BRUNO AUGUSTO ANGÉLICO GABRIEL PEREIRA DAS NEVES
CONTROLE DIGITAL APLICADO
SBA PRESS
BrunoAugustoAng´elico
GabrielPereiradasNeves
CONTROLEDIGITALAPLICADO
Controledigitalaplicado
© 2023BrunoAugustoAng´elicoeGabrielPereiradasNeves
EditoraEdgardBlucherLtda.
Publisher EdgardBlucher
Editor EduardoBl¨ucher
Coordena¸c˜aoeditorial JonatasEliakim
Produ¸c˜aoeditorial LuanaNegraes
Diagrama¸c˜ao Autores
Revis˜aodetexto Maur´ıcioKatayama
Capa LeandroCunha
Imagemdacapa BrunoA.Ang´elico
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L´ınguaPortuguesa,AcademiaBrasileiradeLetras,julhode2021. ´ Eproibidaa
reprodu¸c˜aototalouparcialporquaisquermeiossemautoriza¸c˜aoescritadaeditora. TodososdireitosreservadospelaEditoraEdgardBl¨ucherLtda.
DadosInternacionaisdeCataloga¸c˜aonaPublica¸c˜ao(CIP)
Ang´elicaIlacquaCRB-8/7057
Ang´elico,BrunoA.
Controledigitalaplicado/BrunoAugustoAng´elico,GabrielPereiradasNeves.— S˜aoPaulo:Blucher,2023.
324p.:il.(SBAPress)
Bibliografia
ISBN978-65-5506-363-9
1.Sistemasdecontroledigital2.Controleautom´atico3.Sistemasdetempodiscreto 4.ControladoresPIDI.T´ıtulo.II.Neves,GabrielP.das.
22-6280
CDD629.8
´ Indiceparacat´alogosistem´atico:1.Engenhariadecontrolesautom´aticos
Conte´udo
1Introdu¸c˜ao 17 1.1Classifica¸c˜aodesinais.......................... ...18 1.2Amostragemperi´odica............................ .20 1.3ConversoresA/DeD/A............................21 1.4Introdu¸c˜aoaocontroledigital................... ......27 2AmostragemeReconstru¸c˜ao 31 2.1Amostradorideal................................31 2.2Teoremadaamostragem............................33 2.3Reconstru¸c˜aodesinalemtempodiscreto............ .......37 2.4Seguradordeordemzero............................ 40 3Transformada-z 43 3.1Rela¸c˜aoentreastransformadas z edeLaplace................48 3.2Fun¸c˜aodetransferˆencia........................ ....50 3.3Polosezerosnoplano-z ............................51 3.4SistemaLITcausaleest´avel....................... ...52 3.5Algumaspropriedadesdatransformada-z ..................53 3.6M´etododainvariˆanciaaoimpulso.................. .....60 3.7ATransformada-z inversa...........................61 3.7.1Transformada-z inversapordivis˜aolonga..............61 3.7.2Transformada-z inversaporexpans˜aoemfra¸c˜oesparciais.....62 3.8Rela¸c˜aoentreoplano-s eoplano-z ......................66 4Discretiza¸c˜aodeSistemasCont´ınuos 71 4.1Mapeamentocasadodepolosezeros................... ..71 4.2Equivalentediscretoporintegra¸c˜aonum´erica..... ...........73 13
14ControleDigitalAplicado 4.3Discretiza¸c˜aodecontroladoresPID............... .......83 4.4Aproxima¸c˜aoporseguradordeordemzero............ ......92 5An´alisedeSistemasdeControleemTempoDiscreto95 5.1Doplano-s paraoplano-z ...........................95 5.2An´alisedeestabilidade.......................... ...98 5.3An´alisedeerroemregimeestacion´ario............. .......98 5.4Lugargeom´etricodasra´ızes...................... ....100 5.5Respostaemfrequˆencia........................... .104 5.5.1Margemdeganhoemargemdefase.................106 5.5.2Oplano-w................................107 6ProjetodeControladoresDigitaisCl´assicos 111 6.1Projetoediscretiza¸c˜aodecontroladoresemtempocont´ınuo........111 6.1.1Efeitodaamostragemedoseguradordeordemzero..... ...111 6.2Discretiza¸c˜aodaplantaeprojetonoplano-z .................116 6.3ProjetopeloLGR...............................118 6.3.1Compensadorporavan¸codefase................... 121 6.3.2Compensadorporatrasodefase...................126 6.3.3ControladorPID............................131 6.4Projetopelom´etododarespostaemfrequˆencia....... ........136 7ProjetoDiretodeControladoresDigitais 147 7.1M´etododeRagazzini.............................. 148 7.2Controle deadbeat ...............................157 7.3ControleDahlin.................................165 8ControleDigitalporVari´aveisdeEstado 173 8.1Lineariza¸c˜aodeequa¸c˜aodeestadosn˜aolinear.... ............175 8.2Discretiza¸c˜aodeequa¸c˜aodeestadoscont´ınua.... ............178 8.3Solu¸c˜aodaequa¸c˜aodeestadosemtempodiscreto.... ..........181 8.4Matrizdetransferˆenciadiscreta.................. ......182 8.5Transforma¸c˜aodesimilaridade................... .....183 8.5.1Formacanˆonicacontrol´avel.................... ..184 8.5.2Formacanˆonicaobserv´avel..................... .187 8.5.3Formacanˆonicadiagonal.......................189 8.6EstabilidadesegundoLyapunov..................... ...191 8.7Controlabilidadeeobservabilidade................ ......194
