VBTL 5/6 D-gevorderde wiskunde - Leerboek Ruimtemeetkunde - inkijk methode

LEERBOEK

Ruimtemeetkunde

D-finaliteit gevorderde wiskunde

Philip Bogaert

Filip Geeurickx

Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze

Erik Willockx

CARTOONS

Dave Vanroye

Hoe gebruik je VBTL ?

Dit boek bevat vijf hoofdstukken. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt.

1 2 *

De nummers van de oefeningen hebben een gele kleur. Een sterretje duidt op een extra uitdaging. Maak ook kennis met voorbeeldvragen uit ijkingstoetsen en toelatingsexamens. Achteraan in dit boek vind je de oplossingen

ICT is een ideaal hulpmiddel. Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.

Wat moet je kennen en kunnen ?

Op het einde van elk hoofdstuk zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen

In dit boek wordt ruimtemeetkunde op twee manieren benaderd.

In het synthetische gedeelte is gekozen voor een directe meetkundige aanpak. Een aantal begrippen, eigenschappen en toepassingen van de ruimtemeetkunde kwamen al in de eerste en tweede graad aan bod. In de derde graad spelen ruimtefiguren nog altijd een belangrijke rol, maar ook meer algemene ruimtelijke situaties, begrippen of eigenschappen zullen behandeld worden.

In het analytische deel worden ruimtelijke situaties wiskundig beschreven. Ruimtelijke problemen worden opgelost met behulp van coördinaten of vectoren.

Op die manier wordt de algebra aan de meetkunde gekoppeld. In het boek zul je bij verschillende opdrachten kunnen kiezen voor een synthetische en een analytische oplossing. Zo kun je de voor- en nadelen van beide methodes leren ontdekken.

Op de foto: de Reichstag in Berlijn staat bol van geschiedenis maar is ook een mooi staaltje architectuur dat niet mag ontbreken op de todolijst van je citytrip. Naar welke stad moet je daarvoor reizen ?

2

Geschiedenis van de meetkunde

Meetkunde vóór de oude Grieken

Een exacte begindatum kent de meetkunde natuurlijk niet. We weten wel dat we ongeveer terug moeten naar 20 000 jaar vóór Christus. In het paleolithische tijdperk bestond er al een kunst die de vrucht was van precieze notities (zoals je kunt zien in de grotten van Lascaux).

In 1992 ontdekten jonge archeologen in het dal van Côa (Portugal) duizenden rotstekeningen, waarvan de oudste meer dan 30 000 jaar oud zijn. Men observeerde toen de natuur en probeerde haar te imiteren met gestandaardiseerde vormen. De figuren waren meestal regelmatige veelhoeken.

Herodotus (geboren rond 484 v.Chr.), de grote geschiedkundige uit de Griekse oudheid, geloofde dat de meetkunde werd ontwikkeld in het oude Egypte van 3000 v.Chr. en prees hen voor hun ingewikkelde landmeettechnieken. Een voorbeeld van hun kunnen dat op de Moskouse papyrus (die ouder is dan de Rhind papyrus) staat, is de procedure voor het berekenen van de inhoud van een afgeknotte piramide. De Egyptische meetkundigen werden ook ‘touwtrekkers’ genoemd omdat er touwen werden gebruikt om rechte lijnen en hoeken aan te geven. Naast Egypte kwamen vanaf 10 000 v.Chr. ook landbouwculturen tot bloei langs de grote rivieren in India en China. Die beschavingen hieven belastingen, dreven handel, bouwden enorme irrigatiewerken etc. Zo groeide de behoefte om goed te kunnen rekenen en meten.

Vanaf ongeveer 2000 v.Chr. beheersten de Babyloniërs een groot deel van Mesopotamië. Ze hadden een grote wiskundige kennis, wat blijkt uit een kleitablet ter grootte van een handpalm dat dateert van 1800 v.Chr.

De Babyloniërs verdiepten zich in de toegepaste meetkunde om rivieren in te dijken en overstromingen te voorkomen. Zo slaagden ze er ook in het prachtige paleis van Babylon te ontwerpen met zijn hangende tuinen.

Meetkunde bij de oude Grieken

Vanaf ongeveer 600 v.Chr. veranderde het karakter van de wiskunde sterk onder invloed van de Grieken. Zo komt het begrip stelling (of theorema) bijvoorbeeld van hen. Hier ontstond de meetkunde als de wetenschap waarin wiskundigen de verschillende eigenschappen van figuren onderzoeken en bewijzen. Volgens oude overleveringen zou Thales, een van de zeven Griekse wijzen, de meetkundige kennis van de Egyptenaren naar Griekenland hebben overgebracht. Hij leefde in Milete (een stad in het zuidwesten van het huidige Turkije) omstreeks 600 v.Chr. Waarschijnlijk voorspelde hij als eerste een zonsverduistering op een wetenschappelijke manier. Hij was ook de eerste die benadrukte dat meetkundige feiten moesten worden verklaard door een redenering, een bewijs. Vanaf die periode ontwikkelden de Grieken de axiomatische methode, een methode waarbij een hele theorie wordt opgebouwd door nauwkeurige redeneringen vanuit een zo klein mogelijk stelsel axioma’s (voor waar aangenomen uitspraken) waarin alleen een paar basisvormen voorkomen.

Pythagoras (wellicht een leerling van Thales) beweerde zelfs dat de volledige structuur van de wereld door redeneringen vanuit getallen en objecten kon worden verklaard. Het bewijs van zijn beroemde stelling is daar een voorbeeld van, hoewel het niet zeker is dat hij dat zelf ontdekte.

Hij had ook een heuse school volgelingen, die veel werk verrichtten op het gebied van de meetkunde en de rekenkunde. Zo tekenden ze samen wellicht als eersten de regelmatige convexe veelvlakken, die door hen ‘kosmische figuren’ genoemd werden.

Het regelmatige viervlak, de kubus, het regelmatige achtvlak en het regelmatige twintigvlak kwamen volgens hen respectievelijk overeen met vuur, aarde, licht en water. Het regelmatige twaalfvlak moest heel de kosmos voorstellen.

Rond 300 v.Chr. leefde in Alexandrië (Egypte) de Griekse wiskundige Euclides, een van de allergrootste figuren uit de geschiedenis van de meetkunde. Zijn roem steunt op zijn levenswerk, Elementen (Stoicheia), een grote encyclopedie met een uitgebreid overzicht van de meetkundige kennis vanaf het ontstaan van de mensheid tot op dat ogenblik. Hij steunde zwaar op het werk van zijn voorgangers, maar wist de volledige Griekse wiskunde van die tijd op strikt axiomatische wijze te presenteren in 465 stellingen. Tot aan de twintigste eeuw, dus zo’n 2300 jaar lang, bleef dit boek het standaardstudieboek voor wiskunde.

Dankzij Euclides’ werk kon de meetkunde verder uitgebouwd worden, onder andere door Archimedes uit Syracuse (Sicilië, 287-212 v.Chr.) en Apollonius van Perga (262-190 v.Chr.).

Archimedes, ongetwijfeld de briljantste wiskundige uit de klassieke oudheid, bewees dat p een waarde heeft tussen

223

71 en 22 7

Hij ontdekte het verband tussen de diameter en de oppervlakte van een cirkel. Hij ontdekte en bewees ook de formules over de inhoud en de oppervlakte van een bol. Apollonius schreef veel, maar daarvan is maar weinig bewaard gebleven. Zijn werk op het vlak van kegelsneden (cirkel, parabool, ellips en hyperbool) wordt echter als een van de belangrijkste boeken uit de oudheid gezien.

Hindoe-Arabische meetkunde

Na de Grieken kwamen de Romeinen; zij waren goede bouwkundigen en ingenieurs, maar verachtten de zuivere wetenschap. Na de val van het West-Romeinse Rijk (476 na Christus) zette de wiskundecultuur zich voort in het oostelijke deel van dit rijk en in aanpalende culturen. De Hindoes en de Arabieren bewaarden het erfgoed van de oude Grieken en voegden daar het nodige aan toe.

Op het gebied van de meetkunde vallen er vier opmerkelijke bijdragen te noteren. Eerst is er die van de Indische wiskundige Brahmagupta (ca. 625 na Christus) over draaisymmetrische vierhoeken. Daarnaast deden drie Arabische wiskundigen hun duit in het zakje : Abu’l-Wafa (940-998) over constructies met passer en liniaal, Omar Khayyám over meetkundige oplossingen van de (kubische) derdegraadsvergelijkingen in het jaar 1100 en Nasir al-Din al-Toesi (1201-1274) over de axioma’s van Euclides.

West-Europese meetkunde

In de 15e eeuw ontstond het begrip projectie toen kunstenaars in West-Europa de wereld zo natuurgetrouw wilden afbeelden. Zo zag een nieuw soort meetkunde het licht, de zogenaamde projectieve meetkunde. Dat gebeurde vooral onder invloed van Girard Desargues (1591-1661) en Blaise Pascal (1623-1662). De beschrijvende meetkunde, die daarmee samenhangt, werd later ontworpen door Gaspard Monge (1746-1818) en Jean-Victor Poncelet (1788-1867). Beide heren focusten op stellingen rond projecties (vooral centrale projectie) op een plat vlak.

In de loop van de 16e en de 17e eeuw bedacht René Descartes (1596-1650) het coördinatenstelsel om punten met getallen te beschrijven (La Géométrie, 1637). Het gevolg was de zogenaamde analytische meetkunde, waarin meetkundige bewijzen kunnen worden geleverd met behulp van algebraïsche methoden.

In de negentiende eeuw voegden J. W. Gibbs (1839-1903) en Oliver Heaviside (1850-1925) daar de vectormeetkunde aan toe. Daarbij werden punten in de ruimte voorzien van een plaatsvector en werden vectorvoorstellingen van rechten en vlakken gebruikt om meetkundige problemen op te lossen. Ook werd in de 18e en 19e eeuw de differentiaalmeetkunde uitgevonden. Op dat moment werden ook methoden uit de analyse (differentiëren, integreren …) gebruikt bij het onderzoeken van eigenschappen van krommen en (gekromde) oppervlakken. Hierbij horen namen als Gaspard Monge, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en Bernhard Riemann (1826-1866).

Moderne meetkunde

In de negentiende eeuw veranderden János Bolyai (1802-1860) en Nikolaj Lobatsjevski (1792-1856) het gezicht van de meetkunde. Door af te stappen van het vijfde axioma van Euclides konden zij onafhankelijk van elkaar een meetkundig heelal definiëren waarin veel eigenschappen van de meetkunde van Euclides behouden bleven, maar waarin twee evenwijdige lijnen elkaar snijden in een punt dat oneindig ver weg ligt. Zo werd meetkunde toepasbaar op een gebogen oppervlak (zoals het aardoppervlak), wat ontoereikend was voor de euclidische meetkunde. Bernhard Riemann borduurde voort op hun ontdekkingen en er ontstonden verschillende niet-euclidische meetkundes. Het grote belang werd zichtbaar toen bleek dat die heel erg bruikbaar waren bij het beschrijven van de ruimte volgens de relativiteitstheorie van Einstein.

In de negentiende eeuw ontstond ook de topologie (de studie van de eigenschappen van objecten die niet veranderen door uitrekking of verbuiging). Een van de belangrijke namen daarin was Henri Poincaré (1854-1912). Hij publiceerde in 1895 de theorie over de meetkunde van de rekbare oppervlakken in zijn boek Analysis Situs. Poincaré ontdekte ook de modulaire vormen, die uiteindelijk zouden leiden naar de oplossing van het vraagstuk van Fermat.

De twintigste eeuw begint met een merkwaardige ontwikkeling, namelijk het doorbreken van de beperking op de dimensie van de meetkundige ruimte. Het invoeren van een coördinatensysteem vormt het vlak om tot R2 en de ruimte tot R3 Algebraïsch kun je zo met viertallen werken, of met n-tallen. De vlakke meetkunde en de ruimtemeetkunde kunnen zo uitgebreid worden naar de meetkunde van hogerdimensionale ruimten. Hermann Weyl (1885-1955) geeft zo een heldere wiskundige uiteenzetting van de vierdimensionale ruimte die Einstein (1879-1955) gebruikte in de relativiteitstheorie (en waar de vierde dimensie geïnterpreteerd wordt als de tijd).

Punten, rechten en vlakken 1

In de optica (in de lessen fysica) leer je meer over het licht dat via verschillende golflengten wordt omgebogen. Die breking zal ervoor zorgen dat je een kleurspreiding (of spectrum) ziet.

Maar je kunt de foto ook puur meetkundig analyseren en dan zie je alles waar het in dit hoofdstuk om draait : snijdende vlakken, evenwijdige vlakken, snijdende rechten, evenwijdige rechten en kruisende rechten, en natuurlijk heeft het prisma ook hoekpunten.

© Ievgen Skzijpko – stock.adobe.com

Punten, rechten en vlakken

1.1

1.2

1.3

1.4

1.1 Een vlak bepalen

1 Grondbegrippen

In de vlakke meetkunde (planimetrie) werken we met vlakke tweedimensionale figuren (vierkant, driehoek, cirkel …). In de ruimtemeetkunde (stereometrie) gaat het over driedimensionale figuren (kubus, piramide, bol …).

De bouwstenen van ruimtelijke voorwerpen (denk bv. aan een kubus) zijn : – punten (hoekpunten van een kubus) : benoemen we met hoofdletters ; – rechten (ribben van een kubus, als delen van rechten) : benoemen we met kleine letters ; – vlakken (zijvlakken van een kubus, als delen van vlakken) : worden benoemd met Griekse letters.

Omdat rechten en vlakken zich oneindig ver uitstrekken, kunnen we slechts een deel ervan voorstellen op een tekening. Van een rechte zul je slechts een (lijn)stuk tekenen. Een vlak wordt voorgesteld door een parallellogram.

Punten die tot eenzelfde rechte behoren, worden collineaire punten genoemd. Rechten die door eenzelfde punt gaan, heten concurrente rechten. Punten die tot eenzelfde vlak behoren, worden coplanair genoemd.

2 Een vlak bepalen

Gaat er door twee punten juist één vlak ?

Beschouw twee hoekpunten van een kubus, bijvoorbeeld A en D. We onderzoeken of er maar één vlak bestaat waarin A en D liggen.

– De punten A en D liggen beide in het vlak waarvan AEHD een deel is.

– De punten A en D liggen ook in het vlak waarvan grondvlak ABCD een deel is.

– Zijn er nog vlakken die door A en D gaan ?

We moeten besluiten dat er door twee punten oneindig veel vlakken gaan.

Twee verschillende punten bepalen precies één rechte. Door een rechte gaan oneindig veel vlakken.

Gaat er door drie punten (niet op een rechte gelegen) juist één vlak ?

Beschouw in de kubus drie hoekpunten, bv. A, D en C. We onderzoeken of er maar één vlak bestaat waarin A, D en C liggen.

– De drie punten A, D en C liggen in het vlak waarvan zijvlak ABCD een deel is.

– Kun je nog een ander vlak voorstellen waartoe A, D en C behoren ?

We moeten besluiten dat door drie gegeven niet-collineaire punten juist één vlak gaat.

Je kunt die basiseigenschap vaak in de praktijk vaststellen. Zo zal een krukje met drie poten op een vlakke vloer nooit wiebelen, maar een stoel met vier poten soms wel.

Twee evenwijdige rechten

Beschouw in de kubus de punten A, B, C en D. De rechten AD en BC zijn evenwijdig.

– De rechten AD en BC liggen in het vlak waarvan het grondvlak ABCD een deel is.

– Kun je nog een ander vlak voorstellen dat de lijnstukken [ AD] en [ BC] samen bevat ?

We besluiten dat twee evenwijdige (niet-samenvallende) rechten in juist 1 vlak liggen.

Een rechte en een punt – twee snijdende rechten

De drie punten A, C en D liggen juist in één vlak. Teken een rechte door A en D. De combinatie ‘drie punten A, C en D’ is omgevormd tot de combinatie ‘een punt C en de rechte AD’.

Teken een tweede rechte, door C en A. De combinatie ‘drie punten A, C en D’ is omgevormd tot de combinatie ‘twee snijdende rechten AD en AC’.

Besluit :

Een vlak bepalen

Een vlak is eenduidig bepaald door :

a drie niet-collineaire punten ;

b twee evenwijdige (niet samenvallende) rechten ;

c een rechte en een punt niet op die rechte gelegen ;

d twee snijdende rechten.

Naamgeving voor een vlak.

vlak bepaald door notatie voorstelling

de niet-collineaire punten A, B en C vl(ABC) A B C

de snijdende rechten a en b vl(a , b ) C b

de rechte a en het punt A ∉ a vl(a , A) A a

a

de evenwijdige rechten k en l vl(k , l ) k l

Opmerking :

In een vlak van de ruimte gelden de eigenschappen van de vlakke meetkunde.

Voorbeeld :

Is α een willekeurig vlak, bepaald door een rechte a en een punt A ∉ a , dan geldt: in α bestaat precies één rechte b die A bevat en evenwijdig is met a (axioma van Euclides).

1.2 Onderlinge ligging van rechten en vlakken

1 Onderlinge ligging van twee rechten

Volgens de vlakke meetkunde bestaan in elk vlak de volgende mogelijkheden voor de ligging van twee rechten a en b :

a en b vallen samen en zijn evenwijdig.

b α

Opmerking :

a en b snijden elkaar. S is het snijpunt.

a b S α

a en b zijn evenwijdig (parallel) en vallen niet samen. Ze hebben geen punt gemeenschappelijk : ze zijn strikt evenwijdig

a a ∩ b = a = b a ∩ b = { S} a ∩ b = ∅

a b α

Voor evenwijdigheid van rechten wordt uitdrukkelijk geëist dat die rechten in eenzelfde vlak liggen (notatie : a ⫽ b ).

Mag je uit voorgaande besluiten dat twee rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben, altijd evenwijdig zijn ? Bekijk de rechten a en d op de foto van de container. Ze snijden elkaar niet en zijn ook niet evenwijdig. We noemen a en d kruisende rechten. Ze liggen niet in hetzelfde vlak.

a

We vatten het samen in deze overzichtstabel : Notatie evenwijdige rechten a en b a en b zijn samenvallend. = b a a ∩ b = a = b

d α 16

a b a en b zijn strikt evenwijdig. b a a ∩ b = ∅ a en b zijn coplanair

snijdende rechten a en b

a snijdt b

kruisende rechten a en b

a kruist b

a en b zijn snijdend. Ze hebben juist 1 punt S gemeenschappelijk. S

b a a ∩ b = { S} a en b zijn coplanair

a en b zijn kruisend. Ze zijn niet evenwijdig en hebben geen snijpunt.

a a ∩ b = ∅ a en b zijn niet coplanair

2 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak

Als we een rechte en een vlak beschouwen, dan kunnen we drie situaties onderscheiden :

De rechte en het vlak hebben geen enkel punt gemeenschappelijk, ze zijn evenwijdig.

Besluit :

De rechte en het vlak hebben juist 1 punt gemeenschappelijk.

Ze zijn snijdend.

Voor een rechte a en een vlak α zijn er dus drie mogelijkheden.

