Análise combinatória
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REPRODUÇÃO – ETH-BIBLIOTHEK ZÜRICK
Chamamos de triângulo de Pascal a disposição dos coeficientes binomiais em linhas e colunas de forma que os coeficientes binomiais de mesmo numerador fiquem dispostos numa mesma linha, e os de mesmo denominador sejam posicionados numa mesma coluna.
Capítulo 18
Triângulo de Pascal
coluna 0 0 linha 0 d n coluna 1 0 1 1 linha 1 d n d n coluna 2 0 1 2 2 2 linha 2 d n d n d n coluna 3 0 1 2
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
3 3 3 3 linha 3 d n d n d n d n coluna 4 0 1 2 3 4 4 4 4 4 linha 4 d n d n d n d n d n coluna 5 0 1 2 3 4
O frontispício da aritmética de Petrus Apianus, Alemanha, 1527, traz uma representação do “triângulo de Pascal”, mais de um século antes de Pascal investigar as propriedades desse triângulo.
5 5 5 5 5 5 linha 5 d n d n d n d n d n d n coluna n 0 1 2 3 4 5 ...................................................
n n n n n n n linha n c m c m c m c m c m c m ... c m 0 1 2 3 4 5 n .............................................................
Calculando os valores dos coeficientes binomiais, encontramos outra representação para o triângulo de Pascal: 1 1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10 10
5
1
1
6
15 20 15
6
1
....................................................
Esse triângulo tem várias propriedades, vamos estudar algumas.
7.1 Propriedades do triângulo de Pascal 1a propriedade Todas as linhas do triângulo de Pascal começam e terminam por 1, pois esses elementos são n n do tipo c0m = 1 e cnm = 1. Exemplos 6 6 a) Na linha 6, o primeiro elemento é d0n = 1 e o último elemento é d6n = 1.
12 12 b) Na linha 12, o primeiro elemento é d 0 n = 1 e o último elemento é d12n = 1.
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