Amplitude - Matemática - 6

MATEMÁTICA

José Roberto Bonjorno

Regina Azenha Bonjorno

Ayrton Olivares

Marcinho Mercês Brito

Ensino Fundamental – Anos Finais

Componente curricular: Matemática

José Roberto Bonjorno

• Bacharel e licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Regina Azenha Bonjorno

• Bacharel e licenciada em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Professora do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Ayrton Olivares

• Bacharel e licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Marcinho Mercês Brito

• Doutor em Estatística e Experimentação Agropecuária pela Universidade Federal de Lavras (UFLA-MG)

• Mestre em Ciências Agrárias pela Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB-BA)

• Pós-graduado em Formação para o Magistério – Área de Concentração: Metodologia do Ensino e da Pesquisa em Matemática e Física pelas Faculdades Integradas de Amparo (FIA-SP)

• Engenheiro Agrônomo pela Universidade Federal da Bahia (UFBA)

• Licenciado em Matemática pela Faculdade de Ciências Educacionais (FACE-BA)

• Professor do Ensino Médio e do Ensino Superior

ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS

COMPONENTE

CURRICULAR

MATEMÁTICA

MANUAL DO PROFESSOR

1a edição São Paulo, 2022

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Amplitude : matemática, 6 : ensino fundamental : anos finais / José Roberto Bonjorno...[et al.]. --

1. ed. -- São Paulo : Editora do Brasil, 2022. -(Amplitude matemática)

Outros autores: Regina Azenha Bonjorno, Ayrton Olivares, Marcinho Mercês Brito

ISBN 978-85-10-08520-5 (aluno)

ISBN 978-85-10-08521-2 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Bonjorno, José Roberto. II. Bonjorno, Regina Azenha. III. Olivares, Ayrton. IV. Brito, Marcinho Mercês. V. Série.

22-109086

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427

© Editora do Brasil S.A., 2022

Todos os direitos reservados

Direção-geral: Vicente Tortamano Avanso

Direção editorial: Felipe Ramos Poletti

Gerência editorial de conteúdo didático: Erika Caldin

Gerência editorial de produção e design: Ulisses Pires

Supervisão de artes: Andrea Melo

Supervisão de editoração: Abdonildo José de Lima Santos

Supervisão de revisão: Elaine Silva

Supervisão de iconografia: Léo Burgos

Supervisão de digital: Priscila Hernandez

Supervisão de controle de processos editoriais: Roseli Said

Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes

Supervisão editorial: Everton José Luciano

Edição: Daniel Leme, Katia Queiroz, Lourdes Ferreira e Marcos Silva

Assistência editorial: Douglas F. Giaquinto, Juliana Bomjardim, Viviane Ribeiro e Wagner Razvickas

Revisão: Amanda Cabral, Andréia Andrade, Fernanda Sanchez, Gabriel Ornelas, Giovana Sanches, Jonathan Busato, Júlia Castello, Luiza Luchini, Maisa Akazawa, Mariana Paixão, Martin Gonçalves, Rita Costa, Rosani Andreani, Sandra Fernandes e Veridiana Cunha

Pesquisa iconográfica: Ana Brait

Design gráfico: APIS design

Capa: Estúdio Siamo

Imagem de capa: BIN WANG/iStockphoto.com e XtockImages/ iStockphoto.com

Edição de arte: Daniel Souza, Marcela Tenguan e Mario Junior

Ilustrações: Adriano Gimenez, André Martins, Antonio Eder, DAE, Danillo Souza, Flip Estúdio, Luca Navarro, Luiz Lentini, Marcel Borges, Marcos Guilherme, Murilo Moretti, Reinaldo Vignati, Tarcísio Garbellini e Wanderson Souza

Produção cartográfica: Sônia Vaz

Editoração eletrônica: Fórmula Produções Editoriais

Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Jennifer Xavier, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini

Controle de processos editoriais: Bruna Alves, Julia Nascimento, Rita Poliane, Terezinha de Fátima Oliveira e Valeria Alves

1a edição, 2022

Rua Conselheiro Nébias, 887

São Paulo/SP – CEP 01203-001

Fone: +55 11 3226-0211

www.editoradobrasil.com.br

Olá, professora. Olá, professor.

Entre os desafios que enfrentamos cotidianamente na formação dos estudantes, está aquele que mais tem nos motivado a concentrar esforços para construir uma aprendizagem significativa: o conhecimento aplicado às experiências de vida.

Como fazer as ações pedagógicas ganharem sentido na apropriação do conhecimento pelos estudantes? Como perceber o ensino da Matemática por meio da reavaliação de velhos estigmas, aprendizagem de fórmulas e de conceitos distanciados das experiências dos aprendizes?

Pensando nessas questões, elaboramos este material para que os conhecimentos da Matemática possam dialogar com o saber individual dos estudantes, ressignificando a aprendizagem deles, colocando-os como agentes do processo de construção do conhecimento e buscando mobilizar olhares para o reconhecimento da Matemática no dia a dia.

Pretendemos, com esta coleção, contribuir para o exercício da prática docente, ao apresentarmos novas ferramentas e possibilidades de ações que propiciem ampliar o trabalho pedagógico, oferecendo subsídios que colaborem para a execução das propostas curriculares dos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Os autores

Pressupostos teórico-metodológicos

Vivemos em um mundo que se transforma a todo instante, e as profundas mudanças ocorridas nos últimos anos impuseram à escola um olhar mais atento para a singularidade e a diversidade do ser humano. Pensar na singularidade humana é pensar nas diferenças que constituem cada pessoa, sejam elas relacionadas a aspectos físicos, subjetivos, cognitivos, relacionais, religiosos. A singularidade que nos constitui é o que torna o mundo em que vivemos tão diverso. Respeitar e valorizar as diferenças é, portanto, fundamental para a vida em sociedade.

Entre os inúmeros objetivos almejados para esta coleção, buscamos criar oportunidades para que os estudantes pensem na coletividade, desenvolvam atitudes empáticas e cooperativas, reflitam sobre temas contemporâneos – às vezes, polêmicos – que envolvem a discussão de valores, para que, assim, possam reconhecer e respeitar a diversidade e promover a inclusão

Garantir esses valores é afirmar compromisso com a formação integral e cidadã dos estudantes e com a permanente busca por uma educação equitativa e de qualidade

Além disso, é fundamental promover situações que favoreçam o trabalho com a resolução de problemas vinculados ao mundo real, a fim de oportunizar aos estudantes que se posicionem de forma crítica, responsável e construtiva e utilizem o diálogo para mediar conflitos.

Acreditamos que, na escola, os estudantes desenvolvem habilidades e competências – incluindo as socioemocionais – por meio das próprias experiências vividas, do conhecimento e das interações com seus pares. Nessa direção, inúmeras propostas apresentadas nesta coleção foram pensadas para propiciar e favorecer essas interações. Não basta mais apenas apresentar definições, axiomas e teoremas aos estudantes. É preciso oferecer-lhes oportunidades de ação e de reflexão sobre suas ações, de modo que consigam antecipar resultados e fazer previsões.

Neste momento, vale lembrar o que afirma Paulo Freire: Saber que ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua própria produção ou a sua construção. Quando entro em uma sala de aula devo estar sendo um ser aberto a indagações, à curiosidade, às perguntas dos alunos, a suas inibições; um ser crítico e inquiridor, inquieto em face da tarefa que tenho – a de ensinar e não a de transferir conhecimento (FREIRE, 1996, p. 47, grifo nosso).

E como os livros didáticos podem auxiliar no tão almejado desenvolvimento integral dos estudantes?

Acreditamos que as proposições apresentadas nesta coleção, tanto nas propostas do Livro do Estudante quanto nas sugestões apresentadas do Manual do Professor, poderão potencializar ainda mais o trabalho já desenvolvido na escola.

Assim, apresentamos, neste manual, os pressupostos que embasaram a construção de cada proposição e sugestão de aplicação nele presentes.

Esperamos que as informações aqui apresentadas favoreçam a reflexão de professores sobre a prática pedagógica, seja no trabalho diário com os estudantes em sala de aula, seja nos momentos de planejamento das aulas e da avaliação da aprendizagem.

Letramento matemático

O letramento matemático, segundo a BNCC – baseando-se na Matriz do Pisa de 2012 –, engloba as habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente.

Tais habilidades são constantemente mencionadas no ensino de Matemática, mas pouco se explora o significado de cada uma delas. A compreensão mais ampla desses verbos pode auxiliar o professor tanto nas escolhas para as práticas e intervenções em sala de aula como na organização das atividades propostas nesta coleção.

Raciocinar está relacionado a um conjunto de processos mentais que se ampara em conhecimentos internalizados para a produção de novos conhecimentos em um movimento complexo.

Na Matemática, muito se fala em raciocínio lógico, dedutivo e indutivo. Mas também podemos considerar outros, como o raciocínio abdutivo e o relacional.

Independentemente dos tipos, o raciocínio se desenvolve quando é posto em prática e usado na análise de processos de raciocínio externalizados por outros (no caso da escola, pelos colegas).

Representar é um verbo de grande desafio na área da Matemática. Considerando que muitos conceitos só existem nas teorizações, é por meio da representação que podemos torná-los visíveis. É a representação que dá acesso ao raciocínio.

As representações perpassam todas as unidades temáticas que compõem o ensino da Matemática. Na Geometria, por exemplo, vemos mapas, croquis e representações gráficas de figuras. Na Álgebra, há uma variedade de símbolos que descrevem regularidades e generalizações. Com relação aos números, o próprio símbolo numérico é uma representação de quantidade, ordem, código ou medida.

Devido à necessidade de representar conceitos, a fim de que se operem com eles, pesquisadores apontam a importância de trabalhar a maior variedade de representações para que a aprendizagem ocorra.

Comunicar e argumentar são duas ações que dependem diretamente da linguagem matemática. Os momentos de discussão são fundamentais para que os estudantes possam se comunicar matematicamente para além de registros gráficos convencionais.

As aulas de Matemática devem também valorizar as formas de comunicação oral em que os estudantes precisem escutar argumentos de colegas e organizar os próprios argumentos para fortalecer ou reconstruir aprendizagens. As atividades desta coleção possibilitam aos estudantes que tais habilidades sejam desenvolvidas, por exemplo, nos momentos em que são convidados a explicitar os caminhos percorridos e o raciocínio empregado na resolução de uma situação.

Resolução de problemas

O ensino de Matemática deve explorar a capacidade do estudante de compreender o mundo a seu redor, contextualizado socialmente, bem como promover o entendimento de como o conhecimento da Matemática pode auxiliá-lo nessa atividade.

O ensino de Matemática se apresenta hoje fortemente ligado a essa metodologia, pois ela exige que o estudante desenvolva a capacidade de descobrir e usar informações e estratégias próprias para resolver problemas.

Um dos grandes autores na área de resolução de problemas, Polya (20--) afirma que problema é uma situação que exige uma solução elaborada, que não é imediata. Ele destaca quatro pontos que devem ser considerados na resolução de um problema.

1. Compreensão do problema.

2. Elaboração de um plano de resolução.

3. Execução do plano.

4. Verificação da solução.

O foco na resolução de problemas enfatiza que os estudantes podem trabalhar individualmente ou em grupo, enquanto o professor atua como facilitador e guia. Dessa forma, o estudante é a figura central do processo. Ele analisa dados, estabelece relações e chega a conclusões tentando fundamentá-las, explicando-as, dando assim significado à aprendizagem.

Cálculo mental e calculadora

Quanto à resolução de problemas, é importante que os estudantes desenvolvam diferentes estratégias. O cálculo mental e o uso de calculadora levam os estudantes a raciocinar sobre suas ações. Calcular é uma operação com a qual os estudantes convivem desde pequenos, pois os números, a contagem e as operações costumam fazer parte do brincar, do jogar e do comércio. Para lidar com números pequenos, não são necessários cálculos

ou algoritmos elaborados, é possível usar cálculo mental. Você pode propor situações, problemas e desafios com cálculos simples de adição, subtração, multiplicação e divisão a serem feitos mentalmente com discussões sobre as maneiras de raciocinar. Em todas as situações possíveis, é necessário incentivar o cálculo mental.

Os estudantes terão intimidade cada vez maior com os números ao começarem a verbalizar os resultados e as estratégias utilizadas para a realização dos cálculos. As propriedades e as regularidades matemáticas surgirão naturalmente quando forem discutidas as formas e os caminhos percorridos para chegar ao resultado. Desse modo, os estudantes adquirem mais confiança em si mesmos ao perceber que são capazes de resolver problemas; também passam a respeitar mais os colegas, pois começam a vê-los como pessoas que pensam com autonomia e contribuem com outras soluções.

Além de incentivar o cálculo mental, é importante que o uso da calculadora esteja previsto na sala de aula. A BNCC orienta que cabe ao educador a tarefa de iniciar os estudantes na utilização de novas tecnologias, entre elas a calculadora. As razões que reforçam o uso da calculadora na escola são sociais e pedagógicas. As primeiras dizem respeito ao fato de que a escola não pode se distanciar da realidade, uma vez que o uso desse instrumento está totalmente popularizado. As razões pedagógicas dizem respeito ao uso da calculadora para explorar regularidades e relações matemáticas, além da possibilidade de ampliar os números. O uso desse recurso deve favorecer a aprendizagem de diferentes estratégias de cálculo e explorar os limites desse instrumento. Cabe ao professor decidir quando seu uso é adequado e quando o cálculo mental é mais eficiente. Outra possibilidade de uso da calculadora é tê-la como uma ferramenta de controle e verificação de resultados de operações feitas com papel e lápis, pois permite que os estudantes tenham autonomia na execução e na correção.

A prática docente

O perfil do professor

Na apresentação dos pressupostos teórico-metodológicos desta coleção, iniciamos dizendo que vivemos em um mundo em constante transformação. Diante disso, é primordial que o professor, dia a dia, repense seu papel no processo ensino-aprendizagem, especificamente na interação com os estudantes e com seus pares.

Para tanto, ele necessita planejar as aulas de maneira diferente, extrapolando os tradicionais métodos de ensino, que acabam por privilegiar a “transmissão” de conteúdo, afinal, se o mundo está em constante transformação, e a escola faz parte do mundo, ela também precisa mudar.

Ao repensar seu papel, o professor gera possibilidades de os estudantes repensarem o deles e de se tornarem protagonistas em sua aprendizagem, desenvolvendo competências e habilidades que serão essenciais à vida, nos mais variados contextos: pessoal, familiar, acadêmico, profissional, político, intelectual e outros.

Dessa forma, talvez seja necessário pensar na descentralização do papel do professor no processo ensino-aprendizagem, que, na atualidade, não deve mais estar pautado somente na transmissão de informações, mas na mediação do conhecimento, aqui entendida não apenas “com a função de ligar dois elementos mas sim de ser o centro organizador dessa relação” (AGUIAR et al., 2009, p. 58).

O professor, que antes era considerado apenas o detentor e transmissor do conhecimento, passa a ser também, considerado um mediador, um orientador da aprendizagem – organizando o ensino de acordo com a real capacidade dos estudantes – e do desenvolvimento de hábitos de estudo e de reflexão deles. Estes, que antes eram considerados “baldes vazios”, receptores dos conhecimentos neles “despejados” pelo professor, passam a ser seres ativos na construção do conhecimento, usando, para isso, capacidades, habilidades, inteligência, criticidade e criatividade, tendo o professor como orientador e incentivador da aprendizagem.

O professor passa, então, a fazer intervenções oportunas, necessárias e eficazes no processo ensino-aprendizagem e a propor aos estudantes problemas com base na observação atenta de conhecimentos e estratégias de resolução por eles manifestados.

Ações como experimentação, comparação, estabelecimento de relações, análises, justaposições, levantamento de hipóteses e argumentações são essenciais para que a aprendizagem aconteça de forma significativa.

Neste momento, uma pergunta se faz necessária: como articular a Matemática apresentada nos currículos com as reais necessidades dos estudantes, considerando os contextos nos quais eles estão inseridos? Para respondê-la, é preciso que a ideia de contexto/contextualização seja bem compreendida.

A contextualização, normalmente, é atrelada ao cotidiano dos estudantes, o que é muito importante para que eles possam estabelecer relações e realizar ampliações construindo repertórios potentes para resolver problemas. No entanto, o ensino de Matemática pode ir além, propondo contextos inexistentes no cotidiano de determinado estudante – mas frequentes na vida de outros – ou focando no contexto intramatemático, em que importantes discussões podem acontecer dentro das regularidades, ampliando a compreensão do funcionamento da linguagem matemática.

Considerando que a Matemática é uma construção humana, sempre haverá um contexto, ou seja, os conceitos construídos surgem de problemas que podem estar presentes em situações do dia a dia, em necessidades de ciências específicas – como para o desenvolvimento de um software ou para o cálculo de substâncias na composição de medicamentos – ou em teorizações matemáticas.

Quando pensamos no cotidiano atual dos estudantes, é necessário ter em mente a velocidade com que as informações se espalham por meio de diferentes mídias. Também é preciso considerar que o cotidiano não inclui apenas questões sociais, como a falta de moradia ou de alimentação – sem deslegitimar a importância de tais fatores – mas também aos jogos com os quais os estudantes estão em contato, às leituras que fazem de outras culturas e de outros espaços, entre outros temas que lhes são interessantes, mesmo que pareçam distantes de suas “realidades”.

É certo que os livros didáticos não darão conta da enorme diversidade cotidiana de cada comunidade escolar, daí a importância do papel do professor para aproximar os estudantes desses contextos “distantes”, fazendo inter-relações entre o novo e aquilo que já conhecem, ampliando, assim, o conhecimento de mundo deles.

Ao pensar nos contextos extramatemáticos, é válido observar a variedade de temas que podem ser abordados, considerando o rico cotidiano dos estudantes de hoje e a possibilidade de apresentar-lhes situações novas que exemplifiquem outras formas de estar no mundo.

O professor, ao mediar o aprendizado construído pelos estudantes, torna a aprendizagem mais significativa.

Monkey Business Images/Shutterstock.com

Desse modo, os conteúdos desta coleção são apresentados com base em diferentes contextos, assim como as atividades, que englobam tanto situações que se referenciam em possíveis cotidianos dos estudantes como as que focam no desenvolvimento intramatemático.

Como vemos, a prática do professor abrange uma diversidade de aspectos relacionados ao ensino, que precisam ser considerados para potencializar os momentos de aprendizagem: o planejamento das aulas; os conhecimentos didáticos; os conhecimentos dos conteúdos; a qualidade da relação com os estudantes, com os pais e com os demais atores que compõem a comunidade escolar; a disponibilidade de recursos que apoiem sua prática, entre outros.

Com relação ao planejamento, o professor precisa articular seus objetivos, os objetos de conhecimento definidos nos documentos curriculares, as possibilidades metodológicas para explorá-los e os conhecimentos dos estudantes sobre o assunto, tudo isso organizado em um tempo didático.

O livro didático poderá ser uma ferramenta indispensável para essa articulação; no entanto, caberá ao professor adaptá-la às necessidades dos estudantes e organizá-la no tempo organizá-la no tempo, espaço e recursos didáticos disponíveis em cada instituição escolar.

Esse processo de adaptação de atividades do livro didático, ou de qualquer outro recurso externo, depende de escuta ativa do professor sobre as ações dos estudantes. Muitas vezes, não basta perguntar ou aplicar um instrumento avaliativo ou diagnóstico para identificar os conhecimentos dos estudantes; é preciso estar atento ao cotidiano escolar: O que explicitam as situações de aprendizagens? Como realizam as atividades rotineiras, sem a pressão avaliativa, em situações de brincadeira, nas relações com seus pares? Conhecer os estudantes é, portanto, incluir na prática docente um olhar e uma escuta sensíveis para o que acontece na sala de aula e em outros espaços da escola.

Mesmo trazendo essas questões para o planejamento, sempre haverá o imprevisível, as situações com as quais o professor, por mais experiente que seja, poderá não saber lidar. Nesse sentido, os estudos de Alarcão (2011) sobre a noção de professor reflexivo apontam algumas questões sobre a prática docente que podem ajudar o professor a lidar com tal imprevisibilidade e que devem ser consideradas no planejamento e na gestão da sala de aula.

Para a autora:

A noção de professor reflexivo baseia-se na consciência da capacidade de pensamento e reflexão que caracteriza o ser humano como criativo e não como mero reprodutor de ideias e práticas que lhe são exteriores. É central, nesta conceptualização, a noção do profissional como uma pessoa que, nas situações profissionais, tantas vezes incertas e imprevistas, atua de forma inteligente e flexível, situada e reativa (ALARCÃO, 2011, p. 44, grifo nosso).

Fundamentada na concepção de professor reflexivo apresentada por Donald Schön, Alarcão (2011) destaca a importância de uma prática reflexiva embasada no conhecimento, na ação e em três tipos de reflexão: a reflexão na ação, a reflexão sobre a ação e a reflexão sobre a reflexão na ação.

A autora explica que a reflexão na ação acontece no decurso da própria ação, sem interrupções, embora com breves instantes de distanciamento: reformulamos o que estamos fazendo enquanto estamos fazendo.

Já a reflexão sobre a ação consiste em pensarmos retrospectivamente sobre a ação: reconstruímos a ação mentalmente e tentamos analisá-la.

Por fim, a reflexão sobre a reflexão na ação constitui-se em um processo de metarreflexão: pensamos sobre a reflexão que fizemos sobre a ação e encontramos novas formas de agir em situações futuras.

Alarcão (2011, p. 55) cita algumas estratégias de desenvolvimento da capacidade de reflexão, como:

a) a análise de casos;

b) as narrativas;

c) a elaboração de portfólios reveladores do processo de desenvolvimento seguido;

d) o questionamento dos outros atores educativos;

e) o confronto de opiniões e abordagens;

f) os grupos de discussão ou círculos de estudo;

g) a auto-observação;

h) a supervisão colaborativa;

i) as perguntas pedagógicas.

É importante destacar que o professor pode refletir sobre diversos aspectos, entre eles a gestão da sala de aula e os conhecimentos que possui em sua área de conhecimento. É justamente nesse processo reflexivo que pode romper com suas crenças sobre o ensino e os significados do componente curricular que ministra.

Com esse rompimento, a ampliação dos conhecimentos e a interação com os pares, o professor ganha mais segurança para planejar e pôr em prática situações vigorosas de ensino.

Os diferentes perfis dos estudantes

Considerar os diferentes perfis dos estudantes é de grande importância como forma de criar uma visão geral de cada estudante, assim como valorizar a multiplicidade e a diversidade individual e cultural. Essa visão influencia no processo ensino-aprendizagem. Dessa forma, criar um universo que facilite o aprendizado e a harmonia entre esses diversos perfis é de suma importância.

Gardner, em sua Teoria das Inteligências Múltiplas, considera que “a mente é um instrumento multifacetado de muitos componentes que não podem, de maneira legítima, ser capturados num simples instrumento, estilo lápis e papel”.

Estimular o pensamento crítico e a criatividade é relevante, dando oportunidade para que cada estudante possa analisar, filtrar, selecionar e usar informações novas, estabelecendo conexões entre os saberes que já possui e criando possibilidades para uso dos dados e dos pontos de vista, por meio de análises críticas, criativas e propositivas.

O desenvolvimento da capacidade argumentativa também deve ser estimulado, para que os estudantes tenham a oportunidade de opinar e apresentar seus próprios pontos de vista, tornando-se capazes não só de constatar fatos e emitir hipóteses mas também de justificar e defender suas ideias, quando confrontadas com os demais estudantes.

O estímulo à leitura de textos de diferentes gêneros é de grande importância e a inferência é um fator essencial que está relacionada à compreensão da leitura, no que se refere aos elementos explícitos e implícitos. Chegar a conclusões a partir de informações do texto é inferir, ou seja, concluir pelo raciocínio buscando sempre a essência do texto.

O trabalho em sala de aula

A gestão da sala de aula também inclui o tipo de relação que se constrói com os estudantes. É possível conceber relações verticais, em que o professor se posiciona como detentor do saber, ou relações horizontais, nas quais constrói uma gestão democrática, sem desconsiderar, porém, a assimetria naturalmente existente na relação professor-estudante.

A gestão democrática da sala de aula pode potencializar os trabalhos coletivos dos estudantes e abrir mais possibilidades de comunicação na relação professor-estudante, concebendo um espaço propício à aprendizagem voltada para as questões da cidadania, do respeito e da cooperação.

Há várias proposições que podem colaborar para que o professor alcance seus objetivos.

As propostas individuais permitem a mobilização de conhecimentos já elaborados, as atividades em duplas permitem uma interação mais focada e a discussão de ideias, e as organizações em grupos possibilitam trocas e debates.

O trabalho em pequenos grupos, por exemplo, potencializa a qualidade das aprendizagens e favorece a aquisição de conhecimentos pelos estudantes, a partir da interação entre eles (BONALS, 2003). Conhecer os estudantes, no entanto, é fundamental para agrupá-los de modo produtivo, a fim de que consigam expor suas ideias e fazer trocas sólidas e válidas.

Os agrupamentos podem considerar, dentre outros aspectos, o nível de conhecimento dos estudantes e a afinidade entre eles. Quando o nível de conhecimento dos estudantes é mais próximo, o diálogo pode ser mais equilibrado do que quando os conhecimentos de um estudante são muito diferentes dos de outro. Em tais situações, o diálogo pode nem acontecer, dada a dificuldade de compreensão das ideias entre eles.

Nos momentos em que os agrupamentos são organizados, o professor poderá circular pela sala de aula para observar como as interações acontecem para além das discussões sobre o conteúdo, identificando como está o nível de argumentação, de escuta e de articulação de ideias de cada um.

Em Matemática, um exemplo de agrupamento para desenvolver estratégias de cálculo mental pode ser a organização dos estudantes de modo ascendente, começando com o trabalho individual e evoluindo para duplas (em que cada estudante apresenta sua estratégia) e quartetos (em que os estudantes discutem e concluem qual é a estratégia mais econômica). O papel do professor, nesse tipo de atividade, é observar as estratégias individuais apresentadas pelos estudantes, pedindo que as expliquem, e fazer os agrupamentos em duplas e em quartetos a partir de suas observações (BIBIANO; SANTOMAURO; MARTINS, 2009).

Cabe destacar que o tipo de relação construída entre o professor e os estudantes inclui a forma como os erros e as ideias daqueles são recebidos por este. É possível que alguns estudantes deixem de fazer perguntas e de expor ideias quando sentirem que não são escutados ou que seus erros são repreendidos. A compreensão do erro como parte do processo de aprendizagem deve ser explorada com os estudantes. Esse tema tem sido estudado por muitos pesquisadores no campo da Educação Matemática. Alguns o fazem com o objetivo de entender os motivos que levam ao erro, investigando obstáculos que são colocados nos processos didáticos ou obstáculos que são construídos historicamente na produção dos conhecimentos. Outros analisam também o que os erros podem revelar sobre os estudantes. Há, ainda, aqueles que buscam diagnósticos de erros frequentes, caracterizando-os como problemas ou dificuldades de aprendizagem que necessitam de outros tipos de intervenção.

Reinaldo

Vignati

Para pensar a gestão da sala de aula, é necessário estabelecer um bom diálogo e uma escuta atenta para as situações de erro em sala de aula, as quais, muitas vezes, proporcionam uma aprendizagem potente e são descartadas somente por não se alinharem aos resultados esperados pelo professor.

Uma forma de o professor ativar a escuta e o olhar sensível para com o estudante e suas ações é perguntar-se frequentemente o que está acontecendo na sala de aula, mesmo que nada pareça acontecer, pois será com base em ações rotineiras e em erros muitas vezes desconsiderados que ele poderá construir uma relação mais aberta e mais sensível com os estudantes.

Como trabalhar com grupos grandes

Trabalhar com turmas que têm grande quantidade de estudantes é, certamente, um dos maiores desafios enfrentados pelo professor no exercício diário da prática docente. Pensar em caminhos que lhe possibilitem superar esse desafio leva-nos novamente a pensar na descentralização de seu papel no processo ensino-aprendizagem, como abordamos no tópico anterior.

É de grande importância refletirmos sobre novas metodologias para favorecer o aprendizado de grandes grupos de estudantes.

Essa descentralização pode ser obtida por meio da adoção de estratégias de ensino que coloquem os estudantes no centro da aprendizagem, como protagonistas do processo de construção do conhecimento (BRASIL, 2018), tendo o professor como mediador desse processo. Para isso, entendemos que se faz necessário aos estudantes desenvolver sua autonomia e interagir com seus pares em diferentes momentos e de diversas maneiras.

Essa interação entre pares também faz com que os próprios estudantes sejam mediadores do conhecimento e, portanto, promotores de aprendizagens para si e para os colegas.

Nessa direção, as metodologias ativas surgem como possível caminho para proporcionar aos estudantes meios para que consigam exercer o protagonismo e a autonomia em sua aprendizagem.

Moran (2017, p. 24) explica que as metodologias ativas “são estratégias de ensino centradas na participação efetiva dos estudantes na construção do processo de aprendizagem, de forma flexível, interligada, híbrida”.

Quando o professor trabalha com metodologias ativas, a construção do conhecimento, pelos estudantes, permite o desenvolvimento de diversas competências, entre elas:

• saber buscar e investigar informações com criticidade (critérios de seleção e priorização), a fim de atingir determinado objetivo, a partir da formulação de perguntas ou desafios dados pelos educadores;

• compreender a informação, analisando-a em diferentes níveis de complexidade, contextualizando-a e associando-a a outros conhecimentos;

• interagir, negociar e comunicar-se com o grupo, em diferentes contextos e momentos;

• conviver e agir com inteligência emocional, identificando e desenvolvendo atitudes positivas para a aprendizagem colaborativa;

• ter autogestão afetiva, reconhecendo atitudes interpessoais facilitadoras e dificultadoras para a qualidade da aprendizagem, lidando com o erro e as frustrações, e sendo flexível;

• tomar decisão individualmente e em grupo, avaliando os pontos positivos e negativos envolvidos;

• desenvolver a capacidade de liderança;

• resolver problemas, executando um projeto ou uma ação e propondo soluções (BRASIL, [2018?b], p. [1]).

Essas informações foram apresentadas por Glasser em forma de gráfico, dando origem à conhecida “pirâmide de aprendizagem” (DINIZ, 2021).

Aprendizagem ativa

Observando a “pirâmide de aprendizagem”, podemos facilmente concluir que, quanto mais interagimos com o outro e ampliamos o uso de nossas habilidades comunicativas, mais podemos aprender, o que nos leva a concluir também que existe uma profunda relação entre as metodologias ativas de ensino e a pirâmide de aprendizagem desenvolvida por Glasser.

Entre as principais metodologias ativas, destacamos as seguintes (SANTOS, 2021, p. [1]):

1. Sala de aula invertida: nessa prática, o professor inicialmente propõe aos alunos realizar uma tarefa específica ou pesquisar sobre determinado conteúdo antes de uma aula. Assim, durante a aula, o docente utiliza o que foi feito pelos alunos e, se necessário, complementa com mais explicações, momentos tira-dúvidas e com atividades e debates sobre o tema. Essa estratégia é um dos modelos de ensino híbrido.

2. Rotação por estações: consiste em organizar a sala de aula em pequenos grupos, nas chamadas estações, e, em cada uma delas, realiza-se uma tarefa diferente, embora todas estejam conectadas a um mesmo tema. A ideia é que os alunos façam um circuito por essas estações, passando por todas as atividades. O uso de um recurso digital em uma das estações pode ser útil para coletar dados sobre a aprendizagem dos alunos. Essa estratégia é outro modelo de ensino híbrido.

Reinaldo Vignati

3. Laboratório rotacional: segue dinâmica semelhante à da rotação, mas envolve outros espaços da escola. Aqui são formados dois grupos, sendo que um ficará no espaço com o professor (que não precisa ser a sala de aula) e o outro irá utilizar um recurso digital em outro local, como o laboratório de informática, a biblioteca ou outro espaço que cumpra a função. Novamente, as ferramentas digitais podem auxiliar a coleta de dados sobre a aprendizagem, possibilitando a personalização do ensino. Assim como as anteriores, trata-se de um modelo de ensino híbrido.

4. Aprendizagem baseada em projetos: possui várias definições, sendo um conceito bem amplo, que busca ensinar os conceitos curriculares aos alunos integrando várias disciplinas. É ideal que os projetos se baseiem em situações-problema reais do contexto escolar e dos alunos, buscando uma solução em forma de produto, o que vai envolver hipóteses, investigação, construção de um plano para a solução, e muito trabalho coletivo e colaborativo. Ao final, os estudantes podem compartilhar as soluções construídas com a turma toda, sendo mediados pelo professor.

5. Aprendizagem baseada em problemas: como o nome indica, utiliza problemas para a construção dos conceitos desejados pelo professor. É interessante que os problemas sejam baseados na realidade dos alunos, que podem resolvê-los de diversas formas – ou seja, são abertos e as respostas não podem ser obtidas por resoluções simples como a mera aplicação de uma fórmula. O processo de resolução dos problemas, inclusive, pode ser mais importante do que a própria solução, já que o docente pode analisar a compreensão dos alunos pelo modo como o resolveram. O trabalho em grupo ganha força com essa abordagem.

Embora as metodologias ativas sejam comumente associadas ao uso de tecnologias digitais, sabemos que estas, sozinhas, não têm o poder de promover a aprendizagem dos estudantes. O que, de fato, fará diferença no processo de ensino e aprendizagem será o planejamento das aulas pelo professor, tendo como foco a participação ativa dos estudantes nas atividades a serem realizadas.

O trabalho interdisciplinar

Embora os documentos curriculares oficiais e os livros desta e da maioria das coleções estejam organizados disciplinarmente, isto é, por componente curricular, as discussões sobre interdisciplinaridade estão presentes há muito tempo entre os professores e os pesquisadores interessados pelo tema.

A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) aponta que as aprendizagens essenciais definidas para cada etapa da Educação Básica só se materializarão mediante o conjunto de decisões que irão adequar as proposições da BNCC à realidade local (BRASIL, 2018), entre elas:

[...] decidir sobre formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares e fortalecer a competência pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à gestão do ensino e da aprendizagem (BRASIL, 2018, p. 16, grifo nosso).

Para possibilitar tais formas de organização curricular interdisciplinar, é preciso compreender a concepção de interdisciplinaridade e diferenciá-la de outras concepções que carregam o mesmo radical (“disciplina”), como multidisciplinaridade, pluridisciplinaridade e transdisciplinaridade

Segundo Nogueira (1998), a multidisciplinaridade ocorre em duas situações: quando há integração de diferentes conteúdos de uma mesma disciplina ou quando há justaposição de diferentes conteúdos de disciplinas distintas, sem, porém, nenhuma preocupação de integração.

Já a pluridisciplinaridade diz respeito à prática na qual já existem sinais de cooperação entre os diferentes componentes curriculares, mas ainda sem objetivos comuns. Não existe uma coordenação propriamente dita, sistemática, mas uma coordenação intuitiva.

Na interdisciplinaridade, por sua vez, “a tônica é o trabalho de integração das diferentes áreas do conhecimento. Um real trabalho de cooperação e troca, aberto ao diálogo e ao planejamento” (NOGUEIRA, 1998, p. 26, grifo nosso).

Por fim, como explica o autor, na transdisciplinaridade, as relações não seriam apenas de integração dos diferentes componentes curriculares, mas de um sistema sem fronteiras, em que a integração chegaria a um nível tão alto, que seria impossível distinguir os limites de cada um deles. Sabemos que a organização curricular por componente curricular viabiliza o processo ensino-aprendizagem, mas não devemos perder de vista que o conhecimento não se limita a uma ou a outra área. Na vida, os conteúdos estão integrados. Exemplo disso está na imagem a seguir.

Que componentes curriculares ou áreas do conhecimento estão presentes na cena?

Embora não haja “placas” que nos indiquem isso, sabemos que, de forma integrada, estão presentes conhecimentos sobre:

• cálculos, unidades de medida, números, formas geométricas (Matemática);

• força, gravidade, resistência (Física);

• compostos, materiais (Química);

• segurança no trabalho (Direito);

• comunicação oral e escrita, leitura de projetos (Língua Portuguesa);

• condições de trabalho e de empregabilidade (Sociologia);

• impacto ambiental (Ciências);

• formas de relevo, propriedades do solo (Geografia)... entre tantos outros.

Fazer essa análise ajuda-nos a entender que a realidade não é segmentada, ou seja, na vida, os conhecimentos das mais diferentes áreas interpenetram-se e inter-relacionam-se; existem de forma integrada.

E na escola? Como o professor pode superar a possível visão fragmentada de sua área de conhecimento, com enfoque meramente disciplinar?

Trabalhadores em um canteiro de obras.

Red ivory/Shutterstock.com

Uma das possibilidades é o trabalho com projetos interdisciplinares, sejam aqueles envolvendo professores de dois ou mais componentes curriculares, sejam aqueles desenvolvidos com os estudantes por um único professor, uma vez que este pode ter uma visão interdisciplinar de seu ensino e promovê-la em suas aulas.

Interdisciplinaridade, na verdade, é uma atitude. A integração deve ocorrer entre os saberes e não, necessariamente, entre os professores, embora saibamos que a realização de projetos interdisciplinares por dois ou mais docentes traz uma série de benefícios a todos os envolvidos, como engajamento da comunidade escolar, fortalecimento de vínculos, ampliação da capacidade de trabalhar em equipe, criação de ambientes mais colaborativos, entre outros.

Outra ideia equivocada que comumente encontramos nas escolas é de que projetos interdisciplinares precisam ser longos, por vezes, até exaustivos. Na verdade, a duração de um projeto interdisciplinar deverá ser condizente com a abrangência da temática desenvolvida, que, vale lembrar, precisa estar em consonância com situações-problemas reais vividas pelos estudantes.

Nesta coleção, as atividades são indicadas em consonância com os componentes curriculares definidos pela BNCC, no entanto, algumas propostas possibilitam um trabalho inter, multi ou pluridisciplinar, com base nas ampliações do professor. Em algumas atividades específicas, há indicações da possibilidade de trabalho interdisciplinar, a fim de auxiliar o professor em seu planejamento e na articulação de saberes.

Para trabalhar com essa perspectiva de diálogo entre os componentes curriculares, o professor precisa estar aberto ao diálogo com outros professores e atualizar constantemente seus conhecimentos, potencializando as ações pedagógicas.

Também, é necessário que tome alguns cuidados ao articular os componentes curriculares, pois algumas tentativas de aproximar conhecimentos em relação a um tema podem empobrecer o trabalho matemático, propondo relações artificiais ou reduzindo as atividades ao uso de tabelas e gráficos que, em geral, poderiam ser utilizados em uma grande diversidade de temas. Claro que o uso das tabelas e gráficos é importante, entretanto, as articulações entre os componentes curriculares devem ser mais ricas, proporcionando outros conhecimentos matemáticos igualmente importantes.

As práticas de pesquisa

Sabemos que, até pouco tempo, as “pesquisas” realizadas pelos estudantes, a pedido dos professores, resumiam-se a simples cópias de informações obtidas em livros e enciclopédias, prática que, com o advento da tecnologia, foi substituída pelos comandos “copiar” e “colar”, feitos no computador.

Nesse sentido, cabe uma reflexão: encontrar informações sobre determinado assunto, seja em suportes físicos ou digitais, e reproduzi-las consiste, de fato, no ato de pesquisar?

Lüdke e André (1986) afirmam que esse tipo de atividade não representa, verdadeiramente, o conceito de pesquisa, mas sim uma atividade de consulta que, embora importante para a aprendizagem dos estudantes, não esgota o sentido do termo.

Segundo as autoras, para a realização de uma pesquisa,

[...] é preciso promover o confronto entre os dados, as evidências, as informações coletadas sobre determinado assunto e o conhecimento teórico acumulado a respeito dele. Em geral, isso se faz a partir do estudo de um problema, que ao mesmo tempo desperta o interesse do pesquisador e limita sua atividade de pesquisa a uma determinada porção do saber, a qual ele se compromete a construir naquele momento. [...] Esse conhecimento é, portanto, fruto da curiosidade, da inquietação, da inteligência e da atividade investigativa dos indivíduos, a partir e em continuação do que já foi elaborado e sistematizado pelos que trabalharam o assunto anteriormente (LÜDKE; ANDRÉ, 1986, p. 1-2).

E assim, ano após ano, os estudantes seguem coletando e reproduzindo informações, sem, efetivamente, realizar pesquisas. Uma das razões para que isso aconteça seja, talvez, o fato de que precisem aprender a pesquisar, o que, muitas vezes, não acontece na escola.

Nessa direção, a pesquisadora brasileira Walkiria Rigolon, em entrevista concedida à Revista Ensino sobre o tema “Aprender a estudar” comenta que:

A escola, em geral, naturaliza alguns saberes, como se determinados conteúdos não precisassem ser ensinados, ou que pudessem ser aprendidos sem um modelo, sem apoio ou referência. Tratamos assim os procedimentos e técnicas de estudos como se fossem um dom natural (RIGOLON, 2017, p. [1]).

O ato de pesquisar, portanto, não é “natural”, e sim algo que precisa ser aprendido, sendo a escola lócus privilegiado para essa aprendizagem. Nessa perspectiva, os professores precisam criar situações de aprendizagem que possibilitem aos estudantes o desenvolvimento de algumas habilidades, entre elas:

• localizar, selecionar e compartilhar informações;

• ler, compreender e interpretar textos com maior grau de complexidade;

• consultar, de forma crítica, fontes de informação diferentes e confiáveis;

• formar e defender opiniões;

• argumentar de forma respeitosa;

• sintetizar;

• expor oralmente o que aprendeu apoiando-se em diferentes recursos;

• generalizar conhecimentos;

• produzir gêneros acadêmicos (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Se o desenvolvimento dessas e de outras habilidades necessárias ao ato de pesquisar constituir-se em ponto de atenção dos professores de diferentes componentes curriculares, certamente o processo ensino-aprendizagem ganhará outras dimensões, pois proporcionará aos estudantes que aprendam e se desenvolvam em diferentes áreas do conhecimento, de forma ativa e autônoma.

É de extrema importância a orientação do professor para o planejamento e para o acompanhamento das pesquisas realizadas pelos estudantes.

Ao propor aos estudantes a realização de uma pesquisa, é fundamental que o professor compartilhe com eles:

[...] por que a pesquisa será feita, que relação ela terá com o que estão aprendendo ou aprenderão e qual será o tempo estipulado para sua realização, entre outras informações que ajudem a contextualizar e problematizar a temática a ser investigada. Esse compartilhamento tem por objetivo criar nos estudantes expectativas que os ajudem a atribuir significado e sentido ao ato de pesquisar (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Outro ponto importante é a elaboração coletiva do roteiro, que deverá explicitar as etapas da pesquisa, [...] desde o levantamento inicial das informações, a seleção de diversas fontes, a leitura de todo o material selecionado, a utilização dos procedimentos de estudo para aprofundamento das leituras e os registros das aprendizagens construídas, até a apresentação dos resultados obtidos, garantindo que existam ao longo desse processo, sobretudo, momentos de compartilhamento do que se aprendeu (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Nessa perspectiva, o professor deverá atentar-se à forma como avaliará o trabalho realizado pelos estudantes, pois considerar apenas o resultado, e não o processo como um todo, seria incorrer em uma visão reducionista do processo ensino-aprendizagem.

Uma boa estratégia complementar à avaliação do professor é a realização da autoavaliação pelos estudantes e pelo próprio grupo. Assim, eles podem autoavaliar-se em cada etapa do processo de pesquisa,

[...] identificando suas dificuldades, os desafios do ato de pesquisar e, principalmente, seus avanços. Com essa estratégia de avaliação, é possível observar, por exemplo, que um estudante se saiu muito bem na seleção de material, porém não teve o mesmo êxito ao apresentar oralmente seus resultados; ou que teve sucesso na apresentação dos resultados, mas selecionou fontes não confiáveis. Nesse contexto, a avaliação final consideraria todas as etapas da produção da pesquisa, sem focar apenas um quesito (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Destacamos que o ensino sistemático da pesquisa desde os primeiros anos de escolaridade contribui para que os estudantes não cheguem aos Anos Finais da Educação Básica sem desenvolver essa capacidade que, certamente, será fundamental para o sucesso de seus estudos na universidade.

Veja como isso se materializa na BNCC (BRASIL, 2018, p. 305, 311, 315 e 319):

• 6? ano: (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

• 7? ano: (EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

• 8? ano: (EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

• 9? ano: (EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e o ensino da Matemática

A BNCC apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais que todos os estudantes devem desenvolver ao longo da Educação Básica, de modo que tenham assegurados seus direitos de aprendizagem e desenvolvimento, conforme estabelecido no Plano Nacional de Educação (PNE).

Ao longo desse período, as aprendizagens essenciais definidas no documento devem contribuir para assegurar aos estudantes o desenvolvimento de dez competências gerais que consolidam, no âmbito pedagógico, os direitos de aprendizagem e desenvolvimento.

A BNCC define competência como

[...] a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho (BRASIL, 2018, p. 8).

Vale comentar que, entre os marcos legais que embasam a BNCC, estão a Constituição Federal (CF) de 1988, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) no 9.394/1996 e a Lei no 13.005/2014, que promulgou o PNE.

A Constituição Federal, trinta anos antes da publicação integral da BNCC, já anunciava, em seu artigo 210, a concepção de currículo comum:

Serão fixados conteúdos mínimos para o Ensino Fundamental, de maneira a assegurar formação básica comum e respeito aos valores culturais e artísticos, nacionais e regionais (BRASIL, 2016, p. 124, grifo nosso).

Da mesma forma, a LDB, em seus artigos 9o (inciso IV) e 26o, anos antes da publicação da BNCC, já expressava essa concepção:

[Cabe à União] [...] estabelecer, em colaboração com os Estados, o Distrito Federal e os Municípios, competências e diretrizes para a educação infantil, o ensino fundamental e o ensino médio, que nortearão os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum (BRASIL, 2017, p. 12, grifo nosso).

[...]

Os currículos da educação infantil, do ensino fundamental e do ensino médio devem ter uma base nacional comum, a ser complementada, em cada sistema de ensino e em cada estabelecimento escolar, por uma parte diversificada, exigida pelas características regionais e locais da sociedade, da cultura, da economia e dos educandos (BRASIL, 2017, p. 19, grifo nosso).

Da mesma forma, na meta 7 do PNE, estratégia 7.1, também já se fazia presente a concepção de currículo comum: (7.1) estabelecer e implantar, mediante pactuação interfederativa, diretrizes pedagógicas para a básica e a base nacional comum dos currículos, com direitos e objetivos de aprendizagem e desenvolvimento dos(as) alunos(as) para cada ano do ensino fundamental e médio, respeitada a diversidade regional, estadual e local (BRASIL, 2014, p. [1], grifos nossos).

Também é importante mencionar que a BNCC tem como fundamentos pedagógicos o foco no desenvolvimento de competências e o compromisso com a educação integral. Com relação ao primeiro fundamento pedagógico, a BNCC indica que [...] as decisões pedagógicas devem estar orientadas para o desenvolvimento de competências. Por meio da indicação clara do que os alunos devem “saber” [...] e,

sobretudo, do que devem “saber fazer” [...], a explicitação das competências oferece referências para o fortalecimento de ações que assegurem as aprendizagens essenciais definidas na BNCC (BRASIL, 2018, p. 13).

Com relação ao segundo fundamento pedagógico, a BNCC reconhece que [...] a Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento humano global, o que implica compreender a complexidade e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão intelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do adolescente, do jovem e do adulto – considerando-os como sujeitos de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas suas singularidades e diversidades (BRASIL, 2018, p. 14).

Para que as aprendizagens essenciais definidas para cada etapa da Educação Básica se materializem, faz-se necessário que as proposições da BNCC sejam adequadas à realidade local. Nesse sentido, algumas ações precisam ser tomadas pela comunidade escolar, entre elas:

• contextualizar os conteúdos dos componentes curriculares, identificando estratégias para apresentá-los, representá-los, exemplificá-los, conectá-los e torná-los significativos, com base na realidade do lugar e do tempo nos quais as aprendizagens estão situadas;

• decidir as formas de organização interdisciplinar dos componentes curriculares e fortalecer a competência pedagógica das equipes escolares para adotar estratégias mais dinâmicas, interativas e colaborativas em relação à gestão do ensino e da aprendizagem;

• selecionar e aplicar metodologias e estratégias didático-pedagógicas diversificadas, recorrendo a ritmos diferenciados e a conteúdos complementares, se necessário, para trabalhar as necessidades de diferentes grupos de estudantes, suas famílias e cultura de origem, suas comunidades, seus grupos de socialização etc.;

• conceber e pôr em prática situações e procedimentos para motivar e engajar os estudantes nas aprendizagens;

• construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa de processo ou de resultado que levem em conta os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros como referência para melhorar o desempenho da escola, dos professores e dos estudantes;

• selecionar, produzir, aplicar e avaliar recursos didáticos e tecnológicos para apoiar o processo de ensinar e aprender;

• criar e disponibilizar materiais de orientação para os professores, bem como manter processos permanentes de formação docente que possibilitem contínuo aperfeiçoamento dos processos de ensino e aprendizagem;

• manter processos contínuos de aprendizagem sobre gestão pedagógica e curricular para os demais educadores, no âmbito das escolas e dos sistemas de ensino (BRASIL, 2018, p. 16-17).

Implicações da BNCC no ensino de Matemática no contexto da sala de aula

No componente curricular de Matemática, é necessário destacar quais são as concepções assumidas sobre o ensino da área e como os conhecimentos organizam-se no período escolar.

Segundo a BNCC, equivalência, ordem, proporcionalidade, interdependência, representação, variação e aproximação são algumas das ideias fundamentais da área que precisam ser consideradas no desenvolvimento do pensamento matemático dos estudantes por meio de objetos de conhecimento. Essas ideias fundamentais perpassam as cinco unidades temáticas que compõem a Matemática escolar proposta pelo documento.

As unidades temáticas são uma forma de organizar os conhecimentos matemáticos, mas é importante salientar que, no trabalho a ser desenvolvido com os estudantes, elas devem estar inter-relacionadas.

Vejamos algumas informações acerca de cada uma dessas unidades temáticas, especificamente na etapa dos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Números

Por meio da exploração de campos numéricos, essa unidade temática inclui o desenvolvimento das ideias fundamentais de aproximação, proporcionalidade, equivalência e ordem.

Nos Anos Finais do Ensino Fundamental, os estudantes devem ampliar suas habilidades de operar com números naturais, inteiros e racionais. Os números irracionais também devem ser explorados, de acordo com a percepção dos estudantes e de sua necessidade, em situações nas quais os números racionais não são suficientes, por exemplo, em contextos geométricos. O cálculo e a compreensão de porcentagem bem como a identificação de números na reta numérica, explorando ordem, ampliam ainda mais o trabalho com essa unidade temática.

Os conceitos básicos de economia e finanças, que visam à educação financeira dos estudantes, também compõem o trabalho e facilitam a interlocução com outras áreas do conhecimento.

[...] podem ser discutidos assuntos como taxa de juros, inflação, aplicações financeiras (rentabilidade e liquidez de um investimento) e impostos. Essa unidade temática favorece um estudo interdisciplinar envolvendo as dimensões culturais, sociais, políticas e psicológicas, além da econômica sobre as questões do consumo, trabalho e dinheiro (BRASIL, 2018, p. 269).

Álgebra

Essa unidade temática envolve o desenvolvimento do pensamento algébrico, relacionado à identificação de regularidades e padrões, tanto em sequências numéricas como não numéricas, à construção ou à compreensão de leis matemáticas que representem relações de interdependência entre grandezas diversas e, também, às diversas representações gráficas e simbólicas. Os objetos de conhecimento dessa unidade relacionam-se às ideias de equivalência, variação, interdependência e proporcionalidade

[...] Em síntese, essa unidade temática deve enfatizar o desenvolvimento de uma linguagem, o estabelecimento de generalizações, a análise da interdependência de grandezas e a resolução de problemas por meio de equações ou inequações (BRASIL, 2018, p. 270).

Vale destacar que essa unidade temática deve ser explorada desde os Anos Iniciais do Ensino Fundamental, mas cabe aos Anos Finais dar continuidade a ela, explorando as variáveis numéricas em expressões, estabelecendo generalizações, investigando novas regularidades e padrões, identificando valores desconhecidos, entre outras habilidades.

Além disso, segundo a BNCC, os conhecimentos envolvidos nessa e em outras unidades temáticas podem dar grande sustentação para o pensamento computacional, já que desenvolvem a capacidade de traduzir situações em linguagens específicas.

Números Álgebra

Geometria

Grandezas e medidas

Probabilidade e Estatística

Reinaldo Vignati

Geometria

Os objetos de conhecimento e as competências inseridos nessa unidade temática buscam desenvolver o pensamento geométrico, que propicia ao estudante um novo olhar para o mundo físico, por meio da exploração e do estudo de espaços, deslocamentos, formas, incluindo figuras planas e espaciais. Quanto ao aspecto funcional, essa unidade engloba as transformações geométricas.

Para o trabalho com os objetos de conhecimento, é importante considerar o desenvolvimento das ideias de construção, representação e interdependência

A BNCC destaca o trabalho com os conceitos de congruência e semelhança, de modo que os estudantes sejam capazes de realizar demonstrações simples, e enfatiza o quanto as atividades não podem ser reduzidas à aplicação de fórmulas ou aplicações imediatas de teoremas, já que pode haver outras formas e estratégias de resolver as problemáticas propostas.

Grandezas e medidas

O trabalho com medidas e com a relação entre elas pode ser um ponto integrador tanto com outras unidades temáticas (ampliação da noção de número, por exemplo) como com outros componentes curriculares (uso de escalas em mapas no campo da Geografia, por exemplo). É esperado que, nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, os estudantes reconheçam as unidades de medidas convencionais, para que o tema possa ser ampliado nos Anos Finais, com a exploração de densidade, velocidade e capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

Probabilidade e estatística

Essa unidade temática trata da parte da Matemática que lida com o incerto, com o tratamento de dados e o desenvolvimento das habilidades de coletar, organizar, representar, interpretar e analisar dados. Tais habilidades possibilitam um olhar crítico para as situações do dia a dia, de modo a permitir que os estudantes analisem a ocorrência de eventos ou identifiquem dados de determinadas situações que revelem necessidades de uma comunidade, de uma instituição ou de qualquer outro espaço. Esse tipo de conhecimento também alicerça a tomada de decisões, pois torna possível a antecipação de situações para se evitarem escolhas vazias.

O uso de tecnologias digitais

Como mencionamos, o mundo em que vivemos está em constante transformação, e boa parte das mudanças ocorridas, sem dúvida, tem sido ocasionada pelo significativo avanço tecnológico das últimas décadas. Hoje, as tecnologias digitais estão presentes não apenas nas grandes empresas mas também nas escolas e nas casas das pessoas.

Conforme aponta a BNCC (BRASIL, 2018), essas constantes mudanças advindas do avanço tecnológico repercutem na forma como as pessoas se comunicam, se relacionam, aprendem e trabalham, impactando diretamente no funcionamento da sociedade.

A preocupação com esse impacto está expressa na Base e se explicita na competência geral 5 para a Educação Básica:

Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva (BRASIL, 2018, p. 9).

A BNCC tematiza três dimensões que caracterizam a computação e as tecnologias digitais – o pensamento computacional, o mundo digital e a cultura digital – que, em articulação com as competências gerais, também foram contempladas nas competências específicas e nas habilidades dos diferentes componentes curriculares do Ensino Fundamental, respeitadas as características dessa etapa.

Nesse contexto, é preciso lembrar que incorporar as tecnologias digitais na educação não se trata de utilizá-las somente como meio ou suporte para promover

aprendizagens ou despertar o interesse dos alunos, mas sim de utilizá-las com os alunos para que construam conhecimentos com e sobre o uso dessas TDICs (BRASIL, [2018?c], p. [1]).

Na área de Matemática, a BNCC destaca o uso de tecnologias digitais como calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares de Geometria dinâmica para auxiliar na construção de figuras geométricas e suas transformações bem como na organização e na apresentação de dados. O documento salienta a necessidade do uso dessas e de outras tecnologias, digitais ou não, estarem integradas a situações que propiciem a reflexão dos estudantes, contribuindo para a sistematização e a formalização dos conceitos matemáticos (BRASIL, 2018).

Destacamos que, além de usar as tecnologias digitais apontadas pela BNCC, os estudantes sejam estimulados e orientados a produzir materiais multimidiáticos diversos, como histórias em quadrinhos digitais – para contar, por exemplo, a história da Matemática –, fanpages, blogs, podcasts, vídeos, entre outros.

Produzindo materiais desse tipo, eles passam a usar a tecnologia de forma ativa, deixando de ser apenas consumidores de informação para serem produtores de conhecimento.

O pensamento computacional

O pensamento computacional, uma das três dimensões que caracterizam a computação e as tecnologias digitais, conforme apresentado pela BNCC, envolve a compreensão de algoritmos e fluxogramas que permeiam os meios digitais e estão intimamente relacionados às competências matemáticas.

Segundo a Base, no Ensino Fundamental, a área de Matemática “centra-se na compreensão de conceitos e procedimentos em seus diferentes campos e no desenvolvimento do pensamento computacional, visando à resolução e formulação de problemas em contextos diversos” (BRASIL, 2018, p. 471).

Em outras palavras:

O pensamento computacional pode ser definido como uma estratégia usada para desenhar soluções e solucionar problemas de maneira eficaz tendo a tecnologia como base. Ao contrário do que a expressão pode inferir, não necessariamente significa o que está ligado à programação de computadores ou mesmo à navegação na internet, à utilização de redes sociais, entre outros.

[...] Resumidamente, [pensamento computacional] seria a capacidade criativa, crítica e estratégica de utilizar as bases computacionais nas diferentes áreas de conhecimento para a resolução de problemas (A LÓGICA..., [202-], p. [2]).

O pensamento computacional pode ser organizado em quatro etapas – decomposição, reconhecimento de padrões, abstração e algoritmos –, conforme ilustrado no infográfico a seguir.

Os 4 pilares do Pensamento Computacional Decomposição

Dividir um problema complexo em pequenas par tes, a m de solucioná-lo com mais facilidade.

Reconhecimento de padrões

Identi car aspectos comuns nos processos, encontrar o padrão ou os padrões que podem ajudar na solução.

Abstração

Priorizar elementos e processos importantes, diferenciando-os dos detalhes menos relevantes. Dessa forma, a solução pode ser válida para vários problemas diferentes

Algoritmos

Estipular uma ordem ou uma sequência de passos para resolver o problema, a partir das etapas anteriores. É a utilização da lógica e da racionalidade para a busca de uma solução.

Fonte: FERNANDES, Ester. O que é pensamento computacional? In: EDUCAPES. [Brasília, DF]: Portal eduCAPES, 25 mar. 2021. Disponível em: https://educapes.capes.gov.br/handle/capes/597639. Acesso em: 24 maio 2022.

Reinaldo Vignati

Entre as capacidades envolvidas no pensamento computacional, a BNCC destaca “as capacidades de compreender, analisar, definir, modelar, resolver, comparar e automatizar problemas e suas soluções, de forma metódica e sistemática, por meio do desenvolvimento de algoritmos” (BRASIL, 2018, p. 474).

Para alguns professores, a falta de computadores nas escolas ou de acesso à internet pode representar um grande desafio na hora de promover atividades relacionadas ao desenvolvimento do pensamento computacional dos estudantes, entretanto, é possível realizar as atividades com os recursos didático-pedagógicos disponíveis, usando a lógica do pensamento computacional. Desenvolver o pensamento computacional “envolve mais a lógica de resolução e análise de problemas do que de fato aplicá-los ao mundo digital” (A LÓGICA..., [202-], p. [2]).

O desenvolvimento de competências e habilidades

A BNCC oferece-nos um bom aporte para o entendimento do que são competências e habilidades, a partir da observação de como o documento está estruturado.

No caso do Ensino Fundamental, essa etapa está organizada em cinco áreas do conhecimento. Cada uma delas estabelece suas competências específicas de área, “cujo desenvolvimento deve ser promovido ao longo dos nove anos. Essas competências explicitam como as dez competências gerais se expressam nessas áreas” (BRASIL, 2018, p. 28, grifo nosso). Também são definidas as competências específicas do componente curricular, que deverão ser desenvolvidas pelos estudantes ao longo dos nove anos que constituem essa etapa de escolarização. Por fim, para que se garanta o desenvolvimento dessas competências específicas, cada componente curricular apresenta um conjunto de habilidades, que “estão relacionadas a diferentes objetos de conhecimento – aqui entendidos como conteúdos, conceitos e processos –, que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas” (BRASIL, 2018, p. 28, grifo do autor).

Esquematizando, temos o seguinte:

Competências gerais

Competências especí cas da área do conhecimento

Competências especí cas do componente curricular Unidades temáticas

Objetos de conhecimento

Habilidades

Como podemos observar, as competências “contêm” as habilidades, o que pode ficar ainda mais claro quando nos atentamos à definição de competência apresentada pela BNCC. No documento, competência é definida como “a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho” (BRASIL, 2018, p. 8, grifo nosso).

Esquematizando novamente, temos o seguinte:

Atitudes e valores

Conhecimentos

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf Acesso em: 24 maio 2022.

Vale destacar que as competências específicas do componente curricular [...] possibilitam a articulação horizontal entre as áreas, perpassando todos os componentes curriculares, e também a articulação vertical, ou seja, a progressão entre o Ensino Fundamental – Anos Iniciais e o Ensino Fundamental – Anos Finais e a continuidade das experiências dos alunos, considerando suas especificidades” (BRASIL, 2018, p. 28, grifo do autor).

Tomemos como exemplo disso e da relação existente entre as competências (amplas) e as habilidades (específicas) a competência específica 4 para o Ensino Fundamental:

Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

Para que os estudantes desenvolvam essa competência específica ao longo de todo o Ensino Fundamental, eles devem desenvolver as habilidades a seguir relacionadas a diferentes objetos de conhecimento.

(EF02MA23) Realizar pesquisa em universo de até 30 elementos, escolhendo até três variáveis categóricas de seu interesse, organizando os dados coletados em listas, tabelas e gráficos de colunas simples.

(EF03MA28) Realizar pesquisa envolvendo variáveis categóricas em um universo de até 50 elementos, organizar os dados coletados utilizando listas, tabelas simples ou de dupla entrada e representá-los em gráficos de colunas simples, com e sem uso de tecnologias digitais.

(EF04MA24) Registrar as temperaturas máxima e mínima diárias, em locais do seu cotidiano, e elaborar gráficos de colunas com as variações diárias da temperatura, utilizando, inclusive, planilhas eletrônicas.

(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018, p. 267, 285, 289, 293, 305, 311 e 319. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Temas Contemporâneos Transversais (TCTs)

Além do grande avanço tecnológico mencionado anteriormente, que não pode ser ignorado pelos currículos escolares, outros temas contemporâneos precisam ser considerados no ensino dessa nova geração de estudantes. Segundo a BNCC, as escolas devem incorporar aos currículos e às propostas pedagógicas a abordagem de 15 temas contemporâneos que afetam a vida humana em escala local, regional e global, presentes em seis macroáreas, conforme a seguir.

Temas Contemporâneos Transversais

• Vida Familiar e Social

• Educação para o Trânsito

MEIO AMBIENTE

• Educação Ambiental

• Educação para o Consumo

• Trabalho

ECONOMIA

• Educação Financeira

• Educação Fiscal

SAÚDE

• Saúde

• Educação Alimentar e Nutricional

CIDADANIA E CIVISMO

• Educação em Direitos Humanos

• Direitos da Criança e do Adolescente

• Processos de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

• Diversidade Cultural

MULTICULTURALISMO

• Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

CIÊNCIA E TECNOLOGIA • Ciência e Tecnologia

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Caderno economia: Educação Financeira, Educação Fiscal, trabalho. Coordenação-geral de Maria Luciana da Silva Nóbrega. Brasília, DF: MEC, 2022. (Série Temas Contemporâneos Transversais: Base Nacional Comum Curricular). p. 16. Disponível em: http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/cadernos_tematicos/caderno_economia_consolidado_v_final_09_03_2022.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

A abordagem desses temas contemporâneos deve se dar, preferencialmente, de forma transversal e integradora, uma vez que não pertence a uma área do conhecimento em particular, mas atravessa todas elas.

Na BNCC, essas temáticas são contempladas em habilidades dos componentes curriculares, cabendo às escolas tratá-las de forma contextualizada, de acordo com a realidade de sua comunidade escolar.

Como podemos ver, esses temas são amplos e permitem a articulação de conhecimentos e habilidades de diversos componentes curriculares, na tentativa de superar a fragmentação do conhecimento, favorecendo sua aplicação no cotidiano.

No caso dos conhecimentos matemáticos, é possível mostrar como o componente curricular se aplica nos diferentes temas, tornando-a um vigoroso instrumento na busca de soluções em diferentes situações.

Nos Anos Finais do Ensino Fundamental, tais temas podem ser apresentados com mais profundidade, pois se espera que os estudantes já tenham entrado em contato com inúmeras questões de ordem social, cultural e política. Espera-se também que eles possam ampliar os conhecimentos de modo mais articulado.

Nessa etapa, é imprescindível olhar para as vivências e as necessidades dos estudantes em seus mais variados contextos, incluindo conhecimentos do componente curricular e de temas contemporâneos.

Nosso objetivo também é o desenvolvimento dos estudantes, tendo em vista a continuação dos estudos no Ensino Médio, contribuindo, assim, positivamente para a construção da trajetória e do projeto de vida deles.

Veja no quadro a seguir alguns dos Temas Contemporâneos Transversais contemplados em cada volume da coleção.

Reinaldo Vignati

6o ano Educação para o Consumo Educação Alimentar e Nutricional

7o ano Educação Ambiental

Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

8o ano Educação em Direitos Humanos Direitos da Criança e do Adolescente

9o ano Ciência e Tecnologia Educação Financeira

Cultura juvenil

Conforme mencionamos em tópicos anteriores, a BNCC tem como um de seus fundamentos pedagógicos o compromisso com a educação integral, entendida como a “construção intencional de processos educativos que promovam aprendizagens sintonizadas com as necessidades, as possibilidades e os interesses dos estudantes e, também, com os desafios da sociedade contemporânea”, o que “supõe considerar as diferentes infâncias e juventudes, as diversas culturas juvenis e seu potencial de criar novas formas de existir” (BRASIL, 2018, p. 14, grifo nosso).

Como vemos, cultura juvenil é um tema que está presente no documento, por isso é importante entendermos como se manifesta entre os estudantes do Ensino Fundamental – Anos Finais.

A entrada nessa etapa de escolarização corresponde ao período de transição dos estudantes, da infância para a adolescência, momento marcado por profundas transformações, não apenas orgânicas mas também psicossociais. Como aponta o Parecer CNE/CEB no 11/2010 (BRASIL, 2010a), nesse período, também se modificam as relações sociais e os laços afetivos e se ampliam as possibilidades intelectuais, resultando na capacidade de raciocinar de forma mais abstrata. Os estudantes desenvolvem a capacidade de descentração, isto é, de ver os fatos sob a perspectiva do outro, “importante na construção da autonomia e na aquisição de valores morais e éticos” (BRASIL, 2010a, p. 9).

As Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica destacam que, entre os estudantes dos Anos Finais do Ensino Fundamental, frequentemente, observa-se uma

[...] forte adesão aos padrões de comportamento dos jovens da mesma idade, o que é evidenciado pela forma de se vestir e também pela linguagem utilizada por eles. Isso requer dos educadores maior disposição para entender e dialogar com as formas próprias de expressão das culturas juvenis, cujos traços são mais visíveis, sobretudo, nas áreas urbanas mais densamente povoadas (BRASIL, 2013, p. 110, grifo nosso).

Segundo Prado (2012, p. 68), podemos entender cultura juvenil como a maneira com que “os jovens se manifestam no grupo, por meio da construção de vários estilos e formas de vida”. O autor ressalta que a cultura juvenil muda conforme a época e o local onde a pessoa vive.

Martins e Carrano, citando Cruz (2000, p. 11 apud MARTINS; CARRANO, 2011, p. 48), explicam que as culturas juvenis resultam de um conjunto de “práticas arraigadas no âmbito local que se alimentam incessantemente de elementos da cultura globalizada”. Desse modo, estão “baseadas no consumo de bens materiais e simbólicos que permitem observar as ligações entre o local e o global e as maneiras que as culturas se inter-relacionam e interagem naquele espaço”.

Não há como pensarmos na cultura globalizada, mencionada pelos autores, sem associá-la ao avanço tecnológico e às profundas transformações por ele provocadas na sociedade atual, sendo uma delas a inserção das pessoas na cultura digital, não apenas como consumidoras mas também como produtoras de informações e conhecimentos.

Com nossos estudantes dos Anos Finais do Ensino Fundamental não é diferente, afinal, mais do que muitos adultos, até, eles estão absolutamente imersos nessa “nova” cultura. Como aponta a BNCC, os adolescentes

[...] têm se engajado cada vez mais como protagonistas da cultura digital, envolvendo-se diretamente em novas formas de interação multimidiática e multimodal e de atuação social em rede, que se realizam de modo cada vez mais ágil. Por sua vez, essa cultura também apresenta forte apelo emocional e induz ao imediatismo de respostas e à efemeridade das informações, privilegiando análises superficiais e o uso de imagens e formas de expressão mais sintéticas, diferentes dos modos de dizer e argumentar característicos da vida escolar (BRASIL, 2018, p. 61).

Diante dessa realidade, a escola se depara com alguns desafios na formação dos estudantes, dentre eles:

• estimular a reflexão e a análise aprofundada, contribuindo para o desenvolvimento, nos estudantes, de uma atitude crítica em relação ao conteúdo e à multiplicidade de ofertas midiáticas e digitais;

• compreender e incorporar as novas linguagens e seus modos de funcionamento, descobrindo possibilidades de comunicação com eles;

• educá-los para usos mais democráticos das tecnologias e para uma participação mais consciente na cultura digital

Podemos citar, ainda, o desafio enfrentado pela escola de tornar mais harmônica e próxima possível a relação entre professores e estudantes, pois são pessoas de diferentes gerações. Como ressaltam Martins e Carrano (2011, p. 54), é necessário que a escola esteja atenta “para reconhecer que as culturas juvenis não se encontram subordinadas às relações de dominação ou resistência impostas pelas culturas das gerações mais velhas”. Esse reconhecimento, segundo os autores

[...] pode auxiliar a construção de projetos pedagógicos e processos culturais que aproximem professores e alunos. Através da elaboração de linguagens em comum, a escola pode recuperar seu prestígio entre os jovens, bem como o prazer deles estarem em um lugar que podem chamar de seu na medida em que são reconhecidos como sujeitos produtores de cultura (MARTINS; CARRANO, 2011, p. 54).

Vale lembrar que, para haver aprendizagem, é preciso que os estudantes vejam sentido naquilo que aprendem. Daí a importância e a necessidade de se inserirem no currículo escolar temas ligados às culturas juvenis e de os contextos em que vivem os jovens serem reconhecidos e valorizados pela comunidade escolar.

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Conhecer os estudantes, seus hábitos e gostos é de extrema importância para aproximar o aprendizado do cotidiano deles.

Fonte: BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018, p. 61. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Projeto de vida

Quando pensamos em projeto de vida, é muito comum pensarmos nos jovens e nos adultos fazendo planos para seu futuro, especialmente na esfera profissional, mas fazer planos, projetar o futuro não é algo que acontece naturalmente com todas as pessoas. Para muitas, isso demanda aprendizagem; é preciso aprender a se organizar e a selecionar as ações que levarão à concretização de seus planos que, em última instância, são reflexos de seus sonhos, seus desejos, seus interesses. E essa aprendizagem não acontece da noite para o dia, mas de forma gradual e contínua.

Tanto é assim que, entre as dez competências gerais apresentadas pela BNCC, as quais deverão ser desenvolvidas pelos estudantes ao longo da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio), está a competência geral 6, que faz referência ao projeto de vida, conforme destacamos a seguir: Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade (BRASIL, 2018, p. 9, grifo nosso).

Assim, entre os maiores desafios que se apresentam à escola esteja, talvez, o de conseguir conectar o currículo escolar aos projetos de vida dos estudantes, sejam eles relacionados ao estudo ou ao trabalho.

Nessa direção, no Ensino Fundamental – Anos Finais, a escola pode contribuir para o delineamento do projeto de vida dos estudantes, ao estabelecer uma articulação não somente com os anseios desses jovens em relação ao seu futuro como também com a continuidade dos estudos no Ensino Médio. Esse processo de reflexão sobre o que cada jovem quer ser no futuro, e de planejamento de ações para construir esse futuro, pode representar mais uma possibilidade de desenvolvimento pessoal e social (BRASIL, 2018, p. 62).

Projeto de vida é um tema que deve ser trabalhado em todos os componentes curriculares, sempre que possível de forma interdisciplinar.

Se considerarmos que o projeto de vida pode se relacionar não apenas ao estudo e ao trabalho mas também às escolhas de estilos de vida, no ensino de Matemática, desde a Educação Infantil, os professores poderão trabalhar, por exemplo, a Educação Financeira, um dos temas contemporâneos transversais propostos pela BNCC, para desenvolver nos estudantes a percepção do dinheiro e de seu valor bem como a importância de se usar os recursos financeiros de modo responsável e consciente.

Os objetivos e as metas a serem atingidas são de extrema importância para planejar o futuro.

Cultura de paz

Em Assembleia Geral de 6 de outubro de 1999, as Nações Unidas definiram a cultura de paz como sendo

[...] um conjunto de valores, atitudes, tradições, comportamentos e estilos de vida baseados:

a) No respeito à vida, no fim da violência e na promoção e prática da não violência por meio da educação, do diálogo e da cooperação;

b) No pleno respeito aos princípios de soberania, integridade territorial e independência política dos Estados e de não ingerência nos assuntos que são, essencialmente, de jurisdição interna dos Estados, em conformidade com a Carta das Nações Unidas e o direito internacional;

c) No pleno respeito e na promoção de todos os direitos humanos e liberdades fundamentais;

d) No compromisso com a solução pacífica dos conflitos;

e) Nos esforços para satisfazer as necessidades de desenvolvimento e proteção do meio ambiente para as gerações presente e futura;

f) No respeito e promoção do direito ao desenvolvimento;

g) No respeito e fomento à igualdade de direitos e oportunidades de mulheres e homens;

h) No respeito e fomento ao direito de todas as pessoas à liberdade de expressão, opinião e informação;

i) Na adesão aos princípios de liberdade, justiça, democracia, tolerância, solidariedade, cooperação, pluralismo, diversidade cultural, diálogo e entendimento em todos os níveis da sociedade e entre as nações;

[...] e animados por uma atmosfera nacional e internacional que favoreça a paz (NAÇÕES UNIDAS, 1999, p. [1]).

Respeito à vida, não violência, diálogo e cooperação, entre outros valores e atitudes presentes nessa definição, podem e devem ser trabalhados na escola, com o objetivo de promover uma cultura de paz que possa ser levada para outros contextos de vida dos estudantes, como a família e a sociedade. Incentivar, na escola, um ambiente de respeito às diferenças, por exemplo, é um bom caminho para essa promoção, visto que a escola, assim como a realidade social que a cerca, caracteriza-se pela diversidade humana, seja ela racial, de gênero, regional, política ou religiosa.

Para a escola conseguir estabelecer a cultura de paz dentro e fora de seus muros, é fundamental que os estudantes sejam incentivados a assumir o protagonismo dessa ação e que toda a comunidade escolar seja envolvida nesse trabalho.

Estratégias que oportunizem aos estudantes ler, debater e refletir sobre o tema certamente contribuirão para que eles sejam organizadores e executores do próprio trabalho.

E como a Matemática, enquanto componente curricular escolar, pode ajudar na construção de uma cultura de paz?

Portanova (2006, p. 436, grifo da autora) acredita que [...] o uso da Matemática tenha sido uma das primeiras necessidades do homem, depois da comunicação e da sobrevivência. A contagem, a ordenação, a soma, a divisão etc. são conhecimentos essenciais para a convivência em grupo. Desde a colheita de alimentos até a ordenação dos ritos religiosos, sempre presentes no desenvolvimento da humanidade, a Matemática aparece como uma ferramenta. Ora auxilia na paz , ora no conflito , ora na guerra . Muitos exemplos a história nos mostra.

Ao refletir sobre a relação existente entre Educação Matemática e Educação para a paz, a autora destaca que o conhecimento matemático se amplia

[...] ao ser vinculado aos diversos processos de analisar e responder problemas (interdisciplinares, transdisciplinares) de diversas naturezas. Educar para a paz também é educar para resolver conflitos, a ser criativos, a ser persistentes nos seus objetivos, a respeitar a opinião dos outros e o processo de aprendizagem (matemático) desenvolve cada uma dessas competências (PORTANOVA, 2006, p. 442).

Falando de sua experiência como professora de Matemática na Educação Básica e orientadora de pesquisas no Ensino Superior, Portanova (2006) afirma que esse componente curricular pode contribuir muito para a elevação da autoestima dos estudantes. Segundo a autora:

Experiências de sala de aula nos mostram que uma criança, ou um adolescente, que tem a sua autoestima elevada é menos agressivo, convive melhor com outras crianças, com os colegas e com a família. Vive em paz consigo e com os que o cercam. A paz social começa com a paz que cada um tem dentro de si. Essa paz interior, que começa na infância e se reflete na adolescência, depende muito da valorização da criança pelas pessoas que com ela convivem

[...]

Algumas experiências realizadas com alunos, que apresentavam deficiência de aprendizagem, muito agressivos e de difícil relacionamento com colegas e professores, mostraram modificações em sua conduta quando incentivados e apoiados em sala de aula. Eles conseguiram melhorar seu desempenho em Matemática e passaram a ser aceitos pelo grupo tornando-se menos agressivos (PORTANOVA, 2006, p. 443, grifo nosso).

Assim, ao pensar nas possíveis formas de aliar o ensino de Matemática ao estabelecimento de uma cultura de paz dentro e fora da escola, os professores poderão refletir sobre como os conhecimentos matemáticos podem ser trabalhados em projetos dessa natureza, envolvendo os estudantes para que se sintam valorizados e, cada vez mais, participem ativamente das atividades propostas na escola.

Projetos que tenham como tema o respeito às diferenças poderão impactar diretamente a vida dos estudantes, que poderão trazer à tona discussões e reflexões acerca de bullying e saúde mental, por exemplo, um problema vivido diariamente em nossas escolas.

Avaliação

No sistema educacional brasileiro, no que diz respeito a sua abrangência, a avaliação acontece de modo interno e formativo – aplicado pela própria instituição escolar – e externo e em larga escala, como o Sistema de Avaliação da Educação Básica (Saeb), que permite a realização de um diagnóstico da Educação Básica brasileira, e o Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa), que propicia um estudo comparativo internacional sobre o desempenho dos estudantes ao término da escolaridade básica obrigatória.

Ao abordarmos a avaliação da aprendizagem, é fundamental mencionarmos a LDB no 9.394/1996 (BRASIL, 2017), que regulamenta a educação brasileira.

Em seu artigo 24, inciso V, a LDB dispõe que a verificação do rendimento escolar deverá observar os seguintes critérios:

a) avaliação contínua e cumulativa do desempenho do aluno, com prevalência dos aspectos qualitativos sobre os quantitativos e dos resultados ao longo do período sobre os de eventuais provas finais;

b) possibilidade de aceleração de estudos para alunos com atraso escolar;

c) possibilidade de avanço nos cursos e nas séries mediante verificação do aprendizado;

d) aproveitamento de estudos concluídos com êxito;

e) obrigatoriedade de estudos de recuperação, de preferência paralelos ao período letivo, para os casos de baixo rendimento escolar, a serem disciplinados pelas instituições de ensino em seus regimentos (BRASIL, 2017, p. 18).

Nesse artigo, a LDB, um dos marcos legais que embasam a BNCC, deixa implícitos os direitos do estudante quanto à forma de ser avaliado e o dever das instituições escolares quanto à forma de avaliar. Esse pressuposto deve orientar a prática avaliativa e a escolha das bases teóricas que regem a educação brasileira.

A BNCC evidencia a necessidade de: “Construir e aplicar procedimentos de avaliação formativa de processo ou de resultado que levem em conta os contextos e as condições de aprendizagem, tomando tais registros como referência para melhorar o desempenho da escola, dos professores e dos alunos” (BRASIL, 2018, p. 17).

A Resolução CNE/CEB no 7/2010 (BRASIL, 2010a, p. 39), outro marco legal que embasa a BNCC, apregoa, em seu artigo 32, que:

A avaliação dos alunos, a ser realizada pelos professores e pela escola como parte integrante da proposta curricular e da implementação do currículo, é redimensionadora da ação pedagógica e deve:

I. assumir um caráter processual, formativo e participativo, ser contínua, cumulativa e diagnóstica [...];

II. utilizar vários instrumentos e procedimentos, tais como a observação, o registro descritivo e reflexivo, os trabalhos individuais e coletivos, os portfólios, exercícios, provas, questionários, dentre outros [...];

III. fazer prevalecer os aspectos qualitativos da aprendizagem do aluno sobre os quantitativos, bem como os resultados ao longo do período sobre os de eventuais provas finais [...];

IV. assegurar tempos e espaços diversos para que os alunos com menor rendimento tenham condições de ser devidamente atendidos ao longo do ano letivo; prover, obrigatoriamente, períodos de recuperação, de preferência paralelos ao período letivo [...];

V. assegurar tempos e espaços de reposição dos conteúdos curriculares, ao longo do ano letivo, aos alunos com frequência insuficiente, evitando, sempre que possível, a retenção por faltas;

VI. possibilitar a aceleração de estudos para os alunos com defasagem idade-série.

A avaliação contínua, também chamada formativa (ZABALA, 1998), pode ter diferentes funções, de acordo com o momento de sua realização.

Quando feita no início de uma etapa de trabalho, para levantar os conhecimentos prévios dos estudantes, exerce a função diagnóstica. As informações obtidas permitem ao professor planejar o trabalho e orientar na sua atuação. Também possibilitam ao estudante reconhecer o que já sabe e preparar-se para a construção de novos conhecimentos.

Quando ocorre durante um processo, com a intenção de acompanhar as aprendizagens em relação aos objetos de conhecimento e às habilidades, tem a função reguladora. As informações obtidas contribuem para que o professor faça ajustes no planejamento e para que o estudante acompanhe o processo de aprendizagem. Quando realizada ao final de uma etapa ou de um período de aprendizagem, exerce a função integradora e possibilita localizar o desenvolvimento do estudante em relação aos objetivos estabelecidos inicialmente e validar as estratégias adotadas. O estudante pode avaliar sua aprendizagem e perceber os pontos fortes e frágeis de seu desempenho.

Conhecimentos prévios (o que meu estudante sabe, sabe fazer e como ele é)

Intervenção adequada

Adaptação das atividades e novas intervenções

Aprendizagem adquirida

Conhecimento e avaliação de todo o percurso

É importante lembrar que cabe ao professor instruir e estimular a atitude crítica do estudante em relação à própria aprendizagem. Ao identificar suas dificuldades e reconhecer suas competências e potencialidades, ao fazer a autoavaliação, o estudante sente-se confiante e cada vez mais responsável pelo próprio desempenho.

Vale destacar também a importância de o professor registrar sistematicamente os procedimentos empregados na avaliação. Recursos como relatórios e fichas cumulativas, entre outros, podem ser incorporados à prática diária e são úteis para a composição de notas, conceitos ou pareceres sobre a aprendizagem dos estudantes.

Sugerimos ao professor que, com base no planejamento, destaque os objetos de conhecimento e as habilidades considerados prioritários para a continuidade dos estudos, enfatizando-os em suas práticas avaliativas e nos registros realizados.

Necessidade de uso de recursos sistemáticos no princípio, durante e no nal de qualquer unidade didática

Planejamento

Avaliação diagnóstica

Eventuais ajustes no planejamento

Avaliação de processo

Avaliação nal do ciclo

Fonte: ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar. Tradução: Ernani F. F. Rosa. Porto Alegre: ArtMed, 1998

Reinaldo Vignati

Instrumentos de avaliação

Recorrer a variados instrumentos avaliativos – como práticas orais e escritas, pesquisas, relatórios, autoavaliação, observação, portfólio, seminários e outros – e empregá-los de diferentes maneiras – por meio de atividades individuais, em duplas, em pequenos grupos e coletivas (toda a turma) –, é fundamental para a avaliação da aprendizagem, pois permite medir diferentes competências e habilidades.

Atividades individuais

• Práticas orais e escritas

• Pesquisa

• Relatórios

• Autoavaliação

• Observação

• Portfólio

• Seminários e outros

Atividades em duplas

Atividades em grupos

Atividades coletivas

Partindo da observação de cada atividade realizada, de cada questionamento ou intervenção, de cada reação de interesse ou desatenção, individual ou em grupo, o professor poderá avaliar quais são as dificuldades dos estudantes, em que área eles se destacam, quais são seus estilos de aprendizagem, entre outros aspectos.

Avaliação por rubrica

Avaliar pode consistir em uma das tarefas mais complexas do processo ensino-aprendizagem, principalmente porque exige do professor a tomada de decisões e o estabelecimento de critérios de correção nem sempre claros para ele. Que objetos de conhecimento e habilidades, de fato, devem ser avaliados? O que é fundamental que os estudantes saibam? Como avaliar de forma isenta, ou seja, o menos subjetiva possível? Como mensurar a aprendizagem dos estudantes? Como fazê-los entender a nota, o conceito ou o parecer que foi atribuído pelo professor? Essas e outras perguntas evidenciam a complexidade da avaliação da aprendizagem.

Algo que pode contribuir significativamente para essa tarefa são as rubricas, pois um dos principais objetivos desse instrumento é tornar os critérios de avaliação mais objetivos e explícitos, tanto para os educadores quanto para os estudantes.

Segundo Biagiotti (2005, p. 2):

Podemos definir rubricas, na educação, de diversas maneiras. Uma das definições que mais me agrada é a que escutei de Maria Alice Soares por ocasião da realização do workshop sobre rubricas. Segundo ela, rubricas são esquemas explícitos para classificar produtos ou comportamentos, em categorias que variam ao longo de um contínuo. Podem ser usadas para classificar qualquer produto ou comportamento, tais como redações, ensaios, trabalhos de pesquisa, apresentações orais e atividades. A avaliação pode ser feita pelos próprios estudantes, ou por outros, como professores, outros alunos, supervisores de trabalho ou revisores externos. Rubricas podem ser usadas para prover feedback formativo dos alunos, para dar notas ou avaliar programas.

De acordo com o autor, para que as rubricas se tornem, realmente, uma boa ferramenta para avaliar o desempenho dos estudantes nas tarefas, elas devem ter algumas características, dentre as quais destacamos:

• Facilidade: tornar fácil avaliar trabalhos complexos;

• Objetividade: avaliar de forma objetiva, acabando com aquela aura de subjetividade que comumente se imprime à avaliação;

• Granularidade: possuir a granularidade adequada, isto é, níveis adequados de minúcia;

• Transparência: tornar o processo de avaliação transparente, a ponto de permitir ao estudante controlar seu aprendizado.

Ao se elaborar uma rubrica, dois itens são primordiais: os critérios de avaliação e as graduações ou níveis de desempenho – por exemplo “Atende totalmente”, “Atende parcialmente” e “Não atende” (aos critérios estabelecidos) ou “Excelente”, “Bom”, “Regular” e “Insuficiente”.

Veja, a seguir, um exemplo de rubrica para avaliar a resolução de problemas matemáticos.

Resolução de problema Atende Atende parcialmente Não atende

Compreensão da situação-problema

Analisou e compreendeu completamente o problema.

Estratégia

Demonstrou claramente a estratégia utilizada e chegou ao resultado esperado.

Compreendeu parcialmente os dados do problema.

Demonstrou parcialmente a estratégia utilizada e não chegou ao resultado esperado.

Não compreendeu o problema.

Não evidenciou a estratégia utilizada e não chegou ao resultado esperado.

É importante destacar que a forma como o professor elabora os instrumentos de avaliação, independentemente de quais sejam eles, pode impactar diretamente o desempenho dos estudantes. Por essa razão, é fundamental atentar-se para alguns cuidados, como:

• escolher um instrumento que seja compatível com o conteúdo que se deseja avaliar;

• delimitar adequadamente o conteúdo a ser avaliado, identificando quais são as aprendizagens essenciais;

• formular, com clareza enunciados, consignas e alternativas empregados nos instrumentos;

• considerar, na elaboração do instrumento, o tempo necessário para o estudante realizar a atividade;

• valorar as questões atentando-se para o grau de elaboração das respostas.

Estratégias para correção de eventuais defasagens

Para corrigir eventuais defasagens, o professor deve observar a participação dos estudantes e refletir sobre possíveis estratégias que possam ser empregadas para favorecer a aprendizagem, como: orientar a organização do horário de estudo do estudante em casa; indicar leituras e vídeos relacionados aos objetos de conhecimento que necessitam ser aprendidos; orientar sobre a postura no momento dos estudos, para que os estudantes dediquem atenção ao que estão realizando.

O professor também pode orientar os estudantes quanto à elaboração de estratégias para verificação dos erros. Para alguns, por exemplo, pode ser eficiente revisitar os enunciados das atividades que não foram concluídas adequadamente ou observar se a dificuldade ocorreu no momento da execução, ou ainda, se o equívoco aconteceu no registro da resposta.

Ao corrigir as atividades, independentemente do resultado final, é de extrema importância que o professor observe o percurso realizado durante a execução da atividade, mesmo que o estudante não chegue ao resultado correto. Dessa forma, poderá considerar as estratégias por ele utilizadas para fazer interferências que o levem a refazer o percurso, buscando chegar ao resultado esperado.

Diferentes estratégias podem ser utilizadas para favorecer a aprendizagem, entre elas: manipulação de materiais concretos; registros no caderno; comparações entre fenômenos; experimentações; uso de simuladores ou de softwares de Geometria dinâmica; elaboração de glossário que possa ser consultado e revisitado sempre que necessário.

Conheça o livro

Organização da obra

Esta coleção é composta de quatro volumes destinados aos Anos Finais do Ensino Fundamental. Cada volume corresponde a um ano de escolaridade (6o, 7o, 8o e 9o anos), organizados em oito unidades. As unidades estão divididas em capítulos que tratam de conteúdos específicos.

Seções e boxes

Abertura de unidade

A abertura de unidade, em página dupla, apresenta imagem e um pequeno texto relacionado ao conteúdo que será trabalhado.

Traz questões que têm por finalidade instigar a curiosidade e propor um momento de troca de ideias. Apresenta, também, os principais objetivos de aprendizagem, o que dá ciência ao estudante do que será desenvolvido, promovendo a autonomia.

Inicia todos os capítulos e convida os estudantes a mobilizar e comunicar seus conhecimentos. Essa seção oportuniza ao professor observar as hipóteses dos estudantes sobre o conteúdo que será trabalhado em cada capítulo.

Propõe situações em que os estudantes devem mobilizar os conhecimentos de forma investigativa, fazendo inferências ou mesmo pequenas pesquisas sobre o conteúdo que está sendo apresentado.

Seção que vem entremeada aos tópicos trabalhados. Apresenta atividades diversificadas e permite o acompanhamento processual da aprendizagem dos estudantes. Traz, também, atividades desafiadoras e propicia o trabalho em duplas ou em pequenos grupos, favorecendo a troca de estratégias, ideias e discussões sobre o processo de resolução.

Apresenta Temas Contemporâneos Transversais, bem como a relação da Matemática com outras áreas do conhecimento. Promove o desenvolvimento de análises críticas, criativas e propositivas bem como o desenvolvimento do trabalho com atitudes e valores. Pode ser ampliada, de acordo com o interesse da turma pelo tema, dando origem a pequenos projetos bem como ao trabalho colaborativo com professores de outras áreas.

Promove o uso de tecnologias digitais.

Apresenta uma variedade de atividades lúdicas. Esse tipo de atividade, além de mobilizar o interesse dos estudantes, estimula-os a utilizar conhecimentos em contextos diferentes e desafiadores. É um ótimo momento para desenvolver o trabalho com atitudes e valores

Além dos conhecimentos matemáticos necessários nos processos de compra e venda, são abordados temas como consumo e consumismo.

Presente no fim de algumas seções Atividades, tem por finalidade trabalhar a habilidade de argumentação com foco no desenvolvimento do pensamento lógico matemático. Raciocínios e estratégias de resolução podem ser compartilhados para que os estudantes comecem a refletir sobre processos lógicos.

Blocos de atividades que retomam os conteúdos trabalhados nas unidades. São apresentadas atividades diversificadas bem como de avaliações oficiais. O professor pode, a seu critério, utilizá-las como ferramenta avaliativa, a fim de dar continuidade aos trabalhos das unidades seguintes.

Relaciona a história da Matemática ao conteúdo que está sendo estudado. É importante que esse trabalho seja ampliado para além do conhecimento de nomes e biografias de grandes matemáticos, a fim de que os estudantes conheçam, explorem e reconheçam que a Matemática é uma ciência em construção.

Apresenta fatos curiosos em que a Matemática está presente.

Indicação de livros, sites, vídeos etc.

Orientações específicas para as Unidades e capítulos

Esse manual oferece sugestões e informações para o professor distribuídas em colunas laterais e na parte inferior das páginas, com uma forma reduzida do Livro do Estudante representada ao centro. Esse manual apresenta as seções a seguir.

• Principais objetivos da unidade: destaca os principais objetivos de aprendizagem que serão trabalhados.

• Justificativa: relaciona os principais objetivos às habilidades que se pretende desenvolver nos estudantes.

• Pré-requisitos pedagógicos: destaca o que os estudantes já devem conhecer para dar continuidade e desenvolver as habilidades indicadas.

compreendam diferentes representações para localização de objetos no plano por meio de pares ordenados. Avaliação diagnóstica importante observar o que os estudantes dominam em relação aos pré-requisitos relacionados. Promova uma roda de conversa em seguida, elabore algumas atividades BNCC na unidade Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade. Competências gerais 2 5 Competências específicas EF06MA25 EF06MA26 EF06MA27 EF06MA28

Para aprofundar O artigo indicado seguir apresenta uma pesquisa partindo da etnomatemática como contextualização, utilizando tecnológica. O texto está disponível em: http://www.ebrapem2016. ufpr.br/wp-content/uploads/2016/04/gd16_gerson_alten burg.pdf (acesso em: 10 jun. 2022).

que lugares são esses ou viram outras imagens deles? Conseguem identificarguma forma ou elemento geométrico? Chame a atenção dos estudantes para os destaques em vermelho nas fotos, que indicam ângulos e retas. Antes de encaminhar as atividades propostas, discuta com os estudantes quais são as figuras geométricas os conceitos encontrados nas imagens que abrem a unidade e peça que falem suas percepções sobre uso da Geometria no cotidiano. Anote as respostas na lousa incentive participação de todos.

• BNCC na Unidade: destaca as principais competências gerais, específicas e habilidades que serão trabalhadas na unidade.

• Avaliação diagnóstica: evidencia a necessidade de verificar as aprendizagens já adquiridas.

• Foco na BNCC: apresenta as principais competências gerais, específicas e habilidades que serão trabalhadas em cada capítulo.

• Foco nos TCTs: indica os principais Temas Contemporâneos Transversais contemplados no capítulo.

• Orientações: busca auxiliar à prática pedagógica e traz comentários e/ou resolução de todas as atividades propostas.

• Para aprofundar: sugere textos para aprofundamento pedagógico, contribuindo para a formação continuada.

• Atividades complementares: sugere atividades que podem ampliar ou aprofundar o conteúdo trabalhado.

Sugestões de cronograma

Apresentamos as possibilidades de planejamento do curso ao longo de um ano, por meio dos cronogramas a seguir.

1o bimestre Unidades 1 e 2

2o bimestre Unidades 3 e 4

Planejamento bimestral

3o bimestre Unidades 5 e 6

4o bimestre Unidades 7 e 8

1o trimestre Unidades 1, 2 e 3

Planejamento trimestral

2o trimestre Unidades 4, 5 e 6

3o trimestre Unidades 7 e 8

1o semestre Unidades 1, 2, 3 e 4

Planejamento semestral

2o semestre Unidades 5, 6, 7 e 8

Competências gerais, específicas e habilidades da BNCC

Competências gerais da Educação Básica

1 Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

2 Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

3 Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

4 Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

5 Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

6 Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

7 Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

8 Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

Competências gerais da Educação Básica

9 Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

10 Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamental

1 Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

2 Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

3

Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

4 Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

5 Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

6 Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

7 Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

8 Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Habilidades da BNCC para o 6o ano

EF06MA01 Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

EF06MA02

EF06MA03

Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

EF06MA04 Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).

EF06MA05

Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.

EF06MA06 Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

EF06MA07 Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

EF06MA08

Habilidades da BNCC para o 6o ano

Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.

EF06MA09 Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.

EF06MA10 Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

EF06MA11 Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.

EF06MA12 Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

EF06MA13 Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

EF06MA14

Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

EF06MA15 Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

EF06MA16 Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1? quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

EF06MA17 Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

EF06MA18 Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.

EF06MA19 Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

EF06MA20 Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

EF06MA21 Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

EF06MA22 Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

EF06MA23 Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

EF06MA24

Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

EF06MA25 Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.

EF06MA26 Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão.

EF06MA27 Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

EF06MA28 Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.

EF06MA29 Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

EF06MA30

Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

Habilidades da BNCC para o 6o ano

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

EF06MA34

Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).

Habilidades da BNCC para o 7o ano

EF07MA01

Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

EF07MA02 Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

EF07MA03 Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

EF07MA04 Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

EF07MA05 Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

EF07MA06 Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura, podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

EF07MA07 Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

EF07MA08 Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

EF07MA09 Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

EF07MA10 Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

EF07MA11 Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

EF07MA12 Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

EF07MA13 Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

EF07MA14 Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

EF07MA15 Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

EF07MA16 Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

EF07MA17 Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

EF07MA18 Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1? grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

EF07MA19 Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

EF07MA20 Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

EF07MA21

Habilidades da BNCC para o 7o ano

Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

EF07MA22 Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

EF07MA23 Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

EF07MA24 Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

EF07MA25 Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

EF07MA26 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

EF07MA27

Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

EF07MA28 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

EF07MA29 Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

EF07MA30 Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

EF07MA31 Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

EF07MA32 Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

EF07MA33 Estabelecer o número como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

EF07MA34 Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

EF07MA35 Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

EF07MA36 Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

EF07MA37 Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

Habilidades da BNCC para o 8o ano

EF08MA01 Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.

EF08MA02 Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

EF08MA03 Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.

EF08MA04 Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

EF08MA05 Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.

EF08MA06 Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

EF08MA07 Associar uma equação linear de 1? grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.

EF08MA08

Habilidades da BNCC para o 8o ano

Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1? grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

EF08MA09 Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2? grau do tipo ax2 = b.

EF08MA10 Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.

EF08MA11 Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.

EF08MA12 Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.

EF08MA13 Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.

EF08MA14 Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

EF08MA15 Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.

EF08MA16 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

EF08MA17 Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas

EF08MA18 Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.

EF08MA19

Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.

EF08MA20 Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes.

EF08MA21 Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.

EF08MA22 Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

EF08MA23 Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

EF08MA24 Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.

EF08MA25

EF08MA26

EF08MA27

Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.

Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada).

Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

Habilidades da BNCC para o 9o ano

EF09MA01

Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).

EF09MA02

Habilidades da BNCC para o 9o ano

Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

EF09MA03 Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

EF09MA04 Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

EF09MA05

EF09MA06

Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

EF09MA07 Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

EF09MA08

EF09MA09

EF09MA10

Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2? grau.

Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

EF09MA11 Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

EF09MA12 Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

EF09MA13 Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

EF09MA14 Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

EF09MA15 Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares

EF09MA16 Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

EF09MA17 Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

EF09MA18

Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

EF09MA19 Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

EF09MA20 Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

EF09MA21 Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

EF09MA22

EF09MA23

Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

Quadro de conteúdos e relação com a BNCC

Nos quadros a seguir, estão apresentadas as principais competências, habilidades e os Temas Contemporâneos Transversais trabalhados nos capítulos, ao longo da coleção.

6o ano

Competências gerais

1

1 Sistema de numeração decimal

• Reconhecer as principais características do sistema de numeração decimal.

• Identificar semelhanças e diferenças com outros sistemas de numeração.

Competências específicas

1, 2 e 6

Habilidades

EF06MA02

EF06MA03

EF06MA04

Competências gerais

2 Números naturais

• Caracterizar o conjunto dos números naturais.

• Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais.

• Representar números naturais na reta numérica.

2, 5, 7 e 9

Competências específicas

2 5 e 6

Habilidades

EF06MA01

EF06MA04

EF06MA12

3 Adição e subtração

4 Multiplicação e divisão

• Efetuar adições e subtrações com números naturais por meio e estratégias diversas.

• Explorar a adição e a subtração como operações inversas.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam adição e subtração.

• Efetuar multiplicações e divisões com números naturais por meio e estratégias diversas.

• Explorar as ideias da multiplicação e suas propriedades.

• Efetuar divisões e identificar seus termos.

• Resolver problemas que envolvem multiplicação e divisão.

5 Expressões numéricas

• Entender os conceitos envolvendo expressões numéricas.

• Resolver expressões numéricas com números naturais envolvendo as quatro operações.

Competências gerais

2 e 7

Competências específicas

2

Habilidades

EF06MA01

EF06MA03

Competências gerais

1, 2, 3, 6 e 10

Competências específicas

1 e 2

Habilidades

EF06MA03

EF06MA06

EF06MA12

EF06MA15

Competências gerais

2, 4, e 5

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF06MA03

EF06MA14

Educação em Direitos Humanos

Educação para o Consumo

• Reconhecer as características dos divisores e múltiplos de um número natural.

• Estabelecer critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.

• Reconhecer as características de números primos e compostos no conjunto dos números naturais.

• Decompor números naturais em fatores primos.

• Resolver e elaborar problemas utilizando a partição de um todo em partes proporcionais.

• Efetuar potenciação com números naturais, conhecer seus termos e aplicar propriedades.

• Aproximar números para a potência de 10 mais próxima.

• Identificar e representar ponto, reta, plano e ângulo, usando a notação adequada.

• Reconhecer reta, semirreta e segmento de reta.

• Identificar retas paralelas, perpendiculares e concorrentes no plano.

• Determinar a medida de abertura de ângulo com a utilização de régua e transferidor.

• Classificar ângulos considerando suas medidas em graus.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo a noção de ângulo em diferentes contextos.

Competências gerais 1, 2, 5, 8 e 9

Competências específicas

1, 2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF06MA03

EF06MA04

EF06MA05

EF06MA06

EF06MA15

Competências gerais 2 e 3

Competências específicas 2, e 3

Habilidades

EF06MA03

EF06MA11

EF06MA12

Competências gerais

1, 2, 3, 4 e 5

Competências específicas

1, 2, 3, 5, 6 e 8

Habilidades

EF06MA22

EF06MA23

EF06MA25

EF06MA26

EF06MA27

Competências gerais

1, 2, 4 e 9

• Associar, no plano cartesiano, vértices de polígonos a pares ordenados.

• Interpretar plantas baixas e vistas aéreas.

Competências específicas

1, 3, 5, 6 e 8

Habilidades

EF06MA16

EF06MA23

EF06MA28

2 O plano cartesiano

1 Números racionais na forma fracionária

2 Porcentagem

• Ler, escrever e comparar números racionais na forma fracionária.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam frações de quantidade, tendo como resultado um número natural.

• Relacionar números fracionários a pontos na reta numérica.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo adição e subtração na representação fracionária.

• Resolver problemas envolvendo a multiplicação de um número natural por fração.

• Resolver problemas relacionados ao conceito de porcentagem sem o uso da regra de três.

Competências gerais

1, 2 e 4

Competências específicas

2, 3 e 5

Habilidades

EF06MA07

EF06MA08

EF06MA09

EF06MA10

EF06MA23

Competências gerais

7, 8, 9 e 10

Competências específicas

2

Habilidades

EF06MA13

Competências gerais

Educação Alimentar e Nutricional

Educação Ambiental

1 Figuras geométricas planas

• Reconhecer, nomear e comparar polígonos no plano e nas faces dos poliedros.

• Identificar e classificar os triângulos em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

• Identificar e classificar os quadriláteros em relação aos lados e ângulos.

2 Figuras geométricas espaciais

• Quantificar e estabelecer relação entre o número de faces, vértices e arestas de prismas e pirâmides.

• Resolver problemas que envolvam o número de arestas, faces e vértices de um sólido geométrico.

3 Construção de figuras semelhantes

• Identificar relações de proporcionalidade em figuras geométricas planas.

• Resolver problemas que envolvam ampliação e redução de figuras planas.

• Reconhecer, nomear, comparar e escrever números racionais na representação decimal.

• Transformar números racionais da representação fracionária para a representação decimal.

2, 3 e 4

Competências específicas

2, 3 e 5

Habilidades

EF06MA18

EF06MA19

EF06MA20

EF06MA22

Competências gerais

1 e 9

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF06MA17

Competências gerais

2

Competências específicas

3

Habilidades

EF06MA21

Competências gerais

8 e 9

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF06MA01

• Relacionar números decimais a pontos da reta numérica.

• Efetuar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais na representação decimal.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais na representação decimal.

Competências gerais

8 e 9

EF06MA08 2

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF06MA04

EF06MA06

EF06MA10

EF06MA11

Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

Unidade 6

3

Probabilidade

• Identificar situações em que a probabilidade está presente.

• Calcular a probabilidade de eventos simples e registrá-la na forma fracionária e na forma decimal.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo o cálculo de probabilidade.

Unidade 7 • Grandezas e medidas

1 Unidades de medida de comprimento e de área

2

Unidades de medida de volume, de capacidade e de massa

3 Unidades de medida de tempo e de temperatura

1

Leitura de variáveis, legendas, tabelas e gráficos

• Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de comprimento e de área.

• Identificar e utilizar unidades de medida de comprimento e de área.

• Compor e decompor figuras para determinação de área.

• Identificar unidades de medida de volume, capacidade e massa.

• Resolver problemas que envolvem medidas de volume, massa e capacidade.

• Identificar unidades de medida de tempo e de temperatura.

• Resolver problemas que envolvem medidas de tempo e de temperatura.

• Compreender o que são variáveis numéricas e categóricas.

• Utilizar legendas e símbolos de maneira adequada.

• Ler, analisar e interpretar gráficos e tabelas.

Competências gerais

8 e 9

Competências específicas

3

Habilidades EF06MA08 EF06MA30

Competências gerais

1, 3 e 9

Competências específicas

1 e 6

Habilidades EF06MA24 EF06MA29

Competências gerais

2

Competências específicas

2 Habilidades EF06MA24

Competências gerais

1, 7 e 8

Competências específicas 1, 3 e 7

Habilidades

EF06MA24

Competências gerais 7 e 8

Competências específicas 2, 4 e 6

Habilidades

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

2 Coleta, organização e registro de dados

• Coletar, organizar e registrar dados oriundos de diferentes fontes de informação.

• Utilizar fluxogramas para representar etapas de um processo.

• Construir gráficos e tabelas em planilhas eletrônicas.

Educação Ambiental

3

Probabilidade

• Compreender a probabilidade como a chance de um evento ocorrer.

• Calcular a probabilidade de um evento acontecer.

Competências gerais 2, 4 e 5

Competências específicas 3, 5 e 8

Habilidades

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

EF06MA34

Competências gerais

8

Competências específicas

4

Habilidades

EF06MA13

EF06MA30

EF06MA33

Educação Alimentar e Nutricional

1 Múltiplos e divisores de um número natural

• Identificar múltiplos e divisores de números naturais.

• Resolver e elaborar problemas com múltiplos, divisores, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum por meio de estratégias diversas.

• Reconhecer, comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos.

• Identificar o sucessor e o antecessor de um número inteiro.

2 Números inteiros

3 Adição e subtração com números inteiros

• Representar os números inteiros na reta numérica.

• Reconhecer os números simétricos ou opostos.

• Determinar o módulo ou o valor absoluto de um número inteiro.

• Representar pontos no plano utilizando coordenadas cartesianas.

• Resolver e elaborar problemas de adição e subtração com números inteiros.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da adição.

• Resolver expressões numéricas que envolvam adição e subtração em à

• Efetuar multiplicações com números inteiros.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da multiplicação.

4 Multiplicação, divisão e potenciação com números inteiros

• Efetuar divisões com números inteiros.

• Resolver expressões numéricas que envolvam adição, subtração, multiplicação e divisão em Z

• Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

• Calcular potências com base inteira e expoente natural.

• Reconhecer e aplicar as propriedades da potenciação.

5 Radiciação

• Entender a radiciação como operação inversa da potenciação.

• Efetuar, quando possível, a radiciação com números inteiros.

Competências gerais

9 Competências específicas

2 e 7

Habilidades

EF07MA01

EF07MA06

EF07MA07

Competências gerais

1, 2 e 3

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

Competências gerais

1, 2 e 5

Competências específicas

1, 2 e 5

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

EF07MA07

Capítulo Objetivos do capítulo BNCC TCT Unidade

Competências gerais

3, 4, e 5

Competências específicas

1, 2, 3 e 5

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

EF07MA05

EF07MA06

EF07MA07

Competências gerais

7 e 9

Competências específicas

8

Ciência e Tecnologia

Educação Ambiental

Habilidades

EF07MA04

3 Experimentos aleatórios

• Compreender variável representada por letras ou símbolos, por meio da relação de dependência entre diferentes grandezas.

• Utilizar expressões algébricas para generalizar e representar situações matemáticas.

• Reconhecer a equivalência de expressões algébricas.

• Identificar a regularidade em uma sequência.

• Obter uma sequência numérica com base em seu termo geral.

• Identificar uma equação polinomial do 1? grau com uma incógnita.

• Entender a definição de incógnita como o termo desconhecido de uma equação

• Resolver equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita utilizando procedimentos construídos com base nas propriedades da igualdade.

• Reconhecer a raiz ou a solução de uma equação.

• Definir o conjunto universo.

• Reconhecer o conjunto-solução como um subconjunto do conjunto universo.

• Representar e resolver situações-problema por meio de equações polinomiais do 1? grau com uma incógnita.

• Efetuar adição e subtração com números racionais utilizando o mmc.

• Introduzir o conceito de razão e destacar a escala como uma razão particular, explorando-a em diferentes situações-problema.

• Identificar grandezas obtidas por meio da razão entre duas grandezas.

• Compreender o conceito de proporção e suas propriedades.

• Resolver situações-problema que envolvem a ideia de números e grandezas direta ou inversamente proporcionais.

• Resolver problemas de contagem que envolvam árvores de possibilidades.

• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo da probabilidade de determinado evento.

Competências gerais

1 e 8

Competências específicas

1, 2, 3, 4, 6 e 8

Habilidades

EF07MA13

EF07MA14

EF07MA15

EF07MA16

EF07MA17

Competências gerais

1, 4, 7 e 9

Competências específicas

1, 2 e 5

Habilidades

EF07MA18

Educação em Direitos Humanos

Competências gerais

2

Competências específicas

2

Habilidades EF07MA01

EF07MA09

EF07MA12

EF06MA18

Competências gerais

3 e 10

Competências específicas

1, 3 e 6

Habilidades

EF07MA08

EF06MA09

EF06MA17

Competências gerais

3, 6 e 10

Competências específicas

3 Habilidades

EF07MA34

Educação Ambiental

1 A circunferência

• Reconhecer a circunferência como lugar geométrico, em que o ponto fixo é o centro da circunferência, e identificar seus elementos.

• Construir circunferência usando compasso.

• Estabelecer o número p como a razão entre a medida da circunferência e seu diâmetro para resolver problemas.

• Identificar ângulos congruentes e ângulos adjacentes, ângulos opostos pelo vértice, sua congruência e aplicações.

2 Ângulos

• Identificar e construir a bissetriz de um ângulo dado.

• Definir e aplicar as relações existentes entre pares de ângulos complementares e ângulos suplementares.

• Identificar as relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal.

• Reconhecer polígonos de acordo com suas características.

3 Ângulos e polígonos

1 Cálculo de áreas de figuras planas

• Calcular a medida de ângulos internos de polígonos.

• Construir triângulo equilátero e quadrado utilizando régua e compasso.

• Descrever por escrito e por meio de fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular.

Competências gerais

6

Competências específicas

1, 3 e 6 Habilidades

EF07MA22

EF07MA33

Diversidade Cultural

2 Volume de blocos retangulares

• Calcular a área de figuras planas pela decomposição e composição de figuras, utilizando a equivalência entre áreas.

• Estabelecer expressões de cálculo da área de triângulos e quadriláteros.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo de área de triângulos e quadriláteros.

Competências gerais

5

Competências específicas

3 e 5

Habilidades

EF07MA23

Competências gerais

3, 5, 6 e 9

Competências específicas

1, 2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF07MA24

EF07MA25

EFMA0726

EF07MA27

EF07MA28

Diversidade Cultural

• Resolver problemas que envolvem cálculo do volume do bloco retangular e do cubo.

Competências gerais

2

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF07MA31

EF07MA32

Competências gerais

2 e 8

Competências específicas

3 e 7

Habilidades

EF07MA29

EF07MA30

Educação Ambiental

1

Identificando o conjunto dos números racionais

• Números racionais

• Identificar e comparar números racionais.

• Representar números racionais na reta numérica.

6

Unidade

7 • Simetria e transformação geométrica de polígonos

Unidade

2

Operações com números racionais

• Efetuar operações com números racionais.

• Compreender e aplicar as propriedades da multiplicação e da divisão na potenciação envolvendo números racionais.

• Calcular raízes de números racionais nas formas fracionária e decimal.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo números racionais

Competências gerais

7 e 10

Competências específicas

1 e 2

Habilidades

EF07MA10

1

Simetrias de translação, rotação e reflexão

• Identificar simetrias de reflexão, de translação e de rotação em figuras geométricas planas.

• Utilizar a malha quadriculada e instrumentos como régua e transferidor para obter transformações isométricas de figuras planas em relação aos eixos e à origem.

Competências gerais

5, 7 e 10

Competências específicas 5 e 8

Habilidades

EF07MA10

EF07MA11

EF07MA12

Educação Financeira

2

• Reconhecer, no plano cartesiano, o simétrico de uma figura em relação à origem e aos eixos.

• Compreender como a multiplicação das coordenadas do vértice de uma figura no plano cartesiano se relaciona com as transformações geométricas.

Competências gerais

3

Competências específicas

1 e 2

Habilidades

EF07MA21

Competências gerais

9

Competências específicas

8

Habilidades

EF07MA19

EF07MA20

EF07MA21

1 Gráfico de setores

2 Planejamento e execução de pesquisa

3 Média aritmética

• Interpretar e analisar dados utilizando gráficos de setores.

• Compreender situações que podem ser representadas por meio de gráficos de setores.

• Identificar a relação entre a área de um setor e o valor numérico que ela representa.

• Compreender o que são pesquisas censitárias e pesquisas amostrais.

• Diferenciar população de amostra.

• Planejar e fazer pesquisas estatísticas.

• Utilizar conhecimentos matemáticos e recursos tecnológicos para organizar e analisar dados obtidos em pesquisas.

Competências gerais 7

Competências específicas 2, 4, 6, 7 e 8

Habilidades

EF07MA02

EF07MA37

Competências gerais 5 e 6

Competências específicas 3, 4, 5, 6 e 7

Habilidades

EF07MA02

EF07MA35

EF07MA36

EF07MA37

Competências gerais

2

• Aplicar a ideia de média aritmética na resolução de problemas.

• Utilizar ferramentas tecnológicas para explorar a média de um conjunto de dados.

Competências específicas 2 e 7

Habilidades

EF07MA12

EF07MA35

EF07MA36

Educação Financeira

Educação para a valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

1 Cálculos com números reais

• Determinar a fração geratriz de dízimas periódicas.

• Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros.

• Compreender e utilizar a notação científica.

• Relacionar potências a raízes e entender a raiz como potência de expoente fracionário.

• Compreender e utilizar a porcentagem em situações de acréscimo ou decréscimo.

2 Porcentagem

• Resolver e elaborar problemas envolvendo cálculos de porcentagens.

• Utilizar calculadora para efetuar cálculos de porcentagem.

3 Contagem e possibilidades

• Compreender o princípio multiplicativo da contagem.

• Elaborar e resolver problemas que envolvam o princípio multiplicativo da contagem.

• Identificar e diferenciar os tipos de gráfico.

• Identificar todos os elementos que um gráfico deve conter.

• Construir gráficos de setores com base no cálculo do ângulo de cada setor.

• Construir um gráfico com base nos dados apresentados em uma tabela.

• Organizar os dados de uma pesquisa em diferentes classes.

• Identificar a frequência de uma classe.

• Associar uma tabela de frequência a um gráfico.

Competências gerais

1 Competências específicas

1 e 2 Habilidades EF08MA01 EF08MA02 EF08MA05 EF08MA06

Competências gerais

1

Competências específicas

1 Habilidades

EF08MA04

Competências gerais

1 e 9 Competências específicas

2, 4 e 6 Habilidades

EF08MA03

EF08MA04

Competências gerais

9 Competências específicas

2 e 4 Habilidades

EF08MA04

EF08MA23

EF08MA27

Competências gerais

9 Competências específicas

2 e 4 Habilidades

EF08MA24

EF08MA27

Saúde

Vida Familiar e Social

Educação em Direitos Humanos

Direitos da Criança e do Adolescente

Saúde

1 Equação linear do 1? grau com duas incógnitas

• Reconhecer equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas inferindo possíveis soluções de pares ordenados.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do valor numérico de expressões algébricas utilizando as propriedades das operações.

• Representar algébrica e graficamente equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Identificar sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Determinar graficamente a solução de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

2 Sistemas de equações polinomiais do 1? grau

• Discutir, com base na resolução gráfica de um sistema de equações polinomiais do 1? grau, se o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível.

• Determinar soluções para sistemas de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas pelo método da substituição e da adição.

• Representar e resolver problemas por meio de um sistema de equações polinomiais do 1? grau com duas incógnitas.

• Identificar, compreender e aplicar os casos de congruência entre triângulos na resolução de problemas.

• Identificar e explorar propriedades dos triângulos isósceles e equiláteros.

• Identificar e explorar propriedades de paralelogramos e trapézios.

• Compreender o significado de mediatriz de segmento e bissetriz de ângulo.

2 Construções geométricas

• Resolver problemas aplicando os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos.

• Traçar ângulos de 90‘, 60‘, 45‘ e 30‘

• Construir polígonos regulares utilizando instrumentos de desenho e softwares de Geometria dinâmica.

Competências gerais

1, 2, 3, 4 e 8

Competências específicas

1, 2, 3 e 6

Habilidades

EF08MA06

EF08MA07

Competências gerais

3, 4, 5 e 8

Competências específicas

3, 5, 6 e 8

Habilidades

EF08MA07

EF08MA08

Educação Ambiental

Competências gerais

2, 3, 4, 5, 7, 9 e 10

Competências específicas

2

Habilidades

EF08MA14

EF08MA18

Competências gerais

2 e 5

Competências específicas

3 e 5

Habilidades

EF08MA15

EF08MA16

EF08MA17

1 Sequências

2 Proporcionalidade

• Identificar regularidades de sequências numéricas não recursivas e construir um algoritmo por meio de fluxogramas.

• Identificar a regularidade de sequências numéricas recursivas e construir algoritmos por meio de fluxogramas.

• Identificar a natureza da variação de duas grandezas (direta e inversamente proporcionais ou não proporcionais).

• Expressar uma relação entre grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de uma sentença algébrica.

• Resolver problemas que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais por meio de estratégias variadas.

• Compreender a definição de equações polinomiais do 2? grau.

1 Equação polinomial do 2? grau com uma incógnita

• Explorar estratégias de resolução de equações polinomiais do 2? grau.

• Resolver equações do 2? grau do tipo ax2 + c = 0.

• Resolver e elaborar problemas que podem ser representados por equações polinomiais do 2? grau do tipo ax2 + c = = 0.

• Aplicar o princípio multiplicativo da contagem no cálculo de probabilidades.

• Elaborar e resolver problemas que envolvam o princípio multiplicativo da contagem.

2

Possibilidades e probabilidade

• Explorar a ideia de espaço amostral.

• Relacionar a probabilidade à razão entre o número de eventos favoráveis e o número de eventos possíveis.

• Reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

Competências gerais

3 Competências específicas

1 e 3 Habilidades EF08MA10 EF08MA11

Competências gerais

1, 8 e 10 Competências específicas 2, 3 e 7 Habilidades EF08MA12 EF08MA13

Educação para o Trânsito Saúde

Competências gerais

1 e 4

Competências específicas

1

Habilidade EF08MA09

Competências gerais

1, 3, 7 e 9

Competências específicas

1, 4, 6, 7 e 8

Habilidades

EF08MA03 EF08MA22

1 Simetrias: reflexão, rotação e translação

• Reconhecer transformações geométricas de isometria.

• Construir figuras obtidas por meio de composições que envolvem simetrias de rotação, translação ou reflexão.

• Utilizar instrumentos de desenho geométrico e softwares de Geometria dinâmica para construir figuras por composições de transformações geométricas.

• Determinar e utilizar expressões para o cálculo de área de quadriláteros, triângulo e círculo.

• Resolver e elaborar problemas que envolvem medidas de área de figuras planas.

2 Área, volume e capacidade

• Reconhecer a relação entre volume e capacidade.

• Reconhecer a relação entre litro e decímetro cúbico.

• Determinar o volume de blocos retangulares.

• Elaborar e resolver problemas que envolvem volume e capacidade.

• Compreender e calcular a média, a moda e a mediana de um conjunto de dados.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam as medidas de tendência central.

• Utilizar tabelas de frequência para organizar um conjunto de dados.

• Compreender o que são pesquisas censitárias e pesquisas amostrais.

• Diferenciar os tipos de amostragem.

• Entender os procedimentos de execução de uma pesquisa estatística.

• Planejar e fazer uma pesquisa amostral.

• Organizar um conjunto de dados.

Competências gerais

1, 2, 3 e 5

Competências específicas

1 e 3

Habilidades

EF08MA18

Competências gerais

2, 9 e 10

Competências específicas

2, 4 e 7

Habilidades

EF08MA19

EF08MA20

EF08MA21

Educação em Direitos Humanos

Competências gerais

10

Competências específicas 7 e 8

Habilidade

EF08MA25

Competências gerais 4, 5 e 7

Competências específicas 2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF08MA26

EF08MA27

Educação Ambiental

Capítulo Objetivos do capítulo BNCC

• Reconhecer números irracionais como números reais.

• Localizar e representar números reais na reta numérica.

• Reconhecer que existem segmentos de reta cujo comprimento é expresso por um número racional.

Competências gerais

1

Competências específicas

2 e 3

Habilidades

EF09MA01

EF09MA02 EF09MA04

Competências gerais

1 e 3

2 Potências e raízes

• Resolver problemas envolvendo potenciação e radiciação.

• Resolver e elaborar problemas com números reais e em notação científica.

Competências específicas

1, 4, 6 e 8

Habilidades

EF09MA03

EF09MA04 EF09MA18

Competências gerais

1, 2 e 5

3 Unidades de medida na informática

• Entender conceitos da linguagem binária de um computador

Competências específicas

2 • Vistas ortogonais e volume de prismas e cilindros

1 Vistas ortogonais de figuras geométricas espaciais

• Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

• Conhecer e utilizar a nomenclatura das diferentes vistas de uma figura geométrica espacial em relação ao observador.

