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para degustação

A coleção aproxima os conceitos matemáticos de situações do convívio social, desenvolvendo o raciocínio lógico. O programa de resolução de problemas estimula a leitura e a organização de dados extraídos de textos com linguagem acessível, incentivando a autonomia para elaborar estratégias próprias de resolução. O programa de tratamento da informação incentiva o uso da linguagem e das ferramentas básicas para a compreensão da disciplina. Acesse o site da coleção e conheça todos os recursos multimídia que preparamos para facilitar a prática pedagógica dos professores adotantes e despertar o interesse dos alunos. Para mais informações sobre o conteúdo e a versão digital para tablet, entre em contato com o seu consultor Moderna!

amostra para degustação do professor

Professor, esta amostra apresenta algumas unidades do Projeto Araribá Matemática. Nela, você poderá conhecer a estrutura da coleção e o conteúdo programático desenvolvido para proporcionar aulas ainda mais dinâmicas e completas.

Projeto

Araribá matemática

Projeto Araribá matemática

Projeto Araribá matemática

Ensino Fundamental II

15302772

confira: Nossos consultores estão à sua disposição para fornecer mais informações sobre esta obra.

www.moderna.com.br/arariba

0800 17 2002

• Sumário da obra • Uma seleção de conteúdos didáticos para análise do professor


ARARIBÁ MATEMÁTICA

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Organizadora: Editora Moderna Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna. Editora Executiva: Juliane Matsubara Barroso

3a edição

Frontis Arariba Matematica 6 a 9 LA_LP_ok.indd 5

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© Editora Moderna, 2010

Elaboração de originais Aline dos Reis Matheus Licenciada em Matemática pela USP Ana Paula Souza Nani Licenciada em Matemática pela USP Cíntia Alessandra Valle Burkert Machado Mestre em Educação pela USP Débora Regina Yogui Licenciada em Matemática pela USP Fausto Arnaud Sampaio Licenciado em Matemática pela Unicamp Juliana Ikeda Licenciada em Matemática pela USP Juliane Matsubara Barroso Bacharel e licenciada em Matemática pela PUC de São Paulo Luciana de Oliveira Gerzoschkowitz Moura Mestre em Educação pela USP Maria Cecília da Silva Veridiano Licenciada em Matemática pela USP

Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Juliana Ikeda, Lucas Maduar Carvalho Mota, Marilu Maranho Tassetto Assistência editorial: Carlos Eduardo Bambini Bentivegna, Everton Jose Luciano, Fernando Savoia Gonzalez, Regina Santana Alaminos de Freitas, Roberto Lopes Leitura crítica: Eduardo Wagner Preparação de texto: Iraci Miyuki Kishi Coordenação de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho Homma Projeto gráfico: Everson de Paula Capa: Aurelio Camilo Arte e fotografia: Tic Tac Toe, ou jogo da velha 3D. © Cortesia Origem Jogos/Foto Ricardo Toscani Coordenação de produção gráfica: André Monteiro, Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Jordana de Lima Chaves Edição de páginas especiais: William Hiroshi Taciro (coordenação), Alexandre de Paula, Fernanda Fencz, Luiz Rubio, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tasetto Editoração eletrônica: Setup Bureau Editoração Eletrônica Ilustrações: Adilson Secco, Adolar, Alexandre Affonso, Amilcar Pinna, André Diniz, Attílio, Cecília Iwashita, Claudio Chiyo, Eduardo Alejandro, Éber Evangelista, Eduardo Ferrara, Elisa Nievas Pereira, Estúdio Ampla Arena, Estudio Manga, Estúdio 22, Gabriel Silveira, Marco Cortez, Mário Kanno, Nelson Matsuda, Nilson Cardoso, Paulo Borges, Paulo César, Paulo Manzi, Priscila Sanson, Studio Argozino, Thomas Larson Cartografia: Alessandro Passos da Costa, Anderson de Andrade Pimentel, Fernando José Ferreira Coordenação de revisão: Elaine C. del Nero Revisão: Ana Cortazzo, Ana Paula Luccisano, Luís M. Boa Nova, Nancy H. Dias, Viviane T. Mendes Coordenação de pesquisa iconográfica: Ana Lucia Soares Pesquisa iconográfica: Camila D’Angelo e Vera Lucia da Silva Barrionuevo As imagens identificadas com a sigla CID foram fornecidas pelo Centro de Informação e Documentação da Editora Moderna. Coordenação de bureau: Américo Jesus Tratamento de imagens: Alexandre Petreca, Arleth Rodrigues, Fábio N. Precendo, Rubens M. Rodrigues Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira Silva, Hélio P. de Souza Filho, Marcio H. Kamoto Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque Impressão e acabamento: Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Projeto Araribá : matemática : ensino fundamental / obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna ; editora executiva Juliane Matsubara Barroso. — 3. ed. — São Paulo : Moderna, 2010.

Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. “Componente curricular : Matemática” Bibliografia.

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Barroso, Juliane Matsubara.

10-07254

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 ISBN 978-85-16-06852-3 (LA) ISBN 978-85-16-06853-0 (LP) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2014 Impresso no Brasil 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2

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Apresentação

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ste livro foi elaborado para você.

Queremos que você estude Matemática de uma forma agradável e dinâmica. Procure desenvolver todas as atividades propostas. Assim, descobrirá que conhecer os números, as formas, as medidas e outros assuntos abordados pela Matemática pode ser uma aventura muito interessante, além de ampliar seu universo de conhecimento e sua visão de mundo. Explore tudo que este livro lhe oferece, para aproveitar também a diversidade de informações distribuídas ao longo das seções, como a abertura, o tratamento da informação e outras. Certamente, você encontrará desafios e obstáculos. Enfrente-os com garra, pois, ao superá-los, perceberá como o saber, em todas as suas formas, traz grande satisfação pessoal e melhoria de sua atuação no mundo. Bom estudo!


Organização da Parte Páginas de abertura Cada livro contém 14 unidades distribuídas em 6 partes. Cada abertura de parte apresenta um elemento motivador, como este infográfico.

Questões sobre o tema da abertura são propostas com o fim de identificar e mobilizar os conhecimentos prévios do aluno.

Apresentação dos conteúdos O conteúdo é apresentado de forma clara e organizada. Após a apresentação dos conteúdos, vêm as seções Atividades, que trazem os diversos tipos de atividades agrupadas em dois blocos: Vamos praticar e Vamos aplicar.

Tratamento da informação O Tratamento da informação tem o objetivo de desenvolver a interpretação, a comparação e a análise de diversas formas de apresentação dos dados (em gráficos ou tabelas). Um personagem acompanha essa seção explicando o conteúdo e dando dicas para a organização dos dados.

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Há ainda atividades Desafio, Calculadora e Cálculo mental.

Para explicar a resolução de alguns exercícios propõe-se a seção Exercícios resolvidos. Nela há o passo a passo de uma resolução de exercício, além de comentários que enriquecem a resolução.

Atividades integradas São atividades para consolidar os conhecimentos. Há uma indicação do nível de dificuldade de cada atividade. Inicial Intermediário Avançado

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Um esquema apresenta os conteúdos que serão desenvolvidos na parte. Seu objetivo é orientar sobre o que será estudado e indicar como os conteúdos se relacionam.


Compreender um texto

Questões especialmente desenvolvidas orientam a interpretação e análise do texto e exploram o conteúdo matemático apresentado.

A seção Compreender um texto tem o objetivo de desenvolver a competência leitora por meio da análise de diversos tipos de texto.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Para finalizar: um esquema

Para finalizar: problemas para resolver

Um resumo esquemático apresenta os principais conceitos e procedimentos estudados na parte. O esquema permite visualizar as relações entre os conteúdos.

O programa de resolução de problemas é composto das páginas de Problemas para resolver. Seu objetivo é propor maneiras de solucionar problemas, formando um arquivo de recursos para ser usado em outras situações. Todas as fichas estão em um caderno colado na última capa do livro. Essa estrutura permite que as fichas sejam utilizadas isoladamente ou em conjunto com os Problemas para resolver. resolver

Fichas de estratégias Cada página dos Problemas para resolver remete a uma Ficha de estratégia. Cada ficha apresenta um problema resolvido por meio da estratégia que permitirá solucionar todos os problemas sugeridos na seção Problemas para resolver.

Guia de estudo O livro é acompanhado de um Guia de estudo. O objetivo desse guia é auxiliar o estudo dos conteúdos por meio de atividades de exploração de vocabulário, de fixação, de síntese e atividades para checar a aprendizagem.

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Sumário 10

UNIDADE 1 – NÚMEROS NATURAIS 1. Números naturais.......................................................................................................................................... 12

• • • •

Sequência dos números naturais ...................................................................................................... 12 Sucessor e antecessor de um número natural.............................................................................. 13 Comparação entre números naturais .............................................................................................. 13 Números naturais na reta numérica ................................................................................................. 13 2. Sistemas de numeração ........................................................................................................................... 18 • Sistema de numeração maia ............................................................................................................... 18 • Sistema de numeração babilônico .................................................................................................. 19 • Sistema de numeração egípcio .......................................................................................................... 19 3. Sistema de numeração indo-arábico.............................................................................................. 21 • Características do sistema de numeração indo-arábico ........................................................... 21 • Leitura de números indo-arábicos .................................................................................................... 22 • Escrita dos números indo-arábicos................................................................................................... 23 4. Sistema de numeração romano.......................................................................................................... 27 Tratamento da informação – Organizar dados em tabelas simples ........................................ 28 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 30

UNIDADE 2 – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS NATURAIS 1. Adição com números naturais ............................................................................................................. 31

• Algoritmos da adição ............................................................................................................................. 32 • Propriedades da adição ........................................................................................................................ 32 2. Subtração com números naturais..................................................................................................... 36 • Relação fundamental da subtração .................................................................................................. 38 • Expressões numéricas .......................................................................................................................... 41 Tratamento da informação – Arredondar números ......................................................................... 42 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 44

UNIDADE 3 – MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO COM NÚMEROS NATURAIS 1. Multiplicação com números naturais............................................................................................. 46

• Algoritmos da multiplicação ............................................................................................................... 48 • Propriedades da multiplicação........................................................................................................... 52 • Expressões numéricas ........................................................................................................................... 53 2. Divisão com números naturais............................................................................................................ 56 • Algoritmos da divisão ............................................................................................................................ 57 • Relação fundamental da divisão........................................................................................................ 62 • Expressões numéricas ........................................................................................................................... 62 Tratamento da informação – Calcular possibilidades ..................................................................... 64 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 66

UNIDADE 4 – POTENCIAÇÃO E RAIZ QUADRADA 1. Potenciação com números naturais ............................................................................................... 68

• • • •

Quadrado de um número .................................................................................................................... 69 Cubo de um número .............................................................................................................................. 69 Potências com outros expoentes ...................................................................................................... 69 Potências de base 10.............................................................................................................................. 72 2. Raiz quadrada................................................................................................................................................... 74 • Quadrados perfeitos .............................................................................................................................. 74 • Expressões numéricas ........................................................................................................................... 76 Tratamento da informação – Ler e interpretar dados em tabela .............................................. 78 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 80 Compreender um texto – Quais são os animais mais barulhentos? ......................................... 82 Problemas para resolver ................................................................................................................................ 85 6

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Parte 1

NÚMEROS NATURAIS E OPERAÇÕES200


Parte 2

DIVISIBILIDADE: MÚLTIPLOS E DIVISORES

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UNIDADE 5 – DIVISIBILIDADE 1. Divisibilidade: divisores e múltiplos de números naturais .......................................... 88 2. Critérios de divisibilidade ....................................................................................................................... 90

• • • • • • • •

Critério de divisibilidade por 2 ........................................................................................................... 90 Critério de divisibilidade por 3 ........................................................................................................... 90 Critério de divisibilidade por 6 ........................................................................................................... 90 Critério de divisibilidade por 4 ........................................................................................................... 91 Critério de divisibilidade por 8 ........................................................................................................... 91 Critério de divisibilidade por 5 ........................................................................................................... 91 Critério de divisibilidade por 10 ......................................................................................................... 91 Critério de divisibilidade por 9 ........................................................................................................... 92 3. Divisores de um número natural ....................................................................................................... 95 4. Múltiplos de um número natural ....................................................................................................... 96 Tratamento da informação – Construir gráfico de barras (horizontais e verticais)......................................................................................................................................... 100

UNIDADE 6 – mmc e mdc 1. Números primos ............................................................................................................................................. 104

• Reconhecimento de um número primo ......................................................................................... 105 2. Decomposição em fatores primos .................................................................................................... 106

• Processo das fatorações sucessivas .................................................................................................. 106 • Processo das divisões sucessivas ....................................................................................................... 106 3. Máximo divisor comum (mdc) .............................................................................................................. 109 4. Mínimo múltiplo comum (mmc).......................................................................................................... 110 Tratamento da informação – Organizar dados em tabela de dupla entrada ....................................................................................................................................................... 114 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 116 Compreender um texto – Up - Altas aventuras ................................................................................... 118 Problemas para resolver ................................................................................................................................ 121

FRAÇÕES E OPERAÇÕES

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UNIDADE 7 – NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO

Parte 3

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Atividades integradas ...................................................................................................................................... 103

1. Números fracionários ................................................................................................................................ 124

• Leitura de frações .................................................................................................................................... 125 • Frações próprias....................................................................................................................................... 125 • Frações impróprias.................................................................................................................................. 125 2. Situações que envolvem frações ...................................................................................................... 130 3. Frações equivalentes ................................................................................................................................. 133

• Propriedade das frações equivalentes............................................................................................. 133 • Simplificação de frações ....................................................................................................................... 134 4. Comparação de frações ............................................................................................................................. 137 • Frações com denominadores iguais ................................................................................................. 137 • Frações com numeradores iguais...................................................................................................... 137 • Frações com numeradores e denominadores diferentes ......................................................... 139 Tratamento da informação – Construir gráfico de barras (horizontais e verticais)......................................................................................................................................... 142 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 144

UNIDADE 8 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DE FRAÇÃO 1. Adição e subtração de frações ............................................................................................................ 146

• Frações com denominadores iguais ................................................................................................. 146 • Frações com denominadores diferentes ........................................................................................ 147 7


Sumário

2. Multiplicação de frações .......................................................................................................................... 150

• Multiplicação de um número natural por uma fração ............................................................... 150 • Multiplicação de duas frações ............................................................................................................ 151 3. Divisão de frações......................................................................................................................................... 154 • Divisão de uma fração por um número natural ........................................................................... 154 • Divisão de um número natural por uma fração ........................................................................... 154 • Divisão de uma fração por outra fração .......................................................................................... 155 • Processo prático ....................................................................................................................................... 156 4. Porcentagem..................................................................................................................................................... 159 Tratamento da informação – Calcular a probabilidade................................................................... 162 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 164 Compreender um texto – O problema dos camelos .......................................................................... 166 Problemas para resolver ................................................................................................................................ 169

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UNIDADE 9 – GEOMETRIA: NOÇÕES INICIAIS 1. Geometria em documentos históricos importantes da Matemática ..................... 172 2. Figuras geométricas ................................................................................................................................... 174

• Figuras geométricas planas ................................................................................................................. 174 3. Retas, semirretas e segmentos de reta ....................................................................................... 176

• • • •

Retas............................................................................................................................................................. 176 Semirreta .................................................................................................................................................... 177 Segmento de reta.................................................................................................................................... 177 Medida de um segmento ..................................................................................................................... 179 4. Ângulos ................................................................................................................................................................. 181 • Representação de ângulos................................................................................................................... 181 • Medida de um ângulo ........................................................................................................................... 182 • Classificação dos ângulos até 180° ................................................................................................... 182 Tratamento da informação – Ler e interpretar gráfico de setores........................................... 184 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 186

UNIDADE 10 – POLÍGONOS100 1. Polígono................................................................................................................................................................ 187

• Polígono convexo e polígono não convexo .................................................................................. 188 • Nome dos polígonos.............................................................................................................................. 188 2. Triângulo .............................................................................................................................................................. 190 3. Quadrilátero ...................................................................................................................................................... 191

• Paralelogramo .......................................................................................................................................... 192 Tratamento da informação – Ler e interpretar pictograma ......................................................... 194 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 196 Compreender um texto – Grou..................................................................................................................... 198 Problemas para resolver ................................................................................................................................ 201

Parte 5

NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL E OPERAÇÕES

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202

UNIDADE 11 – NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL 1. Representação decimal de um número racional................................................................... 204

• • • •

Frações decimais ..................................................................................................................................... 205 Quadro de ordens ................................................................................................................................... 205 O material dourado e os números decimais.................................................................................. 206 Propriedade dos números decimais ................................................................................................. 207 2. Transformações .............................................................................................................................................. 208 • Transformação de um número decimal para a forma de fração ............................................ 208 • Transformação de uma fração decimal para a forma decimal ................................................ 208

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Parte 4

GEOMETRIA


3. Representação gráfica de números decimais ......................................................................... 209 4. Comparação de números racionais na forma decimal ...................................................... 212 Tratamento da informação – Construir gráfico de barras (horizontais e verticais)......................................................................................................................................... 214 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 216

UNIDADE 12 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL • Operações com calculadora, cálculo mental e arredondamento .......................................... 219 2. Multiplicação com números decimais ........................................................................................... 221 • Multiplicação de um decimal por um número natural.............................................................. 221 • Multiplicação de um decimal por um decimal ............................................................................. 222 • Estimando um produto ......................................................................................................................... 222 3. Divisão com números decimais .......................................................................................................... 224 • Divisão por um número natural diferente de zero ...................................................................... 224 • Divisão por um número decimal ....................................................................................................... 225 • Quociente aproximado ......................................................................................................................... 229 4. Potenciação de números decimais .................................................................................................. 231 5. Cálculo de porcentagens ......................................................................................................................... 232 Tratamento da informação – Ler e interpretar gráfico de setores........................................... 234 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 236 Compreender um texto – Recordes........................................................................................................... 238 Problemas para resolver ................................................................................................................................ 241

MEDIDAS E GEOMETRIA

Parte 6

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1. Adição e subtração de números decimais .................................................................................. 218

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UNIDADE 13 – MEDIDAS DE COMPRIMENTO E ÁREA 1. Unidade de medida de comprimento ............................................................................................. 244

• Múltiplos e submúltiplos do metro .................................................................................................. 245 • Transformações das unidades de medida de comprimento ................................................... 247 2. Perímetro ............................................................................................................................................................. 250 3. Unidade de medida de superfície ou unidade de área ..................................................... 252 • Transformações das unidades de área ............................................................................................ 255 • Medida agrária – hectare...................................................................................................................... 256 • Medida agrária – are............................................................................................................................... 256 4. Área de retângulos ....................................................................................................................................... 259 • Área do quadrado ................................................................................................................................... 259 Tratamento da informação – Calcular média aritmética ............................................................... 262 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 264

UNIDADE 14 – MEDIDAS DE TEMPO, MASSA, CAPACIDADE E VOLUME 1. Unidade de medida de tempo .............................................................................................................. 266 2. Unidade de medida de massa .............................................................................................................. 268

• Transformações das unidades de medida de massa .................................................................. 269 3. Unidade de medida de capacidade .................................................................................................. 272 • Transformações das unidades de medida de capacidade ....................................................... 272 4. Paralelepípedos retângulos ou blocos retangulares ........................................................ 275 • Elementos dos paralelepípedos retângulos .................................................................................. 275 5. Volume dos paralelepípedos ................................................................................................................ 276 6. Unidade de medida de volume ........................................................................................................... 279

• Transformações das unidades de medida de volume ............................................................... 280 Tratamento da informação – Estimar ...................................................................................................... 284 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 286 Compreender um texto – Consumo de água em uma casa ........................................................... 288 Problemas para resolver ................................................................................................................................ 291 9

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Parte

6

Medidas e Geometria

Corpo humano

V

ocê conhece bem o seu corpo? Já parou para pensar nas importantes funções que ele desempenha? Nosso corpo é como uma máquina formada por diversas partes que trabalham juntas para realizar todas as funções, desde as mais básicas, como respirar ou transformar os alimentos em energia, até outras mais complexas, como reunir forças para combater vírus e bactérias causadores de doenças. O conhecimento sobre o corpo humano não está esgotado, por isso os cientistas não param de estudá-lo. Conheça agora algumas curiosidades desse complexo sistema.

Sistema respiratório A cada inspiração inala-se cerca de 0,5 litro de ar; durante atividades físicas, quando o organismo precisa de mais oxigênio, a quantidade de ar pode chegar a 3,5 litros.

Você aprenderá nesta parte: Medidas

Geometria

Unidade de medida de comprimento UNIDADE 13

Perímetro UNIDADE 13

Unidade de medida de superfície ou área UNIDADE 13

Área UNIDADE 13

Sistema urinário Os rins filtram o sangue sem parar; diariamente são filtrados, em média, 180 litros de sangue, produzindo cerca de 1,5 litro de urina.

Unidade de medida de tempo UNIDADE 14 Unidade de medida de massa UNIDADE 14 Unidade de medida de capacidade UNIDADE 14 Unidade de medida de volume UNIDADE 14

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Blocos retangulares UNIDADE 14

Cérebro O cérebro tem cerca de 100 bilhões de neurônios e em média 1 quilograma de massa.


Sistema cardiovascular O coração é o órgão responsável por bombear continuamente os cerca de 5 litros de sangue que uma pessoa tem. A frequência dos batimentos cardíacos, para uma pessoa em repouso, varia de 60 a 80 batimentos por minuto.

Pele A pele é o maior órgão do corpo humano; se a pele do corpo inteiro fosse esticada, ela cobriria uma superfície de aproximadamente 2 metros quadrados.

Sistema digestório O canal alimentar tem cerca de 9 metros de extensão. Uma refeição completa pode levar até 24 horas para percorrer esse trajeto e ser totalmente digerida.

Músculos Cerca de 40% a 50% da massa corpórea é constituída de músculos.

Para começar... Responda em seu caderno.

Ossos Um adulto tem 206 ossos. O osso mais longo é o fêmur, localizado na coxa, e o menor é o estribo, que mede cerca de 3 milímetros, e fica dentro do ouvido.

1 Nesta abertura, fala-se em di– versas grandezas: massa, capacidade, comprimento, tempo e área. Que unidades de medida relacionam-se a cada uma dessas grandezas? 2 Alguma dessas unidades de medida é um múltiplo ou submúltiplo de outra unidade? Qual? 3 Quantas vezes, em média, bate o coração de uma pessoa em repouso no período de uma hora?

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13

A formiga de cabeça vermelha, de origem africana, mede de 2,8 a 4 milímetros.

A Terceira Ponte, que liga Vitória a Vila Velha (ES), mede 3,339 km e é uma das mais longas do Brasil.

A distância do planeta Netuno ao Sol é cerca de 30,06 unidades astronômicas de comprimento.

Medidas de comprimento e área 1. Unidade de medida de comprimento A necessidade de medir acompanha a história do ser humano, e esteve presente desde a origem das mais antigas civilizações. Por muito tempo, os sistemas de medida variavam de região para região, dificultando as negociações entre os diferentes povos. Além da ausência de uniformidade, havia o problema da imprecisão das unidades de medida, já que a maioria delas era baseada em partes do corpo humano, como o pé ou o cúbito (medida da distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio). Com a intensificação da comunicação e do intercâmbio comercial entre os povos, tornou-se urgente a padronização de medidas, isto é, a adoção de um sistema de pesos e medidas universal, o que culminou na criação do Sistema Internacional de Unidades (SI). Assim, as unidades de medidas passaram a ser estabelecidas pelo Sistema Internacional de Unidades, que adota o metro como unidade-padrão para medir comprimentos. O metro não é, porém, uma unidade de medida adequada a determinadas situações, como, por exemplo, para medir a distância entre duas cidades ou o comprimento de uma formiga. Para esses casos, foram criados os múltiplos do metro (unidades maiores que o metro) e os submúltiplos (unidades menores que o metro). Assim, o submúltiplo adequado para medir o comprimento de uma formiga é o milímetro (1 milímetro equivale a 0,001 metro) e o múltiplo adequado para medir a distância entre duas cidades é o quilômetro (1 quilômetro equivale a 1.000 metros). Existem casos em que as distâncias são ainda maiores, e o quilômetro também não é uma unidade de medida adequada, como na medição de distâncias entre planetas e estrelas. Nesse caso, é usada uma unidade de medida baseada na distância da Terra ao Sol, chamada unidade astronômica (1 unidade astronômica, ou 1 UA, equivale a 150.000.000.000 de metros). Para seres ou objetos microscópicos, ou seja, elementos que podemos ver somente com o auxílio de um microscópio, as medidas são muito pequenas. Para esses casos, existem outros submúltiplos do metro, como o micrômetro (1 micrômetro, ou 1 µm, equivale a 0,000001 metro) e o nanômetro (1 nanômetro, ou 1nm, equivale a 0,000000001 metro). Para se ter uma ideia de quão pequenas são essas medidas, a espessura de um fio de cabelo é de aproximadamente 50 micrômetros ou 50.000 nanômetros.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Unidade

Os ácaros são visíveis apenas ao microscópio, e seu tamanho varia entre 140 e 170 micrômetros.

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Múltiplos e submúltiplos do metro

A distância entre Maceió e Salvador é 605 quilômetros.

Como vimos, o metro é a unidade-padrão de medida de comprimentos. Ele é adequado para medir, por exemplo, a altura de uma pessoa, a altura de um prédio ou o comprimento de uma sala. Vimos também que há situações às quais essa unidade não é adequada, e que por isso existem outras unidades de medida. As mais usadas são o quilômetro, o centímetro e o milímetro.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Múltiplos Para medir grandes comprimentos, recorremos aos múltiplos do metro: o decâmetro, o hectômetro e o quilômetro. Veja as relações desses múltiplos com o metro: 1 decâmetro 5 (10 8 1) metro 5 10 metros 1 hectômetro 5 (100 8 1) metro 5 100 metros 1 quilômetro 5 (1.000 8 1) metro 5 1.000 metros • Submúltiplos Para medir pequenos comprimentos, usamos os submúltiplos do metro: o decímetro, o centímetro e o milímetro. Veja as relações desses submúltiplos com o metro:

@  @  @ 

#

1 decímetro 5 ​ ___ ​  1  ​ 8 1  ​metro 5 0,1 metro 10 1 centímetro 5 ​ ____ ​  1   ​ 8 1  ​metro 5 0,01 metro 100 1 milímetro 5 ​ _____ ​  1   ​ 8 1  ​metro 5 0,001 metro 1.000

Este caderno tem 28 centímetros de comprimento.

#

#

Leia com atenção o quadro abaixo, que apresenta as unidades, o símbolo e a relação de cada múltiplo e submúltiplo com o metro. Múltiplos

Unidade-padrão

Submúltiplos

Unidade

quilômetro

hectômetro

decâmetro

metro

decímetro

centímetro

milímetro

Símbolo

km

hm

dam

m

dm

cm

mm

1.000 m

100 m

10 m

1m

0,1 m

0,01 m

0,001 m

Relação com o metro

ATIVIDADES CC Vamos praticar

1 Escreva a unidade de medida mais adequada para medir:

a) o comprimento de uma mangueira de jardim; b) a altura de um cachorro; c) a espessura de um caderno; d) a distância entre Salvador e Manaus; e) sua altura; f) a espessura de uma moeda.

2 Escreva, em cada item, a medida correspondente em metro. a) 2 km b) 5 km c) 0,37 km

d) 3 hm e) 0,42 hm f) 4 dam

3 Expresse as medidas em metro. a) 2 dm b) 6 dm c) 35 cm

d) 8 cm e) 31 mm f) 400 mm

245


4 Corrija as afirmações abaixo em seu caderno.

8 Leia o texto e resolva as questões.

a) 2 dam equivalem a 0,2 m. b) 1 micrômetro equivale a 0,000001 mm. c) Quilômetro, hectômetro e decímetro são os submúltiplos do metro.

Ao medir o comprimento e a largura de um caderno, Maurício usou o palmo como unidade de medida. Observe como ele fez:

CC Vamos aplicar

5 Observe alguns instrumentos de medida e responda às questões.

régua trena

paquímetro

micrômetro

a) Que objetos você acha adequado medir com a régua? b) A trena da foto é um instrumento adequado para medir a largura ou o comprimento de uma casa? E para medir a distância entre Porto Alegre e São Paulo? Justifique suas respostas. c) O paquímetro e o micrômetro são instrumentos usados para pequenas medidas. Com o paquímetro, podemos medir com precisão comprimentos de no mínimo 0,1 mm, e com o micrômetro, de 0,001 mm. Com quais desses instrumentos teríamos uma medida mais exata da espessura de uma folha de papel? Justifique sua resposta.

6 Estime as medidas e verifique. Primeiro estime as medidas indicadas e depois, com auxílio de uma régua, comprove se fez uma boa estimativa. a) O comprimento de sua carteira. b) O comprimento de seu pé. c) O comprimento de um dedo da mão.

7 Expresse em metro as distâncias indicadas. a) 9 km e 8 dam d) 49 dm e 12 cm b) 18 km e 8 dam e) 235 cm e 125 mm c) 2 km, 5 hm e 7 dam f) 36 dm, 7 cm e 1 mm

246

Letícia, que tem o palmo menor que o de Maurício, também mediu o mesmo caderno. a) Ela encontrará os mesmos valores obtidos por Maurício? Justifique. b) Dê exemplos de valores que Letícia poderia ter encontrado ao usar seu palmo como unidade de medida.

9 Desenhe segmentos de reta em seu caderno con-

forme as medidas indicadas e depois responda à questão. a) 0,015 m de comprimento b) 1,5 cm de comprimento c) 15 mm de comprimento • Qual desses segmentos tem maior comprimento?

10

Leia e responda à questão. O ano-luz é uma unidade de medida de comprimento bastante útil para os astrônomos e é usada para indicar distâncias muito grandes, como a distância entre as estrelas de uma mesma galáxia ou entre galáxias distintas. Ela corresponde à distância percorrida por um raio de luz em 1 ano, que equivale a aproximadamente 9 trilhões e 500 bilhões de quilômetros.

a) As duas estrelas que formam o sistema Alpha-Centauri estão a cerca de 4 anos-luz da Terra. Qual é a distância dessas estrelas em quilômetro? b) Como ficaria a representação dessa distância com potência de base 10?

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A medida da largura do caderno é equivalente a 1 palmo de Maurício, e a medida do comprimento é equiva1 do palmo de Maurício. lente a 1 __ 3


Transformações das unidades de medida de comprimento

Em diversas situações do dia a dia, precisamos fazer transformações das unidades de medida de comprimento: transformar centímetros em quilômetros, milímetros em centímetros, decímetros em hectômetros, entre outras. Leia com atenção o esquema, que apresenta a relação entre as unidades mais usuais, ordenando-as da maior para a menor. 3 10

km

3 10

hm

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

9 10

3 10

dam 9 10

3 10

m 9 10

3 10

dm 9 10

3 10

cm 9 10

mm 9 10

Recorde Lembre-se de que, quando fazemos uma divisão por 10, obtemos o mesmo resultado que multiplicando 1  ​ . por ​ ___ 10

1  ​ da Cada unidade é 10 vezes a unidade imediatamente inferior e ​ ___ 10 unidade imediatamente superior. Portanto, para efetuar as transformações, basta fazer multiplicações ou divisões sucessivas por 10. Exemplos

• Expressar 3 hectômetros em decímetro. Montamos um esquema para ver como essas duas unidades se relacionam. Veja: 3 1.000

hm

3 10

dam

m

3 10

dm

3 10

10 8 10 8 10 5 1.000 Então, deve-se multiplicar por 1.000.

De acordo com o esquema, devemos fazer uma multiplicação por 1.000. 3 hm 5 (3 8 1.000) dm 5 3.000 dm • Expressar 100 milímetros em decâmetro. dam

9 10

m

9 10

dm

9 10

cm

9 10

mm

9 10.000

1   ​  8  ___ ​ ___ ​  1   ​  8  ___ ​  1   ​  8  ___ ​  1   ​  5  ______ ​  1   ​  10 10 10 10 10.000  ou dividir por 10.000. Então, deve-se multiplicar por  ______ ​  1   ​  10.000

De acordo com o esquema, devemos fazer uma divisão por 10.000 ou uma multiplicação por  ______ ​  1   ​  . 10.000 100 mm  5  (100 9 10.000) dam  5  ​ 100 8 ______ ​  1   ​  ​dam  5 10.000 100  ​  dam 5 0,01 dam 5 ​ ______ 10.000

@ 

#

247


Exercícios resolvidos Interpretando uma planta baixa

1. Observar a figura e resolver o problema. Esta é a planta baixa do apartamento da família Silva. Nela, cada centímetro equivale a 100 cm. Com uma régua, medir o comprimento da sala e determinar seu valor real em metro. comprimento da sala

quarto 1

cozinha banheiro

quarto 2

CCResolução

Com uma régua, verificamos que o comprimento da sala na planta é 6 cm. Como cada centímetro equivale a 100 cm, multiplicando 6 por 100, encontramos a medida real da sala em centímetro. Agora, é só fazer a transformação para representar 600 cm em metro.

Interpretando medida microscópica

2. Resolver o problema. Adriano tirou a foto de uma bactéria no seu microscópio aumentando 5.000 vezes o comprimento dela. Se, na foto, a bactéria ficou com 15 cm de comprimento, qual é seu comprimento real em micrômetro? CCResolução

Para resolver o problema, devemos descobrir inicialmente qual o comprimento real da bactéria em centímetro. Como o comprimento da bactéria foi aumentado 5.000 vezes, basta fazer a divisão de 15 por 5.000. Para expressar 0,003 cm em micrômetro, vamos completar o quadro com os submúltiplos do metro. Para isso, dividimos, algumas vezes, 1 m por 10, até chegar a 0,000001 m, que equivale a 1 µm. De acordo com o quadro, basta multiplicar 0,003 por 10.000 para resolver o problema.

248

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

lavanderia

sala


ATIVIDADES CC Vamos praticar

8 Use uma régua para resolver o problema.

1 Expresse as medidas nas unidades indicadas. a) 15 cm em m b) 5 m em cm c) 3 km em m

2 Reescreva as frases substituindo o n pela unidade

de medida adequada. a) João tem 1,76 n ou 17,6 n de altura. b) Uma régua de 30 n tem 300 n. c) A distância entre Belo Horizonte e Goiânia é 884 n ou 88.400 n. d) Carlos tem 0,18 n ou 18 n de altura.

3 Resolva o problema em seu caderno. Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Boa Vista

d) 3 hm em dm e) 70 mm em dam f) 0,1 km em cm

Toda manhã, Pedro pratica corrida. Ele costuma percorrer 130 hm, mas hoje só conseguiu correr __ ​ 3 ​  dessa 4 distância. Quantos metros Pedro percorreu hoje?

4 Resolva. Para pescar, Jair percorre 8 quilômetros de carro, 700 metros a pé e 2,5 quilômetros de barco. Qual é a distância total, em metro, percorrida por Jair para ir à pescaria? CC Vamos aplicar

OCEANO ATLÂNTICO

AP Macapá

RR

Belém

AM

AC

Rio Branco

São Luís Fortaleza

Manaus

MA

PA

Porto Velho

RO

PI

TO Palmas

MT Cuiabá

Brasília DF

Goiânia

GO

MS Campo Grande

CE RN Natal João PB Pessoa Recife PE AL Maceió SE

Teresina

Aracaju

BA

Salvador

MG

Belo Horizonte

ES

Vitória

SP

São Paulo

RJ Rio de Janeiro

PR

Curitiba

SC RS

Florianópolis

Porto Alegre

710 km

A escala desse mapa (no canto inferior esquerdo) indica que cada centímetro equivale a 710 km. Com a ajuda de uma régua, encontre a distância em linha reta entre as capitais relacionadas, na unidade de medida que se pede. a) Entre Rio de Janeiro e Campo Grande, em quilômetro. b) Entre Florianópolis e Rio Branco, em metro. c) Entre Fortaleza e Palmas, em hectômetro.

9 Observe a foto de uma alga, obtida por meio de 5

Resolva calculando mentalmente.

um microscópio eletrônico, e responda.

Para instalar o telefone de sua casa, Lúcio comprou 10 metros e 50 centímetros de fio. Se o metro desse fio custou R$ 1,20, quanto Lúcio gastou nessa instalação?

6 Resolva o problema no seu caderno. O trajeto da casa de Maria até a escola tem aproximadamente 720 metros. Ela costuma ir a pé. Se cada passo de Maria mede 45 cm, quantos passos ela dá para ir de sua casa à escola?

7 Responda à questão. Se um carro mede cerca de 4 metros, quantos carros, aproximadamente, há em 6 km de congestionamento de uma rodovia com 3 pistas?

Na foto, a alga foi aumentada 100 vezes. Com a ajuda de uma régua, meça o comprimento da alga (indicado pelo fio branco) e determine sua medida real em micrômetro.

10 Responda às questões. a) A distância média de Marte ao Sol é 1,53 unidade astronômica. A quantos metros aproximadamente equivale essa distância? b) De Saturno ao Sol há aproximadamente 9,36 unidades astronômicas. A quantos quilômetros equivale essa distância?

249


2. Perímetro Leonardo cercará seu terreno com arame farpado. Para calcular de quantos metros de arame precisará, Leonardo fez uma adição das medidas dos lados do terreno. Veja como: 8,5 m

m

8,5

m

11,5 m

8,5

13 m

8,5 m 1 8,5 m 1 8,5 m 1 11,5 m 1 13 m 5 50 m Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Portanto, Leonardo precisará de 50 metros de arame farpado para cercar seu terreno. Ao adicionar as medidas dos lados do terreno, Leonardo calculou o perímetro do terreno.

dm

A soma das medidas de todos os lados de um polígono chama-se perímetro.

0,5 cm

1,5

2,5 cm

2 dm

m 1d

1,5 dm

0,5 cm 2,5 cm

2 dm 0,5 cm 1 2,5 cm 1 0,5 cm 1 2,5 cm 5 6 cm perímetro: 6 cm

1 dm 1 1,5 dm 1 2 dm 1 1,5 dm 1 2 dm 5 8 dm perímetro: 8 dm

Exemplos

Como determinar o perímetro de uma figura se a unidade de medida não é a mesma para todos os lados? 0,2

2c

dm

m

3 cm

Primeiro, passamos todas as medidas para uma mesma unidade: 0,2 dm 5 (0,2 8 10) cm 5 2 cm Depois, adicionamos as medidas dos lados: 2 cm 1 2 cm 1 3 cm 5 7 cm perímetro: 7 cm 250

Observação Para calcular o perímetro de um polígono, devemos usar a mesma unidade de medida para todos os seus lados.


Atividades

ATIVIDADES CC Vamos praticar

CC Vamos aplicar

1 Determine o perímetro das figuras adotando como

5 Resolva o problema.

unidade de medida o segmento u dado. a) u

b)

Jonas tem um terreno de formato retangular com lados medindo 10 m e 15 m. Ele pretende cercar seu terreno com 4 voltas completas de arame farpado. a) Quantos metros de arame Jonas deverá comprar para cercar todo o terreno? b) Se cada metro de arame custa R$ 3,50, quanto Jonas gastará para comprar a quantidade necessária?

u

6 Desenhe os polígonos em seu caderno.

2 Meça os lados dos polígonos e calcule o perímetro. a)

c)

b)

d)

7 Observe a planta do quarto de Fernanda e resolva o problema em seu caderno. 6,4 m

3,8 m

3 Calcule o perímetro de:

c)

8

5m

4m

6 cm

1,9 m

Resolva. Um terreno de formato retangular tem perímetro de 48 m. Se a medida do comprimento do terreno é o triplo da largura, qual é o comprimento e a largura do terreno?

4m

4c

m

5 cm

1,5 m

Fernanda resolveu trocar o rodapé de seu quarto. Sabendo que o metro do rodapé saiu por R$ 15,50, quanto ela gastou? (Não se esqueça de desconsiderar o espaço para a porta.)

4 Calcule o perímetro dos polígonos abaixo. a)

3,8 m

porta

3m

a) um quadrado com 3 cm de medida de lado; b) um triângulo equilátero de lado com medida de 5 cm; c) um losango de lados medindo 7 cm.

m

3c

8m 5 cm

b)

3 mm

7 mm

d)

7 mm

1,5 cm 2 cm

2,1 cm

3 cm

2,4 cm 1,5 cm 3 dm

3 mm 1 dm dm

cm

0,5

1,5 dm 0,1 m

0,3 dm

9

Observe a figura e responda.

a) Reposicione os quadradinhos da figura acima para formar um novo retângulo, de tal maneira que ele tenha o maior perímetro possível. b) E como ficaria para ter o menor perímetro?

55

3,5 cm

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) Um quadrado com 10 cm de perímetro. b) Um triângulo equilátero com 9 cm de perímetro. c) Um pentágono regular com 10 cm de perímetro.

8 dm

251


3. Unidade de medida de superfície ou unidade de área

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Quando queremos determinar a quantidade necessária de tinta para pintar uma parede ou a quantidade de lajotas para revestir um piso, devemos medir as respectivas superfícies, ou seja, encontrar a área da parede ou do piso. Exemplos

• Para determinar a superfície colorida na figura, elegemos como unidade de medida o . Então, vamos contar quantos cabem na superfície destacada. Contando os , temos 48 . Assim, dizemos que a área procurada é igual a 48 . • Para obter a área da parte colorida na figura abaixo, tomamos como unidade de medida o . Contando os , temos 24 . Então, a área dessa figura é igual a 24 . No Sistema Internacional de Unidades, o metro quadrado (m2) é a unidade-padrão de medida para superfícies. O metro quadrado corresponde ao quadrado com lados medindo 1 m. Assim como acontece com as unidades de medida de comprimento, há os múltiplos e os submúltiplos do metro quadrado. No quadro abaixo, constam essas unidades, o símbolo e a relação de cada múltiplo e submúltiplo com o metro quadrado.

Unidade

quilômetro quadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado

Símbolo

km2

hm2

dam2

Unidade-padrão metro quadrado m2

1.000.000 m2

10.000 m2

100 m2

1 m2

Múltiplos

Relação com o metro quadrado

1m

1m Em 1 metro quadrado (1 m2), cabem aproximadamente quatro pessoas em pé. Essa é a relação que o Corpo de Bombeiros usa para estimar a quantidade de pessoas presentes em uma grande aglomeração.

Submúltiplos decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado

dm2

cm2

mm2

0,01 m2

0,0001 m2

0,000001 m2

252

242_265_Uni13_M6.indd 252

14.04.11 09:43:35


Exercícios resolvidos Área e perímetro

1. Entre as figuras abaixo, encontrar as que têm mesma área e perímetros diferentes.

A

C

E

B

D

F

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

CCResolução

Primeiro devemos encontrar a área de cada figura. Para isso, tomamos como unidade de área o quadradinho e contamos a quantidade de quadradinhos que cobrem a superfície de cada figura. Como as figuras que têm a mesma área são A e D (6 quadradinhos) e as figuras C e E (5 quadradinhos), calculamos o perímetro dessas figuras. Para isso, consideramos como unidade de medida de comprimento o lado do quadradinho.

Composição e decomposição de figuras

2. Calcular a área da superfície verde.

Considerar que o quadrado da malha quadriculada tem 1 cm2 de área. CCResolução

Como as figuras verdes têm a mesma área, basta calcular a área de uma delas e, depois, multiplicar o valor obtido pela quantidade de figuras (8 figuras verdes vão compor a superfície). Para calcular a área de uma figura, podemos desenhá-la separadamente, destacando as partes que estão fora do quadrado. Analisando a figura, vemos que as partes destacadas se encaixam nas partes brancas, formando um quadrado. Portanto, a área de uma figura corresponde à área de um quadrado.

249B-I-M6-U13

253


ATIVIDADES CC Vamos praticar

5 Calcule a área aproximada de cada figura abaixo. (Considere que cada quadradinho da malha tem 1 cm2 de área.) a) c)

1 Calcule o perímetro (em lados de quadradinhos) e a área (em quadradinhos) de cada figura. Depois, responda às questões. A

B

C

D F

G

b) a) Quais figuras têm mesma área e perímetros diferentes? b) Quais figuras têm mesmo perímetro e áreas diferentes? c) Quais figuras têm a mesma área e o mesmo perímetro?

6 Desenhe uma malha quadriculada em seu caderno e, sobre ela, os polígonos pedidos. Para isso, considere o quadradinho da malha como unidade de área. a) Um polígono de área igual a 15 quadradinhos. b) Um polígono de área igual a 6 quadradinhos. c) Um quadrilátero com área igual a 7 quadradinhos. d) Um octógono com área igual a 4 quadradinhos.

2 Desenhe uma malha quadriculada e construa: a) dois retângulos diferentes de mesma área; b) dois retângulos diferentes de mesmo perímetro; c) duas figuras diferentes com a mesma área.

3 Escreva a unidade de medida mais adequada para medir: a) a área da cidade de Maceió; b) a área do terreno que Roberto comprou; c) a área de cada lajota que Elisângela colocou em sua casa; d) a quantidade de papel que Carolina usou para encapar seu livro de Matemática.

d)

7 Resolva o problema. Eduardo quer desenhar, em uma folha de papel quadriculado, a planta baixa de seu terreno. Ele vai considerar que cada quadradinho da folha representa 1 m2 de seu terreno. Ajude Eduardo a fazer esse desenho sabendo que o terreno é retangular, tem 40 m2 de área e 5 m de frente.

CC Vamos aplicar

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

E

4 Observe e responda.

unidade u:

unidade v:

8

Observe e responda às questões. B

A

1 cm A

B D

a) Qual é a área da figura A? E da B? b) Que figura tem maior área? (Considere que 1 u é igual a 4 v.)

1 cm

C

a) Qual é a área do quadrado ABCD? b) Qual é a área do triângulo ACD? c) Que relação há entre a área do triângulo ACD e a do quadrado ABCD?

254

242_265_Uni13_M6.indd 254

13.04.11 13:44:57


Transformações das unidades de área

Em algumas situações, precisamos transformar uma unidade de área em outra. Para entender como essas unidades se relacionam, observe a figura, que representa 1 metro quadrado. 1 dm

Desafio 1 dm

1 dm2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1m

Note que a figura foi dividida em 100 quadradinhos com lados medindo 1 dm, ou seja, cada quadradinho tem 1 dm2 de área. Portanto: 1 m2 5 (100 8 1) dm2 5 100 dm2

Quantas pastilhas de 1 cm2 cabem numa parede de 1 m2?

1m

Seguindo o mesmo raciocínio para os outros múltiplos e submúltiplos, concluímos que cada unidade é 100 vezes a unidade imediata1 da unidade imediatamente superior. Portanto, mente inferior e ____ 100 para efetuar as transformações, basta fazer multiplicações ou divisões sucessivas por 100. Veja o esquema com essas relações. 3 100

km2

3 100

hm2 9 100

3 100

dam2 9 100

3 100

m2 9 100

3 100

dm2 9 100

3 100

cm2

mm2 9 100

9 100

Exemplos

• Vamos expressar 5 km2 em m2. 3 1.000.000

km2 Logo:

3 100

hm2

3 100

dam2

m2

3 100

5 km2 5 (5 8 1.000.000) m2 5 5.000.000 m2

• Vamos expressar 30 mm2 em m2. m2

9 100

dm2

9 100

cm2

9 100

mm2

9 1.000.000

Logo:

@

#

30 1 30 mm2 5 (30 9 1.000.000) m2 5 30 8 ________ m2 5 0,00003 m2 m2 5 ________ 1.000.000 1.000.000 255


Para áreas rurais, são usadas algumas unidades de medida específicas, chamadas medidas agrárias. Medida agrária — hectare

Medida agrária — are

Agora, imagine outro terreno, de formato quadrado e lados medindo 1 dam.

Imagine um terreno de formato quadrado e lados medindo 1 hm. 1 dam

1 dam

Esse terreno tem área igual a 1 dam2, que corresponde a um are, que indicamos por a.

1 hm

1 hm

Um terreno com essas medidas tem área igual a 1 hm2, que corresponde a um hectare, que indicamos por ha.

Há ainda outras unidades de medidas agrárias, usadas em algumas regiões do Brasil: • o alqueire paulista, que é equivalente a uma área de 24.200 m2; • o alqueire mineiro ou alqueire goiano, que é equivalente a uma área de 48.400 m2; • o alqueire do Norte ou alqueire baiano, que é equivalente a uma área de 27.225 m2.

Exercícios resolvidos Porcentagem de um terreno

1. Resolver o problema. Joaquim comprou um terreno de 4,2 dam2 de área. Ele pretende construir uma casa com 150 m2 e um jardim que ocupe 10% da área do terreno. Quantos metros quadrados do terreno serão ocupados pela casa e pelo jardim? CCResolução

Para resolver o problema, devemos descobrir qual será a área ocupada pelo jardim em metro quadrado. Para isso, representamos a área total do terreno em metro quadrado. Agora, é só calcular quanto é 10% de 420 m2 e adicionar o valor encontrado com a área que será ocupada pela casa.

256

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observação


Medidas agrárias

2. Ler e resolver o problema. Sofia comprou um sítio de 3 ha. Ela pagou R$ 10,00 por metro quadrado. Quanto Sofia pagou pelo sítio? CCResolução

Primeiro representamos 3 hectares em metro quadrado.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Depois, multiplicamos o valor pago por 1 metro quadrado pelo valor da área total do sítio em metro quadrado.

ATIVIDADES CC Vamos praticar

4 Escreva a unidade de medida adequada a cada

1 Faça as seguintes transformações: 2

2

a) 600 km em m b) 600 cm2 em m2 c) 0,0052 hm2 em cm2

2

2

d) 0,08 dam em mm e) 105 m2 em km2 f) 0,102 m2 em cm2

2 Dê o resultado das operações em metro quadrado. a) b) c) d)

1,53 mm2 1 0,15 km2 15 m2  315 dm2 1.510 cm2 1 0,21 dam2 0,25 hm2 1 41.000 mm2

caso. a) 0,064 dm2 é equivalente a 6,4 n. b) 150.000 m2 é equivalente a 15 n. c) 2,36 m2 é equivalente a 2.360.000 n. d) 0,05802 km2 é equivalente a 580,2 n.

5 Leia e resolva o problema.

3 Resolva o problema. Sergipe, o menor estado brasileiro, tem área de 21.962,1 km2. Qual é a área do estado de Sergipe em hectômetro quadrado? E em hectare? Mariana resolveu trocar o piso de seu quarto. Para isso, comprou lajotas de 900 cm2 de área. Quantas lajotas são necessárias para cobrir a superfície do piso considerando que o quarto tem 9 m2 de área?

6 Responda. Aracaju, capital de Sergipe.

O sítio de Artur tem 2 alqueires mineiros e o de Rafaela tem 4 alqueires paulistas. Quem tem o sítio de maior área?

257


CC Vamos aplicar

12 Resolva.

7 Resolva o problema em seu caderno. Josias comprou um terreno de 5 alqueires mineiros e pretende dividi-lo em 10 lotes de mesma área. Quantos metros quadrados terá cada lote?

a) O que é maior: um terreno de 25.000 ha ou um de 12 km2? b) O que é menor: uma área de 1,56 m2 ou uma de 15.500 cm2?

13 Observe os anúncios e responda às questões em seu caderno.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

8 Responda às questões no caderno.

Comprei um sítio de 12 ha de área. Vou destinar 20% dessa área para a plantação de árvores frutíferas e 25% para a plantação de legumes e hortaliças. Quantos metros quadrados serão destinados para plantação?

9 Resolva o problema.

Numa área de 5 ares, Leandro fará plantações de milho e de feijão. Se a plantação de milho ocupar 30% da área, qual será a área, em metro quadrado, ocupada pela plantação de feijão?

10 Resolva. Alberto tem um terreno cuja área é 75 hm2. Ele vendeu 2.500 m2 do terreno, fez uma construção de 1.500 m2, e o restante da área reservou para fazer plantações de milho e de feijão. a) Quantos metros quadrados Alberto deixou para as plantações? b) Qual será a área ocupada pela plantação de feijão, sabendo que a área ocupada pela plantação de milho será o triplo dessa área?

11 Responda. Melina tem um terreno de 950 metros quadrados. Ela já plantou 0,5 are de alface, 150 metros quadrados de tomate e, no restante, plantou batata. Quantos metros quadrados ela plantou de batata?

258

a) Qual é o valor de cada fazenda? b) Qual das três fazendas tem maior área em metro quadrado? c) Diego observou os três anúncios e concluiu que a fazenda do 1o anúncio seria a melhor opção de compra, pois tem maior área e valor mais baixo. Diego está correto?


4. Área de retângulos Vamos encontrar a área do retângulo ABCD, tomando como unidade de medida de área um quadradinho de 1 cm2. 4 cm

A

B

1 cm 1 cm2

2 cm

D

1 cm

C

Quantos quadradinhos de área igual a 1 cm2 cabem no retângulo ABCD? A

1 cm

B

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1 cm

largura ou altura do retângulo

Cabem 8 quadradinhos de 1 cm2 de área, ou seja, a área do retângulo é 8 cm2.

D C comprimento ou base do retângulo

Observe que:

Exemplo Qual é a área do retângulo ABCD?

8 cm 5 4 cm 8 2 cm

medida da base do retângulo

6 cm

A

2

B 2,5 cm

medida da altura do retângulo

Para determinar a área do retângulo acima, multiplicamos a medida da base pela medida da altura do retângulo. Na prática, usamos esse procedimento para determinar a área de qualquer retângulo.

C

D

Área 5 b 8 a Área 5 6 cm 8 2,5 cm Área 5 15 cm2

A área de um retângulo é dada por: Área 5 b 8 a medida da base

medida da altura

Área do quadrado

Já vimos que o quadrado é um caso particular de retângulo, cujos lados têm mesma medida. Vamos então encontrar a área do quadrado ABCD, de lado medindo 2 cm. A

2 cm

B

Área 5 2 cm 8 2 cm 5 4 cm

2

2 cm

medida do lado do quadrado D

medida do lado do quadrado

Observação Para calcular a medida do lado do quadrado de área igual a 4 cm2, fazemos:

L

C

A área de um quadrado é dada por: Área 5 L2 Área 5 L 8 L ou medida do lado

Área 5 L2 5 4 cm2

L ​dX 4 ​ X 5 2 medida do lado ao quadrado

L 5 2 cm O lado do quadrado mede 2 cm.

259


Exercícios resolvidos Área de região retangular

1. Resolver o problema. Luana irá cobrir o chão de sua sala com lajotas que têm 400 cm2 de área. A sala tem formato retangular, com 2 m de comprimento e 4 m de largura. Quantas lajotas, aproximadamente, serão necessárias para cobrir todo o chão da sala? CCResolução

Como a unidade de medida de área da lajota é centímetro quadrado, vamos transformar a unidade de área da sala em centímetro quadrado.

Agora, para saber quantas lajotas serão necessárias, basta fazer a divisão: 80.000 9 400

Desenho de quadrilátero

2. Desenhar um retângulo de área igual a 2 cm2, com um dos lados medindo 2 cm.

CCResolução

Para desenhar o retângulo, precisamos saber qual é a medida de seus lados. Sabemos que a área do retângulo é dada pela multiplicação entre essas medidas. Então, devemos descobrir qual é o outro número que, ao ser multiplicado por 2, resulta em 2. Para isso, vamos testar alguns valores.

260

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Primeiro, devemos calcular a área da sala. Como a sala tem formato retangular, para calcular sua área fazemos: 2 m 8 4 m


ATIVIDADES CC Vamos praticar

5 Resolva o problema em seu caderno. Uma casa será coberta com telhas francesas. O telhado terá duas caídas de formato retangular, como mostra a figura.

1 Com uma régua, meça os lados dos retângulos e calcule o perímetro e a área de cada um.

20 m

A

4m

• Quantas telhas serão necessárias levando em conta que em cada metro quadrado cabem 20 telhas?

B

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

6 Resolva o problema em seu caderno. (Se necessá-

rio, faça um esquema que represente a situação.) O chão do quintal da casa de praia de Mário será coberto por ladrilhos de formato hexagonal. Cada ladrilho tem 300 cm2, e o quintal é retangular, com 6 m de comprimento e 3 m de largura. Quantos ladrilhos, aproximadamente, serão necessários para cobrir o chão do quintal?

C

a) Qual retângulo tem maior área? É o retângulo que tem maior perímetro? b) Qual retângulo tem menor área? É o retângulo que tem menor perímetro?

2 Resolva o problema. Guilherme comprou um terreno de formato retangular com lados medindo 15 m e 20 m. Qual é a área do terreno de Guilherme?

3 Desenhe os quadriláteros em seu caderno. a) Um quadrado de área igual a 9 cm2. b) Um retângulo cuja área seja 18 cm2 e que tenha um dos lados medindo 6 cm. c) Um retângulo de área igual a 3 cm2.

7

Calcule a área de cada figura.

CC Vamos aplicar

4 Observe e responda.

1 cm

A medida do lado do quadrado maior é o dobro da medida do lado do quadrado menor.

3 cm 5 cm

1 cm

Comparando os quadrados, podemos afirmar que: a) o perímetro do quadrado maior também é o dobro? b) a área do quadrado maior também é o dobro?

2 cm

3 cm

• Explique como você fez para encontrar cada uma dessas áreas.

261


Tratamento da informação Calcular média aritmética 1 Leia e resolva o problema em seu caderno. Renato e Iara estão fazendo um curso de informática. Para serem aprovados, a média aritmética das notas de cada um deve ser, no mínimo, igual a 7. As notas das provas de Renato foram 7; 4,5 e 9,5. E as de Iara foram 7,5; 5,5 e 9,5. Veja como Renato procedeu para calcular a média aritmética de suas notas:

Para calcular a média aritmética de suas notas, Renato inicialmente adicionou as notas das três provas.

notas de Renato

Depois, ele dividiu a soma de suas notas pela quantidade de provas, encontrando a média aritmética.

soma das notas de Renato

21 Média aritmética: ___ 3

total de provas

Média aritmética: • Complete o cálculo de Renato e descubra se ele foi aprovado no curso. Depois, calcule a média aritmética das notas de Iara e descubra se ela foi aprovada.

2 Observe o quadro com as idades dos alunos e responda à questão. Débora dá aulas de sapateado para os alunos da Escola Juventude. Veja a idade de seus alunos:

Camila 15 anos

Joana 11 anos

Fernando 12 anos

Ana 9 anos

Fabiano 13 anos

Júlio 10 anos

Renata 13 anos

Não se esqueça de que, para calcular a média das idades, você deverá adicionar as idades de todos os alunos e depois dividir o resultado pela quantidade de alunos.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

7  4,5  9,5  21

Felipe 11 anos

• Qual é a média aritmética das idades dos alunos de Débora?

3 Resolva o problema em seu caderno. Uma estação meteorológica localizada na cidade de Jabutis coleta dados sobre as temperaturas registradas na cidade. Observe os dados coletados no dia 15 de fevereiro: Temperaturas em 15 de fevereiro na Cidade de Jabutis Horário

0 hora

6 horas

12 horas

18 horas

Temperatura registrada

25 °C

24 °C

30 °C

29 °C

Dados obtidos pela estação meteorológica de Jabutis.

• Qual foi a temperatura média (média aritmética das temperaturas), nesse dia, na cidade de Jabutis? 262

242_265_Uni13_M6.indd 262

13.04.11 13:45:16


4 Leia a notícia publicada na edição online do jornal Zero Hora no dia 2 de fevereiro de 2010 e substitua o quadradinho pela média de gols por jogo.

Dos 40 jogos disputados até agora pelo Campeonato Gaúcho, nenhum terminou empatadado sem gols. Os 18 times já marcaram 138 vezes gols por jogo. e a média é de

5 A tabela abaixo mostra a quantidade de lanches vendidos na lan-

chonete Tudo de Bom durante três meses. Interprete-a e responda à questão. Quantidade de lanches vendidos no trimestre Abril

Maio

Junho

Lanche natural

563

555

559

Hambúrguer

851

886

861

Cachorro-quente

815

799

804

Para resolver o problema, você deverá calcular a média aritmética de todos os tipos de lanches vendidos em cada mês.

Dados obtidos pela lanchonete Tudo de Bom. Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Em média, quantos lanches foram vendidos por mês?

