250 km. Já a pessoa Y usará o carro por apenas um dia e percorrerá 120 km. Com o intuito de economizarem com as locações dos carros, e mediante as informações, os turistas X e Y alugarão os carros, respectivamente, nas empresas

Alternativa b

Empresa Valor cobrado, em real, pelo aluguel do carro

I

II

III

a) I e II b) I e III

N + 0,6 K

c) II e II d) II e II

6 (OLIMPÍADA PESSOENSE DE MATEMÁTICA) O professor Wallace organizou o alfabeto numa tábua da seguinte forma:

ABCDEFGHIJKLM

NOPQRSTUVWXYZ

e resolveu atribuir um valor numérico a cada letra seguindo as seguintes regras:

• C = A + B, D = B + C, E = C + D,..., M = K + L (ou seja, cada letra a partir de C, na primeira linha da tábua, é igual à soma das duas consecutivas que a antecedem).

• As letras que se encontram na mesma coluna terão o mesmo valor (isto é, A e N terão o mesmo valor, B e O terão o mesmo valor, e assim por diante).

a) Suponha que A = 2 e B = 3. Determine o valor de O + P + M

b) Se C = 66 e G = 363, qual é o valor que o professor Wallace escolheu para A e B?

A = 55; B = 11.

7 (UNIFESP) Numa determinada livraria, a soma dos preços de aquisição de dois lápis e um estojo é

R$ 10,00. O preço do estojo é R$ 5,00 mais barato que o preço de três lápis. A soma dos preços de aquisição de um estojo e de um lápis é:

Alternativa e

a) R$ 3,00

b) R$ 6,00

c) R$ 12,00

Orientações

Resolução da atividade 4

Os turistas X e Y alugarão os carros nas empresas I e III, respectivamente.

Alternativa b

Resolução da atividade 6

a) Precisamos determinar o valor de O, P e M, respectivamente. Note que, pela segunda regra, O = B = = 3 e, pela primeira e segunda regras, P = C = A + B = 2 + 3 = 5. Assim, os valores de A até M, nessa ordem, são: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610.

Portanto, O + P + M = 3 + 5 + + 610 = 618.

b) Pela primeira e segunda regras, temos:

AA BB C 66

D 66 + B

E 132 + B

F 198 + B

G 363

Pela primeira regra, temos que (132 + B) + (198 + B) = 363, logo B = 11.

Mais uma vez, pela primeira regra, temos que A + B = 66 4 A + + 11 = 66 4 A = 55. Resolução da atividade 7 Chamando o preço de um lápis de l e de um estojo de e:

le el 210 35 6 l = 3 e e = 4. Assim, e + l = 3 + 4 = 7. Alternativa e

d) R$ 4,00

e) R$ 7,00

Sabemos que 60% de 150 é 90. Chamando de x e de y o número de carros roubados da marca X e da mar-

= 2y =

Logo, foram roubados 30 carros da marca Y

Orientações

Resolução da atividade 8

Chamando de p, m e g o número de melancias pequenas, médias e grandes, respectivamente, temos o sistema mgp mpg 28+= +=

Subtraindo as duas equações, obtemos (m + 2g) - (m + p) =

= 8p - g 6 2g - p = 8p - g g = 3p

Portanto, pelo mesmo preço de uma melancia grande é possível comprar três melancias pequenas. Alternativa a Os estudantes podem apresentar algumas dificuldades por causa disso. Explique que, nesse caso, não será necessário resolver o sistema, apenas determinar a relação entre duas das variáveis.

Resolução da atividade 9

Chamando de x o número de seguidores, temos:

8 (OBMEP) Uma melancia média e duas melancias grandes custam o mesmo que oito melancias pequenas. Uma melancia média e uma pequena custam o mesmo que uma melancia grande. Quantas melancias pequenas podem ser compradas pelo mesmo preço de uma melancia grande? Alternativa a

9 (ESCOLA DE APLICAÇÃO-UPE) Uma página geek da internet fez uma pesquisa, entre os seus seguidores, sobre qual dos quatro filmes dos Vingadores era o seu favorito. Todos os seguidores dessa página escolheram exatamente um dentre os 4 filmes. Sabe-se que:

• Um quinto dos seguidores preferem o filme Os Vingadores;

+++=6= xxxxx

1 5 1 10 2 5 240 800.

+=6=xxx 2 5 240 800.

Assim, temos:

== x 2 5 2 5 800320.

Alternativa c Resolução da atividade 10

• 10% dos seguidores preferem o filme Vingadores: Era de Ultron;

• 2 5 dos seguidores preferem o filme Vingadores: Guerra Infinita;

• 240 dos seguidores preferem o filme Vingadores: Ultimato.

Quantos seguidores dessa página preferem o filme Vingadores: Guerra Infinita?

a) 300 b) 310 c) 320 d) 330 e) 340

  

ADC BCD A

=+ =+

23 2 60    

= =

Substituindo D = 60 na primeira e na terceira equações, temos:

B = 2C + 60 3 6 B = 2C + 15

Da quarta equação, vem:

B = A 6 30 + C 3 = 2C + 15

C = 9

Logo, A = 30 + 9 3 = 33 = B

Daí vem: A + B + C + D = 33 + + 33 + 9 + 60 = 135.

Alternativa e Resolução da atividade 11

Do enunciado, temos:

x = 5y - 13. Substituindo na primeira equação, temos: 3 (5y - 13) + 2y = 12

= y 51 17 y = 3

10 (PM-ES) Quatro amigos, Abel, Bruno, Caio e Daniel, são colecionadores de figurinhas. Sabe-se que Abel possui metade da quantidade de figurinhas de Daniel mais um terço da quantidade de figurinhas de Caio; que Bruno possui o dobro da quantidade de figurinhas de Caio mais a quarta parte da quantidade de figurinhas de Daniel; que Daniel tem 60 figurinhas, e que Abel e Bruno possuem a mesma quantidade de figurinhas. Os quatro amigos possuem, juntos:

a) 125 figurinhas

b) 128 figurinhas

c) 130 figurinhas

d) 132 figurinhas

e) 135 figurinhas

11 Assinale a alternativa que representa o valor numérico da expressão x2 - xy + y2, sabendo que x e y compõe o par ordenado que é solução do seguinte sistema de equações polinomiais do 1? grau.

Portanto, podemos determinar x, fazendo: x = 5 . 3 - 13 x = 2

Desta forma, temos que: 22 - 3 2 + 32 = 7.

Alternativa c

12 (OMRP-SP) Há 50 bolas numa caixa, sendo algumas brancas, outras azuis e outras, vermelhas. O número de bolas brancas é onze vezes o número de bolas azuis. Há menos bolas vermelhas do que brancas, mas há mais bolas vermelhas do que azuis. Há quantas bolas vermelhas a menos do que bolas brancas na caixa?

Alternativa c

a) 2 b) 11

c) 19 d) 22 e) 30

13 (IFRJ) Gauss, um menino muito esperto, precisou resolver um problema em sua casa. Ele possuía uma balança de comparação (de pratos) sem escala, uma embalagem de arroz de 2,5 kg, um peso de referência com 2 kg, duas embalagens idênticas de farinha e uma de feijão. Seu objetivo era medir a massa (o peso) da embalagem de feijão. Depois de realizar várias tentativas frustradas, Gauss conseguiu equilibrar os pratos da balança nas duas situações descritas a seguir.

Orientações

Resolução da atividade 12 Chamando de a, b e v as bolas azuis, brancas e vermelhas, respectivamente, temos o sistema

11 , com duas

equações e uma inequação e os valores de a, b e v, necessariamente, números naturais não nulos, uma vez que se trata do número de bolas. Com isso, podemos montar a seguinte tabela:

abva + b + v

1 112850

2 222650

3 331450

4 44 2 50

Analisando o resultado obtido, Gauss concluiu, corretamente, que o saco de feijão possui massa igual a:

Alternativa b

a) 1,8 kg.

b) 1,5 kg.

Autoavaliação

c) 1,0 kg.

d) 0,5 kg.

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Reconheço as equações do 1? grau com duas incógnitas, inferindo suas possíveis soluções por meio de pares ordenados.

Resolvo problemas que envolvam o cálculo do valor numérico de expressões algébricas utilizando as propriedades das operações.

Reconheço as equações do 1? grau com duas incógnitas, inferindo suas possíveis soluções por meio de pares ordenados.

Represento no plano cartesiano a reta formada por todos os pares ordenados das possíveis soluções de uma equação do 1? grau com duas incógnitas.

Determino soluções para sistemas de equações do 1? grau com duas incógnitas pelo método da substituição e pelo método da adição.

Resolvo problemas por meio de um sistema de equações do 1? grau com duas incógnitas

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras. Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Os valores que a pode assumir variam de 1 até 4, pois se tivéssemos a = 5 iríamos extrapolar o número de bolas, que é 50. A partir dos valores de a obtemos os de b e de v. O único caso que respeita a desigualdade a < v < b é aquele no qual a = 3, b = 33 e v = 14. Logo, o número de bolas vermelhas a menos do que bolas brancas é 33 - 14 = 19.

Alternativa c Resolução da atividade 13 Do enunciado, temos: farinha - vamos representar por x; feijão - vamos representar por y

Logo: xy xy 22 ,5 2 += +=

Resolvendo o sistema, temos: x = 0,5 e y = 1,5. Portanto, a massa do saco de feijão é 1,5 kg. Alternativa b

FARINHA FARINHA

FEIJÃO ARROZ 2 kg FARINHA FEIJÃO

Ilustrações: DAE

Principais objetivos da unidade

• Identificar e compreender os casos de congruência entre triângulos.

• Identificar e compreender as propriedades de paralelogramos e de trapézios.

• Compreender o significado de mediatriz de um segmento e bissetriz de um ângulo.

• Resolver problemas aplicando os conceitos de mediatriz e bissetriz.

• Construir ângulos de 90‘, 60‘, 45‘ e 30‘

• Construir polígonos utilizando instrumentos de desenho e software de Geometria.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF08MA14, ao enunciar e demonstrar importantes propriedades dos quadriláteros por congruência de triângulos, assim como explora a habilidade EF08MA18, ao utilizar o reconhecimento de construção de figuras pelas transformações geométricas de translação, reflexão e rotação no estudo de congruência de triângulos. Os estudantes também são conduzidos a construir mediatrizes, bissetrizes e alguns ângulos e polígonos regulares representando alguns desses processos por escrito e por meio de fluxogramas, trabalhando com isso as habilidades EF08MA15 e EF08MA16 Além disso, são exploradas as definições de mediatriz e bissetriz como lugar geométrico, a fim de resolver alguns problemas, contemplando a habilidade EF08MA17. A resolução de atividades por meio de equações do 1? grau com duas incógnitas favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA08

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• resolvam equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita;

• resolvam sistemas de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas;

• calculem o valor numérico de uma expressão algébrica.

Avaliação diagnóstica

É importante observar o que os estudantes já dominam sobre os pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos na unidade. Para isso, promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre os pré-requisitos elencados e a citar exemplos do cotidiano. Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retome os conteúdos propostos para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

BNCC na Unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 2, 3, 4, 5, 7, 9 e 10

Competências específicas 2, 3 e 5

Habilidades EF08MA08, EF08MA14, EF08MA15, EF08MA16, EF08MA17 e EF08MA18

Ilustrações: André Martins

Origami é a arte tradicional japonesa de dobrar o papel, formando representações de seres ou objetos por meio de dobras, sem cortar ou colar.

Estudo de figuras geométricas planas e construções geométricas

O vocábulo origami é composto por duas palavras japonesas: ori, que significa “dobrar”, e kami, que significa “papel”. Portanto, origami é a arte da dobradura de papel. Veja na imagem ao lado exemplos de construções usando uma folha de papel sulfite.

1. Explique com suas palavras por que ABQP é um quadrado.

Resposta pessoal.

2. Os triângulos ABQ e APQ são “iguais”?

Orientações

Se possível, disponibilize folhas de papel de dobradura ou de papel sulfite e incentive os estudantes a fazer os origamis mostrados na abertura.

O texto Pequenahistóriasobre origami pode contribuir para ampliar o tema e está disponível em: https:// www2.ibb.unesp.br/Museu_Escola/ Ensino_Fundamental/Origami/Docu mentos/indice_origami.htm (acesso em: 28 jul. 2022).

Nas questões 1 e 2, a partir dos conhecimentos prévios dos estudantes, já é possível discutir sobre as razões pelas quais se pode garantir que o quadrilátero ABQP é um quadrado. Resolução da questão 1

Partindo do retângulo ABDC, ao sobrepor o segmento AB sobre o segmento AC, construindo o ponto P, garantimos que AB e AP possuem a mesma medida. Como o ângulo PÂB é reto (mede 90‘), então o quadrilátero ABQP é um quadrado.

Para aprofundar

3. Use uma folha de papel sulfite para obter um quadrado fazendo dobraduras.

Sim. Resposta no Manual do Professor.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• identificar e compreender os casos de congruência entre triângulos;

• identificar e explorar propriedades de paralelogramos e trapézios;

• compreender o significado de mediatriz de segmento e bissetriz de ângulo;

• traçar ângulos de 90°, 60°, 45° e 30°.

A apostila Oficinadedobraduras, desenvolvida pelo Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada (IMPA), apresenta diversas propostas que, utilizando apenas dobradura em papel, desenvolvem alguns dos temas presentes nesta unidade como um todo. Explore o material e, se julgar conveniente, aplique algumas das atividades para os estudantes.

• CARNEIRO. M. J. D.; SPIRA. M. Oficinadedobraduras. Rio de Janeiro: IMPA, 2015. Disponível em: http:// www.obmep.org.br/docs/aposti la9.pdf. Acesso em: 28 jul. 2022.

Objetivos do capítulo

• Identificar, compreender e aplicar os casos de congruência entre triângulos na resolução de problemas.

• Identificar e explorar propriedades dos triângulos isósceles e equiláteros.

• Identificar e explorar propriedades de paralelogramos e trapézios.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2, 3, 4, 5, 7, 9 e 10

Competências específicas 2 Habilidades EF08MA08, EF08MA14 e EF08MA18

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA14

O conceito de congruência de figuras é definido a partir da sobreposição de uma figura sobre a outra. Explore essa ideia, inclusive por meio de materiais manipuláveis, apresentando triângulos recortados em papel, ou outros materiais, para os estudantes tentarem sobrepor e testar se são congruentes.

Em Para começar, incentive os estudantes a concluir se os triângulos podem ser sobrepostos. Eles devem concluir que as condições para isso acontecer é de que lados e ângulos correspondentes possuam medidas iguais.

Reforce que o termo adequado a se utilizar nessas situações é congruente e não igual

Estudo das figuras geométricas planas

Observe os dois triângulos a seguir. Em sua opinião, eles podem ser sobrepostos, de modo que cada um cubra totalmente o outro? Quais são as condições para que essa sobreposição ocorra? Resposta pessoal.

Vamos, inicialmente, retomar alguns conceitos aprendidos em anos anteriores.

Congruência

Observe as duas figuras a seguir.

Podemos dizer, intuitivamente, que essas duas figuras são “iguais”, pois, como têm o mesmo tamanho e o mesmo formato, uma pode ser sobreposta exatamente sobre a outra.

Entretanto, a palavra “iguais” está sendo usada indevidamente, já que o conjunto de pontos que forma cada uma dessas figuras são diferentes. Neste caso, a palavra congruente é mais adequada.

Em linguagem Matemática, o símbolo h significa congruente. Quando escrevemos AB h CD, estamos afirmando que AB é congruente a CD, isto é, que eles têm a mesma medida.

Dizemos que a figura 1 é congruente à figura 2, pois é possível, por meio de uma composição de movimentos, sobrepor uma à outra, de modo a fazê-las coincidir ponto a ponto.

Então, o ponto A da figura 1 coincide com o correspondente Q na figura 2; o ponto B com o ponto M, e assim sucessivamente.

Figura 1.

Figura 2.

Desse modo, os vértices, os lados e os ângulos de uma figura coincidem com os vértices, os lados e os ângulos correspondentes da outra.

Podemos dizer que duas figuras são congruentes se:

• os lados correspondentes têm a mesma medida;

• os ângulos correspondentes também têm a mesma medida.

Assim, podemos escrever da figura 1 em relação à figura 2 que:

Transformações geométricas

Translação

A translação transforma o triângulo I no triângulo congruente II por meio de um deslocamento do triângulo I para o triângulo II na direção da reta r

Ilustrações: DAE

Translação é a transformação geométrica no plano na qual todos os pontos de uma figura são deslocados a uma mesma distância, direção e mesmo sentido.

Reflexão

Observe as transformações para fazer o triângulo III coincidir com o triângulo IV.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA18

Revise a notação utilizada para segmentos e ângulos.

Apresente outros exemplos de triângulos congruentes e peça aos estudantes que identifiquem lados e ângulos correspondentes. Utilize também exemplos numéricos e com incógnitas para que eles possam exercitar os procedimentos para obtenção de valores desconhecidos em situações com triângulos congruentes. As transformações geométricas de reflexão, translação e rotação são revisitadas aqui. A ideia é que, quando um triângulo é submetido a qualquer uma dessas transformações (ou composição de mais de uma delas), o novo triângulo obtido é congruente ao original.

Para exemplificar as transformações geométricas, apresente exemplos do cotidiano dos estudantes, em especial valorizando o contexto local deles. Um exemplo de translação pode ser o reposicionamento de um estudante em sala de aula quando ele sai de uma cadeira e vai para outra. Um exemplo para a reflexão são os carimbos, que marcam no papel imagens refletidas em relação às que foram talhadas ou personalizadas neles.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA18

Comente sobre o conceito de eixo de simetria, apresentando exemplos que possuam um, mais de um ou nenhum eixo de simetria.

Em Pense e responda, enumere os exemplos dados pelos estudantes. O próprio espelho pode ser mencionado, cuja propriedade de reflexão é muito conhecida pelos estudantes. É possível exemplificar outros meios com semelhante propriedade, como a água, assim como elementos presentes nas manifestações artísticas e culturais, locais ou mundiais, e os ícones do comércio, como os slogans, nos quais a reflexão e o eixo de simetria costumam estar muito presentes.

Ao discutir a rotação, comente que o giro será dado ao redor de algum objeto: um ponto ou uma reta. Apresente os conceitos de giro nos sentidos horário e anti-horário. Envolva ângulos e dê alguns exemplos, como o de que um giro de meia volta no sentido horário ao redor de um ponto implica que todos os pontos da figura girem 180‘ no sentido dos ponteiros do relógio. Como exemplo, pode-se comentar sobre a energia eólica, obtida por meio da energia cinética gerada pela rotação das suas hélices quando em contato com a força do vento. Peça que pesquisem mais sobre esse tipo de energia e sua importância dentro da perspectiva socioambiental, contribuindo para o desenvolvimento da competência geral 7

Atividades complementares

As mandalas são figuras com belíssimas composições geométricas. Representam uma típica manifestação artística, sendo também muito associadas a elementos da espiritualidade e do autocuidado.

Peça aos estudantes que pesquisem o que são as mandalas, escolhendo alguns exemplos, a fim de identificar os eixos de simetria, assim como as partes formadas a partir das transformações geométricas de translação, reflexão e rotação (a construção das mandalas costuma explorar muito esses elementos).

Em seguida, peça que construam suas próprias mandalas, exercitando a imaginação e a criatividade. Essa atividade também permite trabalhar a competência geral 3

A reflexão é um movimento que muda a posição da figura, mantendo o tamanho original, mas inverte sua orientação. Para que ocorra reflexão, é necessário ter um eixo que serve como referência, cujo nome é eixo de reflexão

Observe que o triângulo III foi refletido por um eixo para chegar à posição IV.

Pelo fato de preservarem as distâncias entre dois pontos, a reflexão dá origem a figuras congruentes. Observe na figura que:

A reflexão é uma transformação muito comum em nosso cotidiano. Onde é possível identificá-la? Resposta pessoal.

Rotação

• A’ é simétrico de A em relação ao eixo de reflexão;

• B’ é simétrico de B em relação ao eixo de reflexão;

• C’ é simétrico de C em relação ao eixo de reflexão.

Assim, podemos concluir que o triângulo IV é congruente ao triângulo III.

Reflexão é a transformação geométrica do plano na qual uma figura é refletida em relação a um eixo, chamado de eixo de reflexão.

Veja como fazer o triângulo V coincidir com o triângulo VI.

Para fazer o triângulo V coincidir com o triângulo VI, usamos o movimento de rotação. É como se o triângulo V girasse ao redor de um ponto, sob determinado ângulo, até ocupar a posição VI.

Os triângulos apresentados em cada caso podem ser sobrepostos ponto a ponto; portanto, também são congruentes. Veja agora os triângulos VII e VIII.

Rotação é a transformação geométrica do plano na qual uma figura é girada ao redor de um ponto ou de uma reta sob determinado ângulo.

Eles não são congruentes, pois não têm o mesmo formato nem as mesmas dimensões. Assim, não podem ser sobrepostos, de modo que coincidam ponto a ponto.

Atividades

1 Considere os polígonos a seguir.

a) Identifique os ângulos e os lados correspondentes desse polígono.

e , e , e , e , e , e AG BH CI DJ EK FL

b) Os ângulos internos correspondentes desses polígonos têm a mesma medida? Justifique sua resposta.

Sim. Resposta pessoal.

c) Os lados correspondentes desses polígonos têm a mesma medida?

Não.

d) Esses polígonos são congruentes? Explique sua resposta.

Não, pois os lados correspondentes não têm as mesmas medidas.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA18

Resolução da atividade 1

No item b, se os estudantes tiverem dificuldade para concluir que os ângulos internos correspondentes têm a mesma medida, oriente-os para que utilizem um transferidor para realizar as medições. No item c, os lados correspondentes não possuem a mesma medida, mas são proporcionais (na razão de 1 para 2).

2 Considere

Desenhe as figuras acima em uma folha de papel quadriculado imaginando que elas efetuaram uma rotação de 90º graus no sentido horário.

Respostas no Manual do Professor.

3 Quais figuras abaixo são congruentes?

Explique como você pensou para responder.

Figuras A e D.

4 A figura ao lado representa o fractal chamado árvore de Pitágoras, que recebe esse nome porque cada trio de quadrados que se forma determina um triangulo retângulo.

a) Desenhe no caderno uma parte da árvore de Pitágoras.

Resposta pessoal.

b) Os quadrados que você desenhou são congruentes? Troque ideias com um colega, explique seu raciocínio e observe o raciocínio que ele utilizou.

Não. Resposta pessoal.

No item d, as duas figuras não são congruentes, uma vez que as medidas dos lados correspondentes não são iguais. Todavia, as figuras são semelhantes (possuem, além dos ângulos correspondentes com medidas iguais, lados correspondentes proporcionais).

Resolução da atividade 2

Resolução da atividade 3

As figuras A e D são congruentes. Reforce as condições para que duas figuras sejam congruentes. No caso, os retângulos A e D estão em posições diferentes, mas poderiam ser sobrepostos.

Resolução da atividade 4

Os quadrados formados na árvore de Pitágoras não possuem lados correspondentes com a mesma medida; portanto, não são congruentes. Todavia, são semelhantes (todos os quadrados são semelhantes entre si). No item a, acompanhe a desenvoltura dos estudantes na reprodução do desenho, estimulando-os a persistir, caso sintam dificuldade.

Respostas pessoais.

as figuras a seguir.

Codegoni Daniele/Shutterstock.com

Reinaldo Vignati

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA14

Ao trabalhar os casos de congruência entre triângulos, explique que cada um desses casos apresenta condições suficientes para garantir que dois triângulos são congruentes (sem precisar verificar todos os ângulos e lados). Apresente exemplos (inclusive numéricos) para cada um dos casos à medida que são trabalhados.

Explore algumas situações em que não há condições suficientes para garantir que os triângulos são congruentes. Por exemplo, ainda que possuam um ângulo comum e dois lados com as mesmas medidas, os triângulos ABC e DEF não se enquadram em nenhum dos casos de congruência.

Congruência de triângulos

Para afirmar que dois triângulos são congruentes, não precisamos verificar a congruência de todos os lados e ângulos. Podemos verificar a congruência observando uma sequência de alguns elementos específicos, que são chamados de casos de congruência

1? caso: LLL (lado – lado – lado)

Se dois triângulos têm os três lados congruentes, então esses triângulos são congruentes.

Atividades complementares

A fim de sintetizar graficamente os casos de congruência de triângulos e suas respectivas condições, apresente o mapa conceitual que está no rodapé da página e peça aos estudantes que preencham corretamente os quadros com os números de 1 a 5.

Respostas:

1. Três lados correspondentes congruentes.

2. Dois lados correspondentes congruentes e os ângulos formados por esses lados congruentes.

3. Um lado correspondente congruente e dois ângulos adjacentes a esses lados congruentes.

4. Um lado correspondente, um ângulo adjacente a esse lado e o ângulo oposto a esse mesmo lado congruentes.

5. Um cateto e a hipotenusa respectivamente congruentes.

2? caso: LAL (lado – ângulo – lado)

Se dois triângulos têm dois lados correspondentes congruentes e o ângulo formado por esses lados também é congruente, então esses triângulos são congruentes.

Observação: Para indicar a medida de um ângulo x podemos utilizar a notação med( ˆ

3? caso: ALA (ângulo – lado – ângulo)

Se dois triângulos têm um lado correspondente congruente e os dois ângulos adjacentes a esse lado igualmente congruentes, então esses triângulos são congruentes.

4? caso: LAA o (lado – ângulo – ângulo oposto)

Se dois triângulos têm um lado correspondente congruente, um ângulo adjacente a esse lado e outro ângulo oposto a esse mesmo lado igualmente congruentes, então esses triângulos são congruentes.

Dois triângulos

podem ser

congruentes

quando se enquadram no caso de congruência

quando possuem quando possuem quando possuem quando possuem

quando possuem

Ilustrações: Reinaldo Vignati

5? caso: (cateto – hipotenusa)

Se dois triângulos retângulos têm um cateto e a hipotenusa congruentes, então eles são congruentes.

DAE

Se  (cateto)  (hipotenusa) AB DE AC DF h h

então !ABC h!DEF

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA14

Conhecer os casos de congruência auxilia na interpretação das figuras geométricas e na resolução de exercícios, afinal, é possível suprimir algumas etapas.

Por exemplo, ao observar os triângulos a seguir, podemos afirmar que !ABC h!DEF sabendo que BC EF h ?

No primeiro exemplo dado, ao calcular a Cmed( ), passamos a ter condições suficientes, por meio do caso ALA, de garantir que os triângulos são congruentes. Em várias situações-problema é necessário esse tipo de manipulação antes de associar o par de triângulos a um dos casos de congruência. Recorde com os estudantes o fato de que a soma dos ângulos internos em um triângulo é sempre igual a 180‘

No segundo exemplo, deve-se primeiramente traçar o segmento AC e, depois, decompor o quadrilátero em dois triângulos.

Considerando med( ˆ C) = c, no !ABC, temos:

52‘+ 27‘+ c = 180‘

79‘+ c = 180‘

c = 180‘ - 79‘, então, c = 101‘

Logo, ˆ C mede 101‘

Temos, então:

Se

A notação med(Â) significa a medida do ângulo A. Já a notação med( AB) significa a medida do segmento AB

ˆˆ (ambos medem 27°)  (dado no enunciado) ˆˆ  (ambos medem 101° )

h h h

, então DABC hDDEF

Pelo caso ALA de congruência de triângulos, concluímos que DABC hDDEF Vamos analisar o exemplo a seguir.

• No quadrilátero ABCD, AC é bissetriz de  e ˆ C . As medidas dos lados estão em centímetros. Calcule o valor de x

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA14

Relembre que a bissetriz divide um ângulo em duas partes com a mesma medida, o que justifica os ângulos internos correspondentes.

Resolução da atividade 1

Para resolver essa atividade, os estudantes precisam ser capazes de identificar os ângulos internos e os lados correspondentes, o que é imprescindível para resolver corretamente problemas que envolvem a congruência entre triângulos. Se necessário, peça a eles que usem régua e transferidor.

Resolução da atividade 2

Para cada par de triângulos é necessário identificar não somente se há coerência como em qual caso de congruência se enquadra.

a) Os dois triângulos tem dois lados correspondentes congruentes medindo 4 cm e 3,7 cm e os ângulos de 25‘ formados por esses lados também são congruentes, então esses triângulos são congruentes pelo caso LAL.

b) Os dois triângulos possuem lados correspondentes congruentes, medindo 4 cm, e dois ângulos adjacentes congruentes, a esse mesmo lado, medindo 45‘ e 35‘ Portanto, esses triângulos são congruentes pelo caso ALA.

c) Os dois triângulos tem lados correspondentes congruentes, AB e DF. Os ângulos B e F também são congruentes. Além disso, os ângulos C e E são congruentes entre si e opostos aos lados AB e DF. Por isso, esses triângulos são congruentes pelo caso LAAo

d) Os dois triângulos possuem três lados congruentes e, por isso, podemos afirmar que esses triângulos são congruentes pelo caso LLL.

Se AC é a bissetriz de  e de ˆ C, temos:

Como os triângulos ADC e ABC têm um lado em comum ( AC) e dois ângulos adjacentes correspondentes, eles são congruentes. Logo:

3x – 5 = 19 6 3x = 24 6 x = 8 Portanto, x = 8 cm.

Atividades

1 A imagem mostra dois triângulos congruentes.

figuras, temos:

Escreva as seis congruências correspondentes a esses triângulos.

2 Em cada item, verifique se os triângulos ABC e DEF são congruentes. Se a resposta for afirmativa, indique o caso de congruência.

3 Podemos afirmar que os triângulos ABC e DEC são congruentes?

Justifique. Sim, o ângulo C é igual nos dois triângulos. Caso LAA0

4 Na figura abaixo, a reta r é um eixo de simetria. Determine o valor de x e de y em graus. x = 41‘ e y = 32‘

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA14

Resolução da atividade 3

Pode-se concluir que o ângulo C possui a mesma medida em ambos os triângulos (ângulos opostos pelo vértice). Assim, os dois triângulos têm um lado correspondente congruente EC e CB, um ângulo adjacente a esse lado, outro ângulo oposto a esse mesmo lado e outro ângulo oposto a esse mesmo lado igualmente congruentes, então esses triângulos são congruentes. Resolução da atividade 4

Dado que os triângulos ABC e ADC são congruentes (pelo fato de a reta r ser um eixo de simetria), o ângulo C ˆ tem a mesma medida em ambos triângulos e BD h Portanto, x = 41‘ e y = 32‘

5 Os triângulos ABC e CDE representados na figura a seguir são congruentes. As medidas indicadas estão em centímetros.

O fato de que a reta r é um eixo de simetria já garante que os dois triângulos são congruentes. Não é necessário analisar os casos de congruência. Resolução da atividade 5

Do fato de que os triângulos são congruentes, identificando os lados correspondentes, podemos concluir que ACEC h e ABED h Com isso, obtemos, respectivamente, as seguintes equações:

• 2y - 6 = 22

2y = 22 + 6 6 y = 14

• 3x + 5 = 35 6

Calcule os valores de x e de y 6 Considere as afirmações a seguir.

x = 10 e y = 14.

I. Em um triângulo, todo ângulo externo é maior do que qualquer ângulo interno.

II. Todo triângulo tem, pelo menos, dois ângulos agudos.

III. Dois triângulos são congruentes se os seus ângulos internos correspondentes são congruentes.

Qual dessas afirmações é verdadeira?

Afirmativa II.

3x = 30 6 x = 10 Resolução da atividade 6 Nessa atividade, alguns conceitos e propriedades precisarão ser retomados.

I. Essa afirmação é falsa. Veja o contraexemplo na ilustração.

30º 150º

II. Verdadeira. Dado que a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180º, pode-se obter um triângulo com 3 ângulos agudos, ou um triângulo com 1 ângulo reto e 2 ângulos agudos, ou ainda um triângulo com 1 ângulo obtuso e 2 ângulos agudos.

III. Essa afirmação é falsa. Se os lados correspondentes também não forem congruentes, os triângulos não serão congruentes (apenas semelhantes).

Reinaldo Vignati

Orientações

As atividades e o conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA08 e EF08MA14

Resolução da atividade 7

a) Das figuras, temos: ACPN h , BCMN h e ABMP h

Logo, 2x + 3 = 2y + 9

x - y = 3

3y + 9 = 3x 6 x - y = 3

6y + 1 = 4x - 3 6 2x - 3y = 2

7 Os triângulos das figuras I e II representados a seguir são congruentes.

6 + 1 y A

N P 3 + 9 y

x Ilustrações: DAE

4 - 3 x 2 + 9 y

Determine:

a) os valores de x e y;

b) a medida dos lados desses triângulos.

         

xy 3 2x3y 2 2x2y 6 2x3y 2

-=

Resolvendo o sistema: -

Daí vem:

x - 4 = 3 6 x = 7

b) 2x + 3 = 2y + 9

2 7 + 3 = 2 4 + 9 = 17

3y + 9 = 3x

3 . 4 + 9 = 3 . 7 = 21

6y + 1 = 4x - 3

6 . 4 +1 = 4 . 7 - 3 = 25

Revise com os estudantes a definição e as características de um triângulo isósceles

A partir daqui, várias propriedades serão enunciadas e demonstradas por meio de uma estrutura lógica. Explique aos estudantes o que significa hipótese e tese e como se dá a estrutura básica das demonstrações que serão apresentadas. Essa etapa inclui o desenvolvimento de uma outra nuance do pensamento matemático e deve ser acompanhada com cuidado.

Triângulos isósceles e triângulos equiláteros Triângulos isósceles

Um triângulo é classificado como isósceles quando dois de seus lados são congruentes. Os lados e os ângulos de um triângulo isósceles recebem nomes específicos. Veja a seguir.

• AB e AC são os lados congruentes.

• BC é a base.

• Â é o ângulo do vértice (oposto à base).

• ˆ B e ˆ C são os ângulos da base.

Propriedades dos triângulos isósceles

Em qualquer triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. Observe como podemos demonstrar essa propriedade.

Consideremos o triângulo isósceles ABC, AD bissetriz de  e med( Â) = x + y.

ABCABAC BC 2 + 3 x B

hipótese:   é isósceles

Orientações

Os triângulos ABD e ACD, determinados pela bissetriz AD são congruentes pelo caso LAL, pois:

ABAC xy AD ADADAD

(por hipótese, pois ABC é isósceles) ébissetriz éladocomum

Portanto, h ˆˆ BC

Qual é a medida dos ângulos da base de um triângulo retângulo isósceles? 45°

A recíproca dessa propriedade é verdadeira, ou seja, se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então ele é isósceles.

Veja a demonstração a seguir.

Consideremos o triângulo ABC, AD bissetriz relativa ao lado BC e med(Â) = x + y.

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA14

Mostre a recíproca de uma propriedade e que nem sempre ela será verdadeira.

Resolução do primeiro Pense e responda

Seja x a medida dos ângulos da base do triângulo, temos que x + x + 90‘ = 180‘6 x = 45‘ Recorde as definições de altura, mediatriz e bissetriz de um triângulo antes de apresentar a segunda propriedade dos triângulos isósceles. A figura a seguir pode servir de suporte para a revisão.

alturamediatriz bissetriz

Os triângulos ABD e ACD, determinados pela bissetriz AD, são congruentes pelo caso LAAO, pois:

Resolução do segundo Pense e responda

Errado. A altura relativa à hipotenusa será perpendicular a ela, o que não é o caso dos catetos.

Portanto, ABAC ≡ . Logo, o triângulo ABC é isósceles.

Outra propriedade dos triângulos isósceles é explicada a seguir.

Se em um triângulo isósceles ABC traçarmos a altura AH teremos que, em relação à base, ela também é a mediana e a bissetriz

Essa propriedade, cujo enunciado está a seguir, também pode ser provada por congruência de triângulos.

Em qualquer triângulo isósceles, a mediana, a altura e a bissetriz do ângulo do vértice formado pelos lados congruentes coincidem.

Em contrapartida, se a base for um dos catetos, então a altura relativa a ele será o outro cateto.

Em um triângulo retângulo isósceles, se a base é a hipotenusa, então a altura relativa a ela é a medida dos catetos. Certo ou errado? Justifique.

Errado. Resposta pessoal.

Reinaldo Vignati

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF08MA08 e EF08MA14

O exemplo apresentado com uma situação-problema envolvendo um triângulo isósceles é concluído com a resolução de um sistema linear. Incentive os estudantes a revisar como resolver esse sistema; caso não se recordem, acompanhe-os de perto nesse processo, favorecendo a autonomia deles, atitude fundamental no processo de aprendizagem.

Revise a definição e as características de um triângulo equilátero. Explore o fato de que todo triângulo equilátero é isósceles, mas que a recíproca não é verdadeira.

Resolução do Pense e responda

Como os três ângulos internos do triângulo equilátero são congruentes, uma estratégia é dividir 180‘ por 3, resultando em 60‘

As propriedades dos triângulos isósceles e dos triângulos equiláteros, assim como a congruência de triângulos, são tópicos fundamentais para garantir as propriedades dos quadriláteros e de outros polígonos.

Acompanhe o exemplo a seguir.

Considere o triângulo isósceles de base BC representado na figura.

Sabendo que as bissetrizes de ˆ B e de ˆ C formam um ângulo D cuja medida é o triplo da medida de Â, calcule as medidas dos ângulos internos desse triângulo.

Seja med(Â) = x, med(B ˆ ) = 2y e med(C ˆ ) = 2y

Do !ABC, vem: x + 2y + 2y = 180‘, então, x + 4y = 180‘

Do !DBC vem: 3x + y + y = 180‘, então, 3x + 2y = 180‘

Resolvendo o sistema, temos:

Logo, 2y = 72‘

4 180 32 180 += += xy xy

Portanto, os ângulos internos da base medem 72° e o ângulo oposto à base mede 36°.

Triângulos equiláteros

Um triângulo equilátero tem os três lados e os três ângulos congruentes. Reciprocamente, se um triângulo tem os três ângulos congruentes, ele é equilátero.

1. Quanto mede cada ângulo de um triângulo equilátero?

2. Explique a estratégia que você utilizou para chegar à resposta

1. Cada ângulo mede 60‘ 2. Resposta pessoal.

Assim:

O triângulo ABC é equilátero e BD CD h . Qual é o valor de x em graus?

Como o triângulo ABC é equilátero, seus ângulos internos medem 60‘. Como h BD CD , o triângulo BCD é isósceles.

Atividades

1 Em um triângulo isósceles XYZ, X ˆ mede 68‘ e Z ˆ mede 44‘. Quais são os lados congruentes desse triângulo?

Como med( ˆ B) = 60‘, vem:

21‘+ y = 60‘, logo, y = 39‘

Do triângulo BCD, temos:

x + 2y = 180‘, substituindo y por 39‘, tem-se:

x + 2 39‘ = 180‘

x = 180‘ - 78‘ = 102‘

Portanto, o valor de x é 102‘

Resolução da atividade 3

Das condições dadas, temos a seguinte configuração: x

Pela figura, temos que, x + x + a =

= y + y + a = x + y + 80‘ =

= 180‘, de onde concluímos que x = y = 50‘. Logo, de x + x + a =

= 180‘, temos 50‘+ 50‘+ a =

= 180‘6 a = 80‘

med ( B ) = 180‘ - 2 . 80‘ =

= 20‘ = 20‘

Resolução da atividade 4

2 A medida do ângulo do vértice de um triângulo isósceles tem 15‘ a mais que a medida de cada ângulo da base. Quais são as medidas dos ângulos da base?

Os lados congruentes são  e XZ YZ 55‘

3 Na figura abaixo, temos: ADAE h , CDCF h e BABC h

5 Calcule os valores de x e de y, de modo que o triângulo MNP seja isósceles com base NP igual a 14 cm. x = 6 cm e y = 2 cm.

De ACCB h , concluímos que CABCBA ˆˆ h , logo CBA ˆ = 25 ‘

6 Na figura, o triângulo ABC é equilátero. Determine o valor de x em graus. 99‘

Do teorema do ângulo externo, BCDCABCBA  ˆˆ ˆ =+= 50 ‘ De CBBD h , concluímos que BCDBDC h= 50 ‘ . Do teorema do ângulo externo, x = = BACBDC += 25‘+ 50‘ = 75‘ Resolução da atividade 5

Calcule a medida de B ˆ 20‘

4 Na figura a seguir, hh AC CB BD

Orientações

7 O triângulo PQS da figura abaixo é isósceles, com PQ QS h , e o triângulo QRS é equilátero. Determine o valor de x, em graus. x = 30‘

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA08 e EF08MA14

Resolução da atividade 1

Resolução da atividade 2

Temos que xyxyxy 1 2 4

e  32+=+-

5 2 e  32 14. +=+-=

Multiplicando a primeira equação por 2 e simplificando-a, obtemos o sistema de equações

Temos que med ( Y ˆ ) = 180‘ - 68‘ - 44‘ = 68‘ Logo, XY ˆˆ h , o que implica que os lados congruentes do triângulo são XZ e YZ , conforme figura ao lado.

Seja x a medida de cada ângulo da base do triângulo isósceles, então a medida do ângulo do vértice é x + 15‘. Logo:

x + x + (x + 15‘) = 180‘

x = 55‘

14

= -= 6 y = 2 e x = 6.

Logo, x = 6 cm e y = 2 cm. Resolução da atividade 6 med (OBA ˆ ) = 44‘. Por serem ângulos opostos pelo vértice, as medidas dos ângulos BOA ˆ e DOE ˆ são iguais.

med (BOA ˆ ) = x

6 x + 44‘+ 37‘ = 180‘6 x = = 99‘

Resolução da atividade 7 Como PQQS h , então, med( PSQ

ˆ ) = x

Seja y a medida de cada ângulo interno do triângulo SQR (equilátero).

PQS

3y = 180‘6 y = 60‘

Seja z = med( PSQ PQS ˆ ) y + z = 180‘6 z = 120‘

2x + 120‘ = 180‘

2x = 60‘6 x = 30‘

Orientações

A atividade dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA14

Resolução da atividade 8

x + 60‘+ 60‘ = 180‘6 x = 60‘

60‘+ y = 180‘6 y = 120‘

60‘+ w = 90‘6 w = 30‘

y + z + w = 180‘6 120‘+ z +

+ w = 180‘6 z + w = 60‘. (I)

Substituindo w = 30‘ em (I):

z + 30‘ = 60‘6 z = 30‘

Analisando as alternativas:

I. O triângulo ABC é equilátero, pois tem todos os ângulos congruentes. (Verdadeira).

II. O triângulo BAD é retângulo em Â, pois BÂD = 90‘. (Verdadeira).

III. O triângulo ADC é isósceles, pois tem dois ângulos congruentes, w = z = 30‘. (Verdadeira).

IV. med (z) CDA é 30‘. (Falsa).

V. med (y) ACD é 120‘. (Verdadeira).

Educação Financeira trata de um assunto bastante atual: o uso e descarte de embalagens, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 10

Evitar o uso excessivo de embalagens é uma maneira de contribuir para a menor produção de lixo e, consequentemente, gerar menos impacto ambiental.

Reutilizar embalagens e enviar todo material seco para reciclagem são hábitos que devem ser incentivados. Se julgar conveniente, inicie uma conversa sobre isso, de modo a promover atitudes e valores saudáveis para a sociedade e para o planeta.

Incentive os estudantes a analisar as consequências do descarte inadequado de lixo e materiais que poderiam ser reaproveitados. Entre essas consequências, destacam-se a sobrecarga dos aterros sanitários, a existência de lixões em algumas localidades, as enchentes por assoreamento de rios e córregos, entre muitas outras.

I. O triângulo ABC é equilátero.

II. O triângulo BAD é retângulo.

III. O triângulo ADC é isósceles.

IV. O valor de z é 60‘

V. O valor de y é 120‘

Embalagem influencia decisão de compra do brasileiro, mostra Two Sides

[...]

“As embalagens são fundamentais em todos os setores de atividades e um termômetro da economia. Por isso, buscamos avaliar a percepção do consumidor brasileiro quanto a sua relevância e finalidade, sua destinação pós-consumo e os impactos ambientais decorrentes dela”, conta Fábio Mortara, presidente de Two Sides Brasil.

Segundo a pesquisa de Two Sides Brasil, as embalagens influenciam a decisão de compra, com maior ou menor frequência, em 99% dos casos. Para 32%, essa influência é constante e, para 41,75%, é frequente. “A relevância das embalagens para a decisão de compra tem direcionado a indústria a aperfeiçoar cada vez mais os materiais e a tecnologia empregados na fabricação desses produtos”, destaca Mortara. [...]

Fonte: EMBALAGEM influencia [...]. In: TWO SIDES BRASIL. [São Paulo], c2022. Disponível em: https://twosides.org.br/BR/embalagem -influencia-decisao-de-compra-do-brasileiro-mostra-two-sides/. Acesso em: 16 maio 2022.

O papel da embalagem na decisão de compra dos consumidores

Segundo o estudo, estas são as três características das embalagens mais valorizadas: sua capacidade de proteger o produto (para 64% dos entrevistados), as informações que elas contêm (para 52%) e sua facilidade de abertura ou fechamento (para 47%). O tamanho das embalagens (de preferência, as menores), sua aparência e sua matéria-prima também são pontos de destaque considerados pelo público.

Além disso, 83% das pessoas ainda consideram a reciclagem um desafio por conta de diversos fatores, como falta de espaço de armazenamento em suas residências, falta de coleta seletiva onde moram, falta de interesse/tempo e dificuldade em separar os materiais. Nesse cenário, quem consegue reciclar com mais frequência costuma fazer isso com embalagens de vidro (63%) e papel (58%), enquanto embalagens de plástico e metal são recicladas em 56% dos casos.

Fonte: O PAPEL da embalagem [...]. In: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE EMBALAGEM. São Paulo, 10 fev. 2020. Disponível em: https://www.abre. org.br/inovacao/design-de-embalagem/o-papel-da-embalagem-na-decisao-de-compra-dos-consumidores/. Acesso em: 16 maio 2022.

Óleo acondicionado em diferentes recipientes.

1. Você já decidiu comprar algum produto levando em consideração a embalagem?

2. Na sua opinião, como deve ser a embalagem ideal?

AlenKadr/Shutterstock.com Resposta pessoal. Resposta pessoal.

Quadriláteros

Elementos de um quadrilátero

Agora, vamos rever e ampliar o conhecimento sobre as propriedades dos quadriláteros.

O pintor holandês Piet Mondrian (1872-1944) produziu diversas obras utilizando quadriláteros. Observe a obra a seguir.

Orientações

No tópico “Quadriláteros”, incentive o desenvolvimento de aspectos da competência geral 3, por exemplo, ao propor aos estudantes que analisem obras de arte como a indicada no Livro do Estudante. Se possível, peça que pesquisem mais informações sobre o artista Piet Mondrian e a obra Composiçãoemcinza, assim como sobre outras obras que utilizam quadriláteros em sua composição.

Atividades complementares

Quadriláteros são polígonos de quatro lados.

Veja outros exemplos em que podemos observar a forma de quadriláteros no nosso cotidiano.

São muitos os ambientes que apresentam elementos em formato de quadriláteros. Peça aos estudantes que, em duplas, fotografem lugares da casa, rua, bairro e cidade que utilizem quadriláteros em sua composição. Solicite, inclusive, que eles reflitam e argumentem sobre as razões pelas quais foi escolhida a forma de um quadrilátero nessas composições. Por meio das fotografias, é possível conhecer mais sobre a própria cidade em que se vive. Organize uma exposição com as fotografias, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 4, ao explorar diferentes linguagens para partilhar informações e experiências.

Sandra Lass/Shutterstock.com

Maxim Blinkov/Shutterstock.com

Quadra de tênis.

Tampo de uma mesa.

Tapete com formas geométricas. Portão de uma propriedade.

Museu de Belas-Artes, Houston

Piet Mondrian. Composição em cinza e ocre, 1918. Óleo sobre tela, 80,2 cm * 49,9 cm.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA14

Explore com os estudantes a nomenclatura dos elementos que compõem um quadrilátero qualquer. É importante trabalhar, ainda, a definição de paralelogramo e de trapézio e propor que classifiquem os paralelogramos.

Peça aos estudantes que reflitam sobre as indagações do Pense e responda e sintetizem suas principais conclusões por escrito. A partir da definição de paralelogramo e trapézio e de suas classificações, é importante os estudantes perceberem, por exemplo, que todo quadrado também é um retângulo, que todo retângulo é um paralelogramo e que todo quadrado é um losango, mas que nem todo losango é um quadrado. Explore o diagrama de conjuntos apresentado a fim de facilitar a compreensão dessas relações.

Resolução do Pense e responda

Todo quadrado é um retângulo, pois tem quatro ângulos retos; nem todo retângulo é quadrado, pois há retângulos cujos lados não são todos congruentes entre si; e todo quadrado é losango, pois seus quatro lados são congruentes. Questione os estudantes se é possível um quadrilátero possuir mais de duas diagonais. A expectativa é de que eles percebam que todo quadrilátero sempre terá exatamente duas diagonais.

Conduza-os a concluir que um quadrilátero sempre pode ser decomposto em dois triângulos. Desenhe quadriláteros diversos na lousa e peça aos estudantes que façam esse tipo de decomposição. Questione-os como, a partir disso, podemos garantir que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre 360‘

Veja como os elementos de um quadrilátero são nomeados a partir do quadrilátero ABCD

• Vértices: os pontos A, B, C e D

• Ângulos internos: ˆ ,  ˆ ,  ˆ ,  ˆ AB CD

• Lados: , , AB BC CD eDA

• Diagonais: BD e AC

As diagonais de um polígono são os segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos.

Considerando esses elementos, também podemos destacar aqueles que estão em “oposição”, sendo chamados de opostos. No exemplo acima, temos:

• vértices opostos: A e C, B e D;

• ângulos internos opostos: ˆ ˆ ,  ˆ ˆ Ae CB eD;

• lados opostos: ,  AB eCDBCe DA

A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360‘

Alguns quadriláteros podem ser classificados em paralelogramos ou trapézios. Entre os paralelogramos, alguns recebem nomes especiais, segundo a classificação de seus lados e ângulos internos.

retângulos quadrados losangos trapézios quadriláteros

1. Todo quadrado pode ser classificado como retângulo?

2. Todo retângulo pode ser classificado como um quadrado?

3. Todo quadrado pode ser classificado como um losango?

Sim. Não. Sim.

Atividades

1 As peças de um quebra-cabeça foram encaixadas e formaram um mosaico, como na figura a seguir.

a) Quantas peças desse quebra-cabeça têm o formato de quadrilátero?

e) 1 marrom, 1 amarelo e 1 vermelho, ou seja 3 triângulos. Resolução da atividade 3

As bases são retângulos e as faces laterais são trapézios.

Resolução da atividade 4

a) Não é possível. Veja o esquema a seguir:

b) Qual é a cor das peças que não têm formato de quadrilátero?

c) Quais são as cores das peças em formato de paralelogramo?

24 Amarelo. Verde e azul.

2 Observe outro quebra-cabeça e responda às perguntas.

a) Há quantas peças em formato de quadrilátero nesse quebra-cabeça?

b) Quantas peças em formato de quadrilátero têm apenas um par de lados opostos paralelos?

c) Quantas peças em formato de paralelogramo há na figura?

d) E quantas em formato de trapézios?

e) Quantas peças que não têm formato de quadriláteros fazem parte do quebra-cabeça?

3

3 As faces deste sólido geométrico são quadriláteros. Identifique cada uma delas.

b) Sim, é possível. Veja o esquema a seguir:

Ilustrações: DAE

4 É possível construir um quadrilátero cujos lados possuem as medidas indicadas em cada item? Faça os desenhos no caderno.

As bases são retângulos e as faces laterais são trapézios. Desenho pessoal.

a) 10 cm, 3 cm, 1 cm e 4 cm b) 7 cm, 9 cm, 5 cm e 6 cm

Não. Sim.

5 Observe as peças que formam uma figura.

Qual das imagens a seguir corresponde à figura formada pela junção dessas peças? Registre no caderno.

a) b) c) d) Alternativa d

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA14

A seção Atividades tem como objetivo identificar quadriláteros a partir de suas características, seja em figuras planas ou espaciais, assim como verificar a possibilidade, ou não, de construir um quadrilátero utilizando quatro segmentos com medidas predeterminadas.

Resolução da atividade 1

a) Há 8 quadrados vermelhos, 8 paralelogramos azuis e 8 paralelogramos verdes, ou seja, 24 quadriláteros.

b) As figuras amarelas são triângulos.

c) Verde, azul e vermelha. Resolução da atividade 2

a) Há 3 amarelas, 2 lilás, 3 rosas, 2 verdes, 1 vermelha, 3 azuis e 1 marrom, ou seja, há 15 quadriláteros.

b) 1 lilás, 2 rosas, 2 amarelas, 1 vermelha, 2 verdes,1 marrom e 1 azul, ou seja, 10 quadriláteros tem um par de lados opostos paralelos.

c) 1 lilás, 1 amarelo, 1 rosa e 2 azuis, ou seja, 5 paralelogramos.

d) 1 lilás, 2 amarelos, 1 vermelho, 2 verdes, 1 azul, 1 marrom e 2 rosas, ou seja, 10 trapézios.

Estimule os estudantes a utilizar um compasso nas tentativas de construir os quadriláteros. Relembre-os de que o compasso permite marcar todos os pontos equidistantes a um ponto fixo, o que é muito útil nessa situação.

A atividade 5 deve ser resolvida por observação. No entanto, caso alguns estudantes tenham dificuldade, oriente-os para que copiem e recortem as peças para fazer o exercício de remontá-las até encontrar a resposta.

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA14

No tópico “Propriedade do paralelogramo”, explore a demonstração da primeira e da segunda propriedade e possibilite aos estudantes discutirem a validade delas apresentando, ou comentando, as propriedades utilizadas.

Certifique-se de que eles possuem familiaridade suficiente com expressões, como “ângulos alternos internos”, presentes nas demonstrações. Se necessário, faça uma revisão sobre ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal. Os estudantes podem apresentar dificuldades em compreender a estrutura das demonstrações. Explique-lhes que, no momento, o objetivo não é resolver uma situação-problema mas garantir que determinada propriedade sempre será verdadeira, o que será útil, depois, para resolver outras situações-problema.

Propriedades do paralelogramo

1; propriedade: Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

Demonstração

Hipótese: ABCD é paralelogramo, ou seja, AB // DC e AD // BC

Tese:  e AB DC AD BC hh

Vamos traçar a diagonal AC do paralelogramo.

O triângulo ABC é congruente ao triângulo ACD pelo caso ALA.

Seja med(Â) = a1 + a2 e med(B ˆ ) = c1 + c2. Como a figura é um paralelogramo, podemos considerar que o segmento AB é paralelo ao segmento DC

ac AC ac

12

= =

21

(ângulosalternos internos)(A) (ladocomum)(L) (ângulosalternos internos)(A)

Portanto, os triângulos ABC e CDA são congruentes e, por isso, temos que  e AB DC AD BC hh

2; propriedade: Em todo paralelogramo, as diagonais se cruzam no ponto médio.

Demonstração

Hipótese: ABCD é paralelogramo.

Tese: M é o ponto médio de AC e BD

Os triângulos ABM e CDM, determinados pelas diagonais AC e BD, são congruentes pelo caso ALA, pois:

11 ac = (medida dos ângulos alternos internos) (A)

AB DC h (lados opostos de um paralelogramo) (L)

11 bd = (medida dos ângulos alternos internos) (A)

Portanto:

• AM MC h , então M é o ponto médio de AC ;

• BM MD h , então M é o ponto médio BD

3; propriedade: Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.

Demonstração

Hipótese: ABCD é um paralelogramo.

Tese: Â h ˆ C e ˆ D h ˆ B

Vimos que, ao traçar DB, os triângulos ADB e CBD são congruentes e, por isso, os ângulos internos também são. Logo: Â h ˆ C

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA14

É indicado propor aos estudantes que determinem a validade da terceira e da quarta propriedade dos paralelogramos antes de explorar as demonstrações indicadas no Livro do Estudante. Eles podem realizar a atividade em duplas ou trios, de modo que possam trabalhar de forma cooperativa e ajudar uns aos outros frente a essas novas dificuldades, o que reforça o valor da cooperação e a atitude de empatia e cuidado com o outro, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 9

Quando os estudantes são provocados a expor argumentos que justifiquem uma demonstração matemática, eles estão desenvolvendo a competência específica 2 e a competência geral 2

Analogamente, ao traçar a diagonal AC também teremos dois triângulos congruentes: DAC e BAC. Como seus ângulos também são congruentes, temos que: ˆ D h ˆ B

4; propriedade: Os ângulos adjacentes de um paralelogramo são suplementares.

Demonstração

Hipótese: ABCD é um paralelogramo.

Tese: med(Â) + med( ˆ D ) = med( ˆ D ) + med( ˆ C ) = med( ˆ C ) + med( ˆ B ) = med( ˆ B ) + med(Â) = 180‘

Já vimos que os lados opostos são paralelos entre si e os ângulos opostos do paralelogramo são congruentes (3; propriedade).

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA14

Após a conclusão das demonstrações das propriedades dos paralelogramos, utilize o Pense e responda como elemento de avaliação processual dos estudantes. Peça-lhes que realizem a demonstração solicitada e acompanhe de perto as dificuldades que eles venham a apresentar no processo. Ao explorar a demonstração na lousa, assim como ao explorar outras demonstrações nos tópicos seguintes, foque em cada uma dessas dificuldades.

Resolução do Pense e responda

Seja o paralelogramo ABCD. Traçando r e s, bissetrizes de  e B ˆ , respectivamente, temos:

Vamos associar essas informações aos triângulos congruentes obtidos pela diagonal DB

Seja med(Â) = a; med( ˆ B) = b1 + b2; med( ˆ C ) = c e med( ˆ D) = d1 + d2

Ao analisar a figura, podemos perceber que b1 e d2 são ângulos alternos internos, assim como b2 e d1, porque os lados AD e BC são paralelos e a diagonal DB está sobre uma transversal.

Portanto, b1 = d2 e, por sua vez, b2 = d1 Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180‘. Assim, ao analisar os triângulos ABD e CBD, temos o que é descrito a seguir.