➀ De rechte a heeft twee of meer punten gemeen met het vlak α en ligt in α. We zeggen ook dat a evenwijdig is met α en er een deelverzameling van is.

a α en a ∩ α = a ⇐⇒ a ⊂ α

We onthouden de eigenschap :

De rechte ligt volledig in het vlak. Alle punten behoren tot het vlak.

A

Een rechte behoort tot het vlak als en slechts als ze twee punten met dat vlak gemeen heeft.

AB ⊂ α ⇐⇒ A,B ∈ α

➁ De rechte a heeft geen enkel punt gemeen met α.

a is strikt evenwijdig met α

a α en a ∩ α = ∅

➂ De rechte a heeft met het vlak α juist één punt gemeen. De rechte a snijdt het vlak α in het punt S.

a ∩ α = { S}

S is het snijpunt van a met α

Notaties :

a α ⇐⇒ a ⊂ α of a ∩ α = ∅

a α ⇐⇒ a ∩ α = {S}

B α

a α

a S α

a

3 Onderlinge ligging van twee vlakken

Als we gaan tekenen, werken we in het vlak : ons tekenblad, het bord …

In de ruimte kun je werken met meerdere vlakken. In het klaslokaal bijvoorbeeld zijn de muren, de vloer en het plafond delen van verschillende vlakken. Kijk even om je heen en zoek telkens twee vlakken die elkaar snijden.

Wijs de verschillende snijlijnen van die vlakken aan. Normaal zul je wel geen snijlijn vinden tussen de vloer en het plafond. Waarom niet ?

Beschouw de kubus EFGH ABCD

Wat is de snijlijn van het grondvlak (ABCD) met het zijvlak (DHGC) ?

Hebben de vlakken ABCD en EFGH ook een snijlijn?

Twee vlakken snijden elkaar volgens een snijlijn of ze zijn evenwijdig !

Besluit : samenvallend evenwijdig en niet samenvallend snijdend

α = b

α en b zijn evenwijdig en samenvallend.

α ∩ b = α = b

Als twee vlakken α en b drie niet-collineaire punten gemeen hebben, dan vallen ze samen.

Notaties :

α β ⇐⇒ α = β of α ∩ β = ∅

α β ⇐⇒ α ∩ β = d

α b

α en b hebben geen enkel punt gemeen, ze zijn strikt evenwijdig (en dus niet samenvallend).

α ∩ b = ∅

α en b zijn snijdend. De rechte d is de snijlijn van de vlakken.

α ∩ b = d

Twee verschillende vlakken die een punt gemeen hebben, snijden elkaar en hun snijlijn gaat door dat punt.

Gegeven : α ≠ b

A ∈ α ∩ b

Te bewijzen : A ∈ d en d = α ∩ b

Bewijs : Voor de vlakken α en b zijn er 3 mogelijkheden wat betreft de onderlinge ligging.

➀ α ∩ b = α = b

Dat is uitgesloten omdat de vlakken verschillend zijn.

➁ α ⫽ b en α ∩ b = ∅

Dat is uitgesloten omdat A een gemeenschappelijk punt van α en b is.

➂ α ∩ b = d

Deze mogelijkheid blijft over. Het punt A behoort tot α en b, dus A ∈ α ∩ b of : A ∈ d

Hier hebben we een voorbeeld van een bewijs door gevalsonderscheiding. Dat noemen we ook een exhaustiebewijs of een bewijs door uitputting.

4 Constructie van de snijlijn van twee vlakken

Om de snijlijn van twee vlakken te construeren, zoeken we twee verschillende punten die tot beide vlakken behoren. De rechte die de twee punten verbindt, is de snijlijn van die twee vlakken.

Bepaal de snijlijn van vl( AFG) en vl( BEH).

Het punt P is het snijpunt van de diagonalen [ AF] en [ EB]. Het punt Q is het snijpunt van de diagonalen [ HC] en [ DG]. Beide punten behoren dus tot de vlakken AFG en BEH. De rechte PQ is dus de snijlijn van beide vlakken.

5 Snijpunt van een rechte met een vlak

We willen het snijpunt bepalen van de rechte PQ met het gearceerde vlak.

a De rechte ligt in een zijvlak van de kubus

We bepalen het snijpunt S van PQ met HG.

b De rechte ligt niet in een zijvlak van de kubus

Hiervoor gaan we als volgt te werk :

1 Projecteer PQ loodrecht op het grondvlak (ABCD). Je bekomt AR als beeld.

2 Het gevraagde punt S is het snijpunt van de rechte PQ met AR.

1.3 Evenwijdige stand van rechten en vlakken

1 Evenwijdige rechten - rechte evenwijdig met een vlak

Beschouw de kubus EFGH ABCD

– De rechte BF snijdt het vlak BGD. In welk punt ?

De rechte EA is evenwijdig met de rechte FB.

Zal de rechte EA het vlak BGD snijden ?

– De rechte EH is evenwijdig met de rechte AD van het grondvlak. EH is ook evenwijdig met het grondvlak. Is FH evenwijdig met het grondvlak ?

Zie je in het grondvlak een rechte die evenwijdig is met FH ?

– FB is evenwijdig met HD want BFHD is een rechthoek.

Maar FB is evenwijdig met EA en EA is op zijn beurt evenwijdig met HD.

Mag je algemeen besluiten dat : a ⫽ b en b ⫽ c ⟹ a ⫽ c ?

– Zoek in de kubus een rechte die evenwijdig is met twee snijdende vlakken. Zal de gegeven rechte evenwijdig zijn met de snijlijn van die vlakken ?

eigenschap 1

in woorden :

Als een vlak één van twee evenwijdige rechten snijdt, dan snijdt dat vlak ook de andere rechte. in symbolen : a b en α a en α ∩ a = {A} =⇒ α b

eigenschap 2

in woorden :

Een rechte is evenwijdig met een vlak als ze evenwijdig is met een rechte van dat vlak. in symbolen : a ⊂ α en b a =⇒ b α

We bewijzen de tweede eigenschap door gevalsonderscheiding.

Gegeven : a ⊂ α b ⫽ a

b a

b α

α

Te bewijzen : b α

Bewijs : Er zijn voor b en α twee mogelijkheden (wat betreft hun onderlinge ligging): 1 b snijdt α

Als b α snijdt en b ⫽ a , dan weet je : a snijdt α. (eigenschap 1)

Maar dat is strijdig met het gegeven a ⊂ α. 2 b ⫽ α

a

Die mogelijkheid blijft over. Merk op dat b α de mogelijkheid inhoudt dat b in α ligt.

Gevolg :

Je kunt door een punt oneindig veel rechten tekenen die evenwijdig zijn met een gegeven vlak.

eigenschap 3

in woorden :

Twee rechten, evenwijdig met een derde rechte, zijn onderling evenwijdig. in symbolen :

a ⫽ b en b ⫽ c ⟹ a ⫽ c

eigenschap 4 in woorden :

Als een rechte evenwijdig is met twee snijdende vlakken, dan is ze evenwijdig met de snijlijn van die vlakken. in symbolen :

α ∩ b = d en a ⫽ α en a ⫽ b ⟹ a ⫽ d

a

α b

d

eigenschap 5

Als je door een rechte die evenwijdig is met een vlak α, een vlak aanbrengt dat α snijdt, dan is de snijlijn evenwijdig met de gegeven rechte.

We bewijzen de vijfde eigenschap.

Gegeven : a ⫽ α

a ⊂ b

α ∩ b = d

Te bewijzen : a ⫽ d

Bewijs : a ⫽ α (gegeven)

a ⫽ b (a ⊂ b)

α

a

b d

a is dus evenwijdig met twee snijdende vlakken. Volgens eigenschap 4 is a evenwijdig met de snijlijn van die vlakken. Dus a ⫽ d

2 Evenwijdige vlakken

FG ⫽ vl( ABC) en vl( EFH) ⫽ vl( ABC)

FG ⫽ vl( ABC) maar vl( FGB) ⫽⧵ vl( ABC)

Aan de hand van vorig voorbeeld ontdek je makkelijk dat één rechte van het ene vlak evenwijdig met het andere vlak niet voldoende is voor evenwijdige vlakken.

In de balk EFGH

ABCD onderzoeken we de onderlinge ligging van het vlak EBD en het vlak CHF.

Merk je dat de gekleurde vlakken evenwijdig zijn ?

Bovendien stel je vast dat :

ED ⫽ FC ( EFCD is een parallellogram) ⟹ ED ⫽ vl( CHF)

BD ⫽ FH ( BFHD is een parallellogram) ⟹ BD ⫽ vl( CHF)

eigenschap 6

in woorden :

Als twee snijdende rechten van een vlak evenwijdig zijn met een ander vlak, dan zijn die vlakken evenwijdig. in symbolen :

a ∩ b = {S}

a ⊂ α en b ⊂ α

a β en b β

   =⇒ α β

Gegeven : a ∩ b = { S}

a ⊂ α en b ⊂ α

a ⫽ b en b ⫽ b

Te bewijzen : α ⫽ b

a

α b

S b

Bewijs : Voor α en b zijn er twee mogelijkheden wat hun onderlinge ligging betreft.

1 α snijdt b

We noemen d de snijlijn van α en b : α ∩ b = d .

We passen eigenschap 5 toe.

a ⫽ b en a ⊂ α en α ∩ b = d ⟹ a ⫽ d

b ⫽ b en b ⊂ α en α ∩ b = d ⟹ b ⫽ d

Door het punt S gaan dan twee verschillende rechten a en b , beide evenwijdig met d Dat is onmogelijk wegens het axioma van Euclides.

2 α ⫽ b

Die mogelijkheid blijft over.

Gevolg :

Omdat een rechte evenwijdig is met een vlak als ze evenwijdig is met een rechte van het vlak (zie eigenschap 2), kun je de stelling ook zo noteren : eigenschap 7

in woorden :

Twee vlakken zijn evenwijdig als twee snijdende rechten van het ene vlak evenwijdig zijn met twee snijdende rechten van het andere vlak.

3 Toepassing

Construeer door een punt P een vlak dat evenwijdig is met een gegeven vlak α.

Oplossing : Construeer in α twee snijdende rechten a en b

a ∩ b = { S}

Trek nu door P de rechte c zodat c ⫽ a en de rechte d zodat d ⫽ b .

De rechten c en d vallen niet samen. Waarom ?

Dus zijn c en d snijdende rechten en bepalen ze een vlak b = vl(c , d ).

b is het gevraagde vlak omdat : P ∈ b

b ⫽ α

Bekijken we opnieuw de balk EFGH ABCD

– Welk vlak door het punt E is evenwijdig met het grondvlak ABCD?

Is dat het enige vlak door E dat evenwijdig is met het grondvlak ?

c P d b S α

E H

b a A D

– De rechte EG is evenwijdig met het grondvlak, want EG is evenwijdig met een rechte van het vlak. Met welke rechte ?

– Ook de rechte EK is evenwijdig met het grondvlak, want in het grondvlak kun je een rechte tekenen waarmee EK evenwijdig is. Teken die rechte.

– Wat weet je van de ligging van een willekeurige rechte a door E die evenwijdig is met het grondvlak?

Besluit : eigenschap 8 in woorden :

Door een punt dat niet in een vlak α ligt, bestaat er juist één vlak b dat evenwijdig is met α. Alle rechten door dat punt die evenwijdig zijn met α, liggen in dat evenwijdige vlak b

Gevolgen :

1 Als een vlak één van twee evenwijdige vlakken snijdt, dan snijdt dat vlak ook het andere vlak.

2 Als een rechte één van twee evenwijdige vlakken snijdt, dan snijdt die rechte ook het andere vlak.

a

g a

C

α b

b α b

3 Als een rechte evenwijdig is met een vlak, dan gaat er door die rechte precies één vlak dat evenwijdig is met het gegeven vlak. b α

Laten we een kubus doorzagen zodat er zowel aan de bovenkant als aan de onderkant een snijlijn ontstaat.

Wat kun je dan zeggen over de onderlinge stand van de snijlijnen PQ en RS ? eigenschap 9 in woorden :

De snijlijnen van twee evenwijdige vlakken met een derde vlak zijn evenwijdig. in symbolen :

α ⫽ b en α ∩ γ = a en b ∩ γ = b ⟹ a ⫽ b

Gegeven : α ⫽ b

α ∩ γ = a b ∩ γ = b

Te bewijzen : a ⫽ b

Bewijs : Aangezien a en b in het vlak g liggen, zijn er twee mogelijkheden wat hun onderlinge ligging betreft :

1 a snijdt b

a ∩ b = { S}

S ∈ a ⟹ S ∈ α (want a ⊂ α)

S ∈ b ⟹ S ∈ b (want b ⊂ b )

Dus hebben α en b een punt S gemeen.

Dat is in strijd met het gegeven (α ⫽ b ).

Dus : a snijdt b niet.

2 a ⫽ b

Die mogelijkheid blijft over.

1.4 Samenvatting en oefeningen

1 Samenvatting

• Je weet wanneer een vlak bepaald is en je kunt dat aanduiden en voorstellen.

VLAK BEPAALD DOOR NOTATIE VOORSTELLING

de snijdende rechten a en b vl( a , b )

de niet-collineaire punten A, B en C vl( ABC) A B C A

de rechte a en het punt A ∉ a vl( a , A)

de evenwijdige rechten k en l vl( k , l )

• Je kunt alle mogelijke liggingen weergeven van twee rechten a en b .

A B C A

A B C A

A B C A

C b k l

C b k l

a a

C b k l

a a

C b k l

a a

a a

NOTATIE evenwijdige rechten a en b

a ⫽ b

b

b

b

b

a = b a ∩ b = a = b

a = b

a snijdt b

kruisende rechten a en b

a kruist b

a en b zijn samenvallend. b S

a en b zijn snijdend en dus coplanair.

Ze hebben juist één punt S gemeenschappelijk.

a a a

a = b a ∩ b = { S} a en b zijn coplanair.

a en b zijn kruisend. Ze zijn niet evenwijdig en hebben geen snijpunt.

a ∩ b = ∅ a en b zijn coplanair. snijdende rechten a en b

a a a

b

a = b a ∩ b = ∅ a en b zijn niet coplanair.

a a a

a a a

b S b

a en b zijn strikt evenwijdig en coplanair. b S b

b S b

• Je kunt alle mogelijke liggingen weergeven van een rechte en een vlak.

a is evenwijdig met het vlak α a snijdt het vlak α

• Je kunt alle mogelijke liggingen weergeven van twee vlakken.

a is strikt evenwijdig met α S

het vlak α is evenwijdig met het vlak b het vlak α snijdt het vlak b α = b

is strikt evenwijdig met b

• Je kunt de snijlijn van twee vlakken construeren en het snijpunt van een rechte met een vlak construeren.

• Om de evenwijdigheid van rechten en vlakken te onderzoeken, beschik je over deze negen eigenschappen.

➀ Als een vlak één van twee evenwijdige rechten snijdt, dan snijdt dat vlak ook de andere rechte.

➁ Een rechte is evenwijdig met een vlak als ze evenwijdig is met een rechte van dat vlak.

➂ Twee rechten evenwijdig met een derde rechte zijn onderling evenwijdig.

➃ Als een rechte evenwijdig is met twee snijdende vlakken, dan is ze evenwijdig met de snijlijn van die vlakken.

➄ Als je door een rechte die evenwijdig is met een vlak α, een vlak aanbrengt dat α snijdt, dan is de snijlijn evenwijdig met de gegeven rechte.

➅ Als twee snijdende rechten van een vlak evenwijdig zijn met een ander vlak, dan zijn die vlakken evenwijdig.

➆ Twee vlakken zijn evenwijdig als twee snijdende rechten van het ene vlak evenwijdig zijn met twee snijdende rechten van het andere vlak.

➇ Door een punt dat niet in een vlak α ligt, bestaat er juist één vlak b dat evenwijdig is met α Alle rechten door dat punt die evenwijdig zijn met α, liggen in dat evenwijdige vlak b.

➈ De snijlijnen van twee evenwijdige vlakken met een derde vlak zijn evenwijdig.

• Je weet hoe je door een punt een rechte construeert die evenwijdig is met een vlak.

• Je weet hoe je door een punt een vlak construeert dat evenwijdig is met een gegeven vlak.

2 Oefeningen

In de volgende kubussen zijn telkens twee rechten getekend over de snijlijn van twee zijvlakken. Ga na of die rechten snijdend, evenwijdig of kruisend zijn.

a b c d b b

a a

a a

b b

Teken in volgende balken telkens 2 rechten a en b over de snijlijnen van de zijvlakken heen, zodat …

a a en b snijdend zijn. b a en b kruisend zijn. c a en b evenwijdig zijn.

Zullen de twee getekende rechten door de aangeduide punten elkaar snijden ? Los ook op met ICT. a c

Gegeven : Een balk

K is het midden van [ EF]

L is het midden van [ BF]

Gevraagd : Bepaal de ligging van de rechte HC

t.o.v. CD, BE, KL, EG en EF.

In een balk zijn enkele zijvlak- en lichaamsdiagonalen getekend. Er zijn negen snijpunten aangegeven. Bepaal voor elk snijpunt of het echt of schijnbaar is.

Als de rechten AB en CD kruisend zijn, dan zijn de rechten AD en BC dat ook. Bewijs.

Zal de getekende rechte door de twee aangeduide punten het gekleurde vlak snijden ? Los ook op met ICT. a b c

*

Beschouw de kubus EFGH ABCD .

Bepaal de ligging van de rechten BD, DG, EG, EA, FM en HD t.o.v. het vlak (AFC). Verklaar telkens je antwoord.

Gegeven : Een balk EFGH ABCD

Gevraagd : Onderzoek of de volgende vlakken evenwijdig, samenvallend of snijdend zijn.

Bepaal in het laatste geval ook hun snijlijn.

a vl( EFG) en vl( FB, HD)

b vl( L, AD) en vl( BCD)

c vl( BFHD) en vl( AEGC),

dit zijn 2 diagonaalvlakken

d vl( EH, HD) en vl( BC, CG)

e vl( AEGC) en vl( AEHD)

Beschouw een kubus EFGH ABCD .

X is het midden van [ EF] en Y is het midden van [ EA]. De rechte XY snijdt het grondvlak ( ABCD) in een punt dat buiten het vierkant ABCD ligt.

a Construeer het snijpunt S van de rechte XY met het vl( ABCD).

b Construeer daarna de snijlijn van het vl( XYZ) met het grondvlak ABCD.

Los ook op met ICT.

Gegeven : Zie figuur

Gevraagd : Bepaal het snijpunt S van de rechte BH met het diagonaalvlak ACG.

* 13

12

De rechten a en b zijn kruisend. We nemen A ∈ a en B ∈ b . Bewijs dat vl( a , B) en vl( b , A) snijdend zijn. Welke rechte is de snijlijn ?

Bepaal telkens het snijpunt van de rechte PQ met het gearceerde vlak. Los ook op met ICT.

14

Punten, rechten en vlakken

a Teken de snijlijnen van het parallellepipedum EFGH ABCD met het vlak ADG en noteer in de tabel.

b Welke snijlijnen lopen evenwijdig ?

E

15

A

B C

F G H D

vlak vl( ADG) vl( ABCD) vl( DHGC) vl( AEHD) vl( AEFB) vl( EFGH) vl( BFGC)

Een parallellepipedum is een prisma waarvan het grondvlak een parallellogram is.