6 Analise as informações para responder à questão. O jornal Diário publicou o quadro abaixo, referente ao resultado dos jogos de uma rodada de um campeonato de futebol entre bairros. Os Bons

032

Vai-que-vai

Os Goleadores

331

Dragões

Grandes Irmãos

232

Tornado

Furacões

432

Os Artilheiros

Para verificar se a manchete do jornal está correta, você deverá calcular a média de gols por partida.

A manchete do mesmo jornal trazia a notícia ao lado sobre a média de gols (média aritmética de gols por partida) da rodada. • A manchete do jornal está correta? Justifique.

7 Interprete o pictograma para responder às questões.

Para calcular a média aritmética da quantidade de bicicletas vendidas, você deverá primeiro encontrar o total de bicicletas vendidas nos 6 meses.

QUANTIDADE DE BICICLETAS VENDIDAS

julho

agosto

setembro

outubro

novembro

dezembro

equivale a 5 bicicletas. Dados obtidos pela loja A Magrela.

a) Qual foi a média aritmética da quantidade de bicicletas vendidas por mês? b) Em quais meses as vendas estiveram acima da média? 263


Atividades integradas 1 Escreva a unidade de medida mais adequada para medir: a) o comprimento de um alfinete; b) a espessura de um fio de cabelo; c) a distância entre dois planetas; d) a altura de um edifício de 10 andares.

5 Resolva o problema em seu caderno. A distância de Júpiter ao Sol é aproximadamente 5,2 unidades astronômicas.

2 Responda à questão em seu caderno. A torre Eiffel, localizada em Paris, tem 320 m de altura. Qual é a altura da torre em centímetro? a) Qual é a distância aproximada, em quilômetro, entre Júpiter e o Sol? b) Escreva essa distância usando potência de base 10. a)

c)

5m

5m 4m

0,5 dam

b)

d) 2,5 m

Chegada

terreno 9h

m

Partida

0,5 m

0,0

4m 180 dm

C

1 dm 1 dm 1,5 dm 0,5 dm 0,5 dm

1m 1,5 dm

7 Escreva o perímetro da figura em centímetro. 15 dm

m

4 Responda.

5m

0,8

a) Qual caminho é mais curto? b) Qual é a diferença entre os comprimentos desses caminhos, em centímetro?

4m 5m

69 cm

D

5m 6m

2 dm

A 6m

B

190 dm

5m

5m

6,5 cm

1,5 m

Dois garotos disputam uma corrida ao redor de um terreno. João parte em direção ao ponto A, passando pelo ponto B até a chegada. Pedro parte em direção ao ponto D, passando por C até a chegada.

2 cm

3 Resolva o problema em seu caderno.

6m

5m

2.117 mm

8 Responda às questões. a) Qual é a medida do lado de um quadrado que tem perímetro igual a 24 cm? b) Quanto mede o lado de um losango que tem 36 cm de perímetro? c) Qual é a medida do lado de um triângulo equilátero que tem perímetro igual a 27 cm? Bactérias vistas ao microscópio eletrônico.

O tamanho de algumas bactérias varia entre 0,3 µm e 10 µm. Como podemos representar essas medidas em milímetro? 264

9 Resolva o problema. Gilberto irá cercar todo o seu terreno com 2 voltas de arame farpado. O terreno tem 2 dam de comprimento e 5 dam de largura. Quantos metros de arame farpado ele precisará comprar?

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

6 Determine o perímetro dos polígonos.


2

quadradinho tem 1 cm de área. a)

c)

14 Observe a planta de uma casa retangular e responda às questões.

banheiro

10 Calcule a área das figuras considerando que cada

1,6 m 100 cm 1,9 m

b)

quarto

sala

9m

d)

quarto 45 dm

garagem cozinha 45 dm

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

11 Estime o número de pessoas.

350 cm

40 dm

a) Qual é a medida do comprimento das paredes da garagem, em metro? b) Qual é a medida da largura da porta da sala, em metro? c) Qual é o perímetro da casa, em hectômetro? d) Qual é a área dessa casa?

15 Resolva o problema em seu caderno.

(Unicamp-SP) Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públicos considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual é a estimativa de pessoas presentes numa praça de 4.000 m2 que tenha ficado lotada para um comício, segundo essa avaliação? a) 10.000 pessoas d) 16.000 pessoas b) 12.000 pessoas e) 18.000 pessoas c) 14.000 pessoas

12 Resolva o problema em seu caderno. Uma sala retangular tem 16,65 m2 de área total. O piso dessa sala será revestido com lajotas de 900 cm2. Quantas lajotas serão necessárias? a) 165 lajotas c) 185 lajotas b) 175 lajotas d) 205 lajotas

13 Responda à questão. Uma fazenda de 16 alqueires mineiros será dividida em lotes de 3.200 m2 de área cada um. a) Quantos lotes serão obtidos com essa divisão? b) Se cada lote for vendido por R$ 100.000,00, quanto 3 desses lotes? será arrecadado com a venda de __ 4

(Unesp) O menor país do mundo em extensão é o Estado do Vaticano, com uma área de 0,4 km2. Se o território do Vaticano tivesse a forma de um quadrado, então a medida de seus lados estaria entre: a) 200 m e 201 m d) 632 m e 633 m b) 220 m e 221 m e) 802 m e 803 m c) 401 m e 402 m

16 Responda à questão. (OBM) Dois quadrados, cada um com área de 25 cm2, são colocados lado a lado para formar um retângulo. Qual é o perímetro do retângulo? a) 30 cm c) 50 cm e) 15 cm b) 25 cm d) 20 cm

17 Resolva em seu caderno. a) Quantas salas retangulares de 4 metros de comprimento e 5 metros de largura são necessárias para formar 1 are? b) A área correspondente a 1 alqueire paulista é equivalente a área de quantos hectares? 265


Unidade

14

Medidas de tempo, massa, capacidade e volume Antônia está treinando para participar do campeonato estadual de triatlo. No último treino, ela conseguiu o tempo de 18 minutos e 37 segundos na natação, 34 minutos e 59 segundos no ciclismo e 1 hora e 59 segundos na corrida. Qual foi o tempo total de Antônia no treino? O segundo (s), o minuto (min) e a hora (h) são unidades de medida de tempo. O segundo é a unidade-padrão, mas, dependendo da situação, usamos as outras unidades. Sabemos que: 1 hora 5 60 minutos 1 minuto 5 60 segundos Veja o esquema com as relações entre essas unidades de medida de tempo: 3 3.600 3 60

h

3 60

min 9 60

s 9 60

9 3.600

Podemos aplicar essas relações para responder à questão acima. Inicialmente, adicionamos os tempos obtidos por Antônia em cada modalidade. Triatlo é uma competição composta de três modalidades esportivas. O triatlo moderno, que surgiu na década de 1970, inclui natação, ciclismo e corrida, nessa ordem e sem interrupções. O percurso do triatlo olímpico compreende 1,5 km de natação, 40 km de ciclismo e 10 km de corrida.

Exemplo Transformando: • 5 horas em minuto 5 8 60 5 300 Portanto, 5 h 5 300 min. • 5.400 segundos em hora 5.400 9 3.600 5 1,5 Portanto, 5.400 s 5 1,5 h.

266

Natação: Ciclismo: Corrida: Tempo total:

0 hora 0 hora 1 hora 1 hora

 18 minutos  37 segundos  34 minutos  59 segundos  0 minuto  59 segundos  52 minutos  155 segundos

Como 60 segundos correspondem a 1 minuto, vamos transformar 155 segundos em minuto, calculando quantos minutos cabem em 155 segundos: 155 60 35 2 segundos

minutos

Portanto, em 155 segundos há 2 minutos e 35 segundos. Depois, adicionamos os tempos em minutos: 52 minutos  2 minutos 5 54 minutos Logo, o tempo total de Antônia no treino foi 1 hora, 54 minutos e 35 segundos ou 1 h 54 min 35 s.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1. Unidade de medida de tempo


ATIVIDADES CC Vamos praticar

6 Calcule o desperdício.

1 Faça as transformações. a) 4 h 30 min em segundo b) 75 min em hora e minuto c) 1 h 25 min 15 s em segundo d) 850 s em minuto e segundo e) 10.983 s em hora, minuto e segundo f) 12.542 s em hora, minuto e segundo g) 20.000 s em hora, minuto e segundo

Acionando a válvula de descarga por 6 segundos, gastam-se 10 litros de água. No banheiro de Rafael, a válvula de descarga quebrou e ficou acionada por 3 minutos, até que ele fechasse o registro de água. Quantos litros de água foram desperdiçados nesse período?

7 Responda à questão. Na prática da natação, o gasto energético é de cerca de 6 quilocalorias (unidade de medida de energia) por minuto. Quantas quilocalorias são gastas por al­ guém que nada 1 hora por dia durante 1 semana?

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2 Responda. a) Quantos segundos tem 1 dia? b) Quantas horas tem 1 semana? c) Quantos dias correspondem a 192 horas? d) O coração de um adulto bate, em média, 70 vezes por minuto. Quantas vezes bate em 1 dia?

3 Resolva. Um cronômetro marca o tempo de 0 a 999 se­ gundos. Até quantos minutos po­de marcar esse cronômetro?

4 Observe o quadro e resolva a questão.

8 Resolva. Nas olimpíadas, uma das provas de ciclismo é cha­ mada “estrada contra o relógio”. Nela, os ciclistas largam um de cada vez, em intervalos de 90 segun­ dos, para percorrer uma distância de 45. 800 metros. Quem faz o menor tempo ganha a corrida. a) Se o primeiro ciclista sair às 9 h 45 min 24 s, a que horas sairão o segundo e o terceiro ciclistas? b) Associe o tempo dos três primeiros colocados ao respectivo lugar no pódio: • Fábio demorou 1 hora, 1 minuto e 57 segun­ dos para completar a prova. • César demorou 3.719 segundos. • João demorou 61 minutos e 58 segundos.

Pedro, Nélson, Oswaldo e José participaram de uma corrida. No quadro abaixo, está o tempo que cada um levou para terminar a prova. Tempo de prova Pedro

355 segundos

Nélson

5 minutos e 40 segundos

Oswaldo

5 minutos e 35 segundos

José

400 segundos

• Associe o tempo de cada um ao respectivo lugar no pódio sabendo que eles foram os quatro primeiros colocados. CC Vamos aplicar

5 Responda. No vácuo, a luz percorre cerca de 300.000 quilôme­ tros em 1 segundo. A distância da Terra ao Sol está em torno de 150.000.000 de quilômetros. Quantos minutos, aproximadamente, a luz do Sol demora para chegar à Terra?

9

Resolva o problema. Na emissora TV Piada, uma propaganda vai ao ar a cada 35 minutos. Na emissora TV Chora­ deira, a mesma propaganda vai ao ar a cada 40 minutos. Às 12 horas, a propaganda foi ao ar, ao mesmo tempo, nas duas emissoras. Qual será o próximo horário em que isso ocorrerá?

267


2. Unidade de medida de massa Eu preciso de 200 gramas de queijo e 150 gramas de presunto.

Quilograma (kg), grama (g) e miligrama (mg) são unidades de medida de massa. Segundo o SI, a unidade-padrão de medida de massa, por motivos históricos, é o quilograma. Porém, na prática, usa-se o grama como unidade de referência para formar os múltiplos e os submúltiplos. • Múltiplos Para medir grandes massas, usamos os múltiplos do grama: o deca­ grama, o hectograma e o quilograma. As relações desses múltiplos com o grama são: 1 decagrama 5 (10 ? 1) grama 5 10 gramas 1 hectograma 5 (100 ? 1) grama 5 100 gramas 1 quilograma 5 (1.000 ? 1) grama 5 1.000 gramas • Submúltiplos Para medir pequenas massas, usamos os submúltiplos do grama: o decigrama, o centigrama e o miligrama. As relações desses submúltiplos com o grama são: 1 decigrama 5 ​ ___ ​  1  ​ ? 1  ​grama 5 0,1 grama 10 1 centigrama 5 ​ ____ ​  1   ​ ? 1  ​grama 5 0,01 grama 100 1 miligrama 5 ​ _____ ​  1   ​ ? 1  ​grama 5 0,001 grama 1.000

@  @  @ 

Observação São também usuais outras unidades de medida de massa, como: • a tonelada (símbolo: t), que equivale a 1.000 kg; • a arroba (símbolo @), que equivale a aproximadamente 15 kg.

#

#

#

Veja o quadro que mostra as unidades, os símbolos e a relação de cada múltiplo e submúltiplo com o grama. Múltiplos

Submúltiplos

Unidade

quilograma

hectograma

decagrama

grama

decigrama

centigrama

miligrama

Símbolo

kg

hg

dag

g

dg

cg

mg

1.000 g

100 g

10 g

1g

0,1 g

0,01 g

0,001 g

Relação com o grama 268

Unidade de referência

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

47 quilogramas!

Numa porção de 20 gramas, há 162 miligramas de cálcio.


Transformações das unidades de medida de massa

Assim como acontece com as unidades de medida de comprimento, há situações do dia a dia em que precisamos fazer transformações das unidades de medida de massa, por exemplo, transformar grama em quilograma ou miligrama em grama. Observe, no esquema, que essas unidades se relacionam da mesma forma que as unidades de medida de comprimento. 3 10

3 10

kg

hg

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

9 10

3 10

dag 9 10

3 10

3 10

g

dg

9 10

9 10

3 10

cg

mg

9 10

9 10

Cada unidade é 10 vezes a unidade imediatamente inferior e  ___ ​  1  ​  da 10 unidade imediatamente superior. Portanto, para fazer as transformações, basta efetuar multiplicações ou divisões sucessivas por 10. Exemplos

• Expressar 3 quilogramas em grama. Observe como o quilograma e o grama se relacionam: 3 1.000

kg

3 10

hg

3 10

dag

g

3 10

Logo, devemos fazer uma multiplicação por 1.000. 3 kg 5 (3 8 1.000) g 5 3.000 g • Expressar 150.000 miligramas em hectograma. hg

9 10

dag

9 10

g

9 10

dg

9 10

cg

9 10

mg

9 100.000

De acordo com o esquema, devemos fazer uma divisão por . 100.000 ou uma multiplicação por _______ ​  1   ​  100.000 150.000  150.000 mg 5 (150.000 9 100.000) hg 5 ​ _______  ​ hg 5 1,5 hg 100.000 • Expressar 7.000 quilogramas em tonelada e 9,5 toneladas em quilograma. Como 1 tonelada equivale a 1.000 quilogramas, para expressar 7.000 quilogramas em tonelada, fazemos uma divisão por 1.000. 7.000 kg 5 (7.000 9 1.000) t 5 7 t E, para expressar 9,5 toneladas em quilograma, fazemos uma multiplicação por 1.000. 9,5 t 5 (9,5 8 1.000) kg 5 9.500 kg

O elefante africano é o maior mamífero terrestre. Ele mede entre 7 e 8 m de comprimento e 4 m de altura, e pesa cerca de 7.000 quilogramas. 269


Exercícios resolvidos Transformações das unidades de medida de massa

1. Resolver o problema. Certo automóvel vazio tem massa de 1 t. Determinar a massa to­ tal desse automóvel quando ele transporta um adulto com 71 kg, outro com 66 kg, uma criança com 12 kg e bagagens com 80 kg: a) em quilograma;

b) em tonelada.

a) Para determinar a massa total, precisamos adicionar todas as massas, que precisam estar em uma mesma unidade de medida. Para isso, representamos a massa do automóvel vazio em quilograma, e, em seguida, efetuamos a adição. b) Para responder a esse item, basta representar 1.229 kg em tonelada.

Transformações das unidades de medida de massa

2. Descobrir quanto falta na balança para que ela fique equilibrada.

60 hg

500 dag

12 kg 0,3 kg

CCResolução

Uma balança está equilibrada quando as massas dos dois pratos são iguais. Como as massas estão em unidades diferentes, vamos representá­las em uma mesma unidade, no caso em quilograma, para fazer a comparação. Em seguida, descobrimos quanto há em cada prato, adicionando as respectivas massas. Como no primeiro prato há mais massa que no segundo, devemos colocar mais massa no se­ gundo, para que a balança fique equilibrada. Para descobrir quanto colocar, basta subtrair o total de massa do segundo prato do total de massa do primeiro prato.

270

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CCResolução


ATIVIDADES CC Vamos praticar

6 Leia a explicação e responda às questões.

1 Copie as frases em seu caderno substituindo o n

O quilate é outra unidade de medida de massa, usada para medir a massa de pedras preciosas, como o diamante. Sabendo que 1 quilate é equi­ valente a 0,2 g, responda: a) O Cullinan, maior dos diamantes já encontrado, pesava 3.106 quilates quando bruto. Qual era sua massa em grama? b) O Estrela da África é a maior das pedras de dia­ mante cortadas do Cullinan e pertence à Coroa Inglesa. Ela pesa 530,20 quilates. Qual é a massa dessa pedra em grama?

pela unidade de medida adequada. a) Josué comprou 1,5 kg de batata, que é igual a 1.500 n. b) Um hipopótamo pesa aproximadamente 4,5 t, ou seja, 4.500 n. c) A ingestão de cálcio recomendada para um adulto é 1 g por dia, ou seja, 1.000 n diários.

2 Responda às questões.

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a) Quantos gramas há em 425 hg? b) Quantos quilogramas há em 235,6 t? c) Quantos quilogramas há em 124 arrobas? d) Quantas toneladas há em 20.000 g?

7 Calcule o prejuízo. A estiagem ocorrida neste mês reduziu o preço da arroba da carne bovina de R$ 72,00 para R$ 65,00. Se um produtor vendeu 2,1 toneladas de carne bovina nesse mês, qual foi seu prejuízo em relação ao que ele teria ganho se tivesse ven­ dido a mesma quantidade de carne com o preço do mês anterior?

3 Leia e responda à questão.

8 Observe as balanças e descubra a massa de cada moeda.

12 g

O musaranho-pigmeu tem apenas cerca de 5,2 cm de comprimento contando com a cauda e come, por dia, o equivalente à própria massa. Sabendo que ele tem, em média, 2 g de massa, quantos miligramas de alimento ele come diariamente? 19 g

CC Vamos aplicar

4 Resolva o problema. Um guincho suporta até 1,5 tonelada. Um veículo com massa de 16.000.000 dg está estacionado em local proibido e deve ser guinchado. O guincho suportará o veículo? Por quê?

12 g

5 Leia o texto e resolva as questões.

Uma distribuidora de materiais de construção ensaca areia em embalagens de dois tamanhos. Um tipo comporta 500 g de areia e custa R$ 1,00, e o outro comporta 1,5 kg e custa R$ 2,00. a) Se preciso comprar 12 kg de areia, quantos sacos tenho de comprar de cada tipo de embalagem? b) Observe o preço de cada saco de areia e verifique que tipo de embalagem é mais vantajoso comprar.

9

Responda à questão no caderno. Com 8 toneladas de papel, foram feitos 10.000 livros de 200 páginas cada um. Quantos gramas tem cada página do livro?

271


3. Unidade de medida de capacidade

#

@ @ @

Caixa­d’água com capacidade para 1.000 L.

1 8 1 litro 5 0,1 litro 1 decilitro 5 ___ 10 1 8 1 litro 5 0,01 litro 1 centilitro 5 ____ 100 1 8 1 litro 5 0,001 litro 1 mililitro 5 _____ 1.000

#

#

Veja o quadro a seguir, em que estão as unidades, os símbolos e a relação de cada múltiplo e submúltiplo com o litro. Múltiplos

Unidade-padrão

Submúltiplos

Unidade

quilolitro

hectolitro

decalitro

litro

decilitro

centilitro

mililitro

Símbolo

kL

hL

daL

L

dL

cL

mL

1.000 L

100 L

10 L

1L

0,1 L

0,01 L

0,001 L

Relação com o litro

Transformações das unidades de medida de capacidade

Em algumas situações, precisamos fazer transformações entre as unidades de medida de capacidade. Observe, no esquema abaixo, que essas unidades se relacionam da mesma forma que as unidades de medida de comprimento e de massa. 3 10

3 10

hL

kL 9 10

3 10

L

daL 9 10

3 10

9 10

3 10

dL 9 10

3 10

cL 9 10

Exemplos

• Expressar 2,5 litros em mililitro. 2,5 L 5 (2,5 8 1.000) mL 5 2.500 mL • Expressar 300 mililitros em litro. 300 mL 5 (300 9 1.000) L 5 0,3 L • Expressar 75 decilitros em decalitro. 75 dL 5 (75 9 100) daL 5 0,75 daL 272

Garrafa de suco com capacidade para 380 mL.

mL 9 10

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O litro (L) e o mililitro (mL) são as unidades de medida de capacidade mais usadas no dia a dia. Segundo o SI, o litro é a unidade-padrão de medida de capacidade, e dele se formam os múltiplos e os submúltiplos. • Múltiplos Os múltiplos do litro são: o decalitro, o hectolitro e o quilo­ litro. 1 decalitro 5 (10 8 1) litro 5 10 litros 1 hectolitro 5 (100 8 1) litro 5 100 litros 1 quilolitro 5 (1.000 8 1) litro 5 1.000 litros • Submúltiplos Os submúltiplos do litro são: o decilitro, o centilitro e o mililitro.


Exercícios resolvidos Transformações das unidades de medida de capacidade

1. Resolver o problema. A capacidade de uma latinha de refrigerante é 350 mL. Vítor quer comprar 30 litros de refrigerante em lata. Quantas latinhas ele deverá comprar para obter os 30 litros de refrigerante? CC Resolução Inicialmente, devemos descobrir quantos mili­ litros equivalem a 30 litros.

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Depois, é só dividir a quantidade de mililitros de refrigerante que Vítor quer comprar pela capacidade de uma latinha. Como o resultado da divisão não foi exato, ou seja, foi de aproximadamente 85,71 latinhas, Vítor deverá comprar 86 latinhas para obter os 30 litros de refrigerante.

Transformações das unidades de medida de capacidade

2. Responder à questão. Eduardo está em dúvida sobre qual embalagem de suco comprar. Ele decidiu pela embalagem do suco Quero Mais, pois considerou que o preço por litro desse suco é o mais vantajoso. Eduardo está correto?

CCResolução

Antes de tudo, é preciso expressar a capacidade das embalagens em uma mesma unidade de medida. Para isso, transformamos a unidade de medida da embalagem Quero Mais em litro. Agora, dividindo o preço de cada embalagem pela respectiva capacidade, temos o valor pago por litro. Fazendo uma comparação entre o preço por litro das duas embalagens, descobrimos que Eduardo estava enganado, pois o suco Delícia tem o menor preço por litro.

273


ATIVIDADES CC Vamos praticar

6 Responda à questão.

1 Escreva a unidade de medida de capacidade mais adequada a cada caso. a) c)

2 Responda às questões. a) A quantos litros equivalem 500 mililitros? b) A quantos quilolitros equivalem 250 litros? c) Quantos litros são necessários para obtermos 3 hectolitros?

7 Resolva o problema em seu caderno. A capacidade de um copo descartável usado em festas é de 250 mL. Quantos copos cada pessoa de­ verá tomar para que 35 pessoas, juntas, consumam no mínimo 20 litros de refrigerante?

3 Associe o recipiente à capacidade correspondente. A

D ÓLEO

B

8 Leia e resolva o problema. ÓLEO

E

ÓLEO

ÓLEO

I

0,5 kL

II

425 cL

III

225 L

Augusto está em dúvida sobre a compra de um produto, conforme ilustrado abaixo. A

C

B

IV 2 hL C

F

ÓLEO

V

ÓLEO

3.000 dL • Se Augusto precisa levar 7 litros desse produto, qual é a opção mais econômica?

VI 125 dL

CC Vamos aplicar

4 Leia o problema e responda à questão. Carla comprou 2 litros de detergente. Em uma 4  ​ desse detergente. Quantos semana, ela usou ​ __ 5 mililitros sobraram?

9

Resolva o problema. Diante de uma fonte, há dois vasos: um de 7 L e outro de 5 L.

5 Resolva o problema. Na prateleira de uma loja de tintas, havia 1 lata de 1 L, 3 latas de 500 mL e 5 latas de um quarto de litro. Quantos litros de tinta havia nessa prateleira?

274

• Como você faria para medir 4 L?

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Gotejando, uma torneira provoca desperdício de 46 litros por dia. a) Quantos decalitros são desperdiçados em uma semana? b) Quantos quilolitros são desperdiçados em um mês?

b)


4. Paralelepípedos retângulos

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

ou blocos retangulares

Já vimos que há figuras planas e não planas. Na foto, a parte destacada do Museu de Arte de São Paulo (Masp) lembra uma figura não plana chamada paralelepípedo retângulo ou bloco retangular.

São paralelepípedos retângulos.

Não são paralelepípedos retângulos.

Elementos dos paralelepípedos retângulos

Como neste livro apenas os paralelepípedos retângulos serão estudados, estabelecemos o termo paralelepípedo para denominar os paralelepípedos retângulos. Entre os elementos dos paralelepípedos, podemos destacar os vértices, as arestas e as faces. vértice face

aresta

As faces de um paralelepípedo são retângulos. Observação

O cubo é um paralelepípedo cujas faces são quadrados. Veja alguns paralelepípedos que são cubos:

275


5. Volume dos paralelepípedos

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Para determinar a quantidade de areia que está na caçamba do caminhão ou a quantidade de ar que há no balão, precisamos calcular os respectivos volumes, ou seja, medir a quantidade de espaço que a areia ocupa na caçamba e a quantidade de espaço que o ar ocupa no balão. Volume é a quantidade de espaço ocupado por um corpo. Para calcular o volume de um paralelepípedo, elegemos como unidade de medida de volume 1 formam o paralelepípedo. Observe:

Contando os

2

3

e, depois, contamos quantos

, vemos que esse

paralelepípedo é formado por 12 ou seja, seu volume é 12

2

,

.

Note que o volume desse paralelepípedo pode ser dado pela seguinte multiplicação: quantidade de

3 8 2 8 2 5 12 quantidade de

no comprimento

quantidade de

do paralelepípedo

na largura do

paralelepípedo na altura

do paralelepípedo

O volume de qualquer paralelepípedo é dado por: c

a

Observação O volume do cubo é dado por:

L

V5a8b8c

b

Nessa expressão, V representa o volume; a representa o comprimento; b, a largura e c, a altura.

L L

V 5 L 8 L 8 L5 L3

276

266_291_Uni14_M6.indd 276

14.04.11 09:44:08


Exercícios resolvidos Volume de um paralelepípedo

1. Calcular o volume do paralelepípedo.

unidade de medida de volume

CCResolução

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O paralelepípedo é formado por 5 cubinhos de comprimento, 3 cubinhos de largura e 4 cubi­ nhos de altura. Então, para calcular seu volume, fazemos: V558384 Volume de um cubo

2. Resolver o problema. Um cubo de aresta medindo 5 cm é formado por cubinhos de aresta com medida igual a 1 cm. Qual é o volume desse cubo? (Considere como unidade de medida de volume 1 cubinho de aresta medindo 1 cm.) CCResolução

Como o cubo tem aresta de medida igual a 5 cm, serão necessários 5 cubinhos de aresta de medida igual a 1 cm para completar seu compri­ mento, assim como sua largura e sua altura. Então, para calcular o volume do cubo, basta fazer: V5L3 Volume de um cubo

quina do cubo

3. Resolver o problema. Adriano quer montar um cubo maior com 64 cubinhos. Quantos cubinhos ele deverá colocar para formar a quina do cubo? CCResolução Podemos resolver o problema testando alguns valores, para descobrir quantos cubinhos for­ mam a quina desse cubo. Sabendo que no cubo as medidas do comprimento, da largura e da altura são iguais, basta descobrir um número que, elevado ao cubo, resulte em 64.

277


ATIVIDADES CC Vamos praticar

CC Vamos aplicar

1 Identifique os paralelepípedos.

6 Observe o paralelepípedo e calcule seu volume. Depois responda à questão.

2 Responda à questão. Quantas arestas, vértices e faces tem qualquer paralelepípedo?

• Quantos cubinhos formam a quina de um cubo que tem o mesmo volume que esse paralelepípedo?

3 Observe os três recipientes transparentes e res­ ponda à questão.

Um paralelepípedo de arestas medindo 5 cm, 6 cm e 7 cm é formado por cubinhos de aresta com medi­ da igual a 1 cm. Qual é o volume desse paralelepípe­ do? (Considere como unidade de medida de volume 1 cubinho de aresta medindo 1 cm.)

8 Responda à questão. Um paralelepípedo tem as seguintes dimensões:

• Sabendo que os três recipientes têm o mesmo volume, qual é o volume de cada um?

4 Calcule o volume dos paralelepípedos abaixo.

(Considere como unidade de medida de volume 1 cubinho.) a) c)

24

cm

9 cm

8 cm

• Quanto mede a aresta de um cubo que tem o mesmo volume que esse paralelepípedo?

b)

9

Encontre o volume das figuras. a)

5 Encontre os paralelepípedos que têm o mesmo volume. A

C b)

B

278

D

unidade de medida de volume

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7 Resolva o problema.


6. Unidade de medida de volume Você já deve ter ouvido no rádio, visto na televisão ou até mesmo lido no jornal que em determinado dia choveu a quantidade de milímetros de chuva esperada para o mês inteiro. Mas você já tentou descobrir como é feito o cálculo da quantidade de chuva em um período? Veja:

1m

1.000 mm 1m

1m Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1m

1m 1m

1m

Cada milímetro de chuva significa que a água acumulada em uma área de um metro quadrado, caso não escoasse, chegaria a ter 1 mm de altura.

Como 1.000 mm é o mesmo que 1 m, a água chegaria a ter 1 metro de altura.

Então, uma chuva de 1.000 mm significa que a água chegaria a ter 1.000 mm de altura.

Toda essa água que ficaria acumulada na área de 1 metro quadrado, com 1 metro de altura, ocuparia, então, o volume de 1 metro cúbico, ou seja, essa quantidade de água encheria um recipiente com o formato de um cubo de aresta medindo 1 m, como a da figura ao lado. Segundo o SI, o metro cúbico (m³) é a unidade-padrão de medida de volume. O metro cúbico corresponde ao cubo de aresta de medida igual a 1 m.

1m 1m 1m

Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico Assim como acontece com outras unidades de medida, há os múltiplos e os submúltiplos do metro cúbico. Observe as relações no quadro a seguir. Múltiplos

Unidade-padrão

Submúltiplos

Unidade

quilômetro cúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico

metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

Símbolo

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

1.000 m3

1 m3

0,001 m3

Relação com o metro cúbico

1.000.000.000 m3 1.000.000 m3

0,000001 m3 0,000000001 m3

Relação entre volume e capacidade A capacidade é um volume e pode ser medida com a unidade metro cúbico. Imagine uma pessoa enchendo de água uma caixa com forma de cubo cuja aresta mede 1 dm. Nessa caixa, cabe exatamente 1 litro de água. Então, 1 litro é igual a 1 dm3. 279


Transformações das unidades de medida de volume

Para entender como as unidades de medida de volume se relacionam, observe o cubo maior, que representa 1 metro cúbico, e sua relação com 1 decímetro cúbico.

1 dm

1 dm 1 dm 1m

10 dm

10 dm

1m 1m

Você percebe que o cubo maior é formado por 1.000 cubinhos de lados medindo 1 dm, ou seja, cada cubinho tem 1 dm³ de volume. Portanto: 1 m³ 5 (1.000 8 1) dm³ 5 1.000 dm³ A mesma relação ocorre com as outras unidades, ou seja, cada uni­dade é 1.000 vezes a unidade imediatamente inferior e _____ ​  1   ​ da unidade ime1.000 diatamente superior. Então, para fazer as transformações, basta fazer multiplicações ou divisões sucessivas por 1.000. Veja o esquema com essas relações: 3 1.000

3 1.000

hm3

km3 9 1.000

3 1.000

dam3 9 1.000

3 1.000

m3 9 1.000

3 1.000

dm3 9 1.000

3 1.000

cm3 9 1.000

mm3 9 1.000

Exemplos

• Expressar 2 metros cúbicos em centímetro cúbico. 3 1.000.000

m3

3 1.000

dm3

3 1.000

cm3

2 m3 5 (2 8 1.000.000) cm3 5 2.000.000 cm3 • Expressar 3.000 milímetros cúbicos em metro cúbico. m3

9 1.000

dm3

9 1.000

cm3

9 1.000.000.000

3.000 mm³ 5 (3.000 9 1.000.000.000) m³ 5 3.000   5 ____________ ​     ​m³ 5 0,000003 m³ 1.000.000.000 280

9 1.000

mm3

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10 dm


Exercícios resolvidos Relação entre volume e capacidade

1. Resolver o problema. Um reservatório, com o formato de um paralelepípedo, tem as seguintes medidas:

500 cm 10 m

30 dm

• Quantos litros de água podem ser colocados nesse reser­ vatório?

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CC Resolução

Para descobrir o volume do reservatório, preci­ samos expressar suas medidas em uma mesma unidade. Então, representamos essas medidas em decímetro. Agora, calculamos o volume do recipiente em decímetro cúbico. Como o recipiente tem a forma de um paralelepípedo, basta fazer: V 5 a 8 b 8 c Para descobrir quantos litros podem ser co­ locados no reservatório, usamos a relação: 1 L 5 1 dm³

Transformações das unidades de medida de volume

2. Responder à questão. Uma piscina retangular tem 1,8 m de altura, 2,8 m de largura e 10 m de comprimento. Sabendo que André já colocou água até atingir 1 m de altura, quantos litros de água ele deve colocar para terminar de encher a piscina? CC Resolução

Para resolver esse problema, precisamos en­ contrar a diferença entre o volume total da piscina e o volume de água que já foi coloca­ do. Portanto, vamos calcular os volumes.

Como em um cubo de 1 dm3 cabe 1 litro e um cubo de 1 m3 pode ser decomposto em 1.000 cu­ bos de 1 dm3, então em um cubo de 1 m3 cabem 1.000 L.

281


ATIVIDADES CC Vamos aplicar

CC Vamos praticar

7 Resolva o problema.

a) b) c) d) e) f)

3

3

0,000005 hm em m 5.800 mm3 em cm3 320.000 cm3 em m3 1,0258 hm3 em dm3 8,5 m3 em L 1.240 dm3 em m3

Quantos litros de água são ne­ cessários para encher este re­ servatório?

8 Responda às questões.

2 Calcule o volume do paralelepípedo em cen­ tímetro cúbico.

2 cm

8 cm 10 cm

3 Responda à questão.

0,6 dam

0,12 hm

700 cm

a) Qual é o volume, em centímetro cúbico, de um paralelepípedo com 100 cm de comprimento, 3 dm de altura e 0,5 m de largura? b) Um cubo tem volume de 729 dm³. Qual é a medida da aresta desse cubo?

9 Resolva o problema. Uma pessoa bebe 2 litros de água por dia. Quantos metros cúbicos de água essa pessoa beberá em um ano?

10 Resolva o problema.

Quantos decímetros cúbicos tem este recipiente?

4 Resolva o problema. Qual é o volume de uma caixa­d’água com a forma de um paralelepípedo que tem 1 m de largura, 2 m de comprimento e 1,5 m de altura?

5 Responda às questões em seu caderno. a) A quantos decímetros cúbicos equivalem 10 litros? b) A quantos metros cúbicos equivalem 5.000 litros? c) A quantos litros equivalem 12,2 metros cúbicos? d) A quantos litros equivalem 6,3 hectômetros cúbicos? e) A quantos milímetros cúbicos equivalem 23 decâmetros cúbicos?

6 Represente as medidas em metro cúbico. a) 5.000 L b) 12.800 L c) 24.820 L

282

d) 23.784 L e) 52.456 L f) 125.253 L

Um condomínio compra água de uma empresa para encher duas piscinas, com capacidade para 36.000 L e 15.000 L. Essa empresa sempre leva a água em caminhões­pipa com capacidade de 10 m³. Quantos caminhões são necessários para levar a água ao condomínio?

11 Responda à questão.

Uma garrafa pequena contém 290 mL de refrige­ rante. Se o despejarmos em um cubo cuja aresta mede 7 cm, ele caberá no cubo ou transbordará? Justifique.

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1 Faça as transformações:


12 Analise as embalagens e responda à questão em

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seu caderno. Um instituto de proteção ao consumidor reco­ lheu quatro embalagens de suco (com formas de blocos retangulares) para analisar. Duas delas foram reprovadas por não terem capacidade para armazenar 1 litro de suco conforme indi­ cava a embalagem. Embalagem A

Embalagem C

Altura: 12,5 cm Largura: 10 cm Comprimento: 7,5 cm

Altura: 13,5 cm Largura: 11,5 cm Comprimento: 6,5 cm

Embalagem B

Embalagem D

Altura: 13 cm Largura: 9 cm Comprimento: 8 cm

Altura: 18 cm Largura: 12 cm Comprimento: 5 cm

• Quais foram as embalagens reprovadas?

13 Encontre a profundidade da piscina.

Elias quer construir uma piscina em seu sítio, numa área retangular de 3 metros de largura e 5 metros de comprimento. Qual deverá ser a profundidade dessa piscina se ele quer que caibam 30.000 L de água?

15 Responda às questões. a) Qual é a capacidade, em litro, de uma caixa de leite com 7 cm de largura, 7 cm de comprimen­ to e 20 cm de altura? b) Que dimensões pode ter uma caixa de leite com capacidade para 1 litro?

16 Observe a ilustração e responda à questão. Marcela pretende encher um balde de 5 L. Ao lado do balde, há recipientes cheios de água. O volume de quais recipientes ela deve despejar no balde? 3 1

4

2

250 cm3 150 cm3 1,5 dm3 2,25 dm3

6 5L

7

5 5 dL

30 cL

200 cm3

17 Resolva o problema. Quantos litros de água são necessários para encher 90% de uma piscina retangular que tem 10 m de comprimento, 700 cm de largura e 22 dm de profundidade?

18 Observe a conta de água da casa de Juliano e responda à questão.

14 Leia e responda às questões em seu caderno.

Durante seus treinos diários, um atleta consome 9 copinhos com 250 mL de água.

a) Se durante um ano esse atleta treinou 287 dias, quantos copinhos de água ele consumiu? b) Quantos metros cúbicos de água ele consumiu?

Segundo a Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (Sabesp), o ideal é que cada pessoa consuma, no máximo, 150 L de água por dia. Sabendo que na casa de Juliano moram 5 pessoas, o consumo da casa dele está abaixo ou acima do recomendado pela Sabesp?

283


Tratamento da informação Estimar 1 Leia e encontre a melhor estimativa.

A quinta edição da Virada Cultural 2009 reuniu milhares de pessoas para assistir a cerca de 800 atrações, que se apresentaram ao longo das 24 horas de duração do evento. Foram mais de 40 pontos de apresentações, que incluíram centros educacionais, museus, teatros, cinemas, palcos de rua, entre outros. Um dos palcos ficava no Vale do Anhangabaú, que tem cerca de 8 mil metros quadrados de área livre. Sabendo que em uma das apresentações as pessoas ocuparam quase toda a área, uma boa estimativa para o total de público nessa apresentação é: a) 32 mil pessoas

b) 20 mil pessoas

c) 50 mil pessoas

2 Faça uma estimativa. O carnaval de Olinda atrai todo ano mais de 1 milhão de foliões para as ruas e ladeiras dessa cidade pernambucana. Mais de 500 agremiações — entre blocos, troças, afoxés, maracatus, clubes de bonecos e escolas de samba — animam esses foliões.

Não se esqueça de que, para fazer a estimativa, é preciso calcular a área ocupada pelos foli˜ oes.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Para fazer a estimativa de uma multidão, existe um padrão internacional de contagem segundo o qual se considera que 4 pessoas ocupam uma área de 1 m2. Então, em uma área de 10.000 m2, por exemplo, pode haver 40.000 pessoas.

Multidão no carnaval de Olinda.

Considerando que uma das ruas ocupadas por esses foliões tem aproximadamente 100 metros de comprimento e 15 metros de largura, estime quantos foliões podem ocupar essa rua. 284

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3 Leia o texto e faça uma estimativa da quantidade de carros parados em um congestionamento.

Para fazer a estimativa de carros no congestionamento, você pode considerar que, a cada 20 metros de comprimento de uma pista, há 4 carros. Veja:

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

20 metros Em 20 metros há 4 carros.

No início da tarde [...] o trânsito [na cidade de São Paulo] bateu o primeiro recorde de 2010. Às 14 h 30, o pico de congestionamento chegou a 143 km – o maior desde o começo do ano. Em 2009, o maior índice de lentidão foi registrado às 19 h do dia 10 de junho, quando foram registrados 293 km – recorde histórico da cidade. Na ocasião, os problemas foram atribuídos à chuva, à saída do motorista para o feriado e a acidentes. Disponível em: <http://www1.folha.uol.com.br> Acesso em: 22 jan. 2010.

• Faça uma estimativa de quantos carros havia no congestionamento às 19 h do dia 10 de junho de 2009. Para isso, considere que cada via de tráfego tenha, em média, três pistas.

4 Estime a capacidade de cada recipiente. No dia a dia fazemos algumas estimativas relacionadas com capaci­ dade. Por exemplo, quando a medida de uma receita culinária é de meio copo de leite, fazemos uma estimativa de até onde devemos colocar leite para obter meio copo. Observe os recipientes e, fazendo estimativas, descubra quais estão 3 de água. 1 e __ 1 , __ preenchidos com __ 2 4 4

285


Atividades integradas 1 Leia a explicação e interprete os dados da tabela para

responder às questões. O cubo de Rubik, também conhecido como cubo mágico, é um quebra­ ­cabeça cujo objetivo é movimentar as peças até que cada face do cubo fique com uma única cor. Seis alunos da sala B participaram de uma competi­ ção de montagem do cubo de Rubik, e o resultado foi o seguinte:

4 Leia e responda à questão. A baleia­azul é o maior animal da Terra. Ela che­ ga a ter 30 metros de comprimento e a pesar 150 toneladas. Represente a massa da baleia­azul em quilograma. 5 Resolva o problema.

Tempo dos participantes na competição de montagem do cubo Tempo em segundo

Alice

1.380

Carlos

1.440

Daniela

1.020

Um hipopótamo chega a ter 4,5 toneladas de massa. Quantos homens de 75 kg são necessários para atingir a massa do hipopótamo?

Mariana

1.980

6 Observe o preço de alguns alimentos e responda à

Pedro

1.260

Ricardo

1.680

questão.

Dados obtidos pelos alunos da sala B.

a) Quem levou menos tempo para finalizar a prova? b) Quem demorou mais tempo para finalizar a prova? c) Qual a diferença, em minuto, entre o tempo do primeiro e do último colocados?

2 Leia e responda à questão. Ao abrir o registro de uma ducha, consomem­se 9 litros de água por minuto. Todos os dias, Gil fica 15 minutos no banho com o registro de água aberto. Se ele fechasse o registro para se ensaboar, ficaria apenas 7 minutos com o registro aberto. Quanto Gil economizaria de água se fechasse o registro enquanto se ensaboa?

Raul foi ao mercado e comprou 500 g de amên­ doas, 2,5 kg de castanha­do­pará e 1,5 kg de castanha de caju. Quanto ele gastou?

7 Responda à questão.

3 Resolva o problema. Um alpinista levou duas horas e três quar­ tos de hora para esca­ lar uma montanha. Lá, ele descansou meia hora e, depois, gastou uma hora e um quarto de hora para descer a montanha. Quantos minutos ele levou para fazer a es­ calada e voltar? 286

Um caminhão­pipa está com 6,73 kL de água. Quan­ tos litros faltam para completar sua capacidade total, que é de 10.000 L?

8 Resolva. Quantos mililitros de água são necessários para 3 de um recipiente com capacidade preencher __ 5 para 2 litros?

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Nome


9 Identifique os elementos do paralelepípedo.

10 Calcule o volume dos paralelepípedos. (Considere como unidade de medida de volume 1 cubinho.) a) c)

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

b)

14 Resolva o problema. O tanque de combustível do carro de Danilo tem capacidade para 42 dm³ de gasolina. 1 de gasolina no tan­ a) Sabendo que há somente __ 4 que, quantos litros faltam para atingir a capaci­ dade total? b) Se o litro da gasolina custa R$ 2,58, quanto Danilo gastará para completar o tanque?

15 Leia as informações e responda à questão. O investimento em postos de distribuição e em carros movidos a GNV (Gás Natural Veicular) vem crescendo no Brasil. Principais vantagens desse combustível: libera menor quantidade de resí­ duos poluentes, favorecendo a proteção do meio ambiente, e é mais econômico que a gasolina e o álcool.

d)

11 Resolva o problema em seu caderno.

Um paralelepípedo de arestas com medidas iguais a 12 cm, 16 cm e 22 cm é formado por cubinhos de arestas iguais a 2 cm. Qual é o volume desse paralelepípedo em cubinhos?

12 Calcule o volume do paralelepípedo em decímetro cúbico.

Num posto, a capacidade de abastecimento de GNV é 1.800 m³ por hora. Sabendo que a média de carros abastecidos por hora é 150 carros, qual é a capaci­ dade média de abastecimento por automóvel?

25 cm

16 Resolva o problema.

15 dm

200 mm

13 Estime o volume de cada objeto. a) Aquário

c) Lata de refrigerante 5 cm3

(PUC­SP) Uma caixa sem tampa é feita com placas de madeira de 0,5 cm de espessura. Depois de pronta, observa­se que as medidas da caixa, pela parte externa, são 51 cm 3 26 cm 3 12,5 cm, conforme mostra a figura. • O volume interno dessa caixa, em metro cúbico, é:

5 m3 12,5 cm

5 dm3 330 cm3

b) Caixa de creme dental

330 dm3 330 m3

d) Dicionário

26 cm

4 cm3 4 dm3 210 mm3 210 dm3 210 cm3

4 m3

51 cm

a) 0,015 b) 0,0156

c) 0,15 d) 0,156

e) 1,5

287


Compreender um texto Consumo de água em uma casa A água é um elemento essencial à vida. Mas, de toda a água do mundo, somente 0,6% está disponível para consumo humano. Hoje, muitas pessoas sofrem com a falta de água apropriada para consumo. Muitas atitudes cotidianas, das quais as pessoas, por força do hábito, não se dão conta, levam ao desperdício de água. A mudança de atitude no uso desse bem tão necessário traduz a consciência da preservação da vida e do planeta.

Desperdício: lavar a calçada com mangueira. Consumo: 279 L por 15 minutos. Atitude consciente: varrer a calçada com vassoura. Consumo: 0

Desperdício: lavar o carro com mangueira em meia-volta de abertura. Consumo: 560 L por 30 minutos Atitude consciente: lavar o carro usando balde. Consumo: 40 L

Desperdício: regar as plantas com mangueira. Consumo: 196 L por 10 minutos Atitude consciente: usar regador. Consumo: 100 L

Desperdício: lavar a louça com a torneira aberta. Consumo: 117 L por 15 minutos Atitude consciente: abrir a torneira só para enxaguar. Consumo: 20 L

288

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ATIVIDADES 1 Segundo o texto, há formas de economizar no consumo de água de uma casa?

2 Das medidas apresentadas, qual delas economiza maior quantidade de água?

3 Considere as pessoas que moram em sua casa.

a) Se todas desperdiçassem água na hora de escovar os dentes, qual seria o consumo de água em 1 dia somente para escovar os dentes? b) E se todas as pessoas da casa mudassem de atitude e fechassem a torneira enquanto escovam os dentes, quanto de água seria economizado? c) Escreva a porcentagem dessa economia (quantidade de água economizada em relação ao total de água que é gasta com desperdício).

4 Reflita.

a) Quais atitudes você e as pessoas de sua família ainda não praticam para economizar água? O que poderiam fazer para evitar o desperdício? b) Considerando as mudanças de atitude, faça uma estimativa da quantidade de água que seria economizada por mês.

5 Pesquise em grupo.

a) Além dos usos citados em uma casa, há outros consumos de água. Faça uma lista dos locais que também consomem água e pesquise uma forma de economizá-la. b) Junto com seus colegas, escreva em um cartaz as atitudes que o grupo pesquisou, e exponha-o no mural da classe.

Lavar a roupa: No tanque, com a torneira aberta por 15 minutos, o gasto pode chegar a 279 L. Em uma máquina de lavar com capacidade para 5 quilogramas, o gasto é de 135 L. Atitudes conscientes: Juntar bastante roupa para lavar de uma vez só. Reutilizar a água do enxágue da roupa para lavar o quintal.

Desperdício: escovar os dentes com a torneira aberta. Consumo: 12 L por 5 minutos Atitude consciente: abrir a torneira apenas para enxaguar a boca. Consumo: 0,5 L

Desperdício: tomar banho com o chuveiro aberto o tempo todo. Consumo: 45 L por 15 minutos Atitude consciente: fechar o registro para se ensaboar e diminuir o tempo de banho para 5 minutos. Consumo: 15 L

289

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14.04.11 10:25:05


Para finalizar Um esquema Unidades de medida Comprimento – Transformações: 3 10

km

hm 9 10

3 10

dam

3 10

m

9 10

9 10

Perímetro

3 10

3 10

dm

cm

9 10

É a soma das medidas de todos os lados de um polígono.

mm

9 10

9 10

Área – Transformações: 3 100

km2

3 100

hm2 9 100

3 100

dam2

3 100

m2

9 100

9 100

3 100

dm2

cm2

9 100

b

9 100

Área do quadrado L

3 3.600 3 60

h

Área 5 a 8 b

a

mm2

9 100

Tempo – Transformações:

Área do retângulo

3 100

3 60

min

Área 5 L2 L

s

9 60

9 60 9 3.600

Paralelepípedo Elementos

Massa – Transformações: 3 10

kg

3 10

hg 9 10

3 10

dag

g

9 10

aresta

3 10

9 10

3 10

dg

3 10

cg

9 10

9 10

mg

face vértice

9 10

Volume do paralelepípedo

Capacidade – Transformações: 3 10

kL

3 10

hL 9 10

3 10

daL

3 10

dL

L

9 10

9 10

c

3 10

9 10

3 10

cL 9 10

b a Volume 5 a 8 b 8 c

mL 9 10

Volume do cubo Volume – Transformações: 3 1.000

km3 9 1.000

290

3 1.000

hm3

3 1.000

dam3 9 1.000

m3 9 1.000

L

3 1.000

3 1.000

dm3 9 1.000

3 1.000

cm3 9 1.000

mm3 9 1.000

L L Volume 5 L3

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3 10


Programa de resolução de problemas

Problemas para resolver 1 As filas

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Em um estacionamento, o manobrista colocou 10 carros em 5 filas de mesmo comprimento, de modo que cada fila tivesse 4 carros. Como os carros foram estacionados?

4

Brincando com palitos

Observe como os palitos estão dispostos:

Com mais dois palitos, é possível formar uma nova figura cuja área seja o dobro da área da região delimitada inicialmente pelos palitos? Como?

2 As varetas Como é possível medir um comprimento de 1 m com duas varetas que medem 70 cm e 60 cm?

3

5

O problema do carpinteiro

O carpinteiro tem a base de uma mesa com um vão de 360 cm por 60 cm. Ele vai cobrir essa área com um pedaço de madeira que tem 240 cm por 90 cm. Como é possível realizar esse trabalho dividindo a madeira em duas partes iguais, sem que sobre madeira nem fique buraco?

A partilha

Quatro irmãos receberam de herança um terreno quadrado com 16 unidades de área, como mostra a figura abaixo. O mais velho deles antecipou-se aos demais e demarcou para si a parte que lhe coube (4 unidades de área), indicada em azul na figura. Como os demais irmãos podem demarcar a parte que cabe a cada um sabendo que os pedaços devem ser do mesmo tamanho e formato?

6

As retas

Veja como os 9 pontos estão dispostos:

• Como é possível passar por todos os pontos, traçando 4 retas sem tirar o lápis do papel? 291


ARARIBÁ MATEMÁTICA

7

Organizadora: Editora Moderna Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna. Editora Executiva: Juliane Matsubara Barroso

3a edição

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© Editora Moderna, 2010

Elaboração de originais Ana Paula Souza Nani Licenciada em Matemática pela USP Cíntia Alessandra Valle Burkert Machado Mestre em Educação pela USP Dario Martins de Oliveira Licenciado em Matemática pela USP Débora Regina Yogui Licenciada em Matemática pela USP Fabio Martins de Leonardo Licenciado em Matemática pela USP Fausto Arnaud Sampaio Licenciado em Matemática pela Unicamp Flávia Renata Pereira de Almeida Fugita Licenciada em Matemática pela USP Juliana Ikeda Licenciada em Matemática pela USP Juliane Matsubara Barroso Bacharel e licenciada em Matemática pela PUC de São Paulo Luciana de Oliveira Gerzoschkowitz Moura Mestre em Educação pela USP Maria Aparecida Costa Bravo Bacharel e licenciada em Matemática pela PUC de São Paulo Maria Cecília da Silva Veridiano Licenciada em Matemática pela USP Maria Cecília Soave Leme Oliva Especialista em Educação pela PUC de São Paulo

Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Fernando Savoia Gonzalez, Flávia Renata Pereira de Almeida Fugita, Juliana Ikeda, Lucas Maduar Carvalho Mota, Marilu Maranho Tassetto, Regina Gimenez Assistência editorial: Enrico Briese Casentini, Everton Jose Luciano, Maria Cecília Bittencourt Mastrorosa, Roberto Lopes, Romenig da Silva Ribeiro Leitura crítica: Eduardo Wagner Preparação de texto: Iraci Miyuki Kishi Coordenação de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho Homma Projeto gráfico: Everson de Paula Capa: Aurélio Camilo Arte e fotografia: Dominó em formato triangular. © Ricardo Toscani Coordenação de produção gráfica: André Monteiro, Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Jordana de Lima Chaves Edição de páginas especiais: William H. Taciro, Alexandre de Paula, Fernanda Fencz, Luiz Rubio, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto Editoração eletrônica: Setup Bureau Editoração Eletrônica Ilustrações: Adilson Secco, Adolar, Attílio, Bruno Algarve, Cecília Iwashita, Claudio Chiyo, Diogo Saito, Éber Evangelista, Eduardo Alejandro, Eduardo Ferrara, Elisa Nievas Pereira, Estudio Manga, Estúdio 22, Estúdio Ampla Arena, Ivan Coutinho, Nelson Matsuda, Nilson Cardoso, Paulo César, Paulo Manzi, Studio Argozino, Thomas Larson Cartografia: Alessandro Passos da Costa, Anderson de Andrade Pimentel, Fernando José Ferreira Coordenação de revisão: Elaine C. del Nero Revisão: Afonso N. Lopes, José Alessandre da Silva Neto, Nancy H. Dias Coordenação de pesquisa iconográfica: Ana Lucia Soares Pesquisa iconográfica: Ana Claudia Fernandes, Camila D’Angelo, Vera Lucia da Silva Barrionuevo As imagens identificadas com a sigla CID foram fornecidas pelo Centro de Informação e Documentação da Editora Moderna. Coordenação de bureau: Américo Jesus Tratamento de imagens: Alexandre Petreca, Fabio N. Precendo, Rubens M. Rodrigues Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira Silva, Helio P. de Souza Filho, Marcio H. Kamoto Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque Impressão e acabamento: Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Projeto Araribá : matemática : ensino fundamental / obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna ; editora executiva Juliane Matsubara Barroso. — 3. ed. — São Paulo : Moderna, 2010.

Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. “Componente curricular : Matemática” Bibliografia.

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Barroso, Juliane Matsubara.

10-07254

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 ISBN 978-85-16-06854-7 (LA) ISBN 978-85-16-06855-4 (LP) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2014 Impresso no Brasil 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2

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Apresentação

E

ste livro foi elaborado para você.

Queremos que você estude Matemática de uma forma agradável e dinâmica. Procure desenvolver todas as atividades propostas. Assim, descobrirá que conhecer os números, as formas, as medidas e outros assuntos abordados pela Matemática pode ser uma aventura muito interessante, além de ampliar seu universo de conhecimento e sua visão de mundo. Explore tudo que este livro lhe oferece, para aproveitar também a diversidade de informações distribuídas ao longo das seções, como a abertura, o tratamento da informação e outras. Certamente, você encontrará desafios e obstáculos. Enfrente-os com garra, pois, ao superá-los, perceberá como o saber, em todas as suas formas, traz grande satisfação pessoal e melhoria de sua atuação no mundo. Bom estudo!

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Organização da Parte Páginas de abertura

Parte

6

Quadriláteros e triângulos

Cada livro contém 14 unidades distribuídas em 6 partes.

Você aprenderá nesta parte Polígonos Quadriláteros UNIDADE 13

Trapézios UNIDADE 13

Paralelogramos UNIDADE 13

Cada abertura de parte apresenta um elemento motivador, como esta ilustração.

Navegação a vela

A

navegação a vela já era utilizada pelos egípcios por volta de 4 mil anos a.C. Os barcos navegavam apenas a favor do vento e restringiam-se aos rios. A navegação oceânica só seria possível com a construção das primeiras caravelas, a criação de instrumentos de orientação e o estudo das correntes marítimas, no final do século XV, o que favoreceu o descobrimento de rotas para a África, Américas e Índia. As caravelas eram embarcações de porte médio, com até 200 toneladas, e tinham velas em forma de quadriláteros ou de triângulos. As enormes velas em forma de quadriláteros davam potência à embarcação, enquanto as velas triangulares (latinas) permitiam ziguezaguear contra o vento e, consequentemente, explorar zonas cujo regime de ventos era desconhecido. Eram essas velas que permitiam navegar perpendicularmente ao vento.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Triângulos UNIDADE 14

Um esquema apresenta os conteúdos que serão desenvolvidos na parte. Seu objetivo é orientar sobre o que será estudado e indicar como os conteúdos se relacionam.

Para começar... Responda em seu caderno.

No final do século XVI, as caravelas foram substituídas por embarcações maiores, como as naus e os galeões.

1 Quais eram as formas das velas nas caravelas? 2 Em que outros objetos ou situações do dia a dia você reconhece essas mesmas formas geométricas?

Questões sobre o tema da abertura são propostas com o fim de identificar e mobilizar os conhecimentos prévios do aluno.

3 Qual era a função das velas triangulares? Que avanços esse tipo de vela possibilitou?

240

241

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Apresentação dos conteúdos

3. Módulo ou valor absoluto No esquema ao lado podemos ver que: r o menino está ao nível do mar, ou seja, sua distância em relação ao nível do mar é nula (0); r a pipa está 6 m acima do nível do mar; nível 0 r o cardume está 10 m abaixo do nível do mar. Todas essas distâncias foram representadas, na descrição do esquema, pelo número zero ou por números positivos (6 m e 10 m). Da mesma forma, ou seja, usando apenas números positivos, podemos determinar, na reta numérica, a distância de qualquer ponto em relação à origem O. Veja:

6 m

Módulo ou valor absoluto de um número inteiro

1. Determinar, considerando o conjunto dos números inteiros não nulos, que números têm módulo menor que 2. CResolução

4 unidades O

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

–3

Após a apresentação dos conteúdos, vêm as seções Atividades, que trazem os diversos tipos de atividades agrupadas em dois blocos: Vamos praticar e Vamos aplicar.

–2

0

–1

A +1

+2

+3

+4

A distância do ponto O ao ponto A é de 4 unidades.

+1

+2

+3

+4

A distância do ponto O ao ponto B é de 3 unidades.

10 m

3 unidades B –3

O –2

0

–1

A distância de um ponto da reta numérica à origem é chamada valor absoluto ou módulo do número que corresponde a esse ponto.

ATIVIDADES C Vamos praticar

Assim, o valor absoluto ou módulo do número 4 é 4 (distância do ponto A à origem). Da mesma forma, o módulo de 3 é 3 (distância do ponto B à origem). Indicamos o valor absoluto ou módulo de um número colocando esse número entre duas barras paralelas. Por exemplo: o módulo de 3 é representado por U 3 U. Exemplos

rU 5 U 

rU 7 U 

rU 18 U 

1

rU 0 U  0 2

A –4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

Os pontos A’ e A representam, respectivamente, os números inteiros 5 e 5. A distância do ponto A’ à origem é de 5 unidades, assim como a distância de A até a origem também é de 5 unidades. Os pontos A’ e A estão a uma mesma distância da origem, porém situados em lados opostos da reta numérica (em relação ao zero). Por isso, 5 e 5 são chamados números simétricos ou números opostos.