Triângulo ABD

a + b1 + d1 = 180‘

a + d2 + d1 = 180‘

med(Â) + med( ˆ D) = 180°

Como ˆ D h ˆ B, pela 3; propriedade temos que: med(Â) + med( ˆ B) = 180‘

Triângulo CBD

c + d2 + b2 = 180‘

c + b1 + b2 = 180‘

med( ˆ C ) + med( ˆ B ) = 180‘

Como ˆ B h ˆ ,D pela 3; propriedade temos que: med( ˆ C) + med( ˆ D) = 180‘

Seja

Como os ângulos adjacentes de um paralelogramo são suplementares (4a propriedade), temos: med( A) + med( B ) = 180‘

xxyy 22 22 +++= 180‘ 2 +=‘

xy 22 180

xy 22 90° += (I)

As bissetrizes r e s intersectam-se no ponto F. Assim, os ângulos internos do triângulo ABF medem xy 2 ,  2 e z, logo: xyz 22 180° ++= (II)

Substituindo (I) em (II) temos:

90‘+ z = 180‘6 z = 90‘

Portanto, as bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo intersectam-se formando um ângulo reto.

Ao tratar do tópico “Losangos”, discuta com os estudantes a propriedade particular desses quadriláteros e pergunte se essa propriedade é válida para quadrados ou para retângulos, estimulando-os a justificar a resposta. Espera-se que expliquem, por exemplo, que todo quadrado é um losango e, portanto, qualquer propriedade válida para losangos é verificada em quadrados.

Como med(Â) + med( ˆ D ) = med( ˆ D ) + med( ˆ C ) = med( ˆ C ) + med( ˆ B ) = med( ˆ B ) + med(Â) = 180‘ , podemos concluir que, em um paralelogramo, os ângulos adjacentes são suplementares.

Demonstre que as bissetrizes de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo intersectam-se formando um ângulo reto. Resposta no Manual do Professor.

Propriedades dos paralelogramos especiais Losango

O losango tem os quatro lados congruentes.

AC hhh AB BC CDDA

Reinaldo

Vignati

Como o losango é um paralelogramo, todas as propriedades do paralelogramo são válidas para ele. Veja a seguir algumas propriedades específicas dos losangos.

• Em todo losango, as diagonais são perpendiculares.

Demonstração

Hipótese: ABCD é losango.

Tese: ⊥ BD AC

Os triângulos ABM e ADM, determinados pelas diagonais AC e BD , são congruentes pelo caso LLL, pois:

lados de um losango () é ponto médio de ( )

Considerando no triângulo ABD, med(M ˆ ) = x + y

Temos que: x = y

Como ˆ AMB e ˆ AMD são congruentes e suplementares, temos: x = y = 90‘

Então, ⊥ BD AC

A afirmação é falsa. No losango, por exemplo, os ângulos internos não são todos iguais.

Se todos os lados de um quadrilátero são iguais, então todos os seus ângulos internos são iguais. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique.

• Em todo losango, as diagonais estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA14

É importante explorar as demonstrações das propriedades, a fim de que os estudantes atribuam significado ao conhecimento. Você pode fazer a leitura comentada das demonstrações em questão e, se possível, verificá-las com o apoio de ferramentas como softwares de Geometria dinâmica ou de instrumentos de desenho geométrico. Dessa forma, é favorecido o desenvolvimento da competência geral 5

Reforce o significado da hipótese e da tese nas demonstrações, assim como as notações utilizadas para ângulos e segmentos de reta.

Em Pense e responda, explique que o losango é um contraexemplo para essa afirmação, uma vez que nos losangos os ângulos internos não são, necessariamente, congruentes. Explique aos estudantes que, quando uma afirmação é falsa, basta um único contraexemplo para provar isso. Mas quando ela é verdadeira, não há uma quantidade finita de exemplos que possa provar sua veracidade; é necessário

realizar uma demonstração lógica, como as que estão sendo realizadas neste capítulo.

Atividade complementar

A pipa (ou papagaio) é um brinquedo popular. Utiliza, basicamente, papel, linha e varetas na sua construção. Muitas pipas são construídas a partir de duas varetas que são unidas perpendicularmente nos seus pontos médios. Colando uma folha de papel, monta-se o corpo da pipa, que assume a forma de um losango.

Utilize este exemplo para discutir sobre algumas propriedades dos losangos enunciadas e demonstradas, como de que suas diagonais são perpendiculares e se cruzam em seus pontos médios.

Faça também os questionamentos a seguir, entre outros que você achar convenientes.

1. Se as varetas utilizadas tiverem o mesmo comprimento, o corpo da pipa, além de ter a forma de um losango, também terá a forma de um quadrado?

Sim, pois nesse caso todos os ângulos internos serão retos.

2. Se as varetas não forem unidas pelos seus pontos médios, o corpo da pipa ainda terá a forma de um losango? Não, pois em todo losango as diagonais se cruzam nos pontos médios.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA14

Após os estudantes discutirem e comentarem a propriedade dos retângulos, estimule-os a argumentar se, em um quadrado, as diagonais são congruentes. Proponha uma roda de conversa para que compartilhem as dúvidas e ajude-os a validar as hipóteses.

Reforce que o retângulo é um caso especial de paralelogramo, então todas as propriedades válidas para os paralelogramos também se aplicam aos retângulos.

Demonstração

Hipótese: ABCD é losango.

Tese:

A diagonal está contida na bissetriz de  ˆ  e de ˆ A diagonal está contida na bissetriz de  ˆ  e de ˆ

BD BD AC AC

Seja med (Â) = a1 + a2; med(B ˆ ) = b1 + b2; med(C ˆ ) = c1 + c2 e med(D ˆ ) = d1 + d2

Os triângulos ABM, BCM, CDM e DAM são congruentes pelo caso LLL.

Portanto:

• 12 12 ===6aa cc AC está contido na bissetriz de ˆ  e de ˆ AC;

• 12 12 ===6bb dd BD está contido na bissetriz de ˆ  e de ˆ BD

Retângulo

Como o retângulo é um paralelogramo, todas as propriedades dos paralelogramos são válidas para ele.

• As diagonais de um retângulo são congruentes.

Demonstração

Hipótese: ABCD é um retângulo.

Tese: AC BD h

Os triângulos DAB e CBA, determinados pelas diagonais  e AC BD, são congruentes pelo caso LAL, pois:

Portanto: AC BD h

AD BC AB AB

(lados de um losango)(L)

ˆˆ (ângulos retos)             (A) (lado comum)              (L)

Quadrado

Como todo quadrado é um paralelogramo, todas as propriedades do paralelogramo são válidas para o quadrado.

Como um quadrado também é um retângulo e um losango, ele admite todas as propriedades já mencionadas para esses outros paralelogramos especiais.

Assim, em um quadrado, as diagonais:

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA14

O tópico “Quadrado” pode ser utilizado para retomar as propriedades dos paralelogramos em geral e dos paralelogramos já estudados (retângulo e losango), por exemplo, verificando aquelas que são válidas para os quadrados.

• são perpendiculares;

• estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos;

• são congruentes.

Acompanhe os exemplos a seguir.

No quadrilátero da figura a seguir,  e CE DE são as bissetrizes de ˆ C e de ˆ D , respectivamente. Qual é o valor de x em graus?

Para o exemplo apresentado, organize os estudantes em duplas ou trios e proponha que leiam a situação proposta discutindo a resolução indicada no Livro do Estudante e verificando as propriedades utilizadas em cada etapa. São necessárias algumas manipulações algébricas na resolução desse tipo de exercício. Acompanhe os estudantes nesse sentido também, verificando se estão realizando as manipulações adequadamente. Explique-lhes, por exemplo, que, embora seja possível determinar o valor de x, não é possível determinar as medidas de C ˆ e D ˆ

Sendo c = med(C ˆ ) e d = med D( ˆ ) no quadrilátero ABCD, temos:

c + d + 100‘+ 120‘ = 360‘

c + d = 360° - 220°

c + d = 140‘ (I)

No triângulo DCE, temos:

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA14

Peça aos estudantes que, ainda em duplas ou trios, estudem a resolução do exemplo resolvido, apontando em cada etapa qual propriedade foi aplicada.

Desafie-os a pensar em uma maneira diferente de resolver esse mesmo problema e, em seguida, socializar o raciocínio e as propriedades utilizadas.

Resolução da atividade 1

Reinaldo Vignati

y x x x

x + x + x = 180‘

x = 60‘

x + y = 180‘

60‘+ y = 180‘6 y = 120‘

Resolução da atividade 2

Por essa afirmação, pode-se concluir que é um losango. Para ser considerado um quadrado é necessário que os quatro ângulos sejam iguais a 90‘

D AC d b B a c 51º 0

DAE

Vamos indicar por a, b, c e d as medidas dos ângulos internos correspondentes aos vértices A, B, C e D, respectivamente. Lembrando que as diagonais AC e BD estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.

a = 2 51‘6 a = 102‘

Logo, o ângulo  mede 102‘

Do triângulo retângulo AOB, temos:

b 2 + 51‘+ 90‘ = 180‘6 b 2 = 39‘6 b = 78‘

Assim, o ângulo B ˆ mede 78‘

Atividades

1 O mosaico a seguir parece ter relevo, mas é uma figura formada por losangos congruentes que sugerem ao nosso cérebro outras interpretações.

Marcel Borges

a) Você consegue ver os cubos? E a estrela?

b) Quantos losangos formam o mosaico?

Resposta pessoal.

c) Quais são as medidas, em graus, dos ângulos internos de cada um desses losangos?

120‘ e 60‘

3 Quais das afirmações a seguir são verdadeiras? Registre no caderno.

a) Em um paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.

b) No retângulo, as diagonais têm a mesma medida.

c) As diagonais de um losango estão contidas nas bissetrizes de seus ângulos internos.

d) As diagonais de qualquer losango são perpendiculares.

e) As diagonais de qualquer paralelogramo são congruentes.

4 No quadrilátero da figura, BE é a bissetriz de ABC ˆ . Determine os valores de x e y em graus.

ˆ = 65‘ e y ˆ = 137‘

Ilustrações: DAE

5 Na figura, os ângulos ˆ ,  ˆ ,  ˆ  e ˆ AB CD medem, respectivamente, x 2 , 2x, x3 2 e x. O ângulo ˆ E é reto. Qual é a medida de ˆ F ? =‘ med( ˆ )18. F

Resolução da atividade 5 +++=‘ x x x x 2 2 3 2 360

Multiplicando a equação por 2: x + 4x + 3x + 2x = 720‘

10x = 720‘6 x = 72‘

Logo, a medida do ângulo D é 72‘ em ambos os triângulos. No triângulo DEF, temos:

med(D ˆ ) = 72‘, med( E ˆ ) = 90‘

Seja med( F ˆ ) = y 72‘+ 90‘+ y = 180‘6 y = 18‘

Resolução da atividade 6 A figura a seguir representa a generalização da situação.

6 Dado um retângulo qualquer, se tomarmos os pontos médios de cada um de seus lados como vértices e os ligarmos, qual polígono obteremos?

7 Considere o paralelogramo ABCD a seguir. Losango.

Sabendo que as medidas dos lados estão em centímetros, calcule o perímetro desse paralelogramo. 26 cm

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA06 e EF08MA14

Resolução da atividade 3

a) (Verdadeira). As diagonais de um paralelogramo intersectam-se no ponto médio.

b) (Verdadeira). No retângulo, as diagonais são congruentes.

c) (Verdadeira). Em todo losango as diagonais estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos.

d) (Verdadeira). Em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si.

e) (Falsa). Como o losango é um paralelogramo, suas diagonais não são congruentes. Resolução

Pode-se afirmar que os quatro triângulos formados são triângulos retângulos e congruentes. Assim, considerando o quadrilátero delimitado pelas hipotenusas desses triângulos, conclui-se que ele é um losango, pois seus quatro lados têm a mesma medida. Resolução da atividade 7 Como a figura é um paralelogramo, os lados opostos são congruentes, logo:

x + 5 = 3x - 1 6 x = 3 4 3 cm.

7y - 2 = 4y + 1 6 y = 1 4 1 cm. O perímetro do paralelogramo é: x + 5 + 4y +1 + 3x - 1 +7y + - 2 = 4x + 11y + 3.

Substituindo x = 3 e y = 1, temos: 4 . 3 + 11 . 1 + 3 = 12 + 11 + + 3 = 26 4 p = 26 cm.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA14

Resolução da atividade 8

Na figura, temos med( A) = med(C ) (ângulos opostos de um paralelogramo). Logo:

3x = x 2 + 40‘6 x = 16‘

Assim, a = 48‘ e c = 48‘

a + d = 180‘ (ângulos consecutivos de um paralelogramo) 6

6 d = 132‘

b = d

b = 132‘

Então, a = 48‘ , b = 132‘ , c = 48‘

e d = 132‘

Resolução da atividade 9

Como as diagonais de um losango

são perpendiculares, então:

2x + 16 = 90 6 x = 37.

med( A ˆ ) = 2(37 - 10‘) = 54‘

med( A ˆ ) + med( B ˆ ) = 180‘ (ângulos consecutivos de um paralelo-

gramo) 6 med(B ˆ ) = 126‘

med( A) = med( C ) = 54‘ (ângulos opostos de um paralelogramo).

med(B ) = med(D ) = 126‘ (ângulos opostos de um paralelogramo).

Resolução da atividade 10

Seja o paralelogramo cujo perímetro é 75 cm e a medida de um lado é igual a um quarto da medida do outro.

Do enunciado, temos:

8 No paralelogramo ABCD, temos med(Â) = 3x e med(C ˆ ) = x 2 + 40‘. Determine o valor em graus de a, b, c e d, medidas dos ângulos internos desse paralelogramos. a c bd 48  e 132 = =° == °

9 O quadrilátero ABCD da figura é um losango. De acordo com as indicações, determine as medidas dos ângulos desse losango. med( ˆ )med( ˆ )54 e med( ˆ )med( ˆ ) 126 AC BD =° == ° =

10 Calcule a medida dos lados de um paralelogramo cujo perímetro é 75 cm e a medida de um lado é igual a um quarto da medida do outro.

7,5 cm e 30 cm

11 A figura mostra um quadrado ABCD e um triângulo retângulo STU

Qual é a medida, em graus, de BC ˆ T ?

12 (UFPB) Na figura abaixo está ilustrado o desenho de um portão em formato retangular, onde foram colocadas diagonais AC e BD, a fim de obter-se maior rigidez para o mesmo.

Alternativa d

Sabendo-se que a= 20‘, o valor de b é:

As diagonais de um retângulo se cruzam no ponto mé -

O triângulo BPC é isósceles, pois BP h PC e, portanto, PB CPCB h . Logo, 20‘+ 20‘+ x = 180‘6 x = 140‘

b+ x = 180‘6b+ 140‘ = 180‘6b= 40‘

Alternativa d

Reinaldo Vignati

André Martins

Considere o retângulo desenhado sobre a malha quadriculada ao lado. Traçando segmentos de reta, é possível dividir esse quadrilátero em quatro figuras que apresentam áreas com a mesma medida.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA14

a) Em uma folha de papel quadriculado, reproduza quatro vezes o quadrilátero ao lado.

b) Divida cada um dos quadriláteros em quatro partes cujas áreas tenham a mesma medida.

c) Compare suas figuras com as de um colega e montem um cartaz com as soluções encontradas por vocês.

d) Analise os cartazes produzidos por toda a turma e anote as divisões que você considerou mais criativas.

e) Elabore um texto explicando o que chamou sua atenção nas figuras escolhidas no item anterior.

14 Desenhe o paralelogramo em que a soma das medidas de dois de seus ângulos internos consecutivos, em graus, sejam x e 3x - 90‘

Respostas pessoais. Resposta pessoal.

15 Observe o paralelogramo ABCD representado a seguir.

Reúna-se com um colega, analisem os dados apresentados na figura e elaborem duas perguntas para trocar com outra dupla. Resolvam juntos a proposta dos colegas e confiram as resoluções. Expliquem o raciocínio utilizado. Resposta pessoal.

logico, é logica!

Lógico, é lógica!

Na atividade 13, há muitas possibilidades de realizar a divisão solicitada. Estimule os estudantes a abordar o máximo de possibilidades. Eles podem colorir as figuras.

Resolução da atividade 14

Temos que x + (3x - 90‘) = 180‘ (ângulos consecutivos em um paralelogramo são suplementares).

x = 67,5‘ . Logo, o paralelogramo desenhado deve possuir ângulos consecutivos iguais a 67,5‘ e 112,5‘

Resolução da atividade 15 Resposta pessoal.

Resolução de Lógico, é lógica!

O conjunto X traz animais com quatro pés. A exceção é o galo, que possui apenas dois pés.

O conjunto Y traz países da América do Sul. A exceção é o Canadá, que fica na América do Norte.

O conjunto Z traz frutas. A exceção é o chocolate, que não é uma fruta.

O conjunto T traz instrumentos de corda. A exceção é a flauta, que não é um instrumento de corda.

(CONCURSO

TRT 24; REGIÃO 2011-MS-FCC)

São dados cinco conjuntos, cada qual com quatro palavras, três das quais têm uma relação entre si e uma única que nada tem a ver com as outras:

X = {cão, gato, galo, cavalo}

Y = {Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá}

Z = {abacaxi, limão, chocolate, morango}

T = {violino, flauta, harpa, guitarra}

U = {Aline, Maria, Alfredo, Denise}

Em X, Y, Z, T e U, as palavras que nada têm a ver com as demais são, respectivamente:

a) cavalo, Argentina, chocolate, harpa e Aline.

b) gato, Canadá, limão, guitarra e Maria.

c) galo, Canadá, chocolate, flauta e Alfredo.

d) galo, Bolívia, abacaxi, guitarra e Alfredo.

e) cão, Canadá, morango, flauta e Denise.

O conjunto U traz nomes costumeiramente utilizados para mulheres. A exceção é Alfredo, nome utilizado para homens.

Alternativa c

Orientações

Na seção Matemática interligada, sugira aos estudantes que leiam o texto. Depois que eles resolveram as atividades, promova uma roda de conversa para debater as imagens em questão e suas particularidades. Essa proposta auxilia no desenvolvimento da competência geral 3

Resolução da atividade 1

A obra é toda composta de retângulos.

Resolução da atividade 2

Se possível, auxilie os estudantes na pesquisa dessas obras de arte.

Se preferir, peça que criem suas próprias obras antes de fazerem a pesquisa, de modo a não serem influenciados. A atividade pode ser desenvolvida em parceria com a área de Arte.

Aproveite a proposta da atividade 3 para criar um momento lúdico e permitir interação entre os estudantes.

Quadriláteros e Arte

O primeiro retângulo preenchido com quadrados sem haver superposições foi descoberto em 1925 pelo matemático polonês Zbigniew Morón (1904-1971). Ele descobriu um retângulo de dimensões 33 * 32 que podia ser pavimentado com nove quadrados diferentes com lados de medidas inteiras iguais a 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 e 18 unidades de comprimento. Ele descobriu também um retângulo de dimensões 65 * 47 que podia ser pavimentado com dez quadrados cujos lados medem 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 e 25 unidades de comprimento.

Observe a obra de arte reproduzida a seguir.

Respostas pessoais.

1. Quais figuras geométricas podem ser vistas nessa imagem?

2. Pesquise o uso de quadriláteros em obras de arte e crie sua própria obra com alguns quadriláteros.

3. Reúna-se com os colegas para organizar um mural com as obras de arte de todos da turma.

Fonte: PICKOVER, Clifford. O livro da Matemática Kerkdriel: Librero, 2011. p. 353.

Museu Nacional de Arte ModernaCentro Georges Pompidou, Paris

Theo van Doesburg. Composição, 1920. Óleo sobre tela, 130 cm * 80 cm.

Propriedades dos trapézios

Trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos. No trapézio a seguir, AB e CD são os lados paralelos, ou seja, AB // CD. Ambos os lados paralelos são chamados base: AB é a base maior, e CD a base menor.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA14

Retome as propriedades dos paralelogramos e a definição de trapézio. Possibilite aos estudantes que discutam as classificações de trapézio e estimule-os a verificar as propriedades que essa figura pode ter.

Os pares de ângulos ˆ A e ˆ D, ˆ B e ˆ C são suplementares, por se tratar de ângulos colaterais internos formados por retas suportes dos lados AB e CD e pelas retas transversais r e s. Temos, então:

med( ˆ A) + med( ˆ D) = 180‘

med( ˆ B ) + med( ˆ C) = 180‘

A distância entre as bases chama-se altura do trapézio. Observe a figura a seguir.

Qual é a soma dos ângulos internos de um trapézio? Justifique sua resposta.

360°. Resposta pessoal.

Um trapézio pode ser classificado como:

Os dois lados não paralelos são congruentes.

Um dos lados não paralelos é perpendicular às bases. Esse trapézio tem dois ângulos internos retos.

Propriedades

Veremos agora duas propriedades do trapézio isósceles.

1 ; propriedade: Em todo trapézio isósceles, os ângulos de uma mesma base são congruentes.

AB eC D hh

Demonstração

Hipótese: ABCD é trapézio isósceles.

Tese: ˆˆ ˆˆ AB eC D hh

Os dois lados não paralelos não são congruentes.

Proponha que leiam a primeira propriedade do trapézio isósceles e desenvolva a demonstração dela no quadro, possibilitando aos estudantes discutirem-na.

Em Pense e responda, os estudantes devem concluir que a soma dos ângulos internos de um trapézio é 360‘ porque este é um quadrilátero e essa propriedade é válida para todos os quadriláteros.

Trapézio isósceles Trapézio retângulo Trapézio escaleno

Reinaldo Vignati

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA14

Explore a demonstração da segunda propriedade do trapézio isósceles desenvolvendo-a na lousa com a participação dos estudantes. Se possível, proponha atividades em um software de Geometria dinâmica para que eles verifiquem a validade delas em alguns trapézios isósceles.

Resolução do Pense e responda Pelos dados do problema, temos que:

Os triângulos ADM e BCN, determinados pelas alturas DM e CN, são congruentes pelo caso cateto-hipotenusa.

alturasdotrapéziocatetos ladosnão paralelosdotrapézioisósceles hipotenusa

DMCN AD BC h= h= () () () ()

Portanto: ˆˆ AB h

Como tanto ˆ A e ˆ D quanto ˆ B e ˆ C são ângulos suplementares, temos: ˆˆ CD h

Dé pontomédio de Eé pontomédio de  

     

()       

D

DEEF

h h h C B

A EF

AED h FEC (ângulos opostos pelo vértice).

Portanto, AED h CEF (caso LAL).

Pela 1a propriedade dos paralelogramos, temos que DF // BC e, por consequência, DE // BC

Portanto, DECB é um trapézio.

2; propriedade: Em todo trapézio isósceles, as diagonais são congruentes.

AC BD h

Demonstração

Hipótese: ABCD é trapézio isósceles.

Tese: AC BD h

Os triângulos ABC e DCB, determinados pelas diagonais AC eBD, são congruentes pelo caso LAL, pois:

AB DC BC BC

(lados nãoparalelos do trapézio isósceles) (L)

ˆˆ (ângulos dabase trapézio isósceles) (A) (lados comum) (L)

Portanto: AC BD h

Considere a figura ao lado. Sabendo que D é ponto médio de AB, E é ponto médio de AC e DE h EF, demonstre, usando a congruência de triângulos, que DECB é um trapézio.

Resposta no Manual do Professor.

Agora, vamos ver como algumas situações-problema podem ser resolvidas.

• Dois ângulos internos de um trapézio medem 44‘ e 109‘. Quais são as medidas dos outros ângulos internos desse trapézio?

Os ângulos indicados no enunciado não são suplementares. Então, os lados não paralelos do trapézio adjacentes a esses ângulos são diferentes.

Veja nas figuras a seguir as duas possibilidades de localização dos referidos ângulos.

Ilustrações: DAE

Como x + 44‘ e y + 109‘ são somas das medidas dos ângulos colaterais internos, temos:

x + 44‘ = 180‘

x = 180‘ – 44‘

x = 136‘

Orientações

O conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA14

Os estudantes podem se reunir em duplas para resolver os exemplos citados e, depois, comparar as resoluções com a resolução apresentada no Livro do Estudante. Permita que compartilhem as estratégias e comentem a validade de cada uma.

y + 109‘ = 180‘

y = 180‘ – 109‘

y = 71‘

Portanto, os outros ângulos internos desse trapézio medem 136‘ e 71‘

• No trapézio retângulo da figura a seguir, AP e BP são as bissetrizes dos ângulos da base maior. Determine as medidas de ˆ  e ˆ BC

Atividades em pequenos grupos, além de favorecerem o desenvolvimento de habilidades de relacionamento, possibilitam explorar o desenvolvimento da competência específica 2, já que os estudantes precisam validar e justificar as estratégias de resolução, por exemplo.

Se o trapézio ABCD é retângulo e AP e BP são as bissetrizes dos ângulos da base maior AB, temos:

Do triângulo APB, temos:

45‘+ 117,5‘+ 2 x = 180‘

9‘+ 235‘+ x = 360‘ x = 35‘

Portanto, o ângulo ˆ B mede 35‘. Do trapézio ABCD, temos: +++ med( ˆ )med( ˆ )med( ˆ )med( ˆ ) AB CD = 360‘ 90‘+ 35‘+ y + 90‘= 360‘ y = 145‘

Portanto, ˆ C mede 145‘

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade

EF08MA14

A seção Atividades tem como objetivo consolidar os conhecimentos sobre elementos, características e classificações dos quadriláteros, tanto os paralelogramos quanto os trapézios.

Se julgar oportuno, as atividades 1, 2 e 3 podem ser desenvolvidas oralmente, com a participação dos estudantes e de maneira a retomar as classificações e a definição de trapézio e paralelogramos. Essas atividades podem ser utilizadas como parte de avaliação diagnóstica, a fim de verificar os conhecimentos dos estudantes e reconhecer se há pontos que precisam ser revisados antes de seguir em frente.

Na atividade 2, aproveite para observar como os estudantes utilizam o transferidor, auxiliando-os se necessário.

Resolução da atividade 3

a) (Verdadeira). Todo quadrado tem as medidas dos quatro lados congruentes e o losango também. Por isso, todo quadrado é um losango.

b) (Falsa). Um triângulo é acutângulo quando a medida de cada um de seus ângulos internos é menor do que 90‘, ou seja, os seus ângulos internos podem medir 50‘, 50‘ e 80‘

Por isso, esse triângulo não é equilátero, no qual as medidas dos ângulos internos são todas iguais a 60‘

c) (Verdadeira). O triângulo equilátero tem as medidas dos três lados congruentes. Por isso, o triângulo equilátero é também isósceles, que tem dois lados com medidas congruentes.

d) (Falsa). O paralelogramo tem dois pares de lados paralelos e o trapézio tem somente um par de lados paralelos.

e) (Falsa). Um triângulo retângulo pode ser isósceles, ou seja, ter dois lados com medidas congruentes.

Atividades e jogos com quadriláteros, de Marion Smoothey (Scipione). Divirta-se com os jogos e as atividades desse livro, como quebra-cabeças, jogos de trilhas, labirintos e dobraduras, a partir de situações do cotidiano. Você ficará familiarizado com conceitos matemáticos como os quadriláteros, seus elementos, o nome de alguns quadriláteros especiais e seus ângulos.

Atividades

1 Considere o trapézio a seguir para responder às questões.

a) Quais são os lados paralelos desse trapézio?

b) Quais são os lados não paralelos desse trapézio?

c) Quais são os ângulos internos desse trapézio?

d) Dos ângulos internos identificados no item anterior, quais são agudos e quais são obtusos?

2 Classifique os trapézios a seguir em isósceles, retângulo ou escaleno. Depois, use o transferidor para encontrar a medida dos ângulos internos de cada trapézio.

Retângulo; 63°, 90°, 90° e 117°.

Isósceles; 110°, 110°, 70° e 70°.

Retângulo; 58°, 90°, 90° e 122°.

Escaleno; 70°,

3 Considere as afirmações a seguir e diga quais são verdadeiras.

a) Todo quadrado é um losango.

b) Todo triângulo acutângulo é equilátero.

c) Todo triângulo equilátero é isósceles.

d) Todo paralelogramo é um trapézio.

e) Todo triângulo retângulo é escaleno.

Orientações

As atividades da página seguinte favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA09 e EF08MA14

4

4 O trapézio PQRS a seguir é isósceles. Calcule as medidas dos ângulos internos desse trapézio.

Ilustrações:

5 No trapézio retângulo representado a seguir, a medida de ˆ S é 3 5 da medida de

e de ˆ R ?

R . Qual é a medida de

Do triângulo ABE, temos:

x + 180‘ - y + 82‘ = 180‘

x - y =-82‘

Do quadrilátero ADCE, temos:

x + 124‘+ 98‘+ y = 360‘ x + y = 138‘

Daí vem:

x - y =-82‘ e x + y = 138‘

2x = 56‘6 x = 28‘ e y = 110‘ med( ˆ x ) = 28‘ e med( ˆ y ) = 110‘

Resolução da atividade 8

6 Qual é a medida de cada ângulo interno do trapézio ABCD representado abaixo?

7 Na figura, ABCD é um trapézio de bases  e AB CD. Sabendo que AE é a bissetriz de  Â, determine o valor de x e de y em graus. x = 28‘ e y = 110‘

Exemplo do passo a passo para a construção: Trace um segmento de reta AB de 8 cm; com o transferidor, verifique o ângulo de 90‘ e marque dois pontos, A’ e B’, distantes 3 cm do segmento traçado; trace uma reta r por esses pontos A’ e B’; no ponto A, verifique o ângulo agudo de 50‘ e trace um segmento de A até a reta r, o ponto de intersecção será chamado de D; no ponto B, verifique o ângulo agudo de 60‘ e trace um segmento de B até a reta r, o ponto de intersecção será chamado de C. Dessa forma, temos o trapézio ABCD respeitando as regras da atividade.

Resolução da atividade 9

a) Observe a figura abaixo:

8 Utilizando régua e transferidor, construa um trapézio com as seguintes informações:

• base maior e base menor com medida, respectivamente, de 8 cm e 4 cm;

• altura com 3 cm;

Resposta no Manual do Professor.

• ângulos formados pela base maior e lados não paralelos com medida de 50‘ e 60‘;

• ângulos formados pela base menor e lados não paralelos medindo 130‘ e 120‘

9 Em um trapézio isósceles, a medida da base maior é a soma da medida da base menor com o dobro da medida da altura.

Os ângulos da base maior medem 60‘, e os da base menor medem 120‘

a) Qual é a medida de cada ângulo desse trapézio?

b) Se a altura desse trapézio mede 2,5 cm e a base maior 8 cm, qual é sua área?

Resolução da atividade 6

4y + y = 180‘6 y = 36‘

C = 4y = 4 36‘ = 144‘

B = 36‘

x + 30‘+ 3x + 10‘ = 180‘6 x = 35‘

A = x + 30‘ = 35‘+ 30‘ = 65‘

D = 3x + 10‘ = 3 . 35‘+ 10‘ = 115‘

Portanto, med( A) = 65‘, med(B ) = 36‘, med(C ) = 144‘ e med(D ) = 115‘

E D H G C

h h

b F b +2h

h h

Como os triângulos CGF e DHE são retângulos e isósceles, C ˆ e D ˆ medem 45‘ cada, logo:

med( C ) = med( D ) = 45‘

90‘+ 45‘ = 135‘ med( E ) = med( F ) = 135‘

Os ângulos da base maior medem 45‘ e os ângulos da base menor medem 135’‘

b) Como a base maior mede b + 2h = 8 e 2h = 2 . 2,5 = 5, então: b = 3 cm.

Logo, a área do trapézio é dada por:

S = 83  2 ,5 2 ()+. = 13,75 4

4 13,75 cm².

Caso os estudantes não conheçam a expressão utilizada para calcular essa medida, instigue-os, por meio de estratégias variadas, a realizar a tarefa, como decompor o trapézio em um retângulo e dois triângulos.

Objetivos do capítulo

• Compreender o significado de mediatriz de segmento e bissetriz de ângulo.

• Resolver problemas aplicando os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos.

• Traçar ângulos de 90‘ , 60‘ , 45‘ e 30‘

• Construir polígonos regulares utilizando instrumentos de desenho e softwares de Geometria dinâmica.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2 e 5 Competências específicas

3 e 5

Habilidades EF08MA15, EF08MA16 e EF08MA17

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA17

Iniciam aqui algumas noções de construções geométricas. A ideia de lugar geométrico deve ser bem explorada, assim como o caráter prático deste capítulo. Os estudantes devem ser estimulados a realizar as construções que serão discutidas, tanto com instrumentos de desenho (compasso e régua) quanto com o uso de tecnologias digitais (softwares de Geometria dinâmica).

Em Para começar, explore a noção de mediatriz. Proponha aos estudantes que reproduzam a reta e os pontos indicados em uma folha de papel quadriculado ou em um software de Geometria dinâmica. Em seguida, peça que verifiquem quais pontos estão à mesma distância de A e de B. Eles podem utilizar régua e compasso, no caso do papel quadriculado, ou ferramentas análogas a esses instrumentos, no caso do software. Auxilie-os a perceber, por exemplo, que se um ponto M (externo ao segmento AB) está à mesma distância de A e de B, então o triângulo AMB é isósceles. Proponha que encontrem outros pontos que estão à mesma distância de A e de B e conduza-os a perceber que tais pontos pertencem a uma mesma reta. O uso de softwares auxilia o desenvolvimento da competência específica 5 e da habilidade EF08MA15

Construções geométricas

Em sua opinião, quais pontos da figura a seguir estão à mesma distância das extremidades do segmento AB? Explique suas escolhas.

Mediatriz de um segmento

Observe o segmento de 3 cm cujas extremidades são os pontos A e B. Como podemos encontrar pontos cuja distância aos pontos A e B seja 2 cm?

Para obter esses pontos podemos usar um compasso com abertura de 2 cm. Como você já sabe, ao traçarmos uma circunferência de raio 2 cm com centro em A, determinamos todos os pontos cuja distância até A é de 2 cm.

O mesmo acontece se traçarmos uma circunferência com centro em B. Assim, temos:

O uso do compasso passa a ser muito recorrente a partir de agora. Explane para os estudantes a definição da circunferência como lugar geométrico, no qual estão todos os pontos equidistantes a um ponto fixo. Resssalte que essa figura geométrica se torna útil para determinar outros lugares geométricos e para realizar construções geométricas.

Note que as intersecções das circunferências são os únicos pontos que têm distância de 2 cm ao ponto A e também ao ponto B

Vamos localizar outros pontos cujas distâncias aos pontos A e B sejam iguais. Por exemplo:

P e Q são os pontos cujas distâncias a A e a B medem 3 cm.

S e T são os pontos cujas distâncias a A e a B medem 4 cm.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA17

Apresente a definição de mediatriz e a respectiva demonstração. Verifique se os estudantes compreenderam as propriedades utilizadas na demonstração e, se necessário, retome os casos de congruência de triângulos.

Proponha atividades em que eles construam a mediatriz de segmentos com régua e compasso. É importante que utilizem esses instrumentos de desenho geométrico para assimilar e compreender as construções geométricas que constam nesse capítulo.

Observando o desenho, os pontos equidistantes das extremidades pertencem a uma reta que é perpendicular ao segmento AB e corta AB no ponto médio; ou seja, a reta é a mediatriz do segmento AB

Podemos demonstrar essa propriedade da mediatriz usando a congruência de triângulos.

Vamos mostrar que qualquer ponto P que pertence à mediatriz r de um segmento AB é equidistante de suas extremidades.

Hipótese: P ó mediatriz de AB

Tese: PAPB h

(por construção, pois é mediatriz de  ) (L)

ˆˆ  (por construção, ambos medem 90°)  (A)

(lado comum)  (L)

Assim, pelo caso LAL, os triângulos PMA e PMB são congruentes; portanto, PAPB h Mas, para provar que todos os pontos equidistantes de A e B estão na mediatriz, precisamos demonstrar também que todo ponto P que é equidistante de A e de B pertence à mediatriz.

Ilustrações:

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA15 e EF08MA17

Ao final da demonstração, é fundamental que os estudantes compreendam a mediatriz como a reta perpendicular a um segmento cortando seu ponto médio, definição que já conheciam, mas também que compreendam a mediatriz como lugar geométrico, no qual todos os pontos são equidistantes das extremidades do segmento.

Na atividade 1, o objetivo é que o estudante verifique experimentalmente a nova propriedade aprendida sobre as mediatrizes.

Resolução da atividade 2

a) Seja o segmento AB representado por Laura. Com o compasso aberto em 4 cm, ela deve traçar uma circunferência com centro em A e outra com centro em B. As intersecções das circunferências são pontos equidistantes de A e de B

Estimule os estudantes a utilizar um compasso ou software/aplicativo de Geometria dinâmica. Ao final, questione se seria possível marcar um ponto cuja distância às extremidades do segmento fosse de 2 cm. Os estudantes devem concluir que não, pois para qualquer valor menor do que 3 cm (medida da metade do segmento), isso nunca será possível. Utilizando os compassos é possível uma boa visualização geométrica dessa impossibilidade.

Resolução da atividade 3

É possível se os pontos não estiverem alinhados. Deve-se escolher dois dos pontos, por exemplo, A e B, e traçar a mediatriz do segmento AB. Depois, deve-se escolher outros dois pontos, B e C, por exemplo, e traçar a mediatriz do segmento BC

Se os pontos não estiverem alinhados, as mediatrizes terão um ponto P em comum, e, portanto, as distâncias de P até cada um dos três pontos serão iguais.

Comente com os estudantes que o fato de P ser equidistante dos três pontos significa que ele é o centro da circunferência que contém esses três pontos, conforme figura a seguir.

Hipótese: PAPB h

Tese: P ó à mediatriz de AB Traçamos a reta r bissetriz de ˆ APB Assim, temos: (por hipótese) ˆˆ (por construção) (ladocomum)

Pelo caso LAL, o triângulo AMP é congruente ao triângulo BMP Portanto, AM MB h e ˆˆ PMAPMB h , que significa que ambos são ângulos retos.

Podemos concluir que r é perpendicular a AB e passa por seu ponto médio, ou seja, PM é mediatriz de AB

Atividades

1 Desenhe no caderno um segmento de reta com a medida que desejar. Trace a mediatriz desse segmento. Escolha qualquer ponto P pertencente à mediatriz e meça as distâncias do ponto até as extremidades do segmento. O que você observa?

As distâncias medidas são iguais.

2 Laura desenhou no caderno um segmento de medida 6 cm, mas deseja marcar outro ponto, cuja distância às extremidades do segmento seja de 4 cm.

a) Como ela deve fazer para encontrar esse ponto?

b) Quantos pontos diferentes ela pode encontrar?

c) Se a distância do ponto P até as extremidades for de 3 cm, quantos pontos ela encontrará?

Resposta no Manual do Professor. Dois pontos. Apenas um, o ponto médio do segmento.

3 João desenhou em uma folha de papel três pontos, A, B e C, em lugares diferentes e deseja encontrar um ponto que tenha a mesma distância aos três pontos. Isso é sempre possível? Como ele pode fazer?

Respostas no Manual do Professor.

4 Uma antena de telefonia deverá ser instalada sobre a reta r, à mesma distância de dois locais A e B, como mostra a figura.

Desenhe uma construção geométrica que permita obter o ponto sobre a reta r, de acordo com a condição em que essa antena deve ser colocada, indicada na figura.

Resposta no Manual do Professor.

Resolução da atividade 4

Vamos unir os pontos A e B e traçar a mediatriz de AB . A intersecção da reta r e a mediatriz de AB é o ponto P, que está à mesma distância de A e de B

Reinaldo Vignati

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice desse ângulo que determina, com seus lados, dois ângulos adjacentes congruentes.

Ilustrações:

Na figura, representamos OC como a bissetriz de ˆ AOB

As bissetrizes têm outra característica especial: qualquer ponto que pertence à bissetriz tem igual distância dos dois lados do ângulo.

Isso também pode ser demonstrado usando-se a congruência de triângulos. Veja:

A semirreta OP é bissetriz do ângulo MÔN. Representamos os segmentos PM e PN perpendiculares aos lados do ângulo, formando os triângulos retângulos OMP e ONP

Temos:

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF08MA15 e EF08MA17

Apresente a propriedade das bissetrizes mostrando que todos os pontos são equidistantes aos lados dos ângulos. Ao final deste tópico, os estudantes precisam entender que as bissetrizes também podem ser definidas como um lugar geométrico.

Peça aos estudantes que leiam com atenção a demonstração presente na página. Em duplas, estimule-os a explicar o passo a passo um ao outro, consolidando ainda mais esse conhecimento e propiciando momentos de interação e relações interpessoais.

(ladocomum) (L)

POMPONOP ONPOMP h h

ˆˆ (é bissetriz do ângulo M ˆ ON)(A)

ˆˆ (ambossão ângulosretos)(A) O

Assim, pelo caso LAAO, os triângulos OMP e ONP são congruentes; portanto, PMPN h

Também podemos mostrar que qualquer ponto P cuja distância aos lados é sempre igual pertence à bissetriz.

Veja: se temos um ponto cuja distância até um lado é igual à distância ao outro, podemos determinar dois triângulos retângulos congruentes.

Temos:

(catetos de mesmamedida) (ladocomum -hipotenus a)

ˆˆ  (são ângulos retos)

Assim, pelo caso cateto-hipotenusa, os triângulos OMP e ONP são congruentes; portanto, h PÔMPÔN

Demonstramos que a bissetriz é formada por todos os pontos que são equidistantes aos lados do ângulo.

Para ampliar o tópico “Bissetriz de um ângulo”, proponha aos estudantes que utilizem um software ou aplicativo de Geometria dinâmica e construam a bissetriz de alguns ângulos. Essas construções também podem ser feitas usando régua e compasso. Concluída essa etapa, organize uma roda de conversa para compartilhar os resultados e discutir os significados de bissetriz.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento as habilidades EF08MA15 e EF08MA17

Na atividade 1, o objetivo é que o estudante verifique experimentalmente a nova propriedade aprendida sobre as bissetrizes.

Resolução da atividade 2

O centro de cada uma das circunferências é equidistante aos lados do ângulo. Portanto, todos os centros estão alinhados e pertencem à bissetriz do ângulo.

Talvez seja necessário revisar o significado de as circunferências serem tangentes aos lados dos ângulos. Resolução da atividade 3

Atividades

1 Desenhe no caderno um ângulo agudo qualquer e trace sua bissetriz. Escolha um ponto P na bissetriz e, a partir dele, trace as perpendiculares a cada lado do ângulo determinando os pontos A e B. Compare as medidas de  e PAPB

Resposta pessoal.

2 Observe o desenho a seguir. As circunferências são tangentes aos lados do ângulo. O que podemos afirmar sobre os centros das circunferências? Os centros das circunferências pertencem à bissetriz do ângulo.

Ilustrações: DAE

3 Calcule x, sabendo que a circunferência é tangente aos lados do ângulo. x = 5

O

A B

C r r x + 2

Como os triângulo ACO e ABO são congruentes, temos:

AC = AB 6 2x - 3 = x + 2 x = 5.

Resolução da atividade 4

As medidas de OP e OR são iguais, e a circunferência de raio medindo QP é tangente aos dois lados do ângulo.

Exemplo de construção:

Peça aos estudantes que, após concluírem a atividade, representem o passo a passo apresentado por meio de um fluxograma, desenvolvendo as habilidades para construir esse tipo de representação.

4 Siga o passo a passo.

As medidas de  e OPOR são iguais, e a circunferência é tangente aos dois lados do ângulo.

1? passo: No caderno, desenhe um ângulo obtuso de centro O e trace sua bissetriz.

2? passo: Escolha um ponto P sobre um dos lados.

3? passo: Pelo ponto P, trace a perpendicular ao lado escolhido. A intersecção da perpendicular com a bissetriz será o ponto Q

4? passo: Pelo ponto Q, trace a perpendicular ao outro lado do ângulo, determinando nele o ponto R

5? passo: Compare as medidas de  e OPOR

Abra o compasso com raio igual a QP e trace uma circunferência. O que você observou?

Reinaldo Vignati

Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30°

Construção de um ângulo reto e de um ângulo de 45°

Para construir esses ângulos, vamos seguir os passos abaixo.

1? passo: Consideremos uma semirreta com origem em P, representada a seguir.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA17

2? passo: Com a ponta-seca do compasso em P e raio qualquer, traçamos um arco que intersecte a semirreta, determinando o ponto M.

Antes de encaminhar a construção do ângulo de 45‘, questione os estudantes sobre figuras geométricas que podem servir como base para a medida desse ângulo. Por exemplo, pergunte como é possível obter um ângulo de 45‘ a partir de um quadrado. Eles poderão determinar a bissetriz de um dos ângulos internos e, assim, obter um ângulo de 45‘. O mesmo pode ser feito para a construção do ângulo de 30‘ , que pode ser obtido a partir da bissetriz de um dos ângulos internos de um triângulo equilátero.

Acompanhe os estudantes realizando a construção do ângulo de 90‘ com régua e compasso. Peça que se reúnam em pequenos grupos, de 3 ou 4 integrantes, para que possam interagir nesse processo.

3? passo: Com a ponta-seca do compasso em M e mesmo raio, traçamos um arco que intersecta o primeiro, determinando o ponto N

Em todas as construções, justifique geometricamente, a partir das propriedades conhecidas, porque é possível garantir que o produto obtido após a sequência de etapas é o desejado.

4? passo: Com a ponta-seca do compasso em N e mesmo raio, traçamos outro arco que intersecta o primeiro, determinando o ponto Q

Sempre que possível, represente o passo a passo das construções por meio de um fluxograma, ou peça que os próprios estudantes façam isso.

5? passo: Com a ponta-seca do compasso em N e depois em Q, com mesmo raio, traçamos dois arcos que se intersectam, determinando o ponto R

Ilustrações: Luca Navarro

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA17

É importante que os estudantes compreendam que após construir qualquer ângulo, é possível obter a metade desse ângulo construindo a bissetriz. Logo, para construir o ângulo de 45‘, constrói-se o ângulo de 90‘ e, em seguida, sua bissetriz.

O mesmo ocorre para construir o ângulo de 30‘: constrói-se o ângulo de 60‘ e, em seguida, sua bissetriz.

6? passo: Traçamos PR. Portanto, ˆ MPR mede 90‘

Para traçar um ângulo de medida 45‘, traçamos a bissetriz do ângulo de 90‘ já obtido.

7? passo: Chamamos de S a intersecção de PR com o primeiro arco traçado. Com a ponta-seca do compasso em S e depois em M, com mesmo raio, traçamos dois arcos que se intersectam, determinando o ponto T

8? passo: Traçamos PT . Portanto, ˆ MPT mede 45‘, assim como ˆ TPR

Construção de ângulos de 60° e 30°

Observe os passos descritos a seguir.

1? passo: Consideremos uma semirreta com origem em P, representada ao lado.

2? passo: Com a ponta-seca do compasso em P e raio qualquer, traçamos um arco que intersecte a semirreta, determinando o ponto M

Ilustrações: Luca Navarro

3? passo: Com a ponta-seca do compasso em M e mesmo raio, traçamos um arco que intercepta o primeiro, determinando o ponto N

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA15 e EF08MA17

4? passo: Traçamos PN . Portanto, ˆ MPN mede 60‘

Para traçar o ângulo de 30‘, basta traçar a bissetriz do ângulo ˆ MPN

5? passo: Com a ponta-seca do compasso em M e depois em N, com mesmo raio, traçamos dois arcos que se intersectam, determinando o ponto R

Após os estudantes construírem os ângulos de 90‘, 60‘, 45‘ e 30‘ com régua e compasso, oriente-os para que construam esses mesmos ângulos em um software ou aplicativo de Geometria dinâmica. Esses softwares/ aplicativos possuem ferramentas que simulam a régua e o compasso e permitem realizar as construções com o mesmo passo a passo. Esse trabalho com tecnologias digitais desenvolve a competência geral 5 e a competência específica 5

Resolução da atividade 1

Como foi utilizada a mesma abertura do compasso, então os triângulos PMN e PQN são, ambos, equiláteros. Logo, todos os seus ângulos internos medem 60‘. Logo, med( MP ˆ Q ) = med( M P ˆ N ) + + med(NP ˆ Q) = 120‘

Resolução da atividade 2

6? passo: Traçamos PR . Portanto, ˆ MPR mede 30‘, assim como o ângulo ˆ RPN

Atividades

1 Observe o 5? passo da construção do ângulo de 90‘. Quanto mede ˆ MPQ?

2 Usando régua e compasso, construa um ângulo:

a) de 15‘;

Respostas no Manual do Professor.

b) cuja medida seja 105‘. (Dica: 105‘ = 60‘+ 45‘.)

R N 15º

Primeiro, construímos um ângulo de 60‘. Depois, traçamos a bissetriz desse ângulo para obter o ângulo de 30‘. Por último, traçamos a bissetriz do ângulo de 30‘ para obter o ângulo de 15‘ b) PM

Primeiro, construímos o ângulo AOB de 60‘ . Depois, a partir do lado OA do ângulo de 60‘ construímos o ângulo de 45‘. Assim, obtemos o ângulo de 105‘ (60‘+ 45‘).

Ilustrações: Luca Navarro

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA16

A princípio, revise o que é um hexágono regular e quais são suas características. A partir disso, peça aos estudantes que apresentem ideias de como construir um hexágono regular utilizando régua e compasso. Registre as ideias apresentadas na lousa e realize a construção, sempre permitindo aos estudantes testar possibilidades nas etapas seguintes. Ao final, quando a construção estiver completa, oriente-os para que façam a leitura da página e tentem reproduzir a construção no caderno.

Construção de polígonos regulares

Construção de um hexágono regular

Usando régua e compasso, vamos construir um hexágono regular inscrito em uma circunferência. Para isso, basta seguir o passo a passo.

1? passo: Trace um segmento de reta e marque nele um ponto O, que será o centro do hexágono.

2? passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto O, com raio qualquer, desenhe uma circunferência. Chame as intersecções da circunferência com a reta de A e B

3? passo: Com a ponta-seca do compasso em A e abertura igual ao raio da circunferência, marque nela os pontos C e D. Note que o arco passa pelo centro O da circunferência.

4? passo: Com a ponta-seca do compasso em B e abertura igual ao raio da circunferência, marque nela os pontos E e F. Note que o arco passa pelo centro O da circunferência.

5? passo: Trace os lados do hexágono, que são , , , ,   e AC CE EB BF FD DA

Note que o lado do hexágono construído tem a mesma medida do raio da circunferência.

Início

Traçar um segmento de reta e marcar um ponto O, que será o centro do hexágono

Com a ponta-seca do compasso no ponto O (marcando um raio qualquer), desenhar uma circunferência

Chamar de A e B as interseções da circunferência com a reta

Com a ponta-seca do compasso em A (e abertura igual ao raio da circunferência), marcar na circunferência os pontos C e D

Com a ponta-seca do compasso em B (e abertura igual ao raio da circunferência), marcar na circunferência os pontos E e F

os

Atividades

Fim

1 Construa, usando régua e compasso, um hexágono regular cujos lados meçam 3 cm. Em seguida, trace todas as diagonais. Observe os desenhos que se formarem.

Resposta no Manual do Professor.

2 Observe e, em seguida, reproduza os desenhos que Milena fez usando os vértices de um hexágono regular. Depois crie seu próprio desenho artístico usando hexágonos. Resposta no Manual do Professor.

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA16

Peça aos estudantes que leiam o fluxograma da construção de um hexágono regular e realizem novamente a construção dessa figura, desta vez seguindo as etapas do fluxograma. Resolução da atividade 1

Com centro em O construímos uma circunferência de raio 3 cm. A seguir, traçamos uma reta horizontal passando por O. A intersecção da reta com a circunferência determina os pontos A e D. Com centro em A e raio 3 cm traçamos uma circunferência. Chame de B e F os pontos de intersecção das duas circunferências. Com centro em D e raio 3 cm traçamos outra circunferência para obter os pontos C e E Traçamos os segmentos AB, BC, CD, DE, EF e FA para obter o hexágono regular ABCDEF de lado 3 cm.

Traçando as 9 diagonais temos:

Os estudantes devem seguir o passo a passo para a construção de um hexágono regular, utilizando uma abertura de 3 cm no compasso. Na atividade 2, explore com os estudantes que a partir da construção de um hexágono regular é possível construir os dois desenhos apresentados fazendo apenas algumas inserções. Acompanhe-os na construção dos desenhos artísticos. Ao final, realize uma exposição com as imagens construídas por eles.

Ilustrações: Marcel Borges

Traçar segmentos unindo respectivamente

pontos A e C, C e E, E e B, B e F, F e D, D e A

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA16

Resolução da atividade 3

Como a soma dos ângulos internos de um triangulo vale 180‘, temos:

med( A ˆ ) + med( B ˆ ) + med( C ˆ ) = 180‘

70‘+ 50‘

med(C ˆ ) = 180‘ med(C ) = 60‘

Trace o segmento BC de medida

3 Construa um triângulo ABC sendo med(Â) = 70‘, med(B ˆ ) = 50‘ e med(BC) = 9 cm.

Resposta no Manual do Professor.

4 Considere o paralelogramo representado a seguir.

A 70º 50º60º

9 cm e, com o transferidor, construa os ângulos A ˆ , B ˆ e C ˆ com medidas iguais a, respectivamente, 70‘, 50‘ e 60‘, como indicado na figura a seguir. BC

Resolução da atividade 4

Constrói-se CAB , cuja medida é 30‘, e, sobre as semirretas AB e AC, determinam-se segmentos AB e AC de 6 cm e 8 cm, respectivamente.

Então, constrói-se ACD com medida de 30‘ e, sobre a semirreta CD, determina-se o segmento CD de 6 cm. O quadrilátero ABCD é o paralelogramo solicitado.

Construa esse paralelogramo sendo med(BÂC) = 30‘, med(AB) = 6 cm e med(AC) = 8 cm.

5 Construa um trapézio:

Resposta no Manual do Professor. Respostas no Manual do Professor.

a) retângulo, sendo conhecidas as medidas de suas bases maior (a), menor (b) e sua altura (h);

b) isósceles, sendo conhecidas as medidas de sua altura (3 cm), da base maior (10 cm) e dos ângulos da base maior (45‘).

6 Construa um quadrado cuja diagonal meça 8 cm.

Resposta no Manual do Professor.

7 (UNESP) Considere um quadrado de lado x cm. Um retângulo tem um perímetro igual a 106 cm, sendo que sua largura é 8 cm a menos do que o lado do quadrado, e seu comprimento é 5 cm a mais do que o triplo do lado do quadrado. O perímetro desse quadrado, em cm, é igual a:

Alternativa e

a) 40.

b) 44.

c) 48.

d) 52.

e) 56.

Lógico, é lógica!

Analise a sequência de triângulos.

Resolução da atividade 5

O número no interior de cada triângulo é resultado de operações efetivadas com os números da parte externa. Sabendo que a sequência de operações é a mesma nos três triângulos, que número deve ser colocado no lugar de

em B, determinando o triângulo ANB, como indicado na figura. Dos pontos A e B, determina-se sobre as perpendiculares os segmentos AG e BH, respectivamente, ambos com 3 cm. Marca-se os pontos D e C, na intersecção entre a reta GH e os segmentos AN e BN, respectivamente. O quadrilátero ABCD é o trapézio isósceles pedido.

Podem ser construídos um segmento AB de 10 cm e sua mediatriz. Em seguida, constroem-se as perpendiculares ao segmento AB passando pelas extremidades, assim como ângulos de 45‘ em A e

No item a, explore a construção de ângulos retos utilizando diferentes instrumentos de desenho geométrico, como régua, compasso, esquadro ou transferidor. Além disso, os estudantes podem traçar dois ângulos adjacentes, um de 60‘ e um de 30‘, por exemplo. Resolução da atividade 6

Constrói-se um segmento AB medindo 8 cm. Com vértice em A e em B, constroem-se quatro ângulos de 45‘, como indicados na figura a seguir. A intersecção entre os lados dos ângulos determina dois pontos, C e D A figura ADBC é um quadrado. A figura está fora de escala.

Reinaldo Vignati

Tarcísio Garbellini

Tarcísio Garbellini

Construções de outros polígonos regulares

Você aprenderá a construir alguns polígonos regulares utilizando um software de Geometria dinâmica chamado GeoGebra. Este é um software gratuito que pode ser baixado no endereço: https://www.geogebra.org/download?lang=pt.

Inicialmente, vamos construir um triângulo equilátero.

1o passo: Selecione a ferramenta “Polígono regular”, como na figura a seguir.

Orientações

Na seção MatemaTIC, recomendamos aos estudantes que explorem, se possível, um software de Geometria dinâmica para construir polígonos regulares. Eles podem, em um primeiro momento, fazer as construções geométricas no software e, em seguida, utilizar as ferramentas que determinam tais figuras de maneira mais automática. Isso favorece o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 5 Uma sugestão de ampliação da atividade do Livro do Estudante é solicitar que reproduzam o desenho artístico da atividade 2 da página 157 utilizando as ferramentas do software Esse trabalho favorece o desenvolvimento da competência geral 2 e da competência específica 3

2o passo: Marque dois pontos na tela, a fim de definir a medida do lado do triângulo equilátero. Após esse procedimento, uma janela será aberta para incluir o número de vértices do polígono. Digite o

Resolução da atividade 7

Do enunciado, as medidas da largura e do comprimento do retângulo são, respectivamente, x - 8 e 3x + 5. Como

o perímetro do retângulo é 106 cm, temos:

(

x - 8) + (x - 8) + (3x + 5) + (3x + 5) = 106

8x - 6 = 106

x = 112 : 8 = 14.

O perímetro do quadrado é 4 . 14 = 56 4 56 cm.

Alternativa e

Resolução de Lógico, é lógica!

A sequência de operações consiste em multiplicar os valores da esquerda e da direita e dividir o produto pelo valor da parte inferior. Veja a seguir.

(8 5) : 10 = 4

(9 . 8) : 2 = 36

Logo, o valor desconhecido é dado por:

(6 . 14) : 12 = 7.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA16

A seção Atividades tem como objetivo explorar algumas construções geométricas no GeoGebra. Encaminhe as atividades da página para que sejam resolvidas individualmente. Observe se os estudantes demonstram alguma dificuldade e, sempre que necessário, faça intervenções. Em seguida, corrija-as coletivamente e dê espaço para que apresentem as estratégias utilizadas.

Na atividade 1, os estudantes devem seguir o procedimento indicado para a construção de um triângulo, porém, para cada item, devem inserir o número de lados do polígono na janela que abre.