Gegeven zijn de vlakken α, b, g en de rechten a en b . Welke van de volgende uitspraken zijn altijd waar ?

Welke zijn soms waar (geef dan een concreet voorbeeld) en welke uitspraken zijn nooit waar ?

Formuleer telkens in woorden wat er staat.

a

α ⫽ b en b ⫽ g ⟹

α ⫽ g

b

a ⫽ α en b ⫽ α ⟹ a ⫽ b

c a ⫽ α en α ⫽ b ⟹ a ⫽ b

d

a ⊂ α en a ⫽ b ⟹

α ⫽ b

f

e

a ⫽ α en a ⫽⧵ b ⟹

α ⫽⧵ b

a ⫽ α en a ⊂ b en α ∩ b = b ⟹ a ⫽ b

g

α ∩ b = d en d ⫽ g ⟹

g ⫽ α en g ⫽ b

Onderzoek of de volgende uitspraken waar of vals zijn.

Tip : maak een schets (bijvoorbeeld in een kubus of een balk) om je redenering te ondersteunen.

a Als een rechte evenwijdig is met een vlak en je trekt door een punt van dat vlak een rechte evenwijdig met de gegeven rechte, dan ligt die tweede rechte in dat vlak.

b Als twee vlakken evenwijdig zijn met een rechte, dan zijn die vlakken evenwijdig.

c Als een rechte evenwijdig is met een vlak, dan is ze evenwijdig met elke rechte van dat vlak.

d Twee vlakken zijn evenwijdig als een rechte van het ene vlak evenwijdig is met het andere vlak.

e Alle rechten die een gegeven rechte a snijden en evenwijdig zijn met een rechte b ( a ⫽⧵ b ) liggen in eenzelfde vlak.

f Als twee snijdende vlakken α en b respectievelijk evenwijdig zijn met twee snijdende vlakken α ′ en b′ , dan zijn hun snijlijnen d en d ′ evenwijdig.

* 18

*

17

Twee kruisende rechten liggen niet in één vlak, want rechten in eenzelfde vlak zijn snijdend of evenwijdig.

In de balk hiernaast zijn AF en DC kruisende rechten.

a In welke twee evenwijdige vlakken liggen

AF en DC ?

b In welke twee evenwijdige vlakken liggen

EG en DC ?

Dat illustreert dat elk paar kruisende rechten verpakt kan worden in twee evenwijdige vlakken.

* 19

Gegeven zijn twee kruisende rechten a en b Construeer een vlak α door a en een vlak b door b zodat α ⫽ b. Los ook op met ICT.

In deze figuur verdeelt het vlak PQR de balk in twee delen. Waar snijdt dat vlak de ribbe CG ?

EFGH

ABCD is een afgeknotte piramide.

a Construeer het snijpunt van de rechte DF met het vlak AEGC.

b Construeer het snijpunt van de rechte DH met het vlak AEGC.

Bepaal het snijpunt van PQ met vl(EFG). Controleer met ICT.

Drie kubussen hebben twee aan twee een ribbe gemeen zoals in de figuur.

Dat bouwwerk wordt gesneden door het vlak bepaald door de drie aangeduide punten.

Wat is de vorm van de doorsnede van het bouwwerk met dat vlak ?

Een blokkenbouwsel gevormd met identieke kubusvormige blokken heeft volgend vooraanzicht en rechterzijaanzicht :

(A) (B) (C) (D) (E)

VWO 2023 eerste ronde, vraag 24 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

(A) (B) (C) (D) (E)

VWO 2023 tweede ronde, vraag 28 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Punten, rechten en vlakken

Vectoren en coördinaten in de ruimte

Deze moderne piramide kun je beklimmen in Bottrop (Duitsland). Het is een regelmatig viervlak : een tetraëder (meteen ook de voor de hand liggende naam van dit kunstwerk) met vier gelijkzijdige driehoeken als zijvlakken en ribben van 60 meter lang. Je vindt deze uitkijktoren op een steenberg van zo’n 90 meter hoog die er kwam door de ophoping van steenafval als bijproduct van een naastgelegen steenkoolmijn. Onnodig om te zeggen dat je bovenaan een mooi uitzicht hebt op het Ruhrgebied.

Wil je het zwaartepunt kennen van de tetraëder, geef dan coördinaten aan de hoekpunten, gebruik je kennis over (punt)vectoren en je wandelt er zo naartoe …

Vectoren en coördinaten in de ruimte

2.1

Vectoren in de ruimte

De definities van georiënteerde lijnstukken en van vectoren in het vlak blijven behouden in de ruimte. Een korte herhaling …

1 Het begrip vector

– Een gebonden vector, ook kortweg vector genoemd, is een georiënteerd lijnstuk. De (gebonden) vector −→ AB heeft :

• een beginpunt A en een eindpunt B ;

• een lengte, nl. | AB | ;

• een richting, nl. die van rechte AB ;

• een zin, van A naar B, aangegeven door een pijl. A

– Twee vectoren zijn gelijk als en slechts als ze dezelfde lengte, richting en zin hebben.

– De verzameling van alle (gebonden) vectoren die gelijk zijn aan het georiënteerde lijnstuk −→ AB, noemen we de vrije vector −→ AB:bv. −→ CD, −→ EF, −→ GH.

– Een vertegenwoordiger van de vrije vector −→ AB is een willekeurige (gebonden) vector die gelijk is aan het georiënteerde lijnstuk −→ AB:bv. −→ CD ( −→ CD = −→ AB) A

B C E

D F H G

–−→ AB en −→ BA zijn tegengestelde vectoren. We noteren −→ BA = −→ AB

– De vectoren −→ AA en −→ BB hebben 0 als lengte. We noemen ze daarom nulvectoren. We noteren −→ AA = −→ BB = o

– Vectoren noteren we soms met kleine letters : −→ AB = u , −→ BC = v

– Je hebt al gebruikgemaakt van vectoren in de fysica. Bij welke onderwerpen ?

Vector

B

Het begrip vector komt in primitieve vorm voor het eerst voor bij de Fransman Argand (1768 –1822) in 1806 en bij de Duitser Möbius (1790–1868) in 1827. De Duitser Grassmann (1809 –1877) onderzocht in 1844 de eigenschappen van de bewerkingen met vectoren.

De Engelsman Hamilton (1805 –1865) voerde in 1846 het woord ‘vector’ in. De eerste axiomatische definitie van vectorruimte (1888) is afkomstig van de Italiaan Peano (1858 –1932).

De notatie r , , + is afkomstig (1905) van de Amerikaan Huntington (1874 –1952). Het woord ‘ruimte’ schijnt ingevoerd te zijn geweest (1914) door de Duitser Hausdorff (1868 –1942).

2 Som van vectoren

De som van vectoren in de ruimte wordt gedefinieerd zoals dat eerder gebeurde voor vectoren in het vlak. A

B C

Regel van het parallellogram

B

u v v

Formule van Chasles-Möbius :

−→ AB + −→ BC = −→ AC

Die formule werd in 1827 gevonden door de Duitse wiskundige Möbius (1790 –1868) en in 1852 opnieuw door de Franse wiskundige Chasles (1793 –1880).

A −→ AB + −→ AC = −→ AD

+

u

C D

ABDCiseenparallellogram

De eigenschappen van de optelling van vectoren in het vlak blijven behouden voor vectoren in de ruimte. Dat is vanzelfsprekend voor de eigenschappen waarin hoogstens twee vectoren voorkomen. Dan kunnen we namelijk altijd vertegenwoordigers van die vectoren kiezen die in eenzelfde vlak gelegen zijn.

eigenschappen van , +

1Deoptellingisinwendig.

∀ u , v ∈ : u + v ∈

2Deoptellingiscommutatief.

∀ u , v ∈ : u + v = v + u

3Denulvectorishetneutraalelementvoordeoptelling.

o ∈ , ∀ u ∈ : u + o = o + u = u

4Voordeoptellingishetsymmetrischelementvaneenvectorzijntegengestelde.

∀ u ∈ , ∃−u ∈ : u +( u )=( u )+ u = o

5Deoptellingisassociatief.

∀ u , v , w ∈ : (u + v )+w = u +(v +w )

De vijf eigenschappen kunnen als volgt samengevat worden. , + is een commutatieve groep

Opmerking : ∀ u , v ∈ : u v = u +( v ) v u

–

v –

u v

3 Product van een vector en een reëel getal

De definitie is analoog met die van de vlakke meetkunde : product van een vector met een reëel getal r u (met r ∈ R 0 ) iseenvectorwaarvan:

–delengtegelijkisaan | r |·| u | ; –derichtingdieisvan u ; –dezindezelfdeisalsdievan u als r > 0entegengesteldaandievan u indien r < 0.

u u 2 u 2 –

Afspraken:0 u = o ; r o = o

Eigenschappen

De bewerking die aan elk reëel getal r en aan elke vector u het product r u toevoegt, wordt de scalaire vermenigvuldiging genoemd. Het product r u heet ook het (reëel) veelvoud van u . De eigenschappen van de scalaire vermenigvuldiging in het vlak blijven behouden voor vectoren in de ruimte. eigenschappen van de scalaire vermenigvuldiging

6Hetproductvaneenreëelgetaleneenvectoriseenvector.

∀ r ∈ R , ∀ u ∈ : r u ∈

7Descalairevermenigvuldigingisgemengdassociatief.

∀ r , s ∈ R , ∀ u ∈ : r · ( s · u )=( r · s ) · u

8Descalairevermenigvuldigingisdistributieft.o.v.deoptellingin

∀ r ∈ R , ∀ u , v ∈ : r (u + v )= r u + r v

9Descalairevermenigvuldigingisdistributieft.o.v.deoptellingin R . ∀ r , s ∈ R , ∀ u ∈ : ( r + s ) u = r u + s u

10Hetgetal1ishetneutraalelementvoordescalairevermenigvuldiging.

1 ∈ R , ∀ u ∈ :1 · u = u = u · 1

We hebben de verzameling van de vectoren voorzien van een optelling en een scalaire vermenigvuldiging met tien eigenschappen.

De eerste vijf zijn de eigenschappen van de commutatieve groep , +.

De laatste vijf eigenschappen komen uit de scalaire vermenigvuldiging.

Besluit :

R, , + is een reële vectorruimte

Met deze eigenschappen kunnen we uitdrukkingen met vectoren vereenvoudigen.

Voorbeeld :

2u 4(u v )+ 3(u + v ) 9v = 2u 4u 4( v )+ 3u + 3v 9v

= 2u 4u + 4v + 3u + 3v 9v

=(2u 4u + 3u )+(4v + 3v 9v )

=(2 4 + 3)u +(4 + 3 9)v

= u 2v

4 Ruimte met oorsprong (gepunte ruimte)

We kiezen in de ruimte een willekeurig punt O als oorsprong.

Elk punt P bepaalt nu de vector −→ OP

Notatie : −→ OP = P

P noemen we de plaatsvector of de puntvector van P.

Omdat P volledig bepaald is door het punt P plaats je vaak P in het punt P. In de oorsprong O kun je O plaatsen.

O

P P O

Je stelt het volgende vast :

1 Met elke vector van komt precies één punt van ΣO overeen.

2 Omgekeerd komt ook met elk punt van ΣO precies één vector van overeen.

Merk op dat het invoeren van de gepunte ruimte ΣO op dezelfde manier gebeurt als het invoeren van het gepunte vlak pO.

gepunte ruimte

De ruimte waarin een bevoorrecht punt O is gekozen, noemen we de gepunte ruimte.

Notatie : ΣO

Opmerkingen:

– De elementen van ΣO mogen zowel punten als vectoren genoemd worden. We spreken ook van puntvectoren.

– Het bevoorrecht punt O wordt de oorsprong van ΣO genoemd.

– Door O gaan oneindig veel vlakken. Elk van die vlakken wordt een gepunt vlak met O als oorsprong genoemd.

Nu sommen we de bewerkingen in ΣO op.

Som van puntvectoren

Q Q Q P P P O O + Q P +

P P O + Q P +

Vermenigvuldigen van een puntvector en een reëel getal

Het product r P wordt geconstrueerd zoals in het gepunte vlak of het vlak met oorsprong.

Voorbeeld : O

Taak : toon aan dat de 10 axioma’s van een reële vectorruimte gelden in R,ΣO,+

Verschil van puntvectoren

Beschouw de vector −→ AB in de ruimte met oorsprong O.

Dan geldt :

−→ AB = −→ AO + −→ OB(Chasles-Möbius)

−→ AB = OB OA(tegengesteldevectoren)

−→ AB = B A

Dezeuitdrukkinggeefthetverbandweertussendevector −→ ABendepuntvectoren Aen B.

In de ruimte met oorsprong O is een vector gelijk aan het verschil van de plaatsvectoren van zijn eindpunt en zijn beginpunt.

Toepassing :

Bewijs dat voor vier willekeurige punten A, B, C en D geldt :

−→ AB + CD = −→ AD + CB.

We kiezen een oorsprong O.

De te bewijzen gelijkheid is nu :

B A + D C = D A + B C

Deze gelijkheid is dus waar.

Taak : bewijs deze eigenschap opnieuw door de formule van Chasles-Möbius toe te passen.

2.2 Coördinaten in de ruimte

1 Assenstelsel – ijk

Door een punt O beschouwen we drie rechten x , y en z , die niet in eenzelfde vlak liggen.

We ijken nu die rechten. Dat betekent dat we op elke rechte twee punten nemen die we merken als 0 en 1.

Het getal 0 plaatsen we voor elk van die rechten in het punt O.

Het getal 1 plaatsen we respectievelijk in de punten E1, E2 en E3, die niet samenvallen met het punt O en die respectievelijk op x , y en z worden genomen.

De rechten x , y en z zijn nu geijkte rechten, respectievelijk de x -as, de y -as en de z -as. We noemen die assen ook de coördinaatassen

De coördinaatvlakken zijn het xy -vlak, het yz -vlak en het zx -vlak. De drie assen samen vormen een willekeurig assenstelsel met oorsprong O ; dat wordt ook een affien assenstelsel genoemd. Het geordend puntenviertal ( O, E1, E2, E3) noemen we een ijk van de ruimte. We spreken dan ook van een geijkte ruimte.

Staan de assen x , y en z twee aan twee loodrecht op elkaar, dan spreken we van een rechthoekig assenstelsel.

Is bovendien | OE1 | = | OE2 | = | OE3 | = 1, dan is het assenstelsel orthonormaal of georthonormeerd of cartesiaans. E2

E3 O E1

z y x

Een orthonormaal assenstelsel tekenen we doorgaans op dezelfde manier als een eenheidskubus.

Opmerking :

Bij een affien assenstelsel kan de eenheid per coördinaatas verschillend zijn.

2 Coördinaat van een punt

Coördinaatsystemen in een plat vlak werken met twee coördinaatgetallen. Een punt van een vlak kunnen we bepalen door een koppel reële getallen (koppels van R2).

Voor punten in de ruimte heb je drie coördinaatgetallen nodig. We willen nu aantonen hoe we, met behulp van een assenstelsel ( xyz ) punten van de ruimte kunnen associëren met drietallen (drietallen van R3).

We beschouwen een assenstelsel ( xyz ) met oorsprong O.

We noemen het punt P′ de projectie van het punt P op het xy -vlak volgens de richting van de z -as.

We construeren nu de volgende punten :

P1 is de projectie van P′ op x volgens de richting van y

P2 is de projectie van P′ op y volgens de richting van x .

P3 is de projectie van P op z volgens de richting van OP′

We stellen x = abs( P1) op de x -as

y = abs( P2) op de y -as

z = abs( P3) op de z -as

( x , y , z ) noemen we de coördinaat van P t.o.v. het assenstelsel ( xyz ). We noteren : co( P) = ( x , y , z ) of P( x , y , z )

Merk op : ( x , y , z ) ∈ R3 z x

D(0, 0, 4)

G(3, 0, 4)

C(3, 0, 0)

O(0, 0, 0)

In bovenstaande figuur geldt

F( 3, 7, 4) of co( F) = ( 3, 7, 4)

F(3, 7, 4)

E(0, 7, 4)

abs( P1)

lees je als

abscis van het punt P1

B(3, 7, 0)

Verder is O( 0, 0, 0), A( 0, 7, 0), B( 3, 7, 0), C( 3, 0, 0), D( 0, 0, 4), E( 0, 7, 4) en G( 3, 0, 4)

A(0, 7, 0)

y

3 Coördinaat van een puntvector

HetpuntP( x , y , z )bepaaltdevector −→ OP = P.

Wenoemen( x , y , z )ookdecoördinaatvandepuntvector P.

Wenoterenco( P) = ( x , y , z )of P( x , y , z )

Dus:co( P) = co(P)

E3 E2 E1 O

x

P3 P2 P1

P (x, y, z)

1 y x

1 y

z z 1 P′

Ergeldtvooreenwillekeurigevector P:

P = P + P3

P = P1 + P2 + P3

P = x · E1 + y · E2 + z · E3

Besluit :

co ( P )= co (P)=( x , y , z )

P = x E1 + y E2 + z E3

Devector P ( x , y , z ) kangeschrevenwordenalseenlineairecombinatievandevectoren E1 (1,0,0), E2 (0,1,0) en E3 (0,0,1).Wezeggendat Pof −→ OPontbondenisvolgensderichtingenvandeassen.Devectoren E1 , E2 en E3 worden eenheidsvectoren of basisvectoren genoemd.

4 Coördinaat van een som van puntvectoren en van een veelvoud van een puntvector

BeschouwdepuntenP( x 1 , y1 , z 1 )enQ( x 2 , y2 , z 2 ).

ConstrueerRzodat R = P + QenconstrueerSzodat S = k P.

Dangeldt:

co ( P )=( x 1 , y1 , z 1 )=⇒ P = x 1 E1 + y1 E2 + z 1 E3

co (Q)=( x 2 , y2 , z 2 )=⇒ Q = x 2 E1 + y2 E2 + z 2 E3

Dus:

R = P + Q

= ( x 1 + x 2 )E1 + ( y1 + y2 )E2 + ( z 1 + z 2 )E3

Hieruitvolgt:

co ( R )=( x 1 + x 2 , y1 + y2 , z 1 + z 2 )

=( x 1 , y1 , z 1 )+( x 2 , y2 , z 2 )

= co ( P )+ co (Q)

Besluit:

co ( P + Q)= co ( P )+ co (Q) (1)

Gevolgen :

Dangeldt:

S = k ( x 1 E1 + y1 E2 + z 1 E3 )

= kx 1 E1 + ky1 E2 + kz 1 E3

Dus:

co ( S )=(kx 1 , ky1 , kz 1 )

= k · ( x 1 , y1 , z 1 )

= k co ( P )

Besluit:

co (k P )= k co ( P ) (2)

1Uit (1) en (2) volgt:co (k P + m Q)= k co ( P )+ m co (Q)(k , m ∈ R )

Voorbeeld:uitco ( P )=( 1,2, 3) enco (Q)=(3,1,0) en R = 3 P 2Qvolgt:

co ( R )= 3 co ( P ) 2 co (Q)

=( 3,6, 9) (6,2,0)=( 9,4, 9)

Devector k · P + m · Qnoemenweeenlineairecombinatievandevectoren Pen Q.Decoördinaatvan eenlineairecombinatievanvectoreniseenlineairecombinatievandecoördinatenvandievectoren.

