Definição 8: A função de distribuição conjunta F(x1, x2, .. xn ) das variáveis aleatórias x1, x2, .. xn é a probabilidade da ocorrência junta de X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, ... , Xn ≤ xn .
(11)
F(x1, x2, .. xn ) = P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, ... , Xn ≤ xn )
Exemplo 7: Considere as variáveis aleatórias X e Y como definidas no exemplo 2. Considere f(x,y) e F(x,y) como as funções de probabilidade conjunta e de distribuição, respectivamente.
(12)
⎛ 6⎞ f(3, 7) = P (X = 3, Y = 7) = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝3⎠
(13)
F(3, 7) = P (X ≤ 3, Y ≤ 7) =
⎛8 ⎞ 7 ⎜⎜ ⎟⎟ p (1 - p) 7 ⎝ 4⎠
e
∑
f(x, y)
0 ≤ x ≤3 x ≤ y≤7
onde ⎛6 ⎞ f(x, y) = ⎜⎜ ⎟⎟ p x (1 - p) 6 - x ⎝x⎠
⎛ 8 ⎞ y- x ⎟⎟ p (1 - p) 8 - (y - x) ⎜⎜ y x ⎠ ⎝
e onde o somatório na equação (13) se estende a todos os valores de x e y tal que x ≤ 3 e y ≤ 7, com a usual restrição de que x e y – x são inteiros não negativos. Note que as equações (12) e (13) não podem ser avaliadas sem conhecer o valor de p. Definição 9: A função de probabilidade condicional de X dado Y, f(x | y) é
(14)
f(x | y) = P(X = x | Y = y)
Da equação 1 vemos que (15)
f(x | y) = P(X = x | Y = y) =
=
P(X = x, Y = y) P(Y = y) f(x, y) f(y)
onde f(x, y) é a função de probabilidade conjunta de X e Y e f(y) é a função de probabilidade de Y em si. Exemplo 8: Como uma continuação do exemplo 7, considere f(x | y) como a função de probabilidade condicional de X dado Y.
F(3 | 7) = P(X = 3 | Y = 7) = 0.408 da equação (4)