VBTL 5 D-eco en wet - Leerboek Analyse 1b en reële functies deel 2 - inkijk website (materiaal vbtl)

LEERBOEK

Analyse 1b i Reële functies deel 2

D-finaliteit economie en wetenschappen

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

CARTOONS

Dave Vanroye

Hoe gebruik je VBTL?

Dit boek bevat vier hoofdstukken.

Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt.

1 2 *

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur. Een sterretje duidt op een extra uitdaging. Maak ook kennis met voorbeeldvragen uit ijkingstoetsen en toelatingsexamens. Achteraan in dit boek vind je de oplossingen

ICT is een ideaal hulpmiddel. Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.

Wat moet je kennen en kunnen?

Op het einde van elk hoofdstuk zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen

Welkom in deel 2 over reële functies. In het eerste hoofdstuk laten we die nog even voor wat ze zijn en focussen we op rijen en machten. Dan gaan we daarmee aan de slag en vliegen we in de exponentiële en logaritmische functies. Ook goniometrie kruist in dit boek weer je pad.

Op de foto zie je Møns Klint, witte krijtrotsen in Denemarken. Via vijfhonderd duizelingwekkend hoge trappen kun je naar het strand afdalen om te wandelen naast de indrukwekkende rotsen. Eén iets niet vergeten : pas op voor vloed, want dan zijn de meeste stranden enkele uren niet bereikbaar. Gelukkig vallen die getijden mooi te voorspellen en vormen ze een mooi voorbeeld van een functie die je in dit boek beter leert kennen.

Analyse 1b I Reële functies deel 2

1

2

3

4

Hoofdstuktitel 0 1 Rijen

Bij de 110 meter hordelopen is de aanloop precies 13,72 meter lang. Dan moet je als deelnemer 10 horden over die op precies 9,14 meter (drie stappen) van elkaar verwijderd zijn. Na de laatste horde heb je nog 14,02 meter voor de boeg. De ietwat vreemde afstanden vinden hun oorsprong in het Engelse meetsysteem. De hordeloper legt een op zich heel eenvoudig rijtje af: na de aanloop komt er dus telkens 1 horde bij per 9,14 meter. Dergelijke rijen (denk bv. ook aan de rij van Fibonacci) gaan we nu van dichtbij bekijken en in twee grote families opsplitsen: de rekenkundige en de meetkundige rijen. We passen dit ook toe in de bankenwereld.

Rijen

1.1

1.2

1.3

1.1 Rekenkundige rijen

1Het begrip ‘rij’

Voorbeeld 1 : kettingberichtjes

Kettingberichtjes of -sms’en (vaak hebben die oneerlijke bedoelingen) werken in hun meest eenvoudige vorm als volgt: een eerste persoon stuurt een bericht naar twee personen. Die twee personen moeten dat bericht elk op hun beurt één dag later naar twee personen versturen enzovoort. Elke persoon die het berichtje ontvangt, stuurt het dus één dag later door naar twee nieuwe personen.

Wanneer we per dag bepalen hoeveel berichtjes verstuurd worden, krijgen we volgende getallen: 2, 4, 8, 16, 32, … Bedenk maar eens hoe snel het gaat als je het naar al je contacten moet doorsturen …

Voorbeeld 2 : vierkantjes

Als je het aantal vierkantjes in de opeenvolgende figuren telt, bekom je de volgende getallen :

Voorbeeld 3 : Pay it forward

In de film ‘Pay it forward’ geeft een leraar de opdracht om een idee te bedenken om de wereld te verbeteren. Trevor heeft een bijzonder idee: ‘Ik doe iets goeds voor drie mensen. Die drie doen weer iets goeds voor drie andere mensen.’ Mocht het idee lukken, dan zou het leiden tot heel veel goede daden : 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, Die getallen vormen een ( reële) rij De opeenvolgende getallen zijn de termen van de rij.

In het eerste voorbeeld is de eerste term u 1 gelijk aan 2 = 21. De tweede term u 2 is 4 = 22. De derde term u 3 is 8 = 23. We zien een duidelijk patroon in de getallen van de rij. De beginterm is 2 en elke term is gelijk aan de vorige, vermenigvuldigd met 2. Hierdoor wordt het mogelijk om een willekeurige term van de rij terug te vinden. Zo is de vijftiende term u 15 = 215 = 32768. De algemene term is u n = 2n .

rij

Een rij is een aantal reële getallen die in een bepaalde volgorde gegeven zijn.

Algemeen kunnen we een rij ( un ) als volgt noteren : u 1 , u 2 , u 3 , , un , Elk element heeft dus een volgnummer dat we onderaan als index noteren. De elementen van een rij noemen we de termen. De n -de term un noemen we de algemene term.

Voorbeelden :

• 0,2,4,6,8,... rijvandeevennatuurlijkegetallenmet u n = 2n 2

• 2,3,5,7,11,... rijvandepriemgetallen

• 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 ,... rijmet u n = 1 n

• 0,3;0,33;0,333;0,3333;...rijmet u n = 3 · 10 1 + 3 · 10 2 + + 3 · 10 n

• 1,1,2,3,5,8,13,... rijvanFibonacci

• 1,2,6,24,120,... rijmet u n = 1 2 3 ... n = n !(n -faculteit)

2Bepaling van een

rij:

expliciet en recursief voorschrift

Een rij is volledig bepaald als we voor elk volgnummer de bijbehorende term kunnen berekenen. Dat kan echter gebeuren op verschillende manieren: met een expliciet voorschrift of een recursief voorschrift.

Expliciet voorschrift

Algemeen :

Bij sommige rijen kunnen we een formule un = f ( n ) vinden waarmee we un kunnen berekenen voor een willekeurige n . We zeggen dat de rij bepaald is door een expliciet voorschrift. Met zo’n formule kun je elke term van de rij direct berekenen.

Van een aantal voorbeelden van de vorige pagina werd het expliciet voorschrift bepaald. Dat het bepalen van het expliciet voorschrift van een rij soms wat denkwerk vereist, illustreren we met de volgende opdracht.

Voorbeeld :

Op een assessment werd aan sollicitanten gevraagd de rij 1, 7 4 , 17 9 , 31 16 , 49 25 ,... met nog twee termen aan te vullen en de algemene term te bepalen.

Je merkt hierbij op: de noemers zijn 12, 22, 32, 42, 52 en elke teller is één minder dan het dubbele van de noemer.

Een goed antwoord is dan ook 71 36 , 97 49 en 2n 2 1 n 2 Dit laatste noemen we het expliciet voorschrift van de rij.

Recursief voorschrift

Algemeen :

Bij sommige rijen kunnen we een formule un + 1 = f ( un) vinden waarmee we een term kunnen berekenen uit een of meer voorgaande termen. We spreken dan van een recursief voorschrift (Latijn: recurrere = teruglopen). Met zo’n formule bereken je de termen indirect, namelijk door voorgaande termen te gebruiken. Opdat de rij bepaald zou zijn, moet je ook de startwaarde(n) kennen, meestal de eerste term(en) van de rij.

Voorbeelden :

– De rij van de kettingmails: 2, 4, 8, 16, 32, kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden : u 1 = 2 en un +1 = 2 · un

Door toepassing van die formule vinden we dat u 1 = 2, u 2 = 2u 1 = 4, u 3 = 2u 2 = 8, …

– De rij van ‘Pay it forward’ kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden : u 1 = 3 en un +1 = 3 · un

– De rij van even natuurlijke getallen: 0, 2, 4, 6, 8, … kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden: u 1 = 0 en un +1 = un + 2

– De rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden :

u 1 = 1 en u 2 = 1 en un +2 = un + un +1

Hier zijn dus twee termen gegeven, u 1 en u 2

Door toepassing van die formule vinden we dat: u 3 = u 1 + u 2 = 2, u 4 = u 2 + u 3 = 3,

– De rij 1, 2, 6, 24, 120, … kan door middel van een recursief voorschrift gegeven worden :

u1 = 1 en un +1 = ( n + 1) · un

Opmerkingen :

Denk niet dat je bij elke rij zomaar een formule kunt geven. Er zijn rijen waarbij het zelfs onmogelijk is een expliciet of een recursief voorschrift te vinden.