• Utilizar o conhecimento de vistas ortogonais para desenhar objetos em perspectiva.

2 Volume de prismas e cilindros

• Resolver problemas que envolvam o cálculo do volume de prismas e de cilindros retos.

• Compreender a relação entre os volumes de sólidos geométricos equivalentes.

• Representar sólidos geométricos e vistas usando software de Geometria dinâmica.

1 Produtos notáveis

• Diferenciar os produtos notáveis e utilizá-los para simplificar expressões algébricas.

Competências gerais

2 e 5

Competências específicas

2 e 5

Habilidades EM09MA17

Competências gerais

1

Competências específicas

1, 3 e 5

2 Habilidades EM09MA04 EM09MA18 Unidade

Habilidades EM09MA17 EF09MA19

Competências gerais

1, 3 e 4

Competências específicas 6 e 8

Habilidades EF09MA09

Competências gerais

2 e 4

2 Fatoração

• Compreender os processos de fatoração e sua relação com produtos notáveis e expressões algébricas.

Competências específicas

2

Habilidades EF09MA09

Competências gerais

3

Equações polinomiais do 2? grau

• Resolver equações polinomiais do 2? grau por diferentes métodos.

• Resolver sistemas de equações polinomiais do 2? grau.

2

Competências específicas

1 e 2

Habilidades EF09MA09

Ciência e Tecnologia

1 Retas e ângulos

Unidade

2 Semelhança de figuras

3 Construção de polígonos regulares

1 Leitura, interpretação e construção de gráficos

2 Planejamento e execução de pesquisa amostral

• Entender a relação entre ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal.

• Resolver problemas estabelecendo relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência.

• Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

• Resolver problemas que envolvam semelhança de polígonos e casos de semelhança de triângulos.

• Construir polígonos regulares usando régua, compasso e esquadro.

• Descrever um algoritmo para a construção de polígonos regulares usando fluxogramas.

• Ler, interpretar e construir gráficos com ou sem uso de planilhas eletrônicas para representar um conjunto de dados.

• Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, elementos que podem induzir em erro de leitura e interpretação.

• Planejar e executar pesquisa amostral e comunicar os resultados por meio de relatório.

Competências gerais

1 e 5

Competências específicas

1, 3 e 5

Habilidades

EF09MA10

EF09MA11

Competências gerais

1, 3, 4 e 5

Competências específicas

2, 3, 5 e 8

Habilidades

EF09MA12

Competências gerais

5

Competências específicas

5

Habilidades

EF09MA15

Competências gerais

2, 4 e 7

Competências específicas

2, 4, 6 e 8

Habilidades

EF09MA21

EF09MA22

Competências gerais

5

Competências específicas

6, 7 e 8

Habilidades

EF09MA22

EF09MA23

1 Proporcionalidade em Geometria

• Reconhecer e aplicar as relações de proporcionalidade de segmentos de reta em feixes de retas paralelas cortadas por transversais.

• Compreender e aplicar o teorema de Tales.

Diversidade

Cultural

Ciência e Tecnologia

2 Triângulo retângulo

• Demonstrar e aplicar as relações métricas do triângulo retângulo.

Competências gerais

1

Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

3 Distância entre pontos no plano cartesiano

• Calcular a distância entre dois pontos do plano cartesiano.

• Determinar o ponto médio de um segmento de reta.

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF09MA14

Competências gerais

1

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades

EF09MA13

EF09MA14

Competências gerais

5

Competências específicas

2 e 5

Habilidades

EF09MA16

1

Função afim

• Entender o conceito de função

• Identificar uma função polinomial do 1? grau.

• Identificar e representar graficamente uma função afim.

• Identificar uma função polinomial do 2? grau.

• Interpretar e representar gráficos de funções polinomiais do 2? grau.

2

Função quadrática

• Identificar o domínio, contradomínio e o conjunto imagem de uma função.

• Calcular o(s) zero(s) de uma função.

• Identificar a concavidade de uma parábola.

• Calcular o valor máximo ou mínimo de uma função polinomial do 2? grau.

• Reconhecer eventos dependentes e independentes em experimentos aleatórios.

1

Probabilidade

• Calcular a probabilidade da ocorrência de eventos dependentes e independentes em experimentos aleatórios.

• Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes.

Competências gerais

2 e 8

Competências específicas

3 4 e 6

Habilidades EF09MA06

Competências gerais

4

Competências específicas

1

Habilidades EF09MA06

Competências gerais

2, 4 e 7

Competências específicas

2 e 8

Habilidades EF09MA20

Competências gerais

2

Competências específicas

• Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagem.

• Compreender a aplicação de percentuais sucessivos e determinação de taxas percentuais.

8 e 10

Habilidades EF09MA07

EF09MA08

Competências gerais

2, 3 e 4

Competências específicas

Educação para o Trânsito 3 Porcentagem

2, 3, 6, 8 e 9

Habilidades EF09MA05

Educação Financeira

Referências

AGUIAR, W. M. J. et al. Reflexões sobre sentido e significado. In: BOCK, A. M. B.; GONÇALVES, M. G. M. (org.). A dimensão subjetiva da realidade: uma leitura sócio-histórica. São Paulo: Cortez, 2009.

O livro aborda a “realidade” considerando o sujeito que a constitui e que, ao mesmo tempo, é constituído por ela. No capítulo “Reflexões sobre sentido e significado”, os autores tratam de duas importantes categorias de análise da perspectiva sócio-histórica: “sentido” e “significado”.

ALARCÃO, I. Professores reflexivos em uma escola reflexiva. 8. ed. São Paulo: Cortez, 2011. (Coleção Questões da nossa época, v. 8).

O livro discute importantes temáticas para a escola da atualidade, entre elas: o papel dessa instituição frente à sociedade da informação, do conhecimento e da aprendizagem; a formação do professor crítico-reflexivo; a dimensão coletiva do trabalho docente e a gestão para uma escola reflexiva.

A LÓGICA da tecnologia: o que é pensamento computacional? In: CAPES. eduCapes. Brasília, DF, [202-]. Disponível em: https://educapes.capes.gov.br/ bitstream/capes/597639/2/INFOGR%C3%81FICO%20 -%20O%20QUE%20%C3%89%20PENSAMENTO% 20COMPUTACIONAL.pdf. Acesso em: 24 maio 2022. Infográfico que apresenta a definição de “pensamento computacional” e as quatro etapas para a organização dessa estratégia: decomposição, reconhecimento de padrões, abstração e algoritmos.

BIAGIOTTI, L. C. M. Conhecendo e aplicando rubricas em avaliações. In: CONGRESSO INTERNACIONAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA, 12., 2005, Florianópolis. Anais [...]. Florianópolis: ABED, 3 abr. 2005. Disponível em: http://www.abed.org.br/congresso2005/por/ pdf/007tcf5.pdf. Acesso em: 24 maio 2022. Artigo que apresenta a rubrica como um potente instrumento de avaliação. Discute as características e as aplicações desse instrumento bem como os procedimentos para sua elaboração e as vantagens e desvantagens de sua utilização.

BIBIANO, B.; SANTOMAURO, B.; MARTINS, A. R. Como agrupo meus alunos? Nova Escola, [São Paulo], 1 mar. 2009. Disponível em: https://novaescola.org.br/ conteudo/1475/como-agrupo-meus-alunos. Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que apresenta e discute diferentes critérios para agrupamento dos estudantes na sala de aula, tendo como ponto de partida o diagnóstico do que cada um sabe sobre o tema em estudo.

BONALS, J. O trabalho em pequenos grupos em sala de aula. Tradução: Neusa Kern Hickel. Porto Alegre: Artmed, 2003.

O livro aborda o trabalho em pequenos grupos na sala de aula, oferecendo ao professor alguns elementos para realizá-lo de maneira satisfatória.

BRASIL. [Constituição (1988)]. Constituição da República Federativa do Brasil de 1988. Brasília, DF: Presidência da República, [2016]. Disponível em: https://www2.senado.leg.br/bdsf/bitstream/handle/ id/518231/CF88_Livro_EC91_2016.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Lei máxima do país que trata da elaboração de todas as outras leis e do conteúdo mínimo que devem ter.

BRASIL. Lei no 13.005, de 25 de junho de 2014 Aprova o Plano Nacional de Educação – PNE e dá outras providências. Brasília, DF: Presidência da República, 2014. Disponível em: http://www.planalto. gov.br/ccivil_03/_ato2011-2014/2014/lei/l13005.htm. Acesso em: 24 maio 2022.

Lei que aprova o Plano Nacional de Educação (PNE), o qual determina diretrizes, metas e estratégias para a política educacional brasileira no período de 2014 a 2024.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/ BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Documento de caráter normativo, aplicado exclusivamente à educação escolar, que define o conjunto orgânico e progressivo de aprendizagens essenciais que todos os estudantes devem desenvolver ao longo da Educação Básica, de modo a terem garantidos seus direitos de aprendizagem e seu desenvolvimento, conforme estabelecido no Plano Nacional de Educação (PNE).

BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica Brasília, DF: MEC, 2013. Publicação que reúne as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Educação Básica, que buscam prover os sistemas educativos, nas esferas municipal, estadual e federal, de instrumentos para que todos os estudantes possam se desenvolver plenamente, em consonância com a idade e o nível de aprendizagem. São essas diretrizes que estabelecem a Base Nacional Comum Curricular (BNCC).

BRASIL. Ministério da Educação. Metodologia de pesquisa na escola. Brasília, DF: MEC, [2018?a]. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/192-metodologia-de-pesquisa-naescola. Acesso em: 24 maio 2022.

Disponível no portal da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), esse artigo discorre sobre alguns dos múltiplos aspectos envolvidos no planejamento de ações pedagógicas que utilizam metodologia de pesquisa na Educação Básica.

BRASIL. Ministério da Educação. O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação de competências. Brasília, DF: MEC, [2018?b]. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/202-o-uso-de-metodologias-ativas -colaborativas-e-a-formacao-de-competencias-2.

Acesso em: 24 maio 2022.

O artigo, disponível no portal da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), discorre sobre o uso de metodologias ativas colaborativas, como jogos de tabuleiro e/ou games, e sua importância para o desenvolvimento de competências e aprendizagens significativas dos estudantes.

BRASIL. Ministério da Educação. Parecer CNE/CEB no 11, de 7 de julho de 2010 – Diretrizes Curriculares

Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos. Brasília, DF: MEC, 2010a. Disponível em: http:// portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman &view=download&alias=6324-pceb011-10&cate gory_slug=agosto-2010-pdf&Itemid=30192.

Acesso em: 24 maio 2022.

Parecer do sociólogo, educador e pesquisador Cesar Callegari sobre as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de nove anos.

BRASIL. Ministério da Educação. Resolução no 7, de 14 de dezembro [de] 2010. Fixa Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de 9 (nove) anos. Brasília, DF: MEC, 2010b. Disponível em: http:// portal.mec.gov.br/dmdocuments/rceb007_10.pdf.

Acesso em: 24 maio 2022.

Resolução da Câmara de Educação Básica do Conselho Nacional de Educação que fixa as Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental de nove anos.

BRASIL. Ministério da Educação.Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação no contexto escolar: possibilidades. Brasília, DF: MEC, [2018?c].

Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov. br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/193-tecnologias-digitais-dainformacao-e-comunicacao-no-contexto-escolarpossibilidades. Acesso em: 24 maio 2022.

Disponível no portal da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), o artigo aborda a incorporação das Tecnologias Digitais da informação e Comunicação (TDICs) às práticas docentes como meio de promover aprendizagens significativas aos estudantes. Também apresenta possibilidades de aplicação das TDICs nas aulas, com exemplos de práticas pedagógicas.

BRASIL. Senado Federal. LDB. Lei de diretrizes e bases da educação nacional. Brasília, DF: Senado Federal: Coordenação de Edições Técnicas, 2017. Disponível em: https://www2.senado.leg.br/bdsf/ bitstream/handle/id/529732/lei_de_diretrizes_e_ bases_1ed.pdf. Acesso em: 24 maio 2022.

Lei que estabelece as diretrizes e as bases da educação nacional, as quais definem e regularizam o sistema educacional brasileiro com base nos princípios presentes na Constituição Federal.

DINIZ, Y. Entenda o que são e como trabalhar as metodologias ativas. In: IMAGINIE. Educação. [S. l.], 19 maio 2021. Disponível em: https://educacao.imaginie. com.br/metodologias-ativas/. Acesso em: 24 maio 2022. Texto que explica o que são “metodologias ativas” e apresenta alguns exemplos de sua aplicação na sala de aula.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 25. ed. São Paulo: Paz e Terra, 1996.

O livro enfoca a questão da formação docente e a reflexão sobre a prática educativo-progressiva em favor da autonomia dos estudantes. Em três capítulos, apresenta e discute os inúmeros saberes necessários à prática educativa.

LÜDKE, M.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo: EPU, 1986. (Coleção Temas básicos de educação e ensino).

O livro aborda temas relacionados à pesquisa em educação, na perspectiva das abordagens qualitativas. Discorre sobre a evolução da pesquisa educacional e apresenta algumas abordagens qualitativas de pesquisa (pesquisa etnográfica e estudo de caso), bem como alguns métodos de coleta de dados (observação, entrevista e análise documental). Traz, ainda, importantes questões relacionadas à análise de dados.

MARTINS, C. H. dos S.; CARRANO, P. C. R. A escola diante das culturas juvenis: reconhecer para dialogar. Educação, Santa Maria, v. 36, n. 1, p. 43-56, jan./abr. 2011. Disponível em: https://periodicos.ufsm.br/ reveducacao/article/view/2910/1664. Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que apresenta e discute os processos sociais e culturais que produzem as chamadas “culturas juvenis”, enfatizando a necessidade de a escola reconhecer esses processos.

MORAN, J. Metodologias ativas e modelos híbridos na educação. In: YAEGASHI, S. et al. (org.). Novas tecnologias digitais: reflexões sobre mediação, aprendizagem e desenvolvimento. Curitiba: CRV, 2017.

O livro discute as contribuições das tecnologias digitais para a educação, com ênfase na formação de professores e nos processos de ensino-aprendizagem. No capítulo

“Metodologias ativas e modelos híbridos na educação”, o autor discorre sobre como os modelos híbridos e as metodologias ativas contribuem para envolver os estudantes no processo de ensino-aprendizagem, tornando-o mais interessante e significativo.

NAÇÕES UNIDAS. Declaração e Programa de Ação sobre uma Cultura de Paz. In: COMITÊ PAULISTA

PARA A DÉCADA DA CULTURA DE PAZ. [S. l.], 1999. Disponível em: http://www.comitepaz.org.br/dec_prog

_1.htm. Acesso em: 24 maio 2022.

Publicação que apresenta as resoluções aprovadas pelas Nações Unidas, em assembleia geral realizada no dia 6 de outubro de 1999, para que se promova e se fortaleça uma cultura de paz em todo o mundo.

NOGUEIRA, N. R. Interdisciplinaridade aplicada. São Paulo: Érica, 1998.

O livro aborda detalhadamente a temática da interdisciplinaridade e apresenta várias alternativas para os professores aplicarem-na em seu cotidiano escolar, com exemplos de projetos interdisciplinares voltados para o Ensino Fundamental.

PORTANOVA, R. A educação matemática e a educação para a paz. Educação, Porto Alegre, v. XXIX, n. 2, p. 435-444, maio/ago. 2006. Disponível em: https://www.redalyc.org/pdf/848/84805910.pdf.

Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que aborda as contribuições da Educação Matemática para a construção de um mundo de paz, destacando outros valores além do conteúdo matemático.

PRADO, A. R. do. Cultura juvenil. Encontros Teológicos, Florianópolis, ano 27, n. 3, p. 67-80, 2012. Disponível em: https://facasc.emnuvens.com.br/ret/ article/viewFile/177/168. Acesso em: 24 maio 2022.

Artigo que apresenta e discute as características mais significativas da cultura juvenil urbana.

RIGOLON, Walkiria. Aprender não é um dom natural. [Entrevista cedida a] Redação. Revista Educação, [São Paulo], 19 maio 2017. Disponível em: https:// revistaeducacao.com.br/2017/05/19/aprender -nao-e-um-dom-natural/. Acesso em: 24 maio 2022. Entrevista com a professora e pesquisadora Walkiria Rigolon sobre a naturalização de alguns saberes e a responsabilidade da escola e da universidade no ensino de procedimentos e técnicas de estudo.

SANTOS, V. O que são metodologias ativas e como elas favorecem o protagonismo dos alunos, Nova Escola, [São Paulo], 8 set. 2021. Disponível em: https://novaescola.org.br/conteudo/20630/especial -metodologias-ativas-o-que-sao-as-metodologias -ativas-e-como-funcionam-na-pratica. Acesso em: 24 maio 2022.

Texto que aborda as metodologias ativas como estratégias que colocam os estudantes no centro do processo de ensino-aprendizagem, oferecendo algumas reflexões para se reavaliar o papel do estudante e do professor nesse processo. Também apresenta alguns exemplos de aplicação de metodologias ativas na sala de aula.

ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar.

Tradução: Ernani F. F. Rosa. Porto Alegre: ArtMed, 1998.

O livro aborda a prática educativa, sob diversos enfoques, como: as variáveis que configuram a prática educativa; a função social do ensino; a aprendizagem dos conteúdos segundo sua tipologia (conteúdos factuais, conceituais, procedimentais e atitudinais); as sequências didáticas e as sequências de conteúdo; as relações interativas em sala de aula; a organização da classe, com enfoque na forma de agrupamento dos estudantes; a organização dos conteúdos; o processo avaliativo e outros.

José Roberto Bonjorno

• Bacharel e licenciado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Regina Azenha Bonjorno

• Bacharel e licenciada em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Professora do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Ayrton Olivares

• Bacharel e licenciado em Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP)

• Licenciado em Pedagogia pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras Professor Carlos Pasquale (FFCLQP-SP)

• Professor do Ensino Fundamental e do Ensino Médio

Marcinho Mercês Brito

• Doutor em Estatística e Experimentação Agropecuária pela Universidade Federal de Lavras (UFLA-MG)

• Mestre em Ciências Agrárias pela Universidade Federal do Recôncavo da Bahia (UFRB-BA)

• Pós-graduado em Formação para o Magistério – Área de Concentração: Metodologia do Ensino e da Pesquisa em Matemática e Física pelas Faculdades Integradas de Amparo (FIA-SP)

• Engenheiro Agrônomo pela Universidade Federal da Bahia (UFBA)

• Licenciado em Matemática pela Faculdade de Ciências Educacionais (FACE-BA)

• Professor do Ensino Médio e do Ensino Superior

ENSINO

FUNDAMENTAL

ANOS FINAIS

COMPONENTE CURRICULAR

MATEMÁTICA

1a edição São Paulo, 2022

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Amplitude : matemática, 6 : ensino fundamental : anos finais / José Roberto Bonjorno...[et al.]. --

1. ed. -- São Paulo : Editora do Brasil, 2022. -(Amplitude matemática)

Outros autores: Regina Azenha Bonjorno, Ayrton Olivares, Marcinho Mercês Brito

ISBN 978-85-10-08520-5 (aluno)

ISBN 978-85-10-08521-2 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Bonjorno, José Roberto. II. Bonjorno, Regina Azenha. III. Olivares, Ayrton. IV. Brito, Marcinho Mercês. V. Série.

22-109086

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427

© Editora do Brasil S.A., 2022

Todos os direitos reservados

Direção-geral: Vicente Tortamano Avanso

Direção editorial: Felipe Ramos Poletti

Gerência editorial de conteúdo didático: Erika Caldin

Gerência editorial de produção e design: Ulisses Pires

Supervisão de artes: Andrea Melo

Supervisão de editoração: Abdonildo José de Lima Santos

Supervisão de revisão: Elaine Silva

Supervisão de iconografia: Léo Burgos

Supervisão de digital: Priscila Hernandez

Supervisão de controle de processos editoriais: Roseli Said

Supervisão de direitos autorais: Marilisa Bertolone Mendes

Supervisão editorial: Everton José Luciano

Edição: Daniel Leme, Katia Queiroz, Lourdes Ferreira e Marcos Silva

Assistência editorial: Douglas F. Giaquinto, Juliana Bomjardim, Viviane Ribeiro e Wagner Razvickas

Revisão: Amanda Cabral, Andréia Andrade, Fernanda Sanchez, Gabriel Ornelas, Giovana Sanches, Jonathan Busato, Júlia Castello, Luiza Luchini, Maisa Akazawa, Mariana Paixão, Martin Gonçalves, Rita Costa, Rosani Andreani, Sandra Fernandes e Veridiana Cunha

Pesquisa iconográfica: Ana Brait

Design gráfico: APIS design

Capa: Estúdio Siamo

Imagem de capa: BIN WANG/iStockphoto.com e XtockImages/ iStockphoto.com

Edição de arte: Daniel Souza, Marcela Tenguan e Mario Junior Ilustrações: Adriano Gimenez, André Martins, Antonio Eder, DAE, Danillo Souza, Flip Estúdio, Luca Navarro, Luiz Lentini, Marcel Borges, Marcos Guilherme, Murilo Moretti, Reinaldo Vignati, Tarcísio Garbellini e Wanderson Souza

Produção cartográfica: Sônia Vaz

Editoração eletrônica: Fórmula Produções Editoriais

Licenciamentos de textos: Cinthya Utiyama, Jennifer Xavier, Paula Harue Tozaki e Renata Garbellini

Controle de processos editoriais: Bruna Alves, Julia Nascimento, Rita Poliane, Terezinha de Fátima Oliveira e Valeria Alves

1a edição, 2022

Rua Conselheiro Nébias, 887

São Paulo/SP – CEP 01203-001

Fone: +55 11 3226-0211

www.editoradobrasil.com.br

Apresentação

Cara estudante, caro estudante

Vivemos hoje em uma sociedade dinâmica, complexa e tecnológica. Nesse universo, mesmo sem perceber, estamos todos conectados a números, algoritmos, operações, medidas etc. Ao falar sua data de nascimento, você usa os números; para pagar uma compra, você também os utiliza; as páginas da internet e das redes sociais que você acessa funcionam por meio de algoritmos, e assim por diante. Com esta coleção, queremos aproximar ainda mais a Matemática de sua realidade, de modo que você possa raciocinar matematicamente, pensar de maneira lógica, comparar grandezas, analisar evidências e argumentar com base em números. Assim, você poderá programar um futuro melhor, no qual símbolos que representam matematicamente a desigualdade e a diferença poderão ser socialmente substituídos pelos sinais de igualdade e semelhança. Para construir esse futuro, precisamos aprender a pensá-lo matematicamente melhor!

Bons estudos!

Os autores

por ele mesmo. A sequência dos múltiplos de 42 pode ser assim representada como

M(42) (Lê-se conjunto dos múltiplos de 42): M (42) {0, 42, 84, 126 ...} O conjunto dos múltiplos de um número natural diferente de zero infinito (não é finito).

Hoje, 2 de março, segunda-feira, passei por uma consulta médica. Daqui a 60 dias, terei de retornar ao médico. Em que dia da semana deve cair o sexagésimo dia depois do dia 2 de março?

• Se o dia 2 de março cai numa segunda-feira e cada semana tem sete dias, os dias que cairão em uma segunda-feira voltarão a se repetir após: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, ... dias. Como ela precisa marcar a consulta para dali a 60 dias, não será em uma segunda-feira. Podemos contar assim: Segunda-feiraTerça-feiraQuarta-feira Quinta-feira Sexta-feira Após 56 dias.Após 57 dias.Após 58 dias.Após 59 dias.Após 60 dias. O 60 dia depois do dia 2 de março será uma sexta-feira. Começando pelo número 5, veja como podemos obter a sequência 5, 25, 125, 625 utilizando uma vez a tecla 5 e depois somente as teclas * da calculadora.

5 5 25 125 625 Agora é sua vez! Use a calculadora escreva os 10 primeiros termos da sequência 3, 9, 27, 81, 243, ... Escreva os 5 primeiros termos da sequência 12, 144, 1 728, ...

É hora do jogo Jogo dos múltiplos comuns Com a orientação do professor, pegue lápis e caderno e siga com a turma para um pátio, uma quadra ou outro espaço adequado. Escrevam a sequência de números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...), cada número em uma folha. Para que os números fiquem bem visíveis, façam números de tamanho grande na folha usem giz de cera colorido. Se escola dispuser de espaço, a sequência pode ser mais longa.

012345

10 9876

11121314 15 Com as folhas numeradas em ordem crescente sobre o chão, dois estudantes devem se posicionar ao lado do zero. Um deles saltará para as posições referentes aos múltiplos de 3, enquanto o outro saltará sobre os múltiplos de 2. No entanto, antes de executar os saltos, os outros integrantes da turma devem responder no caderno, em 2 minutos, a questão seguir. Esse tempo será controlado pelo professor ou por um terceiro jogador. Quantas vezes, em que posições, os saltadores se encontrarão se mantiverem os saltos até o número 15? Depois de transcorrido o tempo, os jogadores iniciam os saltos sendo observados pela turma. É importante que saltem num ritmo que permita o encontro nas posições comuns na sequência. Ao chegar ao fim da sequência, os saltadores voltam à posição inicial falando cada número em voz alta para constatação da turma. Os estudantes podem se alternar nas posições dos saltadores e usar o mesmo procedimento com outros números: múltiplos de 3 e 4, múltiplos de 4 5, de 3 5, e assim por diante. Pode-se também criar formatos alternativos para a apresentação da sequência numérica, representando os números com tampinhas de garrafa ou com desenhos. Use sua criatividade!

Abertura de unidade

Em cada uma das oito aberturas, você encontrará imagens, textos e questões relacionados ao tema estudado na unidade.

Abertura de capítulo

Os conteúdos são apresentados de forma objetiva e organizada.

Para começar

Apresenta perguntas disparadoras e testagem de conhecimentos prévios sempre no começo de cada capítulo.

É hora do jogo

Prepare-se para encarar jogos matemáticos desafiadores nesta seção.

Atividades

QuantidadeItem Preço unitário (em reais) Preço total (em reais) 25lápis0,8521,25 18borracha0,35 32fichário6,50

Zedspider/Shutterstock.com

Antigos sistemas de numeração

A necessidade de registrar quantidades, organizar um entre outras situações, levou à criação de sistemas de numeração: para a escrita dos números. Veja alguns exemplos de sistemas de numeração inventados com o sistema que utilizamos. Marcel Borges Rebanho de ovelhas em um pasto.

Há milhares de anos, os seres humanos não tinham a prática de contar, como nós fazemos. Depois que passaram a plantar e a criar animais, veio a necessidade de registrar o que eles possuíam. Eles faziam, por exemplo, uma marca em um pedaço de madeira (ou osso) para registrar cada animal abatido em uma caçada. Para contar rebanhos, separavam uma pedrinha para cada animal, criando, assim, uma correspondência um um. Nessa época, as pessoas passaram a contar e registrar, mas ainda não representavam as quantidades como fazemos hoje. Um pastor tinha a mesma quantidade de ovelhas e pedras. Certo dia, ao recolher suas ovelhas, ele percebeu que sobrava uma pedra. O que pode ter acontecido? E se faltasse uma pedra, o que poderia ter ocorrido?

Pense e responda

Traz questões que funcionam como reflexão em meio à teoria.

litros ele precisará para pintar a parte restante da casa?

Esta seção irá ajudá-lo a concretizar os conteúdos estudados.

10 (OMERJ) Na grande fazenda de Zikot no planeta Zork, encontramos grandes áreas de plantação de parreiras para produção de vinho, onde os zorkianos cultivam uvas.

Nessa fazenda, a área destinada a esse plantio conta com 41 filas de parreiras, cada uma com 24 árvores. Se uma árvore em média produz 15 caixas de uvas, e a caixa de uvas é vendida por Zr$ 3,25 (unidade monetária local: zorkits), quanto o agricultor receberá por essa colheita? 11 Você sabe como se determinam os números dos calçados no Brasil? A fórmula matemática para descobrir o número do calçado é: 528 4 + em que o comprimento do calçado em centímetros. Lisboa, 4 jul. 2019. Disponível em: http://correiodosacores.pt/ -n250mero-do-cal231ado. Acesso em: 2 maio 2022. Substitua o da fórmula pela medida do comprimento do seu pé e efetue os cálculos. a) O resultado se aproxima do número que você calça? b) Verifique com os colegas se os resultados

Apresenta fatos curiosos ligados a algum tema em discussão.

Indicação de livros, sites, vídeos etc.

No final de algumas seções Atividades, é o momento para trabalhar o raciocínio lógico.

Faça uma viagem no tempo com este boxe para descobrir a origem de determinado tema/conteúdo.

Sistema de numeração egípcio Observe os símbolos do sistema de numeração egípcio Quantos símbolos tem o sistema de 2. Ele é decimal? 3. Ele é posicional? 4. Cada símbolo pode ser usado no máximo 5. O símbolo vale quantos ? 6. Tem símbolo para o zero?

BastãoCalcanharCordaFlor de lótus dez mildez

divisão a multiplicação correspondente. multiplicação as duas divisões correspondentes. organizadas em fileiras colunas. Sabendo que há 14 fileiras de cada coluna? multipliquei-o por 5. Obtive 610. Em que número pensei? seguida, dividi esse número por 6 adicionei 20 ao resultado (quociente pensei? 128, o quociente é 4 e resto 12. Qual é o divisor? parecidas com as anteriores e troquem com colegas de respondam às questões que os outros elaboraram. Ao processo de elaboração e estratégias de resolução.

produto dos três números de cada linha, de cada o mesmo. Reproduza os quadrados mágicos descobrir os números que faltam. b) Produto: 110 592 ??? 19248?

c) Produto: 512 000 ?20? ?801 280

Educação Financeira

Consumo e consumismo No consumo, o ato de compra está ligado necessidade, ou seja, adquirir itens indispensáveis à vida ao bem-estar. Faz-se necessário, então, que o consumidor procure avaliar sua real necessidade de adquirir produtos e serviços. O consumismo vai em sentido contrário, porque está relacionado à aquisição de produtos supérfluos; ou seja, o consumidor não tem real necessidade daquilo, geralmente compra por impulso. O pensar consciente a respeito do consumo deve levar as pessoas a avaliar antecipadamente a real necessidade da compra: “Eu realmente necessito?” ou “Eu quero?”. Identificar o limite entre o consumo e o consumismo é uma grande dificuldade. Temos necessidades básicas e necessidades supérfluas. Vários problemas relacionados ao crescente endividamento decorrem do consumo desenfreado, e o meio ambiente também vem

Por meio de textos e questões, você vai explorar o tema e aprender a ter uma vida financeira saudável.

MatemaTIC

A calculadora de calculadora. simples, encontramos as seguinvalores

Matemática Interligada

Seção que apresenta temas contemporâneos e relaciona a Matemática a outras áreas do conhecimento.

robert_s/Shutterstock.com

Ativa a memória e adiciona M- 4 Ativa a memória e subtrai MRC Recupera os dados da memória limpa a memória Introduz a vírgula possui teclas diferentes das descritas acima? Se sim, quais? da sua calculadora? com algarismos diferentes que você consegue digitar no visor da natural usando o máximo de algarismos possível? número ímpar de três algarismos. Compare com os números digitados deles é maior. 348 735. Agora, para obter o número 48 735, escreva a operação 74 563. Em seguida, descreva como obter os números indicados

Mulheres têm reconhecidos apenas 75% dos direitos dos homens As mulheres seguem sofrendo desigualdade em relação aos homens e, globalmente, só têm reconhecidos três quartos dos direitos que eles possuem, indicou um estudo do Banco Mundial [...]. O índice do estudo intitulado “Mulher, Empresa e o Direito

2019: Uma Década de Reformas” resultado da compilação de dados recolhidos em 187 países na última década para medir a igualdade de direitos entre homens e mulheres [...]. O Banco Mundial destacou várias reformas na região que buscam estender licença-maternidade, assim como as reformas legais na Bolívia para dar igualdade de oportunidades e combater o assédio sexual no trabalho. A entidade também celebrou a proibição de despedir mulheres grávidas no México. Entre os bons exemplos, o Banco Mundial citou a Bélgica, Alemanha, França, Letônia Suécia, países que qualificou com a nota máxima de 100. Há 10 anos, nenhum país tinha este nível de igualdade. “Se as mulheres tivessem as mesmas oportunidades para alcançar seu potencial pleno, então o mundo não só seria mais justo, seria também mais próspero”, disse a presidente interina do Banco Mundial, Kristalina Georgieva. [...] AFP. Mulheres têm reconhecidos apenas 75% dos direitos dos homens (BM). IstoÉ Dinheiro São Paulo, 27 fev. 2019. Disponível em: https://www.istoedinheiro.com.br/mulheres-tem-reconhecidos-apenas-75-dos-direitos-dos-homens-bm/. Acesso em: 27 jan. 2022.

A igualdade de gênero é uma luta tanto das mulheres quanto dos homens.

O que você pensa sobre a igualdade de gênero? Em que ano foi feito o estudo dessa reportagem? Segundo a reportagem, que percentual corresponde aos direitos das mulheres em relação aos dos homens?

4 Que percentual falta para que os direitos das mulheres sejam equiparados aos direitos dos homens?

Para Criar Calculadora Atividade em dupla 31

nito/Shutterstock.com

obter o número 48 735, escreva a operação e valor que devemos usar.

6 Na calculadora, digite o número 74 563. Em seguida, descreva como obter os números indicados a seguir. a) 74 564 b) 74 573 c) 74 663 d) 134 563

Para encerrar

1 b) 2 c)

Autoavaliação

Momento para você verificar o que aprendeu na unidade.

da mãe de Joana localiza-se na esquina A da praça

Mulheres têm reconhecidos apenas 75% dos direitos dos homens

As mulheres seguem sofrendo desigualdade em relação aos homens e, globalmente, só têm reconhecidos três quartos dos direitos que eles possuem, indicou um estudo do Banco Mundial [...].

O índice do estudo intitulado “Mulher, Empresa e o Direito 2019: Uma Década de Reformas” é o resultado da compilação de dados recolhidos em 187 países na última década para medir a igualdade de direitos entre homens e mulheres [...].

Nesta seção, você precisará do apoio de tecnologias digitais para executar variadas atividades sobre diversos assuntos.

O Banco Mundial destacou várias reformas na região que buscam estender a licença-maternidade, assim como as reformas legais na Bolívia para dar igualdade de oportunidades e combater o assédio sexual no trabalho. A entidade também celebrou a proibição de despedir mulheres grávidas no México. Entre os bons exemplos, Banco Mundial citou a Bélgica, Alemanha, França, Letônia e Suécia, países que qualificou com nota máxima de 100. Há 10 anos, nenhum país tinha este nível de igualdade. “Se as mulheres tivessem as mesmas oportunidades para alcançar seu potencial pleno, então mundo não só seria mais justo, seria também mais próspero”, disse a presidente interina do Banco Mundial, Kristalina Georgieva. [...]

Mulheres têm reconhecidos apenas 75% dos direitos dos homens (BM). São Paulo, 27 fev. 2019. Disponível em: https://www.istoedinheiro.com.br/mulheres-tem-reconhecidos-apenas-75-dos-direitos-dos-homens-bm/.

Atividades complementares apresentadas ao final de cada unidade cujo objetivo é revisar o conteúdo estudado.

E

O ângulo reto mede 90°.

II O ângulo de 70° é agudo.

III O ângulo de 160° é obtuso.

IV – O ângulo de uma volta mede 180°.

Qual das afirmações é falsa? a) II. b) c) IV. d) III.

5 Quantos minutos equivalem a 1 grau? a) 6 minutos b) 60 minutos c) 600 minutos d) 1 minuto

6 Uma hora após nascer, o Sol emite um feixe de raios luminosos que atinge a superfície plana da água de uma represa, conforme mostra a figura. feixe de raios luminosos

superfície do reservatório

Quantos graus mede o ângulo a) 95° b) 180° c) 134° d) 88°

Autoavaliação Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

m

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi O que aprendi CPN

Identifico e represento ponto, reta, plano e ângulo usando a notação adequada.

Reconheço reta, semirreta segmento de reta. Identifico retas paralelas, perpendiculares concorrentes no plano.

Determino a medida de abertura de ângulos com a utilização de régua e transferidor.

Classifico ângulos considerando suas medidas em graus.

Principais objetivos da unidade

• Reconhecer as principais características do sistema de numeração decimal e identificar semelhanças e diferenças com outros sistemas de numeração.

• Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais.

• Compor e decompor números naturais.

• Reconhecer e construir algoritmos em linguagem natural e representá-los por meio de fluxograma.

• Efetuar adições e subtrações com números naturais por meio de estratégias diversas.

• Efetuar multiplicações e divisões com números naturais por meio de estratégias diversas.

• Resolver expressões numéricas com números naturais envolvendo as quatro operações.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA01, ao trabalhar as características, leitura, escrita, comparação, composição e decomposição de números naturais. Para a identificação das semelhanças e diferenças entre o sistema de numeração decimal e outros sistemas de numeração desenvolve-se a habilidade EF06MA02

A resolução e elaboração de problemas com as quatro operações fundamentais envolvendo números naturais por meio de diversas estratégias, assim como a resolução de expressões numéricas, está relacionada à habilidade EF06MA03. A habilidade EF06MA04 está contemplada por meio da construção do algoritmo em linguagem natural e sua representação por fluxograma, para a resolução de problemas simples. A habilidade EF06MA06 contribui para o reconhecimento das propriedades da igualdade e para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• compreendam que no sistema de numeração decimal os algarismos estão organizados em ordens e classes e, que cada algarismo assume um valor de acordo com a posição que ocupa em um determinado número;

• leiam, escrevam, componham e decomponham números de até 5 ordens;

• compreendam que os números naturais seguem uma ordem iniciada pelo zero e são infinitos;

• identifiquem antecessores e sucessores de números naturais de até cinco ordens;

• efetuem operações de adição, subtração, multiplicação e divisão simples com números naturais.

Avaliação diagnóstica

É importante observar o que os estudantes já dominam em relação aos pré-requisitos relacionados. Promova uma roda de conversa e, em seguida, elabore algumas atividades escritas para verificar se dominam esses conteúdos. Se necessário, retome-os para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

A numeração de casas e estabelecimentos comerciais segue critérios preestabelecidos.

Sistemas de numeração e operações com números naturais

A numeração de uma casa pode ser definida de diversas formas, mas, na maioria das cidades, elas seguem um padrão muito bem definido.

A numeração sempre começa pela extremidade mais próxima do marco zero da cidade. Seguindo o sentido do início para o fim, os números pares ficam a direita e o número da casa é definido a partir da distância percorrida, claro arredondando para um número par ou ímpar, dependendo do lado da rua. Fonte: COMO são escolhidos os números das casas de uma rua? Superinteressante São Paulo, 18 abr. 2011. Disponível em: https://super.abril.com.br/mundo-estranho/ como-sao-escolhidos-os-numeros-das-casas-de-uma-rua/. Acesso em: 1 abr.

1. O número de sua casa representa a distância aproximada dela até o início da sua rua?

Resposta pessoal.

2. Pesquise em um mapa da região em que você mora se essas regras se aplicam à sua cidade.

Resposta pessoal.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• diferenciar alguns sistemas de numeração;

• reconhecer e construir fluxogramas;

• decompor, compor e efetuar operações com números naturais;

• resolver expressões numéricas.

BNCC na unidade

Principais habilidades e competências trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9 e 10

Competências específicas 1, 2, 5, 6 e 8

Habilidades EF06MA01, EF06MA02, EF06MA03, EF06MA04, EF06MA06, EF06MA12, EF06MA14 e EF06MA15

Orientações

O conteúdo trabalhado nessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA01

Aproveite a imagem da abertura para propiciar um momento de descontração com os estudantes falando os números de suas residências. Pergunte se eles sabem o que significa “marco zero” e onde este se localiza na cidade deles.

Em muitas cidades, especialmente nas ruas mais antigas, a numeração é aleatória, sem falar nas moradias irregulares, muitas das quais sequer têm um endereço definido. Se surgirem essas situações, fique atento e aproveite para trabalhar atitudes e valores a fim de evitar preconceito e discriminação e, se julgar conveniente, aproveite para discutir as opções de moradia e o porquê de as pessoas optarem por um ou outro tipo.

Foco nos TCTs

• Educação para o Consumo

• Educação em Direitos Humanos

2022.

Objetivos do capítulo

• Reconhecer as principais características do sistema de numeração decimal.

• Identificar semelhanças e diferenças com outros sistemas de numeração.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1 Competências específicas

1, 2 e 6

Habilidades EF06MA02, EF06MA03 e EF06MA04

Orientações

Na situação apresentada em Para começar, peça aos estudantes que criem diferentes formas de registro e, ao final, que as compartilhem com os colegas. Aproveite também para verificar o conhecimento deles sobre o que é um símbolo. Existem várias possibilidades de resposta, por exemplo, ; ; ou, ainda, o dobro de seis, uma dúzia, etc.

Em Pense e responda, peça aos estudantes que expliquem o que significa a sobra de pedras. O significado é que há mais pedras do que ovelhas, sendo possível que uma ovelha tenha fugido. No entanto, ao faltar pedras, espera-se que percebam que nesse caso haverá mais ovelhas do que pedras, sendo possível que uma ovelha de outro rebanho tenha se juntado ao seu.

Retome com eles que os números naturais são utilizados para indicar contagem, ordem, medida e código e peça exemplos para cada uso.

A atividade e os questionamentos favorecem o desenvolvimento da competência específica 2

Imagine que você precise registrar a quantidade de ovelhas sem usar algarismos. Como faria isso? Resposta pessoal.

Antigos sistemas de numeração

Há milhares de anos, os seres humanos não tinham a prática de contar, como nós fazemos. Depois que passaram a plantar e a criar animais, veio a necessidade de registrar o que eles possuíam. Eles faziam, por exemplo, uma marca em um pedaço de madeira (ou osso) para registrar cada animal abatido em uma caçada. Para contar rebanhos, separavam uma pedrinha para cada animal, criando, assim, uma correspondência um a um.

Nessa época, as pessoas passaram a contar e registrar, mas ainda não representavam as quantidades como fazemos hoje.

Um pastor tinha a mesma quantidade de ovelhas e pedras. Certo dia, ao recolher suas ovelhas, ele percebeu que sobrava uma pedra. O que pode ter acontecido? E se faltasse uma pedra, o que poderia ter ocorrido? Respostas pessoais.

Para aprofundar

O livro apresenta a história dos sistemas de numeração, passando pelo sistema egípcio, chinês, grego, maia, hindu-arábico

• GORDON, Hélio. A história dos números. São Paulo: FTD, 2002.

Rebanho de ovelhas em um pasto.

DAE

Orientações

O tópico apresentado favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA02, da competência geral 1 e da competência específica 1

Sobre o sistema de numeração romana, você pode fazer uma comparação entre os sistemas indo-arábico, egípcio e romano, escrevendo de 0 a 10 na lousa para retomar a discussão sobre valor posicional. Assim como o nosso sistema de numeração decimal, no sistema de numeração romano a ordem dos algarismos altera a representação de um número.

Escreva alguns números nos sistemas romano e egípcio e peça aos estudantes que façam a conversão para o sistema de numeração decimal. Comente que, inicialmente, os romanos usavam apenas o princípio aditivo, e os símbolos I, X, C e M podiam ser repetidos até, no máximo, quatro vezes. Depois, eles passaram a usar também o princípio subtrativo, além de permitir a repetição dos símbolos no máximo três vezes.

Aproveite para perguntar aos estudantes sobre outros locais em que já viram números romanos, como relógios, obras arquitetônicas e obras de arte. Após essa conversa, comente que o sistema de numeração romano ainda é utilizado nos dias de hoje para indicar séculos, nomes de papas e horas em um relógio, por exemplo.

Resolução do primeiro Pense e

Responda

1. 22, pois 10 + 10 + 1 + 1 = 22

2. 111, pois 100 + 10 + 1 = 111

3. 78, pois 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + + 1 + 1 = 78

Resolução do segundo Pense e

Responda

1. 100 + (100 – 10) + (5 – 1) =

= 100 + 90 + 4 = 194

2. O símbolo D vale 500, que equivale a 5 símbolos C, que vale 100, e 10 símbolos L, que vale 50.

Resolução do terceiro Pense e

Responda

1. [10 + (10 - 1)] 1 000 = (10 + + 9) 1 000 = 19 1 000 = 19 000

2. (10 + 5) 1 000 + 100 + 5 =

= 15 000 + 105 = 15 105

Aproveite as questões das duas seções Pense e responda para esclarecer possíveis dúvidas.

Sistema de numeração Romano

Observe, agora, os símbolos do sistema de numeração romano

Os sete símbolos do sistema de numeração romano sofreram várias alterações ao longo do tempo até chegar à forma apresentada a seguir.

Símbolo romano IVXLCDM

Valor 1510501005001 000

Veja algumas características desse sistema de numeração.

• Os símbolos I, X, C e M são os únicos que podem ser repetidos. A repetição pode ocorrer, no máximo, três vezes seguidas.

• Os símbolos que estiverem posicionados à direita de outro de maior valor devem ser adicionados a este. Veja um exemplo a seguir.

DX equivale a 510, pois 500 + 10 = 510.

Complete conforme o exemplo.

1. XXII equivale a:

2. CXI equivale a:

3. LXXVIII equivale a:

1. 22

2. 111

3. 78

• Alguns símbolos podem ser colocados à esquerda de outro de maior valor, tendo, nesse caso, seus valores subtraídos. Veja as possibilidades e os exemplos.

I à esquerda de V ou X

X à esquerda de L ou C

C à esquerda de D ou M

IV = 4, pois 5 - 1 = 4

IX = 9, pois 10 - 1 = 9

XL = 40, pois 50 - 10 = 40

XC = 90, pois 100 - 10 = 90

CD = 400, pois 500 - 100 = 400

CM = 900, pois 1 000 - 100 = 900

Veja outro exemplo de números escritos com símbolos romanos a seguir.

LXXIX = 50 + 10 + 10 + (10 - 1) = 70 + 9 = 79

1. CXCIV equivale a:

2. O símbolo D vale quantos C? E quantos L?

Para representar números superiores a 3 999 utiliza-se um traço sobre os símbolos. Os símbolos posicionados sob o traço devem ser multiplicados por 1 000.

1. XIX equivale a:

a:

1. 194

2. 5; 10

2. XVCV equivale

1. 19 000

2. 15 105

Sistema de numeração

indo-arábico

Os antigos sistemas de numeração não são práticos se comparados ao que utilizamos atualmente, o sistema de numeração indo-arábico. Veja, por exemplo, a representação do número 9.

• O sistema maia utiliza cinco símbolos

• O sistema chinês, um símbolo

O conteúdo abordado nessa página contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA02 e da competência específica 1

• O sistema romano, dois símbolos IX

• O sistema egípcio, nove símbolos ||||||||| Além de trabalhosos para representar números grandes, os sistemas egípcio e romano não são práticos para efetuar e registrar operações aritméticas. Os romanos, por exemplo, usavam, nas operações, instrumentos como o ábaco, e os símbolos eram usados apenas para expressar os resultados a que chegavam.

Essas e outras limitações foram superadas pelo sistema de numeração indo-arábico, que se tornou o sistema adotado por praticamente todos os países do mundo. Os indianos criaram esse sistema de numeração, e os árabes o aperfeiçoaram e difundiram. Ele é composto de 10 símbolos chamados algarismos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

A Matemática e a história dos números decimais

A palavra algarismo tem origem no nome do matemático persa Al-Khwarizmi, que viveu entre os anos 780 e 850 da Era Cristã. Ele escreveu duas obras nas quais explicava o sistema indiano de numeração decimal.

A partir do século VIII, os árabes passaram a adotar esse sistema por ser prático e facilitar os cálculos, sem necessidade de um ábaco ou outro instrumento de contagem. Apesar de ter sido introduzido na Europa ocidental antes do ano 1 000, foi somente a partir do século XVII que o sistema indo-arábico substituiu os sistemas de numeração que já existiam.

Fonte: AIRES, Aparecido. A Matemática e a história dos números decimais. 2012. Dissertação (Mestrado em Educação) – Instituto de Educação, Universidade Federal de Mato Grosso, Cuiabá, 2012. Disponível em: https:// ri.ufmt.br/bitstream/1/867/1/DISS_2012_Aparecido%20Aires.pdf. Acesso em: 21 jan. 2022.

Leitura e escrita dos números

No sistema de numeração indo-arábico, ou sistema de numeração decimal (SND), os algarismos são organizados em grupos de três, da direita para a esquerda, constituindo as classes

Cada classe é constituída de três ordens, que correspondem à unidade, à dezena e à centena de sua classe. Por exemplo, na classe dos milhares, há as seguintes ordens: unidade de milhar, dezena de milhar e centena de milhar.

Veja, a seguir, como os números 538 e 7 942 são representados no quadro de ordens.

ordem 3a ordem 2a ordem 1a ordem Centena

Aproveite o conteúdo de Viagem no tempo, pergunte se eles já conheciam esse matemático e mencione que ele foi de grande importância para a Álgebra.

No tópico “Leitura e escrita dos números”, explore com os estudantes o quadro de ordens e o valor posicional dos algarismos em um número. Pergunte sobre as classes maiores que a do milhar e observe até que ponto eles conhecem. Explore a decomposição de números em suas ordens escrevendo números na lousa e pedindo a alguns estudantes que os decomponham (utilize também as classes dos milhões e dos bilhões). Em seguida, apresente números decompostos para que alguns estudantes os componham. Em todos os exemplos, solicite que destaquem o valor posicional de cada algarismo do número. Avalie a possibilidade de trazer para a sala de aula o Material Dourado e o ábaco para que os estudantes representem os números apresentados.

Atividades complementaes

Peça aos estudantes que, em grupos, pesquisem sobre Al-Khwarizmi e depois apresentem aos colegas fatos e curiosidades que encontraram.

Ilustrações: DAE

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA02

Explore a leitura e a escrita por extenso de números, pelo menos até a classe dos bilhões, com e sem o auxílio do quadro de ordens.

Atividades complementares

Amplie a atividade proposta em Pense e responda para números como 7 000 291, 6 700 045, 5 270 999,

4 337 094, 8 218 705, 2 199 672 e

1 685 457, nos quais os valores posicionais do algarismo 7 são, respectivamente, 7 000 000, 700 000, 70 000, 7 000, 700, 70 e 7. Depois, reúna os estudantes em duplas e peça que escrevam números grandes para que outra dupla identifique o valor posicional de algum algarismo determinado por eles.

Ainda com os estudantes organizados em duplas, solicite que listem dois exemplos, por item, de números que tenham:

a) o algarismo 1 com valor posicional 1 000;

b) dois algarismos 2, um com valor posicional 200 e outro com valor posicional 200 000;

c) dois algarismos 5, sendo um deles com valor posicional 5 000 000.

Possíveis respostas:

a) 2 001 000 e 13 991 423

b) 999 241 209 e 5 200 287

c) 595 000 000 e 15 965 333

O símbolo * de multiplicação pode ser substituído por um ponto. Por exemplo: 5 * 100 pode ser representado por 5 . 100.

Cada algarismo assume um valor posicional que depende da ordem que ele ocupa na escrita do número. Por exemplo, no número 538, o algarismo 5 ocupa a 3; ordem, das centenas, o 3 ocupa a 2; ordem, das dezenas, e o 8 ocupa a 1; ordem, das unidades.

Temos que:

• 5 centenas equivalem a 5 100, ou seja, 500 unidades;

• 3 dezenas equivalem a 3 10, ou seja, 30 unidades;

• 8 equivale a 8 unidades.

Como o algarismo 5 equivale a 500 unidades, dizemos que o seu valor posicional é 500. Já o algarismo 3 tem o valor posicional de 30 e o algarismo 8 tem o valor posicional 8.

Assim, o número 538 pode ser decomposto da seguinte forma:

• 538 = 5 100 + 3 10 + 8 = 5C + 3D + 8U (Decomposição em ordens)

• 538 = 500 + 30 + 8 (Decomposição em unidades)

Observe que, no SND, dez unidades de uma ordem formam uma unidade da ordem imediatamente superior. Além disso, dependendo da ordem que o algarismo ocupa, o valor posicional dele é diferente: em 538, o algarismo 5 vale 500, e em 57, o algarismo 5 vale 50. Por isso dizemos que esse sistema tem base dez (decimal) e é posicional

Considere o número 175 439.

• Qual é o valor posicional do algarismo 7? 70 000

• Qual é o valor posicional do algarismo 9? 9

• Qual é o valor posicional do algarismo 1? 100 000

• Qual é o valor posicional do algarismo 5? 5 000

• Qual é o valor posicional do algarismo 4? 400

• Qual é o valor posicional do algarismo 3? 30

• Qual é o algarismo que possui o maior valor posicional? 1

• Qual é o algarismo que possui o menor valor posicional? 9

• Dez unidades equivalem a 1 dezena: 10 1 = 10.

• Dez dezenas equivalem a 1 centena: 10 . 10 = 100.

• Dez centenas equivalem a 1 unidade de milhar: 10 100 = 1 000. E assim por diante. Desse modo, em cada ordem podemos ter no máximo 9 unidades.

• Separamos os algarismos em classes (unidades simples, milhares, milhões, bilhões, trilhões, e assim por diante).

• Lemos os números de acordo com a separação das classes, da esquerda para a direita, seguidos do respectivo nome da classe.

• Na leitura da classe dos milhares, trocamos a palavra milhares (ou milhar) por mil.

• Na leitura da classe das unidades, não precisamos pronunciar a palavra unidades (ou unidade).

Veja como se lê cada um dos números abaixo:

Orientações

Faça uma sondagem para saber se os estudantes utilizam alguma estratégia na leitura dos números. Para desenvolver a conceituação do sistema de numeração decimal, você pode utilizar o ábaco.

• 538: quinhentos e trinta e oito.

• 7 942: sete mil novecentos e quarenta e dois.

• 2 305 168: dois milhões, trezentos e cinco mil, cento e sessenta e oito.

O algarismo (0) zero tem como função indicar a ausência de quantidade em determinada ordem. No número 2 305 168, por exemplo, ele indica ausência na ordem das dezenas de milhar.

O Ábaco

O ábaco é um instrumento de cálculo muito antigo. Ele foi inventado no Oriente Médio, há milhares de anos, e ainda hoje é utilizado no Japão e na China. Veja o número 12 604 representado no ábaco a seguir.

CMDMUMCDU

1. Como se lê esse número?

2. Qual é o valor posicional do algarismo das dezenas de milhar? 20 000 Vinte mil e cinquenta e oito

Em Pense e responda, verifique se os estudantes identificaram corretamente o número representado no ábaco. Observe se conseguiram fazer a escrita por extenso correspondente na questão 1 e se percebem que, na questão 2, o algarismo 2 do número 20 058 corresponde a 2 dezenas de milhar (20 000).

Atividades complementares

Construindo um ábaco com materiais recicláveis

Materiais

• 4 rolinhos de suporte de papel higiênico;

• 1 caixa de sapatos;

• tampinhas de garrafa PET;

• tesoura com pontas arredondadas;

• cola branca;

• régua;

• papel pardo.

Produzindo o ábaco

Peça aos estudantes que cubram a caixa de sapato com papel pardo. Em seguida, peça que recortem uma parte da frente dos rolos de papel higiênico com abertura suficiente para que consigam visualizar e retirar com facilidade as tampinhas de garrafa PET que deverão ser usadas como peças para efetuar os cálculos e colem na parte externa da caixa de sapato, de modo que fiquem à mesma distância um do outro.

Feito isso, peça que escrevam na caixa, próximo aos rolos de papel higiênico, da direita para a esquerda, U para a ordem das unidades, D para dezenas, C para centenas e UM para unidades de milhar, conforme imagem a seguir.

UM CD U

As tampinhas de garrafa PET servirão para fazer contas ao distribuírem nas ordens que desejarem.

Reinaldo Vignati

Orientações

Como sugestão, faça a correção da atividade 1 utilizando o quadro de ordens e classes. Contextualize o item a. Você pode comentar com os estudantes que a cidade de São Paulo possui a maior população das capitais do Brasil e que também apresenta a maior população das capitais da América do Sul, estando em 8o lugar entre as maiores cidades do mundo.

Você pode utilizar essa atividade para verificar a aprendizagem dos estudantes. Peça que confiram as respostas em duplas ou trios, e que juntos procurem corrigir eventuais erros cometidos.

Essa atividade contempla a habilidade EF06MA02

Atividades complementares

Questione o porquê da escolha dessas capitais e peça aos estudantes que pesquisem aspectos culturais específicos de cada estado. Essa atividade pode ser desenvolvida em conjunto com o professor de Geografia.

Atividades

1 Veja na tabela abaixo quais são as 5 maiores capitais do Brasil em número de habitantes.

Maiores capitais do Brasil em número de habitantes

Fonte: IBGE. Estimativas da população residente no Brasil e unidades da federação com data de referência em 1 de julho de 2021 Rio de Janeiro: IBGE, 2021. Disponível em: https://ftp.ibge.gov.br/Estimativas_de_Populacao/Estimativas_2021/estimativa_dou_2021.pdf. Acesso em: 25 abr. 2022.

De acordo com os dados da tabela, faça o que se pede.

a) Responda:

• O que representa o número 12 396 372? A população de São Paulo, capital.

• Quantas ordens tem esse número? 8

• A que classe pertence o algarismo 6 nesse número? À classe dos milhares.

• Qual é o valor posicional dos algarismos 1 e 9 nesse número. 1: 10 000 000; 9: 90 000

• Quais são os valores posicionais do algarismo 3? 3 000 000, 300 000 ou 300

• Quais são os valores posicionais do algarismo 2? 2 000 000 ou 2

b) Escreva por extenso o número que representa a população de:

• Fortaleza: Dois milhões, setecentos e três mil, trezentos e noventa e um.

• Salvador: Dois milhões, novecentos mil, trezentos e dezenove.

• Brasília: Três milhões, noventa e quatro mil, trezentos e vinte e cinco.

• São Paulo: Doze milhões, trezentos e noventa e seis mil, trezentos e setenta e dois.

c) O número 6 775 561 tem quantas:

• unidades de milhar inteiras?

• dezenas de milhar inteiras?

• centenas de milhar inteiras?

d) Decomponha em unidades o número que representa a população de Brasília em:

• unidades:

• ordens:

e) O número MMCMCCCXIX representa a população de qual capital?

f) Que estado tem uma população de aproximadamente 7 000 000 de habitantes?

g) Pesquise a população estimada de mais cinco estados do Brasil. Em seguida, elabore três perguntas com base nos números obtidos e, depois, troque-as com um colega para que um responda às perguntas que o outro elaborou. Ao final, confiram juntos as respostas e conversem sobre as estratégias que utilizaram.

2 Represente com algarismos os números descritos abaixo.

a) Seis dezenas e cinco unidades. 65

b) Oito centenas, quatro dezenas e três unidades.

c) Cinquenta e nove mil e quarenta e seis.

d) Trezentos e cinquenta mil quinhentos e sete.

e) Setecentos e oito mil e cinco.

f) Novecentos e sessenta e quatro.

3 O número mostrado no ábaco informa o preço, em reais, de uma motocicleta.

a) Qual é o número representado?

b) Qual é o algarismo das dezenas de milhar? Qual é seu valor posicional?

2; 20 000

c) Que algarismo representa a 4a ordem? Qual é seu valor posicional?

d) Quantas ordens tem este número?

4; 4 000 5

e) Como se lê esse número?

Vinte e quatro mil e trinta e cinco.

f) Colocando um zero entre os algarismos 2 e 4 desse número, por quanto o valor posicional do algarismo 2 ficará multiplicado?

4 O quadro a seguir mostra algumas invenções criadas por mulheres.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA02 e EF06MA03 e da competência geral 6

As atividades 2 e 3 oferecem a oportunidade de avaliar o conhecimento dos estudantes o sistema de numeração decimal, tanto na representação simbólica, na leitura e escrita, quanto na representação concreta.

Na atividade 4, comente sobre as importantes contribuições de mulheres cientistas em todo o mundo. Ao apresentar contextos, a aprendizagem da Matemática ganha mais sentido. Sugira aos estudantes que assistam ao filme Estrelas além do tempo, que aborda temáticas importantes e desperta reflexões sobre equidade de gênero, classe social e mulheres nas ciências.

No item f, os estudantes devem observar que ao inserir 0 entre 2 e 4 temos 204 035, o número 2 passa a valer 200 000 = 20 000 10.

Resolução da atividade 5

Há várias possibilidades de resposta. Veja sugestões a seguir.

a) 900 + 40 + 5 ou 9 . 100 + + 4 . 10 + 5

Fonte: ABDO, Humberto. 11 invenções importantes que foram criadas por mulheres. Galileu, São Paulo, 22 mar. 2017. Disponível em: https://revistagalileu.globo.com/Ciencia/noticia/2017/03/11-invencoes-importantes-que-foram-criadas-por-mulheres.html. Acesso em: 19 jan. 2022.

Escreva o ano de criação de cada invenção usando símbolos romanos.

1884: MDCCCLXXXIV; 1951: MCMLI e 1958: MCMLVIII

5 Veja alguns exemplos de como podemos decompor o número 27 568.

• 27 568 = 2 10 000 + 7 1 000 + 5 100 + 6 10 + 8 1

• 27 568 = 20 000 + 7 000 + 500 + 60 + 8

• 27 568 = 27 000 + 560 + 8

Agora, decomponha os números abaixo de duas formas diferentes:

a) 945;

b) 3 872;

c) 59 864;

d) 320 000.

b) 3 0 00 + 800 + 70 + 2 ou 3 1 000 + 8 100 + 7 10 + 2

c) 50 000 + 9 000 + 800 + + 64 ou 5 10 000 + 9 1 000 + + 8 100 + 6 10 + 4

d) 300 000 + 20 000 ou 3 . 100 000 + 2 . 10 000

Sugestões de respostas no Manual do Professor.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA02

Caso os estudantes tenham dificuldade para resolver a atividade 6, sugira que posicionem o número no quadro de ordens. Se perceber que alguns ainda têm dificuldades, você pode sugerir que, em um primeiro momento, cubram todas as casas à direita daquela que devem identificar. Por exemplo, para identificar quantas unidades de milhar inteiras há, eles podem cobrir todos os números na classe das unidades simples. Com o tempo, esse procedimento deve ser abandonado.

Para corrigir a atividade 7, reproduza na lousa o quadro de ordens e peça a alguns voluntários que preencham cada linha do quadro. Depois, peça que toda a turma leia os números em voz alta (veja a resolução no rodapé desta página).

As atividades 8 e 9 trabalham o sistema de numeração romano. Se necessário, retome esses símbolos com a turma.

A atividade 10 pode, a seu critério, ser feita em duplas para que os estudantes possam aumentar o repertório de procedimentos e modos de pensar. Depois, duplas distintas podem comparar suas respostas e, caso haja algum engano, os procedimentos podem ser revistos pelos próprios estudantes. Compartilhe as respostas com toda a turma.

Essa atividade contempla a habilidade EF06MA03 e a competência geral 2

6 O número 48 623 tem:

a) quantas unidades de milhar inteiras? 48

b) quantas centenas inteiras? 486

c) quantas dezenas inteiras? 4 862

7 Observe o número 280 000 representado no quadro de ordens:

Classe dos milhares Classe das unidades simples

Para facilitar a leitura desse número, ele pode ser, por exemplo, escrito assim: 280 mil ou 280 milhares. Reproduza o quadro de ordens no caderno e represente os números a seguir. Depois, escreva-os usando algarismos e palavras.

a) 275 000

b) 600 000

Resposta no Manual do Professor.

milhares ou 275 mil 600 milhares ou 600 mil

c) 2 000 000

d) 35 000 000 000

8 Que horas o relógio abaixo está marcando? 11h15min ou 23h15min

9 Escreva as informações numéricas a seguir usando símbolos romanos.

a) Século vinte e um. b) Capítulo quarenta e dois. c) Papa Bento 16.

10 Reproduza as figuras a seguir e complete todos os 16 quadradinhos na grade 4 * 4, usando números de 1 a 4, de modo que cada número apareça apenas uma vez em cada linha, em cada coluna e em cada quadrado 2 * 2.

Século XXI. Capítulo XLII. Papa Bento XVI.

Veja os trechos das matérias jornalísticas a seguir.

DESAFIO INTERNACIONAL. O problema é mundial. Segundo a OMS, 700 mil pessoas morrem por ano de infecções por superbactéria. Um estudo do Banco Mundial, de 2015, que se tornou referência, indica que, até 2050, o número anual dessas mortes chegará a dez milhões. Assim, ultrapassará até as mortes por câncer.

JANSEN, Roberta. Superbactérias avançam na pandemia. O Estado de S. Paulo, São Paulo, 6 dez. 2021. p. A22.

China quer vacinar 160 milhões de crianças e obter imunidade coletiva. Campanha de vacinação de menores de 3 a 11 anos enfrenta relutância dos pais e há relatos de coação.

CHINA quer vacinar 160 milhões de crianças a obter imunidade coletiva. O Estado de S. Paulo, São Paulo, 7 dez. 2021. p. A21.

A expansão e o desenvolvimento da infraestrutura de transportes no Brasil até 2035 podem necessitar de até R$ 789 bilhões em investimentos. A cifra, expressiva, é considerada para um cenário de máxima oferta no país e faz parte de uma simulação do Plano Nacional de Logística (PNL) 2035, apresentado ontem pelo Ministério da Infraestrutura.

PUPO, Amanda. Plano de logística prevê investimento de R$ 789 bi. O Estado de S. Paulo, São Paulo, 4 dez. 2021. p. B15.

Quase 51 milhões de pessoas sobreviveram em 2020 com menos de R$ 450 por mês; auxílio emergencial evitou quadro pior.

DOLZAN, Márcio; ANORIN, Daniela; NEDER, Vinicius. Estudo do IBGE situa 1 de cada 4 brasileiros sob a linha da pobreza. O Estado de S. Paulo, São Paulo, 4 dez. 2021. Economia, p. B2.

Escreva os números sublinhados em vermelho nas notícias usando somente algarismos.

700 000; 160 000 000; 789 000 000 000 e 51 000 000

12 Um número é denominado ascendente quando cada algarismo que o forma é maior que aquele que está à sua esquerda. Por exemplo, 3 479 é ascendente, mas 296 não é.

a) Quantos números ascendentes há entre 500 e 700? Quais são eles?

b) Escreva um número ascendente: Respostas pessoais.

• maior que 1 000 000;

• menor que 10 000.

13 Carlos utilizou a marcação presente no quadro para registrar os pontos ganhos em certo jogo. Analise as informações e descubra o valor cada símbolo.

9 números: 567, 568, 569, 578, 579, 589, 678, 679, 689 = 1 000; = 100; = 10; = 1

Orientações

Incentive os estudantes a conversar sobre suas propostas de respostas e modos de resolução.

Na atividade 11, você pode reforçar o que já disse anteriormente em relação à importância de interpretar os números para compreender as informações que a notícia quer transmitir. Outro fator importante é a confiabilidade das fontes. Ressalte esse aspecto!

Resposta: 700 000, 160 000 000, 789 000 000 000, 51 000 000 Para resolver a atividade 12, que tem caráter de desafio, inicialmente converse com os estudantes sobre o conceito apresentado. Peça a eles que listem outros exemplos e contraexemplos antes de resolverem a atividade.

Resolução da atividade 13 Observando a quantidade de cada símbolo na 1a rodada, podemos concluir que:

= 1 000

= 200 6 = 100

= 30 6 = 10

= 4 6 = 1

O mesmo pode ser verificado nas demais rodadas.

Ilustrações:

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA04

Converse com os estudantes sobre a origem e o significado da palavra algoritmo. Ressalte o quão importante é seguir os algoritmos passo a passo, pois isso facilita no momento da resolução de problemas. Dê um exemplo do seu dia a dia em que utiliza algum tipo de algoritmo, como uma rotina diária ou uma receita.

Proponha aos estudantes que pesquisem mais sobre fluxogramas, verificando alguns exemplos. Espera-se que compreendam que fluxograma é um tipo de diagrama, uma representação esquemática, que mostra a sequência de etapas de um processo ou de um algoritmo, possibilitando que se entenda o funcionamento desse processo.

Ressalte o significado das formas utilizadas para construir um fluxograma e quais são as mais usadas.

Algoritmo e fluxograma

Algoritmo

Um algoritmo é a descrição lógica das ações a serem executadas no cumprimento de uma tarefa, ou seja, é uma sequência de passos que levam ao resultado final.

Veja um exemplo do algoritmo com instruções para ver a previsão do tempo na televisão.

1o passo: ligar a TV.

2o passo: verificar se está no canal certo.

3o passo: se o canal não estiver correto, mudar o canal e verificar novamente.

4o passo: se o canal estiver correto, ver a previsão do tempo.

5o passo: desligar a TV.

Fluxograma

O fluxograma é usado para descrever graficamente um algoritmo. Existem vários símbolos que podem ser usados para elaborar um fluxograma e indicar os passos que estão interligados. Veja, a seguir, alguns deles.

Indica o início e o fim do problema ou da tarefa.

Indica as ações ou operações aritméticas, como calcular, efetuar, fazer, ligar etc.

Indica uma decisão a ser tomada.

Indica a sequência de passos.

Veja um exemplo de fluxograma com instruções para ver a previsão do tempo do algoritmo acima.

1 Veja, a seguir, a receita de queijadinha representada por meio de um fluxograma.

Início

Providenciar os ingredientes: 4 ovos, 250 g de queijo ralado, 4 colheres de sopa de queijo meia cura ralado e 1 lata de leite condensado.

Colocar os ingredientes pela ordem no liquidificador e bater bem.

Colocar forminhas de papel dentro de forminhas de alumínio para empadas.

Orientações

As atividades propostas nessa página, contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA04 e da competência específica 6 Você pode, se achar oportuno, solicitar que os estudantes realizem as atividades dessa página em duplas ou em pequenos grupos.

Resolução da atividade 1

Fim

Retirar do forno. Deixar esfriar e servir nas forminhas de papel.

Levar ao forno a 200 °C por cerca de 35 minutos.

Despejar a massa nas forminhas e colocá-las em uma assadeira.

Escreva o algoritmo (sequência de passos) de como preparar a queijadinha representada no fluxograma acima. Resposta no Manual do Professor.

2 Observe o fluxograma com as atividades para um sábado em um hotel-fazenda.

19h30

Com base no fluxograma, responda às questões a seguir.

a) Se não houver sol, que atividade será realizada às 9h30?

b) Que atividade os hóspedes terão logo após o almoço?

Pingue-pongue. Arco e flecha. 17h

1? passo: Providenciar ingredientes.

2? passo: Colocar os ingredientes no liquidificador e bater.

3? passo: Colocar forminhas de papel dentro de forminhas de alumínio.

4? passo: Despejar a massa do

2? passo nas forminhas e colocar em uma assadeira.

5? passo: Levar ao forno (200 ‘C) por 35 minutos.

6? passo: Retirar do forno, esfriar e servir nas forminhas de papel. Pergunte aos estudantes o que aconteceria se alguém decidisse mudar a ordem das ações ao executar essa receita. Espera-se que percebam a importância de seguir atentamente o passo a passo de um algoritmo. Proponha a correção participativa, fazendo intervenções para esclarecer dúvidas quando necessário. Na atividade 2 questione os estudantes sobre a conveniência ou não de apresentar as informações por meio de fluxograma, se acham mais fácil ou mais difícil de entender. Antes de iniciar a correção, peça aos estudantes que construam um algoritmo para resolver um problema simples do cotidiano e represente-o por fluxograma.

Ao final, permita que os estudantes apresentem sua realização aos demais.

Objetivos do capítulo

• Caracterizar o conjunto dos números naturais.

• Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais.

• Representar números naturais em uma reta numérica.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2, 5, 7 e 9

Competências específicas 2, 5 e 6

Habilidades EF06MA01, EF06MA04 e EF06MA12

Foco nos TCTs

• Educação em Direitos Humanos

Orientações

Em Para começar, espera-se que os estudantes reconheçam que os números aparecem em diversas situações do cotidiano: nas contagens, no relógio, no celular, no controle da televisão, na etiqueta das roupas, nas brincadeiras, nas embalagens etc.

Antes de apresentar o conjunto dos números naturais, verifique o que os estudantes já sabem sobre esse conjunto numérico.

Explore as características e a sequência de números naturais. Isso pode ser feito em uma roda de conversa. Ao final, elabore um quadro-resumo na lousa com as conclusões dos estudantes.

Em Pense e responda, aproveite as questões para retomar o fato de que zero é o menor número natural, e que este conjunto possui infinitos elementos.

Na questão 4, n - 1 e n + 1 são, respectivamente, o antecessor e o sucessor de n, sendo n q 0. Explique aos estudantes que n é uma generalização, ou seja, pode simbolizar qualquer número natural.

Explore os conceitos de números naturais consecutivos, sucessor e antecessor de um número natural. Escolha um número natural qualquer e peça aos estudantes que falem os próximos 10 números naturais a partir dele. Deve ficar claro que o zero não tem antecessor no conjunto dos números naturais.

Depois, explore as ideias de sequências finitas e sequências infinitas.

Números naturais

Onde você encontra números no dia a dia? Como eles estão presentes na sua vida?

Respostas

O antecessor de um número natural é o número que vem imediatamente antes dele. Se n representa um número natural qualquer, diferente de zero, representamos seu antecessor por n - 1.

O sucessor de um número natural é o número que vem imediatamente depois dele. Se n representa um número natural qualquer, representamos seu sucessor por n + 1.

Os números estão presentes em diversas situações no nosso dia a dia, como em jogos.

O conjunto dos números naturais

Os números usados para contar, ordenar, codificar e, em alguns casos, medir são chamados números naturais. Começando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos os elementos do conjunto dos números naturais, indicado por N

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

Como não é possível escrever todos os números naturais, colocamos reticências no fim da sequência.

O conjunto N também pode ser representado na reta numérica. Cada ponto corresponde ordenadamente a um número natural e cada número natural é representado por um desses pontos, como mostra a reta a seguir.

1. A sequência dos números naturais tem começo? E fim?

2. Todos os números naturais têm sucessor?

Tem começo no zero, mas não tem fim. Sim.

3. Todos os números naturais têm antecessor?

Não. O zero não tem antecessor.

4. O que significa n - 1, n e n + 1 representados na reta numérica acima?

Resposta no Manual do Professor.

Apresente a simbologia (N) para representar o conjunto dos números naturais. Explique que nesse conjunto há infinitos termos e que o uso de reticências numa sequência de números indica essa infinitude.

Observando a reta numérica verificamos que um número natural é sempre menor do que os números naturais que estão à sua direita. Veja abaixo.

39 103 7 71

• 7 < 39 (Lê-se: 7 é menor que 39.)

• 71 > 7 (Lê-se: 71 é maior que 7.)

• 39 < 103 (Lê-se: 39 é menor que 103.)

Números naturais pares e ímpares

Podemos formar algumas sequências constituídas de números naturais de acordo com o padrão de formação. Observe os seguintes casos.

Sequência dos números naturais pares

Nessa sequência, que começa com zero, cada termo é 2 unidades maior do que o anterior.

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, ...

Dividindo por 2 cada um dos números dessa sequência, o resto é sempre igual a zero. Por exemplo:

Sequência dos números naturais ímpares

Nessa sequência, que começa com 1, cada termo também é 2 unidades maior do que o anterior.

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37,

Dividindo por 2 cada um dos números dessa sequência, o resto é sempre igual a 1. Por exemplo: 3 2

Note que o algarismo das unidades simples de um número natural par é 0, 2, 4, 6 ou 8, e de um número natural ímpar é 1, 3, 5, 7 ou 9.

1. O antecessor do número 1 109 é par ou ímpar? Par.

2. O número 4 795 385 é par ou ímpar? Ímpar.

Orientações

> significa maior que

< significa menor que

Reproduza a reta numérica na lousa e verifique se os estudantes compreendem a localização dos números naturais na reta.

Como sugestão, fale sobre símbolos matemáticos importantes, por exemplo, > (maior que), < (menor que), l (maior ou igual), k (menor ou igual), utilizados para fazer comparações entre números.

Os exemplos apresentados no tópico “Números naturais pares e ímpares” promovem a compreensão de sequências formadas por números naturais adicionado 2, dependendo de como se inicia. Assim, se possível, enfatize que, se um número é divisível por 2, logo ele é par. Do contrário, ele será ímpar.

Esclareça que é possível observar esse fato apenas observando o algarismo das unidades simples, ou seja, se um número terminar com 0, 2, 4, 6, ou 8 será par, e se terminar por 1, 3, 5, 7 ou 9 será ímpar.

Resolução de Pense e responda 1. 1 109 – 1 = 1 108. Como o algarismo das unidades é par, o número é par.

2. Como o algarismo das unidades do número 4 795 385 é ímpar, esse número é ímpar.

Essas questões favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA01

Orientações

Para reforçar o conceito de paridade, escolha um número par e um número ímpar quaisquer e realize a divisão deles por dois. No primeiro caso, o resto sempre será zero, e no segundo caso, sempre será 1. Verifique se os estudantes compreendem o conceito de paridade abordado.

A atividade de Pense e responda favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA04 e da competência específica 6

Reproduza na lousa o fluxograma apresentado e peça aos estudantes que expliquem o significado de cada passo. Esse questionamento favorecerá o esclarecimento de possíveis dúvidas, por meio das explicações dos próprios colegas. Faça intervenções nos momentos em que perceber que a dúvida é generalizada.

Conceito de paridade

Considere os números naturais n e q representados nas seguintes divisões:

n 2

0 q ou n 2 1 q

Se o resto da divisão de n por 2 for:

• 0 (zero), então n = 2q, ou seja, n é um número par

• 1 (um), então n = 2q + 1, ou seja, n é um número ímpar.

Veja como podemos representar os números 15 e 26 usando o conceito de paridade. Dividindo cada um desses números por 2, temos: 15 2 - 14 7 1

26 2 - 2 13 6 - 6 0

Logo, podemos escrever esses números das seguintes formas e verificar se são pares ou ímpares:

• 15 = 2 . 7 + 1 ímpar

• 26 = 13 2 par

Felipe decidiu elaborar um fluxograma para verificar se um número é par ou ímpar, porém, escreveu separadamente o texto que entraria em cada símbolo, de forma desordenada. Reproduza o fluxograma de Felipe no caderno e coloque os textos nos símbolos correspondentes.

Início

Escolher um número natural n

Dividir n por 2

Fim

n é par

O resto é zero?

Início

n é ímpar

O resto é zero? Fim

n é par

Dividir n por 2

n é ímpar

Escolher um número natural n

Sequências

Sequências numéricas

Os números a seguir formam uma sequência. Como podemos descobrir os termos que faltam? 1 9022? termo?3? termo?1 9772 0026? termo?2 052

Podemos observar que de 1 977 para 2 002 houve um aumento de 25 unidades, pois 2 002 - 1 977 = 25.

Portanto, a regra de formação da sequência a partir do 2o termo é adicionar 25 unidades ao termo anterior. Logo:

• o 2? termo da sequência é 1 927 pois, 1 902 + 25 = 1 927.

• o 3? termo da sequência é 1 952 pois, 1 927 + 25 = 1 952.

• o 6? termo da sequência é 2 027 pois, 2 002 + 25 = 2 027.

Sequências figurais

Analise a sequência de figuras a seguir.

Orientações

Ao iniciar a discussão sobre sequências, solicite aos estudantes que identifiquem padrões e os descrevam por meio de uma “lei de formação”, “regra” ou até mesmo algoritmo, a fim de identificarem os próximos termos. Essa é uma forma de introduzir de maneira muito leve a linguagem algébrica. A análise da sequência em uma reta numérica contempla a habilidade EF06MA01 e a busca de padrões de formação de sequências favorece a competência geral 2

Trabalhe com os estudantes os diferentes tipos de sequência: numéricas e figurais. Verifique se eles compreendem a utilização da reta numérica para estabelecer a sequência figural.

1

Quantos quadradinhos terá a 8a; figura dessa sequência?

Analisando a sequência verificamos que ela segue um padrão: a primeira figura tem 3 quadradinhos, a segunda 5, a terceira 7, a quarta 9, e assim por diante. Assim, temos a sequência: 3, 5, 7, 9, . . .

Ou seja, exceto a primeira, cada figura tem 2 quadradinhos a mais que a figura imediatamente anterior. Vamos descobrir o número de quadradinhos da 8; figura usando a reta numérica.

Faça a correção coletiva da atividade 1 para observar se os estudantes compreenderam os conceitos: sucessor e antecessor. Aproveite para tirar possíveis dúvidas e reforce que para identificar o antecessor de um número basta subtrair 1 unidade desse número, e para o sucessor, basta adicionar 1 unidade ao número.

Resolução da atividade 2

a) 21 - 3 = 18, então:

21 + 3 = 24 e 24 +3 = 27

b) 16 - 10 = 6, então: 10 - 6 = 4 e 16 + 6 = 22

Logo, a 8a figura terá 17 quadradinhos.

Atividades

1 Escreva o antecessor e o sucessor de cada um dos números abaixo.

e

e

e

10 009 e 10 011

2 Em cada reta numérica, indique os números naturais associados aos pontos P, Q, R e S destacados.

Figura

Figura 2 Figura 3

Orientações

Na atividade 3 , se necessário, oriente os estudantes na escolha de um algarismo de cada vez e peça que encontrem todos os números que começam com esse algarismo, de modo a organizar o raciocínio e evitar repetições ou esquecimentos. Esse procedimento é muito útil quando eles fizerem combinações com uma quantidade maior de dados.

Na atividade 4, converse com os estudantes sobre regras de arredondamento e sobre o uso no dia a dia.

Essa atividade favorece o desenvolvimento das habilidades EF06MA01 e EF06MA12

Resolução da atividade 5

a) Regra de formação: adicionar 150 ao termo anterior. Então, te -

mos:

700, 850, 1 000, 1 150, 1 300, 1 450, 1 600, 1 750, 1 900, 2 050, ...

Portanto, o décimo termo é 2 050.

b) Regra de formação: subtrair 400 do termo anterior. Então, temos:

10 000, 9 600, 9 200, 8 800, 8 400, 8 000, 7 600, 7 200, 6 800, 6 400, ...

Portanto, o décimo termo é 6 400. Observe se os estudantes compreenderam as regras de formação. Se necessário, retome na lousa de maneira coletiva cada item.

Para resolver a atividade 6, é necessário encontrar o maior número de 4 algarismos: 9 999. Ao perceber que esse número não é par, o estudante terá de subtrair 1 unidade, descobrindo, assim, que o maior número par de 4 algarismos é 9 998 e seu antecessor é 9 997.

Muitos estudantes resolverão a atividade 7 por tentativa e erro, mas podem usar a estratégia de escrever a sequência dos números naturais de 0 a 75 e adicionar os 2 números centrais, ou seja, 37 e 38.

Resolução da atividade 8

a) figura: 1 + 2 = 3

3a figura: 3 + 3 = 6

4a figura: 6 + 4 = 10

5a figura: 10 + 5 = 15

6a figura: 15 + 6 = 21

b) Como a 6a figura tem 21 bolinhas, então:

7a figura: 21 + 7 = 28

8a figura: 28 + 8 = 36

9a figura: 36 + 9 = 45

10a figura: 45 + 10 = 55

3 No caderno, escreva em ordem crescente todos os números naturais de três algarismos diferentes que podem ser formados com os algarismos 5, 6 e 8. 568, 586, 658, 685, 856 e 865

4 No dia a dia, é muito comum fazermos arredondamentos e cálculos aproximados. Expressões como “cerca de”, “quase”, “um pouco”, “mais que”, “um pouco menos que”, “entre... e...” fazem parte da linguagem de arredondamento e estimativa. Por exemplo, a altura do pico Pedra da Mina, situado na Serra da Mantiqueira (SP), é de 2 798 m.

• Se quisermos arredondar o número 2 798 para a unidade de milhar mais próxima, obteremos 3 000 (pois o número 2 798 está mais próximo de 3 000 do que de 2 000).

• Se quisermos arredondar para a centena mais próxima, obteremos 2 800 (pois o número 2 798 está mais próximo de 2 800 do que de 2 700).

Utilizando o mesmo critério, arredonde as medidas abaixo.

a) 680 m para a centena mais próxima. 700 m

b) 4 210 km para a unidade de milhar mais próxima. 4 000 km

c) 8 920 kg para a unidade de milhar mais próxima e para a dezena de milhar mais próxima.

9 000 kg; 10 000 kg

d) R$ 578.015,00 para a dezena de milhar mais próxima e para a centena de milhar mais próxima.

R$ 580.000,00; R$ 600.000,00.

5 Descubra a regra de formação e determine o 10o termo de cada sequência a seguir.

a) 700, 850, 1 000, 1 150, ... 2 050

b) 10 000, 9 600, 9 200, 8 800, ... 6 400

6 Qual é o antecessor do maior número natural par de quatro algarismos? 9 997

7 Escreva o número 75 como a soma de dois números naturais consecutivos. 37 + 38 = 75

8 Números triangulares são aqueles que podem ser representados por pontos arranjados na forma de triângulos. Por exemplo, os números 1, 3, 6, 10 e 15 são os cinco primeiros números da sequência dos números triangulares não nulos.

Quantas bolinhas terá:

a) a sexta figura dessa sequência? 21

b) a décima figura dessa sequência? 55

Verifique se os estudantes observam que o número de bolinhas a ser adicionado à figura anterior corresponde ao número da posição da figura.

As atividades 5 e 8 favorecem a competência específica 2

Para aprofundar

O artigo traz um panorama e faz uma breve análise sobre as regras de arredondamento comumente encontradas e disponíveis na literatura de nível superior.

• LEAL, R. C.; SILVA, M. F. da; MOITA NETO, J. M. Regras de arredondamento: uma breve análise. Química Nova na Escola, São Paulo, v. 43, n. 2, p. 155-160, 2021. Disponível em: http://qnesc.sbq.org.br/online/prelo/EA-22-20.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

9 A senha de acesso ao celular de Alexandre é formada por cinco dígitos. Ele não consegue se lembrar do último dígito, mas sabe que o número natural formado é par e que os dígitos são todos diferentes.

5 8 3 0 ?

Quais são as senhas possíveis? 58 302, 58 304 e 58 306

10 Use o fluxograma a seguir para comparar os números naturais em cada item.

Início

Informar os números naturais m e n

Orientações

As atividades dessa página favorecem a competência específica 2

Se julgar conveniente, os estudantes podem fazer a resolução das atividades desta página em duplas.

Para resolver a atividade 9, os estudantes precisam observar algarismos pares. Ao constatar que 0 e 8 já estão na senha, deverão concluir que a senha deve terminar em 2, 4 ou 6.

n > m? Escrever m > n

a) 100 e 170 100 < 170

b) 170 e 100 170 > 100

m > n? Sim Não

Escrever m = n ou n = m

Na atividade 10, observe se os estudantes entendem que m e n representam os números naturais que se quer comparar, e se estão usando corretamente os símbolos e em cada caso.

Escrever n > m

Fim

c) 1 002 e 1 020 1 002 < 1 020

d) O sucessor de 999 e o antecessor de 1 001. 1 000 = 1 000

e) O número par entre 851 e 853 e o número ímpar entre 852 e 854. 852 < 853

f) O menor número par formado por 4 algarismos e o maior número formado por 3 algarismos. 1 000 > 999 logico, logica!

(CMC-PR) Cinco amigos – Júlio, Eliana, Melissa, Rafael e Lucas – resolveram formar uma fila em ordem de altura. Sabe-se que: Alternativa c

• Rafael é mais alto do que Eliana e do que Melissa;

• Lucas é mais alto do que Melissa;

• Júlio é mais baixo do que Rafael e do que Lucas;

• Eliana não é a mais baixa dos cinco amigos;

• Júlio é mais alto do que Eliana; e

• Lucas não é o mais alto dos cinco.

Considerando as informações anteriores, a ordem de altura decrescente dos amigos na fila é:

a) Melissa, Eliana, Júlio, Lucas e Rafael.

b) Lucas, Rafael, Júlio, Eliana e Melissa.

c) Rafael, Lucas, Júlio, Eliana e Melissa.

d) Rafael, Eliana, Júlio, Lucas e Melissa.

e) Júlio, Eliana, Lucas, Rafael e Melissa.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA04 Resolução de Lógico, é lógica! Rafael é mais alto do que Júlio, Eliana e Melissa (posição 1 ou 2). Júlio é mais baixo que Rafael e Lucas e mais alto que Eliana (posição 3 ou 4).

Lucas é mais alto que Júlio, mas não é o mais alto dos cinco (posição 2 ou 3).

Eliana não é a mais baixa e também já sabemos que não é a mais alta (posição: 2, 3 ou 4).

Concluindo:

Restou à Melissa a posição 5. Se Júlio é mais alto que Eliana, ele só pode estar na posição 3 e Eliana na 4.

Lucas está na posição 2 e Rafael na posição 1.

A sequência correta, em ordem decrescente é: Rafael, Lucas, Júlio, Eliana e Melissa.

Alternativa c

Faça a correção oralmente e verifique o raciocínio utilizado pelos estudantes para a conclusão da resposta, analisando as afirmações sobre cada um.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 2 e da competência específica 2

Orientações

MatemaTIC contempla a competência geral 5 e a competência específica 5

Instigue os estudantes a compartilhar vivências cotidianas em que utilizam calculadora, como em lojas, supermercados, feiras livres.

As respostas das atividades 1, 2 e  3 serão diversificadas, já que dependem da calculadora que cada estudante utilizará. Na atividade 4, observe se os estudantes estão fazendo corretamente as comparações, de modo a identificar o maior número digitado.

Oriente os estudantes para a resolução das atividades 5 e 6, observando se dominam o valor posicional dos algarismos em cada número.

A calculadora

Você já deve ter visto vários tipos de calculadora.

Na maioria das calculadoras simples, encontramos as seguintes teclas:

ON 4 Liga

CE ou AC 4 Apaga os valores

OFF 4 Desliga

+ 4 Adiciona

- 4 Subtrai

* 4 Multiplica

/ 4 Divide

4 Calcula a raiz quadrada

% 4 Calcula a porcentagem

= 4 Indica o resultado

M+ 4 Ativa a memória e adiciona

M- 4 Ativa a memória e subtrai

MRC 4 Recupera os dados da memória e limpa a memória

4 Introduz a vírgula

1 Você tem uma calculadora? Ela possui teclas diferentes das descritas acima? Se sim, quais?

2 Quantos dígitos “cabem” no visor da sua calculadora?

3 Qual é o maior número natural com algarismos diferentes que você consegue digitar no visor da sua calculadora? E o menor número natural usando o máximo de algarismos possível?

4 Digite, na sua calculadora, um número ímpar de três algarismos. Compare com os números digitados por dois colegas e descubra qual deles é o maior.

5 Digite, na calculadora, o número 348 735. Agora, para obter o número 48 735, escreva a operação e o valor que devemos usar. Subtração; 300 000.

6 Na calculadora, digite o número 74 563. Em seguida, descreva como obter os números indicados a seguir.

a) 74 564 Adicionar 1.

b) 74 573 Adicionar 10.

c) 74 663 Adicionar 100.

d) 134 563 Adicionar 60 000.

Respostas pessoais.

Mulheres têm reconhecidos apenas

75% dos direitos dos homens

As mulheres seguem sofrendo desigualdade em relação aos homens e, globalmente, só têm reconhecidos três quartos dos direitos que eles possuem, indicou um estudo do Banco Mundial [...]. O índice do estudo intitulado “Mulher, Empresa e o Direito 2019: Uma Década de Reformas” é o resultado da compilação de dados recolhidos em 187 países na última década para medir a igualdade de direitos entre homens e mulheres [...].

O Banco Mundial destacou várias reformas na região que buscam estender a licença-maternidade, assim como as reformas legais na Bolívia para dar igualdade de oportunidades e combater o assédio sexual no trabalho. A entidade também celebrou a proibição de despedir mulheres grávidas no México.

Entre os bons exemplos, o Banco Mundial citou a Bélgica, Alemanha, França, Letônia e Suécia, países que qualificou com a nota máxima de 100. Há 10 anos, nenhum país tinha este nível de igualdade. “Se as mulheres tivessem as mesmas oportunidades para alcançar seu potencial pleno, então o mundo não só seria mais justo, seria também mais próspero”, disse a presidente interina do Banco Mundial, Kristalina Georgieva. [...]

AFP. Mulheres têm reconhecidos apenas 75% dos direitos dos homens (BM). IstoÉ Dinheiro, São Paulo, 27 fev. 2019. Disponível em: https://www.istoedinheiro.com.br/mulheres-tem-reconhecidos-apenas-75-dos-direitos-dos-homens-bm/. Acesso em: 27 jan. 2022.

Orientações

Essa seção favorece o desenvolvimento das competências gerais 7 e 9 e contempla o Tema Contemporâneo Transversal: Educação em Direitos Humanos

Faça a leitura coletiva do texto com os estudantes. Ele aborda um tema importante, a igualdade de gênero, o que possibilita a conexão de Matemática com Ciências Sociais. Discuta, além dos direitos das mulheres, os abusos e descasos que sofrem diariamente, traga reflexões sobre a alta taxa de feminicídio no Brasil, inclusive como esse número teve um aumento significativo durante o isolamento social.

Ao discutir a questão 1, abra espaço para as estudantes se expressarem livremente. Essa é uma ótima oportunidade para trabalhar atitudes e valores, de forma a respeitar as opiniões dos demais, mesmo que divergente da sua e do diálogo como única forma de resolver conflitos. A escuta atenta e respeitosa pode ser uma ótima oportunidade para que todos repensem suas posições. Se possível, convide a coordenação pedagógica para participar dessa aula.

A resposta da questão 2 exige a leitura da fonte do texto, o que nem sempre é feito, mas é um hábito importante, inclusive para a identificação da confiabilidade das informações.

Observe se, ao responder à questão 3, com base no título da matéria os estudantes percebem que de cada quatro direitos que os homens têm, as mulheres têm apenas três.

A igualdade de gênero é uma luta tanto das mulheres quanto dos homens.

1 O que você pensa sobre a igualdade de gênero? Resposta pessoal.

2 Em que ano foi feito o estudo dessa reportagem? 2019

3 Segundo a reportagem, que percentual corresponde aos direitos das mulheres em relação aos dos homens?

4 Que percentual falta para que os direitos das mulheres sejam equiparados aos direitos dos homens? 75% 25%

Para aprofundar

Acesse o link a seguir, que aborda questões sociais de equidade de gênero e investimento de mulheres.

• NEGRI, F. de. Mulheres na ciência no Brasil: ainda invisíveis? Ipea, Brasília, DF, 5 mar. 2020. Centro de Pesquisa em Ciência, Tecnologia e Sociedade. Disponível em: ht tps://www.ipea.gov.br/cts/pt/central-de-conteudo/ar tigos/artigos/177-mulheres-na-ciencia--no-brasil-ainda invisiveis. Acesso em: 5 jul. 2022.

Resolução da questão 4 100 - 75 = 25 4 25%

Atividades complementares

Você pode reproduzir o vídeo do canal Crítica, história e literatura que fala sobre aspectos históricos que influenciam até hoje na desigualdade de gênero, disponível em: https:// www.youtube.com/watch?v=VGSa bbMW3aw (acesso em: 4 abr. 2022). O vídeo tem duração de 12min43s.

nito/Shutterstock.com

Objetivos do capítulo

• Efetuar adições e subtrações com números naturais por meio de estratégias diversas.

• Explorar a adição e a subtração como operações inversas.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam adição e subtração.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2 e 7

Competências específicas 2

Habilidades EF06MA01 e EF06MA03

Orientações

Em Para começar, observe se os estudantes perceberam que os termos, após o segundo, são obtidos ao adicionar 3 unidades ao termo anterior. Desta forma, a sequência dos 13 primeiros termos é: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 28, 31, 34 e 37 Portanto, 37 é o 13? termo.

Em seguida, organize a turma em grupos. Peça que exemplifiquem situações de adição que envolvam a ideia de juntar e a ideia de acrescentar. Depois, cada grupo deve expor suas ideias para que os demais as validem ou não. Peça-lhes que descrevam situações que envolvam as ideias de tirar, completar e comparar associadas à subtração. Proponha uma roda de conversa para compartilhar e validar as propostas. Com as situações criadas pelos estudantes, monte uma lista de atividades para eles resolverem em casa. Esse processo contribuirá para a competência geral 2 Explore as propriedades da adição verificando o que os estudantes já sabem sobre elas.

Explore na lousa as situações descritas no tópico “Adição e subtração: operações inversas” e peça aos estudantes que deem outros exemplos.

Adição e subtração

Os números da sequência 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, .... foram obtidos segundo uma regra de formação. De acordo com essa regra, qual é o 13o número dessa sequência? Como você pensou? Respostas no Manual do Professor.

Adição

A adição está associada às ideias de juntar e acrescentar. Veja como nomeamos os termos de uma adição: 75 + 20 = 95

parcela parcela

Subtração

A subtração está associada às ideias de tirar, completar, comparar e separar. Veja como nomeamos os termos de uma subtração: 75 - 21 = 54

Adição e subtração: operações inversas

A adição e a subtração são operações inversas. Observe a situação.

Carlos tinha 38 reais e ganhou 13 reais. Agora ele tem 51 reais.

Carlos tem 51 reais. Descontando os 13 reais que ganhou, sabemos que ele tinha 38 reais.

Note que, adicionando 13 ao número 38, obtemos 51, e subtraindo 13 de 51, obtemos novamente 38.

- 13 = 38 e 38 + 13 = 51 são equivalentes

Observe que diferença + subtraendo = minuendo. Essa relação pode ser útil para comprovar se o resultado de uma subtração está correto.

Veja o problema a seguir.

Júlia depositou, em sua conta bancária, R$ 127,00 em dinheiro e um cheque de R$ 266,00. Qual foi o total depositado por Júlia?

Podemos resolver essa situação utilizando estratégias diversas.

• Pelo algoritmo da decomposição

127 4 100 + 20 + 7

+ 266 4 200 + 60 + 6

300 + 80 + 13 4 300 + 80 + 10 + 3 = 300 + 90 + 3 = 393

• Pelo algoritmo usual

127 + 266

393

• Usando a calculadora

1 2 + 2 7 6 6 =

Júlia depositou, ao todo, R$ 393,00.

• Por cálculo mental

127 + 266

300 + 80 + 13

300 + 80 + 10 + 3

300 + 90 + 3

393

393

Júlia decidiu comprar uma televisão que há muito tempo desejava, mas, para isso, terá de gastar todo o dinheiro que tem guardado.

Você acha que a decisão de Júlia foi responsável? Quais as consequências dessas decisão? Respostas pessoais.

Elaboração de problemas

Um cidadão atuante é capaz de, além de resolver situações-problema em múltiplos contextos, elaborar esses problemas. Saber perguntar é tão importante quanto saber responder, sabia? Vamos ver um passo a passo de como elaborar um problema a partir da situação a seguir.

1o passo: Quais contextos você conhece que envolvem a ideia de subtração? Escolha um. Você pode pesquisar no livro alguns desses contextos para se inspirar.

Contexto: Pagamento e recebimento de troco.

2o passo: Crie uma situação (quase como uma história) dentro do contexto escolhido por você. Seja bem criativo.

Situação: Comprar um livro de R$ 85,00 em uma livraria e pagar com uma cédula de R$ 100,00.

3o passo: Crie um comando para o seu problema (aquilo que você deseja perguntar).

Comando: Quanto se receberá de troco?

4o passo: Escreva o problema complementando as informações da situação criada para construir um enunciado que faça sentido e inserindo o comando no final.

Problema: Caíque foi a uma livraria e comprou um livro por R$ 85,00; pagou com uma cédula de R$ 100,00. Quanto ele receberá de troco?

Agora é a sua vez: Elabore um problema que envolva a operação de adição.

Para aprofundar

• POLYA, George. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático Tradução: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciências, 1995.

Orientações

Acompanhe com os estudantes as estratégias apresentadas e discuta com eles quais são as vantagens e as desvantagens de cada uma delas.

Em Pense e responda, a questão abrange uma análise crítica da situação, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 7 e 10 A resposta é pessoal. Aproveite para comentar sobre saúde financeira e a importância de uma conscientização sobre gastos desnecessários, além do planejamento financeiro.

No momento de trabalhar Elaboração de problemas, peça aos estudantes que formem duplas e troquem os problemas entre si, a fim de cada um resolver o problema do outro. Essas situações promovem o protagonismo do estudante em seu processo de construção de conhecimento e contempla a habilidade EF06MA03

Orientações

As atividades dessa página contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA03

Em Atividades, o objetivo é a aplicação e a ampliação dos conhecimentos dos estudantes quanto à adição e à subtração, incluindo estratégias de cálculo aproximado e cálculo mental. Circule pela sala de aula para verificar possíveis dificuldades e a necessidade de intervir. Realize a correção coletiva para que eles compartilhem os procedimentos.

Resolução da atividade 1

3 025 + 30 + 4 250 = 7 305.

Essa atividade permite observar se os estudantes estão dominando a correspondência entre a linguagem materna e sua expressão numérica.

Resolução da atividade 2

2 780 - 1 500 = 1 280.

Observe se alguns estudantes estão usando o cálculo mental como estratégia e, nesse caso, peça que compartilhem o raciocínio utilizado com os colegas..

Resolução da atividade 3

1998 - 1989 = 9. Portanto, Caetano tem 9 anos a mais que Eulália.

Chame a atenção da turma para a ideia de “comparar” da subtração.

Resolução da atividade 4

a) Se 8 + C = 1, então C só pode ser 3, pois 8 + 3 = 11. Se 5 + A +

+ 1 (dezena que veio da etapa anterior) = 0, A = 4, pois 1 + 4 +

+ 5 = 10. Se 2 + B + 1 (centena que veio da etapa anterior) = 4, B só pode ser 1, pois 2 + 1 + 1 = 4.

b) Seguindo o mesmo raciocínio de a): Se 2 + E + 3 = 8, então

E = 3. Se 2 + 8 + 9 = F, então

F = 9. Se D + 3 + 7 + 1 (da etapa anterior), então D = 1.

Ao comentar a atividade 5, chame a atenção para o fato de que o esquema apresentado nada mais é do que a formalização de um raciocínio usado em cálculo mental. Ao realizar a correção, observe se os estudantes ainda têm dificuldade nesse procedimento. Se necessário, retome-o.

1 As três parcelas de uma adição são:

• três mil e vinte e cinco unidades;

• duas dúzias e meia;

• quatro milhares, duas centenas e cinco dezenas. Qual é a soma dessas parcelas? 7 305

2 Em uma subtração, o minuendo é 2 780 e o subtraendo é 1 500. Qual é a diferença? 1 280

3 Caetano nasceu em 10 de dezembro de 1989, e Eulália em 10 de dezembro de 1998. Quantos anos Caetano tem a mais que Eulália? 9 anos

4 Descubra os algarismos que estão representados pelas letras em cada uma das adições.

5 Usando a noção de distância entre números em uma reta numérica, podemos efetuar a subtração 306 - 174, calculando quanto falta a 174 para chegar a 306.

Então, no total, faltam: 6 + 20 + 100 + 6 = 132. Logo: 306 - 174 = 132. Efetue as subtrações usando a reta numérica.

a) 527 - 269 258

b) 896 - 335 561

c) 626 - 475 151

d) 325 - 115 210

6 Mariana tirou 124 cópias de um convite. Quando terminou, percebeu que o contador da máquina registrava o número 731. Quanto marcava o contador antes das cópias de Mariana? 607

7 Qual é o valor que substitui cada símbolo?

a) - 35 = 47 82

b) 277 - = 99 178

c) + 48 = 134 86

d) + 1 618 = 1 618 0

8 Pensei em um número. A ele adicionei 71 e obtive 95. Em que número pensei? 24

9 A uma adição podemos associar duas subtrações equivalentes. Veja:

+= -= -=

Efetue as adições e associe a cada uma delas duas subtrações equivalentes.

Essa atividade favorece a habilidade EF06MA01

Resolução da atividade 6

731 - 124 = 607

Resolução da atividade 7

a) = 47 + 35 = 82

b) = 277 – 99 = 178

c) = 134 – 48 = 86

d) = 1 818 – 1 618 = 0

Resolução da atividade 8

Indicando o número pensado por  , temos:

 + 71 = 95 6 95 - 71 =  = 24.

Pergunte aos estudantes se o procedimento apresentado na atividade 9 ficou claro. Observe se eles percebem a utilidade desse procedimento na verificação da correção de operações de adição e subtração.

•

10 Celina precisa comprar uma jaqueta que custa R$ 388,00 e uma calça que custa R$ 64,00 e, antes de entrar na loja, fez uma estimativa para saber quanto gastaria.

Considerando os valores, temos:

Preço da peça Está entre É mais próximo de Arredondamos para

Assim, obtemos o valor estimado:

390 + 60 = 450, ou seja, R$ 450,00.

Celina decidiu comprar a calça e a jaqueta e, para isso, calculou o valor real da compra:

388 + 64 = 452

Portanto, Celina gastará R$ 452,00. Note que a estimativa ficou bem próxima ao valor real. Considere, agora, uma nova situação: Lúcia comprou uma geladeira por R $  718,00 e um fogão por R $ 456,00.

a) Faça uma estimativa do valor da compra de Lúcia. Resposta pessoal.

b) Quantos reais ela gastou de fato? R$ 1.174,00.

c) Sua estimativa ficou próxima ao valor real? Resposta pessoal.

11 Observe como Adriana calculou 97 - 48 mentalmente: 97 - 48 97 - 40 - 8 57 - 8 49

Efetue as subtrações usando o procedimento de Adriana.

a) 65 - 24 41 b) 76 - 37 39

12 A tabela a seguir mostra o número de pessoas que visitaram o Museu Aberto das Tartarugas Marinhas, em Guriri, no Espírito Santo, nos meses de janeiro e fevereiro do ano passado.

Visitantes do Museu Aberto das Tartarugas Marinhas

Orientações

As atividades dessa página contemplam a habilidade EF06MA03 Observe quais estratégias os estudantes usam para resolvê-las. Caso tenham dúvidas, retome os conceitos e apresente outros exemplos. Resolução da atividade 10

a) É esperado que a resposta seja perto de R$ 1 200,00 (700+ 500).

b) 718 + 456 = 1.174 4 R$ 1.174,00

c) Caso a estimativa não se aproxime do cálculo exato, retome as estimativas retome o cálculo de valores aproximados com os estudantes.

Resolução da atividade 11 Há várias possibilidades. Veja os exemplos a seguir.

a) 65 - 24

65 - 20 - 4

45 - 4 41

b) 76 - 37

76 - 30 - 7

46 - 7 39

c) 97 - 65

97 - 60 - 5

37 - 5 32

d) 32 - 18

32 - 10 - 8

22 - 8 14

Resolução da atividade 12

Fonte: Dados fictícios.

a) Nesse bimestre, quantos adultos e quantas crianças visitaram o museu?

Adultos: 1 865; crianças: 2 409.

b) Quantas crianças a mais que os adultos visitaram o museu em janeiro? 128

c) Quantos adultos, em fevereiro, visitaram o museu a menos do que em janeiro? 425

d) Quantas crianças a mais deveriam ter visitado o museu em fevereiro para igualar o número de visitantes em janeiro? 137

Para aprofundar

• LOPES, S. E.; KATO, L. A. A leitura e a interpretação de problemas de Matemática no Ensino Fundamental: algumas estratégias de apoio. In : PARANÁ. Secretaria da Educação. Dia a dia educação. C uritiba: Secretaria da Educação, [20--?]. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/ portals/pde/arquivos/2212-8.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

a) Adultos: 1 145 + 720 = 1 865; crianças: 1 273 + 1 136 = 2 409.

b) 1 273 - 1 145 = 128

c) 1 145 - 720 = 425

d) 1 273 - 1 136 = 137

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA03 Resolução da atividade 13

Ler o menor número

Ler o maior número

Calcular a diferença a entre o maior número e o menor número

Mostrar d

• Ler o menor número: 3

• Ler o maior número: 11

• Calcular a diferença d entre o maior e o menor número: 11 -

- 3 = 8

• Mostrar d: 8

Essa atividade também contribui para o desenvolvimento das habilidades EF06MA01 e EF06MA04

Ao realizar a atividade 14, oriente os estudantes para: buscar a relação entre os dados apresentados; deixar claro o que se deseja saber, se há falta ou excesso de informações e se a situação permite mais de uma ou nenhuma solução. Ao refletir sobre essas questões e lidar com situações-problema em contextos variados, eles desenvolvem confiança para enfrentar diversas situações e ir em busca de soluções, protagonizando a aprendizagem. Você pode sugerir temáticas de urgência social (adoção de animais, aproveitamento alimentar, utilização de recursos naturais etc.).

Resolução da atividade 15

• Usando somente uma moeda, a pessoa pode pagar quatro quantias: 1, 2, 5 e 10.

13 Observe a reta numérica representada abaixo.

Utilize os passos descritos, com os símbolos adequados, e construa um fluxograma para calcular a distância d entre os pontos A e B

1o passo: Ler o menor número.

2o passo: Ler o maior número.

3o passo: Calcular a diferença d entre o maior e o menor número.

4o passo: Mostrar d

Depois, troque com um colega e peça para ele executar o fluxograma para os números representados na reta numérica, enquanto você executa o que ele construiu. Resposta pessoal.

14 Elabore um problema que possa ser resolvido usando uma adição e uma subtração. Depois, troque com um colega para que ele resolva o problema que você elaborou, enquanto resolve o problema elaborado por ele. Resposta pessoal.

15 Um país possui quatro moedas distintas, representadas abaixo com seus respectivos valores.

Suponha que uma pessoa possui exatamente um exemplar de cada uma dessas quatro moedas. Quantas quantias distintas essa pessoa pode pagar usando uma ou mais moedas que possui? 15

16 O gráfico a seguir mostra o resultado de uma pesquisa feita com os estudantes do 1o ano do Ensino Médio que usam transportes para ir à escola e o tempo de deslocamento para chegar à escola.

Com base nos dados do gráfico, elabore 4 perguntas que, para responder cada uma delas, seja necessário efetuar uma adição ou uma subtração. Depois, dê para um colega responder enquanto responde às que ele elaborou. Ao final, confiram em conjunto as respostas e conversem sobre como foi o processo. Respostas pessoais.

• Usando duas moedas:

• Usando três moedas:

• Usando as quatro moedas:

1 + 2 + 5 + 10 = 18

Assim, ao todo, a pessoa pode pagar 15 quantias distintas

(4 + 6 + 4 + 1 = 15).

A atividade 16 exige do estudante a observação e a análise das informações apresentadas no gráfico para elaborar as perguntas. Se julgar conveniente, discuta os dados do gráfico com a turma antes de realizar a atividade. Exemplos de perguntas:

Quantos estudantes levam 25 minutos para chegar à escola?

Quantos estudantes levam mais de 30 minutos para chegar à escola?

Quantos estudantes levam 1h para chegar à escola?

Quantos estudantes levam 1h30min para chegar à escola?

Fim

Início

Multiplicação e divisão

Para fazer o transporte de 800 caixas com 50 quilogramas cada uma, Antônio contratou uma empresa de transporte que apresentou o seguinte orçamento:

5 000 kg

R$ 3.000,00

Fonte: Dados fictícios.

A empresa realizará o serviço fazendo o menor número possível de viagens.

Resposta pessoal.

a) Cite alguns elementos que a empresa possivelmente leve em consideração para o cálculo do preço do transporte de cargas.

b) Quantas viagens, no mínimo, serão necessárias para o transporte de todas as caixas? 8 viagens

c) Qual será o valor pago por essas viagens? R$ 24.000,00.

Multiplicação

A multiplicação está relacionada com as ideias de adição de parcelas iguais, organização retangular, proporcionalidade e combinação.

Veja como nomeamos os termos de uma multiplicação:

4 3 = 12 fator fator produto

Adição de parcelas iguais

Alice comprou um sofá em 8 prestações iguais de R 320,00. Quanto ela pagou pelo sofá?

Podemos calcular o valor pago adicionando as 8 prestações.

320 + 320 + 320 + 320 + 320 + 320 + 320 + 320 = 2 560

Ou por meio de uma multiplicação.

Orientações

Resolução de Para começar

a) Possíveis respostas: a distância, o tamanho das caixas etc.

b) 5 000 : 50 = 100 4 100 caixas por viagem

800 : 100 = 8 4 8 viagens.

c) 8 3 000 = 24 000 4

4 R$ 24.000,00

Em seguida, organize a turma em grupos. Peça a cada grupo que exemplifique situações de multiplicação que envolvam as ideias associadas à adição de parcelas iguais. O compartilhamento e a validação das respostas podem ser feitos em uma roda de conversa.

No tópico “Multiplicação”, peça aos estudantes que exemplifiquem outras situações com a ideia de combinação associada à multiplicação envolvendo duas categorias.

8 320 = 2 560

Portanto, Alice pagou R$ 2.560,00 pelo sofá.

Objetivos do capítulo

• Efetuar multiplicações e divisões por meio de estratégias diversas.

• Explorar as ideias da multiplicação e suas propriedades.

• Efetuar divisões e identificar seus termos.

• Resolver problemas que envolvem multiplicação e divisão.

Foco na BNCC

Principais competênciais e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 2, 3, 6 e 10

Competências específicas 1 e 2 Habilidades

EF06MA03, EF06MA06, EF06MA12 e EF06MA15

Foco nos TCTs

• Educação para o Consumo

Andrey_Popov/Shutterstock.com

Cada vez mais empresas aderem ao sistema de entregas em domicílio.

Orientações

Os conceitos abordados nessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA03

Organize a turma em grupos e peça a cada grupo que exemplifique situações de multiplicação que envolvam as ideias associadas a essa operação (disposição retangular e proporcionalidade) e situações que envolvam as ideias de repartição equitativa e de medida associadas à divisão. O compartilhamento e a validação das respostas podem ser feitos em uma roda de conversa.

Para trabalhar a ideia da multiplicação com representação retangular, peça aos estudantes que observem a disposição das carteiras na sala de aula. Se não estiverem bem alinhadas, peça que as reorganizem. Mostre que, quando multiplicamos a quantidade de fileiras verticais pela quantidade de fileiras horizontais , ou vice-versa, obtemos a quantidade total de carteiras.

Apresente outras situações com a ideia de proporcionalidade próximas da realidade dos estudantes. Por exemplo: para montar um time de basquete são necessários 6 atletas. Se um campeonato dessa modalidade acontecerá entre 8 times, quantos atletas participarão?

Disposição retangular

Para calcular a quantidade de veículos no estacionamento, representado a seguir, podemos observar a quantidade de linhas e colunas.

Podemos calcular a quantidade de veículos observando:

• Linhas

São 4 linhas com 9 veículos em cada uma: 4 9 = 36.

• Colunas

São 9 colunas com 4 veículos em cada uma: 9 . 4 = 36. Portanto, há 36 veículos no estacionamento.

Proporcionalidade

Com 5 kg de farinha é possível fazer 10 bolos. Quantos bolos podemos fazer usando 20 kg de farinha? Dizemos que a quantidade de bolo produzido é proporcional à quantidade de farinha. Veja:

Note que, cada vez que multiplicamos por 2 a quantidade de farinha, a quantidade de bolo também é multiplicada por 2, ou seja, na mesma proporção. Portanto, com 20 kg de farinha é possível fazer 40 bolos.

Colunas

Combinação

Acompanhe essa situação: Uma lanchonete oferece 4 tipos de sanduíche e 3 sabores de suco.

misto queijo natural atum

Sanduíche

laranja graviola uva -

Suco

Para calcular o total de combinações possíveis de um sanduíche e um suco, usaremos um quadro e um diagrama chamado árvore de possibilidades

• Usando um quadro.

Abaixo, temos todas as combinações possíveis.

Suco

Sanduíche Laranja Graviola Uva

Misto misto e laranja misto e graviola misto e uva

Queijo queijo e laranja queijo e graviola queijo e uva

Natural natural e laranjanatural e graviola natural e uva

Atum atum e laranja atum e graviola atum e uva

Para cada escolha de sanduíche, há 3 opções de suco. Como são 4 tipos de sanduíche, serão 3 + 3 + 3 + 3 opções para a escolha do lanche com suco, ou seja: 4 3 = 12 4 12 combinações (ou possibilidades).

• Usando a árvore de possibilidades.

Combinações possíveis para 4 sanduíches e 3 sucos diferentes

laranja misto e laranja

graviola misto e graviola misto

uva misto e uva

laranja queijo e laranja

graviola queijo e graviola queijo

uva queijo e uva

Orientações

Verifique se os estudantes compreenderam a correspondência entre as informações do quadro e da árvore de possibilidades.

Explore a árvore de possibilidades. Peça aos estudantes que elaborem situações que envolvam 2, 3 e 4 categorias diferentes. Por exemplo, quantas e quais são as opções de vestimenta escolhendo uma camiseta, um short e um par de meias, se há 4 possibilidades de cores para as camisetas, 3 tipos de short e 2 possibilidades de cores para as meias? Espera-se que concluam que serão 24 opções diferentes (4 3 2). Resolução do Pense e responda

Queijo

laranja e graviola laranja e uva graviola e uva

queijo e laranja e graviola queijo e laranja e uva queijo e graviola e uva

Logo, temos 1 3 = 3, ou seja, 3 opções diferentes.

Essa atividade favorece a competência específica 2

Para aprofundar

laranja natural e laranja

graviola natural e graviola natural

uva natural e uva

laranja atum e laranja

graviola atum e graviola atum

uva atum e uva

Portanto, a lanchonete oferece 12 opções de combinações possíveis de um sanduíche e um suco.

Quantas são as opções de escolha de Lorena se ela pedir o sanduíche de queijo e dois sucos de sabores diferentes? 3

O artigo a seguir apresenta diversos métodos para efetuar multiplicações. • SOLDATELLI, Ângela. Etnomatemática: a multiplicação ao redor do mundo. Scientia cum Industria, Caxias do Sul, v. 4, n. 4, p. 219-222, 2016. Disponível em: http://www. ucs.br/etc/revistas/index.php/ scientiacumindustria/article/do wnload/4907/pdf . Acesso em: 5 jul. 2022.

Imagens da página fora de proporção

Orientações

A situação inicial favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA06

O primeiro Pense e responda, ao propor uma divisão em partes desiguais, contempla a habilidade EF06MA15, e o segundo Pense e responda favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA03

No tópico “Divisão”, além de explorar a identificação dos termos e o conceito de divisão exata ou não exata, verifique quais algoritmos os estudantes conhecem para efetuar uma divisão. Para sanar algumas dúvidas, muitas vezes trazidas de anos anteriores, faça uma breve revisão sobre o assunto com base em exemplos do cotidiano.

Há duas conceituações para divisão: a primeira tem ideia intuitiva de repartição em partes iguais. A segunda tem ideia de medida, que pode ser trabalhada com o exemplo de quantos copos d´água de 200 mL precisamos para encher uma jarra de 1 L. Ou o contrário: essa jarra de 1 L encherá quantos copos de 200 mL?

O início do tópico traz uma abordagem voltada à doação de livros. Converse com os estudantes sobre a importância da prática da leitura e de proporcionar o acesso a livros a um grande número de pessoas.

Explore também o resto da divisão e sua relação com o divisor: em uma divisão, o resto é sempre menor que o divisor. Por exemplo, em uma divisão por 7, os possíveis restos são 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6; em uma divisão por 10, o maior resto possível é o 9.

Ao realizar a atividade do primeiro Pense e responda, observe como os estudantes fariam a distribuição dos livros considerando que a divisão não foi exata. Talvez alguns proponham entregar os 12 livros a uma biblioteca maior, por exemplo.

Verifique se os estudantes apresentam dificuldades para utilizar a calculadora na atividade do segundo Pense e responda. Você pode apresentar mais exemplos para auxiliar na efetivação da aprendizagem.

Divisão

A divisão está relacionada com a ideia de repartir igualmente e com a ideia de medir (quantas vezes cabem). Veja como nomeamos os termos da divisão.

dividendo 13 4 divisor

resto 1 3 quociente

Repartir igualmente

Uma campanha de doação de livros arrecadou 736 livros e irá doá-los para 23 bibliotecas públicas, de forma que todas recebam a mesma quantidade de livros. Quantos livros cada biblioteca receberá?

Devemos dividir os 736 livros entre as 23 bibliotecas. Vamos efetuar essa divisão usando a calculadora. 32 7 2 / 3 6 3 =

Portanto, cada biblioteca receberá 32 livros.

Campanhas de doação de livros são importantes para a disseminação da leitura.

1. Se tivessem sido arrecadados 748 livros, todas as bibliotecas poderiam ter recebido a mesma quantidade sem que sobrassem livros? Por quê? Não, pois sobrariam 12 livros.

2. Considerando que algumas bibliotecas possam receber 1 livro a mais, quantos livros receberia cada biblioteca? 12 bibliotecas receberiam 33 livros e 11 receberiam 32 livros

Medir

Em um reservatório há 645 litros de tinta. Quantos galões de 20 litros podemos encher com essa quantidade?

Para calcular quantos galões podemos encher, vamos dividir 645 litros por 20 litros. Vamos efetuar essa divisão de duas maneiras diferentes.

• Usando o algoritmo usual

Logo, podemos encher 32 galões de 20 litros e sobrarão 5 litros de tinta no reservatório.

Essa é uma divisão não exata, porque o resto é diferente de zero.

• Usando a divisão por subtrações sucessivas

Efetue a divisão acima usando uma calculadora.

1. Que resultado você obteve? 32,25

2. Com as suas palavras, explique o resultado obtido.

Resposta pessoal.

Atividades

1 Carlos comprou uma moto em 12 prestações iguais de R$ 675,00. Quanto ele pagou pela moto? Resolva pelo algoritmo usual e pela divisão por subtrações sucessivas. Depois, escreva quais são as vantagens e desvantagens de cada uma delas. R$ 8.100,00. Resposta pessoal.

2 Pedro é o dono de uma padaria. Veja o comentário dele sobre a quantidade de pães que pode produzir de acordo com a quantidade de farinha.

Posso fazer 60 quilogramas de pão com 50 quilogramas de farinha.

Quantos quilogramas de pão Pedro pode produzir com 200 quilogramas de farinha? 240

3 Dedé já assentou algumas lajotas no piso do quarto que está reformando. Veja:

Quantas lajotas serão usadas em todo o piso? 36

4 Para ir da cidade A até a cidade B, é possível utilizar três meios de transporte: navio, trem ou avião. Da cidade B para a cidade C há duas possibilidades: carro ou ônibus. De quantas maneiras diferentes pode-se ir de A a C passando por B? Resolva usando a estratégia de sua preferência.

São 6 maneiras possíveis.

5 Para estimar o resultado de 71 . 37, podemos fazer arredondamentos de cada número para a dezena exata mais próxima. Veja:

71 4 70 37 4 40

Logo, 71 37 é aproximadamente igual a: 70 40 = 2 800.

