ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΟΜΟΣ Α Μάθημα 1ο – Η ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΞΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ
1.1
Εισαγωγή
Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τις πιο βασικές έννοιες της χρηματοοικονομικής όπως τη μελλοντική αξία, την παρούσα αξία, την καθαρή παρούσα αξία και τον εσωτερικό βαθμό απόδοσης. Με τις έννοιες αυτές θα είμαστε σε θέση να απαντήσουμε ερωτήματα όπως το πόσα χρήματα θα έχουμε στο μέλλον εάν καταθέσουμε στην Τράπεζα σήμερα ένα συγκεκριμένο ποσό, πόσο αξίζουν σε σημερινά χρήματα τα εισοδήματα που αναμένουμε στο μέλλον, ποια είναι η καθαρή σημερινή αξία μιας επένδυσης και ποια είναι η ποσοστιαία απόδοση μίας επένδυσης. Τα χρηματοοικονομικά αξιόγραφα και οι χρηματοοικονομικές επιλογές εμπεριέχουν πάντα τη διάσταση του χρόνου. Μερικά απλά παραδείγματά προβλημάτων που θα είσαστε σε θέση να απαντήσετε μετά
1.2
•
Τοποθετείτε 10.000€ σε ένα λογαριασμό καταθέσεων. Πόσα χρήματα θα έχετε σε 2 χρόνια;
•
Τοποθετείτε1000€ σε ένα λογαριασμό καταθέσεων και σκοπεύετε να καταθέτετε 1000€ στο τέλος κάθε χρόνου για τα επόμενα 10 χρόνια. Πόσα χρήματα θα έχετε σε 20 χρόνια
•
Αγοράσατε ένα εταιρικό ομόλογο στη τιμή 930€. Το ομόλογο θα σας αποδίδει 20€ κάθε χρόνο για τα επόμενα τέσσερα χρόνια. Στον πέμπτο χρόνο θα λάβετε 1020€. Ποια είναι η απόδοση από την επένδυση σας.
•
Σκοπεύετε να πραγματοποιήσετε μια επένδυση. Η επένδυση κοστίζει 100.000€ και θα σας αποφέρει 600€ κάθε μήνα για τα επόμενα 20 χρόνια. Θα πρέπει να αναλάβετε την επένδυση εάν γνωρίζετε ότι η τράπεζα αποδίδει στους καταθετικούς λογαριασμούς ετήσιο επιτόκιο 5%;
Μελλοντική Αξία ενός χρηματικού ποσού
Η μελλοντική αξία είναι η ισοδύναμη αξία κάποιου ποσού στο μέλλον. Ας υποθέσουμε ότι τοποθετείτε 1000€ σε μια κατάθεση και ότι η τράπεζα σας αποδίδει 5% τόκο στο τέλος κάθε χρόνου. Εάν κρατήσετε για ένα χρόνο στον καταθετικό λογαριασμό τα χρήματα στο τέλος του χρόνου θα έχετε τα 1000€ που καταθέσατε eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
καθώς και τον τόκο που αναλογεί για την περίοδο διακράτησης που είναι 5%*1000€=50€. Τα 1050€ είναι η μελλοντική αξία μετά από ένα χρόνο του αρχικού ποσού 1000€ με 5% ετήσιο επιτόκιο. Εάν υποθέσουμε ότι κρατήσετε τα χρήματα για ένα ακόμη χρόνο στο τέλος του δεύτερου χρόνου θα έχετε 1050€ + 5%*1050€=1.102,50€ Εναλλακτικά
1000€ *(1 + 0, 05) 2 = 1102,5€ Παρατηρήστε ο υπολογισμός της μελλοντικής αξίας χρησιμοποιεί την έννοια του ανατοκισμού. Ο τόκος που κερδήθηκε τον πρώτο χρόνο κερδίζει τόκο το δεύτερο χρόνο Συνοψίζοντας, η μελλοντική αξία (FV) ενός ποσού Χ (PV) σε ένα λογαριασμό που αποδίδει i% επιτόκιο ετησίως μετά από n χρόνια θα δίνεται από τον τύπο
FV = PV *(1 + i ) n Όπου FV= Μελλοντική Αξία ενός ποσού PV= Παρούσα αξία ενός ποσού Οι υπολογισμοί της μελλοντικής αξίας μπορούν να γίνουν εύκολα στο excel Πρόβλημα 1: Ποια είναι η μελλοντική αξία 1000 ευρώ εάν τα καταθέσουμε για 2 χρόνια με επιτόκιο 5%;
1000 0
1000*(1 + 0, 05) 2 = 1.102,50 1
2
ΠΡΟΣΟΧΗ! : Καθώς βρίσκουμε την αξία του ποσού μετά από 2 χρόνια ( το μεταφέρουμε στη γραμμή του χρόνου από το χρόνο 0 στο χρόνο 2) θα πρέπει να υψώσουμε στην δευτέρα. Ο υπολογισμός 1000*(1 + 0, 05) 2 = 1.102,50 μπορεί να γίνει με χρήση του πίνακα 1 στην ( τελική αξία μιας νομισματικής μονάδας )στο βιβλίο του ΕΑΠ σελ 210 , Συγκεκριμένα ο πίνακας αυτός μας αποδίδει την μελλοντική αξία της μίας νομισματικής μονάδας , δηλαδή την πράξη (1 + i ) n .