Conte´udo15 8.8Zerosnarepresenta¸c˜aoemespa¸codeestados........ ........199 8.9Controleporrealimenta¸c˜aodeestados............. .......203 8.9.1Invariˆanciadoszerosarealimenta¸c˜aodeestados. .........206 8.10Projetodeobservadoresdeestado.................. ....207 8.10.1Observadorpreditor..........................207 8.10.2Observadorpelovaloratual..................... .211 8.10.3Sistemascomperturba¸c˜oes.................... ..211 8.11Princ´ıpiodasepara¸c˜ao........................ .....214 8.12Problemaderastreamento......................... ..214 8.12.1Realimenta¸c˜aodeestadoscomentradadereferˆenciaepr´e-filtro..215 8.12.2Inser¸c˜aodeintegradores..................... ...217 8.13Exemplosdeprojeto.............................. 219 9Introdu¸c˜aoaoControle ´ Otimo 241 9.1Controlequadr´atico´otimo....................... ....241 9.2ControleLQR..................................246 9.2.1Escolhade Q e R ............................249 9.3FiltrodeKalman................................254 10AspectosPr´aticos 267 10.1Estruturasderepresenta¸c˜aodesistemasdiscretos. .............267 10.2Errosnum´ericosdeprecis˜ao..................... .....274 10.2.1Errosdequantiza¸c˜aonaconvers˜aoA/D.......... .....274 10.2.2Errosdevidoaoarredondamentodecoeficientes..... ......276 10.3Exemplodepseudoc´odigo......................... ..281 AControladorPIDemTempoCont´ınuo 285 BSimula¸c˜aodeSistemasdeControleDigitalnoMATLAB/Simulink 291 CModelagemdeSistemasMecˆanicosnoMATLAB/Simulink301 C.1Matrizesderota¸c˜ao............................. .302 C.2ModelagemdopˆendulodeFuruta..................... ..305 C.3Modelagemdopˆendulocomrodaderea¸c˜ao............ .....313 Referˆencias 319 ´ IndiceRemissivo 321
Cap´ıtulo1
Introdu¸c˜ao
At´ead´ecadade1960atecnologiadecontroledeprocessose processamentodesinais erapraticamentetodaanal´ogica.Aevolu¸c˜aodoscomputadoresdigitaisemicroprocessadores,juntamentecomodesenvolvimentodealgoritmoseficientes,causaramamigra¸c˜ao paraocontroledigitaleoprocessamentodigitaldesinais.
Diversasgrandezasf´ısicascomasquaislidamoss˜aoanal´ogicaspornatureza.Tais grandezas,comotemperatura,press˜ao,velocidadeetc.,s˜aorepresentadasporvalores cont´ınuos.Sinaisanal´ogicospodemserprocessadosporcircuitosel´etricosenvolvendo componentespassivoseativos.
Ossinaistamb´empodemserprocessadosutilizando-sehardwaresdigitais.Para isso,ossinaisanal´ogicosprecisamserconvertidosemdigitais.Isso´econhecidocomo convers˜aoanal´ogico-digital(A/D).Basicamente,esseprocessotomaumn´umerofinito deamostrastemporaisdosinalanal´ogico(processodediscretiza¸c˜aonotempo)eefetua umaquantiza¸c˜aodasamplitudesdessasamostras,paraque elassejamrepresentadascom umn´umerofinitodebits(processodedigitaliza¸c˜ao).
Aprinc´ıpio,quandocomparadoaoprocessamentoanal´ogico,oprocessamentodigital desinaistemumaestruturamaiscomplicada,levandoaoseguintequestionamento:por queutiliz´a-lo?Arespostaparatalperguntapossuiv´ariosargumentosfavor´aveis,tais como:
• possibilidadedearmazenagemdossinaiseposteriorprocessamento;
• asopera¸c˜oess˜aobasicamenteadi¸c˜ao,multiplica¸c˜aoedeslocamento,oquerepresentaumprocessamentobemrobusto;
• asopera¸c˜oespodemserfacilmentemodificadas,porexemplo,mudandoapenas
17
algumaslinhasdec´odigodaprograma¸c˜aodeummicrocontrolador;
• facilidadedeinterconex˜aodeblocos,umavezquen˜aoh´aproblemasdecasamento deimpedˆanciacomonoscircuitosanal´ogicos.
1.1Classifica¸c˜aodesinais
Sinaisgeralmentetransportaminforma¸c˜oesarespeitodo estadooudocomportamentodeumsistemaf´ısicoe,emmuitoscasos,s˜aosintetizadosparacomunica¸c˜aoentre humanosouentrehumanosem´aquinas.
Demodogeral,sinaispodemserclassificadosdaseguinteforma[Lathi1998]:
• sinaisdeenergiaedepotˆencia;
• sinaisperi´odicoseaperi´odicos;
• sinaisdetermin´ısticoseestoc´asticos;
• sinaisdetempocont´ınuoedetempodiscreto;
• sinaisanal´ogicosedigitais.
Sinaiscomenergiafinitas˜aodenominados sinaisdeenergia,aopassoquesinaiscom potˆenciafinitaediferentedezeros˜aodenominados sinaisdepotˆencia.Seumsinalfor deenergia,elen˜aopodeserdepotˆencia,evice-versa.Noentanto,h´asinaisquen˜aos˜ao deenergia,nemdepotˆencia.Exemplos:sinalexponencialcrescenteesinalrampa.
