CAPÍTULO 5 EQUAÇÕES DIOFANTINAS E ARITMÉTICA MÓDULO m
5.1 EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES A DUAS INCÓGNITAS Começamos este capítulo com uma situação típica para ilustrar onde as equações diofantinas lineares podem ser aplicadas. Consideremos o caso de um funcionário público que gerencia o almoxarifado de um hospital: ele informou ao seu chefe imediato que gastou R$ 17.700,00 na compra de dois tipos de medicamentos A e B, alegando ainda ter comprado o máximo que a verba permitiu. A fim de confirmar essa informação, o chefe verificou que cada unidade do medicamento A custa R$ 330,00 e cada unidade de B custa R$ 210,00. É possível que haja uma combinação de quantidades dos medicamentos A e B de modo que o gasto total seja exatamente R$ 17.700,00? Qual seria a quantidade máxima (em unidades) de medicamentos adquiridos? Quantas unidades de A e quantas unidades de B? Essa situação pode ser modelada como segue: caso seja possível gastar exatamente R$ 17.700,00 com esses medicamentos, as quantidades x e y dos medicamentos A e B, respectivamente, formarão uma solução da seguinte equação: 330x + 210y = 17.700. O problema consiste então em descobrir se tal equação tem ou não solução e, em caso afirmativo, saber como encontrar todas as soluções e escolher aquela que fornece a quantidade máxima. Equações desse tipo, em que são procuradas soluções inteiras, são conhecidas como equações diofantinas, em homenagem a Diofanto de Alexandria, que viveu por volta do século III d.C. Dele se conhecem duas obras: Sobre números poligonais e Aritmética.