Cap´ıtulo XVII
Resoluci´ on de ecuaciones por radicales En el cap´ıtulo V (teorema 5.20) vimos que las soluciones de una ecuaci´ on de segundo grado ax2 + bx + c = 0 con coeficientes a, b y c en un cuerpo de caracter´ıstica distinta de 2 pueden obtenerse mediante la f´ ormula √ −b ± b2 − 4ac x= , 2a √ donde b2 − 4ac representa a una ra´ız cuadrada del elemento b2 − 4ac, es decir, un elemento cuyo cuadrado es b2 − 4ac. Esta f´ ormula es conocida desde la antig¨ uedad, mientras que una f´ ormula similar que permita resolver ecuaciones polin´ omicas de tercer grado no fue hallada hasta el siglo XVI, por el matem´ atico Cardano (si bien Tartaglia afirmaba que fue ´el quien la encontr´ o y se la comunic´ o a Cardano bajo palabra de no revelarla). La f´ ormula de Cardano es demasiado complicada para que resulte de utilidad pr´ actica, por lo que no vamos a demostrarla. No obstante es instructivo conocer su aspecto: Dada una ecuaci´ on c´ ubica ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a 6= 0, una de sus ra´ıces tiene la forma x = u + v, donde s r 3 q q2 p3 p u= − + + y v=− (en el supuesto de que u 6= 0.) 2 4 27 3u a su vez
3ac − b2 2b3 − 9abc + 27a2 d y q = . 3a2 27a3 Las dos soluciones restantes se obtienen cambiando la elecci´ on de la ra´ız c´ ubica que define a u. En caso de que u = 0, los valores de v se obtienen mediante otra expresi´ on del mismo estilo. p=
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