Sinaisperi´odicoss˜aotaisque,paraumaconstantepositiva T0,denominadaper´ıodo, valearela¸c˜ao f (t)= f (t ± T0),paratodo t.Pensequeumcarimbopodeserfeitocom umfragmentodessesinaldedura¸c˜ao T0.Seosinaloriginalpuderserreproduzidopor “carimbadas”sequenciaisen˜aoespa¸cadasdofragmento,ent˜aoosinal´edito peri´odico comper´ıodo T0.Casocontr´ario,osinal´e aperi´odico
Umsinal determin´ıstico ´etalqueseucomportamento´eprecisamenteconhecidopara cadavalordavari´avelindependente.Poroutrolado,casoapenasinforma¸c˜oesprobabil´ısticasdosinalemumtempofuturoforemconhecidas,porexemplo,valorm´edioe variˆancia,osinal´edito estoc´astico.
Emrela¸c˜ao`acontinuidadeoudiscretiza¸c˜aonotempoeanalogicidadeoudigitaliza¸c˜ao emamplitude,pode-seteraseguinteclassifica¸c˜ao:
• Sinaisanal´ogicosdetempocont´ınuo s˜aodefinidosaolongodetodososinstantes detempoeasamplitudespodemassumirqualquervalorreal.S˜aogeralmente denominadosapenassinaisanal´ogicos.
18ControleDigitalAplicado
Cap´ıtulo2
AmostragemeReconstru¸c˜ao
Nestecap´ıtulo´eapresentadaumarevis˜aosobreamostragemperi´odicadesinais.A reconstru¸c˜aodesinaislimitadosembandaapartirdesuas amostrastamb´em´econsiderada.
2.1Amostradorideal
O amostradorideal tomaamostrasperi´odicasde x(t)paraproduzir x(nTs).Do pontodevistamatem´atico,oprocessodeamostragem´eidealmenterepresentadopor umamodula¸c˜aoimpulsiva,ouseja, x(t)´emultiplicadoporumtremdeimpulsos a(t) dadopor
emque δ(t)´eafun¸c˜aoimpulsounit´ariooudeltadeDirac.Talfun¸c˜aotemvalorn˜aonulo somentequandooseuargumentoforigualazero,ouseja,quando t = nTs.Oresultado damultiplica¸c˜ao´eosinal xa(t)dadopor
AFigura2.2ilustraoprocessodeamostragemnodom´ıniodafrequˆencia.Oespectro dosinalamostrado´ecompostoporumasomadeinfinitasc´opiasdoespectrodosinal(de entrada)detempocont´ınuo,cadaqualdeslocadaporumm´ultiplointeirodafrequˆencia deamostragem(vejaFigura2.2.(c)).AnalisandoaFigura2.2.(c)´eposs´ıvelconcluirque:
a (t)= ∞ n=−∞ δ (t nTs), (2.1)
xa (t)= a (t) x (t)= x (t) ∞ n=−∞ δ (t nTs)= ∞ n=−∞ x (nTs) δ (t nTs) (2.2)
AFigura2.1representaaamostragemidealportremdeimpulsos.
31
• Osinaldeentrada x(t)podeserreconstru´ıdoapartirdosinalamostradoseesse forfiltradoporumfiltropassa-baixasidealcomfrequˆencia decorteem ωs/2(veja Figura2.2.(d)).
• Aafirma¸c˜aoanteriors´oser´av´alidaseabandadosinalde entradaformenorque ωs/2,isto´e, ωm ≤ ωs/2ou ωs ≥ 2ωm
AFigura2.3ilustraocasoemque ωm >ωs/2.Quandoissoocorre,h´asobreposi¸c˜ao dasc´opiasde X (ω)e,mesmocomofiltropassa-baixasideal,n˜ao´eposs´ıvelrecuperar osinaldeentrada.CompareosespectrosilustradosnaFigura2.3.(a)eFigura2.3.(d)e verifique.
Asitua¸c˜ao ωm >ωs/2resultaem aliasing,quepodesertraduzidodoinglˆescomo rebatimento.
32ControleDigitalAplicado t . . . . . . . . . . . . ()xt 2Ts Ts 0 Ts 2Ts 3Ts 4Ts 5Ts () a xt
Figura2.1– Amostragemportremdeimpulsos.
Cap´ıtulo3 Transformada-z
Estecap´ıtuloapresentaumarevis˜aosobreatransformada-z.Naan´alisedesistemas emtempodiscreto,elafazopapelqueatransformadadeLaplacefazparasistemasem tempocont´ınuo.
Considerequeosinalemtempodiscreto x[n]= x(nTs)foiobtidoporamostragemperi´odica.Atransformada-z (bilateral)deumasequˆencia x[n]´edefinidacomo [Oppenheim,SchafereBuck1999]
Trata-sedeumas´eriedepotˆenciainfinita,emque z ´eumavari´avelcomplexacont´ınua.Parasinaiscausais,ofocodestelivro,tem-seatransformada-z unilateral
Aseguirs˜aoapresentadosalgunsexemplosdec´alculodatransformada-z (Exemplos 3.1a3.6).