Συνεπώς για i=5% και n=2
έχουμε από τον πίνακα ότι eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
(1 + 0, 05) 2 = 1,1025 και επομένως η Μελλοντική Αξία θα είναι ίση με
ΜΑ=1000*1,1025=1102,50
Στην περίπτωση που θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε το excel για τον υπολογισμό έχουμε
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
Παρατηρήστε ότι το σύμβολο (^) αντιπροσωπεύει τη δύναμη. Στο excel η πράξη
1000€ *(1 + 0, 05) 2 = 1102,5€ γράφεται ως D4*(1+D5)^D6, όπου το κελί D4 περιέχει το ποσό για το οποίο θέλουμε να βρούμε τη μελλοντική αξία, το κελί D5 περιέχει το επιτόκιο και το κελί D6 τον αριθμό των χρόνων. Εναλλακτικά η μελλοντική αξία μπορεί να υπολογιστεί και από την οικονομική συνάρτηση FV
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
Οι μεταβλητές που πρέπει να οριστούν είναι Σύνταξη
FV(rate;nper;pmt;pv;type) Rate είναι το επιτόκιο ανά περίοδο. Nper είναι ο συνολικός αριθμός των περιόδων πληρωμής μιας προσόδου. Pmt είναι η σταθερή πληρωμή που καταβάλλεται σε κάθε περίοδο και δεν μπορεί να αλλάξει κατά τη διάρκεια της περιόδου. Στο πρόβλημα μας δεν υπάρχει ενδιάμεση σταθερή πληρωμή γι’αυτό και ορίζουμε το μηδέν Pv είναι η παρούσα αξία ή το εφάπαξ ποσό που αντιπροσωπεύει μια σειρά μελλοντικών πληρωμών σε τρέχουσες τιμές. Στο πρόβλημα μας εισάγουμε την παρούσα αξία με αρνητικό πρόσημο γιατί αποτελεί εκροή, αρχική καταβολή χρημάτων. Type είναι ο αριθμός 0 ή 1 και επισημαίνει πότε πρέπει να καταβάλλονται οι πληρωμές. Εάν παραλειφθεί το όρισμα type, θεωρείται ίσο με 0. Στο πρόβλημα μας το ποσό καταβάλλεται στην αρχή της περιόδου, οπότε είτε παραλείπουμε το όρισμα ή ορίζουμε το μηδέν.
Μπορούμε να δημιουργήσουμε με το excel ένα πίνακα που να δείχνει το πώς μεγαλώνει η μελλοντική αξία με το χρόνο
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
Παρατηρήστε ότι οι τύποι στα κελιά C7 έως C27 εμπεριέχουν το σύμβολο του δολαρίου $. Η μελλοντική αξία των 1000 ευρώ στο τέλος του 1ου χρόνου δίνεται από
1000€ *(1 + 0, 05) = 1050€ Η μελλοντική αξία των 1000 ευρώ στο τέλος του 2ου χρόνου δίνεται από
1000€ *(1 + 0, 05) 2 = 1102,5€ Παρατηρούμε ότι το μόνο που αλλάζει στον υπολογισμό είναι ότι υψώνουμε τον όρο
(1 + 0, 05) σε διαφορετική δύναμη ανάλογα με τα χρόνια που θέλουμε να βρούμε τη μελλοντική αξία. Συνεπώς εάν θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα τύπο και να τον αντιγράψουμε στα κελιά που υπολογίζονται οι μελλοντικές αξίες θα πρέπει στον τύπο αυτό να κρατήσουμε σταθερά τα κελιά που περιέχουν το ποσό και το επιτόκιο. Το μόνο που θα αλλάζει στον υπολογισμό σε κάθε κελί υπολογισμού θα είναι η ύψωση στον αριθμό των ετών. Στο παρακάτω φύλλο excel παρουσιάζεται ένας πίνακας και ένα γράφημα που δείχνουν την μελλοντική αξία 1000€ με τρία διαφορετικά επιτόκια 5%, 8%, 10%. Όπως βλέπουμε και από τα γραφήματα η μελλοντική αξία είναι πολύ ευαίσθητη στο επιτόκιο!
