Física I para estudiantes de Ciencia e Ingeniería by Edwin Aldrin Cumpa Barrios

Sumario Introducción

Capítulo Nº 01: Sistema de Unidades. Factores Numéricos de Conversión. 1.1. Unidades Básicas del Sistema Internacional (SI) 1.2. Unidades SI y derivadas. 1.3. Unidades SI derivadas, expresadas a partir de Unidades Básicas y Suplementarias. 1.4. Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales. 1.5. Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres especiales 1.6. Nombres y Símbolos especiales de múltiplos y submúltiplos decimales de unidades SI autorizados. 1.7. Unidades definidas a partir de las unidades SI pero que no son múltiplos o submúltiplos decimales de dichas unidades. 1.8. Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en unidades SI se ha obtenido experimentalmente. 1.9. Múltiplos y Submúltiplos decimales. 1.10. Sistema Inglés de Unidades. 1.11. Factores numéricos de conversión. 1.12. Factores de conversión entre unidades de Longitud, Masa, Densidad, Energía y Energía Específica. Actividad Nº 01: Sistema de Unidades. Factores Numéricos de Conversión.

04 05

Capítulo Nº 02: Dimensión de una magnitud. Principio de Homogeneidad. 2.1. Análisis Dimensional. 2.2. Propiedades de las ecuaciones dimensionales. 2.3. Principio de homogeneidad de la suma y la resta. Actividad Nº 02: Dimensión de una magnitud. Principio de Homogeneidad.

16 17 17 17 18

Capítulo Nº 03: Cinemática de una partícula en una y dos dimensiones en coordenadas rectangulares. 3.1. Introducción a la cinemática de una partícula en coordenadas Rectangulares. 3.2. Características de la velocidad de una partícula en una y dos dimensiones en coordenadas rectangulares. 3.3. Problemas de Aplicación. Cinemática de una partícula en una y dos dimensiones en coordenadas rectangulares. 3.4. Problemas complementarios. Actividad Nº 03. Cinemática de una partícula en una y dos dimensiones en coordenadas rectangulares.

05 07 08 09 09 09 10 10 10 11 12

21 22 22 24 30 34

Capítulo Nº 04: Cinemática de una partícula en el plano en coordenadas polares. 4.1. Introducción a la cinemática de una partícula en coordenadas polares. 4.2. Características de la velocidad de una partícula en el plano en coordenadas polares. 4.3. Problemas de Aplicación. Cinemática de una partícula en el plano en coordenadas polares. Actividad Nº 04. Cinemática de una partícula en el plano en coordenadas polares.

40 41

Apéndice de Tablas y Constantes Físicas Tabla N° 01: Factores de conversión entre unidades de presión. Tabla N° 02: Densidades de algunas sustancias corrientes. Tabla Nº 03: Módulo de Young, Límite elástico y Resistencia a la rotura de algunos sólidos corrientes. Bibliografía

53 54 54

41 43 51

55 55

INTRODUCCIÓN La física, como tal, es el estudio de la naturaleza. Pero hay que verlo en el sentido amplio de la palabra. De hecho, la palabra proviene del griego, que quiere decir naturaleza. Dentro de los estudios que se realiza en la física, podemos encontrar diversos temas, los cuales son desarrollados, de manera empírica, ya que la física, es una ciencia empírica y se le considera, como la más exacta de su tipo. Por lo mismo, es que la física, estudia los fenómenos naturales, las moléculas, el universo, el tiempo, la energía y todo aquello, que podamos considerar, como efecto de la naturaleza. En consecuencia la física es el estudio de la naturaleza, pero en su sentido más amplio. Fueron los griegos, quienes comenzaron a desarrollar, incipientemente, la física. Ya que ellos dejaron de entender todo, como un hecho de los dioses, por lo que quisieron comprender la naturaleza que los rodeaba. Al igual que el espacio y su composición. Claro que los primeros atisbos de la física, fueron bastante pobres. Pero hay que tomar en cuenta, las nulas o precarias herramientas, con que contaban los griegos. De hecho, la mayoría de las investigaciones realizadas, tuvieron un corte, netamente filosófico. Fueron ellos, quienes desarrollaron la teoría, de que la tierra era el centro del universo. La cual fue derribada, recién en el siglo XVII, por Galileo Galilei, el que apoyó férreamente las teorías de Copérnico, sobre el sistema heliocéntrico. O sea, la tierra no era el centro del universo e incluso algo peor, que los astros no giraban alrededor de la tierra, sino que esta giraba alrededor del sol. Debido a esto, Galileo, sufrió la furia de la Inquisición Católica, por proponer tal aberración. Teniendo que negar aquello, que el sabía como algo cierto e irrefutable. Uno de sus grandes aportes a la ciencia y a la física, fue el desarrollo del telescopio. Con el cual, pudo ver mucho más allá, de lo que nunca antes se había visto. Incluso descubrió, que Júpiter poseía diversas lunas. Posteriormente, Isaac newton, realizó grandes descubrimientos en el campo de la física. Aportando con invalorables teorías. Como la ley del inverso del cuadrado, de la gravitación. Asimismo, desarrolla el cálculo de fluxiones, generaliza el teorema del binomio y pone de manifiesto la naturaleza física de los colores. Luego vendrían otros aportes a la estructura de la física, como la termodinámica y la física de los fluidos. Fue durante el siglo XIX y el XX, que la física llegó a ser lo que es hoy en día. En el fondo, pasó de la juventud a la adultez plena. Gracias a la teoría del electromagnetismo, el comienzo de la física nuclear, la teoría de la relatividad general, de Einstein, quien hasta el día de hoy, goza de un sitial privilegiado dentro de la física. Ahora, dentro de la física, existen dos ramas. La física clásica y la moderna. Todo aquello que fue descubierto antes del siglo XX, se inserta en la clásica. Los posterior a éste siglo, es física moderna. La diferencia está, en que en la primera, se estudian fenómenos que ocurren a una velocidad menor que la de la luz. En la moderna, los fenómenos, ocurren a la velocidad mencionada.

Los autores

CAPÍTULO Nº 01: SISTEMA DE UNIDADES. FACTORES NUMÉRICOS DE CONVERSIÓN

CAPÍTULO Nº 01. SISTEMA DE UNIDADES. FACTORES NUMÉRICOS DE CONVERSIÓN 1.1.

Unidades Básicas del Sistema Internacional (SI) Magnitud Longitud Masa Tiempo

Nombre Metro Kilogramo Segundo

Símbolo m kg S

Intensidad de corriente eléctrica Temperatura termodinámica Cantidad de sustancia Intensidad luminosa

Ampere

Kelvin Mol Candela

K mol cd

Unidad de longitud:

El metro (m), es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

Unidad de masa:

El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo

Unidad de tiempo:

El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

Unidad de intensidad de corriente eléctrica:

Unidad de temperatura Termodinámica:

Unidad de cantidad de Sustancia:

Unidad de intensidad Luminosa:

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2 10-7 newton por metro de longitud. El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273.15 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo T) expresada en kelvin, se utiliza también la temperatura Celsius (símbolo t) definida por la ecuación t = T - T0 , donde T0 = 273.15 K por definición. El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas. La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por estereorradián.

Unidades derivadas si dimensión Magnitud

Ángulo plano Ángulo sólido

Nombre

Símbolo

Radián Estereorradián

Rad Sr

Expresión en unidades SI básicas mm-1= 1 m2m-2= 1

Unidad de ángulo plano: El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo que, sobre la circunferencia de dicho círculo, interceptan un arco de longitud igual a la del radio. Unidad de ángulo sólido: El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera, intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por lado el radio de la esfera. 1.2.

Unidades SI derivadas. Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas y suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor numérico igual 1. Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas y suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular. Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien nombres de unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, con preferencia al segundo a la potencia menos uno, y para el momento de fuerza, se prefiere el newton por metro.

1.3.

Unidades SI derivadas, expresadas a partir de Unidades Básicas y Suplementarias. Magnitud Superficie Volumen Velocidad Aceleración Número de onda Masa en volumen Velocidad angular Aceleración angular

Nombre metro cuadrado metro cúbico metro por segundo metro por segundo cuadrado metro a la potencia menos uno kilogramo por metro cúbico radián por segundo radián por segundo cuadrado

Símbolo m2 m3 m/s m/s2 m-1 kg/m3 rad/s rad/s2

Unidad de velocidad:

Un metro por segundo (m/s o m s-1) es la velocidad de un cuerpo que, con movimiento uniforme, recorre, una longitud de un metro en 1 segundo

Unidad de aceleración:

Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m s-2) es la aceleración de un cuerpo, animado de movimiento uniformemente variado, cuya velocidad varía cada segundo, 1 m/s.

Unidad de número de Ondas:

Un metro a la potencia menos uno (m-1) es el número de ondas de una radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a 1 metro.

Unidad de velocidad 6

Un radián por segundo (rad/s o rad s-1) es la velocidad de un cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1 radián.

Angular:

Unidad de aceleración Angular:

1.4.

Un radián por segundo cuadrado (rad/s2 o rad s-2) es la aceleración angular de un cuerpo animado de una rotación uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad angular, varía 1 radián por segundo, en 1 segundo

Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales. Magnitud

Frecuencia Fuerza Presión Energía, trabajo, cantidad de calor Potencia Cantidad de electricidad, Carga eléctrica Potencial eléctrico, Fuerza electromotriz Resistencia eléctrica Capacidad eléctrica Flujo magnético Inducción magnética Inductancia

Nombre

Símbolo

Expresión en otras unidades SI

Expresión en unidades SI básicas

s-1 m kg s-2 m-1 kg s-2 m2 kg s-2

hertz newton pascal joule

Hz N Pa J

watt coulomb

W C

J s-1

m2 kg s-3 s A

volt

W A-1

m2 kg s-3 A-1

ohm

Ω

V A-2

m2 kg s-3 A-2

farad

C V-1

m-2 kg-1 s4 A2

weber tesla

Wb T

V s Wb m-2

m2 kg s-2 A-1 kg s-2 A-1

henry

Wb A-1

m2 kg s-2 A-2

N m-2 N m

Unidad de frecuencia:

Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo periodo es 1 segundo.

Unidad de fuerza:

Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo cuadrado

Unidad de presión:

Un pascal (Pa) es la presión uniforme que, actuando sobre una superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton.

Unidad de energía, trabajo, cantidad de calor: Un joule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton, cuyo punto de aplicación se desplaza 1 metro en la dirección de la fuerza. Unidad de potencia, flujo radiante:

Un watt (W) es la potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 joule por segundo.

Unidad de cantidad de electricidad, carga eléctrica: Un coulomb © es la cantidad de electricidad transportada en 1 segundo por una corriente de intensidad 1 ampere. 7

Unidad de potencial eléctrico, fuerza electromotriz: Un volt (V) es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre estos puntos es igual a 1 watt Unidad de resistencia Eléctrica:

Unidad de capacidad Eléctrica:

Un ohm ( Ω ) es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor. Un farad (F) es la capacidad de un condensador eléctrico que entre sus armaduras aparece una diferencia de potencial eléctrico de 1 volt, cuando está cargado con una cantidad de electricidad igual a 1 coulomb.

Unidad de flujo magnético: Un weber (Wb) es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en un segundo por decaimiento uniforme. Unidad de inducción Magnética:

Unidad de inductancia:

1.5.

Una tesla (T) es la inducción magnética uniforme que, repartida normalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a través de esta superficie un flujo magnético total de 1 weber. Un henry (H) es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en el que se produce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la corriente eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a razón de un ampere por segundo.

Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres especiales. Magnitud

Nombre

Símbolo

Viscosidad dinámica Entropía Capacidad térmica másica

pascal segundo joule por kelvin joule por kilogramo kelvin watt por metro kelvin volt por metro

Pa s J/K J/(kg K)

Expresión unidades básicas m-1 kg s-1 m2 kg s-2 K-1 m2 s-2 K-1

W/(m K)

m kg s-3 K-1

V/m

m kg s-3 A-1

Conductividad térmica Intensidad eléctrico

del

campo

Unidad de viscosidad Dinámica:

Unidad de entropía:

en SI

Un pascal segundo (Pa s) es la viscosidad dinámica de un fluido homogéneo, en el cual, el movimiento rectilíneo y uniforme de una superficie plana de 1 metro cuadrado, da lugar a una fuerza retardatriz de 1 newton, cuando hay una diferencia de velocidad de 1 metro por segundo entre dos planos paralelos separados por 1 metro de distancia. Un joule por kelvin (J/K) es el aumento de entropía de un sistema que recibe una cantidad de calor de 1 joule, a la temperatura 8

termodinámica constante de 1 kelvin, siempre que en el sistema no tenga lugar ninguna transformación irreversible. Unidad de capacidad térmica másica:

Un joule por kilogramo kelvin (J/(kg K) es la capacidad térmica másica de un cuerpo homogéneo de una masa de 1 kilogramo, en el que el aporte de una cantidad de calor de un joule, produce una elevación de temperatura termodinámica de 1 kelvin.

Unidad de conductividad Térmica: Un watt por metro kelvin W/(m K) es la conductividad térmica de un cuerpo homogéneo isótropo, en la que una diferencia de temperatura de 1 kelvin entre dos planos paralelos, de área 1 metro cuadrado y distantes 1 metro, produce entre estos planos un flujo térmico de 1 watt. Unidad de intensidad del campo eléctrico: Un volt por metro (V/m) es la intensidad de un campo eléctrico, que ejerce una fuerza de 1 newton sobre un cuerpo cargado con una cantidad de electricidad de 1 coulomb. 1.6.

Nombres y Símbolos especiales de múltiplos y submúltiplos decimales de unidades SI autorizados. Magnitud Volumen Masa Presión y tensión

1.7.

Símbolo loL t bar

Relación 1 dm3=10-3 m3 103 kg 105 Pa

Unidades definidas a partir de las unidades SI pero que no son múltiplos o submúltiplos decimales de dichas unidades. Magnitud Ángulo plano

Tiempo

1.8.