✍ Exemplo3.1: Determineatransformada-z dasequˆenciaobtidapelaamostragempe-
Z{x [n]} = X (z)= +∞ n=−∞ x [n] z n . (3.1)
Z{x [n]} = X (z)= +∞ n=0 x[n]z n . (3.2)
ri´odicade ud(t)= 1,t ≥ 0, 0,t< 0, comumper´ıododeamostragem Ts. 43
Solu¸c˜ao:notequeud[n]=ud(nTs
Observeque |z| > 1´eacondi¸c˜aoparaconvergˆenciadosomat´orioe,consequentemente, paraexistˆenciadessatransformada-z.Essacondi¸c˜aodefineumaregi˜aono plano-z chamada,porraz˜oesobvias,deregi˜aodeconvergˆenciaROC(regionofconvergence).Portanto,
Adefini¸c˜aodaregi˜aodeconvergˆencia´eimportante,poisdoissinaisdiferentes,um causaleumanticausal,podemteramesmaexpress˜aoalg´ebricade X(z) 1.Logo,uma transformada-z bilaterals´o´ecompletamentedefinidaseaROCforespecificada.
✍ Exemplo3.2: Determineatransformada-z dasequˆenciaobtidapelaamostragem peri´odicade
44ControleDigitalAplicado
)=1para n =0, 1, 2,....Logo, Ud(z)= ∞ n=0 ud[n]z n = ∞ n=0 z n
1 1 z 1 = z z 1 , |z| > 1
z
1 plano-z ROC Im Re
Ud(z)=
AFigura3.1ilustraoplano-z earegi˜aodeconvergˆenciadatransformada-
calculada.
Figura3.1– Plano-z eROCdoExemplo3.1.
x(t)= t,t ≥ 0, 0,t< 0,
ud[ n 1],sendoud
1Calcule,porexemplo,atransformada-z de
[n]definidono Exemplo3.1,ecomparecomoresultadodatransformada-z deud[n].
Cap´ıtulo4
Discretiza¸c˜aodeSistemas Cont´ınuos
Oobjetivodestecap´ıtulo´edefinirumafun¸c˜aodetransferˆenciadiscreta CD(z)que equivalha`afun¸c˜aodetransferˆencia C(s)deumsistemacont´ınuo.Comisso,pode-se,por exemplo,projetarumcontroladornodom´ınio-s econverterparaodom´ınio-z paraser implementadodigitalmente.Ser˜aoapresentadosquatrom´etodosdistintose,emseguida, adiscretiza¸c˜aodocontroladorPID.Por´ultimo,ser´aapresentadacommaisdetalhesa aproxima¸c˜aopeloseguradordeordemzero.
4.1Mapeamentocasadodepolosezeros
Om´etododomapeamentocasadodepolosezeros(oucasamento poloezero)consiste emmapeardiretamentepolosezerosdoplano-s paraoplano-z.Talprocedimento considera z = esTs comoatransforma¸c˜aoentre s e z.Oequivalentediscreto´eobtido comoseguinteprocedimento:
1.Todosospolosezerosfinitosnoplano-s s˜aomapeadosnoplano-z como z = esTs .
Porexemplo,polosreaisem s = a s˜aomapeadosem z = e aTs epoloscomplexos em s = α ± jω s˜aomapeadosem z = e αTs e±jωTs .
2.Oszerosem s →∞ ouforadafaixaprim´arias˜aomapeadosem z = 1.Araz˜ao portr´asdisso´equeoponto z = 1representaamaiorfrequˆenciaposs´ıvelda fun¸c˜aodetransferˆenciadiscreta.Issogeralmente´efeitodeduasmaneiras:
71
(i)Paraobtersistemasbipr´oprios(graudodenominador=graudonumerador), todososzerosem s →∞ s˜aomapeadosem z = 1.Ouseja,paracada zeronoinfinito,inclui-seumtermo(z +1)nonumerador.
(ii)Paraatrasararespostadosistemadiscretoemumper´ıododeamostragem, ent˜aoumdoszerosem s →∞ ´emapeadoem z →∞,enquantoqueos outross˜aomapeadosem z = 1.Comisto,h´aumzerofinitoamenosdo quepolosfinitosem CD(z).Assim,tem-seumsistemaestritamentepr´oprio (graudodenominador > graudonumerador).
3.Oganhode CD(z)deveserajustadoemumafrequˆenciacr´ıtica.Normalmente, escolhe-seumpontoembaixasfrequˆencias,porexemplo C(s)|s=0 = CD(z)|z=1.
OcomandoemMATLAB® paratransformarumafun¸c˜aodetransferˆenciacont´ınua emumadiscreta,comper´ıododeamostragem Ts,pormeiodomapeamentocasadode polosezeros,´e: C_D=c2d(C,T_s,'matched').Talcomandoutilizaom´etodo2(ii)para mapearoszerosnoinfinitodosistemacont´ınuo.
OExemplo4.1abordaestem´etododediscretiza¸c˜ao.
✍ Exemplo4.1: Encontreoequivalentediscretode C(s)= 5 s +5 , utilizandomapeamentocasadodepolosezeros.Suponha Ts =1s.