19

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GASTO DE ENERGIA EM 1 HORA POR ESPORTE (EM QUILOCALORIA) 350

Q

R

2

4

5

5

Número 7

6

Determine: a) o simétrico de 23; b) o oposto de 16; c) o oposto de U 7 U; d) o módulo do simétrico de 4; e) o oposto do oposto de 3; f) o simétrico de 0.

20

04.10.10 14:04:26

-os como agudo, reto ou obtuso.

derno.

x x x x A

Vôlei

O gráfico de barras verticais abaixo informa a temperatura mínima registrada em algumas cidades do mundo no dia 20 de outubro de 2009. TEMPERATURAS MÍNIMAS REGISTRADAS NO DIA 20 DE OUTUBRO DE 2009

Oslo (Noruega)

Observe que, para a cidade de Bariloche, não se desenhou nenhuma barra. Quando isso acontece, consideramos que o valor correspondente é zero.

B

A construção da Torre de Pisa (Itália) foi iniciada no ano de 1173 e só terminou cerca de 200 anos mais tarde.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Corrida

2 Leia o gráfico e responda às questões.

Temperatura (em °C)

São atividades para consolidar os conhecimentos.

4 Observe a ilustração e responda à questão no ca-

x

x

x x x x x

x

5 Leia o texto, observe as ilustrações e resolva o pro-

Esporte

blema. Num jogo de sinuca, é importante conhecer ângulos. Veja na figura abaixo o que chamamos ângulo da trajetória da bola e ângulo de reflexão da bola.

2 Observe a figura e classifique as afirmações em

ângulo de reflexão

V (verdadeira) ou F (falsa). B

F

E

ângulo da trajetória

O C

A D

G

CE e CC OD são ângulos de medidas diferentes. a) AO __› __ › CF são OC e OF . b) Os lados do ângulo CO OD é reto. c) O ângulo CC CC e BC OD são ângulos agudos. d) AO CF e CC OF são ângulos agudos. e) BO

Sabe-se que o ângulo da trajetória da bola e o ângulo de reflexão da bola são de mesma medida. Nesse caso, verifique se a bola azul em cada uma das jogadas representadas abaixo cairá na caçapa indicada.

3 Resolva o problema no caderno.

Marcelo precisa abrir um cofre e, para isso, recebeu as seguintes instruções: gire a catraca 90° no sentido anti-horário, depois 180° no sentido horário e, em seguida, 90° no sentido horário.

Zurique (Suíça)

Santiago (Chile)

34 35 0 1 2 33

32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

Cidade Dados obtidos em: <http://www.climatempo.com.br>. Acesso em: 21 out. 2009.

a) Qual foi a temperatura mínima registrada em cada cidade? b) Em quais cidades a temperatura mínima registrada ficou abaixo de zero? c) Nesse mesmo dia, a temperatura máxima registrada em Oslo foi 6 °C. Qual foi a diferença entre as temperaturas máxima e mínima registradas nessa cidade?

3

4

5

6

7 8 9 10 11 12 13 14

20 19 18 17

16 15

Que número estará na posição inicial após cada giro da catraca do cofre?

52

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Atividades integradas

Atividades integradas 1 Três ângulos foram destacados na foto. Classifique-

Em um gráfico de barras, podemos optar por não representar a linha que indica os valores das barras; caso a linha não seja representada, o valor de cada barra deve ser indicado em cima dela. Foi isso que aconteceu no gráfico ao lado.

Dados obtidos em: <http://veja.abril.com.br>. Acesso em: 7 maio 2010.

Denver (Estados Unidos)

a) Copie a malha no caderno e represente os pontos indicados. b) Encontre o ponto cujo par ordenado é formado pelo módulo das coordenadas de cada ponto representado na malha. Por exemplo: O ponto A(3, 3) será correspondente ao ponto A’(U 3 U, U 3 U).

Qual é o valor de x?

a) Quantas quilocalorias uma pessoa gasta ao praticar, por uma hora, cada um dos esportes apresentados no gráfico? b) Mara pratica natação todos os dias por duas horas. Com essa prática, quantas quilocalorias ela pode gastar em uma semana? c) Jair pratica judô e corrida. Quantas quilocalorias ele gasta praticando duas horas de cada atividade em um dia?

Bariloche (Argentina)

Observe os pontos e resolva as questões.

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C

10 8 6 4 2 0 –2 –4 –6 –8

Para explicar a resolução de alguns exercícios propõe-se a seção Exercícios resolvidos. Nela há o passo a passo de uma resolução de exercício, além de comentários que enriquecem a resolução.

A +3 E +2 B +1 F O –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 –1 D C –2

300

Natação

Valor absoluto

50

200

Futebol de campo

Oposto

t Existe uma única maneira de preencher a tabela? Justifique sua resposta.

250

Judô

Complete a tabela e responda.

23

Faça o que se pede. a) Construa uma reta numérica e localize os seguintes números: 10, 4, 5, 8, 2 e 3. b) Indique o simétrico de cada um dos números do item a. c) Considerando apenas os números do item a, indique aqueles que têm módulo menor que 4.

Tratamento da informação

400

P

0

Quais números inteiros têm módulo menor que 5?

Ler e interpretar gráfico de barras No gráfico de barras verticais abaixo, temos a quantidade de energia que uma pessoa gasta ao praticar, durante uma hora, cada um dos cinco esportes mais apreciados pelos brasileiros.

O

4

r 7 e 7 são números opostos, ou simétricos. r 4 é o oposto de 4, e 4 é o oposto de 4.

1 Leia e interprete os dados do gráfico para responder às questões.

–1

3

Exemplos

Tratamento da informação

S

–4 –3

a) Qual é o módulo dos números inteiros representados na reta numérica? b) Quais desses números têm mesmo módulo?

5 unidades

A’

N

M

Observe a reta numérica.

–5

C Vamos aplicar

Observe a reta numérica e responda às questões. –7

Números opostos ou simétricos 5 unidades

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Os números que têm módulo menor que 2 são aqueles que estão associados a pontos cujas distâncias até a origem são menores que 2. Uma forma prática é traçar uma circunferência, com o auxílio de um compasso. Para isso, deve-se centrar a ponta-seca do compasso no ponto O e abrir a outra ponta até o ponto correspondente ao número 2. Os pontos da reta, relacionados a números inteiros não nulos, que estão na região interna da circunferência correspondem aos números inteiros que têm módulo menor que 2.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O conteúdo é apresentado de forma clara e organizada.

O Tratamento da informação tem o objetivo de desenvolver a interpretação, a comparação e a análise de diversas formas de apresentação dos dados (em gráficos ou tabelas). Um personagem acompanha essa seção explicando o conteúdo e dando dicas para a organização dos dados.

Há ainda atividades Desafio, Calculadora e Cálculo mental.

Exercício resolvido

de um número inteiro

6 Calcule:

Há uma indicação do nível de dificuldade de cada atividade. Inicial Intermediário

a) o quádruplo de 22° 10’ 5”; b) um quinto de 100° 50’ 20”; c) o dobro de (34° 23’ 2”  1° 47’ 52”); d) um terço de (60° 50’ 40”  30° 20’ 10”).

7 Calcule no caderno o valor de 4  a  32° e 2  a  17°, para cada valor de a. __ 3 a) a  30° b) a  45° c) a  15°

Avançado

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Compreender um texto No mesmo livro em que encontramos o texto ao lado, o autor sugere a possibilidade de montar um tangram por meio do origami. Se quiser montar o seu tangram, pegue uma folha de papel quadrada e acompanhe os passos, vincando bem nos lugares indicados antes de recortar.

Uma pequena lenda

Compreender um texto

Um imperador chinĂŞs chamou um de seus melhores artistas e ordenou que saĂ­sse pelos seus domĂ­nios e retratasse as coisas mais belas que pudesse encontrar, levando apenas uma prancha quadrada. Apesar da dificuldade da proposta, lĂĄ se foi o artista China afora, para tentar cumpri-la. No caminho, ao atravessar um riacho, ele caiu, e a prancha quebrou em sete pedaços. Precisava reuni-los, e apĂłs muitas tentativas percebeu que, ao arrumar as peças, conseguia formar uma figura diferente. Voltou rapidamente para mostrar aquela maravilha ao imperador, que ficou muito satisfeito com a possibilidade de retratar todas as coisas, usando apenas aquelas sete peças. Assim ĂŠ o tangram, um quebra-cabeça formado por sete peças com formas geomĂŠtricas bem conhecidas. Sua idade e inventor sĂŁo desconhecidos. Os chineses o conhecem por â&#x20AC;&#x153;Tch´i Tch´iao Panâ&#x20AC;?, ou as Sete TĂĄbuas da Habilidade. Enquanto a maioria dos quebra-cabeças sĂŁo compostos por um grande nĂşmero de peças, com formas complicadas e arrumadas num Ăşnico caminho, o tangram, com apenas sete peças, permite uma extraordinĂĄria variedade de caminhos para compor as figuras.

A seção Compreender um texto tem o objetivo de desenvolver a competência leitora por meio da anålise de diversos tipos de texto.

â&#x20AC;&#x201D;â&#x20AC;&#x201D;â&#x20AC;&#x201D;â&#x20AC;&#x201D; fazer vinco e cortar

- - - - - - apenas fazer vinco

A

A

B

A

B

B

B

Carlos A. GĂŞnova. Brincando com tangram e origami. SĂŁo Paulo: Global, 2002. p. 10, 19.

B

Questþes especialmente desenvolvidas orientam a interpretação e anålise do texto e exploram o conteúdo matemåtico apresentado.

B

B

B

B

ATIVIDADES 1 Qual ĂŠ a ideia principal do texto Uma pequena

5 Observe as figuras feitas com as peças do tan-

3 Construa seu tangram.

lenda?

6 Crie figuras.

gram.

Usando sua criatividade, monte figuras com as peças do tangram. (Sugestþes: uma casa, um rosto, uma criança correndo). Depois, compare suas criaçþes com as de seus colegas. Como na atividade anterior, indique a medida de alguns ângulos determinados pelas figuras.

Recorte um quadrado com 15 centĂ­metros de lado e forme um tangram.

a) Apresentar uma das versþes da origem do tangram. b) Narrar os caprichos de um imperador que propunha desafios complicados a seus súditos. c) Explicar os tipos de quebra-cabeça existentes e mostrar que o tangram Ê o melhor.

4 Responda às questþes. a) Que figuras geomÊtricas compþem o tangram? b) Usando um transferidor, indique as medidas dos ângulos internos de cada uma dessas figuras. c) Alguma dessas figuras tem ângulo interno obtuso? Qual? d) Quais figuras têm ângulo interno medindo 90°?

2 Pense em seu dia a dia e responda. a) O que você sabe sobre origami? Você jå fez algum? b) Você tem o håbito de montar quebra-cabeças? De que tipo?

7 Dê a sua opinião. A origem do tangram Ê desconhecida. A história contada aqui Ê apenas uma das lendas sobre seu surgimento e pode, no entanto, conter algumas informaçþes verdadeiras. Como você imagina que tenha realmente surgido o tangram? Você tambÊm pode pesquisar em outros livros ou na internet.

Desenhe essas figuras em seu caderno e, sem usar o transferidor, indique a medida dos ângulos destacados.

126

127

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Para finalizar: um esquema

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Para finalizar Um esquema 1

Ă&#x2030; a regiĂŁo do plano limitada por duas semirretas de mesma origem.

Um resumo esquemåtico apresenta os principais conceitos e procedimentos estudados na parte. O esquema permite visualizar as relaçþes entre os conteúdos.

Programa de resolução de problemas

Problemas para resolver Ă&#x201A;ngulos

Medida de um ângulo

Ă&#x201A;ngulos congruentes

A unidade de medida do ângulo Ê o grau (º).

São ângulos que têm mesma medida.

SĂŁo submĂşltiplos do grau: o minuto (1 grau ĂŠ igual a 60 minutos: 1Âş  60â&#x20AC;&#x2122;) e o segundo (1 minuto ĂŠ igual a 60 segundos: 1â&#x20AC;&#x2122;  60â&#x20AC;?).

4

Os segmentos ___

__

O segmento ___ EF Ê continuação do segmento AB ou do segmento CD?

O ponto de vista

Observe a imagem.

Para finalizar: problemas para resolver

F B

E

A D C

Ă&#x201A;ngulos complementares



9° 45â&#x20AC;&#x2122;

12° 15â&#x20AC;&#x2122; 20â&#x20AC;?

3â&#x20AC;?

20°

36° 45â&#x20AC;&#x2122;1° 60â&#x20AC;?

0â&#x20AC;&#x2122; 58â&#x20AC;?

36° 46â&#x20AC;&#x2122;

t 4VCUSBĂ&#x17D;Ă?P

20° 50â&#x20AC;&#x2122;

12° 21â&#x20AC;&#x2122; 60â&#x20AC;? 

4Ă?PĂ&#x2030;OHVMPTDVKBTPNBEBTNF didas ĂŠ igual a 180°.

0â&#x20AC;?

t %JWJTĂ?P

80â&#x20AC;&#x2122; 20â&#x20AC;&#x2122;

11°

Ă&#x201A;ngulos suplementares

3



19°1° 60â&#x20AC;&#x2122; 58â&#x20AC;?

2

4Ă?PĂ&#x2030;OHVMPTDVKBTPNBEBTNF didas ĂŠ igual a 90°.

t .VMUJQMJDBĂ&#x17D;Ă?P

10° 15â&#x20AC;&#x2122; 55â&#x20AC;? 

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

t "EJĂ&#x17D;Ă?P

5° 50â&#x20AC;&#x2122;

0

2â&#x20AC;?

0

6° 30â&#x20AC;&#x2122; 58â&#x20AC;?

15â&#x20AC;?

5

50â&#x20AC;&#x2122;

4° 10â&#x20AC;&#x2122; 3â&#x20AC;? 15â&#x20AC;? 0

Bissetriz

O

Ă&#x2030; a semirreta que tem origem no WĂ?SUJDFEPĂ&#x2030;OHVMPFPEJWJEFFN EPJTĂ&#x2030;OHVMPTDPOHSVFOUFT

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Operaçþes com medidas de ângulos

5

Ă&#x2030; possĂ­vel?

A figura abaixo pode ser construĂ­da na realidade?

3

4Ă?PĂ&#x2030;OHVMPTRVFUĂ?NVNWĂ?SUJDF FVNEPTMBEPTFNDPNVN

O programa de resolução de problemas Ê composto das påginas de Problemas para resolver. Seu objetivo Ê propor maneiras de solucionar problemas, formando um arquivo de recursos para ser usado em outras situaçþes.

Victor Vasarely. Toroni-Nagy, 1969, 200 200 cm.

t Descreva a figura. VocĂŞ pode olhar por outro ponto de vista e enxergar outra figura?

A distorção

Os lados dos quadradinhos do centro da figura sĂŁo formados por segmentos de reta ou por linhas curvas?

Ă&#x201A;ngulos opostos pelo vĂŠrtice

Ă&#x201A;ngulos consecutivos

As linhas

As linhas verticais da figura sĂŁo paralelas?

6

Os cubos

Quantos cubos vocĂŞ vĂŞ nesta figura? B

A

O

O C D

Ă&#x201A;ngulos adjacentes

CB  DO CC AO CD  BO CC AO

4Ă?PĂ&#x2030;OHVMPTDPOTFDVUJWPTRVF nĂŁo tĂŞm pontos internos em DPNVN

O

128

129

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Fichas de estratĂŠgias 3a Prova â&#x20AC;&#x201C; 7o Ano â&#x20AC;&#x201C; AraribĂĄ - Setup

Ficha

3

Desvendar um problema de ilusĂŁo de Ăłptica Um problema ___

Nos trapĂŠzios abaixo, qual medida ĂŠ maior: a medida da base AB do trapĂŠzio __ ABCD ou a medida da base EF do trapĂŠzio EFGH? A

B

C

D E

F

H Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Cada pågina dos Problemas para resolver remete a uma Ficha de estratÊgia. Cada ficha apresenta um problema resolvido por meio da estratÊgia que permitirå solucionar todos os problemas sugeridos na seção Problemas para resolver.

G

Para desvendar um problema de ilusĂŁo de Ăłptica

Eu devo...

Para...

1

descrever as figuras que estĂŁo representadas. Nesse___ problema, hĂĄ dois trapĂŠzios diferentes. A medida da base AB do trapĂŠzio ABCD parece maior que a medida da base __ EF do trapĂŠzio EFGH.

JEFOUJGJDBSPTFMFNFOUPTEPQSPCMFNBRVF t JEFOUJGJDBS PT FMFNFOUPT EP QSPCMFNB RVF merecem um olhar mais cuidadoso.

2

comparar minha descrição da figura com a de um colega. Nesse tipo de problema, uma opinião diferente da sua pode ampliar a visão que você tem da situação.

t WFSJGJDBS TF PVUSBT QFTTPBT U�N B NFTNB WFSJGJDBSTFPVUSBTQFTTPBTU�NBNFTNB percepção visual da situação e, se possível, conhecer uma outra visão da mesma figura.

3

destacar os segmentos que preciso comparar. Para isso, podemos usar uma caneta colorida. A

B

E

F

t GBDJMJUBS GBDJMJUBSBWJTVBMJ[BĂ&#x17D;Ă?PEPTFMFNFOUPT B WJTVBMJ[BĂ&#x17D;Ă?P EPT FMFNFOUPT relacionados com o problema.

C

D

H

4

Todas as fichas estĂŁo em um caderno colado na Ăşltima capa do livro. Essa estrutura permite que as fichas sejam utilizadas isoladamente ou em conjunto com os Problemas para resolver.

G

utilizar um modo objetivo para fazer a comparação. Usando uma rÊgua, podemos comparar as medidas de cada uma das bases. A

B

E

F

DPNQBSBSPSFTVMUBEPPCUJEPQPSNFJPEB t DPNQBSBS P SFTVMUBEP PCUJEP QPS NFJP EB observação com o resultado obtido pelas mediçþes com a rÊgua e verificar se a impressão inicial se mantÊm.

C

D

H

G

___

__

Assim, verificamos que as medidas das bases AB e EF sĂŁo ___ iguais. ConcluĂ­mos, entĂŁo, que a impressĂŁo inicial de a base AB __ ser maior que a base EF era apenas uma ilusĂŁo de Ăłptica.

11 11

Guia de estudo O livro Ê acompanhado de um Guia de estudo. O objetivo desse guia Ê auxiliar o estudo dos conteúdos por meio de atividades de exploração de vocabulårio, de fixação, de síntese e atividades para checar a aprendizagem.

5

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Sumário NÚMEROS INTEIROS

10

1. Números positivos e números negativos ................................................................................... 12 2. Conjunto dos números inteiros .......................................................................................................... 14

• Representação dos números inteiros na reta numérica............................................................ 14 • Par ordenado: localização de pontos no plano ............................................................................ 16 • Par ordenado............................................................................................................................................. 17 3. Módulo ou valor absoluto de um número inteiro.................................................................. 19 • Números opostos ou simétricos ........................................................................................................ 19 4. Comparação de números inteiros ..................................................................................................... 21 5. Adição com números inteiros .............................................................................................................. 24 • Adição com mais de duas parcelas ................................................................................................... 27 • Propriedades da adição ........................................................................................................................ 27 6. Subtração com números inteiros ...................................................................................................... 29 7. Adição algébrica ............................................................................................................................................. 31 Tratamento da informação – Construir gráfico de barras com números inteiros ................... 33 Atividades integradas .................................................................................................................................. 35

UNIDADE 2 – NÚMEROS INTEIROS – OUTRAS OPERAÇÕES 1. Multiplicação com números inteiros .............................................................................................. 37 2. Multiplicação com mais de dois fatores ....................................................................................... 40

• Propriedades da multiplicação........................................................................................................... 40 3. Divisão exata com números inteiros .............................................................................................. 42

• Expressões numéricas ........................................................................................................................... 44 4. Potenciação com números inteiros ................................................................................................. 45

• Sinal de uma potência de base não nula ........................................................................................ 46 • Algumas propriedades da potenciação .......................................................................................... 47 • Expressões numéricas ........................................................................................................................... 48 5. Raiz quadrada exata de um número inteiro.............................................................................. 50 Tratamento da informação – Ler e interpretar gráfico de barras ................................................. 52 Atividades integradas .................................................................................................................................. 54 Compreender um texto – Os fusos horários .......................................................................................... 56 Problemas para resolver ............................................................................................................................. 59

Parte 2

NÚMEROS RACIONAIS

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Parte 1

UNIDADE 1 – NÚMEROS INTEIROS – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

60

UNIDADE 3 – NÚMEROS RACIONAIS – ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO 1. Números racionais........................................................................................................................................ 62

• • • •

Conjunto dos números racionais....................................................................................................... 63 Representação dos números racionais na reta numérica......................................................... 64 Módulo ou valor absoluto de um número racional .................................................................... 66 Comparação de números racionais .................................................................................................. 66 2. Adição e subtração com números racionais ............................................................................. 68 3. Adição algébrica ............................................................................................................................................. 71 Tratamento da informação – Ler e interpretar dados em tabela de dupla entrada.............. 72 Atividades integradas .................................................................................................................................. 74

UNIDADE 4 – NÚMEROS RACIONAIS – OUTRAS OPERAÇÕES 1. Multiplicação com números racionais ........................................................................................... 76 2. Divisão com números racionais.......................................................................................................... 79 3. Potenciação de números racionais.................................................................................................. 82

• Potenciação de números racionais com expoentes inteiros não negativos ...................... 82 • Potenciação de números racionais com expoentes inteiros negativos .............................. 83 • Propriedades ............................................................................................................................................. 84 6

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4. Raiz quadrada................................................................................................................................................... 87 5. Expressões numéricas .............................................................................................................................. 88

Tratamento da informação – Construir gráfico de barras duplas ................................................ 90 Atividades integradas .................................................................................................................................. 92 Compreender um texto – Cuidados com a visão ............................................................................... 94 Problemas para resolver ............................................................................................................................. 97

ÂNGULOS

98

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Parte 3

UNIDADE 5 – MEDIDAS DE ÂNGULOS E OPERAÇÕES 1. Ângulos e suas medidas........................................................................................................................... 100

• Medida de um ângulo ........................................................................................................................... 101 2. Ângulos congruentes ................................................................................................................................. 103 3. Operações com medidas de ângulos .............................................................................................. 104

• Transformações das unidades de medida de ângulo ................................................................ 104 • Adição com medidas de ângulos ...................................................................................................... 105 • Subtração com medidas de ângulos ................................................................................................ 105 • Multiplicação da medida de um ângulo por um número natural ......................................... 106 • Divisão da medida de um ângulo por um número natural ..................................................... 106 Tratamento da informação – Calcular média aritmética................................................................. 108 Atividades integradas .................................................................................................................................. 110

UNIDADE 6 – ÂNGULOS 1. Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes............................................................................ 111

• Ângulos consecutivos............................................................................................................................ 111 • Ângulos adjacentes ................................................................................................................................ 111 2. Bissetriz de um ângulo............................................................................................................................... 112 3. Ângulos complementares e ângulos suplementares ........................................................ 115 • Ângulos complementares .................................................................................................................... 115 • Ângulos suplementares ........................................................................................................................ 115 4. Ângulos opostos pelo vértice ............................................................................................................... 118 • Propriedade dos ângulos opostos pelo vértice............................................................................ 119 Tratamento da informação – Calcular média aritmética ponderada ......................................... 122 Atividades integradas .................................................................................................................................. 124 Compreender um texto – Uma pequena lenda .................................................................................. 126 Problemas para resolver ............................................................................................................................. 129

EQUAÇÕES, SISTEMAS E INEQUAÇÕES

130

Parte 4

UNIDADE 7 – EQUAÇÕES 1. Expressões algébricas ............................................................................................................................... 132

• Aplicação da Álgebra em situações reais ....................................................................................... 133 • Valor numérico de uma expressão algébrica ................................................................................ 134 2. Calculando com letras ................................................................................................................................ 136 • Resolvendo problemas usando letras.............................................................................................. 137 3. Igualdade ............................................................................................................................................................. 138 4. Equações .............................................................................................................................................................. 139 • Raiz ou solução de uma equação ...................................................................................................... 139 • Calcular mentalmente a raiz de uma equação ............................................................................. 140 • Conjunto universo .................................................................................................................................. 140 Ficha extra – Resolver um problema por meio de equação ............................................................ 142 Problemas para resolver ............................................................................................................................. 143 5. Equações equivalentes............................................................................................................................. 144 6. Equação do 1o grau com uma incógnita ........................................................................................ 146 • Equações com parênteses e com frações ....................................................................................... 147 7. Situações-problema resolvidas por equação .......................................................................... 149 Tratamento da informação – Calcular probabilidade ...................................................................... 154 Atividades integradas .................................................................................................................................. 156 7

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Sumário

UNIDADE 8 – SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES DO 1o GRAU COM DUAS INCÓGNITAS 1. Equação do 1o grau com duas incógnitas .................................................................................... 158

• Determinação das soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas .............. 159 2. Sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas ..................................................... 161 • Determinação da solução de um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas pelo método da substituição .............................................................................................................. 162 • Determinação da solução de um sistema de equações do 1o grau pelo método da comparação............................................................................................................................................... 163 Tratamento da informação – Construir gráfico de barras duplas ................................................ 165 Atividades integradas .................................................................................................................................. 168

UNIDADE 9 – INEQUAÇÕES DO 1O GRAU COM UMA INCÓGNITA 1. Desigualdade.................................................................................................................................................... 169

Parte 5

PROPORÇÃO E APLICAÇÕES

182

UNIDADE 10 – RAZÃO E PROPORÇÃO 1. Razão....................................................................................................................................................................... 184

• Comparando por meio de uma razão.............................................................................................. 184 • Razões com nomes especiais .............................................................................................................. 187 2. Proporção ............................................................................................................................................................ 193 • Propriedade fundamental das proporções .................................................................................... 194 • Outras propriedades das proporções .............................................................................................. 197 Tratamento da informação – Organizar dados em tabelas ............................................................ 200 Atividades integradas .................................................................................................................................. 202

UNIDADE 11 – GRANDEZAS E REGRA DE TRÊS 1. Grandezas e medidas ................................................................................................................................. 204 2. Números e grandezas diretamente proporcionais ............................................................. 206

• Números diretamente proporcionais .............................................................................................. 206 • Grandezas diretamente proporcionais............................................................................................ 206 3. Números e grandezas inversamente proporcionais .......................................................... 210 • Números inversamente proporcionais ............................................................................................ 210 • Grandezas inversamente proporcionais ......................................................................................... 211 4. Regra de três simples ................................................................................................................................. 213 • Regra de três simples envolvendo grandezas diretamente proporcionais........................ 213 • Regra de três simples envolvendo grandezas inversamente proporcionais ..................... 214 5. Regra de três composta ............................................................................................................................ 217 • Regra de três composta envolvendo grandezas diretamente proporcionais ................... 217 • Regra de três composta envolvendo grandezas inversamente proporcionais ................ 218 Tratamento da informação – Construir gráfico de barras............................................................... 220 Atividades integradas .................................................................................................................................. 222

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Princípios de equivalência das desigualdades ............................................................................. 170 2. Inequação do 1o grau com uma incógnita ................................................................................... 172 Tratamento da informação – Construir gráfico de barras duplas ................................................ 174 Atividades integradas .................................................................................................................................. 176 Compreender um texto – Rótulo de embalagem .............................................................................. 178 Problemas para resolver ............................................................................................................................. 181

UNIDADE 12 – PORCENTAGEM E JURO SIMPLES 1. Porcentagem..................................................................................................................................................... 224 2. Juro simples........................................................................................................................................................ 228

• Pagamento à vista e pagamento a prazo ....................................................................................... 228 • Aplicação financeira e empréstimo .................................................................................................. 228 Tratamento da informação – Ler e interpretar gráfico de setores ............................................... 232 Atividades integradas .................................................................................................................................. 234 Compreender um texto – Calvin............................................................................................................... 236 Problemas para resolver ............................................................................................................................. 239

8

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Parte 6

QUADRILÁTEROS E TRIÂNGULOS

240

UNIDADE 13 – QUADRILÁTEROS 1. Quadriláteros .................................................................................................................................................... 242

• • • •

Trapézios..................................................................................................................................................... 242 Paralelogramos ........................................................................................................................................ 242 Outros quadriláteros .............................................................................................................................. 242 Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero ............................................... 243 2. Paralelogramos ............................................................................................................................................... 245 • Retângulos ................................................................................................................................................. 245 • Losangos..................................................................................................................................................... 246 • Quadrados ................................................................................................................................................. 246 3. Trapézios .............................................................................................................................................................. 248 4. Construção de quadrilátero com régua e compasso .......................................................... 249

Tratamento da informação – Construir pictogramas ....................................................................... 252 Atividades integradas .................................................................................................................................. 254

UNIDADE 14 – TRIÂNGULOS

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1. Triângulos ........................................................................................................................................................... 255

• Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo ..................................................... 256 2. Classificação dos triângulos ................................................................................................................. 258 3. Condição de existência de um triângulo ..................................................................................... 258 4. Relação de desigualdade entre lados e ângulos de um triângulo .......................... 259

• Quadro-resumo da classificação de triângulos ............................................................................ 259 5. Construção de triângulos com régua e compasso ............................................................... 260 Tratamento da informação – Ler e interpretar gráfico de barras ................................................. 262 Atividades integradas .................................................................................................................................. 264 Compreender um texto – Poesia e forma.............................................................................................. 266 Problemas para resolver ............................................................................................................................. 269

9

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Parte

2

Números racionais

Magnitude aparente dos astros

Q

uando observamos o céu estrelado em um local sem muitas luzes artificiais, como um campo ou uma praia deserta, percebemos que a intensidade do brilho dos astros (estrelas, planetas, satélites naturais, artificiais, entre outros) varia bastante. Essa diversidade de brilho já chamava a atenção de observadores na Grécia antiga, há cerca de 2.000 anos. Hiparco foi o primeiro a estudar e classificar os astros de acordo com seu brilho, em 129 a.C., criando um sistema que forneceu a base para a escala de magnitudes que utilizamos hoje. A magnitude de um astro pode ser aparente (relacionada com o brilho apresentado pelo astro quando observado da Terra) ou absoluta (relacionada com o brilho que os astros apresentariam se estivessem à mesma distância da Terra). A escala de magnitudes é inversa, ou seja, quanto maior a intensidade do brilho de um astro, menor será o valor das suas magnitudes na escala. O Sol, por exemplo, que de todas as estrelas observadas da Terra é a que apresenta o brilho mais intenso, tem magnitude aparente igual a 227. Observe, na tabela a seguir, o valor aproximado da magnitude aparente de alguns astros.

Magnitude aparente

Astro

227

Sol

213

Lua cheia

22,9 (máxima) 21,4

Planeta Marte Estrela Sírius, a mais brilhante do céu

21,3 (máxima)

Planeta Mercúrio

20,3 (máxima)

Planeta Saturno

0 1,3 2 5,6 6 7,6

Estrela Vega Acrux, estrela mais brilhante do Cruzeiro do Sul Polaris, estrela principal da Ursa Menor Planeta Urano (máximo) Limite da visão humana sem instrumentos Planeta Netuno (máximo)

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Você aprenderá nesta parte Números racionais Operações com números racionais UNIDADES 3 e 4

Para começar... Responda em seu caderno. 1 Que números você observa nesta abertura?

Adição e subtração UNIDADE 3

Multiplicação e divisão UNIDADE 4

Expressões numéricas UNIDADES 3 e 4

Potenciação e raiz quadrada UNIDADE 4

2 Entre eles há números naturais? E números inteiros? 3 Há números que não são nem naturais e nem inteiros? Em caso afirmativo, quais são esses números? 4 Observando da Terra, qual dos astros apresentados na tabela é o mais brilhante? E o menos brilhante? 61

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3

Unidade

Números racionais — adição e subtração 1. Números racionais

1 Onde vivem

Na Antártida, continente gelado que representa 1    ​da área quase ​ ___ 10 continetal do planeta.

O pinguim-imperador é uma espécie de ave que vive no continente mais frio do planeta e, diferentemente de outras aves, reproduz-se no inverno, não na primavera. Conheça, a seguir, outras características dessa ave de grande porte.

Sua população é estimada em 440.000 animais.

Antártida

3 Nome científico e medidas

1,20 m

2 O que comem

C

�6

C

No inverno, as temperaturas atingem �65 °C.

Pode mergulhar a 500 m 500 metros de profundidade para se alimentar de pequenos peixes, lula e krill (tipo de crustáceo). É capaz de permanecer até 20 minutos submerso.

Recorde Os termos de uma fração são:

Nome científico: Aptenodytes forsteri Altura: 1,20 m Massa: 40 kg

Na Unidade 1, vimos que números como 40, 440.000, 265 e 500 pertencem ao conjunto dos números inteiros. E os números ___ ​  1  ​ e 1,20, a que conjunto numérico pertencem? 10 Você já sabe que ___ ​  1  ​  é uma fração. As frações representam razões 10 entre números inteiros. Essas razões, chamadas números racionais, pertencem ao conjunto dos números racionais.

numerador

__ ​ 2 ​  5 denominador

Números que podem ser escritos na forma fracionária, ou seja, a ​, sendo a e b números inteiros e b i 0, são chamados na forma ​ __ b números racionais.

O número 1,20 também pode ser escrito na forma fracionária. Veja: 120  ​ 1,20 5 ​ ____ 100 Dizemos que 1,20 é um número racional. 62

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Os números 40, 440.000, 265 e 500 também podem ser escritos na forma fracionária. Veja: 40 ​  65 ​  • 265 5 2​ ___ • 40 5 ​ ___ 1 1 500 440.000  ​  • 500 5 ​ ____  ​  • 440.000 5 _______ ​    1 1 Dizemos que esses números também são números racionais. Conjunto dos números racionais

Vimos que todo número que pode ser escrito na forma fracionária, com denominador e numerador inteiros e denominador diferente de zero, pertence ao conjunto dos números racionais, que é representado pela letra Q. Q 5 a​  __ ​ a ​, sendo a e b números inteiros e b i 0 b​ b

O diagrama ao lado mostra como os conjuntos dos números racionais Q, naturais N e inteiros Z se relacionan. Pelo diagrama, podemos perceber que todo número do conjunto dos números naturais também pertence ao conjunto dos números inteiros, e que todo número do conjunto dos números inteiros também pertence ao conjunto dos números racionais.

Exemplos

Veja outros números racionais:

N está contido em Z, e Z está contido em Q. Indicamos: N 3 Z 3 Q .

1,25

0,32

25,25

0,3333...

20,3555...

2,3

25,2356

3 ​  1​ __ 5

3 ​  4​ __ 2

21  ​  1​ ____ 100

Observações

• A palavra “racional” vem de razão, no sentido de comparação por meio da divisão, e o símbolo Q vem da palavra quociente. • Representamos por Q* o conjunto dos números racionais sem o zero. • Existem números que não são racionais. Como exemplos, temos as raízes quadradas não exatas de alguns números naturais: d ​ X 2 ​ X 5 1,41421356237... ​dX 3 ​ X 5 1,73205080756... d ​ X 7 ​ X 5 2,82842712474... X 5 2,64575131106... ​dX 8 ​ Há também os números que não são racionais e que não são representados como raízes quadradas não exatas de números naturais: 12,010010001... 24,121221222... 3,141592... Esses números, que serão estudados em outro momento, têm infinitas casas decimais e não apresentam períodos que se repetem. 63

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Representação dos números racionais na reta numérica

Veja como podemos fazer para localizar alguns números racionais não inteiros. • __ ​ 1 ​  5 1  ​ é maior que 0 e menor que 1. Então, desenhamos O número ​ __ 5 uma reta numérica e nela assinalamos dois pontos, associando a eles o 0 e o 1. Depois, dividimos o intervalo da reta de 0 a 1 em cinco partes iguais. Localizamos um ponto na primeira marca, partindo do zero para a direita, e associamos a esse ponto o número __ ​ 1 ​ . 5 O –1

0

1 — 5

1

• 22,3 O número 22,3 é um número racional que está entre 23 e 22. Assinalamos na reta numérica dois pontos, associando a eles os números 23 e 22. Depois, dividimos o intervalo da reta de 23 a 22 em dez partes iguais. Como o número é negativo, localizamos um ponto na terceira marca, partindo do 22 para a esquerda, e associamos a esse ponto o número 22,3.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Assim como os números inteiros, os números racionais também podem ser representados na reta numérica. Para isso, procedemos assim: 1o) Localizamos a origem O e associamos a esse ponto o zero. 2o) Fixamos a distância entre dois números inteiros consecutivos em uma unidade. o 3)L  ocalizamos qualquer número racional que não pertença ao conjunto dos números inteiros, sabendo, no entanto, entre quais números inteiros está esse número racional.

O –3

–2,3

–2

–1

0

• __ ​ 9 ​  4 1 ​ ; portanto, __ O número __ ​ 9 ​ é o mesmo que 2​ __ ​ 9 ​ é um número racional 4 4 4 que está entre 2 e 3. Assinalamos na reta numérica dois pontos e associamos a eles os números 2 e 3. Depois, dividimos o intervalo da reta de 2 a 3 em quatro partes iguais. Localizamos um ponto na primeira marca, partindo do 2 para a direita, e associamos a esse ponto o número __ ​ 9 ​ . 4 O 0

1

2

9 — 4

3

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ATIVIDADES CC Vamos praticar

CC Vamos aplicar

1 Escreva os números abaixo na forma fracionária.

8 Descreva como podemos localizar os números

a) 22,1 b) 8 c) 32,54

d) 25,56 e) 254 f) 210,77

racionais abaixo na reta numérica.

g) 7,895 h) 0,52 i) 1,5647

7 ​  ​ __ 5

2 Copie no caderno os números que são racionais. 22,3

1 ​  23​ __ 2

29

2,82

d ​ X 6 ​X 

7 ​  ​ __ 2

9   ​  2​ ___ 10

0

d ​ X 9 ​X 

3 Analise os números e responda à questão no caReprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

derno. a) 20,3

d) 25

b) 6

e) 1,32

2 ​   c) 2​ __ 7

f) 21,7

1 ​  g) 21​ __ 2 h) 0 i) __ ​ 3 ​  4

17 ​ é racional? a) O número ​ ___ 5 b) Na reta numérica, entre quais números naturais 17 ​ ? está localizado ​ ___ 5 5 Descubra entre quais números inteiros consecutivos estão os números racionais abaixo. 101 5 ​   1 ​  a) 2​ __ d) 23​ __ g) 2​ ____  ​  2 7 4 23  ​ 9 ​   15 ​   e) ​ __ h) ​ ___ b) ​ ___ 7 6 10 5 13 8 __ __ ___ f) 4 ​   ​   i) ​   ​  c) 2​   ​   7 4 3

6 Copie no caderno a reta numérica e localize os números pedidos. –1

0

1

0 ​   c) 2​ __ 2 1 ​   d) ​ __ 3

4 ​   a) 2​ __ 3 5 ​   b) 2​ __ 2

2

3  ​ e) ​ __ 2 5 f) ​ __  ​ 2

Quais são os números racionais representados pelos pontos A, B, C, D e E ? A

B

0

C

D

9 Resolva o problema.

___

Observe ___ o segmento AB​ ​  e os pontos C, D, E e F que dividem ​AB​ em 5 partes iguais. A

C

D

E

F

B

E

F (falsa). a) Todo número natural é um número inteiro, mas nem todo número natural é um número racional. b) Todo número que pode ser escrito na forma fracionária, com numerador e denominador inteiros e denominador diferente de zero, é um número racional. c) A raiz quadrada de 121 não é um número racional. d) A raiz quadrada de 11 não é um número inteiro, mas é um número racional. e) Todo número inteiro é racional, mas nem todo número inteiro é natural. f) A raiz quadrada de 144 é um número natural, mas não é um número racional. g) Todo número racional é natural e inteiro.

11 Leia a afirmação abaixo e, depois, responda à

3

7 Analise a reta e responda em seu caderno.

–1

• Construa uma reta numérica no caderno e localize esses números.

10 Classifique as afirmações em V (verdadeira) ou

4 Responda às questões no caderno.

–2

1 ​  ​ __ 3

1 ​  2​ __ 2

Se A representa o número 5 e B, o número 6, descubra os números racionais que representam os pontos C, D, E e F.

• Por que esses números são racionais?

–3

16 ​   2​ ___ 4

1

questão no caderno. Todo número racional pode ser escrito na forma fracionária com denominador e numerador inteiros e denominador diferente de zero. Então, o resultado da operação a seguir não é um número racional. 0,5 9 0,25 Essa afirmação está correta? Explique.

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Módulo ou valor absoluto de um número racional

1 ​  na reta numérica. 1 ​  e 1​ __ Observe a representação de 2​ __ 3 3 1 — da unidade 3 –1

A

O

B

1 –— 3

0

1 — 3

1 — da unidade 3 1

Comparação de números racionais

12 ​  ? Você tem ideia de como veriQue número é maior: ___ ​ 10 ​  ou  ​ ___ 4 8 ficar isso? Veja dois modos de comparar esses números. 1o) Escrevendo-os na forma decimal: 10 ​ 5 10 9 4 5 2,5 ​ ___ 12 ​ 5 12 9 8 5 1,5 ​ ___ 4 8 10 12 ___ ___ Como 2,5 . 1,5, temos ​   ​ . ​   ​ . 4 8 o 2 ) Escrevendo-os na forma fracionária com um mesmo denominador, temos: ___ ​ 10 ​ 5 ___ ​ 20 ​  4 8 20 ​ . ___ Como ​ ___ ​ 12 ​ , pois 20 . 12, temos ___ ​ 10 ​ . ___ ​ 12 ​ . 4 8 8 8 Observação

Outro recurso para comparar dois números racionais é a reta numérica. O maior número é sempre o que se encontra à direita do outro na reta numérica. Por exemplo: 3 ​  ou 2​ __ 7 ​  ? Que número é maior:  2​ __ 5 9 70 9 30 5 70 0,777... 0 0,6 70 7 7 ​  5 20,777... 3  ​5 20,6 e 2​ __ 2​ __ 5 9 Para a representação na reta numérica, vamos aproximar 20,777... para 20,7. –1

– 0,7 – 0,6

10 ​   ​ ___ 4

12 ​   ​ ___ 8

Também podemos concluir que ___ ​ 10 ​ é maior 4 que ___ ​ 12 ​ analisando as figuras acima. 8

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Os pontos A e B estão situados à mesma distância da origem O. Essa distância é representada pelo número positivo __ ​ 1 ​ , que se chama 3 1 1 __ __ módulo ou valor absoluto dos números 2​    ​e 1​   ​ . 3 3 1 1 1 1 __ __ __ __ Indicamos: ​ 2​   ​    ​5 ​   ​   e ​ 1​   ​    ​5 ​    3 3 3 3 1  ​ são números de sinais contrários e têm o mesmo 1 ​  e ​ __  ​Como 2​ __ 3 3 módulo, dizemos que eles são opostos ou simétricos.

0

3  ​. 2​ __ 7 ​ . Então, 20,6 . 20,7, ou seja, 2​ __ 5 9

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ATIVIDADES CC Vamos praticar

6 Observe este extrato bancário.

1 Qual é o menor número racional em cada caso? 2 ​   a) 20,5 e 2​ __ 3 1  ​e __ ​ 5 ​   b) ​ __ 3 4 1  ​e 0,25 c) ​ __ 6 1 ​  e 20,3 d) 2​ __ 5

........................................................................................

e) 0,43 e 0,4195

BANCO S/A AGÊNCIA 007 DATA 5/11/2010

7  ​e 1,2 f) ​ __ 6 g) 0,74 e 0,7

Data 23/09 27/09 01/10 15/10 30/10

3 ​  e 20,63 h) 2​ __ 5

2 Calcule o módulo ou valor absoluto dos números

-

EXTRATO BANCÁRIO C/C 012345-6 HORA 13:20:01

Histórico Valor R$ Supermercado............................ 350,35 � Sapataria....................................... 75,27 � Frutas SA....................................... 75,36 � Conta de energia....................... 151,27 � Aluguel.......................................... 958,36 �

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

abaixo. 1 ​   a) 2​ __ 2 b) 1,54

7 ​   e) 1​ __ 9 f) 20,25

7 ​   c) 2​ __ 9 d) 20,612

g) 10,32 983  ​ h) 2​ ____ 100

8   ​  i) 22 ​ ___ 19 j) 20,004 15  ​ k) ​ ___ 10 9 __ l) ​    ​ 5

Agora, responda: • Em qual dia houve o maior gasto? E o menor?

7 Encontre três números racionais compreendidos

3 Usando os símbolos ,, . ou 5, compare os números. a) 7,3 e ___ ​ 15 ​   4 101 ____ b) ​   ​ e 20,25 5 524 ​   c) 254 e 2​ ____ 10 790 ____ d) 0,79 e ​    ​ 100

7 ​  e) 22,1 e 2​ __ 3 1   ​  f) 0,02 e ​ ___ 50 16 ​  g) 23,2 e 2​ ___ 5 153 ​  h) 215,6 e 2​ ____ 10

4 Que número é maior? 5,68

___ ​ 30  ​ 25

23,5

__ ​ 1 ​  2

5

564  ​ 2​ ____ 200

1,3

3 ​  2​ __ 5

CC Vamos aplicar

5 Escreva os números em ordem decrescente. 3 ​ ; 2​ ___ 10 ​ ; 21,025 7 ​ ; 2​ __ a) 20,25; 2​ __ 5 8 7 5 3 4 __ __ __ b) ​   ​ ; 0,125; ​   ​ ; 0,235; ​   ​  7 5 3 8 9 7 ​  __ __ c) 22,005; 2​   ​ ; 2​   ​ ; 2​ __ 7 5 3 8   ​ ; 0,748;  ___ ​ 11 ​ ; 1,078; __ ​ 3 ​  d) ​ ___ 11 5 2 9 17 ___ __ e) 0,028; 20,92; 2​   ​ ; ​   ​ ; 22,574 6 8 3 5 7 __ __ ___ f) ​   ​ ; 2​   ​ ; ​     ​ ; 20,6; 25,005 9 7 12

entre: a) 0 e 0,001 25.313 ​   45  ​e 2​ ______ b) 2​ ___ 16 9.000 5  ​e ___ ​  7   ​   c) ​ __ 8 10 d) 0,003 e 0,004

3  ​ e) 0,4 e ​ __ 7 9 ​  e 1,34 f) ​ __ 7 g) 20,1256 e 20,1427 3 ​  2  ​e 2​ __ h) 2​ __ 5 5

8 Localize os números na reta numérica e identifique o menor racional em cada caso. 524 ​  a) 23 e 23,5 c) 54 e 2​ ____ 10 11 ___ b) ​   ​ e 2,25 d) 2 e 25,2 5 9 Localize cada número abaixo na reta numérica e verifique a qual dos intervalos o número pertence. Depois, faça a associação. A 1,63

I 22 a 21

​ 2 ​  ​ B ​ 2__ 3

II 21 a 0

2 ​  C 21​ __ 3

III 0 a 1

7 ​  D 2​ __ 8

IV 1 a 2

​ 12 ​  ​ E ​ 2___ 5

V 2a3

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2. Adição e subtração com números racionais Para realizar as operações de adição e de subtração com números racionais, adotamos o mesmo procedimento da adição e da subtração com números inteiros. Acompanhe as situações. Situação 1 – Adição

Observação

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

As propriedades da adição com números inteiros também são válidas para a adição com números racionais. São elas: a associativa, a comutativa, a da existência do ele­mento neutro e a da existência do elemento oposto.

Nas férias de julho, Bruno viajou para Uruguaiana, no Rio Grande do Sul. Na noite em que ele chegou à cidade, a temperatura era 22,7 °C. Na noite seguinte, a temperatura caiu 1,6 °C. Qual foi a temperatura na segunda noite? Para responder à questão, devemos efetuar a seguinte adição: (22,7) 1 (21,6) 5 ? Como os números têm sinais iguais, adicionamos seus valores absolutos e damos o mesmo sinal à soma (procedimento igual ao adotado na adição com números inteiros): (22,7) 1 (21,6) 5 24,3 Então, a temperatura na segunda noite foi 24,3 °C. Situação 2 – Adição

Gilberto estuda os danos ambientais causados aos corais marinhos. Em uma de suas pesquisas, ele mergulhou à profundidade de 216,5 m. Após 20 minutos, ele subiu 7,4 m para tirar algumas fotos de um recife de coral. A que profundidade está o recife de coral que Gilberto fotografou? Para responder à questão, devemos efetuar a seguinte adição: (216,5) 1 (17,4) 5 ? Como os números têm sinais contrários, subtraímos o menor valor absoluto (​ 7,4 ​5 7,4) do maior (​ 216,5 ​5 16,5) e damos ao resultado o sinal do número racional que tem maior valor absoluto (procedimento igual ao adotado na adição com números inteiros): (216,5) 1 (17,4) 5 29,1 diferença entre os valores absolutos sinal do número com maior valor absoluto

Recife de coral e fauna característica desse ecossistema.

O recife de coral está à profundidade de 29,1 m. 68

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Situação 3 – Adição e subtração

1 ​  1 __ Encontre o resultado da expressão: 2​ __ ​ 1 ​  1 __ ​ 1 ​  5 8 4 Antes de efetuar as operações é necessário transformar essas frações em frações equivalentes de mesmo denominador. Para isso, calculamos o mmc (4, 5, 8): mmc (4, 5, 8) = 2 8 2 8 2 8 5 = 40 8  ​ ​  1  ​5 2​ ___ 1  ​5 ___ 1  ​5 ___ __ __ 2​ __   ​  5  ​ ​    ​ 10  ​ 5 4 40 40 8 40 Agora, efetuamos a adição: 1 ​  1 __ 2​ __ ​ 10  ​5 ___ ​  7  ​  ​ 1 ​  1 __ ​ 1 ​  5 2​___   8  ​ 1 ___ ​  5  ​ 1 ___ 40 40 40 40 5 8 4

Recorde Para calcular o mmc (4, 5, 8), fazemos: 4, 5, 8 2, 5, 4 1, 5, 2 1, 5, 1 1, 1, 1

2 2 2 5 2828285

mmc (4, 5, 8) 5 2 8 2 8 2 8 5 5 40

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Situação 4 – Subtração

No mês passado, Lola estava com saldo negativo no valor de R$ 358,27 em sua conta bancária. Neste mês, com os juros cobrados pelo banco, sua dívida passou a ser de R$ 583,54. Quantos reais a mais Lola está devendo para o banco? Para responder à questão, devemos efetuar a seguinte subtração: (2583,54) 2 (2358,27) = ? Assim como na subtração com números inteiros, a subtração com números racionais pode ser realizada adicionando-se o primeiro número ao oposto do segundo: (2583,54) 2 (2358,27) 5 (2583,54) 1 (1358,27) 5 2225,27 oposto de (2358,27)

Portanto, em relação ao mês passado, Lola está devendo R$ 225,27 a mais para o banco.

ATIVIDADES CC Vamos praticar

CC Vamos aplicar

1 Encontre o resultado das operações.

3 Resolva o problema no caderno.

@  # @  # @  #

a) ​ 2__ ​ 8 ​    ​1 ​ 2__ ​ 1 ​   ​ 7 5 2 ​  1 ​ 2___ ​  3   ​   ​ b) ​ __ 10 9

d) 23,5 2 (28,9)

c) 5,4 2 (23,2)

​  3   ​   ​2 ​ 2__ ​ 1 ​  ​ f) ​ 2___ 7 11

e) (212,5) 1 (24,15)

@ 

# @  #

2 Calcule e dê o resultado na forma decimal.

@  # @  # b) ​@ 2__ ​ 3 ​  #​1 ​@ 1__ ​ 9 ​  #​ 4 6 c) ​@ 2__ ​ 5 ​  #​1 @​  2__ ​ 2 ​  #​ 5 8 d) (22,69) 2 ​@ 2__ ​ 7 ​  #​ 8 a) ​ 2__ ​ 3 ​   ​2 ​ 2__ ​ 1 ​   ​ 5 4

@  # @  # f) ​@ __ ​ 1 ​   #​2 (20,25) 8 g) ​@ 1___ ​  6   ​  #​2 @​  2___ ​  9   ​  #​ 20 12 e) ​ 2__  ​2 ​   ​2 ​ 2___ ​ 21  ​  ​ 5 12

h) (20,283) 1 (21,584)

1 ​  de seu salário para passeios Roberto reservou ​ __ 5 1  ​ para compra de roupas. Que fração de seu e ​ __ 4 salário Roberto reservou para essas despesas? 69

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4 Adicione cada número a seu oposto e escreva uma

8 Classifique as afirmações em V (verdadeira) ou

conclusão. 1 ​  2​ __ 8

___ ​  5   ​  16

2,5

20  ​ 2​ ___ 17

F (falsa). a) Subtraindo um número do seu oposto, obtém-se zero. b) É possível subtrair um número racional negativo de outro racional negativo e obter um número racional positivo. c) É possível subtrair um número racional positivo de outro número racional positivo e obter um número racional negativo. d) Subtraindo um número de outro, o sinal do resultado é sempre o do número de menor módulo.

23,4

5 Resolva o problema.

Durante uma aula de Ciências, os alunos fizeram uma experiência para estudar a variação de temperatura da água em diferentes situações. Primeiro, colocaram água em uma panela e verificaram que a temperatura da água era 20 °C. Depois, colocaram a panela no fogo durante um minuto e verificaram que a temperatura da água subiu 7,4 °C. Em seguida, desligaram o fogo e jogaram 5 pedras de gelo dentro da panela, verificando que a temperatura da água baixou 4,7 °C. a) Qual foi a temperatura atingida pela água depois de um minuto no fogo? b) Qual foi a temperatura atingida pela água depois de entrar em contato com o gelo? c) Qual foi a diferença entre as temperaturas máxima e mínima atingidas?

Natália foi comprar linguiça para sua mãe. Quando chegou ao mercado, pediu ao atendente que pesasse 1,5 kg de linguiça. O atendente pesou determinada quantidade e obteve na balança a indicação de 1,68 kg. Ele, então, retirou algumas linguiças, e a indicação na balança passou para 1,5 kg. Quantos quilogramas de linguiça o atendente retirou?

6 Responda à questão.

10 Eduardo ganhou R$ 100,00 de presente de aniversário de seus padrinhos. Com esse dinheiro, foi a uma lanchonete com os amigos e gastou R$ 21,63. Foi ao shopping e comprou uma camiseta no valo­r de R$ 39,99 e um livro no valor de R$ 29,99. Com quantos reais Eduardo ficou?

7 Observe o quadro com temperaturas em três localidades e responda às questões. Localidade

A

Temperatura máxima Temperatura mínima

Resolva o problema. 1 — 3

0

1 –— 3

1 — 4

1 — 4

2 –— 3

1 — 2

2 — 3

1 –— 5

1 — 4

1 — 4

1 — 3

1 — 2

1 –— 3

2 –— 3

1 — 4

0

1 — 2

2 — 3

1 — 5

B

C

12,4 °C

25,1 °C

1 °C

2 — 5

1 — 4

1 — 2

0

24,5 °C

27,6 °C

22,2 °C

2 –— 5

1 –— 5

1 — 5

0

a) Qual é a diferença entre as temperaturas máxima e mínima em cada loca­lidade? b) Em qual localidade a diferença de temperatura foi maior?

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

9 Resolva o problema no caderno.

Copie a figura no caderno e divida-a em 7 partes iguais, de mesmo formato e dimensões, de maneira que, adicionando-se os números contidos em cada parte, obtenha-se o mesmo resultado.

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3. Adição algébrica Assim como fizemos com os números inteiros, também consideramos as operações de adição e de subtração com números racionais uma só operação, que denominamos adição algébrica. Aplicando o que aprendemos até aqui, veja como podemos calcular as seguintes adições algébricas: Exemplo 1

Calcular (20,25) 1 (10,28) 2 (20,45) 2 (11,3). (20,25) 1 (10,28) 2 (20,45) 2 (11,3) 5 5 20,25 1 0,28 1 0,45 2 1,3 5 5 0,03 1 0,45 2 1,3 5 10,48 2 1,3 5 20,82 Exemplo 2

Efetuamos as operações.

#

​ 5 ​  2 2,3  ​. Calcular (20,23 1 3) 1 ​ 2__ ​ 1 ​  1 5  ​2 ​ 2__ 5 2 5 1 __ __ (20,23 1 3) 1 ​ 2​   ​  1 5  ​2 ​ 2​   ​  2 2,3  ​5 5 2 5 (20,23 1 3) 1 (20,2 1 5) 2 (22,5 2 2,3) 5 5 (12,77) 1 (14,8) 2 (24,8) 5 5 12,77 1 4,8 1 4,8 5 5 112,37 5 12,37

@ 

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

# @  @  # @  #

Eliminamos os parênteses.

Escrevemos na forma decimal os números que estão na forma fracionária. Efetuamos as operações dentro dos parênteses. Eliminamos os parênteses. Eliminamos o sinal de 1.

ATIVIDADES CC Vamos praticar

CC Vamos aplicar

1 Encontre o resultado das adições algébricas.

3 As letras a, b e c representam valores diferentes.

@  # 3   ​ 2 ​  1,56 1 __ b) ​ ___ ​ 4 ​   #​2 (23,2) 1 ___ ​  1   ​  5 10 10 @ c) ​@ 20,5 1 ___ ​  2   ​  #​2 @​  22,36 1 __ ​ 5  ​  #​1 @​  __ ​ 4 ​  1 6,32 #​ 4 5 10 d) 2(20,96 1 8,4) 1 ​@ __ ​ 3 ​  2 ___ ​  1   ​   ​2 ​  __ ​ 4 ​  1 6,1 #​ 5 10 # @ 8 e) 2​@ ___ ​ 12  ​2 1,85 #​1 @​  0,276 2 ___ ​ 18  ​ #​1 (20,398) 15 12 1 ​  2 ​ 0,32 1 __ a) (20,25) 1 ​ __ ​ 1 ​   ​ 4 5

2 Encontre o erro e corrija-o no caderno.

@  # @  #

a) ​ 2 ​__  2 ​    ​2 ​ 2 ​__  1 ​   ​5 2 ​__  1 ​  6 6 6 2 __ b) ​    ​2 0,2 5 0,2 5 2  ​1 ​ __ ​ 3 ​  1 ​ 2 __ ​ 1 ​    ​  ​5 __ ​ 2 ​  1 2 5 __ ​ 4 ​  c) ​ __ 4 3 6 3 3

[ 

@  # ] 5  ​1 ​  2__ 11 ​  d) 2​ __ ​ 1 ​  1 __ ​ 3 ​   ​2 __ ​ 1 ​  5 2 ​ ___ 4 @ 8 2# 2 8 1 ​  1 ​  21 1 __ ​ 5 ​  #​1 __ ​ 2 ​  5 __ ​ 1 ​  e) ​ __ 6 6 2 3 @

Observe: ​ 5 ​   e  c 5 21 a 5 2​__  1 ​ ,  b 5 __ 2 3 Substitua os valores das letras em cada caso e calcule os resultados. Como exemplo, observe o item a. 6 ​  5 __ 1 ​  1 __ ​ 5 ​  21 5 2​__  3 ​  1 ___ ​ 10 ​ 2 ​ __ ​ 1 ​  a) a 1 b 1 c 5 2​ __ 6 6 6 6 2 3 b) (b 1 c) 2 a c) a 1 (c 2 b) d) [a 1 (2b 1 c) 2 c] e) 2a 2 (2b 1 c) f) 2a 2 (2b 1 c) 1 a 1 b

4 Calcule e responda. a) Qual é o número racional que adicionado a 3 ​  tem 2 ​ __ 1 ​  como resultado? ​ __ 5 5 b) Qual é o número racional que adicionado a 3   ​  ? 11 ​  resulta em  ​ ___ 2 ​ ___ 7 14

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Tratamento da informação Ler e interpretar dados em tabela de dupla entrada 1 Observe como os mesmos dados podem ser organizados de diferentes maneiras. O Brasil é líder mundial em reciclagem de latas de alumínio. Em 2007, foram recicladas 159,3 mil toneladas, o equivalente a 11,8 bilhões de latas por ano. Veja, nas tabelas abaixo, alguns dados sobre os anos de 2006 e 2007. Retorno ao consumo

Enchimento

Novas latas

Laminação

Consumo

Coleta

Quantidade de latas de alumínio consumidas e recicladas no ano de 2006 no Brasil Total de latas (em bilhões) Latas consumidas 10,8 Latas recicladas 10,2

Prensagem

Fundição

Quantidade de latas de alumínio consumidas e recicladas no ano de 2007 no Brasil Total de latas (em bilhões) Latas consumidas 12,3 Latas recicladas 11,8

Dados obtidos em: <http://www.abralatas.com.br>. Acesso em: 19 out. 2009.

