Guía cinemática a otro nivel by doproanio

GUÍA I

CINEMATICA A OTRO NIVEL

LA CINEMÁTICA Y EL USO DE LOS LABORATORIOS VIRTUALES

Autor Ing. Diego Proaño Molina

EDICIÓN CORREGIDA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO VICERRECTORADO DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN INSTITUTO DE POSGRADO Proaño Molina Diego 0. Ingeniero Automotriz. Profesor de Física (Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE). Departamento de Ciencias Exactas. Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Extensión Latacunga. Dirección: Quijano y Ordoñez y Hnás Paéz, Latacunga-Ecuador. Teléfono: 032809954 Móvil: 0987158301 E-mail: diego_opm23@hotmail.com TUTOR DE TESIS: ING. MSc. Ángel Paredes García Docente Universidad Nacional de Chimborazo ISBN.-978-9942-13-288-8 Guía Cinemática a otro nivel Número de Edición: 1 Fecha de impresión: 04 de Septiembre del 2013. Tiraje: 6 Editorial: Gráficas Latacunga Telf.: (03) 2810984 -2811024 Derechos Reservados Prohibida su reproducción

i AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

PRÓLOGO

Este libro, presenta las aplicaciones de la cinemática en la ingeniería y está diseñado como texto guía para los estudiantes y docentes; pues los numerosos laboratorios ilustrativos y de gran aplicabilidad, hacen de este libro un instrumento de consulta y apoyo para la resolución de los efectos físicos tratados en clase, con esto logramos fusionar la parte teórica y práctica. Además este texto responde a las inquietudes y dificultades que generalmente encuentran los alumnos en el estudio de la cinemática, y está orientado a satisfacer las necesidades académicas de nuestras instituciones educativas ya que los docentes debemos concientizar la utilización de los laboratorios virtuales. El contenido de la guía cinemática a otro nivel, está dividida según las unidades de estudio en: movimiento rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo uniformemente variado, caída libre, movimiento circular uniforme, movimiento circular uniformemente variado y tiro parabólico y a la vez se conforma por 20 simulaciones desarrolladas y 7 propuestas. Además la guía cinemática a otro nivel en base a los laboratorios virtuales posee un CD donde se evidencia las simulaciones para utilizar en cada tema a tratar, otro aditamento a este trabajo es el software de instalación de cada programa a utilizar, para que el estudiante y el docente puedan instalar en sus ordenadores y el trabajo no solo sea en el aula sino también en la casa, con estos antecedentes lograremos un aprendizaje óptimo y verdadero consolidando los conocimientos para formar unos profesionales de calidad. La guía cinemática a otro nivel en base de los laboratorios virtuales tiene como misión principal brindar un apoyo no solo al estudiante sino también al docente ya que según la planificación de la guía explica y orienta sobre todas las temáticas de cinemática, en su forma geométrica, matemática, física y con sus respectivos modelamientos ya sea en Modellus, en Interactive Physics, Crocodile Physics 605 y el Ibercaja Lav.

i AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

AGRADECIMIENTO

El presente trabajo ha sido gracias a la dedicación, la constancia de mi trabajo y el esfuerzo de todos los que me rodean, de tal forma que agradezco a Dios a mis padres, a mi esposa y a mis hijos por la paciencia, la comprensión, la ternura y el apoyo que me brindaron en estos años que he luchado para conseguir mi objetivo que es capacitarme para enriquecer la enseñanza de la educación superior y formar profesionales de excelencia con un alto grado de conciencia ciudadana y acorde a los avances tecnológicos que nos impone la sociedad actual.

ii AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

DEDICATORIA

Este trabajo esta dedicado a todas esas personas que confían en mí, en especial a mi esposa Nelly, a mis hijos Enzo y Doménica, a mi abuelito Alfonso, a mis padres Antonio y Martha, a mis hermanas, sobrina y a todos mis amigos que sin nada a cambio estuvieron allí para tenderme su mano y darme el aliento para seguir adelante para ellos un Dios les pague y misión cumplida.

iii AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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INTRODUCCIÓN La evolución tecnológica y las necesidades actuales son los pilares fundamentales para solucionar la problemática que aqueja a la mayor parte de estudiantes de nivelación que se sienten impotentes ante la falta de entendimiento de la cinemática y por ello que se genera la falta de aprendizaje, conjuntamente con el bajo rendimiento académico. Si bien es cierto la física como tal es una rama fascinante que involucra entender los aspectos que nos rodean, pero ante los estudiantes los docentes han utilizado el método de enseñanza tradicional donde simplemente se dicta la clase teórica, y se resuelven los ejercicios en la pizarra, respecto al estudiante hay veces que no entiende el fenómeno cinemático. Todo esto lleva a que el estudiante se pierda en el proceso de enseñanza aprendizaje dando origen a muchos efectos negativos no solo en relación al aprendizaje sino también al ámbito personal, familiar, social y psicológico que denotan una antipatía por la materia y a la vez una negativa a estudiar y entender el mágico mundo de la cinemática. Bajo estos antecedentes la solución a los problemas anteriormente planteados que aquejan al estudiante es la aplicación de la guía cinemática a otro nivel en base a los laboratorios virtuales mediante

desarrollo de ejercicios de movimiento rectilíneo,

circular y parabólico realizando un análisis geométrico, matemático y físico de cada ejercicio dotando al estudiante las herramientas necesarias para formar sus cimientos en función de relación existente entre la parte teórica y práctica del modelo físico a estudiar, cada tema a tratar posee ejercicios resueltos, ejercicios propuestos, simulaciones reales realizadas en los software que posee la guía y laboratorios virtuales a desarrollar en la plataforma clase v. La guía cinemática a otro nivel en base de los laboratorios virtuales tiene como misión principal brindar un apoyo no solo al estudiante sino también al docente ya que según la planificación de la guía explica y orienta sobre todas las temáticas de cinemática, en su forma geométrica, matemática, física en los temas como movimiento rectilíneo uniforme, movimiento rectilíneo uniformemente variado, caída libre, movimiento circular uniforme, movimiento circular uniformemente variado y tiro parabólico donde se presenta los siguientes objetivos:

iv AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

Demostrar cómo la aplicación de la guía cinemática a otro nivel en base a ejercicios de movimiento rectilíneo mejora

el rendimiento académico de los estudiantes de

nivelación de la Escuela Politécnica del Ejército Extensión Latacunga. Demostrar cómo la aplicación de la guía cinemática a otro nivel en base a ejercicios de movimiento circular mejora el rendimiento académico de los estudiantes de nivelación de la Escuela Politécnica del Ejército Extensión Latacunga Demostrar cómo la aplicación de la guía cinemática a otro nivel en base a ejercicios de movimiento parabólico mejora

el rendimiento académico de los estudiantes de

nivelación de la Escuela Politécnica del Ejército Extensión Latacunga Diseñar una planificación microcurricular, para aplicar de la guía cinemática a otro nivel en base de los laboratorios virtuales usando ya sea en Modellus, en Interactive Physics, Crocodile Physics 605 y el Ibercaja Lav, como herramienta didácticas en la enseñanza de la cinemática de los estudiantes de nivelación de la ESPE-Latacunga. PRESENTACIÓN DE LOS SOFTWARE INTERACTIVE PHYSICS "Interactive PhysicsTM, el programa educativo premiado de Design Simulation Technologies, hace fácil observar, descubrir, y explorar el mundo físico con simulaciones emocionantes. Trabajando de cerca con los educadores de la física, el equipo de Interactive Physics ha desarrollado un programa fácil de usar y visualmente atractivo que realza grandemente la instrucción de la física. Interactive Physics le da el acceso a una amplia selección de controles, parámetros, objetos, ambientes, y componentes. Agrega los objetos, resortes, articulaciones, sogas, y amortiguadores. Simula el contacto, las colisiones, y la fricción. Altere la gravedad y la resistencia del aire. Mide la velocidad, la aceleración, y la energía de sus objetos. Descripción tomada de la página principal de Interactive Physics http://www.design-simulation.com/IP/spanish/index.php No se necesita una "bestia" de máquina para correrlo, de hecho las gráficas son bastante sencillas, dentro del archivo .rar viene un manual de uso en español, también una carpeta que contiene una serie de simulaciones ya realizadas. v AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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En el extrae la información de cómo ponerle el crack Les permite elegir entre la versión completa y la versión del desarrollador. Instrucciones de instalación: 1- Instalar Interactive Physics 2005 español. Cerrar el programa. 2- Copiar el archivo "SP32W.DLL" al directorio "Program" de la carpeta de instalación de IP2005. 3- Iniciar el programa. Hacer click en Ayuda, Licencias, introducir uno de los dos números de serie: Gráfico N° 1.1 Pantalla de simulación Interactive Physics 2005

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

MODELLUS Modellus es un programa que permite simular un fenómeno físico a partir de su modelo matemático. Esta simulación tiene lugar en su aspecto temporal (evolución a lo largo del tiempo) y matemático (cálculo de valores). Modellus está orientado a estudiar modelos temporales por lo que se pueden simular los fenómenos físicos en distintos escenarios (casos), en cada uno de los cuales cada uno de los parámetros o constantes del modelo pueden ser modificados (p.e. estudio de la caída libre en diversos planetas). Desde el punto de vista pedagógico, Modellus es un micro mundo computacional en el que los actores del proceso de enseñanza aprendizaje pueden reproducir en la computadora todos los procedimientos que regularmente hacen sobre el papel. vi AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Definición, Instalación y Estructura Básica de Modellus El programa Modellus permite simular de forma fácil cualquier modelo físico estudiado en los cursos de Física de la universidad., para ello presenta un entorno muy amigable basado en una serie de ventanas, cada una de las cuales recoge o muestra una serie de informaciones muy concretas, hay que tener en cuenta que los Modellus a utilizar están catalogados como portables tanto el Modellus 2.5 y el Modellus 3.0 los cuales no tienen archivos guardados simplemente permite al estudiante generar su propio modelo virtual, evitando que exista una copia de los algoritmos a simular. Modellus 2.5 y 3.0 son portables es decir que no ocupan mucho espacio en nuestro disco duro y además la instalación es súper sencilla simplemente arrastras al escritorio los portables y ya puedes trabajar con ellos Gráfico N° 1.2 Pantalla de Simulación Modellus

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

EASY JAVA EJS Explorando el mundo de la física a través de experimentos con objetos que incorporan modelos muy completos de comportamiento y de entendimiento para el estudiante. El estudio de los fenómenos de la naturaleza implica la abstracción de los modelos de comportamiento en modelos computacionales que en ocasiones resultan difíciles de manejar y comprender por parte de los alumnos. Crocodile Physics, en mi opinión que mantiene un compromiso entre la exactitud y fiabilidad de los modelos y la interactividad sobre ellos a la hora de hacerlos evolucionar en simulaciones temporales continuas. vii AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Este creo que es el más importante reto que supera este software. Yo resumiría en este sentido dos cualidades significativas: • Facilidad a la hora de realizar la integración de los modelos y sus entidades en un escenario determinado. • Rigor y amplitud en los modelos matemáticos considerando una amplia gamas de variables. Los elementos que evolucionan el Crocodile Physics 605 aporta un gran apoyo en la comprensión de los fenómenos físicos a través de una selecta colección de objetos clásicos mediante los cuales se pueden construir escenarios y someterlos a condiciones externas diversas a la vez que permite la manipulación de una gran cantidad de parámetros propios de los objetos. La gran cantidad de parámetros a los que se tiene acceso en un objeto de Crocodile Physics me parece una de sus cualidades, además la modificación de las características de un modelo resulta muy sencilla de hacer en Crocodile Physics. Las posibilidades de mostrar las variables que están implicadas en un modelo que evoluciona en una simulación son muy numerosas y abarcan prácticamente todo lo que se puede pedir a la hora de estudiar un sistema. Esto es muy importante a la hora de abordar la solución a problemas de física ya que es muy sencillo diseñar las características del enunciado de los problemas, con la ventaja de que la herramienta nos da los datos a través de los cuales podemos establecer las reflexiones que queramos para afianzar los conceptos. Otro aspecto esencial del programa es la librería de componentes de Crocodile Physics que llama la atención la extensa librería de componentes que incluye esta herramienta y que permite la construcción de modelos en los ámbitos de cinemática, dinámica, energía, electricidad-electrónica y óptica. A esta librería se suma una librería genérica llamada “Presentación” que incluye elementos para facilitar la presentación de datos y la interacción en el proceso de simulación.

viii AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL Gráfico N° 1.3 Pantalla de simulación Crocodile Physics 605

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

IBERCAJA LAV. El Laboratorio Virtual Ibercaja (LAV) es un proyecto de la Obra Social de Ibercaja cuyo principal objetivo es facilitar la comprensión de los conceptos científicos mediante las tecnologías de la información y la comunicación (TIC). Para ello el LAV ofrece su aula y esta página web donde el estudiante interactúa con modelos virtuales donde practica tres elementos fundamentales para el aprendizaje, uno la lectura de la parte teórica de los ejercicios la otra la simulación del efecto físico y por último la evaluación del conocimiento adquirido. Gráfico N° 1.4 Pantalla de simulación del IBERCAJA LAV

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

ix AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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LICENCIAS PARA LOS PROGRAMAS DE INSTALACIÓN. Interactive physis

Edición del Desarrollador: SER04167 Modellus

Los Modellus 2.5 y 3.0 son portables y no necesitan licencia para la instalación. Crocodile Physics 605

Name: didine License code : CP000SS-605-AKTCF IBERCAJALAB.NET Es una página de internet donde usted tiene más de 500 simulaciones informáticas del temario oficial de Ciencia y Tecnología, fundamentalmente de los niveles de ESO, Bachiller y equivalentes.

http://www.ibercajalav.net/actividades.php?codopcion=2252&codopcion2=2257&codo pcion3=2257

x AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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ÍNDICE PROLÓGO

AGRADECIMIENTO

DEDICATORIA

iii

INTRODUCCIÓN

PRESENTACIÓN DE LOS SOFTWARE

ÍNDICE

ÍNDICE DE GRÁFICOS

xiii

ÍNDICE DE TABLAS

xiv

CINEMÁTICA

Definición de cinemática

Elementos de la cinemática

2.1

Partícula

2.2

Sistema de referencia

2.3

Trayectoria

2.4

Vector desplazamiento

2.5

Vector velocidad

2.6

Vector velocidad media

2.7

Vector aceleración

2.8

Clases de aceleración

Tipos de movimientos generados en la cinemática:

3.1

Movimiento rectilíneo uniforme

3.1.1

¿Qué es M.R.U.?

3.1.2

Gráficas M.R.U.

3.1.3

Ejercicios del M.R.U.

3.2

Movimiento rectilíneo uniformemente variado

3.2.1

¿Qué es el MRUV?

3.2.2

Gráficas del MRUV

3.2.3

Comparación entre las resoluciones de los ejercicios según las

ecuaciones y el cálculo de áreas. 3.2.4

Ejercicios M.R.U.V.

3.2.6

Laboratorio virtual 1

3.2.7

Evaluación I

70 xi

AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.3

Caída libre

3.3.1

¿Qué es caída libre o lanzamiento de partícula a 90º?

3.3.2

Sugerencias para resolver problemas de caída libre.

3.3.3

Ejercicios de caída libre

3.3.4

Evaluación II

3.4

Movimiento circular uniforme

3.4.1

¿Qué es M.C.U?

3.4.2

Ejercicios del M.C.U.

3.4.3

Laboratorio virtual 2

105

3.5

Movimiento circular uniformemente variado

131

3.5.1

¿Qué es el MCUV?

131

3.5.2

Ejercicios de M.C.U. y M.C.U.V.

134

3.5.3

Evaluación III

144

3.6

Tiro parabólico

146

3.6.1

¿Qué es movimiento parabólico?

146

3.6.2

Ejercicios de movimiento parabólico

152

3.6.3

Evaluación IV

170

Ejercicios varios

173

Laboratorios virtuales ejercicios propuestos preparatorios.

191

Cuestionario para generar evaluaciones conjuntas

224

Licencias para los programas de instalación

235

Bibliografía

236

Linkografía

236

xii AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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ÍNDICE DE GRÁFICOS Gráfico N° 1.1

Pantalla de simulación Interactive Physics 2005

Gráfico N°1.2

Pantalla de Simulación Modellus

vii

Gráfico N° 1.3

Pantalla de simulación Crocodile Physics 605

Gráfico N°1.4

Pantalla de simulación del IBERCAJA LAV

Gráfico 2.1.1

Representación de las partículas

Gráfico 2.2.1

Sistema referencial y el espacio de trabajo

Gráfico 2.3.1

Trayectoria y la distancia que toma la partícula

Gráfico 2.5

Representación del vector velocidad

Gráfico 2.7

Simulación de un fenómeno acelerado

Simulación de un movimiento rectilíneo uniforme

Gráfico 3.1.1.1

horizontal.

Gráfico3.1.1.2

Movimiento rectilíneo uniforme vertical.

Gráfico 3.1.2

Gráficas del M.R.U

Gráfico 3.1.3.1

Simulación del ejercicio 1

Gráfico 3.1.3.2

Simulación del ejercicio 3

Gráfico 3.1.3.3

Simulación del ejercicio propuesto

Gráfico 3.2.1

Simulación del MRUV

Gráfico 3.2.2

Gráficas del MRUV

Gráfico 3.2.2.1

Simulación del ejercicio completo

Gráfico 3.2.2.2

Simulación del ejercicio tramo acelerado

Gráfico 3.2.2.3

Simulación del ejercicio uniforme

Gráfico 3.2.2.4

Simulación del ejercicio tramo desacelerado

Gráfico 3.2.2.5

Gráficas del ejercicio completo

Gráfico 3.2.2.6

Gráfica de la aceleración

Gráfico 3.2.2.7

Gráfica del tramo acelerado

Gráfico 3.2.2.8

Gráfica de la velocidad

Gráfico 3.2.2.9

Gráfica de la velocidad tramo pendiente positiva

Gráfico 3.2.2.10

Gráfica de la velocidad para la demostración de la

ecuación de la posición Gráfico 3.2.2.11

Gráfica de la velocidad 2

Gráfico 3.2.2.12

Gráfica de la posición

Gráfico 3.2.4.1

Simulación del ejercicio 1 M.R.U.V.

xiii AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Gráfico 3.3

Simulación de caída libre

Gráfico 3.3.1

Simulación de lanzamientos verticales de partículas

Gráfico 3.3.1.1

Simulación y graficas del lanzamientos verticales

partículas Gráfico 3.3.3

Simulación del ejercicio 2 lanzamientos verticales partículas

Gráfico 3.4.1.1

Características del M.C.U

Gráfico 3.4.1.2

Simulación del M.C.U. en Modellus

Gráfico 3.4.1.3

Simulación de los elementos del M.C.U

Gráfico 3.4.1.4

Efectos de los elementos del M.C.U

Gráfico 5.2.1.1

Simulación del M.C.U.V.