Solu¸c˜ao:noteque C(s)possuiumpolofinitoem s = 5,que´emapeadoem z = e 0,5 , eumzeronoinfinito,que,primeiramente,´emapeadocomoumzeroem z = 1.Logo,
72ControleDigitalAplicado
CD(z)= K z +1 z e 0,5 . Como C(s)|s=0 =1= CD(z)|z=1 = K 2 1 e 0,5 , tem-seque K = 1 e 0,5 2 .Portanto, CD(z)= (z +1) 1 e 0,5 2(z e 0,5) . Poroutrolado,pode-seconsiderarque s →∞ ´emapeadoem
CD(z)= K 1 z e 0,5
z →∞,oqueresultaem
Cap´ıtulo5
An´alisedeSistemasdeControle emTempoDiscreto
Nestecap´ıtulo´efeitaumaan´alisedesistemasdecontroledigitaisnoplano-z.Tal an´aliseservir´adesuporteparaoprojetodecontroladoresdigitais.
5.1Doplano-s paraoplano-z
NoCap´ıtulo3asseguintesrela¸c˜oesentreoplano-s eoplano-z foramapresentadas:
• Osemiplanoesquerdodoplano-s ´emapeadonointeriordoc´ırculounit´ariono plano-z
• Linhasverticaisnoplano-s com σ = ζωn constante,queest˜aorelacionadascomo tempodeassentamentodarespostatransit´oria,s˜aomapeadasemcircunferˆencias concˆentricas`aorigemnoplano-z.
• Linhashorizontaisnoplano-s com ωd constante,queest˜aorelacionadascomo tempodepicodarespostatransit´oria,s˜aomapeadasemlinhasradiaisnoplano-z.
• Linhasradiaisnoplano-s com ζ constante,queest˜aorelacionadascomosobressinaldarespostatransit´oria,s˜aomapeadasemespiraisnoplano-z
Noplano-s,linhascom ζ constantess˜aonormaisalinhascom ωn constantes.No plano-z,talpropriedadesemant´em.Arela¸c˜aoentreaposi¸c˜aodepolosdominantesde malhafechadadeumsistemanodom´ınio-z earespostatransit´oriaest´aesquematizada naFigura5.1.
95
Figura5.1– Exemplosderespostasimpulsivasdiscretasdeacordocomaposi¸c˜aodospolosnoplano-z,considerandoapenasosemic´ırculounit´ario comparteimagin´ariapositiva.Assumiu-sequeossistemas n˜aopossuemzerosfinitos.
OExemplo5.1apresentaumprocedimentoparaobteraregi˜ao doplano-z apartir deumaregi˜aodefinidacomespecifica¸c˜oesnoplano-s.
✍ Exemplo5.1: Indiquenoplano-s enoplano-z aregi˜aoaceit´avelparalocaliza¸c˜aodos polosdemalhafechadadeumsistemacom
0,
,conformeaequa¸c˜ao(3.48).Issotamb´empodeser feitocomocomando zgrid doMATLAB®.Omapeamento´eilustradonaFigura5.2, constru´ıdaapartirdoseguinte script:
96ControleDigitalAplicado Re() z Im() z
ζ ≥
5, ωd ≤ 2, 5rad/se ζωn ≥ 1, 0. Considereper´ıododeamostragem Ts =0, 25s. Solu¸c˜ao:como z = e sTs = e ζωnTs e±jωdTs , tem-seque: |z| = e ζωnTs ; ζωn ≥ 1, 0 ⇒|z|≤ e 1,0·0,25 ≈ 0, 7788, ∠z = ±ωdTs; ωd ≤ 2, 5 ⇒−0, 625 ≤ ∠z ≤ 0, 625 ⇒−35, 8◦ ≤ ∠z ≤ 35, 8◦ , ouseja, ζωn ≥ 1, 0correspondenoplano-z aointeriordoc´ırculoderaio0, 7788,ao passoque ωd ≤ 2, 5correspondeaosetorcircularde 35, 8◦ a35, 8◦.Alinha ζ =0, 5´e mapeadaemumespiralnoplano-
z
Cap´ıtulo6
ProjetodeControladoresDigitais
Cl´assicos
Nestecap´ıtulo,inicialmente,umcontroladordigital´eobtidopeladiscretiza¸c˜aode umcontroladorprojetadoemtempocont´ınuo,enfatizandoo efeitodoatrasodevido`a discretiza¸c˜ao.Emseguida,algunsexemplosdeprojetode sistemasdecontroledigitais s˜aoapresentadosdiretamentenoplano-z,considerandot´ecnicasviaLGRerespostaem frequˆencia.
6.1Projetoediscretiza¸c˜aodecontroladoresem tempocont´ınuo
Emmuitoscasos,controladoresdigitaiss˜aoobtidosdiretamentepeladiscretiza¸c˜aode controladoresprojetadosport´ecnicastradicionaisemtempocont´ınuo.Quandoafrequˆenciadeamostragem´erelativamentealta,odesempenhodosistemaemmalhafechadan˜ao ´eafetado.Noentanto,emoutroscasosemqueafrequˆenciadeamostragemn˜ao´emuito maisaltadoqueabandapassantedosistema,pode-seterperdasdedesempenho.Tal aspecto´eenfatizadoaseguir.