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
Πρόβλημα 2: Ποια είναι η μελλοντική αξία (δηλαδή πόσα χρήματα θα έχουμε στο τέλος του 2,5χρόνων) εάν για τα επόμενα 2,5 χρόνια καταθέσουμε 1000 στο τέλος του 1ου εξαμήνου, 2000 στο τέλος του 2ου εξαμήνου, 3000 στο τέλος του 3ου εξαμήνου, 5000 στο τέλος του 4ου εξαμήνου και 6000 ευρώ στο τέλος του 5ου εξαμήνου με ετήσιο επιτόκιο 10%; Η γραμμή του χρόνου για το πρόβλημα μας ορίζεται σε εξάμηνα καθώς οι χρηματοροές μας είναι εξαμηνιαίες.
Εξάμηνα 0
1000
2000
3000
5000
6000
1
2
3
4
5
1 περίοδο 2 περιόδους 3 περιόδους 4 περιόδους
Το εξαμηνιαίο επιτόκιο είναι 10%/2=5% ( ΠΡΟΣΟΧΗ! Όλα τα επιτόκια θα μας δίνονται σε ετήσια βάση και θα πρέπει να τα μετατρέπουμε στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα) Η μελλοντική αξία υπολογίζεται από
FV = 1000*(1 + 0, 05) 4 + 2000*(1 + 0, 05)3 + 3000*(1 + 0, 05) 2 + 5000 *(1 + 0, 05) + 6000 Χρησιμοποιώντας τον πίνακα 1 έχουμε
FV = 1000*1, 2155 + 2000*1,1576 + 3000*1,1025 + 5000*1, 0500 + 6000 = 18088, 26
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
1.3
Μελλοντική Αξία μίας σειράς ισόποσων πληρωμών (ράντα)
Σε ορισμένα προβλήματα οι χρηματοροές μας θα αποτελούνται από ένα σταθερό και ισόποσο ποσό κάθε περίοδο έστω με Χ
χρόνος
0
Χ 1
Χ 2
Χ ………. 3 …………
Χ n
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
Η μελλοντική αξία των πληρωμών αυτών θα δίνεται από
FV = Χ *(1 + i ) n −1 + *(1 + i ) n − 2 + X *(1 + i ) n −3 + ..... + X (1 + i)1 + X (1 + i ) 0 Παρατηρούμε ότι εμφανίζεται μια γεωμετρική πρόοδος με σταθερό όρο αύξησης (1+i) και εφαρμόζοντας τον τύπο του αθροίσματος όρων γεωμετρικής προόδου καταλήγουμε σε
(1 + i ) n − 1 FV = Χ * i Πρόβλημα 1: Ποια είναι η μελλοντική αξία (δηλαδή πόσα χρήματα θα έχουμε στο τέλος των 5 χρόνων ) εάν για τα επόμενα 5 χρόνια καταθέτουμε 1000 ευρώ στο τέλος κάθε έτους με επιτόκιο 6% Η γραμμή του χρόνου στο πρόβλημα μας ορίζεται ως
χρόνος
0
1000 1
1000 2
1000 3
1000 4
1000 5
Η μελλοντική αξία στο πρόβλημά μας δίνεται από
FV = 1000*(1 + 0, 06) 4 + *(1 + 0, 06)3 + 1000*(1 + 0, 06) 2 + 1000*(1 + 0, 06) + 1000
Εναλλακτικά σύμφωνα με το τύπο της μελλοντικής αξίας μιας σειράς πληρωμών που μόλις αναπτύξαμε η μελλοντική αξία είναι ίση με
(1 + 0, 06)5 − 1 FV = 1000* 0, 06 Ο συντελεστής της μελλοντικής αξίας ράντας
(1 + 0, 06)5 − 1 = 5, 6371 θα βρεθεί από 0, 06
τον πίνακα 3 του βιβλίου. Επομένως
FV = 1000*5, 6371 = 5637,1
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
Εναλλακτικά μπορούμε να υπολογίσουμε τη ζητούμενη μελλοντική αξία με χρήση της συνάρτησης FV του excel. Παρατηρούμε ότι στο όρισμα pmt ορίζουμε τη σταθερή ετήσια χρηματοροή ( στο πρόβλημα μας την εισάγουμε ως αρνητική καθώς αποτελεί καταβολή).