Na atividade 2, espera-se que os estudantes usem as ferramentas próprias do software para verificar se as medidas dos lados e dos ângulos são congruentes. É indicado que você se familiarize com essas ferramentas previamente.

Resolução da atividade 3

Com base em um segmento qualquer, pode-se traçar uma circunferência de raio igual à medida do segmento em cada extremidade dele. Ao unir as extremidades do segmento com uma das intersecções entre as circunferências, obtém-se um triângulo regular. A resposta da atividade 4 é pessoal.

resultado será o da figura abaixo.

Atividades

1 Usando o passo a passo da construção de um triângulo equilátero com o software GeoGebra, construa:

a) um polígono regular com 4 lados;

b) um polígono regular com 5 lados;

c) um polígono regular com 6 lados.

2 Como você pode verificar se os polígonos construídos na atividade 1 são equiláteros?

Respostas no Manual do Professor. Resposta no Manual do Professor.

3 Encontre outra maneira de construir um triângulo regular usando um software de Geometria dinâmica sem usar a ferramenta polígono regular.

Resposta no Manual do Professor.

4 A figura abaixo mostra três circunferências de mesmo centro O

Respostas possíveis:

1 (CESPE) Observe as figuras.

A partir da forma inicial apresentada na figura I, foi construída uma faixa decorativa, da qual uma parte é mostrada na figura II. Alternativa d

Adicionando as medidas dos três ângulos do triângulo BCD, obte -

mos:

y + b + (180‘ - 2x) + x = 180‘ y + b = x.

Adicionando as medidas dos ângulos do triângulo ABC, obtemos: 60‘+ 2y + 180‘ - 2x = 180‘

x = y + 30‘

Então: y + b = y + 30‘

Assim, concluímos que b = 30‘

Resolução da atividade 3

Nessa situação, as quatro simetrias do plano que foram aplicadas na figura I de modo sucessivo, para formar o padrão básico da faixa da figura II, são:

a) reflexão em um eixo vertical, rotação de 90‘ para a direita, reflexão em eixo vertical e rotação de 90‘ para a esquerda.

b) reflexão em eixo horizontal, deslizamento inclinado para baixo, reflexão em eixo horizontal e deslizamento inclinado para cima.

c) rotação de 180‘, reflexão em eixo inclinado, rotação de 180‘ e reflexão em eixo inclinado.

d) reflexão em eixo vertical, deslizamento inclinado para baixo, reflexão em eixo vertical e deslizamento inclinado para cima.

2 (OBMEP) Na figura a seguir, os ângulos marcados em cinza têm a mesma medida. Do mesmo modo, os ângulos marcados em branco também têm a mesma medida. Determine a medida do ângulo b 30‘

3 (OCM-UFCG-PB) Na figura tem-se  = 30‘ BD e CD são as bissetrizes dos ângulos ˆ B e ˆ ,C respectivamente. Qual é a medida do ângulo ˆ BDC ? Alternativa c

Orientações

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize as atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da Atividade 1

Veja imagem explicativa na lateral.

Alternativa d

Resolução da Atividade 2

Sejam x e y as medidas dos ângulos em verde e cinza, respectivamente, como mostra a figura:

x y 30º

B C Dy

x z

Seja a medida do ângulo

BDCz =

Nos triângulos ABC e BCD, temos:

2x + 2y + 30‘ = 180‘6 x + + y = 75‘ e x + y + z = 180‘

Logo: z = 105‘

Portanto, alternativa c Resolução da Atividade 1

A figura é refletida em relação ao eixo vertical.

A figura desliza para baixo em uma direção inclinada.

A figura é refletida em relação ao eixo vertical.

A figura desliza para cima em uma direção inclinada.

figura I figura II

Marcel Borges

Ilustrações: DAE

Tarcísio Garbellini

Tarcísio Garbellini

Orientações

Resolução da atividade 4 a) e b)

01234567891011

c) Retângulo, pois: AB // CD , AC // BD e os ângulos A , B , C e D medem 90‘ d) e e)

4 Reproduza o plano cartesiano a seguir no caderno. Respostas no Manual do Professor.

a) Marque os pontos A(1, 1); B(1, 5); C(9, 5) e D(9, 1).

b) Una os pontos A e B, B e C, C e D, D e A

c) Pinte o quadrilátero formado. Que quadrilátero é esse? Justifique sua resposta.

d) Agora, marque o ponto médio de cada lado e identifique-os com M, N, O e P

e) Una os pontos M e N, N e O, O e P, P e M

f) Que polígono foi formado? Justifique sua resposta.

5 (OBMEP) Na figura abaixo, ABCD é um paralelogramo. O ponto E é ponto médio de AB, e F é ponto médio de CD. Qual é a razão entre a área do triângulo GIH e a área do paralelogramo ABCD? Alternativa a

f) Losango, pois:

Resolução da atividade 5

Alternativa a

Veja explicação no rodapé. Resolução da atividade 6 Chamando de x a medida dos lados dos triângulos equiláteros ABE e CDE e de y a medida do lado BC do triângulo isósceles BCE, temos:

a) 9 8 b) 5 4 c) 4 3 d) 3 2 e) 2

6 (OMRP-SP) Ana Lítica desenha dois triângulos equiláteros sobre os lados com medidas iguais de um triângulo isósceles obtendo assim um pentágono, como ilustra a figura. Sabendo que o perímetro do triângulo isósceles é 18 cm e o perímetro do pentágono é 32 cm, assinale a alternativa que contém o perímetro de um dos triângulos equiláteros. Alternativa d

a) 28 cm

b) 25 cm

c) 24 cm

Resolução da Atividade 5

De acordo com o enunciado, BCFE e EFDA são dois paralelogramos congruentes. Agora, traçando-se a reta por E e F, como na figura, obtemos também que AGJE e HDFK são paralelogramos congruentes aos dois iniciais (BCFE e EFDA). Além disso, as diagonais determinam, nos respectivos paralelogramos, quatro triângulos de mesma área, com dois pares de triângulos congruentes (em cada paralelogramo, os triângulos opostos pelo vértice são congruentes). Observe que o paralelogramo ABCD contém

d) 21 cm e) 20 cm

8 desses triângulos e o triângulo GIH contém 9. Logo, a razão entre eles é igual a 9 8

Garbellini

Tarcísio Garbellini

7 ( ESPCEX-SP) Na figura a seguir, ABCD é um quadrado, E é o ponto médio de BC e F é o ponto médio de DE

Ilustrações:

A razão entre as áreas do quadrado ABCD e do triângulo AEF, nessa ordem, é: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

8 Como podemos construir uma circunferência que tenha raio de 2 cm e seja tangente a dois lados de um ângulo dado?

Alternativa d Resposta no Manual do Professor.

Trace a bissetriz do ângulo. Depois, trace a paralela a um dos lados, na parte interna do ângulo, a 2 cm. A intersecção entre a bissetriz do ângulo e a paralela será o centro da circunferência procurada. r = 2cm

Resolução da atividade 9

Se o triângulo é equilátero, temos: 3y + x = 5y 6 x = 2y yx x y x yxy 3 2 4 2 2  +=+.=.= yx x y x yxy 3 2 4 2 2  +=+.=.=

Resposta pessoal. A C 5 3 + B 2 + 4 x x y y y x x y y 3 5 - 6 + 12°

Descubram uma forma de calcular os possíveis valores de x e de y. Expliquem a estratégia que vocês utilizaram.

Atribuindo valores para y obtemos os valores de x. xy 12 24 5 10

Portanto, alguns valores possíveis de x e de y são:

x = 2 e y = 1; x = 4 e y = 2; x = 10 e y = 5.

Resolução da atividade 10

A soma x + y vale:

a) 24°.

b) 40°.

c) 56°.

d) 72°.

e) 88°.

Orientações

Resolução da atividade 7

Observe a figura a seguir. Como E é ponto médio de BC, então temos que os triângulos DCE, EGD, AGE e EBA são todos congruentes. Logo, a área do quadrado ABCD é o dobro da área do triângulo ADE

Como F é ponto médio de DE, então os triângulos ADF e AEF possuem a mesma área (uma vez que DFFE h e a altura relativa a essas bases é a mesma). Assim, a área do triângulo ADE é o dobro da área do triângulo AEF, e a razão entre as medidas das áreas do quadrado ABCD e do triângulo AEF, nessa ordem, é 4.

Vignati

Do enunciado, temos que x = 3y e x + (5x - 6y + 12‘) = 180‘ Substituindo x = 3y na segunda equação e resolvendo, obtemos y = 14‘ e x = 42‘ Logo, x + y = 42‘+ 14‘ = 56‘ Alternativa c

Reinaldo

Alternativa d E F B C G A D

Tarcísio Garbellini

Resolução da atividade 8

Orientações

Resolução da atividade 11

Sejam a e d as medidas dos ângulos A e D , respectivamente.

Então a + d = 180‘ (ângulos consecutivos do paralelogramo).

Temos também que as medidas dos ângulos internos do triângulo

11 (EEAR-SP) Seja o paralelogramo ABCD. Sabendo que AP e DP são bissetrizes dos ângulos internos  e ˆ D respectivamente, o valor de x é: Alternativa b

a) 55‘ b) 45‘ c) 30. d) 15‘

12 (VUNESP) O retângulo ABCD foi dividido em 3 regiões, conforme mostra a figura.

Alternativa b

Resolução da atividade 12

O ângulo AFC é o suplemento de 50‘, logo mede 130‘. Como ABCD é um retângulo, então a medida do ângulo C ˆ é 90‘. Assim, no quadrilátero AFCE, temos:

30‘+ 130‘+ 90‘+a= 360‘6

6a= 110‘

Alternativa b

Resolução da atividade 13

Observando a figura, identificamos três retângulos, um trapézio um triângulo e um círculo.

Alternativa e

Resolução da atividade 14

Com a régua, traçamos o lado AB de 9 cm. Colocando o compasso com centro em A e em B, traçamos arcos de raios 8 cm e 6 cm, respectivamente. Chamando de C o ponto onde os arcos se intersectam e unindo A com C e B com C, obtemos o triângulo pedido ABC

A medida do ângulo indicado por a no quadrilátero AECF é

Alternativa b

a) 100‘ b) 110‘ c) 120‘ d) 130‘

13 (VUNESP) A capa de um livro infantil foi ilustrada com o desenho de rascunho de um barco e do Sol, como mostra a figura.

Na figura, as quatro formas geométricas identificadas são:

a) quadrado, trapézio, triângulo e círculo.

b) círculo, retângulo, cubo e triângulo.

c) trapézio, retângulo, losango e círculo.

d) triângulo, retângulo, quadrado e circunferência.

e) retângulo, trapézio, triângulo e círculo.

Alternativa e

14 Utilizando régua e compasso, construa em uma folha avulsa um triângulo de lados 9 cm, 6 cm e 8 cm e, depois, recorte-o. Após finalizar, compare seu triângulo com o de um colega.

a) O que vocês podem concluir observando os dois triângulos construídos?

Eles são congruentes. Resposta pessoal.

b) Conversem sobre como foi o processo de construção e como chegaram à conclusão do item anterior.

15 Leia o texto a seguir.

Em todo bloco ela está presente, girando com suas tradicionais cores – amarelo, vermelho, verde e azul – ou estilizada com lantejoulas e outras estampas. Muito mais do que um acessório para os foliões e passistas, a sombrinha de frevo é também um dos maiores símbolos de Pernambuco, nas festas do Carnaval local e Brasil afora. [...]

[...] Já nos anos 30, era comum orquestras de frevo passarem pelas ruas e, quem estivesse transitando, se juntava aos músicos e caía no passo. Como muitos recifenses usavam guarda-chuva, era natural que utilizassem o acessório também para dançar. [...]

HEROLD, Valentine. Conheça a história da sombrinha de frevo, símbolo do Carnaval de Pernambuco. JC, [Recife], 21 fev. 2020. Disponível em: https://jc.ne10.uol.com.br/canal/cultura/sociedade/noticia/2020/02/21/conheca-a-historia-da-sombrinha-de-frevo -simbolo-do-carnaval-de-pernambuco-400426.php. Acesso em: 16 maio. 2022.

Dona Marta é uma artista plástica e construiu um quadro em formato octogonal com o intuito de representar uma sombrinha de frevo no plano. Esse quadro pode ser visualizado abaixo e é formado por 8 triângulos congruentes distintos.

Orientações

Resolução da atividade 15

a) São formados 8 quadriláteros com a composição de dois triângulos consecutivos.

b) São formados 8 pentágonos com a composição de três triângulos consecutivos e 8 pentágonos com a composição de quatro triângulos consecutivos, totalizando 16 pentágonos.

c) Não é possível formar nenhum hexágono.

Dois ou mais triângulos serão consecutivos se compartilharem um de seus lados. Mantendo fixas as posições de todos os triângulos, responda:

a) Quantos quadriláteros distintos podem ser formados pela composição de triângulos consecutivos?

8 quadriláteros

b) Quantos pentágonos distintos podem ser formados pela composição de triângulos consecutivos?

8 pentágonos

c) Quantos hexágonos distintos podem ser formados pela composição de triângulos consecutivos?

Nenhum.

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Identifico e compreendo os casos de congruência entre triângulos.

Identifico e compreendo as propriedades de paralelogramos e de trapézios.

Compreendo o significado de mediatriz de um segmento e bissetriz de um ângulo.

Resolvo problemas aplicando os conceitos de mediatriz e bissetriz.

Construo ângulos de 90°, 60°, 45° e 30°.

Construo polígonos utilizando instrumentos de desenho e software de Geometria dinâmica.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras. Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

A figura abaixo traz um exemplo para cada situação: quadrilátero formado com 2 triângulos consecutivos, pentágono formado com 3 triângulos consecutivos e pentágono formado com 4 triângulos consecutivos. Com 5 triângulos consecutivos já se formam heptágonos. Por isso, não é possível formar nenhum hexágono.

Reinaldo Vignati

Principais objetivos da unidade

• Identificar regularidades de sequências numéricas não recursivas e construir algoritmos por meio de fluxogramas.

• Identificar a regularidade de sequências numéricas recursivas e construir algoritmos por meio de fluxogramas.

• Identificar a natureza da variação de duas grandezas (direta e inversamente proporcionais ou não proporcionais).

• Expressar uma relação entre grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de uma sentença algébrica.

• Resolver problemas que envolvem grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF08MA10, por meio da identificação de regularidades de sequências numéricas ou figurais não recursivas e construção de algoritmos por meio de fluxogramas. Ao identificar a regularidade de sequências numéricas recursivas e construir algoritmos por meio de fluxogramas, será desenvolvida a habilidade EF08MA11

A habilidade EF08MA12 está contemplada na identificação da natureza da variação de duas grandezas direta ou inversamente proporcionais ou não proporcionais. A resolução e elaboração de problemas que envolvem grandezas direta e inversamente proporcionais está contemplada por meio da habilidade EF08MA13

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• compreendam o conceito de grandezas;

• compreendam o conceito de unidades de medida;

• consigam realizar operações com números racionais;

• compreendam sentença algébrica.

Avaliação diagnóstica

É importante observar o que os estudantes já dominam sobre os pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade. Para isso, promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre os pré-requisitos elencados e a citar exemplos do cotidiano.

Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retome os conteúdos propostos para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 3, 8 e 10

Competências específicas 1, 2, 3, e 7

Habilidades EF08MA10, EF08MA11, EF08MA12 e EF08MA13

Foco nos TCTs

• Educação para o Trânsito

• Saúde

Rafael Araujo. Blue morpho sequence, 2016. Desenho em tela, 45 cm * 33 cm.

Sequências e proporcionalidade

Fibonacci (Leonardo de Pisa, c. 1170 - c. 1250) foi um matemático italiano que descobriu a sequência que começa com 0 e 1 e cujos números seguintes, exceto os dois primeiros, são obtidos pela adição dos dois termos imediatamente anteriores a ele. Essa sequência ficou conhecida com sequência de Fibonacci. Ao traçarmos uma série de quadrados cujas medidas dos lados são termos dessa sequência, obtemos a espiral de Fibonacci

Orientações

Aproveite o tema abordado na abertura da unidade para identificar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre sequências numéricas. Se julgar conveniente, solicite que façam uma pesquisa para ampliar o estudo, buscando, por exemplo, informações sobre elementos da natureza ou obras de arte que apresentam padrões numéricos como os da sequência de Fibonacci. Ao longo da unidade, o conceito de proporcionalidade é abordado por meio do estudo das sequências.

Atividades complementares

Baseando-se na sequência de Fibonacci, Rafael Araujo, arquiteto e ilustrador venezuelano, elaborou diversos desenhos trabalhando proporções e padrões naturais.

1. Quais são os dez primeiros termos da sequência de Fibonacci?

2. Pesquise onde podemos encontrar, na natureza, nas artes e nas construções humanas, a sequência de Fibonacci.

Resposta no Manual do Professor.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• identificar regularidades de sequências numéricas não recursivas, construindo um algoritmo por meio de fluxogramas;

• identificar a regularidade de sequências numéricas recursivas e construir algoritmos por meio de fluxogramas;

• identificar a natureza da variação de duas grandezas (direta e inversamente proporcionais ou não proporcionais).

Se achar oportuno, assista ao vídeo DonaldnoPaísdaMatemágica, que mostra algumas proporções áureas contextualizadas no cotidiano, assim como os encantos da sequência de Fibonacci. Disponível em: https://www. youtube.com/watch?v=wbftu093Yqk&t=170s (acesso em: 4 ago. 2022). Promova uma roda de conversa para que as respostas das atividades dessa página sejam compartilhadas. Esse tipo de atividade contribui para ampliar o repertório dos estudantes e os faz expandir o olhar matemático aplicado em outras áreas e vivências, contribuindo para o desenvolvimento da competência específica 3 Resolução da questão 1 já mencionamos que os dois primeiros termos são 0 e 1. Os outros termos são:

3? termo: 0 + 1 = 1

4? termo: 1 + 1 = 2

5? termo: 1 + 2 = 3

6? termo: 2 + 3 = 5

7? termo: 3 + 5 = 8

8? termo: 5 + 8 = 13

9? termo: 8 + 13 = 21

10? termo: 13 + 21 = 34 Portanto, os 10 primeiros termos são: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e 34 Resolução da questão 2 Os estudantes possivelmente darão respostas como: na natureza podemos encontrá-la nas pétalas das rosas, nos caules das árvores e nas conchas em espiral do náutilo, um molusco marinho, que crescem à medida que o molusco também cresce. Também estão nas pirâmides do Egito, no Partenon, em Atenas, entre muitas outras construções que apresentam uma relação com a razão áurea.

Objetivos do capítulo

• Identificar regularidades de sequências numéricas não recursivas e construir um algoritmo por meio de fluxogramas.

• Identificar a regularidade de sequências numéricas recursivas e construir algoritmos por meio de fluxogramas.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 3

Competências específicas 1 e 3

Habilidades EF08MA10 e EF08MA11

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF08MA10 e EF08MA11

Solicite aos estudantes que escrevam sequências numéricas apresentando sua lei de formação.

Verifique se compreendem que, quando conseguimos escrever uma regra para determinar números que estão dispostos em determinada ordem, esses números formam uma sequência numérica e são denominados termos.

Em Para começar, o número de figuras de cada termo da sequência é dado por:

1,3,6,10, +2 +3 +4 +5

Sequências

A sequência de figuras representadas abaixo obedece a um padrão de formação:

15,...

O sexto termo terá 15 + 6 = 21, e o sétimo termo terá 21 + 7 = 28.

A sétima figura será composta de 28 círculos.

O oitavo termo terá 28 + 8 = 36.

O nono termo terá 36 + 9 = 45.

O décimo termo terá 45 + 10 = 55.

A décima figura será composta de 55 círculos.

• E a décima figura dessa sequência, quantas tem? 28

• Quantas compõem a sétima figura dessa sequência?

Introdução

É comum observarmos conjuntos cujos elementos estão dispostos em certa ordem, seguindo ou não determinado padrão. Dizemos que esse conjunto corresponde a uma sequência ou sucessão

• Sequência dos números naturais pares: 0, 2, 4, 6, 8, ...

• Sequência dos números naturais primos: 2, 3, 5, 7, 11, ...

• Sequência de formas geométricas planas:

• Sequência dos meses do ano: janeiro, fevereiro, março, ... , dezembro.

1. Qual é o 6? número natural ímpar?

2. E o 10? número natural par? Registre suas conclusões no caderno, explique como chegou a elas e compare suas respostas com as de um colega.

As sequências são caracterizadas pela ordem de seus termos. De modo geral, representa-se o termo de uma sequência por uma letra minúscula qualquer, normalmente a, acompanhada de um índice que indica sua posição ou ordem na sequência.

(a1, a2, a3, a4, ..., an) 444

Lê-se: "a índice um" ou "a um". 1? termo 3? termo enésimo termo

No Pense e responda, amplie para outras sequências, como o dobro ou triplo de alguns números.

1. 1, 3, 5, 7, 9, 11...

O sexto número ímpar é 11.

2. 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20...

O décimo número par é 20.

Se achar conveniente, proponha aos estudantes que identifiquem as leis de formação dessas sequências.

Por exemplo, na sequência 2, 3, 5, 7, 11, ..., o primeiro termo é a1 = 2, o segundo é a2 = 3 e o quinto é a5 = 11.

Para representar um termo qualquer, utilizamos an, ou seja, o enésimo termo, ou termo de ordem n, em que n = 1, 2, 3, ...

Por esse motivo, a n é chamado termo geral da sequência.

Determinando os termos de uma sequência

Os termos de uma sequência podem ser determinados por meio da lei de formação, também chamada de fórmula do termo geral, onde cada termo é calculado em função de sua posição "n", ou por recorrência, onde cada termo é calculado conhecendo seu antecessor. Acompanhe os exemplos a seguir.

• Lorenzo determinou o termo geral da sequência 11, 21, 31, 41, ... para calcular o quinquagésimo termo.

Cada termo dessa sequência, a partir do primeiro, é igual ao termo anterior adicionado a 10. Veja:

11, 21, 31, 41, + 10 + 10 + 10

Escrevendo todos os termos em função do 10 que está sendo adicionado, temos:

a1 = 11 = 1 + 10 . 1

a2 = 21 = 1 + 10 . 2

a3 = 31 = 1 + 10 . 3

a4 = 41 = 1 + 10 . 4

Sendo n um número natural diferente de zero, o termo geral é a n = 1 + 10n Esse termo possibilita obter qualquer termo da sequência desde que conhecida sua posição ou ordem. Fazendo n = 50, obtemos o quinquagésimo termo:

a50 = 1 + 10 50, então, a50 = 1 + 500, logo a50 = 501

Portanto, o 50? termo é 501.

É importante lembrar que a n+1 é o sucessor de an, com n natural diferente de zero.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF08MA10 e EF08MA11

No tópico “Determinando os termos de uma sequência”, sugerimos a você que apresente uma sequência (por exemplo: 2, 4, 6, 8, 10, ...) e pergunte como determinariam seu vigésimo termo. Espera-se que os estudantes relacionem os 20 primeiros termos da sequência sucessivamente (2, 4, 6, 8, 10, ..., 38, 40), verificando que o vigésimo termo é o 40.

Em seguida, converse como seria possível determinar um termo qualquer dessa sequência sem precisar escrever todos os termos anteriores a ele.

Os estudantes devem observar que na lei de formação, n é um número natural diferente de zero, pois não há termo de posição zero nem de posição negativa.

Para aprofundar

O estudo de Pereira e Masseno (2020) abordou uma análise documental sobre didáticas adequadas ao ensino de sequências numéricas envolvendo números triangulares, uma ótima leitura para fundamentar sua prática docente.

• MASSENO, T. C. S.; PEREIRA, A. C. C. O ensino de sequências numéricas por meio dos números tr iangulares utilizando a história da Matemática.  BoletimCearensedeEducaçãoeHistóriada Matemática, [s.l.], v. 7, n. 19, p. 103-115, 2020. DOI: 10.30938/bocehm.v7i19.2979. Disponível em: https://revistas.uece.br/index. php/BOCEHM/article/view/2979. Acesso em: 28 jul. 2022.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF08MA10 e EF08MA11

Quando utilizamos o termo anterior para determinar o termo que estamos procurando, dizemos que a regra dessa sequência é recursiva ou recorrente

Sugerimos a você que apresente, por exemplo, a sequência: 6, 14, 30, 62...

Peça aos estudantes que identifiquem o termo geral.

Observe se identificaram que, a partir do primeiro termo, qualquer termo pode ser obtido somando-se 2 unidades ao dobro do termo anterior a ele. Desse modo, a regra que possibilita obter os termos dessa sequência é: a n = 2 . a n - 1 + 2, em que a n - 1 é o termo anterior a a n Como sabemos que nessa sequência o 4o termo é o 62, para encontrarmos o 5o termo, por exemplo, basta fazermos:

a5 = 2 a4 + 2 = 2 62 + 2 = = 124 + 2 = 126.

Com o 5o termo, obteremos o 6o, e assim sucessivamente.

Peça aos estudantes que observem o fluxograma da página, que fornece o algoritmo para calcular os próximos termos da sequência recursiva. Solicite que reproduzam o fluxograma no caderno e façam o passo a passo para determinar os termos de uma sequência.

Agora, vamos elaborar um fluxograma que possibilite obter os quatro primeiros termos da sequência: 5, -2, -9, -16, ...

Observe que cada termo dessa sequência, a partir do segundo, é igual ao termo imediatamente anterior menos 7. Daí vem:

Considerar a1 = 5

a3 = a2 - 7

a4 = a3 - 7

a2 = a1 - 7 Apresentar os valores de a1, a2, a3 e a4

Essa sequência é dada para a1 = 5 e a n + 1 = a n - 7, chamada lei de formação ou fórmula do termo geral

Veja agora como podemos determinar o 5? termo recorrendo ao 4? termo (a4 =-16), o 6? termo recorrendo ao 5? e o 7? termo recorrendo ao 6?

n = 4: a4 + 1 = a4 -7 6 a5 =-16 - 7 6 a5 =-23

n = 5: a5 + 1 = a5 -7 6 a6 =-23 - 7 6 a6 =-30

n = 6: a6 + 1 = a6 -7 6 a7 =-30 - 7 6 a7 =-37

Portanto, os próximos três termos são -23, -30 e -37.

• A sequência de figuras a seguir foi obtida obedecendo a determinado padrão.

Seguindo o mesmo padrão, qual é a figura 5 dessa sequência?

Note que a figura toda foi dividida em seis partes iguais. Vamos numerar cada uma dessas partes e verificar o que ocorre com a parte pintada. Portanto, a figura 5 é a que terá a parte 5 pintada.

1 Em uma sequência numérica, o primeiro termo é 61 e cada um dos outros termos, a partir do segundo, corresponde à soma dos quadrados dos algarismos do termo anterior.

a) Escreva os 12 primeiros termos dessa sequência.

b) O que se pode observar nessa sequência?

2 Escreva os cinco primeiros termos de cada uma das sequências a seguir.

a) a n = n5 - n, sendo n um número inteiro positivo.

b) a n = 21 2 n n - , sendo n um número inteiro positivo.

Respostas no Manual do Professor.

a) Determine a lei de formação dessa sequência.

61, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58 e 89

3 A sequência a seguir foi obtida obedecendo a um determinado padrão e a uma lei lógica: (1, 4, 9, 16, 25, ...).

b) Determine o sexto e o sétimo termo dessa sequência.

4 Considere n um número inteiro positivo e escreva os seis primeiros termos de cada uma das sucessões a seguir.

a) a n = 1 + (-1)n

2 n +

Sequência A: 1, 9, 17, 25, 33, ...

Sequência B: -2, -7, -12, -17, -22, ...

Sequência C: 3 4 , 1, 5 4 , 3 2 , 7 4 , ...

0, 30, 240, 1 020 e 3 120 1 2 ,  3 4 ,  5 6 ,  7 8  e 9 10

5 Convide um colega para trabalhar com você. Observem as sequências a seguir.

Resposta

a) Para cada uma dessas sequências, construam um fluxograma que possibilite obter seu termo geral.

b) Calculem o 40? termo de cada uma delas.

Orientações

habilidades EF08MA10 e EF08MA11 Resolução da atividade 1 a) a1 = 61; a2 = 62 + 12 = 37; a3 = 32 + 72 = 58; a4 = 52 + 82 = 89; a5 = 82 + 82 = 145; a6 = 12 + + 42 + 42 = 42; a7 = 42 + 22 = 20; a8 = 22 = 4; a9 = 42 = 16; a10 = 12 + 62 = 37; a11 = 32 + 72 = 58; a12 = 52 + 82 = 89 Resolução da atividade 2 a) a1 = 15 - 1 = 0; a2 = 25 - 2 = 30; a3 = 35 - 3 = 240; a4 = 45 - 4 = 1 020; a5 = 55 - 5 = 3 120. b) == a 21 1 21 1 2 1 ; == a 22 1 22 3 4 2 ; ====== aaa 23 1 23 5 6 ; 24 1 24 7 8 ; 25 1 25 9 10 34 5 ====== aaa 23 1 23 5 6 ; 24 1 24 7 8 ; 25 1 25 9 10 34 5 Resolução da atividade 3 a) a n = n2 b) a6 = 62 = 36; a7 = 72 = 49

Resolução da atividade 4 a) Para n par, temos: a n = 1 + + (-1)n = 0 Para n ímpar: an = 1 - (-1)n = 2 a1 = 0; a2 = 2; a3 = 0; a4 = 2; a5 = 0; a6 = 2 b)             ==== ++ aa 1 2 1 8 ; 1 2 1 12 2 22                   ====== ++++ aaaa 1 2 1 8 ; 1 2 1 16 ; 1 2 1 32 1 12 2 22 3 32                         ======== ++++ aaaa 1 2 1 8 ; 1 2 1 16 ; 1 2 1 32 ; 1 2 1 64 1 12 2 22 3 32 4 42                               ========== ++++++ aaaaaa 1 2 1 8 ; 1 2 1 16 ; 1 2 1 32 ; 1 2 1 64 ; 1 2 128 1 12 2 22 3 32 4 42 5 52                                     ============ ++++++ aaaaaa 1 2 1 8 ; 1 2 1 16 ; 1 2 1 32 ; 1 2 1 64 ; 1 2 1 128 ; 1 2 256 1 12 2 22 3 32 4 42 5 52 6 62                                     ============ ++++++ aaaaaa 1 2 1 8 ; 1 2 1 16 ; 1 2 1 32 ; 1 2 1 64 ; 1 2 1 128 ; 1 2 1 256 1 12 2 22 3 32 4 42 5 52 6 62 Resolução da atividade 5 a) Sequência A: 1, 9, 17, 25, 33, ... Início Fim a n + 1 é o sucessor de an, com n natural e diferente de zero a2 = a1 + 8 a3 = a2 + 8 a n + 1 = a n + 8 a1 = 1 Sequências B e C análogas à sequência A b) a40 = a1 + 39 8 = 1 + 312 = = 313. b40 = b1 + 39 . (-5) = -2 - 195 = =-197. c40 = c1 + 39 .=+== 1 4 3 4 39 4 42 4 =+== 1 4 3 4 39 4 42 4 21 2 Resolução da atividade 6 DAE DAE

DAE

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA10 e EF08MA11

Resolução da atividade 7

a1 =-3

Se n = 1, a1 + 1 = a1 + 5

a2 =-3 + 5 = 2.

Se n = 2, a2 + 1 = a2 + 5

a3 = 2 + 5 = 7.

Se n = 3, a3 + 1 = a3 + 5

a4 = 7 + 5 = 12.

Resolução da atividade 8

a) Observando o desenho, temos:

1a casa: 1 + 5 = 6 4 6 palitos

2a casa: 1 + 2 5 = 11 4 11 palitos

3a casa: 1 + 3 5 = 16 4 16 palitos

na casas: p = 1 + 5n

Se n = 86, temos:

p = 1 + 5 . 86

p = 431 palitos.

b) Observamos que a primeira sequência é composta de 1 + 5 palitos, e nas seguintes, sempre aumentam 5 palitos. Logo podemos escrever que p = 1 + 5n

Na atividade 9, verifique se os estudantes identificaram o padrão dos itens a e b e observe se as perguntas elaboradas estão coerentes.

Resolução da atividade 10

Analisando a lei de recorrência da sequência (23, 13, 22, 11, 20, 9, w, y), é possível perceber que existe uma lógica para os termos ímpares. Note que o 3o termo é igual ao 1o termo menos dois, pois 24 - 2 = 22. Usando a mesma lógica, o 7o termo, representado por x, será o 5o termo menos 2, ou seja, 20 - 2 = 18.

Existe lógica semelhante para os termos pares: o 4o termo é o 2o termo menos 2, pois 13 - 2 = 11, e assim sucessivamente. Queremos o 8o termo, representado por y, que será o 6o termo menos 2; então, 9 - 2 = 7.

Logo, temos x = 18 e y = 7. Analisando as alternativas, temos que x + y = 25. Alternativa c

7 Escreva os quatro primeiros termos da sequência definida por:

natural maior ou igual a 1.

3, 2, 7 e 12

8 No desenho a seguir, percebemos uma fileira de “casas” representadas com palitos de madeira.

a) Se forem construídas 86 “casas”, quantos palitos serão utilizados?

b) Com p palitos de madeira, foram construídas exatamente n casas. Quanto vale p, em função de n?

9 Cada uma das sequências de figuras mostrada abaixo foi elaborada seguindo determinado padrão. Mantido esse padrão, elabore uma pergunta para cada item e troque o caderno com um colega para responder.

431 palitos p = 1 + 5n Resposta pessoal.

10 (INSTITUTO AOCP) A seguir, é apresentada uma sequência numérica, tal que os elementos dessa sequência foram dispostos obedecendo a uma lei (lógica) de formação, em que x e y são números inteiros:

(24, 13, 22, 11, 20, 9, x, y).

Observando essa sequência e encontrando os valores de x e de y, seguindo a lei de formação da sequência dada, é correto afirmar que:

Alternativa c

a) x é um número maior que 30.

b) y é um número menor que 5.

c) a soma de x com y resulta em 25.

d) o produto de x com y resulta em 106.

e) a diferença entre y e x, nessa ordem, é um número positivo.

11 A sequência de figuras representada abaixo segue o padrão lógico de um sistema de numeração.

De acordo com esse padrão, qual será a próxima figura desse sistema?

12 (FUNDEP-MG) Um almoxarife, ao guardar caixas de documentos em um depósito, organizou-as em 6 filas, dispondo-as da seguinte forma:

• 1; fila: 14 caixas;

• 2; fila: 25 caixas;

• 3; fila: 36 caixas.

Se em cada uma das filas ele mantiver o padrão utilizado nessas três primeiras, quantas caixas ele terá guardado ao finalizar a 6; fila?

Resposta no Manual do Professor. Alternativa a

a) 69

b) 75

c) 180

d) 249

A sequência de figuras representada abaixo está incompleta.

está para assim como está para

A figura que está faltando, à direita, deve ter com aquela que a antecede a mesma relação que a segunda tem com a primeira. Qual das figuras abaixo representa essa figura?

Alternativa c

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA10 e EF08MA11

Resolução da atividade 11

Observando a sequência de figuras, temos:

Percebemos que, em cada linha, temos no máximo 2 bolinhas.

Na figura 0, temos 0 bolinhas.

Na figura 1, temos 1 bolinha na linha de baixo.

Na figura 2, temos 2 bolinhas na linha de baixo.

Na figura 3, como já temos 2 bolinhas na linha de baixo, passamos para a linha do meio, com 1 bolinha que valerá 3.

Na figura 4, temos 1 bolinha na linha de baixo, que vale 1, e 1 bolinha na linha do meio, que vale 3. Segundo esse raciocínio, na oitava figura, temos 2 bolinhas na linha de baixo e 2 bolinhas na linha do meio (1 + 1 + 3 + 3 = 8).

Logo, na figura 9, temos 1 bolinha na linha de cima, com valor 9. Veja imagens no rodapé. Resolução da atividade 12: +11 +11 +11 +11 +11

14,25,36,47,58,69...

Alternativa a Resolução de Lógico, é lógica! Observando a sequência, temos:

Logo, a imagem da alternativa c completa a figura (quadrado azul).

Ao finalizar este capítulo, espera-se que os estudantes compreendam que os padrões fazem parte do cotidiano e que podemos identificá-los em uma diversidade de contextos e situações. As sequências numéricas e não numéricas descrevem formas, movimentos e uma variedade de comportamentos.

Ilustrações: Tarcísio Garbellini

Orientações

Esse estudo favorece o desenvolvimento da competência geral 3 e das competências específicas 1 e 3

As respostas para as atividades propostas nessa seção são pessoais.

Prepare um momento da aula para os estudantes apresentarem o resultado de suas pesquisas, de modo que todos possam usufruir das descobertas de cada um.

Atividades complementares

O mosaico consiste no recobrimento do plano obedecendo a um padrão de figuras planas, sequenciais, cobrindo-o inteiramente sem superposição das figuras nem espaços vazios entre elas.

Desde a Antiguidade, os mosaicos são usados em pisos e paredes e como padrões para tapetes, móveis, tecelagem, vestuário e outros objetos.

Por exemplo, com triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos é possível formar diferentes padrões e combinações para mosaicos.

Veja as figuras abaixo.

Padrões

Quando você anda descalço na areia molhada, seus pés criam um padrão – direito, esquerdo, direito, esquerdo. Veja a figura a seguir.

No mercado, uma fileira de latas iguais em uma prateleira forma um padrão repetido, como pode ser visto nessa figura.

O padrão de adorno mostrado na figura abaixo encontra-se em uma bolsa de tecido dos índios ojibwas, nativos americanos das Grandes Planícies. O desenho repete-se inúmeras vezes, primeiro de um jeito e depois ao contrário.

Um desenho pode repetir-se até recobrir uma superfície inteira. A próxima figura mostra um exemplo de desenho entalhado na pedra em um templo mexicano, construído há mais de mil anos pelos índios zapotec.

O trabalho com mosaicos formados por polígonos regulares possibilita não somente explorar o conceito de sequências mas também rever conceitos relacionados aos polígonos regulares, como nomenclatura, número de lados e medida de ângulos.

Na construção de mosaicos, é importante observar a medida dos ângulos das figuras que concorrem em um vértice, pois a soma delas deve ser igual a 360‘

Alguns padrões repetidos ocorrem na natureza. Há também os que são criados pelas pessoas e usados em objetos para decoração ou naqueles destinados a trabalhos práticos, como os tijolos de uma parede e os ladrilhos do piso de um banheiro. Responda às questões a seguir.

Respostas pessoais.

1 Encontre outros exemplos de padrões repetidos em linhas ou fileiras. Procure dentro e fora de sua casa.

2 Edifícios grandes geralmente têm fileiras de janelas, todas de mesmo formato e tamanho. Faça uma lista ou desenhos dos exemplos que você encontrar.

3 Procure desenhos que se repetem em uma superfície por inteiro. Faça uma lista ou desenhe alguns exemplos. Padrões em tecido ou em piso de azulejos são só alguns dos exemplos que você pode encontrar no banheiro e em outros lugares da casa.

4 Pesquise a repetição de padrões na natureza.

Se possível, proponha aos estudantes que construam polígonos com as mesmas medidas de lados usando diferentes cores e, com essas figuras, elaborem um painel formado por mosaicos. Estabeleça uma discussão a fim de que eles descubram quais polígonos permitem realizar essa função.

Em seguida, proponha aos estudantes a construção de alguns mosaicos.

Esse trabalho pode ser feito em parceria com o professor de Arte e exposto para toda a escola.

Ilustrações: André Martins

ZASLAVSKY, Claudia. Jogos e atividades matemáticas do mundo inteiro. Tradução de Pedro Theobald. São Paulo: Artmed, 2000. p. 132.

Ilustrações: Tarcísio

Garbellini

Orientações

Proporcionalidade

Fábio tem 24 canetas. Para cada 3 canetas azuis, ele tem uma caneta vermelha. Quantas canetas azuis Fábio tem? 18 canetas

Grandezas diretamente e inversamente proporcionais

É muito provável que você já tenha resolvido situações envolvendo proporcionalidade. Vamos analisar algumas dessas situações.

• O quadro abaixo mostra o preço do feijão em função de sua quantidade.

Note que, quando a quantidade x de feijão dobra, triplica, quadruplica etc., o preço y também dobra, triplica ou quadruplica, respectivamente. Se a quantidade de feijão diminuir pela metade, o preço a ser pago também diminuirá pela metade, e assim por diante.

Por isso, dizemos que o preço y é diretamente proporcional à quantidade x, e o quociente de dois valores não nulos correspondentes é constante, isto é:

4,80 1 9,60 2 14,40 3 48,00 10 4,80 =====

em que 4,80 é a constante de proporcionalidade

Os dados dessa tabela podem ser representados no plano cartesiano da seguinte forma:

1. O que a constante de proporcionalidade representa nessa situação?

2. Qual é o valor dessa constante?

3. Explique como você chegou a esse valor.

1. O preço de um quilograma de feijão.

2. R$ 4,80.

3. Resposta pessoal.

Unindo os pontos marcados, obtemos uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano.

Objetivos do capítulo

• Identificar a natureza da variação de duas grandezas (direta e inversamente proporcionais ou não proporcionais).

• Expressar uma relação entre grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de uma sentença algébrica.

• Resolver problemas que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 8 e 10 Competências específicas 2, 3 e 7 Habilidades EF08MA12 e EF08MA13

Foco nos TCTs

• Educação para o Trânsito

• Saúde

Para iniciar o estudo sobre proporcionalidade, sugerimos a você que retome esse conceito por meio de conteúdos prévios, como: comparação entre números, relação parte-todo, relação parte-parte e taxas.

É possível se referir à relação parte-todo comparando a quantidade de estudantes da sala com a quantidade total de estudantes da escola, e à relação parte-parte comparando a quantidade de estudantes do 8o ano com a quantidade de estudantes em determinada turma.

É importante explorar o conceito de proporcionalidade como uma igualdade entre razões. Também é importante estabelecer uma relação quando duas grandezas não são proporcionais, como a relação entre perímetro e área de um quadrado, a fim de evidenciar que a relação entre duas grandezas nem sempre é proporcional.

As taxas expressam a relação entre duas grandezas, como velocidade e espaço (aceleração), habitantes e área (densidade demográfica), massa e volume (densidade), que serão aplicadas em outras áreas, como Física, Química e Geografia.

Essa atividade auxilia no desenvolvimento da competência específica 3

Em Pense e responda, aproveite para realçar o termo constante de proporcionalidade. No caso apresentado, o que permanece constante é o preço de um quilograma de feijão, por mais que varie a quantidade. Resposta do Pense e responda

1. O preço do feijão representa uma constante porque permanece o mesmo, independente da quantidade a ser comprada.

2. O valor da constante é R$ 4,80.

3. Resposta pessoal do estudante.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EM08MA12

Por meio de exemplos, pode-se concluir que duas grandezas, x e y, diretamente proporcionais, podem ser relacionadas pela equação y = kx, em que k será um número real chamado de constante de proporcionalidade.

É possível concluir que, se as sequências A = ( a 1, a 2, a 3, ... ) e B = (b1, b2, b3, ...) forem grandezas diretamente proporcionais, então:

Se duas grandezas x e y são diretamente proporcionais, temos:

y x k = , com k constante e diferente de zero, em que k é a constante de proporcionalidade

O gráfico que representa duas grandezas diretamente proporcionais é uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano.

1 1

2 2

3 3

===== a b a b a b a b nk n

Enfatize que, para duas grandezas serem diretamente proporcionais, não é suficiente que o aumento de uma acarrete o aumento da outra. É necessário que, ao multiplicar uma delas por um número real diferente de zero, a outra também seja multiplicada por esse mesmo número, o que leva ao aumento proporcional de ambas.

Outra maneira de apresentar e explorar as grandezas diretamente proporcionais é por meio da representação gráfica.

As questões do Pense e responda apresentam a constante de proporcionalidade em uma situação em que as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais, preparando os estudantes para o próximo tópico.

Resolução do Pense e responda

1. k representa a distância a ser percorrida.

2. 120 km

3. Multiplicando a velocidade pelo tempo correspondente.

1. A distância percorrida.

2. 120 m

3. Resposta pessoal.

1. O que a constante de proporcionalidade representa nesse caso?

2. Qual é o valor dessa constante?

3. Explique como você chegou a esse valor.

• A tabela mostra o tempo (t) que um motociclista leva para percorrer 120 km mantendo a mesma velocidade média (vm).

Tempo para percorrer 120 km com velocidade média constante

Note que, se a velocidade dobra, o tempo de percurso é reduzido à metade; se a velocidade se reduz à terça parte, o tempo de percurso é o triplo, e assim por diante.

Por isso, dizemos que a velocidade média v m é inversamente proporcional ao tempo gasto t e o produto de dois valores não nulos correspondentes é constante, isto é:

40 3 = 30 4 = 20 6 = 12 10 = 5 24 = 120 em que 120 é a constante de proporcionalidade.

Marcando os dados correspondentes a cada par ordenado da tabela no sistema cartesiano ortogonal e unindo-os, obtemos o gráfico:

Duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando o produto de dois valores correspondentes quaisquer é constante e diferente de zero. x y = k, com k constante e diferente de zero, em que k é a constante de proporcionalidade

Essas sentenças matemáticas são representadas graficamente por uma curva chamada hipérbole

x1y1 = x2y2 = x3y3 = k

Como são determinadas as faixas de ultrapassagem em estradas de mão dupla?

Comecemos pelo bê-á-bá: a linha contínua proíbe ultrapassagens e a tracejada libera.

Os pontos de proibição são determinados de acordo com a “distância de visibilidade” – distância em que é possível avistar um veículo na pista oposta com tempo hábil para ultrapassar.

Por exemplo: se a velocidade máxima da via é de 40 km/h, a faixa contínua é pintada a 100 m da curva.

Conforme a velocidade máxima cresce, a distância entre o início da faixa contínua e a curva aumenta, conforme ilustramos ao lado:

COMO são determinadas as faixas de ultrapassagem em estradas de mão dupla? Superinteressante, [São Paulo], 29 maio 2018. Oráculo. Disponível em: https://super.abril.com.br/blog/oraculo/como-sao-determinadas-as-faixas-de-ultrapassagem-em-estradas-de-mao-dupla/. Acesso em: 18 maio 2022.

Respostas no Manual do Professor.

a) As grandezas “velocidade máxima” e “distância de visibilidade” são proporcionais? Explique.

b) Pesquise em que situações é proibido ultrapassar em vias de mão dupla e de pista única.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades EF08MA12 e EM08MA13, além da competência específica 2

Por meio dos exemplos compartilhados, é possível concluir que duas grandezas, x e y, inversamente proporcionais, podem ser relacionadas pela equação xy = k, em que k será um número real chamado de constante de proporcionalidade.

É possível, ainda, concluir que, se as sequências A = (a1, a2, a3, ... ) e B = (b1, b2, b3, ...) forem grandezas inversamente proporcionais, então:

a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 == a n . b n = k Vale observar que duas grandezas são chamadas inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra é reduzida para a metade; triplicando uma delas, a outra é reduzida para a terça parte, e assim sucessivamente.

No item a da atividade de Curiosidade, os estudantes devem identificar que não há proporcionalidade entre velocidade máxima e distância de visibilidade. Isso pode ser verificado obtendo o quociente dos valores correspondentes:

130 : 50 = 2,6; 170 : 60 = 2,8; 250 : 80 = 3,1; 320 : 100 = 3,2, que não é constante.

b) É proibido ultrapassar em vias de mão dupla e pista única em duas situações:

• nos trechos em curvas e em aclives sem visibilidade;

• nas passagens de nível, pontes, viadutos e travessias de pedestres.

O texto apresentado propicia o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal: Educação para o trânsito

Para aprofundar

O artigo a seguir discute uma pesquisa sobre o ensino de proporcionalidade pelo olhar conceitual de professores da Educação Básica no momento de ensinar esse conteúdo. É uma ótima leitura para nortear sua prática docente e, também, uma forma de dialogar com outros professores e pesquisadores.

• MENDUNI-BORTOLOTI, R. D.; BARBOSA, J. C. Matemática para o ensino do conceito de proporcionalidade a partir de um estudo do conceito. EducaçãoMatemática Pesquisa, São Paulo, v. 20, n. 1, p. 269-293, 2018. Disponível em: https://revistas.pucsp.br/index. php/emp/ar ticle/view/27322. Acesso em: 28 jul. 2022.

Marcel Borges

Orientações

As atividades dessa seção favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA12

Resolução da atividade 1

a) São diretamente proporcionais, pois o gráfico é uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano.

b) k == 30 1 60 2 = 30.

c) = Q t 30 ou Q = 30t ou = tQ 30

d) t = 360 30 6 t = 12

Resolução da atividade 2

a) === Ak : 300 20 600 40 15 1

Atividades

1 A quantidade diária Q de peças produzidas por determinada fábrica, durante certo período t, em horas, é mostrada no gráfico a seguir.

b) Escreva as sentenças matemáticas que relacionam y e x para cada transportadora.

c) Quantos reais serão cobrados para 70 quilômetros rodados pela transportadora A e pela B?

(unidade) Q Ilustrações: DAE Atividade em dupla

d) Qual é a diferença entre os preços encontrados no item c?

60 0 (h) t

30

3 Reúna-se com um colega. Juntos, observem o comprimento e a largura do retângulo, em metros, indicados na figura por x e y, respectivamente.

2 1

Com base no gráfico, faça o que se pede.

Respostas no Manual do Professor.

a) Q e t são diretamente ou inversamente proporcionais? Justifique sua resposta.

b) Determine a constante de proporcionalidade.

===

Bk : 500 20 1000 40 25 2

Os preços cobrados pelas transportadoras A e B são diretamente proporcionais ao número de quilômetros rodados. As constantes de proporcionalidades das empresas A

e B são 15 e 25, respectivamente.

b) A: y = 15x e B: y = 25x

c) Se x = 70, temos:

    

AA BB

d) 1750,00 - 1050,00 = 700,00 4

Resolução da atividade 3

a) x . y = 64

b) 2x = 64 6 x = 32

0,5x = 64 6 x = 128

8x = 64 6 x = 8

16x = 64 6 x = 4

Comprimento (m)

321284816

Largura (m) 20,51684

c) Veja resposta no rodapé.

d) São inversamente proporcionais, pois, para manter a área de 64 m2, sempre uma dimensão aumenta e a outra diminui na proporção inversa.

e) A área do retângulo. Resolução da atividade 4

Do enunciado, temos: ==xy 8 121521 === 8 12 2 3 10 15 14 21

c) Que sentença matemática relaciona Q e t?

d) Quanto tempo essa fábrica leva para produzir 360 peças?

2 Uma empresa está orçando o frete para entrega de uma encomenda com 2 transportadoras. No gráfico a seguir, estão representados os valores que as transportadoras A e B cobram por quilômetro rodado.

Respostas no Manual do Professor.

a) Escrevam a sentença matemática que relaciona x e y para um retângulo de área 64 m2

b) Reproduzam e completem o quadro abaixo indicando o comprimento e a largura de cinco retângulos diferentes com a mesma área de 64 m2

Comprimento (m) ??4?16

y B A

1 200

900

600

1 500 (R$) quilômetros rodados x

Largura (m) 20,5?8?

c) Representem no plano cartesiano os dados do item b

d) Justifiquem se as variáveis x e y são diretamente ou inversamente proporcionais.

e) O que a constante de proporcionalidade representa?

Com base no gráfico, responda:

Respostas no Manual do Professor. 300

4 (IBADE – IBGE) As duas sucessões numéricas a seguir são diretamente proporcionais: (8, x, y) e (12, 15, 21), onde x e y representam números inteiros desconhecidos. Quais os valores de x e y, respectivamente?

a) 10 e 12

b) 12 e 14

c) 12 e 16

Resolução da atividade 3, item c

Largura (m)

16

8 4 481632 128 2 0,5

Alternativa d

d) 10 e 14 e) 14 e 16

5 No dia a dia, as pessoas se expõem à radiação solar e, consequentemente, aos raios ultravioleta (UV). Algumas das consequências da exposição excessiva ao Sol dependem do tipo de pele da pessoa. Veja na tabela a seguir.

Consequências da exposição excessiva ao Sol

Tipos de pele

Efeito de exposição excessiva à radiação solar UV

Pele clara - pouca melanina Geralmente sofre queimadura e raramente bronzeia.

Pele morenaquantidade intermediária de melanina

Pele escura - muita proteção de melanina

Queima moderadamente e apresenta bronzeamento médio.

Raramente se queima, bronzeia-se facilmente e substancialmente.

Fonte: RADIAÇÃO UV e saúde humana. INPE, [São José dos Campos], [201?] Disponível em: http://satelite.cptec.inpe.br/uv//docs/RUV_Saude _revisado1.pdf. Acesso em: 9 jun. 2022.

O tempo máximo t, em minutos, que uma pessoa pode ficar exposta à radiação solar sem produzir eritema (pele avermelhada) pode ser calculado pela fórmula: t = k i , em que i é o índice de radiação solar ultravioleta (IUV), em watts por metro quadrado (W/m2), e k é um valor constante para cada tipo de pele. O gráfico a seguir traduz essa fórmula para certo tipo de pele.

b) Em um local cujo índice de radiação solar ultravioleta é 7 W/m2, qual é o tempo máximo que uma pessoa com esse tipo de pele poderá se expor diretamente à radiação solar sem ficar com eritema?

Aproximadamente

38,6 min.

c) Elabore uma pergunta com base nos dados do gráfico. Troque-a com um colega e, depois, verifique se ele acertou a resposta.

6 Os três primeiros colocados numa prova de atletismo (corrida de 1 600 metros) decidem dividir o prêmio de R$ 14.600,00 em partes inversamente proporcionais ao tempo gasto no percurso da prova. Sabendo que o primeiro colocado gastou 30 segundos, o segundo colocado gastou 35 segundos e o terceiro colocado gastou 40 segundos, quanto cada atleta recebeu?

R$ 5.600,00, R$ 4.800,00 e R$ 4.200,00 respectivamente.

• Que estratégia você usou para resolver?

7 O IPTU (Imposto Predial e Territorial Urbano) é um imposto cobrado anualmente de todos os proprietários de casas, prédios ou estabelecimentos comerciais nas cidades. O IPTU é pago de acordo com a área construída do imóvel. Quando não há construções no local, o nome do imposto é ITU (Imposto Territorial Urbano).

a) O pai de Arnaldo tem dois terrenos, um de 400 m2 e outro de 600 m2. Este ano ele pagou um total de R$ 2.400,00 de imposto territorial.

• As grandezas área do terreno e valor do imposto são diretamente ou inversamente proporcionais?

• Considerando esse fato, calcule o imposto pago pelo pai de Arnaldo em cada um dos terrenos.

R$ 960,00 e R$ 1.440,00.

• Que estratégia você usou para resolver a questão acima? Resposta pessoal.

b) Em que são aplicados os recursos arrecadados pelas prefeituras com esse imposto?

Resposta no Manual do Professor

a) Que sentença matemática relaciona o tempo t e o índice i de radiação?

t i = 270 ou t = 270 i

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA12 e EM08MA13

Resolução da atividade 5

a) Observando os pontos assinalados no gráfico, temos:

t = 90 e i = 3 6 90 3 = 270.

t = 45 e i = 6 6 45 6 = 270.

t = 30 e i = 9 6 30 9 = 270.

Portanto, t . i = 270 ou i = t 270

c) Discuta com os colegas se esse imposto é bem aplicado na região em que está a escola. Caso a resposta seja negativa, apresentem sugestões de aplicação e, se possível, encaminhem as demandas ao poder público.

Resolução da atividade 6

Seja a o prêmio do 1o colocado, b o prêmio do 2o colocado e c o prêmio do 3o colocado. a

b) Se i = 7, temos:

t = 270 7 = 38,6 4 38,6 min.

c) Resposta pessoal. Converse com os estudantes sobre doenças que podem ser consequência da exposição ao sol sem o uso de protetor solar ou camisetas com proteção UV. Essa discussão favorece o desenvolvimento da competência geral 8, ao discutir sobre cuidados com a saúde.

Resolução da atividade 7

a) Como quanto maior o terreno maior será o imposto a ser pago, podemos considerar que essas grandezas são diretamente proporcionais.

Seja a o imposto do terreno de 400 m2 e b o imposto do terreno de 600 m2 a + b = 2 400.

b

b) Devem ser aplicados no saneamento básico (esgoto), água, limpeza de ruas, conservação do asfalto etc.

c) Resposta pessoal.

Esse item favorece o desenvolvimento das competências gerais 1 e 10

Resposta pessoal.

Resposta pessoal. Atividade em grupo

São diretamente proporcionais.

Resposta pessoal.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA12 e EM08MA13

Consideramos que a utilização de tabelas e gráficos poderá ser bastante explorada para demonstrar o comportamento das grandezas e facilitar a identificação da constante de proporcionalidade.

Resolução da atividade 8

a) Do quadro, temos: qqq

1 1 2 1,75 3 2, 5 4 4 e

1 . 1 q 2 . 1,75 q 3 . 2,5 q 4 . 4. Logo, as grandezas x e y não são diretamente nem inversamente proporcionais, ou seja, não há constante de proporcionalidade.

b)

26 35 4 Massa (kg)

Resolução da atividade 9

Observando o gráfico, temos:

a)

x 1248 16

y 16 8421

b) As variáveis x e y são inversamente proporcionais, pois o produto entre x e y é constante e igual a 16.

y = x 16 6 xy = 16.

A constante de proporcionalidade vale 16.

c) xy = 16.

d) x = 10 6 10 y = 16

y == 16 10 8 5 = 1,6.

e) Resposta pessoal.

Resolução da atividade 10

Observando o gráfico, temos:

a) Quando t aumenta, C também aumenta proporcionalmente, ou

seja: = 120 1 360 3

8 O quadro mostra o tempo gasto y para preparar uma carne em função de sua massa x

10 O gráfico a seguir apresenta a capacidade C de processamento de oleaginosas de uma máquina extratora de óleos vegetais em função do tempo t

a) Existe alguma regularidade que permita identificar se x e y são proporcionais? Explique.

Não, pois não há uma constante de proporcionalidade.

b) Marque os pontos que representam os dados desse quadro em um plano cartesiano.

9 Considere o gráfico a seguir.

a) Explique por que motivo a relação entre C e t é uma relação de proporcionalidade direta.

b) Qual é o valor da constante de proporcionalidade entre C e t? Escreva a sentença matemática que relaciona essas variáveis.

c) Em quanto tempo essa máquina processará 900 kg de oleaginosas?

