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3.9 Exerc´ıcios 1. Considere as seguintes curvas regulares: a) α(t) = (4 cos t, 5 − 5 sen t, −3 cos t), t ∈ R, b) β (t) = (1 − cos t, sen t, t), t ∈ R, √ c) γ(t) = (et , e−t , 2 t), t ∈ R. Reparametrize essas curvas por comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torc¸a˜ o de cada curva. 2. Calcule a curvatura e a torc¸a˜ o das seguintes curvas: a) α(t) = (t, t 2 , t 3 ), b) β (t) = (cost, sent, et ), c) γ(t) = (t, cosh t, senh t). 3. Obtenha uma curva parametrizada cujo trac¸o e´ a intersec¸a˜ o do plano x ◦ y com o plano normal a` curva α(t) = (cost, sent, t) em t = π2 . 4. Seja α : I → R3 uma curva regular, parametrizada pelo comprimento de arco, tal que k(s) > 0, ∀ s ∈ I. Obtenha α 000 (s) como combinac¸a˜ o linear do triedro de Frenet de α em s. 5. Seja α : I → R3 uma curva regular. Prove que: a) Se todas as retas tangentes a α tˆem um ponto em comum, ent˜ao o trac¸o de α e´ um segmento de reta. b) Se para cada t ∈ I os vetores α 00 (t) e α 0 (t) s˜ao colineares, ent˜ao α(I) e´ um segmento de reta. 6. Seja α(t) uma curva regular onde t e´ um parˆametro qualquer. a) Verifique que α 00 (t) e´ paralelo ao plano osculador de α em t.