11.4. Factorizaci´ on u ´nica en cuerpos cuadr´ aticos
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Ø Ø que Ør − x − (1/2)y Ø ≤ 1/2, es decir, tomamos como x el entero m´ as cercano a r − (1/2)y. Respecto a los valores de d no contemplados en el enunciado, son −5, −6, °√ −10 ¢ y los enteros libres de cuadrados menores que −11. Hemos visto que Q −5 , °√ ¢ °√ ¢ Q −6 y Q −10 no son dominios de factorizaci´ on u ´nica, luego no pueden ser eucl´ıdeos. Supongamos ahora que d < −11 es libre de cuadrados, luego de hecho d ≤ −13. Sea O el anillo de enteros. Si O fuera eucl´ıdeo podr´ıamos tomar un δ ∈ O de norma eucl´ıdea m´ınima entre los enteros no nulos ni unitarios. Entonces todo ∆ ∈ O se expresa como ∆ r = 0, 1, −1, por © = δc + r, donde ™ la elecci´ on de δ. Esto significa que O/(δ) = [0], [1], [−1] , luego por el teorema 11.21 ha de ser N(δ) ≤ 3. √ Sea δ = (a/2)+(b/2) d, donde a y b son enteros. Tenemos que a2 −db2 ≤ 12, y como d ≤ −13, necesariamente b = 0 y |a| ≤ 3, pero entonces δ = a/2 es entero y no puede ser m´ as que δ = 0, 1, −1, en contra de c´ omo ha sido elegido. Es importante notar que la prueba del teorema anterior nos da un criterio pr´ actico para calcular divisiones eucl´ıdeas en los cinco cuerpos a los que se aplica. Este criterio es especialmente simple en los casos d = −1 y d = −2, donde dados dos enteros ∆ y δ, el cociente γ se obtiene como el entero cuyas coordenadas est´ an m´ as pr´ oximas a las de ∆/δ, y el resto es simplemente la diferencia ∆ − δγ. Por otra parte, los cinco cuerpos anteriores no son los u ´nicos en los que la factorizaci´ on es u ´nica. No obstante no hay muchos m´ as. Puede probarse que los u ´nicos cuerpos cuadr´ aticos con discriminante negativo que son dominios de factorizaci´ on u ´nica son los correspondientes a los nueve valores siguientes de d:
Tabla 11.3: Cuerpos cuadr´ aticos imaginarios con factorizaci´ on u ´nica d = −1,
−2,
−3,
−7,
−11,
−19,
−43,
−67
− 163.
En el cap´ıtulo XIII demostraremos que estos anillos son DFU’s. Probar que son los u ´nicos excede nuestras posibilidades. El caso de los cuerpos cuadr´ aticos reales es todav´ıa m´ as complicado. No se sabe si hay infinitos de ellos que sean dominios de factorizaci´ on u ´nica. Los valores de d menores que 100 para los que la factorizaci´ on es u ´nica son los siguientes: Tabla 11.4: Primeros cuerpos cuadr´ aticos reales con factorizaci´ on u ´nica d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 29, 31, 33, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 53, 57, 59, 61, 62, 67, 69, 71, 73, 77, 83, 86, 89, 93, 94, 97. Tampoco se sabe si entre ellos hay un n´ umero finito de dominios eucl´ıdeos. Al menos se sabe que s´ o lo un n´ u mero finito de ellos son eucl´ıdeos con norma Ø Ø φ(x) = ØN(x)Ø, pero se desconoce si puede haber cuerpos cuadr´ aticos que sean dominios eucl´ıdeos con otra norma.