Nombre litro tonelada bar

Nombre vuelta grado minuto de ángulo segundo de ángulo minuto hora día

Símbolo º ‘ “ min. h d

Relación 1 vuelta= 2 π rad ( π /180) rad ( π /10800) rad ( π /648000) rad 60 s 3600 s 86400 s

Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en unidades SI se ha obtenido experimentalmente. Magnitud

Nombre

Símbolo

Masa

unidad de masa atómica electronvoltio

Valor en unidades SI 1,6605402 10-27 kg

1,60217733 10-19 J

Energía

1.9.

Múltiplos y Submúltiplos decimales. Factor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 10 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

1000 000 000 000 000 000 000 000 1000 000 000 000 000 000 000 1000 000 000 000 000 000 1000 000 000 000 000 1000 000 000 000 1000 000 000 1000 000 1000 100 10 0.1 0.01 0.001 0.000001 0.000000001 0.000000000001 0.000000000000001 0.00000000000000001 0.0000000000000000001 0.000000000000000000001

Prefijo yotta zeta exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

Símbolo Y Z E P T G M K H Da d c m µ n p f a z y

1.10.

Sistema Inglés de Unidades En las unidades del Sistema Inglés la longitud se mide en pies, la fuerza en libras (lb) y el tiempo en segundos (s). Éstas son las unidades básicas de este sistema. En este sistema de unidades la masa es una unidad derivada. La unidad de masa es el slug, que es la masa del material acelerado a un pie por segundo cuadrado por una fuerza de una libra. La segunda Ley de Newton establece que: 1 lb = (1 sulg)(1 pie/s2). De esta expresión obtenemos que: 1 slug = 1 lb – s2/ pie Se tiene también otras unidades de longitud, tales como la milla: (1 mi = 5280 pie); el pie: (1 pie = 12 pulg), así como la kilolibra (1 klb = 1000 lb). En algunas aplicaciones de ingeniería se usa una unidad alternativa de masa llamada libra masa (lbm), que es la masa de un material cuyo peso es de una libra al nivel del mar. El peso al nivel del mar de un cuerpo que tiene una masa de un slug es: W = mg = (1slug)(32.2 pie/s2) = 32.2 lb, por lo que 1 lbm = (1/32.2) slug. Cuando se usa la libra masa, una libra fuerza suele denotarse con la abreviatura lbf.

1.11.

Factores numéricos de conversión Existen ciertos factores que todavía se siguen utilizando en los sistemas de medidas locales o regionales, si bien existen acuerdos internacionales de utilizar los pesos y medidas, según el sistema internacional o más conocido como SI. A continuación, presentamos algunos factores de conversión: 1 cm = 10-2 m 1 km = 103 m 1 milla terrestre = 1.6094 km = 1609.4 m ≈ 1760.06 yd ≈ 5280 pies 1 milla marina = 1.852 km = 1852 m 1 pulgada ≈ 2.54 cm 1 pie = 12 pulgadas ≈ 30.48 cm ≈ 0.3048 m 1 yd = 3 pies ≈ 91.44 cm 1 Å = 0,1 nm 1 m = 1015 fm = 1010 Å = 109nm 1 año-luz = 9,461 x1015m 1 h = 60 min = 3600 s 1 día = 24 h = 86400 s 1 cm2 = 10-4 m2

1 km2 = 106 m2 1 cm/s = 10-2 m/s 1 cm/s2 = 10-2 m/s2 1 N = 1 kg.m/s2 1 kg-f ≈ 9.8 N 1 dina = 10-5 N 1 ergio = 10-7 J 1 HP ≈ 746 W 1 atm = 1.01325x105 Pa = 760 Torr = 760 mm Hg = 1000 mb 1 mm Hg = 1 Torr ≈ 133.32 Pa 1 cal ≈ 4.1868 J 1 kcal ≈ 4186.8 J 1 kcal/(kg.k) ≈ 4186.8 J/(kg.k) 1 dina/cm = 10-3 N/m 10

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.12

M.e.V ≈ 1.6021x10-13 J W.h = 3600 J Kw.h = 3.6 x106 J = 3.6 MJ acre = 43560 pie2; 1 mi2 = 640 acres l = 1000 cm3= 10-3 m3 gal ≈ 3.786 l ≈ 231 pulg3 kg = 1000 g Tm = 1000 kg slug ≈ 14.59 kg ≈ 32.2 lbm lbm ≈ 0.453 kg

1 kg ≈ 6.852 x 10-2 slug 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 = 1 kg/l 1 lb-f ≈ 4.4482 N ≈ (1 slug)(1 pie/s2) 1 lb-f/pulg2 ≈ 6895 Pa ≈ 6.895 k pa 1 bar = 100 kpa = 750 Torr = 105 N/m2 1 pie.lb-f ≈ 1.356 J 1 b.t.u = 778 pie.lb-f ≈ 252 cal ≈ 1054.35 J 1 e.V ≈ 1.6021x10-19 J 1 b.t.u /min ≈ 17.58 W

Factores de conversión entre unidades de Longitud, Masa, Densidad, Energía y Energía Específica Longitud 1 1 1 1

m = 102 cm. milla terrestre = 1.6094 km pie = 12 pulgadas yarda = 3 pies

1 1 1 1

km = 103 m milla marina = 1.852 km pulgada = 2.54 cm pie = 0.3048 m

Masa y Densidad 1 kg = 2.2046 lb 1 g/cm3 = 103 kg/m3 1 g/cm3 = 62.428 lb/ft3

1 lb = 0.4536 kg 1 lb/ft3 = 0.016018 g/cm3 1 lb/ft3 = 16.018 kg/m3

Energía y Energía Específica 1 J = 1 N.m = 0.73756 ft.lbf 1 kJ = 737.56 ft.lbf 1 kJ = 0.9478 Btu 1 kJ/kg = 0.42992 Btu/lb

1 1 1 1

ft.lbf = 1.35582 J Btu = 778.17 ft.lbf Btu = 1.0551 kJ Btu/lb = 2.326 kJ/kg

ACTIVIDAD Nº 01. SISTEMA DE UNIDADES. FACTORES NUMÉRICOS DE CONVERSIÓN. 1.

Las computadoras usan comúnmente muchos millones de transistores, cada transistor ocupa un área de aproximadamente 10 −6 mx10 −6 m = 10 −12 m 2 ¿Cuántos de estos transistores pueden acomodarse en un chip de silicio de 1cm 2 ? Las computadoras de generaciones futuras pueden explotar un acomodo tridimensional de los transistores. Si cada transistor tiene un espesor de 10 −7 m ¿Cuántos transistores podrían acomodarse en un cubo de silicio de 1cm3 ?

Los núcleos de todos los átomos tienen aproximadamente la misma densidad de masa. El núcleo de un átomo de cobre tiene una masa de 1.06 x10 −25 kg y un radio de 4.8 x10 −15 m . El núcleo de un átomo de plomo tiene una masa de 3.5 x10 −25 kg . ¿Cuál es su radio? El núcleo de un átomo de oxígeno tiene una masa de 2.7 x10 −26 kg . ¿Cuál es su radio? Suponga que los núcleos son esféricos.

Las unidades inglesas usan la libra ordinaria, llamada también libra avoirdupois, para especificar la masa de la mayoría de clases de cosas; sin embargo, a menudo se usa la libra troy para medir piedras preciosas, metales preciosos y medicinas donde 1 libra troy = 0.82286 libras avoirdupois. Si adoptamos estas libras diferentes, ¿cuántos gramos hay en una libra troy de oro?, y ¿cuántos en una libra avoirdupois de plumas?

La pica es una unidad de longitud que usan los impresores y los diseñadores de libros; 1 pica =

Cuando se diluye una muestra de sangre humana hasta 200 veces su volumen inicial y se examina microscópicamente en una capa de 0.10 mm de espesor, se encuentra un promedio de 30 glóbulos rojos por cada 100 x 100 µm² (a) ¿Cuántos de estos glóbulos rojos hay en un mm3 de sangre? (b) Los glóbulos rojos de la sangre tienen un promedio de vida de 1 mes y el volumen de sangre de un adulto es de aproximadamente 5 litros. ¿Cuántos glóbulos rojos se generarán cada segundo en la médula ósea de un adulto?

Cuando dos placas de vidrio húmedas se mantienen juntas, al sumergirlas en agua se observa que el agua asciende hasta una altura h dentro del espacio entre las dos placas. Esta altura está relacionada con la distancia d entre las placas; la tensión superficial σ ; la densidad del fluido ρ

1 6 pulgada, que es la distancia estándar entre una línea de dos tipos producida en una máquina de escribir y la siguiente línea (a reglón seguido). ¿Cuántas picas de longitud y anchura mide una 1 hoja estándar de papel de 11 pulgadas de largo y 8 pulgadas de ancho? 2

2σ cos φ . Determine el espaciamiento ρdg entre las placas, si se tiene que para una altura de 49 pies el ángulo de contacto es 0° y la tensión superficial del agua es de 5x10-3 lbf/pie ( ρ agua = 1 g/mL; g = 32.2 pies/s2) y el ángulo de contacto φ , a través de la expresión: h =

Una partícula de radio 0.04 pulg, que se desplaza en el seno de un fluido (agua), desarrolla una potencia motriz de 6.711x10-3 HP. Determine la velocidad de la partícula en pies/s. La viscosidad del agua es 0.105x10-2 kg.m-1.s-1 (Observación: La potencia motriz se utiliza para vencer la resistencia hidrodinámica al movimiento. Al utilizar la Ley de Stokes para describir la fuerza de resistencia resulta que la potencia necesaria para moverse a velocidad v , es: P = 6πµRv 2 ) 12

Nuestro Sol tiene un radio de 7.0 x10 8 m y una masa de 2.0 x1030 kg . ¿Cuál es la densidad promedio? Exprese su respuesta en gramos por centímetro cúbico.

10.

Los púlsares o estrellas de neutrones tiene comúnmente un radio de 20 km y una masa igual a la masa del Sol (2.0 x1030 kg ) ¿Cuál es la densidad promedio de un púlsar como estos? Exprese su respuesta en toneladas métricas por centímetro cúbico.

11.

Fuerza de arrastre: Cuando un cuerpo esférico se mueve en un fluido a velocidad elevada, la fuerza de resistencia (F ) , es proporcional al cuadrado de la velocidad (v 2 ) . Deducir mediante análisis dimensional la dependencia de esta fuerza con la viscosidad µ ; densidad ρ del líquido; y radio r de la esfera.

12.

1 C x ρv 2 A f , donde C x 2 el Área frontal en la que el flujo de fluido incide.

Para grandes velocidades la fuerza de arrastre, viene dado por: Fa = representa el Coeficiente de arrastre, y A f

Determine el valor de este coeficiente de resistencia para un objeto que se mueve en el agua (Densidad del agua = 1 g/cm3), y desarrolla sólo un 60% de su potencia útil: 0.54 HP. La velocidad es de 500 cm/s y su sección máxima en la dirección del movimiento es 15.5 pulg2. (Observación: La potencia mecánica para un movimiento uniforme se define como el producto de la Fuerza por la Velocidad) 13.

Ley de Poiseuille: La pérdida de carga ( A) para un Flujo de Fluidos en una tubería, es proporcional al caudal ( Q ). Deducir mediante análisis dimensional la dependencia de ésta pérdida de carga con la viscosidad µ ; densidad ρ (Observación: A =

del líquido; y radio r del tubo cilíndrico.

∆P , donde ∆P = P1 − P2 = Caída de presión, y l = Longitud de la tubería) l

14.

El flujo de un fluido laminar en una tubería, establece que la pérdida de carga viene determinado 8  Qµ  por: A =  4  , donde Q representa el caudal, µ la viscosidad y r el radio de la tubería. πr  Determine el valor de este radio para un fluido que desarrolla una velocidad de 1060.3 l/s. La pérdida de carga es de 89.58 Pa/m y la Viscosidad del agua es de 0.105x10-1 g.cm-1s-1; (Observación: 1l = 103 cm3)

15.

El aislante térmico usado en construcción suele especificarse en términos de su valor R , definido d , donde d es el espesor del aislante en pulgadas y k es la conductividad térmica. Por como k ejemplo, 3.0 pulg de espuma plástica tendría un valor R de 3.0/0.30 = 10, donde, en unidades inglesas, k = 0.30 Btu.pulg/(pies2.h.ºF). Este valor se expresa como R − 10 . ¿Qué espesor de (a) Espuma de poliestireno y (b) Madera pino, daría un valor R de R − 10 ?, sí: kEspuma de poliestireno -5 -5 = 1.0x10 kcal/(m.s.ºC); kMadera pino = 2.9x10 kcal/(m.s.ºC) [Observación: La transferencia de calor por contacto directo entre objetos que están a diferentes temperaturas se denomina conducción ∆Q kA∆T de calor. La tasa de flujo de calor por conducción está dada por: = ] ∆t d

16.

El aislante térmico usado en construcción suele especificarse en términos de su valor R , definido d , donde d es el espesor del aislante en pulgadas y k es la conductividad térmica. Por como k ejemplo, 3.0 pulg de espuma plástica tendría un valor R de 3.0/0.30 = 10, donde, en unidades inglesas, k = 0.30 Btu.pulg/(pies2.h.ºF). Este valor se expresa como R − 10 . ¿Qué espesor de (a) aglomerado y (b) tabique, daría un valor R de R − 10 ?, sí: kAglomerado = 1.4x10-5 kcal/(m.s.ºC); kTabique -5 = 17x10 kcal/(m.s.ºC) [Observación: La transferencia de calor por contacto directo entre objetos

que están a diferentes temperaturas se denomina conducción de calor. La tasa de flujo de ∆Q kA∆T ] calor por conducción está dada por: = ∆t d 17.

[A] En la biblia, Noé debe construir un arca de 300 cúbitos de largo, 50.0 cúbitos ancho y 30.0 cúbitos de altura. Los registros históricos indican que un cúbito mide media yarda. (a) ¿Qué dimensiones tendría el arca en metros? (b) ¿Qué volumen tendría el arca en metros cúbicos? Para aproximar suponga que el arca es un paralelepípedo. [B] La densidad del mercurio metálico es de 13.6 g/cm3. (a) Exprese esta densidad en kg/m3. (b) ¿Cuántos kilogramos de mercurio se necesitarían para llenar un recipiente de 0.250 L?