Bij de rij van de priemgetallen 2, 3, 5, 7, 11, werd tot nu toe geen enkel verband gevonden tussen de opeenvolgende termen. De Franse wiskundige MarinMersenne ( 1588 –1648) stelde vast dat als k een priemgetal is, 2k 1 ook vaak een priemgetal is.

Voor k = 2, 3, 5, 7, 13 en 17 krijg je inderdaad priemgetallen, de zogenaamde priemgetallen van Mersenne. Maar voor k = 11 krijg je geen priemgetal, want 211 1 = 2047 en 2047 is deelbaar door 23.

Bij de eerste druk van dit boek (in 2023) is 282589933 – 1 het recordpriemgetal. Het werd ontdekt in 2018. Dat getal bestaat uit 24862048 cijfers. Om het te kunnen schrijven zul je meer dan 9000 pagina’s nodig hebben. Om het getal, cijfer na cijfer, voor te lezen (je leest 12 uur per dag één cijfer per seconde) heb je meer dan 575 dagen nodig.

Zoek gerust eens op of er al nieuwe priemgetallen zijn ontdekt, want vrijwilligers blijven dankzij computers speuren naar grotere varianten. Of check gerust eens onderstaand magisch vierkant, gevuld met priemgetallen, waarbij de som van elke kolom en rij hetzelfde palindroompriemgetal zou moeten zijn …

17791014373

13113896137

10919414797

10771535923

67312910383

In wat volgt onderzoeken we drie bijzondere soorten rijen: de rekenkundige, de meetkundige en de harmonische rijen. We zullen aantonen dat problemen over deze getallenrijen algebraïsch opgelost kunnen worden.

Gauss en de som van de eerste n termen in een rekenkundige rij

Toen Gauss in de lagere school terechtkwam, verbaasde hij iedereen (en niet het minst zijn onderwijzer) door zijn uitzonderlijk wiskundig talent. Die man (een zekere Buttner) paste overtuigd en onverbiddelijk de stelregels toe van het Duitse onderwijssysteem. Gauss vertelde dat hij de leerlingen terroriseerde, niet alleen met woorden maar ook met een zweepje dat hij steeds bij de hand had. Buttner gaf de leerlingen ingewikkelde taken om hen te oefenen in het rekenen. Op een mooie dag vroeg hij aan de kinderen de som te maken van alle natuurlijke getallen van 1 tot 60. Enkele ogenblikken later krabbelde de kleine Gauss het getal 1830 op zijn lei en legde ze op de tafel van de onderwijzer. De andere leerlingen hadden bijna een uur nodig om de taak af te werken. Aan de onderwijzer vertelde Gauss dat hij in gedachten steeds het hoogste en het laagste getal van de rij samentelde, 1 + 60, 2 + 59, 3 + 58, tot 30 + 31. Hij kwam zo aan 30 keer hetzelfde resultaat en vermenigvuldigde 30 met 61, wat hem 1830 opleverde. Zo ontdekte Gauss, toen hij 9 jaar was, de somformule voor de eerste n termen van een rekenkundige rij.

3Bepaling van een expliciet en recursief voorschrift met ICT

Expliciet voorschrift van een rij

Gegeven : De rij ( un) met expliciet voorschrift un = n 3 – n

Gevraagd : Bepaal de vijftiende term van de rij.

Oplossing :

Bepaal de som van de eerste 18 termen van de rij.

Recursief voorschrift van een rij

Gegeven : De rij ( un) met recursief voorschrift un = 3 un – 1 + 5 en u 0 = 5

Gevraagd : Bepaal u 21

Oplossing :

Bepaal de som van de eerste 10 termen van de rij.

4Rekenkundige rijen

We hernemen het voorbeeld van de rij van de even natuurlijke getallen: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, We merken op dat u 1 = 0, u 2 = 0 + 2, u 3 = 2 + 2, u 4 = 4 + 2, Elke volgende term kan dus gevonden worden door bij de voorgaande term 2 op te tellen. Het verschil van elke twee opeenvolgende termen is dus hetzelfde, m.a.w. het verschil is constant en gelijk aan 2. Dat is een voorbeeld van een rekenkundige rij met verschil v = 2.

rekenkundige rij in woorden:

Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan de som van de voorgaande term met een constant getal v . Dat constante getal v ( ∈ R) noemen we het verschil van de rekenkundige rij. in symbolen:

( un ) is een rekenkundige rij met verschil v ⟺∀ n ∈ N0 : un + 1 = un + v

Uit de definitie blijkt dat een rekenkundige rij ondubbelzinnig bepaald is door de beginterm u 1 en het verschil v

Voorbeelden :

1, 3, 5, 7, 9, 11, u 1 = 1en v = 2

7, 3, –1, –5, –9, u 1 = 7en v = – 4

0,5; 2; 3,5; 5; u 1 = 0,5en v = 1,5

5p, 3p, p, –p, u 1 = 5p en v = –2p

3, 3, 3, 3, 3, … u 1 = 3en v = 0

Algemene term van een rekenkundige rij : Is (un ) een rekenkundige rij met verschil v , dan hebben we:

u 2 = u 1 + v

u 3 = u 2 + v = u 1 + v + v = u 1 + 2v

u 4 = u 3 + v = u 1 + 2v + v = u 1 + 3v

un = u n 1 + v = u 1 + ( n 1) · v

un = u 1 + ( n 1) v

Met die formule kun je elke willekeurige term van een rekenkundige rij berekenen.

Voorbeelden :

– We zoeken de honderdste term van de rij uit het eerste voorbeeld van hierboven.

u 100 = u 1 + 99v = 1 + 99 2 = 199

– We berekenen de algemene term van de rij uit het tweede voorbeeld van hierboven. un = u 1 + ( n 1) ( 4) = 7 4n + 4 = 11 4n

– De vijftigste term van de rij uit het vierde voorbeeld van hierboven.

u 50 = 5p + 49 ( 2p) = 93p

5Enkele eigenschappen van rekenkundige rijen

eigenschap 1

a , b en c zijn drie opeenvolgende termen van een rekenkundige rijals en slechts als b = a + c 2 We noemen b het rekenkundig gemiddelde van a en c .

Bewijs :

a , b en c zijndrieopeenvolgendetermenvaneenrekenkundigerij

b = a + v en c = b + v

b a = c b

2 b = a + c

b = a + c 2

Besluit :

In een rekenkundige rij is elke term gelijk aan het rekenkundig gemiddelde van de twee termen die hem insluiten. Vandaar de benaming ‘rekenkundige rij ’.

eigenschap 2

In een rekenkundige rij met n termen is de som van de termen die even ver van de uiterste termen u 1 en un verwijderd zijn, constant en gelijk aan de som van de uitersten.

Voor de rekenkundige rij u 1, u 2, u 3, , un tonen we aan dat :

u 1 + un = u 2 + un 1 = u 3 + u n 2 =…

Bekijk het volgende schema :

v v v v u 1, u 2, u 3, … u n 2, u n 1, un

u 1 + v un v

u 1 + 2v u n 2v

Hieruit volgt :

u 2 + u n 1 = ( u 1 + v ) + ( un v ) = u 1 + un

u 3 + u n 2 = ( u 1 + 2v ) + ( un 2v ) = u 1 + un

Voorbeeld :

Voor de rekenkundige rij7, 3, 1, 5, 9, 13, 17 ( n = 7 ) geldt :

u 1 + u 7 = 7 17 = 10 u 3 + u 5 = 1 9 = 10

u 2 + u 6 = 3 13 = 10 u 4 + u 4 = 5 5 = 10

6Grafische voorstelling van een rekenkundige rij

Voorbeeld :

Dries is aan het sparen voor een nieuwe laptop. Momenteel heeft hij al 180 euro gespaard.

Op zaterdag werkt hij in een pizzarestaurant.

Hij verdient er 85 euro per dag. Al het geld zet hij onmiddellijk opzij voor zijn laptop.

Stel het gespaarde bedrag grafisch voor in functie van de tijd.

Oplossing :

De gespaarde bedragen van Dries vormen een rekenkundige rij met beginwaarde u1 = 180 en verschil v = 85.

