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9 – China Antiga e Medieval
1299, foi o Suanxue qimeng (Suan-hsueh ch’i-meng) (Introdução aos estudos matemáticos), obra relativamente elementar que influenciou fortemente a Coreia e o Japão, embora na China se perdesse até reaparecer no século dezenove. De maior interesse histórico e matemático é o Siyuan yujian (Ssu-yuan yu-chien) (Precioso espelho dos quatros elementos) de 1303. No século dezoito, esse também desapareceu na China, sendo redescoberto somente no século seguinte. Os quatro elementos, chamados céu, terra, homem e matéria, são as representações de quatro incógnitas na mesma equação. O livro representa o ápice do desenvolvimento da álgebra chinesa, pois trata de equações simultâneas e de equações de grau até quatorze. Nele, o autor descreve um método de transformação que chama fan fa, cujos elementos parecem ter surgido muito antes disso na China, mas que tem geralmente o nome de Horner, que viveu meio milênio depois. Para resolver a equação x2 + 252x – 5.292 = 0, por exemplo, Zhu Shijie primeiro obteve x = 19 como aproximação (uma raiz cai entre x = 19 e x = 20), depois usou o fan fa, nesse caso a transformação y = x – 19, para obter a equação y2 + 290y – 143 = 0 (com uma raiz entre y = 0 e y = 1). Deu então a raiz dessa como (aproximadamente) y = 143/(1 + 290); portanto, o valor correspondente de x é 19 143/291. Para a equação x3 – 574 = 0 ele usou y = x – 8 para obter y3 + 24y2 + 192y – 62 = 0, e deu a raiz como sendo x = 8 + 62/(1 + 24 +192) ou x = 8 2/7. Em alguns casos, ele encontrou aproximações decimais.
O triângulo de “Pascal”, como mostrado em 1303 na capa do Espelho precioso, de Zhu Shijie. É intitulado “O diagrama do velho método dos sete quadrados multiplicativos” e coloca em uma tabela os coeficientes binomiais até a oitava potência. (Reproduzido de J. Needham, 1959, v. 3, p. 135.)
Algumas das muitas somas de séries encontradas no Espelho são as seguintes: ( 2n + 1) 1 + 2 + 3 + + n = n( n + 1) 3! ( n + 2) 1 + 8 + 30 + 80 + + n2( n + 1) 3! ( 4 n + 1) = n( n + 1)( n + 2)( n + 3) × 5! 2
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No entanto, não são dadas demonstrações, nem o tópico parece ter continuado na China outra vez senão no século dezenove. Zhu Shijie parece ter tratado suas somas pelo método de diferenças
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finitas, elementos do qual parecem remontar na China ao século sete; mas logo depois de sua obra o método desapareceu por muitos séculos. O Espelho precioso começa com um diagrama do triângulo aritmético impropriamente conhecido no Ocidente como “triângulo de Pascal” (veja a ilustração acima). No arranjo de Zhu, temos os coeficientes das expansões binomiais até a oitava potência, claramente dadas em numerais em barra e um símbolo redondo para o zero. Zhu não reivindicava crédito pelo triângulo, referindo-se a ele como um “diagrama do velho método para achar potên-
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