Cap´ıtulo XIII
Factorizaci´ on en cuerpos cuadr´ aticos Los cuerpos cuadr´ aticos son los m´ as simples de todos los cuerpos num´ericos y, entre ellos, los m´ as simples son los imaginarios. Sin embargo, su estudio proporciona resultados importantes sobre los n´ umeros enteros. En otros cap´ıtulos hemos visto algunas de sus aplicaciones. Aqu´ı vamos a estudiar m´ as a fondo su estructura, demostrando algunos resultados que no tienen an´ alogos en otros cuerpos y tambi´en otros v´ alidos para cuerpos num´ericos arbitrarios, pero cuyas demostraciones generales no est´ an a nuestro alcance. Entre otras cosas, daremos un algoritmo para determinar si un cuerpo cuadr´ atico tiene o no factorizaci´ on u ´nica, as´ı como para decidir si un ideal dado es o no principal, y obtener en su caso un generador.
13.1
Los primos cuadr´ aticos
Comenzamos determinando los primos cuadr´ aticos. Para facilitar el estudio conviene introducir unas definiciones. °√ ¢ Definici´ on 13.1 Sea Q d un cuerpo cuadr´ atico, O su anillo de enteros y p un primo racional. Entonces N(p) = p2 , luego p puede descomponerse a lo sumo en dos factores primos de O de norma p. Esto da lugar a tres modos posibles de factorizaci´ on. Si p sigue siendo primo en O, diremos que p se conserva. Si p se descompone en producto de dos ideales primos distintos, p = pq, diremos que p se escinde. Si p es el cuadrado de un primo, p = p2 , diremos que p se ramifica. Ahora vamos aticos. En primer °√ ¢ a aplicar el teorema 12.12 a los cuerpos cuadr´ lugar, si Q d es un cuerpo cuadr´ atico, entonces su anillo de enteros es de la √ forma Z[α], tal√ y como exigen las hip´ otesis. El entero α es d si d ≡ 1 (m´od 4) o bien α = 1+2 d si d 6≡ 1 (m´od 4). En el primer caso el polinomio m´ınimo de α es g(x) = x2 − d y en el segundo es g(x) = x2 − x + 1−d 4 . 223