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
Τέλος το όρισμα Type το αφήνουμε κενό ή εισάγουμε τον αριθμό μηδέν καθώς οι χρηματοροές καταβάλονται στο τέλος της περιόδου. Εάν οι χρηματοροές ήταν καταβλητέες στην αρχή της περιόδου θα έπρεπε να εισάγουμε τη τιμή 1 στο όρισμα Type
Πρόβλημα 2: Ποια είναι η μελλοντική αξία (δηλαδή πόσα χρήματα θα έχουμε στο τέλος των 5 χρόνων ) εάν για τα επόμενα 5 χρόνια καταθέτουμε αρχής γενομένης από σήμερα 1000 ευρώ στην αρχή κάθε έτους με επιτόκιο 6% Η γραμμή του χρόνου στο πρόβλημα μας ορίζεται ως 1000 0
1000 1
1000 2
1000 3
1000 4
5
Η μελλοντική αξία στο πρόβλημά μας δίνεται από
FV = 1000*(1 + 0, 06)5 + 1000*(1 + 0, 06) 4 + 1000*(1 + 0, 06)3 + 1000 *(1 + 0, 06) 2 + 1000*(1 + 0, 06)
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
ΠΡΟΣΟΧΗ! Στην περίπτωση που οι χρηματοροές είναι καταβλητέες στην αρχή της περιόδου θα ήταν λάθος να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της μελλοντικής αξίας ράντας δηλαδή θα ήταν λάθος να υπολογίσουμε
(1 + 0, 06)5 − 1 FV = 1000* = 5637, 09 0, 06
ΛΑΘΟΣ!
(1 + 0, 06)5 − 1 FV = 1000* *(1 + 0, 06) = 5975,32 0, 06
ΣΩΣΤΟ!
Γενικά ο κανόνας που ισχύει είναι ότι FVD = FVO *(1 + i ) Όπου
FVD = Μελλοντική αξία μίας σειράς πληρωμών καταβληθέντων στην αρχή της
περιόδου
FVΟ = Μελλοντική αξία μίας σειράς πληρωμών καταβληθέντων στο τέλος της περιόδου
Εάν χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση FV στο excel θα πρέπει στο όρισμα Type να ορίσουμε την τιμή 1 , καθώς οι χρηματοροές μας καταβάλλονται στην αρχή της περιόδου.
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
Πρόβλημα 3: Εάν θέλουμε να συγκεντρώσουμε 10.000 ευρώ σε 2 χρόνια, ποιο είναι το σταθερό ποσό που πρέπει να καταθέτουμε στο τέλος κάθε μήνα εάν το ετήσιο επιτόκιο είναι 12%; Η γραμμή του χρόνου για το πρόβλημα μας ορίζεται από 24 μήνες. Στο πρόβλημά μας άγνωστό είναι το ποσό που πρέπει να καταθέτουμε στο τέλος κάθε χρόνου, ενώ γνωρίζουμε το ποσό που θέλουμε να συγκεντρώσουμε, δηλαδή FV=10.000
Χ 1
μήνες 0 Το μηνιαίο επιτόκιο
είναι i =
Χ ………… 2 ………….
0,12 = 0, 01 = 1% . 12
Χ 23
Χ 24
Αντικαθιστούμε στο τύπο της
μελλοντικής αξίας μίας σειράς πληρωμών και έχουμε
(1 + i) n − 1 FV = Χ * i (1 + 0, 01) 24 − 1 10.000 = Χ * ⇒ 10.000 = Χ * 26,9735 0, 01 ⇒Χ=
10.000 = 370, 73 26,9735
Επομένως στο τέλος κάθε μήνα θα πρέπει να καταθέτουμε 370,73 ευρώ Προκειμένου να βρούμε το ποσό Χ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τη συνάρτηση PMT
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
H συνάρτηση PMT αποδίδει το ποσό της δόσης ενός δανείου με βάση σταθερές πληρωμές και σταθερό επιτόκιο στην περίπτωση που ορίσουμε την παρούσα αξία (PV) του δανείου ή αντίστοιχα το σταθερό ποσό που πρέπει να καταθέτουμε, προκειμένου να έχουμε κάποιο χρηματικό ποσό στο μέλλον/ Σύνταξη PMT(rate;nper;pv;fv;type) Rate είναι το επιτόκιο ενός δανείου ή το επιτόκιο καταθέσεων Nper είναι το συνολικό πλήθος πληρωμών του δανείου ή το συνολικό πλήθος των σταθερών καταθέσεων Pv είναι η παρούσα αξία ή το συνολικό ποσό στο οποίο ανέρχεται αυτή τη στιγμή μια σειρά μελλοντικών πληρωμών, γνωστό και ως αρχικό κεφάλαιο. (Χρησιμοποιείται σε προβλήματα υπολογισμού της δόσης του δανείου) Fv είναι η μελλοντική αξία ή το υπόλοιπο ταμείου που θέλετε να επιτύχετε μετά την καταβολή της τελευταίας πληρωμής Χρησιμοποιείται σε προβλήματα υπολογισμού του σταθερού ποσού κατάθεσης Type είναι ο αριθμός 0 ή 1 και επισημαίνει πότε πρέπει να καταβάλλονται οι πληρωμές.