De algemene term van de rij is :

u n = u 1 +(n 1) v

=⇒ u n = 180 +(n 1) · 85

=⇒ u n = 95 + 85 n

Grafisch voorgesteld geeft dat :

Merk op :

– Alle punten van de grafiek liggen op een rechte.

– We spreken van een lineair verband tussen de tijd en het gespaarde bedrag.

7Som van de eerste n termen van een rekenkundige rij

Voor de som van de eerste n termen van een rekenkundige rij geldt :

sn = u 1 + u 2 + u 3 + + u n = n k = 1 u k = n · u 1 + u n 2

Bewijs : sn = u 1 + u 2 + u 3 +…+ un 2 + un 1 + un (1) of na omkering van de volgorde van de termen

sn = un + un 1 + un 2 +…+ u 3 + u 2 + u 1 (2)

(1) + (2) :2sn = ( u 1 + un ) + ( u 2 + un 1 ) + ( u 3 + un 2 ) +…+ ( un 2 + u 3 ) + ( un 1 + u 2 ) + ( un + u 1 )

Wegens eigenschap 2 :

2sn = ( u 1 + un ) + ( u 1 + un ) + ( u 1 + un ) +…+ ( u 1 + un ) + ( u 1 + un ) + ( u 1 + un )

dus: 2sn = n ( u 1 + un )

waaruit : sn = n · u 1 + u n 2 ( het product van het aantal termen met de halve som van de uitersten)

Voorbeeld :

Voor de rekenkundige rij: 0,5; 2; 3,5; 5; is: u 20 = 0,5 + 19 1,5 = 29

en: s20 = 20 0,5 + 29 2 = 295

Formule van de som van de eerste n termen als u 1 en v gegeven zijn

Vervangen we in de formule voor de som van de eerste n termen un door u 1 + ( n 1)v , dan krijgen we:

sn = n · u 1 + u n 2 = n ( u 1 + u 1 + (n 1) v ) 2

s20 = 20

= 295

0,5 + 0,5 + 19 · 1,5 2

8Toepassingen

Toepassing 1 :

Bepaal drie opeenvolgende termen van een rekenkundige rij als hun som s en hun product p respectievelijk 21 en 315 zijn.

Oplossing :

Drie opeenvolgende termen van een rekenkundige rij met verschil v kunnen we als volgt voorstellen : a v , a , a + v

Uit s = 21 volgt : a v + a + a + v = 21of a = 7

Uit p = 315 volgt :

(a v ) a (a + v ) = 315

(7 v ) 7 (7 + v ) = 315

49 v 2 = 45 v 2 = 4 v = 2of v = 2

Er zijn dus 2 oplossingen : v = 2 : 5, 7, 9 v = 2: 9, 7, 5

Opmerkingen :

We hadden de drie opeenvolgende termen ook kunnen voorstellen door a , a + v en a + 2v

Ga eventueel na of de berekeningen hierdoor ingewikkelder worden.

Vier opeenvolgende termen van een rekenkundige rij kunnen we voorstellen door : a 3b , a b , a + b , a + 3b

Het getal a is hier geen term van de rij. Het verschil van de rij is 2b .

Toepassing 2 :

De som van de eerste n natuurlijke getallen verschillend van nul.

De getallen 1, 2, 3, …, n vormen een rekenkundige rij met u 1 = 1, v = 1, un = n . sn = 1 + 2 + 3

Voorbeeld :

1000 k = 1 k = 1 2 · 1000 · 1001 = 500500

Toepassing 3 :

De som van de eerste n oneven natuurlijke getallen.

De getallen 1, 3, 5, 7, 9, , 2n 1 vormen een rekenkundige rij met u 1 = 1, v = 2, un = 2n 1.

sn = 1 + 3 + 5 + ... + 2n 1

= n 1 + 2n 1 2

= n 2 n k = 1 (2k 1) = n 2

Voorbeeld :

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 62 = 36

Die eigenschap werd vroeger gebruikt om een tafel van de kwadraten van de natuurlijke getallen op te stellen.

Toepassing 4 :

Bereken de volgende som : 45 k = 20 (3k 8)

Oplossing :

= 52 + 55 + 58... + 127

Dat zijn termen van een rekenkundige rij met u 1 = 52 en u 26 = 127.

s26 = 52 + 127 2 26 = 2327

Hierbij moet het volgende commando ingevoerd worden : Som[ Rij[ 3k 8, k, 20, 45]] 45 k = 20 (3k 8) =

Toepassing 5 :

Lotte stapelt haar wijnflessen volgens een patroon zoals op de foto (bovenaan ligt er één fles, op de volgende rij twee, daarna drie enz.).

a Stel een formule op om het totale aantal wijnflessen te berekenen als er op de onderste laag n flessen liggen.

b Hoeveel flessen telt een stapel met 12 flessen op de onderste laag ?

c In de kelder liggen 210 flessen gestapeld op die manier. Uit hoeveel rijen bestaat de stapel dan ?

Oplossing:

aDerij1,2,3,4,..., n iseeneindigerekenkundigerijmet n termenenverschil1.

Wepassendesomformuletoe: sn = n u 1 + u n 2

Nainvullingvandegegevenskrijgenwe sn = n 1 + n 2 (1)

bWebepalendesomvandeeerste12termenvandierij.

s12 = (1) 12 1 + 12 2 = 78

Antwoord: Erliggenintotaal78flessenindezestapel.

✭✭✭✭ n = 21 (n ∈ N ) of n = 20

Antwoord: Destapelwijnflessenbestaatuit20rijen.

9Samenvatting

• Je kent de betekenis van een rij, een expliciet voorschrift en een recursief voorschrift. Een rij is een aantal reële getallen die in een bepaalde volgorde gegeven zijn. expliciet voorschrift: un = f ( n )

recursief voorschrift : u n +1 = f ( un) en de eerste term( en) gegeven

• Je kent de betekenis van een rekenkundige rij. Je kunt de n -de term van zo’n rij berekenen en het rekenkundig gemiddelde. Je kunt de som van de eerste n termen bepalen.

REKENKUNDIGE RIJ

u1, u2 , …, un , …

definitie

(recursief voorschrift )

n -de term

(expliciet voorschrift )

algemene vorm

gemiddelden

som van de uiterstetermen

∀ n ∈ N0 : u n +1 = un + v

v is het verschil van de rekenkundige rij

un = u 1 + ( n 1) v

u 1, u 1 + v , u 1 + 2v , … , u 1 + ( n 1) v , …

a , b en c zijn3opeenvolgendetermen vaneenrekenkundigerij

a , b en c zijn 3 opeenvolgende termen van een rekenkundige rij

b = a + c 2

b ishetrekenkundiggemiddeldevan a en c

b is het rekenkundig gemiddelde van a en c

u 1 + u n = u 2 + u n 1 = u 3 + u n 2 =

sn = n u 1 + u n 2

som van de eerste n termen u 1 + u n = u 2 + u n 1 = u 3 + u n 2 =

sn = n · u 1 + u n 2

• Je kunt een rekenkundige rij grafisch voorstellen. Merk op dat alle punten van de grafiek op een rechte liggen. We spreken over een lineair verband.

10Oefeningen

Bepaal het verschil, de 20e term en de som van de eerste 20 termen van volgende rekenkundige rijen.

a 1,3,5,7,...

b 0,8;1,2;1,6;2,0;...

c 1 2 , 5 6 , 7 6 , 3 2 ,...

d a ,2a ,3a ,4a ,...

e p 2 ,0, p 2 , p ,...

f1, 3, 7, 11,...

g √50, √32, √18, √8,...

h 3, 1,1,3,5,...

Schrijf de rijen uit de vorige oefening met behulp van een expliciet en een recursief voorschrift.

Geef van de volgende rijen de eerste vijf termen. Welke rijen zijn rekenkundig ?

a u n = 3n 1

b u n = 2 n 2

c u n = 3n

d u n = 2n n 2

Gegeven : 5 2 , 9 4 ,2,..., 3

a Toon aan dat de gegeven rij een rekenkundige rij is.

b Hoeveel termen bevat de rij?

c Bepaal het recursief en expliciet voorschrift van de rij.

e u n +1 = u n en u 1 = 3 1

f u n +1 = ( u n )2 en u 1 = 2

g u n +1 = u n 1 u n en u 1 = 1

h u n +1 = √2 + u n en u 1 = 1

Gegeven is een rekenkundige rij waarbij v = –4,

a Bereken u 10

b Bereken n

Gegeven is een rekenkundige rij waarvan u 1 + u 5 = –6 en u 7 + u 10 = 27.

Bereken de eerste vier termen van de rij.

*

9 10

Gegeven: u n = √2(n + 1)

Gevraagd :

a Geef de eerste vier termen van de rij.

b Toon aan dat dit een rekenkundige rij is.

c Bepaal s 20

De hoeken van een willekeurige driehoek vormen een rekenkundige rij en de kleinste hoek bedraagt 20°. Bereken de andere hoeken.

De hoeken van een convexe achthoek vormen een rekenkundige rij waarvan het verschil v = 10°. Bereken de hoeken van die achthoek.

11

1 juli! De vakantie is begonnen. Wouter heeft een nieuwe gps op zijn fiets gemonteerd en heeft volgend trainingsschema opgesteld: vandaag 1 juli: 7 km fietsen, morgen 2 juli: 11 km fietsen, 3 juli: 15 km fietsen, Kortom, elke dag 4 km meer en dat tot het einde van de maand.

a Hoeveel kilometer zal Wouter in de maand juli fietsen ?

b Hoeveel kilometer zal Wouter rijden tussen 14 juli en 21 juli (14 juli en 21 juli niet inbegrepen) ?

* 12 13 14 15

c Op welke dag overschrijdt de teller de 1000 kilometer ?

Marie is een echte boekenwurm. Als de leerlingen op school de opdracht krijgen om het boek ‘Wiskunde, verwacht het onverwachte’ te lezen, neemt ze zich dan ook voor om vanaf dan elke dag 20 bladzijden te lezen. Lena schiet iets langzamer in actie. Zij neemt zich voor om op de eerste dag 3 bladzijden te lezen, op de tweede dag zijn dat er 6, de derde dag 9 …

a Op welke bladzijde van het boek zijn Marie en Lena gekomen na 8 dagen ?

b Als ze vandaag beginnen met lezen, na hoeveel dagen zullen ze dan opnieuw dezelfde bladzijde lezen ?

c De ontknoping van het verhaal is te lezen op bladzijde 392. Op welke dag zullen ze die bladzijde lezen ?

Adam en Stan hebben allebei een nieuwe kilometerteller op hun fiets gemonteerd. Stan rijdt de eerste dag 7 km, de tweede dag 12 km, de derde dag 17 km, m.a.w. elke dag 5 km meer dan de vorige dag. Adam rijdt de eerste dag 25 kilometer, de tweede dag 28 km, de derde dag 31 km, m.a.w. elke dag 3 km meer dan de vorige dag.

Op het einde van welke dag staan hun kilometertellers gelijk? Los ook op met ICT.

Amir heeft een hele hoop kubusvormige blokjes en maakt hiermee een toren. Bovenaan 1 blokje, op de volgende rij 2 blokjes, nadien 3 blokjes

Amir heeft 160 blokjes. Hoe hoog ( hoeveel rijen hoog ) kan hij zijn toren bouwen ? Los ook op met ICT.

De 2134 zitjes in een theaterzaal zijn V-vormig opgesteld. De eerste ( onderste) rij telt 34 zitjes. Elke volgende rij telt 6 zitjes meer. Rij twee telt dus 40 zitjes, rij drie 46 zitjes

a Hoeveel rijen telt de theaterzaal ?

b Als de zitjes van beneden naar boven worden genummerd, op welke rij bevindt zich zitje nummer 800 ?

c Als de zitjes van boven naar beneden worden genummerd, op welke rij bevindt zich zitje nummer 800 dan ?

*

De hoogte van de hoogste en de laagste paal is respectievelijk 12,75 m en 0,6 m. Bereken de hoogte van elke steunpaal. 16 *

Laura heeft haar spaarvarken, dat enkel stukken van 1 euro bevat, opengebroken. Ze legt de muntjes op stapeltjes volgens een rekenkundige rij. Het eerste stapeltje telt 5 muntjes, het laatste 41.

Hoeveel stapeltjes zijn er als je weet dat er in totaal 299 muntjes van 1 euro in het spaarvarken zaten ?

Bepaal drie getallen die een rekenkundige rij vormen als hun som s = 39 en hun product p = 1872.

Hoelang duurt het om een schuld van 22000 euro af te betalen als je de eerste maand 625 euro betaalt, de tweede maand 675 euro, de derde maand 725 euro, enz.?

Johan maakt met speelkaarten een kaartenhuisje. Hiervoor zet hij telkens kaarten schuin tegen elkaar zodat die een driehoek vormen. Om een tweede rij te vormen verbindt hij de toppen van twee naast elkaar staande driehoeken met een kaart.

a Als de basis uit tien driehoeken bestaat, hoeveel kaarten heeft Johan dan nodig om zijn toren te vervolledigen ?

b Bepaal het maximale aantal rijen dat je kunt maken met een volledig kaartspel ( = 52 kaarten) om een afgewerkte toren te hebben. Hoeveel kaarten houd je over ?

c Johan gebruikte 222 kaarten. Uit hoeveel rijen bestond zijn volledige toren ?

Bereken de volgende sommen. Los ook op met ICT.

Een glijbaan is gebouwd opeen horizontaal vlak en wordt gestut door tien palen, die op gelijke afstand van elkaar staan.

Een reeks palen staat op deze manier opgesteld.

abcdefghijklmnopqrs

a Hoe hoog is de hoogste paal ?

b Hoe hoog is de laagste paal ?

c Welk niveauverschil is er tussen palen e en o ?

Een parachutist springt op een hoogte van 900 meter uit een vliegtuig. Hij valt eerst met gesloten parachute ( vrije val ) waarbij hij per seconde achtereenvolgens

5, 16, 27, 38, meter aflegt (hierbij verwaarlozen we de luchtweerstand). Op 355 meter hoogte opent hij de parachute waardoor de snelheid voldoende afneemt om veilig te landen.

a Hoeveel meter legt de parachutist af tijdens de achtste seconde ?

b Na hoeveel seconden moet hij de parachute openen ?

Tijdens een zomerkamp van de scouts wordt een aardappelrace gehouden. Daartoe worden acht aardappelen op een rechte lijn gelegd op 1,8 m van elkaar. De eerste aardappel ligt op 1,8 m van een mand. Een deelnemer start bij de mand en brengt de aardappelen een voor een naar de mand. Welke afstand moet hij in totaal afleggen van start tot finish ?

Simon rijdt bij het schaatsen 20 rondjes van 500 meter. Voor de eerste ronde heeft hij 46 seconden nodig en vervolgens rijdt hij elke ronde een halve seconde langzamer dan de voorgaande ronde. Wat is Simons eindtijd ?

Een sneeuwlawine, ontstaan op 600 m van het dal, komt van een berghelling naar beneden. Tijdens de eerste seconde legt de lawine 4 m af, tijdens de tweede seconde 7 m, tijdens de derde seconde 10 m enz.

a Hoeveel meter legt de lawine af tijdens de 7e seconde?

b Hoeveel meter heeft de lawine in totaal afgelegd na 9 seconden?

c Op 100 m voor het dal bereikt de lawine een bos en wordt ze afgeremd. Hoeveel seconden was de lawine dan al onderweg?

1.2 Meetkundige rijen

1Meetkundige rijen

Het voorbeeld van de kettingberichten op pagina 9 gaf de volgende rij: 2, 4, 8, 16, 32, We merken op dat u 1 = 2, u 2 = 2 2, u 3 = 4 2, u 4 = 8 2, …

Elke volgende term kan dus gevonden worden door de voorgaande met 2 te vermenigvuldigen.

Het quotiënt van elke twee opeenvolgende termen is dus hetzelfde, m.a.w. dat quotiënt is constant en gelijk aan 2.