11 Um grupo de amigos pretende alugar um micro-ônibus com capacidade para 20 pessoas. O quadro abaixo mostra o preço que cada um deverá pagar em função do número de pessoas que irão ao passeio.

a) Faça uma tabela com os valores de x e de y correspondentes aos pontos assinalados no gráfico.

b) Justifique se as variáveis x e y são diretamente ou inversamente proporcionais e determine a constante de proporcionalidade.

c) Escreva a sentença que relaciona x e y

d) Qual é o valor de y se x = 10?

e) Elabore o enunciado de um problema cuja representação gráfica corresponda ao gráfico dado.

b) ==== C 120 1 240 2 120; 120t ou C t = 120

c) Se C = 900 6 900 = 120t 6 t = 7,5 4 7,5 h.

Resolução da atividade 11

a) São inversamente proporcionais, pois o produto entre o número de pessoas e o preço é constante.

b) p: preço por pessoa.

n: número de pessoas.

Logo, pn = k.

a) Defina se o preço (P) e o número de pessoas (n) são direta ou inversamente proporcionais.

b) Determine a constante de proporcionalidade e seu significado.

c) Qual sentença matemática relaciona P e n?

d) Quanto cada pessoa deverá pagar se forem 10 amigos ao passeio?

Inversamente proporcionais. 600; significa o preço total do aluguel P = n 600 R$ 60,00.

Portanto, 600 1 = 150 4 = 100 6 = 30 20 = k

k = 600.

A constante significa que o aluguel do micro-ônibus cus-

ta R$ 600,00.

c) p . n = 600 ou p = n 600

d) n = 10 6 p 10 = 600 6 p = 60.

Cada pessoa deverá pagar R$ 60,00.

no Manual do Professor. Respostas no Manual do Professor.

Resposta no Manual do Professor.

Regra de três simples

Regra de três é um método prático para resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais. Acredita-se que esse método tenha se originado na China e que durante séculos essa regra era enunciada mecanicamente pelos mercadores. Seus vínculos com as proporções só foram reconhecidos no fim do século XIV.

Quando temos uma situação que trata apenas de duas grandezas proporcionais e são dados três de seus valores, usamos a regra de três simples para obter o valor desconhecido da proporção.

Existem diversos exemplos de situações cotidianas em que usamos regra de três sem nos darmos conta disso. Acompanhe os dois exemplos.

• Imagine que Elvira tenha comprado 3 relógios iguais para seus sobrinhos e tenha pagado por eles R$ 744,00. Quanto ela pagaria se tivesse comprado 7 relógios do mesmo tipo?

Vamos organizar as informações apresentadas na situação em um quadro e representar a incógnita do problema usando a letra x

(reais)

3 744 7 x

Essas grandezas são diretamente proporcionais, pois, ao aumentar o número de relógios, o total pago aumentará na mesma razão.

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, temos:

3 744 7 x =

3x = 7 744 6 3x =5 208 6 x = 5 208 3 6 x = 1 736

Assim, Elvira pagaria R$ 1.736,00 por 7 relógios.

• Dez trabalhadores de uma construtora fazem uma casa pré-fabricada em 90 dias. Para construir outra casa igual, no mesmo ritmo, mas em 60 dias, quantos trabalhadores seriam necessários?

Primeiro, vamos organizar as informações em um quadro.

1. Quanto Elvira pagaria se tivesse comprado somente um relógio?

R$ 248,00.

2. E se tivesse comprado 10 relógios? Explique como você chegou a esse valor.

R$ 2.480,00.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA12

Utilizando o conceito de proporcionalidade, pode-se iniciar o trabalho com o tópico “Regra de três s imples”. Compartilhe com os estudantes uma situação de uma receita culinária que leva 3 ovos e 2 xícaras de farinha. Se quisermos duplicar a receita, nesse caso em que as grandezas são diretamente proporcionais, teremos de utilizar o dobro de ingredientes, ou seja, 6 ovos para 4 xícaras de farinha.

Sugerimos a você que utilize esse mesmo exemplo para perguntar: E se eu só tiver 2 ovos, quanto deverei colocar de farinha?

Nesse caso, com base na situação apresentada, teremos:

Ovos Xícaras de farinha

3 2 2 x

Com base nessa situação, calculamos a proporcionalidade entre as razões:

Nesse caso, as grandezas são inversamente proporcionais, pois, para construir uma casa em menos tempo, o número de trabalhadores deverá aumentar.

Assim, o resultado do produto do número de trabalhadores pelo número de dias deve ser o mesmo:

10 90 = x 60 6 60x = 900 6 x = 900 60 6 x = 15

Portanto, para construir uma casa em 60 dias seriam necessários 15 trabalhadores.

Cada relógio custou R$ 248,00. Questão 2

O estudante pode simplesmente multiplicar o valor de um relógio por 10, ou seja, 10 248 = 2 480.

Dez relógios custariam R$ 2.480,00.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA12 e EM08MA13

Resolução da atividade 1

Do enunciado, temos:

Litros Preço

9 108

5 x

= x 9 5 108

x = 60

O preço é R$ 60,00.

Resolução da atividade 2

Estabelecendo a proporção, temos:

Área Preço

10 cm2 40

24 cm2 x

10 24 40 6 x = 96

= x

A pessoa deverá pagar R$ 96,00.

Resolução da atividade 3

2h = 120min, logo:

TempoHectare

120 x

802

80x = 240 6 x = 3

Em duas horas a máquina irrigará 3 hectares.

Retome a necessidade da conversão de unidades de medidas, pois será necessário para essa resolução.

Resolução da atividade 4

Pelos dados, temos: TrabalhoDias

Atividades

1 Uma loja vende botijões térmicos para bebidas em dois tamanhos. O botijão com capacidade para 9 litros é vendido por R$ 108,00. Se o preço dos botijões for proporcional à capacidade, qual será o preço do botijão de 5 litros?

Resolução da atividade 5

Pelos dados, temos: OperáriosDias 1116

12 x

=4=.6=4 x xx 1216 12 15162020  dias

2 Os anúncios em um jornal são cobrados proporcionalmente à área que ocupam na página. Um anúncio de 2 cm * 5 cm custa R$ 40,00. Quantos reais deverá pagar uma pessoa que fizer um anúncio de 24 cm2?

3 Um equipamento de irrigação ligado durante 80 minutos consegue irrigar 2 hectares de uma plantação. Trabalhando nas mesmas condições, quantos hectares ele conseguirá irrigar em 2 horas?

R$ 60,00. R$ 96,00. 3 hectares

4 Quatro operários fazem 5 8 de um trabalho em 10 dias. Mantendo esse ritmo, quantos dias eles levarão para acabar o trabalho?

5 Um grupo de 15 operários constrói uma piscina em 16 dias. Trabalhando no mesmo ritmo, de quantos dias precisarão 12 operários para construir o mesmo tipo de piscina?

16 dias 20 dias

6 Um trabalhador leva 6 horas para cercar um terreno retangular de 10 m * 25 m. Mantendo o mesmo ritmo de trabalho, quanto tempo levaria se o terreno tivesse 140 m de perímetro? 12 horas

7 Para uma viagem, a capacidade de passageiros de um barco de turismo é equivalente a 30 adultos ou 36 crianças. Se 24 crianças já estão a bordo desse barco, qual é o número máximo de adultos que ainda podem embarcar? 10 adultos

Resolução da atividade 6

Considerando que o perímetro do terreno 10 m * 25 m é

70 m, pois 10 + 10 + 25 + 25 = 70, temos:

=4=.6=4 x xx 15 1216 1215162020  dias

Tempo (h) Perímetro (m) 6 70 x 140

=6= . = x x 670 140 6 140 70 12

Levará 12 horas.

Resolução da atividade 7

Pelos dados, temos:

AdultosCrianças

3036

x 36 = x 3036 24 6 x = 20

Como 24 crianças equivalem a 20 adultos e a capacidade do barco é de 30 adultos, ainda podem entrar 10 adultos.

8 (UNICAMP) Certo modelo de carro é vendido em duas versões: uma a gasolina e outra híbrida. Essa última versão conta com um motor elétrico para funcionar em baixas velocidades, reduzindo, assim, o consumo de combustíveis e também os índices de poluição.

A versão a gasolina custa R$ 150.000,00 e a versão híbrida custa R$ 180.000,00. O quadro a seguir indica o consumo de combustível de cada uma das versões.

Uso na cidade Uso na estrada

Versão a gasolina 12 km/L 14 km/L

Versão híbrida 18 km/L 16 km/L

Note que a versão híbrida é mais econômica, porém custa mais caro.

Um motorista faz diariamente um percurso de 36 km na cidade e 56 km na estrada. Considerando que cada litro de gasolina custa R$ 5,00 e que, ao longo do tempo, esse preço será constante e o percurso não se alterará, quantos anos de uso serão necessários para que a economia no abastecimento compense o preço mais alto pago inicialmente pelo carro híbrido?

a) Mais que 8 e menos que 10 anos.

b) Mais que 10 e menos que 12 anos.

Resolução da atividade 10

De acordo com os dados, temos:

24 operários 40 100 10 dias 7h/dia

20 operários 60 100 x 6h/dia =..6= x x 1020 24

2 5 3 5

10 + 21 = 31

6 7 21

31 dias de trabalho irá do dia 19/4, segunda-feira, até o dia 19/5, que será uma quarta-feira.

c) Mais que 12 e menos que 14 anos.

d) Mais que 14 e menos que 16 anos.

9 As rodas traseiras de um trator têm um perímetro de 3,50 m, e as dianteiras têm um perímetro de 1,40 m. Enquanto a roda menor dá 100 voltas, quantas voltas dá a roda maior?

Alternativa b 40 voltas.

10 (EA CPCAr-MG) Para a reforma do Ginásio de Esportes da EPCAR foram contratados 24 operários. Eles iniciaram a reforma no dia 19 de abril de 2010 (2; feira) e executaram 40% do trabalho em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. No final do 10? dia, 4 operários foram dispensados.

No dia seguinte, os operários restantes retomaram o trabalho, trabalhando 6 horas por dia e concluíram a reforma. Sabendo-se que o trabalho foi executado nos dois momentos sem folga em nenhum dia, o dia da semana correspondente ao último dia do término de todo o trabalho é:

a) domingo.

b) segunda-feira.

Alternativa d Resolução da atividade 11

Total de gotas: 12 . 15 = 180.

O paciente usará 30 gotas ao dia 4 = 180 30 6

O frasco durará 6 dias.

Alternativa e Resolução da atividade 12

Pelos dados, temos: 3 peças 4,5 horas 5 x =.6=4xx35 4, 57 ,5 7,5horas

c) terça-feira.

d) quarta-feira.

11 (CPCON/UEPB) Na bula de um frasco de simeticona com 15 ml, de um determinado laboratório, é informado que cada ml corresponde a 12 gotas. Se um médico receitou para um paciente 10 gotas 3 vezes ao dia, um frasco deste medicamento será suficiente para exatamente:

a) 30 dias.

b) 12 dias.

c) 15 dias.

d) 18 dias.

e) 6 dias.

12 (PMSB-MG) Para pintar 3 peças, um artesão demora 4 horas e 30 minutos. Quanto tempo o mesmo artesão leva para pintar 5 peças?

a) 5 horas e 30 minutos

b) 6 horas

Alternativa d Alternativa e Alternativa d

c) 6 horas e 30 minutos

d) 7 horas e 30 minutos

13 Em uma Olimpíada de Matemática, seria dado, entre os estudantes do 8? ano de uma escola, um prêmio de R$ 282,00 para os três primeiros colocados. Dos estudantes classificados, o primeiro errou 3 questões, o segundo errou 4 questões e o terceiro errou 5 questões.

a) Quantos reais recebeu cada um se os valores são inversamente proporcionais ao número de questões erradas? Explique que estratégia você usou para resolver.

R$ 120,00; R$ 90,00 e R$ 72,00. Resposta pessoal.

b) Por que o prêmio foi dividido em partes inversamente proporcionais ao número de questões erradas?

Porque quem cometeu menor número de erros foi mais eficiente e deve receber a maior parte.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA12 e EM08MA13. A atividade 8 favorece o desenvolvimento da competência geral 10 e a competência específica 7 Resolução da atividade 8

I) Consumo do carro a gasolina: 3 + 4 = 7 4 7 litros.

Consumo do carro híbrido: 2 + 3,5 = 5,5 4 5,5 litros.

II) A economia do carro híbrido: 1,5 litro/dia.

III) Valor do litro da gasolina R$ 5,00 6 1,5 . 5 . x = 30 000

x = 4 000 4 4 000 dias

Como

=.6=4xx35 4, 57 ,5 7,5horas

Alternativa d Resolução da atividade 13

Seja a o prêmio do 1o colocado, b o prêmio do 2o colocado e c o prêmio do 3o colocado. a + b + c = 282.

Logo, o tempo será maior que 10 anos e menor que 12 anos. Alternativa b

9

Orientações

A atividade 14 pede aos estudantes que elaborem problemas sobre o assunto estudado. Escolha alguns desses problemas para resolver coletivamente. Se julgar necessário, e os estudantes se sentirem à vontade, convide-os para ir até a lousa e compartilhar suas estratégias e resoluções.

A atividade 15 mostra dados sobre a importância da vacina contra o coronavírus. Dialogue com os estudantes sobre outras pandemias e epidemias que foram controladas graças ao avanço científico e investimento em vacinas. Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 8 e oportuniza o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal: Saúde

Resolução de Lógico, é lógica! Analisando o enunciado, temos:

Joana só pode morar no 2o ou no 3o andar, pois o enunciado diz que ela não mora no 4o. Como ela tem que morar em um andar acima de Kelly, logo ela não pode morar no 1o. Como Kelly não pode morar no 2o andar (conforme enunciado) e Joana mora acima de Kelly, então Joana só pode morar no 2o andar. Portanto, Kelly mora no 1o Só restam, agora, o 3o e o 4o andares. Acima de Bete há um cachorro, logo Bete só pode morar no 3o, pois se ela morasse no 4o, não haveria nenhum cão acima para incomodá-la.

Restou Yara no 4o andar. Os bichos são:

• a tartaruga no 3o andar, conforme enunciado, logo, com Bete;

• acima de Bete há um cão, logo, no 4o andar com Yara;

• Kelly tem um passarinho, conforme diz o enunciado;

• para Joana sobrou o gato. Assim, podemos concluir que:

1o andar: Kelly - pássaro;

2o andar: Joana - gato;

3o andar: Bete - tartaruga;

4o andar: Yara - cachorro.

Portanto, a afirmativa correta é a alternativa e

14 Elabore dois problemas que envolvam regra de três simples: um com grandezas diretamente proporcionais e outro com grandezas inversamente proporcionais e, em seguida, resolva-os. Em seguida, troque de caderno com um colega. Depois que cada um tiver resolvido o problema do outro, troquem novamente os cadernos para corrigirem as resoluções.

Resposta pessoal.

15 De acordo com um levantamento preliminar da Secretaria de Estado da Saúde do Paraná, divulgado em 1/2/2022:

[…] O potencial de mortes entre as pessoas de 12 a 59 anos que não tomaram nenhuma vacina é de 6,59 por 100 mil habitantes. O índice de mortalidade na mesma faixa etária cai para 0,20/100 mil em pessoas com o esquema completo e o reforço; 0,75 com o esquema completo (duas doses); e 0,96 para quem tomou apenas a primeira dose. Isso quer dizer que a cada 100 mil pessoas, mais de seis morreram por não se vacinar, número inferior a um entre os vacinados, ou 22 vezes menor.

Já na faixa acima dos 60 anos, considerada de risco para qualquer doença, a taxa de óbitos por 100 mil habitantes de não vacinados é de 216,32 nesse período. O indicador cai para 7,84 com o esquema vacinal completo com a dose de reforço, ou seja, 27,6 vezes menor.

A análise […] é um recorte de 1º de dezembro de 2021 a 31 de janeiro deste ano. […]

PARANÁ. Agência Estadual de Notícias. Risco de óbito por covid-19 é 22 vezes menor entre vacinados com dose de reforço, aponta estudo. Curitiba: AEN, 1 fev. 2022. Disponível em: https://www.aen.pr.gov.br/Noticia/Risco-de-obito-por -Covid-19-e-22-vezes-menor-entre-vacinados-com-dose-de-reforco-aponta. Acesso em: 18 maio 2022.

Usar máscara de proteção, lavar sempre as mãos e evitar aglomerações. E, principalmente, tomar as vacinas disponíveis.

a) Pesquise: Quais as principais precauções contra a covid-19 e outras doenças respiratórias?

b) A proporção de vacinados e o número de mortos pela covid-19 é diretamente ou inversamente proporcional? Como você chegou a essa conclusão?

Inversamente proporcional. Resposta pessoal.

c) Compare a situação atual da covid-19 com a descrita no texto. O que mudou nesse período?

A resposta depende dos dados levantados na pesquisa.

(VUNESP-TJ-SP) Em um edifício com apartamentos somente nos andares de 1? ao 4?, moram 4 meninas, em andares distintos: Joana, Yara, Kelly e Bete, não necessariamente nessa ordem. Cada uma delas tem um animal de estimação diferente: gato, cachorro, passarinho e tartaruga, não necessariamente nessa ordem. Bete vive reclamando do barulho feito pelo cachorro, no andar imediatamente acima do seu. Joana, que não mora no 4?, mora um andar acima do de Kelly, que tem o passarinho e não mora no 2? andar. Quem mora no 3? andar tem uma tartaruga. Sendo assim, é correto afirmar que:

Alternativa e

a) Kelly não mora no 1? andar.

b) Bete tem um gato.

c) Joana mora no 3? andar e tem um gato.

d) o gato é o animal de estimação da menina que mora no 1? andar.

e) Yara mora no 4? andar e tem um cachorro.

A grande razão para a diminuição das mortes por covid-19 é a ampla vacinação.

Lei de Boyle

Em 1660, o físico inglês Robert Boyle (1627-1691) fez uma série de experiências em que submeteu, a diversos valores de pressão, uma mesma massa de um gás mantida a temperatura constante contida em um cilindro. A cada valor de pressão aplicado, Boyle mediu o volume ocupado pela massa gasosa.

Analisando os resultados, Boyle observou que, ao dobrar, triplicar, quadruplicar a pressão, o volume ocupado pelo gás se reduzia à metade, à terça parte, à quarta parte e assim por diante. Assim, Boyle descobriu experimentalmente que as variáveis de estado (pressão e volume) de um gás eram inversamente proporcionais.

Dessa forma, podemos enunciar a lei de Boyle:

Mantendo-se constante a temperatura de certa massa de gás, o volume e a pressão desse gás são inversamente proporcionais.

Os valores obtidos experimentalmente para um gás nas condições da lei de Boyle, ao serem colocados num gráfico que relaciona pressão p com volume V, fornecem uma curva que caracteriza um tipo de transformação conhecida como isotérmica (em grego, iso significa “igual”, e thermo, “temperatura”).

Orientações

A seção Matemática Interligada apresenta a lei de Boyle, assunto relacionado à Física, como exemplo de utilização interdisciplinar do conceito de proporcionalidade.

Esse estudo favorece o desenvolvimento das habilidades EF08MA12 e EF08MA13, da competência geral 1 e da competência específica 3. Se achar conveniente, peça aos estudantes que façam uma pesquisa para que possam conversar e compartilhar exemplos de aplicações da proporcionalidade, indicando, em cada caso, se a relação é direta ou inversa.

Resolução da atividade

a) Veja gráfico no rodapé.

b) p . V = 4. São inversamente proporcionais, pois 4 . 1 = 2 . 2 = = 1 . 4 = 0,5 . 8 = 4.

c) Temos que V = 10 L. Então: p . V = 4 6 p . 10 = 4 p = 0,4 4 0,4 atm.

d) Temos que p = 0,25 atm. Então: pV = 4 6 0,25 V = 4

V = 4 0, 25 = 16 4 16 L.

Matematicamente, assim pode ser escrita a lei de Boyle, sendo constante o produto entre a pressão exercida pelo gás e o volume ocupado por esse gás:

p1V1 = p2V2 = p3V3 == pV = constante

O quadro a seguir mostra o comportamento de um gás ideal ao sofrer pressão.

e) A aplicação mais importante da lei de Boyle está relacionada ao pistão, que é um recipiente com uma parede móvel. Quando se aperta essa parede, o volume que está dentro do recipiente diminui. Se você diminui essa pressão, há uma expansão do volume.

a) Represente, em um plano cartesiano, os valores da tabela e una os pontos obtidos.

b) Qual sentença matemática relaciona p e V? As grandezas pressão e volume são direta ou inversamente proporcionais? Justifique sua resposta.

c) Qual é o valor de p quando V = 10 L?

Resposta no Manual do Professor. p V = 4. São inversamente proporcionais. 0,4 atm

d) Qual é o valor de V quando p = 0,25 atm?

16 L

e) Pesquise algumas aplicações da Lei de Boyle.

a) De acordo com os valores da tabela, temos o gráfico a seguir.

Orientações

Esta seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1

A sequência é:

1 017, 1 117, 1 217, 1 317, 1 417,

1 517, 1 617, 1 717, 1 817, 1 917,

2 017...

Logo, 2 017 ocupa a 11a posição.

Alternativa b

Resolução da atividade 2

a) Considerando que n pode assumir os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10, ao substituí-lo na fórmula

201n + 17, obtemos a sequência:

218, 419, 620, 821, 1 022, 1 223, 1 424, 1 625, 1 826 e 2 027.

b) Cada rodada é constituída por 5 jogadas. Portanto, como 2 027 = = 405 5 + 2, segue que o jogo acabou na 406a rodada.

c) Observe que os números naturais escolhidos por Amanda, Bruna, Clara, Daniela e Eliane são, respectivamente, os que deixam resto 1, 2, 3, 4 e 0 na divisão por 5. Podemos observar, também, que os números 218, 419, 620, 821, 1 022, 1 223, 1 424, 1 625, 1 826 e 2 027 deixam, respectivamente, resto 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1 e 2 na divisão por 5. Portanto, podemos concluir que cada jogadora obteve 2 pontos ao final do jogo.

Resolução da atividade 3

Observando a figura, percebemos que as cores se repetem de 4 em 4 na sequência: vermelho, amarelo, azul e verde.

Se dividirmos 1 045 por 4, temos resto 1, ou seja, a cor da figura 1 045 é a 1a da sequência, ou seja, vermelho.

Alternativa a

Resolução da atividade 4

a) Na primeira parte do processo, ele obteve 7 pedaços. Como ele rasgou apenas um pedaço em outros 7 menores, no total, ele obteve 13 pedaços.

b) A cada vez que repete o procedimento, ele aumenta o número de pedaços em 6 unidades. Ele começa com 1 pedaço, depois fica com 7, depois com 13, e assim por diante. Se fizer esse procedimento por 10 vezes, ao final ele

1 (OMRP-SP) Todos os números de quatro algarismos que “terminam” em 17 são escritos em ordem crescente. Em qual posição nessa sequência está situado o número 2 017? (Atenção: o primeiro algarismo à esquerda não pode ser zero.)

Alternativa b

a) 9; b) 11; c) 13; d) 15; e) 18;

2 (OMDF) Laura convidou suas amigas, Amanda, Bruna, Clara, Daniela e Eliane, para jogarem um jogo, com as seguintes regras:

I. Laura deveria pensar em 10 números naturais.

II. Em cada rodada, Amanda iniciaria escolhendo um número natural e ganharia 1 ponto se esse fosse um dos números pensados por Laura. Em seguida, Bruna escolheria outro número natural e também ganharia 1 ponto se esse fosse um dos números pensados por Laura. Em seguida, seria Clara e assim sucessivamente, procedendo em ordem alfabética.

III. O jogo acabaria quando todos os números pensados por Laura tivessem sido escolhidos. Assim, ao final de uma rodada, se ainda não tivessem sido escolhidos todos os números pensados por Laura, elas iniciariam uma nova rodada. Sabendo que:

• Laura pensou nos números da forma 201 . n + 17, com n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.

• Amanda iniciou a primeira rodada escolhendo o número 1.

• O jogo procedeu de forma que, se um jogador escolhesse o número n, o próximo jogador escolheria o número n + 1.

a) Determine todos os números pensados por Laura.

b) Em qual rodada o jogo acabou?

218, 419, 620, 821, 1 022, 1 223, 1 424, 1 625, 1 826 e 2 027 406; rodada

c) Ao final do jogo, quantos pontos foram obtidos por cada jogadora?

2 pontos cada

3 (IFRJ) As Artes Plásticas são diversas em suas formas, cores e representações, tendo o poder de transmitir uma mensagem sem precisar usar palavras. Pensando nisso, um artista criou um tapete a partir da repetição de uma única figura e alternou quatro cores, segundo a seguinte sequência: 1-vermelho, 2-amarelo, 3-azul, 4-verde, 5-vermelho, 6-amarelo, 7-azul, 8-verde e assim, sucessivamente, conforme esta figura.

Então, a cor da figura de número 1 045 será o:

a) vermelho. b) amarelo. c) azul. d) verde.

4 (OMM E REGIÃO-PR) João rasgou um pedaço de papel em 7 pedaços. Depois ele pegou um dos pedaços e o rasgou em 7 pedaços novamente.

a) Quantos pedaços ele obteve?

b) Se ele continuar fazendo esse procedimento, isto é, escolhendo um dos pedaços de papel e rasgando em 7 pedaços menores, quantos pedaços ele terá depois de fazer o procedimento pela décima vez?

c) Quantas vezes ele terá que executar o procedimento para ter 2 017 pedaços?

5 (PUCC-SP) Para fazer a digitalização de 30 páginas, um estagiário leva 28 minutos. Se o estagiário trabalhar durante suas 4 horas e 40 minutos de expediente com o dobro dessa velocidade de digitalização, nesse expediente de trabalho, ele será capaz de digitalizar um total de páginas igual a:

terá 1 + 10 6 = 61 pedaços.

c) Para ter 2 017 pedaços, ele terá de criar 2 016 novos pedaços a partir do inicial. Como em cada procedimento ele cria 6 pedaços, o número de vezes que ele deverá executar o procedimento é 336 vezes (2 016 : 6 = 336).

Resolução da atividade 5

De acordo com o enunciado, temos: 4 horas e 40 minutos. Como cada hora tem 60 minutos, temos:

4 60 = 240 + 40 = 280 min.

30 páginas28 min

x 280 min

x = 300

Como fará com o dobro da velocidade, ele será capaz de digitalizar 2 . 300 = 600.

Alternativa c

6 (IFMG) O carro de Paula percorre 65 km com 5 litros de combustível. Quantos litros desse combustível serão necessários para Paula percorrer 156 km?

Alternativa d

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12

7 Verifique se as duas grandezas de cada item a seguir são diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não são proporcionais.

a) Velocidade do carro (em km/h) e tempo gasto para percorrer um trajeto (em h).

b) Massa (em kg) de farinha de trigo e preço (em reais) pelo quilograma da farinha.

c) Espessura de uma revista (em cm) e seu preço (em reais).

Inversamente proporcional. Diretamente proporcional. Não são proporcionais.

8 (CMPA-RS) Às 6h, o relógio muito bem ajustado da Igreja Santa Terezinha levou 30 segundos para dar as seis badaladas. Sendo assim, pode-se concluir que o tempo, em segundos, necessário para esse relógio dar as doze badaladas correspondentes às 12h é igual a:

Alternativa e

a) 64. b) 58. c) 66. d) 62. e) 60.

9 (ENEM) Um ciclista quer montar um sistema de marchas usando dois discos dentados na parte traseira de sua bicicleta, chamados catracas. A coroa é o disco dentado que é movimentado pelos pedais da bicicleta, sendo que a corrente transmite esse movimento às catracas, que ficam posicionadas na roda traseira da bicicleta.

As diferentes marchas ficam definidas pelos diferentes diâmetros das catracas, que são medidos conforme indicação na figura.

O ciclista já dispõe de uma catraca com 7 cm de diâmetro e pretende incluir uma segunda catraca, de modo que, à medida que a corrente passe por ela, a bicicleta avance 50% a mais do que avançaria se a corrente passasse pela primeira catraca, a cada volta completa dos pedais.

O valor mais próximo da medida do diâmetro da segunda catraca, em centímetro e com uma casa decimal, é:

Alternativa c

a) 2,3. b) 3,5. c) 4,7. d) 5,3. e) 10,5.

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Identifico regularidades de sequências numéricas não recursivas e sei construir algoritmos por meio de fluxogramas.

Identifico a regularidade de sequências numéricas recursivas e sei construir algoritmos por meio de fluxogramas.

Identifico a natureza da variação de duas grandezas (direta e inversamente proporcionais ou não proporcionais).

Expresso uma relação entre grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de uma sentença algébrica.

Resolvo problemas que envolvem grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode, também, incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras. Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Orientações

Resolução da atividade 6

Pelos dados, temos:

65 5 = 13 4 13 km/L

Logo, para percorrer 156 km, temos:

=6= xx 156 13 12

Alternativa d

Resolução da atividade 7

a) Como a distância percorrida é fixa, com o aumento da velocidade, o tempo para a conclusão do percurso diminuirá; ou se diminuir a velocidade, aumentará o tempo de percurso. Além disso, sabemos que a distância pode ser calculada por d = vt, portanto velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.

b) Como o preço da farinha tem um valor fixo, quanto maior a quantidade a ser comprada, maior será o valor a ser pago. Portanto, são grandezas diretamente proporcionais.

c) Embora quanto mais matéria-prima maior o custo de produção de uma revista, o seu preço final não depende da quantidade de páginas. Portanto essas grandezas não são proporcionais.

Resolução da atividade 8 Pelo enunciado do problema, as 6 badaladas demoraram 30 segundos, portanto, como entre 6 badaladas há 5 intervalos, podemos concluir que cada intervalo tem a duração de 6 segundos, pois:

=4 30 5 66 s.

As 12 horas o relógio vai dar 12 badaladas, ou seja, haverá 11 intervalos entre todas as badaladas. Como o tempo de duração de uma badalada é constante (6 s), o tempo de duração das 11 badaladas será: 11 6 = 66 4 66 s.

Alternativa c.

Resolução da atividade 9 Pelos dados, temos que o diâmetro e o avanço consistem em grandezas inversamente proporcionais. Sabendo que o comprimento de uma circunferência é C = 2 p R, temos que:

diâmetro do disco dentado

André Martins

Principais objetivos da unidade

• Compreender a definição de equações polinomiais do 2o grau.

• Resolver equações do 2o grau do tipo ax2 + c = 0.

• Resolver e elaborar problemas que podem ser representados por equações polinomiais do 2o grau do tipo ax2 + c = 0.

• Compreender o princípio multiplicativo da contagem

• Calcular a probabilidade de eventos acontecerem, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo.

• Reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

Justificativa

Ao trabalhar as equações polinomiais do 2o grau, desenvolve-se o pensamento algébrico e, ao aplicar esse conhecimento na criação ou resolução de situações-problema, desenvolve-se a habilidade EF08MA09 Já o trabalho com probabilidade coopera para a formação do pensamento lógico, além de enfocar o uso do princípio multiplicativo, favorecendo, assim, o desenvolvimento das habilidades EF08MA03 e EF08MA22

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• expressem de modo significativo a solução de equações polinomiais do 1? grau;

• resolvam sistemas de duas equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas;

• representem situações-problema que envolvam proporcionalidade por meio de equação;

• conheçam as propriedades das igualdades e o conceito de áreas de figuras planas;

• expressem uma função nas formas decimal e percentual;

• saibam o que é probabilidade e como expressá-la.

Avaliação diagnóstica

É importante observar se os estudantes já dominam os pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade. Para isso, promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre os

pré-requisitos elencados e citar exemplos do cotidiano. Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retome os conteúdos propostos para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

Orientações

Explore, com os estudantes, a imagem de abertura da unidade. Pode-se, por exemplo, questioná-los sobre a área do quadrado e estratégias para determinar a medida dos lados da planta baixa, associando e explorando a relação entre o quadrado de um número e sua raiz quadrada. É interessante permitir que compartilhem as estratégias para determinar a

medida dos lados do quadrado correspondente à planta e, ainda, esquematizar o procedimento para determinar a dimensão de um quadrado qualquer dada sua área por meio de tentativa e erro.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 3, 4, 7 e 9

Competências específicas 1, 4, 6, 7 e 8

Habilidades EF08MA03, EF08MA09 e EF08MA22

Planta baixa de uma casa.

Equação polinomial do 2 ? grau e probabilidade

A imagem mostra a planta baixa de uma construção em um terreno de formato quadrado, cuja área é de 400 m2 As dimensões do terreno e da garagem ainda não são conhecidas; sabemos apenas que x representa a medida do comprimento da garagem e que 0,6x representa a medida da largura.

1. Qual é a medida, em metros, do lado do terreno?

20 m

2. Estime o valor de x

Aproximadamente 10 m.

3. Quais são as dimensões aproximadas da garagem?

4. Faça uma planta de sua casa.

10 m de comprimento e 6 m de largura Resposta pessoal.

Nesta unidade, você terá a oportunidades de:

• resolver equações polinomiais do 2? grau do tipo ax2 + c = 0;

• resolver e elaborar problemas que podem ser representados por equações polinomiais do 2? grau;

• calcular a probabilidade de eventos ocorrerem, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo.

Orientações

Peça aos estudantes que respondam às questões da abertura. Se possível, promova um momento para que compartilhem as respostas e as dúvidas que podem ter surgido enquanto respondiam às questões. Seria interessante levar outra planta baixa para os estudantes analisarem, uma vez que um projeto demanda mais de uma planta para o desenvolvimento da estruturação. Ressalte a importância do cálculo de escala para desenhar uma planta baixa.

Para resolver as atividades que introduzem a unidade, peça aos estudantes que façam a representação geométrica no caderno, a fim de melhor visualizar o problema.

Resolução da atividade 1

A = l2

l 400 2 =

l 400 == 20 4 20 m.

Resolução da atividade 2 x o 10 m.

Resolução da atividade 3

Largura: 0,6x = 0,6 . 10 = 6 4 6 m.

Logo, as dimensões são 10 m de comprimento e 6 m de largura.

Objetivos do capítulo

• Compreender a definição de equações polinomiais do 2? grau.

• Explorar estratégias de resolução de equações polinomiais do 2? grau.

• Resolver equações polinomiais do 2? grau do tipo ax2 + c = 0.

• Resolver e elaborar problemas que podem ser representados por equações polinomiais do 2? grau do tipo ax2 + c = 0.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1 e 4

Competências específicas 1

Habilidades EF08MA09

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA09

Em Para começar, explore a frase apresentada e sua escrita em linguagem matemática. Depois, trabalhe a resolução da equação apresentada.

Permita que os estudantes discutam diferentes estratégias de resolução para a equação 3x2 + 4 = 79, de maneira que percebam que é possível obter uma equação equivalente, como x2 = 25, cujas raízes são: -5 e 5.

Como x é um número inteiro positivo, temos x = 5.

Em Curiosidade, os estudantes provavelmente encontrão informações como as apresentadas a seguir.

Egípcios: desenvolveram fundamentos da Aritmética, da Geometria, da Engenharia, da Medicina, o relógio de sol e técnicas agrícolas.

Babilônicos: propagaram as operações aritméticas, as equações quadráticas e os sistemas de equações.

As reflexões desse boxe favorecem o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1

Em Pense e responda, verifique se os estudantes representaram corretamente as sentenças como equações polinomiais do 2? grau.

Equação polinomial do 2 ? grau com uma incógnita

Que sentença matemática corresponde à primeira frase a seguir?

3x2 + 4 = 79

A soma do triplo do quadrado de um número inteiro positivo e 4 é igual a 79. Qual é esse número inteiro?

O que é uma equação polinomial do 2 ? grau

Vimos que equações são sentenças matemáticas expressas por igualdades em que há pelo menos uma letra que representa um número desconhecido, chamado de incógnita

Quando o maior expoente das incógnitas é 1, a equação é chamada de equação polinomial do 1? grau Relembre alguns exemplos de equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita e resolva-os.

x - 8 = 3 -4y + 7 = 0

Chama-se equação polinomial do 2? grau em x toda equação redutível à forma ax2 + bx + c = 0, em que x é a incógnita, a, b e c são números reais e a q 0.

Quando o maior expoente das incógnitas é 2, a equação é chamada de equação polinomial do 2? grau. Acompanhe alguns exemplos.

• x2 - 25 = 0 4 A diferença entre o quadrado de um número e vinte e cinco é igual a zero.

• 1 4 0 2 x =4 A quarta parte do quadrado de um número é igual a zero.

• 4x2 + x = 21 4 A soma do quádruplo do quadrado de um número com o próprio número é igual a vinte e um.

As equações polinomiais surgiram por necessidades práticas. Na Antiguidade, matemáticos egípcios já resolviam equações do 1 ? grau com uma incógnita, e os babilônios, além dessas, sabiam resolver equações polinomiais do 2 ?  grau com uma incógnita.

• Pesquise quais foram as principais contribuições de matemáticos egípcios e as principais contribuições de matemáticos babilônicos.

Resposta no Manual do Professor.

1. Que equação representa a sentença: Um número elevado ao quadrado é igual a 1 9 ?

2. Que equação representa a sentença matemática: Um número elevado ao quadrado adicionado de 5 unidades é igual a 14? x2 = 1 9

Termos e coeficientes de uma equação polinomial do 2 ? grau

A igualdade ax2 + bx + c = 0 é chamada de forma reduzida ou forma canônica de uma equação polinomial do 2 ? grau com uma incógnita, com a q 0 e incógnita x

Por exemplo, a equação polinomial do 2? grau 2x2 + 3x + 5 = 0 está escrita na forma reduzida; a equação polinomial do 2? grau x2 - 2x = 10 não está escrita na forma reduzida.

A equação ax2 + bx + c = 0, com a q 0, tem três termos:

• ax2 é o termo em x2;

• bx é o termo em x;

• c é o termo independente.

Os valores a, b e c são os coeficientes:

• a é o coeficiente de x2;

• b é o coeficiente de x;

• c é o coeficiente de x0, ou seja, do termo independente de x

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA09

No tópico “Termos e coeficientes de uma equação polinomial do 2?  grau”, peça aos estudantes que leiam as informações apresentadas. Em seguida, discuta os exemplos citados e proponha outros para que classifiquem equações como polinomiais do 2? grau e determinem os termos e coeficientes de cada uma.

Se julgar necessário retome o conteúdo equações do 1? grau com uma incógnita. Aponte que o resultado que valida a igualdade é chamado de raiz da equação.

Para aprofundar

Esse artigo, de 2020, aborda as contribuições de diferentes civilizações para a construção do conceito de equação do segundo grau.

As equações polinomiais do 2? grau ax2 + bx + c = 0, em que b e c são diferentes de zero, são equações completas. Já aquelas em que b = 0, c = 0 ou b = c = 0 são equações incompletas.

Veja exemplos de valores de a, b e c nas equações do 2? grau a seguir. Equações e respectivos coeficientes Classificação

Equação completa, pois não há coeficientes nulos.

Equação incompleta: o coeficiente de

é zero.

incompleta: o termo independente é nulo.

incompleta: o coeficiente de x e o termo independente são nulos.

• CAMPOS, E. M. de. Trabalhohistóricomatemático – “Equações do 2? grau”. 2020. Trabalho de Cálculo 1. (Graduação em Cálculo Diferencial e Integral I) – Universidade de São Paulo, São Paulo, 2020. Disponível em: https://edisciplinas.usp. br/mod/publication/view.php?

id=2970577&download=75040113

Acesso em: 28 jul. 2022.

Se julgar conveniente, apresente algumas curiosidades do artigo para os estudantes. Mostre alguns exemplos na lousa e peça que identifiquem quais são as equações e quais seriam seus coeficientes. Uma sugestão é trabalhar com diferentes símbolos para reforçar o conceito de variável e que esta precisa estar elevada a 2 para ser uma equação polinomial do segundo grau.

Orientações

As atividades e o conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA09

O conteúdo de Atividades pode ser resolvido de maneira coletiva discutindo a definição de equações polinomiais do 2? grau e seus elementos.

Resolução da atividade 1

São polinomiais do 2o grau apenas as equações em que o maior grau seja 2. Logo, alternativas a, c e e No caso da alternativa e, ao associar os termos semelhantes obtemos:

-x3 + 1 =-x3 + 2x + x2

-x3 + x3 + 1 = 2x + x2

1 = +2x + x2 6 x2 + 2x - 1 = 0.

Resolução da atividade 3

a) 78 = (2x + 3) (x + 1)

78 = 2x2 + 2x + 3x + 3

2x2 + 5x - 75 = 0

b) Equação polinomial do segundo grau completa.

c) a = 2; b = 5; c =-75.

Resolução da atividade 4

a) 2x2 = 32 6 2x2 - 32 = 0

b) (x + 3) (x + 3) = 64

x2 + 6x - 9 = 64

x2 + 6x - 55 = 0.

Resolução da atividade 5

Porque, nesse caso, a equação seria

bx + c = 0 e seria do 1o grau.

No tópico “Raízes ou soluções de uma equação polinomial do 2? grau”, retome a ideia de determinar a solução ou raiz de uma equação por meio de tentativa e erro. É importante que os estudantes percebam a diferença entre atribuir valores quaisquer para uma incógnita e, após a análise do erro, façam novas tentativas.

Atividades

1 Identifique quais das equações a seguir são polinomiais do 2? grau.

a) 2x2 + x - 1 = 0

b) 4x - 1 = x + 3

c) x = x2 + 5 d) 2x 3 + x2 = x2 + 4 e) -x3 + 1 =-x3 + 2x + x2

2 Escreva, na forma reduzida, a equação polinomial do 2? grau cujos coeficientes estão indicados.

a) a = 3, b =-1 e c = 2

b) a = 1 4 , b = 0 e c = 8

c) a = 2 , b = 4 e c = 0

3 A área do retângulo indicado na figura abaixo é igual a 78 cm2

a) Escreva, na forma ax2 + bx + c = 0, a equação que representa esse problema.

b) A equação é completa ou incompleta? Completa.

c) Quais os valores de a, b e c nesse caso? a = 2; b = 5; c =-75.

4 Represente as seguintes frases por meio de uma equação.

a) Um retângulo cujo comprimento é o dobro da largura tem área igual a 32 cm2

2x2 - 32 = 0

b) A área de um quadrado de lado x + 3 é igual a 64 m2

x2 + 6x - 55 = 0

5 Na equação polinomial do 2? grau ax2 + bx + c = 0, por que o coeficiente a não pode ser igual a zero?

Porque, nesse caso, a equação seria do 1? grau.

Raízes ou soluções de uma equação polinomial do 2 ? grau

Resolver uma equação é determinar os valores da incógnita que tornam a igualdade verdadeira. Esses valores são chamados de raízes da equação ou soluções da equação.

Existem algumas técnicas ou fórmulas para determinar as raízes de uma equação polinomial do 2? grau com uma incógnita. A primeira técnica que vamos estudar é a por tentativa: são atribuídos valores à incógnita até obter igualdades verdadeiras.

Vamos analisar a seguinte frase: O quadrado de um número real adicionado a 3 é igual a 28.

A equação que pode representar a situação descrita é x2 + 3 = 28.

Podemos considerar o conjunto dos números reais como conjunto universo dessa equação, ou seja, as soluções dessa equação devem ser números reais.

Substituindo a incógnita x da equação por alguns números reais, a equação pode se transformar em uma sentença verdadeira ou falsa. Veja alguns exemplos.

• Para x = 0, temos: 02 + 3 = 28, e 3 = 28 é uma sentença falsa.

• Para x =-5, temos: (-5)2 + 3 = 28, e 28 = 28 é uma sentença verdadeira.

• Para x = 2 , temos: () 2 2 + 3 = 28, e 5 = 28 é uma sentença falsa.

• Para x = 5, temos: 52 + 3 = 28, e 28 = 28 é uma sentença verdadeira.

• Para x = 10, temos: (10)2 + 3 = 28, e 103 = 28 é uma sentença falsa.

Assim, os números -5 e 5 transformam a equação x2 + 3 = 28 em sentença verdadeira quando estão no lugar da incógnita.

Como -5 e 5 são números reais, ou seja, pertencem ao conjunto universo, dizemos que eles são raízes ou soluções da equação x2 + 3 = 28.

Observações

• Se considerarmos como conjunto universo o conjunto dos números naturais, temos que 5 é solução da equação x2 + 3 = 28, mas -5 não é solução, pois não é um número natural.

• Uma equação polinomial do 1? grau com uma incógnita pode ter, no máximo, uma raiz, enquanto uma equação polinomial do 2? grau com uma incógnita pode ter, no máximo, duas raízes. Isso significa que uma equação polinomial do 2? grau com uma incógnita pode não ter solução, pode ter apenas uma solução ou pode ter duas soluções (raízes distintas ou raízes duplas), dependendo do conjunto universo considerado.

1. Quais são as raízes da equação polinomial do 2? grau x2 + 5 = 21?

2. Que estratégia você usou para resolver a questão?

Atividades

Respostas no Manual do Professor.

1 Considerando o conjunto universo dos números reais, R, verifique quais números nos quadros a seguir são raízes de cada equação.

5 e 1 22 e 22

2 Sabendo que 3 é raiz da equação polinomial x2 - 55x + m = 0, calcule o valor de m 156

3 O quíntuplo de um número é igual ao seu quadrado diminuído de 6 unidades. Quais dos números a seguir podem ser esse número? 6 e -1 4

3 -1 0

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA09

Resolução de Pense e responda

x2 + 5 = 21 6 x2 = 21 - 5 6 x = 16 = 4 ou -4.

Resolução da atividade 1

a) x2 - 6x + 5 = 0

Para x = 5:

52 - 6 5 + 5 = 25 - 25 = 0. Logo, 5 é raiz da equação.

Para x = 3:

32 - 6 3 + 5 = 9 - 13 =-4. Logo, 3 não é raiz da equação.

Para x =-1: (-1)2 - 6 (-1) + 5 = 1 + 11 = 12. Logo, -1 não é raiz da equação.

Para x = 1: 12 - 6 1 + 5 = 1 - 1 = 0. Logo, 1 é raiz da equação. As raízes da equação são 1 e 5.

b) -2x2 + x + 1 = 0

Para x = 1: -2(1)2 + 1 + 1 = -2 + 2 = 0. Logo, 1 é raiz da equação.

Logo,1 2 é raiz da equação.

Para x = 2:

-2(2)2 + 2 + 1 =

-8 + 3 =-5. Logo, -5 não é raiz da equação.

Para x =-2:

- 2( - 2) 2 + ( - 2) + 1 =- 9.

Logo, -9 não é raiz da equação.

As raízes da equação são 1 e1 2 c) x2 - 8 = 0

22 :2 2 2

() 22 :2 2 2 - 8 = 8 - 8 = 0. Logo, 22 é raiz da equação. As raízes da equação são

-22 e2 2

Resolução da atividade 2

Como 3 é raiz, temos:

(3)2 - 55 (3) + m = 0

9 - 165 + m = 0 6 m = 156.

Resolução da atividade 3

5x = x2 - 6

Para x = 4:

5 . 4 = 42 - 6 6 20 q 10

Para x = 6:

5 6 = 62 - 6 6 30 = 30

Para x = 3:

5 3 = 32 - 6 6 15q 3

Para x = -1:

5 . (-1) = (-1)2 - 6 6-5 =-5

Para x = 0:

5 . 0 = 02 - 6 6 0 q 6

Logo, as raízes são 6 e -1.

Orientações

As atividades e o conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA09

Resolução da atividade 4

Para que uma das raízes seja nula, devemos ter:

(0)2 - 8(0) + k - 4 = 0

k - 4 = 0 6 k = 4.

Resolução da atividade 5

Se 1 2 - e 2 são raízes da equação, temos:

4 Calcule o valor de k para que, na equação x² - 8x + k - 4 = 0, apenas uma das raízes seja nula. 4

5 Existem valores de p e q tal que 1 2 e 2 sejam raízes da equação polinomial do 2? grau 1 2 0? 2 px xq -+=

Se sim, quais são esses valores? Sim; p = 1 3 e q = 1 3

As mil e uma equações, de Ernesto Rosa Neto (Ática). Explorando conceitos sobre equações, o autor descreve como três jovens conseguem salvar o emir de ladrões assassinos. Você é forte e inteligente? Então, venha participar da disputa para tirar o vilão da jogada!

Resolução de equações polinomiais do 2 ? grau da forma ax2 + c = 0

Acompanhe os casos a seguir.

• Resolva a equação polinomial do 2? grau, sendo x um número real. x2 - 16 = 0

Podemos usar as propriedades das igualdades ou das operações inversas. x2 - 16 = 0

x2 - 16 + 16 = 0 + 16 4 adicionamos 16 aos dois membros da equação x2 = 16

x = 16 ± 4 extraímos a raiz quadrada do 1? e do 2? membro.

16 4 x =+ = ou 16 4 x =−=−

Portanto, as raízes dessa equação são -4 e 4.

• Daqui a três anos o quadrado da idade de Rildo será igual a 324, qual será a idade atual de Rildo?

Chamando de x a idade atual de Rildo, daqui a três anos sua idade será (x + 3) anos.

Como o quadrado dessa idade é igual a 324, temos a equação: (x + 3)2 = 324

Para resolvê-la, fazemos x + 3 = y e solucionamos a equação obtida: (x + 3)2 = 324 6 y2 = 324

Assim, é necessário determinar que o número y elevado ao quadrado é igual a 324.

==y=y 324 324 18 2 yy y ⇒⇒

Substituindo esses valores em x + 3 = y, obtemos:

x + 3 = 18 6 x = 18 - 3 6 x = 15

x + 3 =-18 6 x =-18 - 3 6 x =-21

Como a idade de Rildo é um valor positivo, desprezamos o valor negativo obtido da resolução da equação do 2? grau. Portanto, a idade atual de Rildo é 15 anos.

No tópico “Resolução de equações polinomiais do 2o grau da forma ax2 + c = 0”, retome com os estudantes as estratégias de resolução utilizadas até o momento para determinar as soluções de equações do 2? grau. Explore, na lousa, a resolução algébrica de algumas equações que possam ser reduzidas à forma ax2 + c = 0.

• Resolva a equação 3x2 = 0 em R

3x2 = 0 6 x2 = 0 3 6 x2 = 0 6 x 0 =+ = 0 ou x = 0 = 0

Assim, podemos dizer que essa equação tem duas raízes reais iguais a zero.

Resolva as equações polinomiais do 2? grau, sendo x um número real.

a) 2x2 - 68 = 4 b) 5x2 + 14 = 4

• Que estratégia você usou para resolver a questão?

• Registre as conclusões no caderno e mostre para um colega.

• Explique como você chegou à essa conclusão.

Atividades

Respostas no Manual do Professor.

Largura: 49 m; comprimento: 28 m.

2 Resolva as equações considerando a incógnita um número real.

a) -3x2 + 108 = 0

b) 49a2 - 1 = 0

c) 12p2 - 3 = 0

6 e -6 1 7 e 1 7 1 2 e 1 2

1 Um terreno retangular tem área igual a 1 372 m2. Determine as dimensões desse terreno sabendo que o comprimento é 7 4 da largura.

d) 4x2 + 9 = 0

e) 3n2 = 18

Não há raízes reais.

f) -2x2 - 20 = 8

6 e 6 Não há raízes reais.

g) 6a2 - 25 = 125 h) 4 521 2q +=

3 A soma de 4 com o quadrado de um número é igual 53. Calcule esse número. -7 ou 7

5 e -5 8 e -8

4 O quadrado de um número natural diminuído de 1 é igual a 143. Determine esse número. 12

5 Há 6 anos, o quadrado da idade de Aparecida era igual a 196. Qual é a idade atual de Aparecida?

20 anos

6 Siga o passo a passo do fluxograma para resolver, em R, a equação polinomial do 2? grau a seguir.

Orientações

Escreva a equação 5x2 - 125 = 0 Faça no caderno

DAE

Dividir os termos de ambos os membros pelo coeficiente de x2

Extrair a raiz quadrada do 2? membro.

Apresentar as raízes da equação.

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA09. Enquanto os estudantes resolvem as atividades, estimule-os a verificar as respostas obtidas substituindo a raiz encontrada pela incógnita da equação.

Em Pense e responda, espera-se que os estudantes resolvam as equações da seguinte forma:

a) 2x2 - 68 = 4 6 2x2 = 72

x2 = 36 6 x - 6 ou x =-6

Portanto, as raízes dessa equação são -6 e 6.

b) 5x2 + 14 = 4 6 5x2 =-10

=-5

2

28, obtemos: Comprimento: .= ⇒ 7 4 2849 49  m Resolução da atividade 2 a) - 3x2 + 108 = 0 6- 3x2 = = 108 6 x2 = 36 6 x =y6 b) 49a2 - 1 = 0 6 49a2 = 1 a2 = 1 49 6 a =y 1 7 c) 12 p2 - 3 = 0 6 12 p2 = 3 p2 = 3 12 6 p2 = 1 4 6 p =y 1 2 d) 4 x2 + 9 = 0 6 4 x2 =- 9 x 29 4 6 x =y 9 4Não existem raízes reais. e) 3n2 = 18 6 n2 = 18 3 n2 = 6 6 n = 6 ou 6f) -2x2 - 20 = 8 6-2x2 + 8 = 20 6 2x2 =-28 x2 = 14 y Não existem raízes reais. g) 6a2 - 25 = 125 a2 = 150 6 6 a2 = 25 6 a =y5 h) q 4 2 + 5 = 21 6 q 4 2 = 16 q = 64 y6 q =y 8 Resolução da atividade 3 Do enunciado, temos: 4 + x2 = 53 6 6 x2 = 49 6 x = 7 ou x =-7 Resolução da atividade 4 x 2 - 1 = 143 6 x 2 = 144 x = 12 ou x =-12 Como n é natural, x = 12. Resolução da atividade 5 Seja x a idade atual,

temos:

-=6-=y6-y xxx(6 ) 196 6 196 6 14. 2

Portanto, x = 20 ou x =-8 (não serve).

Portanto, a idade atual é 20 anos. Resolução da atividade 6 x xxx 5 125 0 25 5ou5 2 2

-= =6==-

Resolução da atividade 1

A área do terreno é igual a 1 372 m2, logo:

.=6=6 xxxx 7 4 1372784 = 784 2

x = 28 ou x =-28 xx xx 784 784 28 ou 28 2 =6=y ==-

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA09

A atividade 8 favorece o desenvolvimento da competência geral 4 Resolução da atividade 8

bh = A 6 x 4 x = 400 6

6 4x2 = 400

7 Elabore o enunciado de um problema que possa ser representado pela equação polinomial do 2? grau 2x2 + 5 = 21. Dê para um colega responder. Depois, confira a resolução feita por ele.

Resposta pessoal.

8 Conheça a seguir, um pouco da obra “O violeiro”, do artista Almeida Júnior.

Leia a seguir o texto sobre a obra O violeiro, do artista Almeida Junior.

[...] O violeiro (óleo sobre tela, 141 cm * 172 cm) foi pintado pelo artista em 1899 e encontra-se na Pinacoteca de São Paulo. Este quadro foi exposto pela primeira vez na 6; Exposição Geral da Escola de Belas Artes (Rio de Janeiro) e depois no ateliê do próprio artista em São Paulo.

xxx 400 4 100 10010 44 1040. 2 ==6==6=.=

Como x precisa ser um valor positivo, vem:

xxx 10010010 44 1040.==6==6=.=

x 10010010 44 1040.=6=.=

Portanto, são 10 cm de largura e 40 cm de comprimento.

Alternativa c. Resolução da atividade 9 -x2 - k = 0 6- (-2)2 - k = 0

k =-4.

Alternativa b.

A obra em estudo apresenta dois personagens que aparecem em primeiro plano: o violeiro e a diletante cantora. No segundo plano observa-se uma janela de uma casa simples. O homem encontra-se sentado de forma horizontal do lado esquerdo da janela com uma viola em mãos. [...]

SILVA, L. P. C.; SILVA, L. V. B. P. Uma abordagem iconográfica musical da obra O Violeiro, de Almeida Júnior. Revista Música Hodie, Goiânia, v. 18, n. 2, p. 248, 2018. Disponível em: https://www.revistas.ufg.br/musica/article/view/51675/27053. Acesso

Na aula de Matemática, o professor Pedro pediu aos estudantes que replicassem a pintura O violeiro Ele desafiou a turma a descobrir as dimensões da tela que iria fornecer, e disse que ela tinha 400 cm2 de área, x cm de largura e 4x cm de comprimento. É correto afirmar que as duas últimas dimensões da tela são, respectivamente:

a) 40 cm e 10 cm.

b) 4 cm e 20 cm.

c) 10 cm e 40 cm.

d) 4 cm e 10 cm.

• Na sua opinião, uma tela com essas medidas é adequada para a execução da obra proposta? Por quê?

9 Se -2 é uma das raízes da equação -x2 - k = 0, então o valor de k é:

Alternativa c Resposta pessoal. Alternativa b

a) 4.

b) -4.

c) 2.

d) -2.

em: 20 maio 2022.

Almeida Júnior. O violeiro, 1899. Óleo sobre tela, 141 cm × 172 cm.

Pinacoteca do Estado de São Paulo, Brasil

(FUNDEP-MG) Uma empresa de turismo faz passeios em ônibus fretados para um número x de passageiros, com o limite máximo de 50 passageiros. O cálculo do valor da passagem que cada passageiro terá de pagar é dado por V = 100 + 10 (50 - x); já o custo total da empresa é de C = 1 000 + 20x

O lucro L da empresa é o resultado do valor de sua receita R (dada pelo produto entre o número de passageiros x e o valor V da passagem que cada um pagará), subtraindo-se o custo total C para realização da viagem. Em outras palavras, L = V x – C Qual expressão algébrica a seguir equivale ao valor do lucro L da empresa?

a) -10x2 + 580x - 1 000

b) -10x2 + 620x + 1 000

c) 10x2 + 620x - 1 000

d) 10x2 + 580x + 1 000

11 Mário pergunta a seu irmão Beto em que número ele está pensando naquele momento. Beto diz: “Como posso adivinhar? Me dá uma dica.” Mário, então, diz: “É um número negativo tal que o triplo do quadrado da soma desse número a dois subtraído de cinco é igual a sete”. Em qual número Mário estava pensando? - 4

12 Resolva as equações considerando o conjunto dos números reais.

a) 7x2 = 0 0

b) 4 5 x2 = 0 0

c) 1 2 x2 = 0 0

d) 2  x0 2 = 0

e) (x - 1)2 = 0 1

f) -4(x - 2)2 = 0 2

13 Quais são as raízes das equações a seguir, sendo x um número real?

a) (x + 2)2 = 144

b) (2x - 1)2 = 4

c) (x - 9)2 = 0 9

Alternativa a 10 e -14 3 2 e 1 2 logico, logica!