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
1.4
Παρούσα Αξία ενός χρηματικού ποσού
Η παρούσα αξία είναι η ισοδύναμη αξία σήμερα ενός χρηματικού ποσού που θα πραγματοποιηθεί στο μέλλον. Πρόβλημα 1 Ας υποθέσουμε ότι αναμένετε 20.000€ σε τρία χρόνια από σημερα από ένα καταθετικό σας λογαριασμό που αποδίδει 6% επιτόκιο. Ποια είναι η σημερινή αξία των 20.000 ευρώ που θα λάβετε μετά από τρία χρόνια;
H γραμμή του χρόνου για το συγκεκριμένο πρόβλημα ορίζεται ως
0
1
2
20000 3
Η παρούσα αξία ενός μελλοντικού ποσού υπολογίζεται ως
PV =
FV (1 + i ) n
Στο συγκεκριμένο πρόβλημα
PV =
20.000 1 = 20.000* 3 (1 + 0, 06) (1 + 0, 06)3
Ο συντελεστής
1 ονομάζεται συντελεστής προεξόφλησης και (1 + i ) n
πολλαπλασιαζόμενος με τη μελλοντική αξία μας δίνει την παρούσα αξία. Ο πίνακας 2 του βιβλίου μας δίνει τον συντελεστή προεξόφλησης για κάθε συνδυασμό χρόνου και επιτοκίου.
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
Eπομένως
PV =
20.000 1 = 20.000* = 20.000*0,8396 = 16.792 3 (1 + 0, 06) (1 + 0, 06)3
Η παρούσα αξία με το excel μπορεί να υπολογιστεί από τη συνάρτηση PV
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
Πρόβλημα 2: Ποια είναι η παρούσα αξία (δηλαδή ποια είναι η σημερινή ισοδύναμη χρηματική των εισοδημάτων που αναμένουμε τα επόμενα 2,5χρόνια) εάν για τα επόμενα εάν αναμένουμε 1000 στο τέλος του 1ου εξαμήνου, 2000 στο τέλος του 2ου εξαμήνου, 3000 στο τέλος του 3ου εξαμήνου, 5000 στο τέλος του 4ου εξαμήνου και 6000 ευρώ στο τέλος του 5ου εξαμήνου. Το ετήσιο επιτόκο είναι 12%; Η γραμμή του χρόνου για το πρόβλημα μας ορίζεται σε εξάμηνα καθώς οι χρηματοροές μας είναι εξαμηνιαίες.
Εξάμηνα 0
1000
2000
3000
5000
6000
1
2
3
4
5
1 περίοδο 2 περιόδους 3 περιόδους
4 περιόδους 5 περιόδους Το εξαμηνιαίο επιτόκιο είναι i=12%/2=6% eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
Η παρουσα αξία μελλοντική αξία υπολογίζεται από
PV =
1000 2000 3000 5000 6000 + + + + 2 3 4 1 + 0, 06 (1 + 0, 06) (1 + 0, 06) (1 + 0, 06) (1 + 0, 06)5
Χρησιμοποιώντας τον πίνακα 2 έχουμε
PV = 1000*0,9434 + 2000*0,8900 + 3000*0,8396 + 5000*0, 7921 + 6000*0, 7473 = 13686, 26
Για να λύσουμε το παραπάνω πρόβλημα θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση NPV στο excel.
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
ΠΡΟΣΟΧΗ! Η συνάρτηση ΝPV αποδίδει την παρούσα αξία μιας επένδυσης με βάση ένα προεξοφλητικό επιτόκιο και μια σειρά μελλοντικών πληρωμών (αρνητικές τιμές) και εισοδημάτων (θετικές τιμές). Σύνταξη NPV(rate;value1;value2; ...) Rate είναι το προεξοφλητικό επιτόκιο κατά τη διάρκεια μίας περιόδου. Value1, value2,... είναι 1 έως 254 ορίσματα που αντιπροσωπεύουν πληρωμές και εισοδήματα. Οι συναλλαγές των ορισμάτων value1, value2,... πρέπει να απέχουν ίσα χρονικά διαστήματα και να πραγματοποιούνται στο τέλος κάθε περιόδου. Η συνάρτηση NPV χρησιμοποιεί τη διάταξη των ορισμάτων value1, value2,... για να ερμηνεύσει τη διαδοχή των ταμειακών ροών. Βεβαιωθείτε ότι η καταχώρηση των ποσών πληρωμών και εισοδημάτων γίνεται με τη σωστή σειρά. Υπολογίζονται τα ορίσματα που είναι αριθμοί, κενά κελιά, λογικές τιμές ή κείμενο που αντιπροσωπεύει αριθμούς. Τα ορίσματα που είναι τιμές σφαλμάτων ή κείμενο που δεν μετατρέπεται σε αριθμούς παραβλέπονται. eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
Εάν ένα όρισμα είναι πίνακας ή αναφορά, τότε υπολογίζονται μόνο οι αριθμοί αυτού του πίνακα ή της αναφοράς. Τα κενά κελιά, οι λογικές τιμές ή το κείμενο που υπάρχουν στον πίνακα ή την αναφορά παραβλέπονται. Παρατήρηση
Ενώ στη χρηματοοικονομική όπως θα δούμε στη συνέχεια με τον όρο NPV δηλώνουμε την Καθαρή Παρούσα Αξία (ΚΠΑ) η συνάρτηση ΝPV στο excel υπολογίζει την Παρούσα Αξία. Εάν θέλαμε να υπολογίσουμε την Καθαρή Παρούσα Αξία θα έπρεπε να αφαιρέσουμε το κόστος της επένδυσης από την Παρούσα Αξία.