Dat is een voorbeeld van een meetkundige rij met reden ( quotiënt) q = 2.

meetkundige rij

in woorden :

Een meetkundige rij is een rij waarbij elke term gelijk is aan het product van de voorgaande term met een constant getal q . Dat constante getal q ( ∈ R ) noemen we het quotiënt of de reden van de meetkundige rij. in symbolen : (un ) is een meetkundige rij met reden q ⟺∀ n ∈ N0 : un+1 = un q

Uit de definitie blijkt dat een meetkundige rij ondubbelzinnig bepaald is door de beginterm u 1 en de reden q

Voorbeelden :

0,5 ; 0,25 ; 0,125 ; 0,0625 ;

Algemene term van een meetkundige rij

Voor een meetkundige rij met eerste term u 1 ( ≠ 0 ) en reden q ( ≠ 0 ) geldt :

u 2 = u 1 q

u 3 = u 2 q = ( u 1 q ) q

u 4 = u 3 q = ( u 1 q 2

… un = u n 1 q = ( u 1 q

un = u 1 q n 1

2 ) q

Met die formule kun je elke willekeurige term van een meetkundige rij berekenen. Merk op dat de formule ook geldt voor u 1 = 0of q = 0. Volgens de definitie is dan immers ook un = 0 en dat resultaat vinden we ook met de formule.

Voorbeelden :

– We zoeken de algemene term van de rij uit het eerste voorbeeld. un = ( 0,5) ( 0,5)n 1 = ( 0,5)n = 2 n

– We zoeken de 21e term van de rij uit het tweede voorbeeld. u 21 = 2 · (√3 )20 = 2 · 310 = 118 098

– We zoeken de honderdste term van de rij uit het laatste voorbeeld. u 100 = 2 ( 1)99 = 2

2Enkele eigenschappen van meetkundige rijen

eigenschap 1

a, b en c zijn drie opeenvolgende termen van een meetkundige rij als en slechts als b 2 = a · c. b noemen we het meetkundig gemiddelde of een middelevenredige van a en c

Bewijs :

a , b en c zijndrieopeenvolgendetermenvaneenmeetkundigerijmetreden q

b = a · q en c = b · q

b

a = c b

b 2 = a · c

Besluit :

In een meetkundige rij is elke term gelijk aan het meetkundig gemiddelde (of de middelevenredige) van de twee termen die hem insluiten. Vandaar de benaming ‘meetkundige rij’

Controleer die eigenschap aan de hand van de rij 2, 4, 8, 16, 32,

eigenschap 2

In een meetkundige rij met n termen is het product van de termen die even ver van de uiterste termen u 1 en un verwijderd zijn, constant en gelijk aan het product van de uitersten.

Voor de meetkundige rij u 1, u 2, u 3, , un tonen we aan dat :

u 1 un = u 2 u n 1 = u 3 un 2 =…

Bekijk het volgende schema :

q q q q

u 1, u 2, u 3, u n 2, u n 1, un

u 1 q un q –1

u 1 q 2 u n q –2

Hieruit volgt :

u 2 u n 1 = ( u 1 q ) ( un q 1 ) = u 1 un

u 3 · u n 2 = ( u 1 · q 2 ) + ( un · q 2 ) = u 1 · un

Voorbeeld :

De meetkundige rij: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 (n = 7 )

u 1 u 7 = 2 128 = 256 u 3 u 5 = 8 32 = 256

u 2 u 6 = ( 4 ) ( 64 ) = 256 u 4 u 4 = ( 16 ) ( 16 ) = 256

Gevolg :

We berekenen het product pn van de eerste n termen van een meetkundige rij.

pn = u 1 u 2 u 3 u n 2 u n 1 un (1) of pn = un u n 1 u n 2 u 3 u 2 u 1 (2)

pn2 = ( u 1 un ) ( u 2 u n 1 ) ( u 3 u n 2 ) … ( u n 2 u 3) ( u n 1 u 2 ) ( u n u 1 ) (1) (2)

pn2 = ( u 1 un )n of | pn | = ( u 1 u n )n

3Grafische voorstelling van een meetkundige rij

Voorbeeld :

Een labo doet onderzoek naar de groei van een bepaalde bacterie. Ze starten met 20 bacteriën en om het uur wordt het totale aantal bacteriën geteld.

We stellen het totale aantal bacteriën voor in functie van de tijd.

Oplossing :

De aantallen vormen blijkbaar een meetkundige rij met u 1 = 20 en q = 1,5. Grafisch voorgesteld geeft dat :

Merk op :

– Alle punten liggen op een vloeiende lijn.

– We spreken van een exponentieel verband tussen de tijd en het aantal bacteriën (hiermee maak je kennis in hoofdstuk 3).

4Som van de eerste n termen van een meetkundige rij

Voor de som van de eerste n termen van een meetkundige rij met q ≠ 1 geldt :

sn = n k = 1 u k = u 1 · 1 q n 1 q

Bewijs : sn = u 1 + u 2 + u 3 +…+ u n 2

sn = u 1 + u

⟹ q sn = u 1 q

(1) (2) : sn q sn = u 1 u 1 q n

⟹ sn · ( 1 q ) = u 1 · ( 1 q n ) met q ≠ 1

⟹ sn = u 1 1 q n 1 q

Opmerking :

Als q = 1,dan hebben we u 1 = u 2 = u 3 =…= un en dus sn = n u 1.

Voorbeelden :

– Voor de meetkundige rij 2, 4, 8, 16, 32, … met u 1 = 2; q = 2; n = 10 is s10 = ( 2) · 1 ( 2)10 1 ( 2) = 682

–Bereken 6 k = 0 2 k

(2)

Determenvandesomuithetrechterlidvormeneenmeetkundigerijmet u 1 = 1; q = 0,5; n = 7.

5Toepassingen

Toepassing 1 :

Bepaal drie opeenvolgende termen van een meetkundige rij waarvan het product p gelijk is aan 1000 en de kleinste term 2 is.

Oplossing :

Drie opeenvolgende termen van een meetkundige rij met reden q kunnen we als volgt voorstellen : a q , a , aq

• p = 1000 ⇐⇒ a q · a · aq = 1000

⇐⇒ a 3 = 1000

⇐⇒ a = 10

• kleinsteterm = 2 ⇐⇒ a q = 2of aq = 2

⇐⇒ 10 = 2q of10q = 2

⇐⇒ q = 5of q = 0,2

• Er zijn dus twee oplossingen : 2, 10, 50 ( a = 10en q = 5)

50, 10, 2 ( a = 10en q = 0,2)

Toepassing 2 :

In 2020 brak wereldwijd de coronapandemie uit. De snelheid waarmee zo’n besmetting haar gang gaat, wordt uitgedrukt met behulp van het reproductiegetal R. Zo was dat getal op een bepaald moment gelijk aan 3. Dat wil zeggen dat elke persoon gemiddeld 3 andere personen besmet met het virus.

a Stel het expliciete en het recursieve voorschrift op van de rij die voortkomt uit het aantal besmettingen van één persoon.

b Hoeveel personen zijn er in totaal besmet na 10 besmettingsfasen (als je vertrekt van één persoon) ?

c Op een bepaald moment waren er 10 000 besmette personen en was het reproductiegetal gelijk aan 0,8. Hoeveel besmettingsfasen moeten er plaatsvinden opdat het aantal nieuwe besmette personen zou terugvallen onder de 5000 ?

Fase 1

Fase 2

Fase 3

Oplossing :

We hebben hier te maken met een meetkundige rij met u 1 = 1 en q = 3.

aexplicietvoorschrift: u n = 3n 1

recursiefvoorschrift: u 1 = 1en u n +1 = 3 u n

b q = 3; u 1 = 1

s10 = 1 1 310 1 10 = 6560,88

Antwoord: Erzijn6561personenbesmet.

c u 1 = 10000; q = 0,8; u n = 5000

u n = u 1 q n 1

5000 = 10000 0,8n 1

0,8n 1 = 0,5

wenemendelogaritmevanbeideleden log 0,8n 1 = log0,5

(n 1) log0,8 = log0,5

n = log0,5 log0,8 + 1

n = 4,106

Antwoord: Ermoeten4besmettingsfasenplaatsvinden.

Toepassing 3 : ergste nucleair ongeval in Japan

Op 11 maart 2011 beleefde Japan een nachtmerrie: een aardbeving met een kracht van 9,0 op de schaal van Richter lokte een tsunami uit en die veroorzaakte ontploffingen en branden in en rond de kernreactoren in Fukushima. Er ontstond een nucleaire ramp van niveau 7. Dat betekent dat het gaat om een kernramp van de ergste soort, zoals die in Tsjernobyl in 1986.

Er ontsnapte radioactief materiaal. De straling was zo groot dat ongeveer 200000 mensen uit een gebied binnen een straal van 20 kilometer rondom de kerncentrale werden geëvacueerd als voorzorgsmaatregel.

Bij deze kernramp is een hoeveelheid van de radioactieve isotoop jodium-131 vrijgekomen. Door de radioactiviteit vervalt een deel van de isotoop zodat na elke dag 91,5% van de massa van de vorige dag overblijft.

Taak :

We nemen aan dat in een bepaald gebied 1000 mg radioactief jodium is neergekomen.

a Bereken de hoeveelheid jodium-131 na 1, 2, 3, 4 en 5 dagen.

b Toon aan dat er een meetkundige rij ontstaat met u 1 = 1000 en q = 0,915.

c Bepaal de hoeveelheid jodium-131 na 30 dagen en na n dagen.

6Harmonische rij

harmonische rij

Derij1, 1 2 , 1 3 ,..., 1 9 , 1 10 , 1 11 ,..., 1 n ,...,noemenweeen harmonischerij.

Voorde1e,2een3etermgeldt:

Voorde9e,10een11etermgeldt:

Algemeengeldtvooreenharmonischerij1,

Wezeggendat u k het harmonischgemiddelde isvan

Besluit :

In een harmonische rij is elke term het harmonisch gemiddelde van de twee termen die hem insluiten, vandaar de benaming ‘harmonische rij’.

Toepassing :

Hetharmonischgemiddeldevantweegetallen a en b iseengetal c waarvoorgeldt: 2 c = 1 a + 1 b of c = 2ab a + b

Hetharmonischgemiddeldevandegetallen 3 8 en4isdusgelijkaan

Omdesomvandeeerste n termenteberekenen,beschikkenwenietmeerovereenformulezoalsbijde rekenkundigerij.

sn =

Taak : bereken s 10, s 100, s 1000 met behulp van ICT.

Constructie van gemiddelden

Bij de studie van rijen hebben we 3 soorten gemiddelden gezien: het rekenkundig, het meetkundig en het harmonisch gemiddelde. Als a en b gegeven zijn en x, y en z respectievelijk hun rekenkundig, meetkundig en harmonisch gemiddelde zijn, dan hebben we: x = a + b 2 y 2 = a · b 2 z = 1 a + 1 b

We kunnen die gemiddelden construeren: ∣ AB ∣ = a ⟹ ∣ AC ∣ = a + b ∣ BC ∣ = b

Op [AC] beschrijven we een halve cirkel met middelpunt O. We trekken BE loodrecht op AC en verbinden O met E Er ontstaat een rechthoekige driehoek OBE, waarin we BD loodrecht op OE construeren.

•x = ∣ OE ∣ want ∣ OE ∣ = ∣ OC ∣ = a + b 2 (of de straal van de cirkel)

• Δ AEC is rechthoekig in E

⟹ ∣ BE ∣2 = ∣ AB ∣ · ∣ BC ∣

⟹ ∣ BE ∣2 = a · b

⟹ y = ∣ BE ∣

• Δ OBE is rechthoekig in B (constructie)

⟹ ∣ BE ∣2 = ∣ OE ∣ · ∣ DE ∣

⟹ a b = a + b 2 · ∣ DE ∣

⟹ 2 | DE | = a + b a b = 1 a + 1 b

Dus: z = ∣ DE ∣ Stel vast dat z < y < x. a b A B C D E zy x O

7Samenvatting

• Je kent de betekenis van een meetkundige rij, je kunt de n-de term van zo’n rij berekenen alsook het meetkundig gemiddelde en je kunt de som en het product van de eerste n termen bepalen.

REKENKUNDIGERIJ u 1 , u 2 ,… un , …

MEETKUNDIGERIJ

definitie (recursief voorschrift)

n -de term (expliciet voorschrift)

∀ n ∈ N0 : u n +1 = u n + v ( v is het verschil van de rekenkundige rij)

un = u 1 + ( n 1) · v

∀ n ∈ N0 : u n +1 = un q ( q is de reden van de meetkundige rij)

un = u 1 q n 1

algemene vorm u 1, u 1 + v , u 1 + 2v , …, u 1 + ( n 1) v , … u 1, u 1 q , u 1 q 2 , , u 1 q n 1 gemiddelden

overeenkomst van de bewerkingen

a , b , c zijn drie opeenvolgende termen van een rekenkundige rij ⟺

b = a + c 2 ( b is het rekenkundig gemiddelde van a en c )

optelling aftrekking vermenigvuldiging deling lineaire groei

som en product van de uiterste termen

a , b , c zijn drie opeenvolgende termen van een meetkundige rij ⟺

b 2 = a · c

( b is het meetkundig gemiddelde van a en c )

vermenigvuldiging deling machtsverheffing worteltrekking exponentiële groei

som en product van de eerste n termen

grafische betekenis lineair verband exponentieel verband

• Je kent de betekenis van een harmonische rij en je kunt het harmonisch gemiddelde berekenen. 1, 1 2 ,..., 1 n ,...met u n = 1 n iseenharmonischerij.

Als a , b en c drieopeenvolgendetermenzijnvaneenharmonischerij,danis 2 b = 1 a + 1 c en b ishetharmonischgemiddeldevan a en c

• Met ICT kun je snel allerlei problemen over getallenrijen oplossen. Je kunt expliciete en recursieve voorschriften invoeren en de som van de termen berekenen.

2 3

8Oefeningen

Bepaal de reden, de 20e term en de som van de eerste 20 termen van volgende meetkundige rijen.

a 1,3,9,27,...

b 1;0,8; 0,64;0,512;...

c 1 2 , 1 3 , 2 9 , 4 27 ,...

d 10,1,10 1 ,10 2 ,...

e √2, √6,3√2,3√6,...

f 1 3 , 4 9 , 16 27 , 64 81 ,...

g20;0,2;0,002;0,00002;...

h2,3, 9 2 , 27 4 ,...

i 1,2, 4,8, 16,...

j √2 2 , 1 2 , √2 4 , 1 4 ,...

Schrijf de rijen uit de vorige oefening met behulp van een recursief voorschrift. Schrijf de rijen van oefeningen a, b, d en h ook met behulp van een expliciet voorschrift.

Geef van de volgende rijen de eerste vijf termen. Welke rijen zijn rekenkundig, welke zijn meetkundig ?

a u n = 3n 4

b u n = n 2 1

c u n = 2n

a Geef de eerste vier termen van de rij met voorschrift u n = 2n 1 3n .

b Bepaal het recursief voorschrift van de rij.

c Bepaal s 20.

Gegeven : √2,4,8√2,32,...

Gevraagd : a Is die rij rekenkundig of meetkundig? Geef v of q

b Bepaal u 20.

c Bepaal s 20

Binnen een vierkant met zijde 1 wordt een vierkant getekend dat bepaald wordt door de middens van de zijden van het gegeven vierkant. Als je tien vierkanten hebt getekend, wat is dan de zijde van het tiende vierkant ?

a √3 3 , 1 3 , √3 9 , 1 9 ,...

Is de rij rekenkundig of meetkundig ?

Bereken u 20 en s 20.

Geef het expliciet en het recursief voorschrift van de rij.

b u n + 1 = un – 2 en u 1 = 3

Is de rij rekenkundig of meetkundig ?

Bereken u 40 en s 40.

Geef het expliciet voorschrift van de rij.

Gegeven : u 1 = 3 2 en u n +1 = u n · ( 2)

Gevraagd : a Geef de eerste vier termen van de rij.

b Bereken u 20 en s 20

Bepaal drie getallen die een meetkundige rij vormen als hun som s = –63 en hun product p = 19683.