Agora, estime o resultado de cada multiplicação a seguir e, depois, utilize uma calculadora e compare-o com o valor real para verificar se sua estimativa foi boa.

a) 82 58 Estimado: 4 800; real: 4 756.

b) 91 29 Estimado: 2 700; real: 2 639.

c) 54 . 72 Estimado: 3 500; real: 3 888.

Orientações

d) 19 31 Estimado: 600; real: 589.

e) 77 22 Estimado: 1 600; real: 1 694.

f) 9 . 54 Estimado: 500; real: 486.

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA03

Quanto às atividades que contemplam medidas, deixe clara a importância de as unidades de medida serem iguais. Não podemos operar com uma medida que esteja em grama (g) e outra que esteja em quilograma (kg). Cabe relembrar as conversões!

Espera-se que ao realizar a atividade 1, o estudante perceba que é muito trabalhoso realizar a adição de parcelas iguais o que, neste caso, seria realizar 12 operações, do que usar a multiplicação: 12 . 675 = 8 100, ou seja, R$ 8.100,00.

Resolução da atividade 2

Se com 50 quilogramas de farinha são feitos 60 quilogramas de pão, então, para saber quantos quilogramas de pão obtemos com 200 quilogramas de farinha, podemos usar o seguinte raciocínio:

• Quantos grupos de 50 quilogramas obtenho com 200 quilogramas (quantas vezes 50 cabe em 200)?

200 : 50 = 4 (4 grupos de 50) Assim, tenho o quádruplo da quantidade de farinha que tinha.

• Com essa nova quantidade de farinha, quantos quilogramas de pão consigo?

Se com 50 quilogramas de farinha obtemos 60 quilogramas de pão, com o quádruplo (200 quilogramas) dessa quantidade de farinha obtemos o quádruplo de 60 quilogramas de pão. 4 60 = 240 4 4 240 quilogramas.

Portanto, Pedro pode produzir 240 quilogramas de pão. Resolução da atividade 3 4 . 9 = 36 4 36 lajotas

Resolução da atividade 4 Para facilitar a compreensão, elabore um esquema com as possibilidades de deslocamento, como o mostrado a seguir.

A B C

trem

navio avião

carro ônibus

Há 3 maneiras diferentes de ir de A até B, e para cada uma dessas maneiras há 2 formas diferentes de ir de B até C. Assim, há 6 (3 2) possibilidades diferentes de ir de A até C passando por B

Outra maneira de representar essa situação é usando uma árvore de possibilidades.

A até B (3 possibilidades) B até C (2 possibilidades) Combinações possíveis Trem

Navio carro navio e carro ônibus navio e ônibus carro trem e carro ônibus trem e ônibus carro avião e carro ônibus avião e ônibus

Avião

Portanto. há 6 maneiras diferentes possíveis de viajar de A até C passando por B

Faça a correção coletiva da atividade 5. Peça aos estudantes que se reúnam em trios para que comparem os arredondamentos feitos e verifiquem se obtiveram o mesmo resultado no cálculo exato. Discuta em quais situações o cálculo aproximado é vantajoso; por exemplo, para estimar o total de uma compra antes de finalizá-la. Essa atividade favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA12

Produção de pães.

Orientações

As atividades dessa página contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA06

Resolução da atividade 6

a) 2 5 7 = 70

b) 6 3 3 = 54

c) 3 5 9 = 135

d) 4 9 2 = 72

Resolução da atividade 7

96 : 12 = 8 4 8 caixas

Resolução da atividade 8

Se Henrique tirou 5 carrinhos de cada uma das caixas e são 5 caixas, ele tirou 5 5 =

= 25, ou seja, 25 carrinhos. Assim, temos que: 47 + 25 – 8 =

= 64, ou seja, 64 carrinhos. Como são 4 caixas com igual número de carrinhos, em cada caixa havia: 64 : 4 = 16, ou seja, 16 carrinhos. Resolução da atividade 9

a) Espera-se que para essa divisão os estudantes já conheçam o resultado, que será obtido: 45 : 5 = 9.

b) Possíveis aproximações: 10 3 =

= 30, 20 3 = 60, 30 3 = 90.

Assim, o quociente está entre 20 e 30 (pois 87 está entre 60 e 90). Como 87 termina em 7, vamos pensar nos números entre 20 e 30 que multiplicados por 3 resultam em um produto com final 7. Nesse caso, apenas o 29 cumpre essa condição, pois 9 3 = 27. Então, verificamos: 29 3 = 87. Logo, 87 : 3 = 29.

c) Possíveis aproximações: 20 . 6 =

= 120, 30 . 6 = 180. Assim, o quociente está entre 20 e 30 (pois 144 está entre 120 e 180).

Como 144 termina em 4, vamos pensar nos números entre 20 e 30 que multiplicados por 6 resultam em um produto com final 4. Nesse caso, temos duas possibilidades: 24 e 29. Fazendo a verificação, obtemos: 24 . 6 = 144. Logo, 144 : 6 =

= 24. Assim, não precisamos testar o 29.

Observe se, ao realizar a atividade 10, os estudantes prestaram atenção ao comando, arredondando o dividendo para a centena mais próxima e o divisor para a dezena mais próxima. Observe também se compreenderam e se identificam todos os termos da divisão.

6 A decomposição dos números em fatores e as propriedades da multiplicação facilitam o cálculo mental.

Veja:

propriedade associativa

2 . 25 = 2 . 5 . 5 = 10 . 5 = 50

decomposição em fatores

propriedade comutativa

16 3 = 2 8 3 = 2 3 8 = 6 8 = 48

propriedade associativa decomposição em fatores

Usando esse procedimento, calcule:

a) 2 35; 70 b) 18 3; 54 c) 3 45; 135 d) 4 18. 72

7 Dona Teresa fez 96 croissants e vai acondicioná-los em caixas com a mesma quantidade em cada uma. Quantas caixas serão necessárias se ela colocar 12 croissants em cada caixa? 8

8 Henrique tem 4 caixas com igual número de carrinhos e mais uma com 8 carrinhos apenas. Tirando 5 carrinhos de cada caixa, Henrique fica, ao todo, com 47 carrinhos. Quantos carrinhos tinha em cada uma das caixas? 16

9 Veja como Juliano efetua mentalmente 96 : 8. Como 10 8 = 80 e 100 8 = 800, o quociente tem que estar entre 10 e 100, estando próximo de 10. Testamos alguns valores: 11 8 = 88 12 8 = 96

Logo, o quociente é 12. Efetue mentalmente:

a) 45 : 5; 9

b) 87 : 3; 29

10 Veja como podemos estimar o resultado da divisão 798 : 38.

• 798 800

• 38 40 800 40

c) 144 : 6. 24

Assim, 20 é um quociente aproximado para a divisão 798 : 38. Estime o resultado de cada divisão arredondando o dividendo para a centena exata mais próxima e o divisor para a dezena exata mais próxima. Depois, compare o valor estimado com o resultado real.

a) 836 : 38 Estimado: 20; real: 22.

b) 253 : 23 Estimado: 15; real: 11.

c) 2 365 : 43 Estimado: 60; real: 55.

d) 1 767 : 19 Estimado: 90; real: 93.

Yuriy Golub/Shutterstock.com

Croissants preparados para assar.

Veja a seguir como Émerson e Valentina efetuaram a divisão 645 : 20 usando a divisão por subtrações sucessivas.

645 20 - 600 30

a) Explique o procedimento que eles utilizaram para efetuar essa divisão.

b) Efetue as divisões por subtrações sucessivas.

387 : 9 872 : 15 1 628 : 50

43

12 Observe o padrão desta sequência: cada termo, do segundo em diante, é obtido dividindo o termo anterior por 2.

256 128 64 32 16

Agora, descubra o padrão e os três números que faltam nas sequências numéricas a seguir.

a) 2 187, 729, 243, 81, ?, ?, ? 27, 9 e 3

b) 1 024, 256, 64, ?, ?, ? 16, 4 e 1

c) 78 125, 15 625, 3 125, 625, ?, ?, ? 125, 25 e 5

d) 46 656, 7 776, 1 296, ?, ?, ? 216, 36 e 6

13 (OBMEP) Mariana tem um jogo de 15 pinos, sendo 5 pretos, 5 brancos e 5 cinzas. Pinos de mesma cor valem o mesmo número de pontos. A pontuação obtida em uma jogada é a soma dos pontos correspondentes aos pinos derrubados. Em uma jogada, Mariana fez 10 pontos ao derrubar dois pinos pretos. Em outra jogada, ela fez 12 pontos ao derrubar um pino preto e um branco. Numa terceira jogada, Mariana fez 55 pontos ao derrubar três pinos pretos, um branco e três cinzas.

Esta atividade contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA03

Resolução da atividade 12

a) Os termos, a partir do segundo, são obtidos pela divisão do número anterior por 3.

b) Os termos, a partir do segundo, são obtidos pela divisão do número anterior por 4.

c) Os termos, a partir do segundo, são obtidos pela divisão do número anterior por 5.

d) Os termos, a partir do segundo, são obtidos pela divisão do número anterior por 6.

Explore com os estudantes o exemplo dado e leve-os a perceber que os termos, a partir do segundo, são obtidos pela divisão do número anterior por 2. Esta atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 2 Resolução da atividade 13

a) Se Mariana fez dez pontos ao derrubar 2 pinos pretos e cada pino da mesma cor tem o mesmo valor, então cada pino preto vale 10 : 2 = 5 pontos.

b) Na segunda jogada, ao derrubar um pino branco e um preto, Mariana fez 12 pontos. Como 1 pino preto vale 5 pontos, então 1 pino branco vale 12 - 5 = 7 pontos. Na terceira jogada, ela fez 55 pontos e derrubou 3 pinos pretos (15 pontos), 1 pino branco (7 pontos) e 3 pinos cinzas (55 - 15 - 7 = 33). Portanto, 1 pino cinza vale 33 pontos: 3 = 11 pontos.

a) Quantos pontos vale cada pino preto? 5

b) Quantos pontos vale cada pino cinza? 11

c) Mariana fez 42 pontos em uma jogada ao derrubar pelo menos um pino de cada cor. Quantos pinos de cada cor ela derrubou? Ela derrubou 2 pretos, 3 brancos e 1 cinza.

Orientações

Resolução da atividade 11

a) Émerson e Juliana subtraíram do dividendo múltiplos do divisor até que o resto obtido fique menor que o divisor. O quociente foi obtido pela adição dos números que foram multiplicados pelo divisor. 387

c) Se pelo menos 1 pino de cada foi derrubado, ela já fez 5 + 7 + + 11 = 23 pontos. Restam, 42 - 23 = 19 pontos. Para obter 19 pontos há somente a possibilidade 1 preto e 2 brancos (5 + 7 + + 7 = 14). Portanto, ela derrubou 2 pinos pretos, 3 brancos e 1 cinza. Esta atividade auxilia no desenvolvimento das habilidades EF06MA03 e EF06MA15

Resposta no Manual do Professor.

Orientações no Manual do Professor.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades EF06MA03 e EF06MA06, das competências gerais 1, 2 e 3 e das competências específicas 1, 2 e 6 Também favorece a reflexão, a análise e a utilização de diferentes estratégias para a solução de situações-problema em diferentes contextos. Resolução da atividade 14

14 Vejam o algoritmo que os hindus usavam para efetuar multiplicações.

II) Os chineses efetuava as divisões utilizando varas de bambus, conforme representado a seguir.

Ilustrações: Fórmula Produções

I) Usando o algoritmo dos hindus, efetuem:

a) 86 7; 602 b) 279 41; c) 273 92; d) 187 64.

II) Façam uma pesquisa para saber como os chineses multiplicavam. Depois, utilizando o algoritmo que eles usavam, efetuem:

a) 24 2; 48 b) 34 3; 102 c) 123 4; 492 d) 215 2. 430

15 Analise o fluxograma para obter mentalmente o produto de um número natural diferente de zero por 11. Escolher um número natural Início

Multiplicar o número escolhido por 10

Fim

Adicionar o número escolhido ao resultado Escrever o número obtido

Execute esse programa para calcular 75 11. 825

16 Veja como Fausto efetuou 29 : 6 com uma calculadora usando subtrações sucessivas.

2 = 6 9 -

23

Como a tecla = foi digitada quatro vezes, até aparecer no visor um número menor que 6, o quociente é 4. O resto é o número que fica no visor, ou seja, 5.

Agora, determine o quociente e o resto das divisões a seguir, efetuando apenas subtrações.

a) 274 : 13 Quociente 21 e resto 1.

b) 351 : 25 Quociente 14 e resto 1.

c) 694 : 76 Quociente 9 e resto 10.

Durante a realização da atividade 16, verifique se os estudantes estão contando quantas vez pressionam a tecla igual, essencial para chegar ao quociente correto. Oriente-os para que façam esse registro.

Resolução da atividade 15

Ler o número natural: 75

Multiplicar o número natural por 10, ou seja, 75 10 = 750

Adicionar o mesmo número ao resultado: 750 + 75 = 825

Mostrar o resultado obtido: 825

Um menino que ficou famoso

O alemão Carl Friedrich Gauss (1777-1855) estava em seus primeiros anos de estudo quando seu professor pediu aos alunos da classe que obtivessem a soma de todos os números naturais de 1 a 100. Em poucos minutos, Gauss deu a resposta correta: 5 050. Como ele fez para encontrar a resposta tão rapidamente?

Em vez de efetuar a adição na ordem em que as parcelas aparecem, Gauss percebeu que era melhor aplicar a propriedade associativa adicionando do seguinte modo:

1 + 2 + 3 + 4 + + 97 + 98 + 99 + 100

4 + 97 101

3 + 98 = 101

2 + 99 101

1 + 100 = 101

Fonte: AMARAL, Daniel A. Gauss, Carl Friedrich (1777-1855). [Campinas]: Unicamp, [20--]. Disponível em: http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/gauss.htm. Acesso em: 25 abr. 2022.

Como são 100 números e eles são adicionados de dois em dois, ele obteve 50 somas iguais a 101. Multiplicando 50 por 101, obteve 5 050, que é a soma dos números naturais de 1 a 100. Usando o método de Gauss, calcule a soma em cada caso. Não se esqueça de considerar os números que faltam, indicados por "...".

a) 1 + 2 + + 38 + 39 + 40 820

b) 1 + 2 + 3 + + 198 + 199 + 200 20 100

c) 51 + 52 + 53 + + 148 + 149 + 150 10 050

Multiplicação e divisão: operações inversas

Vinicius tinha 48 figurinhas, todas repetidas. Então, ele as repartiu entre 4 amigos. Em retribuição, cada um desses amigos deu a ele 12 figurinhas diferentes, e Vinicius voltou a ter 48 figurinhas.

Note que, dividindo 48 por 4, obtemos o quociente exato 12, e multiplicando 12 vezes 4, obtemos novamente 48 (o dividendo).

48 : 4 = 12 é equivalente a 12 4 = 48.

Assim, para saber se o resultado de uma divisão está correto, podemos verificar se os termos satisfazem a relação fundamental da divisão:

quociente . divisor + resto = dividendo

E, no caso particular da divisão exata (resto = 0), verificar se divisor quociente = dividendo.

Veja como fica a checagem para a situação do reservatório de tinta apresentada anteriormente (página 40): 645 = 35 18 + 15.

1. Qual número dividido por 5 é igual a 80?

Resposta pessoal.

Viagem no tempo apresenta uma importante contribuição para o desenvolvimento do raciocínio matemático, promovendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA03, da competência geral 1 e da competência específica 1. Peça aos estudantes que tentem resolver as atividades propostas e depois promova a correção coletiva, visando sanar eventuais dificuldades.

Resolução de Viagem no tempo

a) 1 + 40 = 41; 2 + 39 = 41; ...

De 1 a 40 temos 40 números. Então, são 20 somas iguais a 41, ou seja: 20 41 = 820.

b) 1 + 200 = 201; 2 + 199 = 201; ...

De 1 a 200 temos 200 números. Então, são 100 somas iguais a 201, ou seja: 100 . 201 = 20 100.

c) 51 + 150 = 201; 52 + 149 = 201; ...

De 51 a 150 temos 100 números. Então, são 50 somas iguais a 201, ou seja: 50 201 = 10 050. Explore na lousa situações como a apresentada no tópico “Multiplicação e divisão: operações inversas” e verifique o que os estudantes conhecem sobre o assunto.

Peça a eles que descrevam procedimentos multiplicação e da divisão como operações inversas, para verificar se o resultado encontrado está correto.

Resolução de Pense e responda

1. : 5 = 80 6 = 80 . 5 = 400

2. Incentive os estudantes a explicar o raciocínio e as estratégias utilizadas.

400

Trocar figurinhas entre amigos facilita completar o álbum.

Sergey Ryzhov/Shutterstock.com

Orientações

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA03 e EF06MA06

Ao realizar as atividades 1 e 2, os estudantes poderão aferir se compreenderam o conceito abordado. Verifique estratégias utilizadas e auxilie-os quando necessário.

Resolução da atividade 3

252 = 14

= 252 : 14 = 18

Resolução da atividade 4

a) 5 = 610

= 610 : 5 = 122

b) : 6 + 20 = 33 : 6 = 33 - 20 : 6 = 13

= 13 . 6 = 78

c) Sabemos que o dividendo é 128, o quociente é 4 e o resto é 12. Vamos, então, escrever a relação fundamental para essa divisão: quociente . divisor + resto = = dividendo.

4 + 12 = 128

4 = 128 - 12

4 . =116 : 4 = 29

No item d, verifique se os estudantes estão efetuando os cálculos necessários antes de elaborar as perguntas, para inserirem os valores corretos. Ao finalizarem a atividade, peça que descubram e corrijam juntos eventuais enganos que possam ter sido cometidos tanto nas perguntas quanto nas respostas. Resolução da atividade 5

Vamos indicar os números que faltam da seguinte maneira:

Fórmula Produções

Como a 3; linha está completa, podemos obter o produto comum:

2 256 = 4 096

512 . = 4 096

= 4 096 : 512 = 8

Assim, na 1; coluna, devemos ter:

2 . 64 . = 4 096 6 128 . =

= 4 096 6 = 4 096 : 128 = 32

Pela 1a linha, temos:

32 . 1 . = 4 096

32 . = 4 096

= 4096 : 32 = 128

De modo análogo:

Pela 3a coluna, temos:

128 8 = 4 096

= 4 096 : 1 024 = 4

Pela 2a linha, temos:

64 4 = 4 096

= 4 096 : 256 = 16

Atividades

1 Efetue 528 : 6 e associe a essa divisão a multiplicação correspondente. 88; 88 . 6 = 528

2 Efetue 342 . 65 e associe a essa multiplicação as duas divisões correspondentes.

3 Em um auditório há 252 poltronas organizadas em fileiras e colunas. Sabendo que há 14 fileiras de poltronas, quantas poltronas há em cada coluna? 18 poltronas

4 Resolva os itens a seguir.

a) Pensei em um número e multipliquei-o por 5. Obtive 610. Em que número pensei? 122

b) Pensei em um número. Em seguida, dividi esse número por 6 e adicionei 20 ao resultado (quociente exato). Obtive 33. Em que número pensei? 78

c) Em uma divisão, o dividendo é 128, o quociente é 4 e o resto é 12. Qual é o divisor? 29

d) Elaborem duas questões parecidas com as anteriores e troquem com colegas de outro grupo para que uns respondam às questões que os outros elaboraram. Ao final, conversem sobre como foi o processo de elaboração e estratégias de resolução. Resposta pessoal.

5 Nos quadrados mágicos abaixo, o produto dos três números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal é sempre o mesmo. Reproduza os quadrados mágicos no caderno e use a calculadora para descobrir os números que faltam.

(FATEC-SP) Considere verdadeira a seguinte afirmação.

Todos os irmãos de Pedro estudam na Fatec.

Assim sendo, pode-se concluir corretamente que Alternativa e

a) se Marcelo estuda na Fatec, então ele é irmão de Pedro.

b) se Társio é irmão de Pedro, então ele não estuda na Fatec.

c) se Júlio não estuda na Fatec, então ele é irmão de Pedro.

d) se Sérgio não é irmão de Pedro, então ele não estuda na Fatec.

e) se Roberto não estuda na Fatec, então ele não é irmão de Pedro.

Utilize o mesmo procedimento para chegar aos resultados indicados nos itens b e c

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 2 Resolução do Lógico, é lógica!

Vamos analisar cada uma das alternativas, comparando-as com a afirmação inicial “Todos os irmãos de Pedro estudam na Fatec”.

a) Falsa. Nem todos os estudantes da Fatec são irmãos de Pedro.

b) Falsa. Se Társio é irmão de Pedro, então ele estuda na Fatec.

c) Falsa. Se Júlio não estuda na Fatec, então ele não é irmão de Pedro.

d) Falsa. Nem todos os estudantes da Fatec são irmãos de Pedro.

e) Verdadeira. Se todos os irmãos de Pedro estudam na Fatec e Roberto não estuda na Fatec, então ele não é irmão de Pedro.

Consumo e consumismo

No consumo, o ato de compra está ligado à necessidade, ou seja, adquirir itens indispensáveis à vida ao bem-estar. Faz-se necessário, então, que o consumidor procure avaliar a sua real necessidade de adquirir produtos e serviços.

O consumismo vai em sentido contrário, porque está relacionado à aquisição de produtos supérfluos; ou seja, o consumidor não tem real necessidade daquilo, e geralmente compra por impulso.

O pensar consciente a respeito do consumo deve levar as pessoas a avaliar antecipadamente a real necessidade da compra: “Eu realmente necessito?” ou “Eu quero?”.

Identificar o limite entre o consumo e o consumismo é uma grande dificuldade. Temos necessidades básicas e necessidades supérfluas.

Vários problemas relacionados ao crescente endividamento decorrem do consumo desenfreado, e o meio ambiente também vem sofrendo as consequências do consumismo.

Fonte: PARAÍBA. Autarquia de Proteção e Defesa do Consumidor do Estado da Paraíba. Consumo x consumismo: você sabe a diferença, as motivações? João Pessoa: Procon, [20??]. Disponível em: https://procon.pb.gov.br/ noticias/consumo-x-consumismo-voce-sabe-a-diferenca-as-motivacoes. Acesso em: 26 jan. 2022.

Veja, no gráfico abaixo, a distribuição dos percentuais médios das despesas de consumo das famílias no Brasil entre os anos de 2017 e 2018.

Brasil: distribuição de despesa de consumo monetária e não monetária média mensal familiar, por tipos de despesa – 2017-2018

Orientações

Converse com os estudantes sobre atitudes que contribuem para um consumo consciente, responsável e sustentável, o que contribui para o desenvolvimento das competências gerais 6 e 10 e do Tema Contemporâneo Transversal: Educação para o Consumo

Para a atividade 1 proponha a leitura dos textos produzidos em voz alta, de modo que toda a turma possa acompanhar. Fique atento à interpretação dos dados apresentados no gráfico. Nas atividades 2 e 3, discuta com os estudantes todos os itens do gráfico e peça que identifiquem quais despesas estão relacionadas ao consumo.

Amplie a atividade propondo um debate a respeito do que a turma pensa sobre a diferença entre consumo e consumismo e anote as respostas na lousa para compará-las.

Higiene e cuidados pessoais

Assistência e saúde Educação

Despesas diversas Alimentação

Serviços pessoais Fumo Vestuário Recreação e cultura

Fonte: IBGE. Pesquisa de Orçamentos Familiares 2017-2018: primeiros resultados. Rio de Janeiro: IBGE, 2019. p. 44. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101670.pdf. Acesso em: 25 abr. 2022.

Respostas pessoais.

1 Em grupo, façam um texto com as conclusões a respeito das informações do gráfico.

2 Na opinião do grupo, em quais itens relacionados no gráfico o consumismo está presente?

3 Por meio de uma pesquisa, busquem informações e citem exemplos de atitudes que podem tornar as pessoas mais conscientes em relação às suas necessidades de consumo.

Pessoas fazendo compras.

Objetivos do capítulo

• Entender os conceitos envolvendo expressões numéricas.

• Resolver expressões numéricas com números naturais envolvendo as quatro operações.

Foco na BNCC

Principais habilidades e competências desenvolvidas no capítulo.

Competências gerais 2, 4 e 5 Competências específicas

2 e 5

Habilidades EF06MA03 e EF06MA14

Orientações

Convide os estudantes a observar as figuras de balanças apresentadas em Para começar. Verifique se eles compreendem o significado de a balança de dois pratos estar em equilíbrio e, se necessário, comente que isso indica que a massa colocada nos dois pratos é a mesma. Depois, peça que expliquem o que ocorreu em cada caso.

Você pode mostrar um exemplo aplicado à matemática financeira: Beatriz foi a cantina e comprou um sanduíche natural que custou R$ 5,00 e um suco de laranja que custou R$ 6,50. Se Beatriz pagou com uma cédula de R$ 10,00 e uma de R$ 5,00, qual expressão numérica representa a quantia que Beatriz receberá de troco?

10,00 + 5,00 - (5,00 + 6,50)

Resolução de Para começar Espera-se que percebam que na primeira balança, acrescentando-se 2 kg no prato da esquerda, foi preciso acrescentar 2 kg (duas massas de 1 kg cada uma) no prato da direita para a balança continuar em equilíbrio. Na segunda balança, acrescentando-se 5 kg no prato da esquerda, foi preciso acrescentar 5 kg (duas massas de 2 kg e uma de 1 kg) no prato da direita.

Ao apresentar o conteúdo do tópico “Expressões numéricas com adição e subtração”, observe se os estudantes compreenderam o conceito de expressão. Esse entendimento é muito importante quando tiverem que lidar com situações mais complexas.

Expressões numéricas

Observe as imagens de duas balanças em equilíbrio antes e depois de serem colocadas algumas massas, em kg, em seus pratos.

Antes

Depois

Como você explicaria o fato de as balanças permaneceram em equilíbrio após as massas serem colocadas nos pratos. Resposta pessoal.

Expressões numéricas com adição e subtração

Leia a situação a seguir.

Um ônibus intermunicipal partiu da rodoviária com 30 passageiros.

Na primeira parada, desceram 6 passageiros e subiram 14.

Quantos passageiros ficaram no ônibus após a segunda parada?

Na segunda parada, desceram 10 passageiros e subiram 5.

Para representar o número de passageiros do ônibus após a primeira parada, escrevemos: 30 - 6 + 14

Para representar o número de passageiros do ônibus após a segunda parada, escrevemos: 30 - 6 + 14 - 10 + 5

Quando escrevemos dois ou mais números, relacionando-os por sinais de operações matemáticas, temos uma expressão numérica

Ilustrações:

André Martins

Como a expressão possui apenas operações de soma e subtração, para obter o número que a expressão representa, devemos efetuar as operações da esquerda para a direita, na ordem em que aparecerem.

30 - 6 + 14 - 10 + 5 =

= 24 + 14 - 10 + 5 =

= 38 - 10 + 5 =

= 28 + 5 = 33

O resultado final das operações é denominado valor da expressão numérica. Portanto, 33 passageiros ficaram no ônibus após a segunda parada.

Suponha que o ônibus tivesse partido da rodoviária com 50 passageiros e, na primeira e na segunda paradas, tivessem descido e subido o mesmo número de passageiros. Quantos passageiros permaneceriam no ônibus após a segunda parada? 50 passageiros

Explique como você chegou a essa conclusão. Resposta pessoal.

Expressões numéricas com as quatro operações básicas

Em uma expressão numérica, resolvemos, sucessivamente:

1o as multiplicações e as divisões, na ordem em que aparecem, da esquerda para a direita;

2o as adições e subtrações, também na ordem em que aparecem, da esquerda para a direita.

Exemplo:

5 3 - 16 : 2 + 9 =

= 15 - 8 + 9 =

= 7 + 9 = 16

Se houver operações entre parênteses, elas devem ser resolvidas primeiro, seguindo a ordem das operações indicada acima.

Veja como podemos calcular valor da expressão numérica 147 - (78 + 15) + 25.

Primeiro resolvemos a adição indicada entre parênteses e, depois, as demais operações de adição e subtração, da esquerda para a direita.

147 - (78 + 15) + 25 =

= 147 - 93 + 25 =

= 54 + 25 = 79

Orientações

Resolução de Pense e responda Há várias possibilidades de resposta. Exemplo:

50 - 8 + 8 - 12 + 12 =

= 42 + 8 - 12 + 12 =

= 50 - 12 + 12 =

= 38 + 12 = 50

Espera-se que os estudantes identifiquem que se entrou e saiu a mesma quantidade de pessoas, o número de passageiros será 50, ou seja, o mesmo número inicial. Em seguida, encaminhe a leitura do tópico “Expressões numéricas com as quatro operações básicas” e explore os exemplos na lousa. Se julgar necessário, apresente outras expressões numéricas que envolvam as quatro operações estudadas.

Orientações

Em Atividades, o objetivo é a aplicação e a ampliação do estudo das expressões numéricas envolvendo as quatro operações com números naturais. Favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA03

Observe quais são as possíveis dificuldades que os estudantes enfrentam ao resolver as atividades 1. Alguns podem ainda ter dificuldades com cálculos aritméticos, outros com o uso dos parênteses, se necessário, retome a ordem de resolução das operações e dos sinais de associação.

Resolução da atividade 2

7 235 - 2 348 + 1 626 = 6 531

Resolução da atividade 3

c) 1 000 - 462 - 341 - 59 = 138

Verifique se os estudantes observaram a quantidade total de clientes que participaram da pesquisa e compreenderam o enunciado e a leitura dos dados na tabela. Você pode pedir que os estudantes, em duplas, confiram as respostas e corrijam juntos possíveis enganos.

A atividade 4 exige observação e raciocínio. Como a terceira coluna está completa, podemos determinar a soma comum, denominada soma mágica.

Resolução da atividade 4

45 + 150 + 75 = 270.

Na 2a linha temos:

270 - 30 - 150 = 90

Usando as diagonais, temos:

• 270 - 75 - 90 = 105

• 270 - 45 - 90 = 135

Na 1a linha temos:

270 - 105 - 45 = 120

E finalmente, na 2a coluna, obtemos:

270 - 120 - 90 = 60

Resolução da atividade 5

Independentemente de qual seja o número escolhido, a sequência de operações sempre resultará em 6.

[( . 8 + 24) : 4] - 2 .

8 . : 4 + 24 : 4 - 2 . =

= 2 + 6 - 2 = 6

Atividades

1 Calcule o valor das expressões numéricas.

a) 21 + 7 - 13 + 8 - 2

b) 14 - 5 + 3 - 7 - 1

c) (58 + 13) - (23 - 5)

d) 7 5 - 4 6 - 3 . 2

e) 35 - 7 3 + 9 6 + 4

f) 2 + 14 2 - 5 6

2 Certo dia, uma agência dos Correios tinha 7 253 cartas para entregar. Dessas cartas, já haviam sido entregues 2 348, quando chegaram outras 1 626. Quantas cartas faltam entregar nesse momento? 6 531

3 Uma nova marca de café orgânico foi avaliada por 1 000 clientes de um supermercado. A tabela mostra o resultado obtido:

Avaliação do café orgânico

Avaliação Número de pessoas

Muito bom 462

Bom 341

Regular

Ruim 59

Fonte: Equipe do supermercado.

a) Qual é o título dessa tabela? Qual é a fonte?

Avaliação do café orgânico; equipe do supermercado.

b) Escreva uma expressão numérica que represente o cálculo do número de pessoas que avaliaram o café orgânico como “Regular”.

1 000 - 462 - 341 - 59

c) Quantas pessoas responderam que o café é “Regular”?

4 Em um quadrado mágico, a soma dos números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal deve ser sempre a mesma. ??45 30?150

Reproduza esse quadrado mágico no caderno e complete-o com os números que estão faltando.

5 Escolha três números naturais e efetue, com cada número, as operações determinadas abaixo.

• Multiplique-o por 8.

• Ao resultado, adicione 24.

• Divida o resultado anterior por 4.

• Desse último resultado, subtraia o dobro do número que você escolheu.

a) Que resultado final você obteve em cada caso? O resultado final será sempre 6.

b) O que você pode observar?

Que o resultado se mantém o mesmo, independentemente do número natural escolhido.

6 Em uma expressão numérica apenas com adições, para facilitar os cálculos, podemos associar as parcelas de modo adequado. Veja como calcular o valor da expressão 500 + 87 + 40 + 253:

500 + 87 + 40 + 253 =

= 500 + 40 + 87 + 253 =

= (500 + 40) + (87 + 253) =

= 540 + 340 =

= 880

Aplicamos a propriedade comutativa da adição. Aplicamos a propriedade associativa da adição.

Calcule o valor das expressões numéricas associando as parcelas para facilitar os cálculos.

a) 31 + 17 + 29 + 33

b) 4 + 14 + 25 + 16 + 45 + 36

c) 27 + 11 + 35 + 109 + 203 + 15 400

d) 11 + 48 + 24 + 12 + 19 + 16 130

7 Escolha três números naturais e efetue, com cada um, as operações determinadas abaixo.

• Multiplique-o por 4.

• Ao resultado, adicione 14.

• Divida o resultado anterior por 2.

• Desse último resultado, subtraia o dobro do número que você escolheu.

a) Que resultado final você obteve em cada caso? O resultado final será sempre 7.

b) O que você pode observar?

8 Se adicionarmos 7 a determinado número e dividirmos o resultado por 11, multiplicando o que obtivemos por 8 e subtraindo 10 do resultado, vamos obter 6. Qual é esse número? Explique a sua estratégia.

9 Como cidadãos, possuímos vários documentos que nos identificam de forma única dentro da sociedade e nos possibilitam exercer nossos direitos e deveres.

O Cadastro de Pessoa Física (CPF) é um desses documentos, emitido pela Receita Federal. Uma vez que você faça seu CPF, esse número será seu para sempre, ou seja, nenhuma outra pessoa terá um documento com esse mesmo número.

O CPF é um código constituído de 11 dígitos: 9 dígitos como base mais 2 dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são os dois últimos algarismos que formam o número do CPF. Eles não são aleatórios, mas sim calculados a partir de um algoritmo que envolve uma sequência de operações simples utilizando os 9 primeiros dígitos. Um CPF cujos dígitos verificadores não sejam resultado desse algoritmo é inválido.

a) Pesquise como funciona o algoritmo para a validação dos dois dígitos verificadores do CPF e anote as informações que encontrou. Resposta no Manual do Professor.

b) Sintetize por escrito o algoritmo que você pesquisou. Resposta pessoal.

c) Confira a validade dos dígitos verificadores do seu CPF. Caso ainda não tenha, converse com seu responsável sobre a importância de ter esse documento. Resposta pessoal.

Orientações

As atividades dessa página contemplam a habilidade EF06MA03 e favorecem o desenvolvimento da competência geral 2 e da competência específica 2

Resolução da atividade 6

a) (31 + 29) + (17 + 33) = 60 + 50 = 110

b) (4 + 36) + (14 + 16) + (25 + 45) = 40 + 30 + 70 = 140

c) (27 + 203) + (11 + 109) + (35 + 15) = 280 + 120 + + 50 = 450

d) (11 + 19) + (24 + 16) + (48 + 12) = 30 + 40 + 60 = 130

Resolução da atividade atividade 7 [( 4 + 14) : 2] - 2 o resultado será sempre = 7. Particularmente na atividade 8, a troca de ideias pode enriquecer muito o aprendizado, proporcionando que os estudantes percebam a variedade de possibilidades que pode existir na resolução de alguns problemas.

Resolução da atividade 9 Tomemos como exemplo o CPF de número 555.444.333-XX.

Passo I: Para calcular o primeiro dígito verificador, vamos separar os nove primeiros dígitos do CPF usado em nosso exemplo (555.444.333) e multiplicar cada um dos números, da direita para esquerda, por uma sequência de números crescente que inicia por 2. 3 2 = 6; 3 3 = 9; 3 4 = 12; 4 5 = 20; 4 6 = 24; 4 7 = 28; 5 . 8 = 40; 5 . 9 = 45; 5 . 10 = 50

Passo II: Somar os resultados de cada multiplicação:

6 + 9 + 12 + 20 + 24 + 28 + + 40 + 45 + 50

Passo III: Dividir o resultado, 234, por 11(quantidade de algarismos do CPF). Consideramos como quociente apenas o valor inteiro. 234 : 11 = 21 e resto 3

Fazer a seguinte a análise: Se o resto da divisão for menor que 2, então o dígito é igual a 0 (zero). Se o resto da divisão for maior ou igual a 2, então o dígito verificador é igual à diferença entre 11 e o resto da divisão.

Passo IV: Como o resto encontrado foi 3 e esse número é maior que 2, fazer 11 - 3 = 8.

Assim, 8 é o primeiro dígito verificador.

Para calcular o segundo dígito verificador, vamos considerar o primeiro dígito que foi encontrado e repetir o passo 1, iniciando por 5 11

Passo II: Somar os resultados de cada multiplicação: 55 + 50 + 45 + + 32 + 28 + 24 + 15 + 12 + 9 + + 6 = 276.

Passo III: Dividir 276 por 11 276 : 11 = 25 com resto 1. Como o resto é menor que 2, então o segundo dígito verificador é 0.

Assim, o CPF é 555.444.333-30 Conversem sobre a importância da documentação para o exercício da cidadania.

Hoje em dia, os novos CPFs são emitidos em formato digital.

Que o resultado se mantém o mesmo, independentemente do número natural escolhido.

15; resposta pessoal

Orientações

Esse tópico favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA14

Se necessário, retome a ideia do equilíbrio da balança de dois pratos.

Resolução do Pense e responda

Temos a igualdade:

2 034 - 534 = 500 +

Para que ela seja verdadeira, o

1 o membro deve ser igual ao

2o membro, ou seja:

• 1o membro:

2 034 - 534 = 1 500

• 2o membro: 500 +

Então, devemos ter: 500 + = 1 500

1 500 = 100 + = 1 000

Para resolver a questão, converse com os estudantes sobre sentenças matemáticas expressas por uma igualdade e como podemos verificar que uma igualdade é verdadeira. Espera-se que percebam que o valor indicado no 1? membro da igualdade deve ser o mesmo do indicado no 2? membro.

Igualdade

Expressões matemáticas separadas por um sinal de igual são chamadas de igualdade. Cada uma dessas expressões é um membro da igualdade. Observe:

3 + 9 = 5 + 7

2o membro 1o membro

Que número deve representar o símbolo para que a igualdade

2 034 - 534 = 500 + esteja correta? 1 000

Veja o que acontece ao efetuar uma mesma operação em ambos os membros da igualdade: 3 + 9 = 5 + 7

• Adicionando 4 a cada um dos membros dessa igualdade, obtemos uma nova igualdade equivalente a ela. 3 + 9 + 4 = 5 + 7 + 4 6 16 = 16

• Subtraindo 8 de cada um dos membros dessa igualdade, obtemos uma nova igualdade equivalente a ela. 3 + 9 - 8 = 5 + 7 - 8 6 4 = 4

• Multiplicando por 2 cada membro dessa igualdade, obtemos uma nova igualdade equivalente a ela. 2 (3 + 9) = 2 (5 + 7) 6 2 12 = 2 12 6 24 = 24

• Dividindo por 3 cada membro dessa igualdade, obtemos uma nova igualdade equivalente a ela. (3 + 9) : 3 = (5 + 7) : 3 6 12 : 3 = 12 : 3 6 4 = 4

De maneira geral, temos as seguintes propriedades das igualdades:

• Se uma mesma quantidade for adicionada, ou subtraída, de ambos os membros de uma igualdade, a nova igualdade será equivalente à igualdade inicial.

• Multiplicando, ou dividindo, ambos os membros de uma igualdade por uma mesma quantidade, diferente de zero, obtém-se uma nova igualdade equivalente à igualdade inicial.

Veja como podemos determinar o valor de na igualdade 2 + 16 = 125 + 90 : 3 - 55.

Primeiro reduzimos a expressão numérica do 2o membro da igualdade.

2 + 16 = 125 + 90 : 3 - 55

2 + 13 = 125 + 30 - 55

2 + 16 = 155 - 55

2 . + 16 = 100

Em seguida, utilizamos a primeira propriedade das igualdades:

2 + 16 - 16 = 100 - 16

2 + 0 = 84

2 = 84 é o mesmo que 2 = 84

Para finalizar, usamos a segunda propriedade das igualdades:

. 2 : 2 = 84 : 2 . 1 = 42 = 42

Atividades

1 Qual número deve ser substituído pelo símbolo da para que a igualdade seja verdadeira?

a) + 5 = 8 b) 7 - = 2 c) 7 = 21 d) 20 : = 4

2 Qual igualdade é verdadeira?

a) 20 + 3 = 18 + 5

3 Considere a adição 345 + 168 = 513. A partir dessa operação, calcule mentalmente:

a) 445 + 168;

b) 340 + 168;

c) 305 + 108;

d) 45 + 68;

e) 545 + 368;

f) 347 + 170. 517

4 Analise a multiplicação 86 40 = 3 440. A partir dela, calcule mentalmente:

a) 86 80;

b) 86 20;

c) 86 4;

d) 43 20;

e) 3 440 : 40;

f) 86 400.

5 Na pirâmide a seguir, cada número é obtido adicionando os dois números imediatamente abaixo dele e dividindo o resultado por 2. Reproduza a pirâmide no caderno e calcule os números que faltam.

2o membro: 15 - (6 - 2) = 15 - 4 = 11.

Como 7 q 11, a igualdade é falsa.

c) 20 : 4 = 10 8 6 5 = 80 (falsa).

Resolução da atividade 3

a) Acrescentando 100 ao 345, devemos acrescentar 100 a 513.

Logo: 445 + 168 = 613

b) Subtraindo 5 de 345 devemos subtrair 5 de 513.

Logo: 340 + 168 = 508

c) Subtraindo 40 de 345 e 60 de 168, devemos subtrair 100 de 513.

Logo: 305 + 108 = 413

d) Subtraindo 300 de 345 e 100 de 168, devemos subtrair 400 (300 + + 100) de 513.

Logo: 45 + 68 = 113

e) Adicionando 200 a 345 e 200 a 168, devemos adicionar 400 a 513.

Logo: 545 + 368 = 913

f) Adicionando 2 a 345 e 2 a 168, devemos adicionar 4 a 513. Logo: 347 + 170 = 517

Resolução da atividade 4

a) Multiplicando 40 por 2, o resultado deve ser multiplicado por 2.

Logo: 86 80 = 6 880

6 Nos esquemas a seguir, o número central é obtido subtraindo o produto dos números que estão na horizontal do produto dos que estão na vertical. Reproduza os esquemas no caderno e, com base nessa informação, descubra o número central de cada um.

b) Dividindo 40 por 2, o resultado desse ser dividido por 2. Logo: 86 20 = 1 720

c) Dividindo 40 por 10, o resultado deve ser dividido por 10.

Logo: 86 . 4 = 344

d) Dividindo 86 por 2 e 40 por 2, o resultado deve ser dividido por 4 (2 2).

Logo: 43 20 = 860

e) Usando a operação inversa, temos:

7 (OMMR-PR) João deseja trocar os símbolos na expressão aritmética ao lado por números de 0 a 9, todos distintos. Qual o maior valor possível que ele pode obter?

Resposta no Manual do Professor.

8 Elabore duas expressões numéricas que tenham o mesmo valor. Apague um dos números em uma delas e monte uma igualdade entre essas duas expressões. Em seguida, apresente a igualdade a um colega para que ele descubra qual é o número que está faltando.

Orientações

As atividades dessa página o desenvolvimento das habilidades EF06MA03 e EF06MA14

d) Usando as características da divisão:

: = 4 6 20 : 4 = 6 = 5.

=

(verdadeira).

86 . 40 = 3 440 6 3 440 : 40 = = 86

f) Multiplicando 40 por 10, o resultado deve ser multiplicado por 10.

Logo: 86 400 = 34 400

Resolução da atividade 5

= 5

(12 + 6) : 2 = 18 : 2 = 9

Resolução da atividade 6

a) 4 . 8 -

.

= 32 - 6 = 26

b) 8 . 6 - 7 . 5 = 48 - 35 = 13

c) 6 5 - 2 9 = 30 - 18 = 12

Na atividade 7, o maior valor possível é obtido com a seguinte expressão:

[(8 + 7 - 0) 9] : 1 = 135

Para a atividade 8, verifique se os estudantes compreenderam que as duas expressões deve ter o mesmo valor, como no exemplo: 15 + 2 . 3 e 40 : 5 + 5 + 2 . 4.

Orientações

O conteúdo de MatemaTic favorece as competências gerais 2 e 5, as competências específicas 2 e 5 e a habilidade EF06MA03

Para esta aula, é necessário que os estudantes usem calculadora. Se não houver quantidade suficiente, sugira que façam as atividades em duplas ou em pequenos grupos.

A atividade 1 proporciona uma boa oportunidade para verificar como os estudantes utilizam a calculadora e suprir eventuais lacunas que ainda persistam.

Na atividade 2, que permite uma variedade de várias possibilidades, incentive os estudantes a compartilharem com os colegas as operações que efetuaram para chegar ao resultado.

Na atividade 3, certifique-se de que as calculadoras usadas pelos estudantes aceitam esse procedimento, já que algumas calculadoras não fazem os cálculos como os do exemplo.

A realização da atividade 4 exige que o estudante tenha memorizado vários resultados de multiplicações e, principalmente, que consiga raciocinar de modo a obter alguns valores a partir da combinação de outros.

Para reforçar a aprendizagem, após a realização da atividade, sugira aos estudantes que trabalhem outros valores.

Utilizando a calculadora

1 Para efetuar 127 + 266 e 95 . 143 utilizando a calculadora, pode-se proceder assim:

393 13 585

Portanto, 127 + 266 = 393 e 95 143 = 13 585. Efetue cada operação abaixo usando uma calculadora.

a) 425 + 849

b) 2 378 + 1 650

c) 7 201 - 4 685

d) 15 985 - 11 696

e) 79 268

f) 104 . 725

2 Efetue as operações a seguir sem usar a tecla 8.

a) 78 + 27

b) 582 - 145

g) 2 516 : 68

h) 24 932 : 271

i) 1 000 : 100 10

c) 87 - 48 96 - 57 = 39

d) 98 35 97 . 35 + 35 = 3 430

3 Há calculadoras que repetem a última operação feita quando apertamos a tecla = seguidamente. Observe:

Ou seja, 5 5 5 = 125. Cada vez que acionamos a tecla = , a calculadora multiplica por 5 o número que está no visor.

a) Digite na calculadora o número 3 e aperte a tecla * . Quantas vezes você deve apertar a tecla = para aparecer o número 81 no visor?

b) Digite na calculadora o número 1 296 e aperte as teclas / e 6. Quantas vezes você deve apertar a tecla = para aparecer o número 1 no visor?

c) Usando esses procedimentos, obtenha os próximos três números das sequências a seguir.

• 3, 9, 27, ...

• 729, 243, 81, ...

• 8, 64, 512, ...

4 Efetue as multiplicações a seguir.

a) 64 5 sem usar a tecla 5

b) 187 9 sem usar

• 25 000, 5 000, 1 000, ...

• 11, 121, 1 331, ...

• 6, 36, 216,

1 (CMJF-MG) A Copa do Mundo é um grande evento do futebol mundial que ocorre a cada 4 anos. A primeira Copa do Mundo que o Brasil conquistou foi em 1958, na Suécia. Em 2002 o país foi pentacampeão na Copa do Japão e da Coreia do Sul. Na figura abaixo, temos uma linha do tempo onde cada marcação representa um ano de Copa. A letra que corresponde ao ano que o Brasil foi pentacampeão é:

1962 xyzw

a) x

b) y

c) z

d) w

3 (OMERJ) Com os algarismos 1, 2, 3 e 4, escrevi todos os números possíveis de quatro algarismos distintos. Depois coloquei os números obtidos em ordem crescente. Qual número ficou na 18a posição?

3 421

No quadro a seguir estão, em ordem crescente, os números.

2 O sistema de numeração romano é utilizado na indicação de capítulos e volumes de livros, na designação de séculos e, em ordem cronológica, de papas e reis de mesmo nome. São utilizadas sete letras do alfabeto:

Quatro fundamentais: I (vale 1); X (vale 10); C (vale 100) e M (vale 1 000).

Três secundárias: V (vale 5); L (vale 50) e D (vale 500).

As regras para escrever números romanos são:

1. Não existe símbolo correspondente ao zero.

2. Os símbolos fundamentais podem ser repetidos até três vezes e seus valores são adicionados. Exemplo: XXX = 30.

3. Uma letra posta à esquerda de outra de maior valor indica subtração dos respectivos valores. Exemplo: IX = 10 - 1 = 9.

4. Uma letra posta à direita de outra de maior valor indica adição dos respectivos valores. Exemplo: XI = 10 + 1 = 11.

Em uma cidade europeia há uma placa indicando o ano da sua fundação: MCDLXIX.

Quantos anos de fundação essa cidade comemorará em 2050?

a) 379

b) 381

c) 579

d) 581

e) 601

Orientações

Alternativa c Alternativa d

4 Quantos números naturais distintos entre 400 e 900 podemos formar, de maneira que o primeiro algarismo seja igual à soma dos outros dois?

a) 36

Alternativa b

b) 32 c) 24 d) 16 e) 12

5 (CMBel-PA) Os símbolos , , representam 3 algarismos. A professora de Matemática lançou o seguinte desafio:

O número desconhecido 1 multiplicado por 3 tem como resultado o número 4

O valor da soma dos símbolos + +

é:

a) 12

Logo,

b) 10 c) 14 d) 20 e) 15

6 (OMRP-SP) Os habitantes da Matematilândia só comemoram a existência do seu país em certos anos especiais. Os primeiros anos em que houve esta comemoração foram 1, 10, 11, 110, 111, 1110, 1111. Em que ano realizarão a próxima comemoração?

Alternativa c Alternativa d

a) 10000

b) 10101

c) 11111

7 (OMDF) Havia 10 pedaços de papel sobre a mesa. Bob cortou alguns deles em 4 partes, após o que ficaram 28 pedaços de papel sobre a mesa. Quantos pedaços de papel Bob cortou?

Essa seção contempla testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1

Indique aos estudantes que a representação dos anos na reta indica uma sequência. Nesse caso, cada risquinho corresponde a 4 anos.

a) 3

Alternativa d

b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

1

Alternativa

b Resolução da atividade 5 Do enunciado, temos: 1 * 3 4

Se o algarismo da unidade do produto é 4, então = 8, já que é o único número que multiplicado por 3 tem produto com o algarismo da unidade igual a 4. Assim:

3 . + 2 = 8 4 = 2

Se 3 . é igual a um número com o algarismo 2 como unidade, então = 4

Portanto, + + = = 4 + 2 + 8 = 14

Alternativa c Resolução da atividade 6 Multiplica-se por 10, acrescenta-se 1.

111, 1 110,1 111, ?

+

+

1

10

Logo, o próximo termo é dado por 1 111 . 10 =11 110.

+

4

4

10) + + (10 - 1) M CD LX IX 1 2341 2431 3241 3421 4231 432 2 1342 1432 3142 3412 4132 431 3 1243 1423 2143 2413 4123 421 4 1234 1324 2134 2314 3124 321

Ilustrações: 1 000 + 400 + 60 + 9 = 1 469.

Logo: 2050 - 1469 = 581

Alternativa d Resolução da atividade 3

Orientações

Verifique se os estudantes têm dúvidas na resolução das atividades da página e quais estratégias estão adotando para obter os resultados. Se necessário, retome os conceitos trabalhados nos capítulos.

Resolução da atividade 8

Temos o seguinte esquema de correspondência:

QUEROQUERO + 162041714

FATECFATEC = 501942

VUXVQ2120232116

Resolução da atividade 9

O aquário cheio pesa 5 quilos.

Água + aquário = 5

Com metade de água, o aquário pesa 3 quilos. Logo, a metade da água que saiu pesa 2 quilos. Daí, concluímos que a água toda pesa 4 quilos, logo, o peso do aquário é igual a 1 quilo.

Alternativa a.

Resolução da atividade 10

Sabendo que ele gasta 20 s para um filme, temos:

Em 72 filmes gastará:

72 20 = 1 440 4 1 440 s

Em 96 filmes gastará:

96 20 = 1 920 4 1 920 s

Como 1 min = 60 s, o tempo gasto em minutos será:

1 440 : 60 = 24 4 24 min e

1 920 : 60 = 32 4 32 min

Alternativa b

8 (FATEC) Criptografia pode ser descrita como um conjunto de técnicas desenvolvidas com o objetivo de proteger a informação de modo que apenas algumas pessoas, que possuem uma “chave”, possam obter acesso aos dados. Considere que uma empresa decida codificar seus dados numéricos valendo-se de um sistema de criptografia baseado em um sistema de numeração posicional de base 26, similar ao posicional de base 10, no qual cada letra do alfabeto passa a corresponder a um número.

Alternativa a

Assim, qualquer informação numérica é traduzida como “palavras”. Com elas, é possível realizar operações de modo semelhante ao que se faz no sistema posicional de base 10. No exemplo DIA + SOL, temos:

DIADIA + 380

SOLSOL = 181411

VWL212211

Assinale a alternativa que apresenta, nesse sistema, o valor correto da soma QUERO + FATEC.

Alternativa a

a) VUXVQ

b) VUVYQ c) VVXVR d) UVYZR e) UVYZQ

9 (OLIMPÍADA TUBARÃO DE MATEMÁTICA) Seu Barbatana verificou que seu aquário, quando está cheio de água pesa 5 quilos, além disso, quando ele está pela metade de água pesa 3 quilos. Qual é o peso do aquário em quilos? Alternativa a

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

10 (UFPE) Carlos está consultando um catálogo de filmes em um serviço de streaming. Ele gasta 20 segundos para selecionar, ler a sinopse e sair de um filme. A quantidade de filmes nesse catálogo está entre 72 e 96 filmes. O tempo gasto por Carlos para ler todas as sinopses desse catálogo está entre

Alternativa b

a) 15 e 18 minutos.

b) 24 e 32 minutos.

c) 25 e 35 minutos.

d) 30 e 38 minutos.

e) 40 e 52 minutos.

CALCULADORA

Orientações

11 (CM-RJ) O primeiro trabalho do editor-escritor Stan Lee foi o grupo de super-heróis conhecido como O Quarteto Fantástico (novembro de 1961).

Disponível em: https://super.abril.com.br/comportamento/a-cronologia-dos-super-herois. Acesso em: 21 ago. 2018 (adaptado).

Quarteto é uma palavra que designa 4 objetos ou pessoas, formando um grupo. Qual das sentenças a seguir tem valor igual a 4?

Alternativa e

a) 23 * 32 - 92 * 8 =

b) 13 * 21 + 7 - 68 * 4 =

c) 32 * 16 - 239 - 91 * 3 =

d) 100 + 201 + 302 - 66 * 9 =

e) 11 * 13 * 15 + 359 - 125 * 20 =

12 (OBMEP) Na rede de distribuição de água representada abaixo, a água passa pelos canos como indicado pelas setas e se distribui igualmente em cada ramificação.

Em uma hora passaram 200 mil litros de água pela saída X. Quantos litros de água passaram pela saída Y nessa mesma hora?

Alternativa c

a) 100 mil litros.

b) 130 mil litros.

c) 300 mil litros.

d) 450 mil litros.

e) 600 mil litros.

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Reconheço as principais características do sistema de numeração decimal e identifico semelhanças e diferenças com outros sistemas de numeração.

Comparo, ordeno, leio e escrevo números naturais.

Componho e decomponho números naturais.

Reconheço e construo algoritmos em linguagem natural e os represento por meio de fluxograma.

Efetuo adições e subtrações com números naturais por meio de estratégias diversas.

Efetuo multiplicações e divisões com números naturais por meio de estratégias diversas.

Resolvo expressões numéricas com números naturais envolvendo as quatro operações.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras.

Com base no retorno dessa autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Verifique se os estudantes têm dúvidas na resolução das atividades da página e quais estratégias estão adotando para obter os resultados. Se necessário, retome os conceitos trabalhados nos capítulos. Resolução da atividade 11

a) 23 32 - 92 8 = 736 - 736 = = 0

b) 13 . 21 + 7 - 68 . 4 = 273 + + 7 - 272 = 280 - 272 = 8

c) 32 . 16 - 239 - 91 . 3 = 512 + - 239 - 273 = 273 - 273 = 0

d) 100 + 201 + 302 - 66

Alternativa e Resolução da atividade 12 Temos o seguinte diagrama, em que a água é distribuída igualmente em cada ramificação:

Logo, a quantidade de água que passa pela saída Y nessa mesma hora é a metade de 600 mil litros, ou seja, 300 mil litros.

c

Colégio

Militar de Santa Maria/2018

André Martins

Principais objetivos da unidade

• Reconhecer as características dos divisores e múltiplos de um número natural.

• Estabelecer critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.

• Reconhecer as características de números primos e compostos no conjunto dos números naturais.

• Decompor números naturais em fatores primos.

• Resolver e elaborar problemas utilizando a partição de um todo em partes proporcionais.

• Resolver problemas e cálculos que envolvem potenciação.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA05, ao retomar a ideia de múltiplos e divisores de um número natural. Classificar os números naturais em primos e compostos para ampliar os processos de composição e decomposição de números naturais, investigar os critérios de divisibilidade e possibilitar a resolução e elaboração de problemas envolvendo as ideias de múltiplos e divisores contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA06

A divisão de um todo em partes proporcionais contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA15

O trabalho com potenciação envolvendo os números naturais será aprofundado em unidades posteriores, ao trabalhar com potências de números racionais positivos EF06MA11

O trabalho com aproximação dos números naturais para potência de 10 mais próxima contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA12

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• compreendam as quatro operações com úmeros naturais;

• componham e decomponham números naturais;

• identifiquem números pares e ímpares;

• compreendam a ideia de dobro, triplo e metade.

Avaliação diagnóstica

É importante observar o que os estudantes já dominam em relação aos pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos na unidade. Promova uma roda de conversa e, em seguida, elabore algumas atividades escritas para verificar se dominam os pré-requisitos para os conteúdos que serão abordados na unidade. Se necessário, retome-os para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

BNCC na Unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 2, 5, 8 e 9

Competências específicas 1, 2, 3, 5 e 8

Habilidades EF06MA03, EF06MA04, EF06MA05, F06MA06, EF06MA11, EF06MA12 e EF06MA15

Foco nos TCTs

• Educação Financeira

Museu do Amanhã. Centro do Rio de Janeiro (RJ), 2020.

Divisores, múltiplos e potenciação

O Museu do Amanhã é um museu de ciências aplicadas que explora as oportunidades e os desafios que a humanidade terá de enfrentar nas próximas décadas a partir das perspectivas da sustentabilidade e da convivência. Inaugurado em dezembro de 2015 pela Prefeitura do Rio de Janeiro, o Museu do Amanhã é um equipamento cultural da Secretaria Municipal de Cultura que opera sob a administração do Instituto de Desenvolvimento e Gestão (IDG).

Fonte: MUSEU DO AMANHÃ. Sobre o Museu. Rio de Janeiro: Museu do Amanhã, [2015]. Disponível em: https://museudoamanha.org.br/pt-br/sobre-o-museu. Acesso em: 26 abr. 2022.

1. Você já visitou um museu ou gostaria de visitar um? Comente a respeito. Respostas pessoais.

2. Com base no texto acima, o que você espera ser possível encontrar no Museu do Amanhã? Resposta pessoal.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• reconhecer as características de divisores e múltiplos dos números naturais;

• diferenciar um número primo de um composto;

• decompor números naturais em fatores primos;

• resolver problemas que envolvem potenciação.

Atividades complementares

• Faça com os estudantes a visita virtual ao Museu do Amanhã. Disponível em: https://museudoamanha.org.br/tour virtualpratodomundo/. Acesso em: 10 jun. 2022.

• Se houver possibilidade, organize uma visita a um museu na sua região.

• Você pode, também, propor uma atividade com os professores de Arte e Geografia, para tratar do Tema Contemporâneo Transversal: Diversidade Cultural, dividindo os estudantes em grupos e solicitando que cada grupo pesquise um museu que apresente diferentes caracte-

Orientações

Peça aos estudantes que observem a imagem da abertura da unidade. Ressalte que o Museu do Amanhã é um museu de Ciências diferente, pois não expõe artefatos do passado mas sim o que esperamos de um futuro próximo, as novas descobertas e os desafios a serem superados, assim como os problemas do presente.

Converse com os estudantes sobre a relação entre o Museu do Amanhã e a Matemática, por exemplo, os avanços tecnológicos: benefícios e consequências.

Essas atividades favorecem o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1

Na questão 1, incentive os estudantes a expor suas opiniões sobre visitas a museus, mesmo que nunca tenham feito isso.

Para a questão 2, espera-se que os estudantes citem aspectos relacionados às ciências aplicadas, humanidade, perspectivas de sustentabilidade e convivência.

rísticas culturais, como o Museu do Mamulengo, em Pernambuco; o Museu Quilombo dos Palmares, em Alagoas; o Museu do Aleijadinho, em Minas Gerais, entre outros.

Objetivos do capítulo

• Reconhecer as características dos divisores e múltiplos de um número natural.

• Estabelecer critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.

• Reconhecer as características de números primos e compostos no conjunto dos números naturais.

• Decompor números naturais em fatores primos.

• Resolver e elaborar problemas utilizando a partição de um todo em partes proporcionais.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 2, 5, 8 e 9

Competências específicas 1, 2, 3, 5 e 8

Habilidades EF06MA03, EF06MA04, EF06MA05, EF06MA06 e EF06MA15

Foco nos TCTs

• Educação Financeira

Orientações

Inicie o trabalho do capítulo com a atividade proposta em Para começar Peça aos estudantes que digam com quais quantidades é possível formar os grupos, a fim de garantir que eles entendam que são os números entre 5 e 20. Para descrever as maneiras de formar os grupos, eles devem verificar as possibilidades de organizar 54 pessoas em grupos com a mesma quantidade de elementos entre 5 e 20 componentes. Pergunte a eles: “Quais números desse intervalo servirão?”. Diga aos estudantes que, se desejarem, podem representar as distribuições por meio de desenhos ou símbolos para melhor visualização.

Antes de os estudantes verificarem a resolução da situação apresentada no tópico “Divisores de um número natural”, incentive-os a analisar a proposta. Simule com eles a situação. Proponha que se distribuam em grupos de 2, 3 e 5 estudantes e verifiquem o que acontece. Depois, peça que busquem uma forma de justificar o ocorrido. Espera-se que associem o número de grupos formados ao quociente da divisão, ou seja, da quantidade total de estudantes pela quantidade de estudantes em cada grupo (2, 3 e 5).

Divisores e múltiplos

e múltiplos

Em uma escola há 54 estudantes matriculados no 6? ano. Eles vão fazer uma visita ao Museu do Amanhã, na cidade do Rio de Janeiro (RJ). Lá, serão divididos em grupos com o mesmo número de estudantes, cada um com mais de 5 e menos de 20 estudantes. De quantas formas diferentes esses grupos poderão ser feitos? Explique como você pensou para responder. Resposta pessoal.

Divisores de um número natural

Acompanhe a situação a seguir. O professor de Educação Física sempre organiza seus 42 estudantes em grupos de 2 ou 3 componentes. Ele sabe que não pode formar grupos de 5, pois sobrariam 2 estudantes.

Veja:

Quando o professor divide a turma em grupos de 2 estudantes, são formados 21 grupos: 422 0221 0

Quando o professor divide a turma em grupos de 3 estudantes, são formados 14 grupos: 423 1214 0

Como o professor dividiu a turma em grupos de 5 estudantes, obteve 8 grupos, mas sobraram 2 estudantes.

425 28

O resto dessa divisão é igual a 2, isto é, a divisão não é exata

Essa atividade contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA06, da competência geral 2 e da competência específica 2

Nesses dois casos, o resto é zero, isto é, a divisão é exata

Sem sobra de estudantes, o professor poderá formar os seguintes grupos:

• 42 : 1 = 42, pois 1 . 42 = 42

1 grupo com 42 estudantes

• 42 : 2 = 21, pois 2 . 21 = 42

2 grupos com 21 estudantes

• 42 : 3 = 14, pois 3 . 14 = 42

3 grupos com 14 estudantes

• 42 : 6 = 7, pois 6 7 = 42

• 42 : 7 = 6, pois 7 . 6 = 42 7 grupos com 6 estudantes

• 42 : 14 = 3, pois 14 . 3 = 42 14 grupos com 3 estudantes

• 42 : 21 = 2, pois 21 . 2 = 42 21 grupos com 2 estudantes

Orientações

Ainda usando a ideia da divisão da turma em grupos, podemos mostrar que, quando queremos dividir um número de pessoas (ou de objetos) em grupos de certa quantidade fixa de elementos (sem que haja sobra), isso só será possível se o resto da divisão for zero.

• 42 : 42 = 1, pois 42 1 = 42 42 grupos com 1 estudante Como todas essas divisões são exatas, os números naturais

6 grupos com 7 estudantes

21 e 42 são todos os divisores ou fatores de 42, pois:

42 = 1 42 = 2 21 = 3 14 = 6 7

Os divisores de um número natural podem ser expressos como um conjunto. Veja como podemos indicar o conjunto dos divisores de 12 como D(12) (Lê-se conjunto dos divisores de 12):

D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

Esse conjunto tem um número determinado de elementos. Por isso, dizemos que é um conjunto finito

Pense e responda

Quais são os divisores de 24? D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Múltiplos de um número natural

Vamos multiplicar 42 pelos números naturais a seguir.

42 . 0 = 0 42

A sequência de números 0, 42, 84, 126, 168, 210, 252, 294, ... representa os múltiplos de 42. Ela contém infinitos números, já que não há um número natural que seja maior que todos os outros.

Os múltiplos de 42 são obtidos adicionando-se sempre 42 a partir do zero. Em outras palavras, múltiplo de 42 é todo número obtido pela multiplicação de 42 por um número natural. Por exemplo, 84 é múltiplo de 42 porque 42 . 2 = 84.

Pelos exemplos acima, pode-se perceber a relação entre múltiplos e divisores: como 2 divide 42, 42 é múltiplo de 2. O mesmo acontece com o 7, que divide 42; logo, 42 é múltiplo de 7.

Para saber se os números 504 e 968 são múltiplos de 42, também podemos usar, além da multiplicação, a divisão (operação inversa) desses números por 42.

Veja:

50442

O zero é múltiplo de todos os números naturais, pois

0 0 = 0;

1 0 = 0;

2 . 0 = 0; ...;

1 000 0= 0; ...

Dica

Peça a eles que obtenham todos os divisores do número de estudantes da turma. Mostre que, considerando esses divisores (um de cada vez), obtemos grupos com a mesma quantidade de componentes (sem sobra). Caso o número de estudantes da turma seja um número primo, solicite-lhes que incluam você na contagem para a formação dos grupos.

Em Pense e responda, inicie a atividade e pergunte aos estudantes por que o 5 não é divisor de 24. Faça uma roda de conversa e peça a eles que descrevam as estratégias que usaram para obter esses divisores. Amplie a atividade e questione sobre os divisores de outros números, como 50, 10, 5, 2 e 1. Pergunte se há alguma relação entre os números sugeridos e seus divisores. Relembre-os o conceito de operação inversa: 50 é divisível por 10, pois o quociente de 50 por 10 é igual a 5, e 5 vezes 10 é igual a 50. Logo, se 50 é múltiplo de 10, será automaticamente divisível por ele.

Incentive a participação de todos e abra espaço para que exponham suas dúvidas, o que oportuniza o trabalho com atitudes e valores, evidenciando a empatia, porque, por mais simples que pareçam as dúvidas dos colegas, eles enfrentarão situações futuras em que a dúvida poderá ser simples para outros, e todas devem ser esclarecidas.

012

dividendo divisor

504 é múltiplo de 42, pois é o produto do número natural 12 por 42. Nesse caso, 42 é fator ou divisor de 504.

Para aprofundar

O artigo a seguir traz uma análise de desempenho de estudantes do 6? ano em resolução de problemas envolvendo múltiplos e divisores.

• USTULIN, A. M.; VIEIRA, L. N. Um estudo sobre múltiplos e divisores por meio de problemas com alunos do 6? ano do Ensino Fundamental. Revista Ensino da Matemática em Debate, [s. l.], v. 8, n. 1, p. 139-160, 2021. Disponível em: https://revistas.pucsp.br/index.php/emd/article/view/51186.

Acesso em: 10 jun. 2022.

Acompanhe as estratégias expostas e, caso ainda surjam dúvidas, resolva alguns exemplos com eles.

As discussões das situações propostas nessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade

EF06MA06

Orientações

O conteúdo dessa página contribui para o desenvolvimento das habilidades EF06MA05 e EF06MA06

Explore o fato de que “ser múltiplo” e “ser divisível” são condições equivalentes, ampliando com mais exemplos que podem ser criados pelos estudantes. Ressalte o fato de que, se um número natural é fator de outro, então esse número também é divisor desse outro, ou seja, “ser fator” e “ser divisor”, para números naturais não nulos, também são condições equivalentes.

Em Pense e responda, proponha aos estudantes que procurem entre os múltiplos de 2 e de 3 os números que aparecem como múltiplos para ambos.

• múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...

• múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...

Estes números são os múltiplos comuns de 2 e 3: 0, 6, 12, 18, 24, …

Amplie a atividade com outros exemplos (múltiplos comuns de 2 e 5, múltiplos comuns de 2, 4 e 5 etc.).

Aproveite o momento para ressaltar que um número natural qualquer sempre é múltiplo dele mesmo e do número 1, bem como todo número natural não nulo é divisor dele mesmo.

Na situação-problema proposta, espera-se que os estudantes percebam, primeiramente, que os dias da semana se repetem de 7 em 7 (7 dias da semana), ou seja, um mesmo dia da semana ocorre depois de 7, 14, 21, ... dias (múltiplos de 7 diferentes de zero). Então, o primeiro passo é verificar quais são os múltiplos de 7 menores ou iguais a 60. Daí, temos: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56. Assim, o 56? dia após a data considerada também é uma segunda-feira, o que acarreta que o 60? dia seja uma sexta-feira.

Não há número natural que, multiplicado por 42, resulte em 968, ou seja, 42 não é fator nem divisor de 968. Logo, 968 não é múltiplo de 42.

Quando a divisão de números naturais é exata, o dividendo é múltiplo do divisor. Por isso, podemos dizer que 504 é múltiplo de 42 ou que 504 é divisível por 42.

• Ser múltiplo de um número diferente de zero é o mesmo que ser divisível por esse número.

• O zero é divisível por 1, 2, 3, 4, ..., ou seja, por todos os números naturais, exceto por ele mesmo.

A sequência dos múltiplos de 42 pode ser assim representada como M(42) (Lê-se conjunto dos múltiplos de 42):

M (42) = {0, 42, 84, 126 ...}

O conjunto dos múltiplos de um número natural diferente de zero é infinito (não é finito).

Pense e responda

Entre os termos da sequência, quais são os oito primeiros números naturais divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo? Explique o raciocínio que você utilizou para responder. 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36 e 42; resposta pessoal

Veja a seguinte situação-problema.

Hoje, 2 de março, segunda-feira, passei por uma consulta médica. Daqui a 60 dias, terei de retornar ao médico. Em que dia da semana deve cair o sexagésimo dia depois do dia 2 de março?

• Se o dia 2 de março cai numa segunda-feira e cada semana tem sete dias, os dias que cairão em uma segunda-feira voltarão a se repetir após: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, ... dias. Como ela precisa marcar a consulta para dali a 60 dias, não será em uma segunda-feira. Podemos contar assim: Segunda-feiraTerça-feiraQuarta-feira Quinta-feira Sexta-feira

Após 56 dias.Após 57 dias.Após 58 dias.Após 59 dias.Após 60 dias.

O 60? dia depois do dia 2 de março será uma sexta-feira.

Começando pelo número 5, veja como podemos obter a sequência 5, 25, 125, 625 utilizando uma vez a tecla 5 e depois somente as teclas * e = da calculadora.

5 * 5 = 25 = 125 = 625

Agora é sua vez!

• Use a calculadora e escreva os 10 primeiros termos da sequência 3, 9, 27, 81, 243, ...

• Escreva os 5 primeiros termos da sequência 12, 144, 1 728, ...

Jogo dos múltiplos comuns

Com a orientação do professor, pegue lápis e caderno e siga com a turma para um pátio, uma quadra ou outro espaço adequado. Escrevam a sequência de números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...), cada número em uma folha. Para que os números fiquem bem visíveis, façam números de tamanho grande na folha e usem giz de cera colorido. Se a escola dispuser de espaço, a sequência pode ser mais longa.

Orientações

O “jogo dos múltiplos comuns” possibilita a exploração do conteúdo de forma lúdica e divertida. Organize os estudantes em grupos de 3 componentes.

Forme pares de grupos para cada rodada.

Aproveite o momento em que jogam para verificar as dificuldades que aparecem: entendimento das regras, determinação dos múltiplos, entre outras. Faça questionamentos durante as pausas de cada rodada valendo mais um ponto:

• Todos os números são múltiplos de 0?

• 0 é múltiplo de todos os números?

• Todos os números são múltiplos de 1?

Se achar conveniente, peça aos grupos vencedores que disputem entre si até restar apenas um grupo vencedor na turma.

Com as folhas numeradas em ordem crescente sobre o chão, dois estudantes devem se posicionar ao lado do zero. Um deles saltará para as posições referentes aos múltiplos de 3, enquanto o outro saltará sobre os múltiplos de 2. No entanto, antes de executar os saltos, os outros integrantes da turma devem responder no caderno, em 2 minutos, a questão a seguir. Esse tempo será controlado pelo professor ou por um terceiro jogador.

1 Quantas vezes, e em que posições, os saltadores se encontrarão se mantiverem os saltos até o número 15?

2 vezes, nos números 6 e 12

Depois de transcorrido o tempo, os jogadores iniciam os saltos sendo observados pela turma. É importante que saltem num ritmo que permita o encontro nas posições comuns na sequência. Ao chegar ao fim da sequência, os saltadores voltam à posição inicial falando cada número em voz alta para a constatação da turma.

Os estudantes podem se alternar nas posições dos saltadores e usar o mesmo procedimento com outros números: múltiplos de 3 e 4, múltiplos de 4 e 5, de 3 e 5, e assim por diante. Pode-se também criar formatos alternativos para a apresentação da sequência numérica, representando os números com tampinhas de garrafa ou com desenhos.

Use sua criatividade!

Situações de jogo possibilitam o desenvolvimento da competência geral 8, da competência geral 9 e da competência específica 8 e de aspectos socioemocionais de autogestão, consciência social e habilidade de relacionamento. Este jogo contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA06

Os jogos também favorecem o trabalho com atitudes e valores, no que se refere ao respeito, tanto ao oponente quanto aos integrantes do próprio grupo, ao espírito de colaboração, de compartilhamento de ideias e estratégias, evitando rivalidades e evidenciando o diálogo como forma de resolução de conflitos. Resolução da questão 1 Múltiplos de 2: 0, 2, 4, 6 ,8, 10, 12, 14, 16, 18... Múltiplos de 3: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18...

Portanto, os múltiplos comuns, até 15, são: 6 e 12.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA06

As atividades 1, 2 e 3 podem ser corrigidas coletivamente na lousa, chamando alguns estudantes para apresentar suas respostas e estratégias utilizadas.

Resolução da atividade 4

São 6 possibilidades de organizar os carrinhos em caixas: 2 caixas com 15 miniaturas cada, 3 caixas com 10 miniaturas cada, 5 caixas com 6 miniaturas cada, 6 caixas com 5 miniaturas cada, 10 caixas com 3 miniaturas cada, 15 caixas com 2 miniaturas cada.

Resolução atividade 5

Temos de encontrar os múltiplos comuns de 12, 24 e 36.

M(12) = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, ...}

M(24) = {0, 24, 48, 72, 96, ...}

M(36) = {0, 36, 72, 108, ...}

Verificamos que, depois do zero, 72 é o primeiro múltiplo comum de 12, 24 e 36. Como o único múltiplo de 72 compreendido entre 300 e 400 é 360 e sabendo que sobraram 7 selos, temos 360 + 7 = 367, logo, há 367 selos nessa coleção. Resolução da atividade 6

Vértice 1: 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31...

Vértice 2: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32...

Vértice 3: 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33...

Vértice 4: 4, 9, 14, 19, 24, 29, 34...

Vértice 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...

a) Os números terminados em 0 ou 5 estão na sequência cujo vértice é o de número 5. Logo, 1 050 aparecerá no vértice 5.

b) Os números terminados em 1 ou 6 estão na sequência cujo vértice é o de número 1. Logo, 341 aparecerá no vértice 1.

c) Os números terminados em 4 ou 9 estão na sequência cujo vértice é o de número 4. Logo, 3 904 aparecerá no vértice 4.

No item d, verifique a descrição feita pelos estudantes e as estratégias que utilizaram. Caso tenham cometido algum engano, oriente-os para que, juntos, o identifiquem e encontrem caminhos para chegar às respostas corretas.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 2 e da competência específica 8

Caso os estudantes ainda apresentem dificuldades, retome o conteúdo antes de prosseguir.

Atividades

1 Escreva os divisores:

a) de 12; 1, 2, 3, 4, 6 e 12

b) de 15; 1, 3, 5 e 15

c) de 12 e de 15 simultaneamente, isto é, dos divisores comuns de 12 e de 15. 1 e 3

2 Escreva até o número 60, todos os elementos do conjunto dos múltiplos:

a) de 3. M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57 e 60}

b) de 4. M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56 e 60}

c) comuns de 3 e de 4. M(3; 4) = {0, 12, 24, 36, 48 e 60}

d) de 12. M(12) = {0, 12, 24, 36, 48 e 60}

3 Qual número é múltiplo de qualquer número natural? O número zero.

4 Fábio tem uma coleção de 30 miniaturas de carros. Ele deseja colocar esses carrinhos em caixas, de modo que todas tenham a mesma quantidade. Quantas são as possibilidades de organizar os carrinhos nessas caixas?

Resposta no Manual do Professor.

5 Marcela separou os selos de sua coleção, primeiramente de 12 em 12, em seguida de 24 em 24 e, por último, de 36 em 36. Nas três ocasiões sobraram sempre 7 selos. Sabendo que o número de selos é maior que 300 e menor que 400, quantos selos tem a coleção de Marcela? 367

6 A estrela representada na figura teve seus vértices numerados de 1 a 5. Percorrendo os lados dela no sentido indicado pela ordem crescente dos números, e colocando o número 6 no vértice 1, o número 7 no vértice 2, o número 8 no vértice 3, e assim sucessivamente, em qual vértice aparecerão os números:

a) 1 050? No vértice número 5.

b) 341? No vértice número 1.

c) 3 904? No vértice número 4.

Respostas pessoais.

Critérios de divisibilidade

Para reforçar a relação entre os divisores e os múltiplos de um número natural maior do que 1, existem critérios de divisibilidade para descobrir se um número é divisível por outro sem a necessidade de efetuar a divisão. Vamos estudar alguns desses critérios por meio de exemplos.

Divisibilidade por 2

Observe as divisões a seguir. 16223242021232

16 8 - 2 11 - 4 210 - 12 61

Critério: norma de confronto, avaliação e escolha.

Orientações

O conteúdo e os questionamentos sobre as regras de divisibilidade contemplam a habilidade EF06MA05, a competência geral 2 e a competência específica 2

Observe que, na divisão dos números pares por 2, o resto é zero, ou seja, a divisão é exata; na divisão dos números ímpares por 2, o resto é 1, ou seja, a divisão não é exata.

Pense e responda

1. Como verificamos se um número é par? Se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8.

2. Podemos afirmar que todo número par é divisível por 2? Justifique. Sim, pois a divisão de qualquer número par por 2 é exata.

Divisibilidade por 3

Ao adicionar os algarismos do número 186, obtemos 15 (1 + 8 + 6 = 15).

Observe que o número 15 é divisível por 3, pois 15 dividido por 3 resulta 5 e tem resto 0.

1 + 8 + 6 = 15

Pense e responda

1. Sem efetuar a divisão, verifique quais dos números a seguir são divisíveis por 3 e justifique sua resposta.

a) 29

b) 3 051

c) 787

d) 4 224

2. Podemos concluir que todo número é divisível por 3, se a soma dos algarismos que formam esse número for divisível por 3? Sim.

1. a) Não, pois 11 não é divisível por 3.

b) Sim, pois 9 é divisível por 3.

c) Não, pois 22 não é divisível por 3.

d) Sim, 12 é divisível por 3.

A investigação dos critérios de divisibilidade pode ser feita com os estudantes organizados em duplas. Inicialmente, coloque na lousa alguns números de 4 e 5 ordens e peça que respondam, sem fazer a divisão se esses números são divisíveis por 2, 3, 5 e 10. Após ter dado um tempo para que eles analisem, proponha aos estudantes que tentem descobrir alguma regra. Leve-os a observar regularidades, estabelecendo semelhanças e diferenças, comparações e aplicabilidade. Reforce que para um número ser divisível por outro, a divisão entre eles deve ter resto 0.

Para o critério de divisibilidade por 2, acredita-se que os estudantes percebam que apenas os números pares resultam em uma divisão exata (resto zero) quando divididos por 2. Reforce com os estudantes que os critérios de divisibilidade objetivam facilitar o cálculo de divisões na resolução de problemas do cotidiano.

Para resolver as questões propostas referentes à divisibilidade por 2 no primeiro Pense e responda, se necessário, retome com os estudantes como verificar se um número é par.

Ao trabalhar o critério de divisibilidade por 3, no segundo Pense e Responda, proponha exemplos de números grandes para que eles percebam que, nesses casos, podem aplicar o critério mais de uma vez. Por exemplo, para verificar se o número 92 899 546 499 é divisível por 3, pode-se fazer:

• 9 + 2 + 8 + 9 + 9 + 5 + 4 + 6 + + 4 + 9 + 9 = 74

• 7 + 4 = 11

Como 11 não é múltiplo de 3, os valores 74 e 92 899 546 499 também não serão divisíveis por 3. Amplie o trabalho com a questão 2, solicitando aos estudantes que apresentem exemplos de números com mais de quatro algarismos que sejam divisíveis por 3 e outros que não sejam. Eles podem, se achar conveniente, trabalhar em duplas: um deles diz o número, e o outro verifica se esse número é ou não divisível por 3, justificando a resposta. Depois, invertem os papéis.

Orientações

No caso da divisibilidade por 4, depois de completarem os produtos que faltam no quadro de multiplicações, peça aos estudantes que escrevam as regularidades que observaram sobre essas multiplicações. Espera-se que concluam que os números divisíveis por 4 são aqueles em que os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4 ou terminam em 00. No entanto, pode, às vezes, não ficar claro se o número obtido é ou não divisível por 4; por exemplo, será que o número 3 398 é divisível por 4? Pela regra, consideramos o 98. Mas como saber se 98 é divisível por 4? Nesses casos, temos de verificar duas condições:

• o número deve ser par, pois dividir por 4 é dividir por 2 duas vezes seguidas;

• ao dividirmos esse número obtido por 2, a divisão deve ser exata e o resultado deve ser par também (pois tem de ser mais uma vez divisível por 2).

Desse modo, efetuando a divisão de 98 por 2, temos como quociente 49, que é ímpar e, portanto, não divisível por 2. Consequentemente, 98 não é divisível por 4.

Se necessário, faça vários exemplos para os estudantes verificarem essa regra.

Para verificar a divisibilidade por 5, basta observar se o número natural considerado termina em 0 ou 5. Incentive os estudantes a compartilhar outros exemplos de números grandes que sejam divisíveis por 5.

Divisibilidade por 4

Copiem o quadro a seguir no caderno e, usando a calculadora, completem-no com a multiplicação por 4.

Observe os números formados pelos dois últimos algarismos destes números divisíveis por 4.

Veja agora quais são os números formados pelos dois últimos algarismos das multiplicações que você efetuou.

Pense e responda

1. Se 4 é um dos fatores de uma multiplicação, o produto é divisível por 4? Justifique. Sim, pois se dividirmos o produto por 4, a divisão será exata e o quociente será o outro fator.

2. Podemos concluir que um número é divisível por 4 se o número formado pelos dois últimos algarismos desse número for divisível por 4 ou terminar em 00? Sim.

Divisibilidade por 5

Observe os números que estão divididos por 5.

Veja agora o último algarismo destes números divisíveis por 5.

Pense e responda

O que podemos afirmar sobre o último algarismo dos números que são divisíveis por 5? Que é igual a 0 ou 5.

Divisibilidade por 6

Efetue as divisões a seguir no caderno e escreva o quociente e o resto de cada uma delas.

288 : 2 Quociente 144 e resto 0. 375 : 2 Quociente 187 e resto 1. 160 : 2 Quociente 80 e resto 0.

288 : 3 Quociente 96 e resto 0. 375 : 3 Quociente 125 e resto 0. 160 : 3 Quociente 53 e resto 1.

288 : 6 Quociente 48 e resto 0. 375 : 6 Quociente 62 e resto 3. 160 : 6 Quociente 26 e resto 4.

Pense e responda

Em qual das divisões acima o número é divisível por 6? Alternativa c

a) Aquele que é divisível apenas por 2.

b) Aquele que é divisível apenas por 3.

c) Aquele que é divisível simultaneamente por 2 e por 3.

Orientações

Ao trabalhar a divisibilidade por 6, escreva alguns números na lousa que sejam divisíveis por 2 e 3 e questione se há algo em comum. Por exemplo, o número 12 é par, logo, dá para dividir por 2, assim como a soma de seus algarismos é 3, um múltiplo de 3, sendo possível dividi-lo por 3. Conduza os estudantes a observar que o critério de divisibilidade por 6 depende da condição de o número ser divisível por 2 e por 3 simultaneamente.

Respostas no Manual do Professor.

Agora, verifique, sem efetuar a divisão, se os números a seguir são divisíveis por 2 e por 3 e, depois, efetue a divisão por 6.

396 por 2928 por 22 307 por 21 014 por 2

396 por 3928 por 32 307 por 31 014 por 3

396 : 6 928 : 6 2 307 : 61 014 : 6

Pense e responda

1. Podemos afirmar que os números são divisíveis por 6 apenas quando são divisíveis simultaneamente por 2 e por 3? Sim.

2. É possível um número ímpar ser divisível por 6? Por quê?

Não, pois para ser divisível por 2, ele tem de ser par.

Divisibilidade por 8

Observe as divisões a seguir.

Pense e responda

Das divisões acima, que número não é divisível por 8? Por quê?

4 009, pois a divisão não é exata (resto 1)

Atividades complementares

Sugira aos estudantes que pesquisem se há regras para divisibilidade por 7 e promova uma breve discussão sobre as possíveis regras para esse critério.

Oriente-os na realização da pesquisa, que poderá ser realizada em duplas ou pequenos grupo. No decorrer da apresentação das conclusões, incentive-os a trocar ideias com os demais grupos, levantar hipóteses e defendê-las, utilizando argumentos matemáticos.

Converse com os estudantes e leve-os a perceber que os números ímpares não podem ter números pares como divisores, porém números pares podem ter como divisores, números ímpares. Por exemplo, o número par 9 900 é divisível por 2, por 4 e por 6 (os critérios verificados até o momento, e que são pares) e também por 3 e 5 (critérios também já investigados e que são ímpares).

Aproveite a conversa e peça aos estudantes que resolvam as atividades do primeiro Pense e responda Para que um número seja divisível por 6, ele deve ser um número par e a soma dos seus algarismos deve ser divisível por 3.

Alternativa c Sobre os critérios de divisibilidade por 8, escreva na lousa os exemplos propostos no livro, a fim de que você e os estudantes analisem juntos as resoluções. Questione-os se é possível criar novas estratégias, assim como aconteceu com os números divisíveis por 6, para o critério de divisibilidade por 8. Proponha mais exemplos para os estudantes verificarem se há regularidade.

Orientações

A divisibilidade por 9 é constatada observando que, se a soma dos algarismos do número considerado for divisível por 9, o número também o será. Antes de adentrar na conceituação desse critério, incentive os estudantes a pensar quais seriam as possíveis regras para estabelecer a divisibilidade por 9. Anote as sugestões na lousa e converse sobre o que eles apresentaram, fazendo uma comparação como que o livro apresenta.

Os estudantes já efetuaram multiplicações e divisões por 10, portanto, podem concluir facilmente que um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0 (zero).

Espera-se, também, que os estudantes percebam que:

• um número natural é divisível por 100 quando termina em 00. Exemplo: 400 é divisível por 100;

• um número natural é divisível por 1 000 quando termina em 000

Exemplos: 4 000 é divisível por 1 000; 60 000 é divisível por 1 000 Incentive-os a ampliar esse critério para os números 10 000, 100 000 etc., que são divisíveis por números naturais terminados em 0 000, 00 000 etc., respectivamente. Assim, eles devem perceber que a divisão terá quociente natural exato apenas se o número natural considerado terminar com a mesma quantidade de zeros de seu divisor.

Os números divisíveis por 10 terminam em 0; os divisíveis por 100, em 00; e os divisíveis por 1 000, em 000.

Para aprofundar

Observe os números formados pelos três últimos algarismos destes números divisíveis por 8.

160 1 200 1 408 1 832 13 904 3 000 19 344 18 000 4 032

Pense e responda

1. Se 8 é um dos fatores de uma multiplicação, o produto é divisível por 8? Justifique.

Sim, pois se dividirmos o produto por 8, a divisão será exata e o quociente será o outro fator.

2. Podemos afirmar que um número é divisível por 8 se o número formado pelos três últimos algarismos desse número for divisível por 8 ou terminar em 000? Sim.

Divisibilidade por 9

A soma dos algarismos que formam o número 648 é 18 (6 + 4 + 8 = 18), que é divisível por 9, pois 18 dividido por 9 resulta 2 e tem resto 0. Vamos verificar efetuando a divisão.

6489 - 63 72 1 8 - 18 0

Pense e responda

1. Podemos afirmar que todo número é divisível por 9, se a soma dos algarismos que formam esse número for divisível por 9? Sim.

2. O critério para verificar se um número é divisível por 9 é parecido com o de que outro número? Com o do número 3.

3. Todo número divisível por 9 é também divisível por 3? Por quê?

Sim, pois 9 é múltiplo de 3.

Divisibilidade por 10, por 100 e por 1 000

Veja os números 213, 1 458 e 729 637 multiplicados por 10, por 100 e por 1 000 a seguir.

Pense e responda

Observem as regularidades dessas multiplicações e escrevam o critério que pode ser usado para verificar se um número é divisível por 10, por 100 e por 1 000.

O trabalho apresenta observações e critérios de divisibilidade, não usuais, como a divisibilidade por 7, 11, 13, 17, 19 e 23.

• SILVA. T. Critérios de divisibilidade: usuais, incomuns e curiosos. 2019. 61 f. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Centro de Ciências Exatas e da Natureza, Universidade Federal da Paraíba. João Pessoa, Paraíba, 2019. Disponível em: https://repositorio.ufpb.br/ jspui/bitstream/123456789/19424/1/TalyssonPaulo DaSilva_Dissert.pdf. Acesso em: 10 jun. 2022.

Atividades

1 Elaborem coletivamente um cartaz para ser exposto no mural da classe com um resumo dos critérios de divisibilidade por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 8, por 9, por 10, por 100 e por 1 000, para ser consultado sempre que necessário.

2 Observe os números a seguir.

Usando os critérios de divisibilidade, quais desses números:

a) são divisíveis por 3 e não por 2? 609, 48 555 e 345 219

b) são divisíveis por 2 e por 3? 7 350 e 2 700 000

c) são divisíveis por 2 e por 5? 7 350, 14 200 e 2 700 000

d) são divisíveis por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 e 100? 2 700 000

3 Sofia escreveu o número 5 437 , que teve o último algarismo borrado. Que algarismo pode ser colocado na parte manchada para que o número seja divisível:

a) por 2? 0, 2, 4, 6 ou 8

b) por 3? 2, 5 ou 8

4 Descubra dois números que possam ser divididos por 5 e por 7.

Exemplo de resposta: 35 e 70.

5 Jorge tinha 24 figurinhas repetidas, que distribuiu igualmente entre seus amigos. Cada um ficou com pelo menos uma figurinha. Responda às perguntas, considerando que Jorge tem mais de dois amigos.

a) Os algarismos que substituem a mancha só podem ser 0, 2, 4, 6 e 8.

b) 5 + 4 + 3 + 7 = 19 (que não é divisível por 3) para que a soma seja um múltiplo de 3, temos:

19 + 2 = 21

19 + 5 = 24

19 + 8 = 27

Na atividade 4, pode ser que os estudantes precisem testar alguns múltiplos de 5 até encontrar os que são divisíveis também por 7. Resolução da atividade 5

a) Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Portanto, o menor divisor maior que 2 é 3. Com isso, 3 amigos.

b) Não, pois 5 não é divisor de 3; sim, pois 6 é divisor de 3. Aproveite a imagem para desenvolver a competência geral 9 e trabalhar questões referentes a atitudes e valores, propondo uma reflexão sobre acolhimento, inclusão, respeito às diferenças e equidade, o que vai além da questão da acessibilidade. Pergunte aos estudantes se eles conhecem pessoas próximas que são cadeirantes e o que eles acreditam ser desafiador no cotidiano dessas pessoas. Amplie a discussão também para outros tipos de deficiência, talvez menos visíveis, mas que também demandam atenção especial de quem está próximo e de toda a comunidade em que a pessoa está inserida.

8

a) Qual é o menor número de amigos que Jorge pode ter? 3

b) É possível que Jorge tenha 5 amigos? E 6? Não. Sim, pois 24 é múltiplo de 6.

6 (XXII ORM-SC) Quantos números naturais de dois algarismos satisfazem a propriedade que o produto dos algarismos é ímpar e a soma dos algarismos é divisível por 3? Alternativa c

=

15: 1 5

a) 3

b) 5 c) 8 d) 10 e) 15

7 Um número natural é composto de 1M32M4; o algarismo representado pela letra M é o mesmo para ambas as posições do número. Quais são os valores que M pode assumir para que esse número seja múltiplo de 6? 1, 4 ou 7

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA05 e EF06MA06

Se preferir, em vez de um cartaz, como proposto na atividade 1, podem ser feitos pequenos cartazes com cada um dos critérios de divisibilidade. Para isso, a turma pode ser dividida em pequenos grupos, cada um ficando responsável por um dos critérios.

São

2:

9

Orientações

Resolução da atividade 8

1o passo: 8 (2 . 4).

2o passo: O segundo símbolo é #.

3o passo: 6 (2 . 3 ou 3 . 2).

4o passo: 0.

5o passo: 1.

Logo, a senha é: 8#601.

Essa atividade tem caráter de desafio e mobiliza diversos conhecimentos adquiridos até aqui. Ao comentar o 5? passo, ressalte que 1 é o menor divisor de qualquer número natural.

Resolução da atividade 9

O universo a ser considerado é o dos números que estão entre 700 e 750. Nesse intervalo, os números divisíveis por 3 e por 4 ao mesmo tempo são 708, 720, 732 e 744. Como o número procurado é divisível por 5, a resposta só pode ser 720.

As atividades 8 e 9 favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA04 e EF06MA05 e EF06MA06, assim como da competência geral 2 e da competência específica 2 Resolução da atividade 10

A = 7 . 4 = 28

B = 80 : 4 = 20

C = 6 . 9 = 54

D = 99 : 9 = 11

F = 7 6 = 42

G = 6 8 = 48

Espera-se que percebam que o Programa 1 produz múltiplos de 4, o Programa 2 produz múltiplos de 9, e o Programa 3 reduz cada número que entra à sua sexta parte.

Essa atividade desenvolve o pensamento algébrico em uma situação de aritmética, quando os estudantes percebem que em algumas situações devem usar a relação da multiplicação e da divisão exata como operações inversas.

Ela favorece o desenvolvimento e da competência específica 3

8 A senha do celular de Paulo é composta de 5 dígitos, sendo 4 algarismos e 1 símbolo. Siga os passos do algoritmo a seguir para obter a senha do celular de Paulo.

1? passo: O primeiro dígito é o maior múltiplo de 2 menor do que 10.

2? passo: O segundo dígito é o símbolo #.

3? passo: O terceiro dígito é o menor múltiplo de 3 e 6 ao mesmo tempo.

4? passo: O quarto dígito é múltiplo de qualquer número natural.

5? passo: O quinto dígito é o menor divisor natural de 9. Qual é a senha do celular de Paulo? 8#601

9 Analise o fluxograma a seguir.

Início Fim

Pense em um número natural Escreva esse número

Que número foi escrito? 720

Ele é múltiplo de 4 É divisível por 5

Está entre 700 e 750 É divisível por 3

10 Os quadros a seguir representam as operações que são efetuadas internamente em três programas de computador. O usuário digita um número na coluna “Entrada”, o programa efetua uma operação e apresenta o resultado na coluna “Saída”.

Analise a lógica de cada programa e calcule quais números as letras A, B, C, D, F e G representam.

Atividades complementares

Se houver possibilidade, peça aos estudantes que elaborem fluxogramas sobre os critérios de divisibilidade como forma de potencializar o estudo sobre o assunto.

Orientações

Utilizando planilha eletrônica para auxiliar na divisibilidade

Observe os números ao lado.

Você sabe dizer quais deles são divisíveis por 7 e por 8? O número 24 680 é divisível por quais números?

Algumas planilhas eletrônicas seriam úteis para responder a essas perguntas.

123203342

98724 6806 389

65413 579

2 3459 099

As planilhas eletrônicas, em geral, têm, por exemplo, uma função chamada MOD, em que você digita o dividendo e o divisor e, ao clicar em “Enter”, a função retornará o resto da divisão.

Mas em que essa função pode ajudar no problema de divisibilidade?

Como já foi visto, um número é divisível por outro quando a divisão tem resto igual a zero.

Veja como verificar a divisão dos valores dados.

Abra uma nova planilha e, nas colunas da primeira linha, digite: "Número", "Divisível por 2" e "Divisível por 3".

Depois, digite na primeira coluna todos os números para os quais se quer verificar a divisão.

Agora que os números estão digitados, é o momento de utilizar a função MOD.

Veja o passo a passo para verificar se esses números são divisíveis por 2.

• Clique na célula B2 (coluna B e linha 2).

• Digite =MOD(

• Clique no primeiro número digitado (123, na célula A2).

• Digite ;2)

• Aperte a tecla “Enter”.

Nessa célula, aparecerá o resto da divisão de 123 por 2.

Selecione a célula B2, clique na sua extremidade inferior direita; continue pressionando o mouse e arraste a seleção até a última célula dessa coluna.

Aparecerão, nessa coluna, os restos das divisões por 2 de cada um dos respectivos números.

Assim, será possível concluir que os números 654, 342 e 24 680 são divisíveis por 2.

Para os outros divisores, repita o procedimento na respectiva coluna.

Agora que você já sabe como verificar se um número é divisível por outro utilizando uma planilha eletrônica, verifique a divisibilidade por outros números.

Orientações no Manual do Professor.

Essa seção favorece o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 5

Se possível, leve os estudantes ao laboratório de informática para terem acesso a uma planilha eletrônica e colocarem em prática a atividade proposta. Vale salientar que essa atividade também pode ser realizada em sala de aula, pois há planilhas eletrônicas disponibilizadas gratuitamente, que podem ser manipuladas em smartphones

Os estudantes precisam lembrar que uma divisão exata (resto zero) indica que o dividendo é divisível pelo divisor; ou seja, em uma divisão cujo dividendo é múltiplo do divisor, o resto sempre será zero.

No caso de uma planilha eletrônica, a função MOD – cujo formato é MOD (dividendo; divisor) – retorna o resto da divisão. Então, observando o resto, podemos dizer quais números são ou não divisíveis pelo número que indicamos. Comente que, em uma planilha eletrônica, quando vamos inserir uma função (ou fórmula), devemos sempre digitar o sinal de igual (=) antes. Explore o significado do formato dessa função. Por exemplo, pergunte o que significa a indicação “ =MOD(18, 4)”.

Espera-se que eles compreendam que estamos indicando a divisão de 18 por 4 e que, usando essa função, ao teclar “Enter”, ela nos retornará o resto dessa divisão, que é 2. Assim, como o resto não é zero, podemos concluir que 18 não é divisível por 4. Reforce que o uso de tecnologias é de extrema importância, especialmente quando tratamos com valores maiores. No entanto, a tecnologia não resolve se não soubermos o que estamos procurando; no caso, os critérios de divisibilidade.

Orientações

Reproduza o quadro numérico na lousa antes de mostrar as interferências de Raul. Peça aos estudantes que digam quais números do quadro têm mais de dois divisores naturais. Incentive-os a responder fazendo os cálculos mentalmente.

Explore os passos de Raul para fazer as marcações no quadro. Certifique-se de que todos compreenderam a estratégia utilizada. Eles devem compreender que todos os números naturais diferentes de zero são divisores de zero e que qualquer número dividido por 1, resulta no próprio número. Desse modo, tanto o zero quanto o 1 são números fora do interesse da análise do quadro, que é descobrir os números que têm apenas dois divisores naturais diferentes entre si (o 1 e ele próprio), e os números que têm mais de dois divisores naturais.

Verifique a compreensão dos estudantes sobre os conceitos de número composto e de número primo. Peça a alguns deles para ir à lousa e responder justificando com questões do tipo:

• O número 200 é primo?

Não, pois é divisível por 2 e, assim, já tem pelo menos dois divisores.

• O número 31 é primo ou composto? Por quê?

É primo, porque tem apenas dois divisores naturais.

• Um número natural par maior do que 1 sempre é composto? Por quê?

Não, pois 2 é par e é primo.

• Um número natural ímpar maior do que 1 sempre é primo? Por quê?

Não, pois há números ímpares que têm mais de dois divisores, ou seja, não são primos. Por exemplo, o 25.

Em Pense e responda, para responder à questão 1, os estudantes devem observar que o número 2 é o único número primo par, pois qualquer outro número par é, também, divisível por 2; logo, não poderá ser primo.

Na questão 2, eles devem observar que o 1 é elemento neutro na multiplicação e, portanto, divisor de todos os números naturais, consequentemente, todos os números naturais são múltiplos de 1.

Leve-os a perceber que a sequência dos números primos é infinita.

A introdução do conceito de números primos e compostos favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA05

Número primo e número composto

Veja o quadro que Raul fez.

Fiz este quadro com todos os números naturais de 2 a 60 Daí contornei o 2 e risquei, a partir dele, todos os seus múltiplos. Depois, contornei o 3 e procedi da mesma forma. Fiz o mesmo com o 5 e com o 7.

Finalmente, contornei os números que sobraram verificando se seus múltiplos estavam riscados.

Veja a conclusão à qual Raul chegou comparando alguns números riscados e alguns números contornados.

Os números que contornei têm só dois divisores naturais.

E os números que risquei têm mais de dois divisores naturais.

No quadro de Raul:

• os números riscados têm mais de dois divisores e são chamados números compostos;

• os números contornados têm apenas dois divisores naturais, o 1 e o próprio número, e são chamados números primos

• a sequência dos números primos é:

Pense e responda

1. Qual é o único número primo par? 2

2. Por que você acha que Raul não partiu do número 1 e fez o mesmo procedimento?

53, 59, ...

2. Porque se ele riscasse todos os múltiplos de 1, teria riscado todos os números do quadro.

Ilustrações: Wanderson Souza

Viagem no tempo

O Crivo de Eratóstenes

O método usado por Raul se baseia no Crivo de Eratóstenes, que consiste em uma tabela para isolar os números primos, eliminando seus múltiplos. Eratóstenes de Cirene (276 a.C. a 194 a.C.), além de matemático, foi gramático, poeta, geógrafo, bibliotecário e astrônomo na Grécia Antiga. Outra de suas importantes contribuições para a Geometria foi desenvolver um método para medir a circunferência do planeta Terra.

Fonte: PARANÁ. Secretaria da Educação do Paraná. Eratóstenes. In: PARANÁ. Seed. Dia a Dia Educação Curitiba: Seed, [20--]. Disponível em: http://www.filosofia.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe. php?foto=650&evento=6. Acesso em: 26 abr. 2022.

Pense e responda

1. O Crivo de Eratóstenes também é válido para números naturais maiores que 60?

Sim.

2. Façam uma pesquisa para verificar por que os números 0 e 1 não são primos nem compostos e depois apresentem aos outros grupos.

Resposta no Manual do Professor.

Dividimos o número pelos números primos menores que ele (2, 3, 5, 7, 11, ...) até encontrar uma divisão exata ou um quociente menor que o divisor.

Se nenhuma dessas divisões for exata, o número será primo.

Para verificar se, por exemplo, o número 83 é primo, fazemos a divisão pela sucessão dos números primos (2, 3, 5, 7, 11, ...). Pelos critérios de divisibilidade, esse número não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5; por isso, continuamos a divisão:

8378311

13 1 1 6 7

6

divisões não exatas

Orientações

Viagem no tempo aborda aspectos históricos contemplando a competência geral 1 e a competência específica 1. Faça a leitura coletiva do texto, que aborda a história de Eratóstenes. Nesse momento, há uma interação entre aspectos históricos e geográficos. Vale ressaltar que grandes matemáticos também foram estudiosos de outras áreas, uma observação importante no que diz respeito à contribuição da Matemática para outras ciências.

No primeiro Pense e responda, para resolver a questão 1, apesar de os números primos até 60 aparecerem marcados no quadro numérico de Raul, é importante que os estudantes descubram por si próprios, usando o mesmo critério, os números primos maiores que 60.

Sobre a questão 2, esclareça que o fato de 1 não ser primo envolve uma questão de definição. (Fonte: NIVEN, Ivan. Números: racionais e irracionais

Tradução: Renate Watanabe. Rio de Janeiro: SBM, 1990. p. 11.) Quanto ao zero, não pode ser considerado primo porque não é divisor de nenhum número.

quociente menor que o divisor

Como nenhuma dessas divisões é exata, mas conseguimos encontrar um quociente menor que o divisor, concluímos que 83 é primo.

Pense e responda

1. O número 142 é primo? Por quê?

2. E o número 121?

1. Não, porque é par, portanto, divisível por 2.

No segundo Pense e responda, para resolver as questões, peça aos estudantes que leiam as observações e o procedimento apontado por Raul. Para verificar se o número 142 é primo, os estudantes podem determinar seus divisores: 1, 2, 71 e 142. Assim, como 142 tem mais de dois divisores, podem concluir que 142 não é primo. No entanto, como 142 é par, poderíamos já concluir que 142 não é primo pelo fato de ele ser divisível por 2, e assim perceber que 142 tem pelo menos três divisores. O mesmo procedimento pode ser feito para verificar se o número 121 é primo. As atividades de Pense e responda favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA05

Ilustrações: Wanderson Souza

2. Não, pois é múltiplo de 11.

Busto de Eratóstenes.

Orientações

O teor e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA05

Curiosidade contempla a competência geral 2

Explora os conceitos de número primo e número composto, com base na divisibilidade.

Aproveite Viagem no tempo para continuar a abordagem histórica e comente sobre a importância de o mistério dos números primos não apresentarem regularidade em sua sequência. Sugira aos estudantes que pesquisem sobre as contribuições dos números primos na atualidade e separe um momento para essa discussão. Ao trabalhar aspectos históricos, o texto favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1

Você pode ampliar o assunto, propondo uma pesquisa sobre criptografia e, em seguida, uma roda de conversa sobre seus diversos usos, desenvolvendo assim o Tema Contemporâneo Transversal: Ciência e Tecnologia

A seção Atividades favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA05

Utilize as atividades 1 a 3 para avaliação continuada.

Na atividade 1, retome o quadro da página 72 e peça que façam a contagem. Eles verificarão que 42 números foram riscados, mas como a atividade acrescenta o número 1, 1 + 42 = 43.

Para resolução da atividade 2, peça aos estudantes que façam um quadro, como o apresentado na página 72, porém com números até 100, e utilizem o critério apresentado.

Se possível, leve os estudantes a perceber que com os números primos de 2 a 19 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19) é possível verificar se qualquer número até 500 é primo ou não. Para isso, basta dividir o número pelos primeiros números primos até 19 (para números menores que 280, basta verificar até o 13).

Resolução da atividade 3

a) 169 : 13 = 13

b) 323 : 17 = 19

323 : 19 = 17

c) 479 é primo, pois só é divisível por 1 e por ele mesmo.

Curiosidade

A palavra primo vem do latim e significa “primeiro”. Os números primos são os primeiros números diferentes de um e de zero de uma sequência de múltiplos. Veja estes exemplos:

• 7 é primo porque é o primeiro múltiplo de 7 (diferente de zero);

• 11 é primo porque é o primeiro múltiplo de 11 (diferente de zero);

• 9 não é primo porque é múltiplo de 3. Um número composto diferente de zero pode ser escrito como produto de números primos.

A maior parte dos números naturais pode ser fatorada em partes menores. Por exemplo, 100 = 4 25. Também é verdade que 100 = 20 . 5. Se tomamos qualquer um desses exemplos e decompusermos os fatores em fatores ainda menores, chegaremos assim à fatoração prima de 100 (100 = 2 2 5 5); quando não podemos continuar decompondo os fatores, concluímos que os mesmos são primos, pois eles são divisíveis apenas por 1 e por si mesmos.

Viagem no tempo

Por que a descoberta do maior número primo importa?

Quando os matemáticos começaram a listar os números primos, não conseguiam encontrar um padrão, então se perguntaram se a lista era finita ou se era possível encontrar números primos cada vez maiores. Euclides, em seu livro Os elementos, ofereceu uma elegante prova. 17 462 991 229 é um número primo? Poderíamos tentar dividi-lo por todos os inteiros menores e declará-lo primo se não encontrássemos outros fatores se não o 1. Entretanto, isso demoraria muito, e deveria haver maneiras melhores de descobrir. O novo maior número primo descoberto tem 24 862 048 dígitos. Os números primos, hoje em dia, são aplicados na criptografia, área da qual dependem muitos processos que fazemos uso no dia a dia, como pagar uma conta pela internet, acessar computadores e celulares por meio de senhas etc., o que não seria possível sem uma solução que protegesse essas informações.

Fonte: INSTITUTO DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA. Por que a descoberta do maior número primo importa? Rio de Janeiro: Impa, 22 jan. 2019. Disponível em: https://impa.br/noticias/por-que-a-descoberta-do-maior-numero-primo-importa/. Acesso em: 26 abr. 2022.

Atividades

1 As fichas de inscrição de um concurso estão numeradas de 1 a 60. Um funcionário riscou todas aquelas cujos números eram primos. Quantas fichas não foram riscadas? 43

2 Use o crivo de Eratóstenes e determine os números naturais primos menores que 100.

3 Verifique se os números a seguir são primos. Caso o número não seja primo, indique o(s) divisor(es) diferente(s) de 1 e do próprio número.

a) 169 13 b) 323 17 e 19 c) 479 É primo.

4 Analise as proposições a seguir e classifique-as em verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.

a) Todo número ímpar é primo. Falsa.

b) Todo número primo é ímpar. Falsa.

c) O produto dos cinco primeiros números primos é 2 310.

d) O número 1 é primo. Falsa.

e) O dobro de um número primo é sempre divisível por 2. Verdadeira.

f) O maior número primo de dois algarismos é 93. Falsa.

g) Só existe um número primo par. Verdadeira.

Justificativas da atividade 4

a) Pelo crivo de Eratóstenes é possível perceber números ímpares que não são primos, como o 9 ou o 15.

b) O número 2 é primo e é par.

c) 2 3 5 7 11 = 2 310

d) Por definição, o número 1 não é primo.

e) O dobro de qualquer número, primo ou não, é resultado da multiplicação por 2. Portanto, o número resultante o produto é sempre divisível por 2.

f) O maior número primo de dois algarismos é 97. O número 93 não é primo, pois ele é múltiplo de 3.

g) O número 2 é o único número primo par, pois qualquer outro número par é divisível por 2.

Decomposição de um número natural em fatores primos

Podemos dispor 42 azulejos em 3 filas com 14 azulejos em cada uma ou em 6 filas com 7 azulejos em cada uma.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA05

42 = 3 . 14

É possível escrever o número 42 na forma de uma multiplicação. Quando fazemos isso, dizemos que 42 foi decomposto em fatores, ou que 42 foi fatorado 42 = 6 . 7

Podemos também decompor 42 usando somente fatores primos. 42

Pense e responda

Na situação inicial, se possível, peça aos estudantes que desenhem em uma folha de papel quadriculado as demais possibilidades de arranjo de 42 azulejos em uma disposição retangular. Eles devem perceber que 3 linhas com 14 azulejos em cada uma apresenta uma configuração diferente da de 14 linhas com 3 azulejos em cada uma, embora expressem o mesmo produto, pois:

42 = 3 14 = 14 3

Leve-os a observar que a decomposição de 42 com mais de dois fatores é aquela em que todos os fatores são números primos.

Podemos indicar como exemplos de resposta para a questão de Pense e responda:

63 = 7 9 ou 63 = 3 21. Há outras possibilidades.

Os números 2, 3 e 7 são fatores primos de 42. Na fatoração 42 = 2 . 3 . 7, dizemos que 42 foi decomposto em fatores primos

Veja como podemos fazer a decomposição em fatores primos do número 18. Vamos usar o seguinte dispositivo prático.

1? passo 2? passo 3? passo Fazemos um traço vertical. À esquerda do traço, escrevemos o número natural a ser decomposto (18). À direita do traço, escrevemos o menor divisor primo desse número (2).

182

Depois de efetuada a divisão (18 : 2), repetimos o procedimento para o quociente obtido (9); à esquerda do traço, escrevemos o número a ser decomposto (9), e, à direita do traço, escrevemos o menor divisor primo desse número (3).

182

93

Atividades complementares

Organize grupos de 3 a 5 estudantes e passe uma lista de números até 1 000 para eles fatorarem. Circule pela sala e acompanhe a resolução para verificar se compreenderam o dispositivo prático da decomposição em fatores primos.

Se achar pertinente, comente que:

• para números até 100, é suficiente conhecer a sequência dos números primos até 7;

• para números de 101 a 280, é suficiente conhecer a sequência dos números primos até 13;

Fatore o número 63.

7 . 9 ou 3 . 21

E assim prosseguimos até obter o quociente 1. Os números situados à direita do traço vertical são os fatores primos do número a ser decomposto (18).

182

9 3 1

3 3

O número dado é igual ao produto de todos os fatores primos encontrados:

18 = 2 . 3 . 3

• para números de 281 a 500, é suficiente conhecer a sequência dos números primos até 19;

• para números de 501 a 1 300, é suficiente conhecer a sequência dos números primos até 31; Se o número considerado não for divisível por nenhum desses números primos, ele também é um número primo e, portanto, não pode ser fatorado (com fatores distintos de 1).

Compartilhe as respostas para que os estudantes observem as diferentes soluções. Espera-se que percebam que são fatorações do número 63:

(chamada fatoração completa, pois todos os fatores são números primos) Represente na lousa a decomposição do número 18 para os estudantes contribuírem com sugestões para a resolução por meio do dispositivo prático.

Aproveite o momento para explorar um pouco mais. Apresente outros números para fazer a decomposição em fatores primos, antes de dar início às atividades.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA05 e EF06MA06

As atividades 1, 2 e 3 podem ser utilizadas para verificação das aprendizagens. Observe se os estudantes ainda apresentam dificuldades. Se necessário, retome o conteúdo antes de prosseguir.

Resolução da atividade 3

Decompondo 195 em fatores primos temos: 195 = 3 . 5 . 13. As idades são 3, 5 e 13 anos.

Resolução da atividade 4

Como o número é par e múltiplo de 5, concluímos que y = 0. Para 57x90. ser múltiplo de 3: 5 + + 7 + x + 9 + 0 = 21 + x, ou seja, 21 + x deve ser um múltiplo de 3, de modo que x seja o menor valor possível. Como 21 é múltiplo de 3, o menor valor possível para x é 0.

Resolução da atividade 5

Sugestão para elaboração do fluxograma:

Atividades

1 Decomponha em fatores primos.

2 Observe o número A = 2 3 5 7.

a) O número A é múltiplo de 2? E de 6? Por quê?

Sim, pois entre seus fatores estão 2 e 3, que resultam 6.

b) O número A é múltiplo de 10? E de 35? Por quê?

c) Que número é A? 210

b) Sim, pois entre seu fatores estão 2 e 5; sim, pois entre seus fatores estão 5 e 7.

3 As idades de Gabriela, Guilherme e Alessandra são expressas por números primos. Sabendo-se que o produto desses números é 195, quais são as idades dessas três pessoas? 3, 5 e 13 anos

4 Sabe-se que o número par formado por cinco algarismos 57x 9y é múltiplo de 3 e de 5, simultaneamente. Qual é o menor valor possível para x e y? x = 0, y = 0.

5 Um número natural é divisível por 6 se for par e a soma dos algarismos que o compõem for divisível por 3. Elabore um fluxograma para resolver o problema abaixo e depois resolva-o. “Verifique se o número 5 614 é divisível por 6.” Não é divisível por 6.

6 (OBMEP) O sapinho da figura pula de uma pedra para uma pedra vizinha, dando voltas em torno do lago. Por exemplo, se ele pular duas vezes a partir da pedra A, no sentido horário, ele vai parar na pedra C.

Ler 5 614

Esse número é par?

a) Partindo da pedra A, em qual pedra o sapinho vai parar após pular 15 vezes no sentido horário?

5 614 não é divisível por 6

A soma dos algarismos é múltiplo de 3?

5 614 é divisível por 6

Essa atividade também contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA04

Resolução da atividade 6

a) Começando pela pedra A, o sapinho chega novamente à pedra A após dar 9 pulos. Continuando no sentido horário, ele dará mais 6 pulos, parando na pedra G.

b) O sapinho dá 8 pulos para chegar na pedra I e muda de sentido dando mais 8 pulos até chegar à pedra A novamente, ou seja, a cada 16 pulos, o sapinho sempre vai estar na pedra A. Como 2 018 : 16 = = 126 com resto 2, após 2 018 pu-

Na pedra G.

b) Novamente, partindo de A e começando no sentido horário, o sapinho pula 2 018 vezes e sempre muda de sentido cada vez que o número de saltos for um múltiplo de 8. Em qual pedra ele vai parar?

c) Finalmente, partindo de A e começando no sentido horário, o sapinho pula 810 vezes e sempre muda de sentido cada vez que o número de saltos for um múltiplo de 8 ou um múltiplo de 12. Em qual pedra ele vai parar? Na pedra G.

7 Escreva um número de cinco algarismos que seja divisível por 3, mas que não seja divisível por 2 nem por 5. Compare com o que um colega fez. Vocês encontraram o mesmo número? Exemplo de resposta: 36 393.

los ele estará duas pedras após a pedra A, ou seja, na pedra C.

c) O sapinho dará 8 pulos até chegar na pedra I, muda de sentido e dá mais 4 pulos (8 + 4 = 12) até chegar à pedra E, onde muda de sentido e dá mais 4 pulos (12 + 4 = 16) até chegar novamente à pedra I. Daí, o sapinho muda de sentido e dá mais 8 pulos (16 + 8 = 24) e retorna à pedra A, onde recomeça novamente todo o percurso, sempre retornando à pedra A após 24 pulos. Como 810 : 24 = 33 com resto 18, após 792 (24 33) pulos o sapinho estará na pedra A e faltará pular ainda mais 18 vezes.

Na pedra C. Para

Veja onde ele estará após 18 pulos, partindo de A: 18 = 8 + 4 + 4 + 2, em 8 desses pulos ele chega à pedra I, em mais 4 pulos retorna à pedra E, em mais 4 pulos volta à pedra I e, finalmente, em mais 2 pulos, vai parar na pedra G. Resolução da atividade 7

Uma possibilidade é começar do número 10 000 e listar todos os múltiplos de 3, verificando quais não são divisíveis por 2 e por 5. Porém, muitos estudantes preferirão escolher números aleatórios de 5 algarismos e submetê-los aos critérios determinados. Ao confrontarem os números encontrados, permita que discutam também as estratégias de resolução.

Marcel Borges

Orientações no Manual do Professor.

Fim

Não

Sim Sim

Partição de um todo em partes proporcionais

Acompanhe a situação: Em um concurso para a escolha dos melhores atletas de ginástica artística, foi oferecido um prêmio de R$ 4.250,00, a ser dividido entre os dois primeiros colocados em partes diretamente proporcionais aos pontos obtidos. Sabendo que a pontuação do primeiro colocado foi 9 e a do segundo colocado foi 8, qual foi o valor do prêmio de cada um desses atletas?

Em primeiro lugar, vamos calcular quantos reais correspondem a cada ponto obtido.

Como o primeiro colocado obteve 9 pontos, e o segundo, 8, o total de pontos é 17. Logo, cada ponto corresponde a R$ 250,00:

4 250 : 17 = 250

Portanto, o prêmio do primeiro colocado será de 9 . 250 = 2 250, ou seja, R $ 2.250,00, e o do segundo colocado será de 8 250 =  2 000, ou seja, R $ 2.000,00.

Atividades

Pense e responda

Qual seria o prêmio se o primeiro colocado tivesse feito 10 pontos, e o segundo colocado, 7 pontos?

R$ 2.500,00 e R$ 1.750,00.

1 Uma empresa vai distribuir um bônus de R$ 6.300,00 para dois funcionários: Osmar e Plínio. A divisão deverá ser feita em partes proporcionais ao tempo de serviços de cada um deles. Sabe-se que Osmar trabalha na empresa há 5 anos e Plínio há 4 anos. Quanto cada um deles vai receber?

2? lote: 2 190 = 380 4 380 m2

Na atividade 4, peça aos estudantes que, se necessário, façam ajustes em suas próprias produções e resolvam em conjunto possíveis dúvidas ou divergências.

Resolução da atividade 5

Total de habitantes:

40 000 + 50 000 = 90 000

Doses por habitante:

540 000 : 90 000 = 6

1o município: 6 40 000 = 240 000.

2o município: 6 50 000 = 300 000.

Resolução da atividade 6

2 A prefeita de um município dividiu uma verba de R$ 120.000,00 entre as escolas A e B em valores proporcionais ao número de estudantes de cada escola. Sabendo que a escola A tem 320 estudantes, e a escola B, 480 estudantes, quantos reais foram destinados à escola B? R$ 72.000,00.

3 Um terreno de 570 m2 de área será dividido em dois lotes. Sabe-se que o segundo lote terá a medida da área igual ao dobro do primeiro. Qual será a medida da área de cada lote? 190 m2 e 380 m2

4 Elabore um problema que possa ser resolvido usando os múltiplos de 4 e de 7. Dê para um colega resolver enquanto você resolve o que ele elaborou. Depois conversem sobre como foi o processo de resolução. Resposta pessoal.

5 Dois municípios receberam do Ministério da Saúde 540 000 doses de vacinas para serem repartidas em partes diretamente proporcionais ao número de habitantes de cada município. Sabendo que um município tem 40 mil habitantes e o outro 50 mil, quantas doses de vacina receberá cada um?

Osmar: R$ 3.500,00 e Plínio: R$ 2.800,00. 240 mil e 300 mil

6 Em uma cidade, para cada 49 pessoas que contraíram uma doença, 4 faleceram em decorrência dela. Sabendo que houve 2 000 mortes por aquela doença, qual é o número total de pessoas que a contraíram?