18.

[A] El túnel del Canal, o “Chunnel”, que cruza el canal de la Mancha entre Gran Bretaña y Francia tiene 31 mi de longitud. (En realidad, hay tres túneles individuales.) Un tren de transbordo que lleva pasajeros por el túnel viaja con una rapidez media de 75 mi/h en promedio, ¿cuántos minutos tarda el tren en cruzar el Chunnel en un sentido? [B] El material sólido más ligero es el aerogel de sílice, cuya densidad típica es de aproximadamente 0.10 g/cm3. La estructura molecular del aerogel de sílice suele incluir 95% de espacio vacío. ¿Qué masa tiene 1 m3 de aerogel de sílice?

19.

(a) Una muestra de tetracloruro de carbono, un líquido que solía usarse para el lavado en seco, tiene una masa de 39.73 g y volumen de 25.0 mL a 25ºC. Calcule su densidad a esa temperatura. ¿El tetracloruro de carbono flota en agua? (Los materiales menos densos que el agua flotan en ella) (b) La densidad del platino es de 21.45 g/cm3 a 20ºC. Calcule la masa de 75.00 cm3 de platino a esa temperatura. (c) La densidad del magnesio es de 1.738 g/cm3 a 20ºC. Calcule el volumen de 87.50 g de este metal a esa temperatura.

20.

(a) Un cubo de metal de Osmio de 1.500 cm por lado tiene una masa de 76.31 g a 25ºC. Calcule su densidad en g/cm3 a esa temperatura. (b) La densidad del metal de titanio es de 4.51 g/cm3 a 25ºC. ¿Qué masa de titanio desplaza 65.8 mL de agua a 25ºC? (c) La densidad del benceno a 15ºC es de 0.8787 g/mL. Calcule la masa de 0.1500 L de benceno a esa temperatura.

21.

(a) Para identificar una sustancia líquida, una estudiante determinó su densidad. Empleando una probeta graduada, midió una muestra de 45 mL de sustancia. A continuación, determinó la masa de la muestra, encontrando que pesaba 38.5 g. Ella sabía que la sustancia tenía que ser alcohol isopropílico (densidad = 0.785 g/mL) o bien tolueno (densidad = 0.866 g/mL). ¿Cuál fue la densidad calculada y cuál es la probable identidad de la sustancia? (b) Un experimento requiere de 45.0 g de etilenglicol, un líquido cuya densidad es de 1.114 g/mL. En vez de pesar la muestra en una balanza, un químico opta por medir el líquido en una probeta graduada ¿Qué volumen de líquido deberá usar? (c) Un trozo cúbico de metal mide 5.00 cm por lado. Si el metal es níquel, con densidad de 8.90 g/cm3, ¿qué masa tiene el cubo?

22.

(a) Habiéndose desprendido la etiqueta de un frasco que contiene un líquido transparente el cual se piensa que es benceno, un químico midió la densidad del líquido con objeto de verificar su identidad. Una porción de 25.0 mL del líquido tuvo una masa de 21.95 g. En un manual de química se indica que la densidad del benceno a 15ºC es de 0.8787 g/mL. ¿La densidad calculada concuerda con el valor tabulado? (b) Un experimento requiere 15.0 g de ciclohexano, cuya densidad a 25ºC es de 0.7781 g/mL. ¿Qué volumen de ciclohexano debe usarse? (c) Una esfera de plomo tiene 5.0 cm de diámetro. ¿Qué masa tiene la esfera si la densidad del plomo es de 11.34 g/cm3?

23.

(a) La temperatura en un tibio día de verano es de 87ºF. Exprese esta temperatura en ºC. (b) El punto de fusión del bromuro de sodio (una sal) es de 755ºC. Exprese esta temperatura en ºF. (c) El tolueno se congela a -95ºC. Exprese su punto de congelación en Kelvin y en grados Fahrenheit. (d) Muchos datos científicos se reportan a 25ºC. Exprese esta temperatura en Kelvin y en grados Fahrenheit. (e) El neón, el elemento gaseoso empleado para fabricar anuncios luminosos, tiene punto de fusión de – 248.6ºC y un punto de ebullición de – 246.1ºC. Exprese estas temperaturas en Kelvin.

24.

Las distancias astronómicas son tan grandes comparadas con las terrestres, que se emplean unidades mucho mayores para facilitar la comprensión de la distancia relativa de los objetos astronómicos. La unidad astronómica (AU) es igual a la distancia promedio entre la Tierra y el Sol, 1.50x108 km. Un pársec (pc), es la distancia en que 1 AU subtendrá un ángulo de 1 segundo de arco. El año luz (ly), es la distancia que la luz, viajando a través de un medio con una velocidad de 3.00x105 km/s, recorrería en un año. a) Exprese la distancia entre la Tierra y el Sol en parsecs en un año luz. b) Exprese en kilómetros un año luz y un pársec. Aunque el año luz se usa mucho más en las obras divulgativas, el pársec es la unidad preferida por los astrónomos.

25.

Una moneda de 25 centavos de dólar tiene una masa de 5.67 g y un espesor aproximado de de 1.55 mm. (a) ¿Cuántas de estas monedas tendrían que apilarse para alcanzar una altura de 575 ft, la misma que tiene el monumento a Washington? (b) ¿Cuánto pesaría esta pila? (c) ¿Cuánto dinero contendría esta pila? (d) En 1998 la deuda nacional de Estados Unidos era de 4.9 billones de dólares. ¿Cuántas pilas como la se describe aquí se necesitarían para saldar esta deuda?

26.

El oro se mezcla (formando una aleación) con otros metales para aumentar su dureza y fabricar joyería con él. (a) Considera una alhaja de oro que pesa 9.85 g y tiene un volumen de 0.675 cm3. La alhaja sólo contiene oro y plata, cuyas densidades son 19.3 g/cm3 y 10.5 g/cm3, respectivamente. Suponiendo que el volumen total de la alhaja es la suma de los volúmenes del oro y de la plata que contiene, calcule el porcentaje de oro (en masa) de la alhaja. (b) La cantidad relativa de oro en una aleación normalmente se expresa en unidades de quilates. El oro puro es de 24 quilates, y el porcentaje de oro en una aleación se da como un porcentaje de este valor. Por ejemplo, una aleación que tiene 50% de oro es de 12 quilates. Exprese la pureza de la alhaja en quilates.

27.

La distancia entre dos átomos o moléculas contiguas en una sustancia sólida, puede estimarse calculando dos veces el radio de una esfera con volumen igual al volumen por átomo del material. Calcule la distancia entre los átomos contiguos en (a) Hierro y (b) sodio. La densidad de ambos son 7870 kg/m3 y 1013 kg/m3 respectivamente; la masa de un átomo de hierro es 9.27x10-26 kg, y la masa de un átomo de sodio es 3.82x10-26 kg.

28.

Los granos de arena fina de las playas de California tienen un radio promedio de 50 µ m . ¿Qué masa de granos de arena tendrá un área superficial total igual a la de un cubo exactamente 1 m en un borde? La arena se compone de dióxido de silicio, 1 m3, el cual tiene una masa de 2600 kg.

29.

Durante la noche, una inhalación contiene cerca de 0.3 L de oxígeno ( O2 , 1.43 g/L a temperatura y presión ambiente). Cada exhalación contiene 0.3 L de dióxido de carbono ( CO2 , 1.96 g/L a temperatura y presión ambiente). ¿Cuánto peso en libras se pierde con la respiración en una hora de sueño?

30.

El valor de la aceleración de la gravedad para cualquier latitud 2

está dada por:

g = 9.7807(1 + 0.0053sen φ ) m/s , donde el efecto de la rotación de la tierra, así como el hecho de que la Tierra no es esférica, se han tomado en cuenta. Si se ha establecido oficialmente que la masa de una barra de oro es de 2 kg, determine con cuatro dígitos de precisión su masa en kilogramos y su peso en newton a una latitud de: (a) 0º, (b) 45º, (c) 60º 2

CAPÍTULO Nº 02: DIMENSIÓN DE UNA MAGNITUD. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD

CAPÍTULO Nº 02. DIMENSIÓN DE UNA MAGNITUD. PRINCIPIO DE

HOMOGENEIDAD 2.1.

Análisis Dimensional. Las ecuaciones dimensionales son expresiones algebraicas, igualdades que expresan las relaciones entre magnitudes Fundamentales y Derivadas. Permiten verificar la validez de un resultado y diferenciar una magnitud física de otra. Las dimensiones de las magnitudes fundamentales y derivadas son el resultado de resolver las ecuaciones dimensionales. Por ejemplo [a]: se expresa ecuación dimensional de “a”. Las ecuaciones dimensionales de las magnitudes fundamentales en el SI son: [Longitud] = L, [Masa] = M, [Tiempo] = T, [Temperatura termodinámica] = θ, [Intensidad de corriente] =I, [Intensidad luminosa] = J, Cantidad de sustancia] = N, donde L, M, T, θ, I, J, N son las respectivas dimensiones de las Magnitudes Fundamentales (Longitud, Masa, Tiempo, Temperatura Termodinámica, Intensidad de Corriente, Intensidad Luminosa, Cantidad de Sustancia) La ecuación dimensional de cualquier magnitud en el SI tiene la forma: [Z] = La Mb Tc θd e f g I J N , donde: a, b, c, d, e, f, g pertenecen al conjunto de los números reales. Las ecuaciones dimensionales de magnitudes fundamentales para el sistema absoluto tienen la forma: [longitud] = L; [masa] = M; [tiempo] = T. La ecuación dimensional de cualquier magnitud en el sistema absoluto tiene la forma: [Y ] = La M bT c , donde a, b, c pertenecen al conjunto de los números reales. Las ecuaciones dimensionales de magnitudes fundamentales para el sistema técnico o gravitacional, tienen la forma: [longitud] = L; [fuerza] = F; [tiempo] = T. Donde: L, F, T, son las dimensiones de la longitud, fuerza y el tiempo. La ecuación dimensional de cualquier magnitud en el sistema técnico tiene la forma: [Y ] = La .F b .T c ; donde a, b, c pertenecen al conjunto de los números reales.

2.2.

Propiedades de las ecuaciones dimensionales. Las ecuaciones dimensionales cumplen las leyes del álgebra excepto para la suma y la resta. [A.B ] = [A][B ] ;  A  = [A] ; An = [A]n ; m An  m [A]n    B  [B ]

[ ]

Las ecuaciones dimensionales de constantes numéricas, ángulos, funciones trigonométricas son igual a uno; es decir las dimensiones de cualquier cantidad numérica es igual a uno. Por ejemplo: [sen30°] = 1; [π] = 1; [90°] = 1 2.3.

Principio de homogeneidad de la suma y la resta. Para toda suma o resta correcta de magnitudes físicas, cada término debe tener la misma ecuación dimensional (dimensión) al igual que la suma total o la diferencia. Ejemplo: Si: X 3 − DY = FZ , es dimensionalmente correcta, se cumple: X 3 = [DY ] = [FZ ] = X 3 − DY . Las constantes físicas tienen ecuaciones dimensionales diferentes a la unidad por contener unidades físicas, por ejemplo: Dado g = 9,8m/s2, entonces: [g ] = LT −2

[ ]

[

]

ACTIVIDAD Nº 02. DIMENSIÓN DE UNA MAGNITUD. PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD. 1.

La presión (P) que ejerce un chorro de agua sobre una pared vertical viene dada por la siguiente fórmula empírica: P = kQ x d y A Z , siendo: k = Constante numérica; d = Densidad del agua; A = Área de la placa; Q = Caudal = Área x Velocidad. Determinar la expresión final de dicha fórmula.

Una estrella puede vibrar entorno de su posición de equilibrio debido a las fuerzas de autoatracción gravitatoria. Este movimiento se puede caracterizar mediante la densidad de la materia que compone la estrella " ρ " , su radio "R " , y la constante de gravitación universal "G " . Demostrar, mediante análisis dimensional, que las vibraciones deben tener frecuencias del tipo 1

f ≈ (ρG ) 2 . (No depende del radio de la estrella) 3.

La potencia de un molino de aire es función del radio de las paletas (R ) , velocidad angular (ω ) y densidad del aire (D ) . Hallar la fórmula empírica que establece ésta relación. k = Constante numérica.

Si la expresión dada es dimensionalmente correcta, calcular la ecuación dimensional de “A”;

vA + k = n e n e n e ...∞ , donde: e = espacio, v = velocidad 5.

Se da el nombre de acuífero, a la roca porosa por donde pasa el agua subterránea. El volumen V del agua que, en el tiempo t , se desplaza por una sección transversal del área A de un acuífero V kAH = , donde H , es la caída vertical del acuífero sobre la distancia horizontal está dado por: t L L . A esta relación se le llama ley de Darcy. La cantidad k es la conductividad hidráulica del acuífero. ¿Cuáles son las unidades SI de k ?

Cuando un cuerpo se mueve a través de un fluido (líquido o gas) experimenta una fuerza de fricción (o arrastre) que aumenta con la velocidad "v " del cuerpo relativo al fluido, es decir: Fuerza de Fricción del Fluido = − kηv ; donde: η = Coeficiente de viscosidad del fluido; k = Coeficiente de arrastre. Determine la dimensión y unidad de k

Hallar el valor de “E”, si se sabe que la expresión es dimensionalmente homogénea: 3  a −1.a −2  ka k 2a 2 2 ka 3 E =  1 − 32  , sí: ω 2v 3 = 1 + + , donde: ω = Velocidad angular; v = Velocidad α α2 α3   a 3 lineal; α = Aceleración angular; k = Constante numérica

La potencia que requiere la hélice de un helicóptero viene dado por la siguiente fórmula:

P = kR xW y D z , donde: “K” es un número, “R” el radio de la hélice, “W” la velocidad angular, “D” la densidad del aire. Halle: x, y, z 9.