(OPRM) O professor Euclides foi dar uma palestra em um auditório com capacidade para 140 pessoas sentadas. No término da sua apresentação observou quantos lugares estavam vazios e fez uma aposta com os participantes que pelo menos cinco participantes da palestra fariam aniversário no mesmo dia do mês. Qual é o número máximo de lugares vazios no auditório para garantir que Euclides ganhe a aposta?

a) 15

b) 17

Alternativa a

c) 20 d) 21 e) 25

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA09

Resolução da atividade 10

Substituindo e calculando os valores de V e C, temos:

vamos contar a quantidade máxima de pessoas que podem estar no auditório de maneira que não existam 5 que façam aniversário no mesmo dia do mês. Para isso, é necessário que tenhamos 4 pessoas fazendo aniversário em cada dia do mês, inclusive no dia 31, ou seja, serão

4 31 = 124 pessoas.

Dessa forma, a 125; pessoa deverá fazer aniversário em um dia em que já existem 4 pessoas fazendo aniversário.

Com isso, o número máximo de lugares vazios no auditório é: 140 - 125 = 15. Alternativa a

Orientações

O trabalho com Viagem no tempo favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1 de Matemática. Para ampliar o estudo, pode-se propor aos estudantes que façam uma pesquisa sobre Diofanto de Alexandria e explorem a história do desenvolvimento da Álgebra.

Resolução da atividade 2

x 2 - 1 = 145 6 x 2 = 144 6

6 x = 12.

Resolução da atividade 3 Espera-se que encontrem que Diofanto de Alexandria foi um matemático grego que viveu no século II. Considerado o pai da Álgebra, foi um dos matemáticos mais importantes no estudo da Teoria dos Números e escreveu vários livros.

Resolução da atividade 4

x = idade de Diofanto ao morrer

x 6 = infância

x 12 = adolescência

x 7 = casamento estéril

5 anos depois nasceu seu filho

x 2 teve uma vida feliz

4 anos Diofanto sofreu antes da sua morte

=+++++ x xxxx 6127 5 2 4 (equação do 1o grau)

x xxxx 6127 2 9 =

xx 9 756 756 9 84. =6==

Portanto, Diofanto faleceu com 84 anos.

Para aprofundar

Os artigos tratam da História da Matemática, que envolve a aplicação e a resolução de equações algébricas.

• GAMAS, C. Diofanto de Alexandria e os primórdios da álgebra. In: SOARES, Carmen (coord.). Espaços dopensamentocientíficodaAntiguidade. Coimbra: Imprensa da Universidade de Coimbra, 2013. p. 59. Disponível em: https://eg.uc. pt/bitstream/10316/44454/1/ E-book_Espacos_do_Pensamen to_Cientifico_da_Antiguidade.

pdf. Acesso em: 28 jul. 2022.

O nascimento da álgebra

Com o desenvolvimento do sistema numérico indu-arábico e a adoção do zero, tornou-se possível algo que se aproxima da álgebra moderna. Os matemáticos árabes, juntando o melhor da matemática dos hindus e gregos e ampliando-o, lançaram os fundamentos de um sistema algébrico próprio e até nos proporcionaram o termo “algebra”. Eles acharam a álgebra mais atraente do que os gregos tinham achado e havia também um incentivo ao seu desenvolvimento dentro da sua própria sociedade. As leis incrivelmente complexas de herança, por exemplo, tornaram o cálculo de proporções e frações uma necessidade tediosa. No topo disso tudo, a constante necessidade de encontrar a direção de Meca tornou a álgebra, assim como a geometria, uma ferramenta que devia ser desenvolvida.

AL JABR WA-L-MUQABALA

A palavra “algebra” é derivada do título de um tratado escrito pelo matemático persa e membro da House of Wisdom, Muhammad ibn Musa al-Khwarismi, chamado Aj-Kitab al-Jabr wa’l-Muqabala (“The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing”). Esse tratado apresentava métodos sistemáticos para resolver equações lineares e quadráticas. A palavra moderna algarismo também veio do sobrenome do matemático (al-Khwarizmi). Nesse livro ele apresenta métodos para resolver equações dos tipos ax2 = bx, ax2 = c, bx = c, ax2 + bx = c, ax2 + c = bx, e bx + c = ax2 (na notação moderna). Assim como Diofanto, ele considerava apenas números inteiros nas equações e suas soluções; ele tinha o requisito adicional de que os números devem ser positivos, enquanto Diofanto permitia números negativos. Al-Khwarizmi escreveu todos os problemas e soluções em palavras e não tinha notação simbólica. Ironicamente seu trabalho leva o crédito por ter introduzido os numerais indoarábicos na Europa [...].

Após mostrar como lidar com equações, al-Khwarizmi passou a usar o trabalho de Euclides para fazer demonstrações usando geometria. As proposições de Euclides eram inteiramente geométricas, e al-Khwarizmi foi o primeiro a aplicá-las às equações quadráticas.

1 Qual é o número inteiro que, elevado ao quadrado, é igual a 4? -2 ou 2

2 Ao adicionarmos 1 ao quadrado da idade de Juliano, obtemos 145. Qual é a idade de juliano?

3 Pesquise quem foi Diofanto de Alexandria. Resposta pessoal.

4 Leia a seguir, um enigma de Diofanto de Alexandria, que possivelmente foi gravado em seu túmulo. “Viajante! Aqui estão as cinzas de Diofanto. É milagroso que os números possam medir a extensão da sua vida.

Um sexto dela foi uma bela infância.

Depois de 1 12 da sua vida, a sua barba cresceu.

Um sétimo da sua vida passou-se num casamento sem filhos.

Mas, cinco anos após isso, nasceu o seu primeiro filho.

Que viveu uma vida feliz durante apenas metade do tempo de vida do seu pai.

E, em profundo pesar, o pobre velho terminou os seus dias na Terra quatro anos após perder o seu filho.”

VIEIRA, Francimar de Brito. Diofanto de Alexandria. In: CLUBES DE MATEMÁTICA DA OBMEP. [S. l.], 1 set. 2018. Disponível em: http://clubes.obmep.org.br/blog/b_diofanto-de-alexandria/. Acesso em: 20 maio 2022.

• Com que idade Diofanto faleceu?

12 anos 84 anos

• SERRÃO, M. M.; BRANDEMBERG, J. C. Problemas matemáticos da Antiguidade como estratégia para o ensino de equações no 9? ano da Educação Básica. Revistade Matemática,ensinoecultura, Natal, v. 9, n. 16, p. 130-147, 2014. Disponível em: http://www.rematec.net.br/index. php/rematec/article/view/382. Acesso em: 28 jul. 2022.

ROONEY, Anne. A história da Matemática. São Paulo: M. Books, 2012. p. 130-131.

Possibilidades e probabilidade

3 3 = 9; 9 possibilidades diferentes

Selma quer vestir uma roupa para ir ao cinema. Ela tem 3 saias e 3 blusas de cores diferentes. Quantas são as possibilidades diferentes de ela combinar uma saia e uma blusa?

Escreva as conclusões no caderno e apresente-as aos colegas.

Cálculo de probabilidades

Acompanhe a situação.

• Considere todos os números de três algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 7 e 9. Escolhendo ao acaso um desses números formados, qual é a probabilidade de o número ser maior que 900?

Para iniciar, vamos determinar quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 6, 7 e 9.

Podemos começar analisando a quantidade de possibilidades para o algarismo na ordem das centenas, depois para o algarismo das dezenas e, por fim, para o algarismo das unidades.

Objetivos do capítulo

• Aplicar o princípio multiplicativo da contagem no cálculo de probabilidades.

• Elaborar e resolver problemas que envolvam o princípio multiplicativo da contagem.

• Explorar a ideia de espaço amostral.

• Relacionar a probabilidade à razão entre o número de eventos favoráveis e o número de eventos possíveis.

• Reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1. Foco na BNCC Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 3, 7 e 9

Competências específicas 1, 4, 6, 7 e 8

Habilidades EF08MA03 e EF08MA22

Orientações

Para o algarismo das unidades há três possibilidades (pois esse algarismo deve ser diferente dos outros algarismos).

Para o algarismo das dezenas há quatro possiblidades (pois esse algarismo deve ser diferente do algarismo das centenas).

Para o algarismo das centenas há cinco possibilidades: 1, 2, 6, 7 e 9.

Usando o princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo da contagem, a quantidade de números que podem ser formados é igual a: 5 . 4 . 3 = 60.

Logo, 60 números podem ser formados.

Agora, vamos verificar quais desses números são maiores que 900, ou seja, quantos números têm o algarismo 9 na ordem das centenas.

Para o algarismo das unidades há três possiblidades.

Para o algarismo das dezenas há quatro possiblidades: 1, 2, 6 e 7.

O total de números maiores que 900 é igual a: 1 4 3 = 12.

Com base na situação proposta em Para começar, incentive os estudantes a explorar estratégias para determinar o número total de combinações possíveis. Se necessário, proponha que, nas combinações, representem três peças de saias e três de blusas, distintas entre si. É importante permitir que compartilhem tanto as estratégias adotadas na resolução da situação quanto diferentes maneiras de sistematizar as combinações. Resolução do Para começar Como cada saia pode ser combinada com três blusas diferentes e como há três saias ao todo, temos: 3 3 = 9 4 9 possibilidades

Aproveite o tópico “Cálculo de probabilidades” para discutir com eles como determinar o total de combinações da situação discutida em Para começar. Se achar oportuno, pode-se ampliar o número de itens a ser combinados, por exemplo, 3 saias, 3 blusas e 4 calçados diferentes entre si.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA22

Retome a definição de probabilidade como sendo a razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados.

Em Pense e responda, os estudantes deverão compreender que, para o primeiro algarismo, só há 2 possibilidades (7 ou 9); para o segundo, há 4 possibilidades (todos, menos o que foi usado no primeiro algarismo, já que o número deve ser composto por algarismos distintos) e 3 possibilidades para o último algarismo (todos, menos os 2 usados anteriormente). Então, o número de possibilidades é dado por 2 . 4 . 3 = 24.

Logo, == 24 60 0,4040%

Apresente exemplos relacionados ao lançamento de um ou de dois dados honestos ou de moedas não viciadas. É importante que os estudantes compreendam as diferentes maneiras de representar uma mesma probabilidade, relacionando a representação na forma fracionária, decimal ou de porcentagem.

Trabalhe exemplos como os indicados no livro para retomar e aprofundar as noções de espaço amostral e de eventos equiprováveis.

Na mesma situação, qual é a probabilidade de escolher um número maior que 700?

• Que raciocínio você utilizou?

• Registre as conclusões no caderno e compartilhe com os colegas.

Respostas no Manual do Professor.

Portanto, a probabilidade de ser escolhido um número maior que 900 é igual a:

=== P 12 60 1 5 0,2

A probabilidade de um evento ocorrer pode ser obtida assim:

P = P  número de resultados favoráveis número total de resultados

Dessa definição resulta que:

• a probabilidade de um evento impossível é 0 (não há resultados favoráveis);

• a probabilidade de um evento certo é 1 (o número de resultados favoráveis é igual ao número total de resultados);

• a probabilidade de um evento A é sempre um número, tal que 0 k P(A) k 1.

Assim, qualquer que seja o evento, por exemplo, A, a probabilidade de esse evento ocorrer é um número compreendido entre 0 e 1.

0 k P (A) k 1 evento impossívelevento certo 44

Vejamos alguns exemplos.

• Considere o lançamento de um dado cujo espaço amostral é:

Ü= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

E considere também os eventos a seguir.

A: sair um número maior que 6.

B: sair um número menor que 7.

No espaço amostral A, não existe número maior que 6, e no espaço amostral B, temos 6 elementos, pois todos os elementos são menores que 7. Como o evento A é vazio, logo, impossível de acontecer, a probabilidade do evento A é nula, ou seja:

P(A) == 0 6 0, e esse evento é chamado de evento impossível

Já no evento B, todos os números são menores que 7. Então, o evento B coincide com o espaço amostral e a probabilidade de o evento B ocorrer é:

P(B) == 6 6 1 e esse evento é chamado de evento certo

• Vamos analisar mais esse caso. Observe o número de votos que três candidatos a representante de classe receberam de 200 estudantes das turmas do 8 ? ano do Ensino Fundamental.

Candidato ABC

Número de votos 1008020

Escolha um estudante aleatoriamente e calcule a probabilidade de ele ter votado no candidato C Nesse caso, temos:

=== PC() 20 200 1 10 0,1 , ou seja 10%

Probabilidade – a chance ou possibilidade de um evento acontecer – entrou para a matemática no século XVII e foi no contexto dos jogos de azar. Embora Gerolamo Cardano tenha escrito sobre jogos de azar em 1520, seu trabalho não foi publicado até 1633, e assim ele perdeu para Fermat e Pascal. Em uma troca de cartas, os dois discutiam um problema proposto por um jogador, o Chevalier de Méré:

Dois jogadores estão fazendo um jogo de azar perfeito no qual cada um apostou 32 moedas. O primeiro a vencer três vezes seguidas ganha tudo. No entanto, o jogo é interrompido após apenas três jogadas. O jogador A ganhou duas vezes e o jogador B ganhou uma vez. Como eles podem dividir o prêmio de forma justa?

Os dois matemáticos chegaram à distribuição 3:1 em favor do jogador A, embora eles tenham chegado à solução por métodos diferentes.

Fermat deu sua resposta em termos de probabilidades. Mais dois jogos é o máximo que seria necessário para decidir o jogo e há quatro resultados possíveis: AA, AB, BA, BB. Somente a última possibilidade faria B ser o ganhador, assim ele teria 1 chance em 4 e deveria receber um quarto do prêmio. Pascal propôs uma solução baseada na expectativa. Supondo que B ganhe a próxima rodada, cada jogador teria um direito igual a 32 moedas. O jogador A receberia 32 moedas de qualquer forma, pois já ganhou duas vezes. A chance de B ganhar a próxima jogada é 50 por cento, assim ele teria a metade das 32 moedas resultantes. O jogador A também tem uma chance de 50 por cento de ganhar, e deveria receber as 16 moedas restantes. Assim, o jogador A recebe 48 moedas e o jogador B recebe 16 moedas. A estratégia de Pascal foi a que ganhou a aprovação entre os matemáticos que lidavam com os jogos. [...]

• Considere os anagramas da palavra PEDRA. Sorteando, aleatoriamente, um desses anagramas, qual é a probabilidade de ele começar com a letra P?

A palavra PEDRA tem cinco letras. Uma vez escolhida a primeira letra dentre as cinco, só restam quatro para escolhermos a segunda; escolhida esta, restam três letras para a terceira; escolhida esta, restam duas letras para escolhermos a quarta; por fim, resta uma letra para ser a quinta da palavra que se quer formar.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF08MA03 e EF08MA22

Em Curiosidade, pode-se propor aos estudantes que pesquisem a relação entre os jogos de azar e o estudo da probabilidade. Esse estudo favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1 Nos exemplos dessa página, explique aos estudantes o que é um anagrama. Utilize exemplos de anagramas de palavras com três ou quatro letras distintas e peça que façam anagramas dos próprios nomes. Em seguida, explore a estratégia para determinar o total de anagramas de uma palavra por meio do princípio multiplicativo da contagem.

O número total de anagramas que podem ser escritos com essas cinco letras é igual a:

.

Fixando a letra P no início do anagrama, restam quatro letras para as demais posições.

Como temos 24 palavras de um total de 120, a probabilidade de sortear uma dessas palavras é:

= 20%

ROONEY, Anne. A história da Matemática. São Paulo: M. Books, 2012. p. 173.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA22

Resolução da atividade 1

A quantidade de casos possíveis de se formar é: 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 = 360. Analisando a quantidade de casos favoráveis que contêm o algarismo 2 e não contêm o algarismo 4, temos 5 algarismos para compor o número.

• Algarismo 2 na primeira ordem:

4 ∙ 3 ∙ 2 = 24 4 24 possibilidades.

• Como temos quatro ordens para colocar o algarismo 2, cada uma delas com a mesma quantidade de combinações possíveis, temos, ao todo: 4 24 = 96.

Logo, a probabilidade é:

P 96 360 4 15 ==

Resolução da atividade 2

Dados: 15 mulheres e 10 homens.

a) 15 10 = 150 4 Poderão ser formadas 150 duplas com um homem e uma mulher.

b) 15 + 10 = 25 4 25 pessoas.

Total de duplas: 2524 2 300 =

• 2 mulheres: 1514 2 105 = ;

105 duplas com duas mulheres

• 2 homens: 10 9 2 45 . = ;

45 duplas com dois homens.

Temos 300 duplas:

150 com homem e mulher, 45 com homem e homem e 105 com mulher e homem.

Logo, a probabilidade de termos duas mulheres é:

Atividades

E qual é a probabilidade de começar com a letra P e terminar com a letra A?

De modo análogo, fixando a letra P no início do anagrama e a letra A no final, restam três letras para as demais posições.

1; 2; 3; 4; 5; P321A

3 2 1 = 6

Como temos 6 anagramas de um total de 120, a probabilidade de ocorrer uma dessas palavras é == 6 120 1 20  0,05 , ou seja, 5%.

1 Considere todos os números de quatro algarismos distintos que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 4, 6, 7 e 9. Escolhe-se, ao acaso, um desses números. Qual é a probabilidade de esse número conter o algarismo 2 e não conter o algarismo 4?

2 Leia o texto a seguir.

Esporte de origem africana

A capoeira é um tipo de luta que teve origem no Brasil a partir do século XVI. De grande expressividade para a cultura brasileira, tem como principais características a defesa pessoal, além de movimentos corporais bem ágeis. Nesse esporte, os praticantes exercitam bastante os pés e a cabeça. […]

MENDES, Maria. Capoeira. In: EDUCA MAIS BRASIL. [S. l.], 4 fev. 2019. Disponível em: http://www.educamaisbrasil.com.br/enem/ educacao-fisica/capoeira. Acesso em: 20 maio 2022.

Um professor de capoeira decide fazer um campeonato com os capoeiristas do seu centro de treinamento, que conta com 15 mulheres e 10 homens. As duplas que vão competir serão escolhidas de maneira aleatória.

a) De quantas maneiras o professor poderá formar duplas com exatamente um homem e uma mulher?

b) Qual é a probabilidade de a primeira e a segunda pessoas escolhidas serem mulheres? 7 20

3 Felipe, Cláudia, João, Laura e Rodrigo vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fileira, que tem cinco lugares.

105

300 21 60 7 20 ==

A atividade contempla a competência geral 3 e a competência específica 4

Resolução da atividade 3

Cláudia - Felipe - João - Rodrigo - Laura

Laura - Felipe - João - Rodrigo - Cláudia

Permutando os assentos do meio, temos: 3 2 1 = 6.

Como Cláudia e Laura podem sentar nas duas extremidades, 6 . 2 = 12 4 12 maneiras distintas.

De quantas maneiras diferentes eles podem distribuir-se nos assentos, de modo que Cláudia e Laura fiquem sempre nas extremidades?

4 Um sorteio escolherá uma dupla (um estudante do 9? ano A e outro do 9? ano B) para representar o 9? ano em uma comemoração. Os candidatos são:

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA22

Resolução da atividade 4

a) Qual é a probabilidade de Felipe ser sorteado? E de Mila ser sorteada?

b) Quantas duplas de representantes podem ser formadas?

12

c) Qual é a probabilidade de ser formada a dupla Geraldo-Helena?

P(Felipe) = 25%

P(Mila) o 33%

a) Felipe ser sorteado: 1 4 = 0,25 ou 25%;

Mila ser sorteada: 1 3 = 0,33 ... ou o 33%.

b) 4 3 = 12

a) múltiplo de 3? 1 ou 100% b) par? 0

5 Utilizando os algarismos 3, 5 e 7, formam-se todos os números possíveis de três algarismos, sem repetição. Escolhendo, aleatoriamente, um desses números, qual é a probabilidade de o número escolhido ser:

6 Em uma brincadeira, a cada jogada um dado vermelho e um dado verde, ambos com as faces numeradas de 1 a 6, são colocados em um copinho, sacudidos e virados sobre uma mesa. Em seguida, adicionam-se os pontos das faces que ficaram voltadas para cima. Se essa soma resultar em 7 ou 11, ganha-se o jogo.

a) Qual é a probabilidade de um jogador ganhar em uma jogada qualquer?

b) Qual é a probabilidade de a soma ser um número maior que 12?

c) Qual é a probabilidade de a soma ser um número menor ou igual a 12?

2) se sair um múltiplo de 4 ou 6, o jogador B ganha o prêmio;

P(Geraldo-Helena) o 8,3% 0; esse é um evento impossível. 1; esse é um evento certo.

c) Geraldo e Helena: 1 12 o 0,083 ou o 8,3%.

Resolução da atividade 5

P = 8 36 2 9 =

a) Todos os números formados com os algarismos 3, 5 e 7 serão divisíveis por 3, pois 3 + + 5 + 7 = 15, que é divisível por 3. Logo, a probabilidade de o número escolhido ser divisível por 3 é 100%.

b) Todos os números formados com os algarismos 3, 5 e 7 são ímpares, já que 3, 5 e 7 são números ímpares. Logo, a probabilidade de o número escolhido ser divisível por 2 (par) é zero.

Resolução da atividade 6

a) O número de casos possíveis no lançamento desses dois dados é 6 6 = 36. Sendo o evento “obter soma 7 ou 11”, temos: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1), (5, 6) e (6, 5), ou seja, 8 casos. Logo, P 8 36 2 9 ==

3) se sair um número que implique na vitória de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, A e B repartem o prêmio;

4) se sair um número que implique em derrota de ambos os jogadores pelos critérios anteriores, a banca ganha o prêmio.

Em cada rodada, a probabilidade da banca do jogo ganhar o prêmio é de Alternativa a

a) 50%. b) 42%. c) 56%. d) 58%. e) 66%.

b) Zero. Como o maior número de cada dado é 6, esse é um evento impossível.

c) A probabilidade é 1. Todas as somas serão menores ou iguais a 12. Resolução da atividade 7 No conjunto {1, 2, …, 100} temos 33 múltiplos de 3 e 25 múltiplos de 4.

Mas existem 8 múltiplos comuns entre 3 e 4, que são: {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96}.

Logo: existe 33 + 25 - 8 = 50 múltiplos de 3 ou 4. Notamos que os múltiplos de 6 já ficam contados nos múltiplos de 3. Assim, a banca ganha em 100 - 50 = 50 4 50 números. Então, a probabilidade pedida é igual a 50 100 = 0,5, ou seja 50%.

Resposta: Alternativa a

9º anoB Caio Helena Mila     

01 02 03 04 05 06 07 08 1918171615141312111009 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 414039383736353433 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 5960616263646566676869 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83848586878889909192 93 94 95 96 97 98 99 100 GIRAR Luca Navarro

7 (UNESP) Em um jogo, com dois jogadores (A e B) e a banca, gira-se a roda indicada na figura, até que ela pare aleatoriamente em um dos 100 números naturais positivos e consecutivos, que são equiprováveis.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA22

Resolução da atividade 8

a) 20 + 40 + 60 + 25 + 15 = = 160 4 160 acessos

b) Menor número de acessos: 15 (sexta-feira).

Maior número de acessos: 60 (quarta-feira).

c) 40 160 = 0,25 ou 25%

Resolução da atividade 9

a) 800 ∙ 350 ∙ 280 ∙ 20 = = 1 568 000 000 4 1 568 000 000 maneiras distintas.

b) P(negra) = 800 1450 o 0,5517 ou o 55,17%.

8 Em uma escola, foi apresentado às turmas do 8? ano do Ensino Fundamental um fluxograma para os pais ou responsáveis verificarem o desempenho escolar dos estudantes, conforme a imagem abaixo.

Digitar login

No decorrer da primeira semana, o site do colégio foi acessado por diversos pais ou responsáveis. Os acessos foram registrados no gráfico a seguir.

a) Quantos pais ou responsáveis acessaram o site do colégio?

b) Quais foram os dias em que houve o menor e o maior número de acessos?

quarta-feira (60 acessos).

c) Qual é a probabilidade de um dos pais ou responsáveis ter acessado o site da escola na terça-feira?

9 Em uma escola, há estudantes de diferentes origens étnicas.

O gráfico ao lado relaciona a quantidade de estudantes e sua ascendência.

a) De quantas maneiras distintas é possível formar um grupo com quatro estudantes, cada um deles de uma origem étnica diferente?

b) Se escolhermos aleatoriamente um estudante, qual é a probabilidade de ele ser de origem

Origem étnica dos estudantes

Acessos ao site do colégio

Fonte: Dados fictícios.

Fonte: Dados fictícios.

Tarcísio Garbellini

Luca Navarro

10 Leia o texto a seguir.

[…] Segundo a Organização Mundial de Saúde (OMS), cerca de 90% da população mundial sofre com o estresse. E no Brasil, a preocupação também é grande. Segundo um levantamento da Associação Internacional do Controle do Estresse (ISMA), já somos o segundo país do mundo com o maior nível de estresse.

[…] “É importante prestar atenção aos nossos pensamentos e sentimentos, e buscar ajustá-los diariamente. Viver cada dia, sem se exigir tanto e estimular esperanças diárias”, orienta [Mônica Osório, psicóloga do Instituto de Medicina Integral Prof. Fernando Figueira].

Além disso, a psicóloga ensina dicas como estar atento a cuidar de si, dormir bem, praticar exercícios físicos e manter contato com amigos e familiares, o que revigora, dá segurança e forças para seguir em frente.

OMS estima que estresse atinge cerca de 90% da população mundial [...] In: INSTITUTO DE MEDICINA INTEGRAL PROF. FERNANDO FIGUEIRA. Recife, 23 set. 2020. Disponível em: http://www1.imip.org.br/imip/noticias/oms-estima-que-estresse-atinge-cerca-de-90-da -populacao-mundial-saiba-como-combatelo.html. Acesso em: 20 maio 2022. Diante das informações do texto, responda ao que se pede.

a) Uma pessoa que já faz terapia pretende realizar atividades físicas. Seu terapeuta recomendou que ela faça, pelo menos, duas das atividades sugeridas a seguir: pilates, ioga, dança, crossfit e natação. De quantas maneiras distintas é possível escolher essas atividades físicas? 20

b) Você cuida de si? Dialogue com os colegas sobre as atividades que realiza para se sentir bem.

11 Com relação à palavra EVARISTO, sorteando-se ao acaso um anagrama, a probabilidade de ele começar com uma vogal e terminar com uma consoante é:

a) 1 7

b) 2 7

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA22

Resolução da atividade 10

a) 5 4 = 20, ou seja, de 20 maneiras distintas

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 7 e da competência específica 4

O texto apresentado propicia o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal: Saúde Resolução da atividade 11

A palavra EVARISTO tem 4 vogais (A, E, I, O, U) e 4 consoantes (R, S, T, V).

O número de anagramas da palavra EVARISTO é 8 7 6 5 4 3 . . 2 . 1 = 40 320.

O número de anagramas que começam com vogal e terminam com consoante é:

c) 5 20 d) 11 12

12 Você já adotou um animal de estimação? Saiba um pouco sobre este assunto no texto a seguir. Brasil tem mais de 170 mil animais abandonados sob cuidado de ONGs, aponta instituto [...] O Instituto Pet Brasil levou mais de seis meses para mapear as organizações em todo o país. As ONGs e os protetores forneceram informações sobre suas capacidades de acolhimento e o acolhimento real no momento da pesquisa. [...]

Os abrigos de médio porte, que conseguem abrigar de 101 a 500 animais e que são 48% das entidades mapeadas, se destacam por tutelar mais de 89 mil bichos. Por isso, eles são responsáveis por mais de 52% da população de pets disponíveis para adoção. [...]

Fonte: VELASCO, Clara. Brasil tem mais de 170 mil animais abandonados sob cuidado de ONGs, aponta instituto. G1, São Paulo, 18 ago. 2019. Disponível em: https://g1.globo.com/sp/sao-paulo/noticia/2019/08/18/brasil-tem-mais-de-170-mil -animais-abandonados-sob-cuidado-de-ongs-aponta-instituto.ghtml. Acesso em: 20 maio 2022.

a) Se uma família deseja adotar um pet, seja gato ou cachorro, e a ONG mais próxima aloja 550 animais, sendo 96% cachorros e 4% gatos, qual é a probabilidade de o animal escolhido ser um gato? Responda em forma de fração.

b) Você é tutor de algum animal de estimação que foi adotado? Se sim, compartilhe com os colegas como aconteceu o ato de adoção. E não esqueça de falar o nome do seu pet! Resposta pessoal.

c) Agora é sua vez de ajudar animais abandonados a encontrarem um lar! Faça uma pesquisa sobre ONGs de sua região que acolhem animais em situação de rua e divulgue essas entidades em suas redes sociais.

Termina com consoante Logo, a probabilidade pedida é:

Começa com vogal 6 letras

Alternativa b Resolução da atividade 12 a) 4% de 550:

0,04 550 = 22

Há 22 gatos entre os 550 animais: = 22

550 11 275

A atividade contempla o desenvolvimento da competência geral 9, além das competências específicas 7 e 8

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA22

Proponha aos estudantes que leiam o conteúdo do tópico “Eventos complementares”. Depois, discutam o exemplo indicado para explorar outras situações que apresentem eventos complementares. Pode-se, por exemplo, discutir eventos relacionados ao lançamento de dois dados honestos ou de duas ou mais moedas não viciadas.

Estimule os estudantes a verificar que a soma da probabilidade de dois eventos complementares é sempre 1. Em Pense e responda, reforce o assunto discutido e verifique a compreensão dos estudantes.

Resolução do Pense e responda

1. Se houvesse mais uma bola, de número 11, continuaria havendo 5 bolas de número par, mas agora sobre um total de 11 bolas, e não de 10. Logo, 5 11

2. Havendo mais uma bola de número ímpar, a probabilidade mudaria para 6 possibilidades em um total de 11. Logo, 6 11

3. 5 11 6 11 11 11 1 +==

Ao estudar os exemplos, é possível organizar a turma em duplas ou trios para ler as atividades e acompanhar as resoluções. Nessa etapa, acompanhe os estudantes a fim de verificar possíveis dúvidas e a necessidade de fazer alguma intervenção.

Depois, peça a alguma dupla (ou trio) que explique a resolução de uma atividade para os colegas. Reserve um tempo para troca de ideias e converse sobre possíveis dúvidas de uma atividade para a outra.

Eventos complementares

Considere a retirada de uma bola, ao acaso, de uma caixa que contém dez bolas numeradas de 1 a 10, e os eventos descritos a seguir.

Evento A 4 ocorrência de número par: 2, 4, 6, 8 ou 10.

Evento B 4 ocorrência de número ímpar: 1, 3, 5, 7 ou 9.

Se os eventos de um espaço amostral são complementares, a soma de suas probabilidades é igual a 1.

Os eventos A e B não têm nenhum elemento comum, ou seja, a ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro. Dizemos, então, que os eventos A e B são mutuamente exclusivos

Além disso, ao retirar uma bola, sempre ocorre o evento A ou o evento B. Portanto, além de mutuamente exclusivos, dizemos que esses eventos são complementares No exemplo dado, temos:

Logo:

1. 5 11

2. 6 11

1. Se houvesse na caixa mais uma bola com o número 11, qual seria a probabilidade de ocorrer um número par?

2. E um número ímpar?

3. E A soma dessas probabilidades seria igual a 1? Descreva o raciocínio que você usou para responder.

3. Sim. Resposta pessoal. Acompanhe o exemplo.

• Uma moeda e um dado com faces numeradas de 1 a 6 são lançados simultaneamente e se observam as faces superiores. Qual é a probabilidade de:

A: Sair cara e número ímpar?

São duas possibilidades para a face da moeda (cara ou coroa) e seis possibilidades para os números da face superior do dado (1, 2, 3, 4, 5 ou 6). Utilizando o princípio multiplicativo da contagem, o número de resultados possíveis para o experimento é: 2 6 = 12.

O número de elementos do evento “sair cara e número ímpar” é 3: (cara, 1), (cara, 3) e (cara, 5).

Assim, a probabilidade de ocorrer esse evento é igual a: () == P cara, ímpar 3 12 1 4

B: Não sair cara e número ímpar?

Como os eventos “sair cara e número ímpar” e “não sair cara e número ímpar” são complementares, a soma de suas probabilidades é igual a 1. Logo:

PP PP

cara, ímparcara,  não ímpar 1

1 4 cara, não ímpar1 cara,  não ímpar 3 4

+= +== () () () () ⇒

Portanto, a probabilidade de não sair cara e número ímpar é 3 4

Atividades

1 Uma ficha é retirada, aleatoriamente, de um conjunto de 50 fichas numeradas de 1 a 50.

Qual é a probabilidade, em porcentagem, de a ficha retirada ter:

a) um número primo? 30%

b) um número não primo? 70%

2 As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando pênaltis são:

• Paulo: 1 2 ;

• Adilson: 2 5 ;

• Roberto: 5 6

a) Se cada um deles bater um único pênalti, qual é a probabilidade de cada um errar?

Resposta no Manual do Professor.

b) Qual deles tem a menor probabilidade de errar o pênalti?

Roberto tem a menor probabilidade de errar.

• Adilson:

• Roberto: 1 5 6 1 6 -=

b) Vamos comparar as frações usando o denominador comum: mmc (2, 5, 6) = 30.

1 2 15 30 ;  3 5 18 30 ;  1 6 5 30 ===

Portanto, 1 6 1 2 3 5 << Roberto tem a menor probabilidade de errar.

Resolução da atividade 3

a) Apenas o círculo não é um polígono, logo, P = 1 6

b) =-= P 6 6 1 6 5 6

Resolução da atividade 4 Foram produzidas 10 000 balas no total, pois 4 500 + 5 500 = 10 000. A probabilidade de que a bala seja de hortelã é dada por:

4 500 10000 9 20 = A probabilidade de que a bala não seja de hortelã é dada por:

Esses cartões serão colocados em um saco e, em seguida, um cartão será retirado ao acaso. Qual é a probabilidade de se retirar um cartão com uma figura que:

a) não é um polígono?

b) é um polígono?

4 Uma fábrica produziu, em certo dia, 5 500 balas de gengibre e 4 500 balas de hortelã, e todas foram colocadas em um mesmo recipiente. Retirando-se, ao acaso, uma dessas balas do recipiente, qual é a probabilidade de que ela não seja de hortelã?

3 Na imagem, estão representados seis cartões, cada um com uma figura geométrica diferente. Desafio

1 9 20 20 9 20 11 20 -== Resolução da atividade 5 A soma das três probabilidades é igual a 1.

Logo: P(vencer) + P(perder) + P(empatar) = 1. Substituindo os valores, temos: ++=6= PP 1 5 1 3 1 7 15 empatarempatar() ()

++=6= PP 1 5 1 3 1 7 15 empatarempatar() () .

A probabilidade em forma de dízima é:

5 Um time de futebol tem probabilidade 1 5 de vencer, 1 3 de perder e, além disso, pode empatar uma partida. Qual é a probabilidade de esse time empatar? Escreva a resposta em forma de dízima periódica.

Orientações

11 20 0,466666

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA22

Em Atividades, organize os estudantes em duplas ou pequenos grupos de, no máximo, quatro integrantes. Permita que discutam as atividades, desenvolvendo e explorando diferentes estratégias de resolução. Após finalizarem, proponha que elaborem novos problemas e os troquem com os colegas para resolvê-los. Na correção, valorize o compartilhamento das estratégias adotadas e estimule os estudantes a argumentar sobre a validade delas.

Resolução da atividade 1

a) Números primos de 1 a 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

P 15 50 == 0,3 ou 30%.

b) 100% - 30% = 70%

Resolução da atividade 2

a) A probabilidade de cada um deles errar é igual a:

• Paulo: 1 1 2 1 2 -= ;

== P 7 15 0, 46666 ou

P = 0,46

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA22

Resolução da atividade 6

O total de perguntas feitas pelo gerente é 20, das quais 5 eram fáceis, pois 25% de 20 é 5. Se ele adicionou x perguntas fáceis, temos no total 20 + x perguntas.

Consideremos que a probabilidade de retirar uma questão fácil é 75%.

6 (ENEM) O gerente do setor de recursos humanos de uma empresa está organizando uma avaliação em que uma das etapas é um jogo de perguntas e respostas. Para essa etapa, ele classificou as perguntas, pelo nível de dificuldade, em fácil, médio e difícil, e escreveu cada pergunta em cartões para colocação em uma urna.

Contudo, após depositar vinte perguntas de diferentes níveis na urna, ele observou que 25% delas eram de nível fácil. Querendo que as perguntas de nível fácil sejam a maioria, o gerente decidiu acrescentar mais perguntas de nível fácil à urna, de modo que a probabilidade de o primeiro participante retirar, aleatoriamente, uma pergunta de nível fácil seja de 75%. Com essas informações, a quantidade de perguntas de nível fácil que o gerente deve acrescentar à urna é igual a:

Alternativa d

b) 15. c) 35. d) 40. e) 45.

a) 10.

75

100 3 4 = , temos: x x 5 20 3 4 + + =

20 + 4x = 60 + 3x 6 x = 40

Alternativa d Resolução da atividade 7

a) Observando o gráfico, no curso temos:

4 alunos com 12 anos;

5 alunos com 13 anos;

3 alunos com 14 anos;

1 aluno com 15 anos;

2 alunos com 16 anos;

5 alunos com 17 anos.

Portanto, temos: 4 + 5 + 3 + 1 + + 2 + 5 = 20 estudantes.

b) O número de estudantes que têm no mínimo 15 anos é:

1 + 2 + 5 = 8 alunos.

c) O número de estudantes com 12 anos é 4.

Logo, a probabilidade pedida é: = 4 20 1 5

Se a sua idade for no mínimo 15 anos, a probabilidade é:

8 20 2 5 =

d) Resposta pessoal.

Na atividade 8 , os estudantes devem elaborar um fluxograma para expressar a probabilidade de um evento ocorrer, o que favorece a competência específica 6

Após resolverem, peça a alguns estudantes que compartilhem suas respostas com os colegas.

Resolução da atividade 8

Exemplo de fluxograma:

7 Em um curso de espanhol, a distribuição da idade dos estudantes é dada pelo gráfico ao lado.

a) Quantos estudantes há nesse curso?

b) Quantos estudantes têm, no mínimo, 15 anos?

c) Escolhendo um estudante ao acaso, qual é a probabilidade, na forma de fração, de ele ter 12 anos? E de sua idade ser de no mínimo 15 anos?

d) Elabore uma pergunta com base nos dados desse gráfico. Dê para um colega responder. Depois, confira a resolução feita por ele.

8 Elabore um fluxograma e resolva o problema a seguir.

Fluxograma no Manual do Professor.

Uma caixa contém cinco bolas brancas, três bolas azuis e duas bolas pretas. Qual é a probabilidade de retirar, ao acaso, uma bola preta ou uma bola branca dessa caixa?

Respostas no Manual do Professor. A probabilidade é de 0,7 ou 70%.

(FATEC-SP) Ariel, estudante do Ensino Médio, achava que o seu relógio estava 3 minutos atrasado, mas, devido à sua rotina de estudos para a prova de vestibular da FATEC, não viu que, na realidade, seu relógio estava 12 minutos adiantado.

No dia do vestibular, Ariel achou que tinha perdido a prova, pois julgava que estava 8 minutos atrasada, mas, ao chegar no local do vestibular, o portão ainda estava aberto. Isso se deve ao fato de que Ariel estava adiantada:

Alternativa d

a) 1 minuto.

b) 3 minutos.

c) 5 minutos.

d) 7 minutos.

e) 9 minutos.

Total de bolas: 10. Número de bolas do evento: 7.

P 7 10 0,7 == ou 70%

Resolução do Lógico, é lógica!

Apesar de Ariel estar 8 minutos atrasada para a prova, ela sabia que o seu relógio estava 3 minutos atrasado. Logo, acreditava que estava 5 minutos atrasada.

Mas, na realidade o relógio de Ariel estava 12 minutos adiantado. Portanto, ela estava 7 minutos adiantada (12 - 5 = 7).

Alternativa d

Distribuição de estudantes por idade

Fonte: Dados fictícios.

1 As medidas, em metros, dos lados do retângulo representado a seguir são x 2 e 8x.

Calcule o valor de x sabendo que a área desse retângulo é igual a 100 m2

2 Qual é o valor de m na equação x2 - m = 0, sabendo que x = 3 é uma de suas raízes?

Alternativa c

a) 1 b) -3 c) 9 d) 1 2 e) 4 5

3 A figura representa um quadrado de área 25 m2

Qual é a medida do comprimento do lado desse quadrado?

Alternativa e

a) 8 m b) 12,5 m c) 9 m d) 10 m e) 5 m

4 A diferença entre o quadrado de um número inteiro e 1 é igual a 48. Qual é esse número?

a) -7 ou 7 b) -2 ou 2 c) 49 d) -10 ou 10 e) 50

5 Um retângulo tem área igual a 160 cm2 e sua largura mede 2 5 do comprimento. Quais são as dimensões desse retângulo?

Alternativa a 8 cm e 20 cm

6 (UNICAMP) Pedra-papel-tesoura, também chamado jankenpon ou jokempô, é um jogo recreativo para duas pessoas. Nesse jogo, os participantes usam as mão para representar os símbolos de pedra, papel e tesoura, conforme mostrado nos emojis a seguir.

Resolução da atividade 2 x2 - m = 0, com x = 3 sendo uma das raízes, tem-se:

32 - m = 0 6 m = 9.

Alternativa c. Resolução da atividade 3 x2 = 25 6 x = 5.

Devemos considerar apenas o resultado positivo, pois trata-se de uma medida.

Alternativa e Resolução da atividade 4 -=6= =y6y xx xx 14849 49 7  22

Alternativa a Resolução da atividade 5 Considerando x como a medida do comprimento, obtemos:

.=6= x xx 2 5 160400 2 x =y 20

Como devemos considerar apenas o resultado positivo, pois trata-se de uma medida, concluímos que x = 20.

Portanto, a largura será: . = 20 2 5 8

Logo, as medidas dos lados são 20 cm e 8 cm.

Resolução da atividade 6

Pelas regras do jogo, o participante que escolher pedra ganha do que escolher tesoura; o participante que escolher tesoura, ganha do que escolher papel; por fim, o que escolher papel ganha do que escolher pedra. Se ambos escolherem o mesmo símbolo, eles empatam. Admitindo que os participantes escolhem os símbolos com igual probabilidade, qual a chance de acontecer pelo menos um empate em três partidas? Alternativa d

a) 16 27 b) 17 27 c) 18 27 d) 19 27

7 O quadrado de um número natural adicionado a 20 é igual a 84. Qual é esse número?

Alternativa d

a) 2 b) 3 c) 5 d) 8 e) 15

Orientações

Esta seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades como tarefa de casa, para avaliação, trabalhos em grupos com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Sendo 1 3 a probabilidade de um jogador em uma partida escolher um dos símbolos, a probabilidade de em uma partida não sair empate é 2 3

Assim, a probabilidade de não sair empate em nenhuma das três partidas é:

Logo, a probabilidade de sair empate em pelo menos uma das três

Alternativa d

Como trata-se de um número natural, consideramos apenas o resultado positivo. Alternativa d

Danillo Souza

Pedra Papel Tesoura

Resolução da atividade 8

Do enunciado, temos:

Divertido: 52 100 500260.=

Assustador: .= 15 100 50075

Chato: 12 100 50060.=

Não opinaram: 21 100 500105.=

Total de pessoas que assistiram: 260 + 75 + 60 = 395.

Logo, P(chato) = 60 395 = 0,1518, ou seja, aproximadamente 0,15.

Alternativa d

Resolução da atividade 9

A tabela mostra que há 6 pessoas com idade superior a 75 anos. Essas pessoas receberão a restituição antes de João, que tem 75 anos. Para que João seja a sétima pessoa entre os idosos a receber a restituição, ele deverá ser o primeiro do grupo de 4 pessoas com 75 anos. Portanto, a probabilidade é igual a 1 4

Alternativa e

8 (ENEM) Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foi postado “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reações em: “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram essa postagem. O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.

O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem “Contos de Halloween”. Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso entre as que opinaram, ter assinalado que “Contos de Halloween” é “Chato” é mais aproximada por:

a) 0,09. b) 0,12. c) 0,14. d) 0,15. e) 0,18.

9 (ENEM)O Estatuto do Idoso, no Brasil, prevê certos direitos às pessoas com idade avançada, concedendo a estas, entre outros benefícios, a restituição de imposto de renda antes dos demais contribuintes. A tabela informa os nomes e as idades de 12 idosos que aguardam suas restituições de imposto de renda. Considere que, entre os idosos, a restituição seja concedida em ordem decrescente de idade e que, em subgrupos de pessoas com a mesma idade, a ordem seja decidida por sorteio.

Nessas condições, a probabilidade de João ser a sétima pessoa do grupo a receber sua restituição é igual a:

CONTOS DE HALLOWEEN opinião dos visitantes

Orientações

10 (CMCG-MS) O gráfico a seguir apresenta a quantidade de brinquedos, por tipo, que Carlinhos guardou em uma caixa.

Certo dia, ele resolve doar um desses brinquedos a uma campanha do Dia das Crianças. Ele escolhe, aleatoriamente, um dos brinquedos da caixa. Qual é a probabilidade de esse brinquedo ser um carrinho?

a) 13 19 d) 1 9

b) 6 19 e) 1 6

c) 1 19

Fonte: Os dados foram retirados do jornal X

11 (ABADE-ES) Um dado cúbico (faces numeradas de um a seis) e uma moeda, ambos não viciados, são lançados simultaneamente. A probabilidade de que as faces voltadas para cima, após o lançamento, apresentem um número maior ou igual a 4 no dado e cara na moeda é igual a:

a) 75%. b) 60%. c) 50%. d) 45%. e) 25%.

12 Um menino vai retirar, ao acaso, um único cartão de um conjunto de sete cartões. Em cada um deles está escrito apenas um dia da semana, sem repetições: segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado, domingo. O menino gostaria de retirar sábado ou domingo.

A probabilidade de ocorrência de uma das preferências do menino é:

a) 1 49 b) 2 49 c) 1 7 d) 2 7

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi

Compreendo a definição de equações polinomiais do 2? grau.

Resolvo equações do 2? grau do tipo ax2 + c = 0.

Resolvo e elaboro problemas que podem ser representados por equações polinomiais do 2? grau do tipo ax2 + c = 0.

Compreendo o princípio multiplicativo da contagem.

Calculo a probabilidade de eventos acontecerem, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo.

Reconheço que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras.

Com base no retorno dessa autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Resolução da atividade 10 Analisando o gráfico, vemos que o total de brinquedos é igual a 19 (9 + 6 + 4 = 19).

Assim, a probabilidade de ser um carrinho é: 6 19

Alternativa b. Resolução da atividade 11 Utilizando o princípio multiplicativo da contagem, o número de resultados possíveis para o experimento é: 2 6 = 12.

O número de elementos do evento “sair cara e número maior ou igual a 4” é 3: (cara, 4), (cara, 5) e (cara, 6). Assim, a probabilidade de esse evento ocorrer é igual a: P(cara, número maior ou igual a 4): 3 12 1 4 == 0,25 ou 25%.

Alternativa e Resolução da atividade 12 Ao todo são 7 dias da semana. O evento “sábado” ou “domingo” contém 2 elementos.

A probabilidade é 2 7

Alternativa d

Principais objetivos da unidade

• Reconhecer transformações geométricas de isometria.

• Construir figuras obtidas por meio composições que envolvem simetrias de rotação, translação ou reflexão.

• Utilizar instrumentos de desenho geométrico e softwares de Geometria dinâmica para construir figuras por composições de transformações geométricas.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo medidas de área de figuras planas.

• Reconhecer a relação entre volume e capacidade.

• Reconhecer a relação entre litro e decímetro cúbico.

• Resolver e elaborar problemas que envolvem volume e capacidade.

Justificativa

Nesta unidade, os estudantes irão reconhecer e construir figuras por meio de transformações geométricas, desenvolvendo a habilidade EF08MA18; irão calcular áreas de figuras planas de modo a desenvolver a habilidade EF08MA19; irão lidar com problemas envolvendo o cálculo de capacidade e volume de um bloco retangular empregando suas unidades de medidas, dentro do escopo das habilidades EF08MA20 e EF08MA21

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• reconheçam as transformações geométricas (rotação, translação e reflexão);

• utilizem instrumentos de desenho e também softwares de Geometria dinâmica;

• calculem área de figuras planas e volume de sólidos;

• empreguem as unidades de medidas de área e de volume.

Arquitetos, decoradores e até mesmo pessoas que gostam de decorar a casa ou o ambiente de trabalho costumam utilizar esse tipo de painel. Suas dimensões máximas de corte são 1,25 m * 2,45 m.

Avaliação diagnóstica

É importante observar o que os estudantes já dominam em relação aos pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos na unidade. Para isso, promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre os pré-requisitos elencados e a citar exemplos do cotidiano. Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retorne os conteúdos propostos para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

BNCC na Unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 2, 3, 5, 9 e 10

Competências específicas 1, 2, 3, 4, 7 e 8

Habilidades EF08MA18, EF08MA19, EF08MA20 e EF08MA21

Foco nos TCTs

• Educação em Direitos Humanos

Simetrias, cálculo de área e de capacidade

A fotografia ao lado mostra painéis vazados feitos em MDF (sigla em inglês para Medium Density Fiberboard), que consiste em um material de média densidade feito com fibra de madeira reconstituída, resinas sintéticas e aditivos químicos.

1. Os painéis mostram padrões repetidos. Identifique as ideias de simetria apresentadas neles.

2. Cite alguns locais em que esses painéis podem ser utilizados.

Respostas possíveis: padrões de reflexão, translação e rotação. Resposta pessoal.

3. Qual é a área aproximada máxima de cada painel?

4. Em sua cidade existem obras de arquitetura com simetria? Se sim, tire fotos ou pesquise-as na internet e compartilhe as imagens com os colegas em sala.

Resposta pessoal.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• reconhecer transformações geométricas;

• resolver e elaborar problemas envolvendo medidas de área de figuras planas;

• resolver e elaborar problemas que envolvem volume e capacidade.

Orientações

Para iniciar esta unidade, se julgar pertinente, oriente os estudantes para que pesquisem simetrias na arquitetura e, na aula, possibilite que compartilhem imagens das construções pesquisadas.

Aproveite as imagens dos estudantes e o texto da abertura de unidade e explore a aplicação da simetria em construções civis e na arquitetura. Organize uma roda de conversa, a fim de possibilitar aos estudantes que discutam o uso de simetrias em diferentes contextos. Durante a discussão, aproveite para verificar o que eles sabem sobre os tipos de simetria e se conseguem definir o que são rotações, translações e reflexões, identificando essas simetrias nas imagens apresentadas no livro.

Resolução da questão 1 As simetrias encontradas no painel são de rotação, reflexão e translação. Resolução da questão 2 Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que esses painéis podem ser encontrados em diferentes lugares: residências, escritórios, lojas, entre outros.

Resolução da questão 3 De acordo com os dados da legenda, o painel tem no máximo 1,25 m × 2,45 m, que resulta em uma área de aproximadamente 3 m2

Resolução da questão 4 Resposta pessoal.

3 m2

Objetivos do capítulo

• Reconhecer transformações geométricas de isometria.

• Construir figuras obtidas por meio de composições que envolvem simetrias de rotação, translação ou reflexão.

• Utilizar instrumentos de desenho geométrico e softwares de Geometria dinâmica para construir figuras por composições de transformações geométricas.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidade trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 2, 3 e 5

Competências específicas

1 e 3

Habilidades EF08MA18

Orientações

Aproveite o Para começar para retomar os tipos de simetria presentes na imagem da abertura desta unidade. Verifique se os estudantes identificam corretamente as simetrias de cada azulejo. Pode-se registrar um quadro na lousa, com três colunas, e em cada uma escrever as características de cada simetria, solicitando aos estudantes que as nomeiem. Ao final, proponha que façam um resumo que defina cada tipo de simetria estudado. Além disso, sugira que para cada tipo de simetria seja apresentada uma imagem como exemplo. Esse estudo contribui para o desenvolvimento da competência específica 1 Resolução das questões propostas no Para começar

• Respostas pessoais.

• Rotação, reflexão e translação.

Simetrias: reflexão, rotação e translação

Observe as imagens de composições feitas com azulejos.

• O que mais chama sua atenção nessas composições? Por quê?

• Que tipo de simetria você identifica nessas composições?

Respostas pessoais. Resposta esperada: rotação, reflexão e translação.

Construção de transformações

As transformações geométricas podem ser vistas em nosso cotidiano de muitas formas, como na ornamentação de objetos, em decoração, na tecelagem e até em obras de arte. Também são usadas em Ciências, Arquitetura, Engenharia, e têm muitas aplicações.

Neste capítulo, vamos rever as transformações que já conhecemos e aprender um pouco mais sobre elas, suas composições e construções.

Reflexão

Na figura abaixo, o triângulo ABC é simétrico ao triângulo A’B’C’ com relação à reta r.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA18

Como vimos em anos anteriores, a reta r é denominada eixo de simetria

Cada ponto do triângulo e de seu simétrico tem a mesma distância com relação à reta r

Para desenhar o triângulo A’B’C’, fazemos assim:

1. A partir de cada vértice do triângulo, com o uso de esquadro e régua, traçamos linhas perpendiculares à reta r

Explique aos estudantes o procedimento para construir a reflexão de determinada figura utilizando régua e compasso. Caso tenham dúvidas, oriente-os no uso dos instrumentos de desenho geométrico. Proponha-lhes que façam as construções em folha de papel quadriculado, a fim de que possam ter uma melhor orientação quanto aos deslocamentos a serem realizados.

Ao final da construção, estimule-os a analisar as figuras obtidas, de maneira que percebam, por exemplo, que a distância em relação ao eixo ou reta de reflexão é a mesma para um ponto e o ponto obtido dele por reflexão.

Peça aos estudantes que representem outras figuras e façam a reflexão por meio de construção geométrica.

2. Usando um compasso ou uma régua, encontramos o simétrico de cada vértice, ou seja, outro ponto, do lado oposto, que tem a mesma distância da reta r

3. Traçamos o triângulo.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA18

Depois de realizar a atividade complementar sugerida, solicite aos estudantes que leiam o procedimento de construção geométrica de uma rotação indicado no livro e oriente-os para que o utilizem, a fim de obter a rotação de figuras com alguns ângulos determinados. Nesse momento, se necessário, explique-lhes que é preciso indicar o ângulo e a orientação da rotação a ser realizada, que pode ser no sentido horário ou no sentido anti-horário.

Para esta aula é necessário que os estudantes tenham em mãos instrumentos de desenho: régua, compasso ou esquadro e transferidor.

Atividades complementares

Antes de explorar a rotação de figuras geométricas, proponha aos estudantes uma atividade em que serão necessários: papel-cartão ou cartolina, canudo ou barbante, folha de papel sulfite, transferidor e tesoura com pontas arredondadas.

Peça que, em um papel-cartão ou cartolina, representem e recortem uma figura geométrica plana. A figura deve ser colada na ponta de um canudo ou barbante, e a outra ponta deve ser fixada em uma folha de papel sulfite. Com o auxílio do transferidor, peça que façam determinadas rotações da figura, representando-as na folha de papel sulfite com base no contorno da figura feita no papel.

Rotação

Na figura abaixo, o triângulo A’B’C’ é resultado de uma rotação do triângulo ABC em relação ao ponto D

Para desenhar o triângulo A’B’C’, fazemos assim:

1. Traçamos a reta determinada por A e D. Com vértice em D, usando um transferidor, traçamos o ângulo de rotação desejado, que nesse caso foi de 90‘ no sentido horário. Nesse ângulo, marcamos A’, de forma que ≅ DADA '

2. Fazemos o mesmo procedimento para determinar B’ e C’.

Em seguida, traçamos o triângulo.

3.

Orientações

Translação

Na figura a seguir, o triângulo A’B’C’ é obtido por uma translação do triângulo ABC com a medida da distância, da direção e do sentido indicados pela seta.

Ilustrações: DAE

Para desenhar o triângulo A’B’C’, fazemos assim:

1. A partir de cada ponto do triângulo, traçamos retas paralelas à direção da translação desejada.

Marcamos, então, os pontos com a medida de distância igual ao comprimento da seta e no sentido indicado por ela.

Esta figura foi composta por meio de uma sequência de rotações de um quadrado em relação ao ponto P central.

Traçamos o triângulo.

Qual foi o menor ângulo de rotação usado? 45°

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA18

Antes de ler os procedimentos indicados no Livro do Estudante para determinar uma translação, proponha aos estudantes que determinem uma maneira de fazer a translação de uma figura por meio de construção geométrica. Deixe que elaborem estratégias particulares e, depois, compartilhem com os colegas, de modo que argumentem sobre a validade delas.

Se possível, trabalhe as simetrias de reflexão, rotação e translação em um software de Geometria dinâmica. Com as ferramentas desse programa podem ser feitas atividades que favorecem o estudo da congruência dos ângulos e dos segmentos de reta em simetrias.

Resolução do Pense e responda Para melhor perceber o ângulo de rotação, imagine eixos de simetria passando pelo ponto P no centro da figura e nas diagonais dos quadrados. O ângulo entre os eixos de figuras em posições iguais será de 90‘, mas entre 2 figuras iguais há outra figura, fazendo com que exista outro eixo que forma ângulos iguais a 45‘ (90 : 2 = 45).

2.

3.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA18 e da competência geral 5 É importante possibilitar aos estudantes que conheçam as ferramentas do software de Geometria dinâmica escolhido para trabalhar. Inicialmente, oriente-os para que naveguem pelo menu do programa e reconheçam algumas funcionalidades. Peça que analisem aquelas que acreditam que podem utilizar para obter transformações geométricas e estimule-os a testar algumas ferramentas.

Solicite que, no software, façam o primeiro exemplo apresentado em MatemaTIC

Composição de transformações usando o GeoGebra

O software de geometria dinâmica GeoGebra conta com ferramentas que podem nos ajudar a desenhar e estudar as transformações geométricas, podendo ser usado também em smartphones, pois é um aplicativo de Matemática de código aberto.