Dados obtidos em: <http://www.abralatas.com.br>. Acesso em: 19 out. 2009.

Os dados das duas tabelas podem ser reunidos em uma única tabela, denominada tabela de dupla entrada. Veja: Quantidade de latas de alumínio consumidas e recicladas nos anos de 2006 e 2007 no Brasil 2006 2007 Latas consumidas 10,8 12,3 (total de latas em bilhões) Latas recicladas 10,2 11,8 (total de latas em bilhões)

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Lingotamento

Compra

Para responder aos itens c e d, você deverá comparar os dados das colunas dos anos de 2006 e 2007.

Dados obtidos em: <http://www.abralatas.com.br>. Acesso em: 19 out. 2009.

Agora, responda às questões de acordo com os dados da tabela de dupla entrada. a) Os dados apresentados na tabela referem-se a qual assunto? b) Onde esses dados foram obtidos? c) Em que ano foram consumidas mais latas de alumínio? Quantas latas foram recicladas nesse ano? d) Comparando os dados de 2006 e 2007, quantas latas de alumínio foram consumidas a mais? E quantas foram recicladas a mais? 72

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2 Leia com atenção a tabela de dupla entrada para responder às questões. O movimento nos aeroportos brasileiros, tanto de voos nacionais quanto de internacionais, é significativo. Veja: Total de pessoas que desembarcaram nos aeroportos brasileiros, de voos internacionais e nacionais, em agosto de 2008 e em agosto de 2009 2008

2009

Total de pessoas que desembarcaram de voos internacionais

583.352

544.313

Total de pessoas que desembarcaram de voos nacionais

3.730.600

4.567.260

Dados obtidos em: <http://www.turismo.gov.br>.

Note que os dados dessa tabela também poderiam estar em duas tabelas: uma com os dados de 2008 e outra com os dados de 2009.

Acesso em: 19 out. 2009.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) A qual assunto se referem os dados apresentados nessa tabela? b) Onde esses dados foram obtidos? c) Em qual dos dois meses desembarcaram mais pessoas nos aeroportos brasileiros? Quantas pessoas desembarcaram nesse mês? d) Em qual dos dois meses desembarcaram mais pessoas de voos internacionais? Em relação ao outro mês, quantas pessoas desembarcaram a mais?

3 Leia o texto e a tabela e responda às questões. De 2004 a 2008, o Brasil passou a importar mais produtos (comprar produtos de outros países), assim como passou a exportar mais (vender produtos para outros países). Veja, na tabela a seguir, o valor total movimentado com as importações e exportações. Total movimentado, em milhões de dólares, pela importação e exportação brasileira 2004

2005

2006

2007

2008

Importação

62.835

73.606

91.384

120.617

173.197

Exportação

96.475

118.308

137.470

160.649

197.942

Dados obtidos em: <http://www.desenvolvimento.gov.br>.

Acesso em: 19 out. 2009.

a) A qual assunto se referem os dados apresentados nessa tabela? b) Onde esses dados foram obtidos? c) Em que ano a exportação movimentou o maior valor? De quanto foi esse movimento? d) Em que ano a importação movimentou o menor valor? De quanto foi esse movimento? e) Quantos milhões de dólares foram movimentados com as importações e exportações brasileiras em cada ano? f) Pode-se afirmar que o total movimentado das exportações e importações em 2008 foi mais que o dobro em relação ao ano de 2004? g) Considerando o valor importado como saldo negativo e o valor exportado como saldo positivo, calcule a diferença entre esses saldos, em milhões de dólares, para cada ano.

Petróleo e combustíveis foram o segundo produto mais exportado pelo Brasil em 2008, somando 23.047 milhões de dólares em exportações.

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Atividades integradas 1 Copie no caderno apenas os números racionais. dXX 5 ___ 2

298

9 5___ 13

14

dXX 3

9 Descubra se Júlia e Ricardo estão corretos.

2​__ ​2 3

2 Escreva os números na forma fracionária. a) 7,25 b) 215,8

c) 33 d) 75,5

5 inteiros é maior que 4 inteiros. Portanto, 5,6 é maior que 4,9.

9 décimos é maior que 6 décimos. Portanto, 4,9 é maior que 5,6.

e) 6,128 f) 294,45

3 Classifique as afirmações em V (verdadeira) ou F (falsa). a) Todo número inteiro é um número racional. b) Todo número racional é um número inteiro. c) Todo número natural é um número racional. d) Todo número racional é um número natural. e) Todo número natural é inteiro. f) Todo número inteiro é natural.

Júlia

Ricardo

4 Represente na reta numérica os números racionais indicados abaixo. 16 ___ 3

7 2__ 5

3 22__ 4

4 2__ 6

21 2___ 9

9 __ 5

5 Escreva dois números racionais que estejam entre os números: a) 21 e 22 b) 2,32 e 2,33

c) 3,5 e 4 d) 20,22 e 20,2

11 Leia o problema e resolva-o no caderno.

6 Calcule o módulo ou valor absoluto. a) 1,56 15 b) 2___ 7

No último trimestre, foi construído 1,2 km de uma estrada, que passou a ter 10,5 km. Quantos quilômetros essa estrada tinha há três meses?

c) 259 5 d) 26 __ 9

7 Associe os números a seus opostos ou simétricos. 23 A ___

100 I 2___ 25

17 B 2___ 5

3 II __

C 4

34 III 2___

7 D 3__ 9

23 IV 2___

99 E 2___ 132

2 V 3__

11

4

9

11

5

8 Descubra o menor número racional em cada caso. 1 e 24 a) __ 2 b) 224 e 225

90 c) 12 e ___ 7 8 7 d) 2__ e 2__ 5 6

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

10 Responda no caderno.

Rafael foi ao supermercado e comprou uma lata de ervilha por R$ 1,25, um pacote de macarrão por R$ 3,30 e uma barra de chocolate por R$ 1,75. Quanto Rafael gastou?

12 Resolva. Júnior gosta de fazer economia. Para isso, ele costuma pesquisar preços antes de gastar sua mesada. Todo o dinheiro economizado, ele deposita em uma caderneta de poupança. Durante a última semana, Júnior conseguiu guardar 9 notas de R$ 1,00, 11 moedas de R$ 0,50; 15 moedas de R$ 0,25; 23 moedas de R$ 0,10 e 13 moedas de R$ 0,05. Quanto Júnior conseguiu guardar essa semana?

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13 Leia o problema e resolva.

2 das O resultado de uma pesquisa foi o seguinte: __ 5 1 prepessoas entrevistadas preferem Matemática, __ 4 1 prefere Língua Portuguesa, e as fere Geografia, __ 3 demais não têm preferência por uma disciplina específica. Qual fração do total de pessoas não tem preferência por uma disciplina específica?

17 Resolva. A rádio de uma escola realizou uma pesquisa para identificar os gêneros musicais preferidos pelos alunos. __1 prefere rock, 4

__1 prefere pagode e 2

__1 prefere MPB. 5

14 Descubra o número racional que está escondido e reescreva no caderno as operações indicadas. a) (20,8) 1 5 0 2 5 21 b) 1 2__ 3 10 10 1 2__ 1 5 1 ___ c) ___ 4 7 7 1 1 __ __ d) 2​​ 1 5 2​​ 5 5 e) (1,5) 1 [(21,7) 1 (5,3)] 5 [(1,5) 1 ( )] 1 (5,3)

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

@ # @ #

15 Relembre a representação de uma adição de números inteiros na reta numérica:

18 Veja uma forma de calcular

(12) 1 (25) 5 ? (+2) + (–5)

–3

–2

João e Caio estão analisando os dados obtidos. De acordo com a pesquisa, que fração representa o número de alunos que não preferem rock nem pagode?

–1

0

1

2

3

(12) 1 (25) 5 23 Agora, represente no caderno as adições a seguir e descubra o resultado de cada uma. 3 1 (21) ​1 e) 2__ a) (11) 1 ​ 2​__ 2 2 7 1 1 2__ b) (0,5) 1 (23,5) f) __ 4 4 6 1 1 2__ c) (22) 1 (21,5) g) __ 5 5 3 d) (23) 1 1__ h) (13) 1 (25,5) 5

@ # @ # @ #

@ #

@ #

16 Copie a figura no caderno e complete-a com números sabendo que o número correspondente a cada retângulo resulta da adição dos números dos dois retângulos que o sustentam.

o valor da expressão (20,9) 1 (20,3) 1 (20,7) 1 (0,5) usando as teclas de memória da calculadora. (tecla usada para memoM2 rizar M1 um número) M1

MRC M2 (tecla usada para memoM1 MRC rizar M2 o oposto de um número)

(tecla usada para fazer a M1 adição algébrica dos números memorizados em M1 e M2 ) MRC

0 0 0 0

. .. .

MRC M2 9 M2 MRC 0 . 3 M2 0 9 M1 M2 MRC 0 . 3 M2 0 5 5 M1 MRC

. .

7 M2 7 M2

Obtemos: • Agora, efetue as operações a seguir e confira com uma calculadora, conforme a explicação acima. (20,8) 1 (10,6) 1 (210) 1 (20,7) 1 (10,5) 1 (20,3)

19 Resolva. –2,5 –0,1

0,2 3 –— 2

Determine o valor de cada expressão sabendo que 3 e c 5 0,25. 1 ; b 5 __ a 5 2__ 4 2 a) a 1 b 2 c 5 c) 3c 1 (a 2 b) 5 b) 2a 1 c 2 b 5 d) 2b 2 (a 1 c) 5 75

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Unidade

4

Números racionais — outras operações 1. Multiplicação com números racionais Tatiana está comprando sorvete de vários sabores para servir em uma reunião com suas amigas. Sabendo que o preço do quilograma do sorvete é R$ 9,30, podemos calcular quanto Tatiana pagará pelo sorvete multiplicando a quantidade de sorvete comprado pelo preço de um quilograma de sorvete. 4 3 2 0 2

um algarismo à direita da vírgula um algarismo à direita da vírgula

dois algarismos à direita da vírgula

Logo, Tatiana irá pagar R$ 13,02 pelo sorvete. Observe que, na operação efetuada, os dois fatores têm sinais iguais (são positivos), por isso obtemos um número positivo: (1,4) 8 (9,3) 5 13,02 Acompanhe, na página seguinte, mais alguns exemplos de multiplicação de números racionais.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1,  9, 4 1 1 2 6 1 3, 0

Exemplo 1

Calcular (10,5) 8 (21,2). Primeiro calculamos o produto dos módulos dos números e em seguida analisamos qual será o sinal do produto obtido. 0,  1, 1 10 5 0, 6

5 2 0 0 0

um algarismo à direita da vírgula um algarismo à direita da vírgula

dois algarismos à direita da vírgula

Como os dois fatores têm sinais diferentes, o produto é um número negativo. Então: (10,5) 8 (21,2) 5 20,6 76

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Exemplo 2

@  # @  #

Calcular ​ 2__ ​ 2 ​   ​ 8  ​ 2__ ​ 1 ​   ​. 5 4 Primeiro calculamos o produto dos módulos dos números e em seguida analisamos qual será o sinal do produto obtido.  ​ 5 ___ ​  1  ​  ​ 1 8 1  @​  __​ 52 ​  #​ 8  @​  __​ 41 ​  #​ 5  @​  __​ 52 ​  #​ 8  @​  __​ 41 ​  #​ 5  ____ 582 10 1

2

Observe que os dois fatores têm sinais iguais, logo o produto é um número positivo. Veja: 1  ​  @​  2__​ 52 ​  #​8 @​  2__​ 41 ​  #​5 1​ ___ 10 Exemplo 3

@  #

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Calcular (20,2) 8 ​ 1__ ​ 2 ​   ​. 3 Primeiro escrevemos na forma fracionária o número que está na forma decimal, depois calculamos o produto dos módulos e por fim analisamos qual será o sinal do produto obtido.

@  # @ 

# @  # @ 

1 2  ​  ​ 2 ​   ​5 ______ ​  2  ​   ​8 ​ 1__ ​ 2 ​   ​5 ​ 2___ ​  2  ​5 8 __ ​ 21 8 2 ​ 5 2​ ___ ​ 2 ​   ​5 ​ 2___ (20,2) 8 ​ 1__ 10 10 3   5 8 3 15 3 3

#

Observe que os dois fatores têm sinais diferentes, logo o produto é um número negativo.

@  #

2  ​  (20,2) 8 ​ 1__ ​ 2 ​    ​5 2​ ___ 3 15 Exemplo 4

Calcular (22,6) 8 0. (22,6) 8 0 5 0 Observe que, como um dos fatores é igual a zero, não é necessário calcular o produto entre o módulo dos números, pois o produto será sempre igual a zero, independentemente do sinal do outro fator.

Assim como foi feito com os números inteiros, podemos elaborar o seguinte quadro de sinais para a multiplicação de números racionais: Quadro de sinais da multiplicação com números racionais Fatores

Sinais dos fatores

Fatores com o mesmo sinal

Positivo (1) e positivo (1)

Fatores com sinais diferentes Um dos fatores iguais a zero

Negativo (2) e negativo (2) Positivo (1) e negativo (2) Negativo (2) e positivo (1) Positivo (1) e zero Negativo (2) e zero

Produtos Produto positivo (1)

Produto negativo (2)

Produto igual a zero

Observação Para a multiplicação com números racionais, valem as mesmas propriedades consideradas na multiplicação com números inteiros. São elas: a associativa, a comutativa, a da existência do elemento neutro e a distributiva.

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ATIVIDADES CC Vamos praticar

5 Resolva o problema. Sandra quer trocar o piso de sua sala, que tem formato retangular e medidas iguais a 4,7 m de comprimento e 5,5 m de largura. Quantos metros quadrados de piso ela precisará comprar sabendo que a área da sala é dada pela multiplicação entre as medidas do comprimento e da largura da sala?

1 Encontre o resultado das multiplicações.

@  # @  #

@  #

​ 8 ​   ​ 8 ​ 1__ ​ 4 ​   ​ a) ​ 2__ 9 3

e) (10,2) 8 ​ 2__ ​ 1 ​   ​ 4

b) (22,25) 8 (21,4)

f) (110,5) 8 (28,4)

@  # d) ​@ 1___ ​ 12  ​ #​8 @​  2__ ​ 3 ​  #​ 15 7

g) ​ 2___ ​ 23 ​   ​8 ​ 2__ ​ 1 ​   ​ 7 4

​ 1 ​   ​ c) (20,23) 8 ​ 1__ 5

@ 

# @ 

#

@ 

#

h) (20,12) 8 ​ 2___ ​  1   ​   ​ 10

2 Associe cada operação ao seu resultado.

@  # @  # @  # ​ 3 ​ #​8 (20,17) ​@ 2__ 8

I 20,0675

​ 10  ​  ​8 ​ 1__ ​ 1 ​   ​ ​  1    ​  ​8 ​ 1___ B ​ 1___ 2 10 25

II 25,865

C

III 0,02

@  # ​ 2 ​ #​8 @​  1__ ​ 6 ​  #​8 @​  1__ ​ 1 ​  #​ ​@ 2__ 5 5 2

​ 170 ​  ​ D (0,69) 8 ​ 2____ 20

IV 0,06375

E

V 20,24

6 Responda às questões no caderno. a) Quanto é o dobro de 0,25 ? 3  ​ ? b) Quanto é o triplo de ​ __ 4 c) Quanto é o quádruplo de 21,2 ? 7  ​ ? d) Quanto é o quíntuplo de 2​ __ 8

7 Observe e complete o quadro de multiplicação.

CC Vamos aplicar

3

3 Marcela precisa comprar 3,5 kg de tomates para

2  ​ ​ __ 5 3  ​ 2​ __ 2

fazer a receita de um molho. Considerando que perto de sua casa o tomate está custando R$ 2,20 o quilograma, calcule quanto Marcela irá gastar apenas com esse ingrediente.

Loja A 3 × RS 57,95

Loja B 6 × RS 29,83

0,75 3   ​  ​ ___ 10

2   ​  2​ ___ 25

21

@  #

__ ​ 2 ​  8 ​ 2__ ​ 1 ​   ​ 5 2

4 Priscila queria um aparelho de som portátil. Durante a pesquisa de preços que realizou, ela encontrou as seguintes ofertas:

1  ​  2​ __ 2 1 ​  2​ __ 5

8

__ ​ 2 ​  8 0,75 5

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A (20,25) 8 (10,9) 8 (10,3)

Responda à questão no caderno. 1 ​  de __ ​ 1 ​  de __ ​ 1 ​  de uma barra de Quanto representa ​ __ 4 2 3 chocolate?

9

Resolva o problema. A tecla do sinal de divisão da calculadora de Guilherme está quebrada. Ele precisa calcular quanto vale a metade de 0,34. Que teclas da calculadora Guilherme deverá apertar para fazer esse cálculo?

Observando as ofertas, em qual loja Priscila pagará mais caro pelo aparelho de som?

78

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2. Divisão com números racionais Cíntia está trocando parte da fiação elétrica de sua casa. Para isso, ela comprou 8 metros de fio e pagou R$ 23,20. Após uma semana, ela percebeu que precisava de mais 0,5 metro desse mesmo fio. Considerando que o preço do fio não mudou, vamos calcular quanto Cíntia pagará por 0,5 metro de fio. 1o) Calcular o preço de um metro 2o) Calcular o preço de meio mede fio. tro de fio. 8 100

8 10

(2,9) 9 (2) 5 29 9 20

(23,20) 9 (8) 5 2320 9 800

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

8 100

8 10

2320 800 –1600 2,9 7200 –7200 0

29 20 –20 1,45 90 –80 100 –100 0 Portanto, Cíntia pagará R$ 1,45 por 0,5 metro de fio. Observe que, nas duas partes da resolução, o dividendo e o divisor foram multiplicados por uma potência de 10. Isso ocorreu para que ambos resultassem em números inteiros. Além disso, como ambos são números positivos, o quociente também é positivo. Para determinarmos o sinal de um quociente entre dois números racionais, vamos usar o mesmo quadro-resumo elaborado para a divisão de números inteiros. Acompanhe alguns exemplos a seguir.

Recorde Se o dividendo e o divisor de uma divisão forem multiplicados por um mesmo número diferente de zero, a nova divisão terá o mesmo resultado.

Exemplo 1

Calcular (21,55) 9 (10,25). Primeiro multiplicamos o dividendo e o divisor por 100 a fim de obter um dividendo inteiro: 8 100

(21,55) 9 (10,25) 5 (2155) 9 (125) 8 100

Recorde Quando multiplicamos um número decimal por 10, 100 ou 1.000, deslocamos a vírgula, respectivamente, uma, duas ou três casas para a direita.

Depois, calculamos o quociente dos módulos: 1 5 5 2 5 2 1 5 0 6,2 5 0 2 5 0 0 Como o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número negativo. Veja: (21,55) 9 (10,25) 5 26,2 79

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Exemplo 2

@  # @  #

​ 3 ​   ​. Calcular ​ 2__ ​ 1 ​   ​ 9  ​ 2__ 4 2 Inicialmente, calculamos o quociente dos módulos, lembrando que na divisão de frações multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda. 2 __  ​5 __ ​ 2 ​  ​ 3 ​   5  __ ​ 1 ​   8  __ ​ 4 ​   5  __ ​ 1 ​  8 __ ​ 2 ​  5  ____ ​ 1 8 2  ​ 1 ​   9  __ 2 4 12 3 1 3 183 3 inverso

Como o dividendo e o divisor têm sinais iguais, o quociente é um número positivo. 2 ​  ​ 2__ ​ 3 ​   ​5 1​ __ ​ 1 ​   ​9 ​ 2__ 4 2 3

Recorde Dois números racionais, não nulos, são inversos quando seu produto é igual a 1. Exemplo

@ 

# @ 

#

​ 2___ ​  6  ​  ​8 ​ 2___ ​ 10 ​   ​5 1 10 6 Para obter o inverso de um número racional, invertemos o numerador com o seu denominador.

@  # @  #

Exemplo 3

inverso

forma fracionária

Como o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número negativo. 15  ​ ​ 2__ ​ 3 ​   ​9 (10,4) 5 2​ ___ 7 14

@  #

ATIVIDADES CC Vamos praticar

3 Encontre o erro que Filipe cometeu ao fazer a multiplicação.

1 Calcule o quociente das divisões.

@  # @ 

#

10  ​  ​ 2  ​  ​9 ​ 1​ ___ a) ​ 2​ __ 3 21

e) (23) 9 (11,5)

b) (21,5) 9 (20,4)

6  ​  ​9 ​ 2​ __ 3  ​  ​ c) ​ 1​ __ 7 2 5  ​  ​ d) (10,75) 9 ​ 2​ __ 4

7  ​  ​9 (12,1) f) ​ 2​ __ 5 8  ​  ​9 (23,5) g) ​ ​ __ 3 3  ​  ​ h) (26,3) 9 ​ 2​ __ 5

@  # @  # @  #

@  # @  #

@  #

2 Identifique as igualdades falsas e corrija-as em seu caderno.

@  # @  #

5  ​  ​9 ​ 2​ __ 3  ​  ​5 1 a) ​ 2​ __ 5 3

b) (10,1) 9 (20,01) 5 210

c) (21,3) 9 (10,2) 5 26,5

7  ​  ​9 (20,5) 5 ​ __ 7  ​ d) ​ 1​ __ 4 2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

@  #

Calcular ​ 2__ ​ 3 ​   ​9 (10,4). 7 Calculamos o quociente dos módulos, escrevendo na forma fracionária o número que está na forma decimal: 5 __ ​ 3 ​  8 ___  ​5 ___ ​ 15  ​ ​ 3 ​  9 ___ ​  4  ​ 5 __ ​ 10 ​ 5 __ ​ 3 ​  8 __ ​ 5 ​  5 ____ ​ 3 8 5  ​ 3 ​  9 (0,4) 5 __ 7 7 10 7 24 7 2 7 8 2 14

• Após detectar o erro, faça o cálculo correto no caderno. CC Vamos aplicar

4 Resolva o problema no caderno. Fabiano foi fazer uma pesquisa para um trabalho de faculdade em uma LAN house. Ao sair, pagou R$ 8,75 pelas 3,5 horas em que usou a internet para sua pesquisa. Quanto Fabiano pagou por hora?

@  #

80

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5 Responda à questão.

a) Quantos gramas de ouro puro tem o colar ? b) Quantos gramas de ouro puro tem o anel ? c) Quantos gramas de ouro puro tem a barra ?

@  #

​ 1 ​   ​9 2 é maior que (20,25) 8 (20,5) ? ​ 2__ 2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

6 Resolva o problema. Na semana passada, Gisele colocou 39,1 litros de gasolina em seu carro, pagando R$ 2,69 por litro. Nesta semana, houve um aumento, e o litro da gasolina passou a custar R$ 2,71 no mesmo posto. a) Se Gisele abastecer o seu carro com a mesma quantidade de gasolina da semana passada, quanto ela gastará a mais esta semana ? b) Se ela quiser gastar a mesma quantia que gastou com gasolina na semana passada, quantos litros poderá colocar em seu carro ? c) Se Gisele pedir que o frentista coloque gasolina em seu carro até inteirar o valor de R$ 20,00, quantos litros serão colocados?

8

Responda às questões fazendo cálculos ou estimativas mentais. Depois, escreva as respostas em seu caderno. a) (10,001) ? (10,2) é menor que (25) ? (10,5)? ​ 1 ​   ​9 3 é maior que (20,25) ? (20,5)? b) ​ 2__ 3 c) 3 ? (21) é maior que (0,3) ? (25)? d) 10% de 2 está entre 1 e 2 ou entre 0 e 1? e) 25% de 0,4 é maior ou menor que 10% de 1? • Agora, converse com um colega sobre como cada um pensou para calcular ou fazer estimativas mentais.

@  #

9 Observe o diálogo e em seguida responda às questões em seu caderno. Larissa, minha tia me disse que a divisão de dois números racionais tem o mesmo resultado da mutiplicação do primeiro número pelo inverso do segundo.

7 Leia a explicação e resolva as questões.

Será que é verdade, Fernanda? Vamos fazer um teste? Podemos calcular (-0,8) dividido por (-0,125).

A pureza do ouro se mede em quilate. Dizemos que o ouro puro tem 24 quilates, o que significa que, dividindo-o em 24 partes, as 24 serão de ouro. Há também o ouro 18 quilates: de suas 24 partes, 18 são de ouro e as restantes, de outros metais. Observe os objetos de ouro 18 quilates e responda.

a) Qual expressão tem o mesmo resultado que (20,8) 9 (20,125), segundo a tia de Fernanda? b) Resolva as duas expressões. c) Com base na resolução do item b, você concorda com a tia de Fernanda?

81

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3. Potenciação de números racionais Potenciação de números racionais com expoentes inteiros não negativos

Para deixar de ter vida sedentária, Gabriel decidiu fazer caminhada na pista de corrida de um parque. Com a ajuda de um profissional, ele montou um programa de condicionamento físico. Na primeira semana de treinamento, daria uma volta e meia na pista de corridas e a cada semana seguinte ele caminharia 1,5 vez o total caminhado na semana anterior. Observe, na tabela a seguir, o cálculo de quanto Gabriel percorreu em cada uma das quatro primeiras semanas de treinamento.

Total percorrido

1a semana

2a semana

3a semana

4a semana

1,5

1,52 = 2,25

1,53 5 3,375

1,54 = 5,0625

3  ​ ou ​ __ 2

2 1 ​  ​ 3 ​   ​​ ​5 __ ​ 9 ​  5 2​ __ ou ​​ __ 4 4 2

@  #

@  #

3 3  ​ ​ 3 ​   ​​ ​5 ___ ​ 27 ​ 5 3​ __ ou ​​ __ 2 8 8

Gabriel deu duas voltas completas mais um quarto de volta.

Observando a tabela, notamos que o total percorrido por Gabriel é calculado por potências cuja base é um número racional. O cálculo dessas potências com números racionais, seja na forma decimal, seja na forma de fração, é realizado de modo semelhante ao das potências com números inteiros. A definição da potenciação de números racionais com expoentes inteiros positivos é a mesma das potências de números inteiros.

@  #

4 1   ​  ​ 3 ​   ​​ ​5 ___ ​ 81  ​5 5​ ___ ou ​​ __ 16 16 2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Semana de treinamento

1a semana

Para todo número racional a e número inteiro n, sendo n . 1, definimos: expoente

an 5 a 8 a 8 a 8 ... 8 a base

n fatores

Exemplos

@  #

4 • ​​ __ ​ 5 ​   ​​ ​5 __ ​ 5 ​  ? __ ​ 5 ​  ? __ ​ 5 ​  ? __ ​ 5 ​  5 ____ ​ 625 ​  2 2 2 2 2 16

@  # @  # @  #

@  #

2 2 ​   ​8 ​ 2__ 4 ​  • ​ 2__  ​  ​5 1​ __ ​ 2 ​   ​​ ​5 ​ 2​ __ ​ 2 ​   ​5 1​ ____ ​ 2 8 2  383 3 3 3 9

• (3,2)2 5 3,2 ? 3,2 5 10,24 • (1,2)3 5 (1,2) 8 (1,2) 8 (1,2) 5 11,728 82

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Assim como foi feito com as potências de números inteiros, o sinal das potências de base racional pode ser estabelecido de acordo com as seguintes regras: Quadro-resumo da potência an, em que a é inteiro e n é natural Base e expoente

Sinal da potência

Base positiva

Potência positiva

Base negativa e expoente par

Potência positiva

Base negativa e expoente ímpar

Potência negativa

Exemplos

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• (2 0,5)2 5 (2 0,5) ? (2 0,5) 5 1 0,25 • (2 2,7)3 5 (2 2,7) ? (2 2,7) ? (2 2,7) 5 2 19,683 Estendendo a definição da potenciação de números inteiros para a potenciação de números racionais, podemos definir: • Se um número racional a é diferente de zero, então a0 5 1. • Para todo número racional a tem-se: a1 5 a

Exemplos

@ #

0 • 2 ___  15 5 1 4

2 1 5 __ 2 • __ 3 3

• 01 5 0

• (2 5,8)1 5 2 5,8

@

#

Potenciação de números racionais com expoentes inteiros negativos

Acompanhe as situações a seguir. Situação 1

Qual é o valor de 321? E de 322? Para saber, observe a sequência em que o expoente diminui de 1 em 1 e as potências são divididas por 3. 21

n 3

n

21

21

21

21

21

   

4

3

2

1

0

21

22

81

27

9

3

1

?

?

9 3

9 3

9 3

9 3

Analisando a sequência, verificamos que:

@ #

9 3

9 3

321 5 1 9 3 5 1 5 __ 1 5 __ 1 5 __ 3 31 3

@ #

1

1 9 3 5 __ 1 8 __ 15 322 5 __ 3 3 3 1 5 __ 1 2 1 5 __ 5 __ 9 32 3

@ #

@ #

1 1 e 322 é igual a __ 1 2. 321 é igual a __ 3 3 83

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Situação 2

@  #

@  #

21 22 Qual é o valor de ​​ __ ​ 3 ​   ​​ ​? E de ​​ __ ​ 3 ​   ​​ ​? 4 4 Vamos observar a sequência:

21

n

@​​ __​ 43 ​ #​​ ​ n

21

21

21

2

1

0

21

__ ​ 3 ​  ? __ ​ 3 ​  5 ___ ​  9   ​  4 4 16

__ ​ 3 ​  4

1

1 3  ​5 __ ​ 4 ​  5 ​​ __ ​ 4 ​   ​​ ​ 1 9 ​ __ 4 3 3

9 __ ​ 3 ​  4

3 ​  9 ​ __ 4

22

@  #

9 __ ​ 3 ​  4

@  #

2 4  ​9 __ ​ __ ​ 3 ​  5 ___ ​ 16 ​ 5 ​​ __ ​ 4 ​   ​​ ​ 3 4 3 9

3 ​  9 ​ __ 4

Analisando a sequência, verificamos que:

@  # @  #

@  #

@  #

Para todo número racional a, com a i 0, definimos: 2n

a

@  #

n

5 __ ​ 1n  ​5 ​​ __ ​ n1  ​  n​ ​, em que n é um número natural e __ ​ n1 n ​ é o inverso de a. a a a

Exemplos

@  # @  # • @​  2__ ​ 2 ​  #​​ ​5 @​​  2__ ​ 3 ​  #​​ ​5 3 2

1 21 • ​​ __ ​ 1 ​   ​​ ​5 ​​ __ ​ 5 ​   ​​ ​5 51 5 5 5 1 22

2

@  # @  # • (23,5) 5 @​​  2__ ​ 7 ​  #​​ ​5 @​​  2__ ​ 2 ​  #​​ ​5 7 2 9 ​  5 ​ 2__ ​ 3 ​   ​8 ​ 2__ ​ 3 ​   ​5 1​ __ 4 2 2

Propriedades

As propriedades da potenciação com números inteiros também valem quando a base é um número racional diferente de zero e seus expoentes são números inteiros. Veja os exemplos a seguir. • Produto de potências de mesma base Para multiplicar potências de mesma base, conservamos a base e adicionamos os e­xpoentes. (21,9)3 8 (21,9)21 5 (21,9)3 1 (21) 5 (21,9)2

23

23

@  # @  # @  #

3

8   ​  5 ​ 2__ ​ 2 ​   ​8 ​ 2__ ​ 2 ​   ​8 ​ 2__ ​ 2 ​   ​5 2​ ____ 7 7 7 343

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

21 22 1 2 ​ 3 ​   ​​ ​é igual a ​​ __ ​ 4 ​   ​​ ​e ​​ __ ​ 3 ​   ​​ ​é igual a ​​ __ ​ 4 ​   ​​ ​. ​​ __ 4 4 3 3

• Quociente de potências de mesma base Para dividir potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes. (4,6)22 9 (4,6)3 5 (4,6)22 2 (13) 5 (4,6)25 • Potência de potência Para elevar uma potência a um expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 3 ​​[ (3,7)22 ]​​ ​5 (3,7)(22) 8 3 5 3,726 • Potência de um produto ou quociente Para elevar um produto ou um quociente a um expoente, elevamos cada fator (ou o dividendo e o divisor) a esse expoente. 22 (0,5 8 2)22 5 (0,5)22 8 (2)22 5 ​​ __ ​ 1 ​   ​​ ​8 (2)22 5 22 8 222 5 2 5 22 1 (22) 5 20 5 1

@  #

84

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Exercício resolvido Sequência numérica

1. Resolver o problema. A sequência gerada por 3n, em que n é um número inteiro de 3 a 1, é crescente ou decrescente?  Resolução Substituímos valores de 3 a 1 para n em 3n, para determinar os números da sequência procurada.

Os números da sequência podem ser representados numa reta numérica:

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1 —– 27 01 1 — — 9 3

1

3

ATIVIDADES  Vamos praticar

3 Associe as operações aos respectivos resultados.

1 Calcule o valor das potências. a) 3 b)

1

f)

@ # 1 __ 3

4

g) 2

@ #

e)

@ # @ # 4 __ 5 1 3 ___ 10

0

1

3

1 h) 2__ 3

c) (0,2)3 d)

@ # 9 __ 3

3

i) (5)2 j) (0,3)3

2 Complete as sentenças.

@ # @ # @ #

@ #

5 2 8 __ 5 3  __ 5 3  2  __ 5 5 __ 2 2 2 2 5 3 b) (0,8) 9 (0,8)   

a)

c) d) e)

[ (3,2)2 ]

2

@ __37 # 8 @ __37 #    3 9 ___ 3    @ ___ 10 # @ 10 # 1

4

7

2

A (0,1) 8 (0,1)3 B 103 9 105 C (103)2 D 102 8 107 9 108 I

0,01

III 0,000001

II

0,1

IV 0,0001

 Vamos aplicar

4 Classifique as sentenças em V (verdadeira) ou F (falsa). a) (2)2 8 (2)  (2)4

@ # 8 @ __72 #  @ __72 # 2  __ 2 c) @ __ 9# 9

7 b) __ 2

7

2

1

5

(3)2 9 d)  ___  __ 5 5 4

e) [ (3)5 ]  (3)20 63  ___ 18 f) __ 3 12 4 85

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06.10.10 11:00:37


5 Escreva no caderno as potências a seguir em or-

11 Carina estava estudando Biologia e descobriu que

dem crescente. (0,1)3

(0,1)22

(0,1)21

(0,1)2

(0,1)0

(0,1)1

(0,1)23

0

as bactérias podem se reproduzir com grande rapidez, dando origem a um número muito grande de descendentes. Em alguns casos, cada bactéria dividese em duas outras bactérias geneticamente iguais. Supondo que uma colônia, iniciada por uma única bactéria, dobre seu número a cada 10 minutos, quantas bactérias existirão após 1 hora e 20 minutos?

6 Descubra, em cada item, que número é maior.

@  #

@  #

@  # @  #

@  # @  #

1  ​  22 1  ​  23 g) ​​ ​ __ ​​ ​ou ​​ ​ __ ​​ ​ 3 3 1  ​  21 1  ​  22 h) ​​ ​ __ ​​ ​ou ​​ ​ __ ​​ ​ d) (0,5)2 ou (0,5)3 4 4 7 Determine o número desconhecido e reescreva as igualdades no caderno, completando-as. 3  ​  24 1  ​  ​​ ​5 ​ __ 1  ​ 2  ​  ​​ ​5 ​​ 2​ __ e) ​​ 2​ __ ​​ ​ a) ​​ ​ __ 4 2 3 2 2  ​  ​​ ​5 2​ __ 2  ​ f) ​​ 2​ __ b) (22) 5 4 9 9 c) (0,7)2 ou (0,7)4

@  #

c) (5,15) 5 1

[ @  # ]

1  ​  15 d) ​​ ​​ ​ __ ​​ ​  ​​ ​5 1 3

@  # @  # @  # 1  ​  ​​ ​  ​​ ​5 ​​  ​ __ g) ​​[ ​​@ ​ __ @ 12  ​ #​​ ​ 2# ]

Bactéria Shigella sp.

12 Observe o diálogo.

2 3

Fábio, você sabe para quais valores inteiros de k a expressão (215)22k é negativa?

1  ​ h) (0,5) 5 ​ __ 2

8 Reescreva, no caderno, os números abaixo e transforme-os em potências de expoente negativo. 1  ​   b) ​ __ 25

1  ​   a) ​ __ 53

1  ​   c) ​ __ 35

@  #

3

2  ​  ​​ ​ d) ​​ ​ __ 5

9 Escreva as sequências geradas por: a) 2n, para os expoentes inteiros de 24 a 2;

Para qualquer número ímpar!

n

b) (20,1) , para os expoentes inteiros de 23 a 4;

@  #

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1  ​  2​​ ​ou ​​ ​ __ 1  ​  5​​ ​ e) ​​ ​ __ 2 2 2 3 21 22 b) (20,1) ou (20,1) f) 3 ou 3

a) (2,3)2 ou (2,3)4

n

1  ​  ​​ ​, para os expoentes inteiros de 24 a 4. c) ​​ ​ __ 2 d) (0,2)n, para os expoentes inteiros de 23 a 3.

@  #

n

1  ​  ​​ ​, para os expoentes inteiros de 23 a 3. e) ​​ 2​ __ 3

10 Responda às questões no caderno. a) Considere uma potência cuja base é um número racional negativo e o expoente é um número inteiro positivo. O valor dessa potência é um número positivo ou negativo? b) Se a base de uma potência é um número racional maior que zero e menor que 1, e o expoente é 3, o valor dessa potência é um número maior ou menor que 1?

Agora, responda: você concorda com a resposta de Fábio? Justifique sua resposta.

13

Resolva o problema. Qual deve ser o expoente x da potência para que a igualdade seja verdadeira? ​ 25  ​ #​ @​​  __​ 56 ​  #​​​5 @​  ___ 36 x

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4. Raiz quadrada Suponha que a figura abaixo represente um terreno quadrado cuja área é 72,25 m2.

x

Área do quadrado 5 x 8 x 72,25 5 x 8 x 72,25 5 x 2

x

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Qual é o valor de x, em metro? O número positivo x, que ao ser elevado ao quadrado resulta em 72,25, é a raiz quadrada de 72,25. Sabemos que esse número é maior que 8, pois 82 5 64, e menor que 9, pois 92 5 81. Por tentativa, é possível determinar o produto: 8,5 8 8,5 5 72,25 5 8,5, ou seja, a medida x é 8,5 m. Então, d​ X 72,25 ​ XXXX 

A que raiz quadrada pode ser associada a medida do lado de cada quadrado verde?

A raiz quadrada de um número racional a não negativo é um número racional não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em a.

Vamos examinar a raiz quadrada de 0,36. Há dois números racionais que, elevados ao quadrado, resultam em 0,36: (10,6)2 5 0,36 e (20,6)2 5 0,36 Contudo, a raiz quadrada de 0,36 deve ser um número racional positivo, portanto ela é única: ​dX 0,36 ​ 5 10,6 XXX  Nem todo número racional tem como raiz quadrada um número racional. Para a raiz quadrada de um número racional a ter como resultado um número racional, é preciso que a seja um número quadrado perfeito.

Recorde O número quadrado perfeito é aquele que pode ser escrito como potência de expoente 2.

Exemplos

d 

__ • ​ XX ​ 1 ​ ​  é um número racional, porque __ ​ 1 ​  é um quadrado perfeito, já 4 4 2 1  ​5 ​​ __ que: ​ __ ​ 1 ​   ​​ ​ 4 2

@  #

• ​d X1,21 ​ XXX é um número racional, porque 1,21 é um quadrado perfeito, já que: 1,21 5 1,12 Observações

• d​ X 0,3 ​ XX não é um número racional, porque 0,3 não é um quadrado perfeito. não é um número racional, porque não existe um • ​d X20,25 ​ XXXXX  número racional que, multiplicado por ele mesmo, resulte em um número negativo. 87

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5. Expressões numéricas

1 4 9 2__ 1 2 2 421 8 d0,25 Paulo e Beto resolveram a expressão   2__ XXXX 5 5 de maneiras diferentes. Veja os cálculos que cada um fez.

@ # @ #

Paulo preferiu calcular com frações.

Beto optou pela forma decimal.

1 2 2 421 8 d0,25 5 1 4 9 2__   2__ XXXX 5 5

1 2 2 421 8 d0,25 5 1 4 9 2__   2__ XXXX 5 5

@ # @ #

1 8 0,5 5 5 (20,2)4 9 (20,2)2 2 __ 4

25 5 1 2 2 __ 1 8 XXXX ____ 5 2__ 5 4 100

d

5 (20,2)2 2 0,25 8 0,5 5

5 5 1 2 __ 1 8 ___ 5 1___ 25 4 10 5 5 1____ 8 2 ____ 25 5 2____ 17 1 2 ___ 5 1___ 25 40 200 200 200

5 0,04 2 0,125 5 20,085

17 5 20,085. Os dois chegaram ao mesmo resultado, pois 2____ 200 Nas expressões numéricas, devemos efetuar as operações respeitando esta ordem: 1o) potenciação e radiciação (raiz quadrada); 2o) multiplicação e divisão; 3o) adição algébrica. Em expressões numéricas com sinais de agrupamento, devemos efetuar as operações eliminando-os nesta ordem: 1o) parênteses; 2o) colchetes; 3o) chaves.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

@ #

@ # @ #

Exercício resolvido Número escondido

1. Encontrar o número escondido em: 125 2

2

5 100

CC Resolução Para resolver o problema, podemos usar a relação fundamental da subtração: minuendo 2 resto 5 subtraendo Agora precisamos encontrar um número que, elevado ao quadrado, resulte em 25.

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ATIVIDADES CC Vamos praticar

6 Resolva o problema.

1 Calcule as raízes quadradas no caderno.

d  d  d 

81  ​ ​    ​ ____ a) ​ XXXX 100 1  ​ ​   ​ __ b) ​ XX 9 9   ​ ​    ​ ___ c) ​ XXX 16

e) ​dX 0,64 ​ XXX  f) ​dX 0,04 ​ XXX 

d  d 

12 ​ ​   g) ​ XXX ​ ___ 3 1    h) ​ XXXXXXX ​ ______    ​ ​ 10.000

d) ​dX 25 ​ XX 

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2 Descubra quais dos números a seguir são racionais e quais são não racionais. 100 ​ ​    a) 23,5 d) ​ XXXX ​ ____ 25 21 ​ ​    7  ​ e) ​ XXX ​ ___ b) 2​ __ 4 3 c) 0,37 f) 2​dX 4 ​ X 

d  d 

g) ​dX 24 ​ XXX  h) ​dX 5 ​ X  i) ​dX 1,44 ​ XXX 

3 Calcule o valor das expressões numéricas no ca-

Daniela recortou uma folha de papel e fez diversos quadrados. Então, verificou que as medidas dos lados dos quadrados eram expressas por números quadrados perfeitos. Descubra, entre os números abaixo, os que não podem ser considerados medidas dos lados dos quadrados recortados por Daniela.

derno. ) 8 (0,2 1 1,5) a) (1,4 2 d​ X 49 ​ XX 

@  d 

__ ​ 1 ​  2

# @  # @  #

6  ​  ​ 1  ​ ​ 1 ​ __ 2  ​  ​8 ​ 2​ __ ​ __ b) ​ 2​ XX 7 9 5 3 1 c) 12,4 8 ​ 2​ __2  ​ 2 ​ __  ​  ​ 2 2 3  ​1 ​ 2​ __ 1  ​  ​8 (1​d 0,16 ​  d) ​ __ XXXX ) 5 6 ___ ​  1   ​ ​   ​8 ​ 1__ ​ 3 ​   ​ e) (21,3 1 2) 2 ​ 2​ XXX 5 16 ​ 1 ​   ​9 (0,1) f) 22 8 ​ 0,75 2 __ 4 8 ​ 0,6 2 __ ​ 1 ​   ​1 __ ​ 3  ​ g) ​dX 0,25 ​ XXX  5 4 3 1 1 2 __ ____ __ XX h) ​  2 ​   9  ​     ​  1  ​ ​    ​ ​  9 3 0,25

@  #

@ 

@ 

#

#

dradas. XXXXXX ​  c) ​dX (1.230) XXXXXX2  d) ​dX (1,234)  ​ 2

XXXX ​   b) ​dX (7,8) 2

20

1 ​ , w 5 __ Se x 5 __ ​ 2 ​ , y 5 2​ __ ​ 5 ​  e z 5 27, o valor da 5 6 2 x_______ 8y8w  ​é: expressão algébrica ​  z    1  ​ 1   ​   e)   2​ __ a) 242 c) 2​ ___ 6 42 1   ​   f) 26 b) 42 d) ​ ___ 42 8 Descubra o número racional escondido que torna as sentenças verdadeiras. 1    a) 2​ XXXXXXX ​ ______    ​ ​1  2 5 0 10.000 b) 12 1  2 5 76 25  ​ ​ 5 2​ ___ 15  ​ c)  2 2 ​ XXX ​ ___ 64 64

d 

4 Obtenha mentalmente o valor das raízes quaa) ​dX 8X2 ​ 

144

7 Substitua e resolva.

@  d  # @  #

d 

25

CC Vamos aplicar

5 Responda às questões. a) Qual é a medida do lado de um quadrado de área igual a 20,25 m2? b) Qual é a área de um quadrado cujo lado mede​ dX 64 ​ XX m? c) Qual é a medida do lado de um quadrado de área igual a 38,44 cm2?

d 

9 Copie e calcule as sentenças no caderno, substituindo o por ,, 5 ou .. 33 ​    27 8 ​ ____ ​  1   ​  ​ a) ​ __ 22 ​dX 16 ​ XX 

@  #

@  #

0 b) 2 1 ​dX 49 ​ ​ 2 ​   ​​ ​1 d​ X 4 ​ XX   d​ X 36 ​ XX 1 ​​ __ X  3 3 ​  1 d​  256 ​  2  42 1 d​ X 625 ​ c) ​ __ XXXX 1 5 XXX  2 ​ 2 ​  1 d​ X 144 ​ ​ 3 ​  8 24 d) 42 9 __ XXX  4 8 3 1 __ 3 2 2 0 1 __ e) ​dX 0,25 ​ 1 3 2 ​   ​  99 1 d​ X 81 ​ XXX  XX  2

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Tratamento da informação Construir gráfico de barras duplas 1 Observe os dados da tabela e faça o que se pede. Eduardo mora no município de Tranquilidade. Para um trabalho escolar sobre o crescimento populacional de seu município, ele realizou uma pesquisa nos arquivos da prefeitura. Com os dados encontrados, elaborou uma tabela sobre a população urbana, dividida entre a população feminina e a masculina. Distribuição da população urbana de Tranquilidade População feminina

População masculina

1970

3.000

1.500

1980

5.000

4.000

1990

7.000

5.500

2000

9.000

7.000

2010

9.500

8.500 Dados obtidos em: Prefeitura de Tranquilidade.

Com os dados da tabela, Eduardo começou a construir um gráfico de barras duplas para a apresentação do trabalho. Veja o início da construção do gráfico e complete-o.

Orientações • Na construção desse gráfico, representamos o ano na linha vertical e o total de habitantes na linha horizontal. • Há duas barras para cada ano: uma representando a população feminina e outra, a população masculina. As barras devem ser identificadas por cores diferentes. • Para não confundir as barras que indicam a população masculina com as que indicam a população feminina, fazemos uma legenda de cores para distingui-las. • Para a construção das barras, fazemos cada centímetro representar 1.000 habitantes.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Ano

• Construa no caderno um gráfico de barras duplas verticais para representar os dados da tabela. Não esqueça que, nesse caso, as barras ficarão apoiadas na linha horizontal. 90

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2 Observe a tabela abaixo e resolva as questões no caderno. A primeira fase do Campeonato Baiano de Futebol de 2009, que terminou no dia 12 de abril, foi disputado por 12 times. Destes, apenas os quatro primeiros colocados passaram para a fase final. Veja na tabela abaixo quais foram os seis primeiros colocados e a quantidade de gols marcados e sofridos por cada time.

Nesse caso, ao construir as barras, você poderá fazer cada centímetro representar 10 gols. Não se esqueça de fazer uma legenda de cores para distinguir as barras.

Quantidade de gols marcados e sofridos pelos seis primeiros colocados no Campeonato Baiano de Futebol de 2009 na primeira fase Time

Colocação

Vitória

Gols sofridos

56

14

o

45

20

o

28

19

o

35

33

o

31

24

o

34

39

1

Bahia

2

Fluminense-BA Atlético-BA

3 4

Vitória da Conquista Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Gols marcados

o

Itabuna

5 6

Dados obtidos em: <http://www.uol.com.br>. Acesso em: 20 out. 2009.

a) Com os dados da tabela, construa um gráfico de barras duplas verticais. b) Qual será o título do gráfico? E a fonte? c) Que dados você representará na linha vertical? E na horizontal? d) Quantas barras você construirá para cada time? O que cada uma delas representará?

3 Leia e interprete os dados da tabela a seguir para construir um gráfico de barras duplas. A participação de atletas brasileiros nas olimpíadas tem aumentado ao longo das últimas competições e, em especial, o número de atletas do sexo feminino cresceu significativamente, como pode ser visto na tabela abaixo. Número de atletas brasileiros nas últimas olimpíadas Atletas do sexo masculino

Atletas do sexo feminino

Barcelona (1992)

133

51

Atlanta (1996)

159

66

Sidney (2000)

111

94

Atenas (2004)

125

122

Pequim (2008)

144

133

Olimpíada

Dados obtidos em: <http://www.cob.org.br>. Acesso em: 20 out. 2009.

a) Com os dados da tabela, construa um gráfico de barras duplas horizontais. b) Qual será o título do gráfico? E a fonte? c) Que dados você representará na linha vertical? E na horizontal? d) Quantas barras você construirá para cada olimpíada? O que cada uma delas representará? e) Ao construir as barras do gráfico, você utilizará 1 centímetro para representar quantos atletas? 91

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Atividades integradas 1 Responda à questão no caderno.

4 Leia o texto e resolva o problema.

“[...] Trinta minutos depois de uma hora, ouvi um rugido violento, igual ao estrépito de grande cachoeira; dirigi os olhos pelo rio abaixo e, passado um quarto de hora, apareceu uma onda de uns quinze pés de altura, ocupando, qual muralha, toda a largura do rio que, com terrível estrépito, avançava para cima com grande rapidez [...]”

Disponível em: <http://www.tvliberal.com.br>. Acesso em: 20 out. 2009.

2 Leia e depois complete o esquema com as fichas. Elas deverão ser encaixadas no esquema de forma que, ao multiplicar os números das fichas ligadas pela mesma linha, o resultado seja igual a 0,175. Pororoca. Rio Araguari, Amapá.

• Considerando 1 pé  30,4799 cm, calcule a altura da onda vista por Von Martius.

5 Resolva o problema no caderno.

7 — 4

1 — 3

6 — 8

3 — 10

0,7

7 — 10

3 — 4

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Para fazer um churrasco, Antônio comprou 4,5 kg de carne bovina e 1,5 kg de linguiça. Sabendo que o preço de 1 kg da carne bovina que Antônio comprou custava R$ 10,75 e o da linguiça R$ 7,25, quanto Antônio gastou?

Essa descrição foi feita por Von Martius, botânico alemão que esteve no Brasil em 1817 e assistiu, à beira do rio Capim, ao fenômeno da pororoca (onda de alguns metros que, em certas épocas, ocorre em rios muito volumosos, especialmente no rio Amazonas).

3 Observe o quadro com algumas medidas de diâmetro de pratos de baterias musicais e resolva. Modelo

Diâmetro

Splash

8”

Hats

14”

Crash

16” a 18”

Ride

21”

O sinal (”) é o símbolo da polegada. (Considere 1”  2,54 cm.) Copie o quadro, transformando as medidas em centímetro.

Para fazer suas coxinhas, Joana comprou 5,8 kg de peito de frango e pagou R$ 42,92. Qual é o preço de 1 kg de peito de frango?

6 Observe a balança em equilíbrio e responda à questão no caderno.

Se cada caixa pesa 0,81 kg, quanto pesará cada lata? 92

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13 Escreva uma expressão numérica e calcule o que

7 Resolva o problema. Cada coco tem em média 0,4 L de água. Cada caixinha de água de coco produzida por uma empresa tem 0,125 L. Quantos cocos seriam necessários para produzir uma encomenda de 50 caixinhas?

8 Resolva o problema de Carlos.

está expresso em cada item. 1 e acresa) O dobro de 0,25, que será dividido por __ 4 cido de 3. b) A raiz quadrada de 0,25 adicionada ao oposto da 16 . raiz quadrada de ____ 100 9 com o cubo c) A adição da raiz quadrada de ___ 16 5. de __ 2 d) A raiz quadrada de 1,44 adicionada ao inverso da 100 . raiz quadrada de ____ 121

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

14 Calcule o valor da expressão abaixo em cada caso. c (a 2 b)21 8 dXX 3 Se Carlos gasta 0,4 L de uma tinta para pintar __ 4 de uma parede, que fração da parede ele pintaria com uma lata de tinta de 1 L?

c) a 5 0,25, b 5 20,25 e c 5 0,25

9 Calcule.

@ #

@ # @ #

3

3 a) 1__ 5

b) (17)23

@ #

1 c) 2__ 7

1 , b 5 2__ 1 e c 5 __ 1 a) a 5 __ 4 4 4 1 , b 5 __ 1 e c 5 __ 1 b) a 5 2__ 4 4 4

3

13 1 d) 2___ 7 3 24 e) 1__ 2

g) (13,145)0

f) (10,5)23

i)

h) (20,6)2 13 @ 2___ 7 #

21

10 Classifique as afirmações em V (verdadeira) ou F (falsa). 23

0

3

e) (0,128) 5 128

a) 2 5 22

@ # @ # @ @ #

0

16 2 4 5 ___ b) __ 3 81 3 3 5 ____ 125 21 c) __ 5 27 23 1.331 11 ___ 5 _____ d) 9 729

2

f) (0,5) 5 222

#

@ #

23

1 g) (0,2)23 5 __ 2 81 9 2 5 ___ h) 2__ 7 49

@ #

d) a 5 20,25, b 5 0,25 e c 5 0,25 4 e c 5 __ 4 4 , b 5 2__ e) a 5 __ 9 9 9 4 4 4 __ __ __ f) a 5 2 , b 5 e c 5 9 9 9

15 Resolva o problema. O valor numérico da expressão dXX 92

@ __32 #

22

1 a) 2___ 10

@

@

mos de: c) dXX 5

b) 2dXX 3

1 __ d) XX 4

d

e)

#

1 1 9  __ 2 8  __ x 5 _________ 1 2 3 _____ 11 112 3 b) __ 6

9 c) ___ 16

d) 1

3 e) ___ 12

17 Resolva o problema.

12 Descubra quais são os números inteiros mais próxia) dXX 2

3 e) __ 5

Ao simplificar a fração abaixo, encontramos x igual a:

1 a) __ 4

23 1 1 8 9 8 d9 8 ___ __ XX 27 8 81 8 3 3

1 d) ___ 10

16 Assinale a alternativa correta.

11 Represente a multiplicação a seguir com uma só potência de base 3.

#

2 8 __ 1 é: 1 __ 5 4 17 17 b) ___ c) 2___ 20 20

dXX 4 ___

3

d

16 ___ f) 2 XXX 36

(Fuvest-SP) O valor da expressão 1 2 __ 1 1 2 __ 6 3 é: ____________ 3 1 1 __ 1 2 1 __ __ 6 2 2 3 3 1 7 a) __ b) __ c) __ d) __ 4 5 6 2

@

@

#

#

3 e) 2__ 5 93

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Compreender um texto Cuidados com a visão No corpo humano, todos os órgãos dos sentidos são importantes; no caso dos olhos, pela sua sensibilidade, precisamos ter alguns cuidados básicos, como: • evitar tocar os olhos com as mãos sujas; • usar apenas colírios receitados por um médico; • evitar manusear líquidos perigosos e objetos pontiagudos que possam causar danos aos olhos; • manter uma alimentação saudável. Além disso, todas as pessoas devem consultar periodicamente um oftalmologista para verificar se sua visão está perfeita e se não há doenças oculares. Se você usa óculos, mantenha-os sempre limpos e bem guardados quando não estiverem em uso. E se você descobriu que vai precisar usá-los, não se preocupe, atualmente há muitos modelos de armação e de tipos de lentes, inclusive as de contato. Você sabia que os óculos existem desde o século XIII? As primeiras lentes, chamadas lentes positivas, só serviam para corrigir problemas de hipermetropia. As lentes para correção de miopia, chamadas negativas, surgiram no século XVI. E a correção do astigmatismo, com as lentes cilíndricas, só foi possível no início do século XIX.

Veja, ao lado, parte de uma receita médica. Esta é uma prescrição médica para uma pessoa que tem miopia nos dois olhos e astigmatismo no olho direito. Observe como os graus são indicados nessa receita. Os números negativos da lente esférica referem-se ao grau de miopia, e o número negativo da lente cilíndrica e o valor de eixo referem-se ao grau de astigmatismo. Se a pessoa tivesse hipermetropia, o grau seria indicado por um número positivo da lente esférica.

Modelo do primeiro par de óculos encontrado no século XIII, na Itália.

Modelo pince-nez Lorgnon, moda no século XVI. Os homens casados usavam os óculos com o cabo curto, e os solteiros com o cabo longo.

Óculos com armação de bronze. Modelo do século XVIII.

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ATIVIDADES 1 De acordo com o texto, quais cuidados básicos devemos ter com a nossa visão? 2 Você consulta periodicamente um oftalmologista? Quais cuidados você tem com a sua visão? 3 Quais tipos de lentes são usados, respectivamente, para a correção do astigmatismo, da miopia e da hipermetropia? a) esférica, esférica e cilíndrica b) cilíndrica, esférica e esférica

c) cilíndrica, cilíndrica e esférica d) esférica, cilíndrica e esférica

4 Observe as receitas abaixo e responda às questões.

a) Quais problemas de visão Ana Paula tem em cada olho? b) Quantos graus ela teve de aumento em cada olho de um ano para o outro?

As primeiras lentes de contato foram confeccionadas no fim do século XIX e eram feitas de vidro. Em 1934, o vidro foi substituído pelo acrílico. Somente em 1954 foram inventadas as primeiras lentes de contato gelatinosas.

O acetato começa a aparecer frequentemente no design dos óculos a partir da década de 1950.

Modelo de óculos do século XXI.

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Para finalizar Um esquema Os números racionais

Conjunto dos números racionais

a

a •   Q 5 __, sendo a e b números inteiros e b i 0 b

b

• Cada número racional associa-se a um só ponto da reta numérica. –1

1 –— 2

0

0,25

1

1 1— 4

OPERAÇÕES • Adição

Cálculo:

• Sinal da soma: — Quando as parcelas tiverem sinais iguais, a soma terá o mesmo sinal das parcelas. — Quando as parcelas tiverem sinais diferentes, a soma terá o sinal da parcela de maior módulo. — Quando uma das parcelas for zero, a soma terá o mesmo sinal da outra parcela. Cálculo: (1 0,25) 1 (2 0,5) 5 2 0,25

@ # @ # @ # @ # # @

# @

6 1 1 5 1 (10,6) 1 2 ___ 5   1 ___ 1   2 ___ 5 ___ 5 __ 10 10 10 10 2

#

• Subtração

• Divisão A divisão entre números racionais segue a mesma regra de sinais da multiplicação: (1 1,5) 9 (2 0,5) 5 23 2

@ #@ # @ # @ #

6 3 6 4 8       2 __ 9 2 __ 5 2 __ 8 2 __ 5 __ 5 4 5 3 5 1

Para qualquer número racional a e número inteiro n, sendo n . 1, temos: an 5 a 8 a 8 a 8 ... 8 a n 0,4 5 0,4 8 0,4 5 0,16 2

• Para subtrair dois números racionais, adicionamos o primeiro ao oposto do segundo, e aplicamos a mesma regra de sinais da adição.