24 500

Lógico, é lógica!

Na mesma prateleira de uma estante, há cinco objetos alinhados: um vaso, um relógio, um carrinho, uma estátua e uma bola. Sabe-se que:

• o relógio está entre a bola e a estátua;

• o vaso não é o primeiro objeto e a estátua não é o último;

• o carrinho está separado da estátua por dois outros objetos. Qual é a posição do vaso nessa prateleira? Quinta posição.

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA15 e visam explorar situações de repartição em partes desiguais, de modo que haja relação entre as partes ou entre cada parte e o todo.

Peça aos estudantes que deem exemplos de situações em que é preciso dividir o todo em partes proporcionais.

Resolução de Pense e responda

1? colocado: 10 . 250 = 2 500 4 R$ 2.500,00

Resolução da atividade 1

5 + 4 = 9; 6 300 : 9 = 700

Osmar: 5 . 700 = 3 500 4 R$ 3.500,00.

Plínio: 4 700 = 2 800 4 R$ 2.800,00.

Resolução da atividade 2

320 + 480 = 800; 120 000 : 800 = 150

Escola B: 480 150 = 72 000 4 R$ 72.000,00. Resolução da atividade 3 2

Se houve 2 000 mortes, temos 500 grupos de 4 pessoas que faleceram. Assim, também há 500 grupos de 45 sobreviventes; ou seja, sobreviveram 22 500 pessoas (500 45). Logo, ao todo contraíram essa doença 24 500 pessoas (22 500 + 2 000).

Resolução de Lógico, é lógica!

• Da primeira informação: bola, relógio e estátua.

• Da segunda informação: estátua não é o último, então vaso é o último. Assim, temos: bola, relógio, estátua e vaso.

• da terceira informação: carrinho é o primeiro, então temos, carrinho, bola, relógio, estátua, vaso. Portanto, o vaso ocupa a quinta posição nessa prateleira.

As atividades 4, 6 e Lógico, é lógica! contemplam a competência geral 2 e a competência específica 2

Orientações

Este jogo contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA06, das competências gerais 8 e 9 e da competência específica 8

Reserve uma aula para os estudantes jogarem e peça a eles que tragam dados comuns para usar nesse dia. Se não for possível, use papeizinhos numerados de 1 a 6 para serem sorteados. Depois de esclarecidas as regras do jogo, organize-os em grupos de três componentes, cuidando para que os estudantes com dificuldade sempre possam ser beneficiados do conhecimento dos outros. Forme pares de grupos para cada rodada.

Aproveite o momento do jogo para verificar as dificuldades que aparecem: entendimento das regras, determinação dos divisores, entre outras. Após o término do jogo, peça aos estudantes que apontem os benefícios e as dificuldades encontrados.

O jogo é um recurso interativo e importante para desenvolver raciocínio, organização e concentração. Trabalhe questões a respeito de atitudes e valores, deixando claro que não se trata de uma competição excludente e que o ato de perder não é algo negativo, pois a realização do jogo é que os faz aprender, ou seja, o que importa é o processo, não o fim.

Trabalhando com os divisores

Vocês vão precisar de:

• 2 grupos com três integrantes em cada um;

• 4 dados com as faces numeradas de 1 a 6;

• 2 quadros, como o do modelo abaixo, um para cada grupo. Quadro

Números obtidos Soma dos números Divisores Soma dos divisores Total de pontos

Como jogar:

• Decidam qual será o primeiro grupo a jogar (façam par ou ímpar ou lancem um dado para ver quem tira o maior número).

• Decidam quem será o primeiro, o segundo e o terceiro participantes a jogar em cada grupo.

• O primeiro jogador do grupo lança os quatro dados e, no seu quadro, os integrantes do grupo:

1) escrevem os quatro números obtidos;

2) calculam a soma desses números;

3) identificam os divisores dessa soma;

4) adicionam os divisores.

A soma dos divisores é o total de pontos obtidos pelo grupo no primeiro lançamento.

Por exemplo:

Números obtidos Soma dos números Divisores Soma dos divisores Total de pontos

2

• Depois, é a vez do primeiro jogador do outro grupo.

• Repete-se todo o procedimento da primeira jogada: calculando a soma, encontrando os divisores e adicionando esses divisores.

• Em seguida, é a vez do segundo jodador do primeiro grupo, e assim por diante.

• O total de pontos é obtido por meio do valor acumulado entre a soma dos divisores e o total de pontos da rodada anterior.

Por exemplo:

Números obtidos Soma dos números Divisores Soma dos divisores

Ganha o jogo o grupo que completar 300 pontos primeiro.

1 Escrevam, no caderno, uma lista com os números de 1 a 24 e os divisores de cada um desses números. Depois, respondam: Respostas no Manual do Professor.

a) Quais desses números têm somente dois divisores? Como eles são chamados?

b) Quais deles têm mais de dois divisores? Como eles são chamados?

Educação Financeira

Qual é o seu pensamento enquanto consumidor?

Escolha e copie no caderno a opção mais adequada que responde a cada pergunta, de acordo com sua forma de pensar como consumidor. Reúna-se com 2 colegas e troquem informações. Justifique sua resposta. Respostas pessoais.

1 Qual é a importância do dinheiro?

a) É necessário, mas não é tudo na vida.

b) Dinheiro é tudo na vida.

2 Os anúncios publicitários fazem você desejar comprar produtos?

a) A propaganda não interfere nas minhas escolhas.

b) Sou bastante influenciado pelos anúncios.

3 Poupar ou gastar?

a) As pessoas devem poupar para realizar sonhos futuros.

b) As pessoas devem utilizar o dinheiro para satisfazer seus desejos imediatos.

4 Uma pessoa quer comprar determinado produto, mas não tem dinheiro suficiente. O que ela deve fazer?

a) Economizar o dinheiro necessário para comprar e pagar à vista.

b) Comprar e pagar em prestações.

5 O que um consumidor deve fazer quando compra algo?

a) Exigir a nota fiscal.

b) Não fazer questão da nota fiscal.

Para aprofundar

Para saber mais sobre a importância do trabalho com Educação Financeira em sala de aula, acesse: http://portal.mec. gov.br/component/tags/tag/35987-educacao-financeira

Acesso em: 10 jun. 2022. Nesta página, você encontrará matérias e vídeos sobre o tema.

Orientações

Respostas da atividade 1 de É hora do jogo

a) Os números são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 e 23. São chamados de números primos.

b) Os números são: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22 e 24. São chamados de números compostos.

A seção Educação Financeira contempla o Tema Contemporâneo Transversal: Educação Financeira e abre espaço para o desenvolvimento de atitudes e valores. Promova um debate sobre a responsabilidade de cada um por sua própria vida financeira. Em uma roda de conversa discuta as questões apresentadas e proponha que reflitam sobre as atitudes enquanto consumidores. Pergunte aos estudantes se eles recebem mesada e como a organizam, ou qualquer outro dinheiro que ganham, e o que priorizam no momento de fazer uso dele.

Fale sobre a importância do cupom fiscal para o consumidor, que é a garantia legal de uma compra, importante para troca de objetos danificados, por exemplo, como também para garantir o recolhimento de impostos sobre essa transação.

Aproveite para trabalhar atitudes e valores para que possíveis divergências sejam tratadas com respeito e que todos tenham oportunidade de se expressar e defender seu ponto de vista.

Danillo Souza

Objetivos do capítulo

• Efetuar potenciação com números naturais, conhecer seus termos e aplicar propriedades.

• Aproximar números para a potência de 10 mais próxima.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2 e 3 Competências específicas

2 e 3

Habilidades EF06MA03, EF06MA11 e EF06MA12

Orientações

A primeira questão de Para começar propicia o trabalho com atitudes e valores. Proponha uma roda de conversa para debater a questão de mensagens da internet e amplie para tratar de questões de responsabilidade, ética e empatia, como a não disseminação de notícias falsas (fake news), o combate ao bullying (virtual ou nãol), o respeito à diversidade de opiniões, entre outras. Incentive a participação de todos.). Essa reflexão favorece o desenvolvimento das competências gerais 2 e 3

Resolução da segunda questão:

Jair passou para 5 amigos.

Cada um desses amigos passou para outros 5:

5 . 5 = 25

Cada um dos 25 passara para outros 5:

25 5 = 125

Total de pessoas que receberam a mensagem de Jair:

5 + 25 + 125 = 155

Após introduzir a potenciação com números naturais, certifique-se de que todos compreenderam que a potência representa a multiplicação de fatores iguais e se identificam seus termos. Caso ainda note dificuldade, retome apresentando novos exemplos.

Potenciação com números naturais

Jair iniciou uma corrente enviando uma mensagem pela internet a 5 amigos. Cada um deles, por sua vez, enviou a mesma mensagem a outros 5 amigos. E estes, finalizando a corrente, enviaram a mesma mensagem a outros 5 amigos de cada um.

• Todo dia recebemos muitas mensagens eletrônicas indesejadas: propagandas, promessas de emagrecimento rápido, propostas de fortuna fácil, correntes etc. Isso está se tornando um problema para os usuários da internet, pois o acúmulo de “lixo” nos computadores comprometem seu desempenho. O que podemos fazer para evitar esses problemas? Explique suas ideias.

• Qual é o número máximo de pessoas que receberam a mensagem enviada por Jair?

Resposta pessoal. 155

Potenciação com números naturais

Há uma grande diversidade de cálculos, fórmulas e problemas de contagem na Matemática e no cotidiano que envolvem multiplicações em que os fatores são todos iguais. Em Matemática, procura-se buscar formas mais sucintas e precisas para representar as relações numéricas. Essas formas são chamadas notações . Uma adição de fatores iguais, por exemplo, pode ser escrita como uma multiplicação.

8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 6 . 8

Também podemos representar uma multiplicação de fatores iguais como uma potência. Exemplo:

Na multiplicação abaixo, o fator 4 se repete 5 vezes. Chamamos a multiplicação de fatores iguais de potenciação

4 4 4 4 4

Podemos escrever essa multiplicação em forma de potência: 45 Como o resultado é 1 024, podemos escrever que 45 = 1 024.

Considerando a notação 45, temos que o número 4 é chamado base, sendo este o fator que se repete na multiplicação. O número sobrescrito 5 é denominado expoente. O expoente representa a quantidade de fatores da multiplicação. O resultado de uma potenciação é denominado potência

45 = 1 024 expoente base potência

Lê-se: quatro elevado à quinta potência.

Veja outros exemplos:

• 22 = 2 2 = 4

Lê-se: dois elevado à segunda potência.

• 74 = 7 7 7 7 = 2 401

Lê-se: sete elevado à quarta potência.

• 106 = 10 10 10 10 10 10 = 1 000 000

Lê-se: dez elevado à sexta potência. As potências de expoentes 2 e 3 têm leituras especiais.

Veja:

• 9 2 – Lê-se: nove elevado à segunda potência, é o mesmo que nove ao quadrado

Pense

e responda

Veja os resultados de algumas potências de base 10.

101 = 10

102 = 100

103 = 1 000

Orientações

104 = 10 000

105 = 100 000

Você percebe um padrão nesses resultados? Procure explicá-lo. Resposta pessoal.

• 53 – Lê-se: cinco elevado à terceira potência, é o mesmo que cinco ao cubo Isso ocorre porque, geometricamente, podemos representar uma potência de expoente 2 como um quadrado, e uma potência de expoente 3, como um cubo. Veja: 22 = 4 23 = 8

Ilustrações:

Veja como podemos calcular o valor da expressão 4 23 + 5 32 Nas expressões numéricas, as potências devem ser resolvidas em primeiro lugar.

4 23 + 5 32 = 4 8 + 5 9 = 32 + 45 = 77

Portanto, o valor da expressão é 77.

Atividades

1 Represente cada produto em forma de potência e escreva como se lê.

a) 5 5 5 5 5 5

56; cinco elevado à sexta potência

b) 16 16 16 16 16 16 16 16

168; dezesseis elevado à oitava potência

d)

012

2 0124; dois mil e doze elevado à quarta potência

106; dez elevado à sexta potência

a) 26 64 b) 113 1 331 c) 35 243 d) 74 2 401 e) 106

a) Três elevado ao cubo. 27

b) Oito elevado ao quadrado. 64

4 Considere as potências 52 e 32

a) Represente geometricamente essas potências.

1 000 000

c) Seis elevado à quinta potência. 7 776

d) O quadrado de 10. 100

Respostas no Manual do Professor.

b) Calcule essas potências por meio da multiplicação. 52 = 5 * 5 = 25; 32 = 3 * 3 = 9

c) Qual dessas estratégias você acha mais apropriada para calcular essas potências? Justifique.

Resposta pessoal.

O conteúdo proposto e as atividades dessa página contribuem para o desenvolvimento das habilidades EF06MA03 e EF06MA11

Reforce que os expoentes 2 e 3 recebem nomes especiais, quadrado e cubo, respectivamente. Explore a associação desses nomes com a representação geométrica de quadrado (duas dimensões) e cubo (três dimensões), o que favorece o desenvolvimento da competência específica 3

Traga exemplos em que são usados cálculos de potenciação no dia a dia e peça aos estudantes que deem outros.

Em Pense e responda, para determinar o padrão apresentado na questão, é preciso observar a relação entre o expoente e o número de zeros que acompanham o algarismo 1. Logo, o expoente determina o número de zeros da potência de base 10. Verifique se os estudantes entendem que as potências de 10 são números cujo primeiro algarismo é o 1 e os demais algarismos são zeros na quantidade igual ao valor da potência. Por exemplo, tem como resultado o 1 seguido de quatro zeros, ou seja:

104 = 10 000

Para ampliar, pode-se introduzir as potências de dezenas exatas (20, 30, 40, ...), fazendo associações e observando regularidades.

Por exemplo:

• 304 = 810 000 4 34 = 81 e o número de zeros é igual ao expoente (4)

• 502 = 2 500 4 52 = 25 e o número de zeros é igual ao expoente (2) Aproveite a expressão numérica resolvida para retomar a ordem das operações e os sinais de associação.

As atividades 1, 2 e 3 podem ser resolvidas coletivamente, aproveitando-se o momento para tirar dúvidas e sanar eventuais dificuldades apresentadas pelos estudantes.

Ilustracões: DAE

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA3 e EF06MA11

Resolução da atividade 5

1h30 = 90min

15min 4 2 L (21 L)

30min 4 4 L (22 L)

45min 4 8 L (23 L)

60min 4 16 L (24 L)

75min 4 32 L (25 L)

90min 4 64 L (26 L)

Verifique quais estratégias os estudantes utilizam nos cálculos. Caso eles não tenham percebido a relação com as potências de 2, peça que obtenham a quantidade de litros depois de 150 ou 200 minutos.

Na atividade 6, observe se os estudantes lembraram de acrescentar o algarismo 1 à soma ou se consideraram apenas os 16 zeros.

Resolução da atividade 7

Figura 1: 12; Figura 2: 22; Figura 3: 32,

Figura 4: 42; ...; Figura 10: 102

Espera-se que os estudantes percebam que a quantidade de bolinhas está relacionada com o quadrado do número da figura.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 2

Resolução da atividade 8

a) 6 4 + 9 5 - 8 4 = 24 +

+ 45 - 32 = 69 - 32 = 37

b) 5 . 32 + 16 - 81 : 9 = 160 +

+ 16 - 9 = 176 - 9 = 167

c) 64 + (8 : 8 + 49 : 7) +

- (36 - 16) = 64 + (1 + 7) +

- (20) = 64 + 8 - 20 = 72 +

- 20 = 52

Resolução da atividade 9

a) 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16; 25 = 32; 26 = 64; 27 = 128; 28 =

= 256. Logo, * = 8.

b) 41 = 4; 42 = 16; 43 = 64. Logo, * = 3.

c) 10 1 = 10; 10 2 = 100; 103 = 1 000; 104 = 10 000; 105 =

= 100 000. Logo, * = 5.

d) 81 = 8; 82 = 64. Logo, * = 2.

A atividade 10 pode ser resolvida por estimativa. Uma maneira possível é estimar a quantidade de camadas de laranja que cabem na caixa e multiplicá-la pela quantidade aproximada de laranjas da primeira camada.

5 Um vazamento em uma caixa-d’água provocou a perda de 2 litros de água já nos primeiros 15 minutos. O vazamento foi aumentando do seguinte modo: a cada 15 minutos, a quantidade de água que vazava era o dobro da quantidade anterior. Qual foi a perda, em litros, após 1 hora e 30 minutos do início do vazamento?

6 Considere a potência 1016. Quantos algarismos tem o resultado da potência desse número? Quais são eles? 17 algarismos; um número 1 e dezesseis zeros

7 Observe a sequência de figuras.

126 litros Ilustrações:

A manutenção da caixa-d'água é importante para evitar o desperdício.

Descubra o padrão e responda:

a) Quantas bolinhas terão a quinta e a sexta figuras? 25 e 36, respectivamente

b) Quantas bolinhas terá a 10; figura? Dê a resposta em forma de potência.

8 Calcule o valor das expressões:

a) 6 . 22 + 32 . 5 - 23 . 4 37

b) 5 . 25 + 42 - 34 : 32 167

c) 26 + (8 : 23 + 72 : 7) - (62 - 24) 52

9 Qual é o valor de * em cada caso:

a) 2* = 256 8

b) 4* = 64 3

c) 10* = 100 000 5

d) 8* = 64 2

100 bolinhas, ou seja, 10²

10 Uma pessoa precisa saber qual é o número aproximado de laranjas contidas numa caixa, mas não dispõe de tempo para contá-las uma a uma. Como ela deve proceder? Resposta pessoal. AlexLMX/Shutterstock.com

Figura 1. Figura 2. Figura 3. Figura 4.

Superpotências, potências e países emergentes: como fica a geografia olímpica pós-Tóquio

Alguns países mudaram de patamar neste ciclo, mas a geografia olímpica segue parecida com a dos últimos anos; Holanda é a nova potência e Coreia e Hungria estão em tendência de queda

Os resultados das Olimpíadas mostram que, mesmo com dificuldades nos três esportes que sempre fizeram seu tripé de medalhas, os EUA seguem como maior potência, mas com a China colada. O Brasil fez a melhor campanha da história, entrou no top 12 pela primeira vez, e segue no grupo dos "emergentes", aquelas nações que seguem crescendo, mas ainda não fazem parte do top 10.

EUA, China e Rússia (ou comitê russo) são as três maiores potências do século. Os americanos lideraram o quadro de medalhas nas últimas três edições, enquanto os chineses foram primeiro na tabela em 2008, quando abrigaram a competição. Os dois países disputaram ouro a ouro o topo em Tóquio, com os americanos terminando na frente (39 ouros, 41 pratas e 33 bronzes) e a China em segundo (38/32/18).

[...]

COSTA, Guilherme. Superpotências, potências e países emergentes: como fica a geografia olímpica pós-Tóquio. GE São Paulo, 8 set. 2021. Disponível em: https://ge.globo.com/google/amp/olimpiadas/blogs/brasil-em-paris/noticia/super-potencias-potencias-e-paises-emergentes -como-fica-a-geografia-olimpica-pos-toquio.ghtml. Acesso em: 31 jan. 2022.

Orientações

A seção permite trabalhar aspectos geográficos e sociais, o que favorece o desenvolvimento das competência geral 3 Leia o texto e converse com os estudantes sobre o significado da palavra potência como sinônimo de poder, força. Aproveite a imagem para falar sobre como os esportes podem mudar a vida das pessoas e sugira que pesquisem mais sobre a medalhista Raissa Leal e sua brilhante atuação nas Olimpíadas de Tóquio. Muitos medalhistas brasileiros carregam consigo histórias de superação e uma trajetória digna de reflexão e valorização. Sugestões de respostas:

1. Potência significa poder, força, vigor, importância etc.

2. Explore a atividade de modo que os estudantes compartilhem diferentes informações que possam ter encontrado na pesquisa. O texto destaca EUA, China e Rússia como as três maiores potências do século. Associe este conteúdo a questões geopolíticas de poder.

10 maiores potências: Estados Unidos, China, Rússia, Alemanha, França, Reino Unido, Itália, Austrália, Canadá e Japão.

na Olimpíada de Tóquio, em 2021.

Respostas pessoais.

1 Qual é o sentido da palavra “potência” empregado no texto? Consulte outros significados dessa palavra no dicionário e escreva algumas frases ou pequenos textos em que ela está inserida.

2 Faça uma pesquisa sobre os itens a seguir.

a) Como os países são classificados em superpotência, potência ou emergente no contexto olímpico. Apresente aos colegas.

b) Quais são as 10 maiores potências esportivas do mundo.

Raissa Leal, medalhista de prata no skate

Ezra Shaw/Getty Images

Orientações

Verifique as estratégias usadas pelos estudantes para resolver a atividade do segundo Pense e responda

Eles podem resolver a adição dos parênteses (2 000) para depois resolver a potência (2 000)0 que, por ser uma potência de expoente zero e base diferente de zero, resulta em 1, isto é: (1 000 + 1 000)0 = 1. No entanto, alguns estudantes podem resolver diretamente observando que o expoente é zero e colocar o resultado 1. Exponha essa situação para todos, mas ressalte que, para fazer isso, eles precisam certificar-se de que a base não é zero.

As atividades propostas favorecem o desenvolvimento da habilidade

EF06MA03

Resolução da atividade 1

a) 60 = 1

b) 91 = 9

c) 250 = 1

d) (1 + 9)0 = 100 = 1

e) (100 - 10)1 + (100 + 10)0 =

= 901 + 1100 = 90 + 1 = 91

f) 2 0201 - 2 0190 = 2 020 - 1 =

= 2 019

Incentive os estudantes a resolver a atividade por meio de cálculo mental, apenas observando os expoentes. Resolução da atividade 2

a) (25 + 5) + (1 + 1) = 30 +

+ 2 = 32

b) (100 + 100) - (10 + 10) =

= 200 - 20 = 180

c) 1 + 4 + 16 + (18)2 = 1 + 4 +

+ 16 + 324 = 345

Atividades

1 Calcule:

a) 60 1

b) 91 9

c) 250 1

Potências de expoentes 1 e 0

Se uma potência tem expoente 1, qual é o resultado? E se o expoente for zero? Para responder a essas perguntas, vamos examinar o quadro abaixo e ver o que ele sugere em relação às potências 21 e 20

Potência 26 25 24 23 22 21 20

Resultado 64321684??

Reproduza o quadro acima no caderno e complete os números que faltam.

Pense e responda

Com base nos valores encontrados, responda:

• Quanto é 21? 2 • Quanto é 20? 1

Se produzirmos quadros semelhantes a esse usando potências com outras bases, por exemplo, 3, 4, 5 etc., chegaremos a resultados similares:

• 31 = 3 e 30 = 1 • 41 = 4 e 40 = 1 • 51 = 5 e 50 = 1

Esses exemplos sugerem que:

• toda potência de expoente 1 é igual à própria base: a1 = a;

• toda potência de expoente 0 é igual a 1: a0 = 1, com a q 0.

Pense e responda

(1 000 + 1 000)0 é igual a quanto? 1

Veja como podemos calcular o valor da expressão (20 + 171) - (22 + 1 000). Calculando as potências, temos:

(20 + 171) - (22 + 1000) = (1 + 17) - (4 + 1) = 18 - 5 = 13

Faça no caderno

d) (1 + 9)0 1

e) (100 - 10)1 + (100 + 10)0 91

f) 2 0201 - 2 0190 2 019

2 Qual é o valor de cada uma das expressões a seguir?

Para aprofundar

Leia o artigo a seguir, que apresenta o uso de metodologias ativas em sala de aula para trabalhar potenciação e radiciação em resolução de problemas.

• MELO, M.; JUSTULIN, A. Ensinando“potenciação e radiciação”através da resolução de problemas, Londrina: UTFPR, 2020. Disponível em: https://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/ bitstream/1/4972/2/LD_PPGMAT_M_Melo_Marcela_Ca mila_Picin_de_2020_1.pdf. Acesso em: 7 abr. 2022.

3 Quais desses números é o maior: 1000, 0100 ou 1001? 1001

4 Em nosso sistema de numeração, os números podem ser decompostos em parcelas que indicam unidades, dezenas, centenas, milhares, dezenas de milhares, e assim por diante. Utilizando potências de 10, podemos apresentar essa decomposição dos números de outra maneira:

4 586 = 4 000 + 500 + 80 + 6

4 586 = 4 1 000 + 5 100 + 8 10 + 6 1

4 586 = 4 . 103 + 5 . 102 + 8 . 101 + 6 . 100

Faça a decomposição dos números utilizando potências de 10.

a) 34 b) 248 c) 4 087 d) 18 905

5 Analise a regularidade nos resultados das potências de 3 e responda às questões.

31 = 3 35 = 243

39 = 19 683

32 = 9 36 = 729 310 = 59 049

33 = 27 37 = 2 187 311 = 177 147

34 = 81 38 = 6 561 =

a) Qual é o algarismo das unidades do número 312? 1

b) Qual é o algarismo das unidades do número 335? E o do número 320? 7; 1

c) Elabore perguntas parecidas com as anteriores e troque com um colega, para que um responda às questões elaboradas pelo outro. Ao final, conversem sobre as respostas obtidas.

Respostas pessoais.

6 Multiplicando por 5 o quadrado de um número natural e subtraindo 7 do resultado, obtenho 38. Qual é o número? 3

7 Um número natural é chamado magistral quando o produto dos divisores naturais desse número é igual ao quadrado dele. Por exemplo, 6 é um número magistral, porque:

D (6) = {1, 2, 3, 6} e 1 . 2 . 3 . 6 = 36 = 6²

a) O número 14 é um número magistral? E o número 18? Sim. Não.

b) Cite dois outros números magistrais. Exemplo de resposta: 8 e 10.

c) Qual é o menor número magistral formado por três algarismos? 106

8 Verifique se cada uma das igualdades a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) 102 + 112 + 122 = 132 + 142

b) (8 - 5)2 = 82 + 52 - 2 . 8 . 5 Verdadeira.

9 Componha o número

Resolução da atividade 6 5 2 - 7 = 38

5 2 = 38 + 7

2 = 45 : 5

2 = 9 6 = 3 (32 = 9)

Resolução da atividade 7

a) D(14) = {1, 2, 7, 14} 4 1 . 2 . 7 . . 14 = 196 = 142 4 sim; D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 4 1 . 2 . 3 6 9 18 = 5 832 q 182, 4 não.

b) Possível resposta: 8 e 10. Há outras possibilidades.

D(8) = {1, 2, 4, 8} 4 1 . 2 . 4 . 8 = = 64 = 82; D(10) = {1, 2, 5, 10} 4 4 1 . 2 . 5 . 10 = 100 = 102

c) Não

necessário testar todos os números, podendo-se excluir os que têm

c) (13 + 5)(13 - 7) = 132 + 72 Falsa.

d) (1 0002 + 1 0000)0 = 1 Verdadeira.

6 . 104 + 3 103 + 1 . 102 + 9 . 101 + 4 100 63 194

10 Escreva uma potência de base 8 que seja:

a) maior que 700;

Verdadeira. 84, há outras possibilidades

b) menor do que 250  000;

c) mais próxima de 30  000;

Orientações

80, 81, 82, 83, 84 e 85 85

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA03, da competência geral 2 e da competência específica 2

Resolução da atividade 3

1000 = 1; 0100 = 0; 1001 = 100. Portanto, o maior é 1001

Resolução da atividade 4

a) 3 101 + 4 100

b) 2 102 + 4 101 + 8 100

c) 4 103 + 8 101 + 7 100

d) 1 104 + 8 103 + 9 102 + 5 100

Resolução da atividade 5

A cada grupo de 4 dessas potências (a partir de 31), os algarismos das unidades se repetem nesta ordem: 3, 9, 7 e 1. Dependendo do resto da divisão do expoente por 4.

a) 312 4 12 : 4 = 3 com resto 0 4 unidade igual a 1.

b) 335 4 35 : 4 = 8 com resto 3 4 unidade igual a 7;

320 4 20 : 4 = 5 com resto 0 4 unidade igual a 1.

Observe as perguntas formuladas no item c e as respostas obtidas. Elas podem ser úteis para verificar o quanto os estudantes estão seguros do conteúdo aprendido.

+ + 9 10 + 4 1 = 60 000 + + 3 000 + 100 + 90 + 4 = 63 194 Resolução da atividade 10 Sugestão de respostas. Há várias possibilidades.

a) 84 4 83 = 512 (menor que 700), portanto, qualquer expoente maior que 3 pode responder ao item.

b) 85 4 86 = 262 144 (maior que 250 000), portanto, qualquer expoente menor que 6 pode responder ao item.

c) 85 = 32 768 e 86 = 262 144, logo, 8 5 está mais próximo de 30 000.

Respostas no Manual do Professor.

Orientações

O conteúdo e as atividades dessa página contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA12

A aproximação para potências de 10 é condição para os estudantes desenvolverem a noção de ordem de grandeza, muito usada em Química e Física e Sistema de Medidas de Informática.

Aproveite o exemplo e escreva na lousa outros números para os estudantes identificarem oralmente a potência de 10 mais próxima. Eles devem compreender que elas determinam a ordem de grandeza desses números.

Se ainda surgirem muitas dúvidas, peça aos estudantes que façam as atividades em duplas, para que possam trocar ideias.

Resolução da atividade 1

a) 127 está entre 102 = 100 e 103 =

= 1 000 4 mais próximo de 102

b) 942 está entre 102 = 100 e 103 =

= 1 000 4 mais próximo de 103

c) 88 576 está entre 104 = 10 000

e 105 = 100 000 4 mais próximo de 105

d) 34 284 está entre 104 = 10 000

e 105 = 100 000 4 mais próximo de 104

e) 2 000 está entre 103 = 1 000 e 104 = 10 000 4 mais próximo de 103

f) 600 000 está entre 105 = 100 000

e 106 = 1 000 000 4 mais próxi-

mo de 106

g) 999 000 000 está entre 108 =

= 100 000 000 e 10 9 =

= 1 000 000 000 4 mais próximo de 109

h) 94 642 765 810 está entre

1010 = 10 000 000 000 e 1011 =

= 100 000 000 000 4 mais próximo de 1011

i) 25 595 744 342 691 está entre

1013 = 10 000 000 000 000 e 1014 =

= 100 000 000 000 000 4 mais próximo de 1013

Resolução da atividade 2

a) 213 317 639 está entre 108 =

= 100 000 000 e 10 9 =

= 1 000 000 000 4 mais próximo de 108

b) 9 6 74 7 93 está entre 10 6 =

= 1 000 000 e 107 = 10 000 000 4

4 mais próximo de 107

Esta atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 3

Valor aproximado para a potência de 10 mais próxima

Juliana é um bebê com 80 cm de altura. O número 80 está entre 10 e 100, ou seja, entre as potências 101 e 102 Veja que, na reta numérica, 80 está mais perto de 102 do que de 101. Por isso, podemos dizer que a potência de 10 mais próxima de 80, ou o valor aproximado de 80, é 102. Portanto, a altura aproximada de Juliana é 102 cm.

Atividades

1 Indique o valor aproximado para a potência de 10 mais próxima dos seguintes números:

a) 127 102

b) 942 103

c) 88 576 105

d) 34 284 104

e) 2 000 103

f) 600 000 106

g) 999 000 000 109

h) 94 642 765 810 1011

i) 25 595 744 342 691 1013

2 Veja na tabela a seguir a população estimada de residentes no Brasil e em alguns estados em 1? de julho de 2021, divulgada pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE).

Estimativas da população residente no Brasil e unidades da federação com data de referência em 1 ? de julho de 2021

Fonte: IBGE. Estimativas da população residente no Brasil [...]. [Rio de Janeiro]: IBGE, [2021]. Disponível em: https://ftp.ibge.gov.br/Estimativas_de_ Populacao/Estimativas_2021/estimativa_dou_2021.pdf. Acesso em: 31 jan. 2022.

Escreva o valor aproximado para a potência de 10 mais próxima à população estimada:

a) do Brasil. 108

b) de Pernambuco. 107

3 Qual é a potência de 10 mais próxima dos seguintes números:

a) 13 bilhões? 1010

Resolução da atividade 3

a) 13 bilhões = 13 000 000 000 4 está entre 1010 =

= 10 000 000 000 e 1011 = 100 000 000 000 4 mais próximo de 1010

b) 300 bilhões = 300 000 000 000 4 está entre

1011 = 100 000 000 000 e 1012 = 1 000 000 000 000 4

4 mais próximo de 1011

Após o término das atividades, faça a correção coletiva na lousa, e aproveite o momento para verificar a aprendizagem dos estudantes em relação ao conteúdo trabalhado. Se necessário, retome-o.

b) 300 bilhões? 1011

1 (CMC-PR) Bruno é um aluno exemplar, mas estava com dificuldade em fazer a divisão de um número por 7. Então, seu amigo Rodrigo explicou: “Para saber se um número maior que 188 é divisível por 7, basta subtrair o dobro do valor do último algarismo do número original sem este algarismo. Se o resultado obtido é um múltiplo de 7, então o número original é divisível por 7. Também é possível (em caso de números muito grandes) repetir o processo até que o número obtido seja facilmente verificável como um múltiplo de 7 ou não”. Rodrigo perguntou a Bruno se os números 37 625 e 12 530 são divisíveis por 7. Sugeriu, ainda, que, se não tivesse entendido a regra de divisibilidade, fizesse a divisão. Sabendo-se que Bruno respondeu corretamente, a alternativa que corresponde a essa resposta é: Alternativa a

a) os dois números são divisíveis por 7.

b) somente o número 37 625 é divisível por 7.

c) somente o número 12 530 é divisível por 7.

d) nenhum dos dois números é divisível por 7.

e) os dois números são primos.

2 (OLIMPÍADA TUBARÃO DE MATEMÁTICA) O senhor Barbabranca se lembra que certa vez, quando era mais jovem, perguntou aos seus alunos qual seria a sua idade. Os alunos acharam que a idade do sr. Barbabranca era 24, 28, 30, 32, 36, 38, 41, 44, 47, 49. O sr. Barbabranca diz: ”pelo menos metade de vocês chutaram muito baixo, dois de vocês erraram por um e minha idade é um número primo”. Quantos anos tinha o sr. Barbabranca? Alternativa a

a) 37

b) 29

c) 31

d) 43

e) 48

3 (OMDF) Qual conjunto abaixo contém 4 números compostos consecutivos? Lembre-se: um número composto é um número natural que pode ser escrito na forma a * b, com a e b naturais maiores que 1. Alternativa b

a) {22, 23, 24, 25}

b) {32, 33, 35, 35}

c) {41, 42, 43, 44}

d) {52, 53, 54, 55}

e) {61, 62, 63, 64}

4 (OBMEP) Qual das expressões abaixo tem como resultado um número ímpar? Alternativa e

a) 7 . 5 . 11 . 13 . 2

b) (2 005 - 2 003) (2 004 + 2 003)

c) 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17

d) 52 + 32

e) 3 5 + 7 9 + 11 13

5 (CMR-PE) Dado o número de 6 (seis) algarismos 3 5 A 7 4 B divisível ao mesmo tempo por 3, 4 e 5, onde A e B representam números naturais de 0 a 9. Qual o menor valor possível de 3 . A + B?

a) 0

b) 3

c) 6

Orientações

que nos dá quociente 17 e resto zero. Ou seja, 119 é divisível por 7. Logo, 12 530 é divisível por 7; portanto, os dois números são divisíveis por 7. Alternativa a Resolução da atividade 2

• Se pelo menos a metade chutou muito baixo, de dez números vamos excluir os cinco números menores: 24, 28, 30, 32 e 36.

• Dois estudantes alunos erraram por 1 (um). Veja as possibilidades a seguir.

-1 Idade citada +1

373839

404142

434445

464748 484950

Os números primos possíveis são 37 e 43. Como ninguém chutou 42, a única possibilidade entre as alternativas apresentadas é o 37. Alternativa a Resolução da atividade 3

A única alternativa que não apresenta nenhum número primo (todos são compostos) é a alternativa b, pois:

32 = 2 . 16; 33 = 3 . 11; 34 = 2 17; 35 = 5 7

Alternativa b

Resolução da atividade 4

a) 10 010 (par)

b) (2) (4 007) = 8 014 (par)

c) 72 (par)

d) 25 + 9 = 34 (par)

e) 15 + 63 + 143 = 221 (ímpar).

Alternativa c

d) 8

e) 9

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1

Discuta com os estudantes a regra explicada por Rodrigo.

Peça a eles que exemplifiquem na lousa a aplicação dessa regra, de modo que fique garantido que a entenderam.

Por exemplo:

• 37 625: 3 762 - 2 5 = 3 762 - 10 = 3 752; aplicamos a regra novamente: 375 - 2 . 2 = 375 - 4 = = 371; aplicamos a regra novamente: 37 - 1 . 2 = 37 - 2 = 35 (que é divisível por 7). Logo, 37 625 é divisível por 7.

• 12 530: 1 253 - 2 0 = 1 253; aplicamos a regra novamente: 125 - 2 3 = 125 - 6 = 119; aplicamos a regra novamente: 11 - 2 9 = 11 - 18 (não é possível no conjunto dos números naturais)

Sendo assim, precisamos efetuar a divisão de 119 por 7,

Alternativa e Nessa atividade, observe se os estudantes estão atentos à ordem para efetuar as operações em uma expressão numérica. Verifique se há dúvidas quanto a isso e, se necessário, faça um resumo na lousa para reforçar a aprendizagem.

Resolução da atividade 5

O número 35A74B é divisível por 5. Então, B vale zero ou 5. Como esse número também é divisível por 4, B = 0

Temos, então: 35A740. Como esse número também é divisível por 3: 3 + 5 + A + 7 + 4 + + 0 = 19 + A; logo, 19 + A deve ser um número divisível por 3. Como o próximo múltiplo de 3 maior que 19 é 21, temos que A = 2.

Desse modo, o menor valor possível para 3 A + B = 3 2 + 0 = 6.

Alternativa c

Orientações

Resolução da atividade 6

A quantidade de balas dividida entre as amigas precisa ser divisível por 3.

Logo, por tentativa e erro:

7 + 5 + 10 = 22

7 + 10 + 4 = 21

7 + 5 + 4 = 16

5 + 10 + 4 = 19

Somente o 21 é divisível por 3, o que exclui a quantidade 5. Então, a bala preferida de Ana Lítica é a de amendoim. Alternativa b

As resoluções por tentativa e erro são importantes para o processo de aprendizagem. Converse com os estudantes sobre a importância do erro, a fim de desmitificar ideias negativas.

Resolução da atividade 7

Os cartões da urna maiores do que 10 e múltiplos de 3 podem ser: 12, 15, 18, 21 e 24.

Os múltiplos de 3 que não são divisíveis por 7 são: 12, 15, 18 e 24.

NúmeroAntecessor 12 11 15 14 18 17 24 23

Como 14 não é primo, e 11, 17 e 23 são números primos, concluímos que 15 é o único que não é sucessor de número primo. Alternativa b

Resolução da atividade 8

Sabemos que:

• partindo do 4, por meio de uma operação, obtivemos 16;

• partindo do 2, por meio dessa mesma operação, obtivemos 4;

• partindo do 16, por meio dessa mesma operação, obtivemos A Observando esses fatos, podemos concluir que a operação deve ser “elevar ao quadrado”, pois 42 = 16 e 22 = 4.

Assim, 162 = A, ou seja, A = 256. A soma dos algarismos de 256 é: 2 + 5 + 6 = 13. Alternativa a Nessa atividade, verifique se os estudantes estão atentos a encontrar não somente o valor desconhecido mas também a calcular a soma dos algarismos do número.

6 (OMRP-SP) Ana Lítica tem 7 balas de menta, 5 balas de amendoim, 10 de morango e 4 de uva. Ana decidiu dar as balas do seu tipo favorito à sua prima, e dividiu as balas restantes entre suas amigas Gê Ométrica, Rita Buada e Rute Orema, de modo que cada uma ficou exatamente com o mesmo número de balas. Qual é o tipo preferido de balas de Ana Lítica? Alternativa b

a) Menta.

b) Amendoim.

c) Morango.

d) Uva.

e) Não é possível chegar a uma solução.

7 (OPRM-PR) Em uma urna há vinte e cinco cartões enumerados de 1 até 25. Maria Clara escolheu, ao acaso, um dos cartões e deu as seguintes pistas:

• o número do cartão que tenho em mãos é maior que 10;

• além disso, ele é um múltiplo de 3 que não é divisível por 7;

• por fim, ele não é sucessor de número primo.

Diante disso, conclui-se que o número do cartão sorteado por Maria Clara é: Alternativa b

a) 12

b) 15

c) 18

d) 21

e) 24

8 (CMR-PE) Na figura abaixo, as setas representam uma operação feita com o número que consta no círculo de origem, sendo o resultado da operação dado no círculo para o qual a seta aponta. Todas as setas correspondem à mesma operação.

Assinale a alternativa que representa a soma dos algarismos do número que deve ocupar o círculo A

a) 13

b) 5

c) 7

Alternativa a

d) 10

9 Qual é o algarismo das unidades do valor da expressão 2150 + 2151 + 2152 + 2153? Alternativa e a) 5 b) 1 c) 0 d) 3 e) 6

Orientações

Resolução da atividade 9

Se necessário, recorde com os estudantes o conteúdo de potências.

2150 + 215¹ + 215² + 215³

Alternativa d

10 (OMDF) Sejam O, M, D e F números naturais, tais que O * M * D * F = 6 e O + M + D + F = 9. Qual é o valor de O2 + M2 + D2 + F2? a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40

11 (OMDF) Qual é a soma dos dígitos do número 102019 + 103 + 2019? Alternativa d a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

12 (UNESP) Cada vez que clicamos com o mouse em um mapa mostrado na tela de um computador, a representação das distâncias no mapa dobra, como ilustra a figura.

2150 = 1, então termina em 1

2151 = 215, então termina em 5 215² resulta em um número que termina em 5

215³ resulta em um número que termina em 5

Logo, adicionando os algarismos das unidades dessas parcelas, temos: 1 + 5 + 5 + 5 = 16, ou seja, o algarismo das unidades da soma obtida é 6. Alternativa e Resolução da atividade 10 Se O, M, D e F representam números naturais tais que O . M . D . F = 6 e O + M + D + + F = 9 podemos ter: O = 6, M = 1, D = 1 e F = 1, pois, 6 . 1 . 1 . 1 = 6 e 6 + 1 + 1 + + 1 = 9

Após clicar certo número de vezes no mouse desse computador, um quadrado, que no primeiro mapa correspondia na realidade a um quadrado de área igual a 8 km2, passa a ser um quadrado com área correspondente a 32 768 km2. Nessa situação, o número de cliques feitos no mouse do computador foi igual a Alternativa b a) 12. b) 6. c) 15. d) 13. e) 7.

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Reconheço as características dos divisores e múltiplos de um número natural.

Estabeleço critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000.

Reconheço as características de números primos e compostos no conjunto dos números naturais.

Decomponho números naturais em fatores primos.

Resolvo e elaboro problemas utilizando a partição de um todo em partes proporcionais.

Resolvo problemas e cálculos que envolvem potenciação.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras.

Com base no retorno dessa autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Logo: O2 + M2 + D2 + F2 = 62 + + 12 + 12 + 12 = 36 + 1 + 1 + + 1 = 39. Alternativa d Resolução da atividade 11

Do enunciado temos que:

102019 é igual a 1, seguido de 2019 zeros 4 Soma dos dígitos é 1 103 = 1 000 4 Soma dos dígitos é 1

2019 4 Soma dos dígitos 2 + 0 + + 1 + 9 = 12

Portanto, a soma de todos os dígitos é igual a: 1 + 1 + 12 = 14. Alternativa d Resolução da atividade 12 Se as distâncias no mapa dobram a cada vez que clicamos com o mouse, a área quadruplica.

1 clique: 8 4 = 32 4 32 km2

2 cliques: 32 4 = 128 4 128 km2

3 cliques: 128 4 = 512 4

4 512 km2

4 cliques: 512 . 4 = 2 048 4

4 2 048 km2

5 cliques: 2 048 . 4 = 8 192 4

4 8 192 km2

6 cliques: 8 192 4 = 32 768 4

4 32 768 km2

Portanto, clicamos 6 vezes com o mouse. Alternativa b

Principais objetivos da unidade

• Identificar e representar ponto, reta, plano e ângulo, usando a notação adequada.

• Reconhecer reta, semirreta e segmento de reta.

• Identificar retas paralelas, perpendiculares e concorrentes no plano.

• Determinar a medida de abertura de ângulos com a utilização de régua e transferidor.

• Classificar ângulos considerando suas medidas em graus.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo a noção de ângulo em diferentes contextos.

• Associar, no plano cartesiano, vértices de polígonos a pares ordenados.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA22, na construção de retas paralelas e perpendiculares com a utilização de réguas, esquadros ou softwares. A construção de dobraduras utilizando a ideia de retas paralelas e perpendiculares está relacionada à habilidade EF06MA23. Reconhecer a abertura de ângulo como grandeza associada às figuras geométricas contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA25. A resolução de problemas envolvendo a noção de ângulo em diferentes contextos contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA26. A habilidade EF06MA27 está relacionada a determinar a medida de abertura de ângulos com a utilização de transferidor ou tecnologias digitais. A associação de pares ordenados de números a pontos no plano cartesiano contempla a habilidade EF06MA16

Pré−requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• façam uso adequado de régua e esquadro;

• tracem retas por dois pontos conhecidos;

• diferenciem retas, semirretas e segmentos de reta;

• retomem a ideia de ângulo e identifiquem o seu vértice no encontro das duas semirretas que formam o ângulo;

• identifiquem ângulos retos, maiores e menores que o reto;

• compreendam diferentes representações para a localização de objetos no plano por meio de pares ordenados.

Avaliação diagnóstica

É importante observar o que os estudantes já dominam em relação aos pré-requisitos relacionados. Promova uma roda de conversa e, em seguida, elabore algumas atividades escritas, para verificar se dominam esses conteúdos. Se necessário, retome-os, para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

BNCC na unidade Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 9

Competências específicas 1, 2, 3, 5, 6 e 8

Habilidades EF06MA16, EF06MA22, EF06MA23, EF06MA25, EF06MA26, EF06MA27 e EF06MA28

Corina Daniela Obertas/Alamy/Fotoarena

Catedral e Torre de Pisa, em Pisa, Itália, 2016.

Casas de cubos, em Roterdã, Holanda, 2019.

Ponto, reta, plano e ângulo

As formas geométricas estão presentes na natureza, nas artes, nas construções e em muitos outros objetos feitos pelos seres humanos. Nas imagens, podemos identificar elementos que sugerem a ideia de pontos, retas, planos e formas geométricas.

1. A medida do ângulo que a Torre de Pisa forma com o solo é um ângulo reto?

Orientações

Observe as fotos da abertura desta unidade e discuta com os estudantes os elementos que as compõem. Faça perguntas como: Vocês sabem que lugares são esses ou já viram outras imagens deles? Conseguem identificar alguma forma ou elemento geométrico?

Chame a atenção dos estudantes para os destaques em vermelho nas fotos, que indicam ângulos e retas. Antes de encaminhar as atividades propostas, discuta com os estudantes quais são as figuras geométricas e os conceitos encontrados nas imagens que abrem a unidade e peça que falem suas percepções sobre o uso da Geometria no cotidiano. Anote as respostas na lousa e incentive a participação de todos.

Para aprofundar

2. A forma de quais figuras geométricas planas podemos identificar nas imagens?

Espera-se que os estudantes Quadriláteros,

respondam que não. triângulos e outros polígonos.

3. Na imagem das casas de cubos, a posição das linhas vermelhas sugerem a ideia de que tipos de retas contidas em um mesmo plano? E as linhas vermelha e verde? Retas paralelas; retas concorrentes ou perpendiculares.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• identificar e representar ponto, reta, plano e ângulo usando a notação adequada;

• determinar a medida de abertura de ângulos com a utilização de régua e transferidor;

• resolver e elaborar problemas envolvendo a noção de ângulo em diferentes contextos.

• associar no plano cartesiano vértices de polígonos a pares ordenados.

O artigo indicado a seguir apresenta uma pesquisa partindo da etnomatemática como contextualização, utilizando o software de Geometria dinâmica GeoGebra como ferramenta tecnológica.

O texto está disponível em: http://www.ebrapem2016. ufpr.br/wp-content/uploads/2016/04/gd16_gerson_alten burg.pdf (acesso em: 10 jun. 2022).

Objetivos do capítulo

• Identificar e representar ponto, reta, plano e ângulo usando a notação adequada.

• Reconhecer reta, semirreta e segmento de reta.

• Identificar retas paralelas, perpendiculares e concorrentes no plano.

• Determinar a medida de abertura de ângulo com a utilização de régua e transferidor.

• Classificar ângulos considerando suas medidas em graus.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo a noção de ângulo em diferentes contextos.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 2, 3, 4 e 5

Competências específicas 1, 2, 3, 5, 6 e 8

Habilidades EF06MA22, EF06MA23, EF06MA25, EF06MA26 e EF06MA27

Orientações

Antes de dar início às atividades do Para começar, pergunte aos estudantes se tocam ou já tocaram algum instrumento musical. Se houver possibilidade, sugira que façam uma breve pesquisa sobre o assunto como forma de evidenciar a relação entre a música e a Matemática.

Ao finalizar as atividades, peça aos estudantes que identifiquem, na sala de aula, objetos em que apresentem a ideia de elementos como retas, pontos e planos.

Ponto, reta, plano e ângulo

Em uma escola há 54 alunos matriculados no 6? ano. Eles vão fazer uma visita ao Museu do Amanhã, na cidade do Rio de Janeiro (RJ). Lá, serão divididos em grupos com o mesmo número de alunos, cada um com mais de 5 e menos de 20 alunos. De quantas formas diferentes esses grupos poderão ser feitos?

Veja a imagem do violão a seguir.

tampo cordas braço traste casa

tarraxa

Com que elementos geométricos os itens indicados a seguir se parecem?

• Uma corda do violão?

• As marcas brancas em algumas casas do violão?

Uma reta. Pontos. Um plano. RemarkEliza/Shutterstock.com

Ponto, reta e plano

Observe estas imagens.

Trilhos de uma ferrovia.

Marca feita pela ponta do lápis em uma folha de papel.

Tela de computador.

As noções de ponto, reta e plano são chamadas de noções primitivas, pois são aceitas sem definição. Suas representações apenas dão a ideia do que são esses conceitos geométricos, uma vez que eles não existem no mundo real.

Ponto

Orientações

Ponto, reta e plano são noções primitivas da Geometria que não possuem definição, por isso, nos apropriamos de exemplos próximos para representar esses conceitos. Vale salientar que esses elementos embasam a construção de conhecimentos geométricos; nenhum deles possui dimensão e forma, mas condicionam o estudo de outras figuras.

Reta

Utilizando uma régua, podemos traçar uma linha. Deslocando a régua ao longo da linha traçada, podemos prolongar extremidades como mostra a figura.

Na lousa, reproduza a situação apresentada no livro em que se utiliza régua para traçar representação de uma reta. A visualização auxiliará na aprendizagem.

Continuando com o deslocamento da régua, temos a ideia de uma reta Geralmente usamos letras minúsculas do alfabeto para nomeá-las. Veja as retas r e s representadas abaixo.

O ponto não possui dimensões. Utilizaremos o símbolo • para representá-lo no papel e uma letra maiúscula qualquer de nosso alfabeto para nomeá-lo. Observe os pontos M, X, B e Y representados abaixo. r s

Plano

O plano também tem infinitos pontos e é ilimitado em todas as direções. Geralmente usamos letras minúsculas do alfabeto grego para nomeá-los, mas podemos nos referir a um plano citando três ou mais pontos que pertençam a ele. Observe a representação dos planos a, b e g (lê-se: planos alfa, beta e gama).

Ilustrações: André Martins

Ilustrações: Luca Navarro

Ilustrações: DAE

Orientações

Peça aos estudantes que repitam o procedimento que Pedro fez no caderno e, em seguida, compartilhem o que perceberam em relação às diferenças entre reta, semirreta e segmento de reta. Espera-se que eles percebam diferenças entre as notações desses elementos. Espera-se, também, que observem que:

• reta 4 não tem início nem fim.

• semirreta 4 tem início, mas não tem fim.

• segmento de reta 4 tem início e fim, ou seja, é delimitado por dois pontos, o que possibilita que seja medido.

Destaque a importância da notação adequada desses elementos:

• ponto 4 representado por letra maiúscula.

• reta 4 representada por letras minúsculas ou AB (reta que passa pelos pontos A e B).

• plano 4 representado por letra grega.

Qualquer outro conceito geométrico, diferente das noções primitivas, precisa ser definido com base nessas noções já estabelecidas anteriormente. Analisemos as seguintes situações.

Veja a representação que Pedro fez e perceba que os pontos A e B estão no plano da página do caderno.

A letra g (gama), no canto inferior direito da página, nomeia o plano. A reta AB está contida no plano g

Por dois pontos distintos passa uma única reta (r); ou seja, se existe outra reta (s) que passa pelos pontos A e B, então r = s

Semirreta

Imagine uma reta r. Se considerarmos um ponto O sobre essa reta, passamos a ter duas semirretas com origem nesse ponto O

• A semirreta com origem em O e que passa pelo ponto A, é representada por OA

• A semirreta com origem em O e que passa por B, é representada por OB

1. Não.

1. Uma reta tem começo e fim?

2. E uma semirreta, tem começo e fim?

3. Uma reta pode ser medida? E uma semirreta?

Segmento de reta

2. Uma semirreta tem começo, mas não tem fim.

3. Não, porque tendem ao infinito.

Se considerarmos os pontos A e B e todos os pontos da reta r situados entre A e B, obteremos o segmento de reta de extremidades A e B, que indicamos por AB

Nesse caso, dizemos que r é a reta suporte de AB

A B r

O segmento de reta pode ser medido, e indicamos a medida por med (AB) ou simplesmente por AB.

Agora, observe a imagem do cubo ao lado.

Ele possui 6 faces planas, sendo EFGH uma delas, 12 arestas, que são os segmentos de reta determinado pelo encontro de duas faces e 8 vértices, que são os pontos de encontro de três arestas. As arestas são segmentos de reta que têm a mesma medida e por isso são congruentes

Exemplo: AB = 2 cm e CD = 2 cm.

AB e CD são arestas que possuem a mesma medida, o que é indicado por: AB h CD 4 lê-se: o segmento AB é congruente ao segmento CD

Quantos pontos há em um segmento de reta? Infinitos pontos.

Euclides, o matemático de Alexandria

O pensamento de Euclides, famoso matemático grego cuja data e local de nascimento são desconhecidos, floresceu em Alexandria por volta de 300 a.C. Elementos, do grego stoikheia, é sua principal e mais conhecida obra e aborda a Geometria e a teoria dos números.

As ideias por ele sugeridas, como as noções de ponto, reta e plano, dão sustentação à Geometria até os dias de hoje.

• Por três pontos distintos e não alinhados. podemos passar uma única reta? Não.

Fonte: FRAZÃO, Dilva. Euclides: matemático de Alexandria. E-biografia, [s l.], [20--]. Disponível em: https:// www.ebiografia.com/euclides/#:~:text=Euclides%20foi%20um%20matem%C3%A1tico%20de,livro%20 %22Elementos%20de%20Euclides%22.&text=Euclides%20de%20Alexandria%20nasceu% 20provavelmente,centro%20do%20saber%20da%20%C3%A9poca. Acesso em: 29 abr. 2022.

1 Classifique cada uma das afirmativas a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F).

I. A reta é infinita, ou seja, não tem início nem fim.

II. Por um ponto podem passar infinitas retas.

III. Os pontos A e B não pertencem ao segmento de reta AB

IV. As arestas de um bloco retangular são segmentos de reta congruentes.

V V F F

2 Usando um giz, o professor de Educação Física marcou os pontos P, Q e R no piso do pátio da escola. Quantas retas os pontos P, Q e R determinam? Quais são elas?

Três: PQ, QR e PR

Orientações

Verifique se os estudantes identificam vértices, arestas e faces no cubo representado. Se necessário, retome esses conceitos.

Em Pense e responda, ao comentar a questão apresentada, observe se os estudantes compreendem que qualquer linha é um agrupamento de infinitos pontos.

A abordagem histórica trazida em Viagem no tempo favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1

Peça aos estudantes que respondam oralmente à questão proposta. Se houver divergência na resposta, retome-a após a realização da atividade 2

As atividades dessa seção exploram os conceitos de ponto, reta e plano. Ao realizá-las, espera-se que os estudantes sistematizem e solidifiquem os conhecimentos adquiridos. Se necessário, retome alguns conceitos e, depois, faça a correção coletiva.

Resolução da atividade 1

I. Verdadeira. Caso caminhássemos sobre uma reta, a fim de encontrar seu último ponto, jamais terminaríamos de caminhar.

II. Verdadeira.

III. Falsa. Os extremos A e B pertencem aos seguimento da reta AB

IV. Falsa. A congruência das arestas só vale para o cubo, e não para os demais blocos retangulares. Resolução da atividade 2

Três retas: PQ QR PR ,e

Euclides de Alexandria, professor, matemático e escritor grego.

Granger/Fotoarena

Orientações

Na atividade 3, se necessário, auxilie os estudantes reproduzindo o desenho na lousa e resolvendo cada item com eles. No item b, sugira que reproduzam a figura no caderno representando cada uma das arestas com uma cor distinta. Ao resolver o item c, observe com os estudantes que nem todas as faces desse sólido são retangulares. Ajude-os a identificar as arestas congruentes.

Na atividade 4, espera-se que os estudantes empreguem o raciocínio lógico para determinar o mínimo de elos que devem ser abertos. Peça que compartilhem com os colegas como pensaram para chegar à solução do problema.

Possibilidade de resolução:

a) Quantas faces tem esse sólido? Identifique três delas.

b) Quantas arestas ele tem?

15 arestas

7 faces; por exemplo: EFGH, GHIJ e ABJGF

c) Sabendo que ADEF, ABCD, BCIJ, GHIJ e EFGH são retângulos, identifique dois pares de arestas congruentes que não estejam na mesma face.

Exemplo de resposta: BC e GH; AD e IJ

4 Fábio tem seis pedaços de correntes, representados a seguir, cada um com quatro elos.

Sugestões de perguntas para a atividade 5

• Esse sólido tem quantas faces?

• As faces laterais são formadas por qual figura geométrica?

• Qual é a quantidade de arestas?

Se achar conveniente, trabalhe um pouco mais esses conceitos utilizando a planificação de alguns sólidos para indicar seus elementos.

Quantos desses elos, no mínimo, deverão ser abertos e depois fechados para unir esses pedaços e obter uma só corrente?

elos

5 Observe a imagem a seguir.

Elaborem três perguntas envolvendo pontos, segmento de reta e plano com base nessa imagem e troquem com outra dupla para responder. Depois, destroquem para conferir as respostas e as estratégias utilizadas.

Reinaldo Vignati

Ângulo

Observe a imagem abaixo.

Definimos o ângulo visual como o ângulo entre duas semirretas que saem de um objeto em direção ao olho. Ele deve ter uma abertura máxima de aproximadamente 25‘

Para ver um corpo qualquer com nitidez, por exemplo, um lápis, este deve ficar a uma distância mínima dos olhos de duas vezes e meia a sua maior dimensão, no caso, o comprimento.

O giro de uma pessoa em torno de si mesma e a volta dos ponteiros do relógio dão a ideia de ângulo. Outras situações em que podemos identificar ângulos: a inclinação de um telhado, o canto de uma mesa, a abertura entre os ponteiros de um relógio etc.

Orientações

Ao explorar o conceito de ângulo, verifique se os estudantes se apropriaram da noção de ângulo apresentada nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Se necessário, retome-a antes de prosseguir com a ampliação desse conceito.

Você pode pedir a eles que identifiquem alguns ângulos na sala de aula. Comente que a medida do ângulo diminui visualmente de acordo com o afastamento do objeto.

Em Pense e responda, cheque as estratégias que os estudantes usaram para verificar que o ângulo formado entre as águas do telhado é maior que o ângulo reto, formado entre o tampo e o pé da mesa. Se considerar oportuno, amplie a atividade e mostre-lhes relógios analógicos marcando diferentes horários, conforme os sugestões a seguir.

Dos dois ângulos representados nas imagens da mesa e da casa, qual deles tem maior abertura?

O das águas do telhado.

Ângulo é a figura constituída pelos pontos que estão em duas semirretas distintas, com uma mesma origem, reunidos com os pontos da região de plano delimitada por essas semirretas.

Em que:

• o ponto O é o vértice do ângulo;

• as semirretas OA e OB são os lados do ângulo.

Indica-se esse ângulo por ˆ AOB ou ˆ O

A medida da abertura do ângulo, também chamada de medida do ângulo, é determinada pela abertura entre as semirretas.

Para aprofundar

O artigo Um estudo sobre ângulos: abordagem didática através de atividades traz propostas de atividades para trabalhar a noção de ângulo.

O texto está disponível em: https://repositorio.ufsm.br/ bitstream/handle/1/2757/Montagner_Karen_Pereira.pdf? sequence=1 (acesso em: 10 jun. 2022).

Peça aos estudantes que observem os ângulos formados pelos ponteiros e digam se reconhecem algum. Espera-se que respondam, ao menos, que reconhecem o ângulo reto.

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA25

Indicação do ângulo formado pelas águas de um telhado.

Indicação do ângulo formado no canto de uma mesa.

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Orientações

Ao explorar o tópico “Medindo ângulos”, é importante considerar que há diferentes tipos de transferidor e que os estudantes podem ter dúvidas no manuseio do instrumento. Sugere-se orientar os estudantes para que verifiquem se o ângulo é maior ou menor que 90 graus, evitando, assim, confusões como a interpretação de que a medida de um ângulo é 60 graus quando, na realidade, é 120 graus.

Trabalhe as diferentes notações para representação de ângulos e ressalte que a linguagem simbólica faz parte da Geometria.

Reforce que um giro completo mede sempre 360‘

A habilidade EF06MA27 é explorada ao usar o transferidor para medir a abertura de ângulos.

Medindo ângulos

Imagine uma circunferência dividida em 360 partes iguais. Cada uma dessas partes menores é denominada grau, a unidade-padrão de medida de ângulos, indicada pelo símbolo ‘. Cada uma das partes em que a circunferência foi dividida corresponde a um grau, ou seja, 1‘ corresponde a 1 360 da circunferência.

1 grau =

1 grau =

Para medir o ângulo, fazemos:

• o centro do transferidor coincidir com o vértice do ângulo;

• a marca “zero grau” do transferidor deve estar alinhada com um dos lados do ângulo;

• a marca numérica do transferidor, que representa a medida desse ângulo, deve estar alinhada com o outro lado do ângulo.

A medida do ângulo AÔB de 30‘ é representada assim: med (AÔB) = 30º ou AÔB = 30º ou Ô = 30º ou med(Ô) = 30º.

Os transferidores têm duas escalas, cada uma em um sentido diferente. Devemos fazer a leitura naquela cuja indicação de grau zero está colocada em um dos lados do ângulo. No caso das figuras destas páginas, é a escala interna.

Para medir ângulos, podemos usar um transferidor. Há dois tipos de transferidor: de 360‘ e 180‘

Transferidor 360‘

Transferidor 180‘

Ilustrações: Oleksandr Kostiuchenko/ Shutterstock.com

Classificando ângulos

O ângulo também pode ser entendido como a região do plano obtida pelo giro de uma semirreta em torno da sua origem – por exemplo, da posição inicial da semirreta AO até a posição final da semirreta OB

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA025

Ao trabalhar a classificação de ângulos, ressalte a importância de se reconhecer o ângulo reto para identificação dos ângulos agudos e obtusos. Retome, com os estudantes, que o ângulo reto corresponde a um quarto de volta.

Faça a classificação, apresentando exemplos na lousa, como:

Quando a semirreta AO gira em torno da origem O até assumir a posição da semirreta oposta OB, dizemos que o ângulo é raso, ou de meia volta. Sua medida é 180‘ (lê-se: cento e oitenta graus).

Ângulo raso (180‘).

No caso de as duas semirretas coincidirem, são determinados dois ângulos: um chamado de ângulo de uma volta, cuja medida é 360‘ (lê-se: trezentos e sessenta graus), formado por todos os pontos do plano, e outro chamado de ângulo nulo, cuja medida é 0‘ (lê-se: zero grau), formado por todos os pontos das semirretas coincidentes.

Se uma volta completa corresponde a 360‘, como é possível obter um ângulo de 720‘?

Dando duas voltas completas.

Ângulo nulo (0º). Ângulo de uma volta (360º).

Os ângulos ainda podem ser classificados de acordo com a medida em reto, agudo e obtuso. Veja o quadro a seguir.

reto

agudo

Ângulo cuja medida é 90‘. Indica-se: Ângulo cuja medida está entre 0‘ e 90‘ Ângulo cuja medida é maior que 90° e menor que 180‘

• ângulo raso: 180‘;

• ângulo agudo: 60‘, 89‘;

• ângulo obtuso: 91‘, 108‘

Peça aos estudantes que apresentem contextos em que podemos identificar esses ângulos, por exemplo: nos cantos dos azulejos (ângulo reto), na marcação dos ponteiros em 13h15min (ângulo agudo), em 17h (ângulos obtusos) etc.

Em Pense e responda, para resolver a questão proposta, os estudantes deverão usar a imaginação e observar que 720‘ é o dobro de 360‘. Deixe que discutam por alguns instantes e faça a correção coletiva, pedindo a eles que compartilhem as estratégias que utilizaram.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade

EF06MA26

Resolução de Curiosidade

900 : 360 = 2,5

Espera-se que os estudantes tenham compreendido que uma volta completa corresponde a 360°. Eles podem utilizar diferentes estratégias para chegar ao resultado. Para ampliar a proposta, peça que pesquisem outros esportes que utilizam rampas. Se possível, solicite que tragam imagens das rampas desses esportes para identificarem os ângulos.

Durante a realização das atividades, percorra a sala de aula e auxilie os estudantes caso apresentem dúvidas. Esse processo é importante para verificar os pontos que precisarão ser retomados.

Em algumas delas, os estudantes precisarão manusear o transferidor. Se considerar oportuno, desenhe na lousa ângulos com diferentes aberturas e mostre como deve ser feita a medição.

Na atividade 1, os estudantes devem identificar ângulos em elementos dentro da própria sala de aula, por exemplo: canto da lousa e da porta, encontro do encosto da cadeira com o assento etc. Observe os desenhos deles para verificar se os ângulos retratados estão representados adequadamente.

Resolução da atividade 2

Evidencie que, a cada minuto, o ponteiro dos minutos realiza um giro de 6° (360 : 60).

a) 10 . 6 = 60 4 60‘

b) 15 . 6 = 90 4 90‘

c) 30 6 = 180 4 180‘

d) 60 6 = 360 4 360‘

Resolução da atividade 3

Para responder à atividade 4, se possível, traga um relógio de parede para a sala de aula para que eles possam observar o funcionamento.

Movimente o ponteiro dos minutos manualmente, de modo que percebam a movimentação simultânea do ponteiro das horas.

Resolução da atividade 4

Às 3h30min, o ângulo entre os ponteiros mede 75‘

Às 9h30min, o ângulo entre os ponteiros mede 105‘

Não confunda os minutos e segundos das medidas de ângulos com os minutos e segundos das subdivisões da hora, relativos a intervalos de tempo. Embora tenham o mesmo nome, essas unidades medem grandezas diferentes: uma mede amplitude de ângulo e a outra, o tempo.

Para obter medições mais precisas, o grau é dividido em 60 partes iguais, cada uma delas chamada minuto, representado pelo símbolo ’. O minuto é também dividido em 60 partes iguais, cada uma delas denominada segundo, representado pelo símbolo ”.

• 1‘ equivale a 60’

• 1’ equivale a 60’’

Então:

• 1 minuto equivale à sexagésima parte do grau, ou seja: 1’ = 1 60 de 1‘

• 1 segundo equivale à sexagésima parte do minuto, ou seja: 1’’ = 1 60 de 1’

O skate vertical é praticado em pistas que têm o formato em U. Suas extremidades formam, com o solo, uma transição de 90‘. O brasileiro Sandro Dias, o “Mineirinho”, foi o terceiro skatista a realizar a manobra de 900‘ com perfeição. Um ângulo de 900‘ corresponde a aproximadamente quantas voltas completas?

Faça no caderno

2,5 voltas

1 Descreva alguns ângulos que você observa em sua sala de aula. Procure identificar ângulos com origem em um ponto. Faça desenhos para representá-los.

2 O relógio representado na figura marca 8 horas.

Escreva o ângulo que indica o giro, em graus, determinado pelo ponteiro dos minutos a partir de 8 horas e marcar:

a) 8h10min;

b) 8h15min;

d) 9h. 60‘ 90‘

c) 8h30min;

180‘ 360‘

3 A figura representa o caminho ABCDEFG percorrido por uma formiga. Quando a formiga muda de direção, ela gira de um certo ângulo para a direita ou para a esquerda.

Veja um exemplo de ângulo de giro: Ângulo de giro.

X

Reproduza o trajeto que a formiga deverá percorrer para ir de A até G e pinte os ângulos de giro classificando-os em agudo, reto ou obtuso. Resposta no Manual do Professor.

4 Explique por que, quando os ponteiros do relógio marcam 3h30min e 9h30min, os menores ângulos formados não são retos. Porque o ponteiro das horas também descreve um certo ângulo.

Atividades complementares

½ Construindo ângulos com dobraduras

Material

• um círculo de papel;

• lápis e caneta.

Passo a passo

1. Peça aos estudantes que dobrem o círculo ao meio.

2. Com o semicírculo formado, peça que dobrem novamente.

3. Peça que desfaçam as dobraduras e, pelas marcas, identifiquem os ângulos formados utilizando estratégias pessoais.

5 Observe a figura ao lado. Agora, no seu caderno, faça um quadro semelhante ao apresentado a seguir e complete-o.

6 Analise os polígonos representados abaixo.

quadriculada e observar que, no caso de meio quadradinho, o ângulo mede 45° (90 : 2). Dessa forma, no octógono, os ângulos internos medem 135° (90 + 45).

Resolução da atividade 7

a) Por ser um giro de 90‘, em quatro giros ele volta à posição inicial. Então, a figura obtida será igual à primeira imagem.

b) Como, após 4 giros, a figura volta à posição inicial, então, a 8a figura corresponde à quarta imagem.

a) 1: med(Â) = 45‘, med (B) = 90‘ e med (C) = 45‘; 4: todos medem 135‘

a) Quais são as medidas dos ângulos internos dos polígonos 1 e 4?

b) Quais são os lados perpendiculares no polígono 3?

c) Quais são os lados paralelos no polígono 4?

FG e GH, GH e HI, e HI e IJ PQ e UT , QR e UV , RS e VX , XP e ST

d) Em qual desses polígonos os ângulos internos são todos obtusos?

7 As figuras da sequência abaixo, a partir da segunda, são obtidas girando a anterior 90‘ no sentido horário. Respostas no Manual do Professor.

c) 21 : 4 = 5 com resto 1, o que significa que, por 5 vezes, voltaremos à figura inicial e teremos que dar mais um giro de 90º, o que corresponde à segunda imagem.

Desenhe:

a) a 5; figura da sequência; b) a 8; figura da sequência; c) a 21; figura da sequência.

8 Elabore um problema envolvendo o conceito de ângulo e dê para um colega resolver enquanto você resolve o que ele elaborou. Ao final, verifiquem as resoluções em conjunto e conversem sobre as estratégias utilizadas. Resposta pessoal.

9 Quantos minutos correspondem a:

a) 15‘?

10 Quantos graus correspondem a:

a) 4 320'?

Orientações

b) 900’’?

b) 136 800''?

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA25 e EF06MA26

Observe se os estudantes apresentam dificuldade para realizar a atividade. Se necessário, retome a ideia de fração de um todo, no caso, o todo é igual a 360°.

Na atividade 6, no item a, os estudantes devem perceber que não é necessário medir os ângulos para obter suas medidas. Eles podem se apoiar nos quadradinhos da malha

Na atividade 8, acompanhe a elaboração dos problemas, e se achar conveniente, peça aos estudantes que escolham alguns para ser resolvidos coletivamente.

Resolução da atividade 9

a) 15 60 = 900 4 900’

b) 900 : 60 = 15 4 15’

Resolução da atividade 10

a) 4320 : 60 = 72 4 72°

b) 136800 : 3600 = 38 4 38°

Faça a correção coletiva das atividades 9 e 10, retomando, se necessário, o conceito de classificação de ângulos e as equivalências entre ângulos e minutos. Observe se eles conseguem fazer as equivalências corretamente. Se achar pertinente, apresente as medidas de mais alguns ângulos, para que eles façam a correspondência.

Orientações

Estimule os estudantes a fazer a leitura do texto de Viagem no tempo, que mostra o estudo referente ao grau realizado pelos povos que habitavam a região da Mesopotâmia. Isso favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1

Para trabalhar a construção dos ângulos, reforce a influência do posicionamento correto do transferidor no momento de medir a abertura de um ângulo para evitar equívocos na medição.

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA27

O grau

No segundo e primeiro milênios antes de Cristo, floresceram na Mesopotâmia (a região entre os rios Tigres e Eufrates, que hoje corresponde, grosseiramente, ao Iraque) várias civilizações conhecidas de um modo geral como civilização babilônica.

Este povo realizou estudos ligados à astronomia e à álgebra elementar e possuía um sistema de numeração bastante desenvolvido cuja base era sessenta.

Dentre as heranças deixadas por essa civilização, encontramos a marcação das horas (1 hora = 60 minutos; 1 minuto = 60 segundos) e a medição dos ângulos em graus.

Com base nos seus estudos sobre movimentos de estrelas e planetas e por causa do seu sistema de numeração, os babilônios dividiram o círculo em 360 partes iguais. Cada uma dessas partes recebeu, mais tarde, o nome de um grau. O grau tem sido uma das unidades utilizadas para expressar a medida de ângulos ao longo de muito tempo.

DINIZ, Maria Ignez S. V.; SMOLE, Kátia C. S. O conceito de ângulo e o ensino de Geometria. 2. ed. São Paulo: IME/USP, 1996, p. 37.

Construindo ângulos

Para construir um ângulo de 45‘ usando régua e transferidor, você pode proceder conforme os passos a seguir.

1? passo: Com a régua, trace uma representação de OA, que será um dos lados do ângulo, e indique o ponto O, que será o vértice do ângulo.

2? passo: Centrando o transferidor no ponto O com OA, passando pelo zero do transferidor, marque um ponto B em 45‘

3? passo: Retire o transferidor e trace, com o auxílio de uma régua, uma representação de OB, que é o outro lado do ângulo, indicando a medida do ângulo junto ao vértice O

Ilustrações:Luca Navarro

Atividades

1 Usando régua e transferidor, construa um ângulo de:

a) 15‘;

b) 28‘;

Resolução da atividade 2

A cada hora completa, o ponteiro das horas faz um giro de 30‘, portanto, 4 30 = 120 4 120‘

c) 80‘;

d) 130‘;

e) 210‘; f) 300‘

2 Usando régua e transferidor, construa o ângulo formado pelos ponteiros das horas e minutos quando marcam 16 horas.

Respostas no Manual do Professor. 120°

Posições relativas entre retas e entre retas e planos

Linhas por todos os lados

Artistas também usam elementos geométricos em seus trabalhos, seja em projetos arquitetônicos, telas ou esculturas. Observe a tela do artista Mondrian.

Reta horizontal e reta vertical

Você conhece as brincadeiras a seguir?

O desafio é passar por baixo de uma corda esticada, sem tocá-la.

Na imagem ao lado, podemos identificar linhas retas ou linhas curvas?

Linhas retas.

Para traçar esse ângulo, peça que usem o passo a passo da atividade 1

No tópico “Posições relativas entre retas e entre retas e planos”, espera-se que os estudantes sejam capazes de reconhecer retas paralelas e perpendiculares no plano.

Peça que observem a tela do artista Mondrian. Converse com eles sobre a obra e sobre a biografia de Mondrian, que está disponível em: https://www. guiadasartes.com.br/piet-mondrian/ biografia (acesso em: 10 jun. 2022).

Essa observação contribui para o desenvolvimento da competência geral 4

Em Pense e responda, sugira que respondam coletivamente à questão apresentada.

Em relação ao plano do chão, a corda esticada está na posição (direção) horizontal

Orientações

As atividades dessa página contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA27

Resolução da atividade 1

Veja o passo a passo da resolução do item a. Todos os demais itens deverão ser construídos de maneira análoga.

a) 1o passo: Com a régua, trace uma semirreta OA que será um dos lados do ângulo, com o ponto O sendo o vértice. O A

2o passo: Centre o transferidor no ponto O alinhando-o com OA. Marque um ponto B na indicação de 15‘

3o passo: Retire o transferidor e usando a régua trace a semirreta OB que será o outro lado do ângulo. Indique 15‘ junto ao vértice O

Kunstmuseum Den Haag, Haia

Piet Mondrian. Composição com grande plano vermelho, amarelo, preto, cinza e azul, 1921. Óleo sobre tela. 59,5 cm × 59,5 cm.

Reinaldo Vignati

Orientações

Peça aos estudantes que leiam o tópico “Retas paralelas e retas concorrentes”. Depois, sugira que encontrem, na sala de aula, exemplos de representações de retas paralelas ou perpendiculares. Se necessário, retome esses conceitos antes de prosseguir.

O desafio aqui é manter o ioiô girando por mais tempo. Assim posicionado, o fio do ioiô está na posição (direção) vertical em relação ao plano do chão.

A corda esticada nos dá a ideia de uma reta horizontal, e o fio do ioiô a ideia de uma reta vertical.

s

r Reta horizontal.

vertical.

Retas paralelas e retas concorrentes

Duas retas distintas contidas em um mesmo plano podem ser paralelas ou concorrentes.

No sólido ao lado, vamos considerar:

• as faces planas como parte de planos ou simplesmente “planos”;

• as arestas como parte de retas ou simplesmente “retas”.

Assim, ficará mais fácil compreender as posições relativas entre duas retas distintas contidas em um mesmo plano.

Agora, observe o sólido ABCDEFGH, em que destacamos:

• pares de retas paralelas no plano EFGH: EF e GH;

• pares de retas paralelas no plano ADHE: AD e EH ;

• pares de retas concorrentes no plano ABCD: AB e BC ;

• pares de retas concorrentes no plano CDHG: DH e CD

Reduzindo ao plano da página o que poderia ser o plano ABCD do sólido, temos as seguintes posições entre duas retas distintas:

Paralelas Concorrentes r s

Duas retas paralelas nunca se cruzam, ou seja, não têm ponto comum. A distância entre elas é sempre a mesma. Indica-se r // s

Lê-se: r é paralela a s

r s

Duas retas concorrentes se cruzam em um único ponto, ou seja, têm apenas um ponto comum. Indica-se r * s

Lê-se: r é concorrente a s

Note que duas retas concorrentes se cruzam formando entre si quatro ângulos.

Se duas retas são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos (ângulos de 90‘), dizemos que são retas perpendiculares

A Matemática nas obras de arte

Para criar a composição das obras a seguir, os artistas usaram linhas retas e linhas curvas ou apenas linhas retas.

Orientações

Converse com os estudantes sobre como conceitos de Matemática podem ser visualizados em obras de arte. Peça que observem as linhas e formas, que identifiquem e que classifiquem os ângulos presentes nas imagens.

Em seguida, solicite que façam as atividades e acompanhe a execução. Se considerar oportuno, organize uma exposição com as produções da turma.

Essa seção favorece o desenvolvimento da competência geral 3, da competência geral 4, da competência específica 3 e da competência específica 8

Respostas pessoais.

1 Reúna-se com dois colegas e analisem as obras acima, identificando linhas paralelas, concorrentes e transversais. Façam os registros das observações no caderno.

2 Façam uma pesquisa sobre o artista Theo van Doesburg e apresentem aos colegas os dados obtidos.

3 Façam um desenho inspirado nas obras do artista, apresentem aos colegas e, se possível, exponham no mural da sala. Não se esqueçam de dar um nome para a obra que criaram e assinar o nome de vocês!

Theo van Doesburg. Composição contador VI, 1925. Óleo sobre tela, 50 cm * 50 cm.

Theo van Doesburg. L’efant mécanique, 1918. Tinta indiana em papel transparente, 12 cm * 14 cm.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA22

Se possível, faça na lousa, com os estudantes, o passo a passo descrito no livro para construir retas paralelas e perpendiculares. Dessa maneira, eles poderão acompanhar a construção de retas antes da realização das atividades.

Em Pense e responda, incentive os estudantes a pensar em outras formas de traçar retas paralelas e, depois, peça que troquem ideias sobre as diversas estratégias utilizadas para a descrição do método.

Curiosidade apresenta aspectos históricos da Geometria. Converse com os estudantes sobre as contribuições de matemáticos do passado e, se achar propício, sugira que pesquisem sobre matemáticos importantes que contribuíram para o estudo de ângulos e retas.

O conteúdo desse boxe contribui para o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1

Traçando retas paralelas e retas perpendiculares

Usando régua e esquadro

O esquadro é um instrumento que pode ser usado para desenhar, medir ângulos e traçar retas paralelas e perpendiculares. Há dois tipos de esquadro. Veja ao lado e abaixo.

Como podemos construir retas paralelas com régua e esquadro?

1? passo: Mantemos a régua fixa, apoiamos o ângulo reto do esquadro sobre ela e traçamos a reta r

Descreva, no caderno, um método para traçar retas perpendiculares utilizando régua e esquadro. Resposta pessoal.

2? passo: Deslizamos o esquadro sobre a régua e traçamos a reta s

Nesse caso, as retas

Esquadro de 45‘

A antiga Geometria

A Geometria lida com distâncias e ângulos, com linhas, áreas e volumes. Em suas formas mais simples e antigas, ela funciona com linhas e formas lineares em um plano. Mas partindo daí ela se ampliou para lidar com linhas curvas no espaço tridimensional e mesmo com espaços curvos em mais dimensões que nos ajudam a explicar a verdadeira estrutura do universo. Em seu caminho, ela nos proporcionou a arquitetura, astronomia, ótica, perspectiva, cartografia, balística e muito mais.

ROONEY, Nane. A História da Matemática. Tradução: Mário Fecchio. São Paulo: M. Books, 2012. p. 73.

GeoGebra para smartphones

Utilizando o aplicativo GeoGebra para smartphones, podemos construir duas retas paralelas. Observe abaixo o layout e alguns recursos deste aplicativo.

Orientações

Essa seção favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA22, da competência geral 4, da competência geral 5 e da competência específica 5

O GeoGebra é um software de Geometria dinâmica que pode ser instalado no computador ou smartphone, com download livre, ou pode ser utilizado on-line

Nessa atividade, é proposto utilizar o GeoGebra para smartphones com o objetivo de traçar retas paralelas.

A vantagem de utilizar uma tecnologia digital diretamente pelo celular é que a atividade pode ser realizada em sala de aula.

Para construir duas retas paralelas, podemos seguir o passo a passo abaixo.

1? passo: Clique em “Ferramentas”. Em seguida, selecione a ferramenta “Reta” e, na janela de visualização, clique em dois pontos distintos, construindo a reta () AB . Agora, selecione a ferramenta “Ponto” e, na janela de visualização, clique em um ponto fora da reta () AB , construindo o ponto C

2? passo: Clique em “Álgebra” e, em seguida, em “Entrada”. Agora, digite o seguinte comando: Reta (C, vetor (A, B))

Lembre-se: Pontos são escritos utilizando letras maiúsculas. Estão construídas as retas paralelas.

f : Reta(A, B)

y = 0.5x + 3.3

C = (1.14325, -2.53148)

g : Reta(C, Vetor(A, B))

Entrada

Produção pessoal.

a) A partir do passo a passo apresentado, construa duas retas paralelas utilizando o aplicativo.

b) Tente usar o comando digitando os pontos com letras minúsculas. O que acontece?

Ocorre um erro, pois o aplicativo não interpreta as entradas como pontos, uma vez que não foi utilizada a notação correta para pontos (com letras maiúsculas).

Para aprofundar

Para saber mais sobre o uso do GeoGebra, leia o artigo A utilização do aplicativo GeoGebra para smartphone como recurso didático nas aulas de Matemática no Ensino Fundamental, disponível em: http://tedebc.ufma.br:8080/jspui/ bitstream/tede/2555/2/ELANNYSILVA.pdf. (acesso em: 10 jun. 2022).

Ressalte que a utilização de softwares em Geometria torna a representação de algumas figuras geométricas mais precisa.

Acompanhe a resolução do item a, observando se os estudantes conseguem realizar corretamente a proposta. Se necessário, peça aos que têm mais facilidade que auxiliem os colegas na tarefa.

Aproveite o item b para reforçar a importância de utilizar a terminologia correta na indicação dos entes geométricos.

Observe as respostas das atividades 1 e 2 e faça a correção coletiva, permitindo que os estudantes compartilhem as respostas e esclareçam possíveis dúvidas. Verifique se todos compreenderam as ideias de retas paralelas e perpendiculares. Se necessário, retome esses conceitos. Especialmente na atividade 2, a correção coletiva pode ser muito eficiente, pois permite que eles observem as respostas dos colegas e corrijam a si próprios ou ampliem o repertório de possibilidades.

Antes de encaminhar a medição dos ângulos no item a da atividade 3, escreva na lousa algumas estimativas feitas pelos estudantes em relação a essas medidas. Em seguida, observe se eles utilizam corretamente o transferidor no momento da medição. Depois, discuta com eles as estimativas registradas na lousa e as medidas que encontraram usando o transferidor, verificando se conseguiram valores próximos. Aproveite e converse sobre o sistema de localização GPS e questione se eles ou familiares utilizam esse recurso.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA27

Resolução do item a Ângulo indicado pela cor Medida

rosa 155‘ azul 90‘

verde 25‘

laranja 70‘

marrom 70‘

No item a da atividade 4, como podem surgir diferentes respostas, é interessante que os estudantes as compartilhem e acompanhem o trajeto.

Resposta possível:

Ana caminha 480 m em linha reta, perpendicularmente à Rua Mogno.

Então, vira à esquerda e caminha em linha reta por mais 240 m, chegando até Vera. Ela anda um total de 720 m. Há outras possibilidades.

1 Identifique, na sala de aula, linhas que deem a ideia de retas perpendiculares.

Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes falem das bordas da lousa, porta etc.

2 A figura a seguir representa um campo de futebol com suas marcações.

R S

G F

H J K P U

V M N O

L A B

a) paralelos;

b) perpendiculares.

E Q

T

Respostas possíveis: UV OP IB RQ e, e. Respostas possíveis: QDQR BI IH e, e. D

Dê exemplos de dois segmentos de reta destacados nesse campo de futebol que sejam:

a) Estime a medida de cada um dos ângulos assinalados no mapa. Depois, determine essas medidas usando o transferidor e compare com suas estimativas.

b) Que rua é paralela à Rua Marfim? Rua Imbuia.

c) Que ruas são concorrentes com a Rua Jacarandá?

d) Que ruas são perpendiculares à Avenida dos Mognos?

c) Avenida dos Mognos, Rua Marfim e Rua Imbuia.

d) Rua Imbuia e Rua Marfim.

4 A figura mostra a localização de quatro pessoas em relação à Rua Mognos e à Rua Peroba.

Ana Clara Rui 120 m 120 m Vera Rua Mognos Rua Peroba Luiz Lentini Rua Jacarandá

Se achar interessante, amplie o item b solicitando as mesmas informações a respeito das outras pessoas mostradas no croqui.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA23

As demais ruas traçadas são paralelas a uma ou outra rua. A distância entre cada rua é de 120 metros.

a) Descreva um trajeto para Ana ir até Vera. Quantos metros ela precisará percorrer?

b) A quantos metros de distância Clara está da Rua Peroba e da Rua Mognos? Rua Imbuia Rua Marfim

5 Efetuando dobraduras em uma folha de papel, vejam os passos utilizados para desenhar duas retas concorrentes. Resposta pessoal.

Orientações

Para realizar a atividade 5, organize com antecedência o material que será utilizado para fazer a dobradura. Para a resposta dos itens a e b os estudantes podem se apoiar no passo a passo apresentado nas imagens. Essa atividade favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA23

Faça uma dobra na folha e marque-a bem. Desdobre a folha e faça um traço verde nessa marca.

Faça uma nova dobra como mostra a imagem

Usando uma folha de papel para fazer dobraduras, troquem ideias com os colegas e escrevam os passos necessários para se desenhar duas retas: Respostas pessoais.

paralelas; b) concorrentes.

6 Quais são as medidas, em graus, dos dois ângulos formados pelos ponteiros das horas e dos minutos do relógio representado a seguir? 120‘ e 240‘

Depois que os estudantes tiverem elaborado os algoritmos para responder aos dois itens, peça que os grupos troquem as resoluções uns com os outros para que confiram se as instruções estão corretas e, se houver tempo, que construam as retas paralelas e concorrentes seguindo as instruções do outro grupo.

Resolução da atividade 6 Como visto anteriormente, o ponteiro das horas faz um giro de 30° a cada hora completa, portanto, em 4 horas, temos:

4 30 = 120 4 120°.

Logo, o ângulo interno formado entre os ponteiros é de 120° e o externo, 240° (360 - 120). Essa atividade contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA26

7 Analise a imagem abaixo: Expresse, em graus, a medida dos ângulos:

Na atividade 7, observe se os estudantes estão associando a marcação correta no transferidor, validando a resposta com base no conhecimento adquirido sobre classificação de ângulos. Essa atividade contempla a habilidade EF06MA27

e marque-a.

Desdobre a folha e faça um traço vermelho nessa marca.

Orientações

Antes que os estudantes resolvam a atividade 8, relembre a eles como posicionar o transferidor para executar as medidas corretamente. Essa atividade favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA27.

Resolução da atividade 9

A cada 1 kg, o ponteiro gira 45‘

Então:

• em 2 kg: 2 45= 90 4 90‘;

• em 8 3 kg: 8 3 45= 120 4 120‘;

• em 3 kg: 3 45 = 135 4 135‘;

• em 4 kg: 4 45 = 180 4 180‘

Essa atividade contempla a habilidade EF06MA26

A atividade 10 favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA25 Verifique se os estudantes conseguem identificar e classificar os ângulos corretamente. Peça que mencionem a característica de cada tipo de ângulo. Se necessário, retome esses conceitos apresentando exemplos na lousa de ângulos agudos, obtusos, retos e rasos. Faça a correção coletiva e peça a alguns estudantes para apresentar suas respostas na lousa.

8 Observe as retas a seguir.

6 Os ângulos correspondem, respectivamente, a 50°, 90°, 140°, 90°, 40°

Usando um transferidor, meça os ângulos, 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

9 Colocando 1 kg sobre o prato da balança a seguir, o ponteiro gira 45‘

Complete, no quadro abaixo, quantos graus vai girar o ponteiro da balança se sobre seu prato forem colocadas as massas indicadas.

10 A imagem a seguir foi desenhada em uma malha pontilhada quadriculada.

Dessa figura, destaque:

a) dois ângulos agudos;

b) dois ângulos obtusos;

c) três ângulos retos;

d) dois ângulos rasos.

origami é uma manifestação artística muito antiga e popular no Japão, sendo uma das marcas da sua cultura. Utilizando apenas papel e o dobrando sistematicamente, é possível construir as mais variadas figuras, sendo um exercício para a imaginação e a criatividade.

“Usaremos a expressão fazer uma dobradura como o ato de dobrar, uma transformação do plano; o termo dobra ou vinco é usado para a marca no papel resultante da dobradura. Na geometria das dobraduras, dobrar significa ao mesmo tempo sobrepor pontos e obter a reta de dobra, que é o lugar dos pontos que permanecem fixos nesta transformação”.

CARNEIRO, Mario; MICHEL, Spira. Oficina de dobraduras. Rio de Janeiro: IMPA, 2015. Observe, abaixo, o passo a passo para a construção de uma raposa feita com dobradura.

Início

Ilustrações:

Construir um quadrado ABCD

Dobrar, levando o ponto C em direção ao ponto A, formando um vinco em BD

Marcar o ponto P na metade do segmento AD, o ponto Q na metade do segmento AB e o ponto M na metade de DB

Dobrar, levando os pontos A e C em direção ao ponto M, formando um vinco em PQ

Marcar o ponto P’ entre P e D (mais próximo de P) e o ponto Q’ entre Q e B (mais próximo de Q)

Orientações

Acompanhe o desenvolvimento da atividade 11 e sugira aos estudantes que pesquisem outros origamis para construir.

Essa atividade contempla a habilidade EF06MA23, a competência geral 2 , a competência geral 3, a competência geral 4 e a competência específica 6

Atividades complementares

Converse sobre a cultura oriental que envolve as dobraduras. Se achar propício, assista com eles ao vídeo indicado a seguir, que fala sobre a história dos origamis e sua importância no território asiático. Disponível em: https://www.you tube.com/watch?v=AiZxHXINu5U (acesso em: 10 jun. 2022). O vídeo tem a duração de 3min43s.

Essa atividade propicia o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal: Diversidade Cultural.

Dobrar formando vinco entre P’C e Q’C

Virar o lado da figura

Desenhar um rosto na raposa construída

Fim

a) Construa a sua própria raposa de origami

b) Escreva dois segmentos de reta que podem ser observados na construção acima.

c) Agora é sua vez! Elabore uma dobradura simples, escreva o algoritmo (passo a passo) para construí-la e represente-o por meio de um fluxograma. Depois, dê para um colega construí-la, enquanto você constrói a que ele elaborou. Após finalizarem, conversem sobre como foi o processo de resolução.

Resposta pessoal. Resposta pessoal. Resposta pessoal.

Para aprofundar

Leia o artigo Contribuições da produção de origamis para o desenvolvimento de aprendizagens significativas de conceitos matemáticos, que traz aspectos históricos do origami e apresenta contribuições dessa técnica para o desenvolvimento de aprendizagens significativas de conceitos matemáticos. Disponível em: https://eventos.set.edu.br/enfope/article/ download/9021/4009 (acesso em: 10 jun. 2022).

Orientações

Resolução da atividade 12 a)

• de A chegando a B

Ande 3 metros para a frente.

Gire 90‘ à direita e ande 2 metros para a frente.

Gire 90‘ à esquerda e ande 5 metros para a frente.

Gire 90‘ à direita e ande 2 metros para a frente.

Gire 90‘ à esquerda e ande 3 metros para a frente.

• de B chegando a A

Ande 3 metros para a frente.

Gire 90‘ à direita e ande 2 metros para a frente.

Gire 90‘ à esquerda e ande 5 metros para a frente.

Gire 90‘ à direita e ande 2 metros para a frente.

Gire 90‘ à esquerda e ande 3 metros para a frente.

Após a correção do item a, pergunte aos estudantes se houve dificuldades para descrever esses trajetos.

Se achar oportuno, peça que o item b seja feito em duplas.

Essa atividade contribui para o desenvolvimento da habilidade

EF06MA23

12 Analise as orientações utilizadas por Marta para percorrer o trajeto em verde.

• Ande 4 metros para a frente.

• Gire 90‘ à esquerda e ande 2 metros para a frente.

• Gire 90‘ à direita e ande 5 metros para a frente.

• Gire 90‘ à direita e ande 6 metros para a frente.

• Gire 90‘ à esquerda e ande 2 metros para a frente.

Observe a imagem:

a) Escreva as orientações que Marta deve seguir para percorrer o trajeto em verde partindo:

• de A e chegando a B;

• de B e chegando a A

Respostas no Manual do Professor.

b) Desenhe um caminho em uma folha de papel quadriculado e troque com um colega para que ele escreva as orientações para percorrê-lo a partir de um ponto fixado como início. Depois, confira as orientações criadas e conversem sobre como foi o processo de resolução. Produção pessoal.

13 Observe a figura abaixo. Se ela sofrer um giro de 270° no sentido anti-horário, sua imagem será:

Alternativa a

3? giro de 90°

c) d)

(OBMEP) Na Rua das Cores há uma casa azul, uma vermelha, uma amarela, uma rosa e uma verde. Essas casas são numeradas de 1 a 5, conforme a figura.

Alternativa a Resolução de Lógico, é lógica! A casa rosa não pode estar em uma das duas pontas da rua, uma vez que tem duas vizinhas, e as casas dos extremos (1 e 5) só têm uma casa vizinha. A casa rosa também não pode ser a casa 2, já que as casas azul e verde são suas vizinhas. Portanto, temos:

• se a casa 1 for azul, a casa amarela não poderá ser vizinha da azul, pois contraria o enunciado;

• se a casa 1 for verde, a casa vermelha não poderá ser vizinha da casa verde, pois também contraria o enunciado.

Pensando de modo análogo, a casa rosa não pode ser a número

• As casas vermelha e verde são vizinhas.

• As casas amarela e azul também são vizinhas.

• A casa rosa é vizinha das casas verde e azul.

• A casa amarela não é a de número 5.

De que cor é a casa de número 4?

a) azul

b) amarela

Alternativa d

c) vermelha d) verde e) rosa

Orientações

Antes da realização da atividade 13, sugira aos estudantes que utilizem outras imagens ou desenhos para exercitar a ideia de giro. Além de desenhos, leve objetos em que se possa ver claramente a mudança de posição de acordo com o giro. Sugira que girem esses objetos 90‘ no sentido horário, 180‘ no sentido anti-horário, e assim por diante.

Verifique se os estudantes compreendem o que significa “sentido horário” e “sentido anti-horário”. Esse conceito pode ser ilustrado pelo relógio analógico.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA26

Resolução da atividade 13

Girar 270° no sentido anti-horário equivale a efetuar 3 giros de 90° (3 90 = 270) à esquerda. Observe: 1? giro de 90°

4. Logo, a casa rosa é a central, ou seja, a número 3. Como as casas azul e verde são vizinhas da rosa, há duas possibilidades para o ordenamento das casas:

• 1 – amarela, 2 – azul, 3 – rosa, 4 – verde, 5 – vermelha;

• 1 – vermelha, 2 – verde, 3 –rosa, 4 – azul, 5 – amarela. Como a casa 5 não pode ser a amarela, a única resposta possível é: 1 – amarela, 2 – azul, 3 – rosa, 4 – verde, 5 – vermelha. Portanto, a casa número 4 é verde. Alternativa d Essa atividade possibilita o desenvolvimento da competência específica 2

a)

b)

Ilustrações: Luiz Lentini

Objetivos do capítulo

• Associar, no plano cartesiano, vértices de polígonos a pares ordenados.

• Interpretar plantas baixas e vistas aéreas.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 2, 4 e 9

Competências específicas 1, 3, 5, 6 e 8

Habilidades EF06MA16, EF06MA23 e EF06MA28

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA16

Antes de encaminhar as atividades de Para começar, verifique os conhecimentos que os estudantes já possuem sobre coordenadas cartesianas. É possível que mencionem a localização de um objeto no plano usando malha quadriculada, mapas e planilhas eletrônicas.

Explique-lhes que um tabuleiro de xadrez é formado por 64 casas distribuídas em oito colunas (verticais) e oito linhas (horizontais). Associe-o ao plano cartesiano. Cada casa é identificada por um par ordenado, composto de uma letra e um número. Se considerar oportuno, providencie alguns tabuleiros de xadrez e as regras para que os estudantes explorem o jogo.

O plano cartesiano

O jogo de xadrez é milenar e de origem controversa. As peças representam componentes de exércitos e castelos: o rei, a rainha (ou dama), os bispos, os peões, os cavalos e as torres.

No jogo de xadrez ao lado, um dos cavalos pretos está na casa (g, 8). Ele se movimenta em L: duas casas na horizontal e uma na vertical ou vice-versa.

• Que posições os cavalos pretos poderiam ocupar em uma primeira jogada?

(a, 6), (c, 6), (f, 6) e (h, 6). (d, 1). Marina9/shutterstock.com

bispo rei cavalo rainha torre

Em uma escola há 54 alunos matriculados no 6? ano. Eles vão fazer uma visita ao Museu do Amanhã, na cidade do Rio de Janeiro (RJ). Lá, serão divididos em grupos com o mesmo número de alunos, cada um com mais de 5 e menos de 20 alunos. De quantas formas diferentes esses grupos poderão ser feitos?

peão

Sistema de coordenadas cartesianas

Para representar pontos no plano utilizamos o plano cartesiano, um sistema formado por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si no ponto O, chamado origem, como se vê na figura abaixo.

O eixo horizontal x é chamado eixo das abscissas, e o eixo vertical y é o eixo das ordenadas. Veja alguns pontos marcados no plano cartesiano representado a seguir.

Orientações

Cada ponto do plano está associado um par de números e vice-versa. Por exemplo, ao ponto M associamos o par de números (6, 2). Se trocarmos a ordem dos números desse par, teremos a localização de outro ponto, no caso, o ponto H. Por isso, dizemos que o par de números que localiza o ponto é um par ordenado . O primeiro número desse par indica a abscissa e o segundo, a ordenada.

Dizemos, então, que as coordenadas do ponto M são 6 e 2, e as coordenadas do ponto H são 2 e 6. Escrevemos: M (6, 2) e H (2, 6).

René Descartes

René Descartes (1596-1650) nasceu na França, formou-se em Direito, ingressou no exército, mas tornou-se filósofo, físico e matemático. É autor da famosa frase: “Penso, logo existo”. Criou a Geometria Analítica, na qual os pontos são representados em um plano de coordenadas. Estabeleceu, também, um método para resolver problemas de modo racional e sistemático; por isso, é considerado um dos pais do racionalismo e do método científico.

Fonte: FRAZÃO, Dilva. René Descartes – Filósofo e matemático francês. E-biografia, [s l.], [20--]. Disponível em: https://www.ebiografia.com/rene_descartes/#:~:text=Ren%C3%A9%20 Descartes%20(1596%20%2D%201650),a%20ordem%20e%20a%20clareza. Acesso em: 29 abr. 2022.

A abscissa de um ponto indica a distância desse ponto ao eixo vertical, enquanto a ordenada indica a distância do ponto ao eixo horizontal.

O conteúdo dessa página contempla a habilidade EF06MA16 É importante que os estudantes utilizem a linguagem matemática adequada empregando os termos ordenada e abscissa para se referir aos eixos coordenados. Estimule-os a usar essas e outras expressões específicas como forma de ampliar o repertório. Em Pense e responda, proponha aos estudantes que, depois de responder à questão apresentada, indiquem as coordenadas dos demais pontos. Viagem no tempo favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1 Converse com a turma sobre as grandes contribuições de René Descartes não só para o conteúdo estudado mas para a construção histórica do conhecimento matemático.

Quais são as coordenadas dos pontos A e F?

A (3, 5) e F (9, 1).

Retrato de René Descartes.

Faça no caderno

Orientações

Essa seção apresenta situações que favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA16

Verifique se os estudantes compreendem que, ao mudar a ordem dos números no par ordenado, a localização do ponto do plano também é alterada, e se conseguem identificar a localização de um ponto no plano com base em suas coordenadas. Se necessário, retome esses conceitos e apresente coordenadas de outros pontos para que eles os localizem no plano.

Na atividade 1, verifique se os estudantes conseguem indicar as coordenadas dos vértices dos polígonos. Para ampliar a atividade, peça a eles que escrevam o passo a passo para traçar um polígono, com base nas coordenadas cartesianas de seus vértices. Isso favorecerá o desenvolvimento da habilidade EF06MA23

Ao corrigir a atividade 2, enfatize aos estudantes que a maioria dos auditórios e salas de teatro e cinema têm as poltronas organizadas dessa maneira. Compartilhe as diversas respostas do item b entre os estudantes.

Atividades

1 No plano cartesiano xOy, representado abaixo no papel quadriculado, as coordenadas dos vértices do triângulo ABC são: A(1; 6), B(3; 6) e C(3; 7,5).

Indique as coordenadas dos vértices do polígono.

a) DEFG

b) HIJK

D(2; 5), E(4; 5), F(4; 3,5), e G(2; 3,5).

H(5; 5), I(7; 7), J(7,5; 6) e K(6; 4,5).

c) LMNOP

2 Coordenadas nos ajudam a localizar pontos mas também pessoas e lugares. Podem aparecer em forma de direção – norte, sul, leste, oeste – e como coordenadas geográficas – latitude e longitude. Priscila quer localizar sua amiga no auditório da escola. A cadeira pintada de vermelho mostra a posição da sua amiga.

a) Quais foram as coordenadas que a amiga de Priscila lhe passou?

H7. Exemplo de resposta: Pedro anda 6 “cadeiras” para o leste e 3 para o norte.

3 Desenhe, em uma folha de papel quadriculado, um sistema de coordenadas cartesianas, igual ao da imagem a seguir, para construir as figuras pedidas abaixo de acordo com seus vértices.

Respostas no Manual do Professor.

Orientações

a) Triângulo MNP, em que M (2, 4), N (8, 4) e P (5, 7).

b) Trapézio LTRA, em que L (12, 4), T (15, 4), R (15, 1) e A (12, 2).

c) Losango CDEF, em que C (11, 3), D (13, 7), E (11, 11) e F (9, 7).

4 Simão e Carla jogam um dado com as faces numeradas de 1 a 12 e pintam casas em uma folha de papel quadriculado obedecendo ao seguinte critério:

• o número sorteado por Simão representa a linha do quadriculado;

• o número sorteado por Carla adicionado ao número sorteado por Simão representa a coluna do quadriculado. Por exemplo, se Simão sortear o número 7 e Carla o número 9, eles pintam a casa que está na linha 7 e na coluna 16, pois 7 + 9 = 16.

123456789101112131415161718192021222324

As atividades dessa página continuam trabalhando o conceito de sistema de coordenadas cartesianas e favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA16 Resolução da atividade 3 a) b) c)

b) Se Simão tirou 5, o maior número que Carla pode tirar é 12, e a soma nunca dará 22. Se Simão tirou 1, para a soma dar 1, Carla deveria sortear o número zero, que não consta no dado.

a) Simão e Carla pintaram a casa (5, 17). Que número eles sortearam?

b) Expliquem por que as casas (5, 22) e (1, 1) nunca serão pintadas.

Carla: 12; Simão: 5.

c) Escrevam os pares ordenados de cinco casas que nunca serão pintadas.

Resposta possível: (2, 2), (3, 3), (10, 23), (11, 24) e (5, 20).

d) Utilizando um dado com as faces numeradas de 1 a 12, cada estudante da dupla vai jogar um dado cinco vezes. O vencedor será o estudante que marcar a casa mais distante da casa (1, 1).

Resposta pessoal.

Resolução da atividade 4

a) (5,17) linha 5 e coluna 17 - 5 = = 12.

b)

• (5, 22) linha 5 e coluna 22 - 5 = = 17.

Como o dado não tem número 17, a casa (5, 22) nunca será pintada.

• (1,1) linha 1 e coluna 1 - 1 = = 0. Como não há zero no dado, a casa (1, 1) nunca será pintada.

c) Verifique as estratégias utilizadas pelos estudantes para verificar as casas que nunca serão pintadas. Peça a eles que expliquem como chegaram a essas conclusões.

d) Observe se, ao jogar, os estudantes estão respeitando as regras e marcando corretamente os pares ordenados. Caso perceba equívocos, peça aos integrantes da dupla que os identifiquem e façam os ajustes necessários.

Atividade em dupla

Orientações

O tema tratado em Matemática Interligada favorece o desenvolvimento da competência específica 3. A seção relaciona Matemática e Geografia. Se houver possibilidade, convide o professor de Geografia para participar da aula.

Explique aos estudantes que a latitude e a longitude de um ponto na superfície terrestre determinam a coordenada geográfica desse lugar. Resolução dos itens c e d c) 45‘

Ilustrações: DAE

Mapa político do Brasil

O mapa a seguir mostra o Brasil dividido por regiões.

Mapa político: Grandes Regiões

Legenda Fonte: Atlas geográ Rio de Janeiro: IBGE, Linha de estado

O item f pode ser ampliado, favorecendo o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal: Diversidade Cultural.

1

7. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2016. p. 94.

Legenda Fonte: Atlas geográ co escolar. 7. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2016. p. 94. Linha

estado Linha

As direções em um mapa podem ser representadas pela rosa dos ventos. Por exemplo, as linhas N e S e L e O são perpendiculares, assim como NE e SO e NO e SE. Todas formam, entre si, ângulos de 90‘

As setas indicam o sentido em determinada direção. Por exemplo:

• direção: leste-oeste;

• sentido: da direita para a esquerda ou L 4 O.

1 Com base no mapa e na rosa dos ventos, faça o que se pede.

a) Escreva o nome de um estado localizado:

• a oeste de Tocantins;

Pará ou Mato Grosso.

b) Dê o significado das siglas: NE, NO, SE e SO.

c) Escreva a medida do ângulo agudo formado entre as direções L e NE.

• ao sul de Santa Catarina. Rio Grande do Sul. NE: nordeste; NO: noroeste; SE: sudeste; SO: sudoeste. 45‘

d) Descubra a medida do ângulo formado entre N e S.

e) Diga em que região fica seu estado.

180‘ Resposta pessoal.

f) Escolha um estado brasileiro diferente do que você vive e pesquise sobre alguns elementos da cultura desse estado. Em seguida, construa um painel com colagem e desenhos para apresentar aos colegas.

Resposta pessoal.

Atividades complementares

Sugira aos estudantes que assistam ao vídeo As aventuras do geodetetive 2: latitude e longitude , disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=2eJI_7Ux wGM (acesso em: 10 jun. 2022). O vídeo tem duração de 10min22s. Se possível, assistam coletivamente em sala de aula e, depois, troquem ideias sobre o teor do vídeo.

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar

Vista aérea e planta baixa

Vista aérea

A foto mostra a vista aérea de uma região do bairro do Pacaembu, em São Paulo (SP).

Orientações

Espera-se que, após os estudos desse tópico, os estudantes consigam reconhecer uma vista aérea, bem como ler e esboçar plantas baixas em situações cotidianas. Os arquitetos e engenheiros civis utilizam plantas baixas para representar, em escala, as paredes e os cômodos de uma estrutura como se fossem vistos de cima. Pergunte aos estudantes se eles já viram uma planta baixa feita por esses profissionais e sugira que pesquisem sobre os instrumentos e softwares utilizados.

Em Pense e responda, espera-se que eles observem o campo de futebol, as arquibancadas, bem como as residências, as ruas, a praça do entorno etc. As conceituações dessa página contemplam a habilidade EF06MA28 Curiosidade contempla a competência geral 1 e a competência específica 1

Esta vista do porto de Copenhague é a fotografia aérea dinamarquesa mais antiga conhecida. A imagem foi feita por Holger Damgaard (1870–1945), o primeiro fotógrafo jornalista de tempo integral da Dinamarca. Damgaard trabalhou para o jornal dinamarquês Politiken de 1908 a 1940, onde documentou uma ampla variedade de eventos, lugares e pessoas. A fotografia aérea remonta a 1850, quando as primeiras fotografias eram tiradas de balões. A primeira fotografia tirada de um avião foi feita em 1909, quando o pioneiro americano em aviação Wilbur Wright voou sobre Roma, levando um passageiro que realizou um filme de três minutos sobre a cidade. Essa fotografia foi feita alguns anos depois, em 1913.

DAMGAARD, Holger. Snapshot from an airplane: the harbor of Copenhagen [Foto tirada de um avião: o porto de Copenhague]. In: LIBRARY OF CONGRESS. Washington, DC, [2013]. Disponível em: https://www.wdl.org/pt/item/11255/.

Acesso em: 3 fev. 2022.

Cesar Diniz/Pulsar Imagens

Região do Bairro do Pacaembu, São Paulo (SP), 2018.

O que podemos observar na vista aérea desse local? Resposta pessoal.

Holger Damgaard

Foto tirada de um avião: o porto de Copenhague, na Dinamarca.

Orientações

Antes de explorar o texto do tópico “Planta baixa”, peça aos estudantes que representem, em uma folha de papel, alguns ambientes da escola, utilizando régua e esquadro. Explore com eles os elementos essenciais em uma planta baixa, e peça que façam os devidos ajustes.

Em Pense e responda, discuta a planta do apartamento com os estudantes.

Ressalte a importância do uso de plantas baixas para a arquitetura, uma vez que elas possibilitam a visualização não só das paredes como também de passagens, portas, janelas, além das medidas da construção. Isso possibilita o cálculo da quantidade de materiais necessários para a obra, acabamento e também para calcular a dimensão dos móveis e utensílios que decorarão o imóvel.

Se possível, colete plantas de apartamentos, muito comuns em folhetos publicitários de construtoras, e traga para a sala de aula.

Resolução da atividade 1 Espera-se que identifiquem que o ponto M será aquele em que a pessoa terá maior ângulo de visão, pois, quanto menor for a distância entre a pessoa e a tela, maior será o ângulo de visão.

O trabalho sobre esse tema favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 5

Planta baixa

A planta baixa é o nome que se dá ao desenho de uma construção em duas dimensões, no qual cada ambiente é visto de cima.

As informações de uma planta baixa devem estar bem detalhadas, com medidas, espessura das paredes, nomes dos ambientes, portas, janelas, pontos básicos de hidráulica, escala, entre outros. Observe a planta baixa de um apartamento.

Atividades

Quantas portas e quantas janelas tem esse apartamento?

5 portas e 4 janelas

1 Observe a vista superior de uma sala de cinema. Você já parou para pensar que o ângulo de visão da tela pode mudar de acordo com a cadeira em que você se senta para assistir ao filme? Em que ponto uma pessoa terá maior ângulo de visão: M ou N? M

Vista superior de uma sala de cinema.

3 Veja a representação, na imagem a seguir, de parte das ruas de Boa Vista, capital do estado de Roraima.

Respostas pessoais.

a) Escreva os nomes de duas ruas desse mapa que sejam: • paralelas; • perpendiculares.

b) Descreva o trajeto que uma pessoa poderá fazer para ir do ponto A ao ponto B indicados no mapa.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA28

Esse momento é oportuno para avaliar o aprendizado e auxiliar os estudantes nas eventuais dificuldades que ainda possam apresentar.

Na atividade 2, espera-se que os estudantes identifiquem praça, parque, prédios, ruas, avenidas, telhados das residências etc.

Resolução da atividade 3

Sugestões:

a) • paralelas: Rua Curió e Rua Colibri; Rua Água e Rua Canário; Rua Rouxinol e Rua Curió. Há outras possibilidades.

• perpendiculares: Rua Canário e Rua Colibri; Rua Andorinha e Rua Bem te vi; Rua Rouxinol e Rua Uirapuru. Há outras possibilidades.

b) Seguir à direita pela Rua Curió por 2 quarteirões, virar à direita na Rua Beija Flor, seguir por 3 quarteirões e virar à esquerda na Rua Bem-te-vi.

Há outras possibilidades.

Se achar conveniente, peça aos estudantes que acessem um aplicativo de geolocalização e encontrem o mapa dos arredores da escola, semelhante ao apresentado nessa atividade. Se possível, peça que imprimam e tracem seus trajetos de casa até a escola. Outra maneira de explorar o mapa é pedir a um estudante que descreva oralmente um trajeto, de modo que os outros descubram aonde deverão chegar, e assim sucessivamente.

Descreva o que você observa na vista aérea da imagem a seguir. Resposta pessoal.

Vista aérea do bairro do Paraíso. São Paulo (SP), 2016.

Fonte: GOOGLE MAPS. [S. l.], c2021. Disponível em: https://www.google.com.br/maps/place/ R.+Colibri+-+S%C3%A3o+Bento,+Boa+Vista+-+RR,+69315-609/@2.7821309,-60.7111375,17z/ data=!3m1!4b1!4m5!3m4!1s0x8d93047abccb699b:0x7db0ec27d07412bb!8m2!3d2.7821309!4d-60.7089488.

Orientações

As atividades dessa página retomam o conteúdo explorado visando consolidar os conhecimentos adquiridos.

Ao corrigir a atividade 4, se possível, reproduza o mapa na lousa e peça a alguns estudantes que tracem, nesse mapa, o trajeto descrito por cada uma das alternativas, de modo que percebam qual é a descrição correta da movimentação do carro. Seguindo o trajeto da figura, ao sair do ponto p, o carro deve: Seguir em frente e dobrar à direita, seguir em frente e dobrar à esquerda, seguir em frente e dobrar à esquerda, seguir em frente até chegar ao ponto Q.

Alternativa a

A atividade 5, favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA16

Distribua papel quadriculado aos estudantes e peça que elaborem um plano cartesiano para um colega localizar elementos ou pontos indicados. Resolução da atividade 6

4 (OBMEP) Para fazer o percurso indicado na figura, saindo de P e chegando a Q, o carro deverá dobrar: Alternativa a

a) à direita, depois à esquerda e finalmente à esquerda.

b) à direita, depois à esquerda e finalmente à direita.

c) à esquerda, depois à direita e finalmente à esquerda.

d) à esquerda, depois à esquerda e finalmente à direita.

e) à esquerda, depois à direita e finalmente à direita.

5 Considere as retas a e b representadas no plano cartesiano ao lado.

Dê as coordenadas para os seguintes pontos:

a) A: onde as retas a e b se intersectam;

b) B: onde a reta b intersecta o eixo y;

c) C: onde a reta a intersecta o eixo x

A (5, 3).

B (0, 6).

6 Lídia está jogando um video game no qual o personagem se move através de um labirinto e coleta fichas vermelhas e verdes.

O personagem não pode:

• coletar duas fichas consecutivas da mesma cor em uma fileira;

• atravessar uma parede azul;

As atividades 4 e 6 favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA23

• mover-se diagonalmente;

• ir para um quadrado vazio.

Reproduza a imagem em uma folha de papel quadriculado e desenhe o caminho que o personagem precisa percorrer para sair do labirinto com o maior número de fichas.

C (2, 0). Resposta no Manual do Professor.

Luca Navarro

planta baixa de uma casa está representada a seguir.

Orientações

Observe se, ao resolver a atividade 7, os estudantes consideraram todos os detalhes necessários. Tenha especial atenção ao trajeto a ser descrito no item c. Essa atividade favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA23

Na atividade 8, verifique as plantas baixas desenhadas pelos estudantes e se eles colocaram todos os elementos necessários no esboço, corrigindo as eventuais inadequações.

Na atividade 9, incentive os estudantes a pesquisar e reproduzir diferentes modelos de estacionamento e oriente-os para que prestem ainda mais atenção às dimensões das vagas, em especial as destinadas para deficientes e para idosos.

a) Quantos dormitórios tem essa casa? Esses dormitórios são suítes?

b) Quais são as dimensões:

• do dormitório 1? • da garagem?

c) Descreva o trajeto que uma pessoa deve fazer para ir da porta de entrada da casa até a churrasqueira.

Passar pela porta de entrada, seguir em frente. Passar pela porta de correr da sala, virar à direita e depois novamente à direita.

8 Façam um reconhecimento de todas as partes da escola: onde ficam as salas de aula, o refeitório, se há algum pátio recreativo ou quadra poliesportiva. Em seguida, desenhem em uma folha de papel como vocês imaginam que seja a vista aérea da escola. Usem a criatividade, mas sejam cuidadosos em respeitar ao máximo as posições e os tamanhos de cada ambiente.

9 Observem a representação de um estacionamento na imagem a seguir.

Usando uma folha de cartolina e carrinhos de brinquedo em miniatura, construam um estacionamento. Depois, fotografem a vista aérea e imprimam-na para mostrar aos colegas dos outros grupos. Não se esqueçam de colocar vagas para idosos e cadeirantes. Pesquisem alguns modelos de estacionamento.

Resposta pessoal.

As atividades 8 e 9 contemplam a habilidade EF06MA28, a competência geral 2, a competência geral 4, a competência geral 9, a competência específica 6 e a competência específica 8

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Algumas atividades apresentam maior grau de complexidade, então, auxilie os estudantes em caso de dúvidas. Valorize as estratégias utilizadas por eles para resolver os problemas e, sempre que possível, peça que as compartilhem com os colegas.

Resolução da atividade 1

Possibilidades para os caminhos de A até D:

A 4 B 4 C 4 D

A 4 B 4 E 4 D

A 4 B 4 C 4 E 4 D

A 4 B 4 E 4 C 4 D

A 4 E 4 B 4 C 4 D

A 4 E 4 C 4 D

A 4 E 4 D

A 4 D

Alternativa a Resolução da atividade 2

Possibilidades de trajetos mais curtos:

1 (OPRM) A casa da mãe de Joana localiza-se na esquina A da praça representada na figura.

Os pontos A, B, C, D e E estão ligados por caminhos retos. De quantas maneiras diferentes Joana pode ir de A até D passando no máximo uma vez em cada caminho e no máximo uma vez em cada ponto?

a) 8

b) 9

c) 10

d) 11

2 (OMDF) Uma cidade está dividida em quarteirões por ruas perpendiculares. Cada quarteirão tem lados medindo 150 m e 100 m, como na figura abaixo. Um motorista deve partir de A, chegar ao ponto B para pegar uma encomenda e entregar no ponto C. Se ele só pode andar pelas ruas que têm mão dupla, e não pode atravessar os quarteirões pelas diagonais, qual é o comprimento total do trajeto mais curto?

a) 1 600 m

Alternativa a Alternativa d

B 100 m 150 m

d) 2 400 m

b) 1 950 m

c) 2 100 m

e) 3 000 m

3 (OBMEP) Cada uma das casas de um tabuleiro 4 4 contém peças na forma de triângulo, quadrado, hexágono ou círculo. Um movimento consiste na troca de posições de duas peças. No mínimo, quantos movimentos serão necessários na configuração ao lado para que todas as linhas e colunas tenham quatro peças diferentes?

Alternativa d

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

Alternativa d

Resolução da atividade 3 1a troca 2a troca 3a troca 4a troca Imagem final Alternativa d ou 100 cm 100 cm 150 cm 150 cm A A B B C C Ilustrações: DAE Ilustrações: DAE

4 Considere as afirmações a seguir: Alternativa c

I – O ângulo reto mede 90°.

II – O ângulo de 70° é agudo.

III – O ângulo de 160° é obtuso.

IV – O ângulo de uma volta mede 180°.

Qual das afirmações é falsa?

a) II. b) I. c) IV. d) III.

5 Quantos minutos equivalem a 1 grau? Alternativa b

a) 6 minutos

b) 60 minutos

c) 600 minutos

d) 1 minuto

6 Uma hora após nascer, o Sol emite um feixe de raios luminosos que atinge a superfície plana da água de uma represa, conforme mostra a figura.

Orientações

Resolução da atividade 4 Como o ângulo de uma volta mede 360‘, a afirmação IV é falsa. Alternativa c

Resolução da atividade 5 Um grau equivale a 60 minutos. Alternativa b Resolução da atividade 6 Podemos observar que: 46 + a = 180 4 180° (ângulo raso).

Daí, vem:

a = 180 - 46 = 134 4 134‘ Alternativa c

feixe de raios luminosos

Quantos graus mede o ângulo a? Alternativa c

a) 95° b) 180°

Autoavaliação

superfície do reservatório

c) 134° d) 88°

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Identifico e represento ponto, reta, plano e ângulo usando a notação adequada.