1.5
Παρούσα Αξία μιας σειράς ισόποσων πληρωμών (ράντα)
Σε ορισμένα προβλήματα οι χρηματοροές μας θα απότελούνται από ένα σταθερό και ισόποσο ποσό κάθε περίοδο έστω με Χ
χρόνος
Χ 1
0
Χ 2
Χ ………. 3 …………
Χ n
Η Παρούσα αξία των πληρωμών αυτών θα δίνεται από
PV =
Χ X X + + ..... + 2 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) n
Παρατηρούμε ότι εμφανίζεται μια γεωμετρική πρόοδος με σταθερό όρο αύξησης 1/(1+i) και εφαρμόζοντας τον τύπο της γεωμετρικής προόδου καταλήγουμε σε
1 1 − (1 + i ) n PV = Χ * i
Πρόβλημα 1: Ποια είναι η τρέχουσα (παρούσα) αξία ενός χρηματοοικονομικού συμβολαίου που αναμένεται να μας αποδίδει για τα επόμενα 5 χρόνια 1000 ευρώ στο τέλος κάθε έτους; Δίνεται ότι το ετήσιο επιτόκιο είναι 6% Η γραμμή του χρόνου στο πρόβλημα μας ορίζεται ως
χρόνος
0
1000 1
1000 2
1000 3
1000 4
1000 5
Η παρούσα αξία στο πρόβλημά μας δίνεται από eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
PV =
1000 1000 1000 1000 1000 + + + + 2 3 4 (1 + 0, 06) (1 + 0, 06) (1 + 0, 06) (1 + 0, 06) (1 + 0, 06) 5
Εναλλακτικά σύμφωνα με το τύπο της παρούσας αξίας μιας σειράς πληρωμών που μόλις αναπτύξαμε η παρούσα αξία είναι ίση με
1 1 − (1 + 0, 06)5 PV = 1000* 0, 06
1 1 − (1 + 0, 06)5 Ο συντελεστής της παρούσας αξίας ράντας 0, 06
= 4, 2124 θα βρεθεί από
τον πίνακα 4 του βιβλίου.
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
`
Σύνεπως η ζητούμενη παρούσα αξία υπολογίζεται ως
1 1 − (1 + 0, 06)5 PV = 1000* 0, 06
⇒ PV = 1000* 4, 2124 = 4212, 40
Συνεπώς εάν ήταν να αγοράσουμε το παραπάνω συμβόλαιο η μέγιστη τιμή που θα έπρεπε να πληρώσουμε είναι 4212,40 ευρώ. eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
Με το excel η μελλοντική αξία υπολογίζεται από τη συνάρτηση PV εάν στο όρισμα pmt εισάγουμε την σταθερή ετήσια πληρωμή των 1000 ευρώ
Πρόβλημα 3: Εάν θέλουμε να δανειστούμε σήμερα 10.000 ευρώ με ένα διετές δάνειο, ποια είναι η σταθερή δόση που πρέπει να καταθέτουμε στο τέλος κάθε μήνα εάν το ετήσιο επιτόκιο είναι 12%; Η γραμμή του χρόνου για το πρόβλημα μας ορίζεται από 24 μήνες. Στο πρόβλημά μας άγνωστό είναι το ποσό που πρέπει να πληρώνουμε στο τέλος κάθε μήνα, ενώ γνωρίζουμε την παρούσα αξία του ποσού που δανειστήκαμε
Μήνες 0 Το μηνιαίο επιτόκιο
Χ 1 είναι i =
Χ ………… 2 ………….