2Coördinaatvaneenvector −→ AB

Uit −→ AB = B Avolgt:co ( −→ AB)= co ( B ) co ( A )

Voorbeeld:co ( A )=(1, 2,3) enco ( B )=( 2,3,0)=⇒ co ( −→ AB)= co ( B ) co ( A )

=( 2,3,0) (1, 2,3)=( 3,5, 3)

Zo ontstaat een meetkunde die werkt met de coördinaten van punten : de zogenaamde analytische meetkunde van de ruimte

2.3 Toepassingen

1 Midden van een lijnstuk

a Puntvector van het midden van een lijnstuk

In een ruimte met oorsprong geldt : M is het midden van [ AB]

Een mooie toepassing van deze formule vind je in de volgende eigenschap :

De diagonalen van een parallellepipedum hebben hetzelfde midden.

We kiezen het hoekpunt A als oorsprong van de ruimte. E E

We vinden telkens dezelfde puntvector. Dit gemeenschappelijke midden van de vier ruimtediagonalen noemen we het middelpunt M van het parallellepipedum.

b Coördinaat van het midden van een lijnstuk

T.o.v. een willekeurig assenstelsel ( xyz ) zijn de punten A( x 1, y 1, z 1) en B( x 2, y 2, z 2) gegeven.

Als M het midden is van [ AB], dan geldt het volgende.

Coördinaat van het midden van een lijnstuk :

Voorbeeld :

A( –4, 7, 2) en B( –6, 1, –8) en M is het midden van [ AB] ⟹ M( –5, 4, –3)

2 Zwaartepunt van een driehoek

a Puntvector van het zwaartepunt van een driehoek

In een ruimte met willekeurige oorsprong O geldt :

Z is het zwaartepunt van DABC

−→ AZ = 2 3 · −→ AM

b Coördinaat van het zwaartepunt van een driehoek

T.o.v. een willekeurig assenstelsel ( xyz ) zijn de punten A( x 1, y 1, z 1), B( x 2, y 2, z 2) en C( x 3, y 3, z 3) gegeven.

Coördinaat van het zwaartepunt van een driehoek :

Voorbeeld :

2, –1, 5), B( 4, –2, 1), C( 3, 2, –6) en Z is het zwaartepunt van DABC ⟹ Z 3, 1 3 ,0

3 Zwaartepunt van een viervlak

a Puntvector van het zwaartepunt van een viervlak

De rechte die door een hoekpunt van een viervlak en door het zwaartepunt van het overstaande zijvlak gaat, noemen we een zwaartelijn van het viervlak.

Een viervlak ABCD heeft vier zwaartelijnen : AZ1, BZ2, CZ3, DZ4. Hierbij zijn Z1, Z2, Z3 en Z4 de zwaartepunten van respectievelijk DBCD, DACD, DABD en DABC.

We tonen aan dat de vier zwaartelijnen van het viervlak ABCD elkaar snijden in een punt Z dat bepaald is door

Z = A + B + C + D

4 t.o.v. een willekeurige oorsprong O.

Bewijs :

Neem P op [ AZ1] zodat :

−→ AP = 3 −→ PZ1

P A = 3(Z1 P )

4 P = A + 3Z1

Z1 ishetzwaartepuntvan ∆BCD,dus Z1 = B + C + D 3

4 P = A + B + C + D

P = A + B + C + D 4

Op [ BZ2] nemen we Q zodat :

−→ BQ = 3 −−→ QZ2

Q B = 3(Z2 Q)

4Q = B + 3Z2

Z2 ishetzwaartepuntvan ∆ACD,dus Z2 = A + C + D 3

4Q = B + A + C + D

Q = A + B + C + D 4

A

ZogeldtookvoordepuntenRenSoprespectievelijk [CZ3 ] en [DZ4 ] dat −→ CR = 3 −−→ RZ3 en −→ DS = 3 −→ SZ4 :

R = S = A + B + C + D 4

Besluit:

De punten P, Q, R en S vallen samen in het punt Z dat bepaald is door de puntvector

Z = A + B + C + D 4

DevierzwaartelijnenAZ1 ,BZ2 ,CZ3 enDZ4 gaandusdooreenzelfdepuntZdatwehetzwaartepunt vanhetviervlaknoemen.MerkopdatvoorZookgeldt: −→ AZ = 3 −→ ZZ1 ; −→ BZ = 3 −→ ZZ2 ; −→ CZ = 3 −→ ZZ3 ; DZ = 3 −→ ZZ4 .

b Coördinaat van het zwaartepunt van een viervlak

T.o.v. een willekeurig assenstelsel ( xyz ) zijn de punten A( x 1, y 1, z 1), B( x 2, y 2, z 2), C( x 3, y 3, z 3) en D( x 4, y 4, z 4) gegeven.

Coördinaat van het zwaartepunt van een viervlak : Z x 1

Voorbeeld :

A( 2, –1, –4), B( –1, 5, 0), C( –1, 1, –4), D( 4, –1, 8) zijn de vier hoekpunten van het viervlak ABCD

Z is het zwaartepunt van het viervlak ABCD ⟹ Z( 1, 1, 0) z

Z is het zwaartepunt van het viervlak ABCD

Z = 1 4 A + B + C + D

co ( Z )= 1 4 co ( A )+ co ( B )+ co ( C )+ co (D) Z

2.4 Samenvatting en oefeningen

1 Samenvatting

• Je kent de betekenis van de begrippen die horen bij een vector : beginpunt, eindpunt, lengte, richting en zin.

• Je weet hoe je vectoren kunt optellen en hoe je een vector kunt vermenigvuldigen met een reëel getal.

• Je weet dat de verzameling van de vectoren een reële vectorruimte is, omdat in de volgende eigenschappen gelden.

1Deoptellingisinwendig.

∀ u , v ∈ : u + v ∈

2Deoptellingiscommutatief.

∀ u , v ∈ : u + v = v + u

3Denulvectorishetneutraalelementvoordeoptelling.

o ∈ , ∀ u ∈ : u + o = u = o + u

4Voordeoptellingishetsymmetrischelementvaneenvectorzijntegengestelde.

∀ u ∈ , ∃−u ∈ : u +( u )= o =( u )+ u

5Deoptellingisassociatief.

∀ u , v , w ∈ : ( u + v )+ w = u +( v +w )

6Hetproductvaneenreëelgetaleneenvectoriseenvector.

∀ r ∈ R , ∀ u ∈ : r u ∈

7Descalairevermenigvuldigingisgemengdassociatief.

∀ r , s ∈ R , ∀ u ∈ : r ( s u )=( r s ) u

8Descalairevermenigvuldigingisdistributieft.o.v.deoptellingin . ∀ r ∈ R , ∀ u , v ∈ : r · ( u + v )= r · u + r · v

9Descalairevermenigvuldigingisdistributieft.o.v.deoptellingin R . ∀ r , s ∈ R , ∀ u ∈ : ( r + s ) · u = r · u + s · u

10Hetgetal1ishetneutraalelementvoordescalairevermenigvuldiging.

1 ∈ R , ∀ u ∈ :1 u = u = u 1

• Je weet dat de ruimte waarin een bevoorrecht punt O gekozen is, een ruimte met oorsprong of een gepunte ruimte wordt genoemd.

Notatie : ΣO

Eigenschap : R,ΣO,+ is een reële vectorruimte

• Je weet wat een plaatsvector is : P is een plaatsvector of puntvector ⟺ −→ OP = P . Omdat plaatsvectoren, op de notatie na, gewone vectoren zijn, werken we met plaatsvectoren zoals met vectoren.

• Je weet dat in een ruimte met oorsprong O geldt : −→ AB = B A

• Je kent de volgende formules.

–PuntvectorvanhetmiddenMvan [AB]

–PuntvectorvanhetzwaartepuntZvan ∆ABC

–PuntvectorvanhetzwaartepuntZvaneenviervlakABCD

• Je kent de eigenschap van het zwaartepunt van een driehoek en een viervlak.

driehoek viervlak

• Je kent de verschillende soorten assenstelsels : willekeurig (affien), rechthoekig en georthonormeerd.

• Je weet hoe je de coördinaat van een punt en van een puntvector kunt bepalen t.o.v. een assenstelsel.

co ( P )= co (P)=( x , y , z ) ⇐⇒

metco (E1 )=(1,0,0)

co (E2 )=(0,1,0)

co (E3 )=(0,0,1)

• Je kent de volgende formules.

coördinaat van het midden M van een lijnstuk [ AB] met A( x 1, y 1, z 1) en B( x 2, y 2, z 2)

M x 1 + x 2 2 , y1 + y2 2 , z 1 + z 2 2

coördinaat van het zwaartepunt Z van een driehoek ABC met A( x 1, y 1, z 1), B( x 2, y 2, z 2) en C( x 3, y 3, z 3)

Z x 1 + x 2 + x 3 3 , y1 + y2 + y3 3 , z 1 + z 2 + z 3 3

coördinaat van het zwaartepunt Z van een viervlak ABCD met A( x 1, y 1, z 1), B( x 2, y 2, z 2), C( x 3, y 3, z 3) en D( x 4, y 4, z 4)

Z x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 , y1 + y2 + y3 + y4 4 , z 1 + z 2 + z 3 + z

2 Oefeningen

In een viervlak ABCD is M het midden van [ AB] en N is het midden van [ CD]

aBewijs: −−→ MN = 1 2 −→ AC + −→ BD = 1 2 −→ BC + −→ AD

bToonnuaan: −−→ MN = 1 4 −→ AC + −→ BC + −→ AD + −→ BD

EFGH

ABCD iseenparallellepipedum.Toonaan:

a −→ AB + −→ AD + −→ AE = −→ AG b −→ AC + −→ FH = 2 −→ BC

Bewijs de volgende uitspraak.

Vier punten A, B, C en D, niet alle op één rechte gelegen, vormen een parallellogram.

A B + C D = O

Voor een scheve vierhoek ABCD beschouwen we de punten P, Q, R en S zodanig dat

−→ AP = 1 2 −→ AB; −→ CQ = 1 2 −→ CB; −→ CR = 1 2 −→ CD; −→ AS = 1 2 −→ AD

Bewijs dat PQRS een parallellogram is. Gebruik hiervoor de eigenschap uit oefening 3.

M en N zijn de middens van twee overstaande ribben van een viervlak ABCD. Toon aan m.b.v. vectoren dat het midden van [ MN] het zwaartepunt van het viervlak is. Los ook op met ICT.

Als Z het zwaartepunt is van D ABC, dan geldt : −→ AZ + −→ BZ + −→ CZ = O . Bewijs. Illustreer dit ook met ICT.

Als Z het zwaartepunt is van het viervlak ABCD, dan geldt : −→ AZ = 1 4 −→ AB + −→ AC + −→ AD . Bewijs. Illustreer dit ook met ICT.

Bewijs dat voor 4 willekeurige punten A, B, C en D geldt :

a 4 −→ AB + 3 −→ DA + 5 −→ CD = 7 −→ CA 2 −→ CB + 2 −→ BD

b −→ CA + −→ CD 2 −→ CB + −→ AB = −→ BD

In een affien assenstelsel zijn de punten A( 3, 0, 0), B( 0, –2, 0) en C( 0, 0, 4) gegeven. Construeer het parallellepipedum waarvan [ OA], [ OB] en [ OC] drie ribben zijn en noteer de coördinaten van de hoekpunten.

In dit orthonormaal assenstelsel

staat een regelmatige piramide TOABC.

De lengte van alle ribben is zes eenheden.

De top T ligt loodrecht boven het midden van het grondvlak OABC.

Bepaal de coördinaten van de punten

A, B, C en T.

Gegeven is de ijk ( O, E1, E2, E3)

a Bepaal de coördinaten van de punten A, B en C als

A = 2 E1 3 E2 + 7 E3

B = 3 E2 + 5 E3

−→ OC = 3 −−→ OE1 2 −−→ OE2 −−→ OE3

bNoteer Dalseenlineairecombinatievan E1 , E2 en E3 alsco (D)= 3, 5, 1 2 .

In een geijkte ruimte zijn deze punten gegeven : A( 2, 0, –1), B( 1, 2, 1) en C( 0, 0, 7)

Bepaal de coördinaten van P, Q en R waarvoor geldt :

a −→ PA = 3 −→ PB

b −→ AQ 3 −→ QB = O

c −→ AR + −→ BR + 2 −→ CR = O

Los ook op met ICT.

In een geijkte ruimte worden vijf punten A, B, C, D en E gegeven.

Bepaal k , l , m ∈ R zodat E het zwaartepunt van het viervlak ABCD is.

A( 2k , 6, 2m – 2); B( 2m + 2l , 2k , 2l ); C( 2m , 4l , 2m + 2k ); D( 6m – 2, 4m , –2m ); E( 2m , 2k , 2k + 4m )

T.o.v. een affien assenstelsel ( xyz ) heb je de punten A( 4, 2, 6), B( –2, –2, 4), C( 4, –2, 2) en D( –4, –6, 8)

a Bepaal de coördinaten van de zwaartepunten Z1, Z2, Z3 en Z4 van de zijvlakken van het viervlak ABCD.

Bereken de coördinaat van het zwaartepunt Z van het viervlak ABCD en ga na of Z ook het zwaartepunt is van het viervlak Z1Z2Z3Z4

b M en N zijn de middens van de overstaande ribben AB en CD van het viervlak ABCD.

Toon aan dat het midden van [ MN] het zwaartepunt van het viervlak is.

T.o.v. de ijk ( O, E1, E2, E3) geldt : co(A) = (–2, 3, – 4)

Bepaal co(A) t.o.v. de ijk (O, E′1, E′2, E′3) als

E1 = E1 + E2 + E3 ; E2 = E1 + 2 E3 en E3 = E3

In een geijkte ruimte zijn de punten A( 2, 1, –1), B( –1, 2, –5) en C( 4, –1, –3) gegeven. Bepaal de coördinaat van D als ABCD een parallellogram is. Los ook op met ICT.

Hint :

Druk uit : ABCD is een parallellogram ⟺ −→ AB = −→ DC of gebruik oefening 3.

Bij het opstijgen beweegt een vliegtuig zich met constante snelheid op een rechte lijn. Op een bepaald ogenblik bevindt het vliegtuig zich in het punt A( –2, 3, 2), een minuut later bevindt het zich in B( – 6, 5, 6). Alle coördinaatgetallen zijn in km gegeven.

a Bepaal de coördinaten van het vliegtuig 30 seconden (C), 45 seconden (D) en 60 seconden (E) nadat het zich in B bevindt.

b Een ander vliegtuig stijgt op vanuit oorsprong O met dezelfde snelheid en volgens dezelfde richting en zin van het vorige vliegtuig. Wat is de coördinaat van de positie (F) van het vliegtuig anderhalve minuut na het opstijgen ?

c Stel de posities A, B, C, D, E en F voor op een tekening en controleer of −→ OF = −→ AC

Vectoren en coördinaten in de ruimte 2

Vergelijkingen van rechten en vlakken 3

Ken je de betekenis van een punt, een vlak en een rechte ?

Dan is het tijd voor een nieuw begrip : de vlakkenwaaier.

Een vlakkenwaaier is een verzameling van alle vlakken die door een bepaalde rechte gaan. Op de foto (een draaiend kaartindexsysteem) is die rechte niet zichtbaar en zal je die wellicht niet op deze bladzijde kunnen vinden. Hoe kun je de rechte dan terugvinden ? En lukt het je ook om de vergelijking van zo’n vlakkenwaaier op te stellen ?

Vergelijkingen van rechten en vlakken

3.1

3.2

3.1

Vergelijkingen van een rechte

1 Richtingsvector van een rechte

We veronderstellen dat een assenstelsel ( xyz ) met oorsprong O gegeven is. Beschouw de rechte r en noem r0 de rechte door O en evenwijdig met r

richtingsvector

Een richtingsvector van de rechte r is een willekeurige van nul verschillende puntvector R van de rechte r0, die door de oorsprong en evenwijdig met r wordt getrokken.

Symbolen :

R (= O) iseenrichtingsvectorvan r

R = −→ OR OR r r0 r R ∈ r0

De richting van een rechte in de ruimte kan vastgelegd worden met richtingsvectoren.

Gevolgen :

1 Ren Szijntweerichtingsvectorenvan r .

R,S ∈ r0

R = k S (k ∈ R 0 )

Dus:tweerichtingsvectorenvaneenrechtezijngelijkopeenevenredigheidsfactorna.

2 Evenwijdige rechten hebben dezelfde richtingsvectoren.

3 Richtingsvector van een rechte s , bepaald door twee punten P en Q. P Q s s0 ⫽ s

Q P

Uit de nevenstaande figuur blijkt dat Q P een richtingsvector is van de rechte PQ.

2 Richtingsgetallen van een rechte

De richtingsvector R van de rechte r uit vorige bladzijde is t.o.v. de ijk ( O, E1, E2, E3) ondubbelzinnig bepaald door zijn coördinaat ( a , b , c )

co( R ) = ( a , b , c ) met ¬( a = b = c = 0) noemen we een stel richtingsgetallen van r .

richtingsgetallen van een rechte

De coördinaat van een richtingsvector van een rechte r noemen we een stel richtingsgetallen van r

Omdat twee richtingsvectoren van een rechte gelijk zijn op een evenredigheidsfactor na, geldt dat ook voor twee stellen richtingsgetallen van een rechte.

Riseenrichtingsvectorvan r metco ( R )=(a , b , c )

Siseenrichtingsvectorvan r metco ( S )=(a , b , c )

Dan geldt :

R = k Smet k ∈ R 0

co ( R )= k co ( S )

(a , b , c )= k · (a , b , c )

Besluit :

De stellen richtingsgetallen van een rechte zijn bepaald op een evenredigheidsfactor na.

Voorbeelden :

– Een stel richtingsgetallen van x en van alle evenwijdigen met x is ( 1, 0, 0) want E1 = ( 1, 0, 0) is een richtingsvector van x .

– Een stel richtingsgetallen van r ⫽ y is ( 0, 1, 0)

– Een stel richtingsgetallen van r ⫽ z is ( 0, 0, 1)

– Een stel richtingsgetallen van een rechte s bepaald door twee punten P( x 1, y 1, z 1) en Q( x 2, y 2, z 2) is ( x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1)

Want −→ PQ = Q P is een richtingsvector van s en dus geldt

co ( −→ PQ)= co (Q) co ( P )=( x 2 x 1 , y2 y1 , z 2 z 1 )

Zo heeft de rechte door P( 16, 2, 7) en Q( –5, 9, –7)

als stel richtingsgetallen ( –21, 7, –14) of ( 3, –1, 2)

3 Evenwijdige rechten

Veronderstel dat ( a 1, b 1, c 1) een stel richtingsgetallen is van de rechte e en ( a 2, b 2, c 2) een stel richtingsgetallen is van de rechte f

Dan zijn E (a 1 , b1 , c 1 ) en F (a 2 , b2 , c 2 ) richtingsvectoren van e respectievelijk f .