6.1.1Efeitodaamostragemedoseguradordeordemzero
Oprocessodeamostragemeoseguradordeordemzerointroduzemumatrasona respostadosistema.Setalatrasoforconsider´avelemrela¸c˜ao`asmaioresconstantesde
111
tempodosistema,odesempenhopodesercomprometido.Comoj´avisto,paraoZOH
Otermo e sTs podeserescritoemumaformaracionalutilizando-seaaproxima¸c˜ao dePad´edeprimeiraordem,talque
Obviamente,aproxima¸c˜oesdemaioresordenss˜aomelhores,masresultamemtermos maiscomplexosnafun¸c˜aodetransferˆenciaequivalente, oquedificultaoprojetodo controlador.Assim,
Paraqueoganhoembaixasfrequˆenciassejaunit´ario,utiliza-seaseguinteaproxima¸c˜ao[Castrucci,BittareSales2018]:
Comisso,ocontroladorcont´ınuopodeserprojetadoconformeodiagramadaFigura 6.1.
Figura6.1– Sistemadecontroleemmalhafechadacomaproxima¸c˜aodeprimeira ordemparaZOH(s).
Segundo[Franklin,PowelleWorkman2006],oefeitodoZOHpodeserdesprezado seafrequˆenciadeamostragemformaiordoque30vezesabandapassantedosistema. Parafrequˆenciasdeamostragembaixas,oefeito´econsider´avel.
OExemplo6.1apresentaumprojetodecontroladornoplano-s eanalisaoimpacto deconsideraroun˜aooefeitodoatrasodoZOH.
112ControleDigitalAplicado
tem-se ZOH(s)= 1 e sTs s . (6.1)
e sTs ≈ 1 sTs/2 1+ sTs/2 . (6.2)
ZOH(s) ≈ 1 s 1 2 sTs 2+ sTs = 2 s +2/Ts . (6.3)
ZOH(s) ≈ 2/Ts s +2/Ts (6.4)
()rt ()yt ()Gs ()Cs 2/ 2/ s s T sT +
Cap´ıtulo7
ProjetoDiretodeControladores Digitais
Nestecap´ıtulooprojetodecontroladoresdigitaisser´afeitoapartirdeummodelodereferˆenciadetempodiscretoemmalhafechada, GMF (z).Ocontroladordigital C(z)ser´asintetizadodeformaqueamalhafechadadiscretaresultenomodelode referˆenciadesejado.Isso´econhecidonaliteraturacomo m´etododiretodeRagazzini [Franklin,PowelleWorkman2006].
Emsuma,ocontroladorresultantetendeacancelaradinˆamicadoprocessoeimpor adinˆamicadesejadaemmalhafechada.Comisso,algumasrestri¸c˜oesnomodelode referˆenciaprecisamsemimpostasparagarantirestabilidade,causalidade,entreoutros aspectos,comoser´avistoemseguida.
Inicialmente,om´etododeRagazzini´edescritoe,emseguida,doiscasosparticulares s˜aoapresentados: deadbeat eDahlin.
147
7.1M´etododeRagazzini
ConsidereosistemadaFigura7.1.
Aoisolar C(z),tem-se:
Notequeem(7.2)ocontroladorinverteaplanta.Obviamente isson˜ao´eposs´ıvel paratodososcasos.Oprojetoseresumeemescolheradequadamente GMF (z).Aseguir ser˜aoapresentadasalgumascondi¸c˜oesparaqueexistaum controladornesteformato.
• Causalidade
Inicialmente, C(z)precisasercausal,ouseja,elen˜aopodepossuirmaiszerosfinitos doquepolosfinitos.De(7.2),se G(z)possuirzerosnoinfinito,ent˜ao C(z)ter´amais zerosfinitosquepolos,amenosque GMF (z)tenhaoszerosnoinfinitode G(z).Portanto, GMF (z)deveserescolhidarespeitandoaseguintecondi¸c˜ao:
C1: GMF (z) devepossuirn´umerodezerosnoinfinitomaiorouigualaon´umerode zerosde G(z) noinfinito.
Umaconsequˆenciadiretadacondi¸c˜ao C1 ´equeoatrasoem GMF (z)precisaserigual oumaiordoqueoatrasoem G(z).Aordemde GMF (z)tamb´emdevesermaiorouigual `aordemde G(z).
• Estabilidade
Oszerosde C(z)n˜aopodemcancelarpolosinst´aveisde G(z).Suponhaque G(z) possuaumpoloforadoc´ırculounit´ario.Dessaforma,de(7.2),aparceladocontroladorqueinverteaplantater´aumzeroforadoc´ırculounit´ariocancelandoessepolo
148ControleDigitalAplicado
()Cz ()Gz
Emmalhafechada: Y (z) R(z) = GMF (z)= C(z)G(z) 1+ C(z)G(z) (7.1)
C(z)= 1 G(z) GMF (z) 1 GMF (z) (7.2)
()Rz ()Uz ()Ez ()Yz Figura7.1–
Controledigitalcomrealimenta¸c˜aounit´aria.
Cap´ıtulo8
ControleDigitalporVari´aveisde Estado
Estecap´ıtuloapresentaan´aliseecontroledesistemasLITemtempodiscreto considerandoarepresenta¸c˜aoemespa¸codeestados.Seja umsistemadinˆamico dem´ultiplasentradasem´ultiplassa´ıdas(MIMO, MultipleInputMultipleOutput) com r entradas, u1(t),u2(t),...,ur(t), m sa´ıdas, y1(t),y2(t),...,ym(t)e k estados, x1(t),x2(t),...,xk(t).Pode-seteraseguinterepresenta¸c˜aoemespa¸codeestados:
emqueaprimeiraequa¸c˜ao´edenominadaequa¸c˜aodeestadoeasegundaequa¸c˜aode sa´ıda, x(t), u(t)e y(t)s˜ao,respectivamente,osvetoresdeestado,deentradaedesa´ıda. Asfun¸c˜oes f e g,nocasogeral,s˜aon˜aolinearesevariantesnotempo.