Reconheço reta, semirreta e segmento de reta.

Identifico retas paralelas, perpendiculares e concorrentes no plano.

Determino a medida de abertura de ângulos com a utilização de régua e transferidor.

Classifico ângulos considerando suas medidas em graus.

Resolvo e elaboro problemas envolvendo a noção de ângulo em diferentes contextos.

Associo no plano cartesiano vértices de polígonos a pares ordenados.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras.

Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Luca Navarro

Principais objetivos da unidade

• Ler, escrever e comparar números racionais na forma fracionária.

• Resolver problemas envolvendo cálculo de fração de quantidade tendo como resultado um número natural.

• Relacionar números fracionários a pontos da reta numérica.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo adição e subtração na representação fracionária.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo multiplicação e divisão na representação fracionária.

• Resolver problemas e cálculos relacionados ao conceito de porcentagem.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA07 ao propor a compreensão, comparação e ordenação de frações como parte de inteiros e resultado de divisões. O reconhecimento de que os números racionais podem ser expressos na forma fracionária e que podem ser relacionados a pontos na reta numérica contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA08. A habilidade EF06MA09 está contemplada na resolução e elaboração de problemas envolvendo o cálculo de fração de uma quantidade tendo como resultado um número natural. A habilidade EF06MA10 está contemplada na resolução e elaboração de problemas de adição e subtração de frações. A resolução de problemas e cálculos envolvendo porcentagem com base na ideia de proporcionalidade e estratégias deiversas contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA13

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• realizem multiplicações e divisões com números inteiros;

• reconheçam e associem frações à ideia de parte de um todo;

• leiam, escrevam e representem frações menores ou iguais a unidade, incluindo as frações decimais;

• relacionem frações a pontos na reta numérica;

• associem as representações 10%, 25%, 50% e 100% à décima parte, quarta parte, metade, terça parte e um inteiro para a resolução de problemas.

Avaliação diagnóstica

É importante observar as dificuldades que os estudantes ainda possam ter com relação aos pré-requisitos desta unidade. Promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre esses pré-requisitos. Peça que citem exemplos da utilização de números fracionários e de porcentagem no cotidiano. Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retome os conteúdos propostos para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

BNCC na Unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 2, 4, 7, 8, 9, e 10

Competências específicas 1, 2, 3, 4, 5 e 7

Habilidades

Foco nos TCTs

•

A Orquestra Sinfônica de Santa Fé, no estado do Novo México (Estados Unidos), produziu um espetáculo multimídia com o objetivo de explorar a relação entre música e Matemática, em 2 de novembro de 2013.

EF06MA07, EF06MA08, EF06MA09, EF06MA10 e EF06MA13

Para aprofundar

Números racionais e porcentagem

Existe uma relação estreita entre Matemática e música. Cada nota musical, dependendo de seu tempo de duração, pode ser representada por uma fração.

Orientações

Aproveite o tema da abertura da unidade para discutir com os estudantes os elos entre Música e Matemática. É possível apresentar partituras simples e como são compostas as músicas, o que é um compasso e como ele é composto, com base nos tempos de cada uma das notas apresentadas.

Proponha aos estudantes que discutam entre eles e respondam às questões da abertura da unidade, interagindo e compartilhando informações sobre o tema.

Na questão 1, inicie uma conversa sobre estudar ouvindo música; questione se eles têm esse hábito, se conseguem se concentrar ou não.

Na questão 2, eles devem identificar que, de cada 100 pessoas, 25 que apresentam uma área do cérebro maior por analisarem tons musicais. Enfatize que esse fato não está relacionado a estudar ouvindo música, mas desenvolver um trabalho musical, por exemplo, tocar algum instrumento.

Segundo estudos realizados por pesquisadores alemães, pessoas que analisam tons musicais apresentam área do cérebro 25% maior em comparação aos indivíduos que não desenvolvem trabalho com música [...].

CAIADO, Elen Campos. A importância da música no processo de ensino-aprendizagem. Uol, [São Paulo], c2022. Canal do Educador. Disponível em: https://educador.brasilescola.uol.com.br/sugestoes-pais-professores/a-importancia -musica-no-processo-ensinoaprendizagem.htm.

1. Você gosta de estudar ouvindo música? Comente a respeito.

Resposta pessoal.

2. Com base no texto, o que você entende por “25% maior”? Resposta pessoal.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• ler, escrever e comparar números racionais na forma fracionária;

• resolver e elaborar problemas envolvendo as quatro operações na representação fracionária;

• resolver problemas e cálculos relacionados ao conceito de porcentagem.

O conteúdo do artigo indicado a seguir discorre com base em dados científicos sobre o rendimento do aprendizado ouvindo música.

• AFINAL, estudar ouvindo música ajuda ou atrapalha o aprendizado? In: PUCPR. [Curitiba], 25 maio 2018. Disponível em: https:// www.pucpr.br/relacionamento-ensino-medio/estudar-ouvindo-musica-ajuda-ou-prejudica/. Acesso em: 6 jul. 2022.

O conteúdo dessa abertura contempla as competências gerais 2 e 3

Atividades complementares

Se achar oportuno, apresente o vídeo que relaciona Matemática e Música, disponível no link : https://www.youtube.com/wat ch?v=aUa8fyshKOo (ac esso em: 6 jul. 2022). O vídeo tem duração de 13min31s.

André Martins

Objetivos do capítulo

• Ler, escrever e comparar números racionais na forma fracionária.

• Resolver e elaborar problemas que envolvam frações de quantidade, tendo como resultado um número natural.

• Relacionar números fracionários a pontos na reta numérica.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo adição e subtração na representação fracionária.

• Resolver problemas envolvendo a multiplicação de um número natural por fração.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 2 e 4

Competências específicas

2, 3 e 5

Habilidades EF06MA07, EF06MA08, EF06MA09, EF06MA10 e EF06MA23

Orientações

Em Para começar, permita que os estudantes apresentem suas conclusões. É possível que concluam que nem sempre as medidas encontradas são medidas inteiras.

Discuta com os estudantes a situação apresentada para explorar fração como parte de um todo. Esse conteúdo, já trabalhado em anos anteriores, será retomado e ampliado.

Números racionais na forma fracionária

Meça o comprimento da sua carteira escolar ou da mesa do professor usando um lápis ou seu palmo como unidade de medida de comprimento. Que resultado você encontrou quando usou o palmo? Um número natural é suficiente para expressar essa medida? Escreva suas conclusões no caderno e apresente-as aos colegas em uma roda de conversa orientada pelo professor. Respostas pessoais.

A fração como parte de um todo

Em nosso dia a dia, as frações aparecem em diferentes atividades.

Você sabia que cerca de 3 4 (três quartos) da superfície terrestre é coberta por água?

Planeta Terra.

Se oceanos, rios, lagos e mares ocupam cerca de 3 4 da superfície da Terra, qual é a fração da superfície do nosso planeta que corresponde aos continentes? Representando toda a superfície da Terra (o inteiro) com um círculo, temos a figura ao lado.

Essa figura foi dividida em 4 partes iguais, como abaixo. Representação da superfície da Terra.

Representação da Terra dividida em 4 partes iguais.

Imagens da página fora de proporção. Cores-fantasia.

Dessas 4 partes, 3 correspondem às partes da superfície do planeta ocupadas pela água. A fração correspondente a essa porção é representada por: partes do inteiro ocupadas pela água. em quantas partes iguais o planeta foi dividido.

Orientações

Lê-se: três quartos.

Cada uma das 4 partes do inteiro é chamada de um quarto, que é representada por 1 4 (lê-se: um quarto). Então, podemos afirmar que 1 4 da superfície do nosso planeta corresponde aos continentes.

1 parte: continentes

André Martins

3 4 Veja como são chamados os termos de uma fração:

3 partes: água

3 4 numerador denominador

Se o denominador representa o todo, você acha que o denominador pode ser igual a zero? Converse com os colegas e escreva sua conclusão.

Continue explorando a partir do exemplo dado, que retoma a representação fracionária por meio da leitura e escrita de frações.

Para melhor compreensão, você pode utilizar, como recurso, papel em formato circular, e solicitar que os estudantes façam dobras dividindo-os em 8 partes iguais, pintando algumas partes e outras não, de acordo com sua condução. As dobras também podem ser feitas dividindo os círculos em 4 ou 6 partes iguais. Observe se eles estão compreendendo a representação de fração nos discos e, se necessário, faça intervenções.

Em Pense e responda, retome o fato de que não há divisão por zero.

Ao apresentar o tópico “Fração que expressa mais de um inteiro”, aproveite para incentivar os estudantes na elaboração de problemas que envolvam frações menores, maiores ou iguais a um inteiro.

Fração que expressa mais de um inteiro

A ideia de fração pode estar associada às partes de mais de um inteiro (de mesmo tamanho), em que cada um deles foi dividido na mesma quantidade de partes iguais. Veja a situação a seguir.

• Em uma lanchonete, havia duas pizzas para serem vendidas. Ambas tinham o mesmo tamanho e cada uma foi dividida em 8 fatias iguais. Três fatias já foram vendidas. Que fração das duas pizzas ainda resta?

Resposta pessoal. Fotos:

Ao todo, as duas pizzas tinham 16 fatias. Cada fatia corresponde a 1 8 (um oitavo) de pizza, e as duas pizzas inteiras correspondem a 16 8 (dezesseis oitavos) de pizza

Você pode escrever na lousa os problemas elaborados, um de cada vez, e solicitar que resolvam por meio de desenhos e representações fracionárias.

Ilustrações: Fórmula Produções

Orientações

O conteúdo dessa página prepara para o desenvolvimento da habilidade EF06MA07

Você pode apresentar aos estudantes a relação entre a divisão e a escrita fracionária, representada por número misto ou não.

Dê exemplos, como: De duas barras de chocolate, come-se metade de uma, ou seja, 1 barra dividida por 2, metade ou 1 2

Representação do que sobrou na forma mista: 1 1 2 , ou seja, uma barra inteira mais a metade da outra.

Peça aos estudantes que façam as representações com desenhos para auxiliar na visualização; explique que eles podem usar régua para dividir a representação da barra em duas partes iguais. Veja a seguir, a representação do exemplo acima.

1 2 barra 1 2 barra 1 barra

Em Pense e responda, certifique-se de que os estudantes compreenderam que a divisão deve ser em partes iguais. A figura não está dividida em 3 partes iguais; logo, cada parte não representa 1 3 da figura toda.

André Martins

Porque as três partes não são do mesmo tamanho.

Como foram vendidas 3 fatias, restam ainda 13 fatias, cada uma equivalente a 1 8 , ou seja, 13 8 (lê-se: treze oitavos).

16 8 é o mesmo que 2 inteiros

Por outro lado, ao analisar a imagem, podemos observar que sobrou 1 pizza inteira e 5 8 da outra. Podemos representar essa informação da seguinte forma:

13 8 1 5 8 = forma forma fracionária mista

A forma 1 5 8 é denominada forma mista porque tem uma parte inteira e uma parte fracionária. Lê-se: um inteiro e cinco oitavos.

Veja como obter a forma mista de uma fração maior que um inteiro:

=+ = 1 5 8 1  5 8 13 8

Na prática, fazemos: 13 8 - 8 1 5

Logo, 13 8 1 5 8 =

Observe agora como transformar a forma mista em fração:

Souza

=+ = 1 5 8 1 5 8 13 8 (Para obter o numerador, multiplicamos 8 por 1 e adicionamos 5 ao resultado.)

+ *

Leitura de frações

Primeiro, fazemos a leitura do numerador e, em seguida, a leitura do denominador. Vamos considerar três casos.

Leitura um meiodois terçostrês quartosdois quintossete sextostrês sétimoscinco oitavossete nonos

2? caso: O denominador é 10, 100, 1 000 etc. (potências de base 10)

Os termos usados para a leitura dos denominadores são décimo(s), centésimo(s), milésimo(s) etc.

Fração 3 10 21 100 72 1 000 5 10000

Leitura três décimosvinte e um centésimossetenta e dois milésimoscinco décimos de milésimos

3? caso: O denominador é maior que 10, porém não é uma potência de 10 Acrescenta-se a palavra avos logo após a leitura do denominador.

Fração 8 11 1 12 16 35 25 48

Leitura oito onze avosum doze avosdezesseis trinta e cinco avos vinte e cinco quarenta e oito avos

Como se lê a fração 10

000 ? Dez milésimos.

Assim como os números naturais, as frações indicam quantidades que podem ser representadas na reta numérica. Cada ponto da reta numérica corresponde a uma fração, e vice-versa. Sendo u a unidade de medida de comprimento, temos: O número 1 2 dista 1 2 u da origem 0. O número 3 2 dista três vezes 1 2 u da origem 0.

Orientações

É muito importante que os estudantes se apropriem da nomenclatura correta para identificar e representar as frações.

Em Pense e responda, os estudantes deverão recordar a nomenclatura para indicar a divisão por mil, ou seja, o todo ou a unidade dividida em 1 000 partes. Para auxiliá-los, retome esse conteúdo associado às unidades de medida.

Curiosidade traz aspectos da história da Matemática, o que auxilia o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1

O número 2 5 dista duas vezes 1 5 u da origem 0. O número 14 5 dista quatorze vezes 1 5 u da origem 0.

Números ou pedaços de números?

A palavra fração é derivada de fractiones, que por sua vez é a tradução para o latim da palavra árabe kasr, que significa “quebrado”. As formas latinas fractio ou fractiones e minutum ruptus, quando da tradução para o inglês por antigos tradutores, receberam o nome de broken numbers ou “números quebrados”; assim, uma fração nada mais é que um número quebrado.

CONTADOR, Paulo Roberto Martins. Matemática, uma breve história. 4. ed. São Paulo: Livraria da Física, 2012. v. I, p. 198.

Orientações

Leia o texto de Viagem no tempo e aproveite para retomar os conhecimentos sobre sistema de numeração egípcio. O texto menciona Fibonacci. Sugira aos estudantes que pesquisem mais sobre ele e suas contribuições para a área da Matemática. Esse trabalho favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1

A seção Atividades visa trabalhar os conceitos iniciais de frações favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA07

Ao corrigir a atividade 1, questione a turma sobre a quantidade total de peças de vidro em cada item. Observe se eles percebem que, o todo, no item a é igual a 9 9 , e no item b, 10 10 . Ou seja, um inteiro.

da atividade 2

As atividades 1 e 2 contemplam parcialmente a habilidade EF06MA07 e também a habilidade EF06MA10

Representação de uma fração

Os antigos egípcios indicavam uma fração por uma linha oval alongada sobre o denominador (veja os exemplos ao lado). A forma como hoje escrevemos as frações surgiu por influência de dois povos: os hindus, que as representavam na forma de um número sobre outro, e os árabes, que acrescentaram a barra para separar os dois números. Na Europa, o primeiro matemático a usar a barra de frações foi Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci (c. 1170-1250).

Fontes: BOYER, Carl B. História da Matemática. 2. ed. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1996. p. 9; ROONEY, Anne. A história da matemática Tradução: Mario Fecchio. São Paulo: M. Books do Brasil, 2012. p. 32.

1 Represente as frações 1 3 e 1 10 com os símbolos egípcios.

Atividades

Ilustrações: André Martins

Vidros coloridos: 5 9 ; vidros incolores: 4 9 . Cinco nonos; quatro nonos.

1 Antônio fez o projeto de dois vitrais imaginando a mistura de vidros incolores e vidros coloridos. Qual é a fração correspondente à parte dos vidros coloridos e à dos incolores em cada vitral? Como se lê cada fração? a) b)

Vidros coloridos: 4 10 ; vidros incolores: 6 10 . Quatro décimos; seis décimos.

2 Que frações representam as partes pintadas em cada item? Represente-as na forma fracionária e na forma mista. a) b)

Para aprofundar

O artigo a seguir faz uma análise dos sistemas de numeração babilônio, egípcio, grego, romano, chinês e hindu.

• CELESTINO, K. C. As frações em algumas civilizações antigas. In: ENCONTRO PARANAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 14., 2017, Cascavel. Anais [...]. Cascavel: Unoeste, 2017. Disponível em: http://www.sbemparana.com.br/eventos/index. php/EPREM/XIV_EPREM/paper/viewFile/157/205. Acesso em: 5 jul. 2022.

Orientações

3 Represente, por meio de uma figura, a fração 3 8

Desenho pessoal.

4 Qual fração do quadrado ABCD corresponde o quadrado azul MNOP?

O

N P

M

As atividades 3 e 4 favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA07, e a atividade 5 contempla a habilidade EF06MA23

Observe os desenhos produzidos como resposta à atividade 3, verificando se as proporções estão corretas. Os estudantes devem perceber que não basta dividir a figura em 8 partes, é preciso que essas partes tenham o mesmo tamanho. Sugestões de resposta:

Ilustrações:

D C A Para Criar

5 Observe os comandos que Mônica usou para traçar o contorno polígono abaixo, iniciando pelo ponto A, no sentido horário.

Comandos:

• Avance 5 pontos e gire 1 4 de volta à direita.

• Avance 2 pontos e gire 1 8 de volta à direita.

• Avance 1 ponto e gire 1 8 de volta à esquerda.

• Avance 4 pontos e gire 1 4 de volta à direita

• Avance 3 pontos e gire 1 8 de volta à direita.

• Avance 1 ponto e gire 1 8 de volta à direita.

• Avance 6 pontos.

a) Desenhe um polígono em uma folha de papel quadriculado e escreva os comandos como os do exemplo acima, para construí-lo.

Resposta pessoal. Resposta pessoal. Sugestões no Manual do Professor. A B

Ilustrações: DAE

Resolução da atividade 4

Os estudantes podem perceber que, adicionando as quatro metades coloridas de cada quadradinho, encontrarão o total de 2 quadradinhos, ou seja, 2 16 Também podem dividir todos os quadrados ao meio, obtendo 4 32 Ou, ainda, considerar o quadrado colorido como a unidade, equivalendo 1 8 Para verificar se os comandos descritos pelo estudante correspondem à figura desenhada no item a da atividade 5, peça que cada um entregue sua descrição para um colega reproduzir a figura, verificando depois se as imagens correspondem às descrições.

Proponha que a correção do item b também seja realizada em duplas, principalmente se a turma for muito numerosa.

Sugestão de resposta:

Avance 2 quadradinhos para baixo e gire 1 4 de volta à direita.

Avance 5 quadradinhos e gire 1 4 de volta à esquerda.

Avance 2 quadradinhos e gire 1 4 de volta à direita.

Avance 5 quadradinhos e gire 1 4 de volta à esquerda.

Avance 2 quadradinhos. Há outras possibilidades.

Orientações

O conteúdo dessa página contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA07

No primeiro Pense e responda, além da atividade proposta, use outros exemplos para que os estudantes compreendam como é feita a comparação quando uma fração representa uma razão. Exemplos contextualizados são sempre mais significativos e facilitam a compreensão como grupos de estudantes que praticam algum esporte comparados à turma toda, entre outros exemplos possíveis.

No segundo Pense e responda, a resposta à questão apresentada evidencia que qualquer número natural pode ser expresso na forma de fração, no caso, 6 : 2 = 3

Outras ideias associadas às frações

A fração como comparação

Das 12 flores artificiais que Acácia comprou, 3 são vermelhas e 9 são amarelas. Qual é a fração que corresponde ao número de flores amarelas que ela comprou?

Nessa situação, a fração está associada à ideia de razão. No caso, 9 das 12 flores são amarelas e a representação fracionária é 9 12

Qual fração representa a razão entre a quantidade de flores vermelhas e a quantidade de flores amarelas? 3 9

A fração como quociente

Outra ideia associada à fração é a de quociente. Por exemplo, a fração 4 4 representa 1 inteiro, ou seja, 4 4 1 = . Porém, como 4 : 4 = 1, podemos estabelecer a igualdade: =: 4 4 44

O traço da fração também pode indicar uma divisão.

Qual é o quociente da divisão representada pela fração 6 2 ? 3

Danillo Souza

Danillo Souza

Acompanhe a resolução do problema a seguir.

• Duas barras de chocolate serão divididas igualmente entre os amigos Júlio, Carlos e Henrique. Quanto caberá a cada um deles? Vamos dividir cada barra de chocolate em três partes iguais.

Distribuindo os pedaços da barra de chocolate, vemos que cada um dos amigos receberá 2 3 do todo.

Orientações

Faça a leitura coletiva da situação apresentada no tópico “Fração de uma quantidade”.

Se julgar oportuno, apresente outros exemplos para que vivenciem a experiência, por meio da elaboração e resolução de problemas, utilizando objetos da sala de aula: estojos, lápis, canetas, entre outros. Espera-se que os estudantes retomem o conceito de fração como divisão para agrupar quantidades iguais, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA07

Resolução de Pense e responda 3 4 de R$ 20,00:

Portanto, caberá a cada um 2 : 3 ou 2 3 do inteiro representado pelas duas barras de chocolate.

Fração de uma quantidade

• Rosana distribuiu igualmente 24 fichas coloridas sobre a tampa de uma caixa de pizza dividida em 8 partes iguais. Quantas fichas correspondem a 6 8 dessa caixa?

Quando Rosana distribuiu as 24 fichas sobre cada oitavo da caixa, ela dividiu 24 por 8, colocando 3 fichas em cada oitavo. Ao selecionar 6 8 , ela observou que o número de fichas correspondente é 18 (6 3 = 18).

É assim que calculamos a fração de um número:

6 8 de 2424 86 36 18 =: .=.= ()

Veja outro exemplo: 3 5 de 6060 53 12 336 =: .=.= ()

Também podemos calcular 3 5 de 60 da seguinte forma: 3 5 de 6060 35 180 536 =. :=:= ()

(3 . 20) : 4 = 60 : 4 = 15 4 R$ 15,00 Compartilhe a resposta entre os estudantes e, se julgar necessário, peça que refaçam com apoio de material concreto.

Ilustrações: Adriano Gimenez

Orientações

MatemaTIC apresenta como calcular a fração de uma quantidade com uso da calculadora. Verifique se os estudantes compreenderam o passo a passo e escreva na lousa outros valores para eles encontrarem o valor usando a calculadora.

A seção favorece o desenvolvimento da competência específica 5

As atividades dessa página visam aplicar, fixar e ampliar os conceitos de fração como comparação, como quociente e fração de número.

Favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA07 e EF06MA09

Resolução da atividade 1

a) 1 2 de R$ 20,00:

20 : 2 = 10 4 R$ 10,00

b) 1 10 de R$ 50,00:

50 : 10 = 5 4 R$ 5,00

c) 1 4 de R$ 100,00:

100 : 4 = 25 4 R$ 25,00

Resolução da atividade 2

a) 1 4 de 60 litros:

60 : 4 = 15 4 15 litros

b) 60 - 15 = 45 4 45 litros

Aproveite a ilustração e peça aos estudantes que observem a marca de 1 2 , para depois perceber que 1 4 é metade dessa quantidade, embora 4 seja maior que 2.

Calculando a fração de uma quantidade com uso da calculadora

Veja como calcular as frações de quantidade dos exemplos apresentados na página anterior usando a calculadora.

• 6 8 de 24

• 3 5 de 60

Atividades

a) Quantos litros de gasolina há no tanque desse carro?

b) Quantos litros de gasolina faltam para encher o tanque?

1 Para cada item, calcule a quantia de dinheiro representada.

Eduardo convidou 35 amigos para sua festa de aniversário. No fim da festa, ele verificou que somente 4 5 dos convidados compareceram. Quantos amigos foram à festa de Eduardo? 28 amigos

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA09 e EF06MA10

Resolução da atividade 3

4

5 de 35:

(4 35) : 5 = 140 : 5 = 28

Resolução da atividade 4

Calculando as embalagens utilizadas para cada tipo de doce:

• brigadeiros:

1

6 de 1 800.

Festa de aniversário.

4 O proprietário de uma doceria comprou 1 800 embalagens para seus doces. Do total de embalagens, 1 6 foi utilizado para embalar brigadeiros e 2 5 para os beijinhos. Ele sabia que só para os docinhos de coco precisaria de 1 2 do total das embalagens compradas. As embalagens compradas serão suficientes ou faltarão embalagens? Neste último caso, quantas faltarão?

Faltarão 120 embalagens.

5 A informação abaixo, relativa às condições meteorológicas diárias do mês de novembro do ano passado, foi dada por uma estação de meteorologia de uma cidade.

1 800 : 6 = 300 4 300 embalagens

• beijinhos:

2

5 de 1 800.

(2 . 1 800) : 5 =

= 3 600 : 5 = 720 4 4 720 embalagens

• docinhos de coco:

1

2 de 1 800.

1 800 : 2 = 900 4 900 embalagens

300 + 720 + 900 = 1 920.

Então, ele usará 1 920 embalagens

1 920 – 1 800 = 120

Portanto, faltarão 120 embalagens.

Resolução da atividade 5

a) São 3 linhas com 10 previsões em cada uma, logo:

3 . 10 = 30 4 30 dias.

b) Verifique se os estudantes identificaram corretamente a legenda e contaram os dias correspondentes aos dias ensolarados 4 12 dias.

Com base nesses dados, responda às questões a seguir.

a) Quantos dias tem o mês de novembro?

30 dias

b) Em quantos dias desse mês o tempo foi ensolarado?

chuvoso

c) 10 dias de chuva em 30 dias do mês:

10

30 1 3 =

8 dias nublados em 30 dias do mês:

c) Que fração representa o número de dias em que choveu nesse mês? Que fração representa os dias nublados?

12 dias Choveu 10 dias, portanto 1 3 do mês. Os dias nublados representam 8 30 do mês.

8

30 4 15 =

Pergunte aos estudantes se eles estão familiarizados com a meteorologia e reforce a importância da Matemática para previsões do tempo.

Ilustrações: Luiz Lentini

Orientações

Na atividade 6, se possível, simule a situação para facilitar a compreensão.

Na atividade 7, se os estudantes ainda apresentarem dificuldade, sugira que a resolvam com o auxílio de desenhos.

Resolução da atividade 8

a) Aro 20 corresponde a 1 4 de 60, então, 60 : 4 = 15.

Aro 24 corresponde a 1 2 de 60, então: 60 : 2 = 30.

Aros 12, 16 e 26 juntos, correspondem a 1 4 de 60 : 60 : 4 = 15.

b) Possibilidade de resposta:

Legenda

Aro 20 Aro 24 Aro 12, 16 e 26

Essa atividade propicia o desenvolvimento da habilidade EF06MA09

Pergunte aos estudantes se eles têm o hábito de pedalar e ressalte que essa é uma prática que auxilia no bem-estar físico.

6 Se dividirmos igualmente cinco folhas de cartolina entre João, Pedro e Rosana, quanto de folha de cartolina cada um receberá? Apresente a resposta na forma de fração simples e na forma de fração mista.

7 Cristiane fez uma torta de palmito e a dividiu em seis pedaços iguais. Que fração da torta representa:

a) Cada pedaço?

b) Cinco pedaços?

8 A bicicletaria Belabike tem cinco tipos de tamanho de bicicletas, de acordo com o aro, em um total de 60 bicicletas.

Idade Aro

3 anos a 3,5 anos 12

3,5 anos a 6 anos 16

6 anos a 9 anos 20

9 anos a 12 anos 24

maiores de 12 anos 26

Sabe-se que a quantidade de bicicletas de:

• aro 20 corresponde a 1 4 do total.

• aro 24 corresponde a 1 2 do total.

• aros 12, 16 e 26 são iguais à quantidade restante.

a) Quantas são as bicicletas de aro:

• 20? 15

• 24? 30

b) Reproduza a imagem a seguir, pinte-a e complete as legendas com as cores correspondentes.

Resposta no Manual do Professor.

Tipos de aros de bicicleta

Legenda

Aro 20

Aro 24

Aros 12, 16 e 26

Orientações

Frações equivalentes e simplificação de frações

Lia montou quatro painéis de mesmo tamanho, que foram pintados com as mesmas cores: amarelo, azul e verde.

A B C D

Note que cada painel foi dividido em partes de mesmo tamanho e que cada uma das cores ocupa a mesma parte do painel.

Observe que as frações 1 3 , 2 6 , 3 9 e 4 12 representam a mesma porção de cada painel, isto é, representam a mesma quantidade. Nesse caso, dizemos que elas são frações equivalentes e podemos escrever:

12 == =

Quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número natural diferente de zero, obtemos uma fração equivalente à primeira.

Nesse caso, a fração 1 3 é a forma mais simples de se escrever a fração 4 12 e é chamada de fração irredutível. O numerador e o denominador da fração irredutível 1 3 não podem mais ser divididos por um mesmo número natural não nulo diferente de 1, pois 1 e 3 são primos entre si. Quando dividimos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, estamos simplificando a fração.

Qual é a fração equivalente a 3 5 com denominador 20? 12 20

Nessa etapa, serão aprofundados os conceitos de frações equivalentes, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA07. Peça aos estudantes que leiam a situação apresentada no tópico. Em seguida, promova uma roda de conversa para verificar se eles compreenderam os conceitos de frações equivalentes e de fração irredutível.

Resolução de Pense e responda 20

4

3 5 12 = 4

Atividades complementares

Se houver possibilidade, proponha o jogo “dominó de frações”, reproduzindo as peças, disponível em: https://nova-escola-producao. s3.amazonaws.com/85kxv9K2dkAm wcdJUXPjCkDCmhQgN9GHEcvH FbGbHt5rSEEQ2Eumz7ZQQ9rN/do mino-de-fracoes.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Orientações

As atividades dessa página auxiliam no desenvolvimento da habilidade

EF06MA07

É importante que os estudantes observem a representação das frações na reta numérica, pois isso contribui para o desenvolvimento da habilidade

EF06MA08

Se julgar oportuno, trace uma reta numérica na lousa, com algumas frações indicadas, e peça que escrevam frações equivalentes a cada uma delas. Faça a correção coletiva da atividade 1. Como há muitas possibilidades de frações equivalentes a 2 4 no item a e a 2 6 no item b, é possível haver diferentes respostas, o que enriquecerá o repertório dos estudantes. Caso surjam respostas equivocadas, sugira que identifiquem o erro e corrijam coletivamente.

Resolução da atividade 2

a) São 21 quadradinhos verdes em um total de 60 quadradinhos:

Atividades

Quando associamos um número natural a um ponto de uma reta numérica, apenas ele corresponde ao ponto. No entanto, no caso da representação das frações na reta numérica, a cada ponto está associado um conjunto de frações equivalentes

21

60 7 20 =

b) São 32 quadradinhos verdes em um total de 60 quadradinhos:

1 Represente, com duas frações equivalentes, a parte amarela de cada figura.

60 8 15 =

32

2 Escreva a fração irredutível correspondente à parte colorida de cada uma das figuras.

3 Indique que fração é equivalente a:

com denominador 3;

com denominador 6;

Para aprofundar

Se achar oportuno, peça que representem geometricamente essas frações para verificar a equivalência.

com denominador 12;

Veja sugestões de como desenvolver o trabalho com frações utilizando material concreto.

• SANTOS, M. O ensino e aprendizagem das frações utilizando materiais concretos. 2014. Monografia (Licenciatura plena em Matemática) – Universidade Estadual da Paraíba, Campina Grande, 2014. Disponível em: http://dspace.bc.uepb.edu.br/ jspui/bitstream/123456789/4290/1/PDF%20-%20Maria%20Jos%C3%A9%20Batista%20de%20Souza%20Santos.pdf

Acesso em: 5 jul. 2022.

4 Demonstre, por meio de desenhos, que as frações 1 5 ,  2 10  e 3 15 são equivalentes.

Orientações

Desenhos pessoais.

5 Escreva as frações que representam os números correspondentes aos pontos indicados pelas letras A, B e C

== = 2 3 ;1 1 3 ou 4 3 ;2 2 3 ou 8 3 AB C

As atividades 4 e 7 contemplam a habilidade EF06MA07. As atividades 5 e 6 favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA08

1 3 0

AB C 2

6 Usando uma régua, trace uma reta numérica e marque nela o número indicado em cada item. a) 3 5 b) 14 5 c) 22 10

Resposta no Manual do Professor.

Na atividade 4, há uma grande variedade de representações. Observe se, apesar das diferenças, todos compreenderam a proposta e resolveram corretamente.

Início Fim

Escolher a b Escolher c d e  a b c d são equivalentes

Calcular a d Calcular b c

Sim

7 Duas frações e  a b c d , com b q 0 e d q 0, são equivalentes, ou seja, = a b c d quando a d = b c. O fluxograma a seguir mostra os passos para executar o exposto acima. Resposta pessoal.

a d = b c ?

e  a b c d não são equivalentes

Seguindo as instruções do fluxograma, mostre que as frações = 14 16 182 208 são equivalentes.

8 O gráfico a seguir mostra os instrumentos musicais tocados pelos estudantes em uma escola de música.

Instrumentos tocados pelos estudantes

Possibilidade de resposta: Na atividade 5, verifique se os estudantes observaram que cada unidade representada na reta está dividida em 3 partes iguais, ou seja, cada parte representa 1 3 de um inteiro e se conseguiram situar corretamente os números na reta numérica. Se necessário, retome com eles essa representação.

Resolução da atividade 6

Resolução da atividade 7

1o passo: a b 14 16 =

Com base nos dados do gráfico, elabore perguntas que envolvam números fracionários e troque com um colega para respondê-las. Depois, juntos, confiram as respostas. Resposta pessoal.

Cada representa 10 estudantes Instrumento

2o passo: c d 182 208 =

3o passo: a . d = 14 . 208 = 2 912

4o passo: b . c = 16 . 182 = 2 912

5o passo: como 14 . 208 = 16 182 = = 2 912, podemos concluir que as frações 14 16 e 182 208 são equivalentes.

A atividade 8 permite uma grande variedade de perguntas. Essa atividade contempla a habilidade EF06MA09

Fonte: Responsável pela escola de música.

Sugestões de perguntas:

• Qual fração representa a quantidade de estudantes que tocam guitarra? E de estudantes que tocam violão?

• Quantos tocam flauta? Qual fração eles representam do total de estudantes que tocam algum tipo de instrumento?

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF06MA07 e EF06MA09

Leia a situação proposta com os estudantes no tópico “Comparação de frações”. Peça a eles que observem o esquema utilizado para representar os gastos da família e, depois, utilizando frações equivalentes, que identifiquem o setor em que a família gasta mais. É importante que reconheçam que o resultado foi obtido de duas formas distintas e que sempre devemos observar qual é o melhor caminho para resolver um problema. Você pode trazer exemplos cotidianos, conforme a seguir.

Para fazer um bolo de 500 g, Ana usa 4 ovos, e para outro bolo de 750 g, 6 ovos. Se em uma bandeja há 12 ovos, que frações representam as quantidades de ovos necessários para fazer cada bolo?

Qual destas frações é maior, 4 12 ou 6 12 ?

Em Pense e responda, um modo de resolver a atividade é simplificar a fração 10 1 000 , dividindo o numerador e o denominador por 10, pois assim é possível perceber que as duas frações são equivalentes: 10 1 000 1 100 =

Comparação de frações

Acompanhe a situação a seguir.

A família de Antonieta gasta 1 3 do salário em alimentação, 3 10 em lazer e 1 6 em transporte. Em que ela gasta mais: em alimentação, lazer ou transporte?

Há dois modos de resolver essa questão. Veja:

1? modo: Podemos representar os gastos em um esquema e comparar o que cada uma das frações representa.

<< 1 6 3 10 1 3

Lê-se: um sexto é menor que três décimos, que é menor que um terço. Pelo esquema, podemos dizer que a família de Antonieta gasta mais em alimentação.

2? modo: Podemos encontrar as frações equivalentes a 1 3 , 3 10 e 1 6 do salário que tenham o mesmo denominador.

Se os denominadores de duas frações são iguais, a maior fração é a que possui o maior numerador.

Comparando as frações, concluímos que: <<

5 30 9 30 10 30 ou

Portanto, a família de Antonieta gasta mais em alimentação.

Qual fração é maior: 1 100 ou 10 1 000 ? As frações são equivalentes.

Atividades

1 Renato ganhou 1 3 de um prêmio e Jair, 2 5 desse prêmio. Qual deles ficou com a menor parte do prêmio?

Renato.

2 Duas pizzas de igual tamanho foram cortadas da seguinte maneira: uma delas foi cortada em 12 fatias iguais e a outra, em 8 fatias iguais.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA07

Oriente os estudantes para que representem as frações por meio de figuras sempre que acharem necessário. Isso os ajudará a visualização. Resolução da atividade 1 Há várias possibilidades. Sugestão:

Renato:

Jair:

Portanto, Renato ficou com a menor parte.

a) Represente, por meio de frações, 3 pedaços de cada uma das pizzas

3 12 e 3 8

b) Os pedaços de pizza nos dois casos do item anterior têm o mesmo tamanho? Se não, qual é o maior?

Não. Os pedaços maiores são aqueles da pizza dividida em 8 fatias.

3 Ao final do primeiro minuto de uma corrida de Fórmula 1, verificou-se que o carro A percorreu 5 8 do circuito; o carro B, 7 12  ; e o carro C, 5 6 . Dos três carros:

O item b da atividade 2 pode ser resolvido observando-se a imagem das pizzas. Eles devem perceber que quanto maior o número de partes a pizza for dividida, menor será o tamanho de cada parte.

Resolução da atividade 3

Há várias possibilidades. Sugestão:

Carro A:

Carro B:

Carro C:

Assim, pode ser observado que em primeiro lugar está o carro C, e em último, o carro B Resolução da atividade 4 Há várias possibilidades. Sugestão:

a)

Carros de Fórmula 1.

a) Qual está em primeiro lugar?

O carro C

Márcio:

Alan:

b) Qual está em último lugar?

4 O quadro a seguir mostra o número de pênaltis batidos e os convertidos em gol que dois jogadores cobraram durante um campeonato de futebol.

Jogador Pênaltis batidos Pênaltis convertidos em gol

Márcio10 7

Alan12 8

a) Que jogador foi mais eficiente nas cobranças?

O carro B Márcio.

b) Como você pensou para determinar quem foi mais eficiente? Troque ideias com um colega sobre as estratégias que utilizaram.

Resposta pessoal.

Observando a representação, podemos perceber que > 7 10 8 12 , portanto, Márcio teve melhor desempenho.

b) Reserve um momento para que os estudantes conversem sobre como resolveram a questão, de modo a ampliar o repertório de possibilidades e estratégias de resolução.

Jogador batendo pênalti.

Orientações

A comparação dos denominadores, na atividade 5, deve ser bem enfatizada, já que, nas frações de mesmo numerador, a maior é aquela que possui menor denominador. Se necessário, represente-as geometricamente para facilitar a comparação. Peça aos estudantes que após responderem o item c compartilhem suas conclusões com os colegas.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA07

Resolução da atividade 6

Os estudantes devem observar que a distância entre 0 e 4 está dividida em 6 partes iguais. Assim, o número 4 corresponde à fração == 24 6 4 1 4 pois, == 24 6 4 1 4. Portanto, cada pequena parte da reta vale 4 6 2 3 =

Daí

Portanto, o ponto A corresponde à fração 56 6 28 3 =

Resolução da atividade 7

a) Nos bombons, há 3 formas diferentes de figura representada no interior de cada um: em alguns, um quadrado, em outros, um triângulo e no terceiro tipo, um círculo.

b) 4 5 = 20 4 20 bombons

c) Verifique se os estudantes identificam a forma quadrangular na parte interior dos bombons e se contaram corretamente.

d) São 7 bombons com forma triangular em seu interior, em um total de 20 bombons 4 7 20

e) Sugestão de pergunta: Que fração representa a quantidade de bombons que têm forma quadrangular?

Há outras possibilidades.

Essa atividade contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA09

5 Leonardo observou que frações com numerador igual a 1 podiam ser comparadas sem a necessidade de escrevê-las com os mesmos denominadores.

a) Qual fração é maior:

• 1 4 ou 1 5 ?

• 1 10 ou 1 9 ?

b) Se você tiver duas frações com numerador igual a 1, qual delas será a maior?

A que tiver o menor denominador.

c) O que você pode concluir da observação de Leonardo? Explique sua conclusão por escrito, usando esquemas ou como preferir.

6 A reta numérica mostrada a seguir está dividida em partes iguais.

Qual é o número fracionário correspondente ao ponto A indicado na reta?

7 A figura a seguir representa a vista superior de uma caixa cheia de bombons.

a) Quantas formas diferentes têm os bombons dessa caixa? 3

b) Quantos bombons há nessa caixa? 20

c) Quantos bombons têm a forma quadrangular?

d) Qual fração do total de bombons da caixa, corresponde aos bombons que são triangulares?

e) Elabore uma pergunta com informações da figura que use frações e dê para um colega responder. Resposta pessoal.

Fórmula Produções

Adição e subtração de frações com denominadores iguais

Acompanhe a situação a seguir.

• Do valor que ganha mensalmente em seu emprego, Elvira gastou 5 9 com aluguel e 1 9 com alimentação. Após esses gastos, ela ficou com 210 reais.

a) Que fração do salário ela gastou no total?

Adicionando os gastos com aluguel e alimentação, temos:

+= + = 5 9 1 9 51 9 6 9

Portanto, Elvira gastou com aluguel e alimentação 6 9 do que ganha.

Para adicionar frações com denominadores iguais, adicionamos os numeradores e mantemos o denominador.

b) Depois de pagar essas despesas, que fração do salário sobrou?

A quantia que Elvira ganha corresponde ao inteiro, ou seja, 9 9 . Logo, a fração da quantia restante é:

-== 9 9 6 9 96 9 3 9

Para subtrair frações com denominadores iguais, subtraímos os numeradores e mantemos o denominador.

c) Que quantia Elvira ganha mensalmente?

Após as despesas, ela ficou com 210 reais, o que corresponde a 3 9

3 9 representa 210, então 1 9 representa 210 : 3 = 70. Logo, 9 9 representa

9 70 = 630

Portanto, a quantia que Elvira ganha mensalmente é 630 reais.

Frações sem mistérios, de Luzia Faraco Ramos (Ática).

Usando uma estratégia bastante divertida, um professor de Matemática ensina a seus estudantes ideias relacionadas às frações e mostra onde elas estão presentes no nosso cotidiano. Os estudantes adoram esse jeito novo de ensinar, mas o diretor da escola nem tanto. Aventure-se com os personagens e descubra o que acontecerá.

Orientações

Nesse momento, trabalharemos adição e subtração de frações. Use materiais manipuláveis para calcular o exemplo que trata do salário de Elvira. Com o auxílio da representação geométrica, por exemplo, podemos observar que a quantia que ela gastou com aluguel e alimentação representa 6 9 , ou 2 3 da quantia que ela re cebe. Essa etapa do estudo das frações trabalha as habilidades EF06MA09 e EF06MA10

Em Pense e responda, para responder à questão pode-se também considerar que duas metades somam um inteiro.

Em Aqui também se aprende, você pode sugerir aos estudantes que façam a leitura do livro e, se achar pertinente, proponha atividades com base na leitura. Nesse momento, dialogam Matemática e Literatura, aspecto que contempla a competência específica 3

Orientações

A atividade 1 favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA07

Atividades

1 Efetue e simplifique o resultado quando possível.

20 3 20

2 Copie os quadros de adição e subtração com frações e complete-os.

3 Calcule o valor das expressões numéricas.

Explique o que você fez para chegar aos resultados.

4 É comum, nos painéis dos automóveis, um medidor que indica o nível de combustível existente no tanque. O medidor informa, por meio do ponteiro, a fração de combustível existente no tanque em relação à sua capacidade máxima. Quando o ponteiro está na posição “cheio”, dizemos que o tanque está completo de combustível. As figuras abaixo representam o medidor de combustível de um automóvel no momento da partida e no momento da chegada de uma viagem.

Se o tanque cheio armazena 60 litros, é correto afirmar que nessa viagem foram gastos, em litros, um total de combustível igual a: Alternativa d

Resolução da atividade 3

a) 532 7 6 7 +=

b) 5 391 12 12 12 1 -++ ==

c) 131103 20 1 20 +-=

Resolução da atividade 4 Como o tanque cheio armazena 60 litros, temos que na partida o tanque tinha:

3 4 de 60:

(3 60) : 4 = 180 : 4 = 45 4 45 L

Cálculo da quantidade de combustível do tanque na chegada:

1

4 de 60:

60 : 4 = 15 4 15 L

Então, calculando o total do tanque na partida menos o total do tanque na chegada, temos:

45 - 15 = 30 4 30 L

Alternativa d

Os estudantes podem apoiar-se primeiramente na observação das imagens e depois nos cálculos.

Essa atividade contempla a habilidade EF06MA09

5 Que fração deve estar no lugar do em cada item?

a) += 7 15 16 15 b) += 2 7 1

• Explique aos colegas como você fez para chegar ao resultado em cada item.

• Elabore mais dois itens parecidos com esses para o colega responder. Depois, destroquem para conferir as respostas.

6 Um funcionário de uma empresa deve executar uma tarefa em 3 semanas. Ele executou 3 8 da tarefa na 1; semana e 1 3 na 2; semana. Quanto ele deve executar na 3; semana para finalizar o serviço?

7 Reproduza a reta representada em cada item e pinte a parte que representa a diferença de cada operação. a) - 3 1 2 1 3 4

b) - 5 3 8 3 3 4

8 Romeu organiza passeios turísticos em sua região. O gráfico abaixo mostra os passeios mais procurados no mês de abril do ano passado.

Passeios mais procurados

Resolução da atividade 7

a) Observando que cada unidade da reta está dividida em 4 partes iguais, temos que cada parte representa 1 4 Como 1 3 4 7 4 , =

efetuamos 7 deslocamentos de 1 4 para a esquerda partindo de 3 1 2

b) 5 3 8 48 3 = . Observando que cada unidade da reta está dividida em 8 partes iguais, temos que cada par te representa 1 8 Como 3 3 4 15 4 30 8 == , efetuamos 13 (43 – 30) deslocamentos de 1 8 para a esquerda partindo de 5 3 8 3

Essa atividade contempla a habilidade EF06MA08

005101520253035404550

Fonte: Dados fornecidos por Romeu. Elaborem perguntas envolvendo números fracionários baseados nas informações do gráfico. Troquem ideias para a elaboração dessas perguntas. Resposta pessoal.

Orientações

Ao final da atividade 8, peça que troquem as perguntas elaboradas com outra dupla, para que, consultando o gráfico, uma responda às elaboradas pela outra. Depois peça que, juntos, confiram as respostas. Identifique possíveis erros na elaboração, como perguntas que não possam ser respondidas, ou na resolução.

9

As atividades 6 e 8 promovem o desenvolvimento da habilidade EF06MA09 e a habilidade EF06MA10 é contemplada nas atividades 5, 6 e 9

Fórmula Produções

Fórmula Produções

Ilustrações:

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA07

Explore a situação na lousa, por meio da representação geométrica e fracionária passo a passo, como forma de favorecer o entendimento dos estudantes. Se notar que apresentam dúvidas, represente a mesma situação por meio da reta numérica. Divida inicialmente a reta numérica em quatro partes iguais.

0 1 4 2 4 3 4 1

Dessa forma, Ivo pintou 3 4 do muro. A fração equivalente a 3 4 é

Adição e subtração de frações com denominadores diferentes

Acompanhe a situação a seguir.

Ivo e Leo estão pintando o mesmo muro. Ivo já pintou 3 4 do muro, e Leo, 1 8 Que parte do muro eles já pintaram no total?

Assim, Ivo pintou 6 8 e Leo pintou 1 8

Vamos fazer esquemas para comparar as frações.

Ivo pintou: , que é equivalente a

A parte que eles já pintaram equivale a:

Ivo e Leo, juntos, já pintaram 7 8 do muro.

Quanto Ivo pintou a mais que Leo?

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA07

Resolução do primeiro Pense e responda

Portanto, Ivo pintou 5 8 de muro a mais que Leo.

Para adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes:

• substituímos as frações por frações equivalentes com denominadores iguais;

• adicionamos ou subtraímos os numeradores, conservando o denominador.

Quanto é 1 2 1 3 + ? 5 6

Com exceção de 2 3 , os egípcios usavam somente frações com o numerador igual a 1, e não era permitido repetir uma fração. Assim, 3 8  não  podia ser escrito como

encontrar uma maneira de se obter 3 8 de frações com numerador

Fontes: ROONEY, Anne. A história da Matemática. São Paulo: M. Books, 2012; CONTADOR, Paulo Roberto Martins. Matemática, uma breve história. 4. ed. São Paulo: Livraria da Física, 2012.

Um jeito diferente de adicionar frações de denominadores diferentes

Usando frações equivalentes, podemos adicionar frações assim:

Também podemos usar uma técnica mais rápida. Veja: Multiplique em “cruz” os numeradores e denominadores. Adicione os resultados.

Descreva essa técnica com suas palavras. Resposta pessoal. Multiplique os denominadores.

Se uma das parcelas for um número inteiro, fazemos assim:

21 15 32 5

Curiosidade contempla a competência geral 1, pelo aspecto histórico, e a competência geral 2, por exercitar a curiosidade. Ele apresenta como os egípcios faziam repartições. Proponha algumas situações e peça aos estudantes que utilizem a mesma estratégia dos egípcios.

Após a leitura do tópico “Um jeito diferente de adicionar frações de denominadores diferentes”, explique aos estudantes que o método é interessante, mas dependendo dos denominadores não compensa utilizá-lo, pois a fração terá que ser simplificada. No segundo Pense e responda, é exigida a elaboração de um texto em linguagem natural. Leia os textos produzidos com atenção, verificando o conceito matemático e a clareza textual. Se necessário, faça apontamentos para que os próprios estudantes aprimorem os textos que produziram. Essa atividade contempla a competência geral 4

Orientações

As atividades 1, 2 e 3 favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA07, e as atividades 4 e 5 favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA10

Essa seção de atividades visa aplicar e ampliar os conceitos de adição e subtração de frações com denominadores diferentes. É um bom momento para avaliar o aprendizado e o desenvolvimento dos estudantes e, se necessário, retomar alguns conceitos. Resolução da atividade 1

a) 95 2 14 2 7 + ==

b) 51 3 4 3=

c) 7 42 6 42 13 42 +=

d) 3 6 2 6 1 6 -= Resolução da atividade 2

Atividades

1 Efetue as operações.

2 Use frações equivalentes para calcular o resultado das operações. Veja o modelo:

3 Efetue as operações a seguir utilizando o procedimento que achar mais fácil.

4 Renata gastou 1 3 do dinheiro que tinha para comprar uma blusa e 1 4 para comprar um par de sandálias. Que fração desse dinheiro Renata gastou ao todo?

5 Uma barra de chocolate foi repartida entre quatro crianças. Sabe-se que Geni ficou com 1 3 da barra; Moacir, com 2 9 ; Sérgio, com 4 12 e Carmem, com o restante da barra. Que fração da barra:

a) Moacir e Sérgio receberam juntos? b) Moacir recebeu a menos que Geni? c)

6 Um carro havia percorrido 1 5 da distância entre duas cidades. Depois, percorreu mais 1 2 da mesma distância. Sabendo que ainda faltam 210 quilômetros, calcule a distância entre as duas cidades.

7 O olho de Hórus é um dos amuletos mais importantes no Egito Antigo. Hórus, deus da mitologia grega, tinha cabeça e olhos de falcão. Ele perdeu um olho durante uma luta com o deus Seth. O olho foi fracionado em 64 partes. Depois que foi reconstituído, suas partes passaram a representar as frações de hekat, associadas aos sentidos humanos.

1 2 visão, 1 4 e 1 8 pensamento, 1 16 audição, 1 32 tato e 1 64 paladar.

Fonte: SILVA, Isabelle C.; PEREIRA, Ana Carolina C. O estudo de fontes históricas: o caso do problema 56 do papiro de Rhind para o estudo de pirâmides. In: ENCONTRO NACIONAL DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 12., 2016, São Paulo. Anais [...]. São Paulo: SBEM, 2016. Disponível em: http://www.sbembrasil.org.br/enem2016/anais/pdf/7046_3948_ID.pdf. Acesso em: 5 maio 2022.

Calcule a soma de todas as frações que aparecem na ilustração acima.

8 Veja a fração do Tangram que cada peça representa:

Determine que fração do Tangram representa cada figura a seguir.

9 Num quadrado mágico, obtemos sempre o mesmo resultado quando adicionamos os números de uma linha, de uma coluna ou de uma diagonal. Esse resultado chama-se soma mágica. Copie o quadrado mágico representado a seguir e complete-o com os números que estão faltando.

Orientações

Essas atividades favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA07 e EF06MA10

6

7 10 3 10 , -= parte da estrada que falta percorrer, o que equivale a 210 k m. Então, a distância entre as 2

Se achar necessário, faça a correção coletiva e escreva as diferentes estratégias na lousa. Por trabalhar o raciocínio lógico e a investigação, essa atividade contempla a competência geral 2 e a competência específica 2

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA10

Ao estudar o tópico “Multiplicação de um número natural por uma fração”, verifique se os estudantes estão compreendendo a maneira como se resolve e não se confundem com a representação de um número misto, visto que ambos são escritos de forma muito semelhante.

Calcular a multiplicação de um número natural por uma fração remete à adição de parcelas iguais.

Resolução de Pense e responda

100 1 10 = 100 : 10 = 10

Multiplicação de um número natural por uma fração

Acompanhe a situação a seguir.

• Para fazer uma receita de bolo de laranja, Laura usa, entre outros ingredientes, 1 8 de um tablete de manteiga.

Que fração do tablete de manteiga ela usará para fazer quatro receitas desse bolo? Um esquema pode ajudar a resolver esse problema.

Quanto é 100 1 10 . ? 10

Para multiplicar um número natural por uma fração:

• multiplicamos o número natural pelo numerador da fração;

• conservamos o denominador.

A quantidade de manteiga necessária para quatro receitas de bolo é quatro vezes a quantidade usada em uma receita de bolo, ou seja, 4 1

A parte amarela do esquema pode ser calculada assim:

Então, podemos escrever: .=

Portanto, para fazer quatro receitas, Laura vai usar metade do tablete de manteiga.

Ingredientes para fazer bolo.

Atividades

1 Fabiano toma 1 2 litro de leite por dia.

a) Quantos litros de leite ele tomará em quatro dias?

b) Quantos litros de leite ele tomará em uma semana? Expresse em forma mista.

2 Calcule:

a) 3 4 de 500 reais; b) 2 3 de 120 m; c) 4 5 de 300 kg; d) 2 7 10 de 400 L.

3 Veja os ingredientes da receita do bolo de Eliete.

b) Farinha: 3 quilogramas; chocolate: 21 colheres de sopa.

a) Que quantidade de margarina é necessária para fazer três receitas desse bolo?

1 1 2 colher de sopa

b) Que quantidade de farinha é necessária para fazer seis receitas desse bolo? E de chocolate?

c) Que quantidade de açúcar é necessária para fazer cinco receitas desse bolo?

1 1 4 quilogramas

4 Com 2 copos de 1 4 L e 9 copos de 1 6 L podemos encher uma jarra de água de quantos litros?

2 litros

5 Suponha que um cachorro coma, aproximadamente, 1 2 quilograma de ração por dia. Quantos quilogramas de ração esse cachorro consumirá em 10 dias?

5 quilogramas

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades EF06MA07, EF06MA09 e EF06MA10

Cachorro da raça dogue alemão.

As imagens desta página não estão representadas na mesma escala.

Objetivos do capítulo

• Resolver problemas relacionados ao conceito de porcentagem sem o uso da regra de três.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 7, 8, 9 e 10

Competências específicas 2 Habilidades EF06MA13

Foco nos TCTs

• Educação Alimentar e Nutricional

• Educação Ambiental

Orientações

O trabalho com porcentagem é socialmente importante e merece um olhar criterioso, visto que compreender o uso correto de porcentagens tem impacto significativo na vida financeira das pessoas. Em uma sociedade dependente das relações comerciais, e na qual o mercado financeiro tem forte influência, é essencial compreender o universo de taxação de impostos, reajustes, aumentos, descontos e outros tantos termos relacionados a esse tema.

Como o trabalho com porcentagem tem início ainda nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, o papel do professor é organizar os conhecimentos adquiridos até o momento e relacioná-los com novas descobertas, desenvolvendo a habilidade

EF06MA13

A atividade de Para começar apresenta uma situação bastante comum no cotidiano, ao colocar termos como desconto e porcentagem. Verifique se os estudantes já ouviram falar desses termos e em que situação.

Faça uma reflexão sobre as consequências acarretadas pela pandemia da covid-19, e conversem sobre a razão dos aumentos dos preços.

Porcentagem

Super promoção Desconto de até 70%.

Resposta pessoal.

O que significa um desconto de 70% (setenta por cento) no preço de um produto?

Taxa percentual

Você já deve ter visto o símbolo % em livros, jornais, revistas, cartazes, embalagens indicando taxas percentuais. Leia o trecho da matéria a seguir.

Pandemia tem provocado aumento de preços de alimentos básicos

[...]

Nos últimos 12 meses, o óleo de soja subiu 82%, muito acima da inflação média. O arroz também, 56%. As carnes, 35%. E tem ainda o aumento do gás, combustível do fogão: 21%.

As altas sem trégua têm a ver com o que acontece fora do Brasil. Os alimentos básicos aqui – soja, trigo, milho – são básicos no mundo todo. Por isso, o preço que pagamos é regulado internacionalmente, em dólar, que está alto.

[...]

PANDEMIA tem provocado aumento de preços de alimentos básicos. G1, [Rio de Janeiro], 15 maio 2021. Jornal Nacional. Disponível em: https://g1.globo.com/jornal-nacional/noticia/2021/05/15/pandemia-tem-provocado -aumento-de-precos-de-alimentos-basicos.ghtml. Acesso em: 4 mar. 2022.

Alimentos em um supermercado na cidade de Sorocaba (SP), 2019.

Edson Grandisoli/Pulsar Imagens

Orientações

Resposta pessoal.

Pense, organize e escreva uma ou mais propostas de como efetuar compras inteligentes e reduzir o impacto do aumento dos preços dos alimentos. Compartilhe as ideias com os colegas.

Consideremos a população representada por grupos de 100 brasileiros. Se 85% vivem nas áreas urbanas, significa que 85 de cada 100 brasileiros vivem nos centros urbanos (85%), e apenas 15 brasileiros de cada 100 (15%) não habitam as cidades.

Veja como indicamos.

= 85 100 85% 4 Lê-se: oitenta e cinco por cento

= 15 100 15% 4 Lê-se: quinze por cento

Essas formas usadas para indicar uma fração de denominador 100 ou qualquer representação equivalente a ela são denominadas taxas percentuais; nesse caso, a porcentagem é de 85 em 100 e 15 em 100.

Acompanhe a resolução do problema a seguir.

• O automóvel de Carla tem capacidade para 48 litros de combustível e está, agora, com 36 litros. Que percentual da capacidade total representa o combustível que está no tanque?

Se o tanque está com 36 litros de um total de 48 litros, a fração da capacidade que representa essa quantidade é 36 48

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EF06MA13

No primeiro Pense e responda, a atividade trabalha conscientização. Peça aos estudantes que formem trios e construam cartazes sobre a temática para serem expostos em sala de aula. Ressalte a importância de comprar frutas e legumes da safra, pesquisar preços etc. Essa discussão favorece o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais: Educação Financeira e da competência geral 7

No segundo Pense e responda, a atividade apresenta uma situação de escrita de percentuais em outra representação numérica. Retome com os estudantes os conceitos de fração decimal antes de encaminhar a atividade.

Inicie lendo as representações de percentuais na forma de fração e por extenso. Aproveite o momento para apresentar outros exemplos, a fim de que os estudantes se apropriem dessa representação, associando o denominador 100 à leitura dos percentuais. Escreva alguns percentuais na lousa e peça que eles as escrevam por extenso no caderno, bem como sua representação fracionária.

Para determinar que percentual essa fração representa, vamos procurar uma fração equivalente a 36 48 com denominador 100, caso exista.

O tanque está com 75%, ou seja, 75 100 da sua capacidade.

Orientações

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Na atividade 1, item b , apesar de apresentar esse dado favorável à classe trabalhadora feminina, ressalte que a desigualdade de gênero ainda é latente no Brasil. Dê espaço aos estudantes para que opinem sobre o assunto. Apresente situações de trabalho em que os homens são mais beneficiados, com o objetivo de despertar empatia e reflexão dos estudantes sobre a questão de gênero. Essa discussão propicia o desenvolvimento da competência geral 10, e do Tema Contemporâneo Transversal: Educação em Direitos Humanos

Resolução da atividade 2

a) Há 25 quadradinhos verdes em um total de 100 quadradinhos.

25 100 25% =

b) Há 2 cubos verdes em um total de 8 cubos.

Atividades

1 Qual é o significado das taxas percentuais nas informações a seguir?

a) A cada R$ 100,00 em compra de cadernos, há um desconto de 25%.

A cada R$ 100,00, o desconto é de R$ 25,00, e o valor da compra será de R$ 75,00.

b) Em Caxias do Sul, no ano de 2020, aproximadamente 51% dos cargos no comércio eram ocupados por mulheres.

De cada 100 pessoas, aproximadamente 51 são mulheres.

2

8 1 4 25 100 25% == =

c) Podemos observar, pela composição das figuras, que temos 64 quadradinhos verdes em um total de 128 quadradinhos.

64 128 1 2 50 100 50% == =

d) Há 4 cubos verdes em um total de 5 cubos.

4 5 80 100 80% ==

2 Escreva a fração de denominador 100 e o percentual correspondente à parte pintada de cada figura.

Fonte: UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL. Boletim mulheres e mercado de trabalho. Caxias do Sul: UCS, 2021. Disponível em: https://www.ucs.br/site/midia/arquivos/Boletim_Mulheres_2021.pdf. Acesso em: 3 mar. 2022.

3 Aos 9 minutos do 1? tempo (45 minutos) de um jogo de futebol, saiu o primeiro gol. Qual o percentual do 1? tempo do jogo havia passado quando esse gol foi feito?

4 O desempenho de uma equipe de basquete pode ser obtido pela divisão entre o número de jogos ganhos e o número de jogos realizados.

Orientações

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As atividades 3 e 4 apresentam situações do contexto esportivo. Pergunte aos estudantes quais outros esportes se apropriam de fração ou percentual.

Resolução da atividade 3

Qual foi o percentual de desempenho de uma equipe que ganhou 18 dos 25 jogos dos quais participou em um campeonato?

5 Em uma escola, 2 em cada 5 estudantes falam inglês. Qual o percentual dos estudantes dessa escola que não fala inglês?

6 Observe o preço do vestido. Qual é o percentual do desconto?

7 O quadro a seguir mostra o resultado de uma pesquisa feita em uma camisaria para detectar defeitos de fabricação de suas camisas no primeiro semestre do ano. Nenhuma camisa apresentou mais que um defeito.

a) Qual é o percentual dos defeitos relacionado a:

• ausência de um botão?

• costura incorreta ou furo no tecido?

b) Elabore duas perguntas que envolvam percentuais com base nas informações do quadro. Troque com um colega para respondê-las e depois, juntos, confiram as respostas. Resposta pessoal.

9

45 = 1 5 = 20 100 = 20%

Resolução da atividade 4

18

25 = 72 100 = 72%

As atividades 5 e 6 trabalham a subtração de percentuais, o que inclui uma etapa a mais no raciocínio trabalhado até o momento.

Resolução da atividade 5

Se 2 em cada 5 estudantes falam inglês, então 3 em cada 5 estudantes não falam inglês. Logo, 3

5 60 100 = = 60%.

Resolução da atividade 6 O desconto, em reais, foi de 6 reais (50 – 44).

6

50 12 100 = = 12%

Resolução da atividade 7

a) Total de itens analisados:

15 + 20 + 8 + 7 = 50

8 50 16 100 16% ==

15 7 50 22 50 44 100 44% + == =

b) Sugestão de pergunta: Qual é o percentual de defeito por mancha no tecido? 20 50 40 100 40%            ==

Jogo de basquete.

Orientações

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Resolução da atividade 8

Tecido ósseo (25% de água): =

8 (CMSM-RS) Nosso corpo possui uma fração significante de água. Cerca de 75% do cérebro, do coração e dos músculos é por ela constituído. O sangue, por sua vez, contém 81% de água; a gordura corporal, 14%; e o tecido ósseo, 25%. O corpo humano adulto possui 65% de água em homens e 50% em mulheres. A figura abaixo ilustra algumas outras porcentagens de água que constituem o nosso corpo.

25

100 1 4

Mulher adulta (50% de água):

50

100 1 2 =

Alternativa e Resolução da atividade 9

1 035 900 115 100 115% ==

115- 100= 15 4 15% do salário inicial.

Incentive os estudantes a explorar diversas estratégias de resolução.

Resolução da atividade 10

Número de uniformes femininos:

4 5 250 4 250 5 1 000 5 200 .= . ==

Uniformes masculinos:

250 - 200 = 50

Uniformes masculinos com defeito:

1 10 50 50 10 5 .= =

Uniformes femininos com defeito:

1 20 200 200 20 10 .= =

Total de uniformes defeituosos:

5 + 10 = 15

Percentual de uniformes defeituosos:

Extraídos e adaptados de https://pt.wikipedia.org/wiki/Água_corporal e http://www.lucema.com.br/curiosidade-a-agua-no-nosso-corpo. Acesso em 13 de agosto de 2018.

Dessa forma, podemos concluir que o tecido ósseo e o corpo de uma mulher adulta possuem, respectivamente:

a) 1 4 e 3 4 de água

b) 1 2 e 1 4 de água

c) 3 4 e 1 2 de água

d) 3 2 e 1 2 de água

e)

15

250 600 1 000 60 10 == = 6%

Por demandar um raciocínio mais complexo, sugira aos estudantes que resolvam esta atividade por etapas.

9 O salário de Antônio passou de 900 reais para 1 035 reais. O aumento corresponde a qual percentual do salário inicial?

10 Uma empresa comprou 250 uniformes, dos quais 4 5 eram femininos. Dos uniformes comprados, 1 10 dos masculinos e 1 20 dos femininos apresentaram defeitos. Qual é o percentual de uniformes defeituosos em relação ao total de uniformes comprados?

Segundo a Organização Mundial de Saúde (OMS), as pessoas devem consumir de açúcar no máximo 10% da quantidade de calorias diárias, no entanto, o ideal é que essa porcentagem seja reduzida para 5%.

Essa porcentagem engloba tanto os açúcares contidos nos produtos industrializados, quanto os naturalmente presentes nos alimentos, como frutas, mel etc.

Ao analisar rótulos dos alimentos de produtos industrializados, o açúcar pode ser encontrado com os seguintes nomes: açúcar, açúcar invertido, açúcar turbinado, dextrose, dextrina, frutose, glicose, glucose, maltose, maltodextrina, oligossacarídeos, sacarose, xarope glucose-frutose, xarope de milho, entre outros.

As bebidas industrializadas também, como sucos, chás, energéticos, também são grandes fontes de açúcares e, sempre que possível devem ser evitados. Uma latinha de 350 mL de suco, pode conter 25 gramas de açúcar, o que equivale a colheres de chá cheias.

Fonte: INSTITUTO NACIONAL DO CÂNCER (Brasil). Saiba como identificar o açúcar escondido nos alimentos. In: INCA (Brasil). Dicas sobre alimentação e nutrição. [Brasília, DF]: INCA, 16 ago. 2021. Disponível em: https://www.inca.gov.br/dicas/alimentacao-e-nutricao/saiba-como-identificar-o-acucar-escondido-nos-alimentos. Acesso em: 9 fev. 2022.

a) Se um estudante consumir, em média, 2 000 calorias por dia e a quantidade ideal recomendada de 5% de açúcar (25 g em média por dia), quantos gramas de açúcar ele consumirá, em média, em 30 dias?

25 . 30 = 750 4 750 g

b) Faça uma pesquisa sobre os tipos de açúcar usados no Brasil e aponte as características, vantagens e desvantagens de cada tipo. Depois, apresente-a aos colegas.

c) Quais são os benefícios e os malefícios do consumo de açúcar?

Orientações

Em Matemática Interligada, discuta com os estudantes as relações que a Matemática estabelece com a área de Ciências da Natureza e outras áreas do conhecimento, aspecto presente na competência específica 3 É importante que os estudantes percebam essas relações e verifiquem quais são os ganhos na aprendizagem, tanto para uma área como para a outra.

Ressalte a importância de cuidar da saúde e os benefícios da prevenção, que evita doenças como diabetes. Essa discussão favorece o desenvolvimento da competência geral 8 ao propor o autocuidado com a saúde. Para tornar o diálogo mais amplo, convide o professor de Ciências para fazer parte da discussão e tirar dúvidas que possam surgir sobre o consumo de açúcar.

O tema tratado favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA13 e do Tema Contemporâneo Transversal: Educação Alimentar e Nutricional

Resposta pessoal. Resposta pessoal.

d) Você faz consumo equilibrado de açúcar? Quais são as implicações disso em sua saúde física?

Resposta pessoal.

e) Converse com os colegas e proponha soluções para diminuir o consumo do açúcar. Em seguida, elabore um cartaz e apresente para a turma. Resposta pessoal.

O consumo excessivo de açúcar faz mal à saúde

Foto de diversos tipos de açúcar.

Orientações

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EF06MA13

Explore com os estudantes diversas estratégias para obter porcentagens na resolução de problemas em diferentes contextos, visto que eles ainda não têm conhecimento algébrico para resolver problemas usando a regra de três.

Resolução de Pense e responda

100 - 58 = 42 4 42%

Cálculo de porcentagem

Acompanhe a situação a seguir.

• Em uma escola, as turmas de 6? ano somam 450 estudantes em dois turnos: manhã e tarde. Desse total, 58% estudam no turno da manhã.

Se 58% do total de estudantes das turmas do 6? ano estudam no turno da manhã, qual é o percentual de estudantes do turno da tarde? 42%

Vamos resolver de dois modos.

1? modo: Dividindo o total de estudantes em grupos de 100 e considerando que, em cada grupo de 100 estudantes, 58 estudam no turno da manhã.

Se, em 100 estudantes, 58 estudam no turno da manhã, então, em um grupo com 50 estudantes (metade de 100), 29 (metade de 58) estudam no turno da manhã.

Portanto, nas turmas de 6? ano há 261 estudantes no turno da tarde.

2? modo: A quantidade de estudantes do turno da manhã é obtida pela aplicação de 58% sobre o total de estudantes, ou seja: Percentual

Portanto, há 261 estudantes no turno da manhã nas turmas de 6? ano.

Danillo Souza

1 Nélson e Batista são candidatos a representante dos estudantes da escola da Vila Campestre. A escola tem 650 estudantes, e todos votaram. Cada estudante votou em um único candidato. Nélson obteve 48% dos votos. Quantos foram os votos de Batista?

338 votos

2 Em uma sala de cinema cabem 400 pessoas. Apenas 36% dos assentos da sala estão ocupados. Quantos lugares não estão ocupados?

256 lugares não estão ocupados

3 O salário de Aladino é de R$ 1.250,00. Este mês ele teve um aumento de 12%. Quantos reais Aladino passará a ganhar após o aumento?

R$ 1.400,00.

4 Veja como Renato calcula 10% de 780.

=. =. = 10% de  780 10 100 780 1 10 78078

a) Use o procedimento de Renato e calcule mentalmente 10% de:

• 550 reais;

• 1 260 litros;

55 reais

126 litros

• 80 quilogramas.

8 quilogramas

10% de 780 é igual a 780 dividido por 10. Assim, obtenho 78.

Resolução da atividade 4

a) 10% de 560 reais: 1 10 550 550 10 .= =

1 10 550 550 10 55 .= = 4 55 reais

• 10% de 1 260 L:

1 10 1260 1260 10 126 126 L .= =4

1 10 1260 1260 10 126126 L .= =4

• 10% de 80 kg:

1 10 80 80 10 88 kg .= =4

b) 27,5 reais, 63 litros e 4 quilogramas, respectivamente. Resposta pessoal.

b) Calcule 5% dos valores do item anterior. Descreva a estratégia que você usou para calcular.

5 O governo de um município fixou uma meta de redução de consumo de energia elétrica. Após algum tempo, foi feita uma pesquisa em 1 800 residências em que os entrevistados responderam à seguinte pergunta: “O consumo em sua residência foi maior, menor ou igual à meta fixada pelo governo?”. Veja o resultado da pesquisa no gráfico abaixo e responda às questões.

O item b pode ser resolvido de diversas maneiras. É possível dividir cada resultado do item a por 2, uma vez que 5% é a metade de 10%. Ao compartilhar as estratégias coletivamente, os estudantes poderão ampliar o repertório de resoluções. Resolução da atividade 5 Maior que a meta:

1 800 . 33 100 59400 100 = = 594.

Menor que a meta:

1 800 . 42 100 75600 100 = = 756.

Quantidade de residências acima da meta: 594 residências. Quantidade de residências abaixo da meta: 756 residências.

Em quantas dessas residências o consumo de energia foi maior do que a meta? Em quantas foi menor?

Orientações

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As atividades dessa seção visam aplicar os conceitos de porcentagem. É um bom momento para avaliar a aprendizagem e o desenvolvimento dos estudantes, verificando se ainda restam dúvidas. Se necessário, retome alguns desses conceitos.

Resolução da atividade 1

Nelson: 48 100 650 31200 100 .= = 312 4 312 votos.

Batista: 650 - 312 = 338 4 338 votos.

Resolução da atividade 2

Lugares vazios: 100 - 36 = 64 4 64%.

Os estudantes deverão observar o gráfico de setores e os percentuais nele para fazer os cálculos. Explique que esse tipo de gráfico é muito usado para representar dados expressos por percentuais. Observe quais estratégias os estudantes adotam para resolver a atividade e, em seguida, incentive que as compartilhem com os colegas. Isso contribui para o desenvolvimento da autonomia para buscar soluções de problemas matemáticos e segurança para aplicar os conhecimentos, o que favorece a competência específica 3

Orientações

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Resolução da atividade 6

== 50% 50 100 1 2

a) 50% de 900 reais:

1

2 900450.= 4 450 reais

50% de 420 litros:

1

2 420210.= 4 210 litros

50% de 70 quilogramas:

1

2 7035.= 4 35 quilogramas

O item b pode ser resolvido de muitas maneiras. É possível dividir cada resultado do item a por 2, já que 25 = 50 : 2. Ao compartilhar as estratégias coletivamente, os estudantes poderão ampliar o repertório de resoluções, o que permitirá que se apropriem de mais um recurso para aplicação do cálculo mental em situações de porcentagem.

Para a atividade 7, verifique se todos os estudantes estão com calculadora. Se necessário, organize-os em duplas.

Resolução da atividade 8

a) 40 90 50% q : Falsa

b) 25 100 1 500 37500 100 .= =

= 375 4 375 mortes

1 500 - 375 = 1 125 4 1 125 tamanduás-bandeira: verdadeira

c) 10 + 10 + 5 =25

25 90 25% q : Falsa

d) 25 + 10 + 10 + 5 = 50

40 90 50 90

< : Falsa

e) 25 90 25% q : Falsa

6 Para calcular 50% de 300 reais, Adilson faz assim:

50% de 300 = 50 100 300 = 1 2 . 300 = 150 Portanto, 50% de 300 reais são 150 reais.

a) Usando esse procedimento, calcule 50% de:

• 900 reais; • 420 litros; • 70 quilogramas.

b) Calcule 25% dos valores do item anterior. Descreva a estratégia que você usou para calcular.

17,5 quilogramas, respectivamente.

7 Veja como obter, com a calculadora, o resultado de 30% de 180 reais.

Por qualquer um desses modos, obtemos 54 reais. Você conhece algum outro modo?

Agora determine as seguintes porcentagens pelo modo que considerar mais prático.

a) 15% de 800 kg b) 7% de 90 m c) 2% de R$ 140,00 d) 50% de 100 L

8 (CMBH-MG) O tamanduá-bandeira é um animal que está ameaçado de extinção. No Brasil, pesquisas indicam que pelo menos 25% da população deste mamífero foi extinta nos últimos 10 anos. Na tabela seguinte, estão registradas as principais causas de morte de tamanduás-bandeira em 2017/2018, no Brasil.

Analisando os dados fornecidos, podemos concluir que:

a) morreram, por razões não relacionadas com atropelamento, 50% dos tamanduás-bandeira.

b) se hoje houvesse 1 125 tamanduás-bandeira no país, há 10 anos essa quantidade de animais seria de 1 500

c) a porcentagem de mortes de tamanduás-bandeira, devido ao desmatamento, caça ilegal e doença, corresponde a 25% do total de mortes em 2017/2018

d) o atropelamento foi a causa de morte que registrou porcentagem maior do que as outras causas juntas.

e) os incêndios em florestas foram causa de morte em 25% da população de tamanduás-bandeira.

9 Veja o diálogo a seguir entre o professor Firmino e a estudante Adalice após aplicação de uma atividade avaliativa.

Adalice: Olá, professor Firmino, como fui na atividade?

Firmino: Foi bem! Cometeu apenas alguns equívocos.

Adalice: Nossa! Me preparei bastante.

Firmino: É verdade, deu pra perceber.

Adalice: Acertei mais da metade?

Firmino: Sim! Cerca de 90%.

Agora, elabore, no caderno, um exercício que envolva o cálculo de 90% e peça a seu colega que o resolva.

10 A figura a seguir representa um quadrado ABCD com suas duas diagonais traçadas e dividido em nove pequenos quadrados, todos iguais.

Orientações

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Peça aos estudantes que leiam coletivamente a atividade 9 e anotem os percentuais que aparece no diálogo. Solicite que elaborem o exercício proposto e depois o troquem com um colega para resolvê-lo. Se possível, leia para a turma alguns exercícios que eles criaram e resolva-os na lousa. Resolução da atividade 10

Ao dividirmos o quadrado maior, de forma que cada quadradinho fique dividido em 4 triângulos, teremos 4 9 = 36, isto é, 36 triângulos no total. Observe: A B

Que percentual do quadrado ABCD é ocupado pela parte laranja?

11 (CMBH-MG) O concurso de admissão do 6? ano do Ensino Fundamental do CMBH é composto por duas etapas: na primeira etapa é realizada uma prova de Matemática e na segunda etapa, uma prova de Língua Portuguesa. Cada uma das etapas é avaliada em 10 pontos e a nota final (NF), obtida pelos candidatos, é igual a soma das notas obtidas nas duas provas, dividida por dois. No gráfico abaixo, o eixo horizontal representa as notas de Matemática e o eixo vertical as notas de Língua Portuguesa de 30 candidatos escolhidos, aleatoriamente, entre todos os candidatos presentes nas duas etapas. Com base nas informações anteriores marque a alternativa correta.

a) 60% dos candidatos tiraram a nota de Matemática maior do que a nota de Língua Portuguesa.

b) 1 10 dos candidatos obtiveram nota final (NF) igual a 5

c) 5% dos candidatos obtiveram a mesma nota nas duas provas.

d) 2 5 dos candidatos obtiveram nota final (NF) menor ou igual a 5

e) 30% dos candidatos empataram com pelo menos um candidato na NF.

Coloridos, temos 9 triângulos. Então, 9 36 = 1 4 = 25%.

Resolução da atividade 11

Alternativa correta:

b) São 3 candidatos com nota 5. Então, 3 30 1 10 =

Os 3 candidatos com nota final 5 são aqueles em que os pontos indicados pelo par ordenado (nota de Matemática, nota de Português) são (3, 7); (4, 6) e (6, 4).

Luca Navarro

Fórmula Editorial

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Resolução da atividade 12

6 8 3 4 75 100 == = 75%

Três cartas da mão desse jogador podem formar um par com a carta da mesa.

Alternativa e Comente que memorizar que 50% equivalem a 1 2 , 25% equivalem a 1 4 e 75% equivalem a 3 4 pode facilitar o cálculo mental e a realização de estimativas em situações do dia a dia. Veja a seguir como resolver a atividade 13 usando um esquema.

a) Se na bicicleta A houve um lucro de 20%, temos:

120% R$ 600,00

20% R$ 100,00 :6 :6

600 - 100 = 500 4 R$ 500,00

b) Se na bicicleta B houve um prejuízo de 20% temos, temos:

80% R$ 600,00

20% R$ 150,00 :4 :4

600 + 150 = 750 4 R$ 750,00

Resolução da atividade 14

a) 120000 15000 = 8 4 8 trocas de óleo ao total.

8 . 38 + 8 . 6 . 42 = 304 + 2 016 =

= 2 320 4 R$ 2.320,00

b) 120 000 + 15 000 = 135 000 135 000 - 126 789 = 8 211 4

4 8 211 km

c) Joaquim também trocou 8 vezes o óleo de seu caminhão, pois a quilometragem está em 123 000 km.

1 . 38 + 4 . 42 = 38 + 252 =

= 290 4 R$ 290,00.

Aumento de 10% = 100% + 10% 38 + 10 100 . 38 = 38 + 1 10 . 38 =

= 38 + 3,8 = 41,8 4 R$ 41,80 42 + 10 100 42 = 42 + 1 10 42 =

= 42 + 4,2 = 46,2 4 R$ 46,20

41,8 + 6 46,20 = 41,8 +

+ 277,20 = 319,00 4 R$ 319,00.

Podemos perceber que, com o aumento dos preços em 10%, o valor pago também ficou 10% maior a cada troca.

12 (ENEM) No contexto da matemática recreativa, utilizando diversos materiais didáticos para motivar seus alunos, uma professora organizou um jogo com um tipo de baralho modificado. No início do jogo, vira-se uma carta do baralho na mesa e cada jogador recebe em mãos nove cartas. Deseja-se formar pares de cartas, sendo a primeira carta a da mesa e a segunda, uma carta na mão do jogador, que tenha um valor equivalente àquele descrito na carta da mesa. O objetivo do jogo é verificar qual jogador consegue o maior número de pares. Iniciado o jogo, a carta virada na mesa e as cartas da mão de um jogador são como no esquema:

Ilustrações: Luca Navarro

Segundo as regras do jogo, quantas cartas da mão desse jogador podem formar um par com a carta da mesa?

Alternativa e

a) 9 b) 7 c) 5

d) 4 e) 3

13 (XXXIII OMV-IMECC) Uma loja de bicicletas vendeu duas bicicletas A e B por R$ 600,00 cada uma. Com a bicicleta A, a loja obteve um lucro de 20% sobre o custo inicial. Com a bicicleta B, a loja obteve um prejuízo de 20% sobre o custo inicial.

a) Qual era o custo inicial (em reais) da bicicleta A? De quanto foi o lucro sobre essa bicicleta (em reais)?

R$ 500,00 e R$ 100,00.

b) Qual era o custo inicial (em reais) da bicicleta B? De quanto foi o prejuízo sobre esta bicicleta (em reais)? R$ 750,00 e R$ 150,00.

14 (OMERJ) Manoel troca o óleo do motor do seu caminhão a cada 15 000 km rodados. Da última vez em que o óleo foi trocado, a quilometragem era 120 000 km. Em cada troca, se coloca um filtro novo e 6 litros de óleo.

a) Sabendo que o filtro custa R$ 38,00 e o litro de óleo custa R$ 42,00, quanto Manoel já gastou até hoje com essas trocas de óleo?

b) Hoje, a quilometragem é 126 789 km. Quantos quilômetros faltam para a próxima troca?

8 211 km

c) Joaquim, que tem um caminhão igual ao do Manoel, também troca de óleo e filtro a cada 15 000 km. Só que Joaquim vai num posto que, a cada troca, aumenta os preços em 10%. Se o caminhão do Joaquim está com 123 000 km rodados e na 1; troca os preços do óleo e do filtro eram os mesmos do Manoel, quanto Joaquim gastou até hoje?

Aproximadamente R$ 3.316,38.

15 Em certa eleição municipal ocorrida em uma pequena cidade do interior, onde todos os 18 000 eleitores votaram, foi divulgado o seguinte resultado:

Resultado

Fonte: Dados fictícios.

Invente perguntas com base nos dados desse quadro e troque com um colega para responder. Depois, destroque para conferir as resoluções.

Resposta pessoal.

1 a troca: R $ 290,00; 2 a troca: R $ 319,00; 3 a troca: R$  350,90; 4a troca: R$ 385,99; 5a troca: R$ 424,58; 6a troca: R$ 467,04; 7a troca: R$ 513,75; 8a troca: R$ 565,12 290 + 319 + 350,9 + 385,99 + 424,58 + 467,04 + + 513,75 + 563,12 = 3 316,88 4 R$ 3.316.38

Você pode, a seu critério, organizar os estudantes em pequenos grupos para resolver a atividade para que compartilhem ideias e estratégias.

Essa atividade contempla a competência específica 2

Aproveite as perguntas elaboradas pelos estudantes na

atividade 15 para compartilhar estratégias de resolução e de elaboração de problemas. Ao elaborar um problema sobre determinado assunto, eles costumam entender melhor as ideias associadas ao contexto. Envolva a turma nessa oportunidade de aprendizagem.

Sugestão de perguntas:

Quantos votos foram nulos? 2 160 votos

Quantos votos recebeu o primeiro colocado? 6 660 votos

Quantos votos Simão recebeu a mais do que Fátima?

900 votos

R$ 2.320,00.

Orientações

A biodiversidade

O Brasil é o país com a maior biodiversidade do mundo. Atualmente são reconhecidas no Brasil 49 168 espécies de plantas e 117 096 espécies de animais.

Segundo o IBGE, a pesquisa Contas de ecossistemas: espécies ameaçadas de extinção, divulgada em 5 de novembro de 2020, feita com aproximadamente 10% da flora e da fauna, mostra que aproximadamente 5% dela está criticamente em perigo de extinção.

Essa biodiversidade vem sendo afetada pelas atividades do ser humano, como os incêndios, por exemplo. Especialistas alertam que essa destruição pode afetar o hábitat natural de várias espécies e também seus ciclos de reprodução.

JANSEN, Roberta. País tem 3,3 mil espécies ameaçadas. O Estado de S. Paulo, São Paulo, 6 nov. 2020. Caderno Metrópole, p. A11.

O cascudo-zebra ou acari-zebra (Hypancistrus zebra) é uma espécie de peixe classificada como criticamente em perigo de extinção, agravado pela construção da usina hidrelétrica de Belo Monte, no Rio Xingu, em Altamira (PA). Mede aproximadamente 8 cm de comprimento.

A onça-pintada ou jaguar (Panthera onca) é o maior felino do continente americano. No Brasil, habita diversos biomas e está criticamente ameaçada de extinção devido à degradação de seu hábitat e à caça. Mede aproximadamente 2 m de comprimento e 70 cm de altura.

1 Quais assuntos presentes no texto você relaciona com a Matemática?

2 Decomponha o número 117 096 e escreva-o por extenso.

3 Qual é o valor posicional do algarismo 9 no número 49 168?

Respostas no Manual do Professor.

4 Quantas espécies de plantas e de animais juntos eram reconhecidas no Brasil em 2020?

5 Calcule 10% da quantidade de espécies de plantas reconhecidas no Brasil em 2020 e arredonde esse valor para a dezena de milhar mais próxima.

6 Em sua opinião, quais ações ajudariam a impedir que espécies de seres vivos desaparecessem do planeta? Troque ideias com os colegas.

Para aprofundar

Veja, no artigo a seguir, a relação entre a Matemática e a Educação Ambiental.

• GROENWALD, C.; FILIPPSEN, R. Educação matemática e educação ambiental: educando para o desenvolvimento sustentável. In: Encontro Nacional de Pesquisa em Educação em Ciências, 4., 2003, Bauru. Anais [...]. Bauru: Unesp, 2003. Disponível em: http://www.abrapecnet.org.br/enpec/iv-enpec/Arquivos/Orais/ORAL066.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA13

Matemática Interligada apresenta uma pauta sobre Biodiversidade, dialogando com a área de Ciências da Natureza e favorecendo o desenvolvimento da competência específica 3. Reforce a importância da biodiversidade para o nosso país e, se achar oportuno, convide o professor de Ciências para fazer parte da discussão. Essa seção trabalha o Tema Contemporâneo Transversal: Educação Ambiental Respostas às questões propostas:

1. Números naturais, porcentagem e pesquisas em Estatística.

2. Uma possível decomposição: 100 000 + 10 000 + 7 000 + + 90 + 6 Cento e dezessete mil e noventa e seis.

3. Nove unidades de milhar ou 9 000.

4. 166 264 espécies

5. 49 168 10% o 4 917. Arredondamento: 5 000.

6. Resposta pessoal. Deixe que os estudantes exponham suas propostas e, se achar conveniente, construa com eles um cartaz relacionando-as para exposição em local visível.

Mark Green/Shutterstock.com

boban_nz/Shutterstock.com

Orientações

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1

Total de entrevistados:

5 + 10 + 15 + 30 + 10 + 15 + + 5 = 90

Total dos que estudam pelo menos três dias:

15 + 30 + 10 + 15 + 5 = 75

Logo:

75 90 5 6 =

Alternativa a Resolução da atividade 2

25% de 128:

1 (CMCG-MT) Numa pesquisa realizada com alunos do 6? ano do Ensino Fundamental do Colégio Militar de Campo Grande sobre a quantidade de dias da semana no qual estudam Matemática, obtiveram-se os resultados exibidos no gráfico abaixo.

Dias de estudo de matemática por semana

Que fração do total de entrevistados representa o total de alunos que estudam pelo menos 3 dias por

25

100 128 3 200 100 .= = 32

128 - 32 = 96 4 R$ 96,00.

Alternativa e

2 (CMBEL-PA) Clara observou em uma loja de sapatos uma placa que dizia “Megaliquidação!”. Todos os sapatos estavam com 25% de desconto na compra à vista. Clara entrou na loja e se interessou por um par de sapatos que custava R$ 128,00. Ela pagou à vista e obteve o desconto. Considerando o desconto, Clara pagou pelo sapato o valor de:

a) R$ 68,00.

b) R$ 74,00.

c) R$ 84,00.

d) R$ 34,00.

e) R$ 96,00.

Na compra de qualquer sapato à vista, desconto de 25%.

3 (CMSM-RS) Existem softwares que visam facilitar e auxiliar o ensino e a aprendizagem, além de estenderem as atividades da sala de aula para o ambiente doméstico. Os alunos do 8? e do 9? anos do CMSM utilizam o software matemático Geogebra em atividades propostas pela professora, em turnos inversos aos das aulas e que são enviadas a ela via rede social. Sabendo que uma determinada turma do 8? ano tem 30 alunos, dos quais 12 são meninos, qual o percentual de trabalhos que serão enviados por meninas?

a) 30%

b) 40%

c) 50%

d) 60%

e) 70%

4 João e Alberto calcularam a fração da quantidade 2 5 de 40, de formas diferentes, usando a calculadora. Observe.

Orientações

Resolução da atividade 3

30 - 12 = 18 4 18 meninas

Investigue se esses procedimentos sempre darão o mesmo resultado. Apresente uma conclusão com a justificativa. Resposta pessoal.

5 Resolva os seguintes problemas utilizando uma calculadora.

a) Com o objetivo de cuidar da saúde física, Miguel decidiu realizar corridas que totalizem 12 km semanalmente. Esta semana ele já correu 3 4 do seu objetivo. Quantos quilômetros Miguel já correu? Quantos quilômetros ainda falta ele correr? 9 km; 3 km

b) Buscando um consumo mais responsável dos recursos naturais, Júlia pretende economizar 3 7 da água que consome na sua residência. Se a média diária de consumo de água na casa de Júlia é de 105 litros, quantos litros ela vai economizar?

45 litros

6 Uma pesquisa realizada no ano de 2021 aponta que houve crescimento no número de contratação de mulheres para exercer cargos em secretarias estaduais e municipais de todas as regiões brasileiras. Porém, homens ainda respondem por mais de 70% dos cargos.

Fonte: NÚMERO de mulheres nomeadas secretárias cresce nas capitais, mas homens ainda respondem por mais de 70% dos cargos. G1, [São Paulo], 9 jan. 2021. Política. Disponível em: https://g1.globo.com/politica/noticia/2021/01/09/no-de-mulheres-nomeadas-secretarias-cresce-nas -capitais-mas-homens-ainda-respondem-por-mais-de-70percent-dos-cargos.ghtml. Acesso em: 7 jan. 2022.

a) Suponha que haverá uma promoção para um cargo superior. Qual é a chance de a pessoa promovida ser mulher? Apresente a resposta na forma fracionária e percentual.

Aproximadamente 30%; 30 100 = 3 10

b) Geralmente, as prefeituras disponibilizam informações sobre suas ações por meio de sites na internet. Investigue quantas pessoas trabalham na Secretaria de Educação de sua cidade e, do total, quantas são mulheres. Apresente os dados aos colegas e elabore um problema utilizando os números que você encontrou. Ao final, troque com um colega para que um resolva o problema que o outro elaborou. Depois, confiram juntos e conversem sobre as estratégias de resolução. Resposta pessoal.

18

30 3 5 60 100 60% == =

Alternativa d

Na atividade 4, espera-se que os estudantes percebam que ao multiplicar um número natural por uma fração, chega-se ao mesmo resultando multiplicando esse número pelo numerador e em seguida dividindo-o pelo denominador, quanto dividindo-o primeiro pelo denominador e depois multiplicando-o pelo numerador.

Resolução da atividade 5

a) 12 : 4 . 3 = 9 ou 12 . 3 : 4 = 9

12 - 9 = 3

b) 105 : 7 3 ou 105 3 : 7

Resolução da atividade 6

a) Como 70% dos cargos ou mais são ocupados por homens, restam às mulheres aproximadamente 100% - 70% = 30%

ou 30 100 3 10 =

Sugestão de pergunta para o item b

• Qual é a diferença percentual entre homens e mulheres que trabalham na Secretaria de Educação? A resposta dependerá dos dados pesquisados na região.

Orientações

Resolução da atividade 7

A menor pena prevista é de cinco anos. Como o indivíduo tem bons antecedentes criminais, a maior redução que sua pena pode sofrer é de dois terços. Nesse caso, ele cumpriria um terço de cinco anos, o que corresponde a 1 ano e 8 meses.

Já a maior pena de reclusão prevista é de 15 anos. No mesmo cenário de bons antecedentes criminais, a maior redução que sua pena deve sofrer é de um sexto. Nessa segunda situação, ele cumpriria cinco sextos de 15 anos, o que representa 12 anos e 6 meses. Assim, sua pena poderá variar de 1 ano e 8 meses a 12 anos e 6 meses. Alternativa a

8

7 (ENEM) O artigo 33 da lei brasileira sobre drogas prevê a pena de reclusão de 5 a 15 anos para qualquer pessoa que seja condenada por tráfico ilícito ou produção não autorizada de drogas. Entretanto, caso seja réu primário, com bons antecedentes, essa pena pode sofrer uma redução de um sexto a dois terços. Suponha que um réu primário, com bons antecedentes criminais, foi condenado pelo artigo 33 da lei brasileira sobre drogas. Após o benefício da redução de pena, sua pena poderá variar de

Alternativa a

a) 1 ano e 8 meses a 12 anos e 6 meses.

b) 1 ano e 8 meses a 5 anos.

c) 3 anos e 4 meses a 10 anos.

d) 4 anos e 2 meses a 5 anos.

e) 4 anos e 2 meses a 12 anos e 6 meses.

8 Veja o cálculo a seguir e descubra onde está o erro.

5 4 3 8 3 1 3 19 3

1 3 28 3 ou 9 1 3 += =

Resolução da atividade 9

Capacidade de 1 copo:

Qual é o resultado correto?

1

3 1 4 4 12 3 12 1 12

A jarra está com 1 3 da sua capacidade. Então, faltam 2 3 para encher.

9 (ORM-SC) Uma jarra contém 1 4 de sua capacidade em água. Despejando um copo cheio de água na jarra, o volume de água atinge 1 3 da sua capacidade. Quantos copos cheios mais ainda serão necessários para acabar de encher a jarra?

2

3 8 12 8 1 12 ==

10 (CMRJ) Um famoso restaurante na Tijuca tem nas paredes 88 fotografias, 50% das quais são autografadas por artistas e celebridades. Das autografadas, 25% são coloridas. Quantas fotografias autografadas não são coloridas?

Portanto, para encher a jarra serão necessários 8 copos com capacidade de

3 8 12 8 1 12 == cada um.

2

Resolução da atividade 10 Como 50% são autografadas por artistas e celebridades, temos: 50% de 88:

50

100 . 88 = 44. São 44 fotografias autografadas.

Como 25% das fotografias são coloridas, temos:

25% de 44:

25

100 44 = 11.

São 11 fotografias autografadas e coloridas. Alternativa e

11 Elabore um problema com um tema de sua preferência que, para ser resolvido, seja necessário efetuar uma adição e uma subtração de frações. Depois, dê para um colega resolver enquanto você resolve o que ele elaborou e, ao final, corrijam-nos juntos.

Alternativa e Resposta pessoal.

Os estudantes poderão recorrer ao cálculo mental, usando as relações entre frações e porcentagens já memorizadas.

Na atividade 11, peça que a resolução de cada problema seja corrigida pelo estudante que a elaborou, de modo que, juntos, os dois possam observar se a formulação do problema está correta e como encaminhar melhor a resolução.

12 (OMDF) Na figura a seguir, a região sombreada (azul) representa que fração do círculo? Alternativa e

Resolução da atividade 12

Para o círculo, temos a seguinte relação:

13 A reta numérica a seguir está dividida em partes iguais.

Que número fracionário está representado pela letra x ?

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

Leio, escrevo e comparo números racionais na forma fracionária.

Resolvo problemas envolvendo cálculo de fração de quantidade, tendo como resultado um número natural.

Relaciono números fracionários a pontos na reta numérica.

Resolvo e elaboro problemas envolvendo adição e subtração na representação fracionária.

Resolvo problemas envolvendo multiplicação e divisão na representação fracionária.

Resolvo problemas e cálculos relacionados ao conceito de porcentagem.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras.

Com base no retorno dessa autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Alternativa e Para resolver a atividade 13, os estudantes devem observar primeiramente que a distância entre 0 e 1 está dividida em 5 partes iguais.

Portanto, cada parte da reta vale 1 5 Assim, temos:

Principais objetivos da unidade

• Reconhecer, nomear e comparar polígonos no plano e nas faces dos poliedros.

• Identificar e classificar os triângulos em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

• Identificar e classificar os quadriláteros em relação aos lados e ângulos.

• Quantificar e estabelecer relação entre o número de faces, vértices e arestas dos prismas e pirâmides.

• Identificar as relações de proporcionalidade em figuras geométricas planas.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo ampliação e redução de figuras geométricas planas.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA18, que favorece reconhecer, nomear, comparar e classificar polígonos quanto ao número de lados, vértices e ângulos internos. A identificação das características do triângulo e sua classificação quanto à medida dos lados e dos ângulos contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA19. A habilidade EF06MA20 favorece a identificação das características dos quadriláteros quanto aos lados e ângulos. A habilidade EF06MA17 está contemplada na resolução de problemas envolvendo a quantificação e o estabelecimento de relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides. As relações de proporcionalidade, ampliação e redução de figuras geométricas planas favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA21

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos, é esperado que os estudantes:

• reconheçam, nomeiem e comparem figuras geométricas planas por meio de características comuns;

• identifiquem e nomeiem polígonos, de acordo com o número de lados, vértices e ângulos internos, e as faces de figuras geométricas espaciais (prismas e pirâmides);

• representem polígonos com desenho, de acordo com características preestabelecidas.

Avaliação diagnóstica

É importante observar o que os estudantes já dominam em relação aos pré-requisitos relacionados. Promova uma roda de conversa e, em seguida, elabore algumas atividades escritas para verificar se eles dominam esses conteúdos. Se necessário, retome-os para garantir que todos tenham compreendido.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 2, 3 e 9

Competências específicas 1, 2, 3 e 5

Habilidades EF06MA17, EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20, EF06MA21 e EF06MA22

Cubo de Rubik ou Cubo Mágico após movimentos.

Figuras geométricas planas e espaciais

Cubo de Rubik, conhecido também como Cubo Mágico, foi criado pelo inventor e professor de arquitetura húngaro Ern Rubik em 1974. Trata-se de um quebra-cabeça tridimensional, normalmente feito em plástico, sendo a versão 3 * 3 * 3 a mais tradicional.

Fonte: SILVA, José Vinícius do Nascimento. Uma proposta de aprendizagem usando o Cubo Mágico em Malta - PB. Trabalho de Conclusão de Curso (Mestrado profissional em Matemática em Rede Nacional) – Centro de Ciências e Tecnologias, Universidade Estadual da Paraíba, Campina Grande, 2015. Disponível em: http://tede.bc.uepb.edu.br/jspui/bitstream/ tede/2390/2/PDF%20-%20Jos%C3%A9%20Vin%C3%ADcius%20do%20 Nascimento%20Silva.pdf. Acesso em: 5 mar. 2022.

1. Você já brincou com algum desses cubos? Conte como foi essa experiência.

Orientações

Peça aos estudantes que observem as imagens da abertura e descrevam oralmente o que veem. Espera-se que digam que são cubos mágicos. Pergunte se conhecem o cubo mágico e se já brincaram com um. Explique que o nome oficial do cubo mágico é Cubo de Rubik, em homenagem a Ernö Rubik, que o inventou em 1974.

Na atividade 1, se possível, apresente um Cubo de Rubik, para que eles explorem suas diferentes possibilidades de manuseio.

Na atividade 2, explore com os estudantes o formato das faces e que em cada face podem ser observadas faces de 9 cubos menores.

Resposta pessoal. Quadrado.

2. O formato das faces do cubo se parece com qual figura geométrica plana?

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• reconhecer, nomear e comparar polígonos;

• quantificar e estabelecer relação entre o número de faces, vértices e arestas de prismas e pirâmides;

• resolver problemas envolvendo a ampliação e a redução de figuras geométricas planas.

Objetivos do capítulo

• Reconhecer, nomear e comparar polígonos no plano e nas faces dos poliedros.

• Identificar e classificar triângulos em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

• Identificar e classificar quadriláteros em relação aos lados e ângulos.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2, 3 e 4

Competências específicas 2, 3 e 5

Habilidades EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20 e EF06MA22

Orientações

O conteúdo dessa página contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA20

Em Para começar, peça aos estudantes que leiam as legendas, que contêm informações sobre as especificidades de cada obra de arte e o ano em que foram criadas. Pergunte também se conhecem obras de artistas brasileiros, e, se julgar oportuno, proponha uma pesquisa sobre obras de artistas brasileiros que sejam compostas por figuras geométricas planas.

Apreciar e conhecer expressões artísticas contribui para o desenvolvimento da competência geral 3

Peça aos estudantes que observem as figuras geométricas planas que Mariana desenhou e pergunte: Por que podemos dizer que ela representou polígonos? É possível que eles justifiquem a resposta apresentando algumas características dos polígonos.

Analisem em conjunto as obras indicadas fazendo relações com figuras geométricas planas.

Figuras geométricas planas

Observe as obras de arte abaixo.

Espera-se que os estudantes percebam os triângulos, trapézios, quadrados, paralelogramos, entre outros polígonos.

Quais figuras geométricas planas podemos observar nesses quadros?

Polígonos e seus elementos

Em uma aula de Matemática, Mariana contornou a base de alguns sólidos geométricos, apoiando-os sobre o papel, e fez uma composição de figuras geométricas planas.

Depois, ela pintou a região interna das figuras que desenhou.

Veja como ficou o desenho de Mariana depois de pronto.

Podemos dizer que, no desenho, Mariana representou polígonos.

Atividades complementares

Se possível, programe uma visita a um museu de arte de sua cidade ou, proponha aos estudantes uma visita a um museu virtual. Um exemplo é o Museu de Arte Moderna do Rio de Janeiro. Acesse o link: artsandculture.google.com/ partner/mam-rio-de-janeiro. Acesso em: 7 jun. 2022.

Outra possibilidade é combinar para que na aula de Arte os estudantes realizem desenhos e pinturas usando figuras geométricas. O material produzido poderá ser exposto em um mural da escola.

Wassily Kandinsky. Em um fundo preto, 1940. Guache sobre papel preto, 49,7 cm × 29,4 cm.

Kazimir Malevich. Camponês em um campo, 1929. Óleo sobre tela, 71,3 cm × 44,2 cm.

Que diferenças você observa entre polígonos e não polígonos? Resposta pessoal.

Observe ao lado o polígono ABCDEF

• Os segmentos de reta AB, BC, CD, DE, EF e FA são os lados do polígono. Nesse caso, são 6 lados.

• Os pontos A, B, C, D, E e F, em que dois lados se intersectam, são os vértices do polígono. Nesse caso, são 6 vértices.

• Os ângulos ÂB CD EF ,  ˆ ,  ˆ ,  ˆ ,  ˆ  e ˆ são os ângulos internos do polígono. Nesse caso, são 6 ângulos internos.

A palavra polígono significa “muitos ângulos” (do grego, poli = “muitos” e gono = “ângulo”).

Tipos de polígono

Os polígonos podem ser classificados, ou seja, separados em grupos de acordo com certas características. Dividem-se em convexos e não convexos. Veja a seguir.

• Um polígono é convexo se todos os segmentos de reta que unem dois de seus pontos estão inteiramente contidos nele.

• Um polígono é não convexo quando existir um ou mais segmentos de reta cujas extremidades são internas, mas com pelo menos um ponto do segmento estão fora do polígono.

Orientações

O conteúdo dessa página contribui para o desenvolvimento da habilidade

EF06MA18

Luca Navarro

No primeiro Pense e responda, a questão propicia aos estudantes a análise e comparação das características das figuras que representam polígonos e não polígonos. Reforce que polígonos são figuras planas fechadas, cujos lados são segmentos de reta que não se cruzam em nenhum ponto. Peça que apontem por que as figuras representadas no lado direito do quadro são não polígonos: a figura não é fechada (figura na cor preta), segmentos de reta se cruzam (cor laranja), nem todos os lados são formados por segmentos de reta (figura amarela).

Peça que observem, em seguida, o polígono ABCDEF, identificando os lados, vértices e ângulos internos. Pergunte: Por quantos lados, ângulos internos e vértices ele é formado? Os lados são do mesmo tamanho? O que é observado em relação aos ângulos internos?

No segundo Pense e responda, para responder à questão, observe se os estudantes compreenderam bem a nomenclatura associada aos elementos das figuras planas. Eles devem observar que, por exemplo, um polígono de 6 lados tem também 6 vértices e 6 ângulos internos.

Continue a exploração com os estudantes, quanto ao conceito de polígono. Pergunte quais polígonos eles reconhecem nas faces de objetos escolares ou em outros da sala de aula e passe à exploração dos tipos de polígonos, por meio da leitura do texto e da observação das imagens.

Ilustrações:

O que podemos concluir em relação ao número de lados, de vértices e de ângulos internos de um polígono? Eles são iguais.

Ilustrações: Marcel Borges

Polígono é uma figura geométrica plana, fechada, formada por segmentos de reta que não se cruzam e delimitam a região poligonal.

Orientações

O conteúdo dessa página contempla a habilidade EF06MA18. Inicie conversando com os estudantes sobre os polígonos representados, seus lados, vértices e ângulos internos.

Passe, em seguida, à exploração das características dos polígonos equiláteros, equiângulo e regulares.

Respostas da atividade 1

a) Porque é uma região de um plano limitada por segmentos de reta que não se cruzam.

b) Lados: AB , BC , CD e DA . Ân-

gulos: A , B , C e D

c) Sim.

d) Não, pois tem lados e ângulos com medidas diferentes.

e) Ângulos agudos: A e B ; ângulos obtusos: C e D

Atividades complementares

Proponha a criação de obras de arte inspiradas em figuras geométricas planas para que os estudantes usem a criatividade. Você pode dividir a classe em grupos e distribuir, para cada grupo, folhas coloridas de papel, régua, tesoura e cola. Um grupo pode montar painéis só com polígonos equiláteros, outro grupo, só com triângulos e quadriláteros, e assim por diante.

Promova uma exposição (física ou virtual) e uma breve explicação de cada um sobre sua obra (que pode ser feita, inclusive, em vídeo) contribuindo para o desenvolvimento das competências gerais 3 e 4 e das competências específicas 3 e 4

Segundo o número de lados, de ângulos internos ou de vértices, os polígonos recebem nomes especiais. Veja alguns:

Triângulos Quadriláteros Pentágonos Hexágonos Heptágonos Octógonos

3 lados, 3 vértices e 3 ângulos internos

4 lados, 4 vértices e 4 ângulos internos

Um polígono se diz:

5 lados, 5 vértices e 5 ângulos internos

6 lados, 6 vértices e 6 ângulos internos

• equilátero quando todos os seus lados têm a mesma medida.

• equiângulo quando todos os seus ângulos têm a mesma medida.

• regular quando é equilátero e equiângulo.

7 lados, 7 vértices e 7 ângulos internos

8 lados, 8 vértices e 8 ângulos internos

Se o polígono tiver, pelo menos, um dos lados ou um dos ângulos internos com medida diferente dos demais, ele é chamado de não regular

1 Observe a imagem ao lado e responda às questões.

Respostas no Manual do Professor.

a) Por que essa figura representa um polígono?

b) Quais são os lados e os ângulos internos desse polígono?

c) Ele é convexo?

d) Ele é um polígono regular? Por quê?

e) Quais ângulos internos são agudos? Quais são obtusos?

Polígono equilátero. Polígono equiângulo. Polígono regular.

Reinaldo Vignati

Polígonos

equilátero regular equiângulo

2 Observe o formato destas placas de trânsito. Escreva o nome dos polígonos de acordo com o número de lados?

Quadrilátero e octógono.

3 Em cada um dos dois grupos abaixo, uma das figuras tem certa característica que a diferencia das demais. Qual é essa figura e que característica a difere do grupo?

O pentágono não convexo.

a) b)

O semicírculo, pois tem um lado curvo.

Para realização da atividade 6 distribua papel quadriculado aos estudantes ou peça-lhes antecipadamente que tragam de casa.

Durante a realização da atividade, verifique se os estudantes compreenderam o passo a passo e se o estão reproduzindo corretamente. Quando necessário, peça a eles que tentem refazer o passo a passo para que sozinhos, identifiquem e corrijam possíveis enganos.

Ao final da atividade, vocês podem elaborar um mosaico com as produções de toda a turma.

4 Identifique alguns polígonos que foram utilizados para compor o mosaico a seguir. Triângulos, quadriláteros e hexágonos.

Para aprofundar

A fim de ampliar o trabalho com elaboração de mosaicos, sugerimos a leitura do livro a seguir.

• BARBOSA, Ruy Madsen. Descobrindo padrões em mosaicos. São Paulo: Atual Editora, 1993.

5 Observe os polígonos representados abaixo.

a) Figura 1: quadrilátero; convexo.

Figura 2: pentágono; não convexo.

Figura 3: decágono; não convexo.

a) Conte o número de lados e escreva o nome de cada um desses polígonos. Classifique-os em convexo ou não convexo.

b) Quantos lados e quantos vértices cada um deles tem?

Figura 1: 4 lados e 4 vértices.

Figura 2: 5 lados e 5 vértices. Figura 3: 10 lados e 10 vértices.

6 Observe a seguir o passo a passo do traçado dos segmentos de reta na construção do mosaico.

Desenhe e pinte um mosaico como esse em uma folha de papel quadriculado com quadradinhos de 1 cm por 1 cm. Resposta pessoal.

Orientações

As atividades dessa página contribuem para o desenvolvimento das habilidades EF06MA18 e EF06MA20

Na atividade 2, proponha aos estudantes que elaborem suas próprias explicações sobre o motivo de os polígonos receberem esses nomes.

Na atividade 3, explore com os estudantes as características de cada imagem apresentada, para que verifiquem qual não pertence ao grupo, além de possibilitar que eles façam observações interessantes, como quantidade de lados e a respectiva nomenclatura, se acham que são regulares ou

não etc. Se possível, anote na lousa as observações conforme eles forem relatando.

Na atividade 4, peça aos estudantes que analisem o mosaico, identifiquem os polígonos que o compõe e, depois, troquem ideias com os colegas sobre suas conclusões. Este é um momento para você esclarecer as possíveis dúvidas. Observe se os estudantes classificam corretamente os polígonos na atividade 5, se reconhecem as características e se nomeiam e contam corretamente os lados e vértices de cada figura.

Ilustrações: André Martins

Ilustrações: André Martins

André Martins

Figura 1.

Figura 2.

Figura 3.

Ilustrações: André Martins

Pista escorregadia.Parada obrigatória à frente.

Orientações

O conteúdo dessa página contempla a habilidade EF06MA19

Ao tratar dos triângulos, fale sobre a rigidez geométrica dos triângulos. É interessante estimular a reflexão sobre as estruturas utilizadas em pontes e em outras construções com estrutura metálica, identificando treliças e outros triângulos que auxiliam na sustentação dessas construções. A contextualização permite que o estudante compreenda a aplicação do que está sendo estudado, sua utilidade e importância na área da construção civil.

Verifique se os estudantes identificam os elementos do triângulo e se compreendem as notações apresentadas.

Triângulos

Elementos de um triângulo

O polígono que tem 3 lados, 3 vértices e 3 ângulos internos é chamado de triângulo . No dia a dia, é comum encontrarmos objetos cujos formatos das faces se parecem com triângulos.

Observe os elementos de um triângulo.

• Os segmentos AB, BC e CA são os lados

• Os pontos A, B e C são os vértices

• a, b e g são os ângulos internos

• BC é o lado oposto a a

• AC é o lado oposto a b

• AB é o lado oposto a g

Podemos indicar esse triângulo por triângulo ABC ou !ABC

Janela composta por dois triângulos e um pentágono no centro.

Tipos de triângulo

Os triângulos podem ser nomeados quanto às medidas de seus lados e quanto às medidas de seus ângulos internos

Quanto às medidas dos lados:

Orientações

O conteúdo dessa página contempla a habilidade EF06MA19

ilustrações: DAE

Os três lados são congruentes, ou seja, têm medidas iguais.

Pelo menos dois lados têm a mesma medida.

Quanto às medidas dos ângulos internos:

Os três lados têm medidas diferentes.

Acutângulo Retângulo Obtusângulo

Os três ângulos internos são agudos. Um ângulo interno é reto. Um ângulo interno é obtuso.

Por que todo triângulo equilátero é também um triângulo isósceles?

Porque o triângulo equilátero tem três lados com a mesma medida, logo, também tem dois com a mesma medida.

Os fractais são estruturas geométricas de grande complexidade e beleza que apresentam características que as definem: as partes menores dos fractais apresentam estruturas semelhantes à das partes maiores e, normalmente, são gerados por processos que se repetem infinitas vezes.

Um exemplo é o fractal chamado curva de Koch. Ele é obtido dividindo-se os lados de um triângulo equilátero em 3 partes iguais e construindo-se, sobre a parte do meio de cada um dos lados, um novo triângulo equilátero.

Esse processo de formação continua indefinidamente e a figura que vai sendo obtida é parecida com um floco de neve.

Fonte: HOROBINSKI, Danyelle; FURTADO, Jéssica G. Percorrendo a curva de Koch Curitiba: Universidade Federal do Paraná, 2019. Disponível em: https://docs.ufpr. br/~ewkaras/ensino/fractais/Koch.pdf. Acesso em: 6 maio 2022.

Para aprofundar

A fim de reforçar a discussão sobre a temática estudada, propomos a leitura do livro a seguir, que esclarece os conceitos e as características dos fractais.

• CAMPOS, F. A. B. de; FAGUNDES, M. C. O que são fractais: uma análise conceitual de suas características a partir de pesquisas brasileiras. REAMEC, [s. l.], v 8, n. 2, p. 540-561, 2020. Disponível em: https://perio dicoscientificos.ufmt.br/ojs/index.php/reamec/article/ view/10137/pdf_1. Acesso em: 14 jun. 2022.

ilustrações: DAE

Discuta com os estudantes as características e a classificação quanto à medida dos lados e quanto à medida dos ângulos, usando a nomenclatura apropriada dos triângulos. Pergunte qual dos triângulos representados nas imagens é regular. Espera-se que respondam triângulo equilátero. Observe se, em Pense e responda, ao responder à proposta apresentada, os estudantes percebem que um triângulo equilátero é também um triângulo isósceles. Leve-os a chegar às próprias conclusões. Faça perguntas como: O que é necessário para que um triângulo seja equilátero? E para que seja isósceles? O que eles têm em comum? O que difere o triângulo equilátero do triângulo isósceles?

Leia com os estudantes o texto sobre os fractais apresentado em Curiosidade . Se julgar oportuno, proponha uma pesquisa com eles e para que conheçam outros exemplos de fractais, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 2, ao instigar a curiosidade, a investigação e a reflexão.

Floco de neve formado em condições naturais a baixa temperatura.

Orientações

As atividades dessa página contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA19. Aproveite para verificar a aprendizagem dos estudante. Se necessário, retome os conceitos apresentados.

As atividades 1, 2 e 3 exploram a identificação de triângulos, seus vértices, lados e ângulos, assim como sua classificação com relação aos lados. A atividade 2 tem caráter de desafio e pode auxiliar no desenvolvimento da competência geral 2 e da competência específica 2

Dê um tempo aos estudantes para que desenvolvam a atividade 4. Em seguida, peça que se reúnam em duplas, para que um estudante construa a figura de acordo com as instruções que o outro elaborou e depois corrijam em conjunto. Essa atividade contempla a habilidade EF06MA23

Atividades

1 Classifique os triângulos representados abaixo quanto às medidas dos lados e quanto às medidas dos ângulos internos.

Triângulo isósceles e acutângulo.

Triângulo escaleno e obtusângulo.

2 Quantos triângulos existem na figura? Identifique-os.

16 triângulos: ABC, AFB, AFC, BDA, BDC, CEA, CEB, GAC, GAB, GBC, AEG, BEG, BFG, CFG, CDG, ADG

3 Observe o triângulo representado ao lado.

a) Qual é o nome desse triângulo quanto às medidas dos lados e quanto às medidas dos ângulos internos?

Triângulo escaleno e acutângulo.

b) Qual é o lado oposto ao vértice A?

c) Qual é o vértice oposto ao lado AB?

O lado CB

C

d) O ângulo B está determinado por quais lados?

CB e AB

4 Para traçar o triângulo ABC representado ao lado, André utilizou os comandos a seguir.

• Avance 5 cm.

• Gire 120‘ para a esquerda.

• Avance 5 cm.

• Gire 120‘ para a esquerda.

• Avance 5 cm.

Quais comandos podem ser dados para a construção da figura a seguir?

• Avance 4,6 cm.

• Gire 110‘ para a esquerda.

• Avance 7 cm.

• Gire 140‘ para a esquerda.

• Avance 7 cm.

Quadriláteros

Elementos de um quadrilátero

O polígono que tem 4 lados e, consequentemente, 4 vértices e 4 ângulos internos é denominado quadrilátero. Exemplo:

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA20

Nesse quadrilátero:

• os segmentos AB, BC, CD e DA são os lados;

• os pontos A, B, C e D são os vértices;

• ÂB CD , ˆ ,  ˆ  e ˆ são os ângulos internos ou simplesmente ângulos;

• AB DC AD CB       e  e são dois pares de lados opostos; • ˆ  e ˆ ˆ  e ˆ AC BD  

são dois pares de ângulos internos opostos.

Tipos de quadrilátero

Trapézios e paralelogramos

Trapézios e paralelogramos são duas classes de quadriláteros.

Trapézios Paralelogramos

Represente o quadrilátero na lousa e leve os estudantes a observar suas características: lados, vértices e ângulos internos. Pergunte por quantos lados, vértices e ângulos internos ele é formado e peça que observem as letras que identificam seus vértices. Passe à observação e comparação entre os trapézios e paralelogramos. Explorem as diferenças entre essas duas classes.

É importante que fique claro a diferença entre paralelogramos e trapézios; caso considere necessário, relembre o conceito de retas paralelas para explicar o paralelismo entre os lados.

Atividades complementares

O Geoplano é um ótimo recurso para trabalhar figuras poligonais. É uma ferramenta que facilita a compreensão de alguns conceitos. Ele consiste em uma placa, que pode ser quadrada ou retangular, com pinos equidistantes. Por meio desses pinos e com o auxílio de elásticos, barbante ou linha, os estudantes podem formar várias figuras geométricas e explorar suas propriedades, semelhanças, diferenças, entre outras possibilidades.

Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados opostos paralelos.

Os paralelogramos são quadriláteros que têm dois pares de lados opostos paralelos.

Peça aos estudantes que formem trios e, em seguida, escreva os nomes de alguns quadriláteros na lousa para que eles os representem no Geoplano. À medida que você for conduzindo a aula, converse com os estudantes sobre as características dos os quadriláteros sugeridos.

Oksana Shufrych/Shutterstock.com

Estudante compondo figuras em um Geoplano.

Orientações

O tópico “Paralelogramos especiais” favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA20

É muito importante que as características de cada classe de paralelogramo e a intersecção entre as classes fiquem claras para os estudantes.

Para responder à questão de Pense e responda, peça a eles que leiam as características de cada classe e analisem as figuras que as representam, observando semelhanças e diferenças entre elas.

A construção do retângulo utilizando régua e esquadro, favorece o desenvolvimento das habilidades EF06MA22

Oriente os estudantes para que, utilizando régua e esquadro, construam outro quadrilátero no caderno e escrevam o passo a passo para construí-lo.

Paralelogramos especiais

Os paralelogramos que denominamos especiais são: o quadrado, o retângulo e o losango. Veja, a seguir, o que caracteriza cada um deles.

Quadrado Retângulo Losango

O quadrado tem os quatro ângulos internos retos e os quatro lados de mesma medida.

O retângulo tem os quatro ângulos internos retos.

O losango tem os quatro lados de mesma medida.

Observe no diagrama a seguir a intersecção de classes entre esses paralelogramos.

retânguloquadradolosango

Por que o quadrado é um retângulo e também um losango?

O quadrado tem 4 ângulos retos e 4 lados com a mesma medida, o que faz dele um caso particular de retângulo e também um caso particular de losango.

Veja como podemos traçar um retângulo de dimensões 5 cm e 3 cm.

1o passo: Com a régua, trace um lado AB de medida 5 cm.

3o passo: Pela extremidade A, trace o lado AD de 3 cm, formando um ângulo de 90‘ com o lado AB

2o passo: Pela extremidade B, trace um lado BC , de 3 cm, formando um ângulo de 90‘ com o lado AB

4o passo: Una os pontos C e D para obter o retângulo ABCD e pinte-o.

Atividades Orientações

1 Na sala de aula, identifique estruturas e faces de objetos que se parecem com quadriláteros.

2 Observe o quadrilátero MNPQ: Resposta pessoal.

a) Qual é o lado oposto ao lado:

• MN? QP

• PQ? MN

• NP ? MQ

• MQ? NP

b) Qual é o ângulo oposto ao ângulo interno:

?

3 Nesta malha quadriculada estão representados alguns quadriláteros. Segundo a medida dos lados e a medida dos ângulos internos, como se chamam essas figuras?

I: retângulo; II: losango; III: quadrado; IV: quadrilátero; V: trapézio

Resposta no Manual do Professor.