Transformar

Elas estão no menu “Transformar” e, neste capítulo, vamos usar três delas. Veja ao lado.

Inicialmente, usamos a ferramenta “Ponto” A cm para desenhar alguns pontos. Depois, escolhemos a ferramenta “Polígono” A cm e clicamos nos pontos para uni-los, formando um polígono.

reflexão em relação a uma reta

rotação em torno de um ponto

Em seguida, vamos desenhar duas retas, uma horizontal e outra vertical, usando a ferramenta “Reta”A cm . Para traçar cada reta, clicamos sucessivamente em dois pontos. No exemplo abaixo, escolhemos pontos usando as intersecções da malha, mas isso não é obrigatório.

Agora, vamos fazer a reflexão do polígono em relação à EF . Para isso, escolhemos a ferramenta “Simetria em relação a uma reta” A cm , clicamos num ponto interno do polígono e depois em EF , obtendo A’B’C’D’

Ilustrações: Tarcísio Garbellini

Agora, vamos fazer a reflexão de A’B’C’D’ em torno de GH , obtendo A’’B’’C’’D’’ Novamente, deixamos selecionada a ferramenta “Simetria em relação a uma reta” A cm , clicamos em A’B’C’D’ e em GH

Reflexões em perpendiculares 1 - GeoGebra Retas

Note que o polígono que obtivemos como resultado é simétrico ao polígono original em relação ao ponto de encontro das duas retas. Marcamos esse ponto como P usando a ferramenta “Ponto” A cm Cada ponto do quadrilátero A’’B’’C’’D’’ tem a mesma distância até o ponto P que o seu correspondente no polígono ABCD

Você pode observar essa simetria usando a malha ou a ferramenta de medição oferecida pelo software de geometria dinâmica. Escolhendo os pontos C e C’’, traçamos o segmento CC’’ e observamos que o ponto P pertence a ele. Depois, usando a ferramenta “Distância” A cm do menu “Medições”, medimos as distâncias CP e C’’P e observamos que é a mesma.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA18 e da competência geral 5

Se julgar necessário, leve os estudantes até a sala de informática e organize-os em duplas. Ensine-os a usar o software e, quando não houver mais dúvidas, solicite que um integrante da dupla replique o exemplo no software, e que o outro faça em uma folha de papel quadriculado. Espera-se que os estudantes percebam que uma atividade pode ser feita com mais rapidez em um software depois de se familiarizarem com ele.

Ilustrações: Tarcísio Garbellini

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA18, além da competência geral 2

Após os estudantes finalizarem o primeiro exemplo de MatemaTIC, questione-os sobre as simetrias utilizadas e o resultado obtido. Pergunte se seria possível obter o mesmo resultado com outro tipo de simetria e estimule-os a fazer diferentes simetrias utilizando as ferramentas do software. Espera-se que percebam, por exemplo, que é possível aplicar uma rotação ou sucessivas reflexões e obter o mesmo resultado.

Resolução do Pense e responda Pode-se notar que a composição de reflexões sucessivas com duas retas paralelas é equivalente a uma translação.

Observe a reflexão de um polígono ABCD usando duas retas perpendiculares.

h AP AP "

h BP BP "

h CP CP "

h DP DP "

Agora, faça duas reflexões sobre as retas paralelas r e s. Observe, a seguir, os resultados que vamos obter quando r e s são retas verticais, paralelas às linhas da malha.

Observe o resultado quando as duas retas r e s, paralelas entre si, não forem verticais.

Observando o resultado das duas composições de reflexões apresentadas, o que você pode notar?

Pode-se notar que a composição de reflexões de duas retas paralelas equivale a uma translação.

Orientações

Atividades

1 Fernando fez algumas transformações em algumas figuras usando um software de geometria dinâmica. Indique quais foram as duas transformações feitas para transformar a figura 1 na figura 2 e a figura 2 na figura 3. Depois, se possível, indique uma única transformação que levaria a figura 1 para a figura 3 diretamente. a)

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA18 Resolução da atividade 1

a)

Respostas no Manual do Professor.

2 Usando um software de geometria dinâmica, refaça as transformações da figura 1 na figura 2, da figura 2 na figura 3 e da figura 1 na figura 3 da atividade 1.

• Figura 1 para a figura 2: reflexão em relação à reta s

• Figura 2 para a figura 3: reflexão em relação à reta r

• Figura 1 para a figura 3: rotação de 180‘ ou simetria em relação ao ponto de intersecção das retas.

b)

• Figura 1 para a figura 2: reflexão em relação à reta r

• Figura 2 para a figura 3: reflexão em relação à reta s

• Figura 1 para a figura 3: translação horizontal.

c)

• Figura 1 para a figura 2: rotação de 45‘ no sentido horário em relação ao ponto P

• Figura 2 para a figura 3: rotação de 45‘ no sentido horário em relação ao ponto P

• Figura 1 para a figura 3: rotação de 90‘ no sentido horário em relação ao ponto P

Na atividade 2, verifique o domínio do uso do software pelo estudantes. Solicite que realizem reflexões de outras figuras.

Para finalizar, proponha que elaborem uma figura e, com base nela, determinem um padrão utilizando simetrias.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA18

Resolução da atividade 3

Atividade de construção pessoal com uso de software

Resolução da atividade 4

a) Simetria de rotação em relação ao ponto central.

b) Simetria de rotação em relação ao ponto central; mas pode-se considerar a reflexão, pois a figura apresenta inúmeros eixos de simetria.

Resolução da atividade 5

Para cada ponto A da figura, deve-se obter o ponto A’, simétrico ao ponto A. Verifique se os estudantes compreendem e aplicam o procedimento apresentado anteriormente.

3 Em um software de geometria dinâmica, Rita desenhou um polígono e marcou um ponto. Veja como ela compôs um desenho fazendo sucessivas rotações do polígono em torno desse ponto. Para deixar seu desenho mais bonito, ela acessou as configurações desse pontos que geraram a imagem clicou com o botão direito do mouse sobre o ponto e desativou a exibição, conforme indicado ao lado da imagem.

Imagens da página fora de proporção.

Construção pessoal.

Exibir Objeto

Exibir Rastro

Exibir Rótulo:

Fixar Objeto

Definir como Objeto Auxiliar

Faça, agora, seu próprio desenho composto de transformações de polígonos.

4 Identifique, nas imagens abaixo, as simetrias apresentadas. a) b)

Rotação em relação ao ponto central.

Rotação em relação ao ponto central e reflexão.

5 Reproduza o polígono abaixo. Depois, trace uma reta vertical em relação ao lado de 3 cm que não cruze o polígono. Usando régua e compasso, desenhe o simétrico do polígono em relação à reta que você traçou. Construção no Manual do Professor.

2 cm

Resolução da atividade 6

As semirretas traçadas abaixo são apenas referência do ângulo que os estudantes vão traçar para cada ponto do trapézio. Eles poderão aplicar o procedimento indicado anteriormente.

Ilustrações:

3 cm P

6 Reproduza, em papel quadriculado, o trapézio e o ponto desenhados abaixo. Usando régua e compasso ou transferidor, trace a rotação de 60‘ do trapézio no sentido anti-horário em relação ao ponto P

Construção no Manual do Professor.

7 Desenhe um triângulo com um dos lados na horizontal. Faça uma reta, também horizontal, abaixo do triângulo. Em seguida, trace o simétrico do triângulo em relação à reta e, depois, faça uma translação dessa figura de 2 cm na direção horizontal para a direita.

Exemplos no Manual do Professor.

Resolução da atividade 7

Resposta pessoal. Exemplos:

Tarcísio Garbellini

Tarcísio Garbellini

Ilustrações: Tarcísio Garbellini

Indique quantos eixos de simetria têm em cada uma das imagens a seguir.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA18, além da competência específica 3

Encaminhe as atividades da página para que sejam resolvidas individualmente. Observe se os estudantes apresentam dificuldades. Em seguida, corrija-as coletivamente e dê espaço para que apresentem as estratégias utilizadas.

Resolução da atividade 8

a) 1 eixo de simetria na vertical.

9 A porca sextavada é o modelo mais comum e mais conhecido desse tipo de peça, que fixa o parafuso, evitando afrouxamento. É um modelo extremamente versátil e pode ser utilizado em parafusos, barras roscadas e hastes de metal. As medidas indicadas na forma de fração representam polegadas.

b) Nenhum eixo de simetria.

c) 5 eixos de simetria.

a) Qual polígono tem o formato externo dessa porca? Hexágono.

b) A sequência de porcas acima representa algum tipo de simetria?

Não, pois nas simetrias por reflexão, rotação e translação só há mudança na posição da figura.

10 As redes sociais oferecem um leque de possibilidades aos seus usuários, entre elas chats para conversar com os amigos e páginas que publicam conteúdos temáticos, tais como notícias, fofoca, cinema, música etc. Mas, recentemente, se tornou muito comum o usuário produzir o próprio conteúdo, criando e divulgando diversos vídeos que brincam com a nossa percepção sensorial, como os que utilizam filtros (efeitos). Alguns desses filtros utilizam como princípio as transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), nos quais as pessoas “se multiplicam” na tela, criam uma versão espelhada de si própria ou giram como se isso fosse uma possibilidade física na vida real, o que costuma tornar os vídeos divertidos e engraçados.

a) Pesquise em redes sociais (ou aplicativos próprios para isso) filtros que tenham como princípio alguma das transformações geométricas (translação, reflexão e rotação) ou a composição de duas ou mais delas.

b) Grave um vídeo (pode ser com você ou com algo do seu interesse) utilizando um dos filtros pesquisados. Em seguida, compartilhe os seus colegas o conteúdo audiovisual criado.

d) 2 eixos de simetria, um na vertical e outro na horizontal.

Resolução da atividade 9

a) Hexágono.

b) Não, pois nas simetrias por reflexão, rotação e translação só há mudança na posição da figura. Resolução da atividade 10 Respostas pessoais.

ilustrações: Reinaldo Vignati

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA18 e das competências gerais 1 e 3

Resolução da atividade 11

a) Simetria axial (as duas escadas são simétricas em relação ao corrimão central, que é o eixo de simetria).

b) Simetria axial (eixo horizontal) e de translação.

c) Simetria axial (eixo horizontal).

d) Simetria axial (eixo vertical).

e) Simetria de reflexão, rotação e translação.

f) Simetria de translação.

Essa atividade propõe aos estudantes relacionar obras de arte e de arquitetura com o tema de estudo desta unidade, “Simetrias”.

11 Que tipos de simetria podemos observar em cada uma das imagens a seguir?

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Vaso marajoara.

Escadas rolantes.

Mumemories/iStockphoto.com

Pintura corporal indígena.

Rubens Chaves/Pulsar Imagens

Arnaldo Ferrari. Composição geométrica, 1964. Óleo sobre tela, 68 cm * 73 cm.

Respostas no Manual do Professor.

Rita Barreto/Fotoarena

Arcos da Lapa. Rio de Janeiro (RJ), 2015.

André Horta/Fotoarena

Hugo Maia de Arruda Pereira Filho

Azulejo português.

Anastasiia Makarova/Shutterstock.com

Imagens da página fora de proporção.

I. Y X

(IBFC-MG) Transformações e movimentos na Matemática são conhecidos como Isometria, preservando assim o comprimento de segmentos e distâncias, consequentemente a distância entre dois pontos quaisquer no plano. Interprete o movimento usado, com eixos X e Y

Orientações

II. Y X III. Y X

Resolução da atividade 12

I. Y X

IV.Y X I. Y X

Figura I: há uma reflexão em torno do eixo vertical.

Figura II: há uma rotação em torno do ponto indicado.

II. Y X III. Y X

IV.Y X

IV.Y X

II. Y X III. Y X

Figura III: há uma translação, é possível observar que a figura foi deslocada para a direita.

Figura IV: há uma reflexão em torno do eixo horizontal e a figura foi deslocada.

Referência: Figura 01 – Isometria. Do grego “mesma medida”.

Alternativa d II. Y X III. Y X

Alternativa d

A imagem Figura 01 – Isometria representa quatro formas diferentes de movimentação final sem deformações. Denomine-as respectivamente de acordo com sua enumeração.

a) Rotação, reflexão, reflexão com deslizamento, translação.

IV.Y X

b) Translação, reflexão com deslizamento, reflexão, rotação.

c) Translação, rotação, reflexão, reflexão com deslizamento.

A recursividade, que significa o processo de repetição de um objeto do jeito similar ao já apresentado, tem muitas aplicações e pode estar presente de diferentes modos no cotidiano.

Confeccionadas em madeira, as matrioscas são bonecas russas conhecidas mundialmente. Cada conjunto é composto por bonecas de diferentes tamanhos, dispostas uma dentro da outra, de modo que a menor de todas é feita de uma única peça, enquanto as demais são feitas em duas partes. Elas seguem um padrão de mesmo formato, mas em escalas diferentes.

Em Curiosidade, explore a associação entre recursividade e simetrias no artesanato. Com base na imagem indicada na página, pergunte aos estudantes que tipo de simetria poderia descrever as bonecas de madeira. Na verdade, não há simetria, uma vez que as bonecas, apesar de iguais, não têm o mesmo tamanho.

Quando vinculamos conceitos históricos e curiosidades do dia a dia, desenvolvemos a competência geral 1

Atividades complementares

Se possível, faça uma atividade em parceria com o professor de Arte: proponha aos estudantes que apliquem a ideia de recursividade e de simetria para elaborar uma estrutura com arte recursiva utilizando canudos, palitos de sorvete e outros materiais. Finalizados os trabalhos, possibilite que compartilhem com os colegas as produções e expliquem os conceitos de simetria empregados.

Bonecas russas de madeira.

ruigsantos/Shutterstock.com

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA18

Objetivos do capítulo

• Determinar e utilizar expressões para o cálculo de área de quadriláteros, triângulo e círculo.

• Resolver e elaborar problemas que envolvem medidas de área de figuras planas.

• Reconhecer a relação entre volume e capacidade.

• Reconhecer a relação entre litro e decímetro cúbico.

• Determinar o volume de blocos retangulares.

• Elaborar e resolver problemas que envolvem volume e capacidade.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2, 9 e 10

Competências específicas 2, 4 e 7

Habilidades EF08MA19, EF08MA20 e EF08MA21

Foco nos TCTs

• Educação em Direitos Humanos

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA19

Em Para começar explore, em um primeiro momento, o perímetro da quadra, de maneira que percebam a relação entre as medidas indicadas na figura.

Para a área do retângulo, se necessário, proponha que representem em uma folha de papel com malha quadriculada diferentes retângulos e explore com eles o significado da multiplicação da medida da base pela medida da altura, associando-o à quantidade de quadrinhos da malha. Retome, também, a classificação de quadriláteros e a relação entre eles; por exemplo, todo quadrado é um retângulo e todo retângulo é um paralelogramo.

Resolução do Para começar 18 . 9 = 162 4 162 m2

Área, volume e capacidade

A figura abaixo mostra as dimensões de uma quadra de vôlei. Qual é a área da quadra?

Áreas de figuras planas

Vamos rever algumas fórmulas que nos fornecem as áreas de triângulos e quadriláteros. Chamaremos de A cada uma delas.

Retângulo

Retângulo é o quadrilátero que tem os quatro ângulos internos retos. Em geral, chamamos o comprimento do retângulo de base e a largura de altura.

área A do retângulo é igual ao produto da medida da base pela medida da altura.

b: medida da base h: medida da altura

Orientações

Quadrado

Quadrado é um quadrilátero cujos lados têm a mesma medida e os quatro ângulos internos retos e, por isso, podemos considerá-lo um retângulo, no qual a base e a altura têm a mesma medida.

W: medida do lado

Paralelogramo

Paralelogramo é um quadrilátero que tem dois pares de lados paralelos.

b: medida da base h: medida da altura

Triângulo

h

Triângulo é um polígono que tem três lados.

b: medida da base h: medida da altura relativa à base de medida b

Losango

O losango é um paralelogramo que tem os quatro lados com a mesma medida.

A área A do quadrado é igual ao produto da medida da base pela medida da altura, ou seja, o quadrado da medida do lado.

A = b h =W.W=W2

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA19

É importante os estudantes conseguirem, por meio do cálculo da área do retângulo, determinar e compreender as expressões para calcular a área de quadrados, triângulos, paralelogramos, losangos e trapézios.

A área A do paralelogramo é igual ao produto da medida da base pela medida da altura.

A = b h

A área A do triângulo é igual à metade do produto da medida da base pela medida da altura.

A bh 2

A área A do losango é igual à metade do produto das medidas de suas diagonais.

= A Dd 2

Trabalhe essa relação utilizando folha de papel quadriculado para representar as figuras e, depois, recortá-las, obtendo retângulos de mesma área. Por exemplo, um paralelogramo de base b e altura h tem área equivalente à de um retângulo de base b e altura h e, portanto, a área desse paralelogramo é dada por bh, assim como a área do retângulo.

Tarcísio Garbellini

Orientações

As atividades dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA19

Na seção Atividades, peça aos estudantes que leiam os enunciados e apliquem estratégias de resolução para, depois, compartilhá-las com os colegas.

Resolução da atividade 1

Considerando as medidas dos cômodos:

Cozinha: 2,5 . 4 = 10 4 10 m2

Banheiro: 2 . 3 = 6 4 6 m2

Sala: 3,50 6,0 = 21 4 21 m2

Quarto e escritório:

2(3,0 3,0) = 18 4 18 m2

Corredor de circulação:

1,0 8,0 = 8 4 8 m2

Área de cozinha e banheiro:

Acb = 10 + 6 = 16 4 16 m2

Área dos demais cômodos:

Adc = 21 + 18 + 8 = 47 4 47 m2

Cálculo da área do piso para cozinha e banheiro:

Apcb = 20 20 = 400 4 400 cm2 = = 0,04 m2

Para cobrir a área da cozinha e do banheiro serão necessárias:

16 : 0,04 = 400 4 400 m2

Como o preço da lajota é R$ 1,50, tem-se:

400 1,50 = 600 4 R$ 600,00.

Como o preço do porcelanato para cobrir o restante da casa é

R$ 70,00, tem-se:

47 70 = 3 290 4 R$ 3.290,00.

Total: 600 + 3 290 =

= 3 890 4 R$ 3.890,00.

Resolução da atividade 2

Resposta pessoal.

Resolução da atividade 3

Trapézio

O trapézio é um quadrilátero que tem apenas um par de lados paralelos.

A área A do trapézio é igual à metade do produto da soma das medidas de suas bases pela medida da altura.

= +. A Bb h ()

Atividades

B: medida da base maior

b: medida da base menor

h: medida da altura

1 Mário contratou um arquiteto para a execução da construção de sua casa. A figura abaixo representa a planta baixa da casa. Para a cozinha e o banheiro, ele escolheu um piso esmaltado, de formato quadrado e com lado de 20 cm, cuja unidade custa R$ 1,50. Nos demais cômodos da casa e na área de circulação, será colocado porcelanato, cujo metro quadrado custa R$ 70,00. Determine quantos metros quadrados de piso Mário deverá comprar. Determine também o valor total gasto por Mário.

6,00 COZINHA

Podemos resolver o problema acrescentando o ponto G(2, 0) e considerando dois quadriláteros:

=

ABCG: 2 . 3

6 4 5 cm2 Área GDEF: 3 . 5

1,00

3,00

4,00 QUARTO

3,50 2,50 BANHEIRO 2,00

CIRC 3,00

Resposta pessoal. SALA

ESCRITÓRIO 3,00

Piso esmaltado: 16 m2

Porcelanato: 47 m2

Valor total: R$ 3.890,00.

2 Desenhe a planta baixa de uma casa. Depois, elabore uma pergunta com base nos dados da planta que você desenhou e troque com um colega para responder. Depois, confiram juntos as respostas e conversem como foi o processo de resolução.

3 Qual é a área do polígono que se obtém unindo-se os pontos A(0, 0), B(0, 3), C(2, 3), D(2, 5), E(5, 5) e F(5, 0) de um plano cartesiano?

Luca Navarro

4 (IFRS) Um retângulo tem dimensões x e y, que são expressas pelas equações x2 = 12 e (y - 1)2 = 3. O perímetro e a área deste retângulo são respectivamente.

a) 6 3 + 2 e 2 + 6 3

b) 6 3 e 1 + 2 3

Alternativa e

c) 6 3 + 2 e 12 d) 6 e 2 3

e) 6 3 + 2 e 2 3 + 6

= + = + === A Bbh 2 151012 2 25 12 2 () () = + = + = . == A Bbh m 2 151012 2 25 12 2 300 2 150150 2 () () →

5 Evaristo resolveu fazer uma horta em um terreno ao lado de sua casa. Após ler sobre o assunto, descobriu que podia plantar dez pés de alface em um espaço de um metro quadrado.

Sabendo que seu terreno tem formato de um trapézio com 15 m de fundo, 10 m de frente e comprimento de 12 m, calcule quantas mudas de alface Evaristo consegue plantar em todo o terreno. 150

Como são 10 pés de alface por metro quadrado: 10 . 150 = 1 500 4 1 500

Resolução da atividade 6 Do enunciado, temos a figura:

6 A figura a seguir mostra o retângulo ABCD, em que AB = 6 cm e AD = 10 cm.

Sabendo que AF = CG = AE 3 = 2 cm, calcule a área do polígono EFGCD

38

7 (FGV-SP) Observe a figura construída em uma malha quadriculada com unidade de área igual a 1 cm2

a) 18

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA19

Resolução da atividade 4

x2 = 12 e (y - 1)2 = 3

Obtendo o valor de x:

xx1212 43 23 2 =6=== ⋅

Obtendo o valor de y:

Resolução da atividade 7

do losango:

A = Dd 2 14 6 2 42

-

⋅

=+=++=+pxy 22 22 32 13 63 2 ()

=+=+ A 232923 6 Alternativa e Resolução da atividade 5 Sabendo que a área do trapézio é dada por: Bbh 2 + () Substituindo as medidas, temos:

Orientações

Então, o perímetro do retângulo é:

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA19

Resolução da atividade 8

1 ha = 10 000 m2

A = 2 10 000 = 20 000 4 20 000 m2

d = A 1500 6 d = 1 500 20000

d = 0,075 6 d o 0,08 4 0,08 cabeças de gado/m2

Observe se os estudantes são capazes de resolver a questão proposta, isto é, se compreendem as indicações do fluxograma. Atividades deste tipo desenvolvem o pensamento computacional nos estudantes.

Resolução da atividade 9

a) O formato de cada parte do terreno é: 4 triângulos, 1 retângulo e 1 trapézio.

b) Para conhecer a maior área, vamos calcular as áreas dos triângulos maiores, do retângulo e do trapézio.

Área do triângulo da esquerda:

A 4040 2 800 ==4 800 m2

Área do triângulo da direita:

A 3540 2 700 = . =4 700 m2

Área do retângulo:

A = 30 . 40 = 1 200 4 1 200 m2

Área do trapézio:

A

4 1 400 m2

c) Área do triângulo da parte superior do terreno:

A = 3015 2 = 225 4 225 m2

Área do triângulo da parte inferior do terreno:

A = . 3510 2 = 175 4 175 m2

d) Área total do terreno:

225 + 800 + 1 200 + 700 + 1 400 +

+ 175 = 4 500 4 4 500 m2

Área de cada terreno:

4 500 : 6 = 750 4 750 m2

A resolução da atividade 10 depende da área do município em que o estudante mora. Verifique se ele indicou e usou as unidades de medida adequadas para perímetro e área.

8 O fluxograma a seguir mostra como calcular a densidade demográfica d, em cabeças de gado por metro quadrado, de uma fazenda que tem 1 500 cabeças de gado em uma área A que mede 2 hectares. Dado: 1 hectare = 10 000 m2

Início

Ler a área A em hectare

Calcular A, em m2

Ler a quantidade total de cabeça de gado (T).

Calcular d, em m2

d = T A

Mostrar d arredondado para o centésimo mais próximo

Fim

Execute os passos desse fluxograma para resolver o problema.

9 O senhor Firmino possui um terreno em forma de quadrilátero e o dividiu em 6 partes conforme a representação na planta ao lado. Faça o que se pede abaixo.

a) Qual é o formato de cada parte do terreno?

b) Qual é a área da maior parte?

c) Qual é a área da menor parte?

4 triângulos, 1 retângulo e 1 trapézio 1 400 m² 175 m²

d) Converse com um colega sobre se seria possível obter seis terrenos com a mesma área.

Por se tratar de um terreno irregular, o loteamento dos seis terrenos com área de aproximadamente 743,15 m² geraria 6 polígonos com dimensões diferentes.

10 Pesquise:

0,08 cabeça de gado/m2

a) a medida, em quilômetros, do perímetro urbano do seu município;

b) a área do seu município.

Respostas pessoais.

Círculo

O círculo é a reunião da circunferência com os pontos da sua região interna. Apresentamos, a seguir, uma ideia intuitiva que nos possibilita concluir que a área A de um círculo de raio com medida r é igual a pr2

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA19

Imagine que um círculo seja formado por infinitas circunferências com o mesmo centro.

Suponha, ainda, que essas infinitas circunferências pudessem ser cortadas e retificadas, formando o triângulo retângulo cujas medidas da base e da altura são, respectivamente, o comprimento da circunferência do círculo e a medida do seu raio (r).

Lembrando que o comprimento de uma circunferência cujo raio mede r é 2pr, temos que a medida da base do triângulo obtido é 2pr

A área S desse triângulo seria igual a: medida da base medida da altura 2 2  2 2 =4= p. 6=p SS rr Sr medida da base medida da altura 2 2  2 2 4= p. 6=p SS rr Sr

Como o triângulo e o círculo têm a mesma área, temos:

A = S 6 A =pr²

Assim, podemos dizer que a área de um círculo cujo raio mede r é igual ao produto do número p pelo quadrado de r

Por exemplo, considerando p aproximadamente 3,14, a área de um círculo cujo raio mede 6 m, será:

A =pr² 6 A o 3,14 62 6 A = 3,14 36 6 A = 113,04

Portanto, a área desse círculo é aproximadamente igual a 113,04 m2

circunferência região interna à circunferência r = p A r2

Antes de apresentar o conteúdo a ser estudado neste item, a área do círculo, retome os conceitos de círculo e circunferência, comumente confundidos pelos estudantes.

Adriano Gimenez

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA19 e da competência geral 2

Essa página apresenta uma situação-problema empregando o cálculo da área de figuras planas como retângulo e círculo. Apresente a situação para os estudantes e dê um tempo para ver se eles conseguem resolvê-la. Convide um estudante para vir até a lousa e proponha uma discussão coletiva com as estratégias de resolução. Depois, peça aos estudantes que acompanhem o texto do livro com a resolução.

Curiosidade apresenta um fato bastante interessante que tem conexão direta com nossa vida diária.

Acompanhe a resolução da situação a seguir.

• Marcelo tem um sítio com formato retangular e decidiu que dentro do terreno fossem feitos dois cercados circulares, aproveitando a maior área possível. Marcelo, após elaborar o esboço abaixo, se perguntou: Como determinar a área que ficou fora do cercado, ou seja, qual a área que não será usada? Use po 3,1.

Marcelo primeiro percebeu que o raio de cada círculo mede 3 m.

A área de cada um dos círculos será:

A =pr² 6 A o 3,1 . 32 6 A o 3,1 . 9 = 27,9

Logo, ele percebeu que cada círculo tem aproximadamente 27,9 m2 de área. Em seguida, Marcelo determinou a área total aproximada dos dois círculos juntos:

2 . 27,9 = 55,8 4 58 m2

Determinou também a área retangular do sítio:

A = b . h 6 A = 12 . 6 6 A = 72

A área do sítio é 72 m2

Dessa forma, ele percebeu que a área do sítio que sobrou é aproximadamente:

72 - 55,8 = 16,2 4 16,2 m2

O emprego das figuras circulares não é explicado apenas pela harmonia e beleza de sua forma. As circunferências e os círculos têm outra qualidade: elas são funcionais.

A forma circular do fundo das panelas e, em particular, de uma chapa bifeteira de ferro fundido, por exemplo, tem a função de facilitar a limpeza, impedindo que pequenos detritos se acumulem nos cantos.

Atividades

1 Um arquiteto projetou um chafariz circular em uma praça quadrada, conforme a figura. Após a execução da obra, ele decidiu colocar grama artificial na região colorida de verde. Aproximadamente, quantos metros quadrados de grama devem ser colocados?

Considere po 3,14.

Aproximadamente 21,5 m2

Imagens da página fora de proporção.

2 Oito amigos compraram uma pizza gigante circular com 40 cm de diâmetro e a dividiram em oito pedaços iguais. Qual é a área aproximada, em centímetros quadrados, de cada pedaço de pizza?

Aproximadamente 157 cm2

3 Esta figura representa a planta da área de lazer de uma casa, com gramado e piscina.

Considere po 3.14;

Aproximadamente 28,26 m².

a) Qual é aproximadamente área ocupada pela piscina?

b) Qual é a área aproximada da parte destinada ao gramado?

Aproximadamente 69,24 m².

4 No futebol, os esquemas táticos (ou formações) são as formas de um treinador dispor seus atletas dentro do campo. Os esquemas táticos servem para instruir os jogadores sobre quais espaços ocupar em campo e quais funções executar. Um esquema muito conhecido é o 4-4-2, que distribui os atletas em 4 zagueiros, 4 jogadores no meio-campo e, finalmente, 2 atacantes. Conforme a figura abaixo, podemos desenhar nessa formação algumas figuras geométricas, como um triângulo, dois trapézios, um quadrado e um retângulo.

Resolução da atividade 4

b) As medidas de um campo de futebol foram padronizadas pela Confederação Brasileira de Futebol, CBF, em 2016, com as seguintes medidas: 105 m de comprimento e 68 m de largura. Portanto, sua área é de 7 140 m2

c) O círculo central deve ter raio de 9,15 m. A = (9,15)2 .po 263 4 263 m2

d) Os estudantes podem escolher quadra de vôlei, de basquete, de tênis, entre outras. Peça que pesquisem as dimensões da quadra que escolheram para calcular a respectiva área.

Para mais informações sobre as medidas de um campo de futebol, acesse:

Em dupla, pesquisem o que se pede.

Respostas pessoais

a) Outros sistemas táticos e destaquem as figuras planas que vocês encontrarem.

b) As medidas de um campo oficial de futebol de campo. Determinem também sua área.

c) O valor do raio do círculo central. Determinem sua área.

d) Outros esportes que sejam praticados em campo ou em quadra. Escolham um deles e determinem a área da quadra utilizada para praticá-lo.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA19

Resolução da atividade 1

A área da grama equivale à diferença entre a área do quadrado e a área do círculo. Logo:

Resolução da atividade 2

Se o diâmetro é 40 cm, o raio da pizza é r = 20 cm:

A = (20)2 .p= 1 256 4 1 256 cm2

Área de cada pedaço: 1 256 : 8 = 157 4 157 cm2

Resolução da atividade 3

Sejam: A p: área da piscina e A g: Área do gramado.

• FERNANDEZ, M. Tudo igual dentro das 4 linhas: CBF padroniza gramados das séries A e B. G1, São Paulo, 12 jan. 2016. Disponível em: http://ge.globo.com/futebol/no ticia/2016/01/tudo-igual-dentro -das-4-linhas-cbf-padroniza-gra mados-das-series-e-b.html. Acesso em: 28 jul. 2022.

triângulo trapézio menor trapézio maior quadrado retângulo

Tarcísio Garbellini

5 O cubo mágico é um brinquedo composto de vários cubinhos coloridos. O objetivo é rotacionar esses cubinhos até colocar todas as faces dos cubinhos de mesma cor do mesmo lado. Admitindo-se que cada cubinho seja formado por um quadrado de lado x cm, elabore uma expressão que permita calcular a área de cada face do cubo mágico. A = 9x2

Para a resolução das atividades dessa página, proponha aos estudantes que trabalhem em duplas. Observe se eles mantêm o respeito e a empatia durante o processo de discussão das estratégias para solucionar as atividades.

Resolução da atividade 5

Como a medida da aresta do cubinho é x, a área de uma face do cubinho será x2. Como cada face tem 9 cubinhos, a área total da face será 9x2

Resolução da atividade 6

a) O símbolo pode ser decomposto em um retângulo e um triângulo.

Assim, sua área AS será dada por:

6 Para fazer uma placa de sinalização como a da figura a seguir, foi utilizado um círculo de diâmetro AB e sobre ele foram colocadas uma malha quadriculada e o símbolo pintado de rosa.

Considere po 3,14 e calcule a área:

a) Qual é a área do símbolo?

200 cm2 Aproximadamente 1 389,625 cm2

3   2

2 53 8 s =+=+= ()

⋅ ⋅           

b) O diâmetro do círculo é igual a:

d = 9 . 5 = 45 4 45 cm.

O raio é igual a:

r = 45 : 2 = 22,5 4 22,5 cm.

A área do círculo é igual a:

A =p r2 6 A = 3,14 (22,5)2

A o 1 589,6 4 1 589,6 cm2

Assim obtemos:

1 5 89,6 - 200 o 1 3 89,6 4

1 389,625 cm2

Resolução da atividade 7

Se cada cm2 de célula solar gera

0,01 watt de potência elétrica, para gerar 50 400 são necessários:

50 4 00 : 0,01 = 5 0 40 0 00 4

4 5 040 000 cm2 de células solares recebendo diretamente a luz do sol. Sendo x a medida, em cm, do lado de cada quadrinho da malha quadriculada, a área do painel ocupado pelas células solares é:

(9x)2 - 18x2 = 5 040 000

63x2 = 5 040 000

x 2 = 80 000 4 80 000 cm 2 =

= 8 m2

Assim, a área S do painel, em m2, não ocupada pelas células solares

é: S = 18 8 = 144 4 144 m2

Alternativa a

Resolução da atividade 8

Sugestão:

• Quanto mede a área cinza representada na figura?

A = +. (6 9) 4 2 - 3,14 . 22

A = 30 - 12,56 = 17,44 4

4 17,44 cm2

7 (PUC-SP) Toda a energia necessária para o consumo na Terra provém de fonte natural ou sintética. Ultimamente, tem havido muito interesse em aproveitar a energia solar, sob a forma de radiação eletromagnética, para suprir ou substituir outras fontes de potência. Sabe-se que células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro quadrado de célula solar, que recebe diretamente a luz do Sol, é gerado 0,01 watt de potência elétrica. Considere que a malha quadriculada a seguir representa um painel que tem parte de sua superfície revestida por 9 células solares octogonais, todas feitas de um mesmo material.

Imagens da página fora de proporção.

Se, quando a luz do Sol incide diretamente sobre tais células, elas são capazes de, em conjunto, gerar 50 400 watts de potência elétrica, então a área, em metros quadrados, da superfície do painel não ocupada pelas células solares é: a) 144. b) 189. c) 192. d) 432. e) 648.

8 Com base nos dados da figura abaixo, elabore uma questão e dê para um colega resolver enquanto resolve a que ele elaborou. Depois, confiram juntos as resoluções.

Considere po 3,14 Ilustrações: DAE Reinaldo Vignati

6 cm 9 cm 4 cm

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA19

9 (UESPI) Um trabalhador gasta 3 horas para limpar um terreno circular de 6 metros de raio. Se o terreno tivesse 12 metros de raio, quanto tempo o trabalhador levaria para limpar tal terreno? Alternativa c

a) 6 h.

b) 9 h.

c) 12 h.

d) 18 h.

10 (UNIVESP) Norma publicada neste ano pela Agência Nacional de Aviação Civil (Anac) regulamentou o uso de drones no espaço aéreo próximo de aeroportos no País. A figura mostra dois círculos concêntricos, a e b, cujo centro O é representado pelo Aeroporto de Congonhas. Na área interna ao círculo b, de raio igual a 5,4 km, não é permitido qualquer tipo de voo. Na região da coroa circular (área interna ao círculo a, de raio igual a 9 km, e externa ao círculo b), são permitidos voos com até 30 m de altura.

Nessas condições, a diferença em km2 entre a área da região que permite voos com até 30 m de altura e a área da região em que não se permite qualquer voo de drone é igual a:

Alternativa c

a) 41,80p

b) 46,10p

c) 51,84p

Orientações

e) 20 h.

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA19

Resolução da atividade 9 r = 6 m então:

A =p 62 = 36p4 36p m2

Se r = 12 m, então:

A =p 122 = 144p4 144p m2

Existe uma proporcionalidade da situação de modo que:

3 horas ----------- 36p m2

x horas ----------- 144p m2

x 3  144 36 1212 h. = p p =4

Alternativa c Resolução da atividade 10

d) 83,60p

e) 103,68p

A sinalização vertical de regulamentação, de acordo com o Conselho Nacional de Trânsito (Contran), deve ter dimensões recomendadas por tipo de via. Veja, a seguir, duas delas.

A área A procurada é obtida pela diferença entre a área Aalfa e a área

Abeta:

A =p 92 -p (5,4)2 =

= 81p- 29,16p= 51,84p4

4 51,84p km2

Alternativa c

Em Curiosidade, converse com os estudantes sobre a diferença de tamanho entre as placas de trânsito e se eles já tinham percebido essas diferenças.

A resolução para a questão proposta no boxe é:

Se d = 0,75 m, então, r = 0,375 m ou 37,5 cm.

A =pr2 =

=p(37,6)2 = 4 415,6 4 4 415,6 cm2

Fonte: CONTRAN. Sinalização vertical de regulamentação. 2. ed. Brasília, DF: Contran, 2007. p. 28. (Manual Brasileiro de Sinalização de Trânsito, v. 1). Disponível em: https://www.gov.br/infraestrutura/pt-br/assuntos/transito/arquivos-denatran/educacao/publicacoes/ manual_vol_i_2.pdf.Acesso em: 12 maio 2022.

Considerando que a placa de forma circular tenha diâmetro de 0,75 m, qual é a medida do raio? Qual é a sua área aproximada em cm2? Considere po 3,14. r = 0,375 m = 37,5 cm; A o 4 415,6 cm2

Imagens da página fora de proporção.

Circulacao exclusiva de bicicletas. Sentido circular na rota.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA19

Resolução da atividade 11

A área do terreno é:

A = 30 15 = 450 4 450 m2

Como Maria quer que sobrem 50 m2 para o pátio, a casa deve ocupar: 450 - 50 = 400 4 400 m2

Alternativa b

Resolução da atividade 12

Do enunciado, como os triângulos são isósceles, temos:

11 (UFPel-RS) Maria comprou um terreno retangular medindo 15 m de largura por 30 m de comprimento, conforme mostra a figura [...]. Ela deseja construir uma casa em seu terreno, mas é importante que sobrem 50 m² para um pátio (área sem nenhuma construção).

Sendo assim, a área a ser construída na casa de Maria deverá ocupar, no máximo:

Alternativa b

30 m

P = 4 6 = 24 4 24 cm.

Alternativa a Resolução da atividade 13

Primeiro, vamos ajustar as unidades:

200 mL = 0,2 L e 250 mL = 0,25 L

a) Como o vasilhame tem 3 L, a equipe amarela deve encher seu copo 15 vezes, pois 3 : 0,2 = = 15; e a equipe verde, 12 vezes, pois 3 : 0,25 = 12.

b) A equipe verde encheu o copo 10 vezes, o que resulta em 2,5 L, isto é, 10 . 0,25 = 2,5 4 2,5 L; e a equipe amarela encheu 13 vezes, o que dá 2,6 L, pois 13 . 0,2 = = 2,6. Portanto, a equipe amarela conseguiu colocar mais água no vasilhame.

c) Para a equipe verde faltou: 3 – 2,5 = 0,5, e 0,5 L = = 0,5 dm³; para a equipe amarela faltou: 3 - 2,6 = 0,4 4 0,4 L, que corresponde a 0,4 dm³.

Resolução da atividade 14

Do enunciado, temos:

a) 800 m².

b) 400 m². c) 200 m². d) 150 m². e) 120 m².

Imagens da página fora de proporção.

Fonte: COODEC/ UFPel

C

12 (XXII ORM-SC) Na figura [...], a área do triângulo ABC é 72 cm2, os triângulos cinza são isósceles e a figura branca é um quadrado. Qual é o perímetro do quadrado?

Alternativa a

a) 24 cm

b) 36 cm

c) 6 cm

d) 12 cm

e) 3 cm

13 Em uma gincana realizada na escola, as equipes verde e amarela se preparavam para disputar a última tarefa, que valia dez pontos. As equipes estavam empatadas em número de pontos.

Nessa última tarefa, os integrantes de cada equipe receberiam um copo com capacidade de 200 mL ou de 250 mL. Eles deveriam enchê-los de água e depositar todo o conteúdo em um vasilhame colocado do outro lado da quadra, até que completassem três litros. A cada copo esvaziado, o integrante de cada equipe o entregava ao colega seguinte, que repetia o procedimento.

Sabendo que, após o sorteio, a equipe verde ficou com o copo de 250 mL, determine:

a) Quantas vezes cada grupo tem de encher seu respectivo copo para completar a prova?

Equipe amarela: 15 vezes; equipe verde: 12 vezes.

b) Qual equipe venceu a tarefa, sabendo que os integrantes da equipe verde encheram o copo dez vezes, enquanto a equipe amarela encheu o copo treze vezes?

A equipe amarela.

c) Quantos centímetros cúbicos de água faltaram para cada equipe completar a prova?

Faltaram 0,4 dm3 para a equipe amarela e 0,5 dm3 para a equipe verde.

14 (IFRS) A prefeitura de uma cidade pretende fazer um pequeno espaço de convivência em um terreno retangular com medidas de 20 metros por y metros. Para isso, será necessário plantar grama no pentágono HGFBE, conforme a figura [...].

Alternativa b

O valor de y, em metros, para que a área de grama a ser plantada seja de 180 m2 é:

a) 18.

b) 15.

c) 10.

d) 7,5. e) 5.

A medida da área do pentágono HGFBE é igual à medida da área do retângulo ABCD menos a medida das áreas dos triângulos AEH, DGH e GCF. Logo,

15 (ENEM) Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.

GRANDEMÉDIAPEQUENA

Portanto, as sobras são iguais em todos os casos.

Alternativa e Resolução da atividade 16

O volume do paralelepípedo é:

V p = 3 . 18 . 4 = 216 4 216 cm³. Como os volumes são iguais, ou seja, V p = V c, temos que V c = = 216 cm³.

As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, pode-se concluir que:

a) a entidade I recebe mais material do que a entidade II.

b) a entidade I recebe metade de material do que a entidade III.

c) a entidade II recebe o dobro de material do que a entidade III.

d) as entidades I e II recebem, juntas, menos material do que a entidade III.

e) as três entidades recebem iguais quantidades de material.

16 (ENEM) Uma fábrica produz barras de chocolate no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.

Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:

Alternativa e Alternativa b 2 m logico, é logica!

(OBM) A figura representa uma barra de chocolate que tem um amendoim apenas num pedaço. Elias e Fábio querem repartir o chocolate, mas nenhum deles gosta de amendoim. Então combinam dividir o chocolate quebrando-o ao longo das linhas verticais ou horizontais da barra, um depois do outro, e retirando o pedaço escolhido até que alguém tenha que ficar com o pedaço do amendoim. Por sorteio, coube a Elias começar a divisão, sendo proibido ficar com mais da metade do chocolate logo no começo. Qual deve ser a primeira divisão de Elias para garantir que Fábio fique com o amendoim ao final?

b) Escolher as duas primeiras colunas à esquerda.

c) Escolher a terceira linha, de cima para baixo.

d) Escolher as duas últimas linhas, de cima para baixo.

e) Qualquer uma, já que Fábio forçosamente ficará com o amendoim. Alternativa a

Orientações

Resolução da atividade 15

Vamos calcular as sobras de material em cada caso, sendo

a área da chapa:

Achapa = 2 2 = 4 4 4 m2

A tampa grande tem raio r = 1 m, então:

A tg =p (1)2 = 3,14 4 3,14 m2

A sobra de material na chapa para a tampa grande é: 4 - 3,14 = 0,86 4 0,86 m2

V c = a³ 6 216 = a³ 6 a = 6 4 4 6 cm.

Alternativa b Resolução do Lógico, é lógica! Se Elias pega a coluna mais à esquerda, o chocolate vira um quadrado de 3 * 3.

DAE

Ilustrações: DAE

Se Fábio pega a coluna à esquerda, Elias pega a linha de baixo e não come o amendoim. Se Fábio pega as duas colunas da esquerda, Elias pega as duas linhas de baixo e não come o amendoim. Um raciocínio análogo demonstra que Fábio também fica com o amendoim se pegar as colunas de baixo. Qualquer outra repartição inicial de Elias possibilita que Fábio deixe apenas o amendoim ou o chocolate quadrado 2 * 2, o que também obriga Elias a ficar com o amendoim. Assim, Elias precisa começar da coluna mais à esquerda. Alternativa a Peça aos estudantes que leiam e resolvam a atividade da seção Lógico, é lógica!. Em seguida, solicite que anotem como chegaram à resposta e discutam com os colegas a estratégia utilizada, o que possibilita desenvolver a capacidade de produzir argumentos, favorecendo o desenvolvimento da competência específica 2

A tampa média tem raio r = 0,5 m e são 4 tampas médias, então:

A tm = 4 p. (0,5)2 = 3,14 4 3,14 m2

A sobra de material na chapa para a tampa média é:

4 - 3,14 = 0,86 4 0,86 m2

A tampa pequena tem raio r = 0,25 m e são 16 tampas pequenas, então:

A tp = 16p (0,25)2 = 3,14 4 3,14 m2

Então, a sobra de material na chapa para as tampas pequenas é 0,86 m2

Essas atividades colaboram para o desenvolvimento da habilidade EF08MA19

Orientações

O trabalho com Matemática Interligada possibilita o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e das competências específicas 4 e 7. Proponha aos estudantes que pesquisem a demarcação de terras indígenas e, em grupos, discutam esse tema e a necessidade de políticas públicas de preservação ambiental e de respeito às terras indígenas. Explore notícias veiculadas pela mídia, artigos e publicações científicas, leis, decretos e trechos da Constituição para embasar a discussão. Veja a seguir um exemplo de texto que pode ser compartilhado com eles.

São reconhecidos aos índios sua organização social, costumes, línguas, crenças e tradições, e os direitos originários sobre as terras que tradicionalmente ocupam, competindo à União demarcá-las, proteger e fazer respeitar todos os seus bens.

BRASIL. Constituição (1988). Constituição da República Federativa do Brasil. Brasília, DF: Senado Federal: Centro Gráfico, 1988.

Essa reflexão oportuniza o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal: Educação em Direitos Humanos

Resolução da questão 1

a) Hectare.

b) 40 686 - 19 400 = 21 286 4

4 21 286 ha

O que são Terras Indígenas?

[...]

De acordo com a Constituição Federal de 1988, as Terras Indígenas são “territórios de ocupação tradicional”, são bens da União, sendo reconhecidos aos índios a posse permanente e o usufruto exclusivo das riquezas do solo, dos rios e dos lagos nelas existentes. As TIs (Terras Indígenas) a serem regularizadas pelo Poder Público devem ser:

1) habitadas de forma permanente;

2) importantes para suas atividades produtivas;

3) imprescindíveis à preservação dos recursos necessários ao seu bem-estar; e

4) necessárias à sua reprodução física e cultural.

[...]

O QUE são Terras Indígenas? Terras Indígenas no Brasil, [s. l.], [20--?]. Disponível em: https://terrasindigenas.org.br/pt-br/node/23. Acesso em: 12 maio 2022.

Vista aérea de aldeia na Terra Indígena Enawenê-Nawê. Juína (MT), 2020.

A exemplo de terras indígenas regularizadas, a Terra Indígena Acapuri de Cima, da etnia kokama, pertencente à Jurisdição da Amazônia Legal, no estado do Amazonas, ocupa uma área de 19 400 hectares. Nessa terra indígena, vivem 237 pessoas.

A Terra Indígena Acimã, também pertencente à Jurisdição da Amazônia Legal, ocupa uma área de 40 686 hectares e sua população é de 89 pessoas.

Fontes: TERRA Indígena Acapuri de Cima. Terras Indígenas no Brasil, [s. l.], [20--?]. Disponível em: https://terrasindigenas.org.br/pt-br/terras-indigenas/4184; TERRA Indígena Acimã. Terras Indígenas no Brasil, [s. l.], [20--?]. Disponível em: https://terrasindigenas.org.br/pt-br/terras-indigenas/3935. Acessos em: 12 maio 2022.

1 Leia as informações acima e responda às questões a seguir.

a) Qual foi a unidade de medida utilizada para indicar a área dessas duas terras indígenas?

b) Qual é a diferença entre as áreas dessas duas terras indígenas?

c) Você já visitou alguma terra indígena? Faça uma pesquisa para verificar se há terras indígenas no estado em que você mora.

Hectare. 21 286 hectares Resposta pessoal.

Marcos Amend/Pulsar Imagens

Volume e capacidade do bloco

retangular

e do cubo

Relações entre volume e capacidade

O bloco retangular tem três dimensões: comprimento (c), largura (W) e altura (h). Assim, a fórmula para calcular o volume V de um bloco retangular é dada por: Ilustrações: DAE

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF08MA20 e EF08MA21

Um cubo é um bloco retangular em que a altura, a largura e o comprimento têm a mesma medida. Chamando essa medida de a, temos:

Em qual das caixas abaixo cabem mais cubinhos cujas arestas medem 1

Analise a situação a seguir.

• Marina adquiriu uma caixa cúbica de volume 1 dm3 (um decímetro cúbico), isto é, uma caixa cúbica cujas arestas medem 1 dm. Ela forrou a caixa com plástico e despejou nela um litro de água.

Marina observou que toda a água coube na caixa e não transbordou. Ela concluiu, assim, que 1 dm3 equivale a 1 L.

Para explorar a relação entre volume e capacidade, se possível, utilize um recipiente com formato cúbico de arestas com medidas de 10 cm e demonstre que nele cabe 1 L. Outra possibilidade é utilizar embalagens de diferentes formatos, como paralelepípedos e embalagens que tenham a capacidade indicada (ou uma jarra medidora). Os estudantes podem colocar o conteúdo escolhido nas caixas, registrando o total em litros e em centímetros cúbicos.

Permita que os estudantes resolvam a questão proposta no Pense e responda e avalie as estratégias apresentadas por eles.

Resolução do Pense e responda A resolução dessa questão envolve o cálculo da capacidade de cada caixa, sendo que o volume do bloquinho de aresta 1 cm é 1 cm³.

Adriano Gimenez

Explique a estratégia que você utilizou para responder.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA21

Após os estudantes explorarem as relações entre capacidade e volume, proponha que elaborem e resolvam problemas com base na correspondência entre litro e centímetro cúbico. Uma maneira de motivar essa atividade é analisar o consumo de água do local em que residem.

Resolução da atividade 1

a) 1 m³ = 1 000 L

48 ,751 000  48 750 48750 L  .=4 4

Capacidade é o volume interno de um recipiente, medida de quanto cabe em um recipiente.

Atividades

1 Leia o texto abaixo e responda às questões na sequência.

Inaugurado em 2014, na China, o parque aquático Chimelong Ocean Kingdom bateu vários recordes: a maior cúpula aquática, o maior tanque de peixes, a maior “janela” de aquário e o maior painel de acrílico, além de abrigar o maior aquário do mundo.

Existem sete áreas temáticas dentro do parque temático, cada uma representando uma parte do oceano, com um volume total de água de 48,75 milhões de litros.

LYNCH, Kevin. China’s Hengqin Ocean Kingdom [...]. Guinness World Records, [s. l.], 31 mar. 2014. Disponível em: https://www.guinnessworldrecords.com/news/2014/3/chinas-hengqin-ocean-kingdom-confirmed-as-worlds-largest -aquarium-as-attraction-sets-five-world-records-56471. Acesso em: 12 maio 2022. (Tradução nossa).

a) Quantos metros cúbicos de água tem o parque aquático?

b) Qual é o volume de água da caixa d'água de sua casa? Quantas caixas iguais a sua seriam necessárias para encher totalmente esse parque aquático? Dica: Se você mora em prédio, tente perguntar para o zelador, ou outro responsável, o volume da caixa d'água. Se você mora em casa, peça ajuda a seus pais ou responsáveis.

48,75 mil metros cúbicos Resposta pessoal.

Podemos estabelecer as relações entre volume e capacidade. Veja a seguir.

Turistas observam a vida marinha pela cúpula de acrílico no parque aquático Chimelong Ocean Kingdom. Zhuhai, China, 2017.

Guitar photographer/Shutterstock.com

2 (ENEM) A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.

Ilustrações: DAE Metal Nobre 1,3 m 0,5 m 2,5 m

O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza:

a) massa.

b) volume.

c) superfície.

d) capacidade.

e) comprimento.

3 O sólido de madeira representado abaixo é formado de dois blocos retangulares A e B

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA21

Resolução da atividade 2

O produto das dimensões comprimento, altura e largura nos dá como resultado o volume do corpo.

Alternativa b

Resolução da atividade 3

Volume total do sólido:

Alternativa b

V = 8 . 8 . 2 + 3 . 2 . 5

V = 128 + 30

V = 158 4 158 dm3

Resolução da atividade 4

O volume de madeira utilizado na construção desse objeto equivale à diferença entre o volume do cubo externo e do volume do cubo interno:

V = 123 - 83

V = 1 728 - 512 = 1 216 4

4 1 216 cm3

Alternativa d

O sólido A tem a base quadrada de aresta 8 dm e altura de 2 dm. O sólido B tem 3 dm de comprimento, 2 dm de largura e 5 dm de altura. Calcule o volume total desse sólido.

158 dm3 B A

O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de:

a) 12 cm3

b) 64 cm3

c) 96 cm3

Alternativa d

d) 1 216 cm3

e) 1 728 cm3

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA21

Proponha aos estudantes que resolvam as atividades em duplas e depois faça a correção coletiva. Enfatize a equivalência de unidades de medida de capacidade e volume.

Resolução da atividade 5

Atividade de criação. A resposta é pessoal e os estudantes devem trocar as atividades criadas com os colegas e depois devem verificar juntos as resoluções.

Resolução da atividade 6

A capacidade da piscina de Fabiane

é: V p = 6 3 1,5 =

= 27 4 27 m³ = 27 000 L.

A cuia de chimarrão tem capacidade de: V c = 400 mL = 0,4 L.

Para saber quantas vezes Fabiane precisará encher a cuia para completar a piscina, temos que fazer a divisão:

27 000 : 0,4 = 67 500.

Resolução da atividade 7

Sabemos que: 1 dm³ = 1 L; 1 m³ =

= 1 000 L e 1 cm³ = 0,001 L =

= 1 mL.

a) 750 mL = 0,750 L

b) 1 4 L = 0,25 L = 250 mL

c) 12 dm³ = 12 L = 12 000 mL

d) 10 cm³ = 0,01 L = 10 mL

e) 0,75 m³ = 750 L

f) 32,5 cm³ = 32,5 mL

Resolução da atividade 8

12,8 m³ = 12,8 1 000 = 12 800 4

4 12 800 L

Resolução da atividade 9

Do enunciado, temos:

• Volume do reservatório cúbico:

V = 53 = 125 4 125 m3

• 125 5 25 = . Capacidade da bomba: 25 m3 por hora.

• Volume do paralelepípedo:

V = 14 . 5 . 5 = 350

4 350 m3

• 25% do volume do paralelepí-

pedo: V = 25 100 350 = 87,5 4

4 87,5 m3

• 87 ,5 25 = 3,5 4 3,5 h = = 3h30min

Alternativa d

Resolução da atividade 10

O nível da água subirá 2 cm, pois:

30 40 x = 2 400 6 x = 2 4 2 cm.

Como a altura do nível de água é 20 cm, ele ficaria com 22 cm.

Alternativa c

5 Elabore um problema para determinar o volume de um aquário em formato de bloco retangular com dimensões em centímetros. Peça a um colega que resolva esse problema dando a resposta em litros e em metros cúbicos. Responda também a que ele elaborou e depois confiram juntos as resoluções.

Resposta

6 Fabiane é uma gaúcha que adora tomar chimarrão. Em uma brincadeira com suas filhas, ela disse que seria um sonho encher a piscina com mate para tomar chimarrão por muito tempo. Sabendo que sua piscina tem o formato de bloco retangular, com dimensões de 6 m * 3 m * 1,5 m, se sua ideia um dia desse certo, quantas vezes ela poderia encher sua cuia, que tem capacidade de 400 mL, com o mate despejado em sua piscina?

67 500 vezes

7 Transforme na unidade de medida pedida.

a) 750 mL em L

b) 1 4 L em mL c) 12 dm3 em mL d) 10 cm3 em mL e) 0,75 m3 em L f) 32,5 cm3 em mL

8 A leitura do hidrômetro de uma residência indicou, no mês de setembro, um consumo de 12,8 m3 de água. Qual foi o consumo, em litros, dessa residência nesse mês?

12 800 L

9 (CMR-PE) Um reservatório de forma cúbica, cuja aresta mede 5 metros, é enchido com água até o seu volume máximo em 5 horas, utilizando-se uma bomba-d’água. Com a mesma bomba, em quanto tempo serão enchidos 25% de um reservatório, com água, na forma de um paralelepípedo reto com 14 metros de comprimento, 5 metros de altura e 5 metros de largura?

a) 6 horas e 15 minutos

b) 6 horas

c) 5 horas

d) 3 horas e 30 minutos

Alternativa d

e) 3 horas

10 (ENEM) Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.

O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm3? Alternativa c

a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura.

b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura.

c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura.

d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar.

e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar.

da página fora de proporção.

11 Em um mundo onde o consumo é algo frequente, ter consciência da importância do descarte correto de resíduos é primordial para não prejudicar o meio ambiente. Por isso, a lixeira para a coleta seletiva faz-se tão essencial. Um modelo bastante usado para esse tipo de lixeira é o que tem formato de bloco retangular. Suponha que determinada lixeira seletiva tenha as seguintes dimensões: 60 cm de comprimento, 70 cm de largura e 80 cm de altura.

a) Siga o fluxograma a seguir e calcule o volume da lixeira. 336 000 cm3

Início

Ler o comprimento (c)

Ler largura (I )

Ler altura (h)

Calcular o volume V

V = c l h

Escrever o volume

Fim

b) Em casa, peça a seus pais embalagens que têm formato de bloco retangular, como leite condensado, extrato de tomate, creme de leite etc. Meça as dimensões delas, elabore um fluxograma para determinar o volume e, com o auxílio de uma calculadora, verifique o volume desses objetos. Resposta pessoal.