Seoconjuntodeequa¸c˜oesemquest˜aoforlinearizadoemtornodealgumpontode equil´ıbrio,tem-seaseguinterepresenta¸c˜aoemespa¸co deestados:
emque A (k × k)´echamadadematrizdeestado, B (k × r)dematrizdeentrada, C (m × k)dematrizdesa´ıdae D (m × r)dematrizdetransi¸c˜aodireta.Aquiser˜ao consideradossistemasinvariantesnotempo,taisqueasmatrizesdarepresenta¸c˜aoem
˙ x(t)= f (x(t), u(t)) , (8.1) y(t)= g (x(t), u(t)) , (8.2)
˙x (t)= Ax(t)+ Bu(t), (8.3) y(t)= Cx(t)+ Du(t), (8.4)
173
espa¸codeestadosn˜aodependemexpl´ıcitaouimplicitamentedotempo.Nestecaso, tem-seaclassedesistemasLIT,comoilustradonaFigura8.1.
Parasistemasemtempodiscreto,asequa¸c˜oesdeestadoede sa´ıdapodemserrepresentadascomo
emque x[n], u[n]e y[n]s˜ao,respectivamente,osvetoresdeestado,deentradaedesa´ıda emtempodiscreto.
ParasistemasLITdetempodiscreto,tem-seaseguintenota¸c˜ao:
emque Φ agora(k × k)´eadematrizdeestados, Γ (k × r)amatrizdeentrada, C (m × k) amatrizdesa´ıdae D (m × r)matrizdetransi¸c˜aodireta.Arepresenta¸c˜aoemdiagrama deblocosdessesistemadeequa¸c˜oeslineares´emostradanaFigura8.2.
Figura8.2– DiagramadeblocosdeumsistemaLITdetempodiscretorepresentadonoespa¸codeestados.
Particularmente,nestelivro,ser˜aoconsideradossistemasLITdetempodiscreto.
174ControleDigitalAplicado
()dt ∫ ()B ()C ()A ()D () t u () t x () t x ɺ () t y
Figura8.1– DiagramadeblocosdeumsistemaLITdetempocont´ınuorepresentadonoespa¸codeestados.
x[n +1]= f (x[n], u[n],n), (8.5) y[n]= g(x[n], u[n],n), (8.6)
x[n +1]= Φx[n]+ Γu[n], (8.7) y[n]= Cx[n]+ Du[n], (8.8)
[]D []C [] n u [] n x [] n y 1 [] n + x 1 z I []Φ []Γ
Cap´ıtulo9
Introdu¸c˜aoaoControle
Otimo
Quandonosreferimosacontrole´otimo,significaqueelemaximizaouminimizaum certofuncional(denominadaaquide´ındicededesempenho) composs´ıveisrestri¸c˜oes.
ComoemsistemasMIMOasmatrizes K e L (ganhosderealimenta¸c˜aoeobservadordeestados,respectivamente)n˜aos˜ao´unicas,t´ecnicasdecontrole´otimopodemser adotadasparautilizardeformainteligenteeste“graudeliberdade”desistemasMIMO [Franklin,PowelleWorkman2006].
Aprimeirapartedestecap´ıtulotratadeumcontrolequadr´atico´otimovarianteno tempoparaoproblemaderegula¸c˜ao.Emseguida,umaformaestacion´ariadessecontrole ´otimo´eobtida,oqueresultanoReguladorLinearQuadr´atico,LQR(doinglˆes Linear QuadraticRegulator ).Nasequˆencia,oFiltrodeKalman´eintroduzidocomoestimador ´otimonapresen¸caderu´ıdoseperturba¸c˜oescomcaracter´ısticasgaussianas.
Valemencionarque,paraoprojetodocontrolequadr´atico´otimo,osistemadeve serconsideradocontrol´avele,paraoprojetodofiltrodeKalman,osistemadeveser observ´avel.Taiscondi¸c˜oesser˜aoassumidasaolongodestecap´ıtulo.
9.1Controlequadr´atico´otimo
Ocontrolequadr´atico´otimoconsisteemencontrarovalor daentrada u[n]talque minimizeum´ındicededesempenho J,descritocomo
´
J = 1 2 x ⊤[N ]Sx[N ]+ 1 2 N 1 n=0 x ⊤[n]Qx[n]+ u ⊤[n]Ru[n] , (9.1) 241
sujeitoa x[n +1]= Φx[n]+ Γu[n], x[0]= xi, (9.2) onde
• Q matriz(k × k)sim´etricadefinidasemipositiva,
• R matriz(r × r)sim´etricadefinidapositiva,
• S matriz(k × k)sim´etricadefinidasemipositiva
s˜aomatrizesdepondera¸c˜aodo´ındicededesempenhorelativasaoestado,aosinaldecontroleeaoestadofinal,respectivamente.Seoestadofinalfor imposto,talque x[N ]= xf , ent˜aooprimeirotermo`adireitade(9.1)´eeliminado.Notequeotermo 1 2 x⊤[N ]Sx[N ],no ´ındicededesempenho,implicafazercomqueoestadofinalsejaomaispr´oximoposs´ıvel daorigem.
