Ɛ∫Δθ 1. Distância entre ponto e reta
P0 ( x, y, z ) um ponto qualquer e r uma reta. uuur || PP × V || d ( P0 , r ) = 1 0 || V || ∴ V = vetor diretor da reta e P1 ( x1 , y1 , z1 ) um ponto de r . Sendo
2. Distância entre ponto e plano Sejam
P0 ( x0 , y0 , z0 )
um ponto qualquer e
π : ax + by + cz + d = 0 um plano. A distância de P0 a π
é:
d ( P0 , π ) =
| ax0 + by0 + cz0 + d | a 2 + b2 + c 2
3. Distância entre plano e plano ~ Observação: os planos tem que ser paralelos = o vetor normal de um é múltiplo do outro ~
π 1 : x + 2 y − 2 z − 3 = 0 e π 2 : 2 x + 4 y − 4 z − 7 = 0 são paralelos vetores normais são múltiplos (1,2,-2) e (2,4,-4).Encontro um ponto que pertence a π 1 :
Exemplo: os planos
−2 z − 3 = 0 Fazendo x=0 e y=0
→
z = −3
2
→ P1 (0,0, −3 ) 2
pois os
e fazemos distância entre ponto e plano
(2°situação). 4. Distância entre reta e reta • Se os vetores diretores são paralelos: Neste caso é igual à distância de um ponto (que pertence a uma das retas,
P ∈ r1 : ( x, y, z) = ( x1 , y1 , z1 ) + t ( a, b, c ) ⇒ P ( x1 , y1 , z1 )
por exemplo) até a outra reta ( r2
por exemplo) (1°situação). • Se os vetores diretores não são paralelos, então as retas são reversas ou concorrentes (mesmo método de resolver de qualquer forma). Estas retas definem dois planos paralelos, então a distância entre retas é igual à distância entre esses dois planos (que pode ser feito como distancia entre o ponto que pertence a reta
r1 e o plano que contém r2 ). (3°situação) ~Observação: o vetor normal dos planos
= Vetor diretor da 1° reta X vetor diretor da 2° reta~ 1. Distância entre as retas
r1 e r2 .
2. Precisamos de um ponto que pertence a
r1 : ( x, y,z) = ( x1 , y1 ,z1 ) + t (a, b, c) esse
ponto éo
P ( x1 , y1 , z1 ) .
r2 precisamos de r vnβ = Vetor diretor de r1 × Vetor diretor de r2 e um ponto de
3. Para criar a equação do plano que contem a reta
r2 : ( x, y, z) = ( x2 , y2 ,z 2 ) + t (a, b, c ) 4. E fazemos a distância entre o ponto
P
que é
( x2 , y2 , z 2 ) .
e o plano
β (2°situção) .
Ɛ∫Δθ Posições relativas entre duas retas. 1. Retas paralelas ou coincidentes: Se o vetor diretor de uma é múltiplo da outra:
r a b c s : vs (d , e, f ) ⇒ = = d e f
r r : vr (a, b, c)
e
.
2. Se não forem paralelas e a igualdade
r r uuuur (vr , vs , A1 A2 ) = 0
sendo que A1 ∈ r e
A2 ∈ s
for verdadeira, as
retas são concorrentes. 3.
Se a igualdade
r r uuuur (vr , vs , A1 A2 ) = 0
não for verdade, as retas são reversas.
Posição relativa entre planos 1. Planos paralelos: Se o vetor normal de um é múltiplo do outro
a b c r v n β ( d , e, f ) ⇒ = = d e f r r 2. Planos perpendiculares: vnα ⋅ vnβ = 0
r vnα (a, b, c)
e
3. Caso não sejam nem paralelos e nem perpendiculares, serão secantes. Posição relativa entre reta e plano 1. Paralelos:
r r vnα ⋅ vr = 0
sendo
r r vnα o vetor normal do plano e vr
r
2. Perpendiculares: diretor da reta
r
α ⊥ r ⇒ vnα vr
sendo
r vnα (a, b, c) o
r são múltiplos um do outro ⇒
o vetor diretor da reta
vetor normal do plano e
a b c = = d e f
.
r.
r vr (d , e, f )
o vetor