4 Vítor usou recortes de papéis coloridos para representar as bandeiras a seguir.

O formato desses recortes se parecem com quais polígonos?

5 Observe os quadriláteros a seguir.

Resposta no Manual do Professor.

a) Há quadriláteros com apenas um par de lados paralelos? Qual ou quais?

b) Há quadriláteros com dois pares de lados paralelos? Qual ou quais?

c) Como se chamam os quadriláteros EFGH e MNPQ?

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA20

Você pode utilizá-las para verificar a aprendizagem dos estudantes. Na atividade 1 podem surgir respostas como: o piso e as paredes da sala, o tampo da carteira, a lousa na parede etc. Anote na lousa as estruturas e os objetos citados e sempre pergunte se alguém identifica mais algum objeto com esse formato na sala de aula, aguçando a curiosidade e o senso de observação dos estudantes. Na atividade 2, os estudantes devem demonstrar conhecimento em relação aos lados e ângulos do quadrilátero representado. Observe se apresentam dúvidas e retome o conteúdo, se necessário, por meio da exploração de outros quadriláteros.

A atividade 3 demanda atenção e conhecimento da nomenclatura e da classificação dos polígonos.

Resolução da atividade 4

Bandeira da República Tcheca: 1 triângulo (azul) e 2 trapézios (branco e vermelho).

Bandeira de Seychelles: 4 triângulos Azul, amarelo, branco e verde) e 1 quadrilátero (vermelho).

Sugira aos estudantes que pesquisem outras bandeiras que apresentam em sua composição, quadriláteros.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 3 Resolução da atividade 5

a) Sim. Os quadriláteros ABCD e MNPQ

6 Usando régua e esquadro, trace no caderno:

Construções pessoais.

a) um retângulo cujos lados medem 6 cm e 8 cm;

b) um quadrado cujo lado mede 7 cm.

7 Quantos retângulos com um dos lados de medida 8 cm podemos traçar?

Infinitos, pois a outra medida pode ser qualquer número maior que zero.

b) Sim. O quadrilátero EFGH c) EFEG: paralelogramo; MNPQ: trapézio.

Na atividade 6, os estudantes devem utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, no o traçado de segmentos paralelos e perpendiculares, para a construção dos quadriláteros propostos nos itens a e b. Essa atividade favorece também o desenvolvimento da habilidade EF06MA22

A resposta da atividade 7 requer um pouco de abstração. Sugira aos estudantes que tracem uma linha de 8 cm e experimentem algumas possibilidades.

Bandeira da República Tcheca.

Bandeira de Seychelles.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA20

A atividade 8 favorece o desenvolvimento da competência geral 4 Represente um quadrado e um retângulo na lousa para a visualização de todos e proponha aos estudantes que compartilhem suas respostas com os colegas, ampliando assim as observações, as possibilidades e o repertório da turma.

Na atividade 9, se possível, distribua papéis cortados em formato quadrado para que os estudantes experimentem obter as figuras de cada item com apenas uma única dobra e concluam por si próprios que o quadrado é a única figura que não pode ser obtida.

A atividade 10 propicia que, além da identificação correta dos polígonos, os estudantes trabalhem a localização de objetos no plano cartesiano.

Na atividade 11, aproveite o momento para reforçar a conexão entre Matemática, Arte e Geometria, o que favorece o desenvolvimento da competência geral 3 e da competência específica 3

Resolução da atividade 12

• Se o quadrado for vermelho, temos duas possibilidades de cores para cada triângulo (azul e verde). Assim, há 2 2 = 4 formas de pintar a pipa.

• Se o quadrado for azul, temos também duas possibilidades de cores para cada triângulo (vermelho e verde). Assim, há 2 . 2 = 4 formas de pintar a pipa.

• Se o quadrado for amarelo, temos três possibilidades de cores para cada triângulo (vermelho, azul e verde). Assim, há 3 3 = 9 formas de pintar a pipa. Portanto, o número de formas de pintar a pipa é 4 + 4 + 9 = 17.

Ambos têm todos os ângulos internos retos, mas as medidas dos lados do quadrado são todas iguais, enquanto o retângulo tem um par de lados opostos com medida diferente da do outro par.

8 O que o retângulo e o quadrado têm em comum e o que os diferenciam?

9 Carolina cortou uma folha em formato de quadrado, como representada a seguir.

Qual das figuras geométricas abaixo não pode ser obtida se Carolina fizer apenas uma única dobra nessa folha. Desenhe figuras para visualizar.

Alternativa a

a) Quadrado. b) Retângulo. c) Pentágono. d) Triângulo retângulo. e) Triângulo isósceles.

10 A imagem a seguir mostra a localização do triângulo em (6, A) e do retângulo em (5, E). André Martins

Dê a localização do trapézio, do pentágono e do hexágono.

11 Dê o nome dos polígonos que podemos identificar na obra abaixo.

12 (OMM-PR) A pipa de João é formada por um quadrado e dois triângulos, como mostra a figura. Ele deseja pintá-la de forma que figuras com um lado em comum tenham cores diferentes. O quadrado pode ser pintado de vermelho, azul ou amarelo, e cada triângulo de vermelho, azul ou verde. De quantas formas distintas João pode pintar a pipa?

17 formas

Daniel Perfeito. Modular shed blue, 2017. Tela em canvas, 120 cm * 160 cm.

Trapézio (3, D), pentágono (1, D) e hexágono (2, B).

Triângulos, quadrados, retângulos, trapézios e pentágonos.

Geometria no computador

Para explorar conceitos e construções geométricas no computador, podemos usar um software de Geometria Dinâmica chamado GeoGebra. Veja abaixo como navegar.

Orientações

Ao utilizar recursos tecnológicos, as aulas se tornam mais significativas. MatemaTIC favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA22 e explora as possibilidades de desenho geométrico utilizando um software de Geometria dinâmica. Você pode fazer uma antecipação, antes de apresentar o software, relembrando aos estudantes os elementos de um polígono. Escreva-os na lousa e avalie como eles conceituam cada um.

No momento de manipular o GeoGebra, observe se os estudantes entendem a construção e, se possível, reproduza-a com eles. Esse software também está disponível para smartphone, possibilitando o trabalho na própria sala de aula. Essa seção favorece o desenvolvimento da competência específica 5

A atividade a ser executada deve ser selecionada na barra de ferramentas. Exemplo: Criar um quadrado de qualquer medida de lado.

Na barra de ferramentas, clique no 5o item. Será aberto um menu referente ao item selecionado. Clique em "Polígono Regular".

Definir dois pontos e, depois, inserir o número de vértices Ajuda

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA18

Os recursos de um software são muitos, e não precisam se restringir ao campo da Geometria. É importante que os estudantes estejam explorem seu uso, para que seja possível pensar em outras construções interessantes para o estudo dos polígonos.

A construção de um quadrado, como mostra o exemplo, pode ser feita analogamente com o esquadro, pois também exige que se meça os lados, a fim de deixá-los congruentes.

Deixe os estudantes livres para construírem outros polígonos regulares. O questionamento sobre o “limite de lados” pode surgir, e sabe-se que, quanto maior a quantidade de lados, mais o polígono se aproximará de uma circunferência. Se achar conveniente, questione-os sobre essa regularidade.

Resolução da atividade 1

“Polígono regular”, possibilita a construção de polígonos de lados congruentes, ou seja, os dois pontos escolhidos delimitarão a medida de todos os outros lados.

Resolução da atividade 2

Exemplo de resposta: reta, reta paralela e círculo, dados o centro e um de seus pontos.

Crie dois pontos que vão determinar um lado do quadrado. Em seguida, o próprio programa solicitará o número de vértices do polígono regular.

Como o exemplo é um quadrado, digite 4. Quando clicar em OK, a figura aparecerá.

Recupere os procedimentos anteriores e faça o que se pede.

1 Por que clicar em "Polígono Regular" para criar um quadrado? Pesquise e explique.

2 Pesquise mais três funções do software que podem auxiliar nas construções.

Atividades Orientações

1 Escreva o nome dos polígonos representados no mosaico a seguir. Triângulo, losango e hexágono.

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA18

Verifique se os estudantes têm dúvidas sobre os conceitos e, se necessário, retome alguns deles.

2 Na imagem a seguir, a letra T corresponde ao triângulo, a letra R ao retângulo e a letra C ao círculo.

a) Que números estão ao mesmo tempo em T, R e C?

b) Qual é a soma dos números que estão em C?

c) Qual é a soma dos números que estão fora de R?

d) Qual é o número que está somente em T?

Na atividade 1, observe se os estudantes estão identificando e nomeando corretamente os polígonos que compõem o mosaico. Ao finalizarem, peça que se reúnam em duplas e comparem e se necessário corrijam as respostas, trocando ideias sobre as formas observadas. Se achar conveniente, peça aos estudantes que construam seus próprios mosaicos utilizando formas poligonais. Faça uma exposição em sala do que eles desenvolveram.

A atividade 2 favorece o desenvolvimento da competência específica 2 fazendo com que os estudantes agucem o raciocínio para analisar os números que estão nas regiões propostas em cada item.

Na atividade 3, verifique se os estudantes conseguem identificar os formatos dos quarteirões que compõem o mapa de ruas.

3 Os mapas de ruas muitas vezes apresentam áreas de quarteirões com formatos diversos. Observe a imagem a seguir que representa ruas de uma cidade.

No item b , incentive-os inicialmente a fazer um esboço e depois desenhar o mapa usando régua e transferidos. Essa atividade promove o desenvolvimento da habilidade EF06MA28

a) Que figuras geométricas planas podemos observar nessa imagem?

b) Desenhe um mapa das ruas da região em que você mora e identifique o formato dos quarteirões que você desenhou.

Triângulos, retângulos, paralelogramos e trapézios. Resposta pessoal.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA19 e EF06MA20

Na atividade 4, peça aos estudantes que expliquem por que identificaram as figuras como trapézios. Espera-se que eles respondam que todos possuem apenas um par de lados paralelos.

Resolução da atividade 5

Sabendo que, a cada três quadrados tem-se um triângulo, então, para determinar quantos são os triângulos, divide-se 144 por 3. Porém, para construir o triângulo, são necessários apenas 2 palitos, já que o terceiro palito é compartilhado com um quadrado; portanto, ele é contado apenas uma vez. A quantidade de triângulos é: 144 : 3 = = 48, usando apenas dois palitos. Novamente, para obter a quantidade de palitos que são usados apenas nos triângulos e não nos quadrados, divide-se esse resultado por 2 (48 : 2 = 24).

Do total de palitos existentes no início, 144, subtrai-se 24 (144 - 24 = 120).

Assim, 120 é a quantidade de palitos usados para os quadrados.

Em cada um dos quadrados são usados apenas três palitos, pois o quarto palito é compartilhado com o próximo quadrado. 120 : 3 = 40; porém, no último quadrado da sequência são utilizados quatro palitos, pois não existe outro quadrado para compartilhar o último palito.

Assim, a conclusão é que há 39 quadrados completos.

Alternativa b

Essa atividade desperta o raciocínio lógico, ao trabalhar padrões, o que favorece o desenvolvimento da competência específica 2

Resolução da atividade 6

O ângulo A mede 170‘. Como os remos têm o mesmo comprimento, então AB e AC tem a mesma medida e, portanto, a medida dos ângulos em B e em C são iguais.

Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180‘, tem-se que a medida dos ângulos B e C é igual a 5‘. Assim, o triângulo é classificado como obtusângulo isósceles.

Alternativa e

5 (CMCG-MT) Usando palitos iguais, João Manoel inventou a brincadeira de construir a sequência de quadrados (Q) e triângulos (T) na ordem Q, Q, Q, T, Q, Q, Q, T, ..., de acordo com a figura abaixo.

Se João Manoel utilizou 144 palitos, quantos quadrados completos ele fez?

a) 40

b) 39

c) 38 d) 36 e) 35

6 (ENEM) O remo de assento deslizante é um esporte que faz uso de um barco e dois remos do mesmo tamanho. A figura ao lado mostra uma das posições de uma técnica chamada afastamento.

Nessa posição, os dois remos se encontram no ponto A e suas outras extremidades estão indicadas pelos pontos B e C. Esses três pontos formam um triângulo ABC cujo ângulo BAC ˆ tem medida de 170°.

O tipo de triângulo com vértices nos pontos A, B e C, quando o remador está nessa posição é:

a) retângulo escaleno.

b) acutângulo escaleno.

c) acutângulo isósceles.

d) obtusângulo escaleno.

e) obtusângulo isósceles.

7 (OMRGN-RN) Na figura ao lado, existem quatro triângulos: A, B, C e D. Dois dos triângulos serão pintados de vermelho e dois serão pintados de azul. As pinturas serão feitas de modo que os dois triângulos pintados de azul tenham um lado em comum. A quantidade de pinturas possíveis é igual a:

a) 2.

b) 3. c)

Resolução da atividade 7

Do enunciado temos que 2 triângulos serão pintados de vermelho e 2 serão pintados de azul, sendo que os 2 triângulos pintados de azul tenham um lado em comum, logo vamos ter as seguintes possibilidades:

Temos, portanto, 3 possibilidades. Alternativa b

Disponível em: www.remobrasil.com. Acesso em: 6 dez. 2017 (adaptado).

4 Escreva o nome dos quadriláteros que compõem a faixa decorativa representada a seguir. Trapézios.

?

8 Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F).

a) Todo quadrado tem somente ângulos internos retos.

b) Todo quadrado é retângulo.

c) Todo triângulo isósceles é retângulo.

d) Na Geometria plana, existem triângulos que têm 2 ângulos retos.

9 Desenhe:

Respostas pessoais.

a) um quadrilátero com dois ângulos internos retos, um agudo e um obtuso.

b) Que polígono você desenhou?

10 Reproduza a figura abaixo em uma cartolina ou papelão e recorte, separando as partes A, B, C e D que a compõem.

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA19 e EF06MA20, por poder classificar os quadriláteros que formam as faixas; e da habilidade EF06MA22

Resolva a atividade 8 coletivamente, apresentando exemplos correspondentes a cada afirmativa.

Na atividade 9, reforce o uso de réguas e esquadros, o que contribui também para o desenvolvimento da habilidade EF06MA22

vermelho laranja

c) d) V V F F

Utilizando essas quatro partes, mostre como podemos formar as seguintes figuras:

e) f)

André Martins

Na atividade 10, proponha aos estudantes que criem outras construções com as peças e que as identifiquem, classificando-as no caderno em polígonos convexos e não convexos, além de discutir outras regularidades (número de lados, tamanho dos lados etc.).

Em Lógico, é lógica!, aproveite o padrão apresentado para discutir outras sequências figurais. Proponha aos estudantes que criem sequências para que seus colegas possam adivinhá-las. Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 2

Ilustrações: DAE

?

Objetivos do capítulo

• Quantificar e estabelecer relação entre o número de faces, vértices e arestas de prismas e pirâmides.

• Resolver problemas que envolvam o número de arestas, faces e vértices de um sólido geométrico.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais: 1 e 9

Competências específicas

1, 2 e 3

Habilidades EF06MA17

Orientações

Neste capítulo, os estudantes serão conduzidos a reconhecer a Geometria espacial em suas vivências cotidianas. Em Para começar, oriente os estudantes para que observem e comparem as figuras geométricas espaciais representadas e expliquem como as agrupariam. Permita que apresentem os agrupamentos e troquem ideias entre si.

Leve-os a concluir que dentre elas há poliedros (formados apenas por superfícies planas) e corpos redondos.

Proponha que identifiquem entre os objetos da sala de aula aqueles que possuem as características de poliedros e outros as de corpos redondos.

Figuras geométricas espaciais

Observe atentamente as figuras geométricas e encontre algumas características comuns entre elas.

Como você agruparia essas formas considerando algumas características que observou? Resposta pessoal.

Sólidos geométricos

Neste capítulo, estudaremos as figuras geométricas espaciais , também chamadas de sólidos geométricos. Nas artes e nas construções podemos observar objetos que podem ser associados aos sólidos geométricos.

Prédio com formato cilíndrico na cidade de Toulouse, França, 2020. Cubo gigante em Zabeel Park, em Dubai, Emirados Árabes, 2017.

André Martins

Imagens fora de proporção.

Observe os exemplos a seguir de objetos e construções que lembram sólidos geométricos.

Orientações

Os assuntos tratados nessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA17

Observem coletivamente as construções e objetos apresentados e a relação destes com os respectivos sólidos geométricos. Peça aos estudantes que deem outros exemplos analisando os objetos disponíveis na sala de aula.

Reforce a ideia de figuras tridimensionais.

Inicie a classificação dos sólidos geométricos identificando junto com os estudantes as características dos poliedros e suas nomenclaturas.

Todo sólido geométrico tem três dimensões: comprimento, largura e altura. Por isso, esses sólidos também são chamados de figuras tridimensionais

Classificação dos sólidos geométricos

Os sólidos geométricos podem ser classificados em poliedros ou não poliedros Poliedros

Poliedros são sólidos geométricos constituídos por um número finito de polígonos, juntamente com a região do espaço delimitada por eles. Cada polígono tem cada um de seus lados em comum com outro polígono.

Paralelepípedo ou bloco retangular.

Esfera. Bola de basquete.

Pirâmide.

Pirâmide de Gizé, Egito.

Cubo.

Cubo Mágico.

Cone.

Museu de Arte em Bonn, Alemanha.

Cilindro.

Lata usada para embalagem de alimentos.

Orientações

Inicie pedindo aos estudantes que observem as representações dos não poliedros e faça a seguinte pergunta: Por que esses sólidos geométricos são classificados como não poliedros? Leve-os a perceber que são limitados, no todo ou em parte, por superfícies curvas.

Em Pense e responda, as questões favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA17. Peça aos estudantes que, em duplas, comparem as respostas e justificativas e troquem ideias sobre como chegaram a essas conclusões.

Atividades complementares

Divida a turma em grupos de cinco estudantes e realize uma caça ao tesouro de sólidos geométricos com objetos encontrados na escola. Um estudante de cada grupo, por vez deverá ir em busca de um objeto que possui formato parecido com o sólido que você irá solicitar por escrito na lousa. Nessa atividade, será possível proporcionar um estudo coletivo como também interação entre os estudantes, aspectos que favorecem o desenvolvimento da competência específica 8 e da competência geral 9

Os não poliedros podem ser associados aos corpos redondos: cilindros, cones e esferas. Eles são sólidos geométricos limitados total ou parcialmente por superfícies não planas.

Não poliedros

redondos Cilindros. Cones. Esferas.

1. Não, pois o prisma tem duas bases de mesmo tamanho, e existem poliedros que não são prismas, como as pirâmides.

Prismas

1. Todo poliedro pode ser chamado de prisma? Por quê?

2. Todo prisma pode ser chamado de poliedro? Por quê?

2. Sim, pois todo prisma é formado exclusivamente por superfícies planas.

Prisma é um poliedro constituído por duas faces poligonais paralelas entre si e idênticas chamadas bases. As demais faces são chamadas faces laterais

Os polígonos que limitam esses sólidos são chamados de faces. O segmento de reta determinado pelo encontro de duas faces é chamado aresta, e os pontos de encontro de arestas são os vértices do sólido.

Um prisma é chamado reto quando as arestas laterais são perpendiculares ao plano da base; caso contrário, o prisma será chamado de oblíquo

Orientações

O conteúdo dessa página contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA17

Quantas faces, quantas arestas e quantos vértices tem este prisma?

Prisma

No prisma reto, as faces laterais são retângulos e no oblíquo, paralelogramos.

O prisma pode ser nomeado de acordo com o polígono que forma cada uma de suas bases – esse polígono pode ser, por exemplo, triangular, quadrangular, pentagonal.

7 faces, 15 arestas e 10 vértices

Peça que observem o exemplo dos prismas reto e oblíquo, o formato de suas faces laterais e de suas bases ao mudar de posição, assim como a medida dos seus ângulos.

Solicite que analisem as planificações das superfícies dos prismas, que podem ser identificados de acordo com o formato das faces laterais e das bases.

No primeiro Pense e responda, os estudantes podem usar a figura como apoio e contar o número de faces, vértices e arestas. Verifique se os estudantes se apropriaram desses termos e os identificam corretamente na figura. Se necessário, retome esse conteúdo.

No segundo Pense e responda, peça aos estudantes que observem os prismas representados na página e tirem suas próprias conclusões e depois as compartilhem com os colegas. Observe as respostas e conclusões dos estudantes e, se necessário, conduza-os às percepção de que o número de faces, de vértices e de arestas não podem ser iguais.

Um prisma será regular quando for reto e as bases compostas por polígonos regulares. Portanto, as faces laterais de um prisma regular são retângulos idênticos.

As imagens a seguir mostram a planificação da superfície de alguns prismas.

Para aprofundar

Em um prisma, o número de faces e o de vértices podem ser iguais? Não.

A fim de reforçar a discussão sobre a temática estudada, propomos a leitura do artigo a seguir, que trata de tendências no ensino da Matemática. • ALVES et al. Laboratório de geometria espacial com material reciclável . Revista Educação Matemática em Pesquisa : perspectivas e tendências, [s. l.], v. 3, p. 297-310, 2021. Editora Científica. Disponível em: https://do wnloads.editoracientifica.org/ar ticles/210404277.pdf. Acesso em: 14 jun. 2022.

oblíquo.

Prisma reto.

Prisma triangular.

Prisma pentagonal.

Prisma hexagonal.

Prisma quadrangular.

Ilustrações: André Martins

Ilustrações: DAE

André Martins

Planificação da superfície do cubo.

Planificação da superfície do prisma hexagonal.

Ilustrações: DAE

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA17

Aproveite as atividades 1 e 2 para discutir as planificações da superfície de figuras geométricas espaciais. Resolução da atividade 1

Na figura A, duas faces vão ficar sobrepostas. Logo, não vão formar um cubo, pois fica faltando uma face. Na figura B, também tem duas faces sobrepostas. Nesse caso, existe uma face a mais. A figura D não forma um cubo, pois falta uma face. A figura C é uma planificação do cubo. Respostas da atividade 2

a) Como as bases são triangulares, o prisma é triangular.

b) Não é regular, pois os triângulos das bases são escalenos.

c) Os polígonos das bases são os triângulos indicados pelas letras D e E, e os polígonos das faces laterais são os retângulos indicados por A, B e C

d) Ele tem 6 vértices, 5 faces e 9 arestas.

Na atividade 3, os estudantes poderão usar as imagens dos sólidos 1, 2 e 3 para contar o número vértices, arestas e faces de cada um. Verifique se reproduziram corretamente o quadro no caderno e se estão completando-o de forma adequada. Ao final, explore com eles a relação entre o número de faces e vértices de acordo com o polígono das bases, o que auxiliará na verificação dos itens da atividade 4

Resolução da atividade 4

a) No prisma retangular:

L = 3; V = 2 3 = 6 (relação válida)

No prisma pentagonal:

L = 5; V = 2 5 = 10 (relação válida)

No prisma hexagonal:

L = 6; V = 2 . 6 = 12 (relação válida)

No prisma quadrangular:

L = 4; V = 2 4 = 8 (relação válida)

b) No prisma retangular:

L = 3; A = 3 3 = 9 (relação válida)

No prisma pentagonal:

L = 5; A = 3 . 5 = 15 (relação válida)

No prisma hexagonal:

L = 6; A = 3 6 = 18 (relação válida)

Atividades

1 Qual das figuras a seguir representa uma planificação da superfície de um cubo? Figura C

2 A figura ao lado representa a planificação da superfície de um prisma.

a) Qual é o nome do prisma obtido a partir dessa planificação?

b) Esse prisma é regular? Por quê?

Respostas no Manual do Professor.

c) Que letras representam os polígonos das bases e das faces laterais desse prisma?

d) Quantos vértices, quantas faces e quantas arestas esse prisma tem?

3 Observe os sólidos geométricos:

Reproduza, no caderno, e complete o quadro ao lado escrevendo o número de vértices (V), o número de faces (F) e o número de arestas (A) de cada sólido geométrico representado.

8; 6; 12

10; 7; 15

6; 5; 9

4 Analise as representações dos prismas abaixo. Prisma triangular. Prisma pentagonal. Prisma hexagonal. Prisma quadrangular.

Chamando de L o número de lados do polígono da base de cada um desses sólidos geométricos, verifique se, para cada um deles, o número de:

Para todos os casos, as relações são válidas.

a) vértices (V) é o dobro do número de lados do polígono da base, ou seja, V = 2L;

b) arestas (A) é o triplo do número de lados do polígono da base, ou seja, A = 3L;

c) faces (F) é igual ao número de lados do polígono da base adicionado a 2, ou seja, F = L + 2.

No prisma quadrangular:

L = 4; A = 3 4 = 12 (relação válida)

c) No prisma retangular:

L = 3; F = 3 + 2 = 5 (relação válida)

No prisma pentagonal:

L = 5; F = 5 + 2 = 7 (relação válida)

No prisma hexagonal:

L = 6; A = 6 + 2 = 8 (relação válida)

No prisma quadrangular:

L = 4; A = 4 + 2 = 6 (relação válida)

Figura A Figura B

Figura C Figura D

5 A soma dos pontos em duas faces opostas de um dado com a forma cúbica é igual a 7. Reproduza, no caderno, as planificações e desenhe os pontos que faltam em cada face.

Orientações

a) b) c) d) e) f)

a)

a) b) c) d) e) f)

Respostas no Manual do Professor.

d)

a) b) c) d) e) f)

b) c) d) e) f)

b)

e)

b) c) d) e) f)

c) d) e) f)

c)

f)

6 A imagem a seguir representa a estrutura de madeira de uma caixa com o formato de bloco retangular.

Uma formiga está no ponto A e quer ir até G seguindo as “arestas” dessa caixa. Quantos caminhos diferentes a formiga poderá fazer sem percorrer mais de 77 cm?

6 caminhos

7 Cada um dos cubos abaixo foi construído justapondo-se e colando sólidos menores, como é possível observar nas figuras. Se eles forem mergulhados em uma lata de tinta, os sólidos menores que os formam terão algumas de suas faces pintadas.

a) Cubo 1: 4 faces de cada cubinho. Cubo 2: 3 faces de cada cubinho.

a) Quantas faces dos sólidos menores ficarão pintadas nos cubos 1 e 2?

b) No cubo 3, quantos cubinhos que o formam ficarão com 0, 1, 2 e 3 faces pintadas?

b) 1 cubinho com nenhuma face pintada; 6 cubinhos com 1 face pintada; 12 cubinhos com 2 faces pintadas; 8 cubinhos com 3 faces pintadas

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da competência específica 2 e da habilidade EF06MA17

Resolução da atividade 5 a) b) c) d) e) f)

A atividade 6 oferece seis possibilidades de caminho. Veja a seguir.

A 4 D 4 C 4 G (20 + 45 + 12 = 77)

A 4 D 4 H 4 G (22 + 12 + 45 = 77)

A 4 B 4 C 4 G (45 + 20 + 12 = 77)

A 4 B 4 F 4 G (45 + 12 + 20 = 77)

A 4 E 4 F 4 G (12 + 45 + 20 = 77)

A 4 E 4 H 4 G (12 + 20 + 45 = 77)

Para resolver a atividade 7 os estudantes precisarão usar a observação, a imaginação e o raciocínio lógico. Sugira que, após responderem cada item, troquem ideias com um colega sobre as conclusões e estratégias utilizadas, para que juntos cheguem à resposta correta.

Cubo 1. Cubo 2. Cubo 3.

Ilustrações: Luca Navarro

Ilustrações: Luca Navarro

Ilustrações: Luca Navarro

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA17

Resolução da atividade 8

a) 3 3 + 3 1 + 1 = 13

b) 3 3 3 - 13 = 27 - 13 = 14

Essa atividade requer imaginação e observação espacial. Se surgirem dificuldades, distribua cubinhos do Material Dourado para os estudantes explorarem e simularem a situação apresentada. Você pode ampliar a exploração propondo ou pedindo aos estudantes que proponham outras construções.

Faça a correção coletiva da atividade 9. Verifique se os estudantes identificam corretamente todas as faces, especialmente no item d, que apresenta uma figura mais complexa. Resolução da atividade 10

Nesta face inferior, o número é 3 (4 + 3 = = 7).

A soma dos pontos dessas faces ocultas é 7.

A soma dos pontos dessas faces ocultas é 7.

Portanto, a soma dos pontos das cinco faces ocultas é:

3 + 7 + 7 = 17.

Comente que a soma das quantidades de pontos de faces opostas de um dado de 6 faces é sempre 7.

9. a) Pentágonos e quadriláteros.

b) Hexágonos e quadriláteros.

c) Triângulos e quadriláteros.

d) Quadriláteros, hexágonos e octógonos.

8 Jorge quer montar um grande cubo com cubinhos de madeira.

a) Quantos cubinhos Jorge já colocou?

b) Qual é a quantidade mínima de cubinhos que ele ainda precisa colocar para formar um cubo maior?

9 Dê os nomes das faces dos sólidos geométricos representados a seguir. a)

b)

c) d)

10 Em uma apresentação, um mágico escolhe uma pessoa e fornece a ela três dados idênticos com as faces numeradas de 1 a 6 pontos. O mágico vira-se de costas e pede que a pessoa coloque os dados, um sobre o outro, em cima de uma mesa, como mostra a figura.

Com isso, cinco faces ficam ocultas. O mágico se propõe a adivinhar a soma dos pontos dessas faces. Para tanto, pede que a pessoa lhe diga qual é o número de pontos da face superior do primeiro dado. Se a pessoa responder quatro, que número o mágico fornece como resposta para a soma?

Ilustrações: Luca Navarro

Pirâmides

Pirâmide é um poliedro que possui uma face poligonal chamada base; as demais, denominadas faces laterais, são triângulos com um vértice em comum.

Pirâmide reta

Se todas as arestas laterais são congruentes, a pirâmide é reta

Pirâmide oblíqua

Ilustrações:

Se uma das arestas laterais não for congruente às outras, a pirâmide é oblíqua

aresta da base

5 vértices, 5 faces e 8 arestas

Uma pirâmide pode ser nomeada segundo o polígono que forma a base: triangular, quadrangular, pentagonal etc.

Ilustrações:

Pirâmide de base triangular (a base é um triângulo).

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA17

Antes de iniciar a discussão sobre pirâmides, questione os estudantes a respeito do que eles conhecem sobre esse sólido geométrico como o polígono que compõe suas faces, o número de bases, o número de vértices. Explore a relação entre o número de arestas e vértices com base no número de lados do polígono da base, de forma. Uma vez já estudados os conceitos de prismas retos e oblíquos, espera-se que eles compreendam esses conceitos aplicados às pirâmides. Explore a relação entre o número de arestas e vértices com base no número de lados do polígono da base, de forma que eles mesmos cheguem às conclusões.

Em Pense e responda, peça que observem e contem o número de faces (incluindo a base) e de vértices, para que concluam que são iguais.

Pirâmide de base pentagonal (a base é um pentágono).

vértice face lateral aresta da base base aresta lateral vértice base aresta lateral

Quantos vértices, quantas faces e quantas arestas tem essa pirâmide oblíqua?

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA17

Para responder à questão apresentada em Pense e responda, proponha aos estudantes que façam planificações de prismas e pirâmides. Cite que essa igualdade trata de uma relação importante para o estudo de poliedros, também conhecida como relação de Euler, um importante matemático.

As atividades contemplam os sólidos geométricos estudados até aqui, logo, é uma ótima oportunidade para avaliar a aprendizagem dos estudantes e verificar como desenvolvem as resoluções, tal qual as estratégias adotadas.

Na atividade 1, observe se os estudantes associam a planificação à pirâmide, se identificam e sabem nomear o hexágono, se reconhecem um polígono regular e distinguem a pirâmide reta da oblíqua. Se necessário, retome esses conceitos.

Na atividade 2, observe se os estudantes reproduziram corretamente as figuras geométricas no papel quadriculado para que identifiquem os elementos solicitados no item a Após responderem e justificarem a resposta do item b, peça que troquem ideias com um colega para que, juntos, verifiquem se chegaram ao mesmo resultado.

Para aprofundar

Sugerimos a leitura do artigo a seguir, que trata do estudo de prismas e pirâmides utilizando material manipulativo.

• CONCEIÇÃO, Eliana. O estudo de prismas e pirâmides no 6o ano do Ensino Fundamental por meio de material manipulativo. 2020. Trabalho de Conclusão de Curso (Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática) – Instituto Federal Goiano, Morrinhos, 2020. Disponível em: https://repositorio.ifgoia no.edu.br/bitstream/prefix/1570/1/ mon_esp_Eliana%20Francisca%20 da%20Concei%c3%a7%c3%a3o. pdf. Acesso em: 15 jun. 2022.

A imagem mostra a planificação da superfície de uma pirâmide quadrangular.

O quadrado corresponde à base dessa pirâmide. Os triângulos correspondem às faces laterais.

Sendo V o número de vértices, F o número de faces, e A o número de arestas, verifique se a igualdade V + F = A + 2 é verdadeira para a pirâmide representada acima.

Atividades

1 A figura a seguir representa a planificação da superfície de uma pirâmide.

a) Qual é o nome da pirâmide obtida a partir dessa planificação?

b) Essa pirâmide é regular? Ela é reta? Por quê?

Pirâmide hexagonal. Sim, porque a base é um polígono regular e as arestas até o topo também têm as mesmas medidas.

c) Escreva os nomes dos polígonos que representam a base e as faces laterais dessa pirâmide.

d) Quantos vértices, quantas faces e quantas arestas tem essa pirâmide?

Base: hexágono; faces laterais: triângulo. São 7 vértices, 7 faces e 12 arestas.

2 Reproduza, em uma folha de papel quadriculado, as figuras geométricas a seguir.

a) Identifique:

• a(s) base(s) de cada uma delas; • as arestas laterais de cada uma delas.

I: ABCD e EFGH; II: IJK e LMN; III: OPQR.

b) Qual dessas figuras possui mais vértices? Justifique sua resposta.

I: 8 vértices. III: 5 vértices.

II: 6 vértices. Logo, a figura I tem mais vértices.

I: AE BF CG DH , ,   e ;

II: IL, JM e KN;

III: SPSQSR SO , ,   e

Luca Navarro

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA17

Resolução da atividade 3

a) Na pirâmide triangular: L = 3; V = 3 + 1 = 4 (relação válida)

Na pirâmide pentagonal: L = 5; V = 5 + 1 = 6 (relação válida)

Na pirâmide quadrangular: L = 4; V = 4 + 1 = 5 (relação válida)

Na pirâmide hexagonal: L = 6; V = 6 + 1 = 7 (relação válida)

Chamando de L o número de lados do polígono da base de cada um desses sólidos geométricos, verifiquem se, para cada um deles, o número de:

a) vértices (V) é o número de lados do polígono da base adicionado a 1, ou seja, V = L + 1;

b) arestas (A) é o dobro do número de lados do polígono da base, ou seja, A = 2L;

c) faces (F) é igual ao número de lados do polígono da base adicionado a 1, ou seja, F = L + 1.

4 A figura a seguir representa a planificação da superfície de um sólido geométrico.

Para todos os casos, essas relações são válidas.

b) Na pirâmide triangular: L = 3; A = 2 3 = 6 (relação válida)

Na pirâmide pentagonal: L = 5; A = 2 . 5 = 10 (relação válida)

Na pirâmide quadrangular: L = 4; A = 2 4 = 8 (relação válida)

Na pirâmide hexagonal: L = 6; A = 2 6 = 12 (relação válida)

c) Na pirâmide triangular: L = 3; F = 3 + 1 = 4 (relação válida)

Na pirâmide pentagonal: L = 5; F = 5 + 1 = 6 (relação válida)

a) Que sólido geométrico corresponde a essa planificação?

b) Quantas bases ele tem? Quantos lados (L) tem o polígono da base? Classifique esse polígono quanto ao número de lados e quanto às medidas dos ângulos internos.

Pirâmide octogonal. 1 base; 8 lados; octógono regular convexo

c) Quantas faces (F), quantas arestas (A) e quantos vértices (V) tem esse sólido?

Na pirâmide quadrangular: L = 4; F = 4 + 1 = 5 (relação válida)

d) Classifique os polígonos das faces laterais quanto ao número de lados.

e) Verifique se as igualdades V = L + 1, A = 2L e F = L + 1 são verdadeiras para esse sólido.

F = 9, A = 16 e V = 9. Triângulos. São verdadeiras.

Após resolver as atividades, promova uma pesquisa sobre a relação de Euler (V + F = A + 2), muito utilizada para determinar o número de vértices, faces e arestas. Solicite que seja incluída na pesquisa a vida e a obra de Euler para que os estudantes consigam expandir seus conhecimentos sobre a história da Matemática e sobre a importância de Euler para o desenvolvimento de outras áreas do conhecimento.

A pirâmide apresentada na atividade 4, com o número de faces maior que das pirâmides apresentadas anteriormente, amplia a visão dos estudantes sobre o conceito, além de estimular a capacidade de observação. No item c, eles devem observar que as relações verificadas na atividade 3 são válidas para qualquer pirâmide.

3 Considere as pirâmides representadas abaixo.

Pirâmide triangular (tetraedro). Pirâmide quadrangular.

Pirâmide pentagonal.

Pirâmide hexagonal.

Luca Navarro

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA17

Ao ler com os estudantes o texto de Viagem no tempo, evidencie a conexão da Matemática com a H istória, o que possibilita a eles perceberem que a Matemática está presente nas construções arquitetônicas desde a Antiguidade, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 1 e das competências específicas 1 e 3

Atividades complementares

Peça aos estudantes que pesquisem sobre outros monumentos e construções que se assemelham a sólidos geométricos. É importante que tragam imagens impressas para construírem um mural que pode se intitular: Geometria espacial pelo mundo, ou outro escolhido pelos estudantes

Pirâmides de Gizé

Dos poliedros que você estudou, as pirâmides são sólidos cuja forma, no antigo Egito, foi uma referência para essa cultura. O texto a seguir apresenta algumas informações sobre essa obra arquitetônica do povo egípcio.

As pirâmides egípcias foram construídas para serem o descanso final de seus Faraós. Esse tipo de estrutura apareceu em diversas localidades ao longo da história.

Devido à grandiosidade e à complexidade da construção, as pirâmides do planalto de Gizé (Giza) são [...] as mais belas e misteriosas de que se tem notícia.

“Entre os anos 2630 e 1640 a.C., os faraós egípcios construíram tumbas em forma de pirâmides. Considerações arquitetônicas e temas religiosos desempenham um papel na introdução e desenvolvimento das pirâmides; porém, ainda que perseguindo um mesmo propósito, as pirâmides diferem em forma, dimensões, estrutura interna e outros detalhes. Dois são os tipos básicos: a pirâmide escalonada e a pirâmide propriamente dita.”

[...]

Já na IV dinastia, a grande pirâmide, ou a pirâmide de Khufu (grego: Queóps) foi uma das mais audaciosas construções já feitas no Egito e no Mundo. Ela media em sua forma original 146 metros de altura e tinha uma base quadrangular de 230 metros.

A sua construção é até hoje um mistério e intriga os mais diversos pesquisadores. Inúmeras teorias sobre como os antigos egípcios a construíram surgem sempre, mas nenhuma delas foi comprovada até então.

Base quadrangular: face em forma de quadrilátero que é a base da pirâmide.

Ao lado da grande pirâmide existem outras duas pirâmides de grandes proporções: a pirâmide de Quéfren, filho de Queóps, que tem por base 214,5 metros e 143 metros de altura; e a pirâmide de Miquerinos, filho de Quéfren, que é a menor das três pirâmides, medindo 65 metros de altura e 105 metros de base. Além das três pirâmides, no complexo de Gizé existem outras, menores, que foram destinadas às rainhas.

Pirâmides do complexo de Gizé, no Egito,

1 Se uma pirâmide tem 6 faces triangulares, qual é o formato de sua base? Esboce um desenho dessa figura e compare-o com o formato da base da pirâmide de Khufu (Quéops).

2 Qual é a característica comum a todas as pirâmides?

Hexagonal. Resposta pessoal. As faces laterais são triangulares.

FERREIRA, Lucas. Pirâmides egípcias. In: ANTIGO EGITO. [S. l.], 30 jan. 2020. Disponível em: http://antigoegito.org/as-piramides/. Acesso em: 6 maio 2022.

2009.

Objetivos do capítulo

Construção de figuras semelhantes

Observe as fotografias a seguir.

O que elas têm em comum? O que as diferencia?

As fotografias mostram exatamente a mesma imagem, porém a segunda é uma redução da primeira.

A semelhança entre figuras geométricas é muito utilizada em Geografia, em Engenharia e Arquitetura para ampliar e reduzir plantas, em mapas, em maquetes etc. É fundamental, nesse processo, que as figuras tenham formatos idênticos, com a mesma proporção entre as dimensões correspondentes.

• Identificar relações de proporcionalidade em figuras geométricas planas.

• Resolver problemas que envolvam ampliação e redução de figuras geométricas planas.

Foco na BNCC

Principais competência e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2 Competências específicas 3 Habilidades EF06MA21

Orientações

Conversem sobre em quais situações é necessário aumentar ou reduzir imagens e quais estratégias poderiam ser utilizadas para isso. Os mapas provavelmente devem ser mencionados nesse momento. Incentive a discussão usando mapas físicos e/ou digitais disponíveis, sendo estes últimos de fácil acesso e manuseio (inclusive em relação à indicação de escalas.

A questão proposta em Para começar trata do tamanho das imagens representando um mesmo local. Eles devem observar que as fotografias podem ser ampliadas ou reduzidas, porém sempre mantêm as proporções da imagem real.

Pergunte aos estudantes se já viram alguma maquete. Os arquitetos utilizam maquetes para mostrar como a construção ficará quando estiver pronta.

Imagens fora de proporção.

Rubens Chaves/Pulsar Imagens

Ernesto Reghran/Pulsar Imagens

Maquete do Teatro Amazonas em Manaus, Amazonas, 2019. Teatro Amazonas em Manaus, Amazonas, 2015.

Rubens Chaves/Pulsar Imagens

Parque temático localizado na cidade de Penha, Santa Catarina, 2010.

Orientações

O conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA21

Quando trabalhamos com ampliação e redução, a proporcionalidade é um importante conceito para compreender o que está sendo estudado.

Peça aos estudantes que observem as figuras I, II e III e que apresentem estratégias para verificar a proporção que cada figura foi ampliada ou reduzida, a partir de uma delas tomada como referência.

Curiosidade favorece o desenvolvimento da competência geral 2 e da competência específica 3. Para verificar as informações apresentadas nele, use o efeito de sombra para criar com os estudantes experimentos sobre a proporcionalidade das figuras formadas. Você pode usar figuras em forma de quadrados e retângulos, com dimensões conhecidas, cortadas em cartolina. Peça que utilizem réguas e trenas para medir as sombras, registrem no caderno o que observaram e compartilhem as descobertas com os colegas.

Usando malha quadriculada, podemos ampliar ou reduzir a reprodução de uma figura geométrica e obter, assim, outra figura geométrica, semelhante à original.

Os polígonos I, II e III são semelhantes. O polígono II é uma ampliação do polígono I e o polígono I é uma redução do polígono III.

Note que:

• cada lado do polígono II mede o dobro da medida do lado correspondente do polígono I;

• cada ângulo interno do polígono II é congruente (tem a mesma medida) ao seu correspondente no polígono I;

• cada lado do polígono II mede a metade da medida do lado correspondente do polígono III;

• cada ângulo interno do polígono III é congruente ao seu correspondente no polígono I.

Do exemplo, podemos dizer que:

Dois polígonos são semelhantes quando:

• todos os ângulos internos correspondentes são congruentes;

• as medidas dos lados correspondentes são proporcionais.

A propagação retilínea da luz possibilita explicar a formação das sombras dos objetos iluminados.

• Se a fonte de luz é extensa (muito grande), o plano sobre o qual se forma a sombra é perpendicular à direção do raio de luz e paralelo ao plano do retângulo ABCD. As figuras representando o retângulo e a sombra são congruentes.

A reprodução ou cópia tem a mesma forma e o mesmo tamanho que o polígono inicial.

• Se a fonte de luz é puntiforme (muito pequena), os raios de luz são divergentes e o plano sobre o qual se forma a sombra e o plano do retângulo ABCD são paralelos. As figuras representando o retângulo e a sombra são semelhantes.

Sombras são um tipo de projeção.

Atividades Orientações

1 Amplie as figuras geométricas abaixo, dobrando a medida de cada um dos seus lados. Use uma malha quadriculada e pinte como quiser. Respostas no Manual do Professor.

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA21 e podem ser utilizadas para verificar a aprendizagem dos estudantes.

Resolução da atividade 1

2 Use uma malha isométrica (triangular) e reduza, como quiser, o triângulo e o trapézio representados a seguir. Respostas no Manual do Professor.

Verifique se os estudantes ampliaram proporcionalmente os lados de cada figura, dobrando as respectivas medidas na malha quadriculada.

Resolução da atividade 2

a) A medida dos lados da figura 2 é quantas vezes maior que a medida dos lados da figura 1?

b) O perímetro da figura 2 é quantas vezes maior que o perímetro da figura 1?

3 vezes

c) Quantas vezes a medida da área da figura 2 é maior que a medida da área da figura 1?

d) Essas figuras geométricas são semelhantes? Justifiquem a resposta.

Sim. A figura 2 é uma ampliação da figura 1.

3 vezes

9 vezes

Verifique se eles reduziram proporcionalmente os lados de cada figura e peça que expliquem o fator de redução aplicado a cada uma.

Resolução da atividade 3

a) Figura 1: lado mede 1. Figura 2: lado mede 3.

Logo, 3 : 1 = 3 4 3 vezes.

b) P1 = 12 e P2 = 36.

Logo, 36 : 12 = 3 4 3 vezes.

c) A1 = 5 quadradinhos e A2 = 45 quadradinhos. Logo, 45 : 5 = 9 4 9 vezes.

d) Sim. Os ângulos internos correspondentes são congruentes e as medidas dos lados correspondentes são proporcionais.

Luiz Lentini

Luiz Lentini

3 A Figura 2 é uma ampliação da Figura 1. Atividade em dupla

Luiz Lentini

Figura 2.

Figura 1.

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Ilustrações: Reinaldo Vignati

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade

EF06MA21

Na atividade 4, espera-se que os estudantes associem a quantidade de quadradinhos aos tamanhos dos triângulos em relação ao inicial. Se achar pertinente, distribua malhas quadriculadas entre eles e trabalhe outras ampliações.

Observe se, ao resolver a atividade 5, os estudantes percebem que descobrir a relação entre as medidas de um dos lados é o suficiente, uma vez que as figuras semelhantes e todos os lados serão ampliados proporcionalmente:

= 10 4 2, 5

Resolução da atividade 6

a) A (2, 2) 4 A2 (14, 14).

B (6, 2) 4 B2 (42, 14).

C (4, 4) 4 C2 (28, 28).

b) A (2, 2) 4 A3 (1, 1).

B (6, 2) 4 B3 (3, 1).

C (4, 4) 4 C3 (2, 2).

Se necessário, distribua folhas de papel quadriculado para que os estudantes representem as figuras dos itens propostos.

Essa atividade contribui também para o desenvolvimento da habilidade EF06MA16

Na atividade 7, verifique se os estudantes conseguem elaborar a atividade e, posteriormente, resolver as dos colegas. Organize os estudantes em duplas e peça que confiram juntos os resultados e, se necessário, façam os devidos ajustes. Deixe claro a importância do erro, descontruindo a concepção negativa uma vez que ele nos faz repensar novas soluções.

Por qual número foi multiplicada a medida de cada lado do trapézio ABCD para obter o trapézio XYZW?

6 O triângulo II representa a ampliação que Adriana fez do triângulo I.

Para obter essa ampliação, Adriana multiplicou por 4 cada uma das coordenadas dos vértices do triângulo I. Veja:

A (2, 2) 4 A1 (8, 8).

B (6, 2) 4 B1 (24, 8).

C (4, 4) 4 C1 (16, 16).

Quais serão as coordenadas dos vértices do triângulo que será obtido:

a) multiplicando-se por 7 as coordenadas de cada vértice do triângulo I?

b) dividindo-se por 2 as coordenadas de cada vértice do triângulo I?

7 Elabore uma atividade semelhante à anterior, com um trapézio retângulo no lugar do triângulo. Então, troque com um colega para resolver a atividade que ele criou. Depois, destroque para conferir a resolução dele da sua atividade.

Respostas no Manual do Professor. Resposta pessoal.

4 Qual dos triângulos a seguir representa uma ampliação do triângulo amarelo? O triângulo 4.

5 O trapézio ABCD é semelhante ao trapézio XYZW

2,5

Marcel Borges

1 Reproduza o quadro a seguir no caderno e marque com X as classes de quadriláteros a que cada figura geométrica plana pertence. Respostas no Manual do Professor.

Classe dos Paralelogramos Retângulos Losangos Quadrados Trapézios paralelogramos

2 (CMBH-MG) Marcos é um artesão que trabalha com mosaicos. Em alguns trabalhos, ele cria uma figura geométrica e desenvolve uma malha a partir da repetição dessa figura. Observe ao lado a figura desenvolvida por Marcos e determine a quantidade total de polígonos utilizados e a quantidade de lados do polígono formado.

Alternativa e

a) 6 polígonos e 12 lados

b) 12 polígonos e 12 lados

c) 12 polígonos e 30 lados

d) 13 polígonos e 12 lados

e) 13 polígonos e 30 lados

3 (CMC-PR) Uma professora propôs aos seus alunos um jogo chamado “Que polígono é esse?”. Na primeira rodada foram dadas as seguintes informações:

• Esse polígono é um quadrilátero.

• Esse polígono possui quatro lados com as mesmas medidas.

• Esse polígono não possui os quatro ângulos retos. Esse polígono é o:

Alternativa d

a) quadrado.

b) retângulo.

c) trapézio.

d) losango.

e) paralelepípedo.

4 (OMM e Região-MG) João constrói figuras utilizando oito palitos, sem quebrá-los. Todos os palitos devem ser colocados na vertical ou na horizontal e, além disso, devem ser unidos apenas pelas pontas. Na figura, seis palitos estão com as medidas indicadas.

Respostas no Manual do Professor.

a) Quais as medidas dos outros dois palitos?

b) Mostre como construir um retângulo utilizando todos os palitos.

c) É possível construir um quadrado utilizando todos os palitos? Explique.

Orientações

Essa seção contempla testes, inclusive de provas oficiais, para que os estudantes ampliem e enriqueçam seu repertório de questões acerca dos temas desenvolvidos na unidade.

Ela também contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1

Resolução da atividade 2 Contando os lados dos triângulos, temos 3 em cada um. Como são 6 triângulos, temos 18 lados. Lembrando que os quadrados dividem lados com os triângulos, contamos apenas dois lados em cada quadrado; como são 6 quadrados, contamos 12 lados. Estes, por sua vez, compartilham lados com o hexágono. Já contamos os lados do hexágono nos quadrados; portanto, basta somarmos os 18 lados dos triângulos e os 12 lados dos quadrados, chegando a 30 lados no total. Ao final, são 6 triângulos mais 6 quadrados e um hexágono; assim, 13 polígonos. Você pode aproveitar o objeto citado para refletir sobre a minuciosidade que algumas joias apresentam.

Alternativa e Resolução da atividade 3 O losango é um quadrilátero que possui quatro lados com as mesmas medidas, e os seus quatro ângulos não são ângulos retos.

Alternativa d Resolução da atividade 4

a) Observando a figura, temos:

x + 30 = 25 + 20

x = 25 + 2 0 - 30

x = 15 4 15 cm

y + 15 = 35 + 20

y = 35 + 20 - 15

y = 40 4 40 cm

b) Utilizando todos os palitos, podemos construir um retângulo de lados 45 cm por 55 cm.

Dois lados medindo 45 cm:

• 30 + 20 = 45

• 25 + 20 = 45

Dois lados medindo 55 cm:

• 35 + 20 = 55

• 40 + 15 = 55

c) Os oito palitos têm medidas 15 cm, 15 cm, 20 cm, 20 cm, 25 cm, 30 cm, 35 cm e 40 cm. A soma das medidas de todos os palitos é 200 cm. Para formar um quadrado, deveríamos formar quatro grupos de 50 cm cada, o que não é possível de ser feito com esses palitos sem quebrar alguns.

Marcel Borges

Marcel Borges

Na atividade 5, observe as estratégias que os estudantes utilizam para contar o número de faces. Eles podem contar uma a uma ou calcular observando a base, especialmente nos itens a e b

Resolução da atividade 6

Os sólidos representados nas letras

A, C, D, F, G, I, N e O são poliedros. Assim, oito são poliedros.

Alternativa c

Resolução da atividade 7 Vamos analisar as afirmativas uma a uma.

a) Falsa. As faces laterais do prisma são retangulares e não hexagonais.

b) Falsa. As faces laterais da pirâmide são triangulares e não hexagonais.

c) Verdadeira. As faces laterais do prisma são retangulares e as da pirâmide são triangulares.

d) Falsa. No prisma as faces laterais são retangulares (e não triangulares)

e, na pirâmide, são triangulares (e não retangulares).

Alternativa c

Resolução da atividade 8

Vamos analisar as afirmativas uma a uma.

a) Falsa. A pirâmide quadrangular tem 5 faces.

b) Falsa. O prisma triangular tem 6 vértices, 9 arestas e 5 faces.

c) Falsa. O cubo é o prisma em que todas as suas 6 faces são quadradas.

d) Verdadeira. Toda pirâmide tem o número de faces igual ao número de vértices.

e) Falsa. Duas faces de um prisma pentagonal são pentágonos. As outras faces são retangulares.

Alternativa d

5 Quantas faces possuem os sólidos geométricos representados a seguir?

6 (CMM-AM) Dentre os 14 sólidos abaixo, temos:

Alternativa c

a) 7 corpos redondos.

b) 3 pirâmides.

c) 8 poliedros.

d) 5 prismas.

e) 2 polígonos.

Qual é a diferença entre as formas das faces laterais do prisma e da pirâmide desenhados?

a) No prisma, as faces laterais são hexagonais e na pirâmide, triangulares.

b) No prisma, as faces laterais são retangulares e na pirâmide, hexagonais.

c) No prisma, as faces laterais são retangulares e na pirâmide, triangulares.

d) No prisma, as faces laterais são triangulares e na pirâmide, retangulares.

Alternativa c

8 (CMBH-MG) Em muitos esportes olímpicos, os atletas utilizam equipamentos ou espaços inspirados nos formatos de sólidos geométricos. Exemplos disso são as bolas utilizadas em modalidades como basquete, tênis e ginástica artística (esfera), a piscina olímpica (paralelepípedo retângulo) e os obstáculos do hipismo (cilindros e pirâmides). Utilizando os seus conhecimentos sobre sólidos geométricos, marque a alternativa correta.

Alternativa d

a) A pirâmide quadrangular tem quatro faces.

b) O prisma triangular tem 6 vértices, 9 arestas e 3 faces.

c) O cubo é o prisma em que todas as suas oito faces são quadradas.

d) Toda pirâmide tem o número de faces igual ao número de vértices.

e) Todas as faces de um prisma pentagonal são pentágonos.

7 (PROVA DA CIDADE – SINESP) Vitor encontrou os desenhos de um prisma e de uma pirâmide.

Ilustrações: Luca Navarro

Orientações

Resolução da atividade 9

9 (CMF-CE) Observe os poliedros abaixo.

I II

Sobre o número de faces, arestas e vértices dos poliedros acima, é correto afirmar que o:

a) poliedro II possui dez arestas a mais que o poliedro I.

b) número de arestas do poliedro I é igual ao número de faces do poliedro II.

c) número de faces do poliedro I é igual à metade do número de faces do poliedro II.

d) número de vértices do poliedro II é igual ao dobro do número de vértices do poliedro I.

e) número de faces do poliedro I é igual ao número de vértices do poliedro II.

10 Observe a caixa representada abaixo.

Alternativa b

Poliedro I: 9 faces, 12 arestas e 6 vértices.

Poliedro II: 12 faces, 20 arestas e 10 vértices.

O poliedro I tem 12 arestas e o poliedro II tem 12 faces. Portanto, o número de arestas do poliedro I é igual ao número de faces do poliedro II.

Alternativa b

Na atividade 10, sugira aos estudantes que reproduzam em uma folha avulsa as planificações propostas em cada item, depois recortem cada uma delas e tentem montar a caixa. Circule pela sala para verificar as estratégias utilizadas.

Na atividade 11, há várias possibilidades.

Sugestões:

Quantas faces tem o sólido representado na imagem? Qual é o número de arestas?

Qual das planificações a seguir representa essa caixa?

Alternativa c

11 Considere a figura abaixo.

Elabore perguntas com base na figura e troque com um colega para respondê-las. Depois, destroque para conferir as respostas.

Resposta pessoal.

Ilustrações: Luca Navarro

Ilustrações: Luca Navarro

ilustrações: Luca Navarro André Martins

Orientações

Resolução da atividade 12

6 . 5 . 3 = 90

Alternativa a Resolução da atividade 13 O triângulo vermelho é equilátero, o triângulo verde é isósceles e o triângulo amarelo é escaleno.

Alternativa c Resolução da atividade 14 Sólido da figura 2: A = 18, F = 8, V = 12.

Alternativa c Resolução da atividade 15 Espera-se que os estudantes observem que, ao retirar o cubinho, o sólido aumenta em três faces. Como vai ser recortado um cubinho de cada um dos oito vértices do cubo maior, 8  . 3  = 24. Adicionando as seis faces do cubo maior, teremos um total de 30 faces no novo sólido obtido.

Alternativa d

12 (CMPA) A figura abaixo representa a planificação de um cubo com faces numeradas de 1 a 6. Para cada vértice do cubo, é realizado o produto dos números que aparecem nas três faces que contêm o vértice.

Podemos afirmar que o maior produto possível será igual a:

a) 90. b) 72. c) 24. d) 60. e) 30.

13 (IFF-RS) Os triângulos podem ser classificados quanto aos lados e ângulos. Nas figuras a seguir, os números que se encontram ao lado de cada triângulo podem classificá-los quanto aos lados.

Assim, respectivamente, eles podem ser nomeados:

a) acutângulo, escaleno e isósceles.

b) isósceles, escaleno e equilátero.

c) equilátero, isósceles e escaleno.

d) isósceles, obtusângulo e escaleno.

e) escaleno, reto e isósceles.

14 (CMCG-MS) A figura 1 representa um prisma de base triangular. Desse prisma foram recortadas três pirâmides triangulares, uma de cada vértice da base superior, formando o sólido da figura 2. Com relação ao sólido da figura 2, podemos afirmar que possui:

a) 18 arestas, 8 faces e 10 vértices.

b) 9 arestas, 9 faces e 10 vértices.

c) 18 arestas, 8 faces e 12 vértices.

d) 10 arestas, 8 faces e 12 vértices.

e) 9 arestas, 6 faces e 12 vértices.

15 De um cubo de madeira de 3 cm de lado foi cortado, num canto, um pequeno cubo de 1 cm de lado, como se pode ver na figura. Qual será o número de faces do sólido que se obtém do cubo inicial retirando, em cada um dos cantos, um desses pequenos cubos?

Figura 1. Figura 2.

Marcel Borges

16 (ENEM) O hábito cristalino é um termo utilizado por mineralogistas para descrever a aparência típica de um cristal em termos de tamanho e forma. A granada é um mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um dos polígonos correspondentes às faces. Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de granada é convexo, então a quantidade de faces utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse cristal é igual a:

Alternativa b

a) 10.

b) 12.

c) 25.

17 Faça a análise da sequência de polígonos a seguir.

d) 42. e) 50.

A sequência de polígonos continua até chegar em um polígono com o menor números de lados possível. Considerando as informações apresentadas, responda ao que se pede.

a) Qual relação é possível estabelecer entre os números representados em cada vértice e o número de lados do polígono?

Resposta no Manual do Professor.

b) Qual será o último polígono da sequência? Quais serão os números em seus vértices?

O último polígono será um triângulo e os números em seus vértices serão: 1, 3 e 9.

c) Desenhe, no caderno, a quinta figura dessa sequência e escreva os números de cada vértice.

Resposta no Manual do Professor.

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi O

Reconheço, nomeio e comparo polígonos no plano e nas faces dos poliedros.

Identifico e classifico os triângulos em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

Identifico e classifico os quadriláteros em relação aos lados e ângulos.

Quantifico e estabeleço relação entre o número de faces, vértices e arestas de prismas e pirâmides.

Identifico as relações de proporcionalidade em figuras geométricas planas.

Resolvo problemas envolvendo a ampliação e a redução de figuras geométricas planas.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras.

Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Orientações

Resolução da atividade 16

Do enunciado temos o poliedro com 30 arestas e 20 faces.

Sabemos que o número de vértices adicionado com o número de faces é igual ao número de arestas adicionado a 2 unidades.

Logo:

V + F = A + 2

20 + F = 30 + 2

F = 3 0 + 2 – 20

F = 12.

Alternativa b

Resolução da atividade 17

a) O primeiro vértice é numerado como 1, o número a ser representado no vértice seguinte é representado pelo produto do número do vértice anterior pela quantidade de lados do polígono. Esse processo se repete até o último vértice, sempre multiplicando pela quantidade de lados do polígono.

b) O último polígono será um triângulo e os números em seus vértices serão: 1, 3 e 9.

c)

Principais objetivos da unidade

• Reconhecer, nomear, comparar e escrever números racionais na representação decimal.

• Transformar números da representação fracionária para a decimal.

• Relacionar números decimais a pontos da reta numérica.

• Resolver e elaborar problemas e operações de adição e subtração com números racionais na representação decimal.

• Resolver e elaborar problemas e operações de multiplicação e divisão de números racionais na representação decimal.

• Resolver e elaborar problemas e operações envolvendo cálculo de probabilidade.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA01, ao comparar, ler e escrever números racionais representados na forma decimal. A habilidade EF06MA08 favorece o reconhecimento de que os números racionais positivos podem ser representados nas formas fracionária e decimal e, que podem ser relacionados a pontos na reta numérica. A habilidade EF06MA10 está contemplada na resolução e elaboração de problemas de números racionais. A resolução e elaboração de problemas e cálculos de adição, subtração, multiplicação e divisão com números racionais na forma decimal também contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA11. A habilidade EF06MA30 é contemplada por meio de problemas envolvendo cálculos de probabilidade e, será aprofundada nos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos, é esperado que os estudantes:

• compreendam que as frações com denominadores 10, 100, 1000... podem ser representadas por números na forma decimal;

• identifiquem números racionais em contextos do dia a dia;

• reconheçam que os números decimais são formados pela parte inteira, que fica à esquerda da vírgula, e pela parte decimal, que fica à direita da vírgula;

• decomponham números racionais positivos;

• entendam probabilidade como a medida de chance de um evento acontecer.

Avaliação diagnóstica

É importante observar se os estudantes já dominam os pré-requisitos relacionados a esta unidade. Promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre essa questão. Peça que citem exemplos da utilização de números decimais no cotidiano. Elabore algumas atividades escritas, para verificar o que já dominam. Se necessário, retome os conteúdos propostos, para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

Ciclofaixa da Avenida José Jatahy, no Parque Araxá. Fortaleza (CE), 2016. A ciclofaixa é uma faixa da pista de circulação de automóveis, identificada pela pintura no solo, exclusiva para circulação de bicicletas.

Thiago Gaspar

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 3, 7, 8 e 9

Competências específicas 1, 2, 3 e 5

Números racionais na forma decimal

De acordo com a Secretaria Municipal de Conservação e Serviços Públicos (SCSP) de Fortaleza (CE), a cidade conta com 800 bicicletas distribuídas em 80 estações. A malha cicloviária é composta de 257,5 km distribuídos em 105,9 km de ciclovias e 147,5 km de ciclofaixas.

Fonte: PREFEITURA DE FORTALEZA. Prefeitura de Fortaleza inicia implantação de ciclofaixas [...].Fortaleza: Prefeitura de Fortaleza, 14 maio 2019. Disponível em: https://www.fortaleza.ce.gov.br/noticias/prefeitura-de-fortaleza-inicia-implantacao-de -ciclofaixas-arborizacao-e-paraciclos-na-avenida-oliveira-paiva. Acesso em: 2 maio 2022.

1. Quais números estão representados na forma decimal?

Orientações

Um dos maiores problemas enfrentados nas grandes cidades e regiões metropolitanas é a mobilidade urbana. Deslocar-se de um lugar para outro pode não ser tão simples, pois depende de onde a pessoa reside, trabalha e estuda. Por décadas, as propostas de melhorar a mobilidade não levavam em conta o meio ambiente; dava-se pouca atenção ao fato de que podemos criar sérios problemas para as gerações futuras. Esse tema proporciona uma discussão muito enriquecedora com a turma, favorece o desenvolvimento de aspectos socioemocionais e constrói o sentimento de coletividade essencial para a vida em sociedade, presente na competência geral 10, além do Tema Contemporâneo Transversal: Educação Ambiental

A abertura da unidade traz dados referentes à quilometragem de ciclofaixas na cidade de Fortaleza; você pode escrever na lousa essas quilometragens e perguntar aos estudantes como se escrevem esses números por extenso. Retome os conteúdos já vistos referentes a classes, ordens e leitura de números naturais.

2. Se em todas as estações houver a mesma quantidade de bicicletas, quantas há em cada estação?

257,5; 105,9 e 147,5 10

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• reconhecer, nomear, comparar e representar números racionais, e transformar a representação fracionária em representação decimal;

• resolver e elaborar problemas envolvendo números racionais na representação decimal;

• resolver e elaborar problemas envolvendo o cálculo de probabilidade.

Foco nos TCTs

• Processo de envelhecimento, respeito e valorização do idoso

Habilidades EF06MA01, EF06MA06, DF06MA08, EF06MA10, EF06MA11 e EF06MA30

Ciclovia na Avenida Brigadeiro Lima. São Paulo (SP), 2016. A ciclovia é uma pista exclusiva para bicicletas, separada fisicamente da via dos veículos.

Objetivos do capítulo

• Reconhecer, nomear, comparar e escrever números racionais na representação decimal.

• Transformar números racionais da representação fracionária para a representação decimal.

• Relacionar números decimais a pontos na reta numérica.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 8 e 9

Competências específicas 1, 2 e 3

Habilidades EF06MA01 e EF06MA08

Orientações

Aproveite a questão proposta em Para começar e encaminhe uma aula prática. Se possível, traga uma fita métrica ou trena para fazer atividades com os estudantes. Peça aos estudantes que meçam a altura de objetos ou peças do mobiliário da sala de aula e organizem uma tabela com as informações colhidas seja na lousa, seja usando uma planilha eletrônica para organização dos dados. Verifique como eles usam a fita métrica; faça perguntas que os levem a refletir sobre as medições realizadas e na criação de estratégias para medição da altura de cada elemento.

Números na

Qual é sua altura, em metros? Expresse essa medida usando algarismos. Resposta pessoal.

As frações decimais e os números com vírgula

Vamos observar a relação entre o cubo e as demais peças do Material Dourado.

• O cubo é formado por 1 000 cubinhos.

Logo, o cubinho representa 1 1 000 ou 0,001 do cubo.

• O cubo é formado por 10 placas. Logo, a placa representa 1 10 ou 0,1 do cubo.

• O cubo é formado por 100 barras. Logo, a barra representa 1 100 ou 0,01 do cubo.

As frações que têm como denominador uma potência de 10 (10, 100, 1 000, ...), ou que sejam equivalentes a frações com denominador desse tipo, são chamadas de frações decimais. Por exemplo:

• 3 20 é equivalente a 15 100 , ou seja, 3 20 é uma fração decimal, pois 20 = 22 5, isto é, só tem fatores 2 e 5 na decomposição;

• 1 70 não é uma fração decimal, pois 70 = 2 . 5 . 7, isto é, o 7 é um fator diferente de 2 e de 5. Dessa forma, não conseguimos uma fração equivalente a ela com o denominador sendo uma potência de 10.

Ilustrações: DAE

Orientações

Veja a fração 113 100 representada com as peças do Material Dourado e na forma decimal.

+ +=++= 1 1 10 3 100 100 100 10 100 3 100 113 100 ou 1 + 0,1 + 0,03 = 1,13

Em um número escrito na forma decimal, a parte inteira é formada pelos algarismos que estão à esquerda da vírgula, e a parte decimal é formada pelos algarismos à direita da vírgula.

1,13

parte inteiraparte decimal

Para facilitar a leitura de números na forma decimal, podemos representá-los no quadro de ordens.

Os conteúdos trabalhados dessa página favorecem das habilidades

EF06MA01 e EF06MA08

Se possível, trabalhe adições usando o Material Dourado de acordo com o livro para explicar o conceito de frações decimais. Verifique se os estudantes compreenderam as relações do Material Dourado (cubo, placa, barra e cubinho) e as representações por frações e números decimais. Mostre a eles que um cubinho é parte de uma barra que contém 10 cubinhos e siga mostrando esses exemplos usando o Material Dourado. Converse a respeito dos números racionais presentes no cotidiano. Você pode fazer perguntas como: Em quais situações esses números aparecem? Leve-os a observar que estão presentes no sistema monetário, nas medidas de comprimento, massa, entre outros. Amplie a discussão por meio da observação dos quadro de ordens. Em Pense e responda, é importante que eles saibam ler esses números. Escreva na lousa outros números na forma fracionária e decimal e peça aos estudantes que façam a leitura deles.

Para aprofundar

Lê-se:

• 0,1 – um décimo;

• 0,01 – um centésimo;

• 0,001 – um milésimo;

• 1,13 – um inteiro e treze centésimos ou um inteiro, um décimo e três centésimos.

Dez unidades de uma ordem formam uma unidade da ordem imediatamente superior.

Meio ou cinco décimos. Pense e responda

O número 1 2 pode ser representado, na forma decimal, por 0,5. Como é a leitura de 0,5?

No artigo a seguir é apresentado o resultado de uma pesquisa bibliográfica sobre a história da Matemática que envolve a representação dos números na forma decimal.

• MORAIS, Ana Claudia Lemes. História da representação dos números na forma decimal. Boletim Cearense de Educação e História da Matemática, Fortaleza, v. 5, n. 13, 2018. Disponível em: https:// revistas.uece.br/index.php/ BOCEHM/article/view/17. Acesso em: 22 jun. 2022.

Orientações

As abordagens dessa página favorecem a habilidade EF06MA01

No primeiro Pense e responda, existe mais de uma possibilidade de resposta para a indicação do valor posicional de cada algarismo. Peça, inicialmente, que os estudantes procedam a leitura do número e faça perguntas como: Qual é a parte inteira desse número? Qual é a parte decimal? Quais são os algarismos que representam os décimos, centésimos e milésimos, respectivamente?

Peça que observem os números na reta numérica. Pergunte: Quais números decimais menores que 1 inteiro estão representados na reta numérica? O número 1,6 é maior ou menor que 2 inteiros? E o número 3,7 é maior ou menor que 4 inteiros?

No segundo Pense e responda, observe se os estudantes compreendem e respondem corretamente ao enunciado. Caso perceba que eles têm dificuldade em trabalhar com arredondamento, explore o quadro de ordens para ampliar os conhecimentos acerca do arredondamento e do próprio sistema de numeração.

Trabalhe os exemplos que trazem os conceitos tratados no texto.

Em Assim também se aprende, indicamos um livro paradidático sobre números decimais. Se houver disponibilidade, peça aos estudantes que façam a leitura e escrevam uma síntese. Nesse momento, eles trabalharão interpretação de texto.

Uma informação importante é que, em alguns países, o número decimal é escrito com ponto em vez de vírgula, e isso acontece também em algumas calculadoras.

Pense e responda

Arredonde 3,00297 para o milésimo mais próximo. 3,003

Pense e responda

3 dezenas ou 30 unidades; 5 milésimos de unidade. Resposta pessoal.

Considere o número 37,295. O que indica o algarismo 3? E o algarismo 5? Explique como você chegou a essa conclusão.

Veja como podemos representar os números 0,4; 0,8; 1,6; 2,5 e 3,7 na reta numérica.

Aventura decimal, de Luzia Faraco Ramos (Ática).

Depois de se machucar em um jogo de futebol, Paulo vive uma superaventura em um lugar mágico, onde aprende de maneira divertida a fazer cálculos com números na forma decimal e com frações. Entre nessa aventura decimal também!

Comparação e arredondamento de números na forma decimal

Para comparar números na forma decimal, devemos aplicar o procedimento a seguir.

• Comparamos a parte inteira dos números. O número maior é o que tem a parte inteira maior.

Por exemplo: 8,2 > 6,9 porque 8 > 6.

• Se as partes inteiras forem iguais, comparamos as partes decimais.

Por exemplo: 6,9 > 6,5 porque 9 > 5.

Para arredondar um número na forma decimal, devemos obedecer aos critérios a seguir.

1. Se o último algarismo da parte decimal for menor que 5, o algarismo à sua esquerda (que pode ser da parte decimal) não se altera.

2. Se o último algarismo da parte decimal for igual a 5 ou maior que 5, acrescenta-se 1 ao algarismo à sua esquerda (que pode ser da parte decimal).

0,0315 é tão próximo de 0,031 como de 0,032; pelo critério, arredondamos para 0,032

Transformando um número decimal para a forma fracionária

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA08 É importante que os estudantes compreendam as regras de arredondamento para aplicações futuras. Apresente situações cotidianas que demandem arredondamento de medidas ou de outras representações decimais. Eles devem perceber a necessidade social de fazer arredondamentos. Nesse sentido, o trabalho com o tema “Grandezas e medidas” é essencial. Explore bem esse viés, questionando a necessidade de arredondamento, e dê exemplos para que os estudantes reflitam sobre o uso desse recurso em diferentes situações.

Deixe claro que, em certas aplicações, é necessário utilizar os números decimais com precisão, como em casos de construções civis.

As atividades 1, 2 e 3 têm como objetivo retomar o conteúdo de frações decimais até aqui estudado. Reforce que uma fração é chamada de decimal pelo fato de o denominador apresentar números na base 10 ou equivalentes a frações desse tipo. Aqui também cabe mencionar a relação entre a quantidade de casas decimais e a quantidade de zeros no denominador.

Atividades

1 Escreva a fração decimal e o número na forma decimal que representam a parte verde de cada figura. Escreva como se lê cada uma das frações.

Resolução da atividade 1

a) São 9 partes verdes de um total de 10:

9 10 = 0,9; nove décimos.

b) São 5 partes verdes de um total de 10:

5 10 = 0,5; cinco décimos.

2 Arredonde cada número para o décimo mais próximo.

9,31

20,79 c) 0,73

3 Arredonde cada número para o centésimo mais

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA01 e EF06MA08

Na atividade 4, acompanhe as estratégias usadas pelos estudantes e verifique se eles escrevem os números por extenso corretamente.

Resolução da atividade 4

a) São 25 quadradinhos rosa e 75 laranjas de um total de 100:

25

100 = 0,25

75

100 = 0,75

b) Vinte e cinco centésimos. Evidencie para os estudantes que a leitura dessas frações é igual à leitura das respectivas representações decimais. setenta e cinco centésimos.

Na atividade 5, se achar conveniente, convide alguns estudantes para escrever na lousa os números decimais que correspondem a cada item. Se perceber que ainda persistem dúvidas, acrescente mais exemplos.

Resolução da atividade 6

Como 1 real equivale a 100 centavos, temos:

a) 10 centavos equivale a: 10 100 = 0,10 4 R$ 0,10.

b) 25 centavos equivale a:

25 100 = 0,25 4 R$ 0,25.

c) 50 centavos equivale a: 50 100 = 0,50 4 R$ 0,50.

d) 100 100 + 50 100 + 10 100 = 160 100 =

= 1,60 4 R$ 1,60.

e) 500 100 + 200 100 + 25 100 =

= 725 100 = 7,25 4 R$ 7,25.

f) 10000 100 + 2 000 100 + 25 100 + + 10 100 = 12035 100 = 120,35 4 4 R$ 120,35.

Proponha a representação de outros valores do sistema monetário. Esse assunto é muito próximo da realidade dos estudantes, o que torna a exploração mais significativa. Aproveite para discutir com eles situações cotidianas que envolvem o sistema monetário.

4 A unidade (o inteiro) a seguir foi dividida em 100 partes iguais.

a) Que fração decimal e que número na forma decimal representam a parte colorida de lilás? E a parte colorida de laranja?

b) Escreva esses números por extenso.

Vinte e cinco centésimos; setenta e cinco centésimos.

5 Represente na forma decimal:

a) sessenta e nove centésimos; 0,69

b) seis inteiros e cento e oitenta e cinco milésimos; 6,185

c) vinte inteiros e quinze milésimos; 20,015

d) seiscentos e quarenta e cinco milésimos. 0,645

6 Usando números na forma decimal, escreva as quantias representadas em cada item.

7 As taxas percentuais também podem ser expressas na forma decimal. Escreva o número indicado em cada item na forma de fração decimal e, depois, na forma de número decimal.

A atividade 7 traz números na representação percentual. Peça aos estudantes que citem exemplos em que se trabalha porcentagem. Espera-se respostas voltadas ao uso do sistema monetário brasileiro, a notícias de jornal, entre outras.

Lilás: 25 100 ou 0,25; laranja: 75 100 ou 0,75.

O Ministério da Saúde atualizou [...], o boletim de casos de covid-19 no Brasil. [...]. O número acumulado de infectados desde o início da pandemia é de 5 103 408.

BRASIL conta com 5,1 milhões de infectados pela Covid-19. Veja, São Paulo, 12 out. 2020. Disponível em: https:// vejasp.abril.com.br/cidades/brasil-infectados-coronavirus-12-outubro-sao-paulo/. Acesso em: 2 maio 2022.

álcool gel, manter o distanciamento social, entre outras.

Se possível, convide o professor de Geografia para ampliar a conversa e a reflexão sobre o motivo de algumas regiões serem mais populosas que outras e discuta um pouco sobre a população do estado em que se localiza a escola. Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 3

Resolução da atividade 9

Coronavírus visto ao microscópio. Representação com cores-fantasia.

Quando lidamos com números grandes, em determinados contextos, é comum empregarmos uma notação com vírgula que destaca a ordem de grandeza: mil, milhão, bilhão, trilhão etc. Por exemplo, no número 5 103 408, a ordem de grandeza é o milhão. Então, podemos substituí-lo por um número que esteja próximo a esse valor, de modo que simplifique a leitura e a escrita ou torne um cálculo exato ou estimado mais fácil. Dessa forma, esse número pode ser arredondado para 5,1 milhões. Nesse caso, ele foi arredondado para o décimo de milhão mais próximo, mas o número aproximado pode ser qualquer “bom” número.

a) Agora, usando uma vírgula e as palavras mil, milhão, bilhão e trilhão, represente os seguintes números, arredondando-os se necessário:

I. 9 200 000;

II. 1 800 000 000;

III. 8 795 103 000 000.

9,2 milhões 1,8 bilhão 8,8 trilhões

b) Pesquise o total de infectados pela covid-19 no Brasil e o total de pessoas vacinadas durante a pandemia. Resposta pessoal.

c) Que tipo de precauções você tomou ao longo da pandemia para se proteger? Resposta pessoal.

9 O município de São Paulo continua sendo o mais populoso do país, com 12,3 milhões de habitantes em 2020. Uma informação divulgada nesta quinta-feira pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) em seu detalhamento, com dados de referência em 1º de julho de 2020. [...]

Na ótica por região metropolitana, a de São Paulo também continua sendo a mais populosa do país, com 21,9 milhões de habitantes, seguida pelas regiões metropolitanas do Rio de Janeiro (13,1 milhões) e Belo Horizonte (6 milhões), além da Região Integrada de Desenvolvimento (RIDE) do Distrito Federal e Entorno (4,7 milhões).

SARAIVA, Alessandra. Município de São Paulo [...]. Valor Econômico, Rio de janeiro, 27 ago. 2020. Disponível em: https://valor.globo.com/brasil/ noticia/2020/08/27/municipio-de-sao-paulo-permanece-como-o-mais-populoso-do-pais-aponta-ibge.ghtml. Acesso em: 2 maio 2022.

a) Por que, às vezes, quando lidamos com números muito grandes, empregamos uma vírgula (21,9) e, outras vezes, não (13 000 000)?

b) Pesquise a população atual da sua cidade e do seu estado.

10 Escreva os números por extenso.

a) 0,6

b) 2,58

Resposta no Manual do Professor. Resposta pessoal.

a) A representação que utiliza número associado à palavra, como 21,9 milhões, facilita a escrita e a leitura, pela quantidade de algarismos que seriam necessários para representá-lo: 21 900 000; por isso, essa forma mista é muito utilizada em textos e matérias jornalísticas.

b) Peça aos estudantes que comparem os dados obtidos e a fonte de informação.

Verifique se os estudantes dominam a escrita por extenso dos números apresentados na atividade 10

Seis décimos.

c) 15,025

Quinze inteiros e vinte e cinco milésimos.

Dois inteiros e cinquenta e oito centésimos. Quarenta e oito milésimos.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA01

A atividade 8 trata do número de infectados pelo vírus da covid-19 em outubro de 2020. Aproveite a temática para conversar sobre a importância dos cuidados com a saúde que contribui para termos uma boa imunidade, fator importante para a prevenção de doenças. Relembre os cuidados necessários quando se atravessa uma pandemia, e enalteça o papel da ciência nessas situações. Pergunte aos estudantes em que data esta informação foi veiculada e qual meio de informação a divulgou.

d) 0,048

É um momento delicado para alguns estudantes que possam ter perdido entes queridos durante a onda pandêmica, logo, é importante ter cautela no momento da conversa e muito mais empatia. Essa discussão favorece o desenvolvimento das competências gerais 8 e 9, ao abordar cuidado com a saúde e sensibilidade com o próximo.

No item b, converse com os estudantes sobre a importância de usar fontes confiáveis de pesquisa, e se possível, amplie para a verificação de infectados e vacinados na sua região.

No item c, peça aos estudantes que compartilhem com os colegas as precauções que tomaram. Devem surgir respostas como: usar de máscara, lavar constantemente as mãos, usar

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA01 e EF06MA08

Você pode usar as atividades 11, 12 e 13 para verificar se os estudantes estabelecem relações e passam corretamente da representação decimal para a fracionária; se identificam o valor posicional dos algarismos que compõem o número dado e se localizam os números na reta numérica. Resolução da atividade 14

a) 9 5 18 10 1,8 ==

5 2 25 10 2,5 ==

14 4 7 2 35 10 3,5 == =

b) A distância entre as unidades está dividida em 10 partes iguais, ou seja, cada parte é igual 0,1 m. Verifique se os estudantes conseguiram localizar corretamente as medidas obtidas no item anterior. Aproveite a temática dessa atividade e abra espaço para os estudantes expressarem suas opiniões sobre a grafitagem. Mencione que o grafite é um tipo de manifestação artística iniciada em Nova Iorque na década de 1970. O objetivo dos artistas da área, também chamados de grafiteiros, é fazer críticas sociais em lugares de grande visibilidade; por esse motivo, encontramos algumas dessas artes estampadas em lugares públicos. Deixe clara a diferença entre grafitagem e pichação, pois esta última se caracteriza como vandalismo, ato proibido. Esta atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 3 Se possível, amplie a atividade com o professor de Arte e explore essa manifestação artística com os estudantes, o que pode contribuir para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal: Diversidade cultural

11 Represente cada número abaixo na forma de fração decimal. a) 0,7 b) 0,028 c) 5,32 d) 0,02

12 Considere o número 28,934. Nele, qual é o valor posicional do algarismo: a) 8? b) 3? c) 4?

13 Que números, na forma decimal, correspondem aos pontos A, B, C, D e E de cada reta numérica a seguir? a) b)

14 O grafite é uma arte urbana conhecida pelos modos de expressão, produção de sentidos e de significados sociais geralmente localizados em ambientes públicos de grande visibilidade, mas que atualmente tem sido tendência de decorações residenciais. No mercado brasileiro, comparando os meses de dezembro de 2020 e novembro de 2021, houve um aumento de 36,76% nas contratações formais de profissionais grafiteiros.

Fonte: RINK, Anita; METTRAU, Marsyl Bulkool. Grafitagem: resistência e criação. Revista Tamoios, [s.

Ana Clara é uma grafiteira conhecida por sua arte em ambientes geométricos não convencionais. Um cliente pediu a ela que pintasse uma parede da sala de estar que tem o formato de um trapézio e as seguintes medidas:

a) Escreva essas medidas na forma decimal.

b) Reproduza a reta numérica no caderno e marque a localização dessas medidas.

l.], v. 6, n. 1, p. 76-91, jul. 2010. Disponível em: https://www.e-publicacoes.uerj.br/index.php/tamoios/article/view/1171/3034. Acesso em: 2 maio 2022.

Artista grafitando um muro. Nova York, Estados Unidos, 2021.

15 No caderno, escreva as medidas indicadas na régua pelas letras A, B e C na forma decimal e, em seguida, represente-as na forma fracionária.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA01 e EF06MA08

Na atividade 15, sugira aos estudantes que usem a régua e reproduzam no caderno uma reta numérica com as medidas indicadas.

16 Faça uma pesquisa em jornais, revistas ou artigos na internet em que apareçam números decimais.

pessoais.

a) Faça um breve resumo do artigo, explique o significado dos números encontrados e apresente esse trabalho aos colegas.

b) Elabore uma pergunta utilizando esses números e dê para um colega responder enquanto responde a que ele elaborou. Ao final, verifiquem as respostas em conjunto e conversem sobre a resolução.

Ao final da atividade 16, organize os estudantes em grupo de quatro componentes e separe um momento para que troquem as informações que coletaram. Peça que façam uma síntese e depois a apresentem aos demais grupos. Sobre o item b, escolha alguns problemas para resolver coletivamente.

a) Q b) V c) X d) S Alternativa b

Qual é a sexta letra desta sequência: B, D, G, K, P, ...?

Viagem no tempo

A invenção da vírgula

Na Europa, foi o belga Simon Stevin (1548-1620) que, em 1582, deu o passo decisivo rumo a nossa notação atual, ao escrever do seguinte modo o número 679,567:

679(0) 5(1) 6(2) 7(3) (simbolizando 679 unidades inteiras, 5 “unidades decimais de primeira ordem” ou décimos, 6 “unidades decimais da segunda ordem” ou centésimos e 7 “unidades decimais da terceira ordem” ou milésimos).

Dez anos depois, o suíço Jost Bürgi (1552-1632) simplificou a notação ao eliminar a menção inútil da ordem das frações decimais consecutivas, colocando no alto das unidades simples o signo º :

67 9 56 7 oo

No mesmo ano, o italiano Giovanni Magini (1555-1617) substituiu essa bolinha por um ponto colocado entre o algarismo das unidades e o das dezenas. Foi assim que nasceu a notação usada até hoje nos países anglo-saxões:

679.567

Quanto à nossa vírgula, foi o neerlandês Wilbord Snellius (1580-1626) que a inventou, no início do século XVII:

679,567

As consequências dessa racionalização da noção e da representação das frações foram incalculáveis em todos os domínios, a começar pela invenção do sistema métrico.

IFRAH, Georges. Os números: história de uma grande invenção. 10. ed. São Paulo: Globo, 2004. p. 328. Agora, escreva o número 7,256 usando as notações de Stevin, Bürgi e Magini.

Resolução de Lógico, é lógica! É importante observar que o intervalo entre as letras aumenta em 1 posição a cada novo elemento: D é a segunda letra depois de B; G é a terceira letra depois de D; depois de G, mais 4 letras vem K, e depois de mais 5 letras vem P. Portanto, após mais 6 letras vem V Alternativa b Essa atividade favorece do desenvolvimento da competência geral 2 Leia com os estudantes o texto de Viagem no tempo e trabalhe os três tipos de registro para que eles verifiquem as similaridades e diferenças em relação a nosso sistema de numeração atual. É importante entender que o registro numérico evoluiu ao longo do tempo e que o estudo da história da Matemática nos auxilia na compreensão desse avanço, favorecendo, assim, o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1. Para ampliar, você pode propor aos estudantes que façam pesquisas sobre Simon Stevin, Joost Bürgi e Giovanni Antonio Magini para que eles conheçam um pouco mais seus feitos. No caso de Stevin, por exemplo, há muito o que descobrir seus famosos estudos no campo da hidrostática (que serão vistos no Ensino Médio), além de sua expertise como estrategista de guerra de Maurício de Nassau, comandante da invasão holandesa no Brasil (apesar de Stevin ter falecido um pouco antes de os holandeses invadirem o país).

Stevin: 7(0) 2(1) 5(2) 6(3)Bürgi: 7  256 oo Magini: 7.256

Objetivos do capítulo

• Efetuar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais na representação decimal.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo adição, subtração, multiplicação e divisão de números racionais na representação decimal.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 8 e 9

Competências específicas 2 e 5

Habilidades EF06MA06, EF06MA10, EF06MA11 e EF06MA04

Foco nos TCTs

• Processo de envelhecimento, respeito e valorização do idoso

Orientações

Nesse capítulo, as situações-problema serão o foco principal para explorar as operações com números racionais na representação decimal.

A leitura de uma situação-problema precisa ser explorada para que os estudantes consigam identificar as informações relevantes à resolução. Assim, é importante que sejam criadas oportunidades para a leitura e interpretação dos enunciados propostos. Resolução de Para começar

• 3,50 + 2,50 = 6,00 4 R$ 6,00

• 2 . 6,00 = 12,00 4 R$ 12,00

Deixe os estudantes livres para resolverem o problema e responder às questões propostas usando recursos próprios. Verifique as estratégias, representações e raciocínio utilizado por eles. Se possível, peça que compartilhem com os colegas o processo de resolução que fizeram.

Na situação proposta, inicie uma conversa sobre as informações do enunciado e siga com eles o passo a passo para a resolução do problema: Na primeira resolução as quantidades do quadro que estão representadas com números decimais, são transformadas em números fracionários. Para a segunda resolução observe o entendimento dos estudantes quanto à organização: decimais embaixo de decimais, vírgula embaixo de vírgula e inteiros embaixo de inteiros. O desenvolvimento desse conteúdo favorece o desenvolvimento das habilidades EF06MA10 e EF06MA11

Operações com números racionais na forma decimal

Renato possui R$ 3,50, e Vitor, R$ 2,50.

• Quantos reais eles possuem juntos?

• Fernando tem o dobro da quantia de Renato e Vitor juntos. Quantos reais ele tem?

R$ 6,00. R$ 12,00.

Adição e subtração

Acompanhe a situação a seguir.

• O quadro mostra as compras de queijo que Renata fez para sua lanchonete.

Que quantidade de queijo Renata comprou, em quilogramas?

Para saber a quantidade de queijo que Renata comprou, adicionamos as quantidades: 3,8 + 2,54

Escrevendo esses números na forma de fração, temos:

+= + 3,82,54

38 10 254 100

Utilizando frações equivalentes, obtemos: 380 100 254 100 380254 100 634 100 6,34 += + ==

Ou podemos usar o algoritmo usual da adição, alinhando pela vírgula os números na forma decimal: inteiros embaixo de inteiros, décimos embaixo de décimos e centésimos embaixo de centésimos.

1 3,80 parcela +2,54 parcela 6,34 total

Observe que 8 décimos mais 5 décimos são 13 décimos. Como 10 décimos formam uma unidade, fazemos a troca. Assim, 13 décimos é igual a 1 unidade mais 3 décimos.

Portanto, Renata comprou 6,34 quilogramas de queijo.

Apresente outros problemas que favoreçam a resolução de forma fracionária e decimal e faça a correção coletiva na lousa, sanando possíveis dúvidas.

Para aprofundar

O artigo a seguir, apresenta a Educação Financeira como contexto para o trabalho com números racionais.

• RIBEIRO, Rodrigo Marialva. Educação financeira como contexto para o ensino de números decimais no Ensino Funda-

mental. 2018. Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado do Amazonas, Parintins, 2018. Disponível em: http://repositorioinstitucio nal.uea.edu.br/bitstream/riuea/1424/1/Educa%C3%A7% C3%A3o%20financeira%20como%20contexto%20 para%20o%20ensino%20de%20n%C3%BAmeros%20 decimais%20no%20ensino%20fundamental..pdf. Acesso em: 22 jun. 2022.

E quantos quilogramas de queijo prato ela comprou a mais que de parmesão?

Para saber quantos quilogramas de queijo prato Renata comprou a mais que de parmesão, podemos subtrair as quantidades: 3,8 - 2,54

Escrevendo esses números na forma de fração, temos:

-= - 3,82,54 38 10 254 100

Usando frações equivalentes, obtemos: 380 100 254 100 380254 100 126 100 1,26 -=

Ou podemos usar o algoritmo usual da subtração, alinhando pela vírgula os números na forma decimal: inteiros embaixo de inteiros, décimos embaixo de décimos e centésimos embaixo de centésimos. Completamos com zeros até que os números fiquem com a mesma quantidade de casas decimais.

3,80 minuendo -2,54 subtraendo

1,26 diferença

Observe que trocamos 1 décimo por 10 centésimos. Assim, dos 8 décimos que tínhamos, restaram 7.

Portanto, Renata comprou 1,26 quilograma a mais de queijo prato.

Em síntese, estas são as etapas para adicionar ou subtrair números na forma decimal:

• colocar um número embaixo do outro, com vírgula sob vírgula;

• completar com zeros se houver casas “vazias” à direita da vírgula;

• adicionar ou subtrair os números em cada ordem mantendo a vírgula na mesma posição.

Atividades

1 Veja os itens que estão em oferta em uma loja de brinquedos.

Qual forma você considera mais simples para efetuar a adição da página anterior: a forma fracionária ou a forma decimal?

Resposta pessoal.

Orientações

O conteúdo dessa página contempla a habilidade EF06MA11

Em Pense e responda, incentive os estudantes a apresentar suas opiniões a respeito das estratégias utilizadas e peça que justifiquem suas respostas.

Acompanhe com eles o passo a passo de cada resolução. Leve-os a observar a operação de subtração e a ordem ocupada pelos algarismos na parte inteira e decimal.

Apresente outros problemas que envolvam a resolução por meio da subtração e faça a correção coletiva na lousa, esclarecendo possíveis dúvidas.

A seção Atividades tem início com a resolução de problema envolvendo o sistema monetário. Promova uma conversa sobre a resolução de cada item e observe as diversas estratégias de resolução apresentadas, assim como a socialização das respostas.

Resolução da atividade 1

a) 28,90 + 6,90 + 7,90 = 43,70; R$ 43,70

b) 50,00 - 43,70 = 6,30; R$ 6,30

c) Gilson teria gastado: 37,90 + + 1 1,90 + 13,90 = 63,70;

R $ 63,70. Ele economizou: 63,70 - 43,70 = 20,00; R$ 20,00.

a) Gílson comprou um presente de cada tipo para seus três sobrinhos. Quanto ele gastou?

b) Qual foi o troco que ele recebeu ao pagar com uma nota de R$ 50,00?

c) Quanto Gílson teria gastado se tivesse comprado os brinquedos fora da promoção? Quanto ele economizou? R$ 63,70; R$ 20,00.

Imagens fora de proporção.

Orientações

As atividades desta página contemplam a habilidade EF06MA11

Resolução da atividade 2

a) 10,60 + 10,50 + 9,30 = 30,40 4

4 R$ 30,40

b) 9,30 + 7,00 + 8,70 + 8,70 +

+ 8,30 + 8,30 = 50,30 4 R$ 50,30

c) 10,60 + 10,50 + 9,30 + 7,00 +

8,70 = 46,10

2 . 46,10 = 92,20 4 R$ 92,20

Converse com os estudantes sobre pedágios; explique mais sobre do que se trata e pergunte se já passaram por alguma situação em que os familiares tiveram de pagar pedágio. Geralmente acontece quando viajamos. Sugira aos estudantes que pesquisem se, no estado em que se situa a escola, há rodovias que cobram esse tipo de tarifa. Amplie a atividade, orientando para que cada dupla elabore um problema com dados da tabela. Para finalizar, selecione algumas duplas para que leiam o problema elaborado e realizem os cálculos na lousa. Resolução da atividade 3 Veja a seguir uma possibilidade.

DAE

2 A cobrança de pedágio é a principal fonte de recursos para fazer frente às despesas da concessionária em obras, conservação, prestação de serviços e tributos. Os reajustes previstos são anuais, seguem índices oficiais e são regulamentados pelo Estado, representado pela Artesp – Agência de Transporte do Estado de São Paulo, conforme contrato de concessão.

A tabela a seguir mostra onde se localizam os pedágios da rodovia Anhanguera, trecho São Paulo – Minas Gerais, e os valores cobrados a partir de 1? de julho de 2021.

SP-330 ROD. ANHANGUERA

TRECHO: SÃO PAULO/ MINAS GERAIS (TRIÂNGULO MINEIRO)

Calcular 14,8 - 4 - 8,3, obtendo o resultado 2,5 km

Fonte: PEDÁGIOS [...]. In: SP SEM SEGREDOS. São Paulo, [2021]. Disponível em: https://www.emsampa.com.br/pedagios/sp330.htm. Acesso em: 2 maio 2022.

A partir da análise dos dados da tabela, responda:

a) Em julho de 2021, quanto gastaria de pedágio um motorista que saísse da capital e percorresse 130 km da rodovia Anhanguera? R$ 30,40.

b) Quanto gastaria de pedágio um motorista que saísse do km 100 da rodovia e se locomovesse até o km 300 da mesma rodovia? R$ 50,30.

c) Quanto gastaria de pedágio um motorista que saísse do km 10 da rodovia, caso se locomovesse até o km 200 e voltasse pela mesma rodovia? Suponha que haja cobrança de pedágio nos dois sentidos. R$ 92,20.

3 A imagem representa a distância entre alguns estabelecimentos comerciais localizados em uma mesma estrada:

posto de combustível restaurante pedágio 8,3 km 4 km

14,8 km

4 Observe um algoritmo para calcular 3,582 + 4,157 usando uma calculadora.

1? passo: Aperte as teclas 3 . 5 8 2

2? passo: Aperte a tecla +

3? passo: Aperte as teclas 4 . 1 5 7

4? passo: Aperte a tecla =

5? passo: Anote o número obtido.

a) Execute esse algoritmo para calcular 3,582 + 4,157 e dê o resultado.

b) Elabore um algoritmo para calcular 5,43 - 2,97.

c) Efetue estas operações usando a calculadora.

5,3 + 8,92 18,125 + 5,694,602 + 16,398

9,65 - 6,72 27,008 - 19,548,6 - 13,9 - 5,7

5 Escreva todos os termos de cada sequência completando-a com os números que faltam.

a)

b)

6 Amplitude térmica é a diferença entre a temperatura máxima e a temperatura mínima registradas em um mesmo lugar durante certo intervalo de tempo. Ela pode ser calculada, por exemplo, em um intervalo diário, mensal, anual etc.

Orientações

As atividades dessa página contemplam a habilidade EF06MA11

Resolução da atividade 4

a) Digitando adicionando os valores, conforme o passo a passo na calculadora, o resultado será 7,739.

b) Exemplo de resposta:

1? passo: Digite as teclas

5 4 3 .

2? passo: Digite a tecla

3? passo: Digite as teclas

2 9 7 .

4? passo: Digite a tecla =

5? passo: Escreva o número obtido. Resposta: 2,46.

No item c, verifique se os estudantes estão usando corretamente a calculadora e se chegaram aos resultados corretos. Peça que confiram entre eles os resultados obtidos em cada item e, em caso de divergência, peça que refaçam os cálculos e cheguem a um consenso sobre qual é a resposta correta. Depois, faça correção coletiva na lousa.

Resolução da atividade 5

Calcule a amplitude térmica registrada em 1? de maio de 2021 em cada um desses bairros.

7 No cupom fiscal mostrado na figura ao lado, um preço ficou apagado. Qual era o preço do sabão em pó? R$ 3,80.

a) Padrão da sequência: adicionar 0,2. Assim, os termos a serem preenchidos são: 5,0; 5,2; 5,4; 5,6; 5,8; 6,0; 6,2.

b) Padrão da sequência: subtrair 1,5. Assim, os termos a serem preenchidos são: 10,8; 9,3; 6,3; 4,8; 3,3.

Resolução da atividade 6

Morro de Fátima:

20,3 – 3,9 = 16,4 4 16,4 ‘C.

Pedra Azul:

22 – 5,9 = 16,1 4 16,1 ‘C.

Serra Verde:

18,6 – 5,2 = 13,4 4 13,4 ‘C.

Resolução da atividade 7

24,95 + 4,80 + 0,95 + 5, 20 = = 35,90

39,70 - 35,90 = 3,80 4 R$ 3,80.

Ressalte a importância de guardarmos o cupom fiscal no momento de uma compra. É uma forma de garantia dos direitos do consumidor, caso seja necessária a troca ou a devolução de produtos defeituosos.

Fonte: Dados fictícios.

Ilustrações: DAE

Orientações

As atividades dessa página contemplam a habilidade EF06MA11

Resolução da atividade 8

3; coluna:

26,5 + 32,5 + 31,5 + 29,5 = 120

1; linha:

120 – 25,5 – 26,5 – 37,5 = 30,5

4; linha:

120 – 33,5 – 29,5 – 34,5 = 22,5

1; coluna:

120 – 25,5 – 35,5 – 22,5 = 36,5

Diagonal secundária:

120 – 37,5 – 32,5 – 22,5 = 27,5

Diagonal principal:

120 – 25,5 – 31,5 – 34,5 = 28,5

2; linha:

120 – 35,5 – 28,5 – 32,5 = 23,5

3; linha:

120 – 36,5 – 27,5 – 31,5 = 24,5

Caso os estudantes tenham dificuldade em utilizar números decimais no quadrado mágico, prepare-os usando exemplos mais simples com números naturais, ou até mesmo de menor dimensão.

O conteúdo de Curiosidade contribui para o desenvolvimento da competência geral 8. Apresenta informação importante sobre a distância adequada que se deve manter entre a TV e o sofá para que não haja problemas oculares. Se houver oportunidade, peça aos estudantes que realizem essas medidas em suas próprias residências e compartilhem com a turma durante a aula. Você pode ampliar propondo uma discussão sobre os risco de assistir televisão a uma distância menor que a mínima recomendada, contribuindo para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal: Saúde

8 Descubra os números que faltam no quadrado mágico a seguir.

Em um quadrado mágico, a soma dos números das linhas, das colunas e das diagonais é sempre a mesma. Esse resultado é chamado soma mágica

Curiosidade

Como escolher a distância ideal da TV em relação ao sofá

Para assistir à televisão, existem distâncias adequadas entre o telespectador e o aparelho. Ao sentar-se perto ou muito longe da televisão, o telespectador poderá apresentar fadiga ou cansaço ocular e, por consequência, sentir dores de cabeça. Veja abaixo as distâncias adequadas para a posição do telespectador, sentado no sofá, em relação à televisão com diferentes tamanhos de tela.

adequada entre o sofá e a TV

Fonte: COMO escolher a distância ideal da TV em relação ao sofá. In: ERGOTRÍADE. São Paulo, 28 jul. 2016. Disponível em: https://www.ergotriade.com.br/single-post/2016/07/28/Como-escolher-a-distância-ideal-da-TV-em-relação-ao-sofá. Acesso em: 2 maio 2022.

Multiplicação

Acompanhe as situações a seguir.

• A costureira Dalva está calculando a quantidade de tecido que precisa usar nos vestidos que vai fazer. Para cada vestido, ela usa 2,75 metros de tecido. Quantos metros ela vai usar para costurar três vestidos?

Orientações

O conteúdo dessa página contempla a habilidades EF06MA06 e EF06MA11

Inicie uma conversa sobre as informações do enunciado e da situação apresentada siga com os estudantes o passo a passo para a resolução, por meio da aição de parcelas iguais e da multiplicação.

Escreva alguns exemplos na lousa e peça aos estudantes que encontrem os resultados. Nesse momento, deixe-os livres para desenvolver estratégias de resolução.

Em Pense e responda, para resolver a questão proposta os estudantes devem fazer a multiplicação:

Quantos metros de tecido ela gasta para fazer quatro vestidos? 11 m

Se para cada vestido Dalva usa 2,75 m de tecido, para descobrir a quantidade necessária para fazer 3 vestidos podemos recorrer à adição de parcelas iguais:

2,75 + 2,75 + 2,75 = 8,25

Também podemos usar o algoritmo usual da multiplicação.

2,75 2 (duas) casas decimais

* 3 0 (zero) casa decimal

8,25 2 (duas) casas decimais

Portanto, Dalva vai usar 8,25 metros de tecido para fazer três vestidos.

• Um carro anda, em média, 8,45 quilômetros com 1 litro de gasolina. Quantos quilômetros esse carro poderá percorrer com 2,7 litros de gasolina?

Para saber quantos quilômetros o carro poderá percorrer, devemos calcular

2,7 8,45

Usando o algoritmo usual da multiplicação, temos:

2,75 4 = 11

Caso alguns deles resolvam o problema usando adições, use a proposta indicada para calcular quantos metros de tecido Dalva gasta para produzir 3 vestidos. Discuta com a turma as vantagens de trabalhar com multiplicações quando há várias parcelas para somar.

Escreva mais exemplos na lousa para trabalhar a operação estudada. É importante verificar se os estudantes compreenderam o que é apresentado no livro, principalmente no momento de posicionar a vírgula nos resultados obtidos. Esse cuidado é particularmente importante ao multiplicar decimais por decimais, como na segunda situação apresentada.

Costureira medindo as costas de um vestido.

Orientações

As atividades dessa página contemplam a habilidade EF06MA11

A atividade 6 favorece o desenvolvimento da competência específica 2

Resolução da atividade 1

a) 2 4,0 + 2 6,5 - 2 0,9 = 19,2

19,2 + 2 = 21,2 4 21,2 m

b) 21,2 8,50 = 180,20 4 R$ 180,20

Resolução da atividade 2

4 8, 16

* 6 28 8, 96

Portanto, o valor total da impressora é R$ 288,96.

Você pose usar essa atividade como base para pensar em outras atividades similares com o auxílio da calculadora. Os estudantes devem compreender que, apesar de a calculadora fazer os cálculos com agilidade, se não soubermos identificar as informações e as operações necessárias, não seremos capazes de resolver um problema, mesmo com a calculadora em mãos.

As atividades 3 e 4 têm como objetivo reforçar a habilidade de cálculo com decimais usando a calculadora.

Resolução da atividade 5

a) 0,5 0,5 = 0,25

b) 4,5 . 4,5 = 20,25

c) 4,2 . 4,2 . 4,2 = 74,088

d) 8,3 . 8,3 . 8,3 = 571,787

Essa atividade aborda potenciação com decimais; relembre esse cálculo caso os estudantes apresentarem dificuldades na resolução. Você pode revisar o assunto aplicando potência a um número natural.

Resolução da atividade 6

Veja as sugestões a seguir. Há outras possibilidades.

a) (1 + 0,3) . 2 = 1 . 2 + 0,3 . 2 =

= 2 + 0,6 = 2,6

b) (2 + 0,25) 2 = 2 2 + 0,25 2 =

= 4 + 0,50 = 4,5

c) 4 (6 + 0,5) = 4 6 + + 4 0,5 = 24 + 2 = 26

Para resolver o tipo de problema proposto na atividade 7 , é necessário fazer as operações inversas, começando pelo final do t exto. Se dividi um número por 20 e obtive 1,5, o número era 1,5 . 20 = 30. O próximo passo é subtrair 15 e depois dividir por 10; então, 30 - 15 = 15 e 15 : 10 = 1,5. O número pensado é 1,5. Se achar conveniente, peça aos estudantes que representem o esquema dessa atividade usando um fluxograma.

Atividades

1 Alexandre está construindo sua casa. Para ficar pronta, só falta colocar o rodapé contornando toda a sala, representada a seguir.

4 Para efetuar 7 5,64, ligamos a calculadora e apertamos as teclas:

Efetue as operações usando uma calculadora.

.

5 Observe os exemplos de como calcular uma potência de base decimal. • (0,4)2 = 0,4 0,4 = 0,16

= 2,4 . 2,4 . 2,4 . 2,4 =

=

a) Sabendo que é necessário ter pelo menos 2 metros a mais de rodapé para fazer as emendas, que comprimento total de rodapé Alexandre deverá comprar? 21,2 m

b) Alexandre fez uma pesquisa de preços e o mais barato que encontrou foi de R$ 8,50 o metro. Quanto ele irá gastar para aplicar o rodapé em toda a sala? R$ 180,20.

2 Qual é o valor total desta impressora? R$ 288,96.

=

Calcule o valor de cada potência.

6 Veja como Carla efetua mentalmente a multiplicação 2,5 3:

= 7,5

Agora, fazendo cálculo mental, efetue cada multiplicação.

a) 1,3 2

b) 2,25 . 2

c) 4 6,5

7 Pensei em um número. Multipliquei-o por 10, adicionei 15 unidades ao produto obtido e dividi o resultado por 20, obtendo 1,5. Em que número pensei? 1,5

8 Substitua cada * pelo algarismo adequado. 2, 35 *

3 Douglas utilizou 2,75 L de tinta para pintar a sala de sua casa. Sabendo que o restante da casa equivale a seis vezes a medida da área pintada da sala, quantos litros ele precisará para pintar a parte restante da casa? 16,5 L

Resolução da atividade 8

Para descobrir qual é o fator da segunda ordem decimal, basta dividir 1 645 por 235, obtendo 7. Para o fator da primeira ordem decimal, basta dividir 940 por 235, obtendo 4. Depois, é só realizar a multiplicaçao, como segue: 2, 35

* 0, 47 1645

+ 9400 1, 1045

9. Borracha: 6,30; fichário: 208,00; CD: 450,00; grampeador: 32,06. Total: 717,61.

9 Luciana deixou cair tinta no pedido de reposição de material do escritório que ela acabou de preencher. Vejam o quadro a seguir e descubram os valores que estão faltando.

Nessa fazenda, a área destinada a esse plantio conta com 41 filas de parreiras, cada uma com 24 árvores.

Se uma árvore em média produz 15 caixas de uvas, e a caixa de uvas é vendida por Zr$ 3,25 (unidade monetária local: zorkits), quanto o agricultor receberá por essa colheita?

Orientações

As atividades dessa página contemplam a habilidade EF06MA11, ao trabalhar as quatro operações com números racionais na forma decimal.

da atividade 9

500CD0,90

7grampeador4,58

10 (OMERJ) Na grande fazenda de Zikot no planeta Zork, encontramos grandes áreas de plantação de parreiras para produção de vinho, onde os zorkianos cultivam uvas.

11 Você sabe como se determinam os números dos calçados no Brasil? A fórmula matemática para descobrir o número do calçado é: 528 4 x + , em que x é o comprimento do calçado em centímetros.

Fonte: COMO calcular o número do calçado. Correio dos Açores Lisboa, 4 jul. 2019. Disponível em: http://correiodosacores.pt/ NewsDetail/ArtMID/383/ArticleID/15146/Como-calcular-o -n250mero-do-cal231ado. Acesso em: 2 maio 2022.

Substitua o x da fórmula pela medida do comprimento do seu pé e efetue os cálculos.

Zr$ 47.970,00. Respostas pessoais.

a) O resultado se aproxima do número que você calça?

b) Verifique com os colegas se os resultados deles coincidem.

Divisão de números naturais com quociente decimal

Acompanhe as situações a seguir.

• Um fio de 34 metros de comprimento foi cortado em 5 partes iguais. Qual é o comprimento de cada parte? Para

Podemos dar continuidade à divisão transformando as 4 unidades que restaram em 40 décimos e colocando uma vírgula no quociente para separar a parte inteira da parte decimal.

Quando o resto de uma divisão é zero, o quociente obtido, na forma decimal, tem um número finito de casas decimais.

34 metros : 5 = 6,8 metros

dividendo divisor quociente

32 6,50 = 208,00 4 R$ 208,00

CD:

500 . 0,90 = 450,00 4 R$ 450,00

Grampeador: 7 . 4,58 = 32,06 4 R$ 32,06

Total:

21,25 + 6,30 + 208,00 + 450,00 + 32,06 = 717,61 4 R$ 717,61

Resolução da atividade 10

41 24 = 984

Quantidade de caixas de uva:

984 . 15 = 14 760

14 760 . 3,25 = 47 970 4 4 Zr$ 47.970,00

As respostas da atividade 11 são pessoais. Verifique se os estudantes calcularam corretamente e se o resultado confere com o número do calçado que usam.

No tópico “Divisão de números naturais com quociente decimal”, discuta outras situações que necessitem de divisões usando números racionais na representação decimal. Verifique o conhecimento prévio dos estudantes sobre divisão com números inteiros. Oriente-os para que observem procedimento adotado para a continuidade da divisão.

Proponha outras divisões, para que os estudantes as realizem na lousa, por exemplo:

• 73 : 4 = 18,25

• 87 : 6 = 14,5

Carretel de fio.

Orientações

O conteúdo trabalhado nesta página favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA11, ao trabalhar as quatro operações com números racionais na forma decimal.

A atividade proposta em Pense e responda trabalha a divisão não exata e também a ideia de aproximação. Incentive os estudantes a estimar respostas para divisões similares a essa antes de avançar para a discussão sobre dízima periódica. Quanto mais for trabalhado o algoritmo da divisão de maneira significativa, aliado a uma boa estimativa, melhores serão os resultados na aprendizagem e maiores os acertos na resolução das divisões. Siga a resolução com os estudantes e apresente outras divisões envolvendo dízimas periódicas para que sejam realizadas na lousa com a participação deles:

• 77 : 3 = 25,666...

• 37 : 3 = 12,333...

Estime qual é o quociente de 50 : 9.

Exemplos de estimativa: 5,5 ou 5,6.

Portanto, cada parte do fio tem 6,8 metros de comprimento. Note que o quociente está expresso na mesma unidade de medida do dividendo.

Agora vamos analisar uma situação em que um fio com 14 metros de comprimento deve ser cortado em 9 partes iguais. Qual será o comprimento de cada parte?

Nesse caso, vamos efetuar 14 : 9

5 unidades equivalem a 50 décimos

14 9

9 1, 55 5... 5 0 Udcm

5 décimos equivalem a 50 centésimos

5 centésimos equivalem a 50 milésimos

Se continuarmos essa divisão, o resto dela nunca será zero e o algarismo 5 vai se repetir infinitamente na parte decimal do quociente. Então:

14 9 14 9 1,555... := =

Dizemos que 1,555... é uma dízima periódica. Além disso, podemos definir que:

• O algarismo 5, que se repete após a vírgula, chama-se período da dízima

• A fração 14 9 , chama-se geratriz da dízima.

Também é possível indicar uma dízima periódica colocando um traço sobre o algarismo que representa o período. Nesse caso:

1,555 ou 1,5

período

O período de uma dízima também pode ter dois ou mais algarismos.

Por exemplo: 144 99 1, 454545... =

O período dessa dízima é 45 e podemos indicá-la assim: 1, 45

Na prática, usamos aproximações para as dízimas periódicas. Portanto, nessa situação, cada parte do fio teria 1,555... metro de comprimento, ou seja, aproximadamente 1,6 metro.

Resolução da atividade 4

275 : 3 = 91,666...

Aproximando para o centésimo

1 Uma escola recebeu 258 quilogramas de feijão e os distribuiu igualmente em 40 embalagens. Quantos quilogramas de feijão foram colocados em cada embalagem?

6,45 kg

6 Marco comprou 12 caixas de suco de caju por R$ 90,00. Quanto custou cada caixa? R$ 7,50.

mais próximo temos: 91,67 4 4 91,67 km

Resolução da atividade 5

Na atividade 5, incentive os estudantes a utilizar estratégias diversas para efetuar as divisões; se achar pertinente, peça que calculem usando a calculadora. Verifique se compreenderam o que é período da dizima e se o identificam corretamente.

Resolução da atividade 6

90,00 : 12 = 7,50 4 R$ 7,50

Resolução da atividade 7

a) De 22h até 7h30 decorreram 9h30, o que corresponde a 9,5 horas.

2 Determine o resultado de cada divisão. Use uma calculadora para conferir.

a) 158 : 8

b) 56 : 6

Atividades 9,3 12,416

c) 149 : 12

d) 1 : 8

b) 5% de 120 000 habitan tes: 0,05 120 000 = 6 000 4 6 000 habitantes

7 Dormir bem é importante para a saúde e garante bom desempenho na escola. Por isso, nada de trocar o sono por horas em frente ao computador. Além disso, procure ter horário para dormir e para acordar.

3 A lousa de uma sala de aula tem 7 metros de comprimento e é dividida em 3 partes. O comprimento da parte do meio é 4 metros. As outras duas partes têm o mesmo comprimento. Quantos metros de comprimento tem a parte da direita? 1,5 m

4 Um carro, mantendo sempre a mesma velocidade, percorreu 275 km em 3 horas. Quantos quilômetros ele percorreu em uma hora? Arredonde o resultado para o centésimo mais próximo.

5 Calcule o quociente das seguintes divisões. Se o quociente for uma dízima periódica, escreva seu período.

a) 25 : 9

b) 322 : 99

c) 164 : 99

19,75 0,125 91,67 km 2,7; período 7 3, 25 ; período 25 1, 65; período 65

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA11

Essas atividades visam ao desenvolvimento das operações com decimais. É importante que os estudantes as resolvam individualmente para perceberem quais são suas dificuldades. Se possível, peça que utilizem a calculadora para conferir os resultados obtidos, proporcionando maior autonomia.

Resolução da atividade 1

258 : 40 = 6,45 4 6,45 kg

a) Gustavo vai dormir às 22h e acorda às 7h30. Quantas horas ele dorme? Escreva esse número na forma decimal.

b) Em certa cidade, com 120 000 habitantes, 5% tem apneia do sono (a respiração para diversas vezes durante o sono). Calcule quantos habitantes sofrem dessa doença.

6 000 habitantes

Na atividade 2, incentive os estudantes a utilizar estratégias diversas para efetuar as divisões e, depois, conferir os resultados com o uso da calculadora. Resolução da atividade 3 7 - 4 = 3 3 : 2 = 1,5 4 1,5 m

a) Gustavo dorme 9h30min. Na forma decimal, escrevemos 9,5h.

Dariia Pavlova/ Shutterstock.com

Feijão à granel. Criança dormindo.

Orientações

A conceituação trabalhada nesta página favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA11

O uso da calculadora contempla a competência específica 5 Apesar da agilidade que ganhamos no cálculo, é importante os estudantes compreenderem o que acontece quando números racionais, na representação decimal, são multiplicados por 10, por 100 ou por 1 000, quando a vírgula se desloca para a direita. No primeiro Pense e responda, discuta com eles a atividade proposta e peça que respondam coletivamente às questões. Veja as respostas a seguir.

1. Os algarismos permanecem os mesmos, mas a vírgula foi deslocada para a direita.

2. A vírgula foi deslocada uma casa ao multiplicar por 10, duas casas ao multiplicar por 100 e três casas ao multiplicar por 1 000.

3. Sugestão de resposta: mover a vírgula para a direita o número de casas correspondente ao expoente da potência ou à quantidade de zeros.

Na questão 4, peça aos estudantes que compartilhem com os colegas o raciocínio usado para chegar à conclusão.

5. 14 700

Veja que algo semelhante ocorre na divisão: mesmo sendo um processo inverso, em que a vírgula se desloca para a esquerda, ele se tornará automático. Discuta com os estudantes quais estratégias eles utilizaram para tornar o processo o mais significativo possível. Em seguida, apresente as questões propostas no segundo Pense e responda, que podem ser respondidas coletivamente após a realização dos cálculos. Veja a seguir.

2. Os algarismos permaneceram os mesmos e a vírgula foi deslocada para a esquerda.

3. A vírgula foi deslocada uma casa ao dividir por 10, duas casas ao dividir por 100 e três casas ao dividir por 1 000.

4. Sugestão de resposta: mover a vírgula para a esquerda o número de casas correspondente ao expoente da potência ou à quantidade de zeros.

5. Na questão 5, peça aos estudantes que compartilhem com os colegas o raciocínio usado para chegar à conclusão.

6. 0,0025

Multiplicação e divisão de um número na forma decimal por uma potência de 10

Veja como podemos efetuar as operações a seguir usando a calculadora.

• 2,48 . 10 2 8 4 0 = 1 24,8

Usando a calculadora, efetue as operações a seguir, anote no caderno os resultados e analise-os.

I. 7,25 . 10 72,5

II. 0,003 . 10 0,03

III. 31,728 100 3 172,8

Respostas no Manual do Professor.

IV. 4,92 100 492

V. 0,0005 1 000 0,5

VI. 6,2748 1 000 6 274,8

1. O que aconteceu com a vírgula de cada um desses números decimais quando eles foram multiplicados por 10, 100 e 1 000?

2. A vírgula foi deslocada para a direita de quantas casas decimais em cada caso?

3. Elabore uma regra para obter o produto de um número na forma decimal por uma potência de 10.

4. Explique como você chegou a essa conclusão.

5. Agora, sem usar a calculadora, responda: Qual é o resultado de 1,47 10 000?

• 34,5 : 100

= 0,345

1. Agora, proceda da mesma forma para efetuar as divisões a seguir.

• 735,28 : 10 73,528

• 735,28 : 100 7,3528

• 735,28 : 1 000 0,73528

Respostas no Manual do Professor.

2. O que aconteceu com a vírgula de cada um dos números decimais quando eles foram divididos por 10, 100 e 1 000?

3. A vírgula foi deslocada de quantas casas decimais em cada caso?

4. Elabore uma regra para obter o quociente de um número na forma decimal por uma potência de 10.

5. Explique como você chegou a essa conclusão.

6. Agora, sem usar a calculadora, responda: Qual é o resultado de 25 : 10 000?

1 Faça um quadro cujas colunas apresentem o resultado da multiplicação e divisão dos números 785,6; 43,21; 6,5 e 0,8 por 10, por 100 e por 1 000.

2 Veja os preços de alguns talheres em uma loja. Respostas no Manual do Professor.

Marta comprou 10 unidades de cada um desses talheres. Quanto ela gastou ao todo? R$ 137,00.

Gato & Cia. produz ração para gatos ao custo de R  12,00 o quilograma. Por quanto o pet shop deverá vender cada quilograma dessa ração para que tenha lucro de 10%? R$ 13,20.

4 Reproduza cada um dos quadros a seguir e complete-os adequadamente. Resposta no Manual do Professor.

5 Uma revista publicou a quantidade de contatos feitos por seus leitores por diferentes meios de comunicação.

Qual é o percentual entre o total de contatos e os contatos feitos via:

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA11

As atividades dessa página trabalham a divisão por potências de 10. Incentive os estudantes a resolver por cálculo mental.

Resolução da atividade 1

Veja a seguir uma possibilidade.

Produtos em exposição em um pet shop

Orientações

O conteúdo trabalhado nessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA11

Em Pense e responda, verifique as estratégias usadas pelos estudantes e depois discuta o porquê de se fazer a multiplicação do dividendo e do divisor por 10. A compreensão do procedimento é essencial. Ao multiplicar o dividendo e o divisor por 10, obtém-se 52 : 20 = 2,6. 52 20 - 42 2,6 120 - 120

Divisão de números na forma decimal

Acompanhe a situação.