La velocidad crítica vc a la cual el flujo de un líquido a través de un tubo se convierta en turbulento, depende de la viscosidad "η " , de la densidad " ρ " del fluido, del diámetro “D” del tubo y de una constante adimensional “R”. Halle la relación para calcular dicha velocidad.

10.

La velocidad “V” de onda en un fluido esta dada por la fuerza “F”, densidad “ρ” y área “A”, con estos datos hallar la formula de dicha velocidad.

11.

La siguiente ecuación es dimensionalmente correcta: x = p 2C. log( x 2 .v.m / w) , donde: v = velocidad, m = masa, C = Constante adimensional. La dimensión de “P” es:

12.

La siguiente ecuación es dimensionalmente correcta. Hallar el valor dimensional de " x" , sí:

F =

HtV 2 + xV 3a h3 + y

, donde: F = Fuerza, a = aceleración, v = velocidad, h = altura.

13.

Si se sabe que la expresión es dimensionalmente correcta. Hallar la ecuación dimensional de “m”, 2µ 3P 2 = , donde: P = Presión; µ = cantidad de movimiento = masa x velocidad; sí: m 10k 3 k = Caudal = área x velocidad.

14.

En la siguiente expresión: F = av (b +

c ) + c , siendo: F = Fuerza, v = Velocidad lineal. Hallar las v

dimensiones de “a” y “b”. 15.

Si la expresión es dimensionalmente correcta. Hallar la fórmula dimensional de R ; sí:

w = mv α + Agh − Bx sec 60° + pC , donde: w = Trabajo; g = Aceleración; h = Altura; x = Distancia; p = Potencia. R =

m = Masa;

v = Velocidad

lineal;

Aα α B Cα

16.

En la siguiente ecuación: A 2 h sen 30° = B cos 60° , siendo: A = Aceleración; h = Altura. Calcular la dimensión de “B”

17.

Si se sabe que la expresión es dimensionalmente correcta. Hallar las dimensiones de “E” y “x”; sí

E = x + x + x + ...∞ 18.

P = Presión 19.

Pk 2 , donde: C = Velocidad Dd

En la expresión dada, calcular la dimensión de “k”,sí: C =

D = Distancia

d = Longitud

En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, hallar la dimensión de “k”, sí: 2 2kb  2 2 A2 =  b + x − x  ; donde: A = Área; x = Longitud; m = Masa  m  2

20.

21.

 ABC  − P  donde: En la siguiente ecuación dimensionalmente correcta, se tiene: Z + k sen 30° =  2 α sen   P = Presión. Hallar la ecuación dimensional de “Z” En

Si: v 1 = v 2

csc 30°

a1 − a 2

( 0.3 −

x ) t

h − d 3vR =

homogénea:

vt ), R

cos(

donde:

d = Densidad

R = Magnitud Física. Hallar la ecuación dimensional de “q”

t = Tiempo

v = Velocidad 22.

ecuación

. Determinar la dimensión de “y” en la ecuación dimensional siguiente:

= Yw ,

donde:

w = Trabajo;

x = longitud;

F = Fuerza;

a1 , a2 = aceleraciones;

v 1 , v 2 = velocidades; t = tiempo. 23.

La velocidad crítica vc a la cual el flujo de un líquido a través de un tubo se convierta en turbulento, depende de la viscosidad η , de la densidad ρ del fluido, del diámetro D del tubo y de una constante adimensional k . Determine la expresión final a partir de la siguiente fórmula empírica: vc = kη x ρ y .D z 19

24.

La rapidez con que fluye el calor por conducción entre dos capas paralelas se expresa por la ∆Q A(T2 − T1 ) , donde: Q = Calor, t = Tiempo, T = Temperatura, L = Longitud. relación: = L1 L 2 ∆t + k1 k 2 Determine la ecuación dimensional de la constante de conductividad (k )

25.

2    n   V La ecuación empírica:  P + a    − b  = RT , donde: P es la Presión, V es el volumen y n   V    n  el número de moles, representa la ecuación de estado de muchos gases ideales. Determine las dimensiones y unidades de las constantes a y b

26.

1 2 mv , donde f 0 es la frecuencia 2 umbral del material, m es la masa del electrón y v su velocidad. Determine la dimensión y la unidad de h , denominada constante de Planck.

27.

El ascenso capilar tiene un gran interés en el transporte de fluidos en los seres vivos. Este efecto es proporcional a la tensión superficial σ . Mostar mediante el análisis dimensional, que el

El Efecto Fotoeléctrico es descrito por la ecuación: h( f − f 0 ) =

ascenso o descenso es proporcional a h ≈

σ , siendo r el radio del capilar, ρ la densidad del rρg

líquido y g la aceleración de la gravedad [Observación: La tensión superficial se define como la fuerza por unidad de longitud (N/m)] 28.

Una gota puede vibrar alrededor de su forma esférica de equilibrio. Estos movimientos pueden caracterizarse mediante la densidad ρ , la tensión superficial σ del líquido que la compone, y del 1

 σ 2 radio R de la gota. Demostar que las frecuencias deben tener la forma: f ≈  3   ρR  [Observación: La tensión superficial se define como la fuerza por unidad de longitud (N/m)]

CAPÍTULO Nº 03: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA EN UNA Y DOS DIMENSIONES EN COORDENADAS RECTANGULARES

CAPÍTULO Nº 03: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA EN UNA Y DOS DIMENSIONES EN COORDENADAS RECTANGULARES 3.1.

Introducción a la cinemática de una partícula El fenómeno más obvio y fundamental que observamos a nuestro alrededor es el de

movimiento. El viento, las olas, los pájaros que vuelan, los animales que corren, las hojas que

caen – todos estos son fenómenos de fenómenos de movimiento. Prácticamente todos los procesos imaginables pueden describirse como el movimiento de ciertos objetos. La tierra y los planetas se mueven alrededor del sol; los electrones se mueven en el interior del átomo, dando lugar a la absorción y a la emisión de luz, o se mueven en el interior de un metal, produciendo una corriente eléctrica; las moléculas de un gas se mueven, dando lugar a la presión. Nuestra experiencia diaria nos dice que el movimiento de un cuerpo es influenciado por los cuerpos que lo rodean, esto es por sus interacciones con ellos. Lo que el físico y el ingeniero hacen, esencialmente, es ordenar las cosas de tal manera que bajo la interacción mutua de las partículas, se produzca una cierta clase de movimiento. En un tubo de televisión, el haz de electrones debe moverse de una cierta manera para producir una imagen en la pantalla. En una máquina térmica, las moléculas del combustible quemado deben moverse de tal manera que un pistón o una turbina se muevan a su vez en una dirección deseada. Una reacción química es la consecuencia de ciertos movimientos atómicos que dan por resultado un nuevo ordenamiento, formando nuevas clases de moléculas. El papel del físico es descubrir las razones de todos estos movimientos y el papel del ingeniero es ordenar las cosas de modo que se produzcan movimientos útiles, movimientos que hagan la vida más fácil. Hay varias reglas generales o principios que se aplican a todas las clases de movimiento, no importa cual sea la naturaleza de las interacciones. Este conjunto de principios, y la teoría que lo sustenta, se denomina Mecánica Para analizar y predecir la naturaleza de los movimientos que resultan de las diferentes clases de interacciones, se han inventado algunos conceptos importantes, tales como los de momentum, fuerza y energía. Si el momentum, la fuerza, y/o la energía se conocen y expresan en un modo cuantitativo es posible establecer reglas mediante las cuales pueden predecirse los movimientos resultantes. El momentum, la fuerza y la energía son tan importantes que raramente podemos analizar un proceso sin expresarlo en función de ellos. La mecánica, que es la ciencia del movimiento, es también la ciencia del momentum, la fuerza y la energía. Es una de las áreas fundamentales de la física, y debe comprenderse completamente antes de iniciar una consideración de interacciones particulares. En tiempo de Galileo ya se reconocía este papel básico de la mecánica. Las magnitudes que poseen magnitud, módulo, dirección y sentido, como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, son magnitudes vectoriales. 3.2.

Características de la velocidad de una partícula en una y dos dimensiones en coordenadas rectangulares. 1.

Las magnitudes que poseen magnitud, módulo, dirección y sentido, como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, son magnitudes vectoriales.

El vector r apunta desde el origen arbitrario a la posición de la partícula. En el intervalo

→

de tiempo ∆t , r cambia en ∆ r . El vector velocidad v representa el cambio en el tiempo del vector posición. Su magnitud es el módulo de la velocidad y apunta en la dirección del movimiento, tangente a la curva a lo largo de la cual se mueve la partícula. →

→

∆r d r = El vector velocidad instantánea viene dado por: v = lim ∆ t → 0 ∆t dt →

El vector aceleración representa el cambio en el tiempo del vector velocidad. El vector →

→

∆v d v velocidad instantánea, viene dado por: a = lim = . Una partícula acelera cuando ∆ t → 0 ∆t dt su vector velocidad varía en magnitud, dirección o ambas cosas. →

Si una partícula se mueve con velocidad v pA respecto a un sistema de coordenadas A , el cual a su vez se mueve con velocidad v AB respecto a otro sistema de coordenadas B , la velocidad de la partícula respecto a B es: v pB= v pA + v AB

En el movimiento de proyectiles, los movimientos horizontal y vertical son independientes. El movimiento horizontal tiene la velocidad constante y es igual a la componente horizontal de la velocidad original: v x = v 0 x = v 0 . cos θ ; ∆x = v 0 x .t

El movimiento vertical es el mismo que el correspondiente a una dimensión con aceleración constante debida a la gravedad g y dirigido hacia abajo: v y = v 0y − gt ;

∆y = v 0y .t − 7.

1 2 gt 2

La distancia total descrita por el proyectil, llamada R se determina calculando primero el tiempo total que el proyectil está en el aire y multiplicando después este tiempo por la componente horizontal constante de la velocidad. Para el caso especial en que las elevaciones inicial y final son iguales, el alcance está relacionado con el ángulo de tiro θ por la expresión: R =

v 02 .sen 2θ y tiene su valor máximo para θ = 45° g

Cuando un cuerpo se mueve en un círculo con velocidad constante, está acelerando, ya que su velocidad varía en dirección. Esta aceleración se denomina centrípeta y apunta hacia el centro del círculo. La magnitud de la aceleración centrípeta es: a =

"v " es la velocidad y "r " el radio del círculo.

v2 , donde r

Problemas de Aplicación. Cinemática de una partícula en coordenadas rectangulares. 1.

La velocidad de un punto material está dado por: v (t ) = 20t 2 − 100t + 50 , donde "v " son metros por segundo y "t " son segundos. Representar gráficamente, en función del tiempo "t " , la velocidad "v " , y la aceleración "a " para los seis primeros segundos de su movimiento y calcular la velocidad cuando a es nula. SOLUCIÓN

v (t ) = 20t 2 − 100t + 50 a=

dv d = (20t 2 − 100t + 50) = 40t − 100 dt dt

Por condición: a = 0 . Por lo tanto:

Entonces: 40t − 100 = 0 , de donde:

100 = 2.5s 40

v (2.5) = 20(2.5)2 − 100(2.5) + 50 v (2.5) = 125 − 250 + 50 = −75 m/s

Cálculo de los valores de velocidad y de aceleración en los instantes de t ∈ [0, 6] segundos T, s V, m/s a, m/s2

1 -30 -60

1.5 -55 -40

2 -70 -20

2.5 -75 0

3 -70 20

3.5 -55 40

4 -30 60

4.5 5 80

5 50 100

5.5 105 120

6 170 140

Gráfico N°01 Velocidad y Aceleración vs Tiempo 200

Velocidad, Aceleración (m/s; m/s2)

3.3.

150

100

0 0

-50

-100 Tiempo (s) Velocidad vs Tiempo

Aceleración vs Tiempo

El movimiento curvilíneo de un punto está definido por v x = 50 − 16t e y = 100 − 4t 2 , donde v x son metros por segundo, y son metros y t son segundos. Se sabe además que

t = 0 es x = 0 . Representar la trayectoria y determinar la velocidad y la aceleración cuando alcanza la posición y = 0 SOLUCIÓN

v x = 50 − 16t .

dx = vx dt

Por lo tanto:

∫

Entonces:

∫

dx = vdt

∫

x − x0 = (50 − 16t )dt t0

[

x − x 0 = 50t − 8t 2

]

t 0

Por condición:

x0 = t 0 = 0

de donde:

x = 50t − 8t 2

→

∧

r (t ) = x (t ) i + y (t ) j

En consecuencia:

→

∧

r (t ) = (50t − 8t 2 ) i + (100 − 4t 2 ) j

→

∧

v (t ) = (50 − 16t ) i − 8t j →

∧

a (t ) = −16 i − 8 j

Cuando alcanza la posición y = 0 , se tiene: 100 − 4t 2 = 0 , de donde: t = ∧

∧

v(5) = [50 − 16(5)] i − 8(5) j

Por lo tanto:

∧

En consecuencia: v = (−30) 2 + (−40) 2 = 50 m/s

v(5) = −30 i − 40 j ∧

∧

En consecuencia: a = (−16) 2 + (−8) 2 = 8 5 m/s

a (5) = −16 i − 8 j 3.