@ # @ # @

@ #@ #

• Potenciação

3 2 1 4 7     1 __ 1 1 __ 5 1 __ 1 1 __ 5  __ 3 2 6 6 6

@

(1 3,6) 8 (2 0,5) 5 21,8 3 6 2     1 __ 8 2 __ 5 2 ___ 7 5 35

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

–1,5

# @

#

5 6 1 2 1 1 __ 2 1 __ 5 1 ___ 1 2 ___ 5 2 ___ 5 15 15 15 3

• Multiplicação • Sinal do produto: — Quando os fatores tiverem sinais iguais, o produto será positivo. — Quando os fatores tiverem sinais diferentes, o produto será negativo. — Quando um dos fatores for zero, o produto será zero.

3

1 @ 2 __51 # 5 2 __51 8 2 __51 8 2 __51 5 2 ____ 125 Para todo número racional a, sendo a i 0 e n um número natural, temos: 2n 1 a 5__ an 22 1 1 5__ 3 5__ 2 3 9 • Raiz quadrada A raiz quadrada de um número racional a não negativo é um número racional não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em a. dXXXXX 1,21 5 1, 1, pois (1, 1)2 5 1,21

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Programa de resolução de problemas

Problemas para resolver 1

As torneiras

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Uma torneira enche um tanque em 2 horas. Outra torneira enche esse mesmo tanque em 4 horas. Que fração do tanque as duas torneiras juntas enchem em 1 hora?

2

4

Os tijolos

Se um tijolo pesa 1 quilograma e meio tijolo, quanto pesa um tijolo e meio?

O tanque de combustível

Um motorista encheu o tanque de seu carro, que estava sem combustível, e gastou R$ 80,00. Após alguns dias, ao ver que havia apenas um quarto do tanque com combustível, parou em um posto e encheu novamente o tanque de seu carro, verificando no indicador da bomba que foram colocados 36 litros de combustível.

5

As figurinhas

Fernando propôs a Augusto a seguinte brincadeira: “Se você dobrar a quantidade de figurinhas que tenho, eu lhe darei 20 figurinhas”. Augusto aceitou, e Fernando, empolgado, fez a mesma proposta a Gabriel, que também aceitou a brincadeira. Entretanto, Fernando percebeu que, após a brincadeira, ficou sem nenhuma figurinha. Quantas figurinhas Fernando tinha no início?

a) Quantos litros de combustível cabem no tanque desse carro? b) Quantos reais ele pagou ao completar o tanque? 3

Os queijos

Se eu tivesse um queijo e meio a mais, teria uma vez e meia o que tenho. Quantos queijos eu tenho?

6

A herança

Ao morrer, um fazendeiro deixou 39 cavalos como herança para seus 3 filhos. Para dividi-los, determinou em seu testamento que o primeiro filho deveria ficar com a metade dos cavalos, o segundo filho deveria ficar com a quarta parte dos cavalos, e o terceiro, com a quinta parte. Como a metade de 39 é 19,5, um quarto de 39 é 9,75, e a quinta parte de 39 é 7,8, não foi possível fazer a divisão, uma vez que não se podem cortar cavalos ao meio. Qual seria uma boa solução para que a pessoa responsável pela divisão e todos os filhos saíssem lucrando? 97

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ARARIBÁ MATEMÁTICA

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Organizadora: Editora Moderna Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna. Editora Executiva: Juliane Matsubara Barroso

3a edição

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© Editora Moderna, 2010

Elaboração de originais Ana Paula Souza Nani Licenciada em Matemática pela USP Cíntia Alessandra Valle Burkert Machado Mestre em Educação pela USP Dario Martins de Oliveira Licenciado em Matemática pela USP Débora Regina Yogui Licenciada em Matemática pela USP Fabio Martins de Leonardo Licenciado em Matemática pela USP Fausto Arnaud Sampaio Licenciado em Matemática pela Unicamp Juliana Ikeda Licenciada em Matemática pela USP Juliane Matsubara Barroso Bacharel e licenciada em Matemática pela PUC de São Paulo Maria Cecília da Silva Veridiano Licenciada em Matemática pela USP Maria Cecília Soave Leme Oliva Especialista em Educação pela PUC de São Paulo Oscar João Abdounur Livre-docente do Instituto de Matemática e Estatística da USP

Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Fernando Savoia Gonzalez, Juliana Ikeda, Lucas Maduar Carvalho Mota, Marilu Maranho Tassetto Assistência editorial: Everton Jose Luciano, Maria Cecília Bittencourt Mastrorosa, Roberto Lopes, Romenig da Silva Ribeiro Leitura crítica: Eduardo Wagner Preparação de texto: Iraci Miyuki Kishi Coordenação de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho Homma Projeto gráfico: Everson de Paula Capa: Aurélio Camilo Arte e fotografia: Dodecaedro mágico. © Cuber Brasil/Foto Ricardo Toscani Coordenação de produção gráfica: André Monteiro, Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Jordana de Lima Chaves Edição de páginas especiais: William H. Taciro, Alexandre de Paula, Fernanda Fencz, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto Editoração eletrônica: Setup Bureau Editoração Eletrônica Ilustrações: Adilson Secco, Adolar de Paula Mendes Filho, Ari Nicolosi, Attílio, Baptistão, Claudio Chiyo, Diogo Saito, Estúdio Ampla Arena, Fabiano Wolff, Fescher NeoIlustração, Gil Tokio, Infografe, Marcio Guerra, Marcos Aurelio Neves Gomes, Maria Olívia Lopes, Nelson Matsuda, Paulo Manzi, Ronaldo Braga Magalhães Cartografia: Alessandro Passos da Costa, Anderson de Andrade Pimentel, Fernando José Ferreira Coordenação de revisão: Elaine C. del Nero Revisão: Alexandra Costa, Equipe Moderna Coordenação de pesquisa iconográfica: Ana Lucia Soares Pesquisa iconográfica: Ana Claudia Fernandes, Camila D’Angelo, Marcia Sato, Vera Lucia da Silva Barrionuevo As imagens identificadas com a sigla CID foram fornecidas pelo Centro de Informação e Documentação da Editora Moderna. Coordenação de bureau: Américo Jesus Tratamento de imagens: Arleth Rodrigues, Bureau São Paulo, Fabio N. Precendo, Pix Art, Rubens M. Rodrigues Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira Silva, Helio P. de Souza Filho, Marcio H. Kamoto Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque Impressão e acabamento: Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Projeto Araribá : matemática : ensino fundamental / obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna ; editora executiva Juliane Matsubara Barroso. — 3. ed. — São Paulo : Moderna, 2010.

Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. “Componente curricular : Matemática” Bibliografia.

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Barroso, Juliane Matsubara.

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CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 ISBN 978-85-16-06856-1 (LA) ISBN 978-85-16-06857-8 (LP) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2014 Impresso no Brasil 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2

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Apresentação

E

ste livro foi elaborado para você.

Queremos que você estude Matemática de uma forma agradável e dinâmica. Procure desenvolver todas as atividades propostas. Assim, descobrirá que conhecer os números, as formas, as medidas e outros assuntos abordados pela Matemática pode ser uma aventura muito interessante, além de ampliar seu universo de conhecimento e sua visão de mundo. Explore tudo que este livro lhe oferece, para aproveitar também a diversidade de informações distribuídas ao longo das seções, como a abertura, o tratamento da informação e outras. Certamente, você encontrará desafios e obstáculos. Enfrente-os com garra, pois, ao superá-los, perceberá como o saber, em todas as suas formas, traz grande satisfação pessoal e melhoria de sua atuação no mundo. Bom estudo!

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Organização da Parte

Parte

3

Páginas de abertura

Retas e triângulos

Você aprenderá nesta parte:

Cada livro contém 14 unidades distribuídas em 6 partes.

Geometria Ângulos formados por retas paralelas e transversais UNIDADE 6

Triângulos UNIDADE 7

Cada abertura de parte apresenta um elemento motivador como esta foto.

Pontos notáveis em um triângulo

UNIDADE 7

Para começar... Responda no caderno.

ALAGOAS

A ponte de Aracaju

1 Observe a ponte Construtor João Alves. Que figuras geométricas podem ser associadas a algumas partes da ponte?

C

onstruída com o objetivo de estimular o turismo e facilitar a ligação com o porto de Sergipe, a ponte Construtor João Alves representa um marco na engenharia de grandes obras.

BAHIA

Inaugurada em 2006, a ponte interliga a capital Aracaju (SE) à área portuária e a municípios de grande potencial para o turismo ecológico, como Barra dos Coqueiros, Santo Amaro das Brotas, Maruim e outros.

2 Você conhece outras obras de engenharia que lembram figuras geométricas? Dê exemplos.

SERGIPE

3 Observe o esquema de parte da ponte Construtor João Alves.

Maruim Aracaju

O projeto da ponte procurou integrar o aspecto estético ao funcional, produzindo uma obra que também fosse visualmente bonita.

Santo Amaro das Brotas Barra dos Coqueiros

b3 b 2 b 1

50 km

IBGE. Atlas nacional do Brasil. 3. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2000.

3

2

1

b1 1

b2 b3 2

3

O que ocorre com os comprimentos b1, b2, b3? Eles estão aumentando ou diminuindo? E o que ocorre com as medidas B1, B2, B3 dos ângulos?

110

111

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Unidade

O conteúdo é apresentado de forma clara e organizada.

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Círculo e circunferência

Há ainda atividades Desafio, Calculadora e Cálculo mental.

2. Círculo Toda circunferência determina duas regiões no plano que a contém: região interna e região externa.

1. Circunferência

região interna

As imagens que aparecem nas reproduções das pinturas abaixo dão a ideia de circunferência e de círculo. Você sabe o que é uma circunferência?

região externa

O 

Círculo é a região do plano formada por uma circunferência e sua região interna. r

Não confunda círculo com circunferência. Veja:

O

Vamos destacar alguns elementos da circunferência: r corda é um segmento cujas extremidades são dois pontos quaisquer da circunferência; r raio é um segmento cujas extremidades são o centro e um ponto qualquer da circunferência; r diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. O segmento ___

E

C

___

OE é um raio da circunferência.

O segmento CD é uma corda da circunferência. Robert Delaunay. Primeiro disco, 1914. Óleo sobre tela, 134 cm (diâmetro).

A

B

O

por r, o segmento AB terá medida 2r. Então, podemos concluir que a medida do diâmetro de uma circunferência é igual ao dobro da medida do raio. E r A

Marcel Duchamp. Rotoreliefs no 7, 1935. 226

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r O 2r

B

círculo

Fachada frontal da catedral de Notre-Dame, em Paris, França. No centro da fachada há uma rosácea que lembra um círculo.

C Pratique

1

2

5

Classifique os segmentos. a) b) c) d) e)

AC OA ___ BD ___ AD ___ OE

A

3

D O

B C

Construa circunferências com um compasso.

Responda. Se o diâmetro de uma circunferência mede 34 cm e o raio mede 2x  13, qual é o valor de x?

C Aplique

4

Resolva.

Uma fábrica de rodas de bicicleta embala as rodas em caixas.

E

___

___

a) Uma circunferência de centro O e raio de medida 2,5 cm. b) Uma circunferência de centro O e raio de medida 4 cm.

___

___ Observe que o segmento AO une o___ centro (O) a um ponto da circunferência ___ ___(A), assim como o segmento OB. Por esse motivo, os segmentos AO e OB são raios dessa ___ circunferência. Se indicarmos a medida do raio

região interna

ATIVIDADES

O segmento AB é um diâmetro da circunferência.

D

r

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Após a apresentação dos conteúdos, vêm as seções Atividades, que trazem os diversos tipos de atividades agrupadas em dois blocos: Pratique e Aplique.

circunferência

Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo. O ponto fixo é denominado centro da circunferência (o ponto O) e a distância constante é a medida do raio (indicada por r).

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Apresentação dos conteúdos

Questões sobre o tema da abertura são propostas com o fim de identificar e mobilizar os conhecimentos prévios do aluno.

Observe e responda.

O r

Responda. Você pode afirmar que os pontos A, O e B determinam um triângulo isósceles? Por quê?

Se uma roda tem 17 cm de raio, qual deve ser, no mínimo, a largura (-) da caixa?

6

L

A

C

O B

a) Se a medida do lado do quadrado - for igual a 14,8 cm, qual será o valor de r? b) Se a medida do raio da circunferência (r) for igual a 12,3 cm, qual será o valor de -?

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Para explicar a resolução de alguns exercícios propõe-se a seção Exercícios resolvidos. Nela há o passo a passo de uma resolução de exercício, além de comentários que enriquecem a resolução.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Um esquema apresenta os conteúdos que serão desenvolvidos na parte. Seu objetivo é orientar sobre o que será estudado e indicar como os conteúdos se relacionam.

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Atividades integradas Tratamento da informação O Tratamento da informação tem o objetivo de desenvolver a interpretação, a comparação e a análise de diversas formas de apresentação dos dados (em gráficos ou tabelas). Um personagem acompanha essa seção explicando o conteúdo e dando dicas para a organização dos dados.

São atividades para consolidar os conhecimentos. Há uma indicação do nível de dificuldade de cada atividade. Inicial Intermediário Avançado

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Compreender um texto

Questões especialmente desenvolvidas orientam a interpretação e análise do texto e exploram o conteúdo matemático apresentado.

A seção Compreender um texto tem o objetivo de desenvolver a competência leitora por meio da análise de diversos tipos de texto.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Para finalizar: um esquema

Para finalizar: problemas para resolver

Um resumo esquemático apresenta os principais conceitos e procedimentos estudados na parte. O esquema permite visualizar as relações entre os conteúdos.

O programa de resolução de problemas é composto das páginas de Problemas para resolver. Seu objetivo é propor maneiras de solucionar problemas, formando um arquivo de recursos para ser usado em outras situações.

Todas as fichas estão em um caderno colado na última capa do livro. Essa estrutura permite que as fichas sejam utilizadas isoladamente ou em conjunto com os Problemas para resolver.

Fichas de estratégias Cada página dos Problemas para resolver remete a uma Ficha de estratégia. Cada ficha apresenta um problema resolvido por meio da estratégia que permitirá solucionar todos os problemas sugeridos na seção Problemas para resolver.

Guia de estudo O livro é acompanhado de um Guia de estudo. O objetivo desse guia é auxiliar o estudo dos conteúdos por meio de atividades de exploração de vocabulário, de fixação, de síntese e atividades para checar a aprendizagem.

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Sumário NÚMEROS REAIS200

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Parte 1

UNIDADE 1 — Números reais 1. Conjuntos numéricos............................................................................................................................... 12

• • • •

Conjunto dos números naturais ..................................................................................................... 12 Conjunto dos números inteiros ...................................................................................................... 14 Conjunto dos números racionais ................................................................................................... 16 Obtenção da fração geratriz............................................................................................................. 18 2. A reta numérica............................................................................................................................................ 20 3. Números irracionais ................................................................................................................................. 23 4. Números reais ............................................................................................................................................... 26 Tratamento da informação — Construir gráfico de barras ............................................................ 28 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 30

UNIDADE 2 — POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 1. Potenciação de base real e expoente inteiro........................................................................ 31

Tratamento da informação — Calcular mediana ................................................................................ 40 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 43 Compreender um texto — A Matemática e a Arte .............................................................................. 44 Problemas para resolver ................................................................................................................................ 47

MONÔMIOS E POLINÔMIOS

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Parte 2

UNIDADE 3 — Cálculo algébrico 1. Representação de números desconhecidos ......................................................................... 50 2. Expressões algébricas............................................................................................................................ 51

• Valor numérico de uma expressão algébrica ............................................................................. 52 3. Monômio............................................................................................................................................................ 55 • Grau de um monômio ........................................................................................................................ 56 • Monômios semelhantes .................................................................................................................... 57 4. Adição algébrica de monômios........................................................................................................ 58 5. Multiplicação de monômios ............................................................................................................... 60

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Propriedades da potenciação .......................................................................................................... 32 2. Raiz quadrada ............................................................................................................................................... 34

6. Divisão de monômios .............................................................................................................................. 62 7. Potenciação de monômios .................................................................................................................. 63 8. Polinômio.......................................................................................................................................................... 64

• Redução de termos semelhantes ................................................................................................... 66 • Grau de um polinômio ....................................................................................................................... 67 • Polinômio com uma variável............................................................................................................ 67 9. Adição algébrica de polinômios ...................................................................................................... 69 • Adição de polinômios ......................................................................................................................... 69 • Oposto de um polinômio .................................................................................................................. 69 • Subtração de polinômios .................................................................................................................. 70 • Adição algébrica de polinômios ..................................................................................................... 70 10. Multiplicação de polinômios.............................................................................................................. 72 • Multiplicação de monômio por polinômio................................................................................. 72 • Multiplicação de polinômio por polinômio................................................................................ 73 11. Divisão de polinômios............................................................................................................................. 75 • Divisão de polinômio por monômio ............................................................................................. 75 • Divisão de polinômio por polinômio ............................................................................................ 76 Tratamento da informação — Calcular moda ....................................................................................... 78 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 80 6

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UNIDADE 4 — Produtos notáveis e fatoração 1. Quadrado da soma de dois termos ................................................................................................ 81 2. Quadrado da diferença de dois termos ..................................................................................... 84 3. Produto da soma pela diferença de dois termos................................................................ 87 4. Cubo da soma e cubo da diferença de dois termos ........................................................... 89 5. Fatoração de expressões algébricas ........................................................................................... 91

Fatoração de um número .................................................................................................................. 91 Fatoração de um polinômio ............................................................................................................. 91 Colocação de um fator comum em evidência ........................................................................... 92 Agrupamento ........................................................................................................................................ 94 Diferença de dois quadrados ........................................................................................................... 96 Trinômio quadrado perfeito ............................................................................................................. 98 Soma ou diferença de dois cubos ................................................................................................100 Brincando com a fatoração .............................................................................................................101 Tratamento da informação — Ler e interpretar gráficos de barras ....................................... 102 Atividades integradas ................................................................................................................................... 104 Compreender um texto — A conta de água ........................................................................................ 106 Problemas para resolver ............................................................................................................................. 109

RETAS E TRIÂNGULOS

110

UNIDADE 5 — Retas e ângulos

Parte 3

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• • • • • • • •

1. Elementos primitivos da Geometria ......................................................................................... 112 2. Retas coplanares ..................................................................................................................................... 113

• Posições relativas de duas retas no plano .................................................................................113 3. Segmento de reta .................................................................................................................................... 114

• Medida de um segmento e segmentos congruentes ...........................................................114 • Segmentos consecutivos e segmentos colineares ................................................................115 • Ponto médio de um segmento .....................................................................................................115 4. Ângulos ........................................................................................................................................................... 117 • Definição de ângulo ..........................................................................................................................118 • Medida de um ângulo ......................................................................................................................118 • Classificação dos ângulos ................................................................................................................119 • Bissetriz de um ângulo .....................................................................................................................121 5. Posições relativas de dois ângulos ............................................................................................ 123 • Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes ...........................................................................123 • Ângulos complementares ...............................................................................................................123 • Ângulos suplementares ...................................................................................................................124 6. Ângulos opostos pelo vértice ........................................................................................................ 126 Tratamento da informação — Calcular o número de elementos de um espaço amostral ... 128 Atividades integradas ................................................................................................................................... 130

UNIDADE 6 – Ângulos e polígonos 1. Reta transversal ....................................................................................................................................... 132

• • • • • •

Ângulos formados por uma reta transversal que corta duas retas quaisquer .............132 Relações entre os ângulos...............................................................................................................133 Ângulos correspondentes ...............................................................................................................135 Ângulos alternos ................................................................................................................................137 Ângulos colaterais..............................................................................................................................139 Retas paralelas, retas transversais e o origami .........................................................................144 2. Polígonos ....................................................................................................................................................... 146 • Polígonos convexos e polígonos não convexos .....................................................................146 • Elementos de um polígono convexo ..........................................................................................147 • Nome dos polígonos.........................................................................................................................148 • Diagonais de um polígono .............................................................................................................149 • Ângulos de um polígono.................................................................................................................151 • Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo ................................................151 • Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer ...........153 • Ângulos internos nos polígonos regulares ...............................................................................155 Tratamento da informação — Calcular a probabilidade de um evento ................................ 158 Atividades integradas ................................................................................................................................... 160 7

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Sumário

UNIDADE 7 — Triângulos • Condição de existência de um triângulo ...................................................................................163 • Classificação de um triângulo ........................................................................................................163 2. Ângulos nos triângulos....................................................................................................................... 165 • Relação entre um ângulo externo e dois ângulos internos não adjacentes.................165 3. Pontos notáveis em um triângulo .............................................................................................. 167 • Medianas e baricentro ......................................................................................................................167 • Alturas e ortocentro ..........................................................................................................................168 • Bissetrizes e incentro.........................................................................................................................169 • Mediatrizes e circuncentro..............................................................................................................170 4. Transformações geométricas de figuras no plano........................................................ 174 5. Casos de congruência .......................................................................................................................... 176 6. Triângulos isósceles e equiláteros ............................................................................................ 180 • Propriedade dos ângulos da base de um triângulo isósceles ............................................180 • Propriedade da mediana, altura e bissetriz de um triângulo isósceles ..........................181 • Propriedade dos ângulos internos de um triângulo equilátero ........................................182 Tratamento da informação — Ler e interpretar gráfico de barras duplas.......................... 184 Atividades integradas ................................................................................................................................... 186 Compreender um texto — Fotografias e triângulos ....................................................................... 188 Problemas para resolver ............................................................................................................................. 191

QUADRILÁTEROS

192

Parte 4

UNIDADE 8 — Quadriláteros 1. Figuras geométricas não planas.................................................................................................. 194

• Secções de figuras não planas .......................................................................................................195 • Vistas superior, lateral e frontal .....................................................................................................195 • Planificação...........................................................................................................................................196 2. Quadriláteros .............................................................................................................................................. 198 • Quadriláteros .......................................................................................................................................198 • Soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero convexo ........................201 Tratamento da informação — Calcular média aritmética ........................................................... 204 Atividades integradas ................................................................................................................................... 206

UNIDADE 9 — Quadriláteros notáveis

1. Paralelogramos ......................................................................................................................................... 207

• • • • •

Classificação dos paralelogramos ............................................................................................... 208 Propriedades dos paralelogramos .............................................................................................. 208 Propriedade dos retângulos .......................................................................................................... 210 Propriedade dos losangos ............................................................................................................. 210 Propriedade dos quadrados .......................................................................................................... 211 2. Trapézios ....................................................................................................................................................... 213 • Classificação dos trapézios ............................................................................................................ 213 • Propriedades dos trapézios ........................................................................................................... 214 • Base média........................................................................................................................................... 215 Tratamento da informação — Construir gráfico de linha ............................................................ 216

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1. Triângulo ........................................................................................................................................................ 162

Atividades integradas ................................................................................................................................... 218 Compreender um texto — O olhar geométrico.................................................................................. 220 Problemas para resolver ............................................................................................................................. 223

CÍRCULOS E CIRCUNFERÊNCIAS

224

Parte 5

UNIDADE 10 — Círculo e circunferência

1. Circunferência............................................................................................................................................ 226 2. Círculo............................................................................................................................................................... 227 3. Posições relativas ................................................................................................................................... 228

• • • •

Posições relativas de um ponto a uma circunferência......................................................... 228 Posições relativas de uma reta a uma circunferência........................................................... 229 Propriedades das retas secantes e tangentes ......................................................................... 230 Posições relativas entre duas circunferências ......................................................................... 232

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4. Segmentos tangentes a uma circunferência..................................................................... 235

• Propriedade de segmentos tangentes a uma circunferência ........................................... 235 • Triângulo circunscrito ...................................................................................................................... 235 • Quadrilátero circunscrito ................................................................................................................ 236 Tratamento da informação — Ler e interpretar gráfico de linha ............................................ 238 Atividades integradas ................................................................................................................................... 240

UNIDADE 11 — Arco de circunferência

1. Arco de circunferência......................................................................................................................... 241

• Ângulo central e medida de um arco ........................................................................................ 242

2. Ângulos inscritos..................................................................................................................................... 243

• Ângulo inscrito na semicircunferência ...................................................................................... 245

3. Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência...................................... 246

EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES

256

UNIDADE 12 – Frações algébricas

Parte 6

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Ângulo excêntrico ............................................................................................................................. 246 • Propriedade dos ângulos excêntricos interiores ................................................................... 246 • Propriedade dos ângulos excêntricos exteriores................................................................... 247 Tratamento da informação — Construir gráfico de setores ...................................................... 248 Atividades integradas ................................................................................................................................... 250 Compreender um texto — Localizando terremotos ....................................................................... 252 Problemas para resolver ............................................................................................................................. 255

1. Frações algébricas .................................................................................................................................. 258

• Simplificação de fração algébrica................................................................................................ 261

2. Adição e subtração com frações algébricas ........................................................................ 262

• Cálculo do mmc de polinômios ................................................................................................... 262 • Adição e subtração ........................................................................................................................... 263 3. Multiplicação e divisão com frações algébricas .............................................................. 265 • Multiplicação ...................................................................................................................................... 265 • Divisão ................................................................................................................................................... 266 Tratamento da informação — Construir gráfico de setores ...................................................... 268 Atividades integradas ................................................................................................................................... 270

UNIDADE 13 — Equações do 1o grau

1. Equação do 1o grau com uma incógnita .................................................................................. 271 2. Equação fracionária do 1o grau com uma incógnita...................................................... 274

• Equação fracionária .......................................................................................................................... 274 • Conjunto universo de uma equação fracionária.................................................................... 274 • Resolução de uma equação fracionária .................................................................................... 275 3. Equação literal do 1o grau ................................................................................................................. 277 • Equação literal na incógnita x ....................................................................................................... 277 • Resolução de uma equação literal .............................................................................................. 278 Tratamento da informação — Ler e interpretar gráficos ............................................................ 280 Atividades integradas ................................................................................................................................... 282

UNIDADE 14 — Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas

1. Equação do 1o grau com duas incógnitas .............................................................................. 283

• Representação gráfica das soluções........................................................................................... 284

2. Sistemas de equações do 1o grau com duas incógnitas ............................................ 285

• • • •

Método da substituição .................................................................................................................. 286 Método da adição ............................................................................................................................. 287 Análise da solução por meio da representação gráfica....................................................... 289 Classificação de um sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas ............... 291 3. Sistemas de equações fracionárias .......................................................................................... 292 • Resolução de um sistema de equações fracionárias do 1o grau ...................................... 293 Tratamento da informação — Construir gráfico de linha ............................................................ 294 Atividades integradas ................................................................................................................................... 296 Compreender um texto — Lilavati, a Formosa................................................................................... 298 Problemas para resolver ............................................................................................................................. 301 9

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Parte

1

Números reais

A “magrela”

Para começar...

S

ua origem é um tanto obscura, mas isso não influi na sua importância crescente como meio de transporte e de prática esportiva. Seu uso, aliás, vem sendo cada vez mais difundido, pois não polui o ar, combate o sedentarismo, ajudando a manter a forma física, e ainda proporciona agradáveis momentos de lazer. De que estamos falando? Da bicicleta, é claro, a chamada “magrela”. Tanto isso é verdade que o número de ciclovias nas cidades brasileiras vem aumentando, pois, para segurança do ciclista, é preciso que ele tenha acesso a vias especiais de tráfego.

Responda no caderno. 1 Segundo o infográfico, há quanto tempo ocorreu a invenção da bicicleta? 2 Conforme o esquema abaixo, o comprimento do pneu corresponde a uma volta completa. Qual é o comprimento desse pneu? 3 Essa medida é aproximada ou exata? 4 Pense em uma forma de obter uma medida mais precisa para o comprimento do pneu.

Assim, viabiliza-se a utilização de um meio de transporte ecológico e econômico.

Você aprenderá nesta parte:

207,4 cm

Números reais Conjuntos numéricos UNIDADE 1

Operações com números reais UNIDADE 2

Potenciação UNIDADE 2

Radiciação UNIDADE 2

1790

1816

1838

Sivrac, um conde francês, inventa o celerífero (cavalo de duas rodas), feito de madeira. Para movê -lo, era preciso dar-lhe impulso com os pés e só andava em linha reta.

O alemão Karl Drais acrescenta molas ao assento e cria o guidão, dando dirigibilidade ao celerífero, que passa a ser conhecido também como draisiana. Ainda era feito de madeira.

É criado na Escócia um sistema que utiliza tração traseira por meio de um mecanismo acionado por pedais dianteiros movidos a manivelas.

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1869

1884

1887

1939-1945

1980

Já circulam as bicicletas com freios e aprimora-se o sistema de transmissão traseira por meio de corrente contínua.

Constroem-se bicicletas com enormes rodas dianteiras. Elas conferiam status aos usuários, mas capotavam facilmente.

John Dunlop inventa o pneu a ar. Consistia em uma espécie de tubo de tecido emborrachado cheio de ar, o qual, porém, rasgava -se com facilidade.

Durante a Segunda Guerra Mundial, a bicicleta é usada para o deslocamento de tropas. Para isso, cria-se um modelo dobrável, que os soldados carregavam às costas.

Criam-se modelos variados e específicos, conforme a atividade praticada, como a mountain bike e os supermodelos de corrida. A partir daí, aprimoram-se os acessórios que tornam as bicicletas mais ágeis e confortáveis.

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Unidade

1

Números reais 1. Conjuntos numéricos

Em muitas situações do cotidiano, como as que aparecem nas ilustrações, usamos números naturais (no caso do calendário: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31), números inteiros (no exemplo da temperatura: 218) e números racionais (no exemplo da balança: 49,8). Você já estudou todos esses números. Nesta unidade, vamos relembrar os conjuntos numéricos a que esses números pertencem, além de conhecer outros conjuntos. Conjunto dos números naturais A sequência dos números naturais é: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Nessa sequência, o primeiro termo é o zero, e, para determinar um termo qualquer, basta adicionar 1 ao termo anterior, ou seja, se n é um número natural, sempre existirá o número natural n 1 1, que é chamado sucessor de n. Também dizemos que n é o antecessor de n 1 1. Como sempre haverá o sucessor de qualquer número natural, a sequência dos números naturais é infinita. Agrupando os termos dessa sequência em um conjunto, obtemos o conjunto dos números naturais, que indicamos por N. N 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...} O conjunto dos números naturais sem o zero é indicado por N*. N* 5 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} Se n é um número natural, representamos seu sucessor por n 1 1. Se n é um número natural diferente de zero, representamos seu antecessor por n 2 1. Os números n 2 1, n e n 1 1 são números naturais consecutivos.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Em que situações do dia a dia você utiliza números? Para que os utiliza? Que números você usaria para indicar sua altura? E para indicar uma linha de ônibus? Observe as situações a seguir.

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Subconjuntos do conjunto dos números naturais

Considere a sequência dos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Ao agrupar os termos dessa sequência, obtemos o conjunto dos números primos. • Conjunto dos números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} Todos os elementos do conjunto dos números primos são também elementos do conjunto N. Por isso, dizemos que o conjunto dos números primos é um subconjunto de N, ou seja, o conjunto dos números primos está contido em N. N

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

conjunto dos números primos

Além do conjunto dos números primos, existem outros subconjuntos de N. Veja alguns exemplos: • Conjunto dos números pares: {0, 2, 4, 6, 8, ...} • Conjunto dos números ímpares: {1, 3, 5, 7, 9, ...} • Conjunto dos múltiplos naturais de 3: {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...} • Conjunto dos números naturais sem o zero: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

ATIVIDADES CC Pratique

CC Aplique

1 Observe o cartão-postal e responda às questões.

3 Complete a tabela no caderno. Número natural a

Sucessor natural de a

Antecessor natural de a

0 279 1.000.013 456.976

4 Responda às questões.

a) Quais números você identificou nesse cartão? b) Para que servem esses números? c) Todos esses números são naturais? Explique.

2 Analise as sequências e complete-as no caderno acrescentando os três números seguintes. a) 125.000, 135.000, 145.000, ... b) 12.356, 12.456, 12.556, ... c) 17.345, 18.345, 19.345, ... d) 199.993, 199.995, 199.997, ... e) 321.150, 321.300, 321.450, ...

a) Se n é um número natural, qual é o antecessor natural de n? E qual é o sucessor natural de n? b) n é um número da sequência dos números pares. Qual é seu sucessor? E seu antecessor? c) n é um número da sequência dos números ímpares. Qual é seu sucessor? E seu antecessor? 5 Descubra os números. a) A soma de três números naturais consecutivos é 1.233. Quais são esses números? b) A soma de dois números consecutivos na sequência dos números pares é 998. Quais são esses números? c) A soma de três números consecutivos na sequência dos números ímpares é 165. Quais são esses números?

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Conjunto dos números inteiros Observe o extrato bancário ao lado. Como podemos representar o saldo da conta de Osvaldo considerando que ele tinha R$ 800,00 e comprou, pagando com cheque, uma mercadoria de R$ 1.000,00? Nesse caso, devemos fazer a seguinte operação:

800 2 1.000 5 2200 Observe que, apesar de envolver apenas números naturais, essa operação tem como resultado um número negativo: 2200. Então, em uma subtração com números naturais, o resultado pode ser um número positivo, um número negativo ou zero. Podemos escrever esses números na seguinte ordem: Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

..., 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, ... Assim como acontece com os números naturais, um número inteiro n tem como sucessor n 1 1 e como antecessor n 2 1. Com esses números, formamos o conjunto dos números inteiros, que indicamos por . Z 5 {..., 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, ...} Note que no conjunto dos números inteiros existem números naturais. Veja: Z 5 {..., 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, ...} números naturais

Todos os elementos do conjunto N são também elementos do conjunto Z. Dizemos que N é um subconjunto de Z, ou seja, N está contido em Z (indicamos N 3 Z). N

Z N3Z

Observação Todo número inteiro n tem um número oposto ou simétrico 2n. Por exemplo: • O oposto ou simétrico de 5 é 25. • O oposto ou simétrico de 220 é 20. • O oposto ou simétrico de zero é o próprio zero. Chamamos números inteiros não negativos os números: 0, 1, 2, 3, 4, ... Chamamos números inteiros não positivos os números: 0, 21, 22, 23, 24, ... números inteiros não positivos

números positivos

..., 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... números negativos

números inteiros não negativos

Se existisse um andar logo abaixo do 22, que indicação ele teria?

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ATIVIDADES 5

CC Pratique

1

Leia algumas informações sobre a África e responda à questão.

Responda às questões no caderno. a) Que número é o oposto do oposto de 155? b) Que número é o oposto do oposto de 2155?

CC Aplique

6 Continente africano

Resolva o problema. Um termômetro marca 12 °C. Se a temperatura baixar 15 graus, qual será a nova temperatura?

Ponto mais elevado: Monte Kilimanjaro (Tanzânia): 5.895 m Maior depressão: 2155 m Temperatura máxima registrada: 57,7 °C Temperatura mínima registrada: 223,9 °C

50 40 30 20

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

12 °C

10 0 °C

• Entre os números acima, quais pertencem ao conjunto dos números inteiros?

2

3

7

Copie as sequências no caderno e acrescente os três termos seguintes que correspondem a cada uma delas. a) 22, 21, 0, 1, 2, ... b) 244, 234, 224, 214, ... c) 30, 24, 18, 12, 6, ... d) 2300, 2200, 2100, ...

Oposto de a

Sucessor de a

Antecessor de a

2.003 27 21.999 2125 0

A 125 2 137

D 323 2 402

B 623 2 232

E 729 2 701

C 1.040 2 1.100

F 630 2 1.200

8

Responda à questão. Qual é a soma de dois números opostos?

9

Resolva o problema no caderno. O atual saldo de gols, ou seja, a diferença entre o número de gols marcados e de gols sofridos do time de futebol Unidos do Bairro é 214 gols. Se o time sofrer três gols e não fizer nenhum, qual será seu novo saldo?

9 1.451

Calcule e responda.

a) Quais dessas operações têm como resultado um número natural? b) E quais dessas operações têm como resultado um número inteiro?

Considerando a um termo da sequência dos números inteiros, complete a tabela. a

�4 °C

1.000.000 21.000.000

4

Entre as afirmações abaixo, corrija as falsas. a) 21 é um número inteiro, mas não é um número natural. b) 100 é um número natural, mas não é um número inteiro. c) 29, 8 e 100 são exemplos de números inteiros. d) Todo número inteiro é um número natural.

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Conjunto dos números racionais

De acordo com informações do Jornal da Ciência, da Sociedade Brasileira para o Progresso da Ciência (SBPC), os efeitos do aquecimento global já estão sendo sentidos em vários países. Segundo as estimativas de 2.500 cientistas de 130 países, até 2100 a temperatura global vai aumentar entre 1,8 C e 3 C, o que provocará o derretimento de parte das calotas polares e o aumento do nível dos oceanos entre 0,18 m e 0,59 m. Além disso, haverá inundações, ondas de calor mais frequentes, ciclones mais violentos, desaparecimento de ilhas e de espécies de animais. Por causa dessas previsões é que devem ser tomadas medidas imediatas para controlar a emissão de gases que intensificam o efeito estufa.

Números que podem ser escritos na forma fracionária, ou seja, na forma __ ​ a​,  em que a e b são números inteiros e b i 0, são chamados b números racionais.

Veja como os números inteiros do texto podem ser escritos na forma fracionária: 2.100  ​    • 2.100 5 ​ _____  ​   • 2.500 5 _____ ​ 2.500   1 1 • 3 5 ___ ​ 3  ​  • 130 5 ____ ​ 130 ​  1 1 E veja como os números na forma decimal podem ser escritos na forma de fração: 59  ​  • 0,18 5 ____ ​  18  ​   • 0,59 5 ​ ____ • 1,8 5 ___ ​ 18  ​ 10 100 100 O conjunto dos números racionais é indicado por Q. Usando uma linguagem mais formal da Matemática, representamos o conjunto dos números racionais da seguinte maneira: Q 5 ​a __ ​ a ​ a Ñ Z, b Ñ Z, b i 0 b​ b

Emissão de poluentes industriais na atmosfera.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Todos esses números que aparecem no texto acima (2.500; 130; 2.100; 1,8; 3; 0,18 e 0,59) pertencem ao conjunto dos números racionais. Desses números, 2.500, 130, 2.100 e 3 também pertencem ao conjunto dos números inteiros.

 | 

tal que

Todos os elementos do conjunto Z são também elementos do conjunto Q. Dizemos que Z é um subconjunto de Q , ou seja, que Z está contido em Q (indicamos Z 3 Q). Lembre-se de que todos os elementos do conjunto N são também elementos do conjunto Z. Como Z está contido em Q , então N é um subconjunto também de Q , ou seja, N está contido em Q (indicamos N 3 Q ). N

Q Z

N3Z N3Q Z3Q

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Transformação de um número racional da forma fracionária para a forma decimal

Um número que está na forma fracionária também pode ser representado na forma decimal. Para isso, devemos lembrar que a forma fracionária representa o quociente do numerador pelo denominador. Portanto, para fazer a transformação, basta dividir o numerador pelo denominador. Essa divisão pode resultar em um decimal exato ou em uma dízima periódica. Analise alguns casos: • __ ​ 1  ​ 10 4 4 decimal exato 20 0,25 O resto é zero. 0 Portanto: __ ​ 1  ​5 0,25 4 Aqui, obtivemos um decimal exato, uma vez que o resto da divisão é igual a zero. Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• __ ​ 1  ​ 6

10 6 40 0,166... 40 4

dízima periódica O resto repete-se infinitamente.

1  ​​5 0,1666... Portanto: ​ __ 6 Nesse caso, chegamos a uma dízima periódica, pois o resto da divisão nunca será igual a zero e repete-se infinitamente. • ___ ​  3  ​  30 11 11 80 0,2727... dízima periódica 30 80 O par de restos parciais repete-se infinitamente. 3 3  ​ 5 0,2727... Portanto: ​ ___ 11 Aqui também obtivemos uma dízima periódica, uma vez que o resto nunca será igual a zero e repete-se infinitamente. A parte que se repete em uma dízima periódica é o período da dízima. Exemplos • 6 é o período de 0,66... • 3 é o período de 1,5833... • 56 é o período de 0,56565656... Podemos representar esses números da seguinte maneira: _ _ 0,​6 ​  (período 6)   1,58​3 ​  (período 3)   0,56 (período 56) O traço indica o período da dízima periódica. Quando o período aparece logo após a vírgula, a dízima é chamada simples; quando há partes não periódicas e periódicas após a vírgula, a dízima é chamada composta. Exemplos • 0,66... e 12,1515... são dízimas periódicas simples. • 0,5833... e 0,122... são dízimas periódicas compostas. 17

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Obtenção da fração geratriz A fração irredutível que gera uma dízima periódica é denominada fração geratriz. Veja, no quadro abaixo, como encontrar a fração geratriz. Fração geratriz de uma dízima periódica Dízima periódica simples

Dízima periódica composta

Vamos obter a fração geratriz da dízima periódica 0,333...

1o) Primeiro, chamamos essa dízima de x. x 5 1,13636... (I)

1 ) Primeiro, chamamos essa dízima de x. x 5 0,333... (I) o

2 ) Como o período dessa dízima é formado por um algarismo (3), multiplicamos ambos os membros da igualdade (I) por 10 para obter outro número na forma decimal com o mesmo período. 10x 5 3,333... (II) 3o) Subtraímos membro a membro (I) de (II) e, assim, desaparece a parte que se repete. 10x 5 3,333... 2 x 5 0,333... 9x 5 3

3  ​ x 5 ​ __ 9

1  ​ x 5 ​ __ 3

Vamos obter a fração geratriz da dízima periódica 1,13636...

2o) Multiplicamos ambos os membros da igualdade (I) por 10 para obter uma dízima periódica simples. 10x 5 11,3636... (II) 3o) Como o período dessa dízima é formado por dois algarismos (36), multiplicamos ambos os membros da igualdade (II) por 100 para obter outro número na forma decimal com o mesmo período. 1.000x 5 1.136,3636... (III) o

Como 0,333... 5 __ ​ 1 ​ , então a fração geratriz da dízima 3 periódica 0,333... é __ ​ 1 ​ . 3

Observação

4 ) Subtraímos membro a membro (II) de (III) e, assim, desaparece a parte que se repete. 1.000x 5 1.136,3636... 2 10x 5 11,3636... 990x 5 1.125 1.125 ​  x 5 ​ _____ 990 25 x 5 ​ ___  ​ 22 Como 1,13636... 5 ___ ​ 25  ​, então a fração geratriz da dízima 22 periódica 1,13636... é ___ ​ 25  ​. 22

• Você pode usar a calculadora para comprovar que __ ​ 1  ​ 5 0,333...; 3 para isso, basta dividir 1 por 3. E pode também dividir 25 por 22 e comprovar que ___ ​ 25  ​5 1,13636... 22 Como dízimas têm infinitas casas decimais, ao realizar qualquer operação com uma dízima devemos encontrar a fração geratriz para depois efetuar o cálculo. Dessa forma, o resultado será mais preciso. Veja algumas operações: 0,333... 5 __ ​ 1  ​ 3

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

o

0,111... 5 __ ​ 1  ​ 9

1  ​1 __ ​ 1  ​5 __ ​ 3  ​1 __ ​ 1  ​5 __ ​ 4  ​ • (0,333...) 1 (0,111...) 5 ​ __ 3 9 9 9 9 ​ 1  ​5 ___ ​  1  ​  • (0,333...) 8 (0,111...) 5 __ ​ 1  ​8 __ 3 9 27 • (0,333...) 9 (0,111...) 5 __ ​ 1  ​9 __ ​ 1  ​5 __ ​ 1  ​8 __ ​ 9  ​5 __ ​ 9  ​5 3 3 9 3 1 3 18

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ATIVIDADES CC Aplique

CC Pratique

1

Quais são os conjuntos numéricos ( N,  Z ou Q )  a que pertencem os números a seguir? a) 0 b) 21 1 c) __ 2 d) 20,1515...

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3

h) dXX 9 5 i) 2__ 7 j) 0,001

Escreva os seguintes números na forma fracionária: a) 8

c) 0,4

e) 4,458

b) 235

d) 21,28

f) 56,6789

Escreva os números racionais na forma decimal. 3 1 1 a) 1__ c) 7__ e) 15__ 4 5 2 10 50 1 d) 2___ f) ___ b) __ 44 9 2 • Em que itens o resultado é dízima periódica?

4

B

8 __ 3

4 C __ 3

75 ____ D 2 100

Considerando que x 5 0,1666..., y 5 0,25 e z 5 21,666..., calcule o valor das expressões. a) x 1 y 1 z c) x 2 (y 1 z) b) x 2 y 1 z d) y 1 (x 2 z)

9

Escreva outra representação dos números racionais abaixo. a) 0,888... c) 212 1 b) 1__ d) 2 3 10 Observe as figuras e faça o que se pede no caderno.

7 __ E 25 23 ___

F 12

I 21,4 IV 1,9166...

Figura 1

II 20,75 III 1,333...

Classifique as afirmações em V (verdadeira) ou F (falsa).

b) 216 é um número inteiro, mas não é racional. c) O número 242 pertence ao conjunto dos números inteiros e ao conjunto dos números racionais. d) 0,5 é um número racional, mas não é um número inteiro. Determine a fração geratriz das dízimas periódicas. a) 0, 666...

c) 1,555...

e) 1,1666...

b) 0,777...

d) 2,444...

f) 3,030303...

Figura 2

a) Escreva um número racional na forma fracionária que represente a parte colorida de azul em cada uma das figuras. b) Escreva um número racional na forma decimal que represente a parte branca em cada uma das figuras.

V 2,666...

a) Existem números naturais que não são racionais.

6

8

Associe os números iguais.

3 A 2__ 4

5

Passe para a forma fracionária e efetue as operações indicadas. a) (0,222...) 1 (0,555...) 2 (0,777...) b) (0,888...) 9 (5,666...) c) (1,8333...) 8 (0,52727...)

f) 23,4 g) 1.000

10 e) ___ 2

2

7

11

Complete o quadrado mágico considerando que a soma de suas linhas, de suas colunas e de suas diagonais é igual a 30.

17 ___ 3 19 ___ 3 23 ___ 3 6

9 8

7

20 ___ 3

9

19

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2. A reta numérica Unidade Para localizar os pontos em uma reta numérica, é preciso estabelecer uma unidade. Esta é a unidade das retas numéricas destas páginas: u

Zero O ponto que corresponde ao zero na reta numérica serve de base para a localização dos infinitos pontos, à direita e à esquerda, que representam os demais números.

Números naturais Com base na localização do ponto que corresponde ao número zero na reta numérica, podemos encontrar infinitos pontos à sua direita. Para isso, usamos uma unidade para determinar a distância entre dois pontos correspondentes a dois números naturais consecutivos.

Números inteiros Da mesma forma que localizamos os pontos correspondentes aos números naturais, localizamos, à direita do ponto que corresponde ao número zero na reta numérica, os pontos correspondentes aos números positivos e, à esquerda, os pontos correspondentes aos números negativos.

20

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O que há entre dois números racionais?

Entre dois números naturais consecutivos não podemos encontrar nenhum outro número natural. Entre 3 e 4, por exemplo, não há nenhum número natural. Isso também vale para os números inteiros. Entre dois números inteiros consecutivos, não há nenhum outro número inteiro. Entre 27 e 26, por exemplo, não há nenhum número inteiro. No caso dos números racionais, isso não acontece, pois entre dois números racionais quaisquer sempre existe outro número racional. Por exemplo, entre 12,9 e 13 há outros números racionais; um exemplo é o número 12,95. Entre 12,95 e 13 há outros números racionais, como o número 12,955. E, assim, podemos encontrar infinitos números entre 12,9 e 13.

Números racionais Para localizar os pontos correspondentes aos números racionais que também são inteiros, usamos o mesmo procedimento já representado. Mas quando o número não é inteiro, precisamos descobrir entre quais números inteiros consecutivos se localiza o número racional que desejamos representar. 5 ​  está entre 22 e 21, pois Por exemplo, o número 2​ __ 4 5 ​  5 21,25. 2​ __ 4

Dividindo em 4 partes iguais o segmento determinado pelos pontos correspondentes a 22 e 21, marcamos o primeiro ponto à esquerda de 21. O número 1,333... está entre 1 e 2, e sua forma fracionária 4 ​  5 1​ __ 1 ​ . Dividindo em 3 partes iguais o segmento é ___ ​ 12 ​ 5 ​ __ 9 3 3 determinado pelos pontos correspondentes a 1 e 2, marcamos o primeiro ponto à direita de 1.

21

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ATIVIDADES CC Pratique

CC Aplique

1 Consulte a reta numérica e classifique cada número

5 Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras.

representado utilizando os termos número negativo, número não negativo, número natural, número positivo e número não positivo.

Para isso, represente os números de cada item na reta numérica. 5  ​ estão entre os números 1  ​ e 2​ __ a) Os números ​ __ 3 8 23 e 22.

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

i) 1

b) 26

j) 2

c) 25

k) 3

c) Não existem números inteiros entre 2200 e 2199.

d) 24

l) 4

6 Dê um exemplo de um número racional que esteja

e) 23

m) 5

f) 22

n) 6

entre os números representados em cada reta numérica.

g) 21

o) 7

a)

h) 0

1

b)

2 Copie a reta numérica e substitua cada

pelo nú-

c)

mero correspondente a cada ponto.

d) 0

4

1

21

5,2

0

1

2

3

23,1

2,5

2

–3

–2

4

5

6

21,3

25,2

d) �3

�2

e) �1

0

Copie a reta numérica no caderno. Represente os números da sequên­cia na reta numérica e depois responda à questão. 1 ​ ,  __ 1   ​ , ... 1, __ ​ 1 ​ ,  ​ __ ​ 1 ​ ,  __ ​ 1 ​ ,  __ ​ 1 ​ ,  __ ​ 1 ​ ,  __ ​ 1 ​ ,  __ ​ 1 ​ ,  ​ ___ 2 3 4 5 6 7 8 9 10

• Agora, escreva esses números em ordem crescente.

4 Escreva os números abaixo em ordem decrescente e dê sua localização aproximada na reta numérica. 3 ​ ,  ​ __ 5 ​ ,  ​ __ 7 ​ ,  2​___ 2​ __   7   ​  8 3 6 10

�4 2

8 22,5

1 �5

c) 1

ros abaixo.

1,3

1

0

b)

3 Copie a reta numérica e represente nela os núme-

3,1

0

iguais, e descubra o número correspondente a cada ponto com um quadradinho.

8

27

a)

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–3

7 Observe cada reta numérica, dividida em partes

28

24

11

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

b) Entre os números 23 e 22 há somente cinco números racionais.

a) 27

0

1

• O que ocorre quando representamos, na ordem em que aparecem, os termos dessa sequência na reta numérica?

22

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3. Números irracionais Observe os números a seguir. • 0,125225222522225222225...

• 3,14159265...

• 21,4142135...

• 20,52552555255552555552...

Considere que esses números têm infinitas casas decimais e não são dízimas periódicas. Números com essas características são chamados números irracionais. Número pi (π)

O número obtido pela divisão do comprimento da circunferência pela medida de seu diâmetro, na mesma unidade, é o número irracional pi (representado pela letra grega π).

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

π 5 3,14159265...

O número π tem infinitas casas decimais e não tem um período que se repete. Por isso é considerado um número irracional. Observe as circunferências e as medidas de seus diâmetros.

1 cm

3 cm

2 cm

Os comprimentos aproximados dessas circunferências são: C1:

comprimento da circunferência

3,15 cm

6,27 cm

C2:

9,425 cm

C3:

Os quocientes entre o comprimento aproximado e a medida do diâmetro de cada circunferência acima são: 3,15 6,27 9,425 C2: ____ C3: _____ C1: ____ ​   ​  5 3,15 ​   ​  5 3,135 ​   ​   5 3,141666... 1 2 3 Como é possível perceber, os valores obtidos nesses quocientes estão próximos de 3,14. Conhecido o número π, você pode calcular o comprimento C de uma circunferência qualquer com base na medida de seu diâmetro d (ou 2r, em que r é a medida do raio) aplicando: r

C 5 π 8 d  ou  C 5 π 8 2r

Exemplo Calcular o comprimento de uma circunferência cujo raio mede 7 cm. Considere π 5 3,14. 7 cm

C 5 π 8 2r C 5 3,14 8 2 8 7 C 5 43,96 Portanto, o comprimento da circunferência é 43,96 cm.

d 23

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Raiz quadrada de 2

Caio desenhou dois quadrados iguais, cortou-os sobre uma das diagonais e montou um novo quadrado.

1 cm

x

1 cm

Área = 1 cm2

1 cm x

Área = 1 cm2

1 cm

x

x

x

1 cm

1 cm

x

Área = 2 cm2

12 5 1

22 5 4

Então, a d​ X 2 ​ X está entre 1 e 2. Vamos agora testar valores entre 1 e 2. 1,12

1,22

1,32

1,42

1,52

1,21

1,44

1,69

1,96

2,25

1,412

1,422

1,9881

2,0164

d ​ X 2 ​ X está entre 1,4 e 1,5.

​dX 2 ​ X está entre 1,41 e 1,42.

1,4112

1,4122

1,4132

1,4142

1,4152

1,990921

1,993744

1,996569

1,999396

2,002225

1,41412

1,41422

1,41432

1,9996788

1,9999616

2,0002444

​dX 2 ​ X está entre 1,414 e 1,415.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O quadrado montado por Caio tem área igual a 2 cm2. Portanto, a medida do lado desse quadrado é um número que, elevado ao quadrado, resulta em 2. Em outras palavras, a medida do lado desse quadrado é igual à raiz quadrada de 2, representada por d​ X 2 ​ X . Um modo de calcular a raiz quadrada de 2 é fazer aproximações. Para isso, testamos alguns valores:

​dX 2 ​ X está entre 1,4142 e 1,4143.

Prosseguindo as aproximações, encontraremos outras casas decimais e chegaremos, por exemplo, a d​ X 2 ​ X 5 1,4142135... Já foram feitos muitos cálculos para encontrar mais casas decimais para d​ 2 ​ X X, mas nunca foi encontrada uma parte periódica. Os matemáticos provaram que não existe essa parte periódica. Por essas características, o número​ dX 2 ​ X não pode ser escrito na forma fracionária e, portanto, não é um número racional. Observação

Na próxima Unidade, veremos a definição de raiz quadrada de um número racional. 24

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ATIVIDADES 5

CC Pratique

1

Entre os números abaixo, identifique o número irracional. a) 0,100100100100100100100... b) 0,6234623462346234... c) 5,21043210432104321043... d) 3,142114221423142414251426... e) 0,6252135213521352135213...

2

Associe cada número ao conjunto numérico a que pertence. Conjunto dos

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A números naturais Conjunto dos

B números inteiros Conjunto dos

C números racionais Conjunto dos

D números irracionais 3

I

1.520

II

324 ____ 162

III

dXX 2

IV

4 2__ 2

Descubra quantos metros de renda Mírian irá usar.

Responda às questões no caderno. O raio de uma bicicleta aro 26 mede 30 cm.

Considerando p 5 3,14, responda às questões. a) Qual é o comprimento da circunferência cujo raio mede 2,3 cm? b) E da circunferência cujo diâmetro mede 7,5 m? c) Qual é a medida do diâmetro de uma circunferência cujo comprimento é 31,4 m?

CC Aplique

4

6

Resolva o problema no caderno. Para mostrar aos turistas o que há em torno de um lago de formato circular, o barco irá contorná-lo. Sabendo que a medida do raio do lago é 320 m, quantos metros o barco irá percorrer?

a) Qual é o comprimento de cada roda dessa bicicleta? (Adote π 5 3,14.) b) Quantas voltas cada roda dessa bicicleta dará a cada 1 km?

7

Resolva o problema no caderno. Duas formigas estavam juntas em uma engrenagem. A formiga macho estava sobre uma roda dentada cujo raio mede 5 cm, e a formiga fêmea estava sobre uma roda de 10 cm de raio. Em determinado momento, a engrenagem começou a funcionar. Cada formiga ficou sozinha em uma roda, até se encontrarem novamente, quando a formiga macho pulou para a roda da formiga fêmea. Quantas voltas completas a formiga macho deu até se encontrar com a formiga fêmea? (Considere π 5 3,1.)

Para enfeitar uma mesa redonda, Mírian está fazendo uma toalha circular, cujo contorno quer adornar com uma renda. Quantos metros de renda ela deverá usar sabendo que o diâmetro da toalha mede 1,5 m?

25

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29.10.10 11:51:50


4. Números reais

Se unirmos o conjunto dos números racionais (no qual estão contidos o conjunto dos números inteiros e o conjunto dos números naturais) com o conjunto dos números irracionais, obteremos um novo conjunto, chamado conjunto dos números reais, que indicamos por R. R

Q

N

Z

Irracionais

A reta real

1

2

1 1

2

1

Observe que é possível traçar um segmento com a medida ​dX 2 ​ X,  mesmo que o número d​ X 2 ​   tenha infinitas casas decimais não periódicas. X Para representar ​dX 2 ​ X na reta numérica, podemos construir, com régua e compasso, um quadrado de lado 1 e diagonal d​ X 2 ​ X.  Transportando com o compasso a medida da diagonal para a reta, obtemos os pontos correspondentes a ​dX 2 ​ X e a 2​dX 2 ​ X. 

1

2

0 – 2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Vamos retomar o quadrado feito por Caio. Veja:

1

2

3

4

5

2

Podemos também usar a aproximação de números para representá-los na reta. Por exemplo, 1,732050... e 22​dX 2 ​ X.  1,732050... é aproximadamente 1,73 até a 2a casa decimal. Como ​dX 2 ​ X é aproximadamente 1,4142135, então 22​dX 2 ​ X é aproximaa damente 22,83 até a 2 casa decimal. –4

–3 –2 –2 2

–1

0

1

2 1,732050…

3

Observação Qualquer ponto da reta real tem um único número real correspondente e todo número real tem um único ponto correspondente na reta real. 26

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ATIVIDADES CC Pratique

1

6

Observe as fotos. a)

c)

Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras. a) Todo número irracional é um número real. b) Todo número racional é um número natural. c) Todo número inteiro é um número racional. d) Todo número natural é um número inteiro.

CC Aplique

7 b)

d)

Em cada caso, aproxime os números até a 2a casa decimal e associe o número à sua representação na reta numérica.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A

C π

dXX 2

B 3,54345793... • A que conjunto numérico pertencem os números de cada foto?

2

Observe os números e responda às questões. 227 1,353535...

2dXX 2

π

8

8

3

4

III

1

2

IV

3

4

V

14

15

4

Dê um exemplo, quando possível, de cada caso. a) Um número inteiro e não natural. b) Um número real e não racional. c) Um número racional e não inteiro. d) Um número inteiro e irracional.

5

Faça uma aproximação, até a 2ª- casa decimal, dos números irracionais abaixo e represente-os na reta numérica. a) 0,6523987415236... b) 1,36547895213647... c) 2,5632655632141563...

Escreva os números abaixo em ordem crescente. 12 2___ 5

Represente os números abaixo na reta numérica. 2 c) 3dXX 2 a) dXX 2 d) 23dXX 2 b) 2dXX

3,62 40 ___ 7

9

D 7,4321798...

7

II

32 ___ 4

3 __ 5

a) Qual desses números pertence ao conjunto dos números naturais? b) Quais pertencem ao conjunto dos números inteiros? c) Que números são racionais? d) Que números são irracionais? e) Que números são reais e não racionais? f) Que números são reais e não irracionais?

3

I

2 E 10dXX

21,222...

3,62

Escreva dois exemplos de números reais que satisfaçam cada condição. a) Números irracionais maiores que 2,5 e menores que 3. 7 e menores b) Números racionais maiores que 2__ 8 3 que 2__. 4 c) Números irracionais maiores que 3 e menores que 3,5. d) Números irracionais maiores que 5,3 e menores que 6,1.

