Значит ∆O1LM=∆OLN, отсюда OL=O1L. O1L+LO=O1O=х (высота цилиндра равна его образующей). 2 3 ⋅ R2 −
х2 х2 ) = х 2 , 12 R 2 − 3 х 2 = х 2 , 12 R 2 = 4 х 2 , = х , 4 ⋅ 3( R 2 − 4 4
х2 х х 3 , R= = . 3 3 3 603. Возьмем систему координат, как показано на рисунке. Ось ординат при этом перпендикулярна плоскости α, по оси аппликат направлена ось цилиндра. Будем приближать плоскость α к оси Оz параллельно плоскости Oxz. Когда расстояние станет равно R, то допустим, что через точку А можно провести две прямые, параллельные оси Oz (или, что то же самое, перпендикулярные плоскости Oxy). Но по теореме п. 4 через точку А может проходить только одна прямая, параллельная оси цилиндра. Следовательно, на поверхности цилиндра найдется только одна прямая, лежащая в плоскости α и параллельная оси цилиндра, она и есть образующая цилиндра. 604. Если вращать прямоугольник ABCD вокруг стороны АВ, получим цилиндр, у которого r=b, l=a. R2 =
S полн = 2πab + 2πb 2 = S1 . При вращении вокруг стороны AD получим цилиндр, у которого r=a, l=b. S бок = 2πrl = 2πab , S осн = πa 2 , 2 S осн = 2πa 2 , S полн = 2πab + 2πa 2 = S2 . Согласно условию получили систему уравнений: ⎧⎪2πab + 2πb 2 = S1 , ⎧2πb( a + b ) = S1 , ⎨ ⎨ ⎪⎩2πab + 2πa 2 = S 2 ; ⎩2πa( b + a ) = S 2 .
b S1 = . Подставим в первое уравнение системы: a S2 2π ⋅ a ⋅ a ⋅
S12 S 22 S1
a2 = 2π ⋅
b2 = a2 ⋅
S1S 2 + S 2 1 S2 2 2
S
1
S2 2
82
+ 2π ⋅ a 2 ⋅
=
=
S2 S1 S = S1 , 2π ⋅ a 2 ( 1 + 12 ) = S1 ; S2 S S2 2 S1S 22
2π ⋅ S1( S2 + S1 )
=
S 22 , 2π( S 2 + S1 )
S2 S 22 S12 . ⋅ 1 = 2π( S1 + S 2 ) S 2 2π( S1 + S 2 ) 2