Stel je even een slak voor met een stevige versnelling in de benen. Ze bevindt zich op 15 cm van een lekkere krop sla. Ze legt in de eerste seconde op haar weg naar de sla 0,8 mm af. Tijdens elke volgende seconde legt ze steeds 10% meer afstand af. Na hoeveel seconden zal de slak kunnen eten van de sla

12

Stel dat de wereldbevolking per jaar met ongeveer 2% groeit.

a Als de wereldbevolking op een bepaald moment 7 miljard bedraagt, hoeveel is dat dan één jaar later? En twee jaar later? En drie jaar later ?

b Als we de rij voortzetten, welk soort rij bekomen we dan ?

c Met hoeveel procent zal de wereldbevolking aangegroeid zijn na 20 jaar ?

Los ook op met ICT.

13 14

* 15

Tritium is een radioactieve isotoop van waterstof. Elk jaar vervalt 5,5% van de oorspronkelijke hoeveelheid. Hoeveel blijft er na 12 jaar over van 1000 mg tritium ?

Bepaal een eindige meetkundige rij met drie termen waarvan de som s = 31 en het product p = –216.

Zoek een meetkundige rij van vijf termen als je weet dat de som van de termen 484 is. Bovendien is gegeven dat de som van de even termen 120 is.

16

In een Italiaans handschrift van ongeveer 1535 spreekt een smid af dat hij een paard zal beslaan als hij als beloning één cent krijgt voor de eerste spijker, twee cent voor de tweede, vier cent voor de derde, acht cent voor de vierde enz. Er waren 24 spijkers in totaal. Hoeveel bedroeg de totale beloning voor de smid ?

17

Een wit vierkant met een zijde van 1m wordt in stappen blauw gekleurd. Eerste stap: de helft van het vierkant wordt blauw gekleurd. Tweede stap: van de helft die nog wit is, wordt de helft blauw gekleurd. Derde stap: van het deel dat nu nog wit is, wordt de helft blauw gekleurd enzovoort.

a Bereken de oppervlakte van het witte en blauwe gedeelte na de vierde stap.

b Geef een formule voor het witte en blauwe gedeelte na de n -de stap.

c Na hoeveel stappen is de oppervlakte van het witte deel kleiner dan 2cm2 ?

Een heimachine slaat een betonnen paal in de grond. Bij de eerste klap gaat de paal 200 cm de grond in. Bij elke volgende klap gaat de paal 20% minder ver de grond in dan bij de voorgaande klap.

a Hoe diep slaat de heimachine de paal in de grond na 15 klappen? Los ook op met ICT. Werk op 1 cm nauwkeurig.

b Onderzoek met ICT hoe ver de heimachine de paal in de grond kan slaan.

In een meer is 3 m2 van een bepaalde algensoort aanwezig waarvan geweten is dat die wekelijks in oppervlakte verdubbelt. Op het einde van de eerste week is er al 6 m2 van de algensoort aanwezig. Hoeveel m2 algen komen er de achtste week bij ?

Stijn heeft op 1 januari 2022 een bedrag van 500 euro op een spaarrekening gezet. Hij krijgt elk jaar 4% intrest. Met ingang van 1 januari 2023 zal hij jaarlijks 50 euro opnemen van de spaarrekening.

Bij die situatie hoort een van de volgende formules :

I un = 500 ( 1,04)n – 50

II un + 1 = un – 50 met u 1 = 500

III un = 500 ( 1,04)n – 1 – 50

IV un + 1 = ( 1,04) un – 50 met u 1 = 500

a Zoek de juiste formule.

b Onderzoek met ICT op welke datum het saldo van de spaarrekening voor het eerst ontoereikend zal zijn.

In een recreatiemeer verdampt elk jaar 7% van de aanwezige hoeveelheid water en er komt door de neerslag elk jaar 84 104 m3 water bij. Op 1 januari 2022 is er 16 106 m3 water in het meer.

a In welk jaar is er op 1 januari voor het eerst minder dan 14 106 m3 water in het meer ?

b Hoeveel m3 water is er op de lange duur in het meer aanwezig ?

Een bedrijf heeft een jaarlijkse omzet van 1000000 euro. De CEO voorziet in de toekomst een jaarlijkse groei van 5% en een jaarlijkse kostenmarge van 3% van de omzet van het vorige jaar.

a Wat wordt de netto-omzet na 1 jaar, na 2 jaar na 10 jaar ?

b Het bedrijf zou graag een nettogroei hebben van 50%. Na hoeveel jaar zal dat zo zijn ?

c Het bedrijf voorziet een forse investering van 1300000 euro. Hoelang zullen zij moeten wachten om dat bedrag als netto-omzetcijfer te halen ?

Om een sneeuwman te maken heeft Hanne in totaal 2 m3 sneeuw gebruikt. Door de temperatuurstijging smelt het ijs en gaat er per uur 5% van de resterende sneeuw over in water.

a Hoeveel sneeuw blijft er nog over na 5 uur?

b Bepaal hoelang het duurt opdat het volume van de sneeuwman herleid is tot 1 m³ sneeuw.

Drie getallen vormen een eindige rekenkundige rij. Verminder je het tweede getal met 4, dan bekom je een meetkundige rij waarvan de som van de termen 26 is. Zoek die getallen.

Drie getallen vormen een eindige meetkundige rij. Vermeerder je het tweede getal met 16, dan bekom je een rekenkundige rij waarvan de som van de termen 78 is. Zoek die getallen.

Welk getal moet ik bij 1, 4 en 10 optellen zodat de drie sommen drie opeenvolgende termen van een meetkundige rij zouden zijn ?

Bereken.

a 11 i = 2 3i

b 14 i = 2 2i 1 + 3i

c 16 i = 5

2i 3 + 7i + 11

Mats is een kweker van fruitbomen en heeft 4000 bomen staan. Jaarlijks verkoopt hij 25% van zijn bomen en plant hij 1500 nieuwe boompjes.

a Geef het voorschrift dat de evolutie van het aantal bomen weergeeft in de tijd.

b Na hoeveel jaar zal kweker Mats 6000 bomen hebben ?

Gegeven is de rekenkundige rij met termen un : 3, 1, –1, …, waarbij de index n start vanaf 1.

De eerste termen zijn dus u 1 = 3, u 2 = 1, u 3 = –1, …

Verder is de meetkundige rij gegeven met termen vn : 32, 16, 8, …, waarbij de index n start vanaf 1.

De eerste termen zijn dus v 1 = 32, v 2 = 16, v 3 = 8, …

Definieer nu een nieuwe rij met termen wn = un + vn. Waaraan is wn gelijk ?

De zeef van Sierpi´nski is een toepassing van een fractaal

Dat is een meetkundige figuur waarbij een bepaald patroon oneindig herhaald wordt.

De ‘zeef’ is genoemd naar de Poolse wiskundige Wacław Sierpi´nski; hij leefde van 1882 tot 1969.

Start met een gelijkzijdige driehoek, oppervlakte 1.

Volg de opeenvolgende stappen en maak voor jezelf een tabel (zie onderaan).

Stap 1:

Neem de middens van de drie zijden en bepaal de oppervlakte van de witte driehoek.

Stap 2:

Doe de vorige constructie opnieuw in de drie rode driehoeken en bepaal de oppervlakte van de witte driehoeken die je in deze stap verwijdert.

Stap 3:

Doe de vorige constructie opnieuw in de negen rode driehoeken en bepaal de oppervlakte van de witte driehoeken die je verwijdert.

Taak :

Vul de tabel aan.

In de kolommen wordt telkens een rij opgebouwd. Met welk soort rijen hebben we hier te maken ?

Bron : Wikimedia Commons

1.3 Financiële toepassingen

1Enkelvoudige intrest

enkelvoudige intrest

Bij enkelvoudige intrest wordt op de opgebouwde intrest geen rente berekend.

Voorbeeld :

We zetten een kapitaal van 2500 euro uit tegen 5% met enkelvoudige intrest. Hoe groot is het kapitaal na 15 jaar ?

Oplossing :

5% van 2500 euro is 125 euro. Het kapitaal groeit dus elk jaar met 125 euro aan.

t ( jaar) 01234

kn ( euro) 25002625275028753000

De waarden van kn vormen dus een rekenkundige rij met als beginwaarde k = k 0 = 2500, het startkapitaal, en als verschil v = 125, de verworven rente of intrest I .

kn = 2500 + n 125

Hieruit volgt :

k15 = 2500 + 15 125 = 4375

Antwoord :

Het kapitaal na 15 jaar is 4375 euro.

2Samengestelde intrest

samengestelde intrest

Bij samengestelde intrest (ook rente op rente genoemd) wordt de intrest nooit opgenomen maar bij het kapitaal gevoegd.

Voorbeeld :

We zetten een kapitaal van 2500 euro uit tegen 5% met samengestelde intrest. Hoe groot is het kapitaal na 15 jaar ?

Oplossing :

k = beginkapitaal = 2500 euro; i = rentevoet = 5%

Eén jaar later

De intrest na het eerste jaar bedraagt :

I = k ⋅ i = ( 2500 ⋅ 0,05) euro = 125 euro

De waarde van het kapitaal na één jaar noteren we als k 1 en bedraagt :

k 1 = k + I = ( 2500 + 125) euro = 2625 euro

In formulevorm :

k 1 = k + k i = k ( 1 + i)

Twee jaar later :

Het tweede jaar wordt de intrest berekend op het eindkapitaal van het eerste jaar :

I = k 1 i = ( 2625 0,05) euro = 131,25 euro

De waarde van het kapitaal na twee jaar noteren we als k 2 en bedraagt :

k 2 = k 1 + I = ( 2625 + 131,25) euro = 2756,25 euro

In formulevorm :

k 2 = k 1 + k 1 i = k 1 ( 1 + i ) = k ( 1 + i )2

Drie jaar later :

Het derde jaar wordt de intrest berekend op het eindkapitaal van het tweede jaar :

I = k 2 i = ( 2756,25 0,05) euro = 137,8125 euro

De waarde van het kapitaal na drie jaar noteren we als k 3 en bedraagt :

k 3 = k 2 + I = ( 2756,25 + 137,8125) euro = 2894,0625 euro

In formulevorm :

k 3 = k 2 + k 2 i = k 2 ( 1 + i ) = k ( 1 + i )3

n jaar later :

Als we de vorige redenering blijven volgen, vinden we voor de waarde van het kapitaal na n jaar : kn = k ( 1 + i )n

De waarden van kn vormen dus een meetkundige rij met beginwaarde k = 2500 en reden

q = 1 + i = 1,05.

Het kapitaal na 15 jaar tegen

samengestelde intrest bedraagt :

k 15 = ( 2500 ⋅ 1,0515) euro = 5197,32 euro.

3Samenvatting

• Je weet dat bij enkelvoudige intrest elk jaar hetzelfde bedrag wordt bijgevoegd bij het kapitaal. De kapitaalwaarden vormen een rekenkundige rij.

• Je weet dat bij samengestelde intrest de intrest nooit afgehaald wordt, maar bijgevoegd wordt bij het kapitaal.

4Oefeningen

Bereken de eindwaarde van het kapitaal uitgezet op samengestelde intrest. Los dit ook op met ICT. KAPITAAL k RENTEVOET i PERIODE n EINDWAARDE k n

a € 4500

b € 1620

c € 8450

4 jaar

6 jaar

10 jaar

Bereken het (begin)kapitaal uitgezet op samengestelde intrest. Los dit ook op met ICT.

KAPITAAL k n RENTEVOET i PERIODE n KAPITAAL k

a € 7552,76

b € 6584,05

c € 1607,56

3 jaar

8 jaar

5 jaar

Bereken de rentevoet van volgende kapitalen uitgezet op samengestelde intrest. Los dit ook op met ICT. KAPITAAL k EINDWAARDE k n PERIODE n RENTEVOET i

a € 3600 € 5557,68 7 jaar

b € 7510 € 8701,46 4 jaar

c € 9990 € 13618,70 6 jaar

Bij welke rentevoet verdubbelt een kapitaal op 12 jaar tijd bij samengestelde intrest ?

Je belegt 7650 euro gedurende 7 jaar op samengestelde intrest tegen 4,5% per jaar. Welke intrest brengt het kapitaal op tijdens het eerste jaar, het vierde jaar en het laatste jaar van de belegging ?

Wat was een kapitaal van 20000 euro nu tien jaar geleden waard als je rekening houdt met een samengestelde intrest van 5% per jaar ?

Korneel, Servaes en Julie zijn de drie kleinkinderen van Roger en zijn respectievelijk 13, 9 en 6 jaar oud. Korneel krijgt 1300 euro van zijn opa. Het geld wordt op een spaarrekening gezet tegen 2,5%. Op hun achttiende verjaardag moeten de drie kleinkinderen evenveel op hun spaarrekening hebben. Hoeveel moet opa nu op de spaarrekening van Servaes en Julie zetten ?

Een investeerder belegt 16700 euro gedurende 10 jaar op samengestelde intrest. De eerste vijf jaar is dat tegen 4,3%. Bepaal de rentevoet van de laatste vijf jaar als de eindwaarde 26433,31 euro bedraagt.

Een kapitaal bereikt na vier jaar een waarde van 4429,30 euro. Eén jaar later is de eindwaarde 4617,55 euro. Bepaal dat startkapitaal. Tegen welke rentevoet is het uitgezet op samengestelde intrest ?

Een kapitaal van 20000 euro staat uit tegen een samengestelde intrest van 7,5%.

a Hoelang duurt het tot het kapitaal aangegroeid is tot 25000 euro ?

b Na hoeveel jaar is het kapitaal verdubbeld ?

Miel werd op 28 december 2021 geboren. Als geboortegeschenk openden oma en opa een kasbon met een looptijd van 10 jaar met daarop 2000 euro en een jaarlijkse intrest van 1,5%. Op de bekomen intrest moet je wel nog 25% belastingen betalen. Welk bedrag zal Miel uitbetaald krijgen op de dag dat hij 10 jaar wordt ?

Rijen 1

Hoofdstuktitel 0 2 Machten

Machten en wortels zijn begrippen die al lang gebruikt worden. Het waren de Babyloniërs die voor het eerst √ 2 en √ 3 benaderden. Jij maakte er kennis mee in je eerste jaar middelbaar onderwijs. Minder gebruikte synoniemen voor vierkantswortel zijn tweedemachtswortel en kwadraatswortel. Voor een derdemachtswortel werd vroeger dan weer wel eens kubiekwortel of teerlingwortel gebruikt. Vind je de link naar de betekenis van die woorden? Een blokje kaas als aperitief helpt je wellicht op weg …

Exponentiële groei en logaritmische functies 3

Hoofdstuktitel 0

Penicillium roqueforti is een blauwschimmel die speciaal gekweekt wordt voor het productieproces van kazen als roquefort of stilton. Het Franse merk Papillon houdt er niet van om dat in een labo te doen: ze bakken speciale broden, injecteren die met de blauwschimmel en laten die op het brood gedijen. Da’s maar een van de vele voorbeelden van exponentiële groei. Een bosbrand wint bijvoorbeeld ook razendsnel aan kracht. Dankzij corona weet je hoe snel een virus zich kan verspreiden. Ook de groei van deze zeesterren heeft een exponentieel karakter, dat kom je in dit hoofdstuk te weten.

3.1

Goniometrische functies 4

Hoofdstuktitel 0

Goniometrie kent veel toepassingen, zoals bij mechanische en elektromagnetische trillingen, radio, tv, elektriciteit en mobiele telefonie.

Zit je op het reuzenrad in Londen en druk je de hoogte van eender welke cabine uit in functie van de tijd? Als je daarvan de grafiek zou tekenen, bekom je een sinusoïde.

Maar ook de luchtstroomsnelheid bij het in- en uitademen van een mens kan door een sinusoïde benaderd worden. Wil je weten wanneer de luchtstroomsnelheid gelijk is aan nul, dan moet je een goniometrische vergelijking oplossen.

Goniometrische functies

4.1

4.5

4.3