100 = 25 = 5 s 4

En el instante t = 3.65 s la velocidad de un punto que se mueve en el plano x − y es ∧

∧

6.12 i + 3.24 j m/s. Su aceleración media durante los 0.02s siguientes es 3 i + 6 j m/s2. Hallar su velocidad v en el instante t = 3.67 s y el ángulo θ entre el vector aceleración media y el vector velocidad en el mismo instante. SOLUCIÓN →

∧

En t = 3.65 s v (3.65) = 6.12 i + 3.24 j Se sabe:

→

∧

6 de donde: α1 = arct ( ) = 63.43º 3

a m (3.67) = 3 i + 6 j ;

La aceleración media, viene dada por: a m = ∧

∆v ∆t ∧

∧

∧ ∧ v(3.67) − v(3.65) v(3.67) − (6.12 i + 3.24 j ) ; de donde: 3 i + 6 j = 3i+ 6 j = 0.02 0.02 ∧

∧

0.06 i + 0.12 j = v(3.67) − (6.12 i + 3.24 j ) ∧

∧

v(3.67) = 6.18 i + 3.36 j ; de donde:

v = (6.18)2 + (3.36)2 = 7.03 m/s 3.36 ) = 28.53º 6.18 θ = α1 − α 2 = 63.43º −28.53º θ = 34.9º ≈ 35º

de donde: α 2 = arct ( El ángulo entre los vectores es:

La aceleración de un punto está dado por a = 4t − 30 , donde "a " son metros por segundo al cuadrado y "t " son segundos. Hallar la velocidad y el desplazamiento como funciones del tiempo. El desplazamiento inicial cuando t = 0 es s0 = −5m y la velocidad inicial

v0 = 3m / s SOLUCIÓN La Función de aceleración viene dada por: Se sabe: v

En consecuencia:

dv dt v

∫

dv = adt ;

∫

de donde:

∫

dv = (4t − 30)dt

Por lo tanto:

v − 3 = 2t − 30t v(t ) = 2t 2 − 30t + 3

También:

ds t

∫

En consecuencia:

Por lo tanto:

∫

ds = vdt ; de donde:

s − (−5) = s (t ) =

a (t ) = 4t − 30

∫

ds = (2t 2 − 30t + 3)dt t0

2 3 t − 15t 2 + 3t 3

2 3 t − 15t 2 + 3t − 5 3

En el instante t = 3.60 s el vector posición de un punto que se mueve en el plano x − y es ∧

∧

2.76 i − 3.28 j m/s. En el instante

t = 3.62 s el vector posición ha cambiado a

2.79 i − 3.33 j m. Hallar el módulo "v " de la velocidad media en ese intervalo y el ángulo

θ que la misma forma con el eje " x " SOLUCIÓN En t = 3.60 s, se tiene:

→

∧

→

∧

r (3.60) = 2.76 i − 3.28 j

En t = 3.62 s, se tiene: r (3.62) = 2.79 i − 3.33 j →

Velocidad Media: →

vm = →

→

∆r = ∆t

→

r (3.62) − r (3.60) 3.62 − 3.60 ∧

∧

(2.79 i − 3.33 j ) − (2.76 i − 3.28 j ) = 0.02

∧

∧ ∧ 0.03 i − 0.05 j vm = = 1.5 i − 2.5 j 0.02

Por lo tanto:

vm = (1.5) 2 + (−2.5) 2 = 2.25 + 6.25 = 8.5 = 2.92 m/s

Cálculo del ángulo que forma el vector velocidad media: −2.5 θ = arct ( ) = arct (−1.67) = −59º ó 360° + 59° = 419° con respecto al eje 1.5 positivo de las “x”

La aceleración de un camión está dado por a = αt , donde α = 1.5 m/s3. a) Si la velocidad del camión en t = 1 s es 5 m/s, ¿cuál será en t = 2 s? b) Si la posición del camión en t = 1 s es 6 m. ¿cuál será en t = 2 s? SOLUCIÓN Por condición del problema, se tiene: a = 1.5t Se sabe también:

dv dt

V (t )

∫

V (t )

∫

dv = adt ; de donde:

∫

dv = 1.5tdt

v (t ) − 5 = 0.75t − 0.75 2

v (t ) = 0.75t 2 + 4.25 Cálculo de la velocidad en t = 2s , se tiene: Se sabe también:

v =

ds dt

s (t )

∫

v (2) = 0.75(2)2 + 4.25 = 7.25 m/s

s (t )

∫

ds = vdt ; de donde:

∫

ds = (0.75t 2 + 4.25)dt

s (t ) − 6 = (0.25t 3 + 4.25t ) − (0.25 + 4.25) s (t ) = 0.25t 3 + 4.25t + 1.5 Cálculo de la posición del camión en t = 2s , se tiene:

s (2) = 0.25(2)3 + 4.25(2) + 1.5 s (2) = 11.5 m

Las coordenadas de un punto en el plano xy son x = 2.0 m- αt , y = β t 2 ; (α = 3.6 m/s,

β = 1.8 m/s2). a) Calcule los vectores velocidad y aceleración en función de "t " . b) La magnitud y dirección de la velocidad y aceleración del ave en t = 3.0 s. En ese instante, ¿el ave está acelerando, frenando o su rapidez no está cambiando instantáneamente? SOLUCIÓN →

∧

Vector posición del ave en función del tiempo, se tiene: r (t ) = x (t ) i + y (t ) j En consecuencia:

→

∧

r (t ) = (2 − αt ) i + β t 2 j

Por condición: α = 3.6 m/s;

β = 1.8 m/s . Por consiguiente: →

∧

r (t ) = (2 − 3.6t ) i + 1.8t 2 j

Cálculo de los vectores velocidad y aceleración en función de "t " Se sabe:

→

∧

j  = −3.6 i + 3.6t j 

dv dt

→

a (t ) =

∧

→

a =

También:

→

dr v = dt → ∧ d  v (t ) = − + 1.8t 2 ( 2 3 . 6 t ) i dt  →

∧ ∧ ∧ d (−3.6 i + 3.6t j ) = 3.6 j dt

Cálculo de la magnitud y dirección de la velocidad y aceleración del ave en t = 3.0 s →

∧

v (3) = −3.6 i + 10.8 j ; de donde: v (3) = (−3.6)2 + (10.8)2 = 11.4 m/s

θ = arctan( − →

10.8 ) = arctan( −3) = −71.56° 3 .6

∧

a (3) = 3.6 j , de donde: a (3) = 3.6 m/s2 φ = arctan( 8.

3 .6 0

) = 90°

La aceleración de una motocicleta está dada por a = At − Bt 2 con A = 1.2 m/s3 y B = 0.12 m/s4. La moto está en reposo en el origen t = 0 . a) Obtenga su posición y velocidad como funciones de "t " . b) Calcule la velocidad máxima que alcanza.

SOLUCIÓN De la expresión dada, se tiene: a (t ) = 1.2t − 0.12t 2 s (0) = v (0) = 0

Se sabe:

dv dt

V (t )

∫

∫ 0

∫ dv = ∫ (1.2t − 0.12t v 0

dv = adt ; de donde:

v0 V (t )

Por condición:

)dt

v (t ) − v (o ) = 0.6t 2 − 0.04t 3 v (t ) = 0.6t 2 − 0.04t 3 ds v = dt

Se sabe también:

s (t )

∫ ds = ∫vdt ; de donde:

s (t )

∫s ds = ∫ (0.6t 0

− 0.04t 3 )dt

s (t ) − s (0) = 0.2t 3 − 0.01t 4 Por lo tanto: s (t ) = 0.2t 3 − 0.01t 4 b)

La velocidad máxima que alcanza la motocicleta se da cuando la aceleración es cero. 1.2t − 0.12t 2 = 0 , de donde: 1.2t (1 − 0.1t ) = 0 . De ésta expresión se obtiene: t = 0 y t = 10s En consecuencia: v mac = v (10) = 0.6(10)2 − 0.04(10)3 = 20 m/s

Un punto material tiene componentes de velocidad v x = 3.8 m/s y v y = 2.6 m/s en

t 1 = 10.0 s. Para el intervalo de t 1 a t 2 = 20.0 s, la aceleración media del punto material tiene una magnitud de 0.55 m/s2 y una dirección de 52.0° medida desde el eje + x al + y . En t 2 , a) ¿Cuáles son las componentes x , y de la velocidad del punto material? b) ¿Qué magnitud y dirección tiene la velocidad? SOLUCIÓN ∧

∧

De la condición dada, se tiene: v (t 1) = v (10) = 3.8 i + 2.6 j ; Por dato: a m = 0.55 m/s2; →

θ = 52° . Por lo tanto: a m

→

∧

→ v (t 2 ) − v (t 1 ) v (t 2 ) − (3.8 i + 2.6 j ) = , de donde: a m = t 2 − t1 10

a m 2 = a x 2 + a y 2 ; y tan 52° =

También:

;

de donde:

a y = (tan 52°)a x

a m 2 = a x 2 + a x 2 . tan 2 52°

Al reemplazar en la expresión anterior, se tiene:

a x = cos 52°.a m = 0.34 m/s; a y = tan 52°.a x = 0.44 m/s ∧

∧

0.34 i + 0.44 j =

Por lo tanto: →

∧

v (t 2 ) − (3.8 i + 2.6 j ) 10

∧

v (t 2 ) = (3.4 i + 4.4 j ) + (3.8 i + 2.6 j ) →

∧

Las componentes de la velocidad del perro en t = t 2 , son: v (t 2 ) = 7.2 i + 7 j

Cálculo de la magnitud y dirección de la velocidad del perro en t = t 2

v (t 2 ) = (7.2)2 + 7 2 = 100.84 = 10.04 m/s vy 7 ) = arctan( ) ≈ 44° θ = arctan( vx 7.2 10.

En la figura mostrada el bloque "B " se mueve con aceleración constante. Si el sistema inicia su movimiento cuando "B " está en O , determinar la aceleración de " A " cuando "B " está a 3m de "O " si su aceleración es de 4m/s2 hacia la derecha

SOLUCIÓN ••

La aceleración del bloque "B " , viene dada por: x = 4

(I)

•

x = 4t + C 1

Al integrar la expresión, se tiene: •

•

Por dato: Cuando t = 0 , x (0) = 0 , x (0) = 0 , entonces: C 1 = 0 y x (t ) = 4t

( II )

Al integrar la expresión ( II ), se tiene: x = 2t + C 2 , de donde: C 2 = 0 y x (t ) = 2t 2 2

Cuando "B " , se encuentra en x = 3 m, habrán transcurrido:

t =

3 = 1.22 s 2

•

Por lo tanto: x (1.22) = 4(1.22) = 4.88 m/s Las trayectorias lineales " A " y "B " , están relacionadas por:

x 2 + y 2 = 25

( III )

De la expresión ( III ), se tiene que cuando x = 3 m, y = 4 m Al derivar respecto del tiempo de manera implícitamente la expresión ( III ), se tiene: •

•

2x x + 2y y = 0 , de donde: x x + y y = 0 •

y =−

Por lo tanto: •

( IV ) •

3(4.88) xx =− = −3.66 m/s 4 y ••

•

••

De la expresión ( IV ), se tiene: (x )2 + x x + (y )2 + y y = 0 Por lo tanto: ••

•

x x + (x )2 + (y )2 (3)(4) + (4.88)2 + (−3.66)2 y =− =− = −12.3 m/s2 y 4 ••

3.4.

Problemas Complementarios: 3.4.1. La coordenada “y” de un punto animado de un movimiento curvilíneo está dada por: y = 4t 3 − 3t , donde “y” son metros y “t” son segundos. Además, el punto posee una aceleración en la dirección x que vale a x = 12t m/s2. Si la velocidad en la dirección x es →

→

de 4m/s cuando t = 0 , calcular los módulos de la velocidad v y la aceleración a del →

→

punto cuando t = 1s . Dibujar v y a en la solución. SOLUCIÓN Condiciones Iniciales: En t = 0 s, se tiene: v x (0) = 4 m/s; v y = Se sabe: a x =

dv x , de donde: dt

∫

dy = (12t 2 − 3) dt

[v x ]v4

∫

dv x = a x .dt . Luego de tiene:

[ ]

= 6t 2

t 0

v x = (6t 2 + 4) →

∧

El vector velocidad, y aceleración, viene determinado por: v (t ) = (6t 2 + 4) i + (12t 2 − 3) j y →

∧

a (t ) = 12t i + 24t j Por lo tanto:

→

∧

→

∧

v (1) = 10 i + 9 j , de donde: v (1) = (10)2 + (9)2 = 181 ≈ 13.45 m/s ∧

a (1) = 12 i + 24 j , de donde: a (1) = (12)2 + (24)2 = 720 = 12 5 m/s2 0 5.00 0.00

0.5 5.50 13.42

1.0 13.45 26.83

1.5 29.70 40.25

2.0 53.00 53.66

2.5 83.10 67.08

3.0 119.95 80.50

3.5 163.53 93.91

4.0 213.82 107.33

4.5 270.83 120.75

Gráficos Velocidad y Aceleración de una Partícula 350

300 Velocidad (v); Aceleración (a)

t, (s) V, (m/s) a, (m/s2)

250

200

150

100

0 0

0.5

1.5

2.5

3.5

Tiempo (s)

Velocidad vs. Tiempo Aceleración vs. Tiempo

4.5

5.0 334.55 134.16

3.4.2.

En el instante t = 6s ∧

la velocidad de un punto que se mueve en el plano x-y es

∧

(4 i + 5 j ) m/s, y en el instante t = 6.1s la velocidad ha cambiado a (4.3 i + 5.4 j ) m/s. →

Hallar el módulo de a de la aceleración media durante el intervalo de 0.1s y el ángulo θ que la misma forma con el eje x. SOLUCIÓN →

∧

→

∧

Según las condiciones, se tiene: v (6) = (4 i + 5 j ) m/s; v (6.1) = (4.3 i + 5.4 j ) m/s

∆t = 0.1 s →

→

am =

→

∧

v (6.1) − v (6)

∧

∧ ∧ (4.3 i + 5.4 j ) − (4 i + 5 j ) = = 3i + 4 j 0 .1

0.1

a m = (3) + (4)2 = 5 m/s2 El cálculo del ángulo (θ ) que forma la aceleración media (a m ) , con el eje “x”, viene 2

4 determinado por: θ = arctan   = 53° 3 3.4.3. Un carguero se mueve a 8 nudos cuando sus motores se paran bruscamente. Sabiendo que son necesarios 10 minutos para que el carguero reduzca su velocidad a 4 nudos, determinar y representar gráficamente la distancia s en millas náuticas recorridas por el carguero y su velocidad v en nudos, durante dicho intervalo como funciones del tiempo t. La desaceleración del buque es proporcional al cuadrado de su velocidad, de forma que a = −kv 2 SOLUCIÓN

v 0 = 8 nudos; v = 4 nudos; t = 10 min. Por condición del problema, se tiene: dv De la expresión: a = −kv 2 , se tiene: = −kv 2 dt v2

∫

1 1  1 dv = − kdt . En consecuencia: −  = −kt , de donde: − + = −kt 2 v v0 v  v v 0 0 1

k =

∫

v 0 −v 4nudos 1 = = nudos −1. min −1 2 80 v 0 .vt (32nudos )(10 min)

Por lo tanto: a = −

1 2 v 80

De (I), se tiene: 1 1 1 1 − + = −kt , lo que implica: = + kt , de donde: v =

(I)

v (t ) =

Reemplazando los datos, se tiene:

∫ 0

De donde:



(II)

8 1 + 0.1t s

El desplazamiento, viene determinado por:

v0 1 + kv 0t

∫

ds = v (t )dt 0



∫ ds = ∫  1 + kv t dt . En consecuencia: s (t ) = k ln(1 + kv t ) (III) 0

s (t ) = 80 ln(1 + 0.1t )

Reemplazando los datos, se tiene:

GrĂĄfica Velocidad vs. Tiem po

1 0.95 0.9

Velocidad (nudos)

0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0

Tiem po (m in)

Desplazam iento vs. Tiem po

Desplazamiento (millas naĂşticas)

0 0

5 Tiem po (m in)

p 32

3.4.4.

