Formulación y Evaluación de Proyectos de Inversión Agropecuarios Universidad de Talca / Facultad de Ciencias Agrarias
(100) (1+0.1) ,
= 90,9090, dado que: VA=
VF (1+r) t
Estos ejemplos muestran la operatoria para llevar flujos actuales al periodo siguiente y explicitan la metodología de traer flujos del periodo siguiente al periodo actual. Se puede generalizar esto para cualquier periodo futuro, como muestra ve a continuación en ejemplos siguientes. Ejemplo 3 Si se invierte F0 =100 de hoy a una tasa de r = 10% por periodo, en el cuarto periodo se tendrá:
- Cuando los flujos en cada periodo son iguales y se repiten hasta el infinito, F, F, … A esto se le llama perpetuidad y su valor actual se puede calcular de la siguiente forma: VA=
F (1+r)
F +…… (1+r)2 +
F (1+r)n
+…=
F r
- Cuando los flujos se repiten por una cantidad finita de n años. Esto es llamado anualidad y el valor actual se puede calcular como: VA=
VA= 4
+
F (1+r)
(
F0=
Hay casos particulares en los que este cálculo puede resultar más simple. Estos serán presentados a continuación aunque en la actualidad los computadores pueden calcular valores actuales (ver Punto 4.1. en los Anexos del Tópico).
+
F 2
(1+r)
(
Ejemplo 2 Si se piensa que recibiremos un flujo de F1 = 100 el próximo periodo (valor futuro), podemos endeudarnos hoy comprometiéndonos para pagar con F1 una vez transcurrido ese tiempo. El monto que se puede pedir prestado a cambio del pago de F1 en el futuro es:
-1 (-1r - ((1+r) r n
+…+
VA=F*
F (1+r)n (1+r)n -1 (1+r)n r
F4=100(1+0.1) =146,41 , Ejemplo 4 Ahora si se piensa que se recibirá F7 = 100 en 7 periodos más y si la tasa de interés sigue siendo r =10% por periodo, en función de ese flujo el individuo actualmente se puede endeudar en:
F0=
(100) (1+0,1) 7
= 51,3158
Ejemplo 5 Si se consideran los siguientes flujos en los periodos futuros: F1 = 100, F2 = 120, F3 = 120, F4 = 125, F5 = 110, F6 = 110, se puede pensar que éstos reflejan las remuneraciones que se percibirán en los seis periodos siguientes. ¿A cuánto corresponde todo ese dinero en el presente? Ya se sabe que el dinero no es gratis, por lo tanto no se puede sumar, por lo que en primer término se debe actualizar. A continuación se presentan todos estos valores actualizados, considerando su costo en el tiempo: 120 + 125 + 110 + 125 + 6 (1+0.1) (1+0.1) 2 (1+0.1) 3 (1+0.1) 4 (1+0.1) 5 (1+0.1)
Tipos de interés Existen dos formas de aplicar las tasas de interés: simple y compuesta. El interés simple consiste en aplicar en cada periodo el interés sólo sobre el monto inicial. Por ejemplo, si hoy tenemos un flujo de F0 =100 y la tasa de interés continúa siendo de 10% para cada periodo. Al aplicar un interés simple obtenemos para los cuatro primeros periodos los siguientes flujos:
F n=F o(1+rn) F 1 =100+0,1*100=110 F 2 =110+0,1*100=120 F 3 =120+0,1*100=130 F 4 =130+0,1*100=140 Por otra parte, el interés compuesto se aplica sobre el monto inicial y sobre los intereses ganados hasta esa fecha. Siguiendo con el ejemplo anterior, los flujos obtenidos al aplicar interés compuesto son:
120 VA= 100 +
VA=90,909+82,645+75,132+68,301+62,092+56,447=435,566
Esta cifra corresponde al valor actual de la serie de flujos futuros. En general el valor actual de n flujos futuros es:
VA=
F F F +...+ + (1+r) 2 (1+r) n (1+r)
F n =F o(1+r) n F 1 =100*(1+0,1)=100 F 2 =100*(1+0,1) 2 =121 F 3 =100*(1+0,1) 3 =133,1 F 4=100*(1+0,1)4=146,41 Se observa que los dos resultados no son iguales. El más utilizado y el que mejor explica el valor del dinero en el tiempo es el interés compuesto. En adelante se trabajará sólo con éste.
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