135

Gráfico 3.6.1.1

Elementos vectoriales de tiro parabólico

146

Gráfico 3.6.2.1

Simulación ejercicio propuesto 1

167

INDICE DE TABLAS

Tabla 3.1 Tabla 3.2 Tabla 3.3 Tabla 3.4 Tabla 3.5 Tabla 3.6 Tabla 3.7 Tabla 3.8 Tabla 3.9 Tabla 3.10 Tabla 3.11 Tabla 3.12 Tabla 3.13

Criterio de evaluación de los ejercicios de M.R.U. Criterio de evaluación de los ejercicios de M.R.U.V. Criterio de evaluación de los ejercicios del laboratorio virtual 1 Criterio de evaluación de los ejercicios de la lección I Criterio de evaluación de los ejercicios de caída libre Criterio de evaluación de la lección II Criterio de evaluación de los ejercicios de M.C.U. Criterio de evaluación del laboratorio virtual 2 Criterio de evaluación de los ejercicios de M.C.U.V Criterio de evaluación de los ejercicios de la lección III Criterio de evaluación de los ejercicios de movimiento parabólico Criterio de evaluación de los ejercicios de la lección IV Criterio de evaluación de los ejercicios del laboratorio virtual 3

12 37 38 71 86 88 104 105 143 145 169 172 191

xiv AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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CINEMÁTICA 1. DEFINICIÓN DE CINEMÁTICA ¿Qué es la cinemática? Es una rama de la mecánica clásica, estudia las leyes del movimiento de los cuerpos, sin considerar las causas que producen los movimientos. Entre otras definiciones se dice que estudia los movimientos sin entender las causas que la producen, estudia como se mueven los cuerpos y es una descripción matemática del movimiento. 2. ELEMENTOS DE LA CINEMÁTICA. 2.1. PARTÍCULA.- Es un cuerpo demasiado pequeño con respecto a un sistema referencial. La partícula es aquella que solo se visualiza la traslación de cuerpos además recuerde que la partícula es la representación de un centro de masa. Gráfico 2.1.1 Representación de las partículas

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD

1 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2.2. SISTEMA DE REFERENCIA Es el dónde y cuándo Es un conjunto formado por: Sistema de coordenadas Observador (origen) Partícula Instrumento de medir el tiempo (cronómetro) Que sirve para indicar el tiempo y el espacio (cuándo y dónde) Gráfico 2.2.1 Sistema referencial y el espacio de trabajo

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Mientras que el espacio es el lugar donde se desarrollan los efectos físicos.

2.3. TRAYECTORIA Es el camino que sigue la partícula Conjunto de puntos consecutivos Lugar geométrico La trayectoria es la figura geométrica que resulta de unir todas las posiciones que tomará la partícula desde el inicio hasta el final de su movimiento con el observador.

2 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Distancia recorrida Es una magnitud escalar que mide la longitud de la trayectoria se considera como el módulo del desplazamiento. Recuerde que: Distancia mide longitud Área mide superficie Volumen mide capacidad Gráfico 2.3.1 Trayectoria y la distancia que toma la partícula

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

VECTORES EN LA CINEMÁTICA 2.4. VECTOR DESPLAZAMIENTO Definición física.- Es una magnitud vectorial que mide la variación que experimenta la posición de una partícula. Dimensión L Unidades m, mm cm, ft in, etc.

3 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Definición geométrica

Definición matemática

Vector desplazamiento Vector concurrente Vector relativo 2.5. VECTOR VELOCIDAD Definición Física Vector Velocidad.-

Es una magnitud vectorial que mide el cambio del vector

desplazamiento en un intervalo de tiempo. (Razón de cambio del desplazamiento). Definición Geométrica Recuerde que

Vector y

Escalar

El resultado de la división de cambio del desplazamiento con respecto al tiempo es un vector velocidad Gráfico 2.5 Representación del vector velocidad

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD 4 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Entonces si Es un vector y Implica que si

escalar positivo

es resultante

Tienen la misma dirección y sentido por lo tanto.

Dimensiones Unidades 2.6. VECTOR VELOCIDAD MEDIA

Resuelve que:

La rapidez es el módulo de la velocidad siempre que se traten movimientos rectos.

Además entienda que

es un elemento modular pero se transforma a vectorial cuando

se multiplica por

5 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2.7 VECTOR ACELERACIÓN. Magnitud vectorial que mide el cambio que experimenta el vector velocidad en un intervalo de tiempo. Entonces

Gráfico 2.7 Simulación de un fenómeno acelerado

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD Dimensión Unidades 2.8 CLASES DE ACELERACIÓN a.- Aceleración Nula (Aceleración Total Nula) Módulo = o = Dirección del sistema

no está definida

6 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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No existe

conviene (por convención)

 Recuerde que esto se logra cuando el vector velocidad no cambia en sentido y dirección.

b.- Aceleración Tangencial.- Es módulo variable, dirección, cte. c.- Aceleración Centrípeta Normal o Central d.- Aceleración Total

dirección variable →módulo, cte.

3. TIPOS DE MOVIMIENTOS GENERADOS EN LA CINEMÁTICA: Movimiento Rectilíneo MRU MRUV CAÍDA LIBRE MCU MCUV Tiro parabólico 3.1. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU) 3.1.1. ¿Qué es MRU? Es el movimiento de una partícula en línea recta generaliza por mantener la velocidad constante en función del tiempo. v= constante Trayectoria rectilínea Conclusiones: Variación del vector posición diferente de cero

Módulo del vector velocidad = M = = cte Dirección del vector velocidad =D = cte

=0 =0 y Movimiento Rectilíneo Uniforme

D = cte =M = cte

7 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Recuerde que ; D = cte

= cte

Entonces =0 La posición no varía respecto al tiempo. v

d t

Gráfico 3.1.1.1 Simulación de un movimiento rectilíneo uniforme horizontal.

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD Gráfico3.1.1.2 Movimiento rectilíneo uniforme vertical.

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

8 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.1.2. GRÁFICAS M.R.U.: Gráfico 3.1.2 Gráficas del M.R.U Velocidad - Tiempo

Posición -Tiempo

Velocidad – Posición

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

9 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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v promedio

rf tf

v 2 ................. v n # velocidades

r0 to

3.1.3 Ejercicios del M.R.U.: Ejercicios Resueltos: 1.- Determinar la distancia entre dos ciudades A y B, si una persona camina a razón de 2(m/s) y tarda 480(s) más que otra que esta corriendo a razón de 10(m/s).

Datos : v A 2(m / s) tA

d v t t A vB t B

2(m / s)(480s t B ) (t B 10m / s)

480( s) t B

960m 2t B

t B 120(m / s)

10t B 120s

d v t d AB (10m / s)(120s) d AB

(1200m)

Gráfico 3.1.3.1 Simulación del ejercicio 1

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD 10 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2.- Un ciclista recorre un tramo rectilíneo con v=10(m/s). Observando que tarda 3s menos que si hubiera recorrido a pie con una v=5(m/s), hallar la longitud del tramo.

d dA

Datos : v A 10(m / s ) tA

t B 3s

5(m / s )

vA t A

v t

vB t B

v A (t B

3s )

10m / s (t B 10t B

30m tB

vB t B

3s )

5m / s t B

5m / s t B 6s

d v t d AB (5m / s)(6s) d AB

(30m)

3.- Dos partículas A y B corren en la misma pista recta y en el mismo sentido con velocidades constantes de 25(m/s) y 15(m/s) respectivamente. En cierto momento B está a 30(m) delante de A, luego de cuánto tiempo A estará 50(m) delante de B.

tA dA vA

tB dB vB

x 80 x 25m / s 15m / s 15x 1200 25x 1200 10 x x 120m

tB t t

dB vB 120m 15m / s 8s

Gráfico 3.1.3.2 Simulación del ejercicio 3

11 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Ejercicios propuestos a.- Un móvil A que se desplaza con una velocidad de 30(m/s), se encuentran detrás del móvil B, a una distancia de 50m. Si la velocidad de B es 20(m/s). Después de que tiempo A estará a 50(m) delante de B. (Respuesta 10s). Gráfico 3.1.3.3 Simulación del ejercicio propuesto

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD b.- Dos móviles están separados por una distancia de 1000 (m) y se acercan con velocidad constante de 20(m/s) y 30(m/s) respectivamente. Que espacio recorre el móvil de mayor velocidad, hasta que ambos móviles estén separados a 200 metros antes del encuentro. (Respuesta 16s).

Tabla 3.1 Criterio de evaluación de los ejercicios de M.R.U.

12 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.2. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO 3.2.1 ¿Qué es el MRUV? El movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado se caracteriza por tener

aceleración constante, la velocidad varia linealmente y la posición cuadrática con el tiempo. Conclusiones:

Variación del vector Posición diferente de cero

Módulo del vector velocidad = M =

= cte

= variable

=0 y

Dirección del vector velocidad =D = cte

Movimiento Rectilíneo D = cte Unif. Varado

M = variable

Recuerde que ; D = cte =0

Entonces a vf x vf 2

M = variable =

cons tan te vo vo

1 2 at 2 2 v o 2a e

 am

vf vo tf to  a1 a 2...... an ap n  v1 v 2...... vn vp n  v rapidez

13 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Gráfico 3.2.1 Simulación del MRUV

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD, 3.2.2. GRÁFICAS DEL MRUV Gráfico 3.2.2 Gráficas del MRUV Aceleración – Tiempo

14 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

Velocidad – Tiempo

Posición – Tiempo

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Obtención de la velocidad en una gráfica x – t La velocidad de una partícula también puede obtenerse de la gráfica de la posición de la partícula en función del tiempo. Recuerde que los puntos estimados en la gráfica posición

vs tiempo indicarán la

posición en un tiempo determinado además el grado de concavidad indicará si el sistema es acelerado o retardado.

15 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

Cabe acotar que si tenemos estos datos y tenemos la ecuación de la posición con respecto al tiempo el criterio de la aplicación de la derivación a esta ecuación dará como resultado la velocidad del sistema y si usted aplica la segunda derivada a la ecuación primitiva encontrará la aceleración del sistema. Gráfica Mov. Uniforme

–t Recta

v-t

a -t

con Recta horizontal Recta horizontal esta en

pendiente

sobre la línea del la

positiva

o tiempo

línea

del

tiempo

porque la a=0

negativa Mov. Acelerado

Curva

con Recta pendiente Recta horizontal paralela

concavidad

positiva

negativa Mov. Desacelerado Curva

eje del tiempo sobre la línea del tiempo

con Recta pendiente Recta horizontal paralela

concavidad negativa

negativa

eje del tiempo bajo la línea del tiempo

Imagine el siguiente caso: Un auto parte del reposo y por 2 segundos acelera a una razón de 1,5m/s2, luego por 3 segundos el auto se desplaza con velocidad constante adquirida anteriormente, para finalmente aplicar los frenos y llega al reposo nuevamente en 4 s. Calcule: a.- la velocidad a los 5 segundos b.- la distancia total recorrida c.- Las gráficas x-t; v-t y a-t.

16 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

Gráfico 3.2.2.1 Simulación del ejercicio completo

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD la representación grafica del ejercicio propuesto RESOLUCIÓN TRAMO ACELERADO Un auto parte del reposo y por 2 segundos acelera a una razón de 1,5m/s2. Gráfico 3.2.2.2 Simulación del ejercicio tramo acelerado

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD RESOLUCIÓN TRAMO UNIFORME Luego por 3 segundos el auto se desplaza con velocidad constante adquirida anteriormente. 17 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

Gráfico 3.2.2.3 Simulación del ejercicio uniforme

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD RESOLUCIÓN TRAMO DESACELERADO Finalmente aplicar los frenos y llega al reposo nuevamente en 4 s. Gráfico 3.2.2.4 Simulación del ejercicio tramo desacelerado

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD

18 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

La resolución de las gráficas completas seria: Gráfico 3.2.2.5 Gráficas del ejercicio completo

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Basándonos en este método se considera que si nosotros tenemos las gráficas del sistema se puede resolver los ejercicios de dos formas diferentes aplicando las ecuaciones y aplicando mediante el cálculo de áreas. Suponga que: Una partícula que esta en reposo inicia su movimiento desde el origen del sistema referencial, generando movimientos según la gráfica aceleración tiempo que se presenta a continuación. Determine las gráficas del sistema la posición y velocidad final. Gráfico 3.2.2.6 Gráfica de la aceleración

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

19 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

Se considera que si usted tiene la gráfica de la aceleración mediante el cálculo de áreas usted podrá determinar los datos de velocidad del sistema y si tiene la gráfica de la velocidad podrá encontrar con el cálculo de áreas la posición de la partícula, además hay que recalcar que si tiene como datos la gráfica de la posición usted podrá hallar datos de velocidad y aceleración del sistema mediante las ecuaciones estructuradas. 3.2.3. Comparación entre las resoluciones de los ejercicios según las ecuaciones y el cálculo de áreas. Dada la gráfica de la aceleración recuerde que: Gráfico 3.2.2.7 Gráfica del tramo acelerado

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Para resolver usted utilizaría la ecuación:

Utilizando el cálculo de áreas: Recuerde que de un cuadrado el área es A= b*h Entonces: A = tiempo * aceleración A=t*a = velocidad

Si tenemos la ecuación

20 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

Y si Si

solo se sumaria al área encontrada La ecuación esta demostrada

Entonces según el cálculo de áreas generado por el Gráfico 3.2.2.6 elaboramos la tabla de la velocidad. Intervalos de tiempo

Áreas generadas

0 m/s A1= b*h= 2s*1,5m/s*s= 3m/s

Sumamos el área + v en el punto A

Vf= (3+0)= 3m/s

A2= b*h= 3s*0m/s*s= 0m/s C

Sumamos el área + v en el punto B

Vf= (0+3)= 3m/s

A1= b*h= 4s*(-3/4)m/s*s= -3m/s D

Sumamos el área + v en el punto C

Vf= (-3+3)= 0m/s

Nota: El área se genera de intervalo a intervalo Si notamos los intervalos de tiempo y los valores de la

son los datos exactos para

generar la gráfica velocidad vs tiempo. Gráfico 3.2.2.8Gráfica de la velocidad

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Dada la gráfica de la VELOCIDAD recuerde que: 21 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

Gráfico 3.2.2.9 Gráfica de la velocidad tramo pendiente positiva

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Para resolver usted utilizaría la ecuación:

Utilizando el cálculo de áreas: Recuerde que de un triángulo el área es

Entonces:

Recuerde que y si reemplazo en x

si 22 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

Pero si

tendremos la siguiente gráfica

Gráfico 3.2.2.10 Gráfica de la velocidad para la demostración de la ecuación de la posición

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

EL ÁREA TOTAL SERÁ IGUAL AT= A1+A2

La ecuación esta demostrada Gráfico 3.2.2.11Gráfica de la velocidad

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

23 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

Entonces según el cálculo de áreas elaboramos la tabla de la posición. Intervalos de tiempo

Áreas generadas

Sumamos el área + x en el punto A

x= (3+0)= 3m

Sumamos el área + x en el punto B

x= (9+3)= 12 m

Sumamos el área + x en el punto C

xf= (6+12)= 18 m

Si notamos los intervalos de tiempo y los valores de la

son los datos exactos para

generar la gráfica posición vs tiempo. Gráfico 3.2.2.12 Gráfica de la posición 2

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

NOTA: Si se desea determinar la posición final del sistema recuerde que es el último valor de la tabla generada o el punto final de la gráfica y si se desea saber el recorrido de la partícula se suman el valor de todas las áreas como valores absolutos.

24 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.2.4. EJERCICIOS M.R.U.V. Ejercicios resueltos 1.- En el instante en que arranca un automóvil lo hace con una a = 2m/s2, en el mismo instante un camión lo rebasa con una velocidad constante de 10m/s a que distancia alcanzará el automóvil al camión, que velocidad llevará el automóvil y que tiempo se demorará en hacerlo (recuerde que el automóvil parte con una Vo = 0m/s) Gráfico 3.2.4.1 Simulación del ejercicio 1 M.R.U.V.

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD 1. Ecuación del automóvil A : dA = Vo*t + ½ a*t2 2. Ecuación del camión C: dC = V*t dA = dC Vot + ½ at2 = Vt ½ (2m/s2) t2 = 10m/s t

dA = Vo*t + ½*a*t2 dA = ½ (2m/s2) (100s2) dA = 100m

t = 10s Vf = Vo + at Vf = (2m/s2) (10s) = Vf = 20m/s 25 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

2. Entre A y B puntos iníciales y finales de una trayectoria horizontal existe una distancia de 100m, desde un punto C intermedio a esta trayectoria un vehículo parte con una a = 2m/s2, al mismo instante inicia su movimiento desde el punto A con la dirección y el sentido del vehículo que parte desde el punto C y este lo hace con una a = 3m/s2. Hallar: a. La distancia entre el punto inicial A y el punto intermedio C. b. El tiempo que se demoran en trasladarse desde el punto inicial al punto final. NOTA: Recuerde que los autos llegan simultáneamente al punto final B. Vo = 0 a = 3m/s2

dT = 100m dAB = Vo (t) + ½ a(t2)

Como t1 = t2

100 = 0 (t) +3/2 t2

dCB = Vot + ½ a(t2)

200/3 = t2

dCB = ½ a(t2)

t = 8,16s

dCB = 66,66m dAC = 33,33m

3. Dos automóviles A y B se mueven en una trayectoria rectilínea en una misma dirección y con velocidades constantes. El automóvil A parte del sistema referencial con una V = 50 km/h una hora más tarde lo hace B con una V = 36km/h y a 60km con respecto a. Determine dónde y cuándo el auto A y el auto B tendrán una misma (dirección) posición.