0,12 = 0, 01 = 1% . 12
Χ 23
Χ 24
Αντικαθιστούμε στο τύπο της
μελλοντικής αξίας μίας σειράς πληρωμών και έχουμε
1 1 − (1 + i ) 24 PV = Χ * i 1 eclass4U- Γιάννης Σαραντής 6977988573, 2105711484 24 1 − (1 + ,0,τηλ 01) 10.000 = Χ * ⇒ 10.000 = Χ * 21, 2434 0, 01 www.eclass4u.gr email: Sarantis@eclass4u.gr , web: elearning: www.learn.eclass4u.gr 10.000 ⇒Χ= = 470, 73 21, 2434
29
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
Επομένως στο τέλος κάθε μήνα θα πρέπει να πληρώνουμε δόση 470,73 ευρώ Προκειμένου να βρούμε το ποσό Χ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τη συνάρτηση PMT
Πρόβλημα 4 Συνάψαμε ένα 2 ετές δάνειο με μηνιαίες πληρωμές και ετήσιο επιτόκιο 12%. Σύμφωνα με τους όρους του δανείου για τους 6 πρώτους μήνες από την στιγμή της σύναψης έχουμε απαλλαγή από την πληρωμή των τόκων και του κεφαλαίου, ενώ από τους 6 μήνες και μετά θα καταβάλλουμε στην Τράπεζα 500 ευρώ. Ποιο είναι το ποσό που δανειστήκαμε σήμερα Η γραμμή του χρόνου για το συγκεκριμένο πρόβλημα είναι
0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
500 7
500 ……….. 8 …………
Παρατηρούμε ότι η ράντα (ισόποσες πληρωμές) εμφανίζεται μετά τον 6ο μήνα, δηλαδή από τον 7ο έως τον 24ο μήνα ΠΡΟΣΟΧΗ! eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
500 24
Εάν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της παρούσας αξίας ράντας θα βρούμε την ισοδύναμη αξία των ποσών από τον 7ο έως τον 20ο μήνα μία περίοδο πίσω, δηλαδή στον 6ο μήνα Ο ΤΥΠΟΣ ΤΗΣ ΡΑΝΤΑΣ ΜΑΣ ΦΕΡΝΕΙ ΤΑ ΠΟΣΑ ΜΙΑ ΠΕΡΙΟΔΟ ΠΙΣΩ ΑΠΟ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΠΟΣΟ ΤΗΣ ΡΑΝΤΑΣ. Επομένως η Παρούσα Αξία των ποσών το 6ο εξάμηνο δίνεται από
1 1 − (1 + 0, 01)18 PV6 = 500* ⇒ PV6 = 500*16,3983 = 8199,13 0, 01 Στον συντελεστή παρούσας αξίας ράντας υψώσαμε στην 18 γιατί απομένουν 18 μήνες από τον 6ο μήνα έως τον 24ο μήνα. Η γραμμή του χρόνου μετά την εύρεση του ισοδύναμου ποσού το 6ο εξάμηνο ορίζεται ως 0 1
0
0 2
0 3
0 4
0 5
8199,13 6
Συνεπώς η αξία του ποσού που δανειστήκαμε υπολογίζεται ως
PV =
PV6 8199,13 ⇒ PV = = 5780, 07 6 (1 + i ) (1 + 0, 01)6
Αυτή είναι η αξία που δανειστήκαμε σήμερα
1.6 Παρούσα Αξία μιας σειράς ισόποσων πληρωμών στο διηνεκές Σε ορισμένα προβλήματα οι χρηματοροές μας θα απότελούνται από ένα σταθερό και ισόποσο ποσό κάθε περίοδο έστω με Χ για πάντα
χρόνος
0
Χ 1
Χ 2
Χ ………. 3 …………
Η παρούσα αξία στη περίπτωση αυτή υπολογίζεται ως eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
PV =
Χ i
Πρόβλημα: Έστω ότι αγοράσαμε μία μετοχή που αναμένεται να μας αποδίδει 0,5 ευρώ το χρόνο για πάντα. Εάν το ετήσιο επιτόκιο είναι 5% ποια είναι η παρούσα αξία των εισοδημάτων από τη μετοχή ; ( Mέγιστη τιμή που θα είμασταν διατεθειμένοι να πληρώσουμε!)
PV =
Χ 0,5 = = 10 i 0, 05
1.7 Ασκήσεις Mαθήματος 1 1. Μόλις κατέθεσες 3000€ στην Τράπεζα και σκοπεύεις να τα κρατήσεις κλειστά στην Τράπεζα για τα επόμενα 10 χρόνια. Ένα το ετήσιο επιτόκιο είναι 5%, πόσα χρήματα θα έχεις στο τέλος των 10 ετών;
2. Έχετε ένα παιδί 3 ετών και θέλετε να εξασφαλίσετε τις σπουδές του που θα πραγματοποιήσει σε ηλικία 18ετών. Σκέφτεστε να ανοίξετε σήμερα ένα καταθετικό λογαριασμό για το παιδί σας όπου στο τέλος κάθε εξαμήνου να καταθέτετε 700€. Σημειώνεται ότι ανοίγετε σήμερα τον καταθετικό λογαριασμό με κατάθεση 700€. Εάν ο λογαριασμός αποδίδει ετήσιο τόκο 8%, πόσα χρήματα θα έχει ο λογαριασμός στο τέλος του 15ου χρόνου; 3. Yποθέστε ότι ο παρακάτω πίνακας περιέχει δεδομένα από ένα πρόγραμμα συνταξιοδότησης που σας προτείνει ο ασφαλιστής σας
α) Εάν το επιθυμητό ποσό συνταξιοδότησης είναι 150.000€ πόσο πρέπει να αποταμιεύει κάθε χρόνο ένας 30 χρονος; eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
β) Ποια είναι η δίκαιη αξία αυτού του ασφαλιστικού συμβολαίου γ) Συμπληρώστε τα κενά στον πίνακα δ) Εάν η μηνιαία σύνταξη σας από το 65ο έτος της ηλικίας και μετά είναι 1500€ και τα μηνιαία έξοδά σας είναι 1200€ πόσα αναμένεται να εισπράξουν οι κληρονόμοι σας μετά τον θάνατο σας; 4. Eάν καταθέσετε 25.000€ σήμερα και η Τράπεζα σας αποδώσει 32.000€ μετά από 5 χρόνια, ποιο είναι το ετήσιο επιτόκιο; 5. Είσαστε 30 ετών και σκοπεύετε να αγοράσετε ένα ασφαλιστικό συμβόλαιο ώστε μετά τα 55 χρόνια σας να εισπράττετε 50.000€ το χρόνο. Εάν το προσδόκιμο επιβίωσης σας είναι 85χρόνια και το ετήσιο επιτόκιο είναι 5%, ποίο είναι το ετήσιο ποσό που πρέπει να αποταμιεύετε από τα 30 έως τα 55 σας; 6. Είσαστε σήμερα 30 ετών και σκοπεύετε να αποκτήσετε ένα μεταπτυχιακό MBA. Τα τωρινά ετήσια εισοδήματά σας είναι 30.000€ . Οι κάτοχοι μεταπτυχιακού MBA κερδίζουν το χρόνο ετήσια εισοδήματα 40.000€. Το MBA που εξετάζετε είναι 2 ετές και κοστίζει 15.000€ το χρόνο, πληρωτέα στο τέλος κάθε έτους. Σκοπεύετε να συνταξιοδοτηθείτε στα 65 χρόνια σας. Εάν το ετήσιο επιτόκιο είναι 8%, θα έπρεπε να παραιτηθείτε από την τωρινή εργασίας σας προκειμένου να αποκτήσετε μεταπτυχιακό τίτλο MBA; 7. Σκοπεύετε να αγοράσετε ένα αυτοκίνητο αξίας 20.000€ το οποίο θα αποπληρώσετε οριστικά μετά την πάροδο 4 ετών . Με την αντιπροσωπεία αυτοκινήτων συμφωνήσατε αν πληρώσετε 5000€ στο τέλος του επόμενου χρόνου ενώ για τα επόμενα 3 χρόνια θα πληρώνετε σταθερή μηνιαία δόση. Εάν το ετήσιο επιτόκιο με όλες τις επιβαρύνσεις είναι 12% α) Ποια είναι η μηνιαία δόση β) Ποιος είναι ο πίνακας εξυπηρέτησης δανείου γ) Εάν η μηνιαία δόση είναι 500 ευρώ ποιο είναι το επιτόκιο του δανείου;
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29
8. Σκοπεύετε να νοικιάσετε ένα σπίτι για 2 έτη. Ο ιδιοκτήτης του σπιτιού σας προτείνει 2 διαφορετικά συμβόλαια •
Να πληρώνετε 800 ευρώ κάθε μήνα για τα επόμενα 2 έτη
•
Να μην πληρώσετε τίποτα τους πρώτους 6 μήνες και να πληρώνετε για τους υπόλοιπους 18μήνες 1000 ευρώ το μήνα
Εάν το ετήσιο επιτόκιο είναι ίσο με 12% ποιο από τα 2 συμβόλαια πρέπει να διαλέξετε;
eclass4U- Γιάννης Σαραντής , τηλ 6977988573, 2105711484 email: Sarantis@eclass4u.gr , web: www.eclass4u.gr elearning: www.learn.eclass4u.gr
29