• Mauro está fazendo uma estante com 3 prateleiras de mesmo comprimento. Para fazer essas prateleiras, ele tem uma tábua de 4,8 metros de comprimento e deseja aproveitá-la totalmente. Qual deve ser o comprimento de cada prateleira?

Para determinar o comprimento de cada prateleira, podemos efetuar a divisão 4,8 : 3

Já estudamos como fazer divisões envolvendo números naturais, porém, aqui, o número 4,8 é decimal. Então, vamos transformar esse número decimal em natural. Para isso, multiplicamos o dividendo e o divisor por 10, já que isso não altera o quociente.

4, 83 4,8 3 4, 810 310 48 30 := = . =

Agora, efetuamos a divisão de 48 por 30, que são números naturais. DUd 48 30 - 30 1,6

18 0 Ud - 180 0

Note que o quociente (1,6) tem a mesma unidade de medida do dividendo original (4,8).

4,8 m : 3 = 1,6 m

dividendo divisor quociente

Portanto, cada prateleira deve medir 1,6 metro de comprimento.

Atividades

1 Giovana registra diariamente o quanto recebe de seus pais para comprar lanche na escola e o quanto gasta por dia.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA11

Ao realizar as atividades, espera-se que os estudantes sistematizem e solidifiquem os conhecimentos adquiridos no decorrer do capítulo. Se necessário, retome alguns conceitos e faça a correção coletiva.

Resolução da atividade 1

Valor recebido:

É importante anotar e controlar o que recebemos e como gastamos nosso dinheiro.

Durante a semana, ela organizou todas as movimentações no quadro a seguir.

Qual foi o saldo de Giovana ao término dessa semana?

8,30.

2 (UNIFOR-CE) Um professor da Unifor possui quatro turmas de uma determinada disciplina. Após aplicar a primeira prova, o professor fez a seguinte distribuição de notas dos alunos:

8,50 + 10,50 + 12,00 + 12,50 + + 9,00 = 52 4 R$ 52,50

Valor gasto:

7,50 + 9,80 + 8,70 + 11,30 + + 6,90 = 44,20 4 R$ 44,20 52,00 - 44,20 = 8,30 4 R$ 8,30

Resolução da atividade 2

Total de alunos:

41 + 47 + 38 + 24 = 150

Quantidade de alunos que tirou nota entre 6,1 e 8: 18 + 23 + 12 + 7 = 60

60

150 0,440%==

Alternativa b

Mais uma vez, ressalte a importância de ter uma vida financeira organizada. Pergunte aos estudantes se eles têm o hábito de guardar dinheiro ou se juntam valores para determinado fim.

Alternativa b

Qual porcentagem do total de alunos do professor daquela disciplina ficou com nota entre 6,1 e 8? a) 35% b) 40% c) 45% d) 50% e) 55%

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA11

As atividades 3 e 4 trabalham com valores monetários, contextos que devem ser do cotidiano da maioria dos estudantes. Se possível, faça a resolução coletiva na lousa e aproveite para esclarecer eventuais dúvidas.

Resolução da atividade 3

Valor pago:

2,80 + 20 . 1,10 + 30 . 0,20 = 2,80 +

+ 22 + 6 = 30,80 4 R$ 30,80

Alternativa c

Resolução da atividade 4

1,4 2,90 + 3 3,95 + 3,5 0,88 = = 4,06 + 11,85 + 3,08 = 18,99

20,00 - 18,99 = 1,01 4 R$ 1,01

Alternativa c

Na atividade 5 , oriente-os na construção da tabela que além das informações numéricas, deve conter título e fonte.

3 (IFMS) Uber é um serviço de transporte alternativo oferecido através de um aplicativo. Em Campo Grande o serviço teve início em setembro de 2016.

Lucas solicitou um Uber e fez uma viagem de 20 quilômetros com duração de 30 minutos. Considerando a tabela abaixo, qual o valor pago por Lucas nessa viagem? Alternativa c

Preço base (fixo)

Preço por quilômetros rodados

Preço por minuto de viagem

R$ 2,80 R$ 1,10 R$ 0,20

a) R$ 4,10.

b) R$ 28,00.

c) R$ 30,80.

d) R$ 32,80.

e) R$ 56,00.

4 (IFMS) Em um mercado, têm-se os seguintes preços:

Maçã nacional (kg)

Mamão formosa (unidade)

Laranja (kg)

R$ 2,90

R$ 3,95

R$ 0,88

João foi a esse mercado com R$ 20,00 e comprou as seguintes quantidades: 1,4 kg de maçã nacional; 3 mamões formosa; 3,5 kg de laranja. A partir dessas informações, assinale a alternativa correta.

Alternativa c

a) João conseguiu comprar todos os itens e teve troco de R$ 1,00.

b) João não conseguiu comprar todos os itens, pois faltou R$ 1,01.

c) João conseguiu comprar todos os itens e teve troco de R$ 1,01.

d) A compra de João deu exatamente R$ 20,00.

e) João não conseguiu comprar todos os itens, pois faltou R$ 1,00.

5 A comercialização de produtos é uma atividade tão antiga que está enraizada em nosso cotidiano. Alimentação, vestuário, itens de limpeza, de higiene, entre outros, são comercializados em lojas, mercados e até em grandes redes.

Existem duas categorias para a comercialização de produtos: atacado e varejo.

Há lojas especializadas em vendas no atacado, outras no varejo, e algumas comercializam tanto no atacado quanto no varejo. Dependendo da quantidade, comprar no atacado ou no varejo faz grande diferença no valor a ser pago pelo produto. Respostas pessoais.

a) Pesquise as principais diferenças entre atacado e varejo e em quais situações é mais vantajoso optar por um ou por outro.

b) Identifique em sua cidade algum estabelecimento que comercialize produtos tanto no atacado quanto no varejo. Selecione alguns produtos e escreva o preço de cada um no atacado e no varejo.

c) Construa uma tabela com os valores, no atacado e no varejo, de cada produto selecionado.

d) Verifique a quantidade mínima para que cada produto possa ser comprado no atacado e calcule a diferença caso essa mesma quantidade fosse comprada no varejo.

6 (CMT-DF) Dona Carla resolveu fazer uma comida mais brasileira e foi a um supermercado de Moscou, a capital russa. Encontrou arroz, feijão e café, um pouco diferentes dos costumeiros da terra natal, porém, como tinha um desconto por cada produto, ficou animada em experimentar. Veja os itens com o valor original de cada pacote, em reais, e o desconto dado por produto:

arroz marrom R$ 10,50

32% de desconto

café instantâneo R$ 7,40 35% de desconto

sopa de feijão R$ 8,34 50% de desconto

Fonte das imagens: https://ru.russianfooddirect.com/ food-drink/. Acesso em: 25 maio 2018.

Ela comprou 1 pacote do arroz marrom, 1 pacote do café instantâneo e 2 pacotes da sopa de feijão. Assim, o valor da compra, com o desconto, foi de:

Alternativa d

a) R$ 10,12. b) R$ 14,17. c) R$ 16,12. d) R$ 20,29. e) R$ 26,24.

7 (CMC-PR) O álbum de figurinhas de Cristiano que retrata jogadores de futebol está quase completo. Ele já preencheu 7 9 do álbum, que tem espaço para 189 figurinhas. Cada envelope vem com quatro figurinhas e custa R$ 3,50. Quanto Cristiano irá gastar para completar o álbum se a cada envelope comprado encontrar duas figurinhas diferentes das que já possui?

Alternativa c

a) R$ 70,00. b) R$ 71,50. c) R$ 73,50. d) R$ 75,00. e) R$ 85,00.

8 Elabore um problema que envolva os números e as operações em cada item. Em seguida, troque os problemas com um colega: um resolve o problema do outro. Depois, façam a correção juntos.

Respostas pessoais.

a) 1,80 e 1,65 e a operação de adição;

b) 72,50 e 65,00 e a operação de subtração.

(UNEMAT-MT) Júlia tem três chapéus, um amarelo, um vermelho e outro azul. Júlia costuma emprestar seus chapéus para Beatriz. Ontem elas foram juntas a uma festa usando chapéus. Siga as pistas e descubra que chapéu cada uma delas usou na festa. Alternativa c

- Quando chove, Júlia não usa o chapéu vermelho.

- O chapéu amarelo não serve para Beatriz.

- Ontem choveu o dia todo.

- Quando Júlia usa seu chapéu amarelo, ela não sai com Beatriz.

a) Júlia usou o chapéu vermelho e Beatriz, o azul.

b) Júlia usou o chapéu amarelo e Beatriz, o vermelho.

c) Júlia usou o chapéu azul e Beatriz, o vermelho.

d) Júlia usou o chapéu azul e Beatriz, o amarelo.

e) Júlia usou o chapéu amarelo e Beatriz, o azul.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA11 ao trabalhar as quatro operações com números racionais na forma decimal.

Resolução da atividade 6

• Arroz marrom com desconto de 32%:100% - 32% =

= 68%.

68% de R$ 10,50: 68 100 10,50 = 7,14 4 7,14

• Café instantâneo com desconto de 35%:100% - 35% =

= 65%.

que essa é uma estratégia adotada por muitas pessoas para garantir suas compras em um lugar que ofereça melhores preços e benefícios. Lembre-os de que, para calcular descontos, devemos subtrair o valor da porcentagem do valor total.

Resolução da atividade 7

7

9 . 189 = 147

189 - 147 = 42

Se vai aproveitar 2 de cada 4 figurinhas:

42 2 = 84

84 : 4 = 21

21 3,50 = 73,50 4 R$ 73,50

Alternativa c Escolha alguns problemas da atividade 8 para resolver coletivamente; essa é uma ótima oportunidade para dar protagonismo aos estudantes. Discuta com eles possibilidades de elaboração de problemas usando as operações apresentadas. Esse momento é muito importante para verificar a compreensão da turma do que foi estudado e as estratégias de cálculo desenvolvidas.

Resolução de Lógico, é lógica! Se ontem choveu o dia todo, Júlia não usou o chapéu vermelho; então, ela deve ter usado o chapéu amarelo ou o azul. Mas, quando usa o amarelo, ela não sai com Beatriz; como ontem ela saiu com Beatriz e estava chovendo, Júlia usou o chapéu azul. Se Júlia usou o chapéu azul e o chapéu amarelo não serve em Beatriz, Beatriz usou o chapéu vermelho.

Alternativa c Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 2

65% de R$ 7,40: 65 100 7,40 = 4,81 4 R$ 4,81

• Sopa de feijão com desconto de 50%: 100% - 50% = = 50%.

50% de 8,34: 50 100 . 8,34 = 4,17 4 R$ 4,17. 7,14 + 4,81 + 2 4,17 = 20,29

Alternativa d Sugira aos estudantes que façam uma breve pesquisa para comparar preços em supermercados diferentes e ressalte

Colégio Militar Tiradentes/2018

Orientações

As atividades dessa seção favorecem o desenvolvimento da habilidade

EF06MA11 e a competência geral 9

Em Matemática interligada, é discutida a questão do envelhecimento da população brasileira, e promove o trabalho sobre o Tema Contemporâneo

Transversal: Processo de Envelhecimento, Respeito e Valorização do Idoso. Proponha uma ampla reflexão sobre os cuidados com os idosos e com os idosos – ou seja, toda a população. Diga-lhes que são consideradas idosas as pessoas com 60 anos ou mais e, que essas pessoas merecem atenção, carinho e cuidados. Nesse momento de vida, os membros da família da pessoa têm um papel muito importante.

Fale também sobre o crescimento da expectativa de vida da população mundial. A título de curiosidade, diga-lhes que segundo o IBGE, no ano de 1940, as pessoas viviam, em média, 45,5 anos de idade.

Na questão 5, permita que falem sobre suas experiências pessoais com idosos da própria familia.

Envelhecimento digno e saudável

PNAD 2016: população idosa cresce 16,0% frente a 2012 e chega a 29,6 milhões

Em 2016, a população residente foi estimada em 205,5 milhões de pessoas e 42% delas estavam no Sudeste. Os homens eram 48,5% da população e as mulheres, 51,5%. Entre 2012 e 2016, a população idosa (com 60 anos ou mais de idade) cresceu 16,0%, chegando a 29,6 milhões de pessoas. Já a parcela de crianças com até 9 anos de idade na população caiu de 14,1% para 12,9% no período.

[...]

PNAD 2016: população idosa cresce 16,0% frente a 2012 e chega a 29,6 milhões. Agência IBGE Notícias, Rio de Janeiro, 24 nov. 2017. Disponível em: https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/agencia-noticias/2013-agencia-de-noticias/releases/18263-pnad-2016-populacao -idosa-cresce-16-0-frente-a-2012-e-chega-a-29-6-milhoes.html. Acesso em: 2 maio 2022.

Casal de idosos correndo no parque.

[...]

Estudos apontam para o avanço da idade da população brasileira, sinalizando que, em três décadas, o número de idosos será maior que o de jovens. [...]

A nova realidade exige que sejam colocadas em prática, por todos, ações que favoreçam o exercício da cidadania, o envelhecimento digno e saudável e a prevenção à violência contra a pessoa idosa.

[...]

JB publica artigo de Juliana Kalichsztein e Andréa Bacos sobre proteção ao idoso. Amaerj, Rio de Janeiro, 25 abr. 2018. Disponível em: https://amaerj.org.br/noticias/jb-publica-artigo-de-juliana-kalichsztein-e-andrea-bacos-sobre-protecao-ao-idoso/. Acesso em: 25 fev. 2022.

1. O que significam os números do texto acompanhados do sinal %?

2. Escreva o número 29,6 milhões utilizando somente algarismos.

Representam percentuais. 29 600 000

3. Qual era o percentual da população residente em nosso país que, em 2016, não morava na Região Sudeste?

4. Que percentual representou o crescimento da população idosa entre os anos de 2012 e 2016? Qual foi a diferença em número de pessoas? 16,0%; aproximadamente 4,1 milhões de pessoas

Rido/Shutterstock.com

Vamos jogar cara ou coroa para decidir quem começa a brincadeira. Este lado da moeda se chama cara...

...e este lado se chama coroa. Qual você acha que vai sair? Não sei, não... Vai sair cara!

Objetivos do capítulo

• Identificar situações em que a probabilidade está presente.

• Calcular a probabilidade de eventos simples e registrá-la na forma fracionária e na forma decimal.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo o cálculo de probabilidade.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais: 8 e 9

Competências específicas 3 Habilidades EF06MA08 e EF06MA30

Orientações

A ideia intuitiva de probabilidade

Há situações, como o lançamento de uma moeda, em que não podemos prever com certeza o resultado antes de o evento acontecer. Chamamos essas situações de experimentos aleatórios

Os resultados de sair “cara” ou “coroa” são igualmente possíveis nessa situação, ou seja, tem a mesma chance de ocorrer. Então, dizemos que são resultados equiprováveis

Todos os resultados possíveis do lançamento de uma moeda, ou seja, o espaço amostral dessa situação, é: (cara, coroa).

Assim, a probabilidade de o evento sair “cara” é 1 2 , pois apenas uma das duas opções do espaço amostral é “cara”. Da mesma maneira, a probabilidade de o evento sair “coroa” é 1 2 , pois apenas uma das duas opções do espaço amostral é “coroa”.

O resultado de uma probabilidade, além da forma fracionária, também pode ser representado nas formas decimal e percentual. Veja:

A probabilidade de sair “cara” (ou de sair “coroa”) é 1 2 , ou 0,5 ou 50%.

O estudo de probabilidade começa nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, porém, é nos Anos Finais que o assunto é realmente aprofundado, principalmente pela intimidade que os estudantes passam a ter com os números racionais necessários para o cálculo.

Aproveite o momento introdutório do capítulo para verificar as aprendizagens prévias deles e ampliar as discussões, compartilhando o que já conhecem e utilizam como estratégia. Fomente a percepção do que é probabilidade em situações cotidianas, com base na discussão apresentada em Para começar Apresente aos estudantes a atividade proposta, mas vá além da resposta; discuta o que eles entendem por “chances de dar cara ou dar coroa”. É importante entenderem que essa situação ocorre com certa frequência. Jogos são bem interessantes para compreender esse conceito.

Acompanhe a situação a seguir.

Existe a possibilidade de não sair cara? Sim.

Wanderson Souza

Imagens: Banco Central do Brasil

Orientações

O conteúdo trabalhado dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA30 e EF06MA08

Para iniciar o estudo sobre probabilidades, apresente alguns exemplos para os estudantes. É importante discutir a situação apresentada no boxe Pense e responda

Peça aos estudantes que apresentem mais exemplos em que se usa intuitivamente o cálculo de probabilidades; espera-se respostas no universo de jogos e apostas.

Na seção Atividades, dê possibilidades para que os estudantes tentem fazer as resoluções de maneira concreta para que compreendam o que está sendo resolvido. Observe se eles entenderam o conceito de probabilidade e as formas pelas quais podemos expressar uma probabilidade. Aproveite a atividade 1 para verificar o quanto se apropriaram do vocabulário referente à probabilidade.

Resolução da atividade 2

a) Dos dez números, cinco são pares e cinco são ímpares, logo, a chance de sair um número par é igual à chance de sair um número ímpar.

b) 5 10 0,5 =

Resolução da atividade 3

a) Par: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 10 elementos em 20 possibilidades:

Assim, a probabilidade é a medida de chance de um evento aleatório acontecer. Dizendo de outra maneira:

A probabilidade P de ocorrer certo resultado em um experimento aleatório é dada por:

P = número de resultados favoráveis número de resultados possíveis

Quando dizemos que a probabilidade de sair “cara” é 1 2 ou 50%, isso significa que a cada dois lançamentos um vai ser “cara” e o outro vai ser “coroa”? Explique o que você pensou para responder. Considerando o nosso exemplo, temos um resultado favorável (cara) entre dois resultados possíveis (cara ou coroa). Logo:

Não, em cada lançamento pode sair “cara” ou “coroa”.

Atividades

P(cara) = 1 2

1 Considere o lançamento do dado mostrado na figura, com todas as faces sendo equiprováveis.

a) Qual é o espaço amostral desse experimento?

b) O espaço amostral desse experimento é equiprovável?

c) Qual é a probabilidade de sair o número 4?

d) Qual é a probabilidade de sair o número 1?

{1, 2, 3, 4, 5, 6} Sim. 1 6 1 6

2 Alexandre vai girar a roleta representada a seguir.

a) Alexandre tem mais chance de acertar um número par ou um número ímpar?

Ambos têm a mesma chance.

b) Qual é a probabilidade de sair um número par? Expresse essa probabilidade na forma fracionária e na forma decimal.

10

20 1 2 =

b) Múltiplo de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18 6 elementos em 20 possibilidades:

6 20 3 10 =

c) Menor que 6: 1, 2, 3, 4, 5 5 elementos em 20 possibilidades:

5 20 1 4 =

5 10 1 2 0,5 ==

3 Um conjunto de bolas numeradas de 1 a 20 é colocado em um saco.

Se você retirar uma bola de olhos fechados, qual é a probabilidade de ela ter um número:

a) par? b) múltiplo de 3? c) menor que 6? 10 20 1 2 = 6 20 3 10 = 5 20 1 4 =

Para aprofundar

Nesta tese é apresentado o desenvolvimento do estudo das probabilidades ao longo da história.

• LOZADA, C. de O. et al. Recursos didáticos para a formação de conceitos de probabilidade nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Diversitas Journal, [Alagoas], v. 6, n. 1, p. 1638-1647, 2021. DOI: 10.17648/diversitas-journal-v6i1-1482. Disponível em: https://diversitasjournal.com.br/diversitas_journal/article/view/1482. Acesso em: 22 jun. 2022.

Marcel Borges

Marcel Borges

4 A coordenação pedagógica de uma escola pública sorteou o tema das palestras de abertura do ano letivo utilizando o lançamento aleatório de um dado honesto com 12 faces, numeradas de 1 até 12. Para isso, foram estabelecidas as condições a seguir.

• Se, após o lançamento do dado, a face virada para cima for um número maior que 4, o tema será “bullying na internet”, conhecido como cyberbullying

• Se a face voltada para cima for um número menor ou igual a 4, o tema será “meio ambiente”.

Bullying: agressão violenta, verbal ou física feita com a intenção de intimidar, ameaçar, oprimir, humilhar ou maltratar alguém, sendo essa pessoa alvo constante e persistente dessa agressão.

Cyberbullying: violência repetitiva e persistente, feita por meio da internet, que busca intimidar, humilhar ou maltratar alguém.

a) Após o lançamento do dado, qual é a probabilidade de o tema sorteado ser:

I. bullying na internet.

II. meio ambiente.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA30

A atividade 4 favorece o desenvolvimento da competência geral 8 e 9

b) Você já sofreu bullying na internet? Conte para a turma o seu caso, se você se sentir à vontade para falar sobre o tema.

c) Quais atitudes você recomenda serem tomadas por quem sofre bullying na internet?

I. = 8 12 2 3 II. = 4 12 1 3 Resposta pessoal. Resposta pessoal.

5 A roleta a seguir tem 4 cores.

Ao girar essa roleta, qual é a probabilidade de sair a cor:

a) amarela?

b) verde?

c) azul?

6 Um brinquedo contém 100 bolas numeradas de 1 a 100.

Gira-se a manivela e, ao parar, abre-se uma trava que libera uma só bola. Elabore perguntas envolvendo probabilidade e responda-as. Depois, troque com um colega para que ele confira as perguntas e as respostas que você deu.

Resposta pessoal.

Ela aborda temáticas muito sérias: o bullyng e o cyberbullyng Aproveite para conversar sobre o respeito que precisamos ter uns com os outros. A empatia, a responsabilidade afetiva e o sofrimento de uma pessoa que passa por esse tipo de malefício social precisam ser levados à reflexão. Se achar conveniente, peça aos estudantes que elaborem cartazes de conscientização para serem expostos na escola.

Nos itens b e c da atividade 5, o resultado pode ser expresso com 2 6 ou 1 3 Ressalte com os estudantes a equivalência entre frações. Amplie a discussão perguntando qual é a probabilidade de sair a cor rosa; peça aos estudantes que confiram se a soma das probabilidades resulta em 1, que equivale à totalidade do espaço amostral.

Auxilie os estudantes na elaboração das questões da atividade 6 e verifique se todos compreendam a estrutura do jogo. Essa atividade contribui para o desenvolvimento da competência específica 3

Marcel Borges

Linda Parton/ Shutterstock.com

Orientações

Esta seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1

10 000 : 10 = 1 000

Modelos de menor preço:

3 . 1 000 = 3 000

Modelo de maior preço:

1 1 000 = 1 000

3 000 29 = 87 000 4 R$ 87.000,00

1 000 299 = 299 000 4

4 R$ 299.000,00

87 000 + 299 000 = 386 000 4

4 R$ 386.000,00

Alternativa a

Resolução da atividade 2

43,00 + 68,00 = 111,00 4 R$ 111,00

111,00 : 3 = 37,00 4 R$ 37,00

Valor devido à Ana:

43,00 - 37,00 = 6,00 4 R$ 6,00

Valor devido à Aurora:

68,00 - 37,00 = 31,00 4 R$ 31,00

Alternativa e

Resolução da atividade 3

Gasto de água por segundo:

3 0,5 = 1,5 4 1,5 mL.

Como 1 minuto tem 60 segundos, então:

60 1,5 = 90 4 90 mL

Como 1 hora tem 60 minutos, então:

60 . 90 = 5 400 4 5 400 mL

Em 8 horas:

5 400 . 8 = 43 200 4 43 200 mL.

Como cada 1 000 mL correspondem a 1 L, temos:

43 200 : 1 000 = 43,2 4 43,2 L.

Portanto, alternativa a

1 (CMJF-MG) O fidget spinner, brinquedo de mão de girar, está fazendo sucesso entre os jovens brasileiros. Uma das primeiras lojas a comercializar o produto, [...] nas duas primeiras semanas, vendeu mais de 10 mil unidades. Os preços do spinner variam entre 29 e 299 reais, dependendo do modelo.

Fonte: Disponível em: https://veja.abril.com.br/economia/dispara-venda-de-sppiners-nova-mania-entre-criancas-e-jovens/. Acesso em: 3 ago. 2017 (adaptada).

Considere a venda de 10 000 unidades e que, a cada 10 spinners vendidos, 3 fossem do modelo de menor preço e 1 do modelo de maior preço. Quantos reais essa loja receberia nessas duas primeiras semanas, com a venda dos modelos de spinner mais barato e mais caro?

a) 386 mil reais.

b) 131,2 mil reais.

2 (OBMEP) As colegas de sala Ana, Alice e Aurora foram comprar seus livros de Matemática. Alice percebeu que havia esquecido sua carteira. Ana e Aurora pagaram pelos três livros; Ana contribuiu com R$ 43,00 e Aurora com R$ 68,00. Quanto Alice deve pagar para Ana e para Aurora, respectivamente?

a) R$ 18,50 e R$ 18,50.

b) R$ 0,00 e R$ 37,00.

c) R$ 25,00 e R$ 37,00.

d) R$ 12,00 e R$ 25,00.

e) R$ 6,00 e R$ 31,00.

c) 116,9 mil reais.

d) 4.000 reais.

3 (CMR-PE) A água é um recurso natural precioso, essencial para a nossa sobrevivência. Milhões de litros de água tratada pingam das torneiras todos os dias e deixam de ser utilizados no consumo.

Suponha que uma pessoa, ao dormir às 23 horas, tenha esquecido uma torneira pingando 3 gotas por segundo. Se essa pessoa, ao acordar no dia seguinte às 7 horas da manhã, fechar a torneira, qual será o desperdício de água (em litros) que ocorrerá nesse período? Observação: Cada gota de água equivale a 0,5 mL. a)

c) 52,4. d) 57. e) 100.

Orientações

Resolução da atividade 4

4 (OBMEP) Um garrafão cheio de água pesa 10,8 kg. Se retirarmos metade da água nele contida, pesará 5,7 kg. Quanto pesa, em gramas, esse garrafão vazio?

a) 400.

b) 500.

c) 600.

Alternativa c

d) 700.

e) 800.

5 (UNESC) Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Sorteando-se uma delas, qual a probabilidade de que ela tenha um número que seja múltiplo de 2 ou de 3?

Alternativa d

a) 1 10 b) 3 10 c) 5 10 d) 7 10 e) 9 10

6 No quadro abaixo, decida com um colega se o evento é igualmente provável e explique em seu caderno a resposta de vocês.

Ação

Possibilidade do resultado do evento

Jogar um dado de 6 faces numerado. 1, 2, 3, 4, 5, 6

Lançar uma moeda. Cara ou coroa.

"Chutar" a resposta de uma questão de múltipla escolha com 5 alternativas. a, b, c, d, e.

Jogar uma partida de futebol. Ganhar, perder ou empatar.

Lançar uma bola de basquete na cesta. Acertar ou errar.

Autoavaliação

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi

O que aprendi CPN

Reconheço, nomeio, comparo e escrevo números racionais na representação decimal.

Transformo números racionais da representação fracionária para a representação decimal.

Relaciono números decimais a pontos da reta numérica.

Resolvo e elaboro problemas e operações de adição e subtração com números racionais na representação decimal.

Resolvo e elaboro problemas e operações de multiplicação e divisão de números racionais na representação decimal.

Resolvo e elaboro problemas e operações envolvendo o cálculo de probabilidade.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia?”, “Trabalhei de forma colaborativa?”, “Fiz todas as atividades solicitadas?”, entre outras.

Com base no retorno dessa autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

10,8 - 5,7 = 5,1; ou seja, metade da água pesa 5,1 kg

Se metade de água pesa 5,1 kg, então a quantidade total de água pesa 10,2 kg.

10,8 - 10,2 = 0,6 4 0,6 kg

0,6 kg = 600 g

Alternativa c Resolução da atividade 5 Múltiplos de 2 ou de 3 são: 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 10.

Assim, temos a probabilidade igual a 7 10

Alternativa d Resolução da atividade 6

Em todas as opções apresentadas os resultados são equiprováveis. Se quiser ampliar a atividade, solicite aos estudantes que representem numericamente as probabilidades em cada item.

Principais objetivos da unidade

• Resolver e elaborar problemas envolvendo medidas de comprimento.

• Resolver problemas e cálculos envolvendo a área de figuras geométricas planas.

• Identificar a relação entre medidas de perímetro e área do quadrado e do triângulo.

• Resolver problemas e cálculos com medidas de capacidade e massa.

• Resolver problemas envolvendo o volume do bloco retangular e do cubo.

• Identificar medidas de tempo e temperatura para a resolução de problemas.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA24, ao propor a resolução e elaboração de problemas que envolvem a grandeza comprimento inserida em situações do dia a dia, assim como medidas de área de figuras geométricas planas. Esta habilidade também está contemplada na resolução e elaboração de problemas que envolvem as grandezas capacidade, volume, massa, tempo e temperatura. A habilidade EF06MA29 também está contemplada e propõe uma análise das mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado quando seus lados são ampliados ou reduzidos, e que o perímetro é proporcional à medida do lado dos polígonos, diferente da área, que é uma medida de superfície.

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos é esperado que os estudantes:

• reconheçam o metro como unidade de base de medida de comprimento e seus múltiplos e submúltiplos mais usuais (km, cm e mm);

• meçam comprimentos utilizando instrumentos de medida adequados para o que se deseja medir;

• compreendam área como medida de superfície, sua unidade-padrão, o metro quadrado, e calculem áreas de figuras geométricas planas representadas em malha quadriculada;

• compreendam perímetro como a medida do contorno de figuras geométricas planas e calculem medidas de perímetro de figuras geo-

métricas planas representadas em malha quadriculada;

• compreendam medidas padronizadas de massa e capacidade usando as unidades de medida mais usuais;

• Identifiquem unidades de medida de tempo como: dia, mês, ano, hora, minuto e segundo.

Avaliação diagnóstica

É importante observar o que os estudantes dominam em relação aos pré-requisitos relacionados. Para isso, promova uma roda de conversa e, em seguida, elabore algumas atividades escritas para verificar o quanto sabem sobre esses

conteúdos. Se necessário, retome-os para garantir que todos tenham compreendido.

94a edição da Corrida Internacional de São Silvestre, em São Paulo (SP), em 31 de dezembro de 2018.

26; edição da Corrida São Silvestrinha, em São Paulo (SP), em 22 de dezembro de 2019.

Fernanda Paradizo/Fotoarena

Grandezas e medidas

A São Silvestre é a corrida mais tradicional do Brasil. Ela tem esse nome porque homenageia o santo do dia. Desde 1991, o percurso da prova tem aproximadamente 15 km e participam dela atletas maiores de 18 anos.

Mas tem também a São Silvestrinha, podendo participar do evento atletas de 4 a 17 anos de idade.

A prova é dividida em categorias por ano de nascimento. Crianças de 4 a 7 anos participam de uma prova de 100 metros; de 8 anos a 11 anos, 200 metros; 12 e 13 anos, 40 metros; 15 e 16 anos, 600 metros; 16 e 17 anos 800 metros.

Orientações

Leia o texto com os estudantes e peça que identifiquem as unidades de medida citadas nele.

Na questão 1, incentive os estudantes a relatarem suas experiências. Pergunte também se algum deles tem o desejo de se tornar atleta e em qual modalidade.

Na questão 2, pergunte também: Qual é a diferença, em metros, entre a distância percorrida por crianças de 4 a 7 anos e a distância percorrida por quem tem 16 e 17 anos? (700 m) De acordo com a idade de vocês, qual distância em metros percorreriam se participassem da São Silvestrinha? (Resposta pessoal)

Seria interessante convidar o professor de Educação Física e promover um debate sobre os benefícios que a prática do esporte proporciona à saúde. Debates interdisciplinares auxiliam no desenvolvimento da competência específica 3. Além disso, ressalta os cuidados com a saúde física, colaborando para o desenvolvimento da competência geral 8

1. Você já participou de alguma prova de corrida? Conte como foi essa experiência.

2. Quantos quilômetros tem a prova para os atletas maiores de 18 anos?

Resposta pessoal. Aproximadamente 15 km.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• resolver problemas e cálculos envolvendo perímetro, área e volume;

• resolver problemas e cálculos envolvendo medidas de capacidade;

• identificar medidas de tempo e de temperatura para a resolver problemas.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 1, 2, 3, 7, 8 e 9

Competências específicas 1, 2, 3, 6 e 7 Habilidades EF06MA24 e EF06MA29

Foco nos TCTs

• Educação Ambiental

Fonte: 26; CORRIDA São Silvestrinha 2019 – Regulamento. Gazeta Esportiva, São Paulo, 2019. Disponível em: https://www.gazetaesportiva.com/sao-silvestrinha/ regulamento/. Acesso em: 3 maio 2022.

Objetivos do capítulo

• Resolver problemas que envolvem medidas de comprimento e de área.

• Identificar e utilizar unidades de medidas de comprimento e de área.

• Compor e decompor figuras para determinação de área.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 3 e 9

Competências específicas

1 e 6

Habilidades

EF06MA24 e EF06MA29

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades

EF06MA24 e EF06MA29

Leia com os estudantes a situação-problema proposta em Para começar e, em seguida, peça que façam as atividades. Depois, solicite que reflitam acerca da seguinte questão: O metro é a unidade mais adequada para fazer medidas de comprimento independentemente da situação?

Conduza a conversa e mostre aos estudantes que, para medir a distância entre duas cidades, por exemplo, utilizamos unidades de medida maiores que o metro, enquanto para medir um lápis, como no exemplo dado, é melhor utilizar unidades de medida menores, como o centímetro e o milímetro.

Atividades complementares

Leve os estudantes para a quadra esportiva da escola e peça-lhes que façam medições com pedaços de corda, contagem de passos, contagem de pés, trena. Trabalhe a comparação dessas unidades e dialogue sobre os aspectos que dificultaram ou facilitaram no momento da medição.

Unidades de medida de comprimento e de área

Observe a situação a seguir. Júlia mediu um lápis com uma régua e escreveu o resultado de dois modos: um em milímetros (mm) e o outro em centímetros (cm).

• O que você pode observar em relação às medidas expressas por Júlia?

• As unidades de medida representadas por Júlia para medir o comprimento do lápis são menores ou maiores que o metro?

Elas correspondem ao mesmo comprimento. São menores.

• Reúna-se com um colega e troquem ideias sobre as respostas dadas. Vocês chegaram à mesma conclusão? Resposta pessoal.

Medidas de comprimento

Medir é comparar grandezas de mesma natureza. Por exemplo, medir o comprimento de um objeto é compará-lo ao comprimento de outro objeto tomado como unidade de medida.

Milhares de anos atrás, o ser humano usava partes do próprio corpo para fazer medições, sendo assim foram criadas as primeiras unidades de medida, entre elas o cúbito, o pé e o passo.

Como essas unidades de medida não são padronizadas, o seu uso provoca variações nos resultados das medidas. Com a finalidade de padronizar as unidades de medida, foi criado o Sistema Internacional de Unidades (SI)

O Sistema Internacional de Unidades estabeleceu o metro (m) como unidade de base de medida de comprimento.

Dependendo do comprimento que se quer medir, usamos o metro, seus múltiplos ou submúltiplos. Veja, no quadro a seguir, as relações entre essas unidades de medida bem como seus respectivos símbolos.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA24

Ao falar sobre os múltiplos e submúltiplos do metro, mostre alguns exemplos na lousa. Sugira que reproduzam o quadro no caderno.

1 000 100 10 1

Múltiplos do metro

Em Pense e responda, observe as resoluções dos estudantes para verificar as estratégias adotadas.

1. Em 1 metro cabem quantos centímetros?

2. Quantos milímetros há em 2 m? E em 3 cm? 100 cm

2 000 mm; 30 mm

Acompanhe, agora, a situação a seguir.

• Vanessa mediu o comprimento de uma peça de tecido utilizando uma régua de madeira de 1 metro. Ela verificou que o metro cabia 10 vezes no comprimento da peça de tecido inteira. Isso significa que a peça tinha 10 metros de comprimento.

Nessa situação, a unidade de medida utilizada por Vanessa foi o metro Podemos dizer que o comprimento total do tecido é 10 metros ou 1 000 centímetros, pois 10 m e 1000 cm são medidas equivalentes.

Qualquer medida de comprimento pode ser expressa em diferentes unidades transformando-as com o uso dos múltiplos e submúltiplos do metro. Observe.

Os múltiplos e submúltiplos do metro são calculados em base decimal, isto é, são obtidos de multiplicações ou divisões por 10. 10 10 10 10 10 10

: 10 : 10 : 10 : 10 : 10 : 10

Danillo Souza

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA24

Em Curiosidade apresente outras unidades de medida, que podem ser desconhecidas pelos estudantes. Oriente os estudantes para que leiam o texto.

Ele favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1

Se considerar oportuno, apresente o texto a seguir:

• POR QUE a milha náutica [...].

Superinteressante, [São Paulo], 4 jul. 2018. Mundo Estanho. Disponível em: https://super.abril.com. br/mundo-estranho/por-que-a-mi lha-nautica-e-diferente-da-milha -terrestre/. Acesso em: 18 abr. 2022.

Resolução da atividade 1

a) 3 800 . 10 = 38 000 4 38 000 dm

3 800 . 100 = 38 000 4 38 000 cm

b) De segunda a sexta são 5 dias.

5 3 800 = 1 900 4 19 000 m

19 000 : 1 000 = 19 4 19 km

Por exemplo:

0,429 km4,29 hm

42,9 dam429 m4 290 dm42 900 cm429 000 mm

0,429 km = 4,29 hm = 42,9 dam = 429 m = 4 290 dm = 42 900 cm = 429 000 mm Veja como podemos ler algumas medidas de comprimento.

dmcmmm Lê-se

35,26 m 35,26Trinta e cinco metros e vinte e seis centímetros.

4,87 km 4,87

4 870 m 4870

Atividades

Quatro quilômetros e oitenta e sete decâmetros.

Quatro mil, oitocentos e setenta metros.

Observe no quadro que, ao se fazer a leitura da medida, a ordem da unidade do número sempre estará na unidade correspondente da medida; por exemplo, a medida 35,26 m tem como número da ordem da unidade o algarismo 5, que no quadro ocupa a posição da unidade de medida metro.

Milha terrestre

A unidade milha surgiu na Roma Antiga, onde valia 1 000 passos (do latim, mille passus) dados pelo Centurião (O centurião na hierarquia militar romana era o sexto na cadeia de comando numa legião), ou 5 000 pés romanos. Como essas medidas não eram muito precisas, já que o tamanho do passo variava de centurião para centurião, e no total dos 1 000 passos, essa diferença acumulada gerava uma grande diferença no valor da milha.

Atualmente, uma milha equivale a 1,609344 km, e é muito utilizada nos EUA e no Reino Unido.

Milha náutica

A milha náutica surgiu como o equivalente ao comprimento de um minuto de arco medido, à superfície média do mar, ao longo de qualquer grande círculo da Terra. Uma milha náutica equivale a 1 852 m, e é utilizada apenas para navegação. OYARZABAL, Ítalo M. Distância e comprimento – Definições, história e medições. Rio Grande do Sul: UFRGS, [20--]. Disponível em: http://cta.if.ufrgs.br/projects/instrumentacao-fisica/ wiki/Dist%C3%A2ncia_e_Comprimento_-_Defini%C3%A7%C3%B5es_Hist%C3%B3ria_e_ Medi%C3%A7%C3%B5es#aL%C3%A9gua-Terrestre. Acesso em: 3 maio 2022.

Faça no caderno

1 Marina faz, de segunda a sexta-feira, uma caminhada de 3 800 metros por dia.

a) Expresse essa medida em decímetros e em centímetros.

b) Quantos quilômetros ela percorre, no total, de segunda a sexta-feira? 5 3,8 km = 19 km 38 000 dm e 380 000 cm

Daniel tem 1,55 metro de altura. Seu amigo Pedro é 12 centímetros mais alto que ele. Qual é a altura de Pedro, em metros?

1,67 metro

3 O quadro a seguir mostra características de alguns modelos de aviões.

Orientações

As atividades dessa página favorecem desenvolvimento da habilidade

EF06MA24

Resolução da atividade 2 12 cm = 0,12 m 1,55 + 0,12 = 1,67 4 1,67 m

Ao resolver a atividade 3, oriente os estudantes para que, antes de comparar números com casas decimais, comparem primeiro a parte inteira. Apenas se os números tiverem a parte inteira igual compara-se a parte decimal.

Resolução da atividade 4

Com base nesses dados, responda e faça o que se pede.

a) Quais desses modelos têm:

• o maior comprimento?

b) 37,6; 44,5; 54,9; 72,7; 73,9; 78,0 747-8 A321-200

• a menor envergadura?

b) Escreva em ordem crescente os números que representam o comprimento desses aviões.

c) Quais modelos de aviões têm comprimento maior do que 55 metros?

4 Escreva como se lê cada uma das medidas a seguir. Respostas no Manual do Professor.

a) 2,38 m b) 1,07 m c) 3,9 m d) 16,025 m e) 8,5 cm f) 9,452 km

5 Determine quantos centímetros tem:

a) o comprimento de seu lápis;

b) o comprimento de seu palmo;

a) Dois metros e trinta e oito centímetros.

b) Um metro e sete centímetros.

c) Três metros e nove decímetros ou três metros e noventa centímetros.

d) Dezesseis metros e vinte e cinco milímetros.

e) Oito centímetros e cinco milímetros ou oito centímetros e meio.

c) o comprimento de seu passo.

6 A distância entre duas cidades é igual a 86 milhas terrestres. Sabendo que 1 milha terrestre equivale a aproximadamente 1 609 metros, qual é a distância, em quilômetros, entre essas cidades? Arredonde a resposta para o décimo mais próximo. Aproximadamente 138,4 km.

7 A estrada que liga Caxias do Sul a Santa Maria, no Rio Grande do Sul, tem 300 quilômetros de extensão. Um motorista que partiu de Caxias do Sul já percorreu 174 quilômetros dessa estrada. Quantos quilômetros faltam para ele chegar a Santa Maria?

380-800, 777-300ER e 747-8 Respostas pessoais. 126 km

Fonte: DISTÂNCIA entre cidades do Brasil. Rota Mapas, [Brasil], [20--]. Disponível em: https://www.rotamapas.com.br/. Acesso em: 3 maio 2022.

f) Nove quilômetros e quatrocentos e cinquenta e dois metros.

Na atividade 5, os estudantes devem observar que são medidas não convencionais e, além da questão da inexatidão dessas medidas, os resultados da medição dependem de cada caso.

Resolução da atividade 6

Se 1 milha equivale a aproximadamente 1 609 m, em 86 milhas teremos aproximadamente 138 374  metros (86 1 609). Convertendo para km, teremos 138,374 km ou aproximadamente 138,4 km.

Vista

8 Rita comprou fita de cetim para os arranjos de mesa de uma festa. Inicialmente, ela usou metade da fita que comprou. Depois, precisou de metade do que ainda havia de fita. Sabendo que sobraram 10 metros, qual era o comprimento inicial da fita? 40 metros

Resolução da atividade 7 300 - 174 = 126 4 126 km Resolução da atividade 8

Se sobraram 10 m, isso significa que cada quarto de fita equivale a 10 metros.

Logo, 4 . 10 = 40. Portanto, o comprimento inicial da fita é 40 metros.

Fonte: BRASIL. Ministério da Infraestrutura. ANAC. Características físicas [...]. Brasília, DF: ANAC, [20--]. Disponível em: https://www.gov.br/anac/pt-br/assuntos/regulados/aerodromos/downloads/aeronaves-e -codigo-de-referencia. Acesso em: 3 maio 2022.

Vista da região central de Caxias do Sul (RS), 2021.

Orientações

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EF06MA24

Os estudantes irão explorar situações que envolvem problemas com medidas de superfície. Inicie o trabalho fazendo a leitura da situação-problema e conduza-os a comparar as duas figuras:

Ambas possuem a mesma área ou ocupam áreas diferentes? Por quê? Resolução do primeiro Pense e responda

1. Lajotas quadradas:

6 5 = 30

Lajotas triangulares:

1 lajota quadrada é igual a 2 lajotas triangulares.

2 30 = 60

3. Área de cada lajota:

40 . 40 = 1 600 4 1 600 cm2

30 . 1 600 = 4 800 4 4 800 cm2 ou 4,8 m2

Resolução do segundo Pense e responda

1. A folha, após ser dividida em 16 quadrados, terá 4 quadrados no comprimento e 4 na largura:

1 m = 100 cm

100 . 4 = 25 4 25 cm2

2. 25 . 25 = 625 4 625 cm2

Medidas de superfície

Analise a situação a seguir.

• Antônio quer trocar o piso da cozinha. Ele deseja recobrir essa superfície com lajotas quadradas ou triangulares, como representadas a seguir.

Superfície recoberta com lajotas Superfície recoberta com lajotas

1. Quantas lajotas serão necessárias para recobrir todo o piso da cozinha? E quantas lajotas ?

2. Qual é a relação entre a quantidade de lajotas e de lajotas usadas para recobrir toda a superfície da cozinha? A quantidade de lajotas quadradas é o dobro das triangulares.

3. Se cada lado da lajota mede 40 cm, como vocês podem calcular a medida da superfície do piso da cozinha? Troquem ideias, escrevam suas conclusões e apresentem as estratégias usadas às outras duplas.

30 lajotas quadradas e 60 triangulares Respostas pessoais.

Área é a medida de uma superfície.

A depender da unidade de medida de superfície escolhida, o valor que expressa a área pode mudar, como as lajotas quadradas e triangulares vistas nesse exemplo.

A unidade-padrão para expressar a área é o metro quadrado (m2). A superfície de um quadrado de 1 m de lado é 1 m2 Agora, acompanhe outro exemplo.

• Na turma de Guilherme, os estudantes uniram folhas de papel pardo e construíram um quadrado de 1 metro de lado. Depois, dividiram-no em 16 quadrados menores, todos de mesma medida.

1. Qual é a medida, em centímetros, do lado de cada quadrado em que a folha de papel foi dividida?

2. E qual é a área de cada um deles em centímetros quadrados? 625 cm2

25 cm

3. Comparem as respostas com as de outras duplas e troquem ideias sobre as estratégias que usaram para chegar ao resultado. Respostas pessoais.

Entre as unidades de área mais utilizadas, além do metro quadrado (m2), estão o centímetro quadrado (cm2) e o quilômetro quadrado (km2).

O quilômetro quadrado (km2) corresponde à área de um quadrado com 1 km de lado. É o múltiplo do metro quadrado usado para expressar a medida de grandes superfícies, como o território de um país.

Para expressar a medida de pequenas superfícies, geralmente é usado o centímetro quadrado (cm2), que corresponde à área de um quadrado com 1 cm de lado.

Orientações

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EF06MA24

Resolução de Pense e responda

1 km = 1 000 m

1 000 1 000 = 1 000 000 4 4 1 000 000 m2

A área de um quadrado cujo lado mede 1 km é 1 km².

Se 1 km equivale a 1 000 m, quantas vezes 1 km² é maior que 1 m² ?

Observe, no quadro a seguir, a representação das unidades de área do sistema de numeração decimal e a relação de equivalência entre elas.

Medidas agrárias

Para expressar a medida de grandes extensões de terra (como a área de uma fazenda), usamos as unidades agrárias: are, hectare e alqueire

• 1 are (1 a) é a área de um quadrado com 10 m de lado.

1 are equivale a 100 m2

• 1 hectare (1 ha) é a área de um quadrado com 100 m de lado.

1 ha equivale a 10 000 m2, ou seja, 1 hm2 (ou ainda 100 ares

Comente que as medidas agrárias são utilizadas no meio rural para grandes extensões de terra, um sistema usual da agricultura. Pergunte aos estudantes se já tiveram acesso a alguma plantação de grande extensão. Essa é uma ótima oportunidade para contemplar os aspectos da competência geral 3

Orientações

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EF06MA24

Em Curiosidade , apresenta-se uma comparação entre as diferenças regionais do alqueire, unidade de medida que, embora não esteja padronizada no Brasil, é bastante utilizada na região rural. Peça aos estudantes que realizem uma pesquisa a fim de encontrar outras unidades de alqueire, além das apresentadas no livro. Resolução da questão de Curiosidade

48400

24200

2 = 4 2 alqueires paulistas

Leia o texto sobre a Serra da Canastra com os estudantes e comente um pouco sobre a história e o turismo do lugar. Pergunte se algum deles conhece o parque e mencione que ele recebe este nome por ter o formato de um baú.

Antigamente, baú era chamado de canastra.

O alqueire

O alqueire é uma unidade de medida de área e apresenta algumas variações em diferentes localidades do Brasil. Observe os valores no quadro abaixo.

1 alqueire mineiro 48 400 m2 O alqueire mineiro é usado em Minas Gerais, no Rio de Janeiro e em Goiás.

1 alqueire paulista 24 200 m2 O alqueire paulista é usado em São Paulo.

1 alqueire do Norte 27 225 m2 O alqueire do Norte é usado na Região Norte.

Um alqueire mineiro equivale a quantos alqueires paulistas? 2

Veja as informações a seguir.

A região ecoturística da Serra da Canastra tem mais de 200 mil hectares e abrange 6 municípios: São Roque de Minas, Vargem Bonita, Sacramento, Delfinópolis, São João Batista do Glória e Capitólio.

SERRA da Canastra. In TAMANDUÁ TURISMO. Serra da Canastra. São Roque de Minas, c1998-2020. Disponível em: https://www.serradacanastra.com.br/atracoes/serra-da-canastra. Acesso em: 3 maio 2022.

Criado em 1972, o Parque Nacional da Serra da Canastra tem 71 525 hectares demarcados e parte do território de 3 municípios: São Roque de Minas, Sacramento e Delfinópolis, no sudoeste de Minas Gerais.

PARQUE Nacional. In TAMANDUÁ TURISMO. Serra da Canastra. São Roque de Minas, c1998-2020. Disponível em: https://www.serradacanastra.com.br/atracoes/parque-nacional. Acesso em: 3 maio 2022.

Como podemos calcular quantos milhões de metros quadrados tem aproximadamente o Parque Nacional da Serra da Canastra?

Como 1 ha equivale a 10 000 m2, temos: 71 525 ha equivalem a 71 525 . 10 000 = 715 250 000 4 715 250 000 m2 Portanto, o Parque Nacional da Serra da Canastra tem aproximadamente 715 milhões de metros quadrados.

Fabio Colombini

O Parque Nacional da Serra da Canastra (MG) foi criado para proteger as nascentes do Rio São Francisco. Imagem de 2020.

Atividades

1 Usando o como unidade de medida, calcule a área das figuras

2 Observe o mosaico abaixo.

a) Qual é a área do mosaico na unidade ? 36

b) E na unidade , qual é a área?

2. c) A medida obtida no item b é a metade da medida obtida no item a, pois a unidade de área do item b é o dobro da unidade de área do item a

c) A unidade de área usada no item b tem uma relação com a unidade de área do item a. Compare as medidas obtidas nesses itens. O que você pode concluir?

3 Um operário consegue pintar uma área de 5 m2 no primeiro dia de serviço e, a cada dia, ele pinta 2 m2 a mais do que fez no dia anterior.

a) Quantos metros quadrados ele pintará no 7? dia?

b) Em que dia ele terá conseguido pintar 21 m2?

17 m2

No 9? dia.

4 O terreno representado na figura abaixo tem área igual a 4 200 m2 DAE

O proprietário quer gramar 3 7 desse terreno. Sabendo que cada placa de grama cobre 2,5 m2, qual é a quantidade mínima de placas que ele deverá comprar? 720 placas

5 Uma fazenda que possui 160 hectares de terra será desapropriada para fins de reforma agrária e dividida igualmente entre 10 famílias. Quantos metros quadrados cada família receberá?

160 000 m2

b) Conforme a sequência: 5 m2, 7 m2, 9 m2, 11 m2, 13 m2, 15 m2, 17 m2, 19 m2, 21 m2

No nono dia, ele terá pintado 21 m2

A atividade 4 trabalha a comparação de medidas de superfície. Resolução da atividade 4

O proprietário quer gramar 3 7 de 4 200 m², então, a área gramada será: 3 7 4 200 = 1 800 4 1 800 m².

Cada placa de grama cobre 2,5 m².

Assim: 1800 2, 5 720 =

Ele deverá comprar, no mínimo, 720 placas.

As medidas agrárias são abordadas na atividade 5

Resolução da atividade 5 Quantidade de hectares por família: 160 10 1616 ha =4

Se 1 ha equivale a 10 000 m2, então, 16 10 000 = 160 000.

Cada família receberá 160 000 m2

Atividades complementares

Se considerar oportuno, proponha uma atividade extra para ampliar o trabalho com esse tipo de medida. Peça aos estudantes que resolvam o problema a seguir: “Bruno e Lucas são fazendeiros. Bruno tem 90 alqueires paulistas de terra, enquanto Lucas tem 50 alqueires mineiros. Qual fazenda é maior?”. Resposta: A fazenda de Lucas.

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As atividades 1 e 2 trabalham o cálculo de área usando unidades de medida não padronizadas. Verifique quais foram as estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução dessas atividades e peça que as compartilhem com os colegas.

Resolução da atividade 1

A: 4 . 3 = 12 4 12 @

B:

C:

D: 3 3 + 1 2 = 9 + 2 = 11 4 11 @ Resolução da atividade 2

a) A área de 1 ) = 2 ! . Logo: área = 18 ) = 32 !

b) 18 )

c) Sim, a área do ) mede o dobro da área do !. A área do item b é a metade da área do item a. A atividade 3 trabalha implicitamente com sequência. Resolução da atividade 3

a) A área pintada pelo operário forma uma sequência:

5 m2, 7 m2, 9 m2, 11 m2, 13 m2, 15 m2, 17 m2

No sétimo dia, ele pintará 17 m2

Ilustrações: André Martins

Ilustrações: Marcel Borges

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Ao explorar a área do retângulo, relembre aos estudantes que todo quadrado é um retângulo; assim, ao estudarmos a área de uma superfície retangular, também estamos estudando áreas de superfícies quadradas. É interessante trabalhar com malha quadriculada. Explore o GeoGebra, uma vez que eles já conhecem esse software, ou outro recurso digital que achar conveniente. Traga exemplos cotidianos que utilizem cálculo de áreas retangulares, como aplicação de cerâmicas no piso, pintar uma parede, cercar um terreno, desenhar plantas baixas. Estimule os estudantes a apresentar mais exemplos. Em Pense e responda, deve-se fazer a multiplicação com a unidade de área apresentada na atividade, obtendo 39 como resultado. Observe as estratégias adotadas e convide alguns estudantes para mostrar suas resoluções coletivamente.

Atividades complementares

Forme duplas e distribua papel quadriculado. Peça a cada componente da dupla que elabore, a seu critério, uma unidade de área e desafie o colega a encontrar as áreas determinadas por ele. Essa atividade pode proporcionar um momento de interação, favorecendo a competência específica 4, também trabalhará o raciocínio lógico, aspecto presente na competência específica 2

Área do retângulo

Na malha quadriculada a seguir estão representados os retângulos A e B. Como calcular a área de cada um dos retângulos se, nessa malha, cada representa 1 cm2 de área?

a: comprimento do retângulo.

b: largura do retângulo.

Para calcular as áreas dos retângulos, podemos contar quantos 1 cm 2 cabem em cada retângulo.

• O retângulo A tem 12 cm2 de área, pois tem 12 de 1 cm2

• O retângulo B tem 18 cm2, pois tem 18 de 1 cm2

Outra forma de resolver essa situação é multiplicando o número que expressa o comprimento pelo número que expressa a largura.

• Retângulo A: 3 4 = 12 4 12 cm2

• Retângulo A: 6 . 3 = 18 4 18 cm2

Considerando o como unidade de área, escreva uma expressão numérica cujo valor represente a área da figura abaixo. Depois, compare sua expressão com a de um colega. Vocês obtiveram o mesmo resultado? Conversem sobre as estratégias que utilizaram.

Sugestões de resposta: 4 7 + 2 5 + 1; 4 5 + 2 9 + 1. Há outras possibilidades.

Área do quadrado

Na malha quadriculada a seguir, estão representados os quadrados A e B. Considerando cada da malha com 1 cm², qual é a área de cada quadrado?

Orientações

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Comente com os estudantes que o raciocínio utilizado para calcular a área de um quadrado é o mesmo utilizado para calcular a área de um retângulo.

Apresente outros exemplos na lousa, com a utilização de malha quadriculada, para que a resolução se dê por meio da multiplicação.

Resolução de Pense e responda

8 8 = 64 4 64 cm2

Para calcular as áreas dos quadrados, podemos contar quantos 1 cm2 cabem em cada quadrado.

• O quadrado A tem 9 cm2 de área, e o quadrado B tem 4 cm2

Outra forma de resolver essa situação é multiplicando o número que expressa a medida do lado por ele mesmo.

• Quadrado A: 3 3 = 9 4 9

Qual é a área de um quadrado de lado 8 cm?

Acompanhe mais uma situação.

• Deseja-se cobrir o pátio de uma escola, representado em verde na figura, com lajotas antiderrapantes.

Se houver tempo, comente a situação que envolve o cálculo da área do pátio da escola, em formato de retângulo. Sugerimos representar a imagem na lousa e discutir o passo a passo para a resolução com os estudantes, além de esclarecer as possíveis dúvidas.

Se julgar oportuno, permita que eles calculem a área da própria sala de aula.

Descontando as áreas iguais dos dois banheiros, quantos metros quadrados de lajotas, no mínimo, serão necessários?

Perceba que a área do pátio incluindo os dois banheiros é igual a: 50 20 = 1 000 4 1 000 m2

A área de cada banheiro é igual a: 6,5 3,5 = 22,75 4 22,75 m2

Como são dois banheiros, a medida da área total deles é igual a:

2 22,75 = 45,5 4 45,5 m2

A quantidade mínima, em metros quadrados, de lajotas é de:

1 000 - 45,5 = 954,5 4 954,5 m2

Portanto, serão necessários 954,5 m2 de lajotas.

Imagens da página fora de proporção.

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Resolução da atividade 1

Considere Q: a área de um quadradinho e T: a área de um triângulo.

Pela figura temos que 2T = Q.

Na figura A:

10Q + 4T = 10Q + 2Q = 12Q 4

4 12 cm2

Na figura B:

12Q + 12T = 12Q + 6Q = 18Q 4

4 18 cm2

Resolução da atividade 2

a) A = 6 2 = 12 4 12 cm2

b) A = 2,7 2,7 = 7,29 4 7,29 cm2

c) A área do triângulo em verde será a metade do retângulo formado por ele e a região delimitada pelas linhas tracejadas.

Assim:

A= 10 4 2 = 20 4 20 cm2

d) Decompondo a figura em duas, temos:

Atividades

1 Qual é a área de cada uma das figuras coloridas abaixo? AA = 12 cm2; AB = 18 cm2

A1 = 5 . 5 = 25 4 25 cm2

A2 = 3 . 2 = 6 4 6 cm2

A t = 25 + 6 = 31 4 31 cm2

Na atividade 3, peça aos estudantes que compartilhem o esboço que fizeram com os colegas, para que observem que há várias possibilidades de resolução..

2 Calcule a área de cada figura.

a) 12 cm2

b) 7,29 cm2

c) 20 cm2

d) 31 cm2

3 Daniel quer construir uma casa com no máximo 80 m2. Para isso, fará um esboço da planta de sua casa em uma malha quadriculada. Respostas pessoais.

a) Ajudem Daniel dando sugestões. Utilizem papel quadriculado e desenhem o esboço da planta de uma casa que deve conter:

• 2 quartos;

• 1 banheiro;

• sala;

• cozinha;

• área de serviço.

b) Considerando que o lado de cada quadradinho do papel quadriculado mede 1 m, qual será a área total da casa que que vocês desenharam? Apresentem o esboço aos outros grupos e conversem sobre as estratégias utilizadas.

a)

b)

c) d)

Resolução da atividade 6

Área:

130 130 = 16 900 4 16 900 m2

Estimativa:

4 . 16 900 = 67 600 4 67 600 pessoas

Resolução da atividade 7

Observe a representação a seguir.

Sugestão de resposta. Há outras possibilidades.

Usando o como unidade de área, faça o que se pede.

Figura A: 1 . 4 + 3 .

a) Escreva uma expressão numérica que represente a área de cada figura.

b) Calcule a área das figuras A e B. A: 29 ; B: 27

5 Um campo de futebol tem 110 m de comprimento. A medida da largura desse campo é igual a 3 4 de seu comprimento. Quantos metros quadrados de grama são necessários para cobrir esse campo?

9 075 m2

6 Uma manifestação lotou uma praça de forma quadrangular de 130 metros de lado. Se a ocupação média for de 4 pessoas por metro quadrado, qual é a estimativa do número de pessoas presentes nessa manifestação?

Área da cozinha:

8 . 3 = 24 4 24 m2

Retome o conceito de planta baixa. Comente que, ao se construir uma residência, em geral, é feita sua planta baixa, que traz a representação gráfica do imóvel, vista de cima, sem o telhado.

7 Esta figura representa o esboço de uma planta-baixa de uma casa.

O quarto e o banheiro são quadrados e suas áreas são, respectivamente, 25 m2 e 9 m2. A sala, retangular, tem 30 m2 de área. Qual é a área da cozinha?

67 600 pessoas 24 m2

Perímetro de uma figura

O perímetro de uma figura é a medida do seu contorno. No caso de polígonos, como o quadrado, podemos dizer que é a soma das medidas de seus lados.

Para calcular o perímetro de uma figura, as medidas de todos os lados devem estar expressas na mesma unidade de medida. Por exemplo, adicionando as medidas dos lados do quadrado ao lado, temos 12 cm (3 + 3 + 3 + 3 = 12). Portanto, o perímetro desse quadrado é igual a 12 cm.

Qual é o perímetro de um triângulo equilátero de lado 9 cm? 27 cm

Orientações

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Existem várias possibilidades de expressões para representar a área das figuras na atividade 4. Você pode fazer a correção coletivamente, de modo que os estudantes observem outras possibilidades de resolução.

As atividades 5, 6 e 7 apresentam situações-problema que envolvem o cálculo de área do retângulo e do quadrado. Verifique as estratégias utilizadas pelos estudantes na

resolução. Essas atividades favorecem o desenvolvimento das competências específicas 3 e 6 Resolução da atividade 5 Largura:

No tópico “Perímetro de uma figura”, para responder à questão do Pense e responda, devemos considerar:

Perímetro:

9 + 9 + 9 = 27 4 27 cm

Retome o conceito de uma figura plana como a medida do seu contorno.

Luiz Lentini

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Leia com a turma o tópico “Relação entre perímetro e área do quadrado”. Em seguida, pergunte aos estudantes se conseguiram verificar a relação de proporcionalidade entre o perímetro e a medida do lado.

Resolução de Pense e responda

A =. =4 2 3 2 3 4 9 4 9 m2

Relação entre perímetro e área do quadrado

Ao se ampliar ou reduzir, igualmente, as medidas dos lados de um quadrado, verifica-se que o perímetro é proporcional à medida do lado desse quadrado. Veja o exemplo a seguir.

Se a medida dos lados de um quadrado de 1 m de lado for multiplicada por 2 3 qual será a área desse novo quadrado? 4 9  m2

Observe que, se a medida do lado é multiplicada por 2, o perímetro fica multiplicado por 2; se a medida do lado é multiplicada por 3, o perímetro fica multiplicado por 3, e assim sucessivamente. O mesmo raciocínio pode ser feito dividindo a medida do lado: se é dividida por 2, o perímetro fica dividido por 2. Portanto, dizemos que:

O perímetro de um quadrado é diretamente proporcional à medida do lado desse quadrado.

Agora, observe o que acontece com a área dos quadrados A, B, C, D e E ao se ampliar ou reduzir a medida de seus lados.

Observe que, se a medida do lado é multiplicada por 2, a área fica multiplicada por 4 (22), e se a medida do lado é multiplicada por 3, a área fica multiplicada por 9 (32); ou seja, não há proporcionalidade entre a medida do lado do quadrado e sua área, e sim entre o quadrado da medida do lado e sua área.

Faça no caderno

1 Uma sala retangular tem 10 m de comprimento, e a medida da largura é a metade da medida do comprimento. Qual é o perímetro dessa sala? 30 m

2 Bárbara pintou, em duas malhas quadriculadas, alguns quadrados.

Ilustrações: DAE A B

A C

Considerando a medida do lado do quadradinho da malha igual a 1 cm:

a) Que relação pode-se estabelecer entre a medida do lado e o perímetro dos quadrados A e B? E dos quadrados A e C? Resposta no Manual do Professor.

b) Que relação pode-se estabelecer entre a medida do lado e a área dos quadrados A e B ? E dos quadrados A e C?

O perímetro e a medida do lado do quadrado são diretamente proporcionais; já a área é diretamente proporcional ao quadrado da medida do lado.

c) O que vocês concluem sobre o perímetro e a área dessas figuras? Registrem suas ideias no caderno e apresente-nas aos colegas observando as ideias deles. Resposta pessoal.

3 Daniela cria galinhas. Ela quer ampliar o galinheiro, que tem a forma de um quadrado com 4 m de lado. Ela acredita que, se dobrar a medida da cerca do galinheiro, conseguirá dobrar a área desse galinheiro. Daniela está certa? Troque ideias com um colega e escrevam suas conclusões. Não. A área aumentará 4 (22) vezes, e não o dobro.

4 Vitória desenhou um hexágono em uma malha isométrica.

Resolução da atividade 3

Lado do galinheiro: 4 cm.

Medida da cerca:

4 + 4 + 4 + 4 = 16 4 16 cm2

Área do galinheiro:

4 . 4 = 16 4 16 cm2

O dobro do lado do galinheiro:

2 . 4 = 8 4 8 cm2

Medida da cerca:

8 + 8 + 8 + 8 = 32 4 32 cm2

Área do galinheiro:

8 8 = 64 4 64 cm2

Portanto, Daniela não está certa, pois 64 não é o dobro de 16.

Resolução da atividade 4

a) Cada lado do hexágono é formado pela medida do lado de 2 triângulos equiláteros.

2 2 = 4 4 4 cm.

Perímetro do hexágono:

6 4 = 24 4 24 cm

b) 24 D

c) Ambos têm o mesmo valor numérico, pois, na situação apresentada, o perímetro do hexágono formado por triângulos é igual ao número de triângulos usados para formar o hexágono.

Observe que essa atividade utiliza uma malha triangular, chamada de malha isométrica não tão familiar aos estudantes como a malha quadriculada.

a) Sabendo que cada da malha é equilátero de lado 2 cm, qual é o perímetro do hexágono que Vitória desenhou?

24 cm Ilustrações: Luiz Lentini

b) Usando o como unidade de medida, qual é a área do hexágono?

Têm o mesmo valor numérico.

Resolução da atividade 2

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA24 e EF06MA29

Essas atividades também envolvem a resolução de problemas com áreas e perímetros de figuras. Solicite aos estudantes que leiam com atenção os enunciados e observem as imagens cuidadosamente antes de resolvê-los.

Resolução da atividade 1

Largura: 10 : 2 = 5 4 5 m.

Perímetro: 10 + 5 + 10 + 5 = 30 4 30 m.

No item a, pode-se observar que, ao dobrar a medida do lado do quadrado A, o perímetro do quadrado resultante (B) terá o dobro do perímetro do quadrado A. Do mesmo modo, ao triplicar a medida do lado do quadrado A, o perímetro do quadrado resultante (C) terá o triplo do perímetro do quadrado A.

No item b, a medida da área de um quadrado não aumenta proporcionalmente ao aumento da medida de seu lado.

No item c, é pessoal, porém espera-se que os estudantes compreendam que a medida do perímetro e a medida da área não aumentam proporcionalmente.

Orientações

Orientações

Resolução da atividade 5 Quadrado de lado com medida igual à metade do lado do quadrado B, ou seja, lado com 4 cm.

5 Em uma folha de papel quadriculado desenhe um quadrado cujo lado seja a metade do lado do quadrado B, representado abaixo.

a) Considere AB; área do quadrado B, PB; perímetro do quadrado B, AN: área do novo quadrado e PN; perímetro do novo quadrado.

• AB = 8 8 = 64 4 64 cm2

• PB = 8 + 8 + 8 + 8  = 32 4

4 32 cm.

• AN = 4 . 4 = 16 4 16 cm2

• PN = 4 + 4 + 4 + 4  = 16 4

4 16 cm.

b) Espera-se que os estudantes percebam que, reduzindo a medida do lado do quadrado pela metade, a área se reduz à quarta parte e o perímetro se reduz pela metade. Resolução da atividade 6

Perímetro da pista (uma volta completa):

288 : 4 = 72 4 72 m.

a) Qual é a área e o perímetro do:

• quadrado B? 64 cm2 e 32 cm

• novo quadrado desenhado? 16 cm2 e 16 cm

b) O que você pode concluir a respeito do perímetro e da área dos quadrados?

Resposta pessoal.

6 (CMF-CE) Na malha quadriculada abaixo, a figura em destaque representa uma ciclovia. Um ciclista deu quatro voltas completas nessa pista, percorrendo um total de 288 metros.

Considerando u.c. como unidade de comprimento, a pista tem 24 u.c. Então, cada u.c. mede

72 : 24 = 3 4 3 m. Assim, a área de cada quadradinho da malha é 3  . 3 = 9 4 9 m2. Veja que a figura é composta de 28 quadradinhos da malha. Logo, a área delimitada pela pista é igual a 9 28 = = 252 4 252 m2

Alternativa b

Resolução da atividade 7

Percurso de 400 m:

Atleta Distância percorrida do total (m)

Joana0,85 400 = 340

Carla 4 4 . 400 = 400

Maria0,5 . 400 = 200

Ana 13 16 . 400 = 325

É correto afirmar que a área delimitada por essa pista, em metros quadrados, é igual a:

a) 243. b) 252. c) 279. d) 2 016. e) 4 032.

7 (CMB-DF) O atletismo faz parte do programa dos Jogos Paralímpicos desde a primeira edição em Roma (1960). Essa modalidade é praticada por atletas com deficiência física ou visual. Em uma competição de corrida de 400 metros (m) para deficientes visuais, quatro paratletas tiveram as suas distâncias percorridas, em relação ao total da prova, registradas no exato momento em que uma dessas competidoras chegou ao término da prova (considere que, quando uma delas chegou ao término, as outras estavam em pontos distintos do percurso da prova).

Com base na tabela, e considerando-se que todos iniciaram a prova ao mesmo tempo e no mesmo ponto de largada, podemos afirmar que:

Alternativa c

a) Joana está 60 metros à frente de Maria.

b) Carla está 200 metros à frente de Ana.

c) Ana está 125 metros à frente de Maria.

d) Carla está 140 metros à frente de Joana.

e) Maria está 75 metros à frente de Carla.

A seguir, verificamos as sentenças.

a) Falsa. Joana está 140 metros à frente de Maria, e não 60 m.

b) Falsa. Carla está 75 metros à frente de Ana, e não 200 m.

c) Verdadeira. Ana está 125 metros à frente de Maria.

d) Falsa. Ana está 15 metros atrás de Joana, e não à frente.

e) Falsa. Maria está 200 metros atrás de Carla, e não à frente.

Alternativa c

Converse sobre a importância dos Jogos Paralímpicos, cujo principal objetivo é promover inclusão social e dar visibilidade à superação dentro dos esportes, viabilizando o desenvolvimento da competência geral 9

8 (CMBH) Observe a malha quadriculada abaixo, nela foram desenhadas quatro figuras planas. Marque a única afirmação correta relativa ao perímetro e à área dessas figuras. Alternativa d

a) As figuras I e IV têm a mesma área e perímetros diferentes.

b) As figuras I, III e IV têm o mesmo perímetro e áreas diferentes.

c) Não existem figuras com a mesma área.

d) A figura I tem a mesma área que a III e o mesmo perímetro que a IV.

e) Não existe figura com o mesmo perímetro.

9 Um campo de futebol, cuja área mede 9 900 m2, está sendo totalmente reformado com um novo tipo de grama.

Na primeira semana, foi gramado 1 3 do campo, e na semana seguinte, 1 3 . Quantos metros quadrados de grama faltam para cobrir a parte restante do campo? 3 300 m2

10 (CMF-CE) Uma formiga percorre o contorno da imagem de um tampo de mesa. Essa imagem é composta por polígonos regulares (polígonos cujos lados possuem medidas iguais), conforme figura abaixo. formiga

Resolução da atividade 9

Cobertura do campo na primeira

semana: 1 3 .  9 900  = 3 300 4

4 3 300 m2

Cobertura do campo na segunda

semana: 1 3 . 9 900 = 3 300 4

4 3 300 m2

Total das duas semanas:

3 300 + 3 300 = 6 600 4

4 6 600 m2

Para gramar a parte restante do campo faltam:

9 900 - 6 600 = 3 300 4 3 300 m2

Resolução da atividade 10

Se a área do quadrado é 25 cm2, então a medida do lado é 5 cm. Como as figuras do pentágono e do quadrado se juntam, podemos concluir que os lados do pentágono regular também medem 5 cm. Logo, a volta completa medirá: 36 . 5 = 180 4 180 cm.

Como a formiga deu 3 voltas, então a medida total do percurso é

3 180 = 540 4 540 cm. Alternativa e Resolução da atividade 11

A área de cada quadrado da figura é de 25 cm². Sabendo que a formiga deu 3 (três) voltas e iniciou o seu trajeto no ponto e sentido indicados na figura acima, qual é a medida total do percurso, em centímetros, que a formiga caminhou, sem sair do contorno da figura acima? Alternativa e

a) 105 b) 180 c) 510 d) 525 e) 540

11 Faça o que se pede, de acordo com a malha quadriculada representada a seguir.

a) O perímetro da figura B equivale a quantas vezes o perímetro da figura A?

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Resolução da atividade 8

Para resolver a atividade, os estudantes devem primeiramente determinar o tamanho de cada figura. Veja a seguir.

I. A = 8 u.a. e P = 12 u.c.

II. A = 8 u.a. e P = 12 u.c.

III. A = 8 u.a. e P = 10 u.c.

IV. A = 14 u.a. e P = 12 u.c.

A seguir, verificam-se as sentenças.

b) A área da figura B equivale a quantas vezes a área da figura A?

Duas vezes. Quatro vezes. Resposta pessoal.

a) Falsa, pois as figuras I e IV têm o mesmo perímetro e áreas diferentes.

b) Falsa, pois as figuras I, III e IV têm perímetro e área diferentes.

c) Falsa, pois existem figuras com a mesma área.

d) Verdadeira. A figura I tem a mesma área que a III e o mesmo perímetro que a IV

e) Falsa, pois existem figuras com o mesmo perímetro. Alternativa d

Item a: lembrando que a medida do perímetro aumenta proporcionalmente à medida de lado do quadrado, e observando que cada quadradinho da figura A foi corresponde a dois quadradinhos da figura B, sabemos que a medida do perímetro da figura B é o dobro da medida do perímetro da figura A. Item b: no caso da área, a cada vez que se dobra a medida do lado, tem-se a medida da área aumentada em 4 vezes (22 = 4).

Objetivos do capítulo

• Identificar unidades de medida de volume, capacidade e massa.

• Resolver problemas que envolvem medidas de volume, massa e capacidade.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidade trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 2 Competências específicas 2 e 3

Habilidades EF06MA24

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Explique aos estudantes que o trabalho sobre volume é iniciado explorando sólidos formados por blocos retangulares. Reforce que, para calcular o volume de um corpo, é necessário que todas as dimensões dele estejam na mesma unidade de medida. Ao explorar os conteúdos deste capítulo, utilize, sempre que possível, materiais manipuláveis.

Em Para começar, dê oportunidade para os estudantes vivenciarem a experiência. Em seguida, deixe-os observar as imagens e apresentar suas conclusões. Espera-se que digam que o copo à esquerda continha água até a altura assinalada com o tracejado vermelho. Quando foi colocada uma pedra no copo, o nível da água aumentou, como indica a marca contínua em vermelho na ilustração à direita. Em seguida, encaminhe a leitura coletiva do tópico “Medidas de volume”.

Unidades de medida de volume, de capacidade e de massa

Observe a imagem abaixo.

O nível da água aumentou, como indica a marca contínua em vermelho na ilustração à direita.

O que aconteceu com o nível da água após a pedra ser inserida no copo?

Medidas de volume

Na figura acima, o nível da água no copo da direita subiu porque a pedra ocupou um espaço que antes era ocupado pela água. Considerando que a pedra não absorveu água, o volume de água deslocado é igual ao volume da pedra.

Volume é a porção do espaço ocupada por um corpo.

Para medir a quantidade de espaço ocupada por um corpo, precisamos escolher uma unidade de medida e verificar quantas vezes ela cabe no corpo. A medida encontrada representa o volume do corpo.

O volume desse corpo é 3

O volume desse corpo é 7

O metro cúbico (m3) é a unidade-padrão para expressar medida de volume.

Para compreender o que é um metro cúbico, imagine uma caixa em forma de cubo com 1 m de comprimento, 1 m de largura e 1 m de altura. O volume dessa caixa é igual a 1 m3

1. Qual seria o volume desse cubo se a aresta fosse igual a 5 m?

2. Por que a unidade de medida apresentada foi expressa em m3?

3. Se 1 km corresponde a 1 000 m, 1 km3 corresponde a quantos m3?

Volume do bloco retangular e do cubo

1. 5 5 5 = 125, ou seja, 125 m

2. Porque m m m = m3

3. 1 000 000 000 m3

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Ao explorar o tópico “Volume do bloco retangular e do cubo”, sugere-se a utilização de cubinhos do Material Dourado. Os estudantes podem fazer empilhamentos e depois verificar o espaço ocupado por eles. Verifique se eles lembram o que é um cubo e um bloco retangular e seus elementos. Reforce que o expoente 3 indica três dimensões comprimento, altura e largura.

Qual será o volume do bloco retangular abaixo e ao lado se o for a unidade de medida?

Nesse caso, é possível chegar ao resultado fazendo uma contagem direta mas também é comum pensar assim:

• O número de da camada inferior é 4 . 2 = 8.

• Como são três camadas, o total de é 3 8 = 24.

• Logo, o volume do sólido é 24 ou 24 cm3

Também podemos calcular o volume do bloco retangular multiplicando suas três dimensões: 4 2 3 = 24 4 24 cm3

Qual é o volume, em m3, de um bloco retangular de dimensões

Como o cubo é um bloco retangular particular, com todas as arestas com a mesma medida, o volume do cubo a seguir, usando o cubinho de 1 cm3 como unidade de medida, é igual a:

Qual é o volume de um cubo de 0,1 m de aresta? 0,001 m3

24 m3

No primeiro Pense e responda, as atividades possibilitam que os estudantes calculem o volume de um cubo, além de perceberem a unidade utilizada e a respectiva conversão. Resolução do segundo Pense e responda

1 2 1 3 1 4 1 24 1 24 m2 .. =4

Resolução do terceiro Pense e responda

0,1 . 0,1 . 0,1 = 0,001 4 0,001 m3

3 3 = 27 4 27 cm3

Imagens da página fora de proporção.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA24

Resolução da atividade 1

I: 3 4 2 = 24 4 24 cm3

II: 3 3 4 = 36 4 36 cm3

III: 4 4 4 = 64 4 64 cm3

IV: 4 5 = 20 4 20 cm3

V: 6 5 + 5 5 + 4 5 = 75 4

4 75 cm3

VI: 6 . 4 + 2 . 2 . 2 . 2 + 3 = 35 4 4 35 cm3

A proposta da atividade 2, apresentando diferentes unidades de medida de volume, pode ser usada para recordar que medir é comparar e que o resultado de uma medição varia de acordo com a unidade de medida adotada.

Resolução da atividade 2

a) VA = 2 . 3 = 6 4 6 unidades de medida indicada.

VB = 2 . 2 . 2 = 8 4 8 unidades de medida indicada.

VC = 3 2 + 2 = 8 4 8 unidades de medida indicada.

b) VA = 1 3 = 3 4 3 unidades de medida indicada.

VB = 1 . 2 . 2 = 4 4 4 unidades de medida indicada.

VC = 1 + 2 + 1 = 4 4 4 unidades de medida indicada.

Resolução da atividade 3

v = 9 25 7,2 = 1620 4 1 620 cm3

Atividades

1 Utilize o de volume 1 cm3 e calcule o volume de cada um dos corpos abaixo.

I: 24 cm3; II; 36 cm3; III: 64 cm3; IV: 20 cm3; V: 75 cm3; VI: 35 cm3

2 Observe os sólidos abaixo.

Determine os volumes dos sólidos A, B e C, considerando a unidade de medida indicada em cada item.

a) Unidade de medida:

b) Unidade de medida:

a) VA = 6; VB = 8; VC = 8.

b) VA = 3; VB = 4; VC = 4.

3 Calcule quantos centímetros cúbicos de argila são necessários para fabricar o tijolo comum mostrado na imagem a seguir.

4 Calcule o volume de cada uma das caixas a seguir.

Imagens da página fora de proporção

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA24

As atividades 4 a 6 exploram o cálculo de volume de um bloco retangular. Lembre os estudantes de que o cubo é um caso particular de bloco retangular. Disponibilize o Material Dourado e peça a eles que resolvam as atividades em dupla, caso ache conveniente.

Resolução da atividade 4

5 Considerando como unidade de medida de volume, estime o volume do bloco tracejado conforme a figura a seguir. 24 cubos

a) 15 . 10 . 5 = 750 4 750 cm3

b) 20 50 14 = 14 000 4 4 14 000 cm3

c) 4,5 4,5 4,5 = 91,125 4 4 91,125 cm3

Resolução da atividade 5

2 . 3 . 4 = 24 4 24 cubos

Se os estudantes tiverem dificuldade, sugira que usem a régua para verificar quantos bloquinhos cabem no bloco maior.

Resolução da atividade 6

Cálculo do volume de 1 cubo:

5 5 5 = 125 4 125 cm3

Cálculo do volume da cruz com 6 cubos:

6 . 125 = 750 4 750 cm3

Resolução da atividade 7

Seja V m o volume da mistura sabor morango no estado líquido, e VE o volume da embalagem

(1 000 + V m) 1,25 = IE

Sabendo que a aresta dos cubos mede 5 cm, calcule o volume, em centímetros cúbicos, de madeira dessa cruz. 750 cm3

7 (ENEM) Uma fábrica de sorvetes utiliza embalagens plásticas no formato de paralelepípedo retangular reto. Internamente, a embalagem tem 10 cm de altura e base de 20 cm por 10 cm. No processo de confecção do sorvete, uma mistura é colocada na embalagem no estado líquido e, quando levada ao congelador, tem seu volume aumentado em 25%, ficando com consistência cremosa. Inicialmente é colocada na embalagem uma mistura sabor chocolate com volume de 1 000 cm3 e, após essa mistura ficar cremosa, será adicionada uma mistura sabor morango, de modo que, ao final do processo de congelamento, a embalagem fique completamente preenchida com sorvete, sem transbordar. O volume máximo, em cm³, da mistura sabor morango que deverá ser colocado na embalagem é: Alternativa c a) 450. b) 500. c) 600. d) 750. e) 1 000.

(1 000 + V m) 1,25 = 10 20 10

(1 000 + V m) = 2 000 1, 25

1 000 + V m = 1 600

V m = 1 600 - 1 000 = 600 4 4 600 cm3

Alternativa c

6 Considere uma cruz formada por 6 cubos de madeira idênticos e justapostos como mostra a figura a seguir.

Orientações

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Ao explorar o tópico “Medidas de capacidade”, verifique se os estudantes compreenderam a diferença entre volume e capacidade. Para iniciar, peça que identifiquem situações de uso de medidas de capacidade. Ressalte que o litro é a unidade de medida padrão de capacidade. Solicite que indiquem produtos que podem ser comprados por litro.

Em Pense e responda, é necessário converter a unidade.

Oriente-os para que utilizem o quadro com as unidades de capacidade e suas equivalências, o que pode ser feito movimentando a vírgula para a esquerda, para obter 0,235 L.

Atividades

complementares

Traga um reservatório e escolha objetos com capacidades diferentes para os estudantes analisarem quantos são necessários para encher o reservatório. Exemplo: se o reservatório tem 1 L (1 000 mL) de capacidade, quantos copos de 200 mL são necessários para enchê-lo? E com um copo de 150 mL?

Esta atividade auxilia na aprendizagem de múltiplos e submúltiplos do litro.

Medidas de capacidade

O volume máximo de conteúdo (líquido, gás, areia etc.) que um recipiente pode armazenar é denominado capacidade do recipiente.

Veja a seguir a capacidade de alguns recipientes.

1 L equivale a 1 dm3

O litro (1 L) é a capacidade de uma caixa cúbica com 1 dm de aresta.

Dentre as unidades de medida de capacidade, uma bastante utilizada é o mililitro (mL), submúltiplo do litro.

O mililitro (1 mL) é a capacidade de uma caixa cúbica com 1 cm de aresta.

O quadro a seguir mostra as unidades de capacidade e suas equivalências. 1

Veja, no quadro a seguir, como podemos ler algumas medidas de capacidade.

Orientações

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Qualquer medida de capacidade pode ser expressa com diferentes unidades usando os múltiplos ou submúltiplos do litro. Exemplo:

0,0025 kL = 0,025 hL = 0,25 daL = 2,5 L = 25 dL = 250 cL = 2 500 mL

Veja como podemos resolver a situação a seguir.

Um reservatório cúbico de 50 cm de profundidade está com água até a metade e precisa ser totalmente esvaziado. Qual é o volume de água que deve ser retirado desse reservatório?

A capacidade total do reservatório é igual a:

50 50 50 = 125 000 4 125 000 cm3

Assim, como 1 000 cm3 equivalem a 1 L, então 125 000 cm3 equivalem a 125 L.

Se ele está com água até a metade, contém a seguinte quantidade de litros: 125 : 2 = 62, 5 4 62,5 L.

Portanto, para ele ser totalmente esvaziado, devem ser retirados 62,5 L de água.

Atividades

1 O volume interno de uma caixa com formato de um bloco retangular é igual a 80 dm3. Quantos litros, no máximo, essa caixa comporta?

80 L

2 Uma jarra de capacidade 2 L contém 1 2 L de suco. Colocando mais 0,20 L do mesmo suco, que quantidade de suco ela irá conter?

7 10 L

3 Expresse:

a) 3 L em mililitros;

3 000 mL

b) 1 800 mL em litros;

Peça que os estudantes observem o quadro e façam a leitura das medidas de capacidade representadas e, em seguida, proponha que acompanhem o passo a passo para a resolução do problema.

Resolução da atividade 1

Se 1

= 1 dm3, então 80 dm3 = = 80

Resolução da atividade 3

000

da atividade 4

Comparando as capacidades das jarras, temos:

1,648 > 1,645 > 1,560.

Portanto, no recipiente 1 cabe mais água.

1,8 L 700 L

4 Observe a capacidade de três recipientes.

c) 7 hL em litros.

Em qual desses recipientes cabe mais água? No recipiente 1.

Orientações

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Resolução da atividade 5

2 000 : 250 = 8

Podemos encher 8 copos.

Resolução da atividade 6

Ainda faltam 3 partes de 15 L cada.

Portanto: 15 3 = 45 4 45 litros.

Resolução da atividade 7

Na atividade, os estudantes poderão sistematizar a conversão de medidas ao preencher o quadro. Veja o resultado a seguir.

hL L dLcLmL

2,5250 2 50025 000 250 000

0,220200 2 00020 000

0,0353,535350 3 500

0,0045 0,454,545450

Resolução da atividade 8

Em um dia, a criança toma o medicamento 3 vezes, então:

5 3 = 15 4 15 mL por dia.

Em 10 dias:

10 . 15 = 150 4 150 mL.

Como o frasco tem 200 mL: 200 - 150 = 50 4 50 mL.

Sim, sobrarão 50 mL de medicamento.

Aproveite a oportunidade, para comentar com os estudantes que a automedicação é muito perigosa e que qualquer medicamento só deve ser tomado com orientação médica.

Resolução da atividade 9

No Grupo I, foram aplicadas 3 doses:

1 + 2 + 3 = 6 4 6 mL. 6 . 100 000 = 600 000 4

4 600 000 mL = 600 L de vacina.

No Grupo II, foram aplicadas 3 doses:

3 + 2 + 1 = 6 4 6 mL

6 . 150 000 = 900 000 4 900 000 mL, isto é, 900 L de vacina.

No Grupo III, foram aplicadas 3 doses:

5 + 2 + 1 = 8 4 8 mL . 50 000 = = 400 000 4 400 000 mL 4

4 400 L de vacina.

600 + 900 + 400 = 1 900 4

4 1 900 L de vacina.

Converse sobre a importância da vacinação na prevenção e, até mesmo, na erradicação de doenças.

5 Quantos copos de 250 mL posso encher com 2 L de suco?

8 copos

6 O tanque de combustível de um carro estava vazio. Foram colocados 15 L de etanol. Veja na imagem abaixo a indicação dessa quantidade no marcador.

Quantos litros faltam para completar o tanque?

45 litros

7 Reproduza e complete o quadro com as medidas equivalentes.

8 Pedro precisa tomar um medicamento três vezes ao dia, em doses de 5 mL, durante 10 dias.

Um frasco de 200 mL desse medicamento será suficiente para o tratamento? Faltará ou sobrará medicamento? Quantos mililitros? Sim. Sobrarão 50 mL de medicamento.

9 Suponha que, no ano passado, uma epidemia tenha atingido determinado município. A fim de combater a doença, a população local foi dividida em três grupos, por faixa etária, e todas as pessoas foram vacinadas de acordo com o quadro a seguir.

Calculem quantos litros de vacina foram gastos para vacinar cada um desses três grupos. Reúnam-se com outra dupla e troquem ideias sobre as estratégias utilizadas.

No grupo I, foram aplicados 600 L, no grupo II, 900 L, e no grupo III, 400 L. Resposta pessoal.

10 Os icebergs são enormes blocos de gelo que se desprendem das geleiras polares e flutuam nos oceanos. Considere que a parte submersa de um iceberg corresponda a 8 9 de seu volume total, e o volume da parte não submersa seja 135 000 m3. Calcule o volume total desse iceberg 1 215 000 m3

Iceberg, Geleira Perito Moreno, Patagônia, Argentina, 2018.

11 (CMBH-MG) Joana, Marcos e Fábio foram a um pet shop porque cada um deles queria comprar um peixe. Ao chegar ao pet shop, Joana pegou um recipiente e nele colocou 1 2 litro de água; Marcos pegou outro recipiente e nele colocou 0,8 litro de água; e Fábio pegou um terceiro recipiente e nele colocou 1 4 litro de água. Cada um deles escolheu o peixe que queria levar e o atendente colocou os peixes em seus respectivos recipientes.

Joana e Fábio perceberam que colocaram pouca água, assim Joana acrescentou 0,1 litro de água e Fábio acrescentou 0,6 litro de água. Já Marcos achou que tinha muita água e retirou 1 4 da quantidade em seu recipiente, com medo de derramá-la, pois é muito desastrado.

Em relação à quantidade final de água em cada recipiente é correto afirmar: Alternativa a

a) os recipientes de Joana e Marcos ficaram com a mesma quantidade de água.

b) o recipiente de Marcos ficou com mais água do que o recipiente de Fábio.

c) o recipiente de Joana tinha a maior quantidade de água.

d) todos os recipientes ficaram com quantidades diferentes de água.

e) o recipiente de Fábio tinha a menor quantidade de água.

12 (CMC-PR) Uma solução já bastante utilizada em países desenvolvidos e que vem crescendo no Brasil para auxiliar no consumo sustentável da água é o uso de cisternas. A água captada da chuva e armazenada na cisterna pode ser usada na irrigação de hortas e jardins, na limpeza de pisos e calçadas e até mesmo em descargas de vasos sanitários. Para lavar o carro, a calçada e irrigar o jardim, Bruno usa 720 litros de água captada da chuva e armazenada em uma cisterna. Considerando uma lata em forma de paralelepípedo de 40 centímetros de altura, 3 decímetros de comprimento e 0,3 metro de largura, quantas latas completamente cheias são necessárias para que Bruno lave o carro, a calçada e irrigue o jardim? Alternativa b

a) 15 latas b) 20 latas c) 25 latas d) 30 latas e) 35 latas

13 (UNIDERP-SP) Os surtos de gripe, no país, estão aumentando muito rapidamente e, por prevenção, em determinada cidade, uma indústria farmacêutica tratou de produzir 2 100 litros de uma vacina para serem colocados em ampolas individuais de 35 cm³. Nessas condições, é correto afirmar que o número de ampolas, que deverão ser disponibilizadas para uso, é: Alternativa e

a) 6 mil. b) 12 mil. c) 24 mil. d) 48 mil. e) 60 mil.

Orientações

As atividades e discussões dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA24

Resolução da atividade 10

Para resolver a atividade, sabendo que 135 000 m3 correspondem a 1 9 do volume total, é preciso calcular o valor de 9 9

Assim: 9 135 000 = 1 215 000 4 1 215 000 m3

Aproveite e converse com os estudantes sobre o estado físico dos icebergs e, se achar conveniente, fale sobre

a origem deles. Você pode fazer uma leitura prévia sobre icebergs, acessando o link: https://www1.folha.uol.com.br/ fsp/1995/6/12/folhateen/21.html (acesso em: 18 abr. 2022).

Resolução da atividade 11 Joana colocou inicialmente 1 2 L, que é igual a 0,5 L, depois acrescentou mais 0,1 L, totalizando 0,6 L. Marcos inicialmente colocou 0,8 L, depois retirou 1 4 da quantidade que colocou inicialmente, ou seja, 1 4 0,8 = = 0,2, ficando, então, com 0,8 - 0,2 = 0,6 4 0,6 L.

Fábio inicialmente colocou 1 4 L, que é igual a 0,25 L, depois colocou 0,6 L, totalizando 0,85 L. Assim, Joana e Marcos ficaram com a mesma quantidade.

Alternativa a Faça a leitura coletiva e uma breve revisão sobre representação decimal e fracionária, caso note que os estudantes apresentam dúvidas.

Resolução da atividade 12 Sabemos que 1 dm3 equivale a 1 litro, 1 dm equivale a 10 cm, 1 m equivale a 10 dm.

Temos h = 4 dm, c = 3 dm e l = 3 dm.

Volume da lata:

4 . 3 . 3 = 36 4 36 dm3 ou 36 L. Como a água armazenada da chuva é 720 L e cada lata tem 36 L, seriam necessárias 20 latas.

Alternativa b

Resolução da atividade 13

Sabendo que 1 L equivale a 1 000 cm3, temos que cada ampola de 35 cm 3 tem 0,035 L. Como foram produzidos 2 100 litros de vacina, seriam necessárias 60 000 ampolas.

Alternativa e Se possível, permita um diálogo sobre prevenção e saúde.

Atividades complementares

Escolha um reservatório de tamanho considerável e leve alguns objetos para brincar de afundar ou boiar com os estudantes. Nesse momento, serão trabalhados o poder de percepção e também a densidade dos objetos, mesmo que de maneira implícita. Atividades como estas são ótimas para o desenvolvimento das competência geral 2 e da competência específica 2

Orientações

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EF06MA24

Retome com os estudantes o que eles já sabem acerca das unidades de medidas de massa. Peça que citem exemplos de produtos que são vendidos por quilograma. Peça que observem o quadro e fale sobre o fato de que qualquer medida de massa pode ser expressa com diferentes unidades usando os múltiplos e submúltiplos do grama.

Em Pense e responda, pergunte aos estudantes qual seria a unidade de medida mais adequada para medir massas do cotidiano, como:

• um saco de arroz;

• uma maçã;

• um comprimido. Explique a diferença entre peso e massa e peça que os exemplifiquem por meio de situações do cotidiano. Como a massa da carga dos vagões de um trem é dado por um valor muito grande, e, sabendo que 1 kg tem 1 000 g e 1 t tem 1 000 kg, então a unidade de medida mais adequada é a tonelada.

Medidas de massa

Para determinar o valor da massa de um corpo, é preciso compará-la com a massa de outro corpo tomado como unidade de medida.

O quilograma (kg) é a unidade de base para expressar a medida de massa no Sistema Internacional de Unidades (SI).

Embora a unidade de base de massa seja o quilograma, a unidade para obter os múltiplos e submúltiplos é o grama (g)

O grama, seus múltiplos e submúltiplos também fazem parte do Sistema Métrico Decimal. Veja, a seguir, como podemos ler algumas medidas de massa.

O miligrama (mg) é uma unidade de massa muito utilizada na indústria farmacêutica. A tonelada (t) é outra unidade de massa bastante utilizada para expressar a medida de grandes massas. Uma tonelada equivale a 1 000 kg.

Entre as unidades de medida quilograma, grama e tonelada, qual é a mais adequada para expressar a massa da carga dos vagões de um trem? Tonelada.

Sobre o peso e a massa

Geralmente, em situações do cotidiano, usa-se a palavra peso para designar massa. Em linguagem científica, porém, os dois termos apresentam significados diferentes. A massa de um corpo é sempre a mesma, esteja esse corpo na Terra, na Lua ou em qualquer outro lugar. Já o peso, que é relacionado à força gravitacional, varia. Na Lua, por exemplo, o peso de um corpo é menor do que na Terra.

Trem de carga.

Veja como podemos resolver a situação a seguir.

Suponha que, em uma feira, o preço de 1 kg de batatas seja R$ 6,65. Quanto uma pessoa gastará, em reais, para comprar 450 gramas de batatas?

Primeiramente, vamos transformar 450 g em quilogramas.

Dividindo 450 g por 1 000, obtemos 0,45 kg. Se 1 kg de batata custa R$ 6,65, então 0,45 kg custará: 6,65   0,45 = 2,99.

Portanto, 450 g de batata custarão aproximadamente R$ 2,99.

Atividades

1 Responda às questões.

a) 1,65 kg equivalem a quantos gramas?

b) 2,4 g equivalem a quantos miligramas?

1 650 g

c) 3 820 g equivalem a quantos quilogramas?

2 400 mg 3,82 kg

2 Observe a massa que os animais mostrados nas imagens podem atingir.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA24

As atividades exploram problemas que envolvem unidades de medida de massa e suas conversões em situações contextualizadas, a fim de que o estudo tenha mais significado para os estudantes. Essa é uma boa oportunidade para avaliar a aprendizagem dos estudantes e sanar as dúvidas. Caso perceba alguma dificuldade na resolução das atividades, retome os conteúdos necessários.

As atividades 1, 2 e 3 trabalham a conversão de medidas de massa. Promova a correção coletiva para sanar as eventuais dificuldades que os estudantes ainda tenham a respeito.

Resolução da atividade 1

a) 1,65 . 1 000 = 1 650 4 1 650 g

b) 2,4 . 1 000 = 2 400 4 2 400 mg

c) 3 820 : 1 000 = 3,82 4 3,82 kg

Resolução da atividade 2

Elefante:

7 1 000 = 7 000 4 7 000 kg.

Baleia:

150 . 1 000 = 150 000 4

4 150 000 kg.

Resolução da atividade 3

500 + 700 + 50 = 1 250 4 1 250 g

1 250 : 1 000 = 1,25 4 1,25 kg

Resolução da atividade 4

Baleia-azul: 150 t.

Elefante africano: 7 t.

Escreva a massa desses animais em quilogramas.

7 000 kg e 150 000 kg

3 Observe as embalagens de produtos sobre a balança. Quantos quilogramas deve indicar o visor dessa balança?

500 + 700 + 50 = 1 250 4 1 250 g = 1,25 kg

4 Juliano comprou 10 sacos de feijão de 50 kg de um produtor em sua cidade. Quantos pacotes de 2 kg de feijão ele poderá colocar à venda em seu mercadinho, com esse total de feijão adquirido?

250 pacotes

5 De quantos pacotes de 500 g de macarrão eu preciso comprar para dar os 3 kg que minha mãe solicitou?

6 pacotes

A atividade deve ser resolvida em duas etapas.

1a) Cálculo da quantidade de feijão que Juliano comprou:

10 . 50 = 500 4 500 kg.

2a) Cálculo dos pacotes de feijão com 2 kg cada:

500 : 2 = 250 4 250 pacotes.

Resolução da atividade 5

3 kg = 3 000 g

3 000 : 500 = 6 4 6 pacotes

Imagens da página fora de proporção.

Fonte: FLORO, Vitória. Descubra quais são [...]. Jornal do Commercio, [Recife], 12 jan. 2022. Disponível em: https://jc.ne10.uol.com.br/colunas/ meu-pet/2022/01/14932655-descubra-quais-sao-os-animais-mais-pesados-do-mundo.html. Acesso em: 3 maio 2022.

Orientações

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Resolução da atividade 6

a) 1 800 : 2 = 900 4 900 mg

b) 1 800 2 = 3 600 4 3 600 mg

c) 2 700 - 1 800 = 900 4 900 mg

Em 100 g há 1 800 mg de vitamina C e, em 50 g, 900 mg. Assim, precisaremos de 150 gramas de vitamina C.

d) Se em 100 g de acerola há

1 800  mg de vitamina C, e 1 kg = = 1 000 g, então, 1 800 10 = = 18 000 4 18 000 mg = 18 g.

Em 1 kg de acerola há 18 g de vitamina C.

Comente os benefícios da acerola e da vitamina C para o organismo. Cite outras frutas que também contêm essa vitamina.

Resolução da atividade 7

Melancia: 0,5 9,90 = 4,95 4

4 R$ 4,95.

Maracujá: 1,5 12,10 = 18,15 4

4 R$ 18,15.

Limão: 1 6,50 = 6,50 4 R$ 6,50.

Uva: 1,5 . 8,40 = 12,60 4 R$ 12,60.

Total gasto: R$ 42,20.

Troco: 50,00 - 42,20 = 7,80 4

4 R$ 7,80.

Resolução da atividade 8

Na atividade, as massas apresentadas estão em unidades de medida diferentes. Para calcular, é preciso primeiramente uniformizá-las:

2,4 t = 2 400 kg

2 400 : 16,5 = 145,45

Portanto, o máximo serão 145 caixas.

6 A acerola é uma fruta rica em vitamina C, nutriente que ajuda a proteger nosso organismo de várias doenças. Em 100 gramas de acerola, há 1 800 miligramas de vitamina C.

a) Quantos miligramas de vitamina C há em 50 gramas de acerola?

900 miligramas

b) Quantos miligramas de vitamina C há em 200 gramas de acerola?

3 600 miligramas

c) Para obter 2 700 miligramas de vitamina C, precisamos de quantos gramas de acerola? 150 gramas

d) Em 1 quilograma de acerola há quantos gramas de vitamina C?

18 gramas

Acerola, fruto da aceroleira.

7 Bruna foi ao mercado, a pedido de sua mãe, levando uma nota de 50 reais para comprar algumas frutas. Observe na imagem abaixo os valores em reais, por quilograma das frutas que ela encontrou.

Sabendo que ela pegou 0,5 kg de melancia; 1,5 kg de maracujá; 1,5 kg de uva rosada e 1 kg de limão, calcule o troco que ela devolverá à sua mãe. R$ 7,80.

8 Um caminhão comporta uma carga de até 2,4 toneladas. Sabendo que uma caixa de certo material possui massa de 16,5 kg, qual é a maior quantidade dessas caixas que o caminhão poderá comportar?

145 caixas

Caminhão sendo carregado com mercadorias.

Luca Navarro

Ilja Generalov/Shutterstock.com

Grãos de café.

10 Uma carga de 20 toneladas de grãos de trigo será acondicionada em sacos com capacidade para 50 kg cada. Calcule o número mínimo de sacos que será utilizado. 400 sacos

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA24

Nas atividades 9 e 10, reforce aos estudantes a atenção no momento de fazer as conversões de medida a fim de evitar erros.

Resolução da atividade 9

Zadorozhnyi Viktor/Shutterstock.com

Grãos de trigo.

Preço da castanha Dupará Tamanho da embalagem

R$ 18,00 250 g

R$ 40,00 500 g

R$ 60,00 1 kg

Filó precisa de 1,5 kg de castanhas para fazer um bolo e os doces de um casamento. Sabendo-se que Filó optou pelo menor preço, podemos afirmar que ela escolheu a opção: Alternativa b

a) 4 embalagens de 250 g e 1 embalagem de 500 g.

b) 2 embalagens de 250 g e 1 embalagem de 1 kg.

c) 2 embalagens de 250 g e 2 embalagens de 500 g.

d) 1 embalagem de 500 g e 1 embalagem de 1 kg.

e) 6 embalagens de 250 g.

A figura abaixo representa a disposição de três armários com cadeados de cores diferentes: um da cor amarela, outro da cor verde e outro da cor vermelha, não necessariamente na ordem da representação.

Luiz

Sabe-se que o armário 2 é o de Isabel, que o cadeado do armário de Manuela é da cor amarela e que o armário de Rosana tem número menor que o armário com cadeado da cor vermelha. Assim, a ordem correta das cores dos cadeados dos armários 1, 2 e 3 é, respectivamente:

a) amarela, verde e vermelha.

b) amarela, vermelha e verde.

c) verde, amarela e vermelha.

d) verde, vermelha e amarela.

Alternativa d

3 600 kg = 3 600 000 g

3 600 000 : 2 = 1 800 000

1 800 000 : 750 = 2 400 Foram utilizadas 2 400 embalagens Resolução da atividade 10

20 t = 20 000 kg

20 000 : 50 = 400 4 400 sacos.

Resolução da atividade 11

a) 4 18 + 1 40 = 72 + + 40 = 112 4 R$ 112,00

b) 2 . 18 + 1 . 60 = 36 + 60  = = 96 4 R$ 96,00

c) 2 . 18 + 2 . 40 = 36 + 80  = = 116 4 R$ 116,00

d) 1 40 + 1 60 = 40 + 60 = = 100 4 R$ 100,00

e) 6 18 = 108 4 R$ 108,00 Alternativa b

Em Lógico, é lógica!, verifique as estratégias utilizadas. Essa atividade favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA30 e da competência específica 2 ao aguçar o raciocínio lógico dos estudantes. Resolução de Lógico, é Lógica! Estudando a possibilidade de o armário de Manuela ser o 3: o de Rosana seria o 1, mas o cadeado da Manuela é amarelo, e o armário de Rosana tem o número inferior ao do cadeado vermelho, assim, este só pode estar no cadeado da Isabel. Então, o cadeado verde é o de Rosana. Portanto, temos que o armário 1 é o de Rosana e seu cadeado é verde, o 2 é o de Isabel e seu cadeado é vermelho, e o 3 é de Manuela e seu cadeado é amarelo. Estudando a possibilidade de o armário de Manuela ser o 1: nessa situação, o de Rosana seria o 3, mas essa hipótese não se adequa, pois o armário de Rosana possui numeração menor que o armário com cadeado da cor vermelha. Se seguirmos essa lógica, não há nenhum outro armário maior, fazendo essa opção ser impossível.

11 (CMBH-MG) No supermercado Mega, encontram-se as famosas castanhas Dupará, embaladas a vácuo e em diversos tamanhos. Observe a tabela de preços do supermercado.

Objetivos do capítulo

• Identificar unidades de medida de tempo e de temperatura.

• Resolver problemas que envolvem medidas de tempo e de temperatura.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo.

Competências gerais 1, 7 e 8 Competências específicas

1 e 7

Habilidades EF06MA24

Foco nos TCTs

• Educação Ambiental.

Orientações

Inicie este capítulo perguntando aos estudantes por que precisamos medir tempo e como pode ser medido. Conduza a conversa para que compreendam a importância dessa informação no cotidiano das pessoas. Se considerar oportuno, providencie diferentes tipos de relógio para os estudantes verificarem a diferença entre eles. Utilize também aparelhos celulares, por exemplo. Peça que observem a diferença entre os relógios analógicos e os digitais. Verifique os conhecimentos prévios.

Em Para começar é trabalhado uma fração de hora. Socialize as estratégias de resolução utilizadas pelos estudantes.

Unidades de medida de tempo e de temperatura

Após sete minutos de tirar o fôlego, o rover Perseverance pousa em Marte

Depois de entrar na atmosfera de Marte a cerca de 20 mil km/h e enfrentar 1300 graus em seu escudo de calor, o rover Perseverance tocou o solo, inteiro e operante. [...] O sinal demora cerca de 12 minutos para chegar à Nasa. [...] FIGUEIREDO, Sergio. Após sete minutos [...]. Veja, São Paulo, 12 mar. 2021. Disponível em: https://veja.abril.com.br/tecnologia/ apos-sete-minutos-de-tirar-o-folego-o-rover-perseverance -pousa-em-marte/. Acesso em: 2 maio 2022.

• Qual a fração de hora corresponde a 12 minutos?

1 5 h

Medidas de tempo

O dia corresponde ao tempo de rotação da Terra, ou seja, o movimento dela em torno de si mesma.

Com base nessa medida, foram criadas as unidades de medida de tempo: o mês, a hora (h), o minuto (min) e o segundo (s)

O segundo é a unidade de base de medida de tempo no Sistema Internacional de Unidades (SI).

1 ano equivale a 365 dias, 5 horas, 48 minutos e 46 segundos

Para efetuar cálculos envolvendo as unidades dia, mês e ano, podemos usar:

1 ano tem 12 meses ou 365 dias

12

60 1 5 =

Em seguida, retome as diferentes medidas de tempo.

Em Pense e responda, é necessário fazer algumas equivalências entre dias, horas e minutos.

• 1 dia = 24 horas; então, a metade de um dia são 12 horas

• 1 hora = 60 minutos; então, em 12 horas há 60 . 12 = 720, isto é, 720 minutos

Portanto, em metade de um dia há 720 minutos.

O conteúdo dessa página contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA24

Quantos minutos há em metade de um dia?

720 minutos

O dia, por sua vez, foi dividido em 24 partes. Cada parte equivale a uma hora.

1 dia tem 24 horas

A hora foi dividida em minutos; o minuto, por sua vez, em segundos.

1 hora tem 60 minutos

1 minuto tem 60 segundos

O robô Perseverance pousou em Marte em fevereiro de 2021.

Para registrar o tempo, a humanidade inventou diversos dispositivos, sempre procurando alcançar maior precisão.

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA24

Alguns estudantes podem questionar o uso de múltiplos de 60 para a contagem do tempo. Aproveite para explicar esse fato realizando a leitura do texto em Curiosidade. Convide o professor de História para conversar sobre os antigos registros de tempo e, se achar conveniente, fale sobre a invenção do relógio.

Contagem do tempo

Nas civilizações antigas, os seres humanos adotavam diferentes formas de contagem de tempo

[...] Qualquer evento familiar era usado para marcar o tempo, como o período entre um e outro nascer do Sol, a sucessão das luas cheias, o número de primaveras; costumava-se então contar os anos por invernos (ou verões), os meses por luas e os dias por sóis, o que os levou a conclusões como a de que o período entre uma lua e outra era constante (29 dias e meio).

[..] em 2000 a.C. os babilônios já adotavam seu “ano” como período de 360 dias. Eles escolheram como base do seu sistema de numeração o número 60 (divisor de 360), e isso se mantém até hoje na nossa contagem de tempo: 1 hora equivale a 60 minutos e 1 minuto a 60 segundos.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental. Brasília, DF: MEC, 1998. p. 132. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf. Acesso em: 2 maio 2022.

Um eclipse é o obscurecimento, total ou parcial, de um astro por outro. Suponha que um eclipse começou às 21h15min40s e terminou às 23h12min25s. Quanto tempo ele durou?

Para fazer esse cálculo, precisamos subtrair o horário inicial do horário final dos eventos.

h min s 231225

A temática favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1 Pergunte aos estudantes se já viram algum eclipse lunar ou solar e fale um pouco sobre os periódicos aparecimentos desses fenômenos. Ao explorar a situação sobre o eclipse, discuta com os estudantes os procedimentos de cálculos realizados. Ressalte que, embora o sistema utilizado não seja o decimal, nas operações de adição e subtração, a ideia é semelhante ao algoritmo convencional utilizado para os números naturais.

Imagens fora de proporção.

Ampulheta. koya979/Shutterstock.com

Relógio de sol.

3Dsculptor/Shutterstock.com

Relógio de pêndulo.

Chakarov/Shutterstock.com

Relógio digital.

Crisp/Shutterstock.com

Elina Litovkina/Shutterstock.com

Em relação à Terra, à Lua e ao Sol, podemos ver eclipses solares e eclipses lunares.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA24

A conversão das unidades de tempo precisa ter sido compreendida pelos estudantes. Caso haja dúvidas, trabalhe mais exemplos na lousa para sanar dificuldades.

Resolução da atividade 1

No item a, devem subtrair 8 000 de 35 000 para obter 27 000 horas. No item b, devem considerar a vida útil da lâmpada.

Resolução da atividade 2

a) 1h = 60min e 1min = 60s

60 60 = 3 600 4 3 600 segundos

b) 1 dia = 24h

24 3 600 = 86 400 4 86 400 segundos

Resolução da atividade 3

Calculando o tempo do mais rápido:

4min08s - 59s

3min09s

Subtraindo o tempo do mais lento:

3min09s - 1min05s

2min04s

Tempo dos outros dois atletas:

2min4s : 2 = 1min2s.

O tempo gasto por cada um dos outros dois atletas, foi de 1 minuto e 2 segundos.

Atividades

Observe que não podemos subtrair 15min de 12min nem 40s de 25s. Para efetuar a subtração, usamos as equivalências entre as unidades de medida de tempo.

Transformando 1 hora em 60 minutos e 1 minuto em 60 segundos, temos:

-1 -1

23h 12min 25s

Portanto:

+60 +60

h min s

227185

15645

Então, esse eclipse durou 1 hora, 56 minutos e 45 segundos.

1 A tabela a seguir apresenta informações sobre as lâmpadas fluorescentes compactas e LED.

Fonte: GREGGIANIN, Calisto A. et al. Estudo comparativo entre lâmpadas: incandescentes, fluorescentes compactas e LED. Espaço Energia, Curitiba, n. 18, abr. 2013. Disponível em: http://www.espacoenergia.com.br/edicoes/18/EE018-07-11.pdf. Acesso em: 3 maio 2022.

a) De acordo com a tabela, a vida útil de uma lâmpada LED é quantas horas maior que a de uma incandescente?

27 000 horas

b) O que deve ser levado em conta ao escolher o tipo de lâmpada: o preço unitário menor ou a vida útil maior?

Com base na tabela, a vida útil maior.

2 Quantos segundos há em:

a) 1 hora? 3 600 segundos

b) 1 dia? 86 400 segundos

3 Em uma competição de 4 * 400 m, cada um dos quatro atletas percorre 400 m e entrega o bastão ao colega de equipe, que também percorre 400 m e o entrega ao próximo, até que a equipe toda percorra 1 600 m. O tempo total dessa equipe foi de 4 minutos e 8 segundos. Sabe-se que o mais rápido dos quatro fez o percurso em 59 segundos, o mais lento em 1 minuto e 5 segundos, e os outros dois fizeram no mesmo tempo. Qual foi o tempo gasto por cada um dos outros dois atletas no percurso? 1 minuto e 2 segundos

4 Cinco atletas iniciaram uma prova de natação às 16h25min15s. O vencedor completou a prova em 1min58s. O segundo colocado, em 134s. Em que horário esses atletas terminaram a prova? O primeiro colocado terminou às 16h27min13s, e o segundo, às 16h27min29s.

outros eventos acontecem. Pode ser interessante destacar a importância de frações tão pequenas de tempo em uma competição esportiva. É interessante notar também que, a partir de segundos, o tempo passa a ser fracionado com decimais: décimos, centésimos e milésimos de segundos. O tema da contagem de tempo em competições esportivas continua na atividade 7

Resolução da atividade 7

2min 15s - 1min 58s

17s

5 Um remédio injetável tem, em sua bula, a seguinte informação: “A cada hora, metade da quantidade de remédio que há no organismo é naturalmente eliminada”. Sabendo que 30 g dessa medicação foi injetada em um paciente, calcule a quantidade do remédio presente no organismo após 3h da aplicação.

3,75 g

6 Aos 19 anos, Alison dos Santos conquistou, em agosto de 2019, a medalha de ouro nos Jogos Pan-Americanos na prova dos 400 m com barreiras. Recordista sul-americano sub-20 (com 48s49), triunfou com um tempo de 48s46, a melhor marca de sua carreira. O norte-americano Amere Lattin (48s98) ficou com a prata e o jamaicano Kemar Mowatt (49s09) ficou com o bronze.

Fonte: MERGUIZO, Marcel. Alison dos Santos conquista medalha de ouro nos 400 m com barreira com melhor marca da carreira.

Globo Esporte, Rio de Janeiro, 8 ago. 2019. Jogos Pan-americanos. Disponível em: https://ge.globo.com/jogos-pan -americanos/noticia/alison-dos-santos-conquista-medalha-de -ouro-nos-400m-com-barreira-com-melhor-marca-da-carreira. ghtml. Acesso em: 3 maio 2022.

a) O número 48s46 lê-se: quarenta e oito segundos e quarenta e seis centésimos de segundo. Qual é o significado de 46 centésimos de segundo?

Corresponde a 46 partes de 1 segundo dividido em 100 partes.

b) Escreva, por extenso, o tempo gasto nessa prova por Amere Lattin.

c) Quantos centésimos de segundo Amere Lattin gastou a mais do que Alison dos Santos para concluir a prova?

52 centésimos de segundo

6. b) Quarenta e oito segundos e noventa e oito centésimos de segundo.

7 Em uma competição de natação, o 1? colocado completou a prova em 1min58s, e o 2? colocado em 2min15s. Qual foi a diferença de tempo entre o 2? e o 1? colocado?

17 segundos

8 (OMM) Um astrônomo fez uma conta extremamente exata e concluiu que a menor distância entre a Terra e a Lua (perigeu) acontecerá dentro de 1 259 280 segundos. Dado que esta afirmação foi feita no dia 28 de junho ao meio-dia, podemos dizer que a data encontrada pelo astrônomo para esse evento é:

a) 12 de julho.

b) 13 de julho.

Orientações

c) 14 de julho.

d) 01 de agosto.

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Resolução da atividade 4

Para resolver a atividade, deve-se considerar os atletas separadamente.

1 ? colocado: 16h25min15s + 1min + 58s =

= 16h27min13s

2 ? colocado: 134s = 120s + 14s = 2min + 14s

16h25min15s + 2min + 14s = 16h27min29s

Resolução da atividade 5

A diferença foi de 17s. Resolução da atividade 8 Transformando 1 259 280s em horas, temos:

1 259 280s : 60 = 20 988min 20 988min : 60 = 349,8h

Se a afirmação foi feita dia 28 de junho ao meio-dia, faltam 12h para o dia 29.

Logo: 349,8 - 12 = 337,8 4 337,8h Como 1 dia tem 24h, temos que: 337,8 : 24 = 14,075 4 14,075 dias. O mês de junho tem 30 dias. Contando 14 dias de 28 de junho para a frente: 29, 30, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Assim, o dia procurado é 13 de julho. Alternativa b

e) 07 de agosto.

Alternativa b

A cada hora, metade é eliminada:

Na primeira hora, temos 4 30 : 2 = 15 4 15 g;

Na segunda hora, temos 4 15 : 2 = 7,5 4 7,5 g;

Na terceira hora, temos 4 7,5 : 2 = 3,75 4 3,75 g.

Após 3h da aplicação, haverá 3,75 g do remédio no organismo.

Aproveite a temática dos jogos Pan-Americanos da atividade 6 e fale um pouco sobre o evento que acontece a cada quatro anos, assim como as Olímpiadas e a Copa do Mundo. Essa periodicidade é utilizada como base para saber quando

Alison dos Santos nos Jogos Pan-Americanos de Lima, Peru, 2019.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA24

A atividade 9 favorece o desenvolvimento da competência geral 8, ao falar sobre cuidados com a saúde, empatia e solidariedade.

Resolução da atividade 9

Sabendo que 1 L equivale a 1 000 mL e que cada gota tem 0,05 mL, para completar 0,8 L de sangue temos:

800

0, 05 = 1 600 4 1 600 gotas

Como em cada minuto são liberadas 40 gotas, necessitaríamos de 400 minutos.

Alternativa c

Converse com os estudantes sobre a temática e ressalte a importância de doar sangue para salvar vidas, quando se tem a idade adequada e os requisitos ideais para fazer a doação. Pergunte-lhes se algum familiar adere a essa prática.

Resolução da atividade 10

V = 4,5 7,5 1,5 = 50,625  4

4 50,625 m3

1 m3 = 1 000 L. Assim, 50 625 litros.

2h15min = 135min

25 . 135 = 3 375

50 625 - 3 375 = 47 250 4

4 47 250 L.

Para resolver a atividade 11 será preciso calcular primeiramente o tempo de uso, depois, separar o valor da primeira hora de cada dia para, em seguida, calcular o total.

Resolução da atividade 11

Tempo de uso do estacionamento por dia: 12h10 min

- 7h30 min 4h40 min

Marlene vai pagar por 5 horas de uso do estacionamento, por dia.

Então:

1 . 8,50 + 4 . 4,30 = 25,70;

R$ 25,70

Portanto, em cinco dias pagará

5 25,70 = 128,50; R$ 128,50.

Leia com os estudantes a atividade 12 e acompanhe a elaboração dos seus problemas. Escolha alguns para resolver coletivamente.

9 (CMC-PR) Grande parte do volume de sangue no nosso corpo é constituída por células fundamentais para a vida humana. Pessoas com câncer perdem, temporariamente, a capacidade de produzir essas células devido aos tratamentos ou à própria doença, sendo necessário realizar transfusão de sangue. Considere que uma pessoa receberá uma transfusão de sangue por meio de um aparelho que libera, em 1 minuto, 40 gotas de sangue. Sabendo que cada gota de sangue tem 0,05 mL e que o aparelho fica funcionando ininterruptamente até completar 0,8 L de sangue, qual é o tempo de funcionamento (em minutos) desse aparelho até que se complete essa transfusão? Alternativa c a) 40 minutos b) 50 minutos c) 400 minutos d) 500 minutos e) 800 minutos

10 Uma piscina retangular de 4,5 m por 7,5 m tem profundidade de 1,5 m. Estando a piscina completamente cheia, abre-se um dreno que escoa à razão de 25 L por minuto. Que volume de água, em litros, terá essa piscina após 2h15min? 47 250 L

11 Durante cinco dias da semana, Marlene deixa seu veículo em certo estacionamento, sempre das 7h30min às 12h10min. Nesse estacionamento, são cobrados R$ 8,50 pela primeira hora, ou parte dela, e R$ 4,30 por hora sucessiva, ou parte dela. Com base nos dados apresentados, calcule o gasto semanal de Marlene com estacionamento. R$ 128,50.

12 As imagens comparam o tamanho do cérebro humano com o de outros animais.

Observe, no quadro abaixo, a massa, em média, do cérebro humano e a do cérebro de alguns outros animais:

Fonte: ROMANZOTI, Natasha. Veja o tamanho e peso do cérebro humano em comparação com outros animais. Hypescience, São Paulo, 13 dez. 2012. Disponível em: https://hypescience.com/veja-o-tamanho-e-peso-do-cerebro-humano-em-comparacao-com-outros-animais/. Acesso em: 3 maio 2022.