27

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Tratamento da informação Construir gráfico de barras 1 Observe a tabela abaixo, que apresenta a distribuição da população nos sete países mais populosos em 2009.

População em relação ao total mundial (em %) 19,7 17,6 4,6 3,4 2,8 2,6 2,4

País China Índia Estados Unidos Indonésia Brasil Paquistão Bangladesh

Dados obtidos em: <http://www.brasilescola.com>. Acesso em: 19 jul. 2010.

População em relação ao total mundial (em %)

Com base nos dados da tabela, iniciou-se a construção de um gráfico de barras verticais. Veja:

Título do gráfico

24

Na escala usada na linha vertical, cada centímetro corresponde a 4% da população. Dessa forma, podemos determinar a altura das barras. Por exemplo, a segunda barra, que se refere à população da Índia, representa 17,6% da população mundial e tem altura de: 17,6% cm 5 4,4 cm 5 44 mm @_______ # 4%

20 16 12 8

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Distribuição da população nos países mais populosos em 2009

4 0

China

Índia

Estados Unidos

Indonésia

Brasil

Paquistão Bangladesh

País Fonte do gráfico

a) Escreva o título do gráfico e de onde e quando os dados foram obtidos. b) Quais dados são apresentados na linha vertical? E na horizontal? c) Qual é a altura da barra que representará a população dos Estados Unidos? d) Qual é a altura da barra que representará a população do Brasil? e) Qual é a altura da barra que representará a população do Paquistão? f) Qual é a altura da barra que representará a população de Bangladesh? g) Complete o gráfico acima.

A altura da barra que representa a população da China é: 19,7% cm 5 4,925 cm _____ 4% Podemos arredondar para 4,9 cm, que equivale a 49 mm. A altura da barra que representa a população da Indonésia é: 3,4% cm 5 0,85 cm ____ 4% Podemos arredondar para 0,9 cm, que equivale a 9 mm.

@

#

@

#

28

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29.10.10 11:51:52


2 Leia com atenção a tabela que apresenta dados sobre os dez países com as maiores áreas de florestas. Países com as maiores áreas de florestas 2

Área (em milhões de km )

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

País Rússia

8,51

Brasil

5,44

Canadá

2,45

Estados Unidos

2,26

China

1,63

Austrália

1,54

Congo

1,35

Indonésia

1,04

Angola

0,69

Peru

0,65

Para escolher uma escala adequada, atente para o fato de a área do território estar indicada em milh˜oes de km2. Assim, os valores da linha horizontal poderão aparecer como milh˜oes de km2 ou ser indicados em km2. Por exemplo, o Peru tem 0,65 milhão de km2 do seu território coberto por florestas, o que equivale a 650.000 km2.

Dados obtidos em: <http://mundoestranho.abril.com.br>. Acesso em: 28 jun. 2010.

a) Com base nos dados da tabela, construa um gráfico de barras horizontais em uma folha de papel sulfite. b) Qual será o título do gráfico? Onde os dados foram obtidos? c) Quais dados são apresentados na linha vertical? E na linha horizontal? d) Qual será a escala usada na linha horizontal? Qual é a área, em quilômetro quadrado, correspondente a cada centímetro da linha horizontal? e) Qual será o comprimento da barra horizontal correspondente à área coberta por florestas de cada país apresentado na tabela?

0,65 milhão de km2 0,65  1.000.000 km2 650.000 km2

3 A tabela a seguir apresenta os dez países com a maior quantidade de aeroportos em 2009. Países com a maior quantidade de aeroportos em 2009 País

Aeroportos (em milhares)

Estados Unidos

15,1

Brasil

4,0

México

1,7

Canadá

1,4

Rússia

1,2

Argentina

1,1

Colômbia

1,0

Bolívia

1,0

Paraguai

0,8

Indonésia

0,7

Dados obtidos em: <http://www.cia.gov>. Acesso em: 15 maio 2010.

• Construa, em uma folha de papel sulfite, um gráfico de barras com os dados dessa tabela.

Aeroporto Salgado Filho. Porto Alegre/RS. 29

010-030_Uni01.indd 29

29.10.10 11:51:53


Atividades integradas 1 Descubra os números naturais em cada caso.

vz

6 Com uma calculadora, obtemos o valor da expressão

a) O maior número natural composto de sete algarismos e seu sucessor. b) A soma de três números naturais consecutivos é 3.018. Quais são esses números? c) O menor número natural, seu sucessor e seu antecessor.

2  __ 1 digitando as teclas: __ 3 5 � 3 � M� 1 � 5 � � MR �

2

• Use uma calculadora para obter o valor de: 3  __ 5 3  __ 4 a) __ b) __ 7 7 8 8

7 Resolva o problema no caderno.

2 Observe a tabela e responda às questões no caderno. Temperaturas registradas em 18/7/2010 País

Temperatura

Bariloche

Argentina

3 °C

Mendoza

Argentina

2 °C

Cuiabá

Brasil

10 °C

Porto Alegre

Brasil

14 °C

Dados obtidos em: <http://www.climatempo.com.br>. Acesso em: 20 jul. 2010.

a) Qual foi a maior temperatura registrada em uma dessas cidades no dia 18/7/2010? b) Qual foi a menor temperatura registrada em uma dessas cidades no dia 18/7/2010? c) Entre quais cidades ocorreu a maior diferença de temperatura? Qual foi essa diferença?

3 Escreva os números racionais na forma decimal. 1 a) __ 3 5 b) __ 4

a) Se a corda pela qual o cavalo está amarrado mede 4,35 m, quantos metros tem o cercado? (Considere π  3,14.) b) Para trocar esse cercado por um novo, de mesmo comprimento, quanto o dono do cavalo gastaria se tivesse de pagar R$ 4,23 por metro do cercado novo?

8 Leia o problema e resolva as questões. O campo oficial para a prática de beisebol tem a forma de um setor circular que corresponde a um quarto de um círculo com 115 m de raio, como mostra a figura.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Cidade

52 e) ___ 3 4 f) 2___ 11

7 c) __ 8

1 d) 4 ___ 15

4 Escreva os números racionais na forma fracionária. a) 2,5

d) 1,2525252525...

b) 0,666666...

e) 0,145145145...

c) 1,777777...

f) 1,789789789...

represente-os na reta numérica. 4,5

3

3 ___ 10

6,4444... 24 ___ 5

5 __ 3

B

base

5 Escreva os números abaixo em ordem crescente e

7 __ 2

A

base

a) Se um jogador fosse do ponto A ao ponto B, como mostra a figura, quantos metros ele iria percorrer? (Considere π  3,14.) b) Se um jogador contornasse o campo saindo de A, passando por B e por 3 bases e retornando a A, quantos metros iria percorrer?

30

010-030_Uni01.indd 30

29.10.10 13:18:53


2

Unidade

Potenciação e radiciação 1. Potenciação de base real e expoente inteiro

Nesta unidade, vamos relembrar potenciação, ampliando para os casos em que a base é um número real e o expoente é um número inteiro. Vamos analisar essa operação segundo os expoentes: • Expoente inteiro maior que 1 Quando o expoente de uma potência é um número inteiro maior que 1, definimos:

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Qualquer potência de base real e expoente inteiro maior que 1 é o produto dessa base por si mesma tantas vezes quantas indicar o expoente. 2

Quanto é @​​  ​dX 2 ​  X #​​ ​? 2 Observe que @​​  d​ X 2 ​  X #​​ ​5 d​ X 2 ​ X 8 d​ X 2 ​ X . Resolvendo com o auxílio da geometria: ​dX 2 ​ X 8 ​dX 2 ​ X é igual à área do quadrado de lado d​ X 2 ​ X . 2 2

1 1

2 1

Área 5 2 2 @​​  d​ X 2 ​  X #​​ ​5 d​ X 2 ​ X  8 d​ X 2 ​ X  5 2 2 fatores

1

@  #

3 Para calcular (20,3)2 e ​​ __ ​ 1 ​   ​​ ​, fazemos: 5 2 •  (20,3) 5 (20,3) 8 (20,3) 5 0,09

2 fatores

@  #

3 • ​​ __ ​ 1 ​   ​​ ​5 __ ​ 1  ​8 __ ​ 1  ​8 __ ​ 1  ​5 ____ ​  1   ​  5 5 5 5 125

3 fatores • Expoente 1 Quando o expoente de uma potência é 1, definimos:

Qualquer potência de base real e expoente 1 é igual à própria base.

Então, por definição, temos: 1 • ​​@ __ ​ p ​  #​​ ​5 __ ​ p ​  •  01 5 0 2 2

•  (28,14343...)1 5 28,14343...

• Expoente zero Quando o expoente de uma potência é zero, definimos: Qualquer potência de base real não nula e expoente zero é igual a 1.

Então, por definição, temos: 0 0 •  @​​  d​ X 2 ​  •  (20,9777...)0 5 1 • ​​ __ ​ 8 ​   ​​ ​5 1 X #​​ ​5 1 5 • Expoente inteiro negativo Quando o expoente de uma potência é um número inteiro negativo, definimos:

@  #

Qualquer potência de base real não nula e expoente inteiro negativo é igual ao inverso da base original elevado ao oposto do expoente original.

Acompanhe alguns cálculos: 4 24 8 1  ​5 ____ ​ 1  ​ ​  1   ​ 8 ___ ​  1   ​ 8 ___ ​  1   ​ 5 __ ​  1   ​   ​​ ​5 ___ ​  1   ​ 8 ___ ​  1   ​ 5 _____________ ​  1 8 1 8 1    •  ​​@ ​dX 2 ​  X #​​ ​5 ​​ ___ d d 4 2 8 2 d d d d d d d ​ 2 ​   ​ 2 ​       ​ X 2 ​   ​ 2 ​   ​ 2 ​   ​ 2 ​   8 ​ 2 ​   8 ​ 2 ​   8 ​ 2 ​               X X X X X XX XX XX XX XX XX

@  #

•  (20,01)

23

@ 

4 fatores

#

5 ​​ 2____ ​  1   ​  ​​ ​5 (2100)13 5 21.000.000 100 23

31

031-047_Uni02_M8.indd 31

10/29/10 2:57:50 PM


Propriedades da potenciação Produto de potências de mesma base 5

(5 1 2) fatores

2

Como podemos calcular @​​  ​dX 2 ​  X #​​ ​8 @​​  ​dX 2 ​  X #​​ ​? 5

7

2

@​​  d​ X 2 ​  X #​​ ​8 @​​  d​ X 2 ​  X #​​ ​5 @​  d​ X 2 ​ X  8 d​ X 2 ​ X  8 d​ X 2 ​ X  8 d​ X 2 ​ X  8 d​ X 2 ​  X #​8 @​  d​ X 2 ​ X 8 d​ X 2 ​  X #​5 @​​  d​ X 2 ​  X #​​ ​

5 fatores 5

2

2 fatores

512

7

Portanto: @​​  ​dX 2 ​  X #​​ ​8 @​​  ​dX 2 ​  X #​​ ​5 @​​  ​dX 2 ​  X #​​ ​5 @​​  ​dX 2 ​  X #​​ ​ Para obter o produto de duas potências de mesma base real mantém-se essa base e adicionam-se os expoentes. Veja: a x 8 ay 5 a x 1 y

Exemplos

• (22,8)24 8 (22,8)6 5 (22,8)24 1 6 5 (22,8)2 Quociente de potências de mesma base

Como podemos calcular p5 9 p2? (5 2 2) fatores

5 fatores

8 p  p 8 p 8 p 8  p 8 p  ​5 ________ ​ p 8 p ​ p5 9 p2 5 ___ ​ p2 ​ 5 ​ _____________    5 p3 p 8 p 1 p 5

2 fatores

Portanto: p 9 p 5 p5 2 2 5 p3 5

2

Para calcular o quociente de duas potências de mesma base real não nula mantém-se essa base e subtraem-se os expoentes. Veja: ax 9 a y 5 ax 2 y, com a i 0

Exemplos

@  # @  #

@  #

@  #

24 2 6 2 2 (24) • ​​ __ ​ 7  ​  ​​ ​9 ​​ __ ​ 7 ​   ​​ ​5 ​​ __ ​ 7  ​  ​​ ​5 ​​ __ ​ 7 ​   ​​ ​ 6 6 6 6 21 7 21 2 7 28 • n 9 n 5 n 5n

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• n8 8 n23 8 n25 5 n8 2 3 2 5 5 n0 5 1

Produto de potências de mesmo expoente 3

Como podemos calcular 53 8 @​​  d​ X 2 ​  X #​​ ​? 3

53 8 @​​  ​dX 2 ​  X #​​ ​5 (5 8 5 8 5) 8 (​dX 2 ​ X 8 d​ X 2 ​ X 8 d​ X 2 ​ X)  5 (5 8 d​ X 2 ​ X)  8 (5 8 d​ X 2 ​ X)  8 (5 8 d​ X 2 ​ X)  5 3 5 (5 8 d​ X 2 ​ X)  3 3 Portanto: 53 8 @​​  d​ X 2 ​  X #​ ​​5 (5 8 d​ X 2 ​ X)  Para obter o produto de duas potências de bases reais e de mesmo ex­poen­te multiplicam-se as bases e mantém-se o expoente. a x 8 b x 5 (a 8 b)x

Exemplos • 96 8 (24)6 8 (4,33...)6 5 [9 8 (24) 8 (4,33...)]6 • n25 8 m25 5 (n 8 m)25 32

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10/29/10 2:38:20 PM


Quociente de potências de mesmo expoente 3

Como podemos calcular 53 9 @​​  ​dX 2 ​  X #​​ ​? 3 3 3 5 8 5 8 5  ​  5   ​ 8 ​ ___ 5   ​ 5 ​​ ___ 5 ___ ​  5   ​ 8 ​ ___ 53 9 @​​  ​dX 2 ​  ​  5  3 ​ 5 ​ __________ ​  5   ​   ​​ ​5 X #​​ ​5 _____ @​​  d​ X 2 ​  X 8 d​ X 2 ​ X 8 d​ X 2 ​ X  d​ X 2 ​ X  ​dX 2 ​ X  ​dX 2 ​ X  ​dX 2 ​ X  X #​​ ​ d​ X 2 ​ 3 5 ​​@ 5 9 d​ X 2 ​  X #​​ ​ 3 3 3 3 ​  5  3 ​ 5 ​​ ___ ​  5   ​   ​​ ​ Portanto: 53 9 @​​  ​dX 2 ​  X #​​ ​5 @​​  5 9 d​ X 2 ​  X #​​ ​ou _____ d ​ X 2 ​ @​​  d​ X 2 ​  X  X #​​ ​

@  #

@  #

Para obter o quociente de duas potências de bases reais e de mesmo expoente dividem-se as bases e mantém-se o expoente. Veja:

@  #

x x a x 9 b x 5 (a 9 b)x ou __ ​ a x ​  5 ​​ __ ​ a ​  ​​ ​, com b i 0 b b

Exemplos

@  # @  #

@  #

4 4 34 8 n ​  ​  #​​ ​ ​• ​ _____  5 @​​  ___ ​ 3n 4   m m

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

23 23 23 • ​​ __ ​ 4 ​   ​​ ​9 ​​ __ ​ 1 ​   ​​ ​5 ​​ __ ​ 4 ​  9 __ ​ 1  ​  ​​ 3 3 6 6

Potência de potência

(2 8 3) fatores

Como podemos calcular [(2p)3]2?

[(2p)3]2 5 (2p)3 8 (2p)3 5 [(2p) 8 (2p) 8 (2p)] 8 [(2p) 8 (2p) 8 (2p)] 5 (2p)6

3 fatores 3 2

3 fatores

283

6

Portanto: [(2p) ] 5 (2p) 5 (2p) Para calcular uma potência elevada a certo expoente mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes. (a x) y 5 a x 8 y

Exemplos

• [(7,444...)22]5 5 (7,444...)210

• (n2m)4 5 n8m

ATIVIDADES CC Pratique

CC Aplique

1 Calcule as potências reais. 2

0

a) (3,14)

d) (2p)

@  #

e) ​​ __ ​ 7  ​  ​​ ​ 2

g) (1,2323...)

@  #

3

23

b) ​​ __ ​ 7  ​  ​​ ​ 2 6

c) ​​@ d​ X 2 ​  X #​​ ​

3 Componha um retângulo com os quadrados azuis

0

f) ​​@ 2​dX 2 ​  X #​​ ​

1

@  # @  #

23 h) ​​ 2__ ​ 7  ​  ​​ ​ 2 2 i) ​​ __ ​ 1  ​  ​​ ​ 3

da figura. 2

1 1

2

2 Use as propriedades e simplifique as expressões.

[ @  # ]

2

1

a) [@​  ​dX 2 ​  X #​ ]

13 ​   6​   3​ d) ​ ​ ​ ___ 5

b) 0,23 8 0,33

e) (2p)5 8 (2p)24

c) (p)3 9 (2p)3

f) ​​@ d​ X 2 ​  X #​​ ​9 @​​  d​ X 2 ​  X #​​ ​

6 3

1

3

5

2 1

1

1

1

• Calcule a área do retângulo formado.

33

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10/29/10 2:38:21 PM


2. Raiz quadrada Pensei em um número. Elevei esse número ao quadrado e obtive 121. Em que número pensei?

Para descobrir qual é esse número, efetuamos uma operação: a radiciação. Nesse caso, calculamos a raiz quadrada do número obtido (121). Veja como podemos traduzir essa situação. Seja n o número em que Cauê pensou. Sendo assim, temos n2 5 121. ou n 5 11. Como 121 5 112, então n 5 d​ X 121 ​ XXX 

Observação Quando calculamos a raiz quadrada de um número, também dizemos que extraímos a raiz quadrada desse número.

A raiz quadrada de um número racional não negativo x é igual a um número não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em x.

Para descobrir que número pode ser x, podemos estudar os casos, como veremos a seguir. Número racional positivo   Se x for um quadrado perfeito, então d​ XX x ​ será um número racional.

Exemplos

Desafio

• d​ X 25 ​ XX 5 d​ X 5X ​ 5 5 2

XX2 ​ 5 13 • d​ X 169 ​ 5 d​ X 13 XXX 

d 

Observe que ambas as figuras de cor verde têm a mesma área.

d @  #

1

d 

1

2 XXXX ___ 5 ​ ​​ __ ​ 25  ​ ​  ​ 5 ​   ​​ ​ ​  5 __ ​ 5  ​ • ​ XXX 4 4 16 2  ​  ____ 5 ​ ___ 5 ​ XXXX ​  4   ​ ​   • d​ X 0,04 ​ XXX  100 10

  Se x não for um quadrado perfeito, então d​ XX x ​ será um número com infinitas casas decimais não periódicas, ou seja, será um número irracional.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Acompanhe a situação. Gabriela e Cauê brincam de descobrir números.

5

1

5 1

1

1

Exemplos • 2 não é quadrado perfeito e d​ X 2 ​ X é número irracional; • 5 não é quadrado perfeito e ​dX 5 ​ X é número irracional; d • 20 não é quadrado perfeito e ​ X 20 ​ XX é número irracional; • 0,1 não é quadrado perfeito e d​ X 0,1 ​ XX é número irracional. Número racional negativo

Não existe um número no conjunto dos números reais que, elevado ao quadrado, resulte em um número negativo. Por exemplo, d​ X22 ​ ​ X24 ​ e d​ 20,1 ​   XX, d   XX  X  XXXX  não são números reais.

• Responda às questões. a) Quantas unidades de área tem cada figura verde? 2 b) Quanto é @​​  d​ X 5 ​  X #​​ ​?

34

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10/29/10 2:38:22 PM


ATIVIDADES CC Pratique

6 Leia as afirmações e corrija as que forem falsas. a) A raiz quadrada de qualquer número racional é um número racional.

1 Calcule as expressões quando possível. a) ​dX 225 ​ XXX 

d) ​dX 0,09 ​ XXX 

b) 2​dX 81 ​ XX 

e) ​dX 216 ​ XXXX 

b) A raiz quadrada de um número negativo é sempre um número negativo.

d 

____ c) ​ XXXX ​ 100  ​ ​   f) 2​dX 16 ​ XX  144 2 Determine a medida do lado de cada quadrado abaixo com base em sua área. a) b) c) d) A 5 64 A 5 30,25

A 5 ____ ​ 169  ​ 100

A 5 144

c) A raiz quadrada de um número positivo é sempre um número positivo. CC Aplique

7 Responda às questões no caderno e justifique dando um exemplo. a) A medida do lado de um quadrado é um número irracional. Qual deve ser a medida do lado desse quadrado para que a área seja um número natural?

3 Observe as figuras e determine o valor de cada expresReprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

são. Registre o resultado no caderno. 2 a) ​​@ ​dX 10 ​  XX #​​ ​ 1

1

1

1

1

1

1

1

b) A área de um quadrado é um número natural que não é quadrado perfeito. A medida do lado desse quadrado é um número irracional?

10 10

8 1

1

1

1

10 10 1 1 1

1

2

b) ​​@ ​dX 17 ​  XX #​​ ​

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

17 17

Com a ajuda da calculadora, é possível verificar se algumas sentenças são verdadeiras ou não. Podemos experimentar alguns valores positivos  a ​ 1 ​dX b  1 b ​5 ​dXX para a e b na sentença ​dX aXXXX  X ​e ana­lisar os resultados.

• Para a 5 16 e b 5 0 1 0 ​  5 d​ X 16 ​ ​dX 16 XXXXXX X  XX 1 d​ X 0 ​ ​dX 16 ​ XX 5 d​ X 16 ​  XX (verdadeira)

• Para a 5 2 e b 5 3

1

1

1

1

17 17 1 1 1 1

4 Responda às questões.

1 3 ​  5 d​ X 2 ​ ​dX 2XXXX X 1 d​ X 3 ​ X  1

1

2

a) Como você faria para calcular @​​  ​dX 4 ​  X #​​ ​? ? b) Como você faria para calcular d​ X ​dXXX X 16 ​ ​ XX   • Compare sua resolução com a de um colega.

5 Calcule as potências. 2 a) ​@ ​dX 2 ​  X #​ 2 b) ​@ d​ X 3 ​  X #​ 2 c) ​@ d​ X 4 ​  X #​

Resolva.

2 d) ​@ ​dX 5 ​  X #​ 2 e) ​@ d​ X 6 ​  X #​ 2 f) ​@ d​ X 7 ​  X #​

​dX 5 ​ X 1 d​ X 3 ​ X  X 5 d​ X 2 ​ Usando a calculadora e aproximando o resultado, temos: 2,23 5 1,41 1 1,73  (falsa) Como a sentença é falsa para o par a 5 2 e b 5 3, ela não é válida para quaisquer a e b positivos.  a ​ 2 d 2 b ​5 d​ XX ​ X b X ​é válida Verifique se a sentença d​ X aXXXX  para quaisquer a e b positivos. a) Para a 5 16 e b 5 0 b) Para a 5 10 e b 5 5

35

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29.10.10 18:12:45


Cálculo da raiz quadrada aproximada

Podemos calcular a raiz quadrada de qualquer número positivo, como​ dX 2 ​ X,  d​ X 4 ​ X,  ... Como já vimos, essa raiz nem sempre será exata. Nesses X,  d​ X 7 ​ X,  d​ X 9 ​ casos, podemos obter um valor aproximado, ou seja, uma raiz quadrada aproximada. Vamos calcular, como já fizemos com ​dX 2 ​ X,  um valor aproximado de d​ X 10 ​ . XX  O número 10 situa-se entre os quadrados perfeitos 9 e 16: 9 , 10 , 16 Isso significa que d​ X 10 ​ , XX  XX é um número compreendido entre d​ X 9 ​ X e ​dX 16 ​ ou seja: ​dX 9 ​ XX  X , d​ X 10 ​ XX , d​ X 16 ​ 3 4 Logo, d​ X 10 ​ XX está entre 3 e 4: 3 , d​ X 10 ​ XX , 4

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Dizemos que: • 3 é a raiz quadrada aproximada por falta (a menos de uma unidade) de 10; • 4 é a raiz quadrada aproximada por excesso (a menos de uma unidade) de 10. Quando não houver indicação em contrário, a raiz quadrada aproximada de um número será a raiz aproximada por falta. Portanto: ​dX 10 ​ XX . 3 (Lemos: “a raiz quadrada de dez é aproximadamente três”.) . Caso haja necessidade, podemos obter valores mais próximos de d​ X 10 ​ XX  Como ​dX 10 ​ XX está entre 3 e 4, testaremos os números 3,1 e 3,2. (3,1)2

(3,2)2

9,61

10,24

menor que 10 (, 10)

maior que 10 (. 10)

Portanto, 3,1 é a raiz quadrada aproximada de 10 com uma casa decimal (a menos de um décimo). Prosseguindo, temos uma aproximação com duas casas decimais: (3,11)2

(3,12)2

(3,13)2

(3,14)2

(3,15)2

(3,16)2

(3,17)2

9,6721

9,7344

9,7969

9,8596

9,9225

9,9856

10,0489

, 10

, 10

, 10

, 10

, 10

, 10

. 10

d ​ X 10 ​ XX está entre 3,16 e 3,17

Assim, a raiz quadrada aproximada de 10 com duas casas decimais (a menos de um centésimo) é 3,16.

3 3,1

4 10 3,2

Observação Esse procedimento pode ser aplicado para o cálculo da raiz quadrada aproximada de qualquer número racional não negativo.

36

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10/29/10 2:38:23 PM


ATIVIDADES CC Pratique

1 Encontre a raiz quadrada aproximada por falta, a menos de uma unidade, de: a) 78 e) 140 b) 80 f) 145 c) 39 g) 208 d) 42 h) 215

2 Responda à questão no caderno. Por que algumas respostas do exercício anterior são iguais?

6

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

94 105 130 147

Encontre números racionais que atendam às condições de cada item. a) É um número natural cuja raiz quadrada está entre 8,88 e 8,89. b) São números inteiros cujas raízes quadradas estão entre 21,1 e 21,2. c) É um número inteiro negativo cujo módulo tem raiz quadrada, com aproximação de duas casas, igual a 48,22.

3,5  3,7  4,1 4

6

c) ​dX 25,3 ​ XXX 

3,2  4,2  5,2

d) ​dX 45,1 ​ XXX 

6,6  6,7  6,8

e) ​dX 68,9 ​ XXX 

5

5

7

8

9

9

f) ​dX 80 ​ XX 

8,91 8,92 8,93

g) ​dX 2.000 ​ XXXX 

40

50

60

h) ​dX 2.698 ​ XXXX 

50

51

52

i) ​dX 3.780 ​ XXXX 

61,2

j) ​dX 4.000 ​ XXXX 

62

61,3 63

61,4

64

Calcule. Com o auxílio de uma calculadora, mas sem usar a tecla , encontre a raiz aproximada, com duas casas decimais, de: a) ​dX 89 ​ e) ​dX 410 ​ XX  XXX  d b) ​dX 126 ​     f) ​ 1.715 ​ XXX XXXXX  c) ​dX 230 ​ g) ​dX 1.999 ​ XXX  XXXX  d) ​dX 366 ​ h) ​dX 3.498 ​ XXX  XXXX 

Agora, usando a tecla da calculadora, determine as raízes quadradas das atividades 5 e 6. Os resultados que você havia calculado estão de acordo com os novos resultados?

8 Descubra.

se apro­xima da raiz procurada.

b) ​dX 14,12 ​ XXXX 

Calcule.

CC Aplique

4 Em cada item, indique no caderno o valor que mais a) ​dX 10,8 ​ XXX 

Com o auxílio de uma calculadora, mas sem usar a tecla , encontre a raiz aproximada, com três casas decimais, de: a) ​dX 129 ​ c) ​dX 789 ​ e) ​dX 157,3 ​ XXX  XXX  XXXX  d d d b) ​ X 415 ​ d) ​ X 97 ​ f) ​ X 386,1 ​ XX  XXXX  XXX 

7

3 Encontre a raiz quadrada aproximada por falta, a menos de um décimo, de: a) 57 e) b) 69 f) c) 78 g) d) 87 h)

Calcule.

Resolva. Efetue os cálculos no caderno e na calculadora. Herão, matemático que viveu no século I em Alexandria, no Egito, enunciou um método que calcula a raiz quadrada aproximada de um número. x1y _____  ​  Se n 5 x 8 y, então: d​ XX  n ​ 5 ​  2 Aplicando esse método sucessivamente, sempre usando o resultado anterior, obtêm-se aproximações cada vez melhores para a raiz quadrada de um número. Por exemplo: 2  ​ 5 1 ​  5 3,5 Se 10 5 5 8 2, então: d​ X 10 ​ XX 5 _____ 2 Para repetir o processo usando a aproximação obtida, fazemos: 10 5 3,5  ___ ​ 10  ​  3,5 10  ​  3,5 1 ​ ___ 3,5 ​   ​   5 3,18 Assim: d​ X 10 ​ XX 5 ________ 2 • Aplicando o método de Herão uma vez, calcule: a) ​dX 6 ​ b) ​dX 15 ​ c) d​ X 25 ​ XX  X  XX  • Compare os resultados obtidos pelo método de Herão com os valores determinados em uma calculadora.

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Cálculo da raiz quadrada por fatoração

Uma maneira de calcular a raiz quadrada exata de um número é usar a fatoração, ou seja, a decomposição desse número em fatores primos. Sem ainda fazer a demonstração, afirmaremos que: A raiz quadrada do produto de dois números é o produto da raiz quadrada desses números, e vice-versa.

Veja: dXXXX 4 8 9 5 dXXX 36 5 dXX 62 5 6 dXX 4 8 dXX 9

528356

dXXXX 4 8 9 5 dXX 4 8 dXX 9

Assim, podemos calcular a raiz quadrada de 36 escrevendo-a como um produto de fatores primos e aplicar a afirmação acima. Observação

Na decomposição de um número em fatores primos: •  se os expoentes forem par, esse número será um quadrado perfeito e sua raiz quadrada será exata; •  se um dos expoentes for ímpar, esse número não será um quadrado perfeito, e podemos calcular sua raiz quadrada aproximada.

Exercícios resolvidos Cálculo da raiz quadrada por fatoração

1. Calcular a raiz quadrada de 324.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

dXXX 36 5 dXXXXX 22 8 32 5 dXX 22 8 dXX 32 5 2 8 3 5 6

CCResolução

Inicialmente, devemos decompor o número 324 em fatores primos e escrevê-lo na forma fatorada.

A seguir, escrevemos a raiz quadrada do produto como o produto das raízes quadradas e aplicamos a definição de raiz quadrada.

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Cálculo da raiz quadrada por fatoração

2. Calcular a raiz quadrada aproximada de 392, 2 . 1,4. considerando dXX CCResolução

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Vamos decompor 392 em fatores primos e escrevê-lo na forma fatorada.

Escrevemos a raiz quadrada do produto como o produto das raízes quadradas e aplicamos a definição de raiz quadrada. Calculamos a raiz quadrada aproximada substituindo dXX 2 por 1,4.

ATIVIDADES CC Pratique

5

1

Efetue a decomposição em fatores primos. a) 720 d) 512 b) 3.600 e) 1.848 c) 1.521 f) 3.969

2

Calcule a raiz quadrada exata dos números da atividade 1 que são quadrados perfeitos.

3

Use os valores aproximados abaixo e a decomposição em fatores primos para, em cada item, encontrar a raiz aproximada. dXX 2 . 1,4

a) 405 b) 882

4

c) 88.200 d) 162

e) 16.200 f) 432

Calcule a raiz quadrada exata.

d

50 ___ a) XXX 98 b) dXXXX 5,29

c)

a) 208 104 52 26 13 4 2 1

dXX 5 . 2,2

dXX 3 . 1,7

12 _____ dXXXXXX 2.523

d) dXXXXX 13,69

Encontre o erro em cada uma das resoluções abaixo.

6

2 2 2 2 3 2 2

b) 1.568 784 392 196 98 49 7 1

2 2 2 2 2 7 7

dXXXX 208 5 dXXXXX 26 8 3 5

dXXXXX 1.568 5 dXXXXXX 25 8 72 5

5 23 dXX 3 5 8dXX 3

5 22 8 7 5 28

Encontre o valor exato ou aproximado de cada uma das expressões abaixo. (Dica: Faça a aproximação até a segunda casa decimal.) a) dXXXX 507 2 dXXXX 324

c)

b) 3dXXXX 800

576 ____ d) XXXX 625

dXXXX 576

9 dXXXX 625

d

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Tratamento da informação Calcular mediana 1 Acompanhe a situação e responda às questões no caderno. Para a inscrição em um campeonato, o técnico de um time de vôlei precisou de alguns dados das jogadoras, como altura, idade e massa. Com esses dados, ele montou uma ficha técnica da equipe.

Geralmente, em uma pesquisa não é possível obter dados de toda a população. Por isso, os pesquisadores levantam dados de uma amostra da população, ou seja, de uma parte dela.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Quando você tem uma amostra com um número ímpar de elementos e os ordena do menor para o maior ou do maior para o menor, o valor que ocupa a posição central nessa ordem chama-se mediana.

O técnico decidiu organizar as meninas em uma fila de acordo com sua altura, da menor para a maior. Veja a disposição: Nesse caso, dizemos que a mediana das alturas da amostra é 1,54 m.

posição central

Observe que, nessa disposição, Aline, de 1,54 m de altura, ficou na posição central. a) Se essas meninas forem enfileiradas de acordo com sua massa, quem ocupará a posição central da fila? b) Qual é a mediana das idades dessa amostra? 40

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2 Acompanhe a situação e responda às questões.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

No ano seguinte, o técnico do time de vôlei reavaliou as jogadoras antigas, que permaneceram na equipe, e recrutou uma nova jogadora. Observe a ficha técnica das jogadoras:

Novamente, o técnico organizou as jogadoras em uma fila de acordo com sua altura, em ordem crescente. Veja a nova disposição:

Quando uma amostra tem um número par de elementos, dois deles ocuparão a posição central. Nesse caso, a mediana será a média aritmética desses dois elementos. Lembre-se: a média aritmética de dois números é a soma desses números dividida por 2.

Termos centrais

Observe que, nessa disposição, há dois termos centrais. Então, a mediana das alturas será igual à média aritmética das alturas que ocupam a posição central. a) Qual é a mediana das alturas dessa amostra? b) Qual é a mediana das idades? 41

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Tratamento da informação

Um grupo de 9 amigos promoveu um campeonato de futebol de botão. Eles anotaram o número de gols que cada participante marcou.

a) Qual é a mediana do número de gols marcados? b) A qual jogador corresponde essa mediana?

4 Observe a tabela com a massa dos jogadores da seleção brasileira na Copa do Mundo de 2010 e responda à questão. Nome

Massa (em kg)

Massa (em kg)

Nome

Nome

Massa (em kg)

Nome

Massa (em kg)

Doni

91

Thiago Silva

79

Nilmar

73

Felipe Melo

80

Gomes

82

Daniel Alves

64

Robinho

72

Gilberto Silva

74

Júlio César

79

Kaká

79

Gilberto

78

Josué

63

Juan

80

Ramires

73

Maicon

77

Júlio Baptista

81

Lúcio

84

Grafite

88

Michel Bastos

71

Kléberson

70

Luisão

92

Luís Fabiano

81

Elano

65

Disponível em: <http://copadomundo.uol.com.br>. Acesso em: 15 maio 2010.

• Qual é a mediana das massas desses jogadores?

5 Observe a tabela e responda às questões.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3 Resolva o problema no caderno.

Antes de calcular a mediana, organize os valores, em ordem crescente ou decrescente, e verifique se a amostra tem número par ou ímpar de elementos.

Veja o desempenho de 8 jogadores em um campeonato de xadrez: Resultados do campeonato de xadrez Jogador

Vitórias 3

Derrotas

Empates

2

2

Jaqueline

2

4

1

Paulo

1

3

3

Daiane

4

1

2

Rodrigo

2

2

3

Luana

1

5

1

Rogério

2

1

4

Francine

5

2

0

Carlos

Dados obtidos no campeonato de xadrez.

a) Qual é a mediana do número de vitórias? b) Qual é a mediana do número de derrotas? c) Qual é a mediana do número de empates? 42

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Atividades integradas 1 Efetue os cálculos e responda.

7 Identifique a afirmação falsa e a corrija no caderno.

(Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064? 8 3 1 2 2 3 a) ___ c) __ e) ___ 5 10 80

@ #

@ # 1 d) @ ____ 800 #

@ # 1 b) @ __ 8# 2

3

3

2 Identifique a propriedade usada em cada item. a) 25 8 2x 5 25 1 x x 4 1 4 8 x4 5 __ b) __ @ 5# 5 6 dXX 2 2 # 9 x 6 5 ___ c) @ dXX x d) (1,215)2 5 1,230

3 1 4 cm. a) O perímetro do quadrado é dXX d 3 cm. XX b) O raio da circunferência é ___ 2 c) O comprimento da circunferência é aproximadamente 5,44 cm.

@ #

@ #

6

8 Responda no caderno.

@ #

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1 7 9 (0,5)3 5 (0,5)7 2 3 e) __ 2

3 A média aritmética dos quadrados de dois números consecutivos x e x 1 1 é o número A, dado por: x 2 1 (x 1 1)2 A 5 ___________ 2 O quadrado da média aritmética de dois números consecutivos x e x 1 1 é o número B, dado por: 2 x 1 (x 1 1) B 5 __________ 2 Atribua alguns valores a x e calcule A, B e A 2 B. Compare os valores obtidos para A 2 B. Compare-os também com os valores obtidos por seus colegas.

[

]

4 Leia e responda às questões. Um fermento biológico utilizado no processo de industrialização tem, a cada hora, seu volume aumentado em 20%, isto é, multiplicado por 1,2. Sobre determinado volume de fermento, pode-se dizer que:

a) Qual é o número real cuja raiz quadrada é igual a 0,7? x e de b) Se x 5 0,01 e y 5 0,0009, qual é o valor de dXX y? 2 dXX A 5 7,9? c) Qual é o valor de A sabendo que dXX

9 Calcule. A tabela abaixo apresenta o valor aproximado da raiz quadrada de alguns números naturais. dXX 2 q 1,4

dXX 7 q 2,6

dXX 3 q 1,7

dXXX 11 q 3,3

dXX 5 q 2,2

dXXX 13 q 3,6

Usando as informações da tabela, calcule o valor aproximado de: a) dXX 6 c) dXXX 21 e) dXXX 26 g) dXXX 35 i) dXXX 65 d d d d d 15 d) XXX 22 f) XXX 33 h) XXX 55 j) XXX 77 b) XXX 10 Observe a sequência de números na figura abaixo e responda às questões. 5

a) após 4 horas, terá aumentado mais do que o dobro?

10 17

b) 4 horas antes, era menos do que a metade?

26 37

5 Leia e resolva no caderno. (Fuvest-SP) A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 21. Um dos possíveis valores da soma dos quadrados desses dois números é: a) 29 c) 132 e) 252 b) 97 d) 184

6 Efetue os cálculos.

@ #

1 a) (21,222...)2 2 __ 3

b) dXXXXXXX 0,111... 2 dXXXX 0,09 1 c) 1 2 ___________ dXX 9 1 0,666...

2

2

d) 0,5 8 (0,555...)1

@ #

2 0 2 d0,444 ... e) __ XXXXX 7

50 65 82

a) Qual é o valor aproximado por falta, a menos de uma unidade, das raízes quadradas indicadas na figura? b) Qual é a relação entre cada número da sequência de radicandos (2, 5, 10, 17, 26, ...) e o correspondente na sequência dos quadrados perfeitos (1, 4, 9, 16, 25, ...)? c) Quais são as três raízes quadradas seguintes da sequência dos números da figura? 43

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Compreender um texto A Matemática e a Arte Na Antiguidade, os gregos consideravam mais belas e harmoniosas as construções e obras de arte cujas medidas seguiam uma proporção denominada proporção áurea. Esse fato influenciou diretamente a estética de sua arquitetura. Séculos depois, esse critério estético foi novamente adotado pelos artistas do Renascimento, como Leonardo da Vinci. Na proporção áurea, o quociente entre duas medidas de referência de uma figura aproxima-se do número 1,61803..., conhecido como número de ouro, que é representado pela letra grega  (lê-se: “fi”). Essa proporção pode ser verificada utilizando-se pontos de referência da figura para construir retângulos ou segmentos de reta e calcular o quociente da maior medida pela menor medida.

Pintura mais famosa de Leonardo da Vinci: Mona Lisa, realizada de 1503 a 1507. Também é conhecida como La Gioconda. Pode-se identificar a proporção áurea nas medidas dos lados dos retângulos que emolduram seu rosto e sua testa, por exemplo.

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ATIVIDADES 1

Como podemos identificar que o número   1,61803... é um número irracional?

2

Além do número , quais números irracionais você conhece?

3

Observe os retângulos.

4,5

O templo grego Pártenon, que foi construído alguns séculos antes de Cristo pelo escultor e arquiteto Fídias (490-430 a.C.), transmite a ideia de beleza e harmonia da proporção áurea. A escolha da letra  para o número de ouro deu-se pela associação com o nome desse arquiteto que entrou para a História.

7,3 3,222… 2 2

5+1

Calcule a razão entre a medida do lado maior pela medida do lado menor de cada retângulo. Em qual retângulo a razão é um número irracional?

4

Escolha o retângulo que você considera mais harmonioso.

Com uma régua, meça os lados dos retângulos e determine o quociente entre a medida do lado maior e a medida do lado menor. A seguir, verifique a razão que mais se aproxima do número de ouro.

5 O homem vitruviano, de 1492, mais um desenho em que Leonardo da Vinci usa a proporção áurea para estruturar a personagem, que tem a mesma altura do quadrado e o umbigo no centro da circunferência.

Meça com a régua os segmentos destacados no detalhe de O homem vitruviano e calcule o quociente da maior medida pela menor medida. Que número você obteve?

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Para finalizar Um esquema Números reais

Números • Conjunto dos números naturais N 5 {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} • Conjunto dos números inteiros Z 5 {..., 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} • Conjunto dos números racionais a Q 5 __ a Ñ Z, b Ñ Z* b

b

• Conjunto dos números reais É o conjunto que reúne todos os números racionais e todos os números irracionais.

Irracionais

Z N

R Q

Potenciação de base real e expoente inteiro

Propriedades de potências

• Qualquer potência de base real e expoente maior que 1 é o produto dessa base por si mesma tantas vezes quantas indicar o expoente.

Considerando que as bases a e b são números reais positivos e os expoentes m e n números inteiros, temos:

a n 5 a 8 a 8 ... 8 a n fatores • Qualquer potência de base real e expoente 1 é igual à própria base: a 1 5 a • Qualquer potência de base real não nula e expoente zero é igual a 1: a0 5 1 • Qualquer potência de base real não nula e expoente inteiro negativo é igual ao inverso da base original elevado ao oposto do expoente original. 1 1 a2n 5 __n 5 __ a a

n

@ #

• Produto de potências de mesma base a m 8 a n 5 am 1 nn • Quociente de potência de mesma base

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a |

am 9 an 5 am 2 n • Potência de potência (a m )n 5 a m 8 n • Potência de produto (a 8 b)m 5 a m 8 b m • Potência de quociente (a 9 b)m 5 a m 9 b m

Raiz quadrada • A raiz quadrada de um número racional não negativo x é igual a um número não negativo que, elevado ao quadrado, resulta em x.

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Problemas para resolver

Programa de resolução de problemas

1 Os relógios Pedro e Daniel têm relógios de ponteiro com defeitos diferentes: o de Pedro atrasa 1 minuto por dia, e o de Daniel está parado. Apesar disso, Daniel confirmou que seu relógio era melhor que o de Pedro. Após conversarem, concordaram que o melhor relógio era aquele que marcava a hora certa mais vezes em um dia. De acordo com essa regra, qual relógio é melhor?

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2

Os preços

Um comerciante fez a seguinte promoção: todas as camisas de sua loja com preço reduzido em 20%. Dias depois, resolveu encerrar a promoção, voltando aos preços anteriores. Para isso, instruiu seus funcionários a aumentarem o preço atual em 20%, pois assim voltariam ao preço original. O procedimento adotado pelo comerciante para retornar aos preços anteriores está correto? Justifique.

3 Comprimento da circunferência Imagine um barbante que contorne uma bola de futebol, conforme a figura.

Se aumentássemos o comprimento do barbante em 1 m e contornássemos novamente a bola, um ratinho conseguiria passar pela folga entre o barbante e a bola? E se conseguíssemos fazer a mesma experiência com a Terra, passando um barbante pela linha do Equador e depois aumentando em 1 m seu comprimento, esse mesmo ratinho conseguiria passar pela folga do barbante?

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ARARIBÁ MATEMÁTICA

9

Organizadora: Editora Moderna Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna. Editora Executiva: Juliane Matsubara Barroso

3a edição

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© Editora Moderna, 2010

Elaboração de originais Ana Paula Souza Nani Licenciada em Matemática pela USP Dario Martins de Oliveira Licenciado em Matemática pela USP Débora Regina Yogui Licenciada em Matemática pela USP Fabio Martins de Leonardo Licenciado em Matemática pela USP Fausto Arnaud Sampaio Licenciado em Matemática pela Unicamp Juliana Ikeda Licenciada em Matemática pela USP Juliane Matsubara Barroso Bacharel e licenciada em Matemática pela PUC de São Paulo Luciana de Oliveira Gerzoschkowitz Moura Mestre em Educação pela USP Maria Aparecida Costa Bravo Bacharel e licenciada em Matemática pela PUC de São Paulo Maria Cecília da Silva Veridiano Licenciada em Matemática pela USP

Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Juliana Ikeda, Lucas Maduar Carvalho Mota, Marilu Maranho Tassetto, Regina Gimenez Assistência editorial: Carlos Eduardo Bambini Bentivegna, Everton Jose Luciano, Fernando Savoia Gonzalez, Maria Cecília Bittencourt Mastrorosa, Roberto Lopes Leitura crítica: Eduardo Wagner Preparação de texto: Iraci Miyuki Kishi Coordenação de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho Homma Projeto gráfico: Everson de Paula Capa: Aurélio Camilo Arte e fotografia: Tabuleiro de xadrez para três jogadores. © Confecção Luiz Augusto de Alencar Gonçalves/Foto Ricardo Toscani Coordenação de produção gráfica: André Monteiro, Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Jordana de Lima Chaves Edição de páginas especiais: William Hiroshi Taciro (coordenação), Alexandre de Paula, Fernanda Fencz, Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto Editoração eletrônica: Setup Bureau Editoração Eletrônica Ilustrações: Adilson Secco, Adolar, Alexandre Affonso, Attílio, Cecília Iwashita, Claudio Chiyo, Diogo Saito, Eduardo Ferrara, Estúdio 22, Fabiano Wolff, Luciano Veronezi, Marceleza, Marcio Guerra, Marcos Aurelio Neves Gomes, Nelson Matsuda, Paulo Manzi, Samuel Casal Cartografia: Alessandro Passos da Costa, Anderson de Andrade Pimentel, Fernando José Ferreira Coordenação de revisão: Elaine C. del Nero Revisão: Afonso N. Lopes, Alexandra Costa, Ana Cortazzo, Ana Paula Luccisano, Thâmara Veríssimo Coordenação de pesquisa iconográfica: Ana Lucia Soares Pesquisa iconográfica: Camila D’Angelo e Vera Lucia da Silva Barrionuevo As imagens identificadas com a sigla CID foram fornecidas pelo Centro de Informação e Documentação da Editora Moderna. Coordenação de bureau: Américo Jesus Tratamento de imagens: Fabio N. Precendo, Rubens M. Rodrigues Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira Silva, Helio P. de Souza Filho, Marcio H. Kamoto Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque Impressão e acabamento:

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Projeto Araribá : matemática : ensino fundamental / obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna ; editora executiva Juliane Matsubara Barroso. — 3. ed. — São Paulo : Moderna, 2010.

Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. “Componente curricular : Matemática” Bibliografia.

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Barroso, Juliane Matsubara.

10-07254

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 ISBN 978-85-16-06858-5 (LA) ISBN 978-85-16-06859-2 (LP) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2014 Impresso no Brasil 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2

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Apresentação

E

ste livro foi elaborado para você.

Queremos que você estude Matemática de uma forma agradável e dinâmica. Procure desenvolver todas as atividades propostas. Assim, descobrirá que conhecer os números, as formas, as medidas e outros assuntos abordados pela Matemática pode ser uma aventura muito interessante, além de ampliar seu universo de conhecimento e sua visão de mundo. Explore tudo que este livro lhe oferece, para aproveitar também a diversidade de informações distribuídas ao longo das seções, como a abertura, o tratamento da informação e outras. Certamente, você encontrará desafios e obstáculos. Enfrente-os com garra, pois, ao superá-los, perceberá como o saber, em todas as suas formas, traz grande satisfação pessoal e melhoria de sua atuação no mundo. Bom estudo!

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Organização da Parte Páginas de abertura

Parte

O

bservar o mundo do alto é um desejo que acompanha o ser humano desde a Antiguidade. Atualmente, os recursos tecnológicos empregados nos satélites permitem obter imagens de diferentes altitudes, como se estivéssemos viajando em uma nave que se afastasse gradativamente da superfície da Terra.

101 m

Tem-se uma visão mais ampla da cena e dos objetos que estão a sua volta.

Cada livro contém 14 unidades distribuídas em 6 partes.

Você aprenderá nesta parte:

Potencializando distâncias

Operações com números reais

Potenciação UNIDADE 1

Radiciação UNIDADE 2

Notação científica UNIDADE 1

Racionalização UNIDADE 2

Cada abertura de parte apresenta um elemento motivador como este infográfico.

103 m

É possível ver os contornos de prédios, ruas e quarteirões.

100 m

Um esquema apresenta os conteúdos que serão desenvolvidos na parte. Seu objetivo é orientar sobre o que será estudado e indicar como os conteúdos se relacionam.

107 m

Veem-se detalhes da cena.

O planeta Terra é totalmente visível.

Para começar...

105 m

Responda em seu caderno. 1 Que números há nesta abertura?

Pode-se identificar com precisão apenas o contorno de grandes estruturas.

2 Qual desses números é o maior? 3 O que poderia ser indicado pelo número 10 3? E pelo número 101?

10

Questões sobre o tema da abertura são propostas com o fim de identificar e mobilizar os conhecimentos prévios do aluno.

11

Apresentação dos conteúdos

4

Unidade

O conteúdo é apresentado de forma clara e organizada.

Equações redutíveis a uma equação do 2o grau

Equação fracionária

x  1  __ 2x no conjunto 3. 1. Resolver a equação _______ x1 3

1. Equações fracionárias

CResolução

Equações fracionárias são aquelas que contêm termos que são frações algébricas.

Após a apresentação dos conteúdos, vêm as seções Atividades, que trazem os diversos tipos de atividades agrupadas em dois blocos: Pratique e Aplique.

Vamos resolver a equação para descobrir quantos são os atletas.

Recorde

96  1 96  ______ ___ x  16 x x(x  16) 96(x  16) ________ _________  96x  ________ x(x  16) x(x  16) x(x  16) x(x  16) 96(x  16) ________ _________  96x  ________ x(x  16) x(x  16) x(x  16)

Fração algébrica é o quociente de dois polinômios, escrito na forma fracionária, em que aparecem uma ou mais variáveis no denominador. Exemplos x2  3 1 91 ______ ___ t ______ x  x   t x  y   t x2

Calculamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores.

Iniciamos, então, a resolução da equação fracionária reduzindo-a a uma equação do 2o grau.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observação Lembre-se de que o denominador de uma fração não pode ser zero. Assim, é necessário determinar as seguintes condições de existência: 96 , temos x J 0. t1BSB___ x 96 , temos x  16 J 0,  t1BSB_______ x  16 ou seja, x J 16. 96  1, temos 96  _______  t1BSB ___ x x 16 x J 0 e x J 16.

Como o denominador de uma fração tem de ser diferente de zero, devemos analisar a condição de existência da equação fracionária.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Você já sabe resolver determinadas equações fracionárias reduzindo-as a uma equação do 1o grau. Agora, aprenderá a resolver equações fracionárias que podem ser reduzidas a uma equação do 2o grau. Acompanhe a situação. Um grupo de atletas comprou um presente de R$ 96,00 para o treinador, dividindo o total em partes iguais. Se o grupo tivesse 16 pessoas a mais, a cada um caberia R$ 1,00 a menos. Quantos atletas há nesse grupo? Chamando de x o número de atletas, temos: 96 é o valor que cada atleta pagou pelo presente; r ___ x 96 é o valor que cada atleta pagaria se o grupo tivesse 16 pesr ______ x  16 soas a mais. A diferença entre esses valores é R$ 1,00. A equação que representa 96  ______ 96  1, com x J 0 e x J 16. essa situação é ___ x  16 x 96  ______ 96  1 é um exemplo de equação fracionária. A equação ___ x  16 x



Como a equação fracionária foi reduzida a uma equação do 2o grau, podemos resolvê-la pela fórmula resolutiva da equação do 2o grau.

C Pratique

1

2

$  b 2  4ac  16 2  4  1  (1.536)  256  6.144  6.400 16  XXXXX 6.400  _________ $  ____________ b  XX 16  80 x  ________ 2a 21 2 96  48 16  80  ____ Desconsideramos x1  _________ 2 2 o valor negativo. 64  32 16  80  ___ x2  _________ 2 2

Para explicar a resolução de alguns exercícios propõe-se a seção Exercícios resolvidos. Nela há o passo a passo de uma resolução de exercício, além de comentários que enriquecem a resolução.

ATIVIDADES

Aplicamos o princípio multiplicativo.

Aplicamos a proprie96(x  16)  96x  x(x  16) dade distributiva. 96x  1.536  96x  x 2  16x x 2  16x  1.536  0 Depois de reduzir a equação fracionária, vamos resolvê-la:

d

Há ainda atividades Desafio, Calculadora e Cálculo mental.

Exercício resolvido

d

3

4

Determine, no caderno, a condição de existência das equações fracionárias. 5  6x a) ___ 3x 1 2  _____ b) __ x x25 6  10 3  _____ c) _____ x1 x8

Determine a condição de existência e as soluções das equações fracionárias. 1 x  2  _____ a) _____ x x2 2 x  _____ 4  _____ b) ______ x2  1 x  1 x  1 x  9  __ 2x 2  ______ c) _______ x 2  4x x1 x1  4

Encontre a solução das equações fracionárias. x1x3 a) _____ x2 x  3  2x b) _____ x2 x 2  3  __ 1  _____ c) ______ 2 2 x2 x2 Responda. 4x Para quais valores de x a fração algébrica ______ 3x  1 é igual a 2x?

C Aplique

5

Resolva o problema no caderno. Um grupo de alunos comprou um presente de R$ 240,00 para a professora, mas quatro deles não puderam pagar, e com isso cada um dos demais pagou uma quantia adicional de R$ 5,00. Quantos eram os alunos e quanto cada um pagou?

Portanto, o grupo tem 32 jogadores. 76

77

1 Considere os dados e resolva a questão. Para verificar o desempenho dos alunos no basquete, o professor de Educação Física pediu que cada um fizesse sete arremessos. Veja a quantidade de arremessos convertidos por cada aluno.

O Tratamento da informação tem o objetivo de desenvolver a interpretação, a comparação e a análise de diversas formas de apresentação dos dados (em gráficos ou tabelas). Um personagem acompanha essa seção explicando o conteúdo e dando dicas para a organização dos dados.

0–4–3–2–5–1–3–2–1–1–4–4 O professor queria calcular a média de arremessos que foram convertidos em cestas pelos alunos. Para isso, resolveu calcular a média aritmética simples. Veja como ele procedeu:

1 Leia o problema e faça o que se pede. uma caixa-d’água inicialmente vazia.

1

2

3

4

5

1

3

2

2

3

1

Com isso, resolveu calcular a média aritmética ponderada da quantidade de cestas convertidas. Veja como ele procedeu: 1  0  3  1  2  2  2  3  3  4  1  5  ___ 30  2,5 __________________________________ 132231 12 Depois de fazer os cálculos, o professor percebeu que esquecera de contabilizar o número de arremessos de outra turma. Veja a quantidade de arremessos convertidos por cada aluno da outra turma.

Observe que, nesse caso, obteve-se o mesmo valor para as médias calculadas, a simples e a ponderada. O que mudou foi a maneira de fazer o cálculo.

6–0–4–7–3–5–7–0–0–1–2–1–3–2–2–1–4–3–2–1

O gráfico abaixo mostra as notas, de 7 a 10, que 400 adolescentes pesquisados atribuíram a dois filmes.

Quantidade de adolescentes

AVALIAÇÃO DOS ADOLESCENTES PESQUISADOS 70 60 50 40 30 20 10 0

63

61

53

50

45

40

52

3

5

10

30

Quantidade c de água (em litro)

8

2 Veja como os valores de y variam em função de x e

A medida x pode variar de 0 a 4 e, consequentemente, a área y da região rosa varia em função da medida indicada por x. a) Qual é a lei da função que fornece a área da região rosa? b) Determine a área da região rosa para x  1.

8 Observe a sequência constituída por varetas.

complete a tabela. x

2

1

0

y

1

2

3

1

2

3

4

5

1

t Escreva a lei dessa função. questão.

3

Em certa cidade, a tarifa de táxi é calculada da seguinte forma: R$ 3,30 a bandeirada mais R$ 1,60 por quilômetro rodado, ou seja, a tarifa é função do número de quilômetros rodados. Número n de quilômetros rodados

2

3

4

5

9 Associe os gráficos com as leis das funções correspondentes.

Preço p a pagar (em R$)

Observe que, nesse caso, não seria conveniente calcular a média aritmética simples, pois teríamos de somar a nota 7, por exemplo, 53 vezes para um dos filmes e 61 vezes para o outro filme.

t Escreva a lei da função que relaciona a quantidade de varetas do termo x dessa sequência.

A

4 Responda às questões.

0

B

5 Escolha a alternativa correta. a) 3

Nota

9

10

b) 5

c) 7

t Calcule a média aritmética ponderada das notas dadas para cada filme pelos adolescentes pesquisados. 160

x

0

1

0

1

Intermediário

x

Avançado

x

0 1

x

y

D

d) 1

6 Analise cada sequência e escreva uma lei que indique o valor do termo x.

2

Inicial

2 1

1

y

Há uma indicação do nível de dificuldade de cada atividade.

y

C

1

x . Qual é o a) Considere a função cuja lei é g(x)  dXX valor de g(x) para x  1.296? b) Sabendo que a lei da função é f (x)  3x  2, qual é o valor de x se f (x) é igual a 5?

Crepúsculo Avatar

36

8

y

t Qual é a lei que define a função?

f (12)  f(9) (PUC-SP) Sendo f (x)  7x  1, então __________ é: 3 7

2

3 Leia o problema, complete a tabela e responda à

Dados obtidos pelo site Cinemas.

144_167_U7_V9.indd 160

2

c) Sabendo que a caixa-d’água tem capacidade para 1.800 -, quanto tempo a torneira levará para enchê-la?

t Calcule a média aritmética simples e a média aritmética ponderada da quantidade de arremessos convertidos pelos alunos das duas turmas.

2 Leia e resolva.

1

b) A quantidade de litros que há na caixa-d’água é função do tempo? Se for, escreva a lei dessa função.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

0

Quantidade de alunos

4

x

Tempo t (em minuto)

0  1  1  1  2  2  3  3  4  4  4  5  ___ 30  2,5 _________________________________________ 12 12

Quantidade de arremessos convertidos

Um retângulo de medidas 4 e 8 foi dividido conforme a figura.

a) Complete a tabela.

Calculamos a média aritmética ponderada quando os valores do conjunto têm pesos diferentes. Nesse caso, a quantidade de alunos é o peso. Por isso, multiplicamos a quantidade de cestas pelo respectivo peso (quantidade de alunos) e dividimos a soma desses produtos pela soma dos pesos.

Após o cálculo, o professor percebeu que poderia agrupar em uma tabela os valores que se repetiam, da seguinte forma:

São atividades para consolidar os conhecimentos.