26 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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V = 50km/h a=0

V = 36km/h tB = tA – 1h

tA = tB + 1h A

60km

xB xA xA = 60km + xB xA = VA (tA) xA = xA 60km + xB = 50km/h (tA) tA = tB + 1h 60km + xB= 50km/h (tB + 1h)

Recuerde que vB= xB/tB

XB = vB (tB)

60km + 36km/h ( tB) = 50km/h tB + 50km/h tB = 0,71h xB = 36km/h (0,71h)

xA = 60km + 25,56km

xB= 25,56km

xA = 85,56km

4. Una trayectoria rectilínea de 12km de longitud es el escenario perfecto para que dos autos se muevan en una misma dirección. El auto A inicia su movimiento desde el punto A con una Vo = 10 km/h y con una aceleración constante de 5 m/s2, otro auto inicia su movimiento desde un punto intermedio con una diferencia de 30 s con relación al auto A y bajo las siguientes condiciones Vo = 100 m/s y en el punto final de la trayectoria su velocidad es de 0 m/s. Considerando que el auto A y el auto B pasa al mismo tiempo por el punto final. Determinar: a. Dónde se encuentra el punto intermedio. 27 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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b. Cuál es el tiempo que necesita el auto B para trasladarse desde el punto intermedio hacia el punto final. c. Cuál es el valor de la aceleración media del sistema. d. Cuál es la velocidad final del auto A. Vo = 10 km/h Vo = 100m/s

a = 5m/s2

tB = tA – 30s

12km dA = Vot + ½ at2

xB Vf = Vo + at

12000m = 2,77tA +1/2 (5m/s2) (tA)2

0 = 100m/s + a (38,78s)

12000m = 2,77tA + 5/2m/s2 tA2

a = -2,575 m/s2

5/2tA2 + 2,77tA – 12000m=0 2,5tA2 + 2,77tA – 12000m=0

Vf2 = Vo2 +2a xB XB = Vf2 – Vo2 2a

tA1 = 68,73s tA2 = -69,84s

XB = 0 - 1002 2 (-2,57 m/s2)

tB = tA – 30s

XB = 1945,52 m

tB = 38,78s

Xi = Xf - XB

VfA = VoA + a (tA )

Xi = (12000 – 1945,52 ) m

VfA = 2,77m/s + 5m/s2 (68,73s)

Xi = 1062,02 m

VfA = 346,41m/s 28

AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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5.- Un automóvil se dirige por una trayectoria rectilínea horizontal en el punto inicial de la trayectoria su v=(50m/s). Al recorrer 20s de tiempo (inicial) se localiza en el punto B cuya v=150m/s, desde aquel entonces su movimiento es uniforme hasta recorrer 3 km. En aquel punto aplica los frenos y logra obtener una aceleración de -15m/s2 en un tiempo aproximado de 12s y finalmente se detiene cuando recorre 5km. Determine: a) la distancia total recorrida. b) la posición final del automóvil. c) el tiempo total que se necesita para trasladarse desde el punto inicial hasta el punto final. d) la velocidad media del sistema. e) la aceleración promedio del sistema. f) las gráficas e-t v-t a-t. g) tipo del movimiento del sistema.

d AB

d BC

(2000 3000 330 5000)m

10330m

d DE

150m / s a

d CD

50m / s a(20s)

5m / s 2

d AB

1 2 at 2 (50m / s)(20s) 1 / 2(5m / s 2 )(20s) 2

d AB

2000m

29 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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1 2 at 2 (50m / s)(12s) 1 / 2( 15m / s 2 )(12s)2 dcd

dcd

330m

b) Pf

d AB

d BC

d C 'C

d CD

d DE

Pf Pf

(2000 3000 330 5000)m 330m

t AB

t BC

t CD

t DE

(20 20 12 333,33) s

385,33s

vm vm vm

ef tf

e0 t0

330m 0m 385,33s 0 s 0,85m / s

e) a promedio a promedio a promedio

a AC

a BC

a CD

a DE

4 (5 0 15 0,09)m / s 2 4 2 2.48m / s

30 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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f) Aceleración- Tiempo

Velocidad – Tiempo

Posición – Tiempo

31 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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6. Una partícula parte del reposo con una aceleración constante de 3

transcurrido 120s

deja de acelerar y a partir de ese instante continúa en movimiento con velocidad constante. Determinar: a) La distancia recorrida a los 5min. b) Las gráficas del sistema a-t; v-t; e-t.

32 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

7.- El diagrama velocidad vs tiempo de la figura representa el movimiento de dos partículas A y B, por una carretera recta y a partir de una misma posición inicial. Determinar: a) El tipo de movimiento de cada partícula b) La distancia que recorre cada partícula c) Dónde y cuándo se encontraran d) Las gráficas d-t y a-t e) La trayectoria de cada partícula

33 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Movimiento desacelerado

Movimiento acelerado

34 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Gráfica Posición Vs Tiempo Particula A

Gráfica Posición Vs Tiempo Particula B

Gráfica Aceleración Vs Tiempo Particula A

Gráfica Aceleración Vs Tiempo Particula B 35 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Ejercicios propuestos: 1.-Conociendo el siguiente gráfico v-t determine y analice: a) Distancia total. b) Gráficas del sistema. c) Velocidad media. d) Aceleración media.

36 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2.- La velocidad de un vehículo aumenta uniformemente de 20m/s a 50m/s en 15s. Calcular la distancia recorrida y el valor de la aceleración. V = 20m/s

V = 50m/s

3.- Un auto que parte del reposo y se mueve con MRUV acelera a 4m/s2 y debe recorrer 1200m para llegar a su destino, sin embargo cuando le falta 400m deja de acelerar y mantiene constante su velocidad hasta llegar a su destino que tiempo emplea el auto para completar su recorrido. Vo = 0

a = 4m/s2 A

800m

400m

1200m

Tabla 3.2 Criterio de evaluación de los ejercicios de M.R.U.V.

37 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.2.6. LABORATORIO VIRTUAL 1

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO EXTENSIÓN LATACUNGA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

ASIGNATURA:

NRC

TEMA:

INFORME N°

UNIDAD:

FECHA

DOCENTE:

ESTUDIANTE

PREPARATORIO 1 Tabla 3.3 Criterio de evaluación de los ejercicios del laboratorio virtual 1

38 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

TEMA: Simulaciones del movimiento rectilíneo uniforme y movimiento rectilíneo uniformemente variado OBJETIVOS: OBJETIVOS GENERALES: Analizar los fenómenos cinemáticos (movimiento rectilíneo uniforme

movimiento rectilíneo uniformemente variado) mediante la utilización de los laboratorios virtuales. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Leer los enunciados de cada una de las simulaciones propuestos en los ejercicios del ibercajalav.net. Generar las simulaciones con diferentes parámetros para demostrar los fenómenos del movimiento rectilíneo uniforme

y movimiento rectilíneo

uniformemente variado Responder cada una de las preguntas generadas en los ejercicios de las simulaciones del movimiento rectilíneo uniforme

y movimiento rectilíneo

uniformemente variado Revisar las justificaciones de cada simulación ejecutada del movimiento rectilíneo uniforme y movimiento rectilíneo uniformemente variado . MARCO TEÓRICO: Cinemática rectilínea La cinemática es la rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos. Hay diferente tipo de movimiento como por ejemplo, el movimiento rectilíneo, que muestra los automóviles sobre una pista recta. Un hombre que camina también presenta movimiento rectilíneo. Otro tipo de movimiento es el circular que puede ser transnacional o rotacional. Cuando un cuerpo se mueve, ocupa en cada instante un lugar determinado. La cinemática estudia desplazamientos y tiempos. Al suponer los cuerpos como puntuales hacemos abstracción.

39 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Se estudia la cinemática desde el punto de vista clásico: una partícula ha de seguir un camino al que denominamos trayectoria. Así, la trayectoria se puede definir como el lugar geométrico de las sucesivas posiciones ocupadas por la partícula en su movimiento. Para decir que una partícula se mueve (móvil) hemos de considerar sus posiciones en instantes distintos, para lo cual es necesario elegir un sistema de referencia, la posición de un punto quedará determinada mediante un vector al que denominamos vector de posición, pudiendo considerarse la trayectoria de la partícula como la curva que describe el extremo de dicho vector.

Movimiento rectilíneo El movimiento rectilíneo se generaliza por conservar la trayectoria rectilínea en función de la existencia del desplazamiento y que la partícula se mueva con una dirección del vector velocidad constate. En la trayectoria de los problemas se considera cuerpos con medidas finitas tales como cohetes, proyectiles, vehículos; estos objetos pueden ser considerados como partículas, considerando que el movimiento del cuerpo esta caracterizado por el movimiento de su centro de masa y que cualquier movimiento de rotación es nulo. Sistema de referencia.- Es un cuerpo que junta a un sistema de coordenadas, permite determinar la ubicación de otro cuerpo en un instante dado. Posición.- Es la ubicación donde encontramos el móvil o la partícula en determinado tiempo Trayectoria.- Es la línea que resulta de unir las diferentes posiciones que ocupa una partícula, al moverse de un lugar a otro. Distancia.- Es la longitud medida sobre la trayectoria recorrido por la partícula. Desplazamiento.- Es la longitud de la trayectoria realizada. Es el vector que une dos posiciones de una partícula en un intervalo de tiempo. Tiempo.- Es una magnitud (escalar), fundamental que determina el intervalo o mide la sucesión de fenómenos críticos con respecto a la física.

40 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Velocidad.- Se generaliza como la razón de cambio entre la variación de desplazamiento en función de la variación de tiempo. Velocidad instantánea.- Cuando el intervalo de tiempo se torna cada vez más pequeño, como para que sea casi cero (tiende a cero), la velocidad se aproxima a un valor límite. A esta velocidad se la denomina velocidad instantánea. Aceleración.- Es la relación que se establece entre la variación de la velocidad que experimenta una partícula y el tiempo en que se realizó tal variación. Clasificación del movimiento rectilíneo De acuerdo con la trayectoria los movimientos se clasifican en: Movimiento rectilíneo uniforme Un movimiento rectilíneo uniforme es aquel cuya velocidad es constante, por lo tanto la aceleración es cero. La posición

del móvil en el instante

podemos calcular

integrando

O gráficamente: en función de .

Cuando la velocidad de la partícula es constante, la curva de la gráfica v-t es paralela al eje del tiempo, el módulo del desplazamiento está representado por el área comprendida entre la curva de la gráfica y el eje del tiempo. en función de . 41 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

Cuando la partícula se mueve con velocidad constante, la distancia recorrida es directamente proporcional al tiempo. La pendiente de la curva representa la rapidez de la gráfica. Movimiento rectilíneo uniformemente variado El movimiento de una partícula es rectilíneo uniformemente variado cuando el vector aceleración permanece constante en módulo y dirección. Esto significa que en la partícula la velocidad varía uniformemente con respecto al tiempo. Las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente variado son las siguientes:

MATERIALES NOMBRE

CANTI

CARACTERÍSTICAS

GRÁFICO

DAD

Computador

presente

laboratorio

computador fue de gran ayuda, por medio

del

cual

observamos

las

simulaciones en la pantalla de la página.

42 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

Guías de

La guía o texto de laboratorio es el

Laboratorios

medio por el cual se procede a realizar

de Física

los cálculos de todos los ejercicios

laboratorio

propuestos de la página del laboratorio

virtual.

Calculadora

La calculadora es el medio por cual realizamos los cálculos exactos de los ejercicios del laboratorio.

Esferográficos

Es una herramienta necesaria para el desarrollo de los ejercicios de la práctica del laboratorio virtual.

Página web

Es el aula virtual en el cual se encuentran las diferentes tareas del curso de física, como la tarea del laboratorio virtual y sirve como enlace para

visualizar

los

ejercicios

propuestos. http://www.ibercajalav.net/curso.php?fc urso=26&fpassword=lav&fnombre=4163 638

43 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Laboratorio Virtual

En esta página web se encuentran los vínculos de cada ejercicio propuesto del presente laboratorio, por medio de esta se visualiza las simulaciones de cada ejercicio, luego al resolver uno a uno los problemas se divisa la simulación entendiendo el fenómeno físico para llegar a la respuesta correcta por medio de los cálculos previamente realizados.

PROCEDIMIENTO DE USO PARA EL LABORATORIO VIRTUAL 1.- Ingresar a la página virtual establecida en Clasev.net http://www.ibercajalav.net/curso.php?fcurso=26&fpassword=lav&fnombre=4163726 http://www.ibercajalav.net/curso.php?fcurso=48&fpassword=lav&fnombre=4163732

2.- Buscar las simulaciones que se presentan para cada ejercicio. 3.- Revisar el postulado del ejercicio. 4.- Dar clic en “S” donde está la simulación pertinente. En esta opción se puede inicio a la simulación o dar valores como velocidad para saber a qué tiempo y que espacio recorre. 5.- Si la simulación se realizó de la mejor manera se abrirá la justificación de cada ejercicio. En caso de que no sea así se tienen tres oportunidades para realizar correctamente dicha simulación. 6.- Establecer relaciones entre los ejercicios resueltos a mano y los datos de la simulación para su correcta resolución. 7.- Establecer la justificación pertinente. RESOLUCIÓN: INGRESE A LA PÁGINA. http://www.ibercajalav.net/curso.php?fcurso=26&fpassword=lav&fnombre=4163638

44 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Ejercicios Virtuales Propuestos 1. Un motorista recorre 40 metros en 2 segundos ¿Con que velocidad de desplaza?

SIMULACIÓN:

RESOLUCIÓN:

JUSTIFICACIÓN:

45 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2.- La moto azul se mueve al doble de velocidad que la moto verde. ¿Qué relación existe entre los espacios que recorren ambas? E1 es el espacio recorrido por la moto azul y E2 el de la moto verde.  Simulación:

 Resolución:

 Ingrese los datos obtenidos:

 Justificación:

46 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.- Selecciona una fórmula que da cuenta del movimiento rectilíneo uniforme que sigue la moto. Comprueba cada una de las fórmulas con ayuda de la simulación. Para eso detén la moto donde quieras y anota el tiempo transcurrido t, el espacio recorrido e y la velocidad v, sustituye esos valores en las fórmulas y comprueba si obtienes el mismo resultado a ambos lados de la igualdad.

 Simulación:

 Resolución:

 Respuesta Seleccionar la opción correcta 



  Justificación

47 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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4. En la simulación encontrarás dos rectas, una para cada moto. Debes fijarte en ellas para poder responder correctamente en el apartado de respuestas todas las afirmaciones correctas.  Simulación:

 Resolución:

 Ingrese los datos obtenidos:

a.b. Justificación:

48 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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5.- Un motorista se encuentra inicialmente a 10m del origen. ¿Con que velocidad constante de debe mover para encontrarse a 70m del origen a cabo de 2 segundos? MRU  Respuesta: Introducir la velocidad calculada

 Simulación:

 Justificación:

49 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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6.- Intenta que la velocidad de la moto sea de 6.4m/s a los 4s de arrancar para ello calcula la aceleración necesaria e introduce su valor en el apartado.

 resolución:

 respuesta:  ingresar la aceleración:

 simulación:

 justificación:

50 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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7.- Con ayuda de la simulación vas a comprobar la relación que hay entre la velocidad de tu coche deportivo al cabo de 6 segundos. Para ver tu coche, introduce en la simulación el valor de 2m/s² en el control de la aceleración. Para simular el coche deportivo el valor de la aceleración que debes usar es de 4m/s². Ambos coches parten del reposo.  Resolución:

 Simulación:

 Respuesta:

 V( tu coche)=2*(coche deportivo)  V(coche deportivo)=2v(tu coche)  V(coche deportivo)=2v(tu coche)+6  V(tu coche)=2*v(coche deportivo)-6  Justificación:

51 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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8.-Una moto tiene una aceleración de 1 m/s2. ¿Cuánto tiempo tardara el motorista en alcanzar una velocidad de 10 m/s?  Resolución:



Simulación:

 Respuestas  2.77 s  2.77 min  10 s  10 minutos  Justificación:

52 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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9.- Calcula las velocidades finales que alcanza dos coches que no aceleran al cabo de 5 segundos. La velocidad inicial del coche 1 es de 7m/s y la del coche 2 es de 15 m/s ambos coches parten del reposo.  Resolución:

 Simulación:

 Respuestas:  V1=V2=7m/s  V1=70m/s y V2=150m/s  V1=7m/s y V2=15m/s  V1=V2=70m/s

 Justificación:

53 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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10.- Un coche tiene una velocidad inicial de 1m/s y una aceleración de 0.5m/ . ¿Cuál es la velocidad después de 8 segundos? ¿Y al cabo de 14?  resolución:

 simulación:

 respuestas: Seleccione las correctas  V(8)=5m/s  V(8)=1m/s  V(14)5m/s  V(14)=8m/s  V(14)=1m/s

 justificación:

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11.- Intenta dar a la moto una velocidad de 2m/s después de 10 segundos. Su velocidad inicial es de 1 m/s.  Resolución:

 Respuesta:

 Simulación:

 Justificación:

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12.-Una moto tiene una aceleración de 3m/s2. Averiguar la velocidad inicial de la moto para que alcance una velocidad de 30m/s al cabo de 5 segundos.  Resolución:

 Simulación:

 Respuestas: Seleccione la respuesta correcta:  v (0)=5m/s  v (0)=15m/s  v (0)=18km/h

 Justificación:

56 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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13.- Un tren tiene una aceleración constante de

. Su velocidad inicial es 5

¿Cuál es la relación entre la velocidad inicial y la velocidad final?  Resolución:

 Simulación:

 Respuestas: Seleccione la opción correcta:  V(final)=2.v(inicial)  V(final)=v(inicial) - tiempo  V(final)=v(inicial) + tiempo  Justificación:

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14.- La moto de simulación se mueve con una aceleración constante. Investigue la relación entre el espacio recorrido y el tiempo observando sus valores en dos instantes de tiempo diferentes. También te puede ayudar la forma de la curva que aparece en la gráfica. Recuerda que proporcionalidad significa que si una de las magnitudes se duplica la otra también, mientras que inversamente proporcional significa que si una se duplica la otra se queda en la mitad.  Resolución:

 Simulación:

 Respuestas: Seleccione la respuesta que coincida con tus cálculos.  El espacio es directamente proporcional al tiempo.  El espacio es proporcional al cuadrado del tiempo.  El espacio es inversamente proporcional al tiempo.  Justificación:

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15.- Calcula el espacio recorrido por una moto de 10 segundos la moto parte del reposo y tiene una aceleración constante de 5 m/ .  Resolución:

 Respuesta: Ingresa el valor del espacio calculado

250

 Simulación

 Justificación

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MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Para acceder a los ejercicios de movimiento rectilíneo uniformemente variado inserta la página siguiente: http://www.ibercajalav.net/curso.php?fcurso=48&fpassword=lav&fnombre=4163681 1.- A partir de las gráficas del movimiento es posible conocer todo sobre el movimiento de un cuerpo, aunque no lo veamos moverse. En la simulación encontraras las gráficas del movimiento de dos coches diferentes, en color rojo y color azul. Con la ayuda de esas gráficas debes descubrir que frases son verdaderas en la opción de las respuestas.  Simulación

 Respuestas: Seleccione las frases correctas

 Justificación:

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2.- Un coche que se mueve a 72 km/h se encuentra a 94 m metros de distancia de la bicicleta que se mueve a 28,8 km/h en la dirección contraria. Calcula el tiempo que tarda en encontrarse y el espacio recorrido por el coche hasta entonces.  Resolución:

 Simulación:

 Ingrese la respuesta calculada:

 Justificación:

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3.- Un coche circula por una carretera a 108 km/h, por encima del límite permitido. Un coche de la policía oculto tras unos arbustos, lo detecta y sale en persecución al cabo de 2 segundos, con una velocidad de 40 m/s. Calcule el tiempo que tarda la policía, una vez en marcha, en alcanzar al coche infractor. Después calcule la distancia que ha recorrido durante ese tiempo.