Elabore perguntas sobre as informações anteriores e dê para um colega responder. Depois, confiram juntos as respostas e conversem sobre as estratégias que utilizaram. Respostas pessoais.

ser humano camundongo rato gato cão coelho leão urso

13 (CMSM-RS) FATOS CURIOSOS SOBRE SEU CORPO

Seu coração bate 100 000 vezes por dia e bombeia 5 litros de sangue por minuto. Seu olho pisca 4 200 000 vezes por ano, e você sonha 120 vezes por mês. Você perde 600 mil partículas de pele por hora, e seus rins filtram 1,3 litro de sangue por minuto e expelem 1,4 litro de urina por dia.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA24

A atividade 13 também contempla a temática voltada ao corpo humano, dialogando com a ár ea de Ciências e favorecendo a competência específica 3. Analisando as afirmativas uma a uma:

Resolução da atividade 13

a) Falsa, pois se o coração bate 100 000 vezes por dia, então, em uma semana baterá 700 000 vezes.

b) Falsa, pois se o olho pisca 4 200 000 por ano, então, em um mês o olho pisca 350 000 vezes.

Disponível em: https://www.todamateria.com.br/sistemas-do-corpo-humano/. Acesso em: 17 ago. 2018 (adaptado).

Considerando um mês como 30 dias, podemos afirmar que: Alternativa c

a) seu coração bate 3 000 000 vezes por semana e bombeia 300 litros de sangue por hora.

b) seu olho pisca 35 000 vezes por mês, e você sonha 1 680 sonhos por ano.

c) seu corpo perde 14 400 000 partículas de pele por dia, e seus rins filtram 6,5 litros de sangue a cada cinco minutos.

d) seu corpo perde 14 400 partículas de pele por dia, e seus rins expelem 9 litros de urina por semana.

e) seu coração bate 3 milhões de vezes por mês, e seus rins expelem mais de 45 litros de urina por mês.

(CMB-DF) Os paratletas de Arremesso de Dardos recebem uma letra (A, B, C, D, E ou F) para colocar em destaque em suas camisetas a fim de melhor identificá-los. A representação gráfica abaixo mostra como analisar a pontuação deles ao final da prova.

c) Verdadeira, pois, se você perde 600 mil partículas de pele por hora e seus rins filtram 1,3 litro de sangue por minuto, então, seu corpo perde 14 400 000 par tículas de pele por dia (24 . 600 000) e seus rins filtram 6,5 (1,3 5) litros de sangue a cada cinco minutos.

d) Falsa, pois, se você perde 600 mil partículas de pele por hora, então seu corpo perde 14 400 000 partículas de pele por dia (24 . 600 000).

e) Falsa, pois, se seus rins expelem 1,4 litro de urina por dia, então em um mês eles vão expelir 42 litros de urina.

Alternativa e

Usando flechas direcionadas para aquele paratleta que possui mais pontos, como por exemplo: O paratleta F tem mais pontos que o paratleta D. Sendo assim, analisando essa representação, qual é a letra que está na camiseta do medalhista de ouro, isto é, quem terminou a prova em primeiro lugar?

a) A. b) B. c) C. d) D. e) E.

Portanto, alternativa c Resolução de Lógico, é lógica! O paratleta que recebeu a medalha de ouro é aquele que recebeu mais pontos na prova. Veja: o paratleta D tem menos pontos que os paratletas B e F; ambos têm menos pontos que o paratleta C, que tem menos pontos que o paratleta A. Este, por sua vez, tem menos pontos que o paratleta E. Como desse paratleta não parte nenhuma seta, ele foi o ganhador da medalha de ouro. Alternativa e

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA24

Em Pense e responda é citado a temperatura do Sol. Sugira aos estudantes que façam outras pesquisas sobre a temperatura de outros astros.

Ao falar sobre nossa unidade de medida de temperatura, (Celsius), peça-lhes que investiguem sobre outras unidades de medidas de temperatura.

Como 6 000 está entre 1 000 e 10 000 e é mais próximo de 10 000, então, a potência de dez mais próxima é 104

Apresente aos estudantes o significado de meteorologia e explique-lhes a atuação do profissional dessa ciência utilizando o texto de Curiosidade

Fale sobre a leitura de temperatura corporal, que pode ser medida por um termômetro clínico. Explique-lhes que a leitura de temperatura nesse tipo de termômetro é dada pelo número indicado na marcação que o líquido atinge.

Explique-lhes que a amplitude térmica corresponde à diferença entre a temperatura máxima e a mínima. Se considerar oportuno, peça que verifiquem a previsão de temperatura para o município em alguns dias da semana.

Em seguida, solicite que calculem a amplitude térmica em alguns dias.

Medidas de temperatura

Por meio do tato podemos perceber, entre dois corpos, qual é o mais quente e qual é o mais frio, isto é, comparar temperaturas.

A medida da temperatura é usada na avaliação do clima em determinadas regiões.

Para isso, utiliza-se a expressão amplitude térmica, que é a diferença entre a temperatura máxima e a temperatura mínima em determinado intervalo de tempo.

Por exemplo, na situação ilustrada, a amplitude térmica é de 10  ‘C, pois 27 ‘C - 17 ‘C = 10 ‘C.

Meteorologia

É a ciência que estuda a atmosfera da Terra e seus fenômenos. Seu objetivo é o entendimento dos processos físicos e químicos que determinam o estado da atmosfera nas mais variadas escalas espaciais e temporais, desde a turbulência local até a circulação oceânica. O meteorologista atua na investigação, na pesquisa e na avaliação das condições atmosféricas.

DEARO, Guilherme. Conheça as 22 carreiras de Meio Ambiente e Ciências Agrárias. Guia do Estudante, São Paulo, 24 fev. 2017. Disponível em: https://guiadoestudante.abril.com.br/coluna/pordentrodasprofissoes/ conheca-as-22-carreiras-de-meio-ambiente-e-ciencias-agrarias/. Acesso em: 3 maio 2022.

A temperatura na superfície do Sol é de aproximadamente 6 000 ‘C. Qual é a potência de 10 mais próxima de 6 000 ‘C? 104 ‘C

Vova Shevchuk/ Shutterstock.com

Marcel Borges

Termômetro clínico de álcool colorido.

Atividades

1 O gráfico abaixo mostra a temperatura de cada dia da semana em uma cidade às 15h.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA24

Essas atividades exploram a resolução de problemas que envolvem medidas de temperatura. Avalie as resoluções dos estudantes e tire dúvidas, mostrando mais exemplos, se necessário.

Resolução da atividade 1 Oriente os estudantes na interpretação do gráfico. Também reforce o significado de variação, mostrando que nesses casos se calcula a diferença entre os valores dos dias mencionados.

22 - 15 = 7 4 7 ‘C

a) Qual foi a temperatura no dia mais frio?

15 ‘C

b) Qual foi a variação de temperatura de quarta-feira para sexta-feira? 7 ‘C

2 Qual temperatura marca o termômetro representado na imagem a seguir?

Termômetro marcando a temperatura medida na criança.

3 Além da escala em graus Celsius, em alguns países de colonização britânica, como os Estados Unidos, é usada a escala de temperatura Fahrenheit. Para converter uma temperatura medida em graus Celsius (‘C) para graus Fahrenheit (‘F), multiplicamos seu valor por 1,8 e adicionamos 32 ao resultado.

a) Transforme 20 ‘C em graus Fahrenheit.

68 °F

b) Uma pessoa provavelmente sentiria calor em um ambiente em que a temperatura é de 50  ‘ F? Por quê?

Não, porque 50 ‘F são equivalentes a 10 ‘C; logo, a pessoa provavelmente sentiria frio.

Na atividade 2, se possível, leve um termômetro para a sala de aula, que não necessariamente precisa ser o modelo da imagem, para que você o manuseie, propiciando que os estudantes passem pela experiência de observar a diferença de temperatura corporal.

Resolução da atividade 3

a) TF = 20 1,8 + 32 = 68 4 68 °F

b) 50 = TC . 1,8 + 32

1,8

TC = 50 - 32

TC = 18 : 1,8 = 10 4 10 °C

A pessoa provavelmente sentirá frio.

Circule pela sala para verificar se os estudantes estão calculando as conversões corretamente. Para resolver o item b, os estudantes terão de fazer a conversão de grau Fahrenheit para grau Celsius, invertendo as operações, o que pode ser um desafio para eles (TF = TC . 1,8 + 32).

Se achar conveniente, proponha outros valores para que eles convertam e memorizem o procedimento.

Roman Pyshchyk/Shutterstock.com

Orientações

As atividades dessa seção favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA24

Em Matemática Interligada, será trabalhada a proposta de consumo responsável, em especial ao que se refere à água. Ao explorar a questão do consumo sustentável de água, pergunte aos estudantes: Vocês acham que a água pode acabar?

Enfatize que a distribuição de água doce no mundo é desigual e que o Brasil é o país que possui a maior quantidade de água doce do planeta. Existem muitos lugares com água em abundância, enquanto outros apresentam longos períodos de seca ou escassez de água.

É importante os estudantes compreenderem que, apesar de o consumo doméstico ser responsável pelo menor índice de consumo da água doce, muitas pessoas desperdiçam esse recurso, e por isso é importante fazê-las refletir sobre as melhores formas de utilizar a água de maneira consciente. Sendo assim, peça a eles que leiam com atenção as dicas apresentadas na seção para reduzir o consumo de água. Se julgar oportuno, promova um debate para discussão e conscientização a respeito desse tema, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 7 e da competência específica 7

Foco nos TCTs

• Educação Ambiental

Água e bens de consumo

A água é um recurso natural essencial para a vida. Ela está associada ao desenvolvimento agrícola, industrial, econômico e social das cidades, estando presente no dia a dia da população e, direta ou indiretamente, em todos os setores da produção.

Represa da usina hidroelétrica de Jirau. Jaci Paraná, Porto Velho (RO), 2007. Quase tudo ao nosso redor possui água ou necessita dela para sua produção. Veja o quanto de água potável é necessário para produzir itens do seu cotidiano.

1 kg de plástico 180 litros

1 computador 1 700 litros

1 smatrphone 12 760 litros

1 kg de papel 540 litros

1 copo plástico descartável 0,5 litros

1 bota de couro 14 200 litros

1 calça jeans 10 850 litros

Fonte: CURIOSIDADES – Água e bens de consumo. In: ÁGUA QSP. [São Paulo], c2017. Disponível em: http://www.aguaqsp.com.br/agua-e-bens-de-consumo.php. Acesso em: 3 maio 2022.

Por isso, o uso consciente e estratégico da água torna-se cada vez mais importante a fim de garantirmos sua disponibilidade em qualidade e quantidade para todos os usos.

1 Verifiquem quantos segundos uma torneira totalmente aberta leva para encher um recipiente de 2 litros.

Resposta pessoal.

2 Pesquisem quantos litros de água se gasta durante um banho. Quais atitudes devemos tomar para reduzir esse gasto? Resposta pessoal.

3 Usando os dados da tabela, quantos litros de água são consumidos na produção de:

a) 10 smartphones? 127 600 litros

b) 25 computadores? 42 500 litros

c) 100 kg de papel? 54 000 litros

d) 500 copos plásticos descartáveis? 250 litros

e) 5 botas de couro? 71 000 litros

f) 12 calças jeans? 130 200 litros

4 Elaborem perguntas com base nos dados da tabela e troquem com outro grupo para que um responda às perguntas que o outro elaborou. Depois, confiram juntos as respostas e conversem sobre as resoluções e estratégias utilizadas.

1 (CMM-AM) Ao longo da Avenida Alfa estão localizadas 4 paradas de ônibus. As distâncias entre as paradas A e D, C e A, B e D são, respectivamente, 1 km, 50 000 cm, 700 m. Quantos metros precisarei andar para ir da parada A para a B?

Alternativa c

a) 200 m

b) 250 m

c) 300 m

d) 500 m

e) 800 m

2 (OMDF) Ana, Bia e Carla estão treinando para uma meia maratona. Todos os dias a soma das distâncias que elas percorrem juntas é igual a 5 957 metros. Em certo dia, Ana correu 2 005 metros e Bia correu 1 797 metros. Quantos metros Carla correu nesse dia?

a) 1 997

b) 2 015

c) 2 155

d) 3 082

e) 3 802

4 (OBMEP) Vários quadrados foram dispostos um ao lado do outro, em ordem crescente de tamanho, formando uma figura com 100 cm de base. O lado do maior quadrado mede 20 cm. Qual é o perímetro (medida do contorno em vermelho) da figura formada por esses quadrados? Alternativa b

Resolução da atividade 2

Quantidade em metros que Ana e Bia correram juntas:

2 005 + 1 797 = 3 802

Quantidade em metros que Carla correu:

5 957 - 3 802 = 2 155

Alternativa c

Resolução da atividade 3

Perímetro do quadrado, em cm: 4 + 4 + 4 + 4 = 16

Então, o perímetro do triângulo também vale 16 cm.

Perímetro da figura (pentágono), em cm:

a) 220 cm

b) 240 cm

c) 260 cm

d) 300 cm

e) 400 cm

4 + 4 + 4 + (16 - 4) = 24

Alternativa b

Resolução da atividade 4

100 + 100 + 20 + 20 = = 240 4 240 cm.

Alternativa b

3 (CMCG-MS) O triângulo e o quadrado têm o mesmo perímetro. Qual é o perímetro de toda a figura (um pentágono)?

a) 12 cm

b) 24 cm

c) 28 cm

d) 32 cm

Alternativa c Alternativa b

5 (CMC-PR) A figura mostra um polígono ABCDEFGHIJ desenhado em uma malha quadriculada com 25 quadradinhos iguais e o lado de cada um deles corresponde a uma unidade de medida de comprimento.

Resolução da atividade 5

Triplicando-se as medidas dos lados desse polígono, o perímetro do novo polígono também ficará triplicado.

Alternativa c

e) Depende das dimensões do triângulo.

Orientações

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize-as como atividades para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Triplicando-se as medidas dos lados desse polígono, o perímetro do novo polígono ficará igual ao do polígono original multiplicado por:

Orientações

Resolução da atividade 6

Veja a área de cada figura:

a) 10 u. a.

b) 11 u. a.

c) 12 u. a.

d) 10 u. a.

e) 10 u. a.

Portanto, alternativa c Resolução da atividade 7

O objeto vermelho equivale a um laranja mais um amarelo. E o objeto azul tem mais massa que o vermelho.

Logo, o objeto azul é o que possui maior massa.

Alternativa a Resolução da atividade 8

6 (OBMEP) Qual figura tem a maior área, sabendo que as malhas quadrangulares são idênticas?

a)

b) c)

No máximo, 16 novos quadrados.

Portanto, alternativa a Resolução da atividade 9

Padrão da sequência: sempre adicionar 5 unidades à figura anterior:

1, 6, 11, 16, 21, 26...

Portanto, alternativa b

d) e)

Alternativa c Alternativa a

8 (CMPA-RS) A figura abaixo representa uma malha formada por pequenos quadrados, todos de mesmo tamanho. Nessa malha, existem alguns quadrados que já estão pintados, conforme a figura. Novos quadrados serão pintados, os quais serão agregados aos quadrados que já estão pintados.

7 (OBMEP) Nas balanças da figura, objetos iguais têm pesos iguais. Qual dos objetos é o mais pesado?

a) b) c) d) e)

Sendo assim, o número máximo de novos quadrados que deverão ser pintados, a fim de que a região inicialmente pintada aumente a sua área, sem aumentar o seu perímetro, é igual a:

Alternativa a

a) 16.

b) 18.

c) 12.

d) 8.

e) 20.

9 (CMF-CE) Utilizando cubos, todos com 1 dm de aresta, Gabriel montou seis sólidos geométricos sobre uma mesa, seguindo sempre a mesma lógica de acrescentar um cubo em cada extremidade, como mostram abaixo os três primeiros sólidos.

Dessa maneira, o volume do 6? sólido ficou em:

a) 21 dm3

b) 26 dm3

c) 31 dm3

d) 36 dm3

e) 46 dm3

Ilustrações: Luca Navarro

10 (CMCG-MS) Os elefantes são os maiores animais terrestres da atualidade, com a massa entre 4 e 6 toneladas e, medindo em média quatro metros de altura, podem levantar até 10 000 kg. As suas características mais distintivas são as presas de marfim.

Imagine agora que certo elefante chegue a um zoológico pesando 3 765 kg. Após cinco anos no zoológico, ele teve que fazer um regime e perdeu 845 000 g, ficando com 5 753 kg. Determine quantos quilogramas esse elefante engordou do momento em que chegou ao zoológico até iniciar o regime. Alternativa c

a) 845 kg

b) 1 988 kg

c) 2 833 kg

d) 4 610 kg

e) 6 598 kg

11 (UERJ) A caixa-d’água de uma residência continha, às 8 horas da manhã de um determinado dia, 600 litros de água. Ela foi abastecida durante 2 horas, recebendo um volume de água na razão constante de 20 litros por minuto. Às 10 horas, ficou completamente cheia; a partir desse momento, começou a perder água na razão constante de 15 litros por minuto, sem reposição alguma, até esvaziar. Considerando esse processo, calcule o horário em que a caixa ficou totalmente vazia. 13h20min

12 (XXII ORM-SC) Neste ano de 2019, dona Jurema, sua neta e a filha desta neta têm idades que somam 111 anos, e todas já fizeram aniversário. A idade de cada uma delas é uma potência de 3. Em que ano nasceu a filha da neta? Alternativa d

a) 2010

b) 2013

c) 2015

Autoavaliação

d) 2016

e) 2018

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi O que aprendi CPN

Resolvo e elaboro problemas envolvendo medidas de comprimento.

Resolvo problemas e cálculos envolvendo a área de figuras geométricas planas.

Identifico a relação entre as medidas de perímetro e área do quadrado e do triângulo.

Resolvo problemas envolvendo o volume do paralelepípedo e do cubo.

Resolvo problemas e cálculos com medidas de capacidade.

Identifico medidas de tempo e temperatura para a resolução de problemas.

Autoavaliação

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras.

Com base no retorno da autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

Orientações

Resolução da atividade 10 845 000 g = 845 kg

Massa do elefante:

5 753 - 3 765  + 845 = 2 833 4 4 2 833 kg.

Alternativa c Resolução da atividade 11

Em duas horas, a caixa-d’água recebeu 2 400 litros de água (20   120), passando a ter, então, 600 + + 2 4 00  = 3 0 00; portanto, 3 000 L é a sua capacidade máxima. Para ficar totalmente vazia, levou 3 000 : 15 = 200, isto é, 200 minutos ou 3 horas e 20 minutos. Como o processo de enchimento teve início às 8h da manhã, levou 2 horas para completar a capacidade e 3h20min para esvaziar, então, o horário final foi 13h20min (8h + + 5h20min).

Resolução da atividade 12

Dona Jurema:

34 anos = 81 anos.

Neta: 33 anos = 27 anos.

Filha da neta:

31 anos = 3 anos.

Soma das idades: 81 + 27 + 3 = = 111.

A filha da neta nasceu em 2016 (2019 - 3 = 2016). Portanto, alternativa d

Principais objetivos da unidade

• Compreender o que são variáveis numéricas e categóricas.

• Utilizar legendas e símbolos de maneira adequada.

• Ler, analisar e interpretar gráficos e tabelas.

• Coletar, organizar e registrar dados oriundos de diferentes fontes de informação.

• Utilizar fluxogramas para representar etapas de um processo.

• Construir gráficos e tabelas em planilhas eletrônicas.

• Compreender a probabilidade como a medida da chance de um evento acontecer.

• Calcular a probabilidade de um evento acontecer.

Justificativa

Os objetivos desta unidade contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA30, por meio do cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável.

A habilidade EF06MA31 está contemplada ao propor a leitura e interpretação de tabelas e gráficos, identificando as variáveis e os elementos. A interpretação e resolução de situações apresentadas pela mídia em tabelas, gráficos e a sistematização das conclusões contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA32. A habilidade EF06MA33 está contemplada no planejamento e na coleta de dados para registro em tabelas e gráficos. A apresentação, interpretação e desenvolvimento de fluxogramas simples contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA34

Pré-requisitos pedagógicos

Para o cumprimento dos objetivos, é esperado que os estudantes:

• leiam e interpretem tabelas e gráficos representados por valores numéricos ou indicadores de qualidade;

• identifiquem os elementos constantes dos eixos horizontal e vertical de gráficos, título e fonte de pesquisa;

• colete dados e representem-nos por meio de tabelas e gráficos;

• entendam o significado de espaço amostral, evento e experimento aleatório;

• reconheçam que probabilidade é a chance de um evento ocorrer.

Avaliação diagnóstica

É importante observar se os estudantes já dominam aos pré-requisitos relacionados aos conteúdos propostos nesta unidade. Para isso, promova uma roda de conversa e incentive-os a compartilhar o que sabem sobre os pré-requisitos elencados e citar exemplos do cotidiano. Elabore algumas atividades escritas para verificar o que já dominam. Se necessário, retome os conteúdos propostos para garantir que todos os estudantes tenham compreendido.

BNCC na unidade

Principais competências e habilidades trabalhadas na unidade.

Competências gerais 2, 4, 5, 7 e 8

Competências específicas 2, 3, 4, 5, 6 e 8

são as mais afetadas pela exclusão escolar na pandemia. In: CENPEC. [São Paulo], 29 abr. 2021. Disponível em: https://www.cenpec.org. br/noticias/pesquisa -cenario-da-exclusao -escolar-no-brasil. Acesso em: 3 maio 2022.

Habilidades EF06MA30, EF06MA31 e EF06MA32, EF06MA33 e EF06MA34

Foco nos TCTs

• Educação Alimentar e Nutricional

Fonte: CASTRO, Tamara. Crianças de 6 a 10 anos são as mais afetadas pela exclusão escolar na pandemia. In: CENPEC. [São Paulo], 29 abr. 2021. Disponível em: https://www.cenpec.org. br/noticias/pesquisa-cenario-da-exclusao-escolar-no-brasil. Acesso em: 3 maio 2022.

Fonte: CASTRO, Tamara. Crianças de 6 a 10 anos

Estatística e probabilidade

De acordo com a Declaração Universal dos Direitos da Criança, promulgada pelo Unicef em 1959, “a criança terá direito a receber educação, que será gratuita e compulsória pelo menos no grau primário”.

No Brasil, o Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA), publicado em 1990, assegura esse direito para toda a Educação Básica, que compreende até o Ensino Médio.

No entanto, muitas crianças e adolescentes ainda estão fora da escola, como é possível observar no gráfico, que mostra a situação levantada em 2019, antes do início da pandemia da covid-19.

1. Qual é a fonte desses gráficos? CENPEC.

2. O que significa a sigla que aparece nessa fonte?

3. Na sua opinião, o que é possível fazer para resolver o problema entre rendimento familiar e evasão escolar? Resposta pessoal.

Nesta unidade, você terá a oportunidade de:

• identificar e ler variáveis, legendas, tabelas e gráficos;

• interpretar gráficos pictóricos e gráficos de barras;

• elaborar e realizar uma pesquisa;

• ler e interpretar um fluxograma;

• calcular probabilidades de situações do cotidiano.

2. CENPEC - Centro de Estudos e Pesquisas em Educação, Cultura e Ação Comunitária.

Atividades complementares

Peça aos estudantes que investiguem as causas que embasam esses dados e façam cartazes com o objetivo de debater as motivações que levam uma criança ou um adolescente a se ausentar da sala de aula.

Você pode reproduzir o pequeno vídeo (1min22s) disponível no l ink : https://www.futura.org.br/258-mi

lhoes-de-criancas-e-jovens-nao-tem-acesso-a-edu cacao/ (acesso em: 23 jun. 2022), que fala um pouco sobre essa temática.

Orientações

O conteúdo das páginas de abertura desta unidade favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA32

Solicite aos estudantes que observem os dados representados em cada gráfico e atentem aos números que representam crianças e adolescentes brasileiros que não frequentam escola.

Em relação ao segundo gráfico, esclareça os estudantes sobre renda familiar per capita. Explique que é o total de toda renda familiar dividida pelo número de membros da família, considerando pais ou responsáveis, filhos menores e maiores de idade considerados incapazes perante a justiça. Peça que analisem o gráfico, que indica a renda familiar considerando as faixas de salário mínimo (SM).

Solicite que façam uma pesquisa para saber mais sobre o Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA).

Converse com os estudantes e pergunte se já tiveram acesso a outros dados de pesquisas similares aos apresentados na imagem de abertura. Verifique se eles já responderam a algum tipo de pesquisa. Explique a eles que é possível fazer pesquisas com muitos entrevistados, abrangendo o Brasil todo, como ocorre na Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD), ou com pequenos grupos, como na turma da escola.

Depois que os estudantes responderem às questões da abertura, converse com eles sobre o fato de essa pesquisa interessar à população brasileira de modo geral e também a alguns órgãos de governo, que, com base nas informações, direcionam políticas públicas para a garantia de educação para todos. Discussões como essa favorecem o desenvolvimento da competência específica 3 e da competência geral 7

Objetivos do capítulo

• Compreender o que são variáveis numéricas e categóricas.

• Utilizar legendas e símbolos de maneira adequada.

• Ler, analisar e interpretar gráficos e tabelas.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo. Competências gerais 7 e 8 Competências específicas 2, 4 e 6

Habilidades EF06MA31, EF06MA32 e EF06MA33

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA31

A atividade de Para começar explora as noções intuitivas dos conceitos de variável numérica e categórica. Ainda que os estudantes não saibam nomeá-las, eles terão a oportunidade de classificar as informações considerando esses dois tipos de variável. Peça que façam a atividade e, em seguida, explique-lhes que o tamanho é uma variável numérica, enquanto a cor e a espécie são variáveis categóricas. Apresente mais exemplos na lousa para que os estudantes indiquem em qual categoria se adequam.

Leitura de variáveis, legendas, tabelas e gráficos

Bernardo necessita separar as flores abaixo segundo algumas características, como tamanho, cor ou espécie.

Cite alguma característica que pode ser expressa por um número. Cite outra característica que não pode ser expressas por um número.

A característica tamanho pode ser expressa por número; cor e espécie não podem.

Variáveis numéricas e variáveis categóricas

Em um estudo estatístico, as características que queremos estudar são chamadas variáveis estatísticas, que podem ser numéricas ou categóricas.

As variáveis numéricas, também chamadas variáveis quantitativas, são aquelas que podem ser representadas por valores numéricos. Por exemplo, a quantidade de filhos, a quantidade de produtos vendidos, o valor das ações na bolsa de valores, a idade ou a altura de uma pessoa são variáveis quantitativas.

As variáveis categóricas, também chamadas variáveis qualitativas, não podem ser expressas numericamente, pois indicam uma qualidade. Por exemplo, sexo, cor dos olhos, cor da pele de uma pessoa, marca de um automóvel, preferência musical são variáveis qualitativas.

2

Atividades Orientações

As atividades favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA31 É importante reforçar apresentando mais exemplos na lousa para que eles indiquem em qual categoria se adequam, conforme pede a atividade. Comente com eles que o diagrama e a tabela das atividades 1 e 2 são formas de sumarizar informações, logo, um tipo de representação de dados. Resolução da atividade 1 Exemplo de resposta.

Variáveis numéricas: idade, número do calçado, número de habitantes etc.

Variáveis categóricas: cor preferida, local de residência, profissão etc.

Resolução da atividade 2

Variáveis numéricas: idade, altura, número de irmãos, número de habitantes da casa onde mora. Variáveis categóricas: nome, cidade de nascimento, cor dos olhos, cor da pele, cor dos cabelos. A coluna “Resposta” deverá ser completada com dados pessoais dos estudantes.

Fonte: Dados coletados pelo estudante.

1 Observe o diagrama e copie-o no caderno. Em seguida, complete-o com dois exemplos de cada variável. Resposta pessoal.

Reproduza o quadro a seguir, no caderno, preenchendo a coluna “Resposta” com as informações solicitadas sobre você. Na coluna “Tipo de variável”, classifique cada variável como categórica ou numérica.

Orientações

As atividades favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA31

No item c da atividade 3, observe com os estudantes que, embora a medição da pressão sanguínea apresente um resultado numérico, a pressão foi dividida em três categorias: alta, baixa e normal.

Ao explorar o tópico “Legendas e símbolos”, providencie exemplos de ambos. Busque em jornais, revistas e sites situações em que as legendas e os símbolos são utilizados e peça aos estudantes que observem como esse tipo de comunicação é amplamente utilizado. Indique que o gráfico que apresenta a quantidade de medalhistas pelos 12 primeiros países, é um gráfico de colunas. Reforce a importância de sempre verificar as fontes, ler tudo atentamente e checar a veracidade para evitar a propagação de informações falsas.

Em Pense e responda, para responder às questões é necessário compreender o gráfico. Faça a leitura com os estudantes, analise todas as informações indicando as legendas, a fonte e o que significa cada cor das colunas. Verifique a possibilidade de pesquisarem, em diferentes meios, notícias em que aparecem gráficos de colunas, como mostra o exemplo do livro. Para finalizar, peça que apresentem suas conclusões a respeito do gráfico.

Atividades complementares

Elabore plaquinhas contendo de um lado a palavra FATO, e do outro, FAKE. Organize os estudantes em grupos de 4 ou 5 componentes e peça que escolham entre eles um “líder” para responder a cada informação que será apresentada por você - se é fato ou fake utilizando as plaquinhas elaboradas. Por exemplo: “Neymar jogou no time do Flamengo em 2018;”, para responder se é fato ou fake, eles precisarão pesquisar na internet a veracidade da afirmação. Exija a fonte e vá conduzindo a atividade refletindo sobre o porquê de buscar fontes confiáveis. Sugira que comparem a mesma informação em fontes diferentes, a fim de analisarem a compatibilidade das informações propagadas.

C é categórica.

3 Observe os conjuntos de variáveis e classifique-as em categóricas ou numéricas.

Legendas e símbolos

É bastante comum encontrar símbolos, ícones, legendas e outros códigos usados para substituir palavras em muitas situações.

Os símbolos usados em mapas, por exemplo, indicam informações de forma simples e direta; seus significados são apresentados em uma legenda.

A legenda traz o significado dos símbolos e das cores em mapas, gráficos e tabelas, entre outros, permitindo que o leitor compreenda as informações. Observe a legenda no gráfico a seguir.

Fonte: QUADRO de medalhas: Olimpíada 2020. CNN Esporte, São Paulo, 27 jul. 2021. Disponível em: https://www.cnnbrasil.com.br/esporte/quadro-de-medalhas-olimpiadas-2020/. Acesso em: 3 maio 2022.

2. A quantidade de medalhas olímpicas de ouro, prata e bronze conquistadas em Tóquio em 2020 pelos 12 países que mais ganharam.

Pense e responda

1. O que podemos entender ao ler a legenda do gráfico?

O tipo de medalha.

2. Qual é a informação que o gráfico apresenta?

3. Reúna-se a um colega e escreva o que vocês concluíram. Resposta pessoal.

As variáveis dos conjuntos A, B e D são numéricas e a do conjunto

Medalhas olímpicas conquistadas em Tóquio pelos 12 primeiros países

Atividades

1 Leia atentamente o gráfico a seguir e responda às perguntas.

Orientações

Não tinha interesse em estudar

Não tinha interesse em estudar Precisava trabalhar Não tinha escola na localidade, vaga ou turno desejado Problemas de saúde permanente Tinha de realizar afazeres domésticos ou cuidar de pessoas Outros

trabalhar Não tinha escola na localidade, vaga ou turno desejado Problemas de saúde permanente Tinha de realizar afazeres domésticos ou cuidar de pessoas

Fonte: CRELIER, C. Necessidade de trabalhar e desinteresse são principais motivos para abandono escolar. Agência IBGE Notícias, Rio de Janeiro, 15 jul. 2020. Disponível em: https://agenciadenoticias.ibge.gov.br/ agencia-noticias/2012-agencia-de-noticias/noticias/28286-necessidade-de-trabalhar-e-desinteresse-saoprincipais-motivos-para-abandono-escolar. Acesso em: 3 maio 2022.

a) O que o gráfico nos informa?

Os principais motivos do abandono escolar entre pessoas de 14 a 29 anos, em 2019.

b) Quais são os dois principais motivos do abandono escolar na pesquisa realizada? Explique como você chegou a essa conclusão.

Necessidade de trabalhar e falta de interesse em estudar. Observando os setores do gráfico (lilás e laranja) que correspondem às maiores porcentagens.

c) Classificando os motivos de abandono escolar do mais comum para o menos comum, o abandono por problemas de saúde ocupa qual posição? Qual é o percentual correspondente a esse motivo?

O sexto lugar; 3,7% dos pesquisados.

d) Explique o raciocínio que você utilizou para responder à pergunta anterior. Resposta pessoal.

2 Leia as informações do gráfico abaixo e, depois, responda às questões.

Abandono escolar entre pessoas de 14 a 29 anos (%) Desempenho em Matemática dos estudantes do 6? ano

a) Quais são as possíveis respostas para a variável categórica "Desempenho"? Onde essas respostas estão indicadas no gráfico? Ruim, regular, bom e ótimo. Estão indicadas na legenda do gráfico.

b) Qual é a variável numérica nesse gráfico?

O percentual de estudantes atribuído a cada categoria de desempenho.

c) De que outra maneira você representaria as informações do gráfico? Resposta pessoal.

d) Você escolheria outro título para o gráfico? Qual? Resposta pessoal.

As atividades dessa seção favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA31 e EF06MA32. É importante desenvolver nos estudantes o hábito de ler todas as informações presentes nos gráficos, assim como comparar e analisar todos os dados envolvidos. Isso favorecerá o desenvolvimento da competência específica 4. A diversidade de tipos de gráfico apresentados nessa seção possibilitará que os estudantes desenvolvam, de maneira ampla a capacidade de ler, interpretar e analisar gráficos em diferentes situações.

Mostre que na atividade 1 foi utilizado um gráfico de setores, também conhecido como gráfico de pizza. A temática abordada retoma as reflexões do início do capítulo sobre abandono escolar. Discuta com os estudantes cada item da legenda, antes de iniciar a realização da atividade. Nessa atividade, são pontuadas questões de urgência social e empatia, favorecendo as competência geral 7 Ouça a opinião dos estudantes ao promover o diálogo.

A atividade 2 trabalha um gráfico de barras. Compartilhe as respostas entre a turma.

Tarcísio Garbellini

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA31 e EF06MA32

Na atividade 3, uma pirâmide etária é apresentada. Discuta com os estudantes que esse tipo de gráfico é muito comum na área da Geografia. No item d, a resposta dependerá de em qual estado a atividade está sendo realizada. Caso deseje indicar uma comparação entre os estados e, assim, dinamizar a atividade, utilize o site: Projeção da população do Brasil e das Unidades da Federação, do IBGE, disponível em: https://www.ibge.gov. br/apps/populacao/projecao/index. html. (acesso em: 13 jun. 2022). Ele fornece uma projeção da população para o Brasil e para cada estado, assim como as respectivas projeções das pirâmides etárias.

Ao realizar a correção da atividade 4, observe se os estudantes compreenderam corretamente a representação dos dados, o uso de cores e o comprimento das barras. Acompanhe a elaboração das perguntas, verificando se são pertinentes. Peça aos estudantes que troquem as perguntas entre si, de modo que percebam se elas podem ser respondidas com base nas informações do gráfico. Ao ler ou ouvir as perguntas dos colegas, eles poderão ampliar a capacidade de observação e a leitura de gráficos.

3 Observe o gráfico a seguir.

Pirâmide etária da população*

Homens Mulheres

*População residente, segundo o sexo e os grupos de idade, em porcentagem da população. Ilustração simplificada para fins pedagógicos.

Fonte: IBGE. Idade da população. In IBGE EDUCA. Crianças. Rio de Janeiro: IBGE, c2020. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/criancas/brasil/nossopovo/19623-idade-da%20populacao.html. Acesso em: 3 maio 2022.

Esse gráfico é chamado pirâmide de população. É comum o uso dele para estudar conjuntamente as variáveis idade e sexo de uma população.

a) Identifique as variáveis categórica e numérica desse gráfico.

Variável numérica: idade; variável categórica: gênero (homem e mulher).

b) Identifique os elementos da legenda desse gráfico. Homens e mulheres e anos 2012 e 2019.

c) O que é possível concluir sobre a distribuição da população brasileira jovem, adulta e idosa?

d) Pesquise se para o estado em que você mora há o gráfico correspondente à piramide da população.

c) A população brasileira ainda é predominantemente jovem, está aumentando a quantidade de pessoas idosas, existem mais mulheres do que homens idosos, entre outros. Resposta pessoal.

4 Observem o gráfico a seguir e façam o que se pede.

Porcentagem da população, por tipo e grau de dificuldade e deficiência (Brasil - 2010)

Brasil: porcentagem da população, por tipo e grau de dificuldade e deficiência – 2010

Legenda

Não consegue de modo algum Grande dificuldade Alguma dificuldade Possui

a) Identifiquem a legenda desse gráfico.

Fonte: IBGE. Pessoas com deficiência. In: IBGE EDUCA. Jovens. Rio de Janeiro: IBGE, c2020. Censo Demográfico 2010. Disponível em: https:// educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/populacao/20551-pessoas-com-deficiencia.html. Acesso em: 3 maio 2022. A legenda expressa as seguintes categorias de deficiência: não consegue de modo algum; grande dificuldade; alguma dificuldade; possui.

b) Elaborem algumas questões sobre o gráfico e respondam a elas. Resposta pessoal.

c) Em seguida, troquem as questões com outro grupo e respondam às questões elaboradas por eles. Juntos, confiram as resoluções e as estratégias utilizadas. Resposta pessoal.

Leitura e interpretação de tabelas

É muito comum utilizar tabelas para organizar e apresentar um grupo de dados, cujas informações estão dispostas em linhas e colunas. Esse tipo de organização permite ao leitor identificar o assunto, os dados, além de estabelecer relações rapidamente para chegar a alguma conclusão.

Observe a tabela abaixo e a indicação de seus principais elementos.

6o ano B

Fonte: Pesquisa feita pelo professor da turma.

Em uma tabela, o título explica qual é o assunto que está sendo tratado. Na tabela acima, o título é “Cores preferidas pelos estudantes do 6? ano B”. O cabeçalho da tabela ajuda a detalhar o assunto que está sendo estudado que, nesse caso, indica as colunas “Cores” e “Número de estudantes”.

A fonte indica de onde foram retiradas as informações apresentadas; no caso da tabela acima, a fonte é “Pesquisa feita pelo professor da turma”. Na intersecção entre cada linha e coluna temos uma célula

Essa tabela das cores preferidas pelos estudantes do 6? ano B é uma tabela simples. Ela mostra a frequência, também chamada frequência absoluta, dos dados coletados em cada categoria, ou seja, o número de observações feitas. Por exemplo, a frequência de estudantes que preferem a cor azul é 12.

Atividades

1 Observe a tabela abaixo e responda às questões. Esporte preferido pelos meninos do Centro Juvenil

Orientações

As atividades e discussões dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA32

No tópico “Leitura e interpretação de tabelas”, é importante os estudantes compreenderem que as tabelas facilitam a organização das informações. Proponha uma análise de todos os elementos da tabela, item por item, esclarecendo as possíveis dúvidas.

A atividade 1 apresenta uma proposta de leitura, análise e interpretação de uma tabela cuja fonte é fictícia. Explique aos estudantes que a expressão “dados fictícios” é utilizada em situações em que não são apresentados dados reais, geralmente para fins didáticos.

Para aprofundar

Esse artigo trata da interpretação de gráficos construídos por meio de atividades sociais.

• MONTEIRO, C. Interpretação de gráficos: atividade social e conteúdo de ensino. In: UFRRJ. Educação Matemática. Seropédica: UFR-RJ, 2015. Disponível em: http://www. ufrrj.br/emanped/paginas/con teudo_producoes/docs_22/car los.pdf. Acesso em: 23 jun. 2022.

Fonte: Pesquisa feita pela direção do Centro Juvenil.

a) O que essa tabela informa? Como você descobriu essa informação?

b) Quantas linhas e quantas colunas tem essa tabela? 6 linhas e 3 colunas

c) O que indica a primeira linha da tabela? Indica o cabeçalho.

d) A terceira coluna dessa tabela mostra que tipo de informação? O esporte preferido.

e) Que informação é encontrada na célula da 2; linha e 3; coluna? Futebol.

f) Como saber de onde as informações da tabela foram extraídas? Pela fonte.

g) Qual é a frequência de estudantes que preferem basquete? 12

h) Cite outras conclusões que você pode obter com os dados da tabela. Resposta pessoal.

i) Qual é o esporte menos preferido pelos estudantes pesquisados? Natação.

j) Indique a variável numérica e a variável categórica dessa tabela. Variável numérica: número de estudantes; variável categórica: esporte preferido.

a) Informa o esporte preferido pelos meninos do Centro Juvenil. Descobre-se a informação pelo título da tabela.

Orientações

As atividades dessa página favorecem desenvolvimento da habilidade

EF06MA32

Os estudantes devem elaborar uma tabela com base nos dados elencados no problema. Permita que o façam livremente e verifique se todos inseriram o título e a fonte. Veja uma sugestão de tabela a seguir.

Resolução da atividade 2

Sorvetes vendidos

Sabor de sorvete Frequência

chocolate 5

morango 3

framboesa 1

creme 1

ameixa 1

coco 1

Fonte: Dados fictícios.

Para fonte, alguns estudantes podem inserir “Dados obtidos por Nelson” ou “Dados fícticios”.

A atividade 3 também explora leitura, análise e interpretação de tabela cuja fonte são os resultados obtidos do lançamento do dado pelos estudantes. Os itens a e c terão respostas pessoais e o item b deve ter como resposta “variável numérica”.

Você pode propor que a atividade 4 seja realizada com os estudantes organizados em duplas. Solicite com antecedência ou forneça um dado para cada dupla.

2 Para cada cliente que comprava um sorvete, Nelson anotava o sabor pedido. Observem as anotações que ele fez a seguir. Resposta no Manual do Professor.

Com base nessas anotações, construam uma tabela com a frequência de cada sabor de sorvete.

3 Com a orientação do professor, você e a turma realizarão essa atividade juntos. Cada estudante, um por vez, deve lançar um dado numerado de 1 a 6 e observar o número da face voltada para cima. O professor vai anotar o resultado do lançamento na lousa.

a) Copie, no caderno, a tabela a seguir e complete-a para informar a frequência absoluta de cada resultado dos lançamentos. Escolha um título e indique a fonte da tabela. Respostas pessoais. Titulo:

b) Identifique o tipo de variável apresentada na tabela.

c) Qual resultado do dado teve a maior frequência? E a menor?

4 Reproduza o quadro a seguir no caderno. Lance um dado e anote o número obtido em cada jogada até preencher todo o quadro.

a) Após preencher todo o quadro, elabore uma tabela, associando os valores iguais obtidos no lançamento, e apresentando Título, Cabeçalho, Células e Fonte. Resposta pessoal.

b) Qual valor apareceu com maior e menor frequência? Resposta pessoal.

c) Compare o ser resultado com o dos colegas. A que conclusão chegou? Resposta pessoal.

Leitura e interpretação de gráficos

Gráfico pictórico

Nos gráficos pictóricos (ou pictogramas), os dados são representados por figuras relacionadas ao tema que foi pesquisado. O objetivo é estimular visualmente e facilitar a interpretação dos dados, sendo uma maneira fácil de comunicação com o público.

O pictograma, assim como os demais gráficos, deve primar pela simplicidade e clareza das informações.

Observe este pictograma.

Evolução do salário mínimo (em reais) no Brasil – 2010-2020

Orientações

As atividades dessa página favorecem desenvolvimento da habilidade

EF06MA31

Inicie o estudo do tópico “Leitura e interpretação de gráficos”, em que é tratado o gráfico pictórico. Mencione que esse tipo de gráfico utiliza figuras com o objetivo de chamar mais a atenção do leitor.

Em Pense e responda, as atividades exploram a leitura de um pictograma. Pergunte aos estudantes se eles lembram o de ter visto outros gráficos pictóricos. É possível que mencionem exemplos de gráficos pictóricos explorados ao longo dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental.

Fonte: TABELAS salário mínimo. In: FETAPERGS. [Porto Alegre], [2022]. Disponível em: http://www.fetapergs. org.br/index.php/2015-07-27-16-46-22/tabelas-salario-minimo. Acesso em: 3 maio 2022.

Pense e responda

1. O que esse pictograma informa?

2. Que figuras são utilizadas nesse pictograma para indicar os dados?

A evolução do salário mínimo no Brasil de 2010 a 2022. Moedas.

3. O que indicam as colunas formadas pelas figuras nesse gráfico?

Valor do salário mínimo nos anos de 2010 a 2022.

Atividades

O salário mínimo é o menor valor de remuneração que a legislação permite que os empregadores paguem aos seus empregados pelo tempo e esforço gastos na produção de bens e serviços. O salário mínimo também é o menor valor pelo qual uma pessoa pode vender sua força de trabalho.

Fonte: SALÁRIO mínimo. In: ADVFN. [São Paulo], c19992022. Disponível em: https:// br.advfn.com/indicadores/ salario-minimo. Acesso em: 3 maio 2022.

1 Ainda com base no gráfico pictórico do salário mínimo no Brasil, responda às questões.

a) Em quais anos o valor do salário mínimo ficou entre R$ 500,00 e R$ 700,00? Entre 2010 e 2013.

b) A partir de que ano o valor do salário mínimo passou a ser maior que R$ 700,00? A partir de 2014.

c) De quantos reais foi o aumento do salário mínimo de 2018 para 2019? R$ 44,00.

d) Qual era o valor aproximado de um dia de trabalho de um trabalhador que recebia um salário mínimo mensalmente em 2019? Considere um mês de 30 dias. Aproximadamente R$ 33,26.

Ao trabalhar a leitura, análise e interpretação de gráficos pictóricos, comente que a pictografia é uma forma de escrita na qual as informações são transmitidas por meio de imagens que nos ajudam a compreender melhor as informações, ideias e os objetivos. Aproveite o conteúdo de Curiosidade para falar das questões salariais no Brasil. Se achar oportuno, peça aos estudantes que investiguem os valores atribuídos ao salário mínimo em outros países da América Latina. Resolução da atividade 1

a) 2010: R$ 510,00;

2011: R$ 545,00; 2012: R$ 622,00 e 2103: R$ 678,00, ou seja, entre 2010 e 2013.

b) Do gráfico, obtemos, a partir de 2014: R$ 724,00.

c) 958 - 954 = 44 4 R$ 44,00

d) 998 : 30 o 33,27 4 R$ 33,27

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA31 e EF06MA32, assim como a competência específica 6

Resolução da atividade 2

a) 8 50 = 400 4 400 bolas

Verifique se os estudantes lembraram de multiplicar cada símbolo pela quantidade que ele representa.

Alguns estudantes podem apresentar a resposta com o cálculo mensal da quantidade de bolas. Proponha que os dados sejam organizados em um quadro. Veja a seguir.

dezembro 200

janeiro 125

fevereiro 75

total 400

b) (4 50) - (50 + 25) = 200 –

– 75 = 125 4 125 bolas

Resolução da atividade 3

Sugestão:

Países campeões da Copa do Mundo de Futebol Masculino por quantidade de títulos –1930 a 2018

2 Faça a leitura, interprete o gráfico ao lado e, depois, responda às questões.

a) Qual foi o número de bolas vendidas nesse trimestre? 400 bolas

b) Qual é a diferença entre o número de bolas vendidas em dezembro e em fevereiro? 125 bolas

c) Elabore perguntas considerando os dados do gráfico. Em seguida, troque com um colega e responda à questão que ele elaborou. Juntos, confiram o resultado e analisem as estratégias de cada um. Resposta pessoal.

3 Com base nas informações abaixo, façam o que se pede.

Copas

do Mundo de Futebol Masculino

Fonte: ASSESSORIA CBF. As seleções campeãs mundiais desde 1930. Rio de Janeiro: CBF, 28 jan. 2013. Atualizado em 16 jul. 2018. Disponível em: https://www.cbf.com.br/futebol-brasileiro/noticias/index/as-selecoes-campeas-mundiais-desde-1930.

a) Considerem todas as Copas do Mundo de Futebol Masculino, de 1930 a 2018, e construam um gráfico pictórico dos países campeões por ordem decrescente de número de conquistas. Para cada país, desenhem sua bandeira. Não se esqueçam de colocar o título e a fonte do gráfico.

Resposta pessoal.

b) Ainda com base nessas informações, construam outro gráfico pictórico organizando os países ganhadores por continente. Não se esqueçam de apresentar o título e a fonte do gráfico. Em seguida, compartilhem com os colegas. Resposta pessoal.

4 Os estudantes de uma turma do 6? ano acompanharam e registraram o tempo durante o mês de maio. Observe. Gráfico esperado no Manual do Professor.

Ensolarado Parcialmente nublado

Fonte: ASSESSORIA CBF. As seleções campeãs mundiais desde 1930. Rio de Janeiro: CBF, 28 jan. 2013. Disponível em: https://www.cbf. com.br/futebol-brasileiro/noticias/index/ as-selecoes-campeas-mundiais-desde-1930. Acesso em: 23 jun. 2022.

Fonte: Dados fictícios.

Construa um gráfico pictórico com base nos dados coletados pelos estudantes, relacionando o tempo observado com o número de dias em que eles ocorreram. Gráfico no Manual do Professor.

5 Maurício tem os seguintes brinquedos: 12 carrinhos, 7 barcos, 5 bolas e 5 piões. No caderno, represente as quantidades de brinquedos de Maurício em um gráfico pictórico. O estudante criará os próprios ícones para representar os brinquedos.

Resolução da atividade 4

Sugestão:

Resolução da atividade 5

Sugestão:

Fonte: Dados fictícios.

Fonte: Dados fictícios.

Tarcísio Garbellini

Acesso em: 3 maio 2022.

Adriano Gimenez

Tarcísio Garbellini

Fonte: Dados fictícios.

Gráfico de barras

O gráfico de barras é muito utilizado para representar dados que podem ser divididos em grupos. O comprimento de cada barra é diretamente proporcional à quantidade de dados do grupo correspondente. Com isso, a apresentação das barras permite que as informações sejam conhecidas de maneira objetiva e possibilita ao observador chegar a conclusões por meio do comprimento das barras.

As barras podem ser horizontais ou verticais, podendo também receber, neste último caso, o nome de gráfico de colunas Observe o exemplo a seguir.

Pessoas que realizaram trabalho voluntário, por local de realização desse trabalho, segundo as Grandes Regiões (%)

Congregação religiosa, sindicato, condomínio, partido político, escola, hospital, asilo Associação de moradores, associação esportiva, ONG, grupo de apoio ou outra organização Outro local Grandes Regiões

Orientações

O conteúdo dessa página favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA31

Ao explorar o tópico “Gráfico de barras”, comente com os estudantes a importância desse tipo de gráfico na transmissão de informações. Destaque, ainda, que todo gráfico de barras deve conter o título e a fonte da informação. Peça que leiam o gráfico de barras horizontais apresentado na página. Proponha que observem suas principais características, como o título, a fonte e as variáveis. Em seguida, solicite que respondam às questões do Pense e responda verificando se houve compreensão do tema e conversando sobre a importância de exercer trabalhos voluntários. Pergunte a eles se costumam exercer esse tipo de função social.

Pense e responda

1. O que esse gráfico informa?

2. Que região do Brasil apresentou maior porcentagem de trabalhos voluntários em congregações religiosas, sindicatos, condomínios, partidos políticos, escolas, hospitais e asilos? Região Norte.

Na construção do gráfico de barras, além do título, da legenda e da fonte, devem ser considerados os elementos descritos a seguir.

• Eixos: um eixo vertical para representar as frequências e um eixo horizontal para representar a variável, ou vice-versa.

• Unidade de escala: escolher uma unidade conveniente (pode ser de 1 em 1, de 10 em 10 etc.). Em ambos os eixos, as distâncias que representam as unidades da escala devem ser rigorosamente uniformes.

• Comprimento das barras: deve ser tomado de acordo com a escala escolhida.

1. A porcentagem de pessoas que realizaram trabalho voluntário em cada categoria, por local de realização, no Brasil e por região.

Fonte: IBGE. Outras formas de trabalho: 2016. Pnad Contínua, Rio de Janeiro, 2017. Boletim informativo. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101413_informativo.pdf. Acesso em: 3 maio 2022.

Tarcísio Garbellini

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA31

A atividade 1 explora leitura, análise e interpretação de dados em um gráfico de barras verticais utilizando um contexto relevante. Reforce a importância da imunização que a vacina traz para o organismo.

Antes de encaminhá-la, peça aos estudantes que identifiquem o título e a fonte dos dados. Em seguida, proponha que resolvam as questões. No item g, espera-se que eles interpretem o gráfico e façam uma síntese das informações apresentadas, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA32

Na atividade 2, os estudantes devem elaborar um gráfico com base em um quadro com a pontuação obtida em uma prova de Matemática. Verifique se eles utilizam a escala mais adequada e se compõem o título do gráfico, os títulos dos eixos e a fonte dos dados.

Atividades

1 Até o dia 4 de fevereiro de 2022, o Brasil registrou 630 494 mortes causadas por coronavírus. Observe no gráfico abaixo o número de óbitos por região.

a) O que o comprimento das barras desse gráfico indica?

O número de mortes causadas por coronavírus por região brasileira até 4 fev. 2022.

b) Em qual das regiões apresentadas no gráfico o número de óbitos foi menor? E em qual foi maior?

c) Que informações se encontram no eixo vertical do gráfico? Número de óbitos.

d) Que informações se encontram no eixo horizontal do gráfico? Regiões brasileiras.

e) Qual foi a unidade de escala utilizada para representar o número de mortes?

f) Elabore uma questão com base no gráfico. Resposta pessoal.

g) Escreva um texto a respeito do que se pode concluir com o gráfico. Resposta pessoal.

2 A seguir são apresentadas as pontuações obtidas por 32 estudantes em uma prova de Matemática com 25 questões e cada questão valendo um ponto.

2317 22181722152021

162217212315152019

192120181717151621

1817212320

a) Com base nessas anotações, construa uma tabela com as frequências das pontuações.

b) Construa um gráfico de barras (ou colunas) para representar os dados.

c) Qual foi a maior pontuação obtida? Quantos estudantes tiraram essa pontuação?

Norte; Sudeste. De 50 000 em 50 000 óbitos. Resposta no Manual do Professor. Resposta no Manual do Professor. 23 pontos; 3 estudantes

Fonte: BRASIL. Ministério da Saúde. Painel Coronavírus. Brasília, DF, [2022]. Disponível em: https://covid.saude.gov.br/. Acesso em: 4 fev. 2022.

Tarcísio Garbellini

b) Sugestão: Pontuação dos estudantes na prova de Matemática

c) 23 e 3 estudantes

Qual a quantidade de água que devemos beber por dia?

No início do século 19, as pessoas tinham que estar à beira da morte antes de se dignarem a beber água. Somente aqueles “reduzidos ao último estágio da pobreza satisfazem sua sede com água”, dizia Vincent Priessnitz, fundador da hidroterapia, também conhecida como “a cura pela água”.

Os tempos, de fato, mudaram. Somos bombardeados atualmente por uma série de mensagens dizendo que devemos tomar litros de água todos os dias, o que seria o segredo para ter uma boa saúde, se sentir mais disposto, perder peso e até evitar o câncer.

Passageiros são encorajados a andar com garrafas de água durante as viagens de metrô no verão de Londres; recomenda-se aos estudantes levar água para a sala de aula; enquanto algumas reuniões de trabalho não podem começar sem que haja uma jarra de água gigante no meio da mesa.

BROWN, Jessica. Qual a quantidade de água que devemos beber por dia? BBC News, Brasil, 28 jun. 2019. Disponível em: https://www.bbc.com/portuguese/vert-fut-48278503#:~:text=O%20conselho%20que%20mais%20 ouvimos,al%C3%A9m%20de%20quaisquer%20outras%20bebidas. Acesso em: 3 maio 2022.

A água corresponde a cerca de 60% a 70% da massa corporal de uma pessoa adulta e é fundamental para o bom funcionamento do organismo. Por isso, a forma mais adequada para saber a quantidade diária de água que devemos ingerir é por meio de um cálculo que leva em consideração a massa corporal e a idade. No quadro a seguir, está indicada a quantidade de água que deve ser consumida por dia de acordo com a idade e o peso da pessoa.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA31 e EF06MA32 e EF06MA33

A atividade 3 pode ser ampliada ao solicitar aos estudantes que, além de optar pelo melhor tipo de gráfico para representar os dados da tabela, eles devem construir esse gráfico. Verifique se eles utilizam a escala mais adequada, bem como se compõem o título do gráfico, os títulos dos eixos e a fonte dos dados.

Converse sobre os benefícios da água para a saúde mencionando os problemas de saúde que podem ser associados à ingestão insuficiente de água, como pedras nos rins, por exemplo. Faça uma roda de conversa para que cada um compartilhe as informações obtidas na pesquisa do item c. Isso favorecerá o desenvolvimento da competência geral 8

Para aprofundar

Esse artigo trata de um estudo em que estudantes do 6? ano organizaram uma pesquisa estatística.

• OLIVEIRA, P.; SOUZA, A. Um estudo sobre a participação de alunos do 6o ano do Ensino Fundamental em uma pesquisa estatística. Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v. 20, n. 1, p. 224-247, 2018. Disponível em: https://revistas.pucsp. br/emp/article/viewFile/33643/ pdf. Acesso em: 23 jun. 2022.

Fonte: ZANIN, Tatiana. Quantos litros de água se deve beber por dia. In: TUA SAÚDE. Portugal, 2022. Disponível em: https://www.tuasaude.com/beber-agua/. Acesso em: 3 maio 2022.

Com base no quadro, responda às questões a seguir.

a) Em sua opinião, qual tipo de gráfico melhor representaria esse quadro? Gráfico de barras ou de colunas.

b) Você consome a quantidade de água recomendada para sua idade? Você avalia que esse fato interfere em sua saúde? Resposta pessoal.

c) Faça uma pesquisa e verifique se o consumo de água das pessoas de sua residência está de acordo com o recomendado pela Organização das Nações Unidas (ONU). Cite algumas atitudes que podem ser tomadas para adequar o consumo diário de água de seus familiares. Resposta pessoal.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA31 e EF06MA33

Você pode propor que as atividades desta página sejam realizadas com os estudantes organizados em pequenos grupos, favorecendo o compartilhamento de ideias.

A atividade 4, item b, propõe a elaboração de perguntas; escolha algumas que achar interessantes para resolver coletivamente. Veja a resolução do item a no rodapé da página.

Na atividade 5, observe se os gráficos estão sendo elaborados de forma correta e faça intervenções quando necessário.

Resolução de Lógico, é lógica!

Se a primeira pessoa da fila é honesta, então a segunda é desonesta e, dessa forma, a terceira pessoa é mentirosa, o que é uma contradição. Se a primeira pessoa da fila é desonesta, a segunda é honesta, e assim sucessivamente. Assim, as pessoas nas posições pares são honestas e as pessoas nas posições ímpares são desonestas. Portanto, há 13 pessoas desonestas na fila.

Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 2, ao trabalhar raciocínio lógico. Alternativa c

4 Uma loja vendeu em uma semana 15 aparelhos de ar-condicionado, 20 televisores, 8 geladeiras e 25 liquidificadores. A fim de organizar essas informações, a loja elaborou um gráfico, porém faltaram algumas informações. Veja a seguir.

Eletrodomésticos vendidos na semana

Eletrodomésticos vendidos na semana

Eletrodomésticos

a) Copie o gráfico completando nele as informações que faltam: legenda, nomes nos eixos vertical e horizontal. Resposta no Manual do Professor.

b) Elabore questões com base nas informações e compartilhe-as com os colegas.

5 Elabore um gráfico de barras para representar as informações dos produtos a seguir. Resposta pessoal.

de laranja

a) Que estratégia você utilizou para criar o gráfico de barras? Resposta pessoal.

b) Junte-se a um colega e comparem os gráficos criados por vocês. Quais semelhanças são possíveis de observar entre os gráficos? E quais diferenças? Respostas pessoais.

Lógico, é lógica!

(OMDF) Há 25 pessoas em uma fila. Cada uma delas é honesta, sempre dizendo a verdade, ou desonesta, sempre dizendo mentira. Todas elas, exceto a primeira pessoa da fila, dizem que a pessoa que está à sua frente é desonesta. A primeira pessoa da fila diz que todas as pessoas que estão atrás dela são desonestas. Quantas pessoas desonestas há na fila? Alternativa c

a) 0

b) 12 c) 13 d) 24 e) 25

b) Sugestões:

• Quantas geladeiras foram vendidas?

• Quantos liquidificadores foram vendidos a mais que TVs?

Ilustrações: Adriano Gimenez

Tarcísio Garbellini

Fonte: Dados fictícios.

Coleta, organização e registro de dados

Como você planejaria uma pesquisa para descobrir o esporte preferido dos estudantes de sua escola? Como organizar os dados e os resultados para apresentar à comunidade escolar? Resposta pessoal.

Passos de uma pesquisa e elementos de um fluxograma

Para que uma pesquisa seja confiável e bem planejada, é preciso seguir algumas etapas.

• Escolha do tema: primeiro, deve-se decidir o que pesquisar, ou seja, qual é o tema da pesquisa.

• Definição da amostra/população: é preciso selecionar a população ou a amostra da população, que é a parte que se quer estudar. Por exemplo, quais pessoas, quantas, de que idade etc.

• Planejamento: envolve estudos sobre o assunto, os meios para coletar os dados, as decisões sobre que instrumentos utilizar etc.

• Criação do instrumento de coleta de dados: é preciso decidir qual será a ferramenta para obtenção dos dados. Um instrumento muito utilizado é o questionário, que deve conter o assunto que se quer pesquisar e as opções de resposta.

• Coleta de dados: é o processo em que se colhem os dados utilizando, por exemplo, o questionário.

• Registro das informações: é preciso que as informações sejam bem registradas, sem deixar de anotar nenhum dado. Isso pode ser feito em tabelas.

• Tratamento dos dados: consiste em agrupar os dados e representá-los em novas tabelas e/ou gráficos. Esse passo inclui a leitura e a interpretação dos resultados.

• Elaboração do relatório: momento de fazer uma síntese por escrito dos resultados da pesquisa e tirar conclusões a respeito das informações. Essas etapas para a realização de uma pesquisa podem ser expressas em um fluxograma, que é um diagrama ou representação esquemática de algo dinâmico, como um processo ou um fluxo. Ele tem um início, um sentido de leitura (fluxo) e um fim.

Início Fim

Escolher o tema Elaborar relatório

Objetivos do capítulo

• Coletar, organizar e registrar dados oriundos de diferentes fontes de informação.

• Utilizar fluxogramas para representar etapas de um processo.

• Construir gráficos e tabelas em planilhas eletrônicas.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo. Competências gerais 2, 4 e 5 Competências específicas 3, 5 e 8

Habilidades EF06MA31, EF06MA32, EF06MA33 e EF06MA34

Orientações

O capítulo começa pela questão de Para começar, a qual pergunta como fazer uma pesquisa estatística com os estudantes da escola. Essa resposta é importante porque você pode avaliar o que os estudantes sabem sobre o assunto. Embora a resposta seja pessoal, espera-se que os estudantes respondam que, depois de escolhido o tema e a população/amostra, seja feito o planejamento, definidos os instrumentos de coleta de dados, assim como o tratamento das informações e a elaboração do relatório.

DAE

Definir a amostra/ população Tratar os dados

Planejar Elaborar instrumento de coleta de dados

Registrar as informações Coletar de dados

Essa é uma oportunidade para avaliar o que eles conhecem acerca da coleta, organização e registro de dados. É provável que façam sugestões com base no que aprenderam nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Peça que exponham suas ideias para toda a turma e ajude-os a sistematizá-las. Em seguida, leia com eles o tópico “Passos de uma pesquisa e elementos de um fluxograma” e verifique se compreenderam todos os itens listados. Converse sobre a importância da Estatística para a sociedade.

Orientações

O conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA31 e EF06MA32

Abra espaço para que os estudantes compartilhem as respostas das atividades do Pense e responda e converse sobre o que forem compartilhando. É importante mencionar que a organização da pesquisa também influencia em sua elaboração, logo, estabelecer o passo a passo é crucial.

As atividades dessa seção visam aplicar e ampliar os conhecimentos para a elaboração de uma pesquisa e os elementos de um fluxograma. Circule pela sala enquanto eles efetuam as resoluções e faça intervenções, se julgar necessário.

Eles poderão checar quais são as etapas de planejamento de uma pesquisa na atividade 1. Estimule-os a pensar em outros modos de organizar os dados coletados.

Pense e responda

1. A coleta de dados deve ser realizada antes do planejamento? Não.

2. Você acha que existe uma sequência ou uma ordem nos passos para realizar uma pesquisa? Troque ideia com um colega a respeito dessa opinião. Resposta pessoal.

Ao desenhar manualmente um fluxograma pode-se utilizar:

• formas geométricas, como triângulos, retângulos e círculos, que são símbolos que representam os passos ou componentes daquilo que se quer tratar;

• linhas ou setas para interligar cada passo ou componente e que representam o fluxo.

A hierarquia dos funcionários de uma empresa e uma árvore genealógica, por exemplo, também podem ser representadas por fluxogramas.

Atividades

1 Com a ajuda do professor, os estudantes da Escola São Joaquim decidiram fazer uma pesquisa sobre os meios de transporte mais usados por eles para ir à escola. Após a escolha do tema, eles planejaram como fariam a pesquisa e elaboraram uma pergunta.

Em seguida, eles coletaram as respostas e registraram as informações em uma tabela e um gráfico.

Fonte: Dados coletados pelos estudantes da Escola São Joaquim.

Meios de transporte mais usados para ir à escola

Fonte: Dados coletados pelos estudantes da Escola São Joaquim.

Adriano Gimenez

Queriam saber os meios de transporte mais usados para ir à escola. A maioria dos estudantes vai a pé para a escola.

a) Quais informações os estudantes quiseram obter com essa pesquisa? A que conclusões chegaram?

b) Existe outra forma de organizar os dados dessa pesquisa? Resposta pessoal.

c) Quais procedimentos eles usaram para fazer a pesquisa?

d) Quantos estudantes foram pesquisados ao todo? 162

e) E você, que meio de transporte usa para ir à escola?

Primeiro, eles escolheram o tema; depois, planejaram e construíram um questionário. Em seguida, coletaram os dados e registraram as informações em uma tabela e em um gráfico. Resposta pessoal.

2 Um laboratório fez uma pesquisa com 100 clientes aplicando um pequeno questionário para saber o índice de satisfação em relação ao tempo de espera para atendimento. Observe o resultado da pesquisa.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA31 , EF06MA32 , EF06MA33 e EF06MA34

Resolução da atividade 1

d) 26 + 33 + 10 + 8 + 52 + 22 + + 11 = 162; 162 estudantes.

A atividade 2 apresenta linguagem simbólica, um modo de favorecer a competência geral 4

b) Resposta possível: Não, pois tentaria aumentar o número de pessoas que responderam “muito satisfeito”.

d) Sugestão de gráfico:

a) Qual é o tema ou assunto da pesquisa?

muito satisfeitos

Satisfação de 100 clientes em relação ao tempo de espera para atendimento em um laboratório.

b) Caso você fosse o gerente responsável por esse laboratório, estaria satisfeito com esse resultado?

Resposta pessoal.

c) Que instrumento de coleta de dados foi utilizado para fazer a pesquisa? Um questionário.

d) Construa um gráfico de barras (ou colunas) para representar o resultado dessa pesquisa.

Resposta no Manual do Professor.

e) Faça um relatório sobre o resultado da pesquisa. Que observações você considera importante registrar?

Resposta pessoal.

f) Registre no caderno suas ideias e apresente soluções para os problemas encontrados.

Resposta pessoal.

3 Em equipe, escolham um tema dentre estes: quantidade de horas de estudo diário, quantidade de horas de sono, quantidade de livros lidos por ano, esporte preferido, fruta preferida. Façam uma pesquisa com os estudantes da turma seguindo as mesmas etapas da pesquisa feita pelos estudantes da Escola São Joaquim. Não se esqueçam de fazer o relatório final sintetizando as conclusões da pesquisa. Depois, apresentem o resultado para toda a turma.

Resposta pessoal.

4 O fluxograma a seguir representa a hierarquia dos funcionários de uma empresa.

Gerente comercial

Gerente de compras

Supervisor de compras

Compradores

Gerente de vendas

Supervisor de vendas

Vendedores

a) Quantas funções estão representadas nesse fluxograma? 7 funções

b) O vendedor está ligado diretamente a quem? Ao supervisor de vendas.

de 100 clientes em relação ao tempo de espera para atendimento

e) Espera-se que os estudantes façam um breve relatório observando que o índice de satisfação desse estabelecimento está muito baixo, comparativamente com os outros dois índices. Eles podem propor a repetição da pesquisa após melhorar o atendimento no local.

A atividade 3 propõe a execução de um trabalho de coleta, análise e registro de dados em grupo. Sugira aos estudantes que sigam os passos destacados no início do capítulo. Conduza a escolha dos temas, de modo que cada grupo fique com um deles. Depois, peça a eles que compartilhem com a turma os dados coletados. Essa atividade favorecerá o desenvolvimento da competência específica 8. Proponha meios de compartilhamento: cartazes, redes sociais etc., escrevendo na lousa e ressaltando a clareza e a veracidade dos dados.

A atividade 4 visa verificar se os estudantes compreenderam o que é um fluxograma e se sabem como interpretá-lo.

25 pouco satisfeitos 70 satisfeitos 5

Ilustrações: Pavlo S/shutterstock.com

Fórmula Produções

5 O fluxograma a seguir, da família de Júlia, também é chamado de árvore genealógica

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA34

A resposta da atividade 5 é pessoal. Se julgar conveniente, proporcione um momento para que os estudantes comentem sobre a origem de suas famílias e, se possível, apresentem as árvores genealógicas que criaram.

Sobre a atividade 6, pergunte aos estudantes se acham importante conhecer tios e primos que, embora não pertençam ao mesmo ramo da árvore que eles, também são parte da mesma família.

Proponha que a atividade 6 seja entregue posteriormente para que os estudantes tenham tempo de coletar as informações com os familiares. A atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 3

Curiosidade

A árvore genealógica é uma representação das pessoas que tiveram participação na existência de uma pessoa ou família, ou seja, é o histórico que levanta dados sobre os ancestrais [...] de forma que fiquem conhecidas as conexões estabelecidas entre esses.

Normalmente coloca-se o nome do ancestral mais antigo de que se conseguiu dados e, a partir desse, seus descendentes, até chegar ao membro mais novo da família ou então até na pessoa que se tem interesse.

[...]

CABRAL, G. Árvore genealógica. UOL, São Paulo, c2022. Mundo Educação. Disponível em: http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/curiosidades/arvore-genealogica.htm.

Acesso em: 3 maio 2022.

6 As irmãs de Natália, Luana e Maria, tiveram filhos. De acordo com a árvore genealógica a seguir, identifique quantos filhos cada irmã teve. Como eles se chamam? Luana tem 2 filhos, André e Joaquim, e Maria tem uma filha que se chama Samila.

Irmã Irmão Júlia Primo Prima

Luana Maria

Natália

Sentavio/ Shutterstock.com

Orientações

7 Em equipe, escolham um tema para pesquisar; elaborem as perguntas adequadas e a melhor forma de se obter as informações. Depois de coletar os dados, utilizem uma planilha eletrônica para elaborar tabelas e gráficos que representem os resultados da pesquisa.

Façam também o relatório final sintetizando as conclusões sobre a pesquisa. Em seguida, apresentem o resultado para toda a turma. Resposta pessoal.

8 Os estudantes da Escola São Januário ajudaram no mutirão de limpeza da escola. O fluxograma a seguir registra o que foi considerado importante para fazer o mutirão.

Mutirão de limpeza

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA34

A resposta à atividade 7 é pessoal, mas deve ser compartilhada com a turma. Aproveite para observar se os estudantes estão conseguindo utilizar a planilha eletrônica, conteúdo que será abordado em seguida, em MatemaTic. Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência geral 2

Materiais de limpeza

Locais prioritários para os estudantes Pessoal de apoio

Químicos Não químicos Jardim, pátio, salas de aula e banheiros Agentes da secretaria, agentes da limpeza, agentes de portaria e alunado

Sabão, detergentes, desinfetantes etc.

Vassouras, baldes, rodos, panos etc.

a) Que itens foram considerados importantes para realizar o mutirão?

Materiais de limpeza, locais prioritários para os estudantes e pessoal de apoio.

b) Qual elemento do fluxograma subdivide-se em mais elementos? O elemento materiais de limpeza.

Lógico, é lógica!

(FATEC-SP) Considere quatro moças tais que:

• Beth é mais alta que Leila;

• Paula é menos alta que Ana e

• Ana é menos alta que Leila.

Logo, pode-se afirmar corretamente que: Alternativa b

a) Paula é mais alta que Leila.

b) Beth é mais alta que Paula.

c) Ana é menos alta que Paula.

d) Beth é menos alta que Ana.

e) Leila é menos alta que Ana.

Aproveite a temática da atividade 8 e fale sobre a importância de manter ambientes limpos como também o respeito pelos profissionais que trabalham na área de limpeza de ambientes públicos. Observe como os estudantes analisam e interpretam o fluxograma.

Lógico, é lógica! explora o raciocínio lógico. Solicite aos estudantes que resolvam as atividades em grupo e ajudem os colegas em caso de dúvidas. Essa troca de conhecimentos é importante e pode ser enriquecedora. Em seguida, corrija as atividades de forma coletiva.

Denotando Beth por B, Paula por P, Leila por L e Ana por A, considere as desigualdades: B > L; A > P e L > A; então, B > P Alternativa b

Orientações

Essa seção favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA33, da competência geral 5 e da competência específica 5

Em MatemaTIC, verifique se os estudantes conhecem esse tipo de planilha e se já tiveram contato com esse recurso. Informe aos estudantes que o software também pode ser acessado em smartphones

Explique a eles que uma planilha é dividida em linhas, identificadas por um número, e colunas, identificadas por letras. Essa nomenclatura ajuda na localização das células, por exemplo: a célula A5 corresponde ao cruzamento da coluna A com a linha 5.

Para aprofundar

O artigo trata de um estudo sobre as planilhas eletrônicas aplicadas a situações financeiras.

• PINTO, R. C.; FIOREZE, L. A. O uso de planilhas eletrônicas no ensino [...]. Porto Alegre: UFRGS, [2015]. Trabalho para o curso de especialização em Matemática, Mídias Digitais e Didática. D isponível em: https://www. lume.ufrgs.br/bitstream/hand le/10183/134087/000984707. pdf?sequenc e = 1. Acesso em: 23 jun. 2022.

O que é uma planilha eletrônica?

Uma planilha eletrônica é um software de computador ou celular em que podemos criar tabelas e gráficos, além de realizar cálculos. Uma planilha é dividida em linhas (cada uma representada por um número) e colunas (cada uma representada por uma letra). As células, nas quais os dados são digitados, são identificadas pela letra e pelo número da coluna e da linha correspondentes, como célula A1: coluna A e linha 1.

Vamos conhecer e usar uma planilha eletrônica? Para isso, baixe gratuitamente o LibreOffice Calc, disponível em: https://pt-br.libreoffice.org/baixe-ja/ (acesso em: 9 mar. 2022). Abra o programa e conheça os elementos que fazem parte da pasta e da planilha.

Agora, vamos digitar os dados da pesquisa sobre os meios de transporte mais usados pelos estudantes da Escola São Joaquim. Observe as informações a seguir e preencha na planilha os dados coletados na pesquisa. Na célula A1, digite “Meios de transporte”; na célula B1, “Frequência”; na célula A2, “carro”, e assim por diante, até representar todos os dados da tabela.

ELETRÔNICA ARQUIVO FORMATAR LAYOUT INSERIR FÓRMULAS DADOS FERRAMENTAS COMPLEMENTOS AJUDA

Para saber a quantidade total de estudantes pesquisados, clique na célula B9 e digite =SOMA (B2:B8). Essa fórmula irá determinar a soma dos valores no intervalo das células B2 até B8.

Orientações

Realize o passo a passo proposto em MatemaTIC e observe se os estudantes ainda apresentam dúvidas. Verifique se eles compreenderam o que é uma célula e se conseguem fazer a localização utilizando uma letra que diz respeito à coluna e um número referente à linha. Além da proposta de tema sugerido na seção, norteie os estudantes apresentando ou pedindo que sugiram temas de pesquisa com relevância social.

Podemos também gerar um gráfico com esses dados. Para isso, selecione o intervalo de células que você deseja representar no gráfico. Clique no ícone “Inserir gráfico” na barra de ferramentas. O programa mostrará uma visualização do gráfico e o Assistente de gráfico. Siga as instruções, escolha a opção “Gráfico de barras” e o gráfico será construído.

Agora que você já sabe construir tabelas e gráficos em uma planilha eletrônica, simule dados hipotéticos, como número de adultos e crianças que frequentaram o cinema no fim de semana, produtos vendidos em um supermercado etc., e represente-os na planilha eletrônica.

Objetivos do capítulo

• Compreender a probabilidade como a chance de um evento acontecer.

• Calcular a probabilidade de um evento acontecer.

Foco na BNCC

Principais competências e habilidades trabalhadas no capítulo. Competência geral 8 Competência específica 4 Habilidades EF06MA13, EF06MA30 e EF06MA33

Foco nos TCTs

• Educação Alimentar e Nutricional

Orientações

A atividade de Para começar explora os conhecimentos prévios dos estudantes ao perguntar o que é mais provável sair em um lançamento de dado: um número maior ou menor que 4. Verifique se todos compreenderam que é mais provável sair um número menor que 4, pois há três números menores que 4 e dois maiores que 4. Leia com eles o tópico “Experimentos aleatórios, espaço amostral equiprovável e eventos”. Pergunte o que cada uma dessas expressões significa. Esse tema retoma e amplia o conteúdo abordado na Unidade 6.

Em Pense e responda, é importante compreender que há três números pares (2, 4 e 6) e três números ímpares (1, 3 e 5) em um dado de seis faces; portanto, a chance de ocorrer um número par é igual à chance de ocorrer um número ímpar: 50% ou 1 em 2 possibilidades.

Reforce a diferença entre possibilidade e probabilidade.

Probabilidade

No lançamento de um dado de 6 faces não viciado, o que é mais provável sair: um número maior ou menor que 4? Por quê?

Um número menor que 4, pois há três números menores que 4 e dois maiores que 4.

Lançamento de uma dado convencional.

Experimentos aleatórios, espaço amostral equiprovável e eventos

Agora, vamos ampliar o nosso estudo de probabilidade. Já estudamos que experimentos aleatórios são situações em que não podemos prever com certeza o resultado antes de o evento acontecer.

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. Podemos representar um espaço amostral pela letra grega ômega: Ü

O espaço amostral é equiprovável quando todos os resultados possíveis têm a mesma chance de ocorrer.

Acompanhe o experimento de lançar um dado de 6 faces. O conjunto de todos os resultados possíveis, ou seja, o espaço amostral, é expresso por:

Ü = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Um subconjunto desse espaço é chamado de evento

Por exemplo, o evento “sair 1” é representado pelo subconjunto A = {1}.

O evento “sair um número maior que 4” é representado por B = {5, 6}. Já o evento “sair um número menor que 4” é representado por C = {1, 2, 3}.

Sendo n o número de elementos de um evento, nesses exemplos temos: n(A) = 1, n(B) = 2 e n(C) = 3.

Nesse experimento, o evento C tem mais chance de ocorrer porque o número de elementos é maior do que o número de elementos de A e de B

Pense e responda

3 em 6 possibilidades ou 1 em 2 possibilidades

Qual é a chance de ocorrer um número par no lançamento desse dado? Explique seu raciocínio.

DJTaylor/Shutterstock.com

Atividades

1 Retira-se, sem olhar, uma bola deste saco.

a) Qual é o espaço amostral desse experimento? Ü = {1, 2, 3}

b) Represente um evento desse espaço amostral. Resposta pessoal.

c) Qual resultado possível desse espaço amostral é mais provável de sair?

Todos os resultados possíveis têm a mesma chance de sair.

2 Considere o lançamento de um dado de 12 faces, numeradas de 1 a 12.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA30

As atividades 1 e 2 trabalham os conceitos iniciais de probabilidade: evento e espaço amostral. Retome os conceitos de probabilidade, relembrando o que é espaço amostral e evento. Trabalhe exemplos simples utilizando esses conceitos. Amplie as atividades propondo mais cálculos. Resolução da atividade 2

a) São dez números maiores que 2 e quatro números menores que 5, portanto, é mais provável ocorrer um número maior que 2. Sim, pois todos os números têm a mesma probabilidade de ocorrer.

a) É mais provável ocorrer um número maior do que 2 ou menor do que 5? Maior do que 2.

b) O espaço amostral desse experimento é equiprovável? Sim.

c) Represente um evento desse espaço amostral. Resposta pessoal.

Cálculo de probabilidades

Já estudamos que a probabilidade é a medida da chance de um evento aleatório acontecer. Em outras palavras, a probabilidade de um evento A acontecer é dada pela seguinte sentença:

P(A) = An A n número de resultados favoráveis número de resultados possíveis número de elementos de número de elementos de () () = Ü = Ü

Essa fórmula também é conhecida como probabilidade clássica ou probabilidade teórica Vamos calcular a probabilidade de alguns eventos no lançamento de um dado de 6 faces.

a)

Ao trabalhar o tópico “Cálculo de probabilidades”, reproduza na lousa a expressão da probabilidade de um evento A acontecer. Discuta com os estudantes as expressões “probabilidade clássica” e “probabilidade teórica”. Para tornar a aula menos abstrata, os estudantes podem manipular roletas, trabalhar com bolas coloridas, dados, moedas, cartas de baralhos, cartões etc. É importante ressaltar que, ao falarmos sobre probabilidade, estamos tratando de experimentos aleatórios, logo, falando de chances de algo acontecer dentro de um conjunto predefinido.

Mostre exemplos de experimentos que utilizamos no estudo de probabilidades, como o lançamento de dados e moedas, jogos de futebol e análise de peças defeituosas em uma produção, por exemplo. Faça uma tabela na lousa e peça aos estudantes que apresentem mais exemplos de experimentos.

Para aprofundar

O livro trata de assuntos relacionados a análise combinatória e probabilidade.

• MORGADO, Augusto et al Análise combinatória e probabilidade 10. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2016.

Adriano Gimenez Adriano Gimenez

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA30

Acompanhe a turma na resolução das atividades. Se julgar conveniente, peça que as resolvam em duplas. Resolução da atividade 1

b) Só há uma placa com cada número, portanto, apenas 1 placa com o número 20, então:

P = 1 20 = 0,05 = 5%.

c) Existem 4 números maiores que 16: 17, 18, 19 e 20. Então:

P = 4 20 = 0,2 = 20%.

d) Existem 5 números múltiplos de 4 entre 1 e 20: 4, 8, 12, 16, e 20.

Então:

P = 5 20 = 0,25 = 25%.

Existem 6 números divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Então:

P = 6 20 = 0,3 = 30%.

Resolução da atividade 2

Sim, a probabilidade de sair qualquer uma das cores é a mesma, pois há o mesmo número de bolas de cada cor. A probabilidade de cada cor é:

Atividades

1 Em uma barraca de pesca de uma festa junina há 20 placas de peixinhos numeradas de 1 a 20. As placas estão enterradas na areia com um ganchinho para fora, de modo que ninguém saiba o número de cada placa. O valor do prêmio é proporcional ao número marcado na placa fisgada.

a) Quantos elementos têm o espaço amostral desse experimento? 20 elementos

b) Jurema quer pescar a placa de número 20, que corresponde ao melhor prêmio. Qual é a probabilidade, em percentual, de ela ganhar esse prêmio? 5%

c) Qual é a probabilidade, em percentual, de Jurema pescar uma placa com um número maior que 16? 20%

d) Qual é a probabilidade, em percentual, de ela pescar uma placa com um número múltiplo de 4? E com um número divisor de 20? 25%; 30%

2 Em uma caixa são colocadas 8 bolas vermelhas, 8 bolas azuis, 8 bolas verdes e 8 bolas amarelas, todas de mesmo tamanho e mesma massa. Sorteando ao acaso uma bola dessa caixa, a probabilidade de ela ser azul é a mesma de ela ser vermelha? Por quê? Resposta no Manual do Professor.

3 Erenilda lançou um dado com 6 faces, numeradas de 1 a 6.

a) Que resultado Erenilda pode obter? 1, 2, 3, 4, 5 ou 6

b) Qual é a probabilidade de ocorrer o número 1? 1 6

8

32 = 1 4 = 0,25 = 25%.

Resolução da atividade 3

b) Como há somente um número1, a probabilidade é 1 6

c) São quatro números menores que 5 (1, 2, 3 e 4). Probabilidade: 4

6 = 2 3

d) São dois números múltiplos de 3 (3 e 6). Probabilidade: 2 6 = 1 3

e) São três números primos (1, 3 e

5). Probabilidade: 3 6 = 1 2 = 0,5 = = 50%.

Resolução da atividade 4

a) Podem ser os números 2 e 5.

Probabilidade: 2 6 = 1 3

b) Somente o 4. Probabilidade: 1 6

c) Pom ser os números 2, 5 e 6. Probabilidade = = 3 6 1 2 = 0,5 = = 50%.

Na atividade 4, trabalhe a planificação de um dado com os estudantes, colorindo duas faces, como indicado. Além de probabilidade, essa

c) Qual é a probabilidade de ocorrer um número menor que 5? = 4 6 2 3

d) Qual é a probabilidade de ocorrer um número múltiplo de 3? = 2 6 1 3

e) Qual é a probabilidade de ocorrer um número primo? = 3 6 1 2 = 0,5 = 50%

4 A imagem abaixo mostra a planificação da superfície de um dado.

No lançamento desse dado, qual é a probabilidade de ocorrer:

a) face branca e número primo? = 2 6 1 3

b) face preta e número par? 1 6

c) face branca e número maior que 1? =

= 0,5 = 50%

5 Uma caixa contém 100 bolas, cada uma delas identificada por um número de 1 a 100. Retirando-se aleatoriamente da caixa uma única bola, calcule a probabilidade, na forma percentual, de que o número dessa bola tenha o algarismo das unidades igual a 7. 10%

atividade trabalha também com combinatória. Se necessário, retome com os estudantes o significado de números primos. Resolução da atividade 5

Números de 1 a 100 com o algarismo 7 na unidade: 7, 17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87 e 97. São 10 de 100 números. = 10 100 10%

Marcos Guilherme

Marcos Guilherme

Frequência absoluta e frequência relativa

Observe na tabela a seguir o número de estudantes matriculados em uma escola de música de acordo com o instrumento que estão aprendendo a tocar.

Orientações

O conteúdo dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA13 e EF06MA30

Mais uma vez, os estudantes retomarão o conceito de frequências de uma tabela. É importante que compreendam o cálculo percentual e sua representação decimal. Se achar necessário, faça uma breve revisão do assunto. Fale sobre o significado dessas frequências e o porquê de serem utilizadas no momento da distribuição em tabelas.

Nessa escola, 25 estudantes estão matriculados no curso de guitarra. Então, a frequência absoluta na modalidade guitarra é 25.

Para encontrar a frequência relativa de uma modalidade, basta dividir a frequência absoluta pelo número de elementos da amostra, que nesse caso é 100.

Observe novamente a tabela, agora com o cálculo das frequências relativas.

Fonte: Dados fictícios.

Assim, podemos afirmar que a frequência relativa na modalidade guitarra é 0,25.

A tabela que expressa os valores das frequências absolutas e das frequências relativas é chamada tabela de frequências

Orientações

O Pense e responda dessa página favorece o desenvolvimento das habilidades EF06MA30

Converse com os estudantes e veja se entenderam a definição de frequência absoluta, frequência relativa e espaço amostral não equiprovável. Proponha uma atividade utilizando uma moeda: Se lançarmos essa moeda 5 vezes, qual será a probabilidade de saírem exatamente quatro coroas? Peça que se organizem em grupos de dez componentes e criem uma tabela com o resultado do lançamento da moeda de cada um deles. Reforce que cada estudante deve lançar a moeda 5 vezes consecutivas.

Para se calcular a probabilidade de um evento é necessário saber o número de casos favoráveis e o número total da amostra. Por exemplo, na tabela de frequências da página anterior, considere o evento “estudar bateria” (B ). O número de casos favoráveis é representado pela quantidade de estudantes matriculados no curso de bateria, já o número total da amostra é representado pela quantidade total de estudantes matriculados na escola, independente do curso. Assim, para calcular a probabilidade, devemos calcular a seguinte razão:

P(B) = número de estudantes queestudam bateria número totaldeestudantesnaamostra = 24 100 = 0,24

Observe que a probabilidade 0,24 é a frequência relativa calculada na tabela anterior. Essa fórmula é chamada de probabilidade frequentista

A probabilidade frequentista nos ajuda a entender o que acontece com um evento quando há muitas repetições do experimento.

Por exemplo, sabemos que, em um lançamento de uma moeda, a probabilidade de sair o evento “cara” é de 1 2 ou 0,5, e a probabilidade de sair “coroa” também é de 1 2 ou 0,5. Mas o que acontece com as probabilidades desses eventos se lançarmos essa moeda repetidas vezes? Por exemplo, 50, 100, 200, 500, 1 000 e 10 000 vezes?

Vejamos os resultados obtidos experimentalmente para o evento “cara” na tabela a seguir.

Resultados obtidos para o evento “cara”

Pense e responda

Desse exemplo, compare as frequências relativas dos vários lançamentos da moeda com a probabilidade de um só lançamento. Explique como você chegou a essa conclusão.

Resposta esperada: As frequências relativas se aproximam de 0,5.

Quanto mais aumentamos o número de lançamentos da moeda, mais a frequência relativa do resultado “cara” fica próxima do número 1 2 ou 0,5, que é a probabilidade teórica de ocorrer “cara” em um único lançamento da moeda.

Em outras palavras, para um grande número de observações de um experimento, a frequência relativa de um evento se aproxima de sua probabilidade teórica.

Lançamento de uma moeda.

Atividades Orientações

1 O distanciamento social, decorrente da pandemia da covid-19, provocou um aumento significativo do uso de computadores, tablets e celulares. Os estudantes passaram a ter aulas on-line e os funcionários de várias empresas passaram a trabalhar na modalidade home office, o que acarretou um número maior de horas diárias em frente às telas.

O uso precoce e excessivo desses equipamentos pode provocar danos à visão e ao desenvolvimento cognitivo das crianças. Veja os limites no tempo de exposição às telas, de acordo com a faixa etária, recomendados pela Sociedade Brasileira de Pediatria (SBP).

• Crianças menores de 2 anos: não devem ser usadas.

• Crianças entre 2 e 5 anos: máximo de 1 hora por dia.

• Crianças entre 6 e 10 anos: máximo de 2 horas por dia.

• Adolescentes entre 11 e 18 anos: máximo de 3 horas por dia, sem nunca “virar a noite”.

• Todas as faixas etárias: nada de telas durante as refeições e desconectar 1 a 2 horas antes de dormir. SBP atualiza recomendações sobre saúde [...]. In: SOCIEDADE BRASILEIRA DE PEDIATRIA. Rio de Janeiro, 11 fev. 2020. Disponível em: https://www.sbp.com.br/imprensa/detalhe/nid/sbp-atualiza-recomendacoes-sobre-saude-de-criancas-e-adolescentes-na-era-digital/. Acesso em: 12 fev. 2022.

Respostas pessoais.

a) Com base nas recomendações sobre o uso de telas por crianças e adolescentes, o uso que você faz desses dispositivos está de acordo com as recomendações? Se não, o que você pode fazer para se adequar?

b) Faça uma pesquisa com os colegas sobre o número de horas que cada um passa em frente às telas. No caderno, copie e complete a tabela abaixo com o resultado dessa pesquisa.

Número de horas por dia que os estudantes do 6? ano passam em frente às telas

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA30 e EF06MA33

A atividade 1 trata do aumento do uso de tecnologias digitais como tablets e computadores durante a pandemia. Converse com os estudantes sobre as experiências das aulas remotas e pergunte a opinião deles em relação a esse aumento. Essa atividade favorece o desenvolvimento da competência específica 4

Para aprofundar

O artigo trata sobre um estudo da probabilidade, por meio de jogos de dados, utilizando como metodologia a resolução de problemas.

• LOPES, J. M. O ensino de probabilidade através de um jogo de dados e da metodologia de resolução de problemas. In: BIENAL DA SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 5., 2011, João Pessoa. Anais [...]. João Pessoa: UFPB, 2010. Disponível em: http://www.mat.ufpb. br/bienalsbm/arquivos/Mini_Cur sos_Completos/MC12Completo. pdf. Acesso em: 23 jun. 2022.

total

Fonte: Dados coletados pelo estudante.

c) No caderno, elabore um gráfico de barras ou colunas para representar os dados da tabela.

d) Utilize uma planilha eletrônica para elaborar uma tabela e um gráfico com os dados e compare com o que foi feito anteriormente por você.

e) Se um estudante da sua turma for sorteado ao acaso, qual é a probabilidade de ele passar mais de 5 horas por dia em frente às telas?

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA30

Resolução atividade 2

As informações devem ser buscadas na página 307. Veja as respostas a seguir.

b) = 10 100 10% = 0,10 = 10%

c) A probabilidade é a mesma, já que ambos os grupos têm 10 estudantes cada um.

d) É mais provável ser sorteado alguém que estuda violão, porque há 31 estudantes desse instrumento e apenas 24 de bateria.

Resolução da atividade 3

a) São três números 1, um número 2, dois números 5 e dois números 4, num total de oito números. Na roleta há três números 3. Probabilidade: 3

8

Na roleta há um número 2. Probabilidade: 1 8

b) O 3 e o 4. Probabilidade: = 2

8 1 4

c) Não, pois os números aparecem em quantidades diferentes. Resolução da atividade 4

Os números primos maiores que 1 e menores que 40 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 e 37.

a) Os números primos maiores do que 10 e menores do que 20 são: 11, 13, 17 e 19. Assim,

P 4 12 1 3 ==

b) Os números primos maiores do que 20 e menores do que 40 são: 23, 29, 31 e 37. Assim,

P 4 12 1 3 ==

Resolução da atividade 5

Ao todo, são 28 bombons.

a) São 7 bombons com recheio de coco. Probabilidade = = 7 28 1 4

b) São 4 bombons com recheio de nozes. Probabilidade: = 4 28 1 7

c) São 17 bombos com recheio de amêndoa. Probabilidade: 17 28

2 Retorne aos dados da tabela dos estudantes da escola de música, vista anteriormente, e responda às questões.

a) Qual é a frequência absoluta da modalidade “estudar violão”? 31

b) Qual é a frequência relativa da modalidade “estudar piano”? 0,1 ou 10%

c) É igualmente provável ser sorteado um estudante que está fazendo aula de flauta ou piano? Explique.

Resposta no Manual do Professor.

d) É mais provável ser sorteado alguém que estuda bateria ou violão? Justifique sua resposta.

no Manual do Professor.

3 Veja a roleta de números. 3. b) Os números 3 e 4, que têm probabilidade 2 8 1 4 =

a) Após girar essa roleta, qual é a probabilidade de a seta apontar para o número 1? E para o número 2? 3 8 ; 1 8

b) Quais números apresentam a mesma probabilidade de ocorrer? Expresse essa probabilidade em forma de fração.

c) O espaço amostral dessa roleta é equiprovável? Não.

4 Considere a sequência 2, 3, 5, ..., 37 de números primos maiores que 1 e menores que 40. Escolhido um desses números ao acaso, qual é a probabilidade de o número ser:

a) maior do que 10 e menor do que 20? 4 12 1 3 = b) maior ou igual a 20? 4 12 1 3 =

5 Em uma caixa há 28 bombons, todos idênticos com exceção do recheio. Desses bombons, 7 têm recheio de coco, 4 têm recheio de nozes e 17 têm recheio de amêndoas. Ao retirar aleatoriamente um bombom dessa caixa, qual é a probabilidade, em forma de fração, de ser um bombom de:

a) coco? 7 28 1 4 = b) nozes? 4 28 1 7 =

c) amêndoas? 17 28

6 Suponha que, ao girar, a seta não pare sobre as linhas que são fronteiras comuns dos espaços brancos e pretos. Nesse caso, qual é a probabilidade de a seta parar na cor:

a) branca? 8 12 2 3 =

b) preta? 4 12 1 3 =

7 Em um curso de Inglês, a distribuição do número de estudantes de acordo com as idades é dada pelo gráfico abaixo. Com base nos dados do gráfico, respondam às perguntas.

Idades dos estudantes de inglês Idade dos estudantes do curso de Inglês

a) Qual é o número total de estudantes do curso? 20

b) Qual é o número de estudantes com no mínimo 13 anos? 12

c) Escolhendo um estudante ao acaso, qual é a probabilidade de sua idade ser:

Resolução da atividade 6

Ao todo são 12 partes, sendo 4 pretas e 8 brancas.

a) 8 12 2 3 =

b) 4 12 1 3 =

Resolução da atividade 7

a) 4 + 5 + 3 + 1 + 2 + 5 = 20

b) 3 + 1 + 2 + 5 = 11

c) P 4 20 1 5 0,220% == ==

Do item b, 11 estudantes têm, no mínimo, 13 anos.

Assim,=P 12 20 = 0,55 = 55%.

A editora de uma revista de moda fez uma pesquisa sobre a idade de seus leitores. Para isso, selecionou aleatoriamente uma amostra de 25 leitores. Veja, abaixo, as idades deles.

18 19 20 19 18 19 18 19 20 20 20 21 19 20 21 21 22

18 19 20 20 22 19 20 18

a) Com base nessas informações, reproduza e complete a tabela a seguir. Idade dos leitores da revista de moda

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA30

Resolução da atividade 8

a) Total Frequência absoluta: 5 + 7 + 8 + 3 + 2 = 25

1; linha:

Idade: 18; Frequência absoluta: 5;

Frequência relativa: 5 25 = 0,20 =20%.

2; linha:

Idade: 19; Frequência absoluta: 7;

Frequência relativa: 7 25 = 0,28 = 28%.

3; linha:

Idade: 20; Frequência absoluta: 8;

Resposta no Manual do Professor.

Fonte: Dados fictícios.

b) Qual é a probabilidade, em percentual, de selecionar um leitor e ele ter 19 anos? 28%

9 Nas maternidades, o número de nascimentos de bebês segundo o sexo varia muito a cada dia, mas, em geral, a probabilidade de nascer menina é 1 2 ou 0,5.

Observe na tabela a seguir o número de nascimentos, inclusive meninas, durante um ano nas regiões Norte, Sul, Leste e Oeste de um estado.

Frequência relativa: 8 25 = 0,32 = 32%.

4; linha:

Idade: 21; Frequência absoluta: 3;

Frequência relativa: 3 25 = 0,12 = 12%.

5ª linha:

Idade: 22; Frequência absoluta: 2;

Frequência relativa: 2 25 = 0,08 = 8%.

Total Frequência relativa: 20 + 28 + 32 + 12 + 8 = 100 4 4 100%

b) A frequência relativa corresponde à probabilidade. Logo, a probabilidade é de 28%.

a) Durante esse ano, quantos nascimentos houve nesse Estado? 105 095 nascimentos

b) Quantas meninas nasceram nesse ano? 56 716 meninas

c) Calcule a frequência relativa do nascimento de meninas por região. Resposta no Manual do Professor.

d) Calcule a frequência relativa do nascimento de meninas em todo o estado. 56716 105095 0,54 o

e) Compare o resultado da frequência relativa do nascimento de meninas em todo o estado com a probabilidade teórica de ser uma menina no nascimento de uma criança. O que você conclui?

A frequência relativa está próxima da probabilidade teórica.

A resolução da atividade 9 abre espaço para conversar com os estudantes sobre a taxa de natalidade do estado em que a escola está localizada.

a) 28 500 + 22 040 + 33 055 + + 21 500 = 105 095 4 105 095 nascimentos

b) 18 554 + 10 800 + 15 027 + + 12 335 = 56 716 4 56 716 meninas

c) Norte: 18 554 28 500 o 0,65.

Sul: 10 800 22 040 o 0,49.

Leste: 15027 33055 o 0,45.

Oeste: 12 335 21 500 o 0,57.

d) 56 716 105 095 o 0,54.

e) A frequência relativa o 54% está próxima da probabilidade teórica, que é de 50%.

Criança recém-nascida em uma maternidade.

Orientações

As atividades dessa página favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA30

Resolução da atividade 10

a) São 7 letras, sendo 3 vogais; portanto, a probabilidade é 3 7

No item b, verifique se os estudantes compreenderam o enunciado e se calcularam corretamente a probabilidade de se sortear uma vogal e uma consoante do próprio nome.

Na atividade 11

O total de estudantes é igual a:

80 + 70 + 60 + 50 + 20 = 280.

O total de estudantes que têm 20 anos ou mais é: 50 + 20 = 70.

10 Gabriel colocou as letras que formam seu nome em fichas.

G B R L A I E

a) Sorteando uma dessas fichas, qual é a probabilidade de ser sorteada uma vogal? 3 7

b) Se você escrever as letras que formam seu primeiro nome em fichas e sortear uma delas, qual é a probabilidade de ser sorteada uma vogal? E uma consoante? Respostas pessoais.

11 O gráfico mostra a distribuição das idades dos estudantes de uma escola de informática.

a) Na forma fracionária, qual é a probabilidade de ganhar o prêmio dessa rifa de uma pessoa que comprou os números 7 e 85?

b) E se ela comprou os números de 40 a 49?

c) E se comprou os números pares compreendidos entre 50 e 60?

d) E se comprou os números maiores que 7 e menores que 15?

4 100 1 25 = 7 100

e) Elabore uma pergunta com base nos dados do enunciado e dê para um colega responder enquanto você responde à pergunta que ele formulou. Resposta pessoal.

13 A probabilidade de sair o número 5 no lançamento de um dado com as faces numeradas de 1 a 6 é de 0,1666...

70

280 1 4 = = 0,25 = 25%.

Resolução da atividade 12

a) Se comprou dois, números, a probabilidade é = 2 100 1 50

b) Como também são dois números, a probabilidade também é = 2 100 1 50

c) São quatro números pares entre 50 e 60 (42, 44, 46 e 48). Probabilidade: = 4 100 1 25

d) São sete números (8, 9, 10, 11, 12, 13 e 14). Probabilidade: 7 100

da atividade 13

b) A probabilidade teórica é 1 6 o 0,17. Note que a probabilidade teórica é um número bem próximo das frequências relativas calculadas no item a.

Observe, também, a resolução da atividade de Lógico, é lógica! Foram retiradas apenas bolas vermelhas e brancas.

I. Falsa, pois pode ser branca também.

II. Falsa, pois não dá para especificar exatamente que 2 são vermelhas, já que temos 6 vermelhas.

III. Falsa, pois podemos ter mais bolas brancas.

Com base nos dados registrados nesse gráfico, escolhido um estudante ao acaso, qual é a probabilidade de ele ter idade maior ou igual a 20 anos?

Dê a resposta na forma percentual. 25%

12 De uma rifa com números de 1 a 100, todos foram vendidos. Regina comprou apenas o número 32 e, por isso, a probabilidade de ganhar o prêmio é de 1 100 12. b) 10 100 1 10 =

Observe a quantidade de vezes que o número 5 foi obtido ao lançar esse dado várias vezes. Resultado 5 em lançamentos do dado

Fonte: Dados fictícios.

a) Calcule a frequência relativa em cada evento.

0,23; 0,175; 0,205; 0,148 e 0,171

b) Compare o resultado das frequências relativas com a probabilidade teórica de sair o número 5 em apenas um lançamento do dado. O que você conclui?

As frequências relativas se aproximam da probabilidade teórica.

Lógico, é lógica!

Em uma caixa havia várias bolas, sendo 10 azuis, 8 amarelas, 6 vermelhas, 4 brancas e 2 pretas. Uma pessoa retirou 6 bolas dessa caixa e verificou que nenhuma delas era azul, nem amarela, nem preta. O que podemos afirmar a respeito dessas 6 bolas retiradas?

I. São vermelhas.

III. Uma é branca e cinco são vermelhas.

IV. Pelo menos duas são vermelhas. Quais dessas afirmativas são verdadeiras? IV

II. Duas são vermelhas e quatro são brancas.

Fonte: Dados fictícios.

IV. Verdadeira, pois temos apenas 4 brancas e, para compor 6 bolas, será preciso pelo menos 2 vermelhas. Apenas a afirmativa IV é verdadeira.

Alimentação saudável e atividade física

Orientações

Essa seção favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA33

Em Matemática Interligada, os estudantes têm a oportunidade de refletir acerca de hábitos saudáveis, como uma alimentação equilibrada e atividades físicas regulares para se ter uma boa qualidade de vida. Abra espaço para conversar sobre hábitos familiares e pergunte se já cozinharam em família. Discussões como esta favorecem o desenvolvimento da competência geral 8 ao colocar em pauta os cuidados com a saúde. Auxilie os estudantes no momento da elaboração da pesquisa, reforçando o passo a passo apresentado no Livro do Estudante.

Com a orientação do professor, você e mais quatro colegas vão realizar uma pesquisa estatística para conhecer os hábitos alimentares da turma. Depois, vocês vão interpretar os dados obtidos e analisar se os hábitos alimentares dos alunos estão de acordo com as recomendações de profissionais da saúde.

Com os colegas de grupo, siga as etapas abaixo.

1; etapa: Pesquisem sobre alimentação saudável em sites, revistas ou livros confiáveis. Durante a pesquisa, tentem responder às perguntas a seguir. Respostas pessoais.

• Como é uma alimentação considerada saudável?

• Quais cuidados devemos ter com nossa alimentação?

• Qual é a importância das informações nutricionais apresentadas nos rótulos de produtos industrializados?

• A alimentação influencia na expectativa de vida de uma pessoa?

• A alimentação influencia no rendimento escolar de um estudante?

2; etapa: Agora, vocês devem elaborar um questionário para conhecer os hábitos alimentares da sua comunidade escolar. Veja algumas sugestões de perguntas. Respostas pessoais.

• Você observa as informações nutricionais dos alimentos industrializados que consome?

• Quantas refeições você realiza em um dia?

• Você consome vegetais?

• Você acha importante comer frutas?

3; etapa: Elaborado o questionário, é hora de coletar os dados. Durante as entrevistas, sejam educados com os colegas e não façam julgamentos sobre as respostas fornecidas. Também é importante manter um tom de voz neutro e se comunicar de maneira objetiva para não influenciar as respostas dos entrevistados.

4; etapa: Organizem os dados coletados utilizando uma planilha eletrônica. Construam tabelas e gráficos que mostrem os resultados da pesquisa de maneira adequada.

5; etapa: Por fim, chegou o momento de interpretar os resultados. Com base na pesquisa realizada na etapa 1, avaliem se a turma segue as recomendações de especialistas para uma alimentação saudável. Elaborem um texto com as conclusões sobre os dados coletados.

Hábitos alimentares saudáveis contribuem para o crescimento e aumento da imunidade.

Orientações

Essa seção contempla atividades, inclusive testes e questões de provas oficiais. Se julgar adequado, utilize essas atividade para casa, para avaliação, trabalhos em grupo, com correção coletiva, entre outras opções. Ela contribui para a verificação das principais habilidades trabalhadas na unidade.

Resolução da atividade 1

Cálculo da soma das horas que a professora trabalhou:

8 + 9 + 10 + 11 + 7 = 45.

Cálculo do valor da hora-aula da professora:

1 125 : 45 = 25 4 R$ 25,00.

Alternativa d

Resolução da atividade 2

O gráfico mostra o número de estudantes (no eixo y) que compraram o mesmo número de bilhetes (no eixo x). Sendo assim: 5 estudantes não compraram nenhum bilhete, 20 estudantes compraram um bilhete, 16 estudantes compraram dois bilhetes, 7 estudantes compraram três bilhetes e 4 estudantes compraram quatro bilhetes. Se quisermos descobrir quantos bilhetes foram comprados, temos: (5 . 0) + (20 . 1) + (16 . 2) + + (7 . 3) + (4 . 4) = 0 + 20 + + 32 + 21 + 16 = 89.

Portanto, foram vendidos 89 bilhetes no total; então, alternativa d Resolução da atividade 3

Um pacote de ração é suficiente para 10 dias, pois 500 : 50 = 10.

Para um mês, são necessários:

30 10 = 3 4 3 pacotes.

O gasto de 1 mês com suplementos e banho é igual a:

3 . 8 + 4 . 30 = 144 4 R$ 144,00.

O gasto com os banhos mensais no 2o mês deve ser o mesmo do 1o mês.

Logo:

144 - 3 9 = 117

117 : 4 = 29,25 4 R$ 29,25. Alternativa c

1 (CMM-AM) O número de horas trabalhadas por dia da semana por uma professora está indicado no gráfico abaixo. Sabe-se que ela ganha por hora trabalhada e que, em uma semana, ela recebe R$ 1.125,00. Sendo assim, quanto ela recebe por hora trabalhada? Alternativa d

a) R$ 45,00.

b) R$ 35,00.

c) R$ 28,12.

d) R$ 25,00.

e) R$ 18,80.

2 (OBMEP) A turma do Carlos organizou uma rifa. O gráfico mostra quantos alunos compraram um mesmo número de bilhetes; por exemplo, sete alunos compraram três bilhetes cada um. Quantos bilhetes foram comprados? Alternativa d

a) 56

b) 68

c) 71

d) 89

e) 100

3 (ENEM) Segundo indicação de um veterinário, um cão de pequeno porte, nos dois primeiros meses de vida, deverá ser alimentado diariamente com 50 g de suplemento e tomar banho quatro vezes por mês. O dono de um cão de pequeno porte, seguindo orientações desse veterinário, utilizou no primeiro mês os produtos/serviços de um determinado pet shop, em que os preços estão apresentados no quadro.

Produtos/Serviços Valor

Suplemento R$ 8,00 (pacote de 500 g)

Banho R$ 30,00 (preço unitário)

No mês subsequente, o fabricante reajustou o preço do suplemento, que, nesse pet shop, passou a custar R$ 9,00 cada pacote de 500 g. Visando manter o mesmo gasto mensal para o dono do cão, o gerente do pet shop decidiu reduzir o preço unitário do banho. Para efeito de cálculos, considere o mês comercial de 30 dias. Alternativa c Disponível em: http://carodinheiro.blogfolha.uol.com.br. Acesso em: 20 jan. 2015 (adaptado).

condições, o valor unitário do banho, em real, passou a ser:

4 (IFTO) De acordo com uma pesquisa realizada com 150 adolescentes na faixa etária de 15 a 16 anos, a preferência de acordo com o gênero dos filmes a que mais assistem pode ser expressa no gráfico a seguir.

Orientações

Resolução da atividade 4 Analisando as alternativas uma a uma:

a) Falsa: 4 + 20 + 22 = 46 4 46%

b) Falsa: 0,32 150 = 48.

c) Verdadeira: 0,14 150 + + 0,08 150 + 0,04 150 = 21 + + 12 + 6 = 39.

Como 1 3 150 = 50, a alternativa correta é a c

d) Falsa: 0,04 . 150 = 6.

Ação Romance Comédia Ficção... Drama Terror

De acordo com o gráfico, é possível afirmar que: Alternativa c

a) os gêneros drama, terror e ficção científica representam juntos mais de 50% da preferência dos entrevistados.

b) ação é o gênero de filme preferido para 32 adolescentes entrevistados.

c) não chegam a um terço do número de entrevistados os adolescentes que preferem romance, comédia ou drama.

d) apenas 5 alunos optaram pelo gênero drama.

e) comédia é o gênero a que os entrevistados tinham menos preferência.

5 (CMB) Desde que o Futebol de 5, praticado por atletas com deficiência visual, foi incluído nos Jogos Paralímpicos, em 2004, a equipe brasileira foi a única a conquistar medalhas de ouro na modalidade. A nutricionista da equipe prepara, diariamente, uma vitamina com frutas e verduras e recomenda o consumo, de acordo com a idade, para todos os paratletas da equipe, conforme tabela e gráfico abaixo.

Idades dos paratletas – Futebol de 5

e) Falsa. Drama é o gênero que menos entrevistados preferem. Resolução da atividade 5 Calculando as quantidades de vitaminas referentes por atleta, temos:

Se todos da equipe seguiram rigorosamente a recomendação da nutricionista, o consumo diário da vitamina preparada, em litros, será aproximadamente de: Alternativa c

a) 3,0 litros.

b) 3,2 litros.

c) 3,4 litros.

d) 3,6 litros. e) 3,8 litros.

Orientações

Resolução da atividade 6

1 + 4 + 41 + 19 = 65 4 65 docentes

P 41 65 = o 0,6307.

Aproximadamente 63,1%.

Alternativa d Resolução da atividade 7

Observando um pentágono regular, podemos verificar que cada vértice ligado a outro pode formar 4 retas, das quais 2 ligam vértices consecutivos.

D E

C

6 (UFRRJ) A tabela abaixo apresenta a formação dos 65 docentes do Colégio Técnico da UFRRJ.

Fonte: Plataforma Nilo Peçanha.

Ao sortear um professor ao acaso, o percentual de chance de escolher um docente que possui apenas Mestrado é: Alternativa d

a) 1,5%

b) 6,2%

c) 29,2%

A B

Por exemplo:

Segmento de reta: ED, EC, EB e EA

Desses segmentos, os que ligam vértices consecutivos são ED e EA

Logo:

P = 2 4 = 1 2

Alternativa a Resolução da atividade 8

Total de espécies animais:

263 + 122 + 93 + 1 132 + 656 = = 2 266.

Probabilidade de ser borboleta:

1  132

2  266 o 0,4995587 o 49,96%.

Alternativa d Resolução da atividade 9

Vamos determinar a quantidade de pessoas que foram entrevistadas.

44% não se manifestaram, então, 100 - 44 = 56; ou seja, 56% de 840 pessoas (360 + 480 = 840) responderam à pesquisa.

Total de pessoas envolvidas na pesquisa é de 1 500.

56% 4 840

d) 63,1%

e) 70,8%

7 (UNESP) Tomando-se, ao acaso, uma das retas determinadas pelos vértices de um pentágono regular, a probabilidade de que a reta tomada ligue dois vértices consecutivos é: Alternativa a

a) 1 2

b) 4 5

c) 1 5

d) 2 5

e) 3 5

8 (ENEM) Em uma reserva florestal existem 263 espécies de peixes, 122 espécies de mamíferos, 93 espécies de répteis, 1 132 espécies de borboletas e 656 espécies de aves.

Disponível em: http:www.wwf.org.br. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado).

Se uma espécie animal for capturada ao acaso, qual a probabilidade de ser uma borboleta? Alternativa d

a) 63,31%

b) 60,18%

c) 56,52%

d) 49,96%

e) 43,27%

9 (IFAP) Em um município amapaense foi realizada uma pesquisa de opinião sobre um projeto de lei proposto pela câmara dos vereadores. Uma amostra significativa de pessoas adultas entrevistadas revelou que 44% delas não quiseram opinar, 360 eram a favor do projeto e 480 contra. Uma estimativa da probabilidade de uma pessoa selecionada nessa amostra ser favorável ao projeto é da ordem de: Alternativa d

a) 18%.

b) 20%.

c) 21%.

d) 24%.

e) 27%.

28% 4 420

:7

4% 4 60

:2 :2 :7 25 25

100% 4 1500

Logo, o total de pessoas envolvidas no projeto é de 1500.

Pessoas favoráveis ao projeto: 360. Assim, a probabilidade é dada por:

= P 360 1 500 = 0,24 = 24%.

Alternativa d

Fórmula Produções

10 (IFSP) O sangue humano é classificado em quatro tipos: A, B, AB e O. Além disso, também pode ser classificado pelo fator Rh em: Rh+ ou Rh-. As pessoas do tipo O com Rh– são consideradas doadoras universais e as do tipo AB com Rh+ são receptoras universais. Feita uma pesquisa sobre o tipo sanguíneo com 200 funcionários de uma clínica de estética, o resultado foi exposto na tabela a seguir.

A B AB O

Rh+ 27242355

Rh- 15131330

Um desses 200 funcionários será sorteado para um tratamento de pele gratuito. A probabilidade de que o sorteado seja doador universal é: Alternativa c

Orientações

Resolução da atividade 10

30

200 = 0,15 = 15%

Alternativa c. Resolução da atividade 11

22

50 = 0,44 = 44%

Alternativa d

Autoavaliação

a) 7,5%.

b) 10%. c) 15%. d) 17,5%. e) 20%.

11 (IFAL) Em uma das salas de aula do Ifal com 50 estudantes, sendo 28 do sexo masculino e 22 do sexo feminino, foi sorteado, aleatoriamente, um estudante para ser o representante da turma. Qual a probabilidade de o estudante sorteado ser do sexo feminino? Alternativa d

a) 2%

b) 22%

Autoavaliação

c) 28%

d) 44%

e) 56%

Aproveite este momento para avaliar o que você aprendeu nesta unidade.

C Compreendi P Compreendi parcialmente N Ainda não compreendi O

Leio, analiso e interpreto gráficos e tabelas.

Utilizo legendas e símbolos de maneira adequada.

Compreendo o que são variáveis numéricas e categóricas.

Coleto, organizo e registro dados oriundos de diferentes fontes de informação.

Utilizo fluxogramas para representar etapas de um processo.

Construo gráficos e tabelas em planilhas eletrônicas.

Compreendo a probabilidade como a medida da chance de um evento acontecer.

Calculo a probabilidade de um evento acontecer.

A sugestão de autoavaliação apresenta uma rubrica atrelada aos principais objetivos da unidade. Você pode, a seu critério, ampliá-la com conteúdos que tenha retomado ou eventualmente acrescentado. Pode também incluir questões atitudinais, de acordo com as características de sua turma, como: “Trabalhei com autonomia”, “Trabalhei de forma colaborativa”, “Fiz todas as atividades solicitadas”, entre outras.

Com base no retorno dessa autoavaliação, retome os conteúdos que julgar necessários antes de prosseguir.

BORBA, Marcelo C.; SCUCUGLIA, Ricardo; GADANIDIS, G. Fases das tecnologias digitais em educação matemática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. v. 1.

Esse livro, além de sintetizar, de forma retrospectiva e original, uma visão sobre o uso de tecnologias em educação matemática, resgata e compila, de maneira exemplificada, questões teóricas e propostas de atividades, apontando, assim, inquietações importantes sobre o presente e o futuro da sala de aula de Matemática.

BOYER, Carl B. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

O livro apresenta a história da Matemática desde a antiguidade até os dias atuais, incluindo demonstrações com o auxílio do computador.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 mar. 2022.

O endereço acima direciona para a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), na íntegra. Documento que, com força de lei, norteia a Educação Básica em todo o país.

CAJORI, F. Uma história da Matemática. Rio de Janeiro: Moderna, 2007.

O livro traz uma visão abrangente da história da Matemática, desde a Antiguidade até o século XX.

CAZORLA, I.; MAGINA, S.; GITIRANA, V.; GUIMARÃES, G. Estatística para os Anos Iniciais do Ensino Fundamental. São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2017.

O livro apresenta duas propostas de ensino desenvolvidas com turmas do Ensino Fundamental para a aprendizagem de tabelas, incluindo a utilização de planilha eletrônica, levando os estudantes a refletir de forma crítica sobre os dados e opinar sobre eles para tomar decisões.

CONTADOR, Paulo R. M. Matemática, uma breve história. São Paulo: Livraria da Física, 2012. v. I.

O autor apresenta, de forma agradável e de fácil compreensão, grande parte dos conceitos matemáticos desde sua criação até chegar à forma atual.

EVES, Howard. Introdução à história da Matemática. 2. ed. Campinas: Editora da Unicamp, 1997.

O autor apresenta a história da Matemática desde a Antiguidade até os tempos modernos, de forma clara e acessível. Alguns capítulos trazem panoramas culturais da época abordada.

FLOOD, Raymond. Os grandes matemáticos: as descobertas e a propagação do conhecimento através dos grandes matemáticos. São Paulo: M. Books, 2013.

O autor evidencia que a Matemática é uma ciência viva, fruto da curiosidade e de necessidades humanas, que permeia nossa vida cotidiana. Traz realizações de grandes matemáticos no seu contexto histórico.

GALVÃO, Maria E. E. L. História da Matemática: dos números à Geometria. Osasco: Edifieo, 2008.

O livro convida o leitor a acompanhar a evolução do conhecimento humano e científico, transportando-o a culturas e civilizações antigas.

GUSTAFSON, David R.; FRISK, Peter D. Álgebra intermedia. 7. ed. Cidade do México: Internacional Thomson Editores, 2006.

Obra de fácil leitura. Destaca termos que os professores devem enfatizar em sala de aula, de forma a levar os estudantes a estudos mais aprofundados em Matemática.

IFRAH, Georges. Os números: história de uma grande invenção. 10. ed. São Paulo: Globo, 2004.

O livro aborda a evolução do raciocínio humano desde a Pré-História, contemplando várias civilizações da Antiguidade.

LINTZ, Rubens G. História da Matemática. Blumenau: Edifurb, 1999. v. 1.

O autor faz um estudo da Matemática ao longo do tempo. Aborda diversas culturas e procura recompor o pensamento de cada uma delas.

MACHADO, Nilson José (org.). A Geometria na sua vida. São Paulo: Ática, 2001.

Essa obra evidencia a Geometria no dia a dia: na natureza, na arte, na história ou nas cidades. Propõe alguns desafios e mostra como a Geometria ajuda a solucionar uma série de problemas.

MAGALHÃES, Marcos Nascimento; LIMA, Antonio Carlos P. de. Noções de probabilidade e estatística. 7. ed. São Paulo: Edusp, 2013.

Esse livro apresenta conceitos de estatística descritiva, de modo a esclarecer a relação entre estatística descritiva, probabilidade e variáveis aleatórias.

NIVEN, Ivan. Números: racionais e irracionais. Rio de Janeiro: SBM, 1990.

A publicação mostra, em linguagem simples, critérios para classificar os números em diversas categorias. Ao longo dos capítulos, são propostos problemas e apresentados resumos do conteúdo.

ROONEY, Anne. A história da Matemática: desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. São Paulo: M. Books, 2012.

Esse livro evidencia a Matemática como ferramenta valiosa, que observa padrões e regras que governam o mundo desde a Pré-História até os dias de hoje.

SANTOS, Cleane A.; NACARATO, Adair M. Aprendizagem em Geometria na Educação Básica: a fotografia e a escrita na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. (Coleção Tendências em Educação Matemática).

As autoras exploram os conceitos geométricos, aliando o uso de imagens fotográficas às produções escritas dos estudantes.

VLASSIS, Joëlle; DEMONTY, Isabelle. A Álgebra ensinada por situações-problemas. Lisboa: Instituto Piaget, 2002.

O livro procura evidenciar o raciocínio dos estudantes da Educação Básica bem como as dificuldades enfrentadas por eles. Propõe a abordagem da Álgebra por meio de situações-problemas.

ISBN 978-85-10-08521-2