Ideias geniais na Matemática, de Surendra Verma (Gutenberg). Nesse livro, você encontrará diversos problemas e desafios que envolvem os conceitos de Geometria para resolvê-los. Que tal embarcar nessas ideias geniais?

Orientações

A atividade dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA21

Resolução da atividade 11

a) Seguindo o fluxograma, temos:

c = 60 cm.

l = 70 cm.

h = 80 cm.

V = 60 70 80 = 336 000 4

4 336 000 cm³.

Essa atividade permite a discussão sobre hábitos de reciclagem favorecendo um dos Temas Contemporâneos Transversais – Educação

Ambiental

Orientações

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1 Considere inicialmente o quadrado com a configuração ABCD, nesta ordem.

Após apertar o botão 2, os pontos A e C trocam de lugar ficando CBAD; em seguida, apertando o botão 1, o quadrado fica DCBA; apertando o botão 1 novamente, o quadrado fica ADCB; apertando finalmente o botão 2, o quadrado fica CDAB

Alternativa c Resolução da atividade 2

1 (XXI ORM-SC) Ao apertar o botão 1 de uma máquina, um quadrado é girado 90‘ no sentido horário ao redor de seu centro no plano. Ao apertar o botão 2, o quadrado é girado, no espaço, 180‘ com relação à diagonal que “sobe da esquerda para a direita”.

Qual é a configuração do quadrado após apertarmos os botões 2, 1, 1 e 2 nesta ordem? a) b) c) d) e)

2 (ENCCEJA-MEC) Uma pessoa deseja revestir com cerâmicas o piso de sua sala, cujas dimensões internas podem ser visualizadas na planta baixa.

Para tanto, faz uma pesquisa e seleciona quatro lojas nas quais as cerâmicas vendidas atendem às suas exigências. Cada uma dessas lojas só vende quantidades inteiras de caixas de cerâmicas. Os preços de venda (em real), a quantidade de cerâmicas em cada caixa e as dimensões estão apresentados no quadro.

Área 6 m2

O menor preço é da Loja 3. Alternativa c Veja quadro comparativo no rodapé.

Sabe-se que ela vai comprar a quantidade suficiente de cerâmicas para revestir seu piso em uma única loja e gastando o menor valor possível. Nesse cálculo, ela desprezará as quebras e os espaços destinados aos rejuntes.

Atendendo às suas necessidades, essa pessoa comprará as cerâmicas na loja:

Para

de cada cerâmica fazemos:

3 (IFRN) Uma alternativa empregada pela prefeitura de Berlim, na Alemanha, para receber famílias de refugiados foi a de criar vilas feitas com contêineres, em forma de paralelepípedo reto. Os contêineres usados têm medidas de base apoiada no solo aproximadas de 6 m de comprimento por 2,4 m de largura.

Imagens da página fora de proporção.

Resolução da atividade 3

As medidas da base do contêiner são: 6 m e 2,4 m, então a área ocupada por 1 contêiner é:

A = 6 . 2,4 = 14,4 4 14,4 m2

Alternativa d

Resolução da atividade 4 Sabendo que a área de cada quadrado é 25 cm2, temos que seu lado mede:

A área do terreno ocupada por cada contêiner que irá abrigar uma família é:

a) 8,4 m².

b) 9,4 m².

c) 12,4 m².

d) 14,4 m².

Alternativa d

A = 25 6 l = 5 4 5 cm. Como os polígonos são todos regulares, o lado do pentágono também mede 5 cm. Cada volta completa que a formiga deu no trajeto da mesa equivale a 180 cm, pois são 36 lados (entre os dos pentágonos e os dos quadrados), ou seja, 36 5 = 180. Como ela deu três voltas completas, temos:

180 3 = 540 4 540 cm.

Alternativa e

4 (CMF-CE) Uma formiga percorre o contorno da imagem de um tampo de mesa. Essa imagem é composta por polígonos regulares (polígonos cujos lados possuem medidas iguais), conforme figura abaixo.

formiga

A área de cada quadrado da figura acima é de 25 cm². Sabendo que a formiga deu 3 (três) voltas e iniciou o seu trajeto no ponto e sentido indicados na figura [...], qual é a medida total do percurso, em centímetros, que a formiga caminhou, sem sair do contorno da figura acima?

Alternativa e

a) 105

b) 180

c) 510

d) 525

e) 540

Resolução da atividade 5

A sala de aula é retangular com lados de 400 cm e 1 000 cm.

Como serão utilizadas somente lajotas inteiras das alternativas, o único número que é divisor de 400 e de 1 000 é 25.

Portanto, os lados das lajotas terão 25 cm.

Alternativa c

Resolução da atividade 6

Sejam A c : Área do campo e

A g : área da placa de grama.

A c = 106 . 68 = 7 208 4 7 208 m2

Nos primeiros dias foram gramados

50%, ou seja:

= 7208 50 100 3 604.4 3 604 m2

Nos 10 dias seguintes, foram gramados os 50% restantes, ou seja, 3 604 m2

A g = 1 . 2 = 2 4 2 m2

Logo, a quantidade mínima de placas para cobrir o restante do campo de futebol foi de 1 802 placas, pois 3 604 : 2 = 1 802.

Alternativa c

7

5 (CMF-CE) O Colégio Militar de Fortaleza quer cobrir o piso de uma sala de aula do 6? ano do Ensino Fundamental com lajotas quadradas. A sala é retangular, com lados medindo 4 metros de largura e 10 metros de comprimento. Os lados das lajotas devem ser paralelos aos lados da sala, devendo ser utilizadas somente lajotas inteiras. O CMF poderá utilizar lajotas cujos lados tenham medidas iguais a:

Alternativa c

a) 15 cm.

b) 18 cm.

c) 25 cm.

d) 35 cm.

e) 60 cm.

6 (CMF-CE) O campo de futebol da Arena Castelão tem as seguintes dimensões: 106 metros de comprimento por 68 metros de largura. O campo de futebol foi coberto, em 2012, por placas de grama no formato retangular com dimensões de 200 centímetros de comprimento e 100 centímetros de largura. O trabalho de colocação das placas de grama ocorreu em 20 dias. Nos dez primeiros dias, já tinha sido plantado 50% do gramado. Nos últimos dez dias ocorreu a colocação do restante das placas de grama. Os 50% das placas plantadas foram colocados de forma que não houvesse a necessidade de recortá-las. De acordo com os dados apresentados, para que as placas de grama fossem totalmente colocadas no prazo de 20 dias, a quantidade mínima de placas de grama necessárias para cobrir o restante do campo de futebol foi de:

Alternativa c

a) 1 718.

b) 1 768.

c) 1 802.

d) 1 836.

e) 1 842.

7 (IFRJ) O Museu da Maré funciona na Zona Norte do Rio de Janeiro com o objetivo de preservar a memória dos moradores do bairro. O espaço foi criado em 2006, por um grupo de jovens moradores e integrantes do Centro de Ações Solidárias da Maré (CEASM) para apresentar uma nova experiência de museu voltada para inclusão cultural e social. Esse museu receberá uma tela de um dos artistas da região. Sabendo-se que a área da tela é de 9 600 cm2 e a sua altura corresponde a uma vez e meia o seu comprimento, a altura desta tela é:

Alternativa b

a) 150 cm.

b) 120 cm.

c) 100 cm.

d) 80 cm.

8 (ENEM) Uma editora pretende despachar um lote de livros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm * 20 cm * 30 cm. A transportadora acondicionará esses pacotes em caixas com formato de bloco retangular de 40 cm * 40 cm * 60 cm. A quantidade mínima necessária de caixas para esse envio é:

Alternativa c

a) 9.

b) 11.

c) 13.

d) 15.

e) 17.

Tarcísio Garbellini

9 (ENEM) Em um condomínio, uma área pavimentada, que tem a forma de um círculo com diâmetro medindo 6 m, é cercada por grama. A administração do condomínio deseja ampliar essa área, mantendo seu formato circular, e aumentando, em 8 m, o diâmetro dessa região, mantendo o revestimento da parte já existente. O condomínio dispõe, em estoque, de material suficiente para pavimentar mais 100 m2 de área. O síndico do condomínio irá avaliar se esse material disponível será suficiente para pavimentar a região a ser ampliada.

Utilize 3 como aproximação para p

A conclusão correta a que o síndico deverá chegar, considerando a nova área a ser pavimentada, é a de que o material disponível em estoque:

a) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 21 m2

b) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 24 m2

c) será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 48 m2

d) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 108 m2

e) não será suficiente, pois a área da nova região a ser pavimentada mede 120 m2

10 (UNIFOR-CE) A Praça Portugal em Fortaleza é um dos locais preferidos por manifestantes para as suas concentrações e também para pequenos shows musicais. A figura abaixo mostra um esboço da praça, na forma circular cujo raio é 90 m, e uma outra região circular na parte central da praça de raio 12 m, onde ficaram os músicos e seus instrumentos para apresentação de um show musical.

Resolução da atividade 9

Se o diâmetro vai ser aumentado de 6 m para 14 m, temos que os raios têm os valores indicados na figura a seguir.

73m m

A medida da área da parte colorida é igual a:

A =p 72 -p 33 6 A = 40p

A = 40 . 3 = 120 6 A = 120 4 4 120 m2

Portanto, o material disponível em estoque para pavimentar 100 m2 não será suficiente.

Alternativa e Resolução da atividade 10 Área do círculo maior:

3 (90)2 = 24 300 4 24 300 m2 Área do círculo menor:

3 . (12)2 = 432 4 432 m2

Como a área destinada ao público é a região externa ao círculo menor, então essa área é igual a 24 300 - 432 = 23 868 4 4 23 868 m2

Considerando que todas as pessoas que foram ao show estavam na faixa da praça exterior ao local dos músicos e que o show teve uma ocupação média de 4 pessoas por metro quadrado, quantas pessoas estavam presentes ao show? (Use p= 3).

a) 94 600

b) 95 472

c) 97 320

d) 98 125

e) 98 345

Como cabem 4 pessoas por m2, então, o total de pessoas é 23 868 . 4 = 95 472.

Alternativa b

Tarcísio Garbellini

Resolução da atividade 11

O pedreiro recebe R$ 420,00 por metro quadrado. Fazemos uma regra de 3:

1 420

x 18 900

x = 18 900 : 420 = 45

Portanto, a casa construída por esse pedreiro tem 45 m2

Alternativa b

Resolução da atividade 12

Se o assento do sofá é quadrado e o grilo percorre 4 m para contornar esse assento, cada lado do quadrado tem 1 m. Então, a área do assento tem 1 m2

Alternativa b

Resolução da atividade 13

A medida x do lado do terreno é 12 m, pois x2 = 144, logo

x = 12 4 12 m.

Como a região destinada às cenouras é quadrada, com lados que medem metade do lado do terreno, ou seja, 6 m, sua área é 36 m2

Fazendo a razão da área do quadrado menor pela área do quadrado maior, temos: = 36 144 1 4

Alternativa b

11 (FUNDATEC-RS-2021) Um pedreiro cobra, para fazer uma casa simples, sem acabamentos, R$ 420,00 o metro quadrado. Para fazer uma casa simples, sem acabamentos, o pedreiro recebeu R$ 18.900,00. O tamanho, em m2, da casa construída pelo pedreiro é de:

Alternativa b

a) 30 m2.

b) 45 m2

c) 50 m2

d) 65 m2

e) 70 m2

12 (FAFIPA-PR) Benjamim reparou que em seu sofá havia um grilo no assento e ele se fez a seguinte pergunta: “Suponha que este grilo, partindo de um dos cantos do assento, andasse 4 metros para contornar todo o assento e, sabendo que o assento do meu sofá tem a forma de um quadrado, qual seria a área do assento do meu sofá”?

Alternativa b

a) A área do assento do meu sofá seria de 5 m2

b) A área do assento do meu sofá seria de 1 m2

c) A área do assento do meu sofá seria de 0,8 m2

d) A área do assento do meu sofá seria de 0,7 m2

e) A área do assento do meu sofá seria de 0,5 m2

13 (FUNDEP-MG) Um agricultor dispõe de um terreno quadrado ABCD, cuja área é igual a 144 m2, no qual ele vai cultivar alface e cenoura. Sabe-se que a região onde serão cultivadas as cenouras também é quadrada e que seu lado é igual à metade do lado do terreno, como mostra a figura a seguir.

A fração que indica a área reservada ao cultivo de cenouras em relação à área total do terreno é:

14 (SEMAE-SP) O perímetro do polígono ABCDEFGH é igual a 26 cm, e os lados BC e FG desse polígono são congruentes, conforme mostra a figura.

Imagens da página fora de proporção.

A área, em cm2, do polígono ABCDEFGH é: a) 26.

b) 28. c) 30. d) 32.

Autoavaliação

Alternativa b

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O

que aprendi CPN

Reconheço transformações geométricas de isometria.

Construo figuras por meio de composições que envolvem simetria de rotação, translação ou reflexão.

Utilizo instrumentos de desenho geométrico e softwares de geometria dinâmica para construir figuras por meio de composições de transformações geométricas.

Resolvo e elaboro problemas que envolvem medidas de área de figuras planas.

Reconheço a relação entre volume e capacidade.

Reconheço a relação entre litro e decímetro cúbico.

Resolvo e elaboro problemas que envolvem volume e capacidade.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia?”, “Trabalhei de forma colaborativa?”, “Fiz todas as atividades solicitadas?”, entre outras.

3cm 3cm 2cm 2 x +3 3cm 4cm A Cx x DE B GF H Tarcísio

(2x + 3) + 2 + x + 4 + 3 + 3 + + x + 3 = 26 4x + 18 = 26 4x = 8 x = 2 4 2 cm. Assim, a

4 28 m2

Alternativa b

Resolução da atividade 15

Calculando o volume de 1 tijolo:

V = 11 . 24 . 5 = 1 320 4

4 1 320 cm3

1 m3 = 1 000 000 cm3

1 000 000 : 1 320

= 757 4 757 tijolos

Alternativa d

Garbellini

Principais objetivos da unidade

• Compreender e calcular a média, a moda e a mediana de um conjunto de dados.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam as medidas de tendência central.

• Compreender o que são pesquisas censitárias e pesquisas amostrais.

• Entender os procedimentos para interpretar, planejar e realizar uma pesquisa estatística.

• Organizar um conjunto de dados.

Justificativa

O conteúdo desta unidade aborda a organização e a leitura de dados coletados em pesquisas, com ênfase nos aspectos contemplados pela habilidade EF08MA25: compreensão das medidas de tendência central e seu significado, assim como de possíveis distorções causadas por uma grande amplitude. Também são trabalhadas as habilidades EF08MA26 e EF08MA27, que, além do conteúdo matemático, propiciam a discussão de valores éticos e o levantamento de temas de urgência social.

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• conheçam o conceito de variável qualitativa, quantitativa discreta e quantitativa;

• entendam média aritmética; escrevam sequências numéricas em ordem crescente e decrescente;

• calculem porcentagens;

• entendam frequência absoluta e relativa de uma variável;

• construam tabelas de frequência com base nos dados de uma pesquisa e façam o reagrupamento de dados;

• leiam e elaborem diferentes tipos de gráficos estatísticos;

• efetuem operações com números reais.

Eficácia

Avaliação diagnóstica

É importante observar o que os estudantes já dominam sobre os pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade. Para isso, promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre os pré-requisitos elencados e a citar exemplos do cotidiano. Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retorne os conteúdos propostos para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

6,1%

Concordo plenamente Concordo em parte Discordo inteiramente Discordo em

-mundo/a-58291396. Acesso em: 13 maio 2022.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 4, 5, 7 e 10

Competências específicas 2, 3, 5, 7 e 8

Habilidades EF08MA25, EF08MA26 e EF08MA27

Foco nos TCTs

• Educação Ambiental

Tarcísio Garbellini

Fonte: GRÜN, Gianna-Carina. Como vai a vacinação contra a covid-19 no mundo? DW, [s l.], 17 set. 2021. Disponível em: https://www.dw.com/pt-br/ como-anda-a-vacina%C3%A7%C3%A3o-contra-a-covid-19-no

Fonte: BIERNATH, André; COSTA, Camilla; IDOETA, Paula. Coronavírus: a eficácia da CoronaVac e demais vacinas explicada em 4 gráficos. BBC News Brasil, São Paulo, 14 jan. 2021. Disponível em: https://www.bbc.com/ portuguese/brasil-55655588. Acesso em: 13 maio 2022.

global: o quanto a vacina protege?

Pesquisa de opinião: maioria tomaria vacina

Grupo vacinado Grupo placebo (não vacinados)

Idosa recebendo vacina. As vacinas são um dos melhores meios para controlar pandemias.

Estatística

A produção de vacinas para combater certas doenças precisa passar por três etapas antes de ser aprovada para aplicação na população: a primeira é uma pesquisa básica para identificar novas propostas; na segunda, há a realização de testes pré-clínicos, que visam mostrar a segurança e o potencial imunogênico da vacina; na terceira, a vacina é aplicada em voluntários, para que possa ser feita uma análise de sua eficácia.

Orientações

Resolução da questão 1

Infectados com algum sintoma:

o 167 4599 0, 036  ou 3, 6 %

1. Com base no infográfico “Eficácia global: o quanto a vacina protege?” aquelas que tomaram o placebo (não vacinados), qual é o percentual de pessoas que foram infectadas e tiveram algum sintoma de covid-19?

2. Com base nas informações apresentadas, você tomaria essa vacina contra a covid-19? Justifique.

Resposta pessoal.

3. Pesquise e discuta com os colegas a importância da vacina e escreva um texto breve sobre o assunto.

o 3,6%. Resposta pessoal.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• compreender e calcular a média, a moda e a mediana de um conjunto de dados;

• resolver e elaborar problemas que envolvam as medidas de tendência central;

• compreender o que são pesquisas censitárias e pesquisas amostrais.

O contexto da abertura desta unidade possibilita explorar noções de pesquisas amostrais e medidas de tendência central. Além disso, podem-se desenvolver a competência geral 10 e a competência específica 4

Aproveite o tema e organize uma discussão sobre a eficácia das vacinas contra a covid-19, de modo que os estudantes compreendam que seria desejável que a eficácia global da vacina fosse 100%, mas que a erradicação de uma doença raramente é alcançada. Comente que a vacina é

importante porque reduz os casos mais graves da doença, o que contribui para a diminuição de internações e até mesmo óbitos. É importante que haja sensibilidade de sua parte, pois muitos estudantes podem ter perdido parentes vítimas do coronavírus.

Espera-se que eles compreendam que a vacinação é fundamental, sendo, portanto, uma maneira de cuidar de si mesmo e dos outros. Assim, vacinar-se é um ato de autocuidado mas também de responsabilidade cidadã. Isso favorecerá o desenvolvimento da competência específica 7

Objetivos do capítulo

• Compreender e calcular a média, a moda e a mediana de um conjunto de dados.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam as medidas de tendência central.

• Utilizar tabelas de frequência para organizar um conjunto de dados.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 10

Competências específicas 7 e 8

Habilidades EF08MA25

Orientações

Em Para começar, indique aos estudantes a leitura do texto e dos dados da tabela. Em seguida, organize uma discussão sobre o significado de média e converse com eles acerca do total de mortes por covid-19 na semana cuja média foi 1 024 ou sobre o total em um mês mantendo-se essa média. Se possível, explore o gráfico diário de determinada semana e relacione-o com a média daquela semana, a fim de que eles compreendam o significado de média como um valor que representa um conjunto de dados.

É esperado que os estudantes respondam que significa que foi feito um cálculo do número de mortes em cada um desses dias para descobrir uma média, ou seja, o número de mortes em cada um desses sete dias não foi sempre o mesmo. Em alguns dias pode ter sido maior e em outros menor do que 1 024.

Medidas de tendência central

São Paulo – O Brasil completou quatro semanas com média diária de mortes pelo novo coronavírus igual ou superior a mil. Nos últimos sete dias, a média móvel de novos óbitos foi de 1 024 a cada 24 horas. O país registrou nesta quinta-feira, 30, 1 189 mortes e 58 271 novas infecções de coronavírus, diz levantamento do Estadão, G1, O Globo, Extra, Folha e UOL com secretarias estaduais de Saúde.

Situação no país com dados do consórcio de imprensa e do Ministério da Saúde

Significa que o número de mortes em cada um desses sete dias não foi sempre o mesmo. Em alguns dias pode ter sido maior e em outros menor do que 1 024.

Para aprofundar

Total de mortes

Novos registros de mortes em 24h

Média móvel de mortes (7 dias)

Total de testes positivos

Novos casos detectados em 24h, até às 20h de ontem

Total de recuperados*

*Números do Ministério da Saúde.

Fonte: OLIVEIRA, Sandy. Brasil contabiliza média diária de 1 024 mortes por covid-19. O Estado de S. Paulo, São Paulo, 30 jul. 2020. Disponível em: https://saude.estadao.com.br/noticias/geral,brasil-contabiliza-media-diaria-de-1024-mortes-por -covid-19,70003381984. Acesso em: 13 maio 2022.

Com base nessa notícia, o que significa dizer que a média móvel de mortes durante 7 dias foi de 1 024? Explique o raciocínio que você utilizou para responder.

O período pandêmico trouxe desafios para a comunidade docente, que se transformaram em objeto de pesquisa para muitos estudiosos do ensino de Matemática. Sugerimos para sua leitura o artigo a seguir, que traz um estudo que reflete sobre as dificuldades e os desafios atravessados pela escola durante a pandemia, além das estratégias de ensino utilizadas.

• RAMOS, F. H.; LEAL, T. F.; ALVES, L. L. O ensino de matemática em tempos de pandemia: desafios e dificuldades docentes. In: ENCONTRO GAÚCHO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 14., 2021, Pelotas. Anais [...]. Pelotas: UFPel, 2021. Disponível em: https://wp.ufpel.edu.br/egem2021/ files/2021/07/028.pdf. Acesso em: 28 jul. 2022.

Média aritmética

Em Estatística, as informações podem ser apresentadas por meio de quadros, tabelas, diagramas, gráficos e de uma quantidade excessiva de números que representam e caracterizam um conjunto de dados.

Como exemplo, observe os dados ao lado sobre a produção de arroz no Rio Grande do Sul em 2019.

A fim de apresentar de forma mais clara algumas características importantes dessa grande quantidade de dados, a Estatística utiliza as medidas de tendência central ou medidas de centralização para agrupar os dados observados em torno desses valores centrais. São elas: média aritmética, moda e mediana Essas três medidas de tendência central são utilizadas para resumir o conjunto de valores representativos do fenômeno que se pretende estudar.

Exemplos:

• Conhecendo as medidas da altura de um número de pessoas, é possível calcular uma altura que representa a tendência central desse grupo.

• Com base no conjunto das notas de um estudante durante o primeiro semestre na escola, pode-se determinar uma nota que representa, em média, a sua situação no semestre.

• Analisando os tempos de diversas viagens de um ônibus para um mesmo local, podemos obter um valor que indica, em média, o tempo geralmente gasto.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA25

Explique aos estudantes que, na análise estatística, é importante considerar diferentes aspectos do conjunto de dados e que uma medida de tendência central, por si só, pode não corresponder significativamente ao conjunto dos dados, sendo fundamental explorar as medidas em conjunto.

Para que os estudantes compreendam melhor, explore a média aritmética em diferentes situações. Por exemplo: se, em um conjunto de dez estudantes, sete deles tirarem 3 em uma prova, e dois tirarem 10, considerando 5 como nota para aprovação, a média desse conjunto de dados será 5,1; porém, mais da metade dos estudantes não atingiu nota suficiente para aprovação.

www.agricultura.rs.gov.br/upload/ arquivos/201909/04160605-revist -final-revisada.pdf. Acesso em: 13 maio 2022.

Em seguida, peça a eles que leiam a situação 1 do livro. Pergunte, por exemplo, o que aconteceria com a média se os salários de outros quatro funcionários fossem adicionados àqueles apresentados na situação, sendo todos de R$ 1.000,00, ou, então, todos de R$ 10.000,00.

O cálculo da média aritmética funciona como uma boa estimativa de valor para representar um conjunto de dados, mas há casos em que ela não é a melhor estimativa de uma realidade. Observe as duas situações a seguir.

Situação 1: O quadro apresenta os salários de 6 funcionários de uma agência de publicidade.

A média aritmética (ou simplesmente média) de um conjunto de números é igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total de valores. R$

Fonte: Dados fictícios.

Fonte: RIO GRANDE DO SUL. Governo do Estado. Radiografia daAgropecuáriaGaúcha2019 Porto Alegre: Governo do Estado, [2020]. p. 11. Disponível em: https://

Radiografia da Agropecuária Gaúcha

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA25

Explore a situação 2 e verifique se os estudantes compreendem que nesse conjunto de dados a média não representa adequadamente o conjunto dos valores dos salários.

Em seguida, discuta com os estudantes o conceito de amplitude e como essa medida pode colaborar para a interpretação de um conjunto de dados, como aqueles indicados nas situações 1 e 2

Em Pense e responda, ajude os estudantes a perceber que, ao calcular a média usando os rendimentos do gerente e do presidente, o valor da média salarial dos funcionários da agência é alterado consideravelmente, distorcendo, assim, a realidade salarial da empresa. Se for o caso, desenhe com eles os gráficos de barras para representar os valores dos dois conjuntos de dados e trace a linha média nesse gráfico.

Observando a média nas duas situações apresentadas, qual valor representaria melhor os dados? A média salarial de R$ 1.795,00 ou a de R$ 4.925,00?

R$ 1.795,00

A média desses salários é:

média = (soma dos salários dos 6 funcionários) : (número de funcionários)

média = (1 800 + 1 950 + 1 820 + 1 600 + 1 900 + 1 700) : 6

média = 10 770 : 6

média = 1 795

Situação 2: Considere que, ao conjunto de dados dos 6 funcionários da agência, sejam acrescentados os rendimentos do gerente e do presidente da empresa, respectivamente de R$ 8.630,00 e R$ 20.000,00.

R$ 1.800,00R$ 1.950,00R$ 1.820,00R$ 8.630,00

R$ 1.600,00R$ 1.900,00R$ 1.700,00R$ 20.000,00

Fonte: Dados fictícios.

A nova média agora é:

média = (soma dos salários dos 8 funcionários) : (número de funcionários)

média = (1 800 + 1 950 + 1 820 + 1 600 + 1 900 + 1 700 + 8 630 + + 20 000) : 8

média = 39 400 : 8

média = 4 925

Amplitude

Uma forma de analisar se a média representa bem os dados é calculando a amplitude do conjunto de dados.

A amplitude é a diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto de dados.

Na situação 1, tem-se a seguinte amplitude:

R$ 1.950,00 - R$ 1.600,00 = R$ 350,00

Na situação 2, tem-se a seguinte amplitude:

R$ 20.000,00 - R$ 1.600,00 = R$ 18.400,00

A amplitude é uma medida de dispersão dos dados, ou seja, quanto mais elevado for o valor da amplitude, mais dispersos (ou afastados) estarão os valores uns dos outros. E quanto menor o valor da amplitude, mais próximos os valores estarão uns dos outros.

É o estudo da amplitude que ajuda a identificar que a média R$ 1.795,00 representa bem o conjunto de dados da situação 1, pois ela está próxima aos valores desse conjunto; portanto, os valores desse conjunto estão menos dispersos.

Já a média R$ 4.925,00, no novo contexto de 8 funcionários, não é uma boa representação do conjunto dos dados da situação 2, pois pode mascarar a realidade dos rendimentos dos funcionários, uma vez que ela foi influenciada, em especial, pelos rendimentos de apenas dois funcionários, o gerente e o presidente da agência. Sendo assim, os valores do conjunto de dados utilizado estão mais dispersos.

Observe o exemplo abaixo.

• A imagem a seguir mostra uma conta referente ao consumo de energia elétrica, em kWh (quilowatt-hora), em um apartamento, no mês de julho de 2020.

Quilowatt-hora: unidade de medida de energia utilizada na designação do consumo de instalações elétricas. Para representá-la, usa-se o símbolo kWh.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA25

Jose Claudio Reis

Rua das Kamélyas 75 – ap 96

Note que o consumo médio mensal de energia elétrica nesse apartamento, em kWh, no período de janeiro a julho de 2020, é obtido calculando-se a média aritmética dos valores mensais apresentados na conta nesse mesmo período. Para isso, calculamos a soma dos valores e dividimos pela quantidade de meses.

= 274366310309312

++++++

Portanto, o consumo médio mensal foi de aproximadamente 269,3 kWh. É possível observar na conta que, em alguns meses, o consumo ficou abaixo da média (meses de junho e julho) e, em outros, ficou acima da média (janeiro, fevereiro, março, abril e maio).

Nas situações apresentadas, proponha aos estudantes que se organizem em duplas para resolver as questões. Estimule-os a analisar as barras que indicam o consumo e, antes de calcular, estimar um valor para a média desses dados. É importante reforçar o conceito de frequência, escrevendo os exemplos na lousa, e trabalhar seus significados.

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA25

Em Pense e responda apresente diferentes maneiras de obter a média igual a um (ou mais) valor do conjunto de dados. Por exemplo, podem-se considerar três valores iguais a 9, cuja média será 9, ou três valores diferentes, como 10, 8 e 9, cuja média será a mesma. Ao fazer ajustes nos valores para determinar a média, eles podem assimilar melhor o significado de média e compreender a necessidade de outras medidas de tendência central. Sugira aos estudantes que trabalhem em pequenos grupos. Depois, eles podem compartilhar as respostas e estratégias utilizadas.

Resolução da atividade 1

a)

Observe, a seguir, um exemplo de como facilitar o cálculo da média quando aparecem dados com frequência absoluta maior que 1.

• As notas de dez atletas em uma prova de ginástica olímpica em barras paralelas foram organizadas em um quadro. Veja abaixo.

Ginasta praticando em barras paralelas.

Nome FlávioNelsonEdilsonWilsonCláudioJoãoAdemarSérgioRobertoBreno Nota 6869976899

Como determinar a média dessas notas?

O valor da média aritmética pode ser igual ao valor de um elemento do conjunto de dados? Caso seja possível, dê um exemplo.

Resposta no Manual no Professor.

Atividades

Para determinar a nota média, basta adicionarmos todas as notas e dividirmos esse total pela quantidade de notas:

Como existem três notas 6, duas notas 8, quatro notas 9 e uma nota 7, podemos reescrever o cálculo acima da seguinte maneira:

Portanto, dizemos que 7,7 é a nota média entre as notas 6, 8, 9 e 7 com frequências 3, 2, 4 e 1, respectivamente.

1 Considere os conjuntos de dados apresentados e calcule a média aritmética de cada um deles.

8 e 10

2 Considere estes conjuntos de dados:

a) Calcule a média aritmética e a amplitude de A e B

b) Em qual dos dois conjuntos os dados são mais dispersos? Por quê?

3 O professor de Educação Física da escola de Francisco cronometrou o tempo gasto pelos estudantes em uma corrida de 100 metros para decidir quem vai participar do Campeonato Colegial de Atletismo da cidade.

a) Qual foi o tempo médio que os estudantes levaram para concluir a corrida?

No conjunto B, porque a amplitude dos dados é maior se comparada à do conjunto A 16 segundos

b) Quais estudantes obtiveram tempo acima da média? E abaixo da média?

c) Qual estudante conseguiu o melhor tempo?

Acima: Francisco e Alaor; abaixo: Beto e Mário. Mário (12s).

Resolução da atividade 2

a) Conjunto A: média =

b) O conjunto B, pois a amplitude dos seus dados é maior do que a do conjunto A.

Tempo

pelos estudantes para correr 100 metros

Resolução da atividade 3 Análise gráfica

a) Tempo médio = +++ ==4

64

b) Acima da média: Alaor (18s) e Francisco (20s). Abaixo da média: Mário(12s) e Beto (14s).

c) Mário (12s).

1616s

4. c) O grupo B tem os dados mais dispersos, pois sua amplitude é maior que a do grupo A. Isso significa que no grupo B a massa das mangas varia mais.

4 Uma distribuidora de frutas selecionou alguns lotes de mangas e separou-os em dois grupos cujas massas em quilogramas são apresentadas nos quadros a seguir.

Resolução da atividade 5 Primeiro, vamos determinar a média aritmética dos valores que o motorista recebe: o 76,39 6 12,73.

Em apenas dois casos o valor está acima dessa média: R$ 15,63 e R$ 18,10.

Alternativa b

Mangas.

a) Calcule a média das massas das mangas em cada um dos grupos.

b) Calcule a amplitude do conjunto de dados de cada um dos grupos.

Grupo A: média o 10,36; grupo B: média o 10,86. Grupo A: amplitude = 3,3; grupo B: amplitude = 4,53.

c) Qual dos conjuntos tem os dados mais dispersos? O que isso significa?

d) Como as amplitudes dos conjuntos de dados dos grupos se relacionam com as médias?

Resposta no Manual do Professor.

5 (FATEC-SP) Carlos está desempregado já há algum tempo e resolveu estudar a possibilidade de se tornar motorista de aplicativos. Pesquisando as possibilidades, encontrou uma simulação de quanto recebem os motoristas de aplicativos em viagens curtas de 5 quilômetros.

Resolução da atividade 6 O time tem 11 jogares, logo, precisamos descobrir a soma das alturas desses 11 jogadores (S11):

++++ = S 1,78 1, 82 1, 84 1, 86 15 1, 93 11

S11 + 7,3 = 15 1,93

S11 = 28,95 - 7,3

S11 = 21,65 (representa a soma de todas as alturas dos 11 jogadores).

Agora, calcula-se a soma das alturas dos três jogadores que o técnico pretende substituir a fim de tonar a média, no mínimo, 1,99: ++ = S 21,652 ,02 15 1, 99 3

S3 = 6,18

Logo, a soma das alturas dos três jogadores que irão substituir os mais baixos será de 6,18 m.

Média == 6,18 3 2, 06.

Alternativa d

Carlos trabalhará apenas com plataformas nas quais o valor recebido pelo motorista para esse tipo de viagem esteja acima da média aritmética dos valores encontrados na tabela. Assim, a quantidade de aplicativos que atende às exigências de Carlos é: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

6 (ENEM) O técnico de um time de basquete pretende aumentar a estatura média de sua equipe de 1,93 m para, no mínimo, 1,99 m. Para tanto, dentre os 15 jogadores que fazem parte de sua equipe, irá substituir os quatro mais baixos, de estaturas: 1,78 m, 1,82 m, 1,84 m e 1,86 m. Para isso, o técnico contratou um novo jogador de 2,02 m. Os outros três jogadores que ele ainda precisa contratar devem satisfazer à sua necessidade de aumentar a média das estaturas da equipe. Ele fixará a média das estaturas para os três jogadores que ainda precisa contratar dentro do critério inicialmente estabelecido. Qual deverá ser a média mínima das estaturas, em metro, que ele deverá fixar para o grupo de três novos jogadores que ainda irá contratar?

Alternativa b Alternativa d

a) 1,96 b) 1,98 c) 2,05 d) 2,06 e) 2,08

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA25

Resolução da atividade 4

a) Grupo A: Soma de todos os valores: 124,27;

total de valores: 12.

Média = 124,27 : 12 o 10,36.

Grupo B: Soma de todos os valores: 130,31;

total de valores: 12.

Média = 130,31 : 12 o 10,86.

b) Amplitude do conjunto A: 12,25 - 8,95 = 3,3.

Amplitude do conjunto B: 13,28 - 8,75 = 4,53.

c) O grupo B tem os dados mais dispersos, pois sua amplitude é maior que a do grupo A Isso significa que, no grupo B, a massa das mangas varia mais.

d) As amplitudes apontam quanto os dados estão próximos ou dispersos, e, como os valores encontrados para as amplitudes não são tão diferentes um do outro, pode-se concluir que os dados de ambos os grupos não estão muito dispersos. Isso significa dizer que as médias de ambos os conjuntos não estão influenciadas por algum dado baixo ou alto demais; logo, ambas as médias dos grupos A e B representam bem os dados presentes neles.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA25

Resolução da atividade 7 = +++ = Média 829263 6 8

= +++ == 8181218 8 56 8 7  pontos

Assim, com 7 pontos o estudante será aprovado.

Resolução da atividade 8

Primeiro, calcula-se a média dos percentuais:

++ == 6, 32 ,9 3, 7 3 12 ,9 3 4, 3.

Dividindo essa taxa por 100, tem-se:

= 4, 3 100 0, 043

1 000 + 1 000 0,043 = 1 043.

O custo do produto será:

R$ 1.043,00.

Alternativa c

Pergunte aos estudantes se eles conhecem essa taxa e, se achar necessário, compare preços de itens de supermercado atualmente com preços de 5 anos atrás; essa é uma ótima forma de trabalhar inflação.

A atividade 9 possibilita que os estudantes compartilhem os dados e resultados sobre a média do consumo de energia elétrica. Incentive-os a expressar as estratégias que utilizaram.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 8

7 O fluxograma abaixo mostra como se calcula a média de um estudante, depois do fechamento das notas do 4? bimestre, para verificar se ele foi aprovado, ficou retido ou fará recuperação.

Média < 3?

Média l 7?

Um estudante obteve as seguintes notas bimestrais: P1 P2 P3 P4 8,09,06,06,0

Ele será aprovado, retido ou fará recuperação?

Aprovado.

8 (UNCISAL) A tabela a seguir apresenta a inflação anual no Brasil no triênio 2016-2018, segundo dados do IBGE.

Considerando-se as informações precedentes, um produto que custava R$ 1.000,00 em dezembro de 2018 e que tenha sido reajustado em janeiro de 2019 pela média aritmética da inflação do triênio 2016-2018 passou a custar, após o reajuste, a) 1 029,00 b) 1037,00 c) 1043,00 d) 1 172,00 e) 1 133,00

9 Traga para a sala de aula uma conta de energia elétrica de sua residência. Calcule a média de consumo dos últimos cinco meses e compare esse resultado com o dos colegas. Após analisar as contas que deram um valor mais alto, discuta com os colegas atitudes que poderiam diminuir a média de consumo nos próximos cinco meses.

Alternativa c Resposta pessoal.

Mediana

A mediana é o valor central de um conjunto numérico organizado em ordem crescente ou decrescente. Quando esse conjunto possui um número ímpar, a mediana é o próprio elemento central; quando possui um número par de elementos, a mediana será a média aritmética dos dois elementos centrais.

• Cálculo da mediana para um número ímpar de dados

No quadro abaixo temos o valor das notas de sete estudantes finalistas de um concurso de redação.

7,09,06,58,59,07,57,5

Fonte: Dados fictícios.

Escrevendo as notas em ordem crescente, temos:

6,5; 7,0; 7,5; 7,5; 8,5; 9,0; 9,0

valor central

Como o número de notas é ímpar, a mediana é o valor central desse conjunto; portanto, a mediana é 7,5.

• A mediana pode ser interpretada de maneira intuitiva, já que ela divide em duas partes iguais um conjunto de dados. No conjunto das sete notas, 50% dos estudantes têm nota abaixo ou igual 7,5, e os outros 50% têm nota acima ou igual a esse valor.

• A mediana 7,5 não é influenciada pelos valores extremos 6,5 e 9,0, ou seja, pela amplitude 2,5 (pois 9,0 - 6,5 = 2,5) do conjunto de dados.

• Cálculo da mediana para um número par de dados

Os salários de oito funcionários de uma empresa estão indicados, em reais, no quadro a seguir.

R$ 1.700,00R$ 1.850,00R$ 1.720,00R$ 8.530,00

R$ 1.500,00R$ 1.800,00R$ 1.600,00R$ 19.900,00

Fonte: Dados fictícios.

O conjunto tem 8 elementos, portanto, a quantidade de elementos é par. Ao colocá-los em ordem crescente, temos:

1 500; 1 600; 1 700; 1 720; 1 800; 1 850; 8 530; 19 900

valores centrais da amostra

Como a quantidade de elementos do conjunto é par, sua mediana é calculada pela média dos dois valores centrais desse conjunto:

(1 720 + 1 800) : 2 = 1 760

Portanto, a mediana é R$ 1.760,00.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA25

Depois de ler a definição de mediana, pode-se explorá-la na resolução dos exemplos. Além disso, sugerimos retomar alguns casos trabalhados para abordar média e amplitude, por exemplo, e solicitar aos estudantes que determinem a mediana, fazendo novas análises também com base nessa medida.

É importante, ainda, explorar a média e a amplitude nas situações propostas a fim de que percebam e compreendam a importância de relacionar diferentes medidas de tendência central na análise estatística.

No conjunto dos 8 salários, 50% dos funcionários recebem abaixo de R$ 1.760,00, e os outros 50% recebem acima desse valor.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA25

Resolução da atividade 1

a) Ao organizar esses dados em ordem crescente, temos que a altura na posição central é de 1,68 m.

b) Ao organizar esses dados em ordem crescente, temos que a altura na posição central é de 1,65 m. Resolução da atividade 2

a) Ao organizar esses dados em ordem crescente, temos que o valor na posição central de R$ 5.000,00 e é chamado de mediana

b) Nesse caso, o número de dados do novo conjunto seria par, e a mediana seria calculada como a média aritmética entre os dois termos centrais, que são R$ 5.000,00 e R$ 3.500,00.

Logo:

mediana = (5 000 + 3 500)  : 2 = = 4 250 4 R$ 4.250,00.

c) Veja rodapé.

d) A mediana é o elemento central que divide o conjunto principal em dois subconjuntos com o mesmo número de elementos.

A média é o valor que representa o salário que a empresa paga por funcionário.

e) Amplitude: R $ 89.000,00 (90 000 - 1 000). Esse valor é muito alto, apontando que os dados estão muito dispersos. Isso indica que a média aritmética encontrada não representa bem os valores desse conjunto de dados, pois ela está sendo influenciada por um valor alto: R$ 90.000,00.

f)

Atividades

1 Calcule a mediana dos conjuntos de dados sobre a altura de 7 estudantes do 8? ano A e de 7 do 8? ano B que fazem aula de Educação Física com o professor Rodolfo.

Altura de 7 estudantes do 8? ano A

de 7 estudantes do 8? ano B

2 Observe os salários dos 21 funcionários de uma clínica no quadro a seguir.

R$ 2.500,00 R$ 6.000,00 R$ 3.000,00

R$ 5.000,00 R$ 1.000,00 R$ 25.000,00

R$ 25.000,00R$ 25.000,00 R$ 1.000,00

R$ 6.000,00 R$ 3.500,00 R$ 10.000,00

R$ 1.000,00 R$ 10.000,00 R$ 2.000,00

R$ 15.000,00 R$ 2.000,00 R$ 1.000,00

R$ 3.000,00 R$ 90.000,00R$ 25.000,00

Respostas no Manual do Professor.

a) No conjunto de dados apresentados existe um valor que ocupa a posição central. Qual é esse valor? Como ele é chamado?

b) Se um novo funcionário for contratado com salário igual a R$ 3.500,00, qual será a mediana desse novo conjunto de dados? Como se calcula esse valor?

c) Qual é a média aritmética do conjunto de dados dos 21 funcionários?

d) Considerando a situação inicial e os itens anteriores, o que a mediana representa? E a média aritmética?

e) Calculem a amplitude do conjunto de dados. Como essa amplitude pode se relacionar com a média?

f) No caderno, organizem os salários em uma tabela de distribuição de frequências, como a mostrada a seguir. Acrescente o total de linhas necessárias para representar todos os salários com as respectivas frequências.

Quadro de distribuição de frequências Salários

Depois de responder às perguntas, conversem sobre como foi o processo de resolução.

3 O que se deve fazer para determinar a mediana das alturas de:

a) 9 pessoas, todas com alturas diferentes entre si?

b) 10 pessoas, todas com alturas diferentes entre si?

Respostas no Manual do Professor.

Resolução da atividade 3

a) Primeiro, devem-se organizar os dados em ordem crescente e, em seguida, observar a quantidade de elementos. Como a quantidade é ímpar, a mediana será a 5; altura.

b) Primeiro, devem-se organizar os dados em ordem crescente e, em seguida, observar a quantidade de elementos. Como a quantidade é par, a mediana será a média entre a 5; e a 6; alturas.

4 (ENEM 2021 REAPLICAÇÃO) Até a Copa de 2010, apenas sete jogadores haviam conseguido o feito de marcar 8 ou mais gols em uma mesma edição da Copa do Mundo. O quadro apresenta os anos das edições da copa nas quais ocorreram esses feitos, quais foram os jogadores que os realizaram e os respectivos números de gols marcados por cada um deles.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA25

Para facilitar a análise sobre a quantidade de gols marcados por esses artilheiros nas referidas copas, foi calculada a mediana da distribuição dos números de gols marcados por eles nas sete copas especificadas no quadro.

A mediana dessa distribuição é igual a Alternativa a a) 9,0 b) 9,7 c) 10,0 d) 10,2 e) 13,0

5 O gráfico mostra o número de suínos abatidos anualmente, em milhões de cabeças, de 2011 a 2017.

Média o 38,4; mediana = 37,13. Como a mediana é um valor abaixo da média, podemos considerar que há valores maiores que a média

Proponha aos estudantes que discutam e argumentem sobre a importância da moda em um conjunto de dados e como ela se relaciona com as demais medidas. Com base nas atividades dessa página, verifique se os estudantes compreenderam a definição de moda e se conseguem utilizar esse conhecimento na resolução de problemas. Se julgar oportuno, proponha que elaborem alguns problemas que envolvam as medidas de tendência central estudadas. Resolução da atividade 4 Colocam-se os dados em ordem crescente: 8, 8, 9, 9, 10, 11, 13. O elemento central é 9, logo, 9 é a mediana do número de gols. Alternativa a Resolução da atividade 5 Veja o rodapé.

Fonte: IBGE. Indicadores IBGE: estatística da produção pecuária. Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 38. Disponível em: https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/media/ com_mediaibge/arquivos/13cd1316db83af017e82a7621772766c.doc. Acesso em: 13 maio 2022.

Determine a média e a mediana para descrever esses dados e interpretar cada uma delas.

Resolução da atividade 5

Média = 34 ,8736, 0136 ,2937,1339 ,2642, 3243 ,19 7 38 ,4

Organizando esses dados em ordem crescente, e observando que há uma quantidade ímpar de elementos, temos que a mediana será o 4? dado, ou seja 37,13. Como a mediana é um valor abaixo da média, podemos considerar que há valores maiores que a média com esse comportamento.

261

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA25

Um bom contexto para trabalhar o conceito de moda é pedir aos estudantes que digam sua idade, anotar cada informação na lousa e organizar os dados com eles. Como as idades são próximas, provavelmente será obtido um conjunto multimodal.

Em Pense e responda peça para os estudantes organizarem os dados em ordem crescente, caso tenham dificuldade.

Resolução do Pense e responda

Observando o quadro, o maior valor que se repete mais vezes é o 45; portanto, a moda é 45.

Resolução da atividade 1

a) A moda do conjunto é 3; ele é unimodal.

b) A moda do conjunto é 7; ele é unimodal.

c) O conjunto não tem moda.

d) O conjunto tem duas modas, 1,42 e 1,45, logo, é bimodal. Resolução da atividade 2

a) 20 anos

b) Como o quadro apresenta apenas uma moda, dizemos que se trata de um quadro unimodal.

c) O novo conjunto teria outra moda (25 anos) e se tornaria bimodal.

Moda

Qual é a moda nesse conjunto de dados? Descreva o que você fez para responder.

253234

234525

452576

562893

986745

8245

A moda do conjunto de dados é 45; ele é unimodal.

A medida de tendência central, que consiste no valor observado com mais frequência ou que mais se repete em um conjunto de dados, é chamada de moda

Um conjunto pode ser unimodal, quando tiver uma só moda, bimodal, quando tiver duas modas, e multimodal, quando tiver várias modas. Quando nenhum dado se repete com maior frequência que outros, dizemos que o conjunto é amodal

No quadro a seguir, exemplificam-se algumas modas.

Conjunto de dados Moda

bom, regular, ruim, bom, ótimo bom (unimodal) 5, 3, 8, 2, 8, 4, 8 8 (unimodal) 10, 12, 9, 15, 20, 34 amodal 7, 8, 9, 7, 5, 9 7 e 9 (bimodal) -5, 6, -5, 7, 6, 30, 30, 10 -5, 6 e 30 (multimodal)

1 Para cada sequência de números, encontre a moda e classifique o conjunto de números em unimodal, bimodal, multimodal ou amodal.

a)

b)

c) 15, 16, 17, 18, 19, 20

Não

d) 1,32; 1,34; 1,42; 1,42; 1,45; 1,45; 1,57

1,42 e

2 Uma pesquisa feita com os pais dos estudantes do 8? ano da Escola Fortaleza queria saber a idade em que eles praticam/praticavam mais esportes. Veja no quadro a seguir os dados obtidos.

Idades em que os pais dos estudantes mais praticam/praticavam

Idades em que mais praticam ou praticavam esportes Idade (anos)Frequência 15 4 16 2 18 3 19 3 20 8 22 2 25 3 Total 25 Fonte: Dados fictícios. Idade em que mais praticam ou praticavam esporte 15161819 Idade(emanos) 202225 4 2 33 8 2 Frequência3 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Observando a relação de idades em que se praticam mais esportes na pesquisa, faça o que se pede nos itens a seguir.

a) Qual é o dado que mais se repete no quadro?

b) Classifique o conjunto de dados quanto ao número de modas.

c) Acrescentando cinco dados ao conjunto, todos iguais a 25 anos, como ficaria classificado esse novo conjunto quanto ao número de modas?

d) Elabore uma tabela de distribuição de frequências para representar o conjunto de dados das idades em que os pais mais praticam/praticavam esportes.

no Manual do Professor.

Fonte:

Faça no caderno

Fonte: Dados fictícios. Resposta

3 Em uma pesquisa feita com oito pessoas, foi investigado o consumo diário de sal, em gramas, obtendo-se o seguinte resultado:

Pessoa ABCDEFGH

Consumo

9121471310812

Fonte: Dados fictícios.

III. A média é igual a 75% e o índice de germinação é 90%. (Errado).

IV. O índice de germinação é igual a 90% e a moda também é igual a 90%. (Certo).

V. A mediana é 85% e o índice de germinação é igual 90%. (Errado). Alternativa d

O sal deve ser consumido com moderação para evitar doenças cardiovasculares e renais.

Determine e interprete os valores referentes ao consumo individual.

a) média 10,625; em média, as 8 pessoas consomem 10,625 gramas diárias de sal

b) mediana

11; 4 pessoas consomem menos de 11 gramas diárias de sal e 4 consomem mais que 11 gramas diárias

c) moda 12; 2 das 8 pessoas consomem 12 gramas diárias de sal

4 Considere os números do conjunto a seguir: 10, 15, 7, 7, -4, 0, 8 e 5. Calcule a média, a mediana e a moda desses números.

Média = 6; mediana = 7; moda = 7.

5 (ENEM 2021 REAPLICAÇÃO) A qualidade de sementes é verificada, entre outros fatores, pelo índice de germinação. Uma grande empresa afirma que o índice de germinação de suas sementes é de 90%. Essa empresa e dez pequenos produtores que formam uma cooperativa estão concorrendo a um auxílio financeiro que permitirá aumentar os negócios. Os cooperados querem preparar um documento técnico comparando a qualidade de suas sementes com as da empresa. Eles discutiram a possibilidade de colocar nesse documento frases como:

I. A média de germinação de nossas sementes é superior ao índice de germinação anunciado pela empresa.

II. A mediana de germinação de nossas sementes é superior ao índice de germinação anunciado pela empresa.

III. A média de germinação de nossas sementes é igual ao índice de germinação anunciado pela empresa.

IV. A moda de germinação de nossas sementes é igual ao índice de germinação anunciado pela empresa.

V. A mediana de germinação de nossas sementes é igual ao índice de germinação anunciado pela empresa.

Eles decidiram anotar a porcentagem de germinação das sementes de cada cooperado, analisar as frases e decidir qual era a correta para, então, colocá-la no documento.

As porcentagens anotadas foram 90%, 65%, 70%, 75%, 95%, 95%, 90%, 80%, 80% e 90%. A frase a ser colocada no documento é a de número Alternativa d

a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA25

Resolução da atividade 3

a) Média = 912147 1310 812 8 10 , 625 +++++++ =

1310 812 8 10 , 625 +++++ =

b) Mediana = 10 12 2 11 + =

c) Moda = 12.

Resolução da atividade 4

Média = 40 57 78 1015

Moda = 7, unimodal.

Mediana = 7   7 2 14 2 7. + ==

Resolução da atividade 5 Analisando todas as afirmativas:

I.

(Errado).

II. Colocando as porcentagens em ordem crescente, temos: 65%, 70%, 75%, 80%, 80%, 90% 90%, 90%, 95%, 95% Mediana 80% 90% 2 85% = + = (Errado).

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA25

Resolução da atividade 6

a) A maior foi 59 anos e a menor 14 anos.

b) == 7 35 1 5 20%

c) 41, 24, 39, 35, 37, 21, 40 , 29, 33, 26, 32, 38, 25, 22, 38, 30, 37 e 20 São 18 pessoas.

d) Como são 35 pessoas, a mediana é o termo central das idades em ordem crescente (18? termo), ou seja, 37 anos.

14, 15, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 29, 30, 32, 33, 35, 37, 37, 38,

38, 39, 40, 40, 42, 44, 44, 45, 50, 51, 55, 55, 56, 58, 59

e) O conjunto é multimodal: 15, 37, 38, 40, 44, 55.

f) 59 - 14 = 45 4 45 anos

Resolução da atividade 7

a) 3 . 6 = 18 4 18 estudantes.

b) Veja o rodapé.

c) Mediana = + = 4446 2 45  kg 4

4 45 kg.

Moda: 46 kg e 61 kg, conjunto bimodal.

6 O pesquisador de uma rede de televisão abordou 35 pessoas ao acaso e perguntou-lhes a idade, em anos. O resultado é mostrado a seguir.

a) Qual foi a maior idade encontrada? E a menor?

A maior foi 59 anos e a menor 14 anos.

b) Qual é o percentual das pessoas cuja idade é maior ou igual a 50 anos? 20%

c) Quantas pessoas têm idade contida no intervalo [20, 40]?

d) Calcule a mediana da idade dessas pessoas.

e) Qual é a moda dessas idades?

f) Qual é a amplitude desse conjunto de dados?

37 anos

18 pessoas

O conjunto é multimodal: 15, 37, 38, 40, 44, 55. 45 anos

7 A massa corporal, em quilogramas, dos estudantes de uma escola de natação é mostrada no quadro a seguir.

YanLev/Shutterstock.com

Adolescentes em aula de natação.

Com base nesses dados, responda às questões a seguir.

a) Quantos estudantes há nessa escola?

b) Qual é a massa corporal média desses estudantes?

18 estudantes o 45,8 kg

c) Quais são a mediana e a moda desse conjunto de dados?

Mediana: 45 kg; modas: 46 kg e 61 kg.

264

Resolução da atividade 7

b) Média =

708158791046372896488

62779368110831135810578

957166101629873857460

8261102729676976387109

Fonte: Dados fictícios.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA25

Resolução da atividade 8

Organizando os números em ordem crescente: 58, 58, 60, 61, 62, 62, 63, 63, 64, 66, 68, 70, 71, 72, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 85, 87, 88, 89, 93, 95, 96, 97, 98, 101, 102, 104, 105, 109, 110, 113

Calcule a mediana e a(s) moda(s) desse conjunto de dados.

9 A renda familiar mensal, em quantidade de salários mínimos, de 25 famílias de um certo condomínio é apresentada no quadro a seguir.

c) Média = = 7,056 salários mínimos; mediana = = 7,2 salários mínimos; moda = 8,4 salários mínimos. A média salarial é um valor abaixo da mediana, mostrando que a maior parte dos salários está abaixo da média.

a) Qual é a menor renda familiar observada? E a maior?

Fonte: Dados fictícios. A menor é de 4 salários mínimos e a maior é de 10,3 salários mínimos.

b) Quantas dessas famílias têm renda mensal maior do que 6 salários mínimos? 15 famílias

c) Determine as medidas de tendência central (média, mediana e moda) e as interprete.

d) Calcule o percentual de famílias que ganham 9 salários mínimos ou mais.

5 25 20% =

Mediana 7879 2 78 ,5 78 ,5 cm

= + =4 4

Modas: 58 cm, 62 cm, 63 cm e 72 cm.

Resolução da atividade 9

a) A menor renda familiar mensal é de 4 salários mínimos e a maior é de 10,3 salários mínimos.

b) 15 famílias

c) Média: 7,056 salários mínimos. Soma de todos os valores: 176,4; quantidade de famílias: 25 Média = 176,4 : 25 = 7,056 4 4 7,056 salários mínimos.

Organizando os números em ordem crescente: 4,0; 4,1; 4,2; 4,6; 4,8; 5,1; 5,1; 5,5; 5,8; 5,8; 6,8; 7,1; 7,2; 7,5; 7,7; 8,4; 8,4; 8,4; 8,8; 8,9; 9,0; 9,0; 9,7; 10,2; 10,3.

Mediana = 7,2 4 7,2 salários mínimos.

Moda = 8,4 4 8,4 salários mínimos.

d) = 5 25 20%

8 Os dados a seguir apresentam o comprimento, em centímetros, da circunferência abdominal de 40 pessoas.

Medida da circunferência abdominal.

Mediana: 78,5 cm. Modas: 58 cm, 62 cm, 63 cm e 72 cm.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA25

Resolução da atividade 10

a) Distância.

b) A maior distância percorrida foi de 7,2 km e a menor foi de 5,8 km.

c) 8 estudantes

d) = 5 25 20%

e) Soma das distâncias: 98,4 km Média = 98,4 : 15 = 6,56 4 6,56 km.

f) Escrevendo as distâncias em ordem crescente, a mediana é a 8; distância, ou seja, 6,6 km, e as modas são 5,1 km e 7,2 km; pois aparecem duas vezes cada.

Resolução da atividade 11

A média é igual à soma das áreas dividida por 8. Logo:

Média = 7 862 7 o 1 123,14 4

4 1 123,14 km2

A mediana é igual a 688, pois os dados ordenados são: 8, 21, 617, 688, 1 245, 1 421 e 3 862.

O conjunto de dados é amodal.