= k E (k ∈ R 0

(a 2 , b2 , c 2 )= k (a 1 , b1 , c 1 )

Bijgevolg :

evenwijdige rechten

Twee rechten zijn evenwijdig als en slechts als hun stellen richtingsgetallen evenredig zijn. in symbolen :

e ⫽ f ⟺ a 2 = k a 1 en b 2 = k b 1 en c 2 = k c 1 ( k ∈ R0)

Als de getallen a 2, b 2 en c 2 verschillend van nul zijn, dan kunnen we noteren :

e f ⇐⇒ a 1 a 2 = b1 b2 = c 1 c 2

Voorbeeld :

T.o.v. een willekeurige ijk zijn gegeven :

A( 2, 1, –1); B( –1, 2, –5); C( 4, –1, –3); D( 7, –2, 1)

Ga na of de rechten AB en CD evenwijdig zijn.

( –3, 1, –4) is een stel richtingsgetallen van de rechte AB.

( 3, –1, 4) is een stel richtingsgetallen van de rechte CD.

Omdat ( –3, 1, –4) = –1 ( 3, –1, 4), geldt : AB ⫽ CD.

4 Vergelijkingen van een rechte met een gegeven richting door een punt

Vectoriële vergelijking van een rechte

We beschouwen de rechte r die door het punt P1( x 1, y 1, z 1) gaat en R ( a , b , c ) als richtingsvector heeft.

P is een willekeurig punt op r en S is het punt op r 0 zodat OP1 ⫽ SP.

Dangeldt: P = P1 + Sen S = k · R

of: P = P1 + k · R

Dat is een vectoriële vergelijking van de rechte r

z 0 1 1 1 x y r0 r O R = k R S P1 P

Stelsel parametervergelijkingen van een rechte

We stellen een redenering op waarbij we uitgaan van een vectoriële vergelijking van de rechte r .

P ( x , y , z ) ∈ R

⇐⇒ P = P1 + k R (k ∈ R )

⇐⇒ co ( P )= co (P1 )+ k co ( R )(k ∈ R )

x = x 1 + k a

⇐⇒

x y z





=  

+ k 

 a b c



(k ∈ R ) (1)

We noemen dit stelsel een stelsel parametervergelijkingen of een parametervoorstelling of parametrische vergelijking van de rechte r .

Die formules geven de coördinaat van elk punt van r met behulp van de parameter k . Bij elke waarde van k hoort een punt van r en omgekeerd. Willen we nagaan of een punt op een gegeven rechte ligt, dan kan de parametervoorstelling ook gebruikt worden. Het is echter eenvoudiger om te werken met vergelijkingen waarin rechtstreeks het verband tussen de coördinaatgetallen x , y en z van de punten van de rechte gegeven wordt.

Stelsel cartesische vergelijkingen van een rechte

We veronderstellen dat de richtingsgetallen a , b , c verschillen van nul. Uitgaand van (1) vinden we dan na eliminatie van de parameter k :

x x 1 a = y y1 b = z z 1 c (2)

Die formules noemen we een stelsel cartesische (of cartesiaanse) vergelijkingen van de rechte r . We hebben ze gevonden door de voorwaarden op te stellen waaraan de coördinaatgetallen van een punt P( x , y , z ) moeten voldoen opdat het punt op de rechte zou liggen. In die voorwaarden komt de parameter k niet meer voor. We zeggen dat we k uit de parametervergelijkingen hebben geëlimineerd.

Besluit :

De rechte door het punt P1( x 1, y 1, z 1) en met stel richtingsgetallen ( a , b , c ) waarbij a , b , c ∈ R0 heeft als stelsel cartesiaanse vergelijkingen x x 1 a = y y1 b = z z 1 c

Voorbeeld

Een raket wordt gevolgd op een radarscherm. Op het scherm wordt op elk moment de positie van de raket weergegeven.

Op het tijdstip t = 0 bevindt de raket zich in het punt A( 5, 10, 15). Per tijdseenheid verplaatst hij zich volgens de vector ( 1, 1, 2).

a Geef een stelsel parametervergelijkingen van de baan van de raket.

b Bereken de coördinaten van de plaatsen waar de raket zich bevindt op de tijdstippen t = 2 en t = 5.

c Waar was de raket op het tijdstip t = –5 ?

d Geef een stelsel cartesiaanse vergelijkingen van de baan van de raket.

e Reken uit of de raket het punt E( 25, 30, 53) bereikt .

Oplossing :

a r ↔ 

b t = 2 : de raket bevindt zich in het punt B( 7, 12, 19)

t = 5 : de raket bevindt zich in het punt C( 10, 15, 25)

c t = –5 : de raket bevond zich in het punt D( 0, 5, 5)

d r ↔ x 5 = y 10 = z 15 2

e E( 25, 30, 53) ∈ r ?

25 5 = 30 10 = 53 15 2 ,dusE / ∈ r

Jekuntditookaantonenmetbehulpvandeparametervoorstellingvan r ,wanterbestaatgeenwaarde

voor t waarvoorgeldt:

© NASA | Kevin O’Conell & Kevin Day

Opmerkingen

1 Merk op dat je voor een rechte geen cartesische vergelijking krijgt, maar een stelsel van twee eerstegraadsvergelijkingen in x , y en z

2 Bij overgang van (1) naar (2) hebben we verondersteld dat de richtingsgetallen a , b en c alle drie verschillen van nul. Ook als een of twee van de richtingsgetallen a , b , c nul zijn, kun je uit het stelsel parametervergelijkingen een stelsel cartesische vergelijkingen afleiden.

– Is bijvoorbeeld a = 0, b ≠ 0 en c ≠ 0, dan volgt uit (1) :



x = x 1

y = y1 + k · b

z = z 1 + k · c

  

x = x 1

y y1 b = z z 1 c

Merk op dat in dit geval de rechte evenwijdig is met het yz -vlak.

– Is bijvoorbeeld a = b = 0 en c ≠ 0, dan volgt uit (1) :

x = x 1

y = y1

z = z 1 + k c

x = x 1 y = y1

In dat geval is de rechte evenwijdig met de z -as.

Voorbeeld 1 :

Zoek de cartesische vergelijkingen van de rechte r door P( 1, –2, 3) en met de richtingsgetallen ( 1, –2, 0)

Oplossing :

Besluit: r ←→ 2 x + y = 0

Voorbeeld 2 :

Zoek de cartesische vergelijkingen van de rechte r door P( 5, 1, 6) en met richtingsgetallen ( 2, 0, 0).

Oplossing

Besluit: r ←→

5 Vergelijkingen van een rechte door twee punten

We beschouwen de rechte r waarvan de verschillende punten P1( x 1, y 1, z 1) en P2( x 2, y 2, z 2) gegeven zijn.

We weten dat ( x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1) een stel richtingsgetallen is van r , want P2 P1 is een richtingsvector van de rechte P1P2

Uit punt 4 volgt dan :

Vectoriële vergelijking van r

P = P1 + k (P2 P1 ) (k ∈ R )

Parametervoorstelling van r

puntrichtingsvector

Stelsel cartesische vergelijkingen van r

Opmerking :

Als x 1 = x 2 of y 1 = y 2 of z 1 = z 2, dan kunnen we toch een stelsel cartesische vergelijkingen voor de rechte opstellen. We werken dan zoals bij opmerking 2 van punt 4.

Voorbeeld :

Zoek de cartesische vergelijkingen van de rechte door P1( –2, 5, 2) en P2( 4, –1, 1)

Oplossing :

of:P1 P2 ↔

Taak : toon aan dat je voor de coördinaatassen de volgende stelsels cartesische vergelijkingen bekomt.

6 Onderlinge ligging van twee rechten algebraïsch bepalen

De onderlinge ligging van twee rechten werd al behandeld op blz. 16. Er zijn vier mogelijkheden :

Notatie evenwijdige rechten

a en b zijn samenvallend.

a en b

a ⫽ b

snijdende rechten

a en b

a snijdt b

a ∩ b = a = b

a en b zijn snijdend en dus coplanair.

Ze hebben juist één punt S gemeenschappelijk.

b

b

b

b

S

a kruist b

a en b zijn kruisend. Ze zijn niet evenwijdig en hebben geen snijpunt.

Beschouw de rechten a en b

a ↔

b ↔

u 1 x + v1 y + w 1 z + t 1 = 0

u 2 x + v2 y + w 2 z + t 2 = 0

u 1 x + v1 y + w 1 z + t 1 = 0

u 2 x + v2 y + w 2 z + t 2 = 0

Dan geldt :

S( x 0 , y0 , z 0 ) ∈ a ∩ b

u 1 x 0 + v1 y0 + w 1 z 0 + t 1 = 0

u

u

( x 0 , y0 , z 0 ) iseenoplossingvanhetstelsel

Dus :

u 1 x + v1 y + w 1 z + t 1 = 0

u 2 x + v2 y + w 2 z + t 2 = 0

u 1 x + v1 y + w 1 z + t 1 = 0

u

a en b zijn strikt evenwijdig en coplanair. S b

b

b

b

a ∩ b = ∅ a en b zijn coplanair

b

a ∩ b = { S} a en b zijn coplanair kruisende rechten a en b

a = b a a a

a = b a a a

a = b a a a

a = b a a a a ∩ b = ∅ a en b zijn niet coplanair

b

S b

S b

We gaan deze situatie vanuit een algebraïsch standpunt bekijken.

Om de gemeenschappelijke punten van twee rechten te bepalen, lossen we het stelsel van hun vergelijkingen op. De oplossingen zijn de coördinaten van de gemeenschappelijke punten.

Voorbeeld :

Gegeven :

Gevraagd :

Onderzoek de onderlinge ligging van die rechten.

Oplossing :

Een stel richtingsgetallen van a is ( 3, –7, 5). Een stel richtingsgetallen van b is ( 2, 2, 1).

– De rechten a en b zijn niet evenwijdig, want hun richtingsgetallen zijn niet evenredig.

– De gemeenschappelijke punten van a en b worden gegeven door het stelsel



7 x + 3 y 29 = 0

5 y + 7 z 18 = 0

x y 7 = 0



y 2 z + 10 = 0

x = 5 y = 2 z = 4

Dus : a ∩ b = { S} met co( S) = ( 5, –2, 4)

– De gemeenschappelijke punten van b en c worden gegeven door het stelsel



x y 7 = 0

y 2 z + 10 = 0



x y + 1 = 0



y 2 z 3 = 0

Omdat r ( Ab ) = 3 > r ( A) = 2 is het stelsel strijdig.

Dus b ∩ c = ∅

Omdat ( –4, –4, –2) = –2( 2, 2, 1) geldt dat b ⫽ c

Aangezien S( 5, –2, 4) van b geen punt is van c (ga dit na !) vallen b en c niet samen.

– De gemeenschappelijke punten van a en c worden gegeven door het stelsel



7 x + 3 y 29 = 0

5 y + 7 z 18 = 0

x y + 1 = 0

y 2 z 3 = 0

Omdat r ( Ab ) = 4 > r ( A) = 3 is het stelsel strijdig.

Dus a ∩ c = ∅

Omdat a en c blijkbaar niet evenwijdig zijn, geldt dus : a en c zijn kruisend.

Opmerking :

Het eventuele snijpunt van twee rechten kun je ook vinden met behulp van de parametervoorstelling van een van de rechten.

We hernemen de rechten a en b uit het vorige voorbeeld.

7 x + 3 y 29 = 0

a

5 y + 7 z 18 = 0

7 x + 3 y 29 = 0

5 y + 7 z 18 = 0

x = 5 + 2k

y = 2 + 2k

a ∩ b = {S} metco(S)=(5, 2,4)

7(5 + 2k )+ 3( 2 + 2k ) 29 = 0

5( 2 + 2k )+ 7(4 + k ) 18 = 0

x = 5 + 2k y = 2 + 2k

Controle met GeoGebra :

7 Samenvatting

P ( x , y , z ) ∈ R

• Je kunt de vergelijkingen bepalen van een rechte bepaald door een punt P1( x 1, y 1, z 1) en een richtingsvector R ( a , b , c )

Vectoriële vergelijking :

Parametervoorstelling :

⇐⇒ P = P1 + k · R (k ∈ R )

P = P 1 + k R (k ∈ R )

⇐⇒ co ( P )= co (P1 )+ k · co ( R )(k ∈ R ) ⇐⇒    

x = x 1 + k · a y = y1 + k · b

  

z = z 1 + k · c

of    x y z

   =    x 1 y1 z 1

   + k ·    a b c

   (k ∈ R ) (1)

puntrichtingsvector

Stelsel cartesische vergelijkingen : x x 1 a = y y1 b = z z 1 c (a , b , c ∈ R 0 )

• Je kunt de vergelijkingen bepalen van een rechte bepaald door twee punten P1( x 1, y 1, z 1) en P2( x 2, y 2, z 2)

Vectoriële vergelijking : P = P 1 + k · ( P 2 P 1 )(k ∈ R )

Parametervoorstelling :       

x = x 1 + k ( x 2 x 1 )

y = y1 + k ( y2 y1 )

z = z 1 + k ( z 2 z 1 ) of   x y z

  =   x 1 y1 z 1

  + k   x 2 x 1 y2 y1 z 2 z 1



Stelsel cartesische vergelijkingen : x x 1 x 2 x 1 = y y1 y2 y1 = z z 1 z 2 z 1 ( x 1 = x 2 , y1 = y2 , z 1 = z 2 )

Vergelijkingen van de assen :

x -as : y = z = 0

y -as : x = z = 0

z -as : x = y = 0

8 Oefeningen

Als in de oefeningen sprake is van coördinaten, dan zijn die bepaald t.o.v. een willekeurige (affiene) ijk ( O, E1, E2, E3)

Bepaal een stel richtingsgetallen van de volgende rechten als ( xyz ) een gegeven assenstelsel is.

a z -as e b met b c en c ↔ x 1 2 = 2 y 3 = z

b a met a y f d ↔ x + y + z = 6 3 x y = 9

cOAmetA( 10,2) g e met e vlak x , z

dPQmetP(1,2,3) enQ(4,4,4)

Onderzoek of de rechten AB en CD evenwijdig zijn, als :

a A( 2, 1, –1) ; B( –1, 2, –5); C( 4, –1, –3); D( 7,–2, 1)

b A( 1, 2, 3) ; B( 4, 5, 6); C( 3, 2, 1); D( 6, 5, 4)

c A( 0, 0, 2) ; B( –2, 0, 0); C( 0, –1, 0); D( –1, –1, 1)

In een geijkte ruimte is de rechte k ↔ x 2 = y 3 2 = z + 1 gegeven.

a Geef de coördinaat van het punt P van k met als eerste coördinaatgetal 2.

b Bepaal de coördinaat van het snijpunt S van k en het vlak x, z .

c Schrijf een parametervoorstelling van k .

d Onderzoek met behulp van de cartesische vergelijkingen en de parametervoorstelling van k of het punt D 5,8, 7 2 tot de rechte k behoort.

Los dit ook op met ICT.

Beschouw drie puntvectoren A, Ben C die niet coplanair zijn met O. Stel een vectoriële vergelijking op van :

a de rechte AC.

b de rechte door B en evenwijdig met AC.

c de rechte OA.

d de rechte door het midden van [ AB] en evenwijdig met BC.

e het vlak ABC.

f het vlak door B en evenwijdig met het vlak OAC.

g het vlak door Q en door de middens van de lijnstukken [ AB] en [ BC].

h het vlak door de rechte OA en evenwijdig met de rechte BC.

Depuntvectoren Ren Szijnlineaironafhankelijk.

Webeschouwendevectoriëlevergelijking P = P 1 + k R + m S (k , m ∈ R ).

NoteerdeverzamelingdiewordtbeschrevendoorPals:

a k = 1en m ∈ R b P 1 = 2 R

Beschouw het hiernaast afgebeelde parallellepipedum.

a Bewijs vectorieel dat de zwaartepunten van het viervlak OABC, het viervlak ODGE, de driehoek ABC en de driehoek DGE alle op de rechte OF liggen.

Welk zwaartepunt valt samen met het middelpunt van het parallellepipedum ?

b Bepaal de vectoriële vergelijkingen van de vlakken ABC en DGE en bewijs dat die vlakken evenwijdig zijn.

c k + m = 1

Noteereenparametervoorstellingeneenstelselvergelijkingenvanderechte:

adoorP (1, 1,0) enmetrichtingsvector R (0,1, 2).

bdoorP 1 (1,2, 3) enP2 (1, 2,3).

cdoorP ( 3,4,5) enevenwijdigmet z .

ddoorP ( 1,3,1) enevenwijdigmet

edoorP (1,4, 2) enevenwijdigmet

Los dit ook op met ICT.

Gegeven in een geijkte ruimte : A( 2, 7, –1) ; B( 6, –1, –3); C( 1, 3, –2).

a Toon aan dat deze punten een driehoek vormen.

b Bepaal de cartesische vergelijkingen van de zwaartelijnen van de driehoek ABC.

c Verifieer dat de drie zwaartelijnen concurrent zijn.

In een geijkte ruimte geven we de stelsels vergelijkingen van twee rechten e en f . Onderzoek of e en f evenwijdig, snijdend of kruisend zijn. Bepaal het eventuele snijpunt. Los ook op met ICT.

10 11 12 13 14

Gegeven : Derechten a ↔ x = y 1 = 1 z en b ↔ x + 3 2 = y 1 = z HetpuntC (3,1, 2)

Gevraagd :

a Toon aan dat de rechten a en b kruisend zijn.

b Noteer een parametervoorstelling van de rechten a en b .

c Zoek een punt A op a en een punt B op b zodat de rechte AB evenwijdig is met de rechte OC.

Voor welke waarden van p ( ∈ R) zijn de rechten

e ↔ 3 x z = 0

x + 2 y + 1 = 0

f ↔ y + z 1 = 0

x + z + p = 0

a snijdend ?

b kruisend ?

c evenwijdig ?

Voor welke waarden van p ( ∈ R) zijn de rechten

e ↔

3 x + 2 y 1 = 0

y + 3 z 2 = 0

f ↔ x 3 2 = y + 4 p = z 2

a snijdend ?

b kruisend ?

c evenwijdig ?

Gegeven :

A (1, 2,3)

B (1,1,1)

C (2, 1,1)

D (3,3, 5)

E (3,0,3)

P ∈ OA

Q ∈ BC

PQ DE

Gevraagd : co( P) en co( Q) Los ook op met ICT.

Gegeven :

A (7,1,0)

B ( 3, 4,5)

C (3, 4, 1)

D ( 2,1,9)

AB ∩ CD = {E}

E ∈ r en r l

Gevraagd : Een stel cartesische vergelijkingen van r

15 16

Gegeven :

A (2, 1,5)

B (3,7, 2)

C (1,0,3)

D (4,3,0)

18

Eishetzwaartepuntvan ∆ABC. Fishetzwaartepuntvan ∆ABD.

Gevraagd : co( S) met { S} = DE ∩ CF

Gegeven :

e ↔ x 1 2 = 6 y = z 4 3

P (3,...,...) ∈ e

Q (...,3,...) ∈ e

P ishetspiegelbeeldvanPomde z -as.

Q ishetspiegelbeeldvanQomhet xy -vlak.

Gevraagd : Een stel cartesische vergelijkingen van de rechte P′Q′

Gegeven :

x = 2 + k

e ↔

y = 3k

z = 5 k

Gevraagd :

a Een parametervoorstelling van het spiegelbeeld van e om de y -as

b Een parametervoorstelling van het spiegelbeeld van e om het xz -vlak Los ook op met ICT.



  

y = 2met t ∈ R

z = 3 t + 2

Welk van onderstaande vectoren is evenwijdig met de rechte r ?