Aminimiza¸c˜aodofuncional J podeserfeitadealgumasformasdiferentes,como porprograma¸c˜aodinˆamica[Kirk2004]oupelom´etododemultiplicadoresdeLagrange [Ogata1995][Franklin,PowelleWorkman2006].Aquiser´areproduzidaasolu¸c˜aopelo m´etododemultiplicadoresdeLagrange.
Deseja-seminimizaro´ındicededesempenhodescritoem(9.1)sujeito`asrestri¸c˜oes impostasem(9.2).Considereumvetordemultiplicadoresde Lagrange, λ[n +1],para
cadainstante n.Assim,oseguinte´ındicededesempenho´edefinido:
Dandosequˆenciaaoprocedimentodeotimiza¸c˜ao,asseguintesequa¸c˜oess˜aoobtidas:
Noteque(9.5)´esimplesmenteaequa¸c˜aodeestados,ouseja,
242ControleDigitalAplicado
L = 1 2 x ⊤[N ]Sx[N ]+ N 1 n=0 1 2 x ⊤[n]Qx[n]+ 1 2 u ⊤[n]Ru[n] + λ⊤[n +1]( x[n +1]+ Φx[n]+ Γu[n]) . (9.3)
∂L ∂u[n] = u ⊤[n]R + λ⊤[n +1]Γ =0, (9.4) ∂L ∂λ[n +1] = x[n +1]+ Φx[n]+ Γu[n]=0, (9.5) ∂L ∂x[n] = x ⊤[n]Q λ⊤[n]+ λ⊤[n +1]Φ =0, (9.6) ∂L ∂x[N ] = x ⊤[N ]S λ⊤[N ]=0 (9.7)
x[n +1]= Φx[n]+ Γu[n]. (9.8)
Cap´ıtulo10
AspectosPr´aticos
Estecap´ıtuloapresentaformasderepresenta¸c˜aodesistemasdiscretoseabordaalguns problemasencontradosnaaplica¸c˜aodecontroladoresdigitaisemrela¸c˜aoaru´ıdosde quantiza¸c˜aoearredondamentonum´erico.Porfim,umpseudoc´odigodeimplementa¸c˜ao deumcontroladordigital´eapresentado.
10.1Estruturasderepresenta¸c˜aodesistemasdiscretos
Equa¸c˜oesdediferen¸caslinearespodemserrepresentadasporumdiagramadeblocos coms´ımbolosparasomaentreduassequˆencias,multiplica¸c˜aodeumasequˆenciaporuma constanteeatrasounit´ario.Considere,porexemplo,aseguinteequa¸c˜aodediferen¸cas:
u[n]= e[n]+ be[n 1]+ au[n 1] (10.1)
[1]en [1]un 1 z []un []en 1 z a b
Graficamente,pode-seterumarepresenta¸c˜aocomoadaFigura10.1.
267
Figura10.1– Representa¸c˜aogr´aficadaequa¸c˜aodediferen¸casem(10.1).
Considerecomoexemploumsistemaemtempodiscretodeterceiraordemcoma seguintefun¸c˜aodetransferˆencia:
H´av´ariasformasderepresenta¸c˜aoemdiagramadeblocos paraestesistema.Algumasdelasser˜aovistasaseguir.
FormadiretaI
Noteque
Tem-se,portanto,arepresenta¸c˜aodaFigura10.2.Aequa¸c˜aodediferen¸cas´edada
268ControleDigitalAplicado
C(z)= b0 + b1z 1 + b2z 2 + b3z 3 1+ a1z 1 + a2z 2 + a3z 3 = B(z) A(z) (10.2)
C(z)podeserescritacomo C1(z)C2(z),com C1(z)= W (z) E(z) = B(z)= b0 + b1z 1 + b2z 2 + b3z 3 (10.3) e C2(z)= U (z) W (z) = 1 A(z) = 1 1+ a1z 1 + a2z 2 + a3z 3 . (10.4)
por u[n]= a1u[n 1] a2u[n 2] a3u[n 3]+ b0e[n]+ b1e[n 1]+ b2e[n 2]+ b3e[n 3] (10.5) 1 z []un []en 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 0b 1b 2b 3b 1a 2a 3a []wn
Figura10.2– FormadiretaIderepresenta¸c˜aodosistemadaEqua¸c˜ao(10.2).
SÃO POUCOS OS LIVROS DIDÁTICOS DE CONTROLE DIGITAL QUE TRAZEM EXEMPLOS DE SIMULAÇÃO EM SOFTWARES NUMÉRICOS. OS QUE O
FAZEM UTILIZAM, MUITAS VEZES, BLOCOS FECHADOS PARA PARAMETRIZAR CONTROLADORES PRÉ-PROGRAMADOS, O QUE DISTANCIA A SIMULAÇÃO
DA APLICAÇÃO PRÁTICA.
Nesta obra, há vários exemplos de simulação de controladores digitais em que os algoritmos são programados em blocos Matlab Function do so�tware MATLAB®. Essa abordagem está muito próxima de programação embarcada em hardwares digitais.
Dessa maneira, este livro busca estreitar a distância entre simulação e prática. O texto é acessível a alunos de graduação, com conteúdo que abrange boa parte das ementas de cursos de controle digital. No âmbito da pós-graduação, o livro também pode ser utilizado como uma referência introdutória. Além disso, o conteúdo serve como um guia para engenheiros envolvidos com a prática de projeto de sistemas de controle.