A atividade aborda a temática do desmatamento no Brasil. Converse com os estudantes sobre os malefícios que essa prática criminosa causa à fauna e à flora. Importância do cuidado com meio ambiente e como isso influencia em nossa vida. Esse diálogo favorece o desenvolvimento da competência específica 7 e da competência geral 10

10 O professor de Educação Física fez uma pesquisa para saber qual a distância, em quilômetros, que quinze estudantes do Ensino Médio conseguiram correr em 45 minutos. O resultado é mostrado a seguir.

a) Qual é a variável estatística em estudo?

b) Qual foi a maior distância percorrida? E a menor?

c) Quantos estudantes correram mais de 6 km e menos de 7 km?

d) Qual é o percentual dos estudantes que correram mais de 7 km?

e) Qual foi a distância média percorrida pelos estudantes?

Distância. A maior distância percorrida foi de 7,2 km e a menor foi de 5,8 km. 8 estudantes 3 15 20% = 6,56 km A mediana é 6,6 km e as modas são 5,9 km e 7,2 km.

f) Calcule a mediana e a moda desse conjunto de dados. 11 Considere a tabela a seguir.

Desmatamento na Região Norte em 2019

=5294. Acesso em: 13 maio 2022.

Média: aproximadamente 1 123,1 km2; mediana = 688 km2. Esse conjunto de dados é amodal.

moda do desmatamento na Região Norte em 2019.

Fonte: A ESTIMATIVA da taxa de desmatamento por corte raso para a Amazônia Legal em 2019 é de 9 762 km². Inpe, São José dos Campos, 18 nov. 2019. Notícias. Disponível em: http://www.inpe.br/noticias/noticia.php?Cod_Noticia

Calcule a média, a mediana e a

Vista de parte desmatada da Floresta Amazônica perto de Manaus (AM), 2020.

12 (CESGRANRIO-RJ) Um carteiro decide registrar o número de cartas enviadas a um endereço nos últimos 7 dias. No entanto, ele se esquece do número de cartas do primeiro dia, lembrando-se apenas daqueles correspondentes aos 6 dias restantes: 3, 5, 4, 5, 4 e 3, e de que, nos 7 dias considerados, a média, a mediana e a moda foram iguais. O número de cartas enviadas no primeiro dia foi:

a) 2.

b) 3.

c) 4.

Resolução de Lógico, é lógica! As cores dos presentes embalados inicialmente são:

d) 5.

e) 6.

13 Elabore três problemas em que seja conveniente calcular a média em um, a moda em outro e a mediana no outro. Em seguida, resolva-os.

Alternativa c Resposta pessoal.

(UFU-MG) Em uma reunião para comemorar o Ano Novo, 13 familiares estavam reunidos em um salão de festas e cada um levou um presente embalado com apenas uma cor, sendo que 3 presentes estavam embalados na cor branca, 4 na cor cinza, 4 na cor amarela e 2 na cor verde. Dois membros dessa família fizeram as seguintes afirmações independentes.

Membro I. Se eu trocar a cor da embalagem do meu presente por uma nova embalagem na cor verde, então a moda passará a ser somente presentes embalados de cinza.

Membro II. Se mais uma pessoa chegar à nossa reunião e trouxer um presente embalado da mesma cor que a do meu presente, então a embalagem cinza deixará de ser moda.

Baseando-se nas informações apresentadas, é correto afirmar que:

Alternativa a

a) os membros I e II trouxeram presentes com embalagens amarelas.

b) o membro I trouxe um presente com embalagem cinza e o membro II, com embalagem amarela.

c) o membro I trouxe um presente com embalagem amarela e o membro II, com embalagem cinza.

d) os membros I e II trouxeram presentes com embalagens cinza.

O jogo dos 3Ms

[...]

Denominamos nosso jogo de “O jogo dos 3Ms”, por considerar as três principais medidas de tendência central da Estatística Descritiva. [...]

Para a realização do “Jogo dos 3Ms”, utilizamos:

1 – Material

O jogo requer 36 cartas de um baralho comum, numeradas de 2 a 10, com quatro cartas de cada número e uma folha de papel para anotações das jogadas. Para este jogo, consideramos apenas o número da carta, e não o naipe.

2 – Objetivo

Obter o maior número de pontos. As pontuações serão obtidas em função dos maiores valores de uma das medidas de posição, dentre a média, a mediana ou a moda. Em cada rodada, um dos jogadores escolhe qual dessas medidas de posição será utilizada.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA25

Resolução da atividade 12

O número de cartas é um número natural. Sendo xo número de cartas do 1? dia, temos:

Média = ++++++ = + xx 3 54543 7 24 7

Colocando o número de cartas em ordem crescente:

Se x k

Se x = 4:

A mediana é 4.

A mediana é 4.

Se x l 5: 3, 3, 4, 4, x, 5, 5 4 A mediana é 4.

A média, a moda e a mediana são iguais a 4, logo:

Cor branca B(3) cinzaC(4) amarelaA(4) verdeV(2)

B B B C C C C A A A A V V A moda do conjunto é cinza ou amarela.

Membro I: para a moda ser somente cinza, o membro I trocará uma embalagem amarela (A) por uma embalagem verde (V).

B B B C C C C A A A V V V Membro II: a cor da embalagem do presente que chegar à reunião deverá ser amarela (A), que é a cor do “meu” presente. Desse modo, teremos 5 embalagens amarelas (A), e a cor cinza (4 embalagens) deixará de ser moda.

Portanto, a resposta é a alternativa a Em É hora do jogo , organize a turma para a realização do jogo. Leia as informações com os estudantes. Se necessário, esclareça possíveis dúvidas deles antes de iniciar. Lembre-os de que precisarão calcular a média, a moda e a mediana para obter a pontuação.

Essa atividade auxilia no desenvolvimento da competência específica 8

O conteúdo trabalhado favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA25

Aproveite a oportunidade para promover habilidades de relacionamento, incentivando a competição saudável e respeitosa.

Alternativa c

Na atividade 13, após os estudantes resolverem os problemas que elaboraram, peça a eles que os troquem com um colega para que um resolva os que o outro elaborou e, ao final, corrijam juntos as estratégias e respostas obtidas.

Orientações

Simulação de uma partida do “jogo dos 3Ms”, supondo que estejam jogando apenas dois jogadores (A e B).

Na primeira rodada, o jogador A recebeu cartas de numerações 2, 3, 6, 8 e 8; o jogador B recebeu 2, 2, 7, 8, 9.

O jogador A possui média = 5,4; moda = 8 e mediana = 6.

O jogador B possui média = 5,6; moda = 2 e mediana = 6.

O jogador A optou por comprar uma carta e obteve a carta de número 5 (devendo eliminar o 2).

Com isso, ficou com média = 6, moda = 8 e mediana = 6.

O jogador B optou por comprar duas cartas e obteve as cartas de número 2 e 4 (devendo eliminar suas duas cartas de número 2).

Com isso, ficou com média = 6, a moda deixou de existir e a mediana = 7.

Realizada essa etapa, cada jogador deve tirar uma carta do baralho.

O jogador A sacou a carta de número 8 e o jogador B sacou a carta de número 7 do monte. Então, o jogador A escolheu a mediana como medida de posição usada na contagem dessa rodada. Com isso, quem venceu a rodada foi o jogador B, que teve a mediana maior que a do jogador A. Resoluções

Problema 1: E possível ter valores iguais para média e mediana, por exemplo, se tirar as cartas 2, 3, 4, 5, 6.

Problema 2: E possível ter valores iguais para mediana e moda, por exemplo, se tirar as cartas 2, 4, 4, 4, 6.

Problema 3: E possível ter valores iguais para média, moda e mediana, por exemplo, se tirar as cartas 2, 4, 4, 4, 6.

Problema 4: Tirando as maiores cartas o maior número de vezes, ou seja, 10, 10, 10, 10, 9. Com isso a média será 9,8.

Problema 5: Ao tirar as cartas 9, 10, 10, 10, 10, a mediana será 10 e será a mais alta.

Problema 6: Ao tirar as cartas 9, 10, 10, 10, 10, a moda será 10 e será a mais alta.

Problema 7 : Não, na sequência de cartas 2, 2, 2, 9, 9, teremos: média = 4,8 e mediana = 2.

Problema 8: Obtendo as maiores cartas o maior número de vezes possível, como visto no problema 4.

3.1 – Pode ser jogado por dois, três ou quatro jogadores. Cada partida consiste em três rodadas. Em cada rodada serão distribuídas, no sentido anti-horário, cinco cartas para cada jogador. A partir dessas cartas, cada jogador irá calcular a média, a mediana e a moda referente aos números das cinco cartas. Os valores da média, da mediana e da moda correspondem às pontuações do jogador naquela rodada.

3.2 – A rodada se inicia com o primeiro jogador que recebeu as cartas. Em cada rodada o jogador tem a opção de comprar até duas cartas, uma de cada vez, do maço ou dentre aquelas já descartadas sobre a mesa, porém terá que descartar uma carta para cada carta comprada.

3.3 – Depois de realizada a operação de compra e descarte de cartas, cada jogador retira uma carta do maço. Aquele que retirou a maior carta escolhe a medida de posição para a pontuação daquela rodada. Caso ocorram empates, a operação é repetida dentre aqueles que empataram até que se defina quem vai escolher a medida de posição.

3.4 – Para finalizar a rodada, todos expõem as cinco cartas sobre a mesa com os valores já calculados e anotados em uma folha de papel para as três medidas de posição: média, mediana e moda. Quando as cinco cartas são diferentes, então a moda não existe, ou seja, o conjunto é amodal, e, nesse caso, a pontuação do jogador para a medida moda será convencionada como sendo igual a zero nessa rodada. Será desclassificado da rodada o jogador que calculou de maneira incorreta o valor de alguma das medidas de posição.

3.5 – Após a realização de cada rodada, os jogadores serão classificados em primeiro, segundo, terceiro e quarto lugar, dependendo da pontuação obtida. O jogador que obteve o maior valor para a medida de posição é classificado em primeiro lugar e recebe três pontos, o segundo colocado recebe dois pontos, o terceiro colocado recebe um ponto e o último colocado não recebe pontuação naquela rodada. Caso ocorram empates, cada jogador receberá a pontuação correspondente à sua classificação. Após a realização da terceira rodada, os pontos obtidos em cada rodada serão somados, e vence o jogo aquele jogador que obteve o maior valor.

[...]

Situações-problema

[...]

Para compreender melhor o jogo, confira no Manual do Professor uma simulação de partida do “Jogo dos 3Ms” entre dois jogadores.

Problema 1. No “jogo dos 3Ms”, poderão ocorrer valores iguais para a média e a mediana? Justificar sua resposta.

Problema 2. No “jogo dos 3Ms”, poderão ocorrer valores iguais para a mediana e a moda? Justificar sua resposta.

Problema 3. No “jogo dos 3Ms,” poderão ocorrer valores iguais para as três medidas de posição? Justificar sua resposta.

Problema 4. No “jogo dos 3Ms”, qual o maior valor possível para a média? Justificar sua resposta.

Problema 5. No “jogo dos 3Ms”, qual o maior valor possível para a mediana? Justificar sua resposta.

Problema 6. No “jogo dos 3Ms”, qual o maior valor possível para a moda? Justificar sua resposta.

Problema 7. No “jogo dos 3Ms”, a mediana será sempre maior do que a média? Justificar sua resposta.

Problema 8. Em quais casos do “jogo dos 3Ms” o jogador poderá obter a média igual a 9,8? Justificar sua resposta.

[...]

Problema 9. Em quais casos do “jogo dos 3Ms” o jogador poderá obter a média igual a 9,6? Justificar sua resposta.

Problema 10. Em quais casos do “jogo dos 3Ms” o jogador poderá obter a mediana igual a 10? Justificar sua resposta.

[...]

Problema 11. Em quais casos do “jogo dos 3Ms” o jogador poderá obter a moda igual a 10? Justificar sua resposta.

[...]

Respostas no Manual do Professor.

LOPES, José Marcos; CORRAL, Renato S.; RESENDE, Jéssica S. O estudo da média, da mediana e da moda através de um jogo e da resolução de problemas. Revista Eletrônica de Educação, São Carlos, v. 6, n. 2, p. 255-257 e 269, nov. 2012. Disponível em: www.reveduc.ufscar.br/index.php/ reveduc/article/view/481/200. Acesso em: 13 maio. 2022.

Problema 9: Ao obter, por exemplo, a sequência de cartas 8, 10, 10, 10, 10.

Problema 10: Ao obter, por exemplo, a sequência de cartas 8, 10, 10, 10, 10.

Problema 11: Ao obter uma quantidade de cartas 10 maior que a quantidade de qualquer outra carta.

Por exemplo, 4, 8, 10, 7, 10.

Elas informam o número de estabelecimentos agropecuários por sexo e por sexo e idade do produtor. No primeiro caso, em gráfico de setores, e, no segundo, em gráfico de barras.

Pesquisas censitária, amostral e planejamento de pesquisa

Os resultados preliminares do Censo Agro 2017, do IBGE, revelaram que, até essa data, havia 15 105 125 pessoas empregadas em estabelecimentos agropecuários. Ao estudar o número de estabelecimentos agropecuários por sexo e por sexo e idade do produtor, foram encontrados os resultados a seguir.

Número de estabelecimentos agropecuários por sexo do produtor

Objetivos do capítulo

• Compreender o que são pesquisas censitárias e pesquisas amostrais.

• Diferenciar os tipos de amostragem.

• Entender os procedimentos de execução de uma pesquisa estatística.

• Planejar e fazer uma pesquisa amostral.

• Organizar um conjunto de dados.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Ilustrações:

MasculinoFemininoNão se aplica

Competências gerais 4, 5 e 7 Competências específicas 2, 3, 5 e 8

Habilidades EF08MA26 e EF08MA27

Foco nos TCTs

• Educação Ambiental

Orientações

Em Para começar, verifique se os estudantes conhecem outras pesquisas censitárias e, se julgar oportuno, solicite que façam uma pesquisa sobre o tema. Eles podem pesquisar o Censo realizado pelo IBGE, por exemplo, ou indicar outras situações em que é possível fazer pesquisa censitária.

Fonte: IBGE. Censo Agro 2017. Rio de Janeiro: IBGE, [2018]. Disponível em: https://censoagro2017.ibge.gov.br/templates/censo_agro/resultadosagro/produtores.html. Acesso em: 20 mar. 2022.

O que essas pesquisas informam? E como foram organizados seus dados?

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA26

Leia o texto com os estudantes e certifique-se de que eles entenderam a diferença entre pesquisas censitárias e amostrais.

Conduza os estudantes a discutir e perceber a importância das pesquisas e, contudo, a inviabilidade de realizar algumas delas devido a limitações financeiras ou de logística. Nesse sentido, as pesquisas amostrais podem ser aliadas das políticas públicas, pois com elas é possível compor referenciais estatísticos para justificar tomadas de decisão em diferentes áreas.

Atividades

complementares

Peça aos estudantes que se dividam em pequenos grupos e leiam os textos a seguir. São textos curtos, mas com informações importantes sobre a importância e a metodologia de algumas pesquisas do IBGE. Depois de discutir esses textos, os estudantes poderão apresentar para a turma suas conclusões.

• IBGE. População: Censo demográfico.In: IBGE. Comitêdeestatísticassociais. Rio de Janeiro: IBGE, c2022. Disponível em: https:// ces.ibge.gov.br/apresentacao/ portarias/200-comite-de-estatis ticas-sociais/base-de-dados/11 46-censo-demografico.html#:~:tex

t=Os%20Censos%20Demogr%C3

%A1ficos%20s%C3%A3o%20a ,munic%C3%ADpios%20e%20 localidades%20do%20Pa%C3%

ADs.&text=Para%20a%20opera

%C3%A7%C3%A3o%20do%20 Censo,mil%20pessoas%20em%20 car%C3%A1ter%20tempor% C3%A1rio. Acesso em: 28 jul. 2022.

• IBGE. Por que fazer o Censo demográfico. In: IBGE. Censo 2022 Rio de Janeiro: IBGE, c2022. Disponível em: https://censo2021.ibge.gov.br/sobre/ por-que-fazer-o-censo-demografico. html. Acesso em: 28 jul. 2022.

• IBGE. A importância do Censo. In: IBGE. Censo em foco. Rio de Janeiro: IBGE, c2022. Disponível em: https://censos2007.ibge.gov. br/censo-em-foco/a-importancia -do-censo.html. Acesso em: 28 jul. 2022.

Pesquisa censitária e pesquisa amostral

A pesquisa censitária é aquela feita com todos os sujeitos da população a ser pesquisada. Quando é possível conversar com 100% dos indivíduos de uma população ou aplicar um questionário em 100% de uma população, dizemos que está sendo realizado um censo

A vantagem de uma pesquisa censitária é obter dados exatos e evitar erros em algumas conclusões. Entretanto, nem sempre é possível desenvolver esse tipo de pesquisa, pois imagine ter de entrevistar todas as pessoas do estado de São Paulo para saber para que time elas torcem ou, por exemplo, quem tem ou teve determinada doença ou vírus nos últimos cinco anos? Entre outras coisas, isso envolveria uma logística complicada para a realização da pesquisa, como grande quantidade de equipamentos e materiais, e muito tempo para organizá-la.

Além disso, esse tipo de pesquisa envolveria questões éticas: Será que todas as pessoas estariam dispostas a participar da pesquisa? A participação deve sempre ser voluntária, consentida e não acarretar danos de nenhuma natureza ao participante.

[...]

Em nosso país, em 1996, o Conselho Nacional de Saúde aprovou a Resolução 196/96, que regulamenta a pesquisa em seres humanos no Brasil. Referendada em vários documentos nacionais e internacionais, inclusive a Declaração de Helsinque, a Resolução 196/96 incorporou vários conceitos da bioética e reafirmou o consentimento livre e esclarecido dos indivíduos para participarem de pesquisas científicas e a aprovação prévia dos protocolos por comitê independente.

[...]

SARDENBERG, Trajano. A ética da pesquisa em seres humanos e a publicação de artigos científicos. Jornal de Pneumologia, São Paulo, v. 25, n. 2, 1999. Disponível em: https://www.scielo.br/pdf/jpneu/v25n2/ v25n2a1. Acesso em: 13 maio 2022.

De modo geral, quando se fala em pesquisa censitária, pode-se dizer que, quanto maior a população a ser estudada, maior a dificuldade de realizá-la. Essas dificuldades podem ser de natureza física, econômica ou ética. Assim, quando se tem uma população muito grande, opta-se por estudar apenas parte dela, ou seja, uma amostra. Essa é a pesquisa amostral, pois, com base em uma amostra, é possível tirar conclusões sobre toda a população. Para usar um exemplo simples, seria como provar um pouco de uma comida e concluir que ela está salgada.

Mas é preciso cuidado na escolha da amostra, pois o conjunto selecionado deve representar bem o grupo que se quer pesquisar. Por isso, existem métodos que podem ajudar a fazer essa amostragem. Vejamos alguns na página a seguir.

Para aprofundar

O artigo indicado a seguir aborda as semelhanças e as diferenças principais entre as pesquisas realizadas pelo IBGE no que se refere a objetivos, população-alvo, abrangência geográfica, plano amostral, incluindo aspectos como: cadastros, estratificação, conglomeração, número de estágios, tamanho da amostra, seleção da amostra, taxas de não resposta e tratamentos adotados, estimação, avaliação de erros amostrais.

• ALBIERI, Sonia; BIANCHINI, Zélia M. Principaisaspectosde amostragemdaspesquisasdomiciliaresdoIBGE: Revisão 2015. Rio de Janeiro: IBGE, 2015. (Textos para discussão, n. 55). Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualiza cao/livros/liv94403.pdf. Acesso em: 28 jul. 2022.

Censo do IBGE em Brasília (DF), 2010.

Palê Zuppani/Pulsar Imagens

Amostragem casual simples

É considerado um dos métodos mais comuns e consiste em extrair, ao acaso, um elemento da população, dando a cada um deles a mesma chance de pertencer à amostra.

Observe o exemplo.

• No curso de Matemática de uma faculdade, há 60 estudantes. O coordenador do curso sorteou aleatoriamente 20% deles para responder ao questionário de uma pesquisa.

Para realizar a amostra aleatória, a primeira coisa que o coordenador fez foi enumerar esses estudantes de 01 a 60.

01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, ..., 57, 58, 59, 60

Depois, ele colocou fichas representando esses números em um saco vazio e as misturou.

Temos que 20% do total de estudantes corresponde a 12 estudantes, pois:

20% de 60 = 20 100 60 1  200 100 .== 12

O professor, com a ajuda dos estudantes, retirou do saco uma única ficha por vez até completar 12 fichas e, assim, conseguir sua amostra.

Atividades

1 Em um jogo de bingo, foram enumeradas todas as bolas contidas em um globo com os números de 1 a 99. Cada vez que o globo parava de girar, uma única bola era retirada.

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA26

Proponha a leitura do tópico

“Amostragem casual simples”, estimulando-os a dar outros exemplos. Esse trabalho favorece o desenvolvimento da competência específica 2

Resolução da atividade 1

a) Todos os números têm as mesmas chances. 

1 99

b) A resposta dependerá do sorteio.

Resolução da atividade 2

Como a amostra será composta de apenas dois elementos, e não há parâmetros como sexo ou idade, por exemplo, o mais conveniente é fazer uma amostra aleatória simples por meio de um sorteio.

a) Qual é a chance de cada número ser sorteado?

Todos os números têm a mesma chance de serem sorteados.

b) Vocês simularão um sorteio. Sigam estas etapas:

• coloquem, em um saco, papeizinhos numerados de 1 a 50;

• escolham um estudante para retirar, ao acaso, dez papeizinhos do saco;

• anotem os números que saíram;

• coloquem de volta no saco os números que saíram;

• escolham mais dois estudantes, um de cada vez, para repetir essas etapas. Os números que saíram são os mesmos para os três estudantes?

Resposta pessoal.

2 Dona Zuzu tem 24 netos e deseja escolher dois deles para fazer uma viagem com ela. Para ser justa com todos eles, que tipo de amostragem ela poderia fazer a fim de escolher os dois netos?

Como a amostra será composta de apenas dois elementos, seria mais conveniente fazer uma amostra aleatória simples por meio de um sorteio

Cartelas e globo com bolas usadas no “bingo”.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA26

Solicite aos estudantes que leiam o tópico “Amostragem estratificada”. Depois, peça que comparem esse tipo de amostragem com a amostragem casual simples.

É importante que leiam e interpretem todos os gráficos e as tabelas que se apresentam no decorrer do capítulo; dessa forma, os estudantes trabalham e reforçam o poder de síntese das informações representadas.

Amostragem estratificada

Esse método consiste em organizar a população em grupos de elementos, chamados estratos, que compartilham uma característica em comum (por exemplo, sexo, idade, nível escolar, classe social, entre outras). Cada elemento da população pertence a um, e somente um, estrato. Então, toma-se uma amostra aleatória simples de cada um deles.

Essa amostragem é usada quando são necessários elementos de cada estrato da população. É um modo de garantir que cada segmento dela esteja representado. Nesse tipo de amostragem, procura-se manter a proporcionalidade do tamanho de cada estrato da população.

Veja a seguir um exemplo de como obtê-la.

• A secretária da Escola São Bento quis conhecer o índice de satisfação dos estudantes com as aulas de esporte. A escola tem 1 420 estudantes praticando esportes.

Primeiro, ela dividiu o total de estudantes em estratos, representando as modalidades de esporte e o número de estudantes matriculados, sabendo que cada estudante pratica apenas um esporte.

Esportes praticados pelos estudantes

Depois, ela definiu o tamanho da amostra: 100 estudantes.

Para selecionar aleatoriamente os 100 estudantes, procurou manter a proporção de cada estrato da população na amostra selecionada fazendo os cálculos a seguir.

Primeiro, foi preciso encontrar o percentual que 100 estudantes representam em relação ao total de 1 420 estudantes: 1 420 100% 100 x

1 420 x = 100 100 6 x = 100 100 1  420  7,04 o

O valor de 7,04% pode ser arredondado para 7%.

Logo, 100 estudantes representam cerca de 7% do total de estudantes. Por isso, devemos selecionar 7% de estudantes de cada modalidade (estrato).

Para encontrar os 7% de cada modalidade, podemos seguir o exemplo abaixo.

7% de 250 = 7 100 250 1750 100 17,5 .== . Utilizando os critérios de arredondamento obtemos 18. Seguindo esse mesmo procedimento, obtemos a tabela a seguir.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF08MA26 e da competência específica 3

Verifique se os estudantes compreenderam a situação do exemplo. Se necessário, apresente outras situações ou, ainda, cite um exemplo que os ajude a compreender o método da amostragem estratificada.

Ajude a turma a perceber que, por exemplo, 250 estudantes que praticam voleibol correspondem a 18% da população de 1 420 estudantes, e que 18 estudantes de uma amostra com 100 estudantes que praticam voleibol também correspondem a 18%. Há, ainda, a amostra estratificada uniforme, que consiste em selecionar o mesmo número de elementos em cada estrato. Ela é usada, em geral, quando o objetivo é comparar os diversos estratos.

Se achar pertinente, sugira aos estudantes que pesquisem outros tipos de amostragem para compartilhar uns com os outros.

Observe nos gráficos de setores a seguir que, embora as proporções dos estratos da população e da amostra não sejam exatamente as mesmas (devido à necessidade de arredondamento nos cálculos), elas estão bem próximas.

Fonte: Dados fictícios.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA26

Resolução da atividade 1

Sim. Os estratos são os graus de escolaridade que foram delimitados para a realização da pesquisa, sendo eles: Sem instrução ou com Ensino Fundamental incompleto; Com Ensino Médio completo ou Ensino Superior incompleto; Com Ensino Fundamental completo ou Ensino Médio incompleto; Com Ensino Superior completo.

Resolução da atividade 2

a) Primeiro, é preciso calcular a participação percentual de cada posto no total de vacinados, depois, aplicar essa porcentagem ao total da amostra. Veja a tabela no rodapé.

b)

Atividades

1 Em 2016, uma pesquisa feita pela Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua (PNAD Contínua) sobre o nível de escolaridade dos brasileiros obteve o resultado a seguir.

Nível de escolaridade de brasileiros de 25 anos ou mais de idade

Legenda

Sem instrução ou com Ensino Fundamental incompleto Com Ensino Médio completo ou Ensino Superior incompleto Com Ensino Fundamental completo ou Ensino Médio incompleto Com Ensino Superior completo

Fonte: PNAD Contínua 2016 [...]. Agência IBGE Notícias Rio de Janeiro, 21 dez. 2017. Disponível em: https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-sala-de-imprensa/2013-agencia -de-noticias/releases/18992-pnad-continua-2016-51-da-populacao-com-25-anos-ou-mais-do -brasil-possuiam-no-maximo-o-ensino-fundamental-completo. Acesso em: 11 mar. 2022.

Os dados dessa pesquisa foram agrupados por estratos? Caso a resposta seja positiva, quais foram esses estratos?

Respostas no Manual do Professor.

2 Em uma cidade há cinco postos de saúde que participaram da última campanha de vacinação contra a gripe H1N1, obtendo o seguinte número de vacinados em cada posto:

Quantidade de pessoas vacinadas em cada posto de saúde Posto de

Vacina contra a gripe H1N1.

a) Obtenha uma amostra estratificada dessa população com 185 vacinados.

b) Elabore dois gráficos, um que represente a proporção da população e outro representando a amostra. Número de vacinados por amostra de cada posto: A: 18; B: 61; C: 35; D: 27; E: 44. Respostas no Manual do Professor.

Fonte: Dados fictícios.

3 Dos 5 048 médicos de um estado, 10% são cardiologistas, 5% oftalmologistas, 12% pediatras, 10% obstetras, 15% clínicos gerais e o restante são de outras especialidades.

Orientações

As atividades e o conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA26 e EF08MA27

Resolução da atividade 3

a) Amostra estratificada, pois os dados já vêm separados pelas especialidades dos médicos.

b) Amostra de 7% de 5 04 8: 0,07 . 5 048 o 353 4 353 médicos.

Grupo de médicos. Com base nessas informações, faça o que se pede.

a) Se desejar retirar uma amostra dessa população, que tipo de amostra seria a mais conveniente? Por quê?

Amostra estratificada, pois os dados já vêm separados por estratos, que, no caso, são as especialidades dos médicos.

b) Ao retirar uma amostra que corresponda a 7% dessa população, quantos elementos ela teria?

353 elementos

c) Desenhe um gráfico para representar esse conjunto de dados.

d) Elabore um relatório que sintetize as informações.

c) Possível gráfico:

de um estado

Resposta pessoal.

4 Façam uma pesquisa com os estudantes da escola para obter informações a respeito de uma temática de sua escolha. Selecionem uma amostra estratificada correspondente a 5% da população e, em seguida, organizem os dados em uma tabela e em um gráfico de setores.

Resposta no Manual do Professor. Resposta pessoal.

No item d, se os estudantes tiverem dificuldade na elaboração do relatório, apresente-lhes o site a seguir para que acessem e conheçam essa forma de comunicação.

Estudante fazendo uma pesquisa.

Expliquem aos colegas os motivos para a escolha da temática e das estratégias utilizadas para a obtenção dos dados.

Amostragem sistemática

Este método consiste na retirada periódica de elementos da população. Observe o exemplo a seguir para ver como ocorre essa retirada.

• Em determinada avenida existem 70 casas, das quais Paulina deseja obter uma amostra de 10, a fim de aplicar um questionário para sua pesquisa.

A primeira coisa que ela fez foi dividir o total de casas pelo número de casas da amostra, obtendo assim o intervalo para sua escolha, ou seja, 70 10 = 7. Isso quer dizer que, a cada 7 casas, ela vai escolher uma, mas a escolha deve ser aleatória.

Assim, ela colocou em uma bolsa vazia papeizinhos numerados de 1 a 7, e o número sorteado foi 6.

• INSTITUTO DE ASTRONOMIA, GEOFÍSICA E CIÊNCIAS ATMOSFÉRICAS. Guiaparaescreverumrelatório. [São Paulo: IAG-USP], [20--]. Disponível em: https://www.iag. usp.br/~eder/guia_relatorio.pdf. Acesso em: 28 jul. 2022.

Na atividade 4, oriente os estudantes no planejamento da pesquisa e verifique se a temática escolhida é pertinente.

Atividade em dupla

Fonte:

Fonte:

Tarcísio Garbellini

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF08MA26 e EF08MA27

Peça aos estudantes que leiam o exemplo de amostragem sistemática e, depois, compartilhem o que compreenderam com os colegas. Estimule-os a comparar essa amostragem com os outros tipos já estudados. Faça uma comparação em relação à pesquisa estratificada.

Depois, leia os passos necessários para realizar uma pesquisa sistemática.

Resolução da atividade 1 Como o tamanho da amostra já vem dado, então se define o intervalo da amostra fazendo-se:

= 600 30 20 Portanto, o intervalo é 20.

Sorteia-se aleatoriamente um número compreendido entre 1 e 20. Suponha que esse número seja 15. Assim, começa a coleta dos dados pela primeira fruta da mangueira de número 15; a segunda manga será colhida na mangueira de número 35 (15 + + 20); a terceira de número 55 (35 + 20), e assim sucessivamente, até formar o seguinte conjunto de dados, com 30 elementos: 15, 35, 55, 75, 95, 115, 135, 155, 175, 195, 215, 235, 255, 275, 295, 315, 335, 355, 375, 395, 415, 435, 455, 475, 495, 515, 535, 555, 575, 595.

Mostre aos estudantes o fato de que os elementos da amostra podem não ser os mesmos, pois isso depende do número aleatório que sair.

Resolução da atividade 2

A amostra será composta de 6 entre 30 vasos: = 30 6 5

Deve ser escolhido um vaso em cada cinco, começando a partir de um número entre 1 e 5 escolhido aleatoriamente. Supondo que o número inicial seja 3, a sequência será: 3, 8, 13, 18, 23 e 28.

Resolução da atividade 3

a) Ordenando o conjunto de dados, temos: 33, 34, 35, 35, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37,

37, 38, 38, 38, 38, 39, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 42, 42, 42, 43 e 45.

Média = 1 336 : 35 o 38

A moda é 36 e 37 e a mediana é 38.

Depois, ela foi para o início da avenida e começou a coletar os dados, começando pela 6; casa e, a partir desta, foi somando 7, até que a amostra ficou assim constituída:

6;, 13;, 20;, 27;, 34;, 41;, 48;, 55;, 61; e 68; Observe os passos para fazer uma amostra sistemática.

• Certificar-se de que os elementos da população estejam ordenados (no exemplo dado, Paulina começou pelo início da avenida).

• Definir a quantidade de elementos da amostra.

• Definir o intervalo da amostra (n? de elementos da população dividido pelo n? de elementos da amostra).

• Sortear um número inteiro compreendido entre 1 e o número obtido para o intervalo.

• Começar a amostra pelo primeiro número sorteado e, a partir deste, somar o valor do intervalo da amostra de modo a formar uma sequência. Desse modo, o segundo elemento será o anterior acrescido do valor do intervalo, e assim sucessivamente.

Atividades

1 Em uma plantação existem 600 mangueiras dispostas em fileiras. Deseja-se selecionar uma amostra sistemática de 30 mangas para análise de qualidade. Como deve ser composta essa amostra? Quais são seus elementos?

2 Em uma floricultura foi constatado que há 30 espécies de flores organizadas em vasos numerados de 1 a 30. Deseja-se selecionar uma amostra sistemática com 6 espécies para testar um novo tipo de adubo. Como deve ser composta essa amostra? Quais são seus elementos?

De 5 em 5. Sequência possível: 3, 8, 13, 18, 23 e 28.

3 O dono de uma fábrica de sapatos anotou o número de calçado de cada funcionário. Veja abaixo.

a) Encontre a média, a moda e a mediana desse conjunto de dados.

b) Se desejar retirar uma amostra dessa população, que tipo de amostragem seria mais conveniente?

c) Elabore um gráfico para representar esse conjunto de dados.

Gráfico no Manual do Professor.

a) Média: o 38; moda: 36; mediana: 38.

b) Amostra sistemática ou amostra aleatória simples.

Fábrica de sapatos.

Resposta no Manual do Professor.

b) Poderia ser uma amostra sistemática ou uma amostra aleatória simples.

Planejamento e execução de uma pesquisa amostral

Antes de se iniciar uma pesquisa, o tema deve ser escolhido. Com base nisso, pode-se dividi-la em dois momentos: o planejamento e a execução.

O momento do planejamento da pesquisa pode ser considerado um dos mais importantes. Nele, decide-se quais serão os métodos ou as técnicas para coletar os dados (como as técnicas de amostragem) e para registrar as informações; escolhem-se quais serão os sujeitos, o local e os instrumentos utilizados, entre outros aspectos envolvidos no planejamento.

A execução da pesquisa é o momento em que se coloca em prática o que foi panejado, que inclui:

• processo de coleta de dados, utilizando-se instrumentos como questionário, entrevista, observação, entre outros;

• análise dos dados, que pode ser facilitada pela representação em tabelas e/ou gráficos;

• inferência de resultados;

• conclusões;

• elaboração de relatórios-síntese dos resultados com base nas informações levantadas e na conclusão obtida.

Levando-se em conta essas etapas e tudo o que foi visto até aqui sobre as medidas de tendência central e as técnicas de amostragem, chegou a hora de fazer algumas pesquisas.

Atividades

1 Abaixo são apresentados alguns temas para que sejam escolhidos dois. Em seguida, planejem e executem uma pesquisa a respeito deles.

Respostas pessoais.

a) Maiores artilheiros do Brasileirão Série A por pontos corridos.

b) Quantidade total de medalhas brasileiras nos jogos olímpicos.

c) População do estado brasileiro em que você nasceu nos últimos dez anos.

d) Valor do salário mínimo do Brasil nos últimos dez anos.

2 Faça uma pesquisa, com base no questionário abaixo, com 8 pessoas de sua escolha e, após a obtenção dos dados, represente cada uma das questões por meio de gráfico ou tabela, escolhendo o que você considera melhor para apresentar seus resultados.

Resposta pessoal.

1. Qual gênero de filme você prefere? ( ) Comédia. ( ) Terror. ( ) Ação.

2. Você lê livros com frequência? ( ) Sim. ( ) Não.

3. Você utiliza redes sociais? ( ) Sim. ( ) Não.

4. Qual das matérias abaixo você gosta mais de estudar? ( ) Português. ( ) Matemática. ( ) Ciências. ( ) Geografia. ( ) História.

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF08MA27 e da competência específica 8

Estimule os estudantes quanto à seleção do tema de uma pesquisa amostral. Uma possibilidade é organizá-los em grupos e pedir que escolham diferentes temas para a pesquisa, compartilhando os resultados com os demais colegas. Proponha pesquisas que envolvam temáticas de conscientização social. Se julgar mais viável, peça aos estudantes que façam a pesquisa sobre um mesmo tema e analisem os dados de maneira colaborativa.

Explique e discuta as etapas de execução de uma pesquisa e auxilie-os na definição e elaboração dos instrumentos para coleta de dados.

Para as resoluções das atividades 1 e 2 dessa página, reforce a prática do respeito às opiniões diferentes e aos inúmeros pontos de vista. É importante, também, que eles elaborem sínteses após a construção e as análises de dados para avaliar se compreenderam o que as informações traduziram.

Orientações

Em Matemática Interligada é discutido o apoio das Nações Unidas a projetos de sustentabilidade do nosso país. Faça a leitura coletiva do texto e sinalize a linguagem simbólica que cada quadrado colorido apresenta para se referir aos Objetivos de Desenvolvimento Sustentável. Apriori esse tipo de leitura simbólica favorece o desenvolvimento da competência geral 4 . Se achar opor tuno, convide o professor de Geografia para participar da discussão, o que é uma ótima oportunidade para trabalhar a interdisciplinaridade. Promova uma exposição em sala de aula para trabalhar a atividade proposta e reforce aos estudantes a importância da veracidade das informações, ressaltando o uso de fontes confiáveis, a fim de evitar a propagação de informações falsas. Essa atividade contempla a competência geral 7 e a competência específica 8 e propicia o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal: Educação Ambiental

O que é desenvolvimento sustentável?

A definição mais aceita para desenvolvimento sustentável é o desenvolvimento capaz de suprir as necessidades da geração atual, sem comprometer a capacidade de atender as necessidades das futuras gerações. É o desenvolvimento que não esgota os recursos para o futuro.

Essa definição surgiu na Comissão Mundial sobre Meio Ambiente e Desenvolvimento, criada pelas Nações Unidas [...] O QUE é desenvolvimento sustentável?. In: WWF BRASIL. Brasília, DF, c2022. Disponível em: https://www.wwf.org.br/natureza_brasileira/questoes_ ambientais/desenvolvimento_sustentavel/. Acesso em: 14 maio 2022.

Como as nações unidas apoiam os Objetivos de Desenvolvimento Sustentável no Brasil

A ONU e seus parceiros no Brasil estão trabalhando para atingir os Objetivos de Desenvolvimento Sustentável em nosso país. São 17 objetivos ambiciosos e interconectados que abordam os principais desafios de desenvolvimento enfrentados por pessoas no Brasil e no mundo.

[...] são um apelo global à ação para acabar com a pobreza, proteger o meio ambiente e o clima e garantir que as pessoas, em todos os lugares, possam desfrutar de paz e de prosperidade. Estes são os objetivos para os quais as Nações Unidas estão contribuindo a fim de que possamos atingir a Agenda 2030 no Brasil, elencados a seguir.

ONU.

o nosso trabalho para alcançar os

1 Em relação ao ODS-7, por meio de uma pesquisa, busquem informações atuais sobre o acesso dos brasileiros à energia limpa. Organizem as informações obtidas e definam a melhor forma de apresentá-las (painel, planilha, tabela, gráfico, multimídia), de forma que resultem em informações e esclarecimentos importantes para compartilhar com todos. Resposta pessoal.

Sobre

Objetivos de Desenvolvimento Sustentável no Brasil. Brasília, DF: ONU Brasil, 2022. Disponível em: https://brasil.un.org/pt-br/sdgs. Acesso em: 14 maio 2022.

Organizando informações com planilhas eletrônicas

Vamos calcular a média das notas da turma organizando as informações em uma tabela e apresentando-as em um gráfico, usando uma planilha eletrônica?

Siga o passo a passo.

1? passo: Ao abrir a planilha eletrônica, você encontrará uma tela similar à da imagem abaixo.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF08MA27

Em MatemaTic , possibilita-se, aos estudantes, o uso de ferramentas tecnológicas para organizar os dados de uma pesquisa. Desenvolva essa seção na sala de informática e siga o passo a passo coletivamente. Esse software também pode ser utilizado em smartphones, caso não tenha computador para todos.

É importante ressaltar que essas ferramentas serão úteis, mas não minimizam a responsabilidade de elaborar uma pesquisa, independentemente da quantidade de dados. No caso das planilhas, elas auxiliam bastante em pesquisas com muitos dados. Incentive os estudantes a investigar mais funções que uma planilha eletrônica oferece; por exemplo, as outras medidas de tendência central.

2 ? passo: Insira os títulos e as notas dos estudantes na planilha, conforme a imagem ao lado. Nesse exemplo, os dados são fictícios.

3? passo: Na célula E4 digite =SOMA( B4:C4/3), referente ao estudante A, e tecle “Enter”. Com isso, você encontrará a média do estudante A.

4? passo: Em seguida, selecione a célula E4, clique no canto inferior direito da célula e arraste para baixo para obter a média dos demais estudantes.

Orientações

Mais uma vez, sugira aos estudantes temáticas de urgência e relevância social para nortear as pesquisas que serão organizadas na planilha, conforme propõe a atividade da seção. Você pode apresentar temas como: preconceito racial, equidade de gênero, desigualdade social, adoção responsável, cuidados com a saúde, precaução e saúde mental ou outros assuntos importantes da escolha deles.

Atividades como essa favorecem o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 5

5? passo: Para inserir o gráfico referente às notas dos estudantes, selecione todos os itens da planilha gerada e clique no ícone “Inserir gráfico”, como na figura ao lado.

6? passo: Agora é só escolher o tipo de gráfico que mais se adapta.

Veja como ficou o gráfico do exemplo.

Gostou? Agora é com vocês! Respostas pessoais.

1. Reúnam-se em grupos de cinco estudantes e escolham uma temática de urgência social (por exemplo: racismo, desigualdade etc.) para elaborar uma pesquisa. Indiquem a moda, a média e a mediana dos dados coletados.

2. Façam um cartaz contendo as informações coletadas, apresentadas por meio de tabelas e gráficos. Compartilhem com os grupos e conversem sobre os temas abordados. Depois, se possível, exponham no mural da classe.

Orientações

1 (UFLA-MG) A população das 5 maiores cidades do Sul de Minas Gerais é:

O número médio de habitantes dessas 5 cidades é 123 200 habitantes. De acordo com os dados, o número x de habitantes da cidade de Passos é:

Alternativa b

a) 98 560.

b) 108 000.

c) 108 200.

d) 123 200.

2 (ENEM) Em uma cidade, o número de casos de dengue confirmados aumentou consideravelmente nos últimos dias. A prefeitura resolveu desenvolver uma ação contratando funcionários para ajudar no combate à doença, os quais orientarão os moradores a eliminarem criadouros do mosquito Aedes aegypti, transmissor da dengue. A tabela apresenta o número atual de casos confirmados, por região da cidade.

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1

5 . 123 200 = 616 000

x = 616 000 - (94 000 + + 155 000  +  134 0 00  + + 125 000) = 108 000

Alternativa b Resolução da atividade 2 A média dos casos é 229 (1832 : 8); logo, teremos 10 funcionários novos para cada região (Oeste, Centro, Leste, Centro-Oeste e Centro-Sul), totalizando 50 funcionários, e 7 novos funcionários para as regiões Norte, Sul e Noroeste, totalizando 21 funcionários. Portanto, ao todo serão 71 funcionários contratados pela prefeitura. Alternativa d

A atividade apresenta um texto sobre casos de dengue. É importante ressaltar os cuidados necessários para evitar a proliferação de mosquitos, principais transmissores da doença.

A prefeitura optou pela seguinte distribuição dos funcionários a serem contratados:

I. 10 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja maior que a média dos casos confirmados;

II. 7 funcionários para cada região da cidade cujo número de casos seja menor ou igual à média dos casos confirmados.

Quantos funcionários a prefeitura deverá contratar para efetivar a ação?

a) 59

b) 65

c) 68

d) 71

e) 80

Alternativa d

Resolução da atividade 3

Média = .+. = 25 7155 40 6, 25

Portanto, o preço médio do litro de combustível utilizado no abastecimento foi de aproximadamente R$ 6,25.

Resolução da atividade 4

A soma das alturas, em metros, dos 20 jogadores é 20 . (1,8) = 36.

Substituindo o jogador de altura h (em metros) por outro de altura h - 0,2, a nova média, em metro, será:

-+== ()hh 36 0, 2 20 35 ,8 20 1, 79

Alternativa c Resolução da atividade 5 Veja o rodapé.

Resolução da atividade 6

A média é igual à soma de todas as temperaturas dividida por 15. Logo:

média = 255 15 = 17 4 17 ‘C.

Mediana: Escrevendo as temperaturas em ordem crescente, a mediana é a 8; temperatura, ou seja, 18‘C.

Moda: É a temperatura que aparece mais vezes, ou seja, quatro vezes, 13,5 ‘C.

Alternativa b

3 Um veículo com motor flex pode ser abastecido com álcool e/ou gasolina. Sabendo que ele foi abastecido com 25 litros de gasolina ao preço de R$ 7,00 o litro e 15 litros de álcool a R$ 5,00 o litro, qual é o preço médio do litro de combustível utilizado nesse abastecimento?

R$ 6,25.

4 (ENEM) O preparador físico de um time de basquete dispõe de um plantel de 20 jogadores, com média de altura igual a 1,80 m. No último treino antes da estreia em um campeonato, um dos jogadores desfalcou o time em razão de uma séria contusão, forçando o técnico a contratar outro jogador para recompor o grupo.

Alternativa c

Se o novo jogador é 0,20 m mais baixo que o anterior, qual é a média de altura, em metro, do novo grupo?

a) 1,60 b) 1,78 c) 1,79 d) 1,81 e) 1,82

5 (FAMEMA-SP) O PIB per capita de uma determinada região é definido como a divisão do PIB da região pelo número de habitantes dessa região. A tabela registra a população e o PIB percapita de quatro estados.

Estado População (em milhões) PIB per capita (em R$)

A 1 15.000,00

B 8 15.000,00

C 3 30.000,00

D 15 30.000,00

O PIB per capita da região compreendida pelos quatro estados é de:

Alternativa d

a) R$ 28.000,00. b) R$ 22.500,00. c) R$ 27.500,00. d) R$ 25.000,00. e) R$ 29.500,00.

6 (ENEM) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro:

Dia

Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a:

Alternativa b

a) 17 ‘C, 17 ‘C e 13,5 ‘C.

b) 17 ‘C, 18 ‘C e 13,5 ‘C.

c) 17 ‘C, 13,5 ‘C e 18 ‘C.

d) 17 ‘C, 18 ‘C e 21,5 ‘C.

7 A tabela de distribuição de frequências abaixo foi obtida em uma pesquisa sobre as idades das pessoas que praticam atletismo em determinado clube.

Resolução da atividade 9

A quantidade de elementos é ímpar, pois há quatro alturas conhecidas e uma desconhecida. A mediana é o termo central e, como as alturas são diferentes entre si, podemos afirmar que 1,65 e 1,66 estão abaixo da mediana, sendo essas alturas referentes aos jogadores de futebol. A partir da altura de 1,67 em diante, são todos jogadores de basquete. Temos então: futebol; futebol; basquete; basquete. Alternativa c

Qual é a idade mediana desses atletas?

16,5 anos

8 Em uma clínica de controle alimentar, um médico elaborou o quadro abaixo, com a massa, em quilograma, dos 18 pacientes que haviam se consultado com ele na semana passada.

525457606365

667171737475

768485909192

Para que o médico pudesse fazer uma melhor análise dos resultados expressos no quadro, sua assistente calculou os valores da média, da mediana e da moda do conjunto de resultados. Que valores a assistente encontrou para essas medidas?

Média o 72,2 kg; mediana = 72 kg; moda = 71 kg.

9 (ENEM) Os alunos de uma turma escolar foram divididos em dois grupos. Um grupo jogaria basquete, enquanto o outro jogaria futebol. Sabe-se que o grupo de basquete é formado pelos alunos mais altos da classe e tem uma pessoa a mais do que o grupo de futebol. A tabela seguinte apresenta informações sobre as alturas dos alunos da turma.

Os alunos P, J, F e M medem, respectivamente, 1,65 m, 1,66 m, 167 m e 1,68 m, e as suas alturas não são iguais à de nenhum outro colega da sala.

Segundo essas informações, argumenta-se que os alunos P, J, F e M jogavam, respectivamente:

a) basquete, basquete, basquete, basquete.

b) futebol, basquete, basquete, basquete.

c) futebol, futebol, basquete, basquete.

d) futebol, futebol, futebol, basquete.

e) futebol, futebol, futebol, futebol.

Orientações

Resolução da atividade 7

Ao todo, o clube tem 58 atletas; logo, a mediana é a média entre as idades do 29o e do 30o atleta, ou seja, 16,5 anos.

Resolução da atividade 8

Média o 72,2 kg.

Mediana = 72 kg.

Moda = 71 kg.

Alternativa c

Orientações

Resolução da atividade 10

Ao adicionar os valores anuais indicados no gráfico, obtemos 294,2 milhões de smartphones vendidos no período.

Média = 294,2 : 8 = 36,775. Como 36,775 milhões é maior do que 36 milhões, a afirmação é correta.

Alternativa a Resolução da atividade 11

Média = 110 200 : 19 = 5 800 4

4 R$ 5.800,00

Alternativa c Resolução da atividade 12

A nota modal é a que mais se repete, logo, a moda é 70.

Alternativa b

10 (UNB-DF) O gráfico a seguir mostra as quantidades de smartphones vendidos anualmente no Brasil, em milhões de unidades, de 2011 a 2018.

Com base nas informações desse gráfico, julgue o item subsequente. No período considerado, foram vendidos, em média, mais de 36 milhões de smartphones no Brasil. a) certo b) errado

Alternativa a

11 (PCM-RJ) Em um hospital trabalham 17 enfermeiros e a média aritmética simples do salário desse grupo é de R$ 5.800,00. Posteriormente entraram mais 2 novos enfermeiros com salários de R$ 7.400,00 e R$ 4.200,00 respectivamente. Diante disto, assinale qual será a nova média simples salarial dos enfermeiros desse hospital.

Alternativa c

a) R$ 5.688,00 b) R$ 5.742,00

c) R$ 5.800,00

d) R$ 5.905,00

12 (PMA-GO) Considerando as notas de uma turma de 9? ano em Matemática, na primeira prova do ano letivo, após entregar todas as provas, o professor anotou, de forma aleatória, as notas de todos os alunos no quadro:

Após uma observação, o professor concluiu que a nota modal dos alunos da turma do 9? ano é:

a) 90.

b) 70.

c) 50. d) 38.

13 (FUNDEP-SP) Em uma clínica de controle alimentar, um médico entregou à sua assistente uma tabela com a massa, em quilograma, dos doze pacientes que haviam realizado consulta com ele em um determinado dia.

Para que o médico pudesse fazer uma melhor análise dos resultados expressos na tabela naquele dia, sua assistente calculou, respectivamente, os valores da média, da mediana e da moda do conjunto de resultados, encontrando, correta e respectivamente:

14 (IFES) Devido à alta no preço dos combustíveis, em particular da gasolina, um consumidor resolveu fazer uma pesquisa de preços referente à variação do valor do litro da gasolina comum em alguns postos da Região Metropolitana de uma determinada capital. O levantamento de preços está representado no gráfico.

Analisando os dados obtidos na pesquisa realizada, pode-se afirmar que o preço médio, o preço modal e o preço mediano da gasolina, em reais, é respectivamente igual a:

a) 4,59; 4,61; 4,59.

b) 4,61; 4,59; 4,59.

c) 4,61; 4,39; 4,79.

d) 4,60; 4,59; 4,61.

e) 4,61; 4,57; 4,39.

15 (VUNESP) O gráfico apresenta algumas informações sobre o número de unidades de determinado produto compradas nos quatro trimestres do ano de 2018.

Cada unidade desse produto custou R$ 15,00 e esse preço se manteve durante o ano todo. Sabendo que o valor pago nas unidades compradas no 4? trimestre foi R$ 375,00, então, na média, o número de unidades compradas por trimestre foi:

a) 25.

b) 28.

c) 30.

d) 32.

e) 35.

Orientações

Alternativa b Alternativa e

Alternativa b

Resolução da atividade 15 No 4? trimestre: 375 : 15 = 25 4 25 unidades. Média

:

Orientações

Resolução da atividade 16 Colocando os dados em ordem crescente, obtemos:

40; 75; 80; 90; 100; 110; 160; 190; 200; 220; 250; 250; 250.

Como são 13 valores, a mediana será o 7? termo dessa sequência, ou seja, 160. Alternativa e

16 (GUALIMP-RJ) Durante alguns dias do mês de fevereiro, uma confecção produziu a seguinte quantidade de roupas:

Assinale a alternativa que represente a mediana desse intervalo de dias.

a) 210

b) 75

c) 250

d) 155

e) 160

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Compreendo e calculo a média, a moda e a mediana de um conjunto de dados.

Resolvo e elaboro problemas que envolvam medidas de tendência central.

Compreendo o que são pesquisas censitárias e pesquisas amostrais.

Entendo os procedimentos para interpretar, planejar e realizar uma pesquisa estatística.

Organizo um conjunto de dados.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras.

Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

BORBA, Marcelo C.; SCUCUGLIA, Ricardo; GADANIDIS, G. Fases das tecnologias digitais em educação matemática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. v. 1.

Esse livro, além de sintetizar, de forma retrospectiva e original, uma visão sobre o uso de tecnologias em educação matemática, resgata e compila, de maneira exemplificada, questões teóricas e propostas de atividades, apontando, assim, inquietações importantes sobre o presente e o futuro da sala de aula de Matemática.

BOYER, Carl B. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

O livro apresenta a história da Matemática desde a antiguidade até os dias atuais, incluindo demonstrações com o auxílio do computador.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 mar. 2022.

O endereço acima direciona para a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), na íntegra. Documento que, com força de lei, norteia a Educação Básica em todo o país.

CAJORI, F. Uma história da Matemática. Rio de Janeiro: Moderna, 2007.

O livro traz uma visão abrangente da história da Matemática, desde a Antiguidade até o século XX.

CAZORLA, I.; MAGINA, S.; GITIRANA, V.; GUIMARÃES, G. Estatística para os Anos Iniciais do Ensino Fundamental. São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2017.

O livro apresenta duas propostas de ensino desenvolvidas com turmas do Ensino Fundamental para a aprendizagem de tabelas, incluindo a utilização de planilha eletrônica, levando os estudantes a refletir de forma crítica sobre os dados e opinar sobre eles para tomar decisões.

CONTADOR, Paulo R. M. Matemática, uma breve história. São Paulo: Livraria da Física, 2012. v. I.

O autor apresenta, de forma agradável e de fácil compreensão, grande parte dos conceitos matemáticos desde sua criação até chegar à forma atual.

EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. 2. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 1997.

O autor apresenta a história da Matemática desde a Antiguidade até os tempos modernos, de forma clara e acessível. Alguns capítulos trazem panoramas culturais da época abordada.

FLOOD, Raymond. Os grandes matemáticos: as descobertas e a propagação do conhecimento através dos grandes matemáticos. São Paulo: M. Books, 2013.

O autor evidencia que a Matemática é uma ciência viva, fruto da curiosidade e de necessidades humanas, que permeia nossa vida cotidiana. Traz realizações de grandes matemáticos no seu contexto histórico.

GALVÃO, Maria E. E. L. História da Matemática: dos números à Geometria. Osasco: Edifieo, 2008.

O livro convida o leitor a acompanhar a evolução do conhecimento humano e científico, transportando-o a culturas e civilizações antigas.

GUSTAFSON, David R.; FRISK, Peter D. Álgebra intermedia. 7. ed. Cidade do México: Internacional Thomson Editores, 2006.

Obra de fácil leitura. Destaca termos que os professores devem enfatizar em sala de aula, de forma a levar os estudantes a estudos mais aprofundados em Matemática.

IFRAH, Georges. Os números: história de uma grande invenção. 10. ed. São Paulo: Globo, 2004.

O livro aborda a evolução do raciocínio humano desde a Pré-História, contemplando várias civilizações da Antiguidade.

LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: Edifurb, 1999. v. 1.

O autor faz um estudo da Matemática ao longo do tempo. Aborda diversas culturas e procura recompor o pensamento de cada uma delas.

MACHADO, Nilson José (org.). A Geometria na sua vida. São Paulo: Ática, 2001.

Essa obra evidencia a Geometria no dia a dia: na natureza, na arte, na história ou nas cidades. Propõe alguns desafios e mostra como a Geometria ajuda a solucionar uma série de problemas.

MAGALHÃES, Marcos Nascimento; LIMA, Antonio Carlos P. de. Noções de probabilidade e estatística. 7. ed. São Paulo: Edusp, 2013.

Esse livro apresenta conceitos de estatística descritiva, de modo a esclarecer a relação entre estatística descritiva, probabilidade e variáveis aleatórias.

NIVEN, Ivan. Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro: SBM, 1990.

A publicação mostra, em linguagem simples, critérios para classificar os números em diversas categorias. Ao longo dos capítulos, são propostos problemas e apresentados resumos do conteúdo.

ROONEY, Anne. A história da Matemática: desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. São Paulo: M. Books, 2012.

Esse livro evidencia a Matemática como ferramenta valiosa, que observa padrões e regras que governam o mundo desde a Pré-História até os dias de hoje.

SANTOS, Cleane A.; NACARATO, Adair M. Aprendizagem em Geometria na Educação Básica: a fotografia e a escrita na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. (Coleção Tendências em Educação Matemática).

As autoras exploram os conceitos geométricos, aliando o uso de imagens fotográficas às produções escritas dos estudantes.

VLASSIS, Joëlle; DEMONTY, Isabelle. A Álgebra ensinada por situações-problemas. Lisboa: Instituto Piaget, 2002.

O livro procura evidenciar o raciocínio dos estudantes da Educação Básica bem como as dificuldades enfrentadas por eles. Propõe a abordagem da Álgebra por meio de situações-problemas.

ISBN 978-85-10-08396-6