(A) ( 1, –1, 1)

(B) ( 1, 0, 1)

IJkingstoets burgerlijk ingenieur augustus 2020, oefening 3

(C) ( 1, 1, 1)

(D) (1, 2, 1)

19

Gegeven de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel xyz en de punten P(1, 2, 3) en Q(4, 4, 4).



     

y = 2 + 2k

z = 3 + k

beschrijft het lijnstuk [ PQ] als en slechts als de parameter k voldoet aan één van onderstaande voorwaarden. Welke ?

(A) k = 1 (B) k < 1 (C) k > 1 (D) k ∈ [0, 1]

IJkingstoets burgerlijk ingenieur augustus 2019, oefening 1

22

Beschouw de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel xyz en de rechte r beschreven door het stelsel vergelijkingen :

x + z = 3

y + z = 0

Welke van de volgende uitspraken is geldig ?

(A)

Alle punten die voldoen aan de vergelijking

x y = 3 behoren tot de rechte r

(B)

Alle punten van de rechte r voldoen aan

y 2 + z 2 = 2( x 3)2

IJkingstoets burgerlijk ingenieur augustus 2019, oefening 16

(C)

De rechte r bevat juist één punt dat voldoet aan

x y = 3.

(D)

De rechte r bevat juist één punt dat voldoet aan

y 2 + z 2 = 2( x 3)2

Beschouw de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel xyz en de punten A( 2, 2, 4), B( 0, 4, 2), C( 0, 5, 2) en D( 2, 1, 4). Welke van de onderstaande uitspraken is als enige waar ?

(A)

De rechten AB en CD zijn evenwijdig.

(B)

De rechten AB en CD zijn kruisend.

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2019, oefening 6

(C)

De rechten AB en CD snijden elkaar in het punt ( 1, 7, 1)

(D)

De rechten AB en CD snijden elkaar in het punt ( 1, 3, 3)

Gegeven zijn de punten P( 1, 3, 7) en Q( 5, 11, 5) in de driedimensionale ruimte. Welk van de volgende punten ligt op het lijnstuk dat de punten P en Q verbindt ?

(A)

A( 8, 17, 14)

(B)

B( 6, 14, 2)

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2017, oefening 14

23

Gegeven zijn twee rechten a en b in R3 a ↔

Wat is de onderlinge ligging van a en b ?

(A) samenvallend

(B) evenwijdig en niet samenvallend

IJkingstoets burgerlijk ingenieur augustus 2023, oefening 8

(C)

C( 4, 8, 12)

(D)

D( 2, 5, 4)

(C) kruisend

(D) snijdend

3.2 Vergelijkingen van een vlak

1 Richtingsvector van een vlak

Beschouw een vlak α en noem α0 het vlak door O en evenwijdig met α richtingsvector van een vlak in woorden :

Een richtingsvector van het vlak α is een willekeurige, van nul verschillende puntvector R van het vlak α0, dat door de oorsprong evenwijdig met α wordt getrokken.

in symbolen : R (= O) iseenrichtingsvectorvan α

Gevolgen :

1 Evenwijdige vlakken hebben dezelfde richtingsvectoren.

2 Zijn A en B twee punten van α, dan is B A een richtingsvector van α. Verklaar.

Lineair onafhankelijke richtingsvectoren van een vlak

Hetvlak α0 ,datdoorOevenwijdigmet α wordtgetrokken,isvolledigbepaalddoortweevanzijnpuntenRenS, dienietcollineairzijnmetO.

Voordeovereenkomstigepuntvectoren Ren Sgeldt: S = k · R (k ∈ R )

Wenoemendepuntvectoren lineaironafhankelijk.

Tweepuntvectoren Pen Qzijn lineairafhankelijk alsereengetal k bestaatzodat P = k Q.

DanliggenPenQwelopeenrechtedoorO.

Besluit :

Tweelineaironafhankelijkerichtingsvectoren Ren Svan α bepalenhetvlak α0 endusderichtingvan α.

Opmerking :

Als we van een paar richtingsvectoren van α spreken, dan bedoelen we steeds twee lineair onafhankelijke puntvectoren van α0

2 Richtingsgetallen van een vlak

Derichtingsvector Rvanhetvlak α ist.o.v.deijk(O,E1 ,E2 ,E3 )ondubbelzinnigbepaalddoorzijncoördinaat (a 1 , b1 , c 1 ).

Derichtingsvector S = k Rvanhetvlak α ist.o.v.deijk(O,E1 ,E2 ,E3 )ondubbelzinnigbepaalddoorzijn coördinaat(a 2 , b2 , c 2 ).

stel richtingsgetallen

(a 1 , b1 , c 1 ), (a 2 , b2 , c 2 ) iseenverzamelingvantweestellen richtingsgetallen van α alsenslechtsals R (a 1 , b1 , c 1 ), S (a 2 , b2 , c 2 ) eenpaarrichtingsvectorenvan α is.

Omdat S = k · R,geldt: ∀k ∈ R : (a 2 , b2 , c 2 ) = k · (a 1 , b1 , c 1 )

Voorbeelden :

1 Een paar stellen richtingsgetallen van enkele bijzondere vlakken

Vlak α ⫽ vlak yz : {( 0, 1, 0), ( 0, 0, 1)}

Vlak α ⫽ vlak xz : {( 1, 0, 0), ( 0, 0, 1)}

Vlak α ⫽ vlak xy : {( 1, 0, 0), ( 0, 1, 0)}

2 Richtingsvectoren en richtingsgetallen van een vlak bepaald door drie punten Beschouw t.o.v. het assenstelsel ( xyz ) het vlak α, bepaald door de drie niet-collineaire punten P1, P2 en P3 De rechten P1P2 en P1P3 zijn snijdende rechten. De richtingsvectoren P 2 P 1 en P 3 P 1 van die rechte liggen in het vlak α0, het vlak door O en evenwijdig met α, en zijn bovendien lineair onafhankelijk.

Besluit :

ZijnP1 ,P2 enP3 drieniet-collineairepuntenvaneenvlak,danis { P 2 P 1 , P 3 P 1 } eenpaarrichtingsvectorenvandatvlak.

Hieruitvolgt:

P1 ( x 1 , y1 , z 1 ),P2 ( x 2 , y2 , z 2 ) enP3 ( x 3 , y3 , z 3 ) zijnniet-collineairepunten

{( x 2 x 1 , y2 y1 , z 2 z 1 ), ( x 3 x 1 , y3 y1 , z 3 z 1 )} iseenpaarstellenrichtingsgetallenvanhetvlakP1 P2 P3 .

Voorbeeld :

Voor het vlak P1P2P3 met P1( –1, 2, 5), P2( 2, 1, 2) en P3( 0, –1, –3) vinden we zo het volgende paar stellen richtingsgetallen {( 3, –1, –3), ( 1, –3, –8) }.

We mogen natuurlijk de punten in een andere volgorde nemen. Dan krijgen we een ander paar stellen richtingsgetallen van het vlak P1P2P3, bijvoorbeeld {( 3, –1, –3), ( 2, 2, 5) }.

3 Vergelijking van een vlak waarvan een punt en een paar stellen richtingsgetallen gegeven zijn

Vectoriële vergelijking van een vlak

We beschouwen het vlak α waarvan een punt P1( x 1, y 1, z 1) en een paar stellen richtingsgetallen {( a 1, b 1, c 1), ( a 2, b 2, c 2) } gegeven zijn.

Datbetekentdat R (a 1 , b1 , c 1 ) en S (a 2 , b2 , c 2 ) eenpaarrichtingsvectorenvan α vormen.

α isdushetvlakdoorP1 enevenwijdigmet α0 = vl(ORS).

Piseenwillekeurigpuntvan α enP ishetpuntvan α0 zodatOP1 PP

Dangeldt: P = P 1 + P en P = k · R + m · S (k , m ∈ R )

Devectoriëlevergelijkingvanhetvlakisdus P = P 1 + k R + m S (k , m ∈ R )

Parametervoorstelling van een vlak

We gaan uit van een vectoriële vergelijking van het vlak α. P( x , y , z ) ∈ α

⇐⇒ P = P 1 + k R + m S (k , m ∈ R )

⇐⇒ co( P )= co( P 1 )+ k co( R )+ m co( S )(k , m ∈ R )

⇐⇒        x = x 1 + ka 1 + ma 2 y = y1 + kb1 + mb2

z = z 1 + kc 1 + mc 2

of    x y z

   =    x 1 y1 z 1

   + k    a 1 b1 c 1

   + m    a 2 b2 c 2

   (1) (k , m ∈ R )

punt lineair onafhankelijke richtingsvectoren

Cartesische vergelijking van een vlak

Deze formules geven de coördinaat van elk punt van α met behulp van de parameters k en m . Ze vormen een parametervoorstelling van α. We beschouwen het stelsel (1) als een stelsel vergelijkingen in k en m .

(1) :

      

ka 1 + ma 2 = x x 1

kb1 + mb2 = y y1

kc 1 + mc 2 = z z 1

De rang van de coëfficiëntenmatrix A =  

a 1 a 2

b1 b2

c 1 c 2

  is 2 omdat ( a 1, b 1, c 1) en ( a 2, b 2, c 2) lineair onafhankelijk zijn.

Het 3 × 2-stelsel (1) is oplosbaar als de rang van de uitgebreide matrix A b = rang van de coëfficiëntenmatrix A (zie VBTL 5/6 Matrices).

Derangvan A b =  

a 1 a 2 x x 1

b1 b2 y y1

c 1 c 2 z z 1

  moetookgelijkaan2zijn.

a 1 a 2 x x 1

r ( A b )= 2 ⇐⇒

b1 b2 y y1

c 1 c 2 z z 1

= 0

Die betrekking die aangeeft wanneer het stelsel oplosbaar is, noemen we de voorwaarde voor niet-strijdigheid of de co-existentievoorwaarde van het stelsel.

Omdat de onbekenden k en m in zulke voorwaarde niet meer voorkomen, noemen we het opzoeken van de co-existentievoorwaarde ook het elimineren van de onbekenden.

a 1 a 2 x x 1

De determinant

b1 b2 y y1

c 1 c 2 z z 1

In plaats van (1) komt er :

P ( x , y , z ) ∈ α

wordt de eliminant van het stelsel genoemd.

De determinantvergelijkingen die we bekomen na eliminatie van k en m uit (1), zijn de voorwaarden opdat

P( x , y , z ) in α zou liggen, en zijn dus cartesische vergelijkingen van α. De vergelijkingen in een kader zijn de meestgebruikte.

Vergelijkingen

Voorbeeld :

Zoek een vergelijking van het vlak α dat door P( 4, 0, 0) gaat en R (1, 1,0) en S (0,2,1) als richtingsvectoren heeft. α

10 021

xyz 1 4001

1 100 0210

Opmerking :

Je kunt de vergelijking van het vlak α ook als volgt afleiden, zonder gebruik te maken van determinanten.

– Ga uit van het stelsel parametervergelijkingen van het vlak α

– Herleid de uitgebreide matrix

het stelsel ( S ) tot een echelonvorm m.b.v. de spilmethode.

– Haal hieruit de voorwaarde voor de niet-strijdigheid van het stelsel ( S ):

Dat is de gevraagde cartesische vergelijking van het vlak α

4 Vergelijking van een vlak door drie niet-collineaire punten

We beschouwen het vlak α waarvan drie niet-collineaire punten gegeven zijn :

P1( x 1, y 1, z 1), P2( x 2, y 2, z 2), P3( x 3, y 3, z 3)

We weten uit 2 (blz. 76) dat {( x 2 x 1 , y2 y1 , z 2 z 1 ), ( x 3 x 1 , y3 y1 , z 3 z 1 )}

eenpaarstellenrichtingsgetallenvan α zijn, want P 2 P 1 en P 3 P 1 zijntweelineaironafhankelijke richtingsvectorenvan α

Uit 3 volgt dan :

Vectoriële vergelijking van een vlak :

P = P 1 + k ( P 2 P 1 )+ m ( P 3 P 1 )(k , m ∈ R )

Parametervoorstelling van een vlak :

      

x = x 1 + k ( x 2 x 1 )+ m ( x 3 x 1 ) y = y1 + k ( y2 y1 )+ m ( y3 y1 )

z

Cartesische vergelijking van een vlak : xyz 1 x

P1 P2 P3

z y x

O

Gevolg :

Voorwaarde opdat vier punten coplanair zouden zijn.

Beschouw in een geijkte ruimte de punten P1( x 1, y 1, z 1), P2( x 2, y 2, z 2), P3( x 3, y 3, z 3), en P4( x 4, y 4, z 4)

P1 ,P2 ,P3 enP4 zijncoplanair

P1 ∈ vl (P2 P3 P4 ) (

Toepassing :

Vergelijking van een vlak op de assegmenten

Stel : α is een vlak dat de coördinaatassen snijdt in de punten P1( a , 0, 0), P2( 0, b , 0), P3( 0, 0, c),

Een vergelijking van dat vlak is :

xyz 1

a 001

0 b 01

00 c 1

= 0

ontwikkelingnaar K 1

bcx a ( bc cy bz )= 0

bcx + acy + abz abc = 0

abc = 0

x

a + y b + z c = 1

We noemen dit de vergelijking van α op de assegmenten [ OP1], [ OP2], [ OP3] die door het vlak op de assen worden ingesneden.

Die vergelijking is afkomstig (1782) van de Zwitserse wiskundige Euler (1707–1783).

5 Algemene vorm van een cartesische vergelijking van een vlak

In de vorige nummers hebben we van een aantal vlakken een cartesische vergelijking gezocht.

We vonden telkens een vergelijking van de eerste graad in x , y en z .

We kunnen bewijzen :

α iseenvlak

α heefteencartesischevergelijkingvandevorm ux + vy + wz + t = 0

met u , v , w , t ∈ R en ¬( u = v = w = 0)

De homogene parameters u , v , w en t zullen we bepalen door, uit drie gegeven voorwaarden, een homogeen stelsel van drie vergelijkingen in u , v , w en t af te leiden. Dat stelsel kunnen we dan oplossen met ICT.

Voorbeeld 1 :

Bepaal de cartesische vergelijking van het vlak α door de punten P1( 1, –1, 1), P2( 2, –19, –3) en P3( 3, 8, 2)

Oplossing 1

De gevraagde vergelijking is van de vorm ux + vy + wz + t = 0.

• P1 ∈ α ⟺ u – v + w + t = 0

• P2 ∈ α ⟺ 2u – 19v – 3w + t = 0

• P3 ∈ α ⟺ 3u + 8v + 2w + t = 0

We bekomen het stelsel :





u v + w + t = 0



 



2 u 19 v 3 w + t = 0

3 u + 8 v + 2 w + t = 0



u + 1 4 t = 0

v 1 8 t = 0



w + 5 8 t = 0

        



v = 1

w = 5 t = 8

De gevraagde vergelijking van α is 2x – y + 5z – 8 = 0.

1

↔ xyz

Vergelijkingen

Voorbeeld 2 :

Bepaaldecartesischevergelijkingvanhetvlak α datdepuntenP1 ( 1,2,0) enP2 (1,3, 2) bevaten

evenwijdigismetderechte a ↔ x 1

3 = y = z + 1 2

Oplossing :

Degevraagdevergelijkingisvandevorm ux + vy + wz + t = 0.

• P1 ∈ α ⇐⇒− u + 2 v + t = 0

• P2 ∈ α ⇐⇒ u + 3 v 2 w + t = 0

R ( 3,1,2) iseenrichtingsvectorvan α.Datbetekentdat R ∈ α0 .

Eenvergelijkingvan α0 (vlakdoorOenevenwijdigmet α)is ux + vy + wz = 0.

• R ∈ α0 ⇐⇒−3 u + v + 2 w = 0

Webekomenhetvolgendestelsel:

u + 2 v + t = 0

u + 3 v 2 w + t = 0

 



3 u + v + 2 w = 0

u 4 5 w = 0

ICT ⇐⇒

v 2 5 w = 0



t = 0

Hieruitvolgt(alswe w = 5stellen):

u = 4

v = 2

w = 5

t = 0

Degevraagdevergelijkingvan α is4 x + 2 y + 5 z = 0.

Taak : toon aan dat je hetzelfde resultaat bekomt door uit te gaan van de determinantvergelijking van het vlak α (zie 2).

6 Bijzondere vlakken

Vlak yz : x = 0

Vlak zx : y = 0

Vlak xy : z = 0

Vlak door O : ux + vy + wz = 0

Taak : bewijs bovenstaande formules.

vlak α ⫽ vlak yz : x = k

vlak α ⫽ vlak xz : y = k

vlak α ⫽ vlak xy : z = k

7 Onderlinge ligging van twee vlakken

De onderlinge ligging van twee vlakken is al behandeld op blz. 18.

Er zijn drie mogelijkheden :

We gaan die situatie nu vanuit een algebraïsch standpunt bekijken.

In een geijkte ruimte nemen we twee vlakken α en b, bepaald door hun cartesische vergelijkingen

α ↔ u 1 x + v1 y + w 1 z + t 1 = 0

β ↔ u 2 x + v2 y + w 2 z + t 2 = 0

De onderlinge stand van α en b vinden we door op zoek te gaan naar de gemeenschappelijke punten.

De gemeenschappelijke punten van beide vlakken hebben coördinaten die aan beide vergelijkingen voldoen.

Om die gemeenschappelijke punten van α en b te bepalen, moeten we dus het volgende stelsel oplossen :

(S ) u 1 x + v1 y + w 1 z + t 1 = 0

u 2 x + v2 y + w 2 z + t 2 = 0

Dematrixvan (S ) is A = u 1 v1 w 1 u 2 v2 w 2

Weonderscheidentweegevallen: r ( A )= 1en r ( A )= 2,want r ( A )= 0komtnietvoor,omdatvoor α en β geldt: ¬( u 1 = v1 = w 1 = 0) en ¬( u 2 = v2 = w 2 = 0).

Geval 1 : r ( A )= 1 ⇐⇒ u 1 = ku 2 en v1 = kv2 en w 1 = kw 2 (k = 0)

– Als ook t 1 = kt 2, dan zijn de vergelijkingen van α en b gelijk op de evenredigheidsfactor k na. Dat betekent dat α en b samenvallen, het stelsel ( S ) heeft immers ∞2 oplossingen.

Dus: α = β ⇐⇒∃k ∈ R 0 : u 1 = ku 2 en v1 = kv2 en w 1 = kw 2 en t 1 = kt 2

Voorbeeld :

Devlakken α ↔ x 3 y z 2 = 0en β ↔−3 x + 9 y + 3 z + 6 = 0vallensamen.

– Als t 1 ≠ kt 2, dan is ( S ) blijkbaar strijdig.

Voorbeeld :

x 3 y z 2 = 0 3 x 9 y 3 z + 6 = 0 ⇐⇒ x 3 y z = 2 x 3 y z = 2

kan geen oplossing hebben

Inditgevalhebbendevlakken α en β geenenkelpuntgemeenenzijnzeevenwijdigenniet-samenvallend.

Dus: α ∩ β = ∅ ⇐⇒∃k ∈ R 0 : u 1 = ku 2 en v1 = kv2 en w 1 = kw 2 en t 1 = kt 2

Zozijn α ↔ x 3 y z 2 = 0en β ↔ 3 x 9 y 3 z + 6 = 0evenwijdige(niet-samenvallende)vlakken.

