V=
1 1 169 3 169 3 ⋅ 5 845 3 S ∆ABC SO= ⋅60⋅ = = см3. 24 3 ⋅ 2 6 3 3
692. Построим высоту пирамиды DE. Т.к. все ребра одинаково наклонены к плоскости основания, то ∆DEA=∆DEB=∆DEC. Поэтому ЕА=ЕВ=ЕС=R, R — радиус описанной окружности. Значит, точка Е — это середина гипотенузы АВ, плоскость ADB ⊥ плоскости АВС. 1 1 S ∆ABC = ab; АВ= a 2 + b 2 ; ВЕ= a 2 + b2 . 2 2 DE =tg ϕ ; BE
V=
DE=BEtgϕ=
a 2 + b 2 ⋅ tgϕ . 2
ab a 2 + b2 1 1 1 S ∆ABC DE= ⋅ ab⋅ ⋅tg ϕ = ⋅tg ϕ 12 3 3 2 2
a 2 + b2 .
693. SO — высота пирамиды. ∆SOA=∆SOB= =∆SOC=∆SOD. Тогда ОА=ОВ=ОС=OD и высота проектируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника ABCD. b OC=ВО=ОА= (по свойству диагоналей пря2 моугольника). 1 S ∆AOB = ⋅ОВ⋅ОА⋅sinα. 2 1 1 S ∆BOC = ВО⋅ОСsin(180°−α)= ОВ⋅ОСsinα. 2 2
S ∆AOB +S ∆BOC =2 ⋅ SABCD=2⋅S ∆ABC =
b2 1 ⋅ОВ⋅ОА⋅sinα=OB ⋅ OA ⋅ sin α = ⋅ sin α 4 2
b 2sinα . 2
Обозначим∠OAS= β , следовательно, tg β =
SO SO 2 = b = SO. АO b 2
1 V= SABCDSO; 3
1 b2sinα V= ⋅ ⋅SO, 2 3
SO=
6V b 2sinα
,
6V 12V 12V 2 ⋅ = ; β =arctg 3 . b b 2sinα b 3 sinα b sinα 694. Построим линейные углы двугранных углов при основании и высоту пирамиды SO; ON⊥DC, OK⊥BC, OL⊥AB и OM⊥AD.
tg β =
126