7 Observe a figura e responda às questões.

Uma torneira despeja 15 litros de água por minuto em

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Tratamento da informação

Atividades integradas

Atividades integradas

Tratamento da informação Calcular e interpretar média aritmética simples e média aritmética ponderada

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

Potências e raízes

–1

a) 0, 7, 14, 21, 28, ...

I

f (x)   1

III

f (x)  x

b) 2, 5, 8, 11, ...

II

f (x)  x  1

IV

f (x)  x  1

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4

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Compreender um texto

Compreender um texto

Pobre vaca assassinada

ATIVIDADES 1 Qual Ê o principal objetivo do texto da pågina ao lado? Escreva no caderno. a) Alertar sobre o perigo de dirigir em estradas sinuosas. b) Ensinar a determinar a distância que um carro percorre, andando a certa velocidade, depois de acionar o freio. c) Alertar sobre o perigo de deixar animais circulando nas rodovias.

A seção Compreender um texto tem o objetivo de desenvolver a competência leitora por meio da anålise de diversos tipos de texto.

Questþes especialmente desenvolvidas orientam a interpretação e anålise do texto e exploram o conteúdo matemåtico apresentado.

4 Resolva no caderno aplicando a fĂłrmula do texto.

d

[...] Agora, antes de terminar, voltemos Ă vaca que tranquilamente atravessava a estrada no inĂ­cio deste texto. Foi uma catĂĄstrofe. A pobrezinha praticamente virou churrasco. O motorista se defendeu: â&#x20AC;&#x201D; Eu vinha a 60 km/h. Esse era o limite de velocidade permitido naquela estrada! O desolado dono da vaca pediu que o famoso detetive Said Essa investigasse o caso. Nosso herĂłi começou medindo o comprimento das marcas de pneu que o carro deixara ao brecar. â&#x20AC;&#x201D; Fiquei sabendo [declarou Said Essa] que o carro andou 40 metros apĂłs o breque ser acionado e nesse percurso colheu a pobre vaca. Said Essa nĂŁo teve dificuldade em provar que o motorista dirigia a uma velocidade bem superior a 60 km/h. [...] Devido Ă  ação de Said Essa, o motorista imprudente sofreu pesadas multas. Mas esse nĂŁo foi o fim. O dono da vaca tambĂŠm acabou sendo multado, porque nĂŁo cuidou direito da coitada, deixando-a circular pela rodovia.

V V2  10 250 Metros percorridos apĂłs o breque ser acionado

Metros percorridos entre a visĂŁo do obstĂĄculo e o acionamento do breque

d: distância em metro que o carro percorre desde que o motorista vê o obståculo atÊ o carro parar. V: velocidade que o carro vinha desenvolvendo, em quilômetro por hora.

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O motorista vê o obståculo. Ele aciona o breque com a maior rapidez possível e o carro começa a parar. No entanto, desde que o obståculo Ê visto atÊ a parada, o carro percorre uma certa distância. Essa distância depende de vårios fatores: dos reflexos do motorista, das condiçþes da pista, da qualidade do sistema de freios etc. O fator mais importante de todos Ê a velocidade que o carro vinha desenvolvendo. Os especialistas em tråfego vêm estudando bastante essas situaçþes em que um automóvel tem de frear bruscamente. Vamos mostrar uma das fórmulas que eles podem usar.

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2 Responda às questþes no caderno de acordo com o texto. a) Qual Ê o perigo de dirigir em alta velocidade em estradas cheias de curvas? b) O comprimento das marcas de pneu corresponde à distância total percorrida pelo carro depois de avistado o obståculo? Explique sua resposta. c) Como Said Essa pôde provar matematicamente que o motorista mentiu ao declarar que dirigia a 60 km/h no momento do acidente? d) Se o motorista realmente estivesse dirigindo a 60 km/h, qual teria sido o comprimento das marcas de pneu deixadas por seu carro? e) Afinal, a que velocidade vinha o motorista?

3 Investigue. Um automóvel percorre maior distância no intervalo de tempo entre a visão do obståculo e o acionamento do freio ou depois do acionamento do freio? Teste algumas velocidades na fórmula dada no texto. Depois, troque informaçþes com seus colegas e explique suas conclusþes.

Um motorista vem dirigindo por uma rua quando avista, cerca de 30 metros adiante, uma criança atravessando essa rua distraidamente. a) Para que consiga frear a tempo de não atropelar a criança, o motorista deve estar dirigindo a qual velocidade måxima? b) Na sua opinião, a velocidade måxima obtida no item anterior Ê adequada para trafegar em åreas de travessia de pedestres?

5 Reflita e responda às questþes. a) Apesar de a velocidade do automóvel ser o fator mais importante, hå outros fatores que interferem na distância percorrida em situaçþes de freadas bruscas. Quais? b) Na sua opinião, as ruas de sua cidade ou as estradas circunvizinhas apresentam problemas que possam prejudicar a atuação do motorista numa situação de freada brusca? Quais? c) AlÊm de trafegar em velocidade segura, que outras precauçþes o motorista pode tomar para evitar acidentes?

6 Dê a sua opinião. Você acha que os limites de velocidade estabelecidos para o trânsito de automóveis em ruas e estradas da região onde mora são demasiadamente baixos, apenas seguros ou muito altos? Justifique sua opinião.

Luiz M. P. Imenes; JosÊ Jakubo e Marcelo C. T. Lellis. Equação do 2I grau. São Paulo: Atual, 2004. (Pra que serve Matemåtica?).

88

89

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Para finalizar

Um resumo esquemåtico apresenta os principais conceitos e procedimentos estudados na parte. O esquema permite visualizar as relaçþes entre os conteúdos.

Programa de resolução de problemas

Problemas para resolver

Um esquema

1 Que famĂ­lia!

Funçþes

LuĂ­s e Dora tĂŞm vĂĄrios filhos. Cada filha tem o mesmo nĂşmero de irmĂŁos e de irmĂŁs, e cada filho tem o dobro do nĂşmero de irmĂŁs que de irmĂŁos. Quantos filhos e filhas tĂŞm LuĂ­s e Dora?

Uma grandeza em função de outra t Podemos representar uma função em um gråfico cartesiano.

t Quando hå correspondência entre duas grandezas e a cada medida de uma grandeza corresponde uma única medida da outra, dizemos que uma dessas grandezas estå em função da outra.

0

y

x

Os gråficos acima podem ser gråficos de funçþes.

Função afim t Função afim Ê toda função cuja lei pode ser escrita na forma y  ax  b, em que a e b são números reais e x pode ser qualquer número real. t Quando a  0 ( y  b ), temos uma função constante. t O gråfico da função afim Ê sempre uma reta não perpendicular ao eixo x. y

y (0, b)

(0, b)

x

x

(0, b)

Gråfico de uma função constante

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

variĂĄvel independente variĂĄvel dependente

Gråfico de uma função crescente

Para finalizar: problemas para resolver

O retângulo

O programa de resolução de problemas Ê composto das påginas de Problemas para resolver. Seu objetivo Ê propor maneiras de solucionar problemas, formando um arquivo de recursos para ser usado em outras situaçþes.

x 0

y  2x  1 ou f ( x)  2x  1

y

3

O perímetro de um retângulo Ê 48. Encontre as possíveis medidas para o comprimento x e a largura y. Determine para quais valores de x e de y a årea Ê måxima.

y

y

t A fórmula que expressa a relação entre duas grandezas chama-se lei de formação da função ou lei da função. Por exemplo:

t Escreva um novo enunciado para o problema, alterando os dados e mantendo a solução. t Dê o problema que você elaborou para um colega resolver e resolva o problema que seu colega elaborou. Verifiquem se a solução se manteve.

2 A prova Numa prova, o professor JosĂŠ Carlos atribuiu 4 pontos a cada questĂŁo certa e tirou 2,5 pontos de cada questĂŁo errada. JoĂŁo respondeu Ă s 26 questĂľes da prova, mas ficou com zero ponto. Quantas questĂľes JoĂŁo acertou?

t&TDSFWBVNOPWPFOVODJBEPQBSBPQSPCMFNB BMUFSBOEP os dados e tambÊm a solução. t%�PQSPCMFNBRVFWPD�FMBCPSPVQBSBVNDPMFHBSF solver e resolva o problema que seu colega elaborou. Verifiquem se a solução foi alterada.

4

O cheque

Roberto, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das centenas. Por isso, pagou a mais a quantia de R$ 180,00. Sabendo que no valor correto o algarismo das dezenas ĂŠ o dobro do algarismo das DFOUFOBT EFUFSNJOFPBMHBSJTNPRVFGPJFTDSJUP OPDIF que, na casa das dezenas.

x

Gråfico de uma função decrescente

t Para traçar o grĂĄfico de uma função afim, bastam dois pontos. b t O zero da função afim y  ax  b ĂŠ o nĂşmero x  __ a , com a J 0, dado pela raiz da equação ax  b  0. t A função linear ĂŠ um caso particular da função afim. Sua lei ĂŠ y  ax, para qualquer a real diferente de zero. t AnĂĄlise do grĂĄfico de uma função afim f ( x)  ax  b: t a  GVOĂ&#x17D;Ă?PĂ?DSFTDFOUF 

b â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x201D; a

t a 0 (função Ê decrescente)

b â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x201D; a

+

+

+

b â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x201D; a

x

â&#x20AC;&#x201C;x

â&#x20AC;&#x201C;

t&TDSFWBVNOPWPFOVODJBEPQBSBPQSPCMFNB BMUFSBOEP os dados e mantendo a solução.

b â&#x20AC;&#x201C;â&#x20AC;&#x201D; a

+ â&#x20AC;&#x201C;

x

â&#x20AC;&#x201C;

t%� P QSPCMFNB RVF WPD� FMBCPSPV QBSB VN DPMFHB F resolva o problema que seu colega elaborou. Verifiquem se a solução se manteve.

x

198

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Ficha

Fichas de estratÊgias Cada pågina dos Problemas para resolver remete a uma Ficha de estratÊgia. Cada ficha apresenta um problema resolvido por meio da estratÊgia que permitirå solucionar todos os problemas sugeridos na seção Problemas para resolver.

t Escreva um novo enunciado para o problema, alterando os dados e tambÊm a solução. t%�PQSPCMFNBRVFWPD�FMBCPSPVQBSBVNDPMFHBSF solver e resolva o problema que seu colega elaborou. Verifiquem se a solução foi alterada.

199

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Todas as fichas estĂŁo em um caderno colado na Ăşltima capa do livro. Essa estrutura permite que as fichas sejam utilizadas isoladamente ou em conjunto com os Problemas para resolver. resolver

4

Analisar a resolução de um problema Um problema

Eduardo e Mônica se conheceram hå 16 anos. Naquela Êpoca, Mônica tinha o dobro da idade de Eduardo, mas agora Eduardo tem dois terços da idade de Mônica. Quantos anos tinham Eduardo e Mônica quando se conheceram? Para analisar a resolução de um problema

Eu devo... Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Para finalizar: um esquema

06.09.10 17:29:19

1

Para...

resolver o problema. A maneira mais clåssica de resolver esse problema Ê chamar a idade que Eduardo tinha hå 16 anos de x e a idade que Mônica tinha hå 16 anos de y,, e escrever duas equaçþes:

(

y  2x

2 ( y  16) ( x  16)  __ 3

tGPSNBSVNBQSJNFJSB impressĂŁo.

Resolvendo esse sistema de equaçþes, obtemos x  16 e y  32. Ou seja, Eduardo e Mônica se conheceram quando ele tinha 16 anos e ela, 32.

2

fazer conjecturas sobre os dados. 0GBUPDVSJPTPEFTTFQSPCMFNBĂ?RVF IĂ&#x2C6;BOPT VNBJEBEFFSBPEPCSPEB outra e, passado esse tempo, uma idade tornou-se dois terços da outra. Isso EĂ&#x2C6;BGBMTBJNQSFTTĂ?PEFRVF&EVBSEPFTUĂ&#x2C6;FOWFMIFDFOEPNBJTSĂ&#x2C6;QJEPRVF .Ă&#x2122;OJDB7BNPTBOBMJTBSPQSPCMFNBVTBOEPPVUSBFTUSBUĂ?HJBÂ&#x2030;VNHSĂ&#x2C6;GJDP cartesiano para representar os dados. Idade idade de MĂ´nica 16 anos idade de Eduardo 16 anos

16 anos

16 anos

16 anos 0

16

tBOBMJTBSBSFTPMVĂ&#x17D;Ă?P

empo que Eduardo e MĂ´nica TTempo se conhecem (anos)

"EJGFSFOĂ&#x17D;BFOUSFBJEBEFEF&EVBSEPFBEF.Ă&#x2122;OJDBTFNQSFĂ? 16 anos, mas, com o passar do tempo, essa quantidade em relação aos anos que jĂĄ viveram torna-se menor.

3

alterar os dados do problema. &OUFOEFOEPDPNPPQSPCMFNBGVODJPOB QPEFNPTBMUFSBSTFVFOVODJBEPF GB[FSOPWBTWFSTĂ&#x153;FT7FKBVNBEFMBT â&#x20AC;&#x153;Eduardo e MĂ´nica se conheceram hĂĄ 32 anos. Naquela ĂŠpoca, MĂ´nica tinha o dobro da idade de Eduardo, mas agora Eduardo tem trĂŞs quartos da idade de MĂ´nica. Quantos anos tinham Eduardo e MĂ´nica quando se conheceram?â&#x20AC;?

tBNQMJBSBSFTPMVĂ&#x17D;Ă?P

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Guia de estudo O livro Ê acompanhado de um Guia de estudo. O objetivo desse guia Ê auxiliar o estudo dos conteúdos por meio de atividades de exploração de vocabulårio, de fixação, de síntese e atividades para checar a aprendizagem.

5

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Sumário

Parte 1

POTÊNCIAS E RAÍZES200

10

UNIDADE 1 – POTÊNCIAS 1. Recordando potências ............................................................................................................................... 12 • Potência com expoente natural ............................................................................................................... 12 • Potência com expoente inteiro negativo............................................................................................. 13 2. Propriedades de potências com expoentes inteiros ......................................................... 16 3. Escrita de um número na forma de potência ........................................................................... 18 Tratamento da informação – Ler e interpretar gráfico de linha dupla ................................... 20 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 22

1. Raiz enésima de um número real ...................................................................................................... 23 • Raiz quadrada ................................................................................................................................................... 23 • Raiz cúbica .......................................................................................................................................................... 24 • Outras raízes ...................................................................................................................................................... 24 • Raiz enésima ...................................................................................................................................................... 25 2. Radicais ................................................................................................................................................................. 27 • Propriedades dos radicais ........................................................................................................................... 27 • Aplicação das propriedades ....................................................................................................................... 29 3. Adição algébrica com radicais ............................................................................................................. 31 4. Multiplicação e divisão com radicais .............................................................................................. 33 5. Potenciação e radiciação com radicais ......................................................................................... 35 6. Racionalização de denominadores ................................................................................................. 36 7. Simplificação de expressões com radicais ................................................................................ 38 8. Potência com expoente fracionário ................................................................................................ 39 Tratamento da informação – Identificar variáveis quantitativas e qualitativas.................... 40 Tratamento da informação – Identificar variáveis contínuas e discretas ............................ 41 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 42 Compreender um texto – Distâncias astronômicas.......................................................................... 44 Problemas para resolver ................................................................................................................................ 47

Parte 2

EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2O GRAU200

48

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

UNIDADE 2 – RADICIAÇÃO

UNIDADE 3 – EQUAÇÃO DO 2o GRAU COM UMA INCÓGNITA 1. Equação do 2o grau com uma incógnita........................................................................................ 50 • Equação completa e equação incompleta .......................................................................................... 51 • Raízes de uma equação do 2o grau ......................................................................................................... 51 2. Resolução de uma equação do 2o grau incompleta............................................................. 53

3.

4. 5. 6.

• Quando ax 2  c  0....................................................................................................................................... 53 • Quando ax 2  0 ............................................................................................................................................... 53 • Quando ax 2  bx  0 .................................................................................................................................... 54 Resolução de uma equação do 2o grau completa ................................................................. 57 • Quando o primeiro membro é um trinômio quadrado perfeito .............................................. 57 • Quando o primeiro membro não é um trinômio quadrado perfeito ..................................... 58 Fórmula de resolução de equação do 2o grau .......................................................................... 60 Resolvendo problemas que envolvem equações do 2o grau ....................................... 63 Analisando as raízes de uma equação do 2o grau ................................................................. 66 • Relação entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 2o grau .................................. 68 • Determinação de uma equação do 2o grau quando conhecidas suas raízes ..................... 70 • Fatoração do trinômio do 2o grau ........................................................................................................... 70

Tratamento da informação – Determinar frequência absoluta e frequência relativa ............................................................................................................................................. 72 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 74 6

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UNIDADE 4 – EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A UMA EQUAÇÃO DO 2o GRAU

1. Equações fracionárias ............................................................................................................................... 76 2. Equações biquadradas .............................................................................................................................. 78 3. Equações irracionais ................................................................................................................................... 80 4. Sistemas de equações do 2o grau...................................................................................................... 81 Tratamento da informação – Distribuir frequências em classes .............................................. 84 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 86 Compreender um texto – Pobre vaca assassinada ........................................................................... 88 Problemas para resolver ................................................................................................................................ 91

RELAÇÕES NO TRIÂNGULO RETÂNGULO200

92

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Parte 3

UNIDADE 5 – SEMELHANÇA 1. Retomando os conceitos de razão e proporção ..................................................................... 94 2. Razão entre dois segmentos ................................................................................................................ 95 3. Proporção entre dois segmentos ...................................................................................................... 96 • O número de ouro: uma razão muito especial .................................................................................. 98 4. Teorema de Tales........................................................................................................................................... 100 • Teorema de Tales ............................................................................................................................................. 100 • Aplicação do teorema de Tales ................................................................................................................. 105 5. Figuras semelhantes .................................................................................................................................. 108 • Semelhança e proporção............................................................................................................................. 109 6. Polígonos semelhantes ............................................................................................................................ 110 • Propriedades de polígonos semelhantes ............................................................................................ 114 7. Triângulos semelhantes .......................................................................................................................... 117 • Teorema fundamental da semelhança de triângulos .................................................................... 118 • Casos de semelhança ................................................................................................................................... 120 • Consequências da semelhança de triângulos ................................................................................... 121 Tratamento da informação – Construir histograma ........................................................................ 124 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 126

UNIDADE 6 – RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 1. O teorema de Pitágoras ............................................................................................................................ 128 • Demonstração do teorema de Pitágoras ............................................................................................. 129 2. Outras relações métricas no triângulo retângulo ................................................................ 131 • Segunda relação métrica ............................................................................................................................. 132 • Terceira relação métrica ............................................................................................................................... 133 • Quarta relação métrica ................................................................................................................................. 134 3. Aplicações do teorema de Pitágoras .............................................................................................. 136 • Diagonal de um quadrado .......................................................................................................................... 136 • Altura de um triângulo equilátero .......................................................................................................... 136 Tratamento da informação – Ler e interpretar gráficos ................................................................ 140 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 142

UNIDADE 7 – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO 1. Razões trigonométricas no triângulo retângulo .................................................................. 144 • Seno de um ângulo agudo ......................................................................................................................... 144 • Cosseno de um ângulo agudo .................................................................................................................. 145 • Tangente de um ângulo agudo ................................................................................................................ 145 2. Tabela de razões trigonométricas.................................................................................................... 148 • Razões trigonométricas dos ângulos notáveis.................................................................................. 150 3. Relações trigonométricas no triângulo acutângulo .......................................................... 155 • Lei dos senos ..................................................................................................................................................... 155 • Lei dos cossenos .............................................................................................................................................. 156 Tratamento da informação – Calcular e interpretar média aritmética simples e média aritmética ponderada........................................................................................................................... 160 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 162 Compreender um texto – Dúvida na hora da compra: TV tradicional ou widescreen?..... 164 Problemas para resolver ................................................................................................................................. 167 7

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Sumário

Parte 4

FUNÇÕES

168

UNIDADE 8 – FUNÇÕES 1. Noção de função............................................................................................................................................. 170

• Lei de formação da função ......................................................................................................................... 170 • Variáveis ............................................................................................................................................................... 171 2. A notação f (x)................................................................................................................................................... 172 3. Representação gráfica de uma função......................................................................................... 174

• Construção do gráfico de uma função .................................................................................................. 176 • Identificando se um gráfico corresponde a uma função.............................................................. 177 Tratamento da informação – Calcular média, moda e mediana ................................................ 178 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 180

UNIDADE 9 – FUNÇÃO AFIM • Gráfico da função afim .................................................................................................................................. 183 • Análise do gráfico de uma função afim ................................................................................................ 186 • Função linear ..................................................................................................................................................... 188 2. Proporcionalidade nas funções ......................................................................................................... 189 Tratamento da informação – Calcular a probabilidade................................................................... 192 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 194 Compreender um texto – Algodão-doce ................................................................................................ 196 Problemas para resolver ................................................................................................................................ 199

Parte 5

FUNÇÃO QUADRÁTICA200

200

UNIDADE 10 – FUNÇÃO QUADRÁTICA 1. Função quadrática ........................................................................................................................................ 202 2. Gráfico da função quadrática ............................................................................................................... 204

• A parábola e seu vértice ............................................................................................................................... 204 • Cálculo das coordenadas do vértice da parábola ............................................................................ 205

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1. Função afim ....................................................................................................................................................... 181

• Construção do gráfico de uma função quadrática .......................................................................... 206 • Os zeros de uma função quadrática ....................................................................................................... 208 Tratamento da informação – Construir histogramas ...................................................................... 210 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 212

UNIDADE 11 – ESTUDO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 1. Concavidade da parábola ........................................................................................................................ 213 2. Ponto de máximo ou ponto de mínimo ......................................................................................... 214 3. Análise do gráfico de uma função quadrática ........................................................................ 216

• Quando a parábola intercepta o eixo x em dois pontos ............................................................... 216 • Quando a parábola intercepta o eixo x em um único ponto...................................................... 217 • Quando a parábola não intercepta o eixo x........................................................................................ 217 4. Inequações do 2o grau................................................................................................................................ 219 Tratamento da informação – Ler e interpretar histogramas....................................................... 220 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 222 Compreender um texto – A importância da agricultura familiar................................................ 224 Problemas para resolver ................................................................................................................................ 227 8

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Parte 6

POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS200

228

UNIDADE 12 – ÁREAS DE QUADRILÁTEROS E TRIÂNGULOS 1. Área .......................................................................................................................................................................... 230 2. Área do retângulo ......................................................................................................................................... 231

• Área do quadrado ........................................................................................................................................... 231 3. Figuras equidecomponíveis.................................................................................................................. 234 4. Área do paralelogramo.............................................................................................................................. 236 5. Área do triângulo ........................................................................................................................................... 238 6. Área do trapézio ............................................................................................................................................. 240 7. Área do losango .............................................................................................................................................. 240 Tratamento da informação – Ler e interpretar gráficos que se complementam .................. 242

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Atividades integradas ...................................................................................................................................... 244

UNIDADE 13 – POLÍGONOS REGULARES 1. Polígonos .............................................................................................................. 246 2. Polígono regular................................................................................................... 248

• Polígono regular inscrito em uma circunferência ............................................................................ 248 • Polígono regular circunscrito a uma circunferência ....................................................................... 250 • Área de um polígono regular .................................................................................................................... 252 3. Relações métricas nos polígonos regulares............................................................................. 253

• Quadrado inscrito ........................................................................................................................................... 253 • Hexágono regular inscrito........................................................................................................................... 254 • Triângulo equilátero inscrito ...................................................................................................................... 255 Tratamento da informação – Construir polígono de frequências ............................................ 258 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 260

UNIDADE 14 – CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO 1. Comprimento da circunferência ........................................................................................................ 261 2. Comprimento de um arco de circunferência ............................................................................ 264 3. Relações métricas na circunferência ............................................................................................ 267

• Relação entre cordas...................................................................................................................................... 267 • Relação entre secantes ................................................................................................................................. 267 • Relação entre tangente e secante ........................................................................................................... 268 • Potência de um ponto em relação à circunferência ....................................................................... 268 4. Área de regiões circulares ...................................................................................................................... 270

• Área do círculo .................................................................................................................................................. 270 • Área de um setor circular............................................................................................................................. 271 • Área da coroa circular .................................................................................................................................... 271 Tratamento da informação – Ler e interpretar polígonos de frequências .......................... 274 Atividades integradas ...................................................................................................................................... 276 Compreender um texto – Arqueologia amazônica ............................................................................ 278 Problemas para resolver ................................................................................................................................ 281 9

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Parte

4

Funções

Você aprenderá nesta parte: Função

Lei da função UNIDADE 8

Representação gráfica UNIDADE 8

Função afim UNIDADE 9 Função linear UNIDADE 9

ALGUNS CAMPOS E POÇOS DE PETRÓLEO DESCOBERTOS NO PRÉ-SAL

Para começar...

MINAS GERAIS

Angra dos Reis SÃO PAULO Terrar 13 0k m

1 Em um dia, quantos litros de petróleo serão extraídos?

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Tambaú

Carapiá

Mexilhão

Atlanta

Merluza

Tambuatá Uruguá

OCEANO ATLÂNTICO

Parati Lagosta

Iara

Carioca Júpiter

Bem-te-vi

Coral

Tupi Guará

Tubarão Estrela do Mar

Caramba

Caravela Cavalo Marinho

168

Pirapitanga

Oliva

2 Em três dias, quantos barris de petróleo serão produzidos nesse poço? E quantos litros de petróleo? 3 Escreva uma expressão que relacione a quantidade de litros de petróleo extraídos à quantidade de dias.

RIO DE JANEIRO

km 290

Considerando que a produção de um poço de petróleo localizado em uma plataforma marítima seja de 18.000 barris por dia e que cada barril de petróleo tenha capacidade para 159 L, responda às questões no caderno.

70 km

Disponível em: <http://www2.petrobras.com.br>. Acesso em: 23 abr. 2010.

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A camada pré-sal

A

camada pré-sal tem esse nome porque as rochas de onde serão extraídos óleo e gás estão abaixo de uma barreira de sal de até 2 km de espessura, situada a cerca de 5 km sob a superfície do oceano. Sua origem está no início do processo de separação dos continentes, quando o que era um imenso lago começou a ser invadido pelas águas do mar (hoje Atlântico Sul). A decomposição de microrganismos nesse lago, a pressão do sal acumulado em sucessivas épocas de evaporação e a pressão do peso da água sobre ele, durante milhões de anos, deram origem a um depósito de óleo de alta qualidade na região que vai desde o litoral do estado do Espírito Santo até o estado de Santa Catarina. Entre os depósitos de óleo e gás dessa região, estima-se que o volume de produção de barris de petróleo, apenas na área de acumulação de Tupi, na bacia de Santos, atingirá cerca de 5 a 8 bilhões de barris, valores que, se confirmados, classificariam esse campo como o maior descoberto no mundo desde o ano 2000.

Oceano

Camada pós-sal Camada de sal Camada pré-sal Para atingir a camada do pré-sal são necessárias escavações de mais de 7 mil metros de profundidade, pois só a camada de sal tem cerca de 2 mil metros de espessura. O investimento nesses poços marítimos se justifica pela previsão de alta produtividade. Na foto, a plataforma P-34 da Petrobras, campo de Jubarte, ES.

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169

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Unidade

8

Funções 1. Noção de função Em determinado período, o valor de referência do petróleo era de 73 dólares o barril. Observe a tabela: Preço do petróleo por número de barris Preço (em dólar) Quantidade de barris

73

146

219

292

365

438

511

730

1

2

3

4

5

6

7

10

O preço foi calculado da seguinte forma: Preço  quantidade de barris  73 x

Se a quantidade de barril for 1 (x  1), teremos: P  1 8 73 Se a quantidade de barril for 2 (x  2), teremos: P  2 8 73 ... Essa situação mostra a relação entre duas grandezas: o preço do petróleo de acordo com o número de barris. No dia a dia, há outras situações em que as grandezas envolvidas se relacionam.

Refinaria de petróleo da Petrobras, Paulínia, SP.

Exemplos • Arrecadação de uma partida de futebol de acordo com a quantidade de pessoas que compram ingresso. • Tempo gasto em uma viagem relacionado com a velocidade do percurso. Voltando à situação da venda do petróleo, notamos que cada quantidade de barril determina um único preço. Quando isso ocorre, podemos dizer que o preço é dado em função da quantidade de barris. Quando há correspondência entre duas grandezas e a cada medida de uma grandeza corresponde uma única medida da outra, dizemos que a segunda grandeza é função da primeira.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

P

Lei de formação da função Analise os dados da tabela em que o perímetro de um polígono regular, cujos lados medem 2 cm cada um, varia de acordo com o número de lados.

2 cm

Número de lados do polígono regular

3

4

5

6

Perímetro (cm)

6

8

10

12

Para cada polígono existe um único perímetro, e o perímetro é determinado em função do número de lados do polígono regular. A correspondência entre cada valor de uma grandeza e cada valor da outra é expressa por uma fórmula que chamamos lei de formação da função ou lei da função. Nesse exemplo, como a medida de cada lado do polígono é 2 cm, o perímetro p é determinado por: p  2 8 n, em que n é o número de lados do polígono.

170

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Variáveis No exemplo do perímetro de um polígono regular, vimos que o perímetro varia de acordo com o número de lados do polígono. Tanto o perímetro quanto o número de lados são as variáveis desse exemplo, e podemos distingui-las como variável dependente (o perímetro, que depende da outra variável) e variável independente (o número de lados, cuja escolha do valor é livre).

ATIVIDADES CC Pratique

3 Leia a tabela para responder às questões.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1 Complete a tabela e resolva as questões.

Renato comprou uma impressora a jato de tinta para imprimir panfletos de propaganda. Veja, na tabela a seguir, o número de panfletos que esse equipamento imprime de acordo com o tempo.

Alessandra, técnica em informática, presta serviço para uma empresa. Ela recebe R$ 15,00 por hora trabalhada. A tabela abaixo expressa o valor que Alessandra receberá em função da quantidade de horas trabalhadas. Complete-a com os dados que faltam. Quantidade de horas trabalhadas Valor recebido (em R$)

1

2

3

Velocidade da impressora

4

15,00 30,00

a) Calcule quanto Alessandra receberá se trabalhar 14 horas para essa empresa. b) Calcule a quantidade de horas que ela trabalhou se recebeu da empresa R$ 1.500,00. c) Podemos dizer que o ganho de Alessandra é função do número de horas trabalhadas? d) Escreva a lei dessa função.

Número de dias em que a ferramenta fica alugada Valor do aluguel (em R$)

1

2

18,50 25,00

7

181,00

a) Calcule o aluguel de uma ferramenta por 10 dias. b) Para cada quantidade de dias, há um único valor de aluguel? c) O valor do aluguel é função do número de dias em que a ferramenta fica alugada? d) Escreva a lei da função.

Número de panfletos

2

36

4

72

6

108

8

144

10

180

a) Quantos panfletos o equipamento de Renato imprime por minuto? b) O número de panfletos impressos (n) é função do tempo (t) em minuto? c) Escreva uma lei que relacione n com t. d) Em meia hora, quantos panfletos são impressos? e) Renato disse que levará 15 minutos para imprimir 300 panfletos. Isso é possível? Justifique sua resposta.

2 Complete a tabela e responda. Uma loja de ferramentas cobra aluguel por suas mercadorias da seguinte maneira: taxa fixa de R$ 12,00 para a manutenção da ferramenta mais uma diária de R$ 6,50. O dono da loja começou a construir uma tabela relacionando o número de dias e o valor do aluguel. Complete-a com os dados que faltam.

Intervalo de tempo (em minuto)

4

Complete a tabela e responda às questões. Os dados da tabela referem-se às somas das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo. Número de lados (n)

Soma das medidas dos ângulos internos (S)

3

180o

4

360o

5

540o

6 7

• A soma das medidas dos ângulos internos do polígono é função do número de lados desse polígono. Qual é a lei de formação dessa função?

171

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2. A notação f (x ) Acompanhe a situação a seguir. O perímetro p de um triângulo equilátero é função da medida x do lado desse triângulo. Veja como é essa correspondência: 1

3

4

10

15

Perímetro (em cm)

3

9

12

30

45

A lei dessa função é p 5 3x. Além dessa notação de lei de função, existe a notação que substitui a variável dependente p por f (x) (lemos: “f de x”). Nessa notação, o nome da função pode ser qualquer letra (a, b, c, f, g etc.), mas por costume a restringimos a algumas letras, como f, g, h e t. A variável independente também pode ser qualquer letra, mas a mais usual é a letra x. Outra notação da situação apresentada acima é: f (x) 5 3x Desse modo, para calcular o perímetro do triângulo equilátero, dada a medida do lado, fazemos: f(x) 5 3x

Exemplos • f (x) 5 x 1 1 • g(x) 5 2x • h(x) 5 x 2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Medida x do lado (em cm)

A variável independente (x) é a medida de cada lado do triângulo equilátero. Para x 5 12, a variável dependente, no caso o perímetro, é: f (12) 5 3 8 12 f (12) 5 36 Portanto, o perímetro do triângulo equilátero de lado medindo 12 cm é 36 cm. Observação • Muitas situações cotidianas permitem o estudo de funções. No entanto, para nos concentrarmos no modo como as variáveis se relacionam em uma função e usar números do conjunto dos reais, vamos recorrer a uma situação imaginária. Para isso, considere que os dados (variável independente x) são inseridos em um robô e, depois de passarem por uma decodificação (a lei da função), saem na forma de dados correspondentes (variável dependente f (x)). Números introduzidos no robô (variável independente x) Números correspondentes (variável dependente f (x))

23 22 21

0

1

2

0

1  ​ 1 ​ __ 2

3

7  ​ 4 ​ __ 2

Observando os dados das duas linhas, vemos que foram adicionadas 3 unidades a cada valor de x para obter o valor correspondente a ele, ou seja, f(x). A lei dessa função é: f(x) 5 x 1 3. Assim, se quisermos saber que valor obteremos ao introduzir na máquina, por exemplo, o valor d​ X 2 ​ X,  bastará usar a lei da função: f ​@ d​ X 2 ​  X #​5 d​ X 2 ​ X 1 3

–3

0

–2

1

–1

2

0 1 — 2 1

3 7 — 2 4

O diagrama também é uma representação da correspondência das variáveis de uma função.

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Exercício resolvido Sequências

1. Qual é a lei da função que rege a sequência 3, 5, 7, 9, ...? CCResolução

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Cada número de uma sequência numérica pode ser escrito em função da posição que ocupa nessa sequência. Por isso, podemos resolver um problema de sequência numérica usando o conhecimento de funções.

ATIVIDADES CC Pratique

1

3

Analise e resolva. Vamos usar novamente o robô da página anterior. Veja os números x inseridos no robô e os números f (x) obtidos e responda às questões. x

22

21

0

1

f(x)

24

22

0

2

CC Aplique

4

a) Qual é a lei dessa função? b) Calcule o valor de f(x) para x 5 2​__ ​5 . 2 c) Qual é o valor de x quando f(x) 5 1.001?

2

Resolva o problema. Observe na tabela o número de locações de filmes em DVD e o preço total correspondente. Número x de locações

Agora observe os novos números x inseridos no robô e os números f(x) obtidos e responda às questões. x

21

0

1

1 __ 3

f(x)

22

1

4

2

a) Qual é a lei dessa função? b) Calcule o valor de f(x) para x 5 10. c) Qual é o valor de x quando f(x) 5 13?

Considere a função x 1 3 , em que x 7 R*, e determine: f(x) 5 _____ x a) f (23); b) f (3); c) o valor de x para f(x) 5 3.

Preço y (em R$)

1

2

3

4

5,00 10,00 15,00 20,00

a) Verifique se o preço é função do número de locações. b) Escreva no caderno a lei dessa função. c) Qual é o preço de 20 locações de DVD? d) Quantas locações correspondem ao preço de R$ 50,00?

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3. Representação gráfica de uma função Você já sabe representar números reais na reta numérica. Cada número real tem um ponto correspondente na reta real, e cada ponto da reta corresponde a um número real. Observe:

–4

– 2

–3

–2

0,333…

–1

0

13 —– 4

1,5

1

Na reta real, observamos que: • Identificado o ponto correspondente ao número zero, à sua direita estão os pontos correspondentes aos números reais positivos e à sua esquerda os pontos correspondentes aos números reais negativos. • A distância entre os pontos correspondentes a dois números inteiros consecutivos é sempre a mesma. • Na prática, para localizar os números que estão na forma de fração ou os irracionais, adotamos a forma decimal. Quando há muitas casas decimais, aproximamos o número e identificamos o ponto correspondente.

2

3

4

Também podemos representar um par de números reais por pontos de um plano. Para isso, construímos um sistema cartesiano. O sistema consiste em duas retas reais perpendiculares (eixos) cujo ponto de encontro corresponde ao número zero e é a origem do sistema. Ao representar um par ordenado, o primeiro número do par corres­ ponde à abscissa e o segundo, à ordenada. Cada região do plano determinada pelos eixos é chamada qua­drante. Veja: eixo y: eixo das ordenadas 2º- quadrante

y 3 2

1º- quadrante eixo x: eixo das abscissas

1 –4 –3 –2 –1 0 –1 3º- quadrante

1

–2 –3

2

3

4

x

5

4º- quadrante

Toda situação que permite expressar uma grandeza em função de outra pode ser representada em um sistema cartesiano na forma de um gráfico. Veja algumas. Situação 1 O perímetro do quadrado é função da medida do lado do quadrado. Veja como ocorre a variação observando algumas medidas: Medida do lado do quadrado (em cm)

1

2

2,5

4

Perímetro (em cm)

4

8

10

16

Cada par ordenado (formado pela medida do lado e pelo perímetro correspondente) pode ser representado por um ponto em um sistema cartesiano. Observe que não existem valores negativos e que a menor medida que o lado pode assumir é zero, e nesse caso o perímetro será zero. De forma intuitiva, percebemos que, como foram escolhidos valores arbitrários para a cons­trução do gráfico, se forem tomados mais pontos, o gráfico apresentará uma linha contínua que partirá do par ordenado (0, 0).

Indica o perímetro (em cm).

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

–3,3

Observações

y ponto (4, 16)

16

ponto (2,5; 10)

10

ponto (2, 8)

8 ponto (1, 4) 4 ponto (0, 0) 0

1

2 3 2,5

4

x Indica a medida do lado do quadrado (em cm).

174

168_180-Uni08_AC9_2.indd 174

07.09.10 10:15:31


Situação 2 Um programa de computador determina o quadrado de qualquer número real inserido nele. Observe os números inseridos no programa e os números correspondentes que ele determinou:

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Números inseridos

Situação 3 Em uma loja que trabalha com máquinas fotocopiadoras, o preço que se paga varia em função do número de cópias. Veja a tabela de preços:

Números determinados

Número de cópias

Preço (em R$)

22

4

1

0,10

21,5

2,25

10

1,00

0

0

15

1,50

1

1

20

2,00

2

4

Os números determinados foram obtidos em função dos números inseridos. Cada par de números (número inserido, número determinado) forma um par ordenado, e eles podem ser representados por pontos em um sistema cartesiano. y

4 2,25

Aqui, também podemos representar os pares ordenados (número de cópias, preço) em um sistema cartesiano. Observe que o número de cópias só pode ser um número natural, ou seja: • não há números negativos; • não há números entre dois números naturais consecutivos. Por isso, o gráfico dessa função não é uma linha contínua, mas sim pontos alinhados. y

1 0 –2 –1,5

2,00 1

2

1,50

x

1,00

Nesse caso, o gráfico da função também é uma linha contínua, sem início nem fim.

0,10 0

10

1

15

x

20

ATIVIDADES CC Pratique

2 Analise os dados.

1 Calcule os pares ordenados e construa o gráfico.

x

21

0

1

2

5

8

y

24

21

2

5

14

23

O programa de um robô do­bra todo número real inserido e diminui o valor encontrado em 1 unidade. Veja a tabela abaixo. Números inseridos

21

1,5

2,5

4

Números determinados

23

2

4

7

a) Chamando de x o número inserido e de y o número determinado, escreva a lei dessa função. b) Se o número inserido for 1,7, qual será o número determinado? c) Represente em um sistema cartesiano o gráfico correspondente a essa função. d) O gráfico dessa função é uma reta?

a) Determine a lei da função. b) Construa o gráfico da função.

3 Construa um gráfico com os valores da tabela.

Um recipiente com água é levado ao fogo até que ela ferva. A tabela abaixo mostra a variação de temperatura da água em função do tempo. Quantidade de minutos

0

2

4

6

8

Temperatura (ºC)

25

50

75

100

100

• Agora, responda: O gráfico dessa função é uma linha contínua? Justifique.

175

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07.09.10 10:15:31


Construção do gráfico de uma função Dada a lei de uma função, seguimos alguns passos básicos para cons­ truir o gráfico correspondente. Acompanhe a construção do gráfico da função f(x) 5 2x 2, em que x é um número real. 1o) Escolhemos valores arbitrários para x e calculamos os valores de f(x) correspondentes, obtendo alguns pares ordenados. y

x

f(x)

Par ordenado

1

2

(1, 2)

__ ​ 1 ​  2

__ ​ 1 ​  2

​ __ ​ 1 ​ , __ ​ 1 ​   ​ 2 2

@  #

2

1  ​ ​ __ 4

__ ​ 1 ​  8

​ __ ​ 1 ​ , __ ​ 1 ​   ​ 4 8

@  #

1

21

2

(21, 2)

–2

–1

0

1

2

x

2 ) Apenas com esses pontos, ainda não é possível desenhar o gráfico dessa função. Então precisamos atribuir mais pontos para saber como é o gráfico entre os pontos já determinados. Vamos atribuir outros valores x, intercalados aos valores já escolhidos. x

f(x)

Par ordenado

1

2

(1, 2)

__ ​ 3 ​  4

__ ​ 9 ​  8

1  ​ ​ __ 2

__ ​ 1 ​  2

@  # ​@ __ ​ 1 ​ , __ ​ 1 ​   ​ 2 2#

1  ​ ​ __ 3

__ ​ 2 ​  9

​ __ ​ 1 ​ , __ ​ 2 ​   ​ 3 9

1  ​ ​ __ 4

__ ​ 1 ​  8

@  # ​@ __ ​ 1 ​ , __ ​ 1 ​   ​ 4 8#

0

0

(0, 0)

1 ​  2​ __ 2

1  ​ ​ __ 2

@ 

3  ​ 2​ __ 4

9  ​ ​ __ 8

@​  2__​ 43 ​ , __​ 89 ​  #​

21

2

(21, 2)

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

o

​ __ ​ 3 ​ , __ ​ 9 ​   ​ 4 8 y

2 1 –2

#

​ 1 ​ , __ ​ 1 ​   ​ ​ 2__ 2 2

–1

0

1

2

x

Observações

3o) Aqui, os pontos estabelecidos já são suficientes para formar a linha contínua que é o gráfico da função. Em outros casos, porém, pode ser necessário esco­lher para x valores maiores que 1 e valores menores que 21. y

2 1 –2

–1

0

1

2

x

• Os gráficos foram construídos sobre uma malha quadriculada, pois as linhas horizontais e verticais auxiliam na localização dos pontos. Se não for possível o uso da malha, deverão ser usados uma régua e um esquadro para traçar os eixos. • Os valores atribuídos a x são arbitrários, desde que obedecidas as condições de existência da função. • Se a função estiver definida para qualquer x real, o gráfico da função será uma linha contínua.

176

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Identificando se um gráfico corresponde a uma função Como, em uma função, para cada valor y de x temos um único valor de f(x), o gráfico que representa uma função deve ter um 0 x –2 único ponto (x, y) para cada x. –2

Na prática, para verificar se um gráfico representa uma função, imaginamos o traçado de retas paralelas ao eixo y e verificamos se cada reta intercepta o gráfico em um único ponto. y

y

O gráfico é de uma função.

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0

0

x

x

O gráfico não é de uma função.

ATIVIDADES CC Pratique

4 Analise as informações e responda às questões.

1 Construa o gráfico de cada função considerando

valores para x real. a) g(x) 5 22x

c) t(x) 5 2 2 3x

b) h(x) 5 x 2 1

d) f(x) 5 x 2

2 Que gráficos representam uma função? a)

c)

y

Um cientista colocou uma planta para germinar e mediu seu crescimento, em centímetro, por alguns dias. O resultado de suas medições foi representado no gráfico a seguir. Sabendo que todas as condições para que a planta Altura (em cm)

y

2 1

0

b)

x

d)

y

0

x

0

0

x

0

3 Analise e identifique o gráfico correspondente à função f(x) 5 x 1 1. y

y

3 2

2

1

1 1

Tempo (em dia)

5 Indique as opções mais econômicas.

CC Aplique

0

8

crescesse nesse ritmo foram mantidas, responda. a) Qual era a altura da planta no 6o dia? b) Qual era a altura da planta no 20o dia? c) Em que dia a planta ultrapassou 10 cm? d) Esse gráfico representa uma função? Em caso positivo, escreva a lei dessa função.

y

x

4

2 Gráfico I

x

0

1

2

3

Gráfico II

4

5

x

Em um Festival de Cinema, a equipe organizadora está oferecendo duas formas de compra de bilhetes: • Bilhete especial: 144 reais, com direito a assistir a quantos filmes quiser. • Bilhete normal: 12 reais para assistir a cada filme. Chame de x a quantidade de filmes assis­tidos por uma pessoa. a) Para cada tipo de bilhete, escreva a lei que fornece o valor pago em função de x. b) Em que situação será mais econômico o bilhete especial? E o bilhete normal?

177

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07.09.10 13:20:15


Tratamento da informação Calcular média, moda e mediana 1 Leia e resolva o problema. O grêmio estudantil da Escola Pitágoras pretende iniciar uma campanha para que a direção da escola incentive o uso de computador pelos alunos. A diretoria do grêmio resolveu, então, fazer uma pesquisa com os alunos para saber a quantidade de horas que cada um usa o computador diariamente. Veja o resultado da pesquisa no gráfico abaixo. TEMPO (EM HORA) QUE CADA ALUNO USA O COMPUTADOR 131

140 120 100 80 60 40 20 0

108 46 15 0

1 2 Número de horas

3

Dados obtidos pelo grêmio estudantil da Escola Pitágoras.

Depois de organizar os dados no gráfico, a diretoria do grêmio calculou a média (em hora) de uso do computador. Veja seus cálculos: • • • •

46 alunos não usam computador 108 alunos usam computador 1 hora por dia 131 alunos usam computador 2 horas por dia

Total de 300 alunos

15 alunos usam computador 3 horas por dia

Média aritmética ponderada: 46 8 0 1 108 8 1 1 131 8 2 1 15 8 3 5 ___ 415  1,38 _________________________ 300

300

Portanto, os alunos da Escola Pitágoras usam computador, em média, 1,38 hora por dia.

A diretoria do grêmio pretende incentivar os 46 alunos que não costumam usar computador a passar a utilizá-lo por pelo menos meia hora por dia. Caso tenha êxito, qual será a nova média diária (em hora) de uso do computador?

2 Considerando os dados apresentados no gráfico da atividade 1, responda às questões.

Para responder à questão b, note que há 300 alunos nessa escola; portanto, um número par de termos. Então, você deverá calcular a média aritmética das quantidades de horas correspondentes ao 150o e ao 151o termos. Observe também que do 1o ao 46o termos representa-se o número de alunos que não usam computador.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Número de alunos

Quando empregamos a expressão “em média”, estamos nos referindo à média aritmética de uma distribuição. Nessa situação, como cada número de horas (0, 1, 2 ou 3) tem peso diferente (número de alunos), calculou-se a média aritmética ponderada de horas diárias que os alunos usam computador.

a) Outra medida que podemos estabelecer para estudar os dados da pesquisa sobre a quantidade de horas diárias de uso do computador é a moda, ou seja, o valor que aparece com maior frequência. No caso dessa pesquisa, moda é a quantidade de horas diárias que a maioria dos alunos usa o computador. Encontre, então, a moda dessa pesquisa. b) Além da moda e da média aritmética, podemos calcular a mediana. Quando o número de termos da distribuição ordenada de valores é ímpar, a mediana corresponde ao termo que ocupa a posição central da distribuição. E, quando o número de termos é par, a mediana é a média aritmética dos valores correspondentes aos dois termos centrais da distribuição. Calcule a mediana dessa pesquisa. c) Considerando agora que os 46 alunos que não usavam computador passaram a utilizá-lo por meia hora diária, determine as novas moda e mediana da pesquisa. 178

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3 Analise a situação e responda às questões. A rádio Onda FM fez uma pesquisa para saber a opinião dos ouvintes sobre a programação de uma semana dedicada exclusivamente ao rock. Os dados coletados na pesquisa estão indicados no gráfico abaixo, que mostra as notas atribuídas pelos ouvintes a essa programação especial. NOTAS DOS OUVINTES À PROGRAMAÇÃO ESPECIAL

Número de ouvintes

250

200

200 150 100

150

150

135 100

100 95

90

125

80

75

50

50 0

5

6

7

8

Adolescentes

Nota

10

9 Adultos

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Dados obtidos pela rádio Onda FM.

a) Quantos ouvintes foram pesquisados? b) Qual foi a média aritmética das notas dadas por ouvintes adolescentes? E por ouvintes adultos? c) Qual foi a moda das notas dadas por ouvintes adolescentes? E por ouvintes adultos? d) Qual foi a mediana das notas dadas por ouvintes adolescentes? E por ouvintes adultos? e) Calcule a média aritmética, a moda e a mediana das notas dadas pelo total de ouvintes (somatório dos ouvintes adolescentes e adultos).

Quando temos dois valores que aparecem com maior frequência, dizemos que a amostra é bimodal. Nesse caso, esses dois valores serão a moda da amostra.

4 Leia o texto, observe o gráfico e responda. (Enem) Um sistema de radar é programado para registrar, automaticamente, a velocidade de todos os veículos que trafegam por uma avenida onde passam, em média, 300 veículos por hora, sendo 55 km/h a máxima velocidade permitida. Um levantamento estatístico dos registros do radar permitiu a elaboração da distribuição percentual de veículos de acordo com sua velocidade aproximada: 45

40

40

Veículos (%)

35 30

30

25 20

15

15 10 0

6

5

5 10

20

Para resolver a atividade 4, atente para o fato de que os dados relativos ao número de veículos apresentados no gráfico estão em porcentagem, e que a velocidade média dos veículos que trafegam na avenida é a média aritmética ponderada das velocidades apresentadas no gráfico.

30

40

50

60

3

1

70

80

90

100

Velocidade (km/h)

A velocidade média dos veículos que trafegam nessa avenida é de: a) 35 km/h b) 44 km/h c) 55 km/h d) 76 km/h e) 85 km/h

5 Considere os dados apresentados no gráfico da atividade 4 e calcule: a) a mediana da velocidade dos veículos; b) a moda da velocidade dos veículos. 179

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Atividades integradas 1 Leia o problema e faça o que se pede.

7 Observe a figura e responda às questões.

Uma torneira despeja 15 litros de água por minuto em uma caixa-d’água inicialmente vazia.

Um retângulo de medidas 4 e 8 foi dividido conforme a figura.

a) Complete a tabela. 4

x

1

2

3

5

10

30

Quantidade c de água (em litro)

8

b) A quantidade de litros que há na caixa-d’água é função do tempo? Se for, escreva a lei dessa função. c) Sabendo que a caixa-d’água tem capacidade para 1.800 L, quanto tempo a torneira levará para enchê-la?

2 Veja como os valores de y variam em função de x e

A medida x pode variar de 0 a 4 e, consequentemente, a área y da região rosa varia em função da medida indicada por x. a) Qual é a lei da função que fornece a área da região rosa? b) Determine a área da região rosa para x 5 1.

8 Observe a sequência constituída por varetas.

complete a tabela. x

22

21

0

y

1

2

3

1

2

3

4

1o

5

2o

• Escreva a lei dessa função.

3 Leia o problema, complete a tabela e responda à questão.

3o

Em certa cidade, a tarifa de táxi é calculada da seguinte forma: R$ 3,30 a bandeirada mais R$ 1,60 por quilômetro rodado, ou seja, a tarifa é função do número de quilômetros rodados. Número n de quilômetros rodados

2

3

4

5

• Escreva a lei da função que relaciona a quantidade de varetas do termo x dessa sequência.

9 Associe os gráficos com as leis das funções correspondentes.

Preço p a pagar (em R$)

A

y

4 Responda às questões.

0

B

5 Escolha a alternativa correta. f (12) 2 f (9) (PUC-SP) Sendo f(x) 5 7x 1 1, então __________ é: 3 b) 5

c) 7

1

1

2

x

y

0

1

0

1

x

0 1

x

x

y

D

d) 21

6 Analise cada sequência e escreva uma lei que indique o valor do termo x.

2

1

x . Qual é o a) Considere a função cuja lei é g(x) 5 dXX valor de g(x) para x 5 1.296? b) Sabendo que a lei da função é f (x) 5 3x 1 2, qual é o valor de x se f (x) é igual a 5?

a) 3

y

C

• Qual é a lei que define a função?

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Tempo t (em minuto)

–1

a) 0, 7, 14, 21, 28, ...

I

f (x) 5 2 1

III

f(x) 5 x

b) 2, 5, 8, 11, ...

II

f (x) 5 x 2 1

IV

f(x) 5 x 1 1

180

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07.09.10 10:15:33


Unidade

9

Função afim 1. Função afim Analise a situação a seguir. Em uma confeitaria, o preço do quilograma de bolo é R$ 30,50. O valor pago pelo cliente é função da quantidade de quilogramas de bolo que ele compra. O preço a pagar (y) por x quilograma de bolo é expresso por: y 5 30,50x Observe, na tabela, o cálculo do valor a ser pago por algumas quantidades de bolo e, no gráfico, a representação dos pontos correspondentes. Quantidade de bolo (em kg) x 0

Preço a pagar (em R$)

y

y 5 30,50x 0

2

61,00

4

122,00

6

183,00

305,00 244,00 183,00 122,00 61,00

8

244,00

0

10

305,00

2

4

6

8

10

x

Note que os pontos do gráfico estão alinhados. Como x pode assumir qualquer valor real igual a zero ou maior, o gráfico dessa função é uma linha contínua, que começa no zero e prolonga-se indefinidamente no sentido ascendente. O gráfico dessa função é parte de uma reta. A essa situação corresponde uma função cuja lei (y 5 30,50x) é do tipo y 5 ax 1 b, em que a e b são números reais. Ela tem características de função afim. No caso da função y 5 30,50x, a 5 30,50 e b 5 0. Função afim é toda função cuja lei pode ser escrita na forma y 5 ax 1 b, em que a e b são números reais e x pode ser qualquer número real.

Observação As seguintes leis não indicam funções afins: • y 5 x2 2 1, porque tem um ter-­ mo x2. 1 ​1 1. Essa lei também pode • y 5 ​ __ x ser escrita assim: y 5 x21 1 1. Como há um termo x21, não é uma função afim.

Exemplos As leis a seguir representam funções afins.

• y 5 2x 1 1, em que a 5 2 e b 5 1. • y 5 d​ X 3 ​ Xx  2 7, em que a 5 d​ X 3 ​ X e b 5 ­27. • y 5 210, em que a 5 0 e b 5 210. Quando a 5 0, chamamos a função afim de função constante. 2 ​ 1  1  ​x 2 __ • y 5 ​ x_____ .  Essa lei pode também ser escrita assim: y 5 ​ __ ​ 1 ​ , 2 2 2 1 1 __ __ com a 5 ​    ​e b 5 2​   ​ . 2 2 181

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13.04.11 16:34:27


ATIVIDADES 5 Analise a situação. Duas amigas saem de férias no mesmo período e decidem alugar um carro para fazer uma viagem. O aluguel corresponde a um depósito fixo de R$ 30,00 mais R$ 0,40 por quilômetro rodado.

1 Para cada lei da função, identifique a e b. a) y 5 5x 1 2 b) y 5 2x c) y 5 90 x  ​  d) y 5 2​ __ 2 3x  e) y 5 ________ ​ 24 1 ​   5

Responda: a) Qual é a lei da função que relaciona o preço a ser pago pelo aluguel e os quilômetros rodados? b) Qual será o valor a pagar se elas rodarem 250 quilômetros? c) Se elas pagarem R$ 200,00, quantos quilômetros terão rodado?

CC Aplique

2 Resolva o problema. Beatriz é gerente de uma sorveteria. O lucro de vendas (L) da sorveteria é dado por uma função cuja lei é L(x) 5 6x 2 300, em que x é a quantidade de sorvetes vendidos.

6 Leia o enunciado e responda às questões. Fábio comprou um celular pós-pago. Ele paga R $ 50,00 por um plano mensal com direito a 100 minutos de conversação, mais uma taxa de R$ 0,60 por minuto excedente. a) Qual será o valor de sua conta mensal se o tempo de conversação acumulado for de 115 minutos? b) Sabendo que Fábio pagou R$ 110,00 em determinado mês, qual foi o tempo de conversação acumulado nesse mês?

7 Observe a figura e responda. Alguns quadrados feitos de cartolina, com lado medindo 10 cm, terão seus quatro cantos recortados, conforme a figura. O perímetro de cada figura é uma função de x.

• Qual é a quantidade mínima de sorvete que Beatriz precisa vender para obter lucro?

3 Identifique as funções afins. (Considere que x pode

x

assumir qualquer valor real.) a) y 5 5x 2 8 b) y 5 d​ X 2 ​ X  c) y 5 (x 1 2)2 1 (x 2 1)2 d) y 5 (x 1 2)2 2 (x 2 1)2 e) y 5 (x 1 2) 8 (x 1 5) 2 (x 1 3) 8 (x 1 4)

10 cm

a) Qual é o perímetro da figura se x 5 1 cm? E se x 5 3 cm? b) Determine a lei de formação dessa função. c) Classifique essa função.

4 Analise a situação e responda às questões. Uma empresa de telefonia fixa anuncia ligações interestaduais a R$ 0,20 o minuto. a) Quanto custa uma ligação com duração de 10 minutos? E de meia hora? b) Se determinada ligação custou R$ 14,00, qual foi sua duração? c) A relação entre a duração de uma ligação e seu custo pode ser considerada uma função? Justifique.

x

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CC Pratique

8

Responda. Uma função f é tal que: f (2) 5 3, f (3) 5 5 e f(5) 5 10 A função f é função afim? Justifique.

182

181_199_U9_V9.indd 182

07.09.10 13:12:47


Gráfico da função afim O gráfico da função y 5 30,50x, apresentado na abertura desta Unidade, é parte de uma reta. Veja agora estes dois gráficos:

x

f(x)

0

2

21

3

2

0

x  ​1 1 g(x) 5 ​ __ 3 y

f(x) 5 2x 1 2 y

x

3 2 –1 0

2

g(x)

3

2

23

0

x

2 –3

0

3 x

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O gráfico de uma função afim é sempre uma reta não perpendicular ao eixo x, fato já provado por matemáticos. Por isso, para traçar esse gráfico, precisamos de apenas dois pontos. Esse gráfico corta o eixo y em um único ponto. Esse ponto é o par ordenado (0, b).

Gráficos de funções crescente e decrescente Observe os gráficos das funções abaixo. f(x) 5 2x 1 1 y

x

f(x)

21

21

0

1

1

3

2

5

g(x) 5 22x 1 1 y

x

5 3 –1

1 0 –1

1 2

x

g(x)

5

22

5

21

3

0

1

1

1

21

–2 –1 0 –1

3 1 x

Temos: • Na função f, aumentando o valor de x, o valor de f(x) aumenta. • Na função g, aumentando o valor de x, o valor de g(x) diminui. Para toda função do tipo y 5 ax 1 b: • quando a é positivo, o gráfico da função é crescente; • quando a é negativo, o gráfico é decrescente; • quando a é igual a zero, a lei da função é: y 5 b. Nesse caso, o gráfico coincide com o eixo x ou é paralelo a ele. Portanto: Quando a . 0, a função afim é crescente. Quando a , 0, a função afim é decrescente. Quando a 5 0, a função afim é constante.

Exemplos x  ​; como a , 0, a função f é decrescente. • f (x) 5 2​ __ 2 • g (x) 5 d​ X 2 ​ Xx  ; como a . 0, a função g é crescente.