Geval 2 : r ( A ) = 2

Wegens het voorgaande hebben α en b in dit geval een snijlijn.

Bijgevolg: α snijdt β ⇐⇒ r u 1 v1 w 1 u 2 v2 w 2 = 2.Hetstelsel (S ) heeft ∞1 oplossingen

Voorbeeld :

Devlakken α ↔ 2 x + y + z 3 = 0en β ↔ x y 2 z + 1 = 0zijnsnijdend, want r 211

1 1 2 = r 



= 2.

Samengevat :

α = β ⇐⇒ ( u 1 , v1 , w 1 , t 1 )= k · ( u 2 , v2 , w 2 , t 2 ) en k = 0

α β (α ∩ β = ∅) ⇐⇒ ( u 1 , v1 , w 1 )= k · ( u 2 , v2 , w 2 ) en t 1 = kt 2

α snijdt β ⇐⇒ ( u 1 , v1 , w 1 ) = k ( u 2 , v2 , w 2 )

Gevolgen :

1 ux + vy + wz + k = 0 ( k ∈ R) stelt een verzameling evenwijdige vlakken voor.

2 α ↔ ux + vy + wz + t = 0

α0 α enO ∈ α0

Dangeldt: α0 ↔ ux + vy + wz = 0

3 In 3 en 4 werd voor een rechte telkens een stelsel van twee eerstegraadsvergelijkingen in x , y , en z gevonden. Dat is nu verklaarbaar. Een eerstegraadsvergelijking in x , y en z stelt een vlak voor. De twee eerstegraadsvergelijkingen in x , y en z stellen dus twee vlakken voor en de rechte treedt op als een snijlijn van die vlakken.

Dus : elke rechte kun je voorstellen door een stelsel

u 1 x + v1 y + w 1 z + t 1 = 0

u 2 x + v2 y + w 2 z + t 2 = 0

met r u 1 v1 w 1 u 2 v2 w 2 = 2

Hieruit volgt dat een rechte niet één stelsel cartesische vergelijkingen heeft, maar oneindig veel. Door immers twee andere vlakken door de rechte te kiezen, krijgen we een ander stelsel vergelijkingen van de rechte.

8 Stel richtingsgetallen van de snijlijn van twee vlakken

Gegevenzijndevlakken

Webeschouweneenrechte d bepaalddoorhetstelsel

d ↔

d isdusdesnijlijnvandevlakken α en β

WebrengendoorOdevlakken α0 α en β0 β aan.

Wenoemen d 0 desnijlijnvan α0 en β0

Dus: d 0 ↔ u 1 x + v1 y + w 1 z = 0

Weweten: d 0 d

Decoördinaatvanelkpuntvan d 0 ,deoorspronguitgezonderd,iseenstelrichtingsgetallenvan d Dusiselkeoplossing,denuloplossinguitgezonderd,vanhethomogene2 × 3-stelsel(S)eenstel richtingsgetallenvanderechte d

InVBTL5/6Matriceswerdaangetoonddatelkeoplossing (a , b , c ) vanditstelselmetderangvande coëfficiëntenmatrixgelijkaan2,gegevenwordtdoor

Eenstelrichtingsgetallen (a ,

Voorbeeld :

–

= 1; 21 1 2 = 5; 21 1 1 = 3

Een stel richtingsgetallen van de rechte d is dus ( 1, –5, 3). (We nemen k = –1.)

– We kunnen de richtingsgetallen van de rechte d natuurlijk ook vinden door het stelsel (S ) 2 x + y + z = 0

y 2 z = 0 op te lossen.

Voor k = 3 vinden we het stel richtingsgetallen ( 1, –5, 3) van de rechte d

9 Vlakkenwaaier

vlakkenwaaier

Een vlakkenwaaier is de verzameling van alle vlakken die door eenzelfde rechte gaan.

α d b

Beschouweenrechte d ↔

Eencartesischevergelijkingvaneenvlakdoor d heeftdegedaante k ( u 1 x + v1 y + w 1 z + t 1 )+ m ( u 2 x + v2 y + w 2 z

t 2 )= 0 (k , m ∈ R ) (1)

Dat is namelijk de vergelijking van een vlak, omdat ze van de eerste graad is in x , y en z .

Bovendien is aan deze vergelijking voldaan voor de coördinaten van de punten van d Alle punten van d liggen dus in dit vlak.

Telkens als k en m andere waarden aannemen, zal (1) een vlak door d voorstellen. We noemen (1) de vergelijking van de vlakkenwaaier door d = α ∩ b

Toepassing :

Inhetvoorbeeldvan5hebbenweaangetoonddat

a ↔ x 2 3 = y 5 7 = z + 1 5 en b ↔ x 4 = y 1 4 = z + 1 2 kruisenderechtenzijn.

Zoekeenstelselcartesischevergelijkingenvanderechte d ,diedoorP(1,1,0) gaaten a en b snijdt.

Oplossing :

De rechte d is de snijlijn van de vlakken α = vl( P, a ) en b = vl( P, b ). Toon dit aan.

α behoortdustotdevlakkenwaaierdoor a

a ↔ x 2 3 = y 5 7 = z + 1 5 of a ↔ 7 x + 3 y 29 = 0 5 y + 7

α ↔ k (7 x + 3 y 29

α ↔ 91 x 56 y 133 z 35 = 0

α ↔ 13 x 8 y 19 z 5 = 0

Bijgevolg : d ↔ 13 x 8 y 19 z 5 = 0

2 x y 2 z 1 = 0

β behoorttotdevlakkenwaaierdoor b

b ↔ x 4 = y 1 4 = z + 1 2 of b ↔

β ↔ k ( x y + 1)+ m ( y 2 z 3)= 0

∈ β ⇐⇒ k 2m = 0

⇒ k = 2en m = 1

β ↔ 2( x y + 1)+( y 2 z 3)= 0

β ↔ 2 x y 2 z 1 = 0

d a B

A P α

y + 1 = 0

2 z 3 = 0

b

10 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak

De onderlinge ligging van een rechte en een vlak is al behandeld op blz. 17. Er zijn drie mogelijkheden :

We gaan die situatie vanuit een algebraïsch standpunt bekijken.

Evenwijdige

stand van een rechte en een vlak

In een affien assenstelsel beschouwen we een rechte d met stel richtingsgetallen ( a , b , c ) en het vlak α met vergelijking ux + vy + wz + t = 0.

We trekken door O de rechte d 0 ⫽ d en het vlak α0 ⫽ α

R (a , b , c ) iseenrichtingsvectorvan d enR ∈ d 0 .

Opmerking :

d α betekent: d ∩ α = ∅ of d ⊂ α d ⊂ α ⇐⇒

Snijpunt van een rechte en een vlak

Wegens het vorige geval hebben we : d snijdt α ⇐⇒ ua + vb + wc = 0

De coördinaat van het snijpunt vinden we door het stelsel gevormd door de vergelijkingen van d en α op te lossen.

Voorbeeld 1 :

Onderzoekdeliggingvanderechte d ↔

1 5 = y 2 = z + 3 4 t.o.v.hetvlak α ↔ 2 x y + 3 z + 7 = 0.

(5, 2, 4) iseenstelrichtingsgetallenvan d

Omdat2 5 1 ( 2)+ 3 ( 4)= 0,geldt: d α.

P (1,0, 3) iseenpuntvan d

OmdatP ∈ α (gaditna!)geldt: d ∩ α = d of d ⊂ α

Voorbeeld 2 :

Onderzoekdeliggingvanderechte d ↔ x 1 5 = y 2 = z + 3 4 t.o.v.hetvlak α ↔ x + 2 y z 9 = 0.

Omdat1 5 + 2 ( 2) 1 ( 4) = 0,geldt: d snijdt α of d ∩ α = {S }

–DecoördinaatvanhetsnijpuntSisdeoplossingvanhetstelsel

Dus: d ∩ α = {S(6, 2, 7)}

–JekuntdecoördinaatvanhetsnijpuntSookberekenendoorhetstelsel,gevormddoordecartesische vergelijkingvan α eneenparametervoorstellingvan d ,optelossen.

VoorhetsnijpuntSgeldtdus:

Bijgevolg:co(S) =(6, 2, 7)

Toepassing : analytisch berekenen van doorsneden

Gegeven:

DepuntenP(6,6,3),Q(3,0,6)enR 6, 9 2 ,6 endekubus EFGH ABCD metribbe6.

Gevraagd :

Bepaal de coördinaten van de hoekpunten van de doorsnede van de kubus met het vlak ( PQR)

Oplossing :

– Om de coördinaten van de hoekpunten van de doorsnede te bepalen, zullen we gebruikmaken van de vergelijking van de ribben en van het vlak PQR.

De doorsnede is een veelhoek waarvan de zijden in de zijvlakken van de kubus liggen. De zijden [ QR] en [ RP], respectievelijk in het boven- en voorvlak van de kubus, kunnen we onmiddellijk tekenen. Alle hoekpunten van de doorsnede liggen op een ribbe van de kubus.

We kunnen de doorsnede vervolledigen door telkens de snijpunten van het vlak ( PQR) met een aantal goed gekozen ribben te berekenen. In het vierde jaar heb je geleerd dat daarbij dikwijls de snijlijn van het gegeven vlak met het grondvlak van de kubus wordt gezocht. Die rechte snijdt BC in het punt S en AD in het punt T.

– We berekenen de coördinaten van S en T.

Parametervoorstelling van het vlak ( PQR):

−→ PR 0, 3 2 ,3 en −→ QR 3, 9 2 ,0 zijnrichtingsvectorenvanhetvlak(PQR)zodat {(0, 1,2), (2,3,0)} eenpaarrichtingsgetallenvanhetvlakvoorstelt.

vl(PQR)↔    

x = 3 + k 0 + m 2

y = 0 + k ( 1)+ m 3

z = 6 + k 2 + m 0

BC ↔ y = 6 z = 0

Invullenin (1) geeft 6 = k + 3m 0 = 6 + 2k

vl(PQR) ∩ BC = {S(5,6,0)}

AD ↔ y = 0

z = 0

Invullenin (1) geeft 0 = k + 3m

vl(PQR) ∩ AD = {T(1,0,0)}

x = 3 + 2m

y = k + 3m (1)

z = 6 + 2k

= 3 m = 1

= 3

De precieze ligging van alle hoekpunten van de doorsnede PSTQR is nu bepaald.

Taak : verklaar de meetkundige constructie van de doorsnede uit de vorige toepassing, die je hieronder afgebeeld ziet.

Opmerking :

De analytische werkwijze kun je gebruiken als het moeilijk wordt om de doorsnede te tekenen. In bepaalde toepassingen wordt de constructie zo ingewikkeld dat we grotendeels op de analytische methode zullen steunen.

11 Analytische bewijzen van meetkundige eigenschappen

Voorbeeld 1 :

Door een punt P gaat er juist één vlak b, evenwijdig met een gegeven vlak α. (zie eigenschap 8 blz. 23)

Bewijs :

BeschouweenpuntP( x 0 , y0 , z 0 ) eneenvlak α ↔ ux + vy + wz + t = 0.

Eenvlak β datevenwijdigismet α heefteenvergelijkingvandevorm: β ↔ ux + vy + wz + k = 0 (k ∈ R )

P ∈ β ⇐⇒ ux 0 + vy0 + wz 0 + k = 0

⇐⇒ k = ux 0 vy0 wz 0

Devergelijkingvandatvlak β is:

β ↔ ux + vy + wz ux 0 vy0 wz 0 = 0

↔ u ( x x 0 )+ v ( y y0 )+ w ( z z 0 )= 0

Omdat k éénwelbepaaldewaardeaanneemt,besluitenwe: erisjuistéénvlakdatdoorPgaatenevenwijdigismet α

Opmerking :

• AlsP ∈ α =⇒ β = α

• AlsP / ∈ α =⇒ β ∩ α = ∅

Voorbeeld 2 :

Beschouwhetparallellepipedum EFGH ABCD

Bewijs analytisch dat :

a vl( ACF) ⫽ vl( DEG);

b de diagonalen elkaar middendoor delen.

c DNFP een parallellogram is als N het midden van [ AE] en P het midden is van [ CG] is.

d het snijpunt van BH met vl( ACF) het zwaartepunt is van DACF.

Oplossing :

Aangezien de ribben van een parallellepipedum in het algemeen niet even lang zijn en niet loodrecht op elkaar staan, wordt een berekening in een orthonormaal assenstelsel vrij omslachtig.

We kiezen daarom een assenstelsel waarbij de assen niet meer loodrecht op elkaar staan, maar de richting van de ribben hebben. De oorsprong kiezen we in B en de eenheden op de assen laten we overeenkomen met de lengte van de ribben. Dergelijk assenstelsel is een affien assenstelsel

Vergelijkingen van rechten en vlakken

a • Een cartesische vergelijking van het vlak ( ACF) is :

x + y + z – 1 = 0 vergelijking van een vlak op de assegmenten (1)

• Een cartesische vergelijking van het vlak (DEG)

Uit de figuur volgt dat co( D) = ( 1, 1, 0); co( E) = (1, 0, 1) en co( G) = ( 0, 1, 1).

vl(DEG) 2 4 ↔

xyz 1 1101 1011 0111

= 0

↔ x + y + z = 2 (2)

Uit (1) en (2) volgtdatvl(ACF) vl(DEG).

b De vier ruimtediagonalen van het parallellepipedum zijn AG, DF, EC en BH.

Uit de figuur volgt dat co(H) = ( 1, 1, 1)

We zoeken de coördinaten van de middens van de diagonalen.

Diagonaal

Hieruit volgt dat de vier diagonalen hetzelfde midden M

c • co( D) = ( 1, 1, 0) en co( N) = 1,0, 1 2 .

Een stel richtingsgetallen van DN is dus 0, 1, 1 2 (1).

• co( P) = 1,0, 1 2 en co( F) = ( 0, 0, 1)

Een stel richtingsgetallen van PF is dus 0, 1, 1 2 (2).

Uit (1) en (2) volgt dat DN ⫽ PF (3).

, 1

, 1 2 hebben en elkaar dus middendoor delen.

Een stel richtingsgetallen van de rechte bepaald door de punten P( x 1, y 1, z 1) en Q( x 2, y 2, z 2) is ( x 2 – x 1, y 2 – y 1, z 2 – z 1)

Op dezelfde manier kunnen we aantonen dat NF ⫽ DP (4).

Uit (3) en (4) volgt dat DNFP een parallellogram is.

d – Een cartesische vergelijking van het vlak ACF is :

x + y + z – 1 = 0 (zie a) (1)

– Een parametervoorstelling van de rechte BH is :

x = 0 + k 1

y = 0 + k 1



z = 0 + k 1 ⇐⇒

x = k y = k z = k (2)

– Het snijpunt van BF en vl( ACF) vinden we door (2) in te vullen in (1) :

k + k + k 1 = 0 ⇐⇒ k = 1 3 zodatS 1 3 , 1 3 , 1 3 hetgevraagdesnijpuntis.

Hetzwaartepuntvan ∆ACFmetA(1,0,0) ;C(0,1,0) enF(0,0,1) is

Z

ZvaltdussamenmetS.

HetsnijpuntvanBFenvl(ACF)ishetzwaartepuntvan ∆ACF.

Cartesische vergelijkingen

Cartesische vergelijkingen van een rechte komen voor het eerst voor bij de Franse wiskundigen Henri Pitot (1695–1771) en Alexis Clairaut (1713–1765) in 1731.

Cartesische vergelijkingen van vlakken vinden we voor het eerst (in 1705) bij de Fransman Antoine Parent (1666–1716). Het is echter zijn landgenoot Monge (1746–1818) die vanaf 1794 systematisch problemen over rechten en vlakken analytisch behandelt.

Gaspard Monge (1746 – 1818)

Gaspard Monge zag het levenslicht op 9 mei 1746 in Beaune (in Frankrijk). Vader Monge, een koopman, liet zijn zoon studeren aan de school van een plaatselijke kloosterorde, waar hij meteen opviel door zijn schitterende resultaten.

Een gedetailleerd stadsplan op schaal van Beaune, dat hij op zestienjarige leeftijd had gemaakt, viel in handen van een officier. Die zorgde ervoor dat Monge werd toegelaten tot de militaire school van Mézières, waar hij zijn wiskundetalent verder ontplooide. De militairen in Mézières bestudeerden grondig verschillende technieken om stellingen te bouwen die hen moesten beschermen tegen vijandelijk vuur. Monge gaf enkele nieuwe, efficiënte oplossingen : hij gebruikte een meetkundig systeem en slaagde erin driedimensionale voorwerpen door projectie eenduidig af te beelden in een tweedimensionaal vlak. Dat was het begin van de beschrijvende meetkunde.

De gevel van het oude gebouw van de École Polytechnique in Parijs (tegenwoordig ligt de school in een van de buitenwijken)

In 1771 werd Monge benoemd tot professor in de wiskunde en de fysica aan de militaire school van Mézières. Zijn resultaten op het gebied van de beschrijvende meetkunde werden beschouwd als militair geheim en waren alleen bestemd voor hogere officieren. Pas in 1794 mocht hij ook aan studenten uit een gewone school lesgeven over de beschrijvende meetkunde.

In 1795 werd onder invloed van onder andere Monge de École Polytechnique opgericht in Parijs (die nu nog steeds bestaat trouwens). In die school werden militaire ingenieurs opgeleid. Monge was er niet alleen directeur maar ook docent wiskunde.

In 1796 werd Napoleon Bonaparte opperbevelhebber van het

Franse leger. Monge werd bevriend met Napoleon en vergezelde hem naar Egypte, Syrië en Italië. Hij kreeg de opdracht om kunstwerken uit de veroverde oorlogsbuit uit te zoeken. Hierdoor verhuisden veel collecties (vooral Italiaanse en Egyptische) naar het Louvre.

Monge kreeg ook belangrijke politieke opdrachten. Hij schreef onder meer een verhandeling over de techniek om kanonnen te gieten en een andere over de productie van staal. Als blijk van waardering kreeg hij de titel van Graaf van Péluse. In 1805 werd hij door Napoleon tot senator benoemd.

De val van Napoleon in 1815 werd ook de ondergang van Monge. Bij de terugkeer van de Bourbons verloor hij al zijn eretitels en werd hij ontzet uit al zijn functies. Die vernedering heeft hij niet lang overleefd. Gaspard Monge stierf in Parijs op 28 juli 1818. Monges naam is vooral verbonden aan de ontdekking en de ontwikkeling van de beschrijvende meetkunde; zijn werk Géométrie descriptive verscheen tussen 1795 en 1799. Hij heeft zich ook verdienstelijk gemaakt op het gebied van fysica en scheikunde. Hij behoorde tot de groep mannen die de samenstelling van water ontdekten (1783–1785). Hij experimenteerde ook op het gebied van de uitzetting van gassen en de capillariteit.

Tot slot vermelden we nog twee belangrijke werken van Monge, die hebben bijgedragen tot de analytische meetkunde in de ruimte : Application de l’algèbre à la géométrie (1805) en Application de l’analyse à la géométrie (1809).

