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Geometria analítica no plano
– explícita, implícita ou paramétrica. As formas mais frequentes usadas nesse texto (e em qualquer livro tradicional de geometria analítica) são a explícita e a mais geral – implícita. Em coordenadas planares x, y, as equações na forma explícita podem ser escritas como y = f (x) e na implícita – F (x, y) = 0, onde f (x) e F (x, y) são funções de uma e duas variáveis, respectivamente. Se a função F (x, y) é um polinômio de grau n, então a equação implícita é chamada algébrica. Nos casos mais simples, quando esse grau é igual a 1 ou 2, temos equações lineares ax + by + c = 0 e quadráticas ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, onde a, b, c, d, e, f são coeficientes dados das equações. Na maioria dos casos, uma disciplina tradicional da geometria analítica universitária se restringe à consideração desses dois tipos de equações, uma vez que o estudo de equações algébricas de grau mais elevado é mais complicado, sem falar das irracionais e transcendentais. Tendo em vista que esse livro é pensado como o primeiro curso em geometria analítica universitária, acessível tanto para os alunos de graduação como para alunos do ensino médio, mantemos, nesse texto, as restrições tradicionais da disciplina: na maior parte do texto, usamos as coordenadas cartesianas e o estudo geral é dedicado as equações lineares e quadráticas. De acordo com os objetivos do livro, estruturamos o seu conteúdo da seguinte maneira. O texto é dividido em cinco capítulos e cada um deles é dividido em seções. A numeração de seções é feita dentro de cada capítulo, independentemente da numeração em outros. Por exemplo, a seção 1.3 é a terceira seção do capítulo 1, enquanto a seção 4.3 é a terceira seção do capítulo 4. Além disso, algumas seções são divididas em itens quando há uma separação visível de tópicos tratados, embora unidos pelo assunto mais geral considerado numa seção. No primeiro capítulo, revisamos os assuntos de conjuntos numéricos e coordenadas numa reta. Embora esses assuntos sejam objetos de estudo no ensino médio, consideramos que a definição mais rigorosa de números reais e demonstração da sua equivalência com o conjunto de pontos de uma reta é a base necessária para a posterior introdução de coordenadas no plano. No mesmo capítulo, são considerados, também, vários problemas de distâncias, transformações de coordenadas e relações entre descrições geométricas e analíticas de mesmos conjuntos na reta. No segundo capítulo, definimos as coordenadas cartesianas e polares no plano, tendo em foco a relação de equivalência que deve ser estabelecida entre os pontos do plano e pares ordenados dos números reais. Consideramos três transformações básicas de coordenadas – mudança de escala, translação paralela e rotação – a serem usadas posteriormente no estudo