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Cap´ıtulo 9. Grupos
´ n: Un elemento de G/K es de la forma gK con g ∈ G, luego Demostracio un elemento cualquiera de (G/K)/(H/K) es de la forma (gK)(H/K). Adem´ as (gK)(H/K) = (1K)(H/K) si y s´ olo si gK ∈ H/K, es decir, si y s´ olo si g ∈ H. Esto significa que la aplicaci´ on f : G −→ (G/K)/(H/K) definida mediante f (g) = (gK)(H/K) es un epimorfismo de n´ ucleo H, luego por el teorema de isomorf´ıa, (G/K)/(H/K) ∼ = G/H. Ejercicio: Enunciar y demostrar teoremas de isomorf´ıa an´ alogos para m´ odulos.
El segundo teorema de isomorf´ıa implica que si H y K son subgrupos de un grupo finito G y K es normal, entonces |HK| = |H| |K|/|H ∩ K|. Vamos a probar que esto sigue siendo cierto aunque ninguno de los subgrupos sea normal y HK no sea un subgrupo. Teorema 9.30 Sea G un grupo finito y H, K dos subgrupos de G. Entonces |HK| =
|H| |K| . |H ∩ K|
´ n: Consideremos la aplicaci´ Demostracio on f : H × K −→ HK dada por f (h, k) = hk. Obviamente es suprayectiva. Si f (h, k) = f (h0 , k0 ), entonces hk = h0 k0 , luego u = (h0 )−1 h = k0 k−1 ∈ H ∩ K. Hemos probado que si f (h, k) = f (h0 , k0 ), entonces (h0 , k0 ) = (hu, u−1 k) para cierto u ∈ H ∩ K. El rec´ıproco es trivialmente Esto significa que Ø © cierto. ™ para −1 −1 Ø u ∈ H ∩ K , luego cada hk ∈ HK se cumple que f [hk] = (hu, u k) Ø −1 Ø Øf [hk]Ø = |H ∩ K|. En consecuencia, el n´ umero de elementos de H × K es igual al n´ umero de conjuntos de la forma f −1 [hk] (que es |HK|) multiplicado por el n´ umero de elementos de cada uno de estos conjuntos (que es |H ∩ K|), es decir, hemos probado que |H| |K| = |HK| |H ∩ K|.
9.7
Grupos alternados
Terminamos el cap´ıtulo con un concepto importante sobre grupos de permutaciones. Ø © ™ Definici´ on 9.31 Sea n ≥ 2, sea Pn = {i, j} Ø 1 ≤ i < j ≤ n . Para cada permutaci´ on σ ∈ Σn y cada b = {i, j} con 1 ≤ i < j ≤ n, sea Ω 1 si σ(i) < σ(j) ≤(σ, b) = −1 si σ(j) < σ(i) Llamaremos signatura de σ a sig σ =
Y
b∈Pn
≤(σ, b) ∈ {1, −1}.
Las permutaciones de signatura 1 se llaman permutaciones pares. Las de signatura −1 se llaman impares.