La aceleración vertical de un cohete de combustible sólido está dada por: a = ke −bt − cv − g , donde k , b y c son constantes, v es la velocidad vertical en cada instante y g es la aceleración de la gravedad, esencialmente constante para vuelos en la atmósfera. El término exponencial representa el efecto de la disminución del empuje conforme se quema combustible y el término −cv estima el retardo debido a la resistencia de la atmósfera. Hallar la expresión de la velocidad vertical del cohete, "t " segundos después del disparo. SOLUCIÓN

dv = ke − bt − cv − g dt dv + cv = ke − bt − g Por lo que ordenando la información, se tiene: dt

De la expresión: a = ke −bt − cv − g , se tiene:

(I)

Una Ecuación diferencial de Primer Grado, viene determinado por: y '+P (x )y = Q (x ) , donde: R (x ) = e ∫

P (x )dx

∫

, y R (x )y = R (x )Q (x )dx

Al comparar la expresión (I), con la Ecuación Diferencial de Primer Grado, se tiene: P (t ) = c ; Q (t ) = ke −bt − g Por lo tanto: R (t ) = e ∫

cdt

= e ct

∫

En consecuencia: R (t ).v (t ) = R (t )Q (t )dt ct

∫

e .v (t ) = e (ke ct

∫

e .v (t ) = ke 0

−bt

(c − b )t

− g )dt t

∫

dt − ge ct dt , de donde: e ct .v (t ) = 0

Por lo tanto: v (t ) =

k c −b

(e −bt − e −ct ) +

k c −b

(e (c − b )t − 1) −

g −ct (e − 1) c

g ct (e − 1) c

ACTIVIDAD Nº 03. CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA EN COORDENDAS RECTANGULARES 1.

El vector posición y el vector velocidad de un punto que se mueve en el plano x-y está dado por: → → ∧ 1 ∧ → 3  ∧ t4 ∧ 2 r (t ) =  t 3 − t 2  i + j y v (t ) = (2t 2 − 3t ) i + t 3 j , respectivamente, donde r , está en metros 2  12 3 3 →

y "t " , está en segundos. Hallar el ángulo que forma el vector de posición r y el vector velocidad →

v cuando (a) t = 2s y (b) t = 3s .

El vector posición y el vector velocidad de un de un punto que se mueve en el plano x-y está → → ∧ 1 ∧ → 3  ∧ t4 ∧ 2 j y v (t ) = (2t 2 − 3t ) i + t 3 j , respectivamente, donde r , está dado por: r (t ) =  t 3 − t 2  i + 2  12 3 3 →

en metros y "t " , está en segundos. Hallar el ángulo que forma el vector de posición r y el →

vector de velocidad v cuando (a) t = 1s y (b) t = 2s . 3.

∧

En el instante t = 6s la velocidad de un punto que se mueve en el plano x-y es (4 i + 5 j ) m/s, y ∧

→

∧

en el instante t = 6.1s la velocidad ha cambiado a (4.3 i + 5.4 j ) m/s. Hallar el módulo de a de la aceleración media durante el intervalo de 0.1s y el ángulo θ que la misma forma con el eje x. 4.

En el instante t = 3.65 s la velocidad de un punto que se mueve en el plano x − y es ∧

∧

(6.12 i + 3.24 j ) m/s. Su aceleración media durante los 0.02s siguientes es (3 i + 6 j ) m/s2. Hallar su velocidad v en el instante t = 3.67 s y el ángulo θ entre el vector aceleración media y el vector velocidad en el mismo instante. 5.

→

∧

→

Una partícula que se mueve con velocidad inicial v = (30m/s) i sufre una aceleración a = [5m/s2 ∧

∧

+ (3m/s5)t3] i + [45m/s2 - (1m/s4)t2] j . ¿Cuál es la posición y la velocidad de la partícula a los 4s, suponiendo que parte del origen? 6.

→

∧

Una partícula se mueve con velocidad v = [4m/s + (2m/s3)t2] i + [-10m/s - (4m/s2)t] j . (a) ¿Cuál es la posición y velocidad de la partícula después de 3s, suponiendo que parte del origen? (b) ¿Cuál es la dirección de la partícula, con respecto al eje x?

El punto A oscila con una aceleración a = 100(0.25 − x) , donde a y x se expresan en m/s2 y metros, respectivamente. Si el sistema se inicia en el tiempo t = 0 con v = 0 y x = 0.2 m, determine la posición y la velocidad de A cuando t = 0.2 s.

El punto A oscila con una aceleración a = 40 − 160 x , donde a y x se expresan en m/s2 y metros respectivamente. La magnitud de la velocidad es de 0.3 m/s cuando x = 0.4 m. Determine (a) la velocidad máxima de A , (b) las dos posiciones en que la velocidad de A es cero.

La aceleración de la corredera A se define por medio de la relación: a = −2 1 − v 2 , donde a y v se expresan en ft/s2 y ft/s. El sistema inicia en el tiempo t = 0 con x = 1.5 ft y v = 0 . Determine la posición de A cuando (a) v = −0.6 ft/s y (b) La posición de A cuando t = 0.3 s.

10.

La aceleración de la corredera A se define por medio de la relación: a = −2k k 2 − v 2 , donde a y v se expresan en ft/s2 y ft/s, respectivamente, y k es constante. El sistema inicia en el tiempo t = 0 con x = 1.5 ft y v = 0 . Sí x = 1.2 ft cuando t = 0.2 s, determine el valor de k .

11.

La aceleración del punto A se define mediante la relación: a = −3.24 senkt − 4.32 cos kt , donde a y t se expresan en ft/s2 y segundos, respectivamente, y k = 3 rad/s. con x = 0.48 ft y v = 1.08 ft/s cuando t = 0 . Determine la velocidad y la posición del punto A cuado t = 0.5 s.

12.

La aceleración del punto A se define mediante la relación: a = −5.4 senkt , donde a y t se expresan en ft/s2 y segundos, respectivamente, y k = 3 rad/s. Sí x = 0 y v = 1.8 ft/s cuando t = 0 . Determine la velocidad y la posición del punto A cuado t = 0.5 s.

13.

Una bola que cae en el aire tiene una aceleración: a (v) = 9.81 − 0.003v 2 m/s2 donde la velocidad se expresa en metros por segundo y el sentido positivo es hacia abajo. Determinar la velocidad de la bola en función de la altura si lleva una velocidad hacia debajo de 3 m/s cuando y = 0 . Determine también la velocidad de régimen de la bola.

14.

Un carrito unido a un resorte se mueve con una aceleración proporcional a su posición pero de signo contrario a ( x) = −2 x m/s2, pasa por el punto x = 3 m con velocidad positiva cuando t = 3 s. Determinar la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo.

15.

Una bola lanzada hacia arriba verticalmente en el aire tiene una aceleración: a (v) = 9.81 − 0.003v 2 m/s2 donde la velocidad se expresa en metros por segundo y el sentido positivo es hacia arriba. Determinar la velocidad de la bola en función de la altura si se ha lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de 30 m/s. Determine también la máxima altura que alcanza la bola.

16.

Un carrito unido a un resorte se mueve con una aceleración proporcional a su posición pero de signo contrario a ( x) = −2 x m/s2. Determinar la velocidad del carrito cuando x = 3 m si su velocidad era v = 5 m/s cuando x = 0 m.

17.

Usted programa un punto en la pantalla de un computador de modo que su posición esté dada →

∧

por: r = (1.5 + 2t 2 ) i + 3t j , con r , en cm y t en s. En t 20 > 0 , el desplazamiento del punto respecto de la posición en t = 0 tiene una magnitud de 2.5 cm. (a) Determine la magnitud y la dirección de la velocidad media del punto entre t = 0 y t 20 . (b) Determine la magnitud y la →

dirección de la velocidad instantánea v en t = 0 y en t = 0.25 s 18.

Una partícula se mueve en línea recta con aceleración constante de -2m/s2 durante 6s, con aceleración cero en los siguientes 4s, y con aceleración constante de +2m/s2 en los 4s posteriores. Si la partícula inicia desde el origen y su velocidad es igual es igual a -4 m/s durante 36

el intervalo de aceleración cero. (a) Construya las curvas v − t y x − t para 0 ≤ t ≤ 14 s . (b) Determine la posición y la velocidad de la partícula y la distancia total recorrida cuando t = 14s

19.

Una partícula se mueve en línea recta con la velocidad que indica la figura. Si x = −48 ft en t = 0 , trace las curvas a − t y x − t para 0 < t < 40 s , y determine: (a) el valor máximo de la coordenada de posición de la partícula. (b) los valores de t para los cuales la partícula se encuentra a 108 ft del origen.

20.

En una prueba realizada en un tanque de agua para la botadura de un pequeño bote a escala, la velocidad horizontal inicial del modelo es de 20 ft/s y su aceleración horizontal varía linealmente desde -40 ft/s2 en t = 0 hasta – ft/s2 en t = t1 , después se mantiene igual a -6 ft/s2 hasta que

t = 1.4 s . Si v = 6 ft/s cuando t = t1 , determine (a) El valor de t1 . (b) La velocidad y la posición del modelo en t = 1.4 s . 21.

Un registro de acelerómetro correspondiente al movimiento de cierta pieza de un mecanismo se aproxima mediante un arco de parábola durante 0.2s y una línea recta por los siguientes 0.2s, como se indica en la figura. Si v = 0 cuando t = 0 y x = 0.3 m cuando t = 0.4s . (a) Construya la curva v − t para 0 ≤ t ≤ 0.4s (b) Determine la posición de la pieza en t = 0.2s y t = 0.3s

22.

El movimiento amortiguado de una partícula que vibra se describe mediante el vector de posición →

πt

∧ − 1 ∧  r = x1 1 −  i + y1e 2 cos( 2πt ) j , donde t se expresa en segundos. Para x1 = 30 in y y1 = 20 in, t + 1  determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando: (a) t = 0s y (b) t = 1.5s

23.

El movimiento tridimensional de una partícula se define mediante el vector de posición →

∧

r = ( At cos t ) i + ( A t 2 + 1 ) j + ( Btsent ) k

donde

se expresa en pies y segundos,

respectivamente. Demuestre que la curva descrita por la partícula se encuentra sobre el 2

z x  y hiperboloide   −   −   = 1 . Para A = 3 y B = 1 , determine: (a) Las magnitudes de A A B     velocidad y aceleración cuando t = 0 . (b) El valor de cero más pequeño de t para el cual los vectores de posición y velocidad son perpendiculares entre sí.

24.

velocidad

objeto

sometido

campo

gravitacional

Tierra

es:

1  2

 1 1 v = v0 2 + 2 gRE  −  , donde s es la posición del objeto respecto del centro de la Tierra, v0   s s0  es la velocidad en la posición s0 , y RE es el radio de la Tierra. Usando esta ecuación, muestre R  que la aceleración del objeto está dado como una función de s por a = − g  E   s  25.

Las pistolas de agua se usan para investigar las propiedades de materiales sometidos a impactos de alta velocidad. Un proyectil se acelera a través del cañón de la pistola mediante un gas a lata c presión. Suponga que la aceleración del proyectil en m/s2 está dada por a = , donde s es la s posición del proyectil en el cañón en metros y c es una constante que depende de la presión inicial del gas detrás del proyectil. El proyectil parte del reposo en s = 1.5m y acelera hasta llegar al extremo del cañón en s = 3m . Determine el valor de la constante c necesaria para que el proyectil salga el cañón con una velocidad de 200 m/s.

26.

El vehículo de retroimpulso que se muestra en la figura parte del reposo y acelera con a = 30 + 2t en m/s2 hasta que su velocidad es de 400 m/s. En ese momento encuentra un freno de agua y su aceleración es a = −0.003v 2 hasta que su velocidad disminuye a 100 m/s. (a) ¿Qué distancia total recorre el vehículo de retroimpulso? (b) ¿Cuál es el tiempo total del viaje del vehículo?

27.

Suponga que el misil mostrado despega desde el suelo y, debido a que se vuelve más ligero conforme gasta el combustible, su aceleración (en número de g ) está dado como una función del tiempo en segundos por: a =

100 . ¿Cuál es la velocidad del misil, en millas por hora, 1s 1 − 0.2t

después de haber despegado? 28.

La aceleración de un automóvil se relaciona con su posición mediante a = 0.01s , en m/s2. Cuando s = 100 m, el automóvil se mueve a 12 m/s. ¿Qué tan rápido se mueve el automóvil cuando s = 420 m?

29.

La aceleración de un avión regional durante su carrera de despegue es a = 14 − 0.0003v 2 pies/s2, donde v es la velocidad en pies/s. (a) ¿Cuánto tiempo tarda el avión en alcanzar su velocidad de despegue de 200 pies/s? (b) ¿Qué distancia requiere el avión para despegar?

30.

La velocidad del trineo es v = 10t pies/s. cuando t = 2s , su posición es s = 25 pies. ¿Cuál es su posición cuando t = 10s ?

CAPÍTULO Nº 04: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO EN COORDENADAS POLARES

CAPÍTULO Nº 04: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO EN COORDENADAS POLARES 4.1.

Introducción a la cinemática de una partícula en coordenadas polares. El estudio de la cinemática de una partícula en coordenadas polares resulta importante porque nos muestra las componentes de las magnitudes cinemáticas, tal es el caso de la velocidad y la aceleración para una partícula que describe una trayectoria curva, la misma que tendría componente radial y transversal a lo largo de todo su movimiento.

4.2.

Características de la velocidad de una partícula en Coordenadas Polares. 1.

Las magnitudes que poseen magnitud, módulo, dirección y sentido, como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, son magnitudes vectoriales.

En ciertos casos de moviendo en el plano, resulta ventajoso expresar el vector posición →

en coordenadas polares. En este Sistema de coordenadas, el radio vector r →

está

→

relacionado está relacionado con el ángulo θ por: r = f (θ ) , siendo θ el ángulo r con el eje polar y cuyo valor varía con el tiempo, es decir: θ = f (t )

El vector velocidad y aceleración en este sistema, queda determinado en dos componentes, una en la dirección del vector OP y otra perpendicular a él, que reciben el nombre de componentes RADIAL y TRANSVERSAL de la velocidad y la aceleración.

El vector unitario u r tiene la misma dirección y sentido que OP , en tanto que u θ es

∧

ortogonal al primero, y que será positivo si su giro en torno del polo "O " tiene el mismo sentido que el giro del radio vector. 5.

→

El vector velocidad v , de un punto material, en coordenadas polares viene determinado →

• ∧

→

por: v = r u r + r θ u θ , donde: v

• ∧

→

• ∧

= r u r , representa la Velocidad Radial y v θ = r θ u θ , la →

Velocidad Transversal. En tanto que la aceleración a de dicho punto, está dado por: →

••

•2

∧

• •

••

∧

→

••

•2

∧

a = (r − r θ )u r + (2 r θ + r θ )u θ , donde: a r = (r − r θ )u r , representa la Aceleración →

• •

••

∧

Radial y a θ = (2 r θ + r θ )u θ , la Aceleración Transversal. 6.

En la solución de problemas relacionados con la cinética de una partícula, es necesario →

determinar el ángulo que forma la tangente a la curva con el radio vector r . Por lo que si se conocen las componentes v r y v θ de la velocidad "v " , y como ésta última es tangente a la trayectoria, se tiene: tan φ =

vθ vr

El análisis del movimiento de una partícula usando coordenadas polares, quedan definidos por los gráficos que a continuación se muestran. En el primero de ellos, una partícula " A " →

se mueve hacia la derecha, y el vector posición r forma con la dirección horizontal un ángulo "θ " cuyo valor disminuye a medida que transcurre el tiempo, durante el cual " A " cambia de posición. En el segundo caso, el ángulo "θ " que forma la barra AB cuyo extremo " A " se mueve hacia la derecha y que se apoya sobre el cilindro "C " aumenta su valor.

4.3.

Problemas de Aplicación. Cinemática de una partícula en el plano en Coordenadas Polares. 1.

El movimiento curvilíneo de un punto material está regido por las coordenadas polares

r =

t3 3

y θ = 2 cos(

πt 6

) , donde "r " está en metros, "θ " en radianes y "t " en segundos. →

→

Especificar la velocidad v y la aceleración a del punto cuando t = 2 s SOLUCIÓN →

• ∧

Velocidad de un punto material en Coordenadas Polares: v = r u r + r θ u θ ; donde: →

Velocidad radial: v

• ∧

→

En consecuencia: r (t ) =

t3 3

•

, de donde: r (t ) = t 2

θ (t ) = 2 cos( •

rθ =− →

∧

v (t ) = t 2 u r −

Por lo tanto: →

∧

• ∧

= r u r ; y Velocidad Transversal: v θ = r θ u θ

πt 3 9

πt

•

) , de donde: θ (t ) = −

sen (

πt 6

π 3

sen (

πt 6

)

∧

)u θ

∧

v (2) = 4 u r − 2.42 u θ →

∧

Aceleración de un punto material en Coordenadas Polares: a = a r u r + aθ u θ ; donde: →

•2

••

∧

→

• •

••

∧

Aceleración radial: a r = (r − r θ )u r ; y Aceleración transversal: a θ = (2 r θ + r θ )u θ En consecuencia: • 2

••

r (t ) = 2t ; θ (t ) =

π2 9

sen 2 (

π2

••

θ (t ) = −

cos(

18 Por lo tanto: →  π2 3 πt a (t ) = 2t − t sen 2 ( 27 6  →

∧

πt

) Por lo tanto: a r = 2t −

π2 27

t 3sen 2 (

πt 6

)

πt

2 πt π2 3 πt ) Por los tanto: aθ = − πt 2sen ( ) − t cos( ) 6 3 6 54 6  ∧ ) u θ 

 ∧ 2 πt π2 3 πt ) u r −  πt 2sen ( ) + t cos( 3 6 54 6  

∧

a (2) = 1.81u r − 7.98 u θ 2.

En un instante dado, un punto material posee las siguientes componentes de la posición, la velocidad y la aceleración respecto a un sistema de coordenadas fijo x − y : x = 4 m, •

••

•

••

y = 2 m, x = 2 3 m/s, y = −2 m/s; x = −5 m/s2; y = 5 m/s2. Determinar los valores •

••

•

••

siguientes asociados a las coordenadas polares: θ , θ , θ , r , r , r SOLUCIÓN →

∧

→

∧

De las condiciones dadas, se tiene: r = x i + y j , de donde: r = 4 i + 2 j

r = 42 + 22 = 2 5 m En consecuencia: θ = arctan( →

∧

y 2 ) = arctan( ) = 26.6° x 4 ∧

→

• ∧

∧

v = v x i + v y j , es decir: v = x i + y j = 2 3 i − 2 j Por lo tanto: v =

(2 3 ) 2 + (−2) 2 = 4 m/s

tan φ =

vy vx

, de donde:

φ = arctan(

vy vx

•

) = arctan(

•

) = arctan( −

φ = −30°

→

1 3

)

∧

El ángulo que forma el vector Velocidad Total v con el eje radial u r es:

−(θ + φ ) = −(26.6° + 30°) = −56.6° Por lo tanto: •

•

v r = r = v cos( −56.6°) , esto es: r = v . cos( 56.6°) ; ya que: cos( −x ) = cos( x ) : Función Par •

r = 4(0.55) = 2.20 m/s •

v θ = vsen (−56.6°) = r θ , esto es: • 2 vsen / − 56.6°) −4sen (56.6°) (0.83) = −0.746 rad/s, ya que: sen (− x ) = −sen (x ) : θ= = =− r 2 5 5 Función Impar →

∧

→

•• ∧

∧

a = a x i + a y j , es decir: v = x i + y j = −5 i + 5 j

También:

Por lo tanto: a = (−5)2 + (5)2 = 5 2 m/s2

tan β =

ay ax

β = arctan(

, de donde:

ay ax

••

) = arctan(

••

) = arctan(

β = −45°

5 ) = arctan( −1) −5

→

∧

El ángulo que forma el vector Aceleración Total a con el eje radial u r es: (90° − 26.6°) + 45° = 63.4° + 45° = 108.4° Por lo tanto: •2

••

•2

••

a r = r − r θ = a cos(108.4°) , de donde: r = a . cos(108.4°) + r θ ••

r = (5 2 )(−0.31) + (2 5 )(−0.746)2

••

r = −2.23 + 2.49 = 0.258 m/s2

• •

••

aθ = 2 r θ + r θ = a .sen (108.4°) , de donde: • •

a .sen (108.4°) − 2 r θ (5 2 )(0.95) − 2(2.20)(−0.746) = θ = r 2 5 ••

••

θ =

6.72 + 3.28 = 2.24 rad/s2 4.27

Una barra AB de longitud igual a "L " se apoya sobre un piso horizontal y sobre un semicilindro C , se mueve de tal forma que su extremo A tiene una velocidad constante de 5 m/s hacia la derecha. Sabiendo que el radio del semicilindro es 2.5 m. Determinar: a) La velocidad angular de la barra cuando se encuentra a una distancia " x " del punto "O " . b)¿Qué valor tendrá la velocidad cuando x = 3 m?

SOLUCIÓN Respecto de la gráfica, se tiene que el Radio vector "R " es perpendicular a la tangente

AB en todo punto de la circunferencia. En consecuencia: senθ = constante y " x " varía en el tiempo.

R , donde R , es x

•

Al derivar respecto del tiempo, se tiene: θ cos θ = −Rx − 2

( I )

Por identidad Pitagórica: sen θ + cos θ = 1 ; de donde: cos θ = 1 − sen θ 2

R x

cos θ = 1 − ( )2 =

( II )

x 2 −R2 R =− 2 x x Velocidad angular de la barra en función de la distancia " x " : ∧ • R ; donde: x = −3 i θ (x ) = − x x 2 −R2 Velocidad angular de la barra cuando " x " se encuentra a 3m a la izquierda del

Al reemplazar la expresión ( II ) en la expresión ( I ): a)

x 2 −R2 x

•

punto O: •

θ (3) = 4.

2.5 3 9 − 6.25

= 0.50 rad/s

Mientras el brazo ranurado gira en torno al punto "O " , el cursor "P " puede desplazarse hacia el interior mediante el cordel "S " . La posición angular de un brazo está dado por:

θ = 0.8t −

, donde θ está en radianes y "t " en segundos. Cuando t = 0 , el cursor se 20 halla en r = 1.6 m, instante a partir del cual es llevado hacia adentro a razón de 0.2 m/s. Hallar el módulo, dirección y sentido del cursor cuando t = 4s

SOLUCIÓN →

∧

Cuando: t = 0 , se tiene: r (0) = 1.6 m; v r (0) = −0.2 u r m/s También: θ (t ) = 0.8t − →

t2 20

•

; de donde: θ (t ) = 0.8 −

•

Por lo tanto: θ (0) = 0.8 rad/s →

En consecuencia: v θ (t ) = r θ ; sí: t = 0 , se tiene:

•

v θ (0) = r (0)θ (0)

→

v θ (0) = (1.6)(0.8) = 1.28 m/s Módulo de la velocidad total del cursor:

v 2 =v r 2 +v θ 2 v = v r 2 + v θ 2 = (−0.2)2 + (1.28)2 ≈ 1.3 m/s

La pluma OAB gira en tormo al punto "O " a la vez que el tramo AB se extiende desde el interior del tramo OA . Hallar la velocidad y la aceleración del centro B de la polea •

••

•

para las condiciones siguientes: θ = 20° , θ = 5° s-1, θ = 2° s-2, l = 2 m, l = 0.5 m/s, ••

•

••

l = 1.2 m/s2. Las cantidades l y l

son las derivadas temporales primera y segunda, respectivamente, de la longitud del tramo l = AB

SOLUCIÓN De la gráfica mostrada, se tiene: r = (7 + l )

→

•

r =l

Por lo tanto:

• ∧

→

∧

Velocidad de un punto material en Coordenadas Polares: v = r u r + r θ u θ →

∧

Para nuestro caso, sería: v = 0.5 u r + (9)(5

π 180

∧

)u θ de donde: v = 0.5 u r + 0.785 u θ

Aceleración →

••

•2

de ∧

un • •

punto ••

material

Coordenadas

Polares:

∧

a = (r − r θ )u r + (2 r θ + r θ )u θ

Para nuestro caso sería:

→ π 2 ∧  π π  ∧  )  u r + 2(0.5)(5 ) + (9)(2 ) uθ a = 1.2 − (9)(5 180 180 180 





→



∧

a = (1.2 − 0.068)u r + (0.087 + 0.314)u θ →

∧

a = 1.131u r + 0.401u θ 6.

La posición del cursor "P " en el brazo ranurado giratorio OA está controlada por un •

tornillo motorizado tal como se muestra. En el instante representado θ = 8 rad/s y ••

•

••

θ = −20 rad/s2. También, en ese instante, r = 200 mm, r = −300 mm/s y r = 0 . Hallar en ese instante, las componentes de r y θ de la aceleración de "P "

SOLUCIÓN •

Según datos del problema, se tiene que en el instante mostrado: θ = 8 rad/s, ••

•

••

θ = −20 rad/s2, r = 200 m = 0.2 m, r = −300 mm/s = 0.3 m/s y r = 0 m. Por lo tanto: •2

••

Componente radial de la aceleración:

a r = r − r θ = 0 − (0.2)(8)2 a r = 0 − 12.8 = −12.8 m/s2

Componente transversal de la aceleración:

aθ = 2 r θ + r θ aθ = 2(−0.3)(8) + (0.2)(−20) aθ = −4.8 − 4 = −8.8 m/s2

• •

→

∧

••

∧

El vector aceleración, vendría dado por: a = 12.8 u r − 8.8 u θ 7.

Cuando el cilindro hidráulico rota en torno al punto "O " , la precisión del aceite en su interior controla la longitud "l " al descubierto de la biela "P " . Si la velocidad uniforme de rotación del cilindro es 60 °/s y disminuye constantemente a razón de 150 mm/s. Calcular →

→

los módulos de la velocidad v y la aceleración a del extremo B cuando l = 125 mm

SOLUCIÓN: Según los datos del problema, se tiene: ω = 60 °/s

ω = 60(

180

•

) rad/s, de donde: θ = ω =

π 3

••

rad/s; θ = 0 rad/s2

Del gráfico, se tiene: r = 375mm + l = 0.375 + l

Por lo tanto:

•

r = l = 0.15 m/s ••

En consecuencia: Para cuando l = 125 mm o

r = 0 m/s2 r = 500mm = 0.5 m

Entonces:

Cálculo de la velocidad de la longitud "l " del cilindro hidráulico en Coordenadas Polares: → • ∧ • ∧ → ∧ → ∧ ∧ π ∧ v = r u r + r θ u θ , de donde: v = 0.15u r + (0.5)( )u θ , esto es: v = 0.15u r + 0.524 u θ

En consecuencia: v = (0.15) + (0.524) = 0.545 m/s 2

Cálculo de la aceleración de la longitud "l " del cilindro hidráulico en Coordenadas Polares: →

•2

••

∧

• •

••

∧

a = (r − r θ )u r + (2 r θ + r θ )u θ , de donde: →

•2

••

→ π  ∧  a r = 0 − (0.5)( )2  u r 3

∧

a r = (r − r θ )u r , lo que implica:



→



∧

a r = 0.548 u r →

• •

••

π   ∧ a θ = 2(0.15)( ) + (0.5)(0) u θ 3

∧

→

a θ = (2 r θ + r θ )u θ , lo que implica:



→



∧

a θ = 0.314 u θ →

∧

En consecuencia: a = 0.548 u r + 0.314 u θ

a = (0.548)2 + (0.314)2 = 0.632 m/s2 8.

El cohete ha sido disparado verticalmente y es seguido por el radar que se representa. Cuando θ llega a 60°, las otras mediciones correspondientes dan los valores r = 9 Km., ••

•

r = 21 m/s2 y θ = 0.02 rad/s. Hallar la velocidad y la aceleración del cohete para esta

posición.

SOLUCIÓN Respecto de los datos del problema, se tiene: θ = 60° =

π 3

rad; r = 9 km = 9000 m,

•

••

r = 21 m/s2 θ = 0.02 rad/s →

• ∧

La Velocidad del cohete para ese instante de tiempo es: v = r u r + r θ u θ •

v θ = r θ = (9000)(0.02) = 180 m/s De la figura, se tiene:

tan 30° =

vθ 1 Por lo tanto: v r = v θ , de donde: vr tan 30° v r = 180.ctg (30°) = (180)(1.73) = 311.77 m/s Entonces: v 2 = v r 2 + v θ 2

v = v r 2 + v θ 2 = (311.77)2 + (180)2 = 360 m/s La aceleración del cohete para ese instante de tiempo es: →

••

•2

••

•2

∧

• •

••

∧

a = (r − r θ )u r + (2 r θ + r θ )u θ a r = r − r θ = 21 − (9000)(0.02)2 = 17.4 m/s2 De la figura, se tiene: tan 30° =

aθ ar

Por lo tanto: aθ = a r tan 30°

aθ = (17.4) tan 30° = (17.4)(0.577) = 10.04 m/s2 En consecuencia:

a 2 = a r 2 + aθ 2 a = a r 2 + aθ 2 = (17.4)2 + (10.04)2 = 20.10 m/s2

Un jugador de béisbol lanza una pelota según las condiciones dadas. En el instante t = 0 , la pelota sale proyectada con una velocidad inicial de 30 m/s que forma un ángulo de •

••

•

••

30° con la horizontal. Halla los valores de r , r , r , θ , θ , θ en el sistema de coordenadas x − y indicado para el instante t = 0.5 s [Considere: Altura desde la superficie del suelo a la mano del beisbolista = 2 m] SOLUCIÓN: Según datos del problema, se tiene: En t = 0 , v 0 = 30 m/s; α = 30° (ángulo de tiro). Por lo tanto: o Componente horizontal de la velocidad inicial: v 0 x = v 0 cos α = (30)(cos 30°) = 25.98 m/s o

Componente vertical de la velocidad inicial: v 0 y = v 0senα = (30)(sen 30°) = 15 m/s En consecuencia: x (t ) = v 0 x .t = 25.98t

x (0.5) = (25.98)(0.5) ≈ 13 m

1 2 gt 2 y (0.5) = 2 + 15(0.5) − (0.5)(9.81)(0.5)2 = 8.27 m El vector posición, para ese instante de tiempo, viene determinado por:

y (t ) = y 0 + v 0 y .t −

→

∧

r = x i + y j = 13 i + 8.27 j , de donde: r = (13)2 + (8.27)2 = 14.4 m 8.27 y ) = 32.5° Se sabe, también: tan θ = , de donde: θ = arctan( x 13 o

Cálculo de la componente horizontal y vertical de la velocidad en t = 0.5 s; esto v y = v 0 y − gt = 15 − (9.81)(0.5) = 10.09 m/s es: v x = v 0 x = 25.98 m/s; En consecuencia: →

∧

•

v = 25.98 i + 10.09 j , de donde: r = v = (25.98)2 + (10.09)2 = 27.87 m/s v También: tan θ = θ , de donde: v θ = (tan θ ).v r = (tan 32.5°)(27.87) = 17.75 m/s vr • • v 17.75 Se sabe: v θ = r θ , de donde: θ = θ = = 1.2 rad/s r 14.4 En el eje " x " , se tiene que el movimiento es rectilíneo uniforme, esto es a x = 0 y en el eje " y " el movimiento es rectilíneo uniformemente variado, esto es: a y = g = 9.81 m/s2. Por lo tanto: a r = a x 2 + a y 2 = 0 2 + (9.81)2 = 9.81 m/s2 •2

••

Se sabe: a r = r − r θ .

En consecuencia:

••

9.81 = r − (14.4)(1.2)2 . Por lo tanto: r = 30.5 m/s2 También: tan θ =

aθ . En consecuencia: aθ = (tan θ )a r = (tan 32.5°)(9.81) = 6.25 m/s2 ar

• •

••

Se sabe: aθ = 2 r θ + r θ .

••

En consecuencia: 6.25 = 2(27.87)(1.2) + (14.4) θ

••

θ = −4.21 rad/s2

ACTIVIDAD Nº 04. CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA EN EL PLANO EN COORDENADAS POLARES 1.

Un proyectil se lanza con una velocidad inicial v0 = 25 m/s y un ángulo inicial α 0 = 45º . (a) Calcule el instante T en que el proyectil está en su altura máxima. (b) En t1 = T − 1.0 s, t 2 = T y

t3 = T + 1.0 s, obtenga las componentes " x " , " y " del vector de posición. (c) En los instantes t1 , t 2 , y t3 obtenga las componentes del vector velocidad. (d) En esos instantes, la componente del vector aceleración que es paralela (o antiparalela) a la velocidad, y también la componente perpendicular a la velocidad. (e) Dibuje la trayectoria del proyectil, rotulando la posición del proyectiles t1 , t 2 , y t3 . En esas posiciones, dibuje el vector velocidad y las componentes paralela y perpendicular del vector aceleración. 2.

La velocidad de un cuerpo móvil sobre el eje " x " está dado por: v = 8 + 2t 2 , estando " y " medida en centímetros y "t " en segundos. Cuando t = 3 s, el cuerpo está 52 cm. a la derecha del origen. (a) Encontrar las expresiones de la aceleración y la posición del cuerpo en cualquier instante. (b) ¿Cuál es la velocidad inicial? (c) ¿Cuál es la posición inicial?

Utilice la velocidad de una partícula como función del tiempo, que se tabula abajo, para calcular la posición de la partícula en cada uno de los tiempos; suponga que cuando t = 0 s, la partícula se encontraba en el origen y en reposo. (Sugerencia: lo más fácil es hacer una gráfica) Tiempo (s) 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5

Velocidad (m/s) 0.75 1.75 8.75 21.75 39.75 62.75 90.75 122.75

La posición de una partícula está expresada por x = At 2 + Be αt . La partícula se encuentra inicialmente, cuando t = 0 s en x = 1.0 m y tiene una v = 4 m/s. Después de 0.2s, se observa que la velocidad es 10m/s. ¿Cuál es la aceleración después de 1.0s?

Un punto material "P " se mueve a lo largo de la trayectoria r = f (θ ) simétrica respecto a θ = 0 . Cuando el punto pasa por la posición θ = 0 , donde el radio de curvatura de la trayectoria es " ρ " , •

su velocidad es "v " . Deducir una expresión de r en función de v , r , ρ para el movimiento del punto en esa posición.

Rpta: 6.

•

r = −v 2 (

1 − )

En el instante t = 0 el pequeño bloque "P " parte del reposo en el punto " A " y sube por el plano •

inclinado con una aceleración constante "a " . Expresar r en función del tiempo. 51

El bloque "P " se desliza por la superficie representada a la celeridad constante v = 0.6 m/s y pasa •

•

por el punto "O " en el instante t = 0 . Siendo R = 1.2 m, hallar los valores de r , θ , r y θ en el instante t = 2(1 +

π 3

)

Rpta:

•

••

r = 2.32 m; r = 0.424 m/s; r = −0.1345 m/s2 •

••

θ = 15° ; θ = 0.1830 rad/s; θ = 0.025 rad/s2 8.

El bloque "C " se desliza a lo largo de una barra ranurada OA se desliza en la canaleta lisa horizontal. Los bloques "C " y "D " están articulados entre sí que les permite girar uno con respecto al otro. Si "D " se mueve con velocidad constante v 0 hacia la derecha, determinar: A) La velocidad y la aceleración angular del brazo OA en función de h , v 0 , y θ . B) Si h = 0.6 m,

v 0 = 20 m/s, θ = 20° determinar el valor de la velocidad y la aceleración angular en ese instante, y C) La aceleración de "C "

Rpta:

•

a) θ = − •

v 0 .sen 2θ • • 2v 0 2sen 3θ . cos θ ; θ = h h2 ••

b) θ = −3.899 rad/s; θ = 83.547 rad/s2

APÉNDICE: TABLAS Y CONSTANTES FÍSICAS

TABLA N° 01 FACTORES DE CONVERSIÓN ENTRE UNIDADES DE PRESIÓN Pascal (N/m2 o Pa) 1 10-1 47.9 6.89x103 1.01x105 105 102

dinas/cm2

lb/pie2

lb/pulg2

atm

bar

mbar

mm Hg (Torr) a 0°C 7.50x10-3 7.50x10-4 0.359 51.7 760 750 0.750

cm H2O a 4°C

N/m2 10 2.09x10-2 1.45x10-4 9.87x10-6 10-5 10-2 1.02x10-2 dinas/cm2 1 2.09x10-3 1.45x10-5 9.87x10-7 10-6 10-3 1.02x10-3 2 -3 -4 -4 lb/pie 47.9 1 6.94x10 4.73x10 4.79x10 0.479 0.488 6.89x104 144 1 6.80x10-2 6.89x10-2 6.89 70.3 lb/pulg2 1.01x106 2.12x103 14.7 1 1.01 1.01x103 1.03x103 atm bar 106 2.09x103 14.5 0.987 1 103 1.02x103 mbar 103 2.09 1.45x10-2 9.87x10-4 10-3 1 1.02 mm Hg 3 -2 -3 -3 1.36 1 1.32x10 1.33x10 1.33 1.33x10 1.93x10 133 2.78 (Torr) a 0°C cm H2O a 1 0.736 0.981 98.1 2.05 981 1.42x10-2 9.68x10-4 9.81x10-4 4°C Cada cifra indica el valor de una unidad de la columna de la izquierda en las unidades de encabezamiento de cada columna. Por ejemplo: 1 lb/pulg2 equivale a 51.7 mm Hg.

TABLA N° 02 DENSIDADES DE ALGUNAS SUSTANCIAS CORRIENTES Sustancia

Densidad, kg/m3

Acero Agua

7,7x103

Peso específico, lb/pie3 4,8

Pura (0°C) Pura (20°C) De mar (15°C) Aire (20°C) Aluminio Cobre Granito Hielo Hierro Hueso Madera, Meple Mercurio Plomo Silicio Vapor de agua (100°C) Vidrio

1,000x103 0,998x103 1,025x103 1,20 2,7x103 8,9x103 2,7x103 0,197x103 7,7x103 1,6x103 0,7x103 13,6x103 11,3x103 2,33x103 0,596 2,6x103

62,4 62,4 64,0 7,5x10-2 1,7x102 5,5x102 1,7x102 0,57x102 4,8x102 1,0x102 44 8,5x102 7,1x102 1,46x102 3,7x102 1,6x102

TABLA N° 03 MÓDULO DE YOUNG, LÍMITE ELÁSTICO, Y RESISTENCIA A LA ROTURA DE ALGUNOS SÓLIDOS CORRIENTES Sustancia

Módulo de Young 109 N/m2 200 70 120 70 50 190

Límite de Elasticidad 107 N/m2 30 18 20 17 -

Rotura a la Tracción 107 N/m2 50 20 40 33 12 5 5

Rotura a la Compresión 107 N/m2 20 17 4 10 20 10 110

Acero Aluminio Cobre Cuarzo Granito Hierro, forjado Huesos Tracción 16 9 Compresión Ladrillo 20 Madera 10 Mármol 60 Poliestireno 3 Vidrio, cuarzo 70 fundido [Obs: Los valores consignados son representativos de cada material; los valores reales para una muestra particular pueden diferir a causa de diferencias en composición o preparación]

Bibliografía: o o o o o o o o o o o

Calderón Gómez, Ángel. Física: Conceptos y aplicaciones. México: Addison Wesley Longman, 1999. Clarence E. Bennett. Física sin matemáticas. México: CECSA, 1995 Eisberg Robert; Lerner Lawrence. Física Fundamentos y Aplicaciones. Volumen I. España: Mc Graw Hill, 1997. Franco García, Ángel. Física con ordenador. htpp:/www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm, febrero 2 006. Fishbane, Paúl; Gasiorowicz, Stephen. Física para ciencias e ingeniería. Madrid: Prentice Hall Hispanoamericana, 1994. Halliday, David; Resnick, Robert; Krane, Kenneth. Física Tomo I. Fourth Edition USA: Jhon Wiley and Sons. México: Continental, 2002. Hewitt, Paúl G. Física conceptual. México: Pearson Education, 2004. Sears, Francis; Zemansky, Mark; Freedman, R. Física Universitaria. Volumen I. México: Pearson Education, 1999. Serway, Raymond. Física. Tomo I. México: Mc Graw Hill, 1997. Tipler, Paúl. Física para la ciencia y tecnología. Barcelona: Reverte, 2000. Wilson, Ferry. Física con aplicaciones. México: Mc Graw Hill, 1991.