Gaspard Monge

Napoleon in discussie met onder andere Monge

12 Samenvatting

• Vergelijkingen van een vlak bepaald door een punt P1( x 1, y 1, z 1) en twee richtingsvectoren R (a 1 , b1 , c 1 ) en S (a 2 , b2 , c 2 ) :

– Vectoriële vergelijking : P = P 1 + k R + m S (k , m ∈ R )

– Parametervoorstelling :   

x = x 1 + ka 1 + ma 2

y = y1 + kb1 + mb2

z = z 1 + kc 1 + mc 2

– Cartesische vergelijking : xyz 1

x 1 y1 z 1 1 a 1 b1 c 1 0 a 2 b2 c 2 0

= 0of

of   x y z

  =   x 1 y1 z 1

  + k   a 1 b1 c 1

  + m   a 2 b2 c 2

  (k ∈ R )

x x 1 y y1 z z 1 a 1 b1 c 1 a 2 b2 c 2

= 0

• Vergelijking van een vlak bepaald door drie niet-collineaire punten P1, P2 en P3 :

– Vectoriële vergelijking : P = P 1 + k ( P 2 P 1 )+ m ( P 3 P 1 )(k , m ∈ R )

– Parametervoorstelling :   

x = x 1 + k ( x 2 x 1 )+ m ( x 3 x 1 )

y = y1 + k ( y2 y1 )+ m ( y3 y1 )

z = z 1 + k ( z 2 z 1 )+ m ( z 3 z 1 )

– Cartesische vergelijking : xyz 1 x 1 y1 z 1 1

= 0

2 y2 z 2 1 x 3 y3 z 3 1

• Algemene vergelijking van een vlak : ux + vy + wz + t = 0 met ¬( u = v = w = 0)

• Een stel richtingsgetallen ( a , b , c ) van de snijlijn d van twee vlakken α en b : d ↔ u 1 x + v1 y + w 1 z + t 1 = 0 u 2 x + v2 y + w 2 z + t 2 = 0 waarbij r u 1 v1 w 1 u 2 v2 w 2 = 2

wordtgegevendoor a = k v1 w 1 v2 w 2 ; b = k u 1 w 1 u 2 w 2 ; c = k u 1 v1 u 2 v2 (k ∈ R 0 )

• Vergelijking van een vlak op de assegmenten : Het vlak snijdt x , y , z in de punten P1( a , 0, 0): P2( 0, b , 0); P3( 0, 0, c ) x a + y b + z c = 1

• Vergelijking van het xy -vlak : z = 0

het xz -vlak : y = 0

het yz -vlak : x = 0

Vergelijkingen

• Vergelijking van de vlakkenwaaier door d ↔

u 1 x + v1 y + w 1 z + t 1 = 0 u 2 x + v2 y + w 2 z + t 2 = 0

k ( u 1x + v 1y + w 1z + t 1) + m ( u 2x + v 2y + w 2z + t 2) = 0 met k , m ∈ R

• Evenwijdige stand van rechten :

e en f zijn rechten met respectievelijk stellen richtingsgetallen ( a 1, b 1, c 1) en ( a 2, b 2, c 2)

e f ⇐⇒∃k ∈ R 0 : a 2 = k · a 1 en b2 = k · b1 en c 2 = k · c 1

• Evenwijdige stand van vlakken :

α en b zijn vlakken met respectievelijk vergelijkingen u 1x + v 1y + w 1z + t 1 = 0 en u 2x + v 2y + w 2z + t 2 = 0

α β ⇐⇒∃k ∈ R 0 : u 1 = ku 2 en v1 = kv2 en w 1 = kw 2

• Evenwijdige stand van een rechte en een vlak :

d is een rechte met stel richtingsgetallen ( a , b , c ) en α een vlak met vergelijking ux + vy + wz + t = 0.

d α ⇐⇒ ua + vb + wc = 0

Leonhard Euler (1707–1783)

Een van de grootste, productiefste en wellicht ook sympathiekste wiskundigen die ooit geleefd hebben, is onmiskenbaar de Zwitser Leonhard Euler (1707–1783).

Euler werd geboren in Bazel en studeerde er ook aan de universiteit : eerst filosofie, daarna theologie, twee richtingen die hij al achter de kiezen had toen hij nog maar 17 jaar was. Zijn vader, een predikant, was een goede vriend van de wiskundige familie Bernoulli. Op aandringen van Johann Bernoulli (1667–1748), toen toch een van Europa’s belangrijkste wiskundigen, mocht Euler ook wiskunde studeren.

Toen hij achttien was, publiceerde hij zijn eerste wiskundige bijdrage, een verhandeling over het aanbrengen van masten op (zeil)schepen. In 1727 vertrok Euler, op vraag van Catharina I (keizerin van Rusland) naar Sint-Petersburg om daar adjunct-professor te worden aan de universiteit. In 1741 werd hij professor in de wiskunde aan de universiteit van Berlijn, waar hij tot in 1766 verbleef. Daarna trok hij terug naar Sint-Petersburg, waar hij woonde tot aan zijn dood.

Euler was zowel belangrijk voor de wiskunde als voor de fysica, de mechanica en de astronomie. Het tempo waaraan hij schreef was ongezien, het aantal publicaties tijdens zijn leven (van boeken tot artikels en papers) staat volgens de meeste bronnen op 866 … In de wiskunde voerde hij een reeks eenvoudige notaties in, zoals f(x) voor een functievoorschrift. Ook lag hij aan de basis van de zogenaamde functie van Euler, het getal e en de rechte van Euler. Beroemd bleef ook zijn formule : eix = cos x + i sin x.

2 3 4 5 6

13 Oefeningen

Bepaal een parametervoorstelling en een cartesische vergelijking van het vlak :

a door P( 2, –1, 1) en evenwijdig met het vlak xz.

b door P( 0, –1, 2) en met richtingsvectoren R ( 1, –1, 0) en S ( 0, 1, –1)

c door P1( 1, –1, 0), P2( 1, 0, –1) en P3( 0, 1, –1)

d door P( 1, 3, 5) en de x- as

e door P1( 1, 2, 3) en P2( 1, 1, 0) en evenwijdig met de z -as

f door P( 0, 0, 1) en evenwijdig met de rechten e ↔ 3 x + 2 y z = 6 2 x 2 y + z = 4 en f ↔ x = y = z

Los ook op met ICT.

Bepaal een cartesische vergelijking van het vlak dat door het punt D( 3, 3, 2) gaat en evenwijdig is met het vlak ABC als co( A) = ( 2, 0, 0), co( B) = ( 0, –1, 0) en co( C) = ( 0, 0, 3)

Voor welke k , m ∈ R gaat het vlak met cartesische vergelijking 4x + ky + mz + 12 = 0 door de punten P1( 0, –4, –3) en P2( 1, 2, 7)?

In een geijkte ruimte ligt het vlak α ↔ x 2 y + z + 4 = 0

a Bepaal de verzameling van twee stellen richtingsgetallen van α

b Bepaal de coördinaten van enkele punten van α

c Bepaal het punt van α met een identiek eerste, tweede en derde coördinaatgetal.

Een vlak g omvat de snijlijn d van de vlakken α ↔ x + y + z + 2 = 0en β ↔ x y + 2 z + 1 = 0 en gaat door P( 1, 0, 1)

Bepaal een cartesische vergelijking van g op twee manieren :

a met behulp van een vlakkenwaaier door de rechte d ;

b met behulp van een determinant.

Bewijs dat in een geijkte ruimte het vlak door P1( x 1, y 1, z 1) en P2( x 2, y 2, z 2) en evenwijdig met een rechte met stel richtingsgetallen ( a , b , c ), de volgende vergelijking heeft :

xyz 1 x 1 y1 z 1 1

x 2 y2 z 2 1

= 0

8

Beschouw in een geijkte ruimte een rechte e door P1( x 1, y 1, z 1) en met richtingsvector R ( a 1, b 1, c 1) en een rechte door P2( x 2, y 2, z 2) en met richtingsvector S ( a 2, b 2, c 2). Bewijs :

e en f zijnkruisend ⇐⇒

9

x y z

  = 



1 3 4 

a Hij begint in het punt A als t = 0. Bereken de coördinaat van A. In welk vlak van de balk ligt A ?

b De worm verlaat de balk in het punt B. Op welk tijdstip gebeurt dat ? Bereken de coördinaat van B.

c Bereken de coördinaat van het punt S waar de worm zich door het vlak met vergelijking x – y = 0 heen vreet.

d Laat zien dat de baan van de houtworm uiteindelijk de x -as kruist.

Los ook op met ICT.

Onderzoek of de punten A, B, C en D coplanair zijn.

a A( 2, –1, –2); B( 2, 3, 1); C( 3, –1, 4); D( 7, 1 ,3)

b A( 1, 0, 2); B( 0, 0, 1); C( 0, –1, –2); D( 2, –3, –6)

Los ook op met ICT.

Bepaal k ∈ R zodat de punten A, B, C en D coplanair zijn.

a A( 4, k , 2); B( 0, 6, k ); C( k , 4, k – 2); D( 1, k , 0)

14

Bewijs : als x niet voorkomt in de cartesische vergelijking van een vlak α, dan is α evenwijdig met de x -as.

Onderzoek in de volgende gevallen de onderlinge ligging van de vlakken α en b

a α ↔ x y + z + 3 = 0 β ↔−2 x + 2 y 2 z 3 = 0

b α ↔ 2 x + y z + 2 = 0 β ↔ 4 x 2 y 2 z + 4 = 0

c α ↔ 3 x y + 2 z + 1 = 0 β ↔−9 x + 3 y 6 z 3 = 0

In een geijkte ruimte zijn de volgende vlakken gegeven.

α ↔ kx + 12 y kz + 3k = 0

β ↔ (m + 8) x +(k + 2) y + mz + k + 6 = 0

met k , m ∈ R

Bereken k en m zodat die vlakken evenwijdig zijn. Kunnen ze ook samenvallen ?

Bepaal een parametervoorstelling van de snijlijn van de twee vlakken α en b met respectievelijke cartesische vergelijkingen

α ↔−2 x + y + 3 z 1 = 0en β ↔ x + 3 z 5 = 0

Los ook op met ICT.

15

Onderzoek in de volgende gevallen de onderlinge ligging van de rechte f en het vlak α. Bepaal eventueel de coördinaat van hun snijpunt. Los ook op met ICT.

a α ↔ x 2 y + 3 = 0

b

c

16

In een geijkte ruimte zijn de rechte f en het vlak α gegeven :

α ↔ x 3 y + 2 z 6 = 0en f ↔ x 3 = y 1

aGanaof f α.

bGeefeencartesischevergelijkingvanhetvlak β door f enevenwijdigmet α.

Toonaandatderechten a ↔

3 x + 2 z 8 = 0

x + 2 y 4 z + 16 = 0 en b ↔

een vlak g bepalen en zoek een cartesische vergelijking van dat vlak.

x y z

Vergelijkingen

In een geijkte ruimte zijn de rechte f en het vlak α gegeven.

α ↔ ax + 3 y + bz 8 = 0 (a , b ∈ R ) en f ↔ x 5 = y + b 3 3 = z 6 5

Bereken de getallen a en b zodat de rechte f in het vlak α ligt.

Gegeven : In een geijkte ruimte zijn de rechte f en het vlak α gegeven.

α ↔ 2 x + 3 y z + 6 = 0

f ↔ x + 3 k = y 4 k + 1 = z + 5 2k

Gevraagd : Bepaal k ( ∈ R) zodat f ⫽ α

Beschouw de rechte f ↔

2 x + 3 y + 10 z 13 = 0 y + 2 z 3 = 0

a Noteer een parametervoorstelling van die rechte.

b Bereken de coördinaten van de respectievelijke snijpunten P, Q en R van de rechte f en de coördinaatvlakken yz , zx en xy

Los ook op met ICT.

Bepaal een stelsel cartesische vergelijkingen van de rechte door A en evenwijdig met α en b

A(0, 1,2) α ↔ x + y z + 3 = 0 β ↔− x + y + 2 z 4 = 0

Gegeven : A (2,0, 5)

↔

Gevraagd : Bepaal een cartesische vergelijking van het vlak α door A en evenwijdig met e en f

Gegeven : e ↔ 2 x y = 0

α ↔ x + y 2 z + 5 = 0P( 5,5,0)

a Bepaal de coördinaat van de projectie P′ van P op α volgens de richting van e .

b Bepaal een stelsel cartesische vergelijkingen van de projectie f ′ van f op α volgens de richting van e .

Ineengeijkteruimteisgegeven:A(1,2,3) en f

We noemen A′ het beeld van A en f ′ het beeld van f door de evenwijdige projectie op het vlak xy volgens richting z Bepaal de coördinaat van A′ en een stelsel cartesische vergelijkingen van f ′

Gegeven : e ↔ 2 x 3 y 1 = 0 y 2 z 3 = 0 f ↔ x 2 = y + 1 4 = 2 z 1 6

a Toon aan dat e en f kruisende rechten zijn.

b Bepaal een stelsel cartesische vergelijkingen van de rechte d die e en f snijdt en door O( 0, 0, 0) gaat (zie toepassing blz 87).

c Bepaal de coördinaat van A met { A} = d ∩ e Bepaal ook de coördinaat van B met { B} = d ∩ f

d Bepaal een stelsel cartesische vergelijkingen van de rechte g , die e en f snijdt en die evenwijdig is met de rechte c ↔ x 1 = y 3 = 2 z .

e Bepaal een cartesische vergelijking van het vlak g dat door e gaat en evenwijdig is met f .

Los ook op met ICT.

Bepaal in de volgende gevallen telkens de doorsnede van de drie gegeven vlakken. Los ook op met ICT.

Gevraagd : co( P) en co( Q)

Gegeven : A (4,2, 3) ;B (0, 2,1) ;C (0,2,5) ;D (0, 2,1)

K (7,5,3) ;L ( 1,1,2) ;M (1,2,4)

z = 1

e ↔

x y = 5 f ↔ 6 ( x 4)= 3 ( y 5)= 2 ( z 6)

α = vl (KLM) ; β e ; β f ;O (0,0,0) ∈ β

r = α ∩ β ;P (...,0,...) ∈ AB;Q (0,...,...) ∈ CD;PQ r

Gevraagd : Bepaal de coördinaat van P en de coördinaat van Q.

In een geijkte ruimte zijn de punten A( –3, 4, –2), B( 4, 3, –3) en C( 3, –1, –2) gegeven, alsook het vlak α met

α ↔   x y z

  =   4 1 4   + k ·   0 5 3   + m   2 1 1   (k , m ∈ R )

De punten P en Q behoren respectievelijk tot het vlak α en de rechte BC, zodanig dat de oorsprong O het zwaartepunt van de driehoek APQ is. Bereken de coördinaten van de punten P en Q.

Bewijs analytisch : als een vlak een van twee evenwijdige vlakken snijdt, dan snijdt het ook het andere en de snijlijnen zijn evenwijdig.

Kies het assenstelsel zo dat de berekeningen zo eenvoudig mogelijk blijven.

Bewijs analytisch : als een rechte een van twee evenwijdige vlakken snijdt, dan snijdt ze ook het andere.

Bewijs analytisch dat de middens van de zijden van een scheve vierhoek (vierhoek bepaald door vier niet-coplanaire punten) de hoekpunten van een parallellogram zijn. Illustreer dit ook met ICT.

De lijnstukken die de middens van de overstaande ribben van een viervlak ABCD verbinden, hebben hetzelfde midden. Welk is dat midden ?

Bewijs die eigenschap :

a zuiver meetkundig ;

b met behulp van vectoren ;

c analytisch.

(Tip : plaats het viervlak in een affien assenstelsel met A( 0, 0, 0), B( 4, 0, 0), C( 0, 4, 0) en D( 0, 0, 4)

K iseenkubusmetribbe8.

Tekendedoorsnedevan K methetvlak α als α ↔ 7 x + 2 y + 8 z 64 = 0. Berekendaartoedecoördinatenvandesnijpunten vanderibbenvandekubusmethetvlak α t.o.v. hethiernaastafgebeeldeorthonormaalassenstelsel.

Los ook op met ICT.

D(0, 0, 6)

P(0, 0, 2)

A(0, 0, 0)

B(6, 0, 0)

C(0, 6, 0)

H(0, 0, 8)

G D(0, 8, 0)

B(8, 0, 0) C

Ten opzichte van een affien assenstelsel beschouwen we het viervlak ABCD met A( 0, 0, 0), B( 6, 0, 0), C( 0, 6, 0) en D( 0, 0, 6) We brengen een vlak α aan, evenwijdig met de ribben AC en BD. P( 0, 0, 2) is de doorsnede van α met de ribbe AD.

a Bepaal een cartesische vergelijking van het vlak α, dat door P gaat en evenwijdig is met de ribben AC en BD.

b Bepaal de coördinaten van de snijpunten van het vlak α met de ribben AB, BC en CD.

c Bewijs analytisch dat de doorsnede van α met het viervlak een parallellogram is.

Gegeven zijn de drie vlakken α, b, g in de ruimte.

α ↔ x + my + z = 2m

β ↔ x + y + z = 0 (m ∈ R )

γ ↔ (m + 1) x + my + z = m

a Bepaal een waarde voor m zodat de drie vlakken juist één punt gemeen hebben dat drie gehele coördinaatgetallen heeft. Geef voor elke gevonden waarde van m de coördinaat van het gemeenschappelijke punt.

b Bepaal m zodat de drie vlakken eenzelfde rechte bevatten.

c Bepaal m zodat de drie vlakken geen gemeenschappelijk punt bevatten. Beschrijf dan hoe de vlakken α, b en g gelegen zijn.

Vraag uit de toenmalige toelatingsexamens burgerlijk ingenieur

Gegeven : a ↔ x = 2 y z = 0

Gevraagd :

b ↔ x = 1 y + z = 0

γ ↔ y = 3 4

a Bepaal de rechte c m die de rechten a en b snijdt en die door het punt P( 0, 0, m ) gaat, waarbij m een reëel getal is.

b Bepaal de coördinaat van het snijpunt Sm van de rechte c m met het vlak g

c Bepaal de meetkundige plaats van de snijpunten Sm als het punt P de z -as doorloopt.

d Wat stelt die meetkundige plaats (die een figuur in het vlak g is) voor ?

Vraag uit de toenmalige toelatingsexamens burgerlijk ingenieur

In de driedimensionale ruimte bekijken we het punt P( 1, 2, 0) en het vlak v met vergelijking x + 2y – z = 1.

Voor welk van volgende punten, Ai ( i = 1, 2, 3, 4) snijdt de rechte PAi het vlak v niet ?

(A) A1( 2, 2, 1)

(B) A2( 3, 1, 1)

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2019, oefening 14

(C) A3( –1, 4, 1)

(D) A4( 4, 0, 1)

Gegeven de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel xyz met daarin het vlak v met vergelijking x + y + z = 1 en het vlak w met vergelijking x – y = 0. De rechte l is de doorsnede van de vlakken v en w

De rechte m is de rechte door het punt P( 1, 1, 1), evenwijdig met de rechte l

Welk van de volgende punten ligt op die rechte m ?

(A) A( 0, 0, 0)

(B) B( 0, 0, 1) (C) C( 0, 0, 2) (D) D( 0, 0, 3)

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2018, oefening 6

In de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel xyz beschouwen we het vlak v door het punt ( 1, 0, 0) evenwijdig met het vlak met vