Várias Faces da Matemática - 2ª Ed. Tópicos para Licenciatura e Leitura Geral Geraldo Ávila
Lançamento 2011 ISBN: 978-85-212-0510-4 Páginas: 216 Formato: 17x24 cm Peso: 0,210 Kg
4a CAPA
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Sumário
viii 3.10 3.11 3.12
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O cálculo de Posidônio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eratóstenes, Ptolomeu e Cristóvão Colombo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Palavras finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Aristarco e as distâncias astronômicas . . . . . 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Aristarco e a distância ao Sol . . . . . . . . . 4.3 A brilhante ideia de Aristarco . . . . . . . . 4.4 Que Matemática foi usada? . . . . . . . . . . 4.5 Será que Aristarco mediu o ângulo α? . . . . 4.6 Tamanhos angulares do Sol e da Lua . . . . . 4.7 Resumo dos resultados . . . . . . . . . . . . 4.8 Falta esclarecer . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Apêndice: A utilidade de um eclipse da Lua .
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5 Alexandria e a Biblioteca . . . 5.1 Introdução . . . . . . . . . 5.2 Alexandre Magno . . . . . 5.3 Alexandria e o Museu . . . 5.4 Eratóstenes e a Biblioteca 5.5 Destruições da Biblioteca . 5.6 A nova Biblioteca . . . . .
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6 Um número muito grande . . . . . . . . . . . . . . 6.1 O jogo de xadrez . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Produção atual de trigo . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Como calcular 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Comentários finais. . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Apêndice: soma de uma progressão geométrica
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7 Fazendo contas sem calculadora . . 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . 7.2 Vamos fazer contas “de cabeça” 7.3 Contas de somar. . . . . . . . . 7.4 A importância da tabuada. . . . 7.5 Decorar é preciso . . . . . . . . 7.6 Cálculos aproximados . . . . . . 7.7 Outras habilidades de cálculo. . 7.8 Conclusão . . . . . . . . . . . .
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Sumário 8 Os Elementos de Euclides . . . 8.1 Introdução . . . . . . . . . . 8.2 O raciocínio dedutivo . . . . 8.3 Euclides e os Elementos . . 8.4 O conteúdo dos Elementos . 8.5 A axiomática dos Elementos 8.6 O postulado das paralelas . . 8.7
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esforços para demonstrar o quinto postulado . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Conjuntos e números transfinitos . . . . . . . . . . . . 9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Conjuntos finitos e infinitos, conjuntos enumeráveis 9.3 A enumerabilidade do conjunto 1 . . . . . . . . . . 9.4 A não enumerabilidade do conjunto 2 . . . . . . . . 9.5 Números transfinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Números irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 9.8
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. . . . . . . . . . . . . . Demonstração de que 2 é irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representação decimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10 A Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Cantor e os conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Teorema de Cantor e infinidade dos números transfinitos 10.4 O paradoxo de Cantor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Frege e o paradoxo de Russell . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Por que surgem paradoxos? . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Zermelo e o axioma da especificação . . . . . . . . . . . . 10.8 O paradoxo de Richard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.9 As imprecisões da linguagem . . . . . . . . . . . . . . . . 10.10 A linguagem formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.11 Linguagem formal e linguagem corrente . . . . . . . . . . 10.12 Ainda a linguagem e o simbolismo . . . . . . . . . . . . . 10.13 Palavras finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.14 Apêndice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11.1 11.2 11.3
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As geometrias não euclidianas e suas consequências consequˆencias Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A geometria hiperbólica. . . . . . . . . . . . . . . . . Os modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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x 11.4 11.5 11.6
Sumário A Geometria Euclidiana sob exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Os fundamentos da Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Os Fundamentos da Matem´atica Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 Arquimedes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Arquimedes e seu tempo . . . . . . . . . . 12.3 O Princípio de Arquimedes e a coroa do rei 12.4 Resolvendo o problema da coroa . . . . . . 12.5 Uma descoberta sensacional . . . . . . . . 12.6 Arquimedes a Eratóstenes . . . . . . . . . 12.7 As traduções de Arquimedes . . . . . . . . 12.8 Pesando o cilindro, a esfera e um cone . . 12.9 Um admirável raciocínio por analogia . . . 12.10 Observações quase finais . . . . . . . . . . 12.11 Arquimedes e a Medalha Fields . . . . . .
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13 Os números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Números Nímeros primos primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 O crivo de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Os números primos e a Criptografia . . . . . . . . . . 13.5 A infinidade dos números primos. . . . . . . . . . . . 13.6 A “irregularidade” na sequência dos números primos . 13.7 Desertos de números primos . . . . . . . . . . . . . .
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14 A Astronomia na Antiguidade . . . . . . . . 14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 O sistema de Eudoxo . . . . . . . . . . . 14.3 Aristarco — o Copérnico da Antiguidade 14.4 Hiparco . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Uma tabela de cordas . . . . . . . . . . . 14.6 Fazendo um mapa celeste . . . . . . . . 14.7 A precessão dos equinócios. . . . . . . . 14.8 As causas da precessão . . . . . . . . . . 14.9 Ainda a figura anterior . . . . . . . . . . 14.10 Menelau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.11 Ptolomeu . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.12 Ptolomeu e o Almagesto . . . . . . . . . 14.13 Geocentrismo e heliocentrismo. . . . . . 14.14 A tabela de cordas do Almagesto . . . . .
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Sumário
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15 Copérnico e a Astronomia . . . . . . . . . . 15.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 As objeções de Hiparco . . . . . . . . . . 15.3 Nicolau Copérnico . . . . . . . . . . . . . 15.4 Período sideral e período sinódico . . . . 15.5 Distância de Marte ao Sol . . . . . . . . . 15.6 As distâncias de Mercúrio e Vênus ao Sol 15.7 Períodos siderais dos planetas interiores 15.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . .
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16 Kepler e a órbita elíptica . . . . . 16.1 Introdução . . . . . . . . . . . . 16.2 Tycho Brahe . . . . . . . . . . . 16.3 Johannes Kepler. . . . . . . . . 16.4 Astronomia Nova . . . . . . . . 16.5 As órbitas da Terra e de Marte . 16.6 A elipse . . . . . . . . . . . . . 16.7 As leis de Kepler . . . . . . . . 16.8 Kepler, Galileu e Newton . . . . 16.9 Mês lunar e mês sideral . . . . . 16.10 Calculando o mês sideral . . . . 16.11 Aplicações a satélites artificiais .
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17 Séries infinitas . . . . . . . . . . . . . 17.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Um primeiro exemplo . . . . . . . . 17.3 A série geométrica . . . . . . . . . 17.4 Um pouco de história . . . . . . . . 17.5 Somando a série de Suiseth. . . . . 17.6 Séries divergentes . . . . . . . . . . 17.7 A série harmônica harmˆonica . . . . . . . . . 17.8 Por que o nome “série harmônica”?
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18 Ainda as séries infinitas . . . . . . . 18.1 Somas infinitas . . . . . . . . . . 18.2 Arquimedes e a série geométrica . 18.3 Uma ideia genial . . . . . . . . . . 18.4 O conceito de soma infinita . . . . 18.5 O rigor grego . . . . . . . . . . .
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Sumário
19 Limites e derivadas no ensino médio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Um roteiro inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3 Mais funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.5 Uma aplicação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.6 Em classe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.7 Quantos conceitos!. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.8 Por que a derivada?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.9 Exemplos que não ajudam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.10 As razões históricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.11 Aumentando ainda mais o currículo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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20 Derivadas e Cinemática. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Funções com derivada zero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Velocidade média e movimento uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4 Velocidade instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.5 Movimento uniformemente variado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.6 Equação horária. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.7 Observações finais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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21 A Matemática e a Cartografia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 O mapa-mundi de Ptolomeu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Quem foi Mercator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 O mapa de Mercator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 O teorema de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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22 Leonardo Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1 Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 As academias científicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 São Petersburgo e sua academia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Euler e o Problema da Basileia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Transferência para Berlim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.6 Retorno a São Petersburgo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.7 Ainda sobre o tempo em que Euler viveu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.8 O lado humano de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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