• h (x) 5 0; como a 5 0, a função h é constante. 183

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Exercício resolvido Posições relativas entre retas

1. Construir, em um mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções f e g cujas leis são: f(x) 5 x 1 1 e g(x) 5 2x 1 1 Classificar as retas construídas em concorrentes, paralelas ou coincidentes. CCResolução Atribuindo valores para x e calculando os valores correspondentes para f(x) e g(x), podemos construir os gráficos das duas funções. Outra forma de resolver o problema é analisar a lei das duas funções. Como a função f é crescente e a função g é decrescente, independentemente de suas localizações no plano cartesiano, essas retas irão se encontrar em um ponto. Então as retas são concorrentes.

2 1

Isso não significa que duas funções crescentes ou duas funções decrescentes terão como gráficos retas paralelas. Quando ocorrerem essas situações, é preciso construir os gráficos para, então, analisar as retas.

–1 0

x

1

ATIVIDADES CC Pratique

1

3

Associe a lei da função ao respectivo gráfico. A y 5 2x 2 1 B I

II

2

1x y 5 __ 2

y

y

y0

y 0

0

0

y

y

y

y

0

0

0

0

y 5 4x

C

a)

x21 D y 5 _____ 2 III x

x

x

x

IV

x

x

x

x

Observe os gráficos e classifique as funções correspondentes a eles em crescente, decrescente ou constante.

y

y

y0

y 0

0

0

b)

y

0

x

x

x

x

y

y

y

y

0

0

x

x

0

0

x

x

4

5

Construa no caderno o gráfico de cada função. a) y 5 x 1 2 c) y 5 2x b) y 5 21 2 2x d) y 5 x 1 1

6

x

c)

y

0

x

y

0

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

y

x

Classifique as funções em crescente, decrescente ou constante. a) f(x) 5 24x 1 11 c) h(x) 5 2x 2 4 1 b) g(x) 5 8x 1 1 d) m(x) 5 2__ 4 Responda. a) A reta que passa pelos pontos (2, 7) e (21, 21) é gráfico de uma função crescente ou decrescente? b) A reta que passa pelos pontos (1, 1) e (2, 23) é gráfico de uma função crescente ou decrescente? Construa em um mesmo sistema cartesiano as funções f(x) 5 2x, g(x) 5 2x 1 3 e h(x) 5 2x 2 3. O que se pode concluir sobre os gráficos de f, g e h?

184

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Zero da função afim Em toda função, o valor de x para y 5 0 é chamado zero da função. No caso da função afim, de lei y 5 ax 1 b, com a  0, o zero da função b será um único número x 5 2​ __ a  ​, dado pela raiz da equação ax 1 b 5 0. No gráfico, o zero da função é a abscissa do ponto em que a reta intercepta o eixo x. Acompanhe a determinação do zero da função y 5 2x 2 1. Quando y 5 0, temos: 2x 2 1 5 0 2x 5 1 x 5 __ ​ 1  ​ 2 Portanto, __ ​ 1 ​  é o zero dessa função. 2 Representando graficamente, temos:

Uma função afim sempre tem um zero da função?

y 1

0

1 — 2

x

1

zero da função

ATIVIDADES CC Pratique

4 Identifique.

1 Determine o zero das funções considerando que x pode assumir qualquer valor real. a) y 5 27x 2 3 c) y 5 6x 2 1 x  b) y 5 x 1 __ ​ 5 ​   d) y 5 _____ ​ 1 2 ​ 3 3 2 Construa o gráfico de f e indique nele o zero dessa função. f (x) 5 24x 1 __ ​ 1  ​ 4 3 Analise a tabela e responda às questões. A tabela abaixo foi usada na construção do gráfico de uma função afim. x

22

21

0

1

2

y

3

2

1

0

21

a) Qual é o zero da função? b) Em que ponto o gráfico dessa função intercepta o eixo y?

Dois gráficos interceptam-se em um mesmo ponto no eixo x. Identifique as funções que determinam esses gráficos. a) y 5 2x 1 2 c) y 5 x 1 1 b) y 5 2x 2 2 d) y 5 3x 1 6

5 Corrija a afirmação. O zero da função f, em que f (x) 5 4x 2 12, é 6. CC Aplique

6 Descubra o valor de m de modo que o gráfico da função f (x) 5 3x 1 m 2 2 corte o eixo y no ponto (0, 4).

7 Determine, sem construir os gráficos, os pontos em que as funções abaixo interceptam os eixos x e y. a) f (x) 5 2 2 __ ​ x  ​  2 b) f (x) 5 2 2 x

185

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07.09.10 13:12:50


Análise do gráfico de uma função afim Em determinadas situações, é interessante analisar o gráfico de uma função afim. Veja, por exemplo, o gráfico abaixo. Ele indica o faturamento de certa indústria com a produção de bicicletas no ano de 2009. No eixo y, é representado o faturamento (prejuízo ou lucro); no eixo x, é representada a quantidade de bicicletas vendidas. Faturamento (em R$)

Faturamento em 2009

334 Quantidade de bicicletas

Note que, se vender menos de 334 bicicletas, a indústria terá prejuízo, pois todos os valores de f (x) para x , 334 são negativos. Em contrapartida, se vender mais de 334 bicicletas, a indústria terá lucro, pois todos os valores de f (x) para x . 334 são positivos. Analisar o gráfico de uma função afim, de lei f (x) 5 ax 1 b, significa verificar para quais valores de x a função f (x) é positiva, para quais valores é negativa e para qual valor é nula. Vamos separar essa análise em dois casos: • quando a função é crescente; • quando a função é decrescente.

Função crescente Para fazer essa análise, não precisamos construir o gráfico da função. Basta fazer um esboço indicando o zero da função e se ela é crescente ou decrescente. Quando a função f (x) 5 ax 1 b é crescente (a . 0), temos:

b –— a

+ x

b • para x 5 2​ __ a ​, f (x) 5 0; b • para x . 2​ __ a ​, f (x) . 0; b • para x , 2​ __ a ​, f (x) , 0.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

0

Veja como analisamos o gráfico da função f (x) 5 2x 1 2. Sabemos que a função é crescente, pois a 5 2. Então, esboçamos o gráfico da função e estudamos o sinal.

+ –1 –

x

zero da função

Verificamos pelo esboço que: • para x 5 21, f (x) 5 0; • para x . 21, f (x) . 0; • para x , 21, f (x) , 0.

Portanto, a função se anula para x 5 21, é positiva para x . 21 e é negativa para x , 21. 186

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07.09.10 13:12:51


Função decrescente Quando a função f (x) 5 ax 1 b é decrescente (a , 0), temos:

+

b • para x 5 2​ __ a ​, f (x) 5 0; b • para x . 2​ __ a ​, f (x) , 0; b • para x , 2​ __ a ​, f (x) . 0.

b –— a x

Veja como analisamos o gráfico da função f (x) 5 22x 2 2. A função é decrescente, pois a 5 22. Esboçando o gráfico da função, verificamos que: • para x 5 21, f (x) 5 0; • para x . 21, f (x) , 0; • para x , 21, f (x) . 0.

+ –1

x

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

– zero da função

Portanto, a função se anula para x 5 21, é negativa para x . 21 e é positiva para x , 21.

ATIVIDADES CC Pratique

CC Aplique

1 Analise e responda.

4 Dê exemplos.

Observe o gráfico da função f (x) 5 2x 1 3. y 3

0

3

x

a) Para qual valor de x o valor de f (x) é 0? b) Para quais valores de x temos f (x) . 0? c) Para quais valores de x temos f (x) , 0?

2 Determine para quais valores de x a função f tem valores de f (x) positivos, negativos e nulo. a) f (x) 5 7x 2 3

c) f (x) 5 5x 1 1

b) f (x) 5 2x 1 8

d) f (x) 5 2​__  x  ​  3

3 Responda.

Considere a função constante cuja lei é f (x) 5 b. Para quais valores de x o valor de f (x) é maior que 0? E menor que 0?

Escreva a lei de três funções que tenham as seguintes características:

• para x 5 2​__  1  ​, f (x) 5 0; 2 • para x , 2​__  1  ​, f (x) , 0; 2 • para x . 2​__  1  ​, f (x) . 0. 2

5 Resolva o problema no caderno. O lucro de uma empresa com a produção de x peças é dado pela lei da função f (x) 5 50x 2 500, com x 7 N. Quantas peças essa empresa precisa produzir, no mínimo, para ter lucro?

6 Escolha uma alternativa. Considere a lei de uma função f (x) 5 ax 1 b. Se os pontos (1, 2) e (21, 0) pertencem ao gráfico de f, então f (x) . 0 para: a) x . 0 c) x . 1 b) x . 2​__  1 ​   d) x . 21 2

187

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Função linear

A função linear é um caso particular da função afim. Sua lei é y 5 ax, para qualquer a real diferente de zero. Exemplos • A função que relaciona o preço y pago pelo cliente e a quantidade x de bolo que ele compra, descrita no início desta Unidade. y 5 30,50x indica uma função linear. • A função que relaciona o perímetro y do quadrado e a medida x de seu lado. y 5 4x indica uma função linear. Como todo gráfico de função afim, o gráfico da função linear também é uma reta, com a particularidade de sempre passar pelo ponto (0, 0). Veja o gráfico da função linear f (x) 5 22x:

Exemplos Veja algumas leis que indicam uma função linear: • y 5 2x x • y 5 __ 2 2x • y 5 dXX

1

2

0

x

–2 –4

Observação O zero de uma função linear sempre terá valor igual a 0.

Exercício resolvido

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

y

Determinação da lei da função

1. Escrever a lei da função linear que passa pelo ponto (1, 2). CCResolução

A lei de uma função linear é do tipo: y 5 ax Para escrever a lei dessa função linear, precisamos descobrir para qual valor de a o gráfico passa por (1, 2). Como o ponto (1, 2) pertence à reta do gráfico, podemos substituir os valores de x e de y na lei da função e encontrar o valor de a.

188

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2. Proporcionalidade nas funções As funções lineares apresentam proporcionalidade direta entre os valores de x e de y. Para entender melhor, acompanhe a situação a seguir. Por recomendação médica, Lúcia faz caminhadas todos os dias pelo calçadão da praia. Ela controla a distância que percorre contando a quantidade de canais pelos quais passou. Lúcia pode medir a distância dessa forma porque, em sua cidade, os canais distam 300 m um do outro e ela inicia a caminhada bem no ponto onde há um canal. A distância y que Lúcia percorre é função do número x de canais pelos quais ela passa durante a caminhada.

x e y são diretamente proporcionais

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x

y

y

0

0

900

1

300

600

2

600

300

3

900

0

1

2

3

x

A lei dessa função é y 5 300x. Trata-se, portanto, de uma função linear. Os valores de y são diretamente proporcionais aos valores de x, porque, dobrando o valor de y, o valor de y também dobra; triplicando o valor de x, o valor de y também triplica. Você já viu que, nas grandezas diretamente proporcionais, as razões entre os valores das grandezas são iguais. Nesse caso, como a função apresenta proporcionalidade direta entre os valores de x e de y, podemos escrever a igualdade das razões: 3   ​  2   ​ 5 ​ ____ ____ ​  1   ​ 5 ​ ____ 300 600 900 Em algumas funções, os valores de x e de y não apresentam proporcionalidade direta; nesse caso eles podem ser inversamente proporcionais ou não ser proporcionais.

x e y são inversamente proporcionais

y

1

1

2

1  ​ ​ __ 2 1 ​  ​ __ 3 __ ​ 1 ​  4

3 4

As funções lineares decrescentes também apresentam proporcionalidade direta. Veja a função linear de lei y 5 2x: x

y

0

0

1

21

2

22

y 1 0 –1

Veja a função dada pela lei y 5 __ ​ 1x ​: x

Observação

2 x

–2

Os valores de y também são diretamente proporcionais aos valores de x, porque, dobrando o valor de x, o valor de y também dobra.

y 1 1 2 1 3 1 4

0

1

2

3

4

x

Nesse caso x e y são inversamente proporcionais, pois o produto dos valores de x pelos valores de y é constante. 1  ​5 3 8 __ ​ 1  ​5 4 8 __ ​ 1  ​ 1 8 1 5 2 8 ​ __ 4 2 3 189

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x e y não são proporcionais Analise a função dada pela lei y 5 x2: x

y

0

0

1

1

2

4

3

9

y 9

4 1 0 1 2 3

x

Aumentando a medida do lado desse quadrado, obtemos outros quadrados, de áreas diferentes. A área não aumenta na mesma proporção em que aumentamos a medida do lado.

As razões entre os valores de x e de y não são iguais: __ ​ 1  ​i __ ​ 2  ​i __ ​ 3  ​ 1 4 9 Observação A função afim de lei y 5 ax 1 b, com b  0, não apresenta proporcionalidade entre os valores de x e de y. Veja, por exemplo, os pares da função afim y 5 2x 1 1: y

0

1

1

3

2

5

y

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x

5 3 1 0 1 2

x

As razões entre os valores de x e de y não são iguais: __ ​ 0  ​i __ ​ 1  ​i __ ​ 2  ​ 1 3 5 análise de uma situação Nos estudos científicos atuais, é comum usar o conceito de função para analisar a variação entre duas grandezas. A tradução de uma situação real para um modelo matemático é chamada de modelagem. Nesse processo, são descartados os dados irrelevantes e usadas aproximações para o estudo da situação pelo modelo matemático. Veja, por exemplo, o modelo matemático da depreciação do valor de um automóvel. Valor (R$) 20.000 17.000 15.000 13.000

0

Carro zero-quilômetro.

1

2

3

4

5

6

7

8

Tempo (ano)

No eixo vertical, está representado o valor (em real) de determinado automóvel. Note que o preço varia em função do tempo de uso do veículo, representado no eixo horizontal. Com o passar do tempo, o valor do automóvel diminui. Entre 2 e 6 anos de uso, a variação do preço em função do tempo obedece à lei de uma função afim: f (x) 5 21.000x 1 19.000 Por meio dessa lei, podemos deduzir o valor do automóvel para qualquer tempo entre 2 e 6 anos. Por exemplo: para x 5 3, f (3) 5 21.000 8 3 1 19.000 5 16.000 O valor do automóvel, depois de 3 anos de uso, é 16.000 reais.

Carro após 6 anos de uso.

190

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ATIVIDADES CC Pratique

CC Aplique

1 Resolva.

7 Determine a lei de formação das funções lineares representadas pelos gráficos. a) yy c) yy yy yy

Marieta adora suco. Para prepará-lo, ela usa 3 copos de água para cada copo de suco concentrado. Complete a tabela com a quantidade de copos de água que devem ser acrescidos para cada quantidade de copos de suco concentrado. Quantidade de copos de água

1 11 1

1 11 1

Quantidade de copos de suco concentrado

0 00 0

4 6

2 22 2

0 00 0

xxxx

b) yyyy

d) yyyy

2 22 2

8 88 8

9

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2 Responda.

0 00 0

O perímetro y de um hexágono regular pode ser escrito em função da medida x de seu lado. a) Qual é a lei que relaciona os valores de y e de x? b) Essa lei é de uma função linear? Em um restaurante que vende comida por quilograma, a balança é programada para calcular o preço a ser pago. O quilograma da comida custa R$ 15,00. a) Escreva a lei da função que relaciona o preço y a pagar e a quantidade x de quilograma de comida. b) Quanto custarão 600 gramas de comida nesse restaurante?

r

1

C

2p

2

3 6p

10 10p

Um automóvel percorre certa distância com velocidade constante de 60 km/h. a) Escreva a lei da função que relaciona a distância y, em quilômetro, e o tempo x, em hora, do percurso. b) Determine quantos quilômetros o automóvel percorreu depois de 3,10 horas. É política de uma empresa investir 15% de seu lucro anual em benefícios para os funcionários. No ano passado, o lucro foi de R $ 300.000,00, e R$ 45.000,00 foram investidos em uma sala de ginástica para os funcionários. a) Escreva a lei da função do benefício b em relação ao lucro L. b) Qual será o valor do benefício para um lucro de R$ 550.000,00?

x

5 Responda. Qual é a lei da função linear que passa pelo ponto (21, 5)?

6 Construa os gráficos das funções: b) f (x) 5 __ ​ x  ​   2

xxxx

9 Resolva o problema.

• Qual dos gráficos representa uma função linear?

a) f (x) 5 3x

10 10 10 10

• Essa função é linear? Justifique.

y

0

5 55 5

10 Leia o enunciado e responda.

Gráfico da função g

x

0 00 0

xxxx

O comprimento C de uma circunferência varia em função de seu raio r segundo a relação C 5 2pr.

4 Analise os gráficos e responda.

0

1 11 1

8 Complete a tabela e responda.

3 Resolva o problema.

y

xxxx

4 44 4

x

Gráfico da função f

1 11 1

c) f (x) 5 __ ​ x  ​  3

11

Resolva o problema. Escreva a lei da função que relaciona a diagonal d e o lado L do quadrado.

191

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Tratamento da informação Calcular a probabilidade 1 Leia o problema e resolva as questões no caderno. Dois amigos construíram dois dados para cada um. Jonas numerou as faces de seus dados com números naturais consecutivos de 3 a 8. Lucas numerou as faces dos seus dados com números naturais consecutivos de 6 a 11.

Lembre que, para calcular a probabilidade, você deve encontrar a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A seguir, eles inventaram um jogo: os dois lançam seus dados duas vezes e ganha 1 ponto quem obtiver uma soma maior que 9 e menor que 15. a) Quais são os possíveis resultados dos lançamentos dos dados de Lucas e de Jonas? Faça uma lista. b) Quantas são as possibilidades de Jonas ganhar um ponto? E quantas são as possibilidades de Lucas ganhar um ponto? c) Quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo: Jonas ou Lucas? d) Volte à situação inicial do jogo e modifique as regras, sem mudar a numeração dos dados, para que os dois tenham a mesma probabilidade de fazer pontos nesse jogo.

2 Observe os dados da tabela e responda às questões. Pedro realizou uma pesquisa entre universitários sobre a prática de atividades no centro esportivo, para sortear, entre os alunos, dois livros sobre esportes. O resultado da pesquisa está na tabela abaixo.

Não participam Participam Total

Participação dos universitários nas atividades do centro esportivo Alunos de Alunos de Alunos de Exatas Humanas Biológicas 115 36 87 89 187 100 204 223 187

Total 238 376 614

Dados obtidos por Pedro.

Para responder ao item e, você deverá desconsiderar o aluno que já foi sorteado.

a) Quantos alunos foram pesquisados? b) Quantos alunos são de cursos da área de Exatas? E da área de Biológicas? c) Quantos alunos participam das atividades no centro esportivo? d) Determine a probabilidade de Pedro sortear o primeiro livro para: • um aluno de cursos da área de Humanas; • um aluno que participa das atividades do centro esportivo; • um aluno de cursos da área de Biológicas; • um aluno que não participa das atividades do centro esportivo. e) O primeiro livro foi sorteado para um aluno da área de Exatas, que não participará mais do outro sorteio. Calcule a probabilidade de o próximo livro ser sorteado para outro aluno de cursos da área de Exatas. 192

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3 Leia os dados com atenção para responder às questões. Uma rede de distribuição de filmes fez uma pesquisa, na saída de algumas salas de cinema, para verificar a opinião de adolescentes sobre um filme recém-lançado. Veja os dados obtidos no gráfico abaixo.

Quantidade de adolescentes

OPINIÃO DOS ADOLESCENTES POR FAIXA ETÁRIA 35 30 25 20 15 10 5 0

30

Para responder ao item e, você deverá adicionar a quantidade de alunos de cada grupo, formando um único grupo.

30

25

de 12 a 13 anos de 14 a 15 anos de 16 a 17 anos

20 15

15 10

10 5

Ótimo

Bom

Regular

Nota

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Dados obtidos pela distribuidora de filmes Filmax.

a) Quantos adolescentes foram pesquisados? b) Quantos adolescentes de 12 a 13 anos atribuíram o conceito “ótimo”? E quantos adolescentes de 12 a 13 anos escolheram “regular”? c) Para agradecer aos adolescentes que participaram da pesquisa, a empresa irá sortear alguns brindes. Qual é a probabilidade de ser sorteado um adolescente de 12 a 13 anos que escolheu o conceito “ótimo”? d) Qual é a probabilidade de ser sorteado um adolescente de 12 a 13 anos que atribuiu o conceito “regular”? e) E qual é a probabilidade de ser sorteado um adolescente de 12 a 13 anos que escolheu conceito “ótimo” ou um adolescente de 12 a 13 anos que escolheu “regular”? f) Que relação existe entre a probabilidade encontrada no item e e as probabilidades encontradas nos itens c e d?

4 Encontre a alternativa correta em cada caso.

(Enem) Em um concurso de televisão, apresentam-se aos participantes 3 fichas voltadas para baixo, estando representadas em cada uma delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas ao seu gosto, mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE. Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta, ganhará um prêmio de R$ 200,00. • A probabilidade de o participante não ganhar nenhum prêmio é igual a: 1 1 1 1 a) 0 b) __ c) __ d) __ e) __ 4 6 3 2 • A probabilidade de o concorrente ganhar exatamente o valor de R$ 400,00 é igual a: 1 1 2 1 a) 0 b) __ c) __ d) __ e) __ 6 3 2 3 193

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Atividades integradas 1 Resolva o problema. O gerente de uma loja passou para seus vendedores uma fórmula para calcular o desconto sobre uma mercadoria de preço x reais: f (x) 5 0,1 8 x Calcule o desconto sobre estas mercadorias:

4 Construa o gráfico. Seja x a medida do lado de um triângulo equilátero e y o perímetro desse triângulo. x

a) Escreva a lei da função que relaciona y e x. b) Construa o gráfico dessa função.

2 Leia e responda. No Brasil, nas medições de temperatura, usamos a unidade de medida Celsius. Em outros países, como os Estados Unidos, é usada outra unidade de medida para temperatura, a Fahrenheit. Há uma fórmula que converte uma temperatura registrada em uma unidade em outra unidade: F 5 1,8C 1 32, em que F é a temperatura em Fahrenheit e C é a temperatura em Celsius. Veja, na foto abaixo, a indicação de uma temperatura em Celsius e converta-a na unidade de medida Fahrenheit.

A fórmula S 5 (n 2 2) 8 180° fornece a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo em função do número n de lados. Construindo o gráfico dessa função, obtemos um gráfico que: a) intercepta o eixo x. b) intercepta o eixo y. c) é formado por pontos alinhados. d) é formado por uma reta paralela ao eixo x.

6 Classifique as funções a seguir em C (função crescente) e D (função decrescente). a) y 5 22x 1 8 c) y 5 2x 1 8 b) y 5 22x 2 8 d) y 5 2x 2 8

7 Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso). y –1

1 0 1 –1

3

4

x

a) Para x  21, a função é linear. b) A função é crescente para 21  x  1. c) Em 21  x  1, temos f (x) 5 x. d) A função é constante em 1  x  3. e) Para x  3, temos f (x) 5 x 2 6.

3 Resolva o problema. No mês retrasado, uma empresa investiu R$ 10.000,00 em propaganda, e sua receita foi de R$ 80.000,00. A receita mensal y dessa empresa relaciona-se com o valor x investido em propaganda por meio de uma função afim. No mês passado, a empresa investiu R$ 20.000,00 em propaganda, e sua receita aumentou 50% em relação à receita do mês anterior. a) Determine a receita do mês quando a verba para propaganda for R$ 30.000,00. b) Obtenha a lei dessa função.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

5 Assinale a alternativa correta.

8 Escolha a alternativa correta. Seja a função f definida por f (x) 5 mx 1 t, em que m, x e t são números reais, e representada pelo gráfico abaixo. y

–1 0

x

–2

Nessas condições: a) m 5 2t c) m 5 t b) t 5 2m d) m 1 t 5 0

e) m 2 t 5 4

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9 Classifique cada afirmação abaixo em V (verdadeira) ou F (falsa).

A soma dos zeros das funções y 5 2x 1 1 e y 5 2x 1 6 é: a) 4 b) 2 c) 22 d) 24

y 5

14 Assinale a alternativa correta.

4

(Cescem-SP) A figura representa a função y 5 ax 1 b. O 1 é: valor da função no ponto x 5 2__ 3

3 2 1

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

0

13 Assinale a alternativa correta.

y 1

2

3

4

5

6

x

a) Esse gráfico é de uma função. b) A função é crescente para 3  x  5. c) A função é decrescente para x . 2. d) f (3) 5 5 e) A função é crescente para 1 , x , 3.

–2 –6

–4

–1 0 –2 –3

b) 2,6

c) 2,5

10 Calcule. Preocupado com seu condicionamento físico, um atleta pediu a seu treinador que marcasse o tempo, em segundo, que ele levava para percorrer determinado percurso, em metro. Os dados obtidos foram representados no gráfico:

a) 2,8

7 6 5 4 3 2 1 2

d) 1,8

x

e) 1,7

15 Assinale a alternativa da lei da função linear descrita.

Espaço (metro) 60 40 20 0

40

60 80

Tempo (segundo)

Determine a lei de formação da função nos intervalos entre: a) 0 e 40 s b) 40 e 60 s c) 60 e 80 s • O que ocorreu com o atleta entre os instantes 40 s e 60 s?

11 Determine o zero da função afim sabendo que f (2) 5 5 e f (3) 5 210.

12 Assinale a alternativa correta. Determine para que valores de a a função de lei f (x) 5 (3 2 2a)x é decrescente. 3 a) a . 0 c) a 5 __ 2 3 3 d) a . __ b) a , __ 2 2

Em certa região, devido às fortes geadas, o preço dos produtos agrícolas subiu 15%. A expressão que relaciona os preços anteriores x e os preços posteriores y a esse aumento é: a) y 5 0,15x c) y 5 15x b) y 5 0,75x d) y 5 1,15x

16 Responda. Depois de intensa campanha salarial, uma empresa corrigiu o salário de seus funcionários multiplicando-o por 1,32. a) Qual é a expressão que relaciona o novo salário y em função do antigo salário x? b) Qual foi a porcentagem de aumento? c) Construa o gráfico dessa função.

17 Determine para que valores de x as funções a seguir têm f (x) . 0. a) y 5 x 2 5 b) y 5 23x 1 6

c) y 5 2x 1 4 d) y 5 25x 2 20 195

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Compreender um texto Algodão-doce Pesquisas de órgãos que avaliam tendências de consumo indicam que as vendas de doces aumentam nos períodos de crise econômica. Isso acontece porque muitas pessoas consideram reconfortante o consumo de alimentos ricos em açúcar. No entanto, como sabemos, uma alimentação equilibrada, sem excessos de qualquer tipo, é mais adequada à saúde. Nos pontos de venda especializados, supermercados, empórios e padarias, encontramos inúmeras variedades de doces para atender a todos os gostos. Nesse universo tão diversificado, também é possível encontrar doces fabricados com adoçantes artificiais, elaborados especialmente para quem segue dieta com restrição de açúcar, como os diabéticos. Mas há doces que não poderiam ser feitos sem o açúcar, como o algodão-doce, um clássico apreciado

por adultos e crianças. Não há certeza acerca da origem do algodão-doce, mas acredita-se que tenha sido criado nos Estados Unidos, em 1897, por John. C. Wharton e William Morrison. Sua matéria-prima é o açúcar cristal, branco ou colorido. O resto fica por conta de uma máquina elétrica muito simples, composta de um recipiente com um cilindro oco no centro, cuja parede é cheia de furos. O cilindro gira rapidamente com velocidade de 3.500 rotações por minuto e aquece o açúcar cristal a 150 °C, derretendo-o. O açúcar se transforma em uma calda grossa que vai saindo pelos furinhos do cilindro. Em contato com o ar, a calda esfria e se transforma em fios bem finos que são enrolados num palito. Está pronto! Um quilograma de açúcar cristal rende cerca de 50 algodões-doces e uma máquina profissional pode fazer até 150 algodões-doces por hora.

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ATIVIDADES 1

Por que, de acordo com pesquisas, o consumo de doces aumenta nos períodos de crise?

2

Os doces elaborados com adoçantes artificiais são indicados para:

5

A quantidade de algodões-doces é função da quantidade de quilograma de açúcar? Em caso afirmativo, escreva a lei que descreve essa função.

6

Mônica tem uma máquina de algodão-doce e foi contratada para servi-los em uma festa de crianças. Supondo que compareçam 130 crianças, quantos quilogramas de açúcar cristal ela deverá levar à festa prevendo que cada criança consome, em média, 3 unidades do doce?

7

Você procura manter uma alimentação adequada? Dê um exemplo de uma refeição nutritiva e equilibrada.

a) qualquer pessoa que goste de doces. b) pessoas que seguem dietas com restrição de açúcar. c) quem não gosta de doces. d) pessoas que preferem doces artificiais.

3

Qual é a matéria-prima do algodão-doce?

4

Quantos algodões-doces será possível fabricar com 1 kg de açúcar cristal? E com 2 kg? E com 3 kg?

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Para finalizar Um esquema Funções

Uma grandeza em função de outra • Podemos representar uma função em um gráfico cartesiano. y

y

• A fórmula que expressa a relação entre duas grandezas chama-se lei de formação da função ou lei da função. Por exemplo:

0

x

0

x

y 5 2x 1 1 ou f ( x) 5 2x 1 1 variável independente variável dependente

Os gráficos acima podem ser gráficos de funções.

Função afim • Função afim é toda função cuja lei pode ser escrita na forma y 5 ax 1 b, em que a e b são números reais e x pode ser qualquer número real. • Quando a 5 0 ( y 5 b ), temos uma função constante. • O gráfico da função afim é sempre uma reta não perpendicular ao eixo x. y

y

y (0, b)

(0, b)

x

x

Gráfico de uma função crescente

(0, b)

Gráfico de uma função constante

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Quando há correspondência entre duas grandezas e a cada medida de uma grandeza corresponde uma única medida da outra, dizemos que uma dessas grandezas está em função da outra.

x

Gráfico de uma função decrescente

• Para traçar o gráfico de uma função afim, bastam dois pontos. b • O zero da função afim y 5 ax 1 b é o número x 5 2 __ a , com a i 0, dado pela raiz da equação ax 1 b 5 0.

• A função linear é um caso particular da função afim. Sua lei é y 5 ax, para qualquer a real diferente de zero. • Análise do gráfico de uma função afim f ( x) 5 ax 1 b: • a . 0 (função é crescente)

b –— a –

• a , 0 (função é decrescente)

b –— a

+ –x

+

+ x

b –— a

b –— a

+ –

x

x

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Programa de resolução de problemas

Problemas para resolver 1 Que família! Luís e Dora têm vários filhos. Cada filha tem o mesmo número de irmãos e de irmãs, e cada filho tem o dobro do número de irmãs que de irmãos. Quantos filhos e filhas têm Luís e Dora?

3

O retângulo

O perímetro de um retângulo é 48. Encontre as possíveis medidas para o comprimento x e a largura y. Determine para quais valores de x e de y a área é máxima. y

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x

• Escreva um novo enunciado para o problema, alterando os dados e mantendo a solução. • Dê o problema que você elaborou para um colega resolver e resolva o problema que seu colega elaborou. Verifiquem se a solução se manteve.

2 A prova Numa prova, o professor José Carlos atribuiu 4 pontos a cada questão certa e tirou 2,5 pontos de cada questão errada. João respondeu às 26 questões da prova, mas ficou com zero ponto. Quantas questões João acertou?

• Escreva um novo enunciado para o problema, alterando os dados e mantendo a solução. • Dê o problema que você elaborou para um colega e resolva o problema que seu colega elaborou. Verifiquem se a solução se manteve.

• Escreva um novo enunciado para o problema, alterando os dados e também a solução. • Dê o problema que você elaborou para um colega resolver e resolva o problema que seu colega elaborou. Verifiquem se a solução foi alterada.

4

O cheque

Roberto, ao preencher um cheque, inverteu o algarismo das dezenas com o das centenas. Por isso, pagou a mais a quantia de R$ 180,00. Sabendo que no valor correto o algarismo das dezenas é o dobro do algarismo das centenas, determine o algarismo que foi escrito, no cheque, na casa das dezenas.

• Escreva um novo enunciado para o problema, alterando os dados e também a solução. • Dê o problema que você elaborou para um colega resolver e resolva o problema que seu colega elaborou. Verifiquem se a solução foi alterada.

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ARARIBÁ MATEMÁTICA Guia de estudo

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Organizadora: Editora Moderna Obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna. Editora Executiva: Juliane Matsubara Barroso

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3 edição

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© Editora Moderna, 2010

Elaboração de originais Juliane Matsubara Barroso Bacharel e licenciada em Matemática pela PUC de São Paulo Valter Barroso Junior Licenciado em Física pela Universidade Santa Cecília

Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso Edição de texto: Fernando Savoia Gonzalez, Juliana Ikeda, Lucas Maduar Carvalho Mota, Regina Gimenez Assistência editorial: Everton Jose Luciano, Rosane Limoli Paim Pamplona Leitura técnica: Maria Cecília Bittencourt Mastrorosa, Tizue Kondo Fukumoto Preparação de texto: Denise Katchuian Dognini Coordenação de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho Homma Projeto gráfico: Everson de Paula Capa: Aurélio Camilo Arte e fotografia: Tic Tac Toe, ou jogo da velha 3D. © Cortesia Origem Jogos/Foto Ricardo Toscani Coordenação de produção gráfica: André Monteiro, Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva Editoração eletrônica: Formato Comunicação Ltda. Ilustrações: André Ceolin, Biry Sarkis, Faustino, Rogério Coelho, Weberson Santiago Cartografia: Alessandro Passos da Costa Coordenação de revisão: Elaine C. del Nero Revisão: Ana Paula Luccisano Coordenação de pesquisa iconográfica: Ana Lucia Soares Pesquisa iconográfica: Camila D’Angelo, Vera Lucia da Silva Barrionuevo As imagens identificadas com a sigla CID foram fornecidas pelo Centro de Informação e Documentação da Editora Moderna. Coordenação de bureau: Américo Jesus Tratamento de imagens: Alexandre Petreca, Arleth Rodrigues, Fábio N. Precendo, Rubens M. Rodrigues Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira Silva, Helio P. de Souza Filho, Marcio H. Kamoto Coordenação de produção industrial: Wilson Aparecido Troque Impressão e acabamento:

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Projeto Araribá : matemática : ensino fundamental / obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela Editora Moderna ; editora executiva Juliane Matsubara Barroso. — 3. ed. — São Paulo : Moderna, 2010.

Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. “Componente curricular : Matemática” Bibliografia.

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Barroso, Juliane Matsubara.

10-07254

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 ISBN 978-85-16-06852-3 (LA) ISBN 978-85-16-06853-0 (LP) Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2014 Impresso no Brasil 1 3 5 7 9 10 8 6 4 2

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Sumário

PARTE 1

Números naturais e operações

Vocabulário em contexto — Exploração inicial ..................................................................................... 8 UNIDADE 1 Números naturais 1.. Números naturais ................................................................................................................................................................... 10 2. .Sistemas de numeração . ..................................................................................................................................................... 13 3. .Sistema de numeração indo-arábico . ............................................................................................................................ 14 4. .Sistema de numeração romano . ...................................................................................................................................... 16 O que eu não entendi nesta unidade ................................................................................................................................... 19 Síntese dos conteúdos ............................................................................................................................................................... 20

UNIDADE 2 Adição e subtração com números naturais 1.. Adição com números naturais . ......................................................................................................................................... 21 2. .Subtração com números naturais . .................................................................................................................................. 25 O que eu não entendi nesta unidade ................................................................................................................................... 30 Síntese dos conteúdos ............................................................................................................................................................... 31

UNIDADE 3 Multiplicação e divisão com números naturais 1.. Multiplicação com números naturais ............................................................................................................................. 32 2. .Divisão com números naturais . ........................................................................................................................................ 37 O que eu não entendi nesta unidade ................................................................................................................................... 42 Síntese dos conteúdos ............................................................................................................................................................... 43

UNIDADE 4 Potenciação e raiz quadrada 1.. Potenciação com números naturais ............................................................................................................................... 44 2. .Raiz quadrada . ......................................................................................................................................................................... 46 O que eu não entendi nesta unidade ................................................................................................................................... 48 Síntese dos conteúdos ............................................................................................................................................................... 48

Vocabulário em contexto — Conexões ........................................................................................................ 49

PARTE 2

Divisibilidade: múltiplos e divisores

Vocabulário em contexto — Exploração inicial ..................................................................................... 51 UNIDADE 5 Divisibilidade 1.. Divisibilidade: divisores e múltiplos de números naturais . ................................................................................. 53 2. .Critérios de divisibilidade ................................................................................................................................................... 54 3. .Divisores de um número natural . .................................................................................................................................... 58 4. .Múltiplos de um número natural . .................................................................................................................................... 59 O que eu não entendi nesta unidade ................................................................................................................................... 61 Síntese dos conteúdos ............................................................................................................................................................... 61

UNIDADE 6 mmc e mdc 1.. Números primos ...................................................................................................................................................................... 62 2. .Decomposição em fatores primos ................................................................................................................................... 64 3. .Máximo divisor comum (mdc) ........................................................................................................................................... 66

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4. .Mínimo múltiplo comum (mmc) ........................................................................................................................................ 68 O que eu não entendi nesta unidade ................................................................................................................................... 70

Vocabulário em contexto — Conexões ........................................................................................................ 71

PARTE 3

Frações e operações

Vocabulário em contexto — Exploração inicial ..................................................................................... 72 UNIDADE 7 Números racionais na forma de fração 1.. Números fracionários ........................................................................................................................................................... 73 2. .Situações que envolvem frações ..................................................................................................................................... 79 3. .Frações equivalentes . .......................................................................................................................................................... 81 4. .Comparação de frações ........................................................................................................................................................ 83 O que eu não entendi nesta unidade ................................................................................................................................... 85 Síntese dos conteúdos ............................................................................................................................................................... 86

UNIDADE 8 Operações com números racionais na forma de fração 1.. Adição e subtração de frações .......................................................................................................................................... 87 2. .Multiplicação de frações . .................................................................................................................................................... 88 3. .Divisão de frações .................................................................................................................................................................. 90 4. .Porcentagem ............................................................................................................................................................................ 93 O que eu não entendi nesta unidade ................................................................................................................................... 95 Síntese dos conteúdos ............................................................................................................................................................... 95

Vocabulário em contexto — Conexões ........................................................................................................ 96

PARTE 4

Geometria

Vocabulário em contexto — Exploração inicial ..................................................................................... 97 UNIDADE 9 Geometria: noções iniciais 1.. Geometria em documentos históricos importantes da Matemática ................................................................ 98 2. .Figuras geométricas . ............................................................................................................................................................ 99 3. .Retas, semirretas e segmentos de reta ........................................................................................................................ 100 4. .Ângulos ....................................................................................................................................................................................... 103 O que eu não entendi nesta unidade ................................................................................................................................... 105 Síntese dos conteúdos ............................................................................................................................................................... 105

UNIDADE 10 Polígonos 1.. Polígono . .................................................................................................................................................................................... 106 2. .Triângulo .................................................................................................................................................................................... 109 3. .Quadrilátero .............................................................................................................................................................................. 112 O que eu não entendi nesta unidade ................................................................................................................................... 114 Síntese dos conteúdos ............................................................................................................................................................... 115

Vocabulário em contexto — Conexões ........................................................................................................ 116

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PARTE 5

Números racionais na forma decimal e operações

Vocabulário em contexto — Exploração inicial ..................................................................................... 117 UNIDADE 11 Números racionais na forma decimal 1.. Representação decimal de um número racional . ..................................................................................................... 120 2. .Transformações . ..................................................................................................................................................................... 123 3. .Representação gráfica de números decimais ............................................................................................................ 125 4. .Comparação de números racionais na forma decimal ............................................................................................ 126 O que eu não entendi nesta unidade ................................................................................................................................... 127 Síntese dos conteúdos ............................................................................................................................................................... 128

UNIDADE 12 Operações com números racionais na forma decimal 1.. Adição e subtração de números decimais . .................................................................................................................. 129 2. .Multiplicação com números decimais ............................................................................................................................ 131 3. .Divisão com números decimais ........................................................................................................................................ 133 4. .Potenciação de números decimais . ................................................................................................................................ 136 5. .Cálculo de porcentagens ..................................................................................................................................................... 137 O que eu não entendi nesta unidade ................................................................................................................................... 139 Síntese dos conteúdos ............................................................................................................................................................... 139

Vocabulário em contexto — Conexões ........................................................................................................ 140

PARTE 6

Medidas e Geometria

Vocabulário em contexto — Exploração inicial ..................................................................................... 141 UNIDADE 13 Medidas de comprimento e área 1.. Unidade de medida de comprimento ............................................................................................................................. 143 2. .Perímetro ................................................................................................................................................................................... 146 3. .Unidade de medida de superfície ou unidade de área ........................................................................................... 148 4. .Área de retângulos . ............................................................................................................................................................... 150 O que eu não entendi nesta unidade ................................................................................................................................... 152 Síntese dos conteúdos ............................................................................................................................................................... 153

UNIDADE 14 Medidas de tempo, massa, capacidade e volume 1.. Unidade de medida de tempo ........................................................................................................................................... 154 2. .Unidade de medida de massa . .......................................................................................................................................... 156 3. .Unidade de medida de capacidade ................................................................................................................................. 158 4.. Paralelepípedos retângulos ou blocos retangulares .............................................................................................. 159 5. .Volume dos paralelepípedos ............................................................................................................................................. 160 6. .Unidade de medida de volume ......................................................................................................................................... 161 O que eu não entendi nesta unidade ................................................................................................................................... 164 Síntese dos conteúdos ............................................................................................................................................................... 165

Vocabulário em contexto — Conexões ........................................................................................................ 166

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Conheça o seu Guia de estudo Este material foi produzido com o objetivo de ajudá-lo a compreender melhor os conteúdos estudados nas unidades do seu livro. As atividades propostas neste Guia exploram a compreensão de alguns conceitos e incentivam o treino e a fixação de alguns procedimentos.

Vocabulário em contexto Conexões

Exploração inicial

1

a) Identifique entre as alternativas a seguir aquela que indica o sentido com que a palavra operação foi usada no texto anterior. ( ) Operação é um cálculo matemático. ( ) Operação é uma intervenção cirúrgica. ( ) Operação é qualquer transação comercial. ( ) Operação é uma manobra ou ação militar. b) Que elementos do texto de Moacir Scliar permitiram que você chegasse a essa conclusão?

Números naturais e operações

Vocabulário em contexto — Exploração inicial A

1

Vocabulário em contexto — Conexões 1

Analise as quatro tirinhas abaixo. Cada uma explora a ideia de uma operação. Associe cada tirinha a uma das operações estudadas na Parte 1. A)

2010 UNITED MEDIA/IPRESS

Parte

Operações

No espaço abaixo, represente, por meio de um desenho, uma situação do dia a dia mostrando o que você entende por operação. A seguir, dê um título ao desenho que tenha a palavra operação.

A palavra operação pode ser usada com diferentes significados. Leia o trecho abaixo para conhecer um dos sentidos dessa palavra.

C)

D) B

Arrastar um garoto para o banho é uma operação que exige a mobilização de toda a família, da comunidade, das forças vivas da nação, do exército, do Conselho de Segurança da ONU. Os gritos que então se produzem são de molde a fazer os vizinhos pensar que a crueldade de certos pais ultrapassa todo e qualquer limite.

1

MAURICIO DE SOUSA PRODUÇÕES LTDA.

A palavra operação é usada na abertura da Parte 1 do livro-texto, nas páginas 10 e 11. Escreva, em forma de texto, o significado com que essa palavra foi usada nas páginas citadas.

Algoritmo

Procure na unidade 2 do livro-texto uma frase que explique o significado da palavra algoritmo e escreva-a aqui.

2010 UNITED MEDIA/IPRESS

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3

FERNANDO GONSALES

2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

B)

Moacir Scliar. À prova d’água. In: Para gostar de ler – crônicas de Moacir Scliar. São Paulo: Ática, 1996.

8

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Em cada Parte deste Guia, selecionamos algumas palavras ou expressões que consideramos importantes para o estudo dos temas abordados no livro-texto. O objetivo desse trabalho com vocabulário é ajudá-lo a entender melhor os conteúdos de Matemática e a ampliar as possibilidades de uso desse vocabulário. Ao fazer isso, você vai perceber como uma mesma palavra pode ter sentidos diferentes dependendo do contexto em que é utilizada. A palavra reta, por exemplo, um conceito muito importante para a Matemática, tem sentidos diferentes e vários usos no cotidiano, conforme a situação em que é empregada. Você pode dizer “o campeonato chegou à reta final”; “a casa do meu avô não é muito longe! É uma reta só até lá!”; “a parede da casa era irregular, não era reta”, e esses são apenas alguns sentidos. A diversidade é um traço marcante da nossa língua. O trabalho com vocabulário é proposto em dois momentos: em Exploração inicial, no início de cada Parte deste Guia, com atividades para o registro das ideias preexistentes sobre os termos escolhidos e para os primeiros contatos com os conceitos apresentados no livro-texto; e, no final da Parte, em Conexões, que contém atividades que exploram as conexões dos mesmos termos estudados na Exploração inicial e oferecem mais explicações dos termos após o estudo da Parte, facilitando a incorporação desse vocabulário.

6

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exercícios de treino e de fixação ARARIBÁ – Caderno de Atividades – 6 – Matemática – 3ª Prova

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3. Frações equivalentes 1

Araribá - Caderno de Atividades. – 6º ano – 3ª Prova

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Unidade

Este assunto é desenvolvido nas páginas 133 a 135 do livro-texto.

Escreva a condição para que duas frações sejam equivalentes.

12

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Operações com números racionais na forma decimal

1. Adição e subtração de números decimais 1

Frações equivalentes

2

3

Descreva um processo para simplificar frações.

Leia a descrição e complete a frase com o nome do conceito. Quando o numerador e o denominador de uma fração são números primos entre si, dizemos que a fração é

4

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Neste guia são propostos mais exercícios de treino de um procedimento apresentado no livro-texto. Esses exercícios são organizados de acordo com os títulos numerados de cada unidade. Sugerimos que eles sejam feitos antes de cada bloco de atividades do livro-texto. A cada título numerado, há uma orientação sobre o conteúdo a que se referem os exercícios.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

ARARIBÁ – Caderno de Atividades – 6 – Matemática – 3ª Prova

.

Verifique se os pares de figuras representam frações equivalentes e, se possível, simplifique-as. a)

b)

5

2

Este assunto é desenvolvido nas páginas 218 e 219 do livro-texto.

Calcule. a) 0,15 + 0,1

e) 79,07 – 25,11

b) 0,35 + 1,12

f) 45,03 + 18,07

c) 1,23 – 1,2

g) 87,87 – 87,78

d) 12,33 – 7,55

h) 112,321 – 54,33

Resolva os problemas. a) Gabriel comprou no supermercado um vidro de azeitonas a R$ 2,55, um vidro de cogumelos a R$ 3,31, uma lata de pêssegos a R$ 7,90 e uma garrafa de refrigerante a R$ 3,30. Quanto ele gastou nessa compra?

b) Zeca foi ao cinema com R$ 25,00. Comprou o ingresso por R$ 9,50 e gastou R$ 6,25 na compra da pipoca e R$ 5,10 para comprar o refrigerante.

Resolva o problema. Em um campeonato de futebol, três jogadores do time campeão terminaram com o seguinte número de gols: Pedrinho, 80 gols; Roberto, 60 gols; e Rui, 40 gols. Esse time foi campeão marcando 200 gols nesse campeonato. Determine as frações que representam os números de gols marcados por cada um dos três e pelos demais jogadores em relação ao total de gols marcados pelo time, e escreva-as em forma de frações irredutíveis.

t Quanto Zeca gastou no cinema?

t Quantos reais sobraram?

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o que eu não entendi nesta unidade ARARIBÁ – Caderno de Atividades – 6 – Matemática – 3ª Prova

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Esse é o momento de avaliar o seu aprendizado sobre os temas estudados em cada unidade. Ao listar os exercícios do livro-texto que não conseguiu resolver e associá-los a conteúdos vistos na unidade, você vai perceber o que precisa entender melhor. Para isso, poderá elaborar perguntas ao professor ou conversar com os colegas para estudarem juntos os conteúdos que devem ser revistos e retrabalhados.

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O que eu não entendi nesta unidade

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ARARIBÁ – Caderno de Atividades – 6 – Matemática – 3ª Prova

1

Faça uma lista dos exercícios do livro-texto da unidade 7 que você não conseguiu resolver.

2

Relacione os exercícios que você listou na questão anterior com os conteúdos estudados na unidade 7.

3

Reúna-se com alguns colegas e resolvam juntos os exercícios listados por vocês. Se ainda tiverem dúvidas, perguntem ao professor a fim de esclarecê-las.

4

Invente um problema de comparação de frações. Passe a atividade para um colega resolver. Em seguida, resolva a atividade criada por ele.

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Síntese dos conteúdos Após as atividades de cada unidade deste Guia, você vai sintetizar os principais conteúdos da unidade. Por meio de esquemas, textos ou imagens, você vai estudar, rever e fazer conexões entre os conteúdos que aprendeu, elaborando o seu próprio registro-síntese dos conceitos e assuntos essenciais da unidade.

Síntese dos conteúdos Usando o esquema abaixo, escreva as informações que você achou mais importantes a respeito dos sistemas de numeração aprendidos nesta unidade. Números naturais Indo-arábico

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Romano

Sistemas de numeração

Maia

Babilônico

Egípcio

20

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7

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Parte

1

Números naturais e operações

Vocabulário em contexto — Exploração inicial A

Operações

No espaço abaixo, represente, por meio de um desenho, uma situação do dia a dia mostrando o que você entende por operação. A seguir, dê um título ao desenho que tenha a palavra operação.

2

A palavra operação pode ser usada com diferentes significados. Leia o trecho abaixo para conhecer um dos sentidos dessa palavra.

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1

Arrastar um garoto para o banho é uma operação que exige a mobilização de toda a família, da comunidade, das forças vivas da nação, do exército, do Conselho de Segurança da ONU. Os gritos que então se produzem são de molde a fazer os vizinhos pensar que a crueldade de certos pais ultrapassa todo e qualquer limite. Moacir Scliar. À prova d’água. In: Para gostar de ler – crônicas de Moacir Scliar. São Paulo: Ática, 1996.

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) Identifique entre as alternativas a seguir aquela que indica o sentido com que a palavra operação foi usada no texto anterior. (  ) Operação é um cálculo matemático. (  ) Operação é uma intervenção cirúrgica. (  ) Operação é qualquer transação comercial. ( ) Operação é uma manobra ou ação militar. b) Que elementos do texto de Moacir Scliar permitiram que você chegasse a essa conclusão?

3 A palavra operação é usada na abertura da Parte 1 do livro-texto, nas páginas 10 e 11. Escreva, em forma de texto, o significado com que essa palavra foi usada nas páginas citadas.

B

Algoritmo

1 Procure na unidade 2 do livro-texto uma frase que explique o significado da palavra algoritmo e escreva-a aqui.

9

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1

Números naturais

1. Números naturais Marque X nas situações em que se empregam somente números naturais.

2

Escreva a sequência dos números naturais.

ISRAEL ANTUNES/FOLHAPRESS

FERNANDO FAVORETTO/CID

REPRODUÇÃO

AKIN/FUTURA PRESS

1

Este assunto é desenvolvido nas páginas 12 a 15 do livro-texto.

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Unidade

10

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3

Considerando uma sequência dos números naturais, complete o esquema com os termos “zero”, “antecessor” e “sucessor”. Subtrai-se 1

Adiciona-se 1

Número natural (diferente de )

do número

4

do número

Complete o esquema com os símbolos usados nas comparações de “menor que”, “maior que” e “igual a” e dê exemplos com números naturais.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Para comparar números naturais usamos os símbolos

Exemplo

Exemplo

Exemplo

5

Desenhe uma reta numérica e represente nessa reta os pontos correspondentes aos números 0, 1, 5 e 7.

6

Identifique o antecessor do número natural que está no quadro azul e escreva-o no quadro verde. a)

3

d)

9

g)

21

b)

5

e)

15

h)

28

c)

6

f)

18

i)

102 11

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7 Identifique o sucessor do número natural que está no quadro azul e escreva-o no quadro verde. a)

5

d)

14

g)

b)

8

e)

23

h) 44

c)

11

f)

32

i)

37

99

8 Escreva a sequência de 8 números naturais pares em que o primeiro termo é 4.

10 Analise as sequências a seguir e descubra a regra para encontrar o próximo termo de cada uma. a) 0, 1, 2, 3, 4, ...

b) 2, 4, 6, 8, ...

c) 15, 20, 25, 30, 35, ...

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

9 Escreva a sequência de 6 números naturais ímpares em que o último termo é 17.

d) 20, 30, 40, 50, ...

11 Considerando uma sequência dos números naturais, determine: a) o antecessor de 4.

c) o antecessor do antecessor de 14.

b) o sucessor de 225.

d) o sucessor do sucessor de 78.

12 Resolva. a) Identifique os 4 menores números naturais pares consecutivos que estão entre os números 199 e 210.

b) Identifique os 7 maiores números naturais ímpares consecutivos que estão entre os números 100 e 120.

12

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a) Que time brasileiro venceu mais vezes a Taça Libertadores da América?

BRUNO DOMINGOS/REUTERS

13 Leia o texto e responda. Apenas 8 times brasileiros de futebol conquistaram a Taça Libertadores da América. São eles: São Paulo, em 1992, 1993 e 2005; Santos, em 1962 e 1963; Cruzeiro, em 1976 e 1997; Grêmio, em 1983 e 1995; Flamengo, em 1981; Vasco, em 1998; Palmeiras, em 1999; e Internacional, em 2006 e 2010.

b) Qual foi o primeiro time brasileiro a vencer a Taça Libertadores da América?

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

14 Represente na reta numérica abaixo os pontos correspondentes aos números 999, 1.000, 1.001, 1.002 e 1.003.

2. Sistemas de numeração 1

Traduza os símbolos dos sistemas de numeração maia, babilônico e egípcio para os algarismos indo-arábicos e complete as tabelas.

Troféu da Taça Libertadores da América.

Este assunto é desenvolvido nas páginas 18 a 20 do livro-texto.

Sistemas de numeração

Babilônico

Maia

1

1 5

Egípcio

10

10 100

10.000

13

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2

Utilizando os símbolos dos sistemas de numeração egípcio, babilônico e maia, escreva os seguintes números: Número

Egípcio

Babilônico

Maia

4 10 21 33 49

Traduza os números a seguir para o sistema indo-arábico. a)

c)

e)

b)

d)

f)

3. Sistema de numeração indo-arábico 1

Organize as quatro características principais do sistema de numeração indo-arábico no diagrama abaixo.

Este assunto é desenvolvido nas páginas 21 a 24 do livro-texto.

Dicas: • Esse sistema é decimal? • Esse sistema é posicional? • Há um símbolo para representar a ausência de unidade? Em caso afirmativo, qual é esse símbolo? • Quantos símbolos (ou algarismos) há nesse sistema de numeração e quais são eles?

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3

Sistema de numeração indo-arábico

14

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2 Indique a ordem de cada algarismo de acordo com as posições que ocupam nos números abaixo. a) 3 . 5  7  8 b) 4  9 . 8  7  1

3 Determine o valor do algarismo 8, em unidade, em cada um dos números. a) 1.578

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

b) 32.687 c) 43.822 d) 78.157

4 Complete. Uma indústria produziu 5 dezenas de milhar de camisetas. Isso significa que foram produzidas

camisetas.

5 Escreva os números usando o nome das classes. a) 2.589.000 b) 50.111.069.230

6 Escreva os números usando apenas algarismos. a) um milhão e quinhentos mil b) quatorze bilhões, doze milhões, trezentos mil e sete c) vinte e seis bilhões, quinze milhões, seiscentos e trinta e dois mil e quarenta

7 Escreva o número formado por: a) 6 centenas + 2 dezenas + 1 unidade b) 4 unidades de milhar + 7 dezenas + 3 unidades c) 6 dezenas de milhar + 7 centenas + 8 dezenas + 5 unidades

15

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4. Sistema de numeração romano 1

Escreva a correspondência entre os valores dos símbolos dos sistemas de numeração romano e indo-árabico, completando a tabela abaixo. Sistema de numeração romano

Este assunto é desenvolvido na página 27 do livro-texto.

Sistema de numeração indo-arábico 1

V X 50

D 1.000

2

Acompanhe os procedimentos de conversão do número 1.499, que está no sistema de numeração indo-arábico, para o sistema romano e complete os passos que faltam. Passo a passo

Procedimentos 1 Inicialmente, vamos decompor esse número. 2 A seguir, escrevemos cada parcela dessa adição no sistema de numeração romano. Se precisar, consulte a tabela da atividade anterior e lembre-se de que os símbolos M, C, X e I podem ser repetidos no máximo três vezes seguidas.

3

1.499 1.499 = 1.000 + 400 + 90 + 9

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

C

1.499

Reescreva as frases abaixo usando os símbolos do sistema de numeração romano. Luís 16 foi um dos reis da França no século 18.

No ano 2.001 começou o século 21.

16

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4

Acompanhe os procedimentos para escrever o número MCMLXXIV em algarismos indo-arábicos e complete os passos que faltam. 1 Inicialmente, verificamos se:

• I aparece antes de V ou de X; • X aparece antes de L ou de C; • C aparece antes de D ou de M.

M C M L X X I V 1.000

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2 Agrupamos os símbolos considerando o passo 1 e calculamos o valor de cada agrupamento.

3 Para escrever o número no sistema indo-arábico, basta adicionar os valores obtidos no passo anterior.

5

1.000 – 100 = 900 50 +

+

=

MCMLXXIV

Observe no quadro abaixo a conversão do número MMCIX para o sistema de numeração indo-arábico. Verifique se há algum erro e corrija a transformação, se necessário.

M M C I X 1.000 + 1.000 = 2.000 100 + 1 = 101 10 A representação do número MMCIX no sistema indo-arábico é 2.111 (2.000 + 101 + 10).

17

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Escreva os números a seguir usando o sistema de numeração romano. a) 11

f) 154

b) 37

g) 580

c) 55

h) 1.391

d) 78

i) 2.009

e) 129

j) 3.489

7

Resolva o problema. Acabei de ler o capítulo XXIX de um livro cujo último capítulo é o LX. Quantos capítulos faltam para que eu termine de ler esse livro?

8

Usando algarismos indo-arábicos, escreva os números representados por: a) IV

e) LXI

i) CDXLIV

b) XIII

f) LXXIX

j) DCCXCVIII

c) XIX

g) XCV

k) CMLVII

d) XXVI

h) CCXXXIII

l) MMMCCXCII

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6

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O que eu não entendi nesta unidade 1 Faça uma lista dos exercícios da unidade 1 do livro-texto que você não conseguiu resolver.

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2 Relacione os exercícios que você listou na questão anterior com os conteúdos estudados na unidade 1.

3 Reúna-se com alguns colegas e resolvam juntos os exercícios listados por vocês. Se ainda tiverem dúvidas, perguntem ao professor a fim de esclarecê-las.

4 Invente uma atividade relacionada a sistemas de numeração. Passe a atividade para um colega resolver. Em seguida, resolva a atividade criada por ele.

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Síntese dos conteúdos Usando o esquema abaixo, escreva as informações que você achou mais importantes a respeito dos sistemas de numeração aprendidos nesta unidade. Números naturais Indo-arábico

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para degustação

A coleção aproxima os conceitos matemáticos de situações do convívio social, desenvolvendo o raciocínio lógico. O programa de resolução de problemas estimula a leitura e a organização de dados extraídos de textos com linguagem acessível, incentivando a autonomia para elaborar estratégias próprias de resolução. O programa de tratamento da informação incentiva o uso da linguagem e das ferramentas básicas para a compreensão da disciplina. Acesse o site da coleção e conheça todos os recursos multimídia que preparamos para facilitar a prática pedagógica dos professores adotantes e despertar o interesse dos alunos. Para mais informações sobre o conteúdo e a versão digital para tablet, entre em contato com o seu consultor Moderna!

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Araribá matemática

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Ensino Fundamental II

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