 Resolución:

 Simulación:

 Ingrese los datos obtenidos:

 Justificación:

4.- Ha sucedido un accidente a 48 Km. de una localidad, desde la cual sale una ambulancia con una velocidad de 32 m/s. A 90 Km de esa localidad se encuentra un 62 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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coche policial que está ocupado en otra urgencia, pero al cabo de 5 minutos sale por fin en direccional accidente con una velocidad de 144 Km/h. Calcula el tiempo que tarda la ambulancia en llegar al lugar del accidente.  Resolución:

 Simulación

 Ingrese los valores calculados

 Justificación:

63 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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5.- A partir de las gráficas del movimiento es posible conocer todo sobre el movimiento de un cuerpo, aunque no lo veamos moverse.  Simulación:

 Respuesta: Seleccione la frase correcta  El coche azul tiene un movimiento acelerado  Ambos coches están parados en t=0  Cuando se encuentran, los dos coches llevan la misma velocidad  Los dos coches se encuentran a los 3 segundos  A los 4 segundos, el coche azul se mueve a el doble de velocidad que el coche rojo  Justificación:

64 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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6.- Un coche de policía inicialmente en reposo, ve que un coche que viene por detrás circula a 126 km/h, es decir, por el límite de velocidad. Justo cuando el coche pasa junto al de la policía, este empieza a acelerar a 3,5 m/s2 para detener al infractor.  Resolución

 Simulación

 Ingrese los datos calculados

 Justificación

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7.-Un coche circula por la carretera a 129 km/h, por encima del límite permitido. Un coche de la policía, oculto tras de los arbustos, lo detecta y sale en persecución al cabo de 1 segundo con aceleración de 7 m/s2.  Resolución

 Simulación

 Ingrese los datos calculados

 Justificación

66 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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8.- Un coche azul se desplaza a

hacia un coche amarillo que está parado a 240

metros de distancia. Al mismo tiempo, el coche amarillo empieza a acelerar a

dirección al azul. Calcular cuánta distancia recorre el coche azul hasta el encuentro y la velocidad del coche amarillo en ese momento. Introduce los dos resultados en el apartado Respuesta. En la simulación podrás ver los primeros instantes del encuentro.  Resolución:

 Simulación:

 Ingrese los datos obtenidos Espacio recorrido por el coche azul:

Velocidad final del coche amarillo:  Justificación:

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9.- Un inventor ha diseñado un nuevo aparato para evitar que las macetas caigan a la calle. Cada vez que una maceta se cae, el invento lanza un gancho a una velocidad inicial de 54km/h para capturar la maceta. Al igual que la maceta, una vez lanzado, el gancho sufre la aceleración de la gravedad: En la simulación, el gancho está a 21 metros de altura y la maceta se deja caer desde 9 metros de altura. Calcula la distancia que recorre la maceta hasta que es capturada por el gancho, introduce tu resultado en el apartado.  Resolución:

 Simulación:

 Ingrese los datos

obtenidos

Espacio recorrido por la maceta:  Justificación:

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CONCLUSIONES:

RECOMENDACIONES

BIBLIOGRAFIA  Física vectorial 1, VALLEJO ZAMBRANO, 2000  http://www.ibercajalav.net/curso.php?fcurso=26&fpassword=lav&fnombre=4163726  http://www.ibercajalav.net/curso.php?fcurso=48&fpassword=lav&fnombre=4163732  www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/cinematica.htm  http://www.fisicanet.com.ar/fisica/f1_cinematica.php#.UWc9FZ003mQ  http://www.matematicasfisicaquimica.com ANEXOS

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3.2.7 Evaluación I a) SUBRAYA LA RESPUESTA CORRECTA

1.- En el gráfico que se muestra, determinar la velocidad media del móvil entre los 10(s) y 35(s). a. 15 m/s b.

11 m/s

c. 13 m/s d. 5 m/s e.

Ninguna

2.- En el gráfico que se muestra, determinar el espacio recorrido por el móvil durante el segundo segundo de su movimiento. a)2.5(m) b) 5(m) c)3(m) d) ninguna e) 4(m)

b) RESPONDA VERDADERO O FALSO

3.- El movimiento rectilíneo uniforme tiene una rapidez y aceleración constante. V (

)

4.- El movimiento rectilíneo uniformemente variado

tiene rapidez variable y

aceleración constante. V (

)

5.- Las ecuaciones del M.R.U.V son: y

v0t

1 2 gt 2 70

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1 (v 2

vo)t

v v0 gt V (

)

c.- UNIR CON LÍNEAS SEGÚN CORRESPONDA

6.- Condiciones del M.R.U

7.- Condiciones del M.R.U. V.

Tabla 3.4 Criterio de evaluación de los ejercicios de la Lección I

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3.3. CAÍDA LIBRE En la caída libre ideal, se desprecia la resistencia aerodinámica que presenta el aire al movimiento del cuerpo, analizando lo que pasaría en el vacío. En esas condiciones, la aceleración que adquiriría el cuerpo sería debida exclusivamente a la gravedad, siendo independiente de su masa; por ejemplo, si dejáramos caer una bala de cañón y una pluma en el vacío, ambos adquirirían la misma aceleración,

, que es la aceleración de

la gravedad. La gravedad sobre la superficie de un planeta típicamente esférico viene dada por:

Donde G es la constante de gravitación universal

, M es la masa del planeta, R es el radio del planeta y

es un vector unitario (es decir,

de módulo 1 estandarizado en la tabla adjunta) dirigido hacia el centro del planeta. Equivalentemente, puede definirse como el peso por unidad de masa de un objeto que se encuentra sobre la superficie del planeta:

En el caso de la Tierra, a nivel de la superficie del mar su módulo vale:

Astro Sol Mercurio Venus Tierra Luna Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno

g 27,9 0,37 0,88 1 0,16 0,38 2,64 1,15 1,05 1,22

m/s2 273,7 3,7 8,85 9,81 1,62 3,72 26,39 11,67 11,43 11,07 72

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Caída libre totalmente vertical El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad creciente (aproximadamente movimiento uniformemente acelerado con aceleración g) porque la velocidad aumenta cuando el objeto disminuye en altura. La ecuación de movimiento se puede escribir en términos la altura y: (1) Donde: , son la aceleración y la velocidad verticales. , es la fuerza de rozamiento fluido dinámico (que aumenta con la velocidad). Si, en primera aproximación, se desprecia la fuerza de rozamiento, cosa que puede hacerse para caídas desde pequeñas alturas de cuerpos relativamente compactos, en las que se alcanzan velocidades moderadas, la solución de la ecuación diferencial (1) para las velocidades y la altura vienen dada por:

Gráfico 3.3 Simulación de caída libre

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD

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Donde v0 es la velocidad inicial, para una caída desde el reposo v0 = 0 y h0 es la altura inicial de caída. Para grandes alturas u objetos de gran superficie (una pluma, un paracaídas) es necesario tener en cuenta la resistencia fluido dinámico que suele ser modelizada como una fuerza proporcional a la velocidad, siendo la constante de proporcionalidad el llamado rozamiento aerodinámico kw:

(2) En este caso la variación con el tiempo de la velocidad y el espacio recorrido vienen dados por la solución de la ecuación diferencial (2):

Nótese que en este caso existe una velocidad límite dada por el rozamiento aerodinámico y la masa del cuerpo que cae es igual al peso dividido para el rozamiento. Un análisis más cuidadoso de la fricción de un fluido revelaría que a grandes velocidades el flujo alrededor de un objeto no puede considerarse laminar, sino turbulento y se producen remolinos alrededor del objeto que cae de tal manera que la fuerza de fricción se vuelve proporcional al cuadrado de la velocidad:

(3) Donde: , es el coeficiente aerodinámico de resistencia al avance, que sólo depende de la forma del cuerpo. , es el área transversal a la dirección del movimiento. , es la densidad del fluido. , es el signo de la velocidad.

74 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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La velocidad límite puede calcularse fácilmente poniendo igual a cero la aceleración en la ecuación (3):

La solución analítica de la ecuación diferencial (3) depende del signo relativo de la fuerza de rozamiento y el peso por lo que la solución analítica es diferente para un cuerpo que sube o para uno que cae. La solución de velocidades para ambos casos es:

Donde:

3.3.1. ¿QUÉ ES CAÍDA LIBRE O LANZAMIENTO DE PARTÍCULA A 90º? Gráfico 3.3.1 Simulación de lanzamientos verticales de partículas

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD

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Note en la simulación que el cuerpo de color tomate se deja caer desde el edificio y a cada instante de tiempo el gana progresivamente velocidad pasando de 0m/s a 34,29m/s sabiendo que baja en función del efecto gravitacional en consecuencia se debe describir que cuando un cuerpo cae el fenómeno es acelerado. Y cuando un cuerpo sube se sabe que el sistema es retardado esto se puede notar en el cuerpo rojo que al inicio de su movimiento lo hace con una velocidad de 34,29 m/s pero a medida que sigue subiendo pierde velocidad y cuando llega al punto máximo de alcance vertical su velocidad es 0m/s. Si un cuerpo baja aumenta la distancia recorrida y aumente la velocidad. Si un cuerpo sube al aumentar la distancia de recorrido disminuye la velocidad. Gráfico 3.3.1.1 Simulación y graficas del lanzamientos verticales de partículas

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD 3.3.2. SUGERENCIAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE CAÍDA LIBRE. Para resolver problemas recomendamos seguir las siguientes sugerencias. Primero. En problemas de caída libre, lo primero que debemos de realizar es un dibujo 76 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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que ilustre el problema. Segundo. Elegir un sistema de referencia (siendo éste un eje vertical). Tercero. Adoptar una convención de signos (generalmente positivos hacia arriba y negativos hacia abajo). Cuarto. Elegir el origen del sistema de referencia (es conveniente elegirlo en el lugar de donde se deja caer o se lanza el objeto). Quinto. Localizar en el dibujo los puntos en los cuales nos apoyaremos para resolverlo, en dichos puntos hay que poner las variables involucradas que son posición, tiempo y velocidad (tanto iníciales como finales). Sexto. Traducir a símbolos las expresiones verbales, por ejemplo: se deja caer un cuerpo (v0 = 0 m/s) Séptimo. En problemas de caída libre, la aceleración ( a ) con que caen los cuerpos es la aceleración de la gravedad ( g ) que siempre tiene un valor positivo de 9.81 m/s2 . Octavo. Dependiendo de la convención de signos adoptada para el sistema de referencia (punto Tercero), la aceleración del cuerpo (no la de la gravedad) puede ser positiva o negativa; de esta forma: Para una convención de signos (+) hacia arriba, (-) hacia abajo, la aceleración es negativa y:

Noveno. En todos nuestros problemas (a menos que se indique lo contrario) adoptaremos la convención de signos (+) hacia arriba, (-) hacia abajo. Con esa premisa, las ecuaciones de movimiento para caída libre serán: Ecuaciones de caída libre y

v0t

1 2 gt 2

1 (v 2

vo)t

v v0 gt v 2 v0

2gy ( y yo)

77 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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1. Vf = Vo + gt 2. Vf2 = Vo2 + 2gh 3. h = Vot + ½ gt2

Donde g siempre tiene un valor de 9.81 m/s2.

Recuerde que La velocidad

aumenta, cuando el cuerpo cae

La velocidad

disminuye, cuando el cuerpo sube =

= -9,8m/s2 = -32,2ft/s2

3.3.3. EJERCICIOS DE CAÍDA LIBRE Ejercicios resueltos: 1. Una piedra se deja caer al interior de un pozo de agua y luego de 3,5s se escucha el choque entre la piedra y el agua, considerando que la velocidad del sonido es de 340m/s. Determinar: a. El tiempo que se demora la piedra en bajar b. La altura del pozo c. La velocidad final de la piedra antes del impacto con el agua

tpi

78 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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t piedra + t sonido = tT

tp + ts = 3,5s

Subida del sonido hs = V*ts hs = (340m/s) ts Caída piedra h = Vot + ½*g*t2 Reemplazo h piedra = h sonido ½*g*tp2 = 340m/s* ts ½ *(9,8m/s2) *tp2 = 340m/s *(3,5s – tp) 4,9m/s2(tp2 ) = 1190m – 340m/s (tp) 4,9m/s2 (tp2 ) + 340m/s (tp) – 1190m = D tp = 3,339s h = ½ (9,8m/s2) (11,15) h = 54,039m c. Vf = Vo + gt Vf = (9,8m/s2) (3,339) Vf = 32,72 m/s 2. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba por el pozo de un ascensor con una Vo = 60m/s. En el mismo instante la plataforma que lleva al ascensor con una V = cte de 10m/s, la plataforma mide 5 m y esta en el piso y el ascensor mide 40 m y esta sobre la plataforma. Determine: a. ¿Dónde se encuentran la plataforma y la pelota? 79 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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b. ¿Cuándo se encuentran? c. ¿Cuál es la velocidad de la pelota antes de hacer contacto con la plataforma? Gráfico 3.3.3 Simulación del ejercicio 2 lanzamientos verticales de partículas

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD Subida de la pelota Vf = Vo – g tv Vo/g = ts ts = 6,12s hs = ho+60m/s (6,12s) – ½ (9,8m/s2) (6,12s)2 hs = (40+183,67)m hs= 223,67 m Subida de la plataforma hs1 = (6,12) (10m/s) hs1 = 61,2m

80 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Altura total de encuentro hT= hs-hs1 hT= 223,67 m- 61,2m hT=162,47 m hT=hbp + hspl 162,47 m= 4,9t2 + 10 t t= 6,86 s Entonces tT= (6,12+6,86) = 12,98 s Vf2 = Vo2 + 2gt Vf = (9,8m/s2) (6,86s) Vf = -67,23 m/s 3. Desde lo alto de un edificio salta un paracaidista como un impulso inicial que ejercía una velocidad de 10km/h, cae libremente en un tiempo estimado de 8s, en este instante se abre el paracaídas y desacelera su movimiento a una razón de 3m/s 2 hasta llegar al suelo. Determinar: a. La altura del edificio b. El tiempo que permanece el paracaidista en el aire c. Determine la velocidad media del sistema Vo = 10km/h

-a = 3m/s2

81 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Vf = Vo + g (t ) Vf = 2,77 + (9,8m/s2) (8s) Vf = (2,77 + 78,4 ) m/s

h = Vot + ½ gt2 h = (2,77) (8) +1/2 (9,8m/s2) (64s)2 h = 22,16 + 313,6

Vf = 81,17m/s

h1 = 335, 16m

Vf = Vo + gt

Vf2 = Vo2 + 2ah

0 = 81,17 + (-3m/s) t

0 = (81,17)2 + 2 (-3) h

-81,17 = -3m/s t

-6588,56 = -6h

27,05s = t

h2 = 1098,09

tT= 8s + 27s = 35s

h1 + h2 = hT hT = 1433,85m

Vm =

hf – h0 tf - to

Vm =

0 – 1433,85 35s – 0

Vm =

-1433,85 35

Vm =

-40,96m/s

4.- Se suelta un proyectil desde lo alto de un acantilado y en el último segundo recorre una distancia de 50m. Calcular: a) El tiempo empleado b) La distancia sobre el acantilado c) La velocidad final del proyectil

82 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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t= 4,5s

83 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Ejercicios Propuestos: 1. Se suelta una piedra al interior de un pozo petrolero y solo en su sexto segundo de descenso recorre 50 m. Determine: a. La altura del pozo b. El tiempo que tarda en tener todo el descenso c. Velocidad final de la piedra

84 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2. Un cohete parte del reposo con una aceleración vertical de

que actúa

constantemente durante un minuto. En ese instante se agota el combustible y sigue subiendo como una partícula libre. Determinar: a) La máxima altura que alcanza b) El tiempo total transcurrido hasta llegar al suelo y ¿con qué velocidad hace? c) Construya la gráfica velocidad – tiempo pata todo el movimiento.

85 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.- Se dejan caer dos pelotas al piso desde diferentes alturas. Una se deja caer 1,5 s después de la otra, pero ambas golpean al piso al mismo tiempo, 5 s después de dejar caer la primera. A) ¿Cuál es la diferencia de alturas a la cual se dejaron caer?, b) ¿Desde que altura se dejo caer la primera pelota?

Tabla 3.5 Criterio de evaluación de los ejercicios de caída libre

86 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.3.4 Evaluación II a) SUBRAYA LA RESPUESTA CORRECTA 1.- La altura en metros desde donde fue soltado un objeto, si en los dos últimos segundos recorrió 40 m y g = 10 m/s2; fue de: a) 45 b) 60 c) 75 d) 80 e) Ninguna

2.- Una pelota cae verticalmente al piso y al rebotar en él se observa que solo se eleva la mitad de la altura inicial. Si la velocidad justo antes del impacto es 20 m/s. Su velocidad en m/s después del impacto, es: a) 15 b) 10 c) d) e) Ninguna

3.- De un grifo de agua caen 8 gotas por segundo si cada gota se demora 0,5 seg. en llegar al suelo. Cuando la primera toque el suelo determine la distancia que separa a esta gota con la tercera.

A. 1,56 m B. 0,91 m C. 1,91m D. 0,56 m

87 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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b) RESPONDE VERDADERO O FALSO 4.- El M.R.U.V. vertical se lo conoce como caída libre. V (

)

5.-La velocidad de caída de una partícula puede expresarse en Km/h; millas/h ; m/s, Pa/s, dinas . V (

)

6.- El valor de la gravedad es -32,2 ft/s2; V (

c.- UNIR CON LÍNEAS SEGÚN CORRESPONDA

7.- Condiciones de caída libre son:

g = -9,52m/s2 g= -32,2m/s2

8.- El valor de la gravedad es:

g= -32,2ft/s2 g=-9,52in/s2

Tabla 3.6 Criterio de evaluación de la lección II

88 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.4. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME 3.4.1. ¿Qué es MCU? El movimiento circular uniforme. Se caracteriza por tener velocidad angular constante; por lo que la aceleración angular es nula, la velocidad lineal de la partícula no varía en módulo, pero si en dirección, la aceleración tangencial es nula, pero existe aceleración centrípeta.

v d

cons tan te cons tan te directamente proporcional at. directamente proporcional at

Gráfico 3.4.1.1 Características del M.C.U

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

R=Radio constante M.R.U.

89 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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M.C.U.

Dentro del movimiento circular existen elementos constitutivos como periodo, frecuencia que depende del valor de la velocidad angular y el radio de la circunferencia. Periodo: tiempo que se demora una partícula en dar una revolución.

Frecuencia: número de vueltas en un determinado tiempo.

90 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Gráfico 3.4.1.2 Simulación del M.C.U. en Modellus

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD RECUERDE QUE: En física, el movimiento circular uniforme describe el movimiento de un cuerpo atravesando, con rapidez constante, una trayectoria circular. Aunque la rapidez del objeto es constante, su velocidad no lo es: La velocidad, una magnitud vectorial, tangente a la trayectoria, en cada instante cambia de dirección. Esta circunstancia implica la existencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección. El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual al cociente entre la longitud del arco de circunferencia recorrida y el radio. La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene 2π, radianes. La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

91 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo físico cinemático. Posición Se considera un sistema de referencia en el plano x,y, con vectores unitarios en la dirección de estos ejes (O; i, j) . La posición de la partícula en función del ángulo de giro φ=θ y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano xy:

La posición: De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:

Siendo: : es el vector de posición de la partícula. : es el radio de la trayectoria.

Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se define como velocidad angular (ω):

El ángulo (φ), debe medirse en radianes:

Donde s es la longitud del arco de circunferencia. 92 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Según esta definición: 1 vuelta = 360° = 2 π radianes ½ vuelta = 180° = π radianes ¼ de vuelta = 90° = π /2 radianes

Velocidad tangencial: La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación tangencial:

En donde se ve la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial

El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar

y comprobando que es nulo.

Aceleración La aceleración se obtiene a partir del vector velocidad con la derivación:

De modo que Así pues, el vector aceleración tiene dirección opuesta al vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular, por lo que acostumbramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta. El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la velocidad que, en virtud de la relación

de la partícula, ya

, resulta

Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve con rapidez constante en una trayectoria circular, por lo que la partícula deberá ser atraída hacia el

93 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia. Realizar una simulación del m.c.u. e identifica los elementos constitutivos como periodo, frecuencia, velocidad angular, radio, velocidad tangencial y aceleración normal en función del sentido de giro anti horario. Gráfico 3.4.1.3 Simulación de los elementos del M.C.U

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD Gráfico 3.4.1.4 Efectos de los elementos del M.C.U

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

94 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.4.2. EJERCICIOS DEL M.C.U. Ejercicios resueltos: 1. Una trayectoria se mueve por una trayectoria circular desde el punto inicial A como implica la figura. Determine: a) Los vectores

si la partícula se mueve con una

(constante) en un

tiempo estimado de 20 min.

)

95 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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; 210º

; 120º 2.- Una partícula animada con MCU parte del punto (2,7) m y gira alrededor del origen en sentido antihorario describiendo un ángulo de

en 6s. Determinar:

a) La posición inicial y final b) El vector posición final c) El período y la frecuencia d) La velocidad en la posición final

96 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3. Un motor genera una velocidad contante de 300 RPM la distancia del movimiento directa lo realiza con una polea de R=3m la cual por medio de una banda comunica el movimiento a otra polea de radio R=1,5 m . Determine: a) El vector

y el

final si se considera que el sistema interactúa por 3 min y las

posiciones iniciales de la polea del motor y de la polea transmitida son de

respectivamente. 97 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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NOTA: la velocidad a determinar son en los elementos móviles, calcular el período y la frecuencia de cada uno.

Polea B

98 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Polea A

100 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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4.- Determine el vector velocidad final y el vector aceleración total.

101 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Ejercicios Propuestos: 1.- Un tocadiscos que gira a 33 1/3 rev/min reduce su velocidad y se detiene 30s después de que el motor se apaga, a) Encuéntrese su aceleración angular en revoluciones por minuto al cuadrado, b) ¿Cuántas revoluciones hace en este tiempo?

102 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2.- Un móvil se mueve en una circunferencia de 1,2 m de radio con una velocidad angular constante de 22 rad/s durante 6 s. Determinar a.

El desplazamiento angular

La distancia recorrida

El periodo

La rapidez del móvil

El módulo de la aceleración centrípeta.

103 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.- Una partícula animada de MCU parte del punto (2,7) m y gira alrededor del origen en sentido antihorario describiendo un ángulo de de 215° en 6s. Determinar: a.

La velocidad angular

La posición angular inicial

La posición angular final

La posición final

El período

La frecuencia

La velocidad en la posición final

La aceleración centrípeta en la posición inicial

Resp.: 0.63 rad, 1.29 rad, 5.04 rad, (2.36i-6.89j) m,9.97 s, 0.1 hz, 4.13i + 1.48j m/s, (-0.78i-2.73j) m/s2

Tabla 3.7 Criterio de evaluación de los ejercicios de M.R.C.

104 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.4.3. LABORATORIO VIRTUAL 2

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO EXTENSIÓN LATACUNGA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS CALIFICACIÓN:

ASIGNATURA:

NRC

TEMA:

INFORME N°

UNIDAD:

FECHA

DOCENTE:

ESTUDIANTE

PREPARATORIO 2 Tabla 3.8 Criterio de evaluación del laboratorio virtual 2

105 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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TEMA: CINEMÁTICA CIRCULAR OBJETIVO GENERAL: Analizar los fenómenos de la cinemática circular mediante la utilización de los laboratorios virtuales. OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Leer los enunciados de cada una de las simulaciones propuestos en los ejercicios del ibercajalav.net. Generar las simulaciones con diferentes parámetros para demostrar los fenómenos del movimiento circular. Responder cada una de las preguntas generadas en los ejercicios de las simulaciones del movimiento circular . Revisar las justificaciones de cada simulación ejecutada en el movimiento circular. MARCO TEÓRICO: Responda: ¿Qué es el M.C.U.?

¿Cuáles son las generalidades del M.C.U?

¿Qué es el periodo, la frecuencia, velocidad tangencial?

106 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Existe aceleración en el M.C.U. Explique.

¿Qué relación existe entre el M.R.U y el M.C.U.?

MATERIALES: Nombre

Canti

Características

Gráfico

dad Computador

presente

laboratorio

computador es de gran ayuda, por medio

del

cual

observamos

las

simulaciones en la pantalla de la página de internet propuesta. Guías de

La guía o texto de laboratorio es el

Laboratorios

medio por el cual se procede a realizar

de Física

los cálculos de todos los ejercicios

laboratorio

propuestos de la página del laboratorio

virtual.

Calculadora

La calculadora es el medio por cual realizamos los cálculos exactos de los ejercicios del laboratorio.

Esferos

Es una herramienta necesaria para el desarrollo de los ejercicios de la práctica del laboratorio virtual. 107

AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Página web

Es el aula virtual en el cual se encuentran las diferentes tareas del curso de física, como la tarea del laboratorio virtual y sirve como enlace para visualizar los ejercicios propuestos de la pagina http://www.ibercajalav.net/curso.php?fcur so=25&fpassword=lav&fnombre=4165106.

Laboratorio Virtual

En esta página web se encuentran los vínculos de cada ejercicio propuesto del presente laboratorio, por medio de la se visualiza las simulaciones de cada ejercicio, luego al resolver uno a uno los problemas se divisa la simulación entendiendo el fenómeno físico para llegar a la respuesta correcta por medio de los cálculos previamente realizados.

PROCEDIMIENTO DE USO PARA EL LABORATORIO VIRTUAL 1. Ingresar a la página virtual establecida Clasev.net 2. Buscar las simulaciones que se presentan para cada ejercicio http://www.ibercajalav.net/curso.php?fcurso=25&fpassword=lav&fnombre=4165106

3. Revisar el postulado del ejercicio. 4. Dar clic en “S” donde está la simulación pertinente. En esta opción se puede inicio a la simulación o dar valores como velocidad para saber a qué tiempo y que espacio recorre. 5. Si la simulación se realizó de la mejor manera se abrirá la justificación de cada ejercicio. En caso de que no sea así se tienen tres oportunidades para realizar correctamente dicha simulación. 6. Establecer relaciones entre los ejercicios resueltos a mano y los datos de la simulación para su correcta resolución. 7. Establecer la justificación pertinente. 108 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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CÁLCULOS: EJERCICIOS VIRTUALES PROPUESTOS 1.-En la simulación puedes introducir el ángulo en forma de fricción del número pi. Entonces obtienes calculando el valor del ángulo en radianes y grados. Modificando el numerador y denominador de dicha fracción, descubre que frases de las del aparato son ciertas.  resolución:

 Simulación:

 Respuestas: Marca las opciones correctas  π /6 radianes=30 grados  12 radianes<12 grados  1 vuelta=6.28 radianes  45 radianes=pi/4 grados  π radianes=180 grados  π /2=1.57radianes  Justificación:

109 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2.- Con ayuda de la simulación, descubre que ángulos de la lista del aparato son menores que 50 grados. Recuerda que al cambiar en la simulación la fracción que multiplica a π, obtienes automáticamente el ángulo en grados.  Resolución:

 Simulación:

 Respuesta: Marca las opciones correctas  π /3 radianes  4 π /3 radianes  π /4 radianes  3 π /5 radianes  π /6 radianes  2 π /6 radianes  Justificación:

110 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.- En la simulación puedes modificar el ángulo π

recorrido y el radio r de un

Movimiento circular para ver el espacio recorrido S. tan solo tienes que arrastrar la bola verde. Con la ayuda de la simulación cuáles de las afirmaciones del apartado son las correctas  Simulación:

 Respuestas: Marcar las opciones correctas:  S es directamente proporcional al ángulo π  Si π es 3600. Para r fijo S es cero  S corresponde al arco de la circunferencia  Si cambiamos π. Para r fijo, s no cambia  S es inversamente proporcional a r  Justificación:

111 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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4.- En el apartado de simulación encontraras el mismo experimento que el ejercicio anterior descubre con ella las frases que son verdaderas en el apartado.  Simulación:

 Respuestas: Marca las opciones correctas:  Cuando π es fijo, si duplico r se duplica s  S es independiente de r y π  Para r fijo, si duplico π se duplica s  Si π = radianes y r=10m, entonces s=31.4 metros  S se hace negativo si phi es mayor que π  Justificación:

112 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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5.- Las saetas del reloj de una torre miden; r metros la horaria y R metros el minutero. Calcular la relación S/s existente entre las longitudes de los arcos recorridos por el extremo de la horaria y el extremo del minutero desde las doce a la una en punto. (s es el recorrido de la horaria y S el del minutero) .  Simulación:

 Respuestas: Marca las opciones correctas  24r/R  15r/R  9r/R  6r/R  12r/R  3r/R  Justificación:

113 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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6.-¿Qué longitud ha de tener el radio para tener como resultado un arco de 1.26 metros para un ángulo de 900)  Resolución:

 Respuesta:

 Simulación:

 Justificación:

114 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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7.- Calcula la relación entre la velocidad angular que tiene la manecilla pequeña y la grande en un reloj. Ten en cuenta que la manecilla pequeña da 1 vuelta cada 12 horas y que la grande la da cada 60 minutos.  Resolución:

 Simulación

 Respuestas: Selecciona la respuesta correcta  Ambas tienen la misma velocidad angular  Es 24 veces mayor la pequeña que la grande  No tiene velocidad angular  Es 24 veces mayor la grande que la pequeña  Es 12 veces mayor la pequeña que la grande  Es 12 veces menor la pequeña que la grande  Justificación:

115 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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8.- A partir de la simulación diga cuál o cuales de las siguientes afirmaciones del apartado son correctas para un movimiento circular uniforme.  Resolución:

 Simulación:

 Respuestas: Seleccione la respuesta correcta  Ambas tiene la misma velocidad angular  Es 24 veces mayor la pequeña que la grande  No tiene velocidad angular  Es 24 veces mayor la grande que la pequeña  Es 12 veces mayor la pequeña de la grande  Es 12 veces menor la pequeña de la grande  Justificación

116 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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9.- Calcula cual a de ser la distancia respecto al origen para que la velocidad lineal v sea de 0.47m/seg. En un plato de un tocadiscos que gira a 45 rpm. Para comprobar tus cálculos introduce el valor en el aparato.  Resolución:

 Simulación:

0.1

 Justificación

117 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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10.- En la siguiente simulación de un movimiento circular, puedes modificar el n° de vueltas en el tiempo y el radio mostrándote la velocidad angular w resultante al cabo de un tiempo  Resolución:

 Simulación

 Respuestas Marca las opciones correctas:  Si duplica r, se duplica w  Si duplico phi, w no varia  Si duplico r, w se hace la mitad  W es directamente proporcional al ángulo phi  El radio r no influye en la velocidad angular  El tiempo no influye en la velocidad angular w  Justificación

118 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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11.- En esta otra simulación de un movimiento circular, puedes modificar el ángulo π y el radio r, mostrándose la velocidad lineal al cabo de un tiempo.  Resolución:

 Simulación:

 Respuestas Marca las opciones correctas  La velocidad lineal depende del radio r  V es inversamente proporcional al radio r  Si duplico w entonces v se hace la mitad  Para t fijo, a mayor n° vueltas mayor v  W y v son siempre iguales  V no depende del ángulo recorrido.  Justificación:

119 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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12.- A partir de la misma simulación de antes, determine que relación cumple la velocidad lineal en cuanto a su módulo y a su dirección para un movimiento circular uniforme.  Resolución:

 Simulación

 Respuestas  Marca las opciones correctas  La dirección de v es perpendicular a la trayectoria en dirección  El módulo de v varia en un MCU  La dirección de v es tangente a la trayectoria  V es constante en modulo y no tiene dirección  V es el módulo constante  Justificación

120 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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13.- Supongamos que tenemos un disco LP que gira a 33 rpm. Con ayuda de la simulación, diga cuál o cuales de las afirmaciones son correctas.  Resolución:

 Simulación

 Respuestas  Marca las opciones correctas  V es la misma en todos los puntos del disco  Todos los puntos del disco tienen la misma w  A mayor radio r, mayor velocidad angular w.  A mayor radio r, menor velocidad lineal v  Para un r fijo; v crece se crece w  La velocidad lineal v depende del radio r  Justificación

121 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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14.- Si tenemos un disco de 20 cm de diámetro que gira a 45 Rpm y tenemos dos puntos A (bola Verde) y B (bola roja). Situada a 8 cm de diámetro del centro y en el extremo del radio, respectivamente, diga cuales de las afirmaciones son correctas  Resolución:

 Simulación:

 Respuestas: Marca la opción correcta:  W en el punto A es menor que en el punto B  La velocidad lineal v del punto A es 0.37 m/s  La velocidad lineal v en A es igual a la de B  W= 45rpm en el punto A; en unidas del SI  W= 4.71 rad/s en todos los puntos  Justificación:

122 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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15.- Calcula la velocidad angular de la rueda de la moto. Introduciendo en la simulación el número de vueltas que da cada minuto, es decir cada 60 seg.  Resolución:

 Respuesta:

 Simulación:

 Justificación:

123 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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16.- Un reloj tiene tres agujas de las que la segunda tiene 10m. Determinar cuál es la velocidad angular y la velocidad lineal del extremo de la aguja, expresada en rad/s y m/s  Resolución:

 Simulación:

 Respuestas: Marque la respuesta correcta  W= 0.0175 rad/s y v= 0.141 m/s  W= 0.1047 rad/s y v= 1.047 m/s  W= 0.175rad/s y v= 0.7 m/s  W= 1.047 rad/s y v= 0.1047m/s  W= 0.175rad/s y v= 1.75 m/s  W= 0.154 rad/s y v= 1.45 m/s  Justificación:

124 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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17.- Un móvil recorre 500 metros un arco a lo largo de un arco de circunferencia que abarca un ángulo de 90º. Si el arco de la circunferencia tiene un radio de 318.5 metros y el móvil tiene una velocidad lineal de 16.67 m/s calcular el tiempo en que tarda el móvil en realizar un recorrido.  Resolución:

 Respuestas: Introduce el valor calculado en la casilla

 Simulación:

 Justificación:

125 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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18.- Calcula la velocidad lineal de movimiento de rotación de la tierra, para un punto situado en el Ecuador.  Resolución:

 Simulación:

 Respuesta: Introduce el valor en la casilla

 Justificacion:

126 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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19.- Como sabemos en tractor las ruedas delanteras son más pequeñas que las traseras. Si el tractor se mueve con velocidad constante ¿Qué ruedas llevarán mayor velocidad angular?  Resolución:

 Simulación:

 Respuestas: Marca la respuesta correcta:  Ambas ruedas tienen la misma velocidad  Las ruedas traseras  Las ruedas delanteras  No hay suficientes datos  Justificación:

127 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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20.- Determina qué relación existe entre la velocidad angular y la frecuencia. En la simulación puedes modificar la velocidad angular directamente o bien puedes modificar el número de vueltas por tiempo. También puedes modificar el radio.  Resolución:

 Simulación:

 Respuestas:

 Justificación:

128 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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21.- El punto gira en una circunferencia de radio 2 m a razón de 120 rpm ¿Cuál o cuáles de las afirmaciones del apartado son ciertas?  Resolución:

 Simulación:

 Resolución:

 Justificación:

129 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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CONCLUSIONES

RECOMENDACIONES

BIBLIOGRAFÍA http://www.ibercajalav.net/curso.php?fcurso=25&fpassword=lav&fnombre=4165106 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/curvilineo/curvilineo.htm http://www.monografias.com/trabajos93/movimiento-circunferencial/movimientocircunferencial.shtml

130 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.5. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO 3.5.1. ¿Qué es el MCUV? Se considera al MCUV como la existencia del desplazamiento angular diferente de cero, así como la dirección y el modulo del vector velocidad variables por lo tanto la aceleración angular es constante y la velocidad angular es variable.

a cons tan te vf

x vo vf 2

1 2 at 2 2 vo 2a e

 am

vf vo tf to  a1 a 2...... an ap n  v1 v 2...... vn vp n  v rapidez

131 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Recordemos entonces: Que en el MCUV el móvil se desplaza sobre una circunferencia variando el módulo tanto de su velocidad angular como tangencial continuamente. Existen una aceleración tangencial y una aceleración angular, que modifican a las velocidades correspondientes.

ACELERACIÓN ANGULAR

Es la variación de la velocidad angular en el tiempo.

ACELERACIÓN TANGENCIAL

Es la variación de la velocidad tangencial en el tiempo.

VELOCIDADES EN EL MCUV En MCUV las velocidades angulares y tangenciales no son constantes. VELOCIDAD ANGULAR Es la diferencia entre el ángulo final e inicial, dividida por el tiempo. Se calcula sumando la velocidad angular inicial al producto de la aceleración angular por el tiempo (de manera similar a MRUV cuando se calcula la velocidad final). La ecuación se despeja de la definición de aceleración angular.

VELOCIDAD TANGENCIAL Es la diferencia entre la posición final e inicial, dividida por el tiempo. Se calcula sumando la velocidad tangencial inicial al producto de la aceleración tangencial por el tiempo (de manera similar a MRUV cuando se calcula la velocidad final).

132 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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En un determinado instante, si tenemos la velocidad angular, la velocidad tangencial se calcula de la misma manera que en MRU:

POSICIÓN RESPECTO DEL TIEMPO EN MUCV Las ecuaciones horarias pueden ser planteadas tanto para las magnitudes tangenciales como para las angulares y son similares a las de MRUV. Si se trabaja con ángulos, al igual que en MCU, hay que restar un número entero k por 2 π (número de vueltas por ángulo de cada vuelta).

M.C.U.V.

Gráfico 3.5.1.1 Elementos vectoriales y sistema de transmisión del M.C.U.V .

133 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

3.5.2. EJERCICIOS DEL M.C.U.V Ejercicios propuestos: 1. Una partícula inicia su movimiento en el punto A con una wo=10RPM, y acelera a una razón de 2

por 3 min en sentido horario. Determine la:

a) Velocidad final b) Aceleración total c) Velocidad angular media d) 134 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

Gráfico 5.2.1.1 Simulación del M.C.U.V.

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

Revisar la simulación en el CD

135 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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136 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2.- Una partícula parte del reposo desde un punto P(-4; 3) m y luego alcanza la velocidad

) m/s, siguiendo una trayectoria circular horaria. Determine:

a) El ángulo de giro (desplazamiento angular) b) El vector aceleración tangencial c) El vector aceleración normal (centrípeta)

137 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Dirección del vector velocidad

138 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.- Una partícula inicia su movimiento en el punto A señalando en el dibujo en sentido antihorario y alcanza una velocidad de 5rad/s en 40 s sabiendo que en su posición inicial parte del reposo. Hallar: a) El vector velocidad lineal final b) La posición inicial c) La posición angular final d) El vector aceleración centrípeta e) El vector aceleración total final

139 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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140 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Ejercicios Propuestos: 1.- Un volante de 10 cm de radio gira en torno a su eje a razón de 400 RPM. Un freno lo para en 15 s. determinar: a.

La velocidad angular inicial

La rapidez en el momento de aplicar el freno

La velocidad angular media

El desplazamiento angular

Cuantas vueltas da hasta detenerse

La distancia recorrida

El módulo de la aceleración total inicial

141 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2.- Un automóvil parte del reposo en una vía circular de 400 m de radio con MCUV hasta que alcanza una rapidez de 72 km/h en un tiempo de 50 s. determinar: a.

La velocidad angular final

La velocidad angular media

La aceleración angular

El desplazamiento angular

La distancia recorrida

El tiempo que tarda en dar 100 vueltas

El módulo de la aceleración total final

142 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.- Un punto animado de movimiento circular cambia su velocidad angular de 200 RPM a 2600 RPM en 2 min. Si el radio de la trayectoria es 1.5 m, determinar a. La velocidad inicial b. La velocidad angular final c. La aceleración angular d. El desplazamiento angular e. Cuantas vueltas da f. La distancia recorrida g. El módulo de la aceleración total inicial.

Tabla 3.9 Criterio de evaluación de los ejercicios de M.C.U.V.

143 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.5.3 Evaluación III a) Una con lineas según corresponda:

1.- Condiciones del M.C.U.

2.- Condiciones del M.C.U.V.

w ( m/s)

3.- Unidades de la velocidad angular

w ( rad/s) w ( rev/s) w ( RPM) w ( cm/s)

b) Subraye la respuesta correcta

4.- Un disco inicialmente inmóvil se somete a una aceleración angular constante de 5 (Rad/s2). Cuántas vueltas completas dará en los primeros 8(s). a. 40 vueltas b. 75 vueltas

144 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

GUÍA CINEMÁTICA A OTRO NIVEL

80/11 vueltas

d. 60/ir vueltas e. Ninguna

5.- Si A gira uniformemente a razón de 4 Rad/s, la velocidad en cm/s con la que se mueve el bloque suspendido en la polea C y si RA=20cm,

=10cm y

=5 cm; es:

a) 20 b) 40 c) 30 d) 35 e) Ninguna

Responda verdadero o falso: 6.- El M.C.U se caracteriza por tener una velocidad lineal constante, la dirección del vector velocidad variable. V (

)

7.- La velocidad lineal es igual a la velocidad angular por el radio. V (

)

8.- El movimiento circular uniformemente variado

tiene aceleración

normal,

aceleración tangencial y aceleración total. V (

)

Tabla 3.10 Criterio de evaluación de los ejercicios de la lección III

145 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.6. TIRO PARABÓLICO 3.6.1. ¿QUÉ ES MOVIMIENTO PARABÓLICO? La composición de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado resulta un movimiento cuya trayectoria es una parábola. Un MRU horizontal de velocidad vx es constante. Un MRUV vertical con velocidad inicial voy hacia arriba. Este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil. Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleración de la gravedad. Gráfico 3.6.1.1 Elementos vectoriales de tiro parabólico

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

MOVIMIENTO EN DOS DIRECCIONES (PLANO) (Movimiento Parabólico) Características 1. 2. 146 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3. 4. 5. 6.

at ac aT aT = at+ ac El vector velocidad inicial es uno de los principales elementos que generan el tiro parabólico sus condiciones dicen que el módulo del vector velocidad es diferente de cero, la dirección pre establecida va desde los

Su análisis vectorial.

Disparo de proyectiles. Consideremos un cañón que dispara una bala desde el suelo (y0=0) con cierto ángulo θ menor de 90º con la horizontal.

147 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Las ecuaciones del movimiento le dará como resultado la composición de un movimiento uniforme a lo largo del eje X, y de un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y, se denota las siguientes ecuaciones:

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria son: x=v0·cosθ·t y=v0·senθ·t-gt2/2 Eliminado el tiempo t, obtenemos la ecuación de la trayectoria (ecuación de una parábola)

Tiro parabólico con altura inicial. Se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

148 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son: vx=v0·cosθ vy=v0·senθ-g·t La posición del proyectil en función del tiempo es: x=v0·cosθ·t y= h+v0·senθ·t-g·t2/2 Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil. Lanzamiento de proyectiles: Es la composición de dos movimientos rectilíneos distintos horizontal (eje x) de v=constante y otro vertical (eje y) uniformemente acelerado con la a=g=constante. En cada punto de la trayectoria, la velocidad es tangente y se presentan las dos componentes vx y vy. En el punto más alto la velocidad es horizontal.

149 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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h t

1 2 gt 2 2v sen g vf

hm ax

v 2 sen 2 2g

150 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Ecuación General de la Parábola despejo

A= B= C= 3.6.4. Radio de Curvatura

151 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Longitud de Curvatura

y 3.6.2. EJERCICIOS DE MOVIMIENTO PARABÓLICO Ejercicios Resueltos: 1.- Se dispara un proyectil desde la cima de una colina desde 1000ft de altura con una velocidad de 600 ft/s formando un ángulo de 30° con respecto a la horizontal la presión atmosférica y resistencia del aire son despreciados. Calcular: a) La distancia horizontal desde el cañón hasta el punto donde cae el proyectil b) La máxima altura que alcanza el proyectil con respecto al suelo.

152 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2.- Determine el ángulo mas

pequño medido desde la horizontal, con la que la

manguera debe ser dirigida de manera que la corriente de agua toque el fondo de la pared en el punto B. la rapidez del agua en la tubería es de Vc=48 pies/

ax=0

= = 153 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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C=0 X=

= = = =

C=0

154 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.- Desde un acantilado se dispara dos proyectiles bajo las siguientes condiciones B Vo= 100m/s y Ѳ= 40o A Vo= 200m/s y Ѳ= 0o. Determinar: a) ¿Cuál de las condiciones experimenta mayor tiempo de vuelo y analice porque? b) Bajo las dos condiciones quién experimenta mayor alcance horizontal y quién experimenta el mayor alcance vertical. c) Si las dos condiciones se experimenta en un mismo alcance cuál es la posición de la partícula de la condición B con respecto a la A al cabo de 5 s. d) Grafica dos condiciones V – t. e) Cuál es el elemento modular y la condición angular de la velocidad al cabo de la mitad del tiempo de vuelo de la condición A.

155 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Plantear la resolución: A-C

ts= 6,56 s C–E

A-B

Cálculo de

Posición de la particular 2 P2

156 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Posición 1

P1= P2=

4.- Dos cazadores A y B, están enfrentados a 200m de distancia, disparan con un ángulos de

respectivamente, con una diferencia de tiempo de 1s hacia un

mismo blanco que se encuentra a 10m de altura sobre el plano en que ambos se hallan si sus proyectiles hacen impacto al mismo tiempo en el blanco. Determinar: a) Las velocidades iníciales b) Las distancias c) Tiempos respectivos

157 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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158 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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=200

Cálculo de las distancias recorridas:

Cálculo de las velocidades:

159 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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5.- Se dispara un proyectil con una velocidad inicial de 800 ft/s contra un blanco situado a 2000ft de altura y a una distancia horizontal de 12000 ft. Determinar: a) El ángulo de tiro b) La ecuación de la trayectoria del disparo c) El radio de curvatura de la trayectoria

160 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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6.- Dos proyectiles A y B parten del mismo punto el proyectil A con una rapidez de 30 y lanzado verticalmente hacia arriba, el proyectil B, parte un segundo más tarde con una rapidez de 60 , formando un ángulo de

con la horizontal al

cabo de 4 seg.

Determinar: a) La velocidad de cada proyectil b) La posición de proyectil B con respecto al proyectil A c) La distancia entre los dos proyectiles

a) Velocidad del proyectil A

Velocidad del proyectil B

161 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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b) Posición del proyectil A

Posición del proyectil B

162 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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c) 7.- Dos proyectiles A y B son lanzados como se indica en la figura, después de cierto tiempo se encuentran en el punto C y se demora 1s y 0,5s en llegar al suelo. Si la distancia entre los dos impactos es de 200m. Determinar: a) Las velocidades iníciales de cada uno b) Los alcances máximos de cada proyectil c) Los tiempos de vuelo d) Las alturas máximas de cada uno de los proyectiles e) La altura del punto C

163 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Proyectil A

)

164 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Proyectil B

8.- Una partícula es disparada con una velocidad inicial de 150m/s y con un ángulo de 30 con respecto a la horizontal. Determinar analítica y gráficamente. a) El vector velocidad inicial b) La velocidad cuando el proyectil recorre la cuarta parte de su tiempo de vuelo

165 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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c) El vector posición con respecto al origen referencial al cabo de las tres cuartas partes de su tiempo de vuelo d) La altura y el alcance máximo

166 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Ejercicios Propuestos: 1.- Un proyectil se dispara desde una mesa de 1.5m de altura con una velocidad inicial de 2.27 m/s y con un ángulo de 30º con respecto a la horizontal

Determinar el máximo alcance vertical que tiene el proyectil, el tiempo de vuelo y la ecuación de la trayectoria. Gráfico 3.6.2.1 Simulación ejercicio propuesto 1

Elaborado por: Ing. Proaño Molina Diego

167 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2.- Se dispara un proyectil desde una plataforma sobre un terreno horizontal, y los efectos de la resistencia del aire son nulos. ¿A qué ángulos, con respecto al piso, debe estar orientada la plataforma para que el alcance del proyectil sea la mitad de su alcance máximo? ¿por qué hay dos ángulos posibles? ¿Cuáles son los ángulos que se necesitan para que el alcance sea cero, es decir que el proyectil aterrice al pie de la plataforma.

168 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.- Dos edificios elevados están separados 60 m. ¿Con qué velocidad debe lanzarse horizontalmente una pelota desde una ventana situada a 150 m sobre el suelo en un edificio, para que penetre por la ventana situada a 15 m del suelo en el otro? Resp. 11m/s

4.- Un estudiante de ingeniería desea arrojar una pelota hacia fuera, por la ventana de un dormitorio en el tercer piso, a 10 m de altura, para que llegue a un blanco a 8 m de distancia del edificio, a) Si el estudiante arroja la pelota en dirección horizontal, ¿con que velocidad la debe arrojar?, b) ¿Cuál debe ser la velocidad de la pelota, si la arroja hacia arriba, en un ángulo de 29° con la horizontal?, c) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota volando en el caso b?

Tabla 3.11 Criterio de evaluación de los ejercicios de movimiento parabólico

169 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3.6.3 Evaluación IV a) SEÑALE LA RESPUESTA CORRECTA:

1.- Considere un proyectil qué se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad después de haber sido lanzado formando un cierto ángulo con la horizontal; cuanto éste alcance su altura máxima, se puede afirmar que en este punto:

a) La velocidad es nula b) La aceleración es nula c) La altura es igual al radio de curvatura d) La aceleración tangencial es nula e) Ninguna

2.- Se tiene dos cuerpos A y B de igual masa en el borde de una mesa. El cuerpo A se lanza horizontalmente con una rapidez Vo en el mismo instante en que el cuerpo B se deja caer libremente del mismo punto. Despreciando la resistencia del aire se puede afirmar que: a) Ambos llegan al piso con igual momentum b) El cuerpo B llega primero al piso c) El cuerpo A llega primero al piso d) ninguna e) Ambos cuerpos llegan al suelo con la misma velocidad

3.- Si el máximo alcance de un proyectil es "D". Calcular el ángulo de disparo utilizando para alcanzar un objetivo localizado a una distancia

en el plano horizontal.

a) ninguna b)

=60°

=45°

=15°

=30°

170 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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4.- En la figura el radio de curvatura en el punto A de la trayectoria está dado por: a)

c) d) ninguna e) b.-RESPONDA VERDADERO O FALSO A LAS SIGUIENTES PREGUNTAS 5.- En el punto más alto que alcanza un proyectil en tiro parabólico la vector velocidad es igual a cero. V (

)

6.- En la generación de tiro parabólico completamente horizontal el modulo del vector velocidad inicial es igual al modulo de la velocidad final. V (

)

7.- En la generación de tiro parabólico la aceleración total del sistema es igual a la gravedad. V (

)

8.- La aceleración total en tiro parabólico es la suma vectorial entre la aceleración normal y la aceleración tangencial. V (

)

171 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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c.- UNIR CON LÍNEAS SEGÚN CORRESPONDA

9.- La velocidad horizontal producida en el tiro parabólico que condiciones presenta.

10.- Condiciones de tiro parabólico.

g = -9,52m/s2

11.- El valor de la gravedad es

g= -32,2m/s2 g= -32,2ft/s2 g=-9,52in/s2

Tabla 3.12 Criterio de evaluación de los ejercicios de la lección IV

172 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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4. EJERCICIOS VARIOS CINEMÁTICA

1. La distancia entre A y B es de 300 km. Un móvil sale de A hacia B con una velocidad de 12 km/h al mismo tiempo que otro móvil sale de B hacia A con una velocidad de 18 km/h. ¿A qué distancia de A se encontrarán y cuánto tiempo tardarán en encontrarse? Resp. 120 Km; 10 h

2. Un automóvil sale de A hacia B a una velocidad de 80 km/h al mismo tiempo que sale un omnibus de B hacia A a 65 km/h. Si la distancia AB es de 435 km. ¿A qué distancia de B se encontrarán y cuánto tiempo tardarán en encontrarse? Resp. 195 km; 3h

3. La distancia entre A y B es de 3200 millas. Un avión sale de A hacia B a las 08h00 a.m. a una velocidad de 500 millas/h. A las 09h00 a.m. sale otro avión de B hacia A con una velocidad de 400 millas/h. Hallar a que distancia de B se encontrarán los aviones y a que hora. Resp. 1200 millas; 12h00

4. Un tren de carga sale de A hacia B a un velocidad de 45 km/h, 2 horas después sale de A hacia B un tren de pasajeros a una velocidad de 55 km/h. ¿A qué distancia de A encontrará el segundo tren al primero? Resp. 495 km

5. Un camión sale de A hacia B a la 13h00 p.m. a una velocidad de 55 km/h. A las 15h00 p.m. sale un automóvil de A hacia B a 85 km/h. Si B se halla 100 km más distante que A. ¿A qué distancia de A y a qué hora encontrará el automóvil al camión? 173 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Resp. 495 Km; 22h00 p.m.

6. Juan viaja en automóvil a razón de 100 millas cada 2 horas, 6 horas después José sale en automóvil del mismo lugar y en el mismo sentido a razón de 250 millas cada 4 horas ¿A qué distancia del lugar de partida alcanzará José a Juan? ¿Cuántas horas tardará? Resp. 1500 millas, 24 h

7. Un individuo dispone de 4 horas para ver una ciudad. Averiguar qué distancia puede recorrer en un omnibus que va a 25 km/h si luego tiene que hacer el regreso a pie (por el mismo camino) a razón de 5 km/h. Resp. 16.67 km

8. Un joven sube una cuesta a razón de 4 km/h y la baja a razón de 6 km/h. Si en subir y bajar emplea en total 1.5 h. ¿Qué longitud tiene la cuesta? Resp. 3.6 Km

9. Un tren expreso sale de una estación 40 minutos después de haber salido un tren de carga y lo alcanza en 1 h y 20 minutos. El tren expreso corre 20 km más por hora que el tren de carga. ¿Cuál es la velocidad del tren de carga? Resp. 40 km/h

10. Un barco de carga que hace 15 nudos (15 millas náuticas por hora) está a 720 millas de New York, cuando un barco de pasajeros que hace 25 nudos sale de New York en la misma dirección. ¿Qué distancia habrá recorrido el barco de pasajeros cuando el barco de carga le lleva todavía una ventaja de l00 millas? Resp. 1550 millas

174 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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11. Un bote tarda el mismo tiempo en navegar 20 km río arriba, que 28 km río abajo. Si la velocidad de la corriente del río es de 2 km/h ¿Cuál es la velocidad del bote en agua tranquila? Resp. 12 km/h

12. Pedro puede remar 8 km/h en agua tranquila. En un río emplea el mismo tiempo en remar 5 km río arriba que 15 km río abajo. ¿Cuál es la velocidad de la corriente del río? Resp. 4 km/h 13. Una lancha de motor tiene una velocidad de 25 km/h y puede navegar cierta distancia río abajo en 2/3 del tiempo que tarda en navegar la misma distancia río arriba. Hallar la velocidad de la corriente del río. Resp. 5 km/h

14. Un avión puede volar 800 millas con un viento de cola de 15 millas/h en el mismo tiempo que vuela 750 millas en contra del mismo viento. Hallar la velocidad del avión. Resp. 465 milla/h

15. Un avión que desarrolla una velocidad de 360 millas/h (en aire tranquilo) navega 210 millas con viento de cola en el mismo tiempo que navega 190 millas con un viento de proa de la misma intensidad. ¿Cuál es la velocidad del viento? Resp. 18 millas/h

16. Un automóvil viaja de Medellín hacia Cali con una velocidad de 55 km/h. A las 07h00 a.m. pasa por Cartago que está a 220 km de Medellín. Calcular: a) ¿A qué hora partió de Medellín? b) ¿A qué distancia de Medellín estará al medio día?. Resp. a) 03h00 a.m. b) 495 km

175 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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17. Un automóvil parte de Medellín a Montería a las 07h00 a.m.; a las 12h00 del medio día parte otro de Montería hacia Medellín. Recorren los 720 km que separan dichas ciudades en 12 horas. ¿Calcular a qué hora y a qué distancia de Medellín se produce el encuentro? Resp. 15h30 p.m.; 510 km

18. Un tren sale de la ciudad A a las 12h00 yendo hacia la ciudad B, situada a 400 km de distancia, con una velocidad de 100 km/h. Otro tren sale de B a las 14h00 p.m. y mantiene una velocidad de 70 km/h. Determinar la hora en la cual los trenes se encuentran, y la distancia medida a partir de la ciudad A. Si: a) El segundo tren se dirige hacia A y b) El segundo tren se aleja de A Resp. a) 15h10 p.m., 317.6 km; b) 20h40 p.m., 866.6 km

19. Dos automóviles equidistan 500 km el uno del otro y marchan en sentidos contrarios a 60 y 40 km/h. ¿Cuánto tardarán en cruzarse? y ¿A qué distancia del punto de partida del que tiene velocidad menor? Resp. 300 minutos, 200 km

20. Dos estaciones distan entre si 100 km. De A sale un tren que tardará 2 horas en llegar a B; de B sale otro hacia A, donde llegará en hora y media. ¿Calcular a qué distancia de A se cruzan y qué tiempo después de haber partido simultáneamente cada uno de su respectiva estación? Resp. 42.8 km, 51 minutos y 26 segundos

21. Dos ciudades A y B equidistan 400 km; de B parte un automóvil a 60 km/h y de A parte otro en su persecución a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzarlo y a qué distancia de A, sabiendo que el de B sale dos horas antes? Resp. 13 h. 1300 km

176 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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22. A la 07h00 a.m. parten dos automóviles con velocidades iguales, uno de Medellín hacia Barranquilla y otro de Barranquilla hacia Medellín. Recorren los 1000 km en 16 horas; calcular: ¿A qué hora y a qué distancia de Medellín se encuentran? Resp. 15H00 p.m.; 500 km

23. Dos puntos A y B en la orilla de un río perfectamente recto, distan entre si 1000 metros. Un hombre va de A a B y de regreso hacia A en un bote que se mueve a 4 km/h con relación al río. Otro hombre camina a lo largo de la orilla del río de A hacia B y de regreso hacia A a 4 km/h. Si la velocidad del río es de 2 km/h, calcular el tiempo que demora cada hombre para realizar el recorrido completo. Resp. 40 minutos el hombre del bote, 30 minutos el hombre de la orilla

24. Suponga que lo llaman para asesorar a un abogado respecto de un problema físico en uno de sus casos. El problema consiste en determinar si el conductor había excedido la rapidez límite de 30 millas/h antes de hacer un alto de emergencia en el que se aplicaron los frenos del vehículo, que mantuvieron a las ruedas resbalando sin rodar. Las marcas de las ruedas en la carretera fueron de 19.2 pies. El oficial de la policía supuso que la máxima desaceleración del automóvil no pudo ser mayor que la aceleración de un cuerpo que cae libremente y arrestó al conductor por exceso de velocidad. ¿En realidad se excedió? Explicar. Resp. No se excedió 25. Un ferrocarril metropolitano parte del reposo de una estación y acelera durante 10 segundos con una aceleración constante de 1,2 m/s2. Después marcha a velocidad constante durante 30 segundos y desacelera a razón de 2,4 m/s2 hasta que se detiene en la estación siguiente. Calcular la distancia total recorrida. Resp. 450 m

177 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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26. El tiempo de reacción de un aproximadamente 0,7

conductor de automóvil promedio es,

segundos (el tiempo de reacción es el intervalo que

transcurre entre la percepción de una señal para parar y la aplicación de los frenos). Si un automóvil puede experimentar una desaceleración de 4,8 m/s2 calcular la distancia total recorrida antes de detenerse, una vez percibida la señal: a) cuando la velocidad es de 30 km/h y b) cuando es de 60 km/h. Resp. a) 13 m, b) 40 m

27. En el instante en que la señal luminosa de tráfico cambia a verde, un automóvil que ha estado esperando en una parada arranca con aceleración constante de 1,8 m/s2. En el mismo instante, un camión, que lleva una velocidad constante de 9 m/s, alcanza y pasa al automóvil. a) ¿A qué distancia del punto de partida adelantará el automóvil al camión? b) ¿Qué velocidad tendrá en ese instante? Resp. a) 90 m b) 18 m/s

28. El maquinista de un tren de viajeros que lleva una velocidad de 30 m/s ve un tren de mercancías cuyo furgón de cola se encuentra 180 m delante en la misma vía. El tren de mercancías avanza en el mismo sentido que el de viajeros, con una velocidad de 9 m/s. El maquinista del tren de viajeros aplica inmediatamente los frenos, produciendo una desaceleración constante de 1,2 m/s2 mientras el tren de mercancías continúa su marcha a velocidad constante. a) ¿Habrá choque entre ambos trenes? b) Caso de haberlo, ¿dónde tendrá lugar? Resp. a) Si hay choque b) 315 m a partir del punto de frenado

29. Un coche pasa a 108 km/h junto a un coche de la policía que esta detenido, este acelera inmediatamente a 1,8 m/s2 hasta 144 km/h y persigue a esta velocidad al otro coche hasta ponerse al lado suyo. ¿Qué distancia habrá recorrido el coche de la policía? Resp. 1333.3 m

178 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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30. Un trolebús que parte del reposo se mueve durante 15 s con una aceleración de 1 m/s2. Se suprime la corriente y continúa moviéndose durante 10 s con movimiento retardado, a causa de la fricción, con una aceleración de 5 cm/s2. Finalmente se aplican los frenos y se detiene en 5 s, Calcular la distancia recorrida. Resp. 296,25m

31. Un coche deportivo puede alcanzar, partiendo del reposo, una velocidad de 96 km/h en 8 s. Un atleta puede recorrer 100 m en 10,7 s. Supóngase que el atleta corre con velocidad constante y el coche arranca en el instante en que pasa aquél de su lado. ¿Qué distancia habrán recorrido ambos cuando el coche adelante al atleta? Resp. 52.70 m

32. Un ferrocarril metropolitano parte del reposo de una estación y acelera durante 10 s con una aceleración constante de 1,2 m/s2. Después marcha a velocidad constante durante 30 s y desacelera a razón de 2,4 m/s2 hasta que se detiene en la estación siguiente. Calcular la distancia total recorrida. Resp. 450 m

33. En el instante en que se enciende la luz verde del semáforo, un auto que estaba en el cruce arranca con una aceleración de 2 m/s2 que mantiene durante 8 s siguiendo después con MRU. En el mismo instante en que arranca el auto, le pasa un camión con una velocidad de 12 m/s ¿Cuándo y a que distancia volverán a verse? Resp. 16 s, 192 m

34. Su autobús se está alejando de la parada con una aceleración de 1 m/s 2. Usted da vuelta la esquina y lo ve 20 m al frente. ¿Cuál es la rapidez mínima con la que

179 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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debe usted correr para alcanzar el autobús? Los velocistas olímpicos pueden correr a 10 m/s. Resp. 13.62 m/s

35. La figura muestra la aceleración de un objeto en la dirección x como función del tiempo Suponga que cuando t = 0, v = 0, y x = 0. Haga una gráfica de v como función de t y de x como función de t

36. La figura muestra el desplazamiento de un objeto en la dirección x como función del tiempo. Indique los intervalos durante los cuales v = 0, v > 0, v < 0, a = 0, a > 0, a < 0.

Resp. t=12s-16s; t= 0s – 4s

37. En la figura se muestra la velocidad de un objeto que se mueve a lo largo del eje x como función del tiempo. Haga un esquema que muestre la aceleración como

180 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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función del tiempo, e identificar los intervalos durante los cuales a = 0 y a < 0. ¿Es constante la aceleración durante cada uno de esos intervalos? Resp. La aceleración no es constante

40.1 Una jugadora de tenis se desplaza siguiendo una trayectoria de líneas rectas como se muestra en la figura P2.6. Determine su rapidez media en los intervalos de tiempo (a) de 0 a 1.0 s, (b) de 0 a 4.0 s, (c) de 1.0 s a 5.0 s y (d) de 0 a 5.0 s Resp. v= 4m/s; v= 2m/s;v=1m/s.

38. Si un cuerpo recorre la mitad de su camino total en el último segundo de su caída a partir del reposo, calcular a) el tiempo y b) la altura de su caída. Resp. 3.4 s, 57 m

181 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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39. Se dejan caer dos pelotas al piso desde diferentes alturas. Una se deja caer 1,5 s después de la otra, pero ambas golpean al piso al mismo tiempo, 5 s después de dejar caer la primera. A) ¿Cuál es la diferencia de alturas a la cual se dejaron caer?, b) ¿Desde que altura se dejo caer la primera pelota? Resp. 62 m; 122,5 m

40. Un bloque de cemento cae accidentalmente a partir del reposo desde la repisa de un edificio de 53 m de altura. Cuando el bloque se encuentra a 14 m por encima del nivel del suelo, un hombre de dos metros de estatura se da cuenta y observa que el bloque está directamente arriba de él. ¿con cuánto tiempo, como máximo, cuenta la persona para salirse de la trayectoria del bloque de cemento? Resp. 0,4s

41. Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo y un estudiante, desde una ventana, ve que la pelota pasa hacia arriba delante de él a la velocidad de 4,9 m/s. La ventana se encuentra 9,8 m por encima del suelo, a) ¿Qué altura alcanzará la pelota por encima del suelo?, b) ¿Cuánto tardará en ir desde la altura de 9,8 m al punto mas alto?, c) ¿Calcular su velocidad y aceleración 0,5 s y 2 s después de abandonar el suelo? Resp. 11.03 m; 0.5 s

42. Dos objetos separados por una línea vertical cuya altura es 100 m, se suelta y se lanza con una velocidad de 20 y 30 m/s respectivamente, calcular el tiempo y la altura donde se encuentran. Resp. 2 s; 40,4m a partir del suelo

43. Una piedra se deja caer de un pozo y se oye el ruido producido al chocar con el agua 3,2 s después. Averiguar la profundidad del pozo (velocidad del sonido 340 m/s). Resp. 45,8 m 182 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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44. Durante el ascenso de un cohete con una aceleración hacia arriba de 49 m/s 2 se afloja una pieza y cae al suelo desde un punto situado 2 m por encima. Al principio de este movimiento el cohete se está moviendo a 30 m/s. ¿cuánto tardará la pieza en llegar al suelo y cuál será su desplazamiento, visto desde la tierra? ¿con qué rapidez relativa se acercará al suelo la pieza en el instante del impacto? Resp. 6.86 s; 113.78 m; 33.68 m/s

45. Se arroja una pelota hacia arriba, desde el piso. Pasa por una ventana a 20 m de altura, la vuelven a ver descender, desde la misma ventana, 5 s después. Llega al piso 6,4 s después de haber sido arrojada. Con esta información, calcule la aceleración debida a la gravedad. Resp. 10,05 m/s2

46. Un malabarista actúa en una habitación cuyo techo se encuentra 2,7 m por encima de la altura de sus manos. Lanza verticalmente hacia arriba una pelota de modo que alcance justamente al techo, a) ¿con qué velocidad inicial lanzó la pelota?, b) ¿cuánto tiempo tardó la pelota en alcanzar el techo?. En el instante en que la primera pelota alcanzaba el techo, lanzó hacia arriba una segunda pelota con la misma velocidad inicial, c) ¿al cabo de cuanto tiempo de lanzar la segunda se cruzan ambas pelotas?, d) Cuándo las pelotas se cruzan, ¿a qué distancia se encuentran por encima de las manos del malabarista?. Resp. 7.27m/s, 0.74 s, 0.37 s, 2 m

47. Un estudiante decidido a comprobar por si mismo las leyes de la gravedad se arroja cronómetro en mano, desde un rascacielos de 900 pies de altura e inicia su caída libre (velocidad inicial nula), 5 segundos más tarde aparece en escena un superhombre y se lanza desde el tejado para salvar al estudiante, a) ¿cuál ha de ser la velocidad inicial del superhombre para que coja al estudiante justamente 183 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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antes de llegar éste al suelo?, b) ¿cuál ha de ser la altura del rascacielos para que ni aún el superhombre pueda salvarle? (se supone que la aceleración de caída del superhombre es la de un cuerpo que cae libremente). Resp. 320 ft/s, 400 ft

48. Un balín de acero cae de una mesa de 6 pie de altura. Si el balín pega en el piso a una distancia de 5 pies de la base de la mesa, ¿cuál fue su velocidad en el instante que dejó la mesa? Resp.8.19 ft/s 49. Se dispara una granada de mortero a 60 m/s con un ángulo de 65° respecto a la horizontal y va a caer en un llano situado a 45 m por debajo del nivel de la colina desde donde se disparó. Hallar su alcance horizontal y el ángulo con que se aproxima al suelo. Resp. 300.73 m; 67.74°

50. Un mortero de trinchera dispara un proyectil con un ángulo de 53° por encima de la horizontal y una velocidad inicial de 60 m/s. Un tanque avanza directamente hacia el mortero, sobre un terreno horizontal, a la velocidad de 3 m/s. ¿Cuál deberá ser la distancia desde el mortero al tanque en el instante en que el mortero es disparado para lograr hacer blanco? Resp. 382.27 m

51. Una pelota A es lanzada desde O con una velocidad inicial de 700 cm/s en una dirección que forma un ángulo de 37° por encima de la horizontal. Una pelota B situada a 300 cm de O contados sobre una recta que forma un ángulo de 37° con la horizontal es abandonada partiendo del reposo en el instante de lanzar A. a) ¿Cuánto habrá recorrido B hasta el momento de ser golpeada por A?, b) ¿En qué dirección se movía A cuando golpeó a B? Resp. 90 cm, horizontalmente

184 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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52. Se dispara un proyectil desde una plataforma sobre un terreno horizontal, y los efectos de la resistencia del aire son nulos. ¿A qué ángulos, con respecto al piso, debe estar orientada la plataforma para que el alcance del proyectil sea la mitad de su alcance máximo? ¿por qué hay dos ángulos posibles? ¿Cuáles son los ángulos que se necesitan para que el alcance sea cero, es decir que el proyectil aterrice al pie de la plataforma. Resp. 22.5°, 69.9°; 270°, 90°

53. Dos edificios elevados están separados 60 m. ¿Con qué velocidad debe lanzarse horizontalmente una pelota desde una ventana situada a 150 m sobre el suelo en un edificio, para que penetre por la ventana situada a 15 m del suelo en el otro? Resp. 11m/s

54. Un estudiante de ingeniería desea arrojar una pelota hacia fuera, por la ventana de un dormitorio en el tercer piso, a 10 m de altura, para que llegue a un blanco a 8 m de distancia del edificio, a) Si el estudiante arroja la pelota en dirección horizontal, ¿con que velocidad la debe arrojar?, b) ¿Cuál debe ser la velocidad de la pelota, si la arroja hacia arriba, en un ángulo de 29° con la horizontal?, c) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota volando en el caso b? Resp. 5,998 m/s, 5,33 m/s, 1,71 s

55. Un intrépido motociclista intenta saltar tantos autobuses como pueda, La rampa de despegue forma un ángulo de 18º con la horizontal, y la rampa con la que cae es idéntica a la primera. Los autobuses están estacionados uno alado del otro, y cada uno mide 9 pies de ancho. El motociclista abandona la rampa de despegue con una rapidez de 75 millas/h. ¿Cuál es el número máximo de autobuses que puede saltar? Resp. 24

185 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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56. Se dispara una flecha con rapidez inicial de 71 m/s a un ángulo de 25º con respecto a la horizontal, de la flecha al muro existen 260 m, como se observa en la figura. Si al inicio de la flecha se apunta al punto P, halle la distancia y debajo de P en donde la flecha hace contacto con el muro Resp. 800m

57. Una manguera de jardín que apunta a un ángulo de 25º por encima de la horizontal, lanza el chorro de agua hacia una persona que esta acostada en el césped a 4,4 m en la dirección horizontal. Si la manguera se mantiene a 1,4 m por encima del nivel del suelo, ¿a qué rapidez abandona la manguera el chorro de agua? Resp.5,7 m/s

58. Un disparador de cohetes está sentado sobre una superficie inclinada 25º, como se observa en la figura. El disparador está inclinado a un ángulo de 15º con respecto a la superficie. La rapidez inicial del proyectil es 81 m/s. halle la distancia D a la que cae el cohete con respecto a la superficie inclinada. Resp.320m

186 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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59. A una partícula que está girando con una velocidad angular de 6 rad/s se le comunica una aceleración angular de 2,8 rad/s2 durante 1 minuto. Si el radio de la trayectoria circular es de 0,6 m, determinar: a) La rapidez inicial, b) La velocidad angular final, c) La rapidez final, d) La velocidad angular media, e) El desplazamiento angular, f) Cuantas vueltas da y g) La aceleración centrípeta inicial. Resp. 3,6 m/s; 174 rad/s; 104.4 m/s; 90 rad; 5400 rad; 859 vueltas.; 21.6 m/s2

60. Una turbina de un jet se acelera de 0 a 6000 RPM en 20 s. Si el radio de la turbina es de 1,2 m, determinar: a) La velocidad angular final, b) La velocidad angular media, c) la aceleración angular, d) La rapidez media, e) El desplazamiento angular, f) La distancia recorrida por el extremo de la turbina, g) El módulo de la aceleración total final. Resp. 628.31 rad/s; 314.15 rad/s; 31,415 rad/s2; 376.9 m/s; 6283 rad; 7539.6 m; 477728.15 m/s2

61. La velocidad angular de un volante disminuye de 1000 RPM a 600 RPM en 7 s. Si el radio de la curvatura es de 25 cm, determinar: a) La rapidez inicial, b) La velocidad angular media, c) la aceleración angular, d)

El desplazamiento

angular, e) cuantas vueltas da, f) Qué tiempo será necesario para que el volante se detenga, g) El módulo de la aceleración total final. Resp. 26.18 m/s; 83.78 rad/s; -5.98 rad/s2; 586.53 rad; 93.35 rev; 17.5 s; 15.7 m/s2

62. Un corredor de 200 m planos debe correr a lo largo de una curva que forma un arco de circunferencia. El arco que debe describir tiene 30 m de radio. Suponiendo que corre a velocidad constante, y que hace 24,7 s en los 200 m, Cuál es su aceleración centrípeta al correr por la curva? Resp. 2.18 m/s2

187 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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63. Nuestro sol está a 2.3 x 104 años luz del centro de nuestra galaxia (la vía láctea) y se mueve en un circulo alrededor del centro a una velocidad de 250 Km/s a) ¿Cuánto tarda el sol en hacer una revolución alrededor del centro galáctico?, b) ¿Cuántas revoluciones ha completado el sol desde que se formó hace unos 4.5 x 109 años? Resp. 5.5 x 105 s; 26

64. La posición angular de un punto sobre el borde de una rueda giratoria está dada por ө = 4t -3t2 +t3, donde ө está en radianes y t en segundos. En t = 0 ¿Cuáles son a) La posición angular del punto b) su velocidad angular? c) ¿Cuál es su velocidad angular en t = 4 s? d) calcule su aceleración angular en t = 2s e) Es constante su aceleración angular? Resp. 2 rad; 0; 130 rad/s; 32 rad/s2; no

65. Un tocadiscos que gira a 33 1/3 rev/min reduce su velocidad y se detiene 30s después de que el motor se apaga, a) Encuéntrese su aceleración angular en revoluciones por minuto al cuadrado, b) ¿Cuántas revoluciones hace en este tiempo? Resp. -67 rev/min2; 8.3 rev

66. Un móvil se mueve en una circunferencia de 1,2 m de radio con una velocidad angular constante de 22 rad/s durante 6 s. Determinar f.

El desplazamiento angular

La distancia recorrida

El periodo

La rapidez del móvil

El módulo de la aceleración centrípeta. Resp.: 132 rad, 158.4 m, 0.29 s, 26.4 m/s, 580.8 m/s2

188 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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67. Una partícula animada de MCU parte del punto (2,7) m y gira alrededor del origen en sentido antihorario describiendo un ángulo de de 215° en 6s. Determinar: i.

La velocidad angular

La posición angular inicial

La posición angular final

La posición final

El período

La frecuencia

La velocidad en la posición final

La aceleración centrípeta en la posición inicial

Resp.: 0.63 rad, 1.29 rad, 5.04 rad, (2.36i-6.89j) m,9.97 s, 0.1 hz, 4.13i + 1.48j m/s, (-0.78i-2.73j) m/s2

68. Un volante de 10 cm de radio gira en torno a su eje a razón de 400 RPM. Un freno lo para en 15 s. determinar: h.

La velocidad angular inicial

La rapidez en el momento de aplicar el freno

La velocidad angular media

El desplazamiento angular

Cuantas vueltas da hasta detenerse

La distancia recorrida

El módulo de la aceleración total inicial Resp.: 41.89 rad/s, 4.19 m/s, 20.94 rad/s, 314.16 rad, 50 vueltas, 31.42 m, 175.46 m/s2

189 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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69. Un automóvil parte del reposo en una vía circular de 400 m de radio con MCUV hasta que alcanza una rapidez de 72 km/h en un tiempo de 50 s. determinar: h.

La velocidad angular final

La velocidad angular media

La aceleración angular

El desplazamiento angular

La distancia recorrida

El tiempo que tarda en dar 100 vueltas

El módulo de la aceleración total final

Resp.: 0.05 rad/s, 0.025 rad/s, 0.001 rad/s2, 1.25 rad, 500 m, 1121 s, 1.08 m/s2

70. Un punto animado de movimiento circular cambia su velocidad angular de 200 RPM a 2600 RPM en 2 min. Si el radio de la trayectoria es 1.5 m, determinar h. La velocidad inicial i. La velocidad angular final j. La aceleración angular k. El desplazamiento angular l. Cuantas vueltas da m. La distancia recorrida n. El módulo de la aceleración total inicial. Resp.: 31.41 m/s, 272.27 rad/s, 2.09 rad/s2, 17592.6 rad, 2799.95 vueltas, 26388.9 m, 657.73 m/s2

190 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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5.-

LABORATORIOS

VIRTUALES

EJERCICIOS

PROPUESTOS

PREPARATORIOS.

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO EXTENSIÓN LATACUNGA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS CALIFICACIÓN: CALIFICACIÓN:

ASIGNATURA:

NRC

TEMA:

INFORME N°

UNIDAD:

FECHA

DOCENTE:

ESTUDIANTE

PREPARATORIO 3 Tabla 3.13 Criterio de evaluación de los ejercicios de laboratorio virtual 3

191 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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TEMA: RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS. OBJETIVOS: OBJETIVO GENERAL Utilizar los laboratorios virtuales para representar los fenómenos cinemáticos descrito en los ejercicios mediante la utilización del (Modellus, Interactive Physics, Crocodile Physics 605). OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Resolver los ejercicios propuestos analíticamente. Generar las simulaciones con diferentes parámetros para demostrar los resultados obtenidos analíticamente Analizar las graficas generadas en cada software a utilizar.

MARCO TEÓRICO

¿Qué es el Modellus? Modellus es un programa informático que permite al usuario diseñar, construir y explorar modelos matemáticos interactivos que él mismo crea o que puede descargar de la red. ¿Para qué se utiliza? Se utiliza para la simulación de ecuaciones algebraicas o ecuaciones diferenciales, pero también este programa permite incorporar fotos, videos, gráficos, tablas de valores, etc. ¿Cuál es el procedimiento de uso? 1. Se procede a dar clic en ventana y luego clic en nueva animación donde aparecerá la consola de la simulación.

192 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2. Luego dar clic en ventana en la parte del modelo, aquí se van a introducir todas las ecuaciones paramétricas como las de coordenadas x & y, en función del radio, y el coseno de la trayectoria según sea el caso. 3. Luego abrirnos la pantalla de nueva animación y crear una partícula. 4. Después dar clic en crear nuevo vector, asignar la velocidad en sus respectivos ejes y unir a la partícula. 5. Repetir el paso anterior pero para la aceleración. 6. Una vez asignados todos estos parámetros fijamos la mejor escala para una mejor visualización. 7. Por último procedemos a dar inicio a la simulación en el control con el tiempo predeterminado.

¿Qué es Interactive Physics? Es un programa que hace que sea fácil de observar, descubrir y explorar el mundo físico a través de la simulación emocionante. Este programa fácil de usar apoyará el más básico de los temas complejos en la educación STEM.

¿Qué nos permite realizar? Interactive Physics nos permite modelar, simular y explorar una amplia variedad de fenómenos físicos, y crear casi cualquier experimento imaginable.

EJERCICIO 1 Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 40m por el paso de un ascensor, con una velocidad de 50m/s. en el mismo instante la plataforma del ascensor situado a una altura de 10m se mueve hacia arriba con una velocidad constante de 10 m/s.

193 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Con respecto a la altura del piso:

Altura de la pelota

Altura de la plataforma

m Igualamos las distancias

Tramo2

Altura de encuentro:

194 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Respuestas: a) 8.86 segundos

b) Distancia de la pelota

Simulación en el Modellus 1. Instalamos el programa.

2. Abrimos la carpeta con el programa.

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3. Abrimos el programa.

4. Seleccionamos File new.

5. Ingresamos los datos.

196 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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6. Selecciónanos nueva animación.

7. Graficamos las coordenadas de las gráficas.

8. Ejecutamos la simulación.

197 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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9. Observamos las gráficas que nos dio el programa.

EJERCICIO 2 Un hombre sostiene un objeto fuera de una ventana a 12m del piso. La lanza hacia arriba con una velocidad de 5m/s. cuánto tarda el objeto en llegar al piso y con qué velocidad lo hace.

198 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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199 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Simulación en el Modellus 1. Abrimos el programa.

2. Seleccionamos File new.

3. Ingresamos los datos.

4. Selecciónanos nueva animación.

200 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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5. Graficamos la partícula.

6. Ejecutamos la simulación.

201 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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EJERCICIO 3 Una partícula se mueve de acuerdo a la siguiente ecuación

. Cuál será la

ecuación de la velocidad. Construya los respectivos gráficos

Gráfica de

202 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Gráfica de

Simulación en el Modellus 1. Abrimos el programa.

2. Seleccionamos File new.

203 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3. Ingresamos los datos.

4. Selecciónanos nueva animación.

5. Graficamos las coordenadas de las gráficas.

204 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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6. Ejecutamos la simulación.

7. Observamos las gráficas que nos dio el programa.

EJERCICIO 4 Un proyectil es disparado con un ángulo de 37º sobre la horizontal y hace impacto en un punto situado a 200 m de distancia horizontal y a una altura de 20 m del suelo. Calcular a) La velocidad inicial en términos de i;j;k b) Que tiempo tarda en hacer impacto En el eje y

205 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Respuesta: a) (29035i+38.95j)m/s b) T=5.20 s Simulación en el Modellus 1. Abrimos el programa.

206 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2. Seleccionamos File new.

3. Ingresamos los datos.

4. Selecciónanos nueva animación.

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5. Graficamos la particula.

6. Ejecutamos la simulación.

7. Observamos las gráficas que nos dió el programa.

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EJERCICIO 5 Una rueda gira a 1200 R.P.M y tiene un radio =2 m. determinar: a) El período b) Su velocidad angular c) El valor de la velocidad de un punto de su periferia d) El valor de la aceleración centrípeta e) El ángulo girado en t =10 s Tabla de Datos: T(s) Resp.

Objeto Rueda

0.05

125.66

251.32

31582.7

1256.6

Respuestas: a)

c) 209 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Pasos para instalar Interactive Physics 1. Abrimos la carpeta con el programa.

2. Iniciamos la instalación.

3. 4. Aceptamos la licencia del programa.

210 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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5. Seleccionamos en donde vamos a guardar el programa.

6. Aceptamos el lugar a guardar.

7. Automáticamente empezará a instalarse.

211 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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8. Terminamos el programa.

9. Se abrirá el programa lo cual es que la instalación está realizada.

10. Abrimos el LEEME para ver la contraseña del programa

212 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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11. Copiamos el archivo.

12 Pegamos el archivo en la carpeta del programa.

13 Copiamos la contraseña.

213 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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14 Abrimos el programa y pegamos la contraseña.

15 Esta lista para utilizar el programa.

Simulación en Interactive Physics 1. Abrimos el programa.

214 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2. Graficamos una partícula.

3. Graficamos una cuerda.

4. Colocamos la cuerda junto con la partícula.

215 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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5. Ajustamos el radio de la cuerda.

6. Ajustamos los datos de la partícula.

7. Ponemos a correr la simulación.

EJERCICIO 6 Dos motociclistas se mueven en carreteras rectilíneas y paralelas: a) En el mismo sentido La velocidad de un motociclista es de 22.22m/s y las del otro es 6.67m/s. calcular la velocidad del uno con respecto al otro. Además si están separados 300m de distancia

216 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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uno con respecto al otro. Calcular donde y cuando se encuentran, si las velocidades son constantes.

Simulación en el Modellus 1. Abrimos el programa.

2. Seleccionamos File new. 217 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3. Ingresamos los datos.

4. Selecciónanos nueva animación.

5. Graficamos la partícula.

218 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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6. Ejecutamos la simulación.

7. Observamos las gráficas que nos dio el programa.

219 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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EJERCICIO 7 El diagrama velocidad vs tiempo de la figura representa el movimiento de dos partículas A y B, por una carretera recta y a partir de una misma posición inicial. Determinar:

Determinar: a) El tipo de movimiento de cada partícula b) La distancia que recorre cada partícula c) Dónde y cuándo se encontraran

Resolución:

PARTÍCULA A

PARTÍCULA B

220 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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Movimiento desacelerado

Movimiento acelerado

Simulación en Interactive 1. Abrimos el programa.

2. Graficamos las partículas. 221 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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3. Realizamos la siguiente simulación.

4. Ejecutamos la simulación.

222 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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5. Observamos la simulación como se va realizando.

CONCLUSIONES:

RECOMENDACION:

BIBLIOGRAFÍA:

223 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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6.- CUESTIONARIO PARA GENERAR EVALUACIONES CONJUNTAS

a) SUBRAYA LA RESPUESTA CORRECTA

1.- Dos móviles parten simultáneamente uno al encuentro del otro, (sentidos opuestos) con velocidades constantes de

=5 m/s y

=15 m/s, respectivamente. Si en el punto

de encuentro se observa que uno de ellos ha recorrido 60 m más que el otro. La separación inicial de los móviles expresada en metros, fue: a) 100 b) 120 c) 200 d) 250 e) Ninguna

2.- Un móvil parte del reposo y recorre dos tramos consecutivos, en el primero acelera a razón de 4 m/s2 y en el segundo desacelera a razón de 2 m/s2 hasta detenerse. Si el espacio total recorrido es 600 m. El tiempo expresado en segundos que estuvo en movimiento fue de: a) 25 b) 30 c) 40 d) 20 e) Ninguna 3.- Dos atletas salen corriendo simultáneamente, parten del mismo lugar y el mismo sentido con velocidades constantes de

= 10m/s y V2 = 15

. El tiempo en el cual

estarán separados 200m es: a. t=36 (s) b. t=40 (s) c. t=50 (s) d.

t=45(s)

e. Ninguna

224 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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4.- Un tren de 150m de longitud cruza un túnel de 600m en 15s. Su velocidad en Km/h es: a. 180 Km/h b.

200 Km/h

144 Km/h

d. 120 Km/h e. Ninguna

5.- Un auto parte del reposo con aceleración constante en trayectoria rectilínea. Si logra recorrer 99m durante el sexto segundo, calcular el espacio recorrido hasta cuando su velocidad es de 72Km/h. a. 164 m b.

144 m

210 m

150 m

e. Ninguna 6.- Una partícula parte con una rapidez Vo=2(m/s), de tal manera que durante el sexto segundo recorre 13(m). Su aceleración es: a) 4 m/ b) 2.5m/ c) 2.0 m/ d) ninguna e)-2.0 m/

7.- Un deportista, cuyo centro de gravedad se encuentra a 1, 2 m de altura, a de saltar un obstáculo de 2 m lanzándose con un ángulo de 60° con respecto a la horizontal. Calcular: a) la velocidad con que debe iniciar el salto y b) la distancia horizontal al obstáculo desde el punto donde se lanza.

A. a) 46, 5 m/s

b) 92, 5 m

B. a) 465 m/s

b) 9, 25 m

C. a) 4, 65 m/s

b) 0, 925 m 225

AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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D. Ninguno

8.- En el gráfico que se muestra, determinar la velocidad media del móvil entre los 10(s) y 35(s). a. 15 m/s b.

11 m/s

c. 13 m/s d. 5 m/s e.

Ninguna

9.- En el gráfico que se muestra, determinar el espacio recorrido por el móvil durante el segundo segundo de su movimiento. a)2.5(m) b) 5(m) c)3(m) d) ninguna e) 4(m)

10.- La gráfica a - t para cierto automóvil que parte del reposo se muestra en la figura. La distancia entre t= 20(s) y t=30(s). a) d= 40(m) b) d= 60(m) c) d= 100(m) d) d= 50(m) e) Ninguna

11.- Un automóvil marcha a 40 km/h durante 4 min, a continuación va a 80 km/h durante 8 min y finalmente a 32 km/h durante 2 min. Calcular. a) la distancia total recorrida en km y b) la velocidad media en km/min, c) en km/h durante los 14 minutos.

A. a) 14,4 km

b) 1,02 km/min

c) 6,12 km/h 226

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B. a) 144 km

b) 10,2 km/min

c) 1,44 Km/h

C. a) 144,4 Km

b) 100,2 Km/min

c) 61,2 km/h

D. Ninguna

12.- Expresar las siguientes aceleraciones en m/s²: a) 1800 m/(s*min).

b) 1800 m/

(s*h)

A. a) 3 m/s²

b) 5 m/s²

B. a) 30m/s²

b) 0,5m/s²

C. a) 300 m/s²

b) 50 m/s²

D. Ninguna 13.- Dos automóviles A y B se encuentran inicialmente en reposo separados una distancia X. El automóvil A parte y en un lapso de tiempo de 1.5 seg. alcanza una velocidad de 1,8 m/s. En ese instante parte el automóvil B con una aceleración de 3 m/s² .Si B alcanza a A cuando este se ha movido durante 5 seg. Determinar la separación inicial X de los automóviles.

A. 4,67 m B. 7,9 m C. 3,37 m D. 2,37 m 14.- Un cuerpo cae por un plano inclinado con una aceleración constante partiendo del reposo. Sabiendo que al cabo de 3 seg. la velocidad que adquiere es de 27 m/s. a) Calcular la velocidad que lleva; b) La distancia recorrida a los 6 seg. de haber iniciado el movimiento.

227 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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a) 54 m/s

b) 162m

a) 50 m/s

b) 172m

a) 5,4 m/s

b) 17,2 m

Ninguna

15.- La altura en metros desde donde fue soltado un objeto, si en los dos últimos segundos recorrió 40 m y g = 10 m/s2; fue de: a) 45 b) 60 c) 75 d) 80 e) Ninguna

16.- Una pelota cae verticalmente al piso y al rebotar en él se observa que solo se eleva la mitad de la altura inicial. Si la velocidad justo antes del impacto es 20 m/s. Su velocidad en m/s después del impacto, es: a) 15 b) 10 c) d) e) Ninguna

17.- De un grifo de agua caen 8 gotas por segundo si cada gota se demora 0,5 seg. en llegar al suelo. Cuando la primera toque el suelo determine la distancia que separa a esta gota con la tercera.

A. 1,56 m B. 0,91 m 228 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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C. 1,91m D. 0,56 m

18.- Desde la cima de una torre de 80 m de altura se lanza una piedra en dirección vertical con una velocidad de 30 m/s. Calcular. a) La máxima altura alcanzada por la piedra. b) La velocidad con que llegará al suelo.

a) 126m

b) 49, 7 m/s

a) 12,6m

b) 4, 97 m/s

a) 126cm

b) 497m/s

Ninguna

19.- Un disco inicialmente inmóvil se somete a una aceleración angular constante de 5 (Rad/s2). Cuántas vueltas completas dará en los primeros 8(s). a. 40 vueltas b. 75 vueltas c.

80/11 vueltas

d. 60/ir vueltas e. Ninguna

20.- Si A gira uniformemente a razón de 4 Rad/s, la velocidad en cm/s con la que se mueve el bloque suspendido en la polea C y si RA=20cm,

=10cm y

=5 cm; es:

a) 20 b) 40 c) 30 d) 35 e) Ninguna

229 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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21.- Considere un proyectil qué se mueve únicamente bajo la acción de la gravedad después de haber sido lanzado formando un cierto ángulo con la horizontal; cuanto éste alcance su altura máxima, se puede afirmar que en este punto:

a) La velocidad es nula b) La aceleración es nula c) La altura es igual al radio de curvatura d) La aceleración tangencial es nula e) Ninguna

22.- Se tiene dos cuerpos A y B de igual masa en el borde de una mesa. El cuerpo A se lanza horizontalmente con una rapidez Vo en el mismo instante en que el cuerpo B se deja caer libremente del mismo punto. Despreciando la resistencia del aire se puede afirmar que: a) Ambos llegan al piso con igual momentum b) El cuerpo B llega primero al piso c) El cuerpo A llega primero al piso d) ninguna e) Ambos cuerpos llegan al suelo con la misma velocidad

23.- Si el máximo alcance de un proyectil es "D". Calcular el ángulo de disparo utilizando para alcanzar un objetivo localizado a una distancia

en el plano horizontal.

a) ninguna b)

=60°

=45°

=15°

=30°

230 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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24.- En la figura el radio de curvatura en el punto A de la trayectoria está dado por: a)

c) d) ninguna e) b) RESPONDE VERDADERO O FALSO 1.- El movimiento rectilíneo uniforme tiene una rapidez y aceleración constante. V (

)

2.- El movimiento rectilíneo uniformemente variado

tiene rapidez variable y

aceleración constante. V (

)

3.- Las ecuaciones del M.R.U.V son: y

v0t

1 2 gt 2

1 (v 2

vo)t

v v0 gt

V (

)

4.- El M.R.U.V. vertical se lo conoce como caída libre. V (

)

5.-La velocidad de un vehículo puede expresarse en Km/h; millas/h ; m/s, nudos, N/min . 231 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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V (

)

6.- El valor de la gravedad es -32,2 ft/s2; V (

7.- El M.C.U se caracteriza por tener una velocidad lineal constante, la dirección del vector velocidad variable. V (

)

8.- La velocidad lineal es igual a la velocidad angular por el radio. V (

)

9.- El movimiento circular uniformemente variado

tiene aceleración

normal,

aceleración tangencial y aceleración total. V ( 10.-

)

En el punto más alto que alcanza un proyectil en tiro parabólico la vector

velocidad es igual a cero. V (

)

c.- UNIR CON LÍNEAS SEGÚN CORRESPONDA

1.- Condiciones del M.R.U

232 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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2.- Condiciones del M.R.U. V.

g = -9,52m/s2 g= -32,2m/s2

3.- El valor de la gravedad es

g= -32,2ft/s2 g=-9,52in/s2

4.- Condiciones del M.C.U.

233 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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5.- Condiciones del M.C.U.V.

w ( m/s)

6.- Unidades de la velocidad angular

w ( rad/s) w ( rev/s) w ( RPM) w ( cm/s)

234 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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7.- LICENCIAS PARA LOS PROGRAMAS DE INSTALACIÓN. Interactive physis

Edición del Desarrollador: SER04167 Modellus

Los Modellus 2.5 y 3.0 son portables y no necesitan licencia para la instalación. Crocodile Physics 605

http://www.ibercajalav.net/actividades.php?codopcion=2252&codopcion2=2257&codo pcion3=2257

235 AUTOR: ING. DIEGO PROAÑO MOLINA

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8.- BIBLIOGRAFÍA Ayala G. (2010);Física Básica;(en Españo), Segunda edición Guevara F. (2010), Física Básica;(en Español), segunda edición Joe W. Kittinger y el escalón más alto del mundo artículo de Gregory Kennedy sobre el proyecto EXCELSIOR y el salto de Kittinger en 1960 Marion, Jerry B. (1996) (en español). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8 Resnick, Robert & Halliday, David (2004) (en español). Física 4ª. CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3 Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001) (en inglés). Physics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32057-9 Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004) (en inglés). Physics for Scientists and Engineers (6ª edición). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7. Tipler, Paul A. (2000) (en español). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3 9.- LINKOGRAFÍA: http://www.ibercajalav.net/curso.php?fcurso=19&fpassword=lav&fnombre=425500 4 http://www.ibercajalav.net/curso.php?fcurso=48&fpassword=lav&fnombre=425500 5 http://www.ibercajalav.net/curso.php?fcurso=25&fpassword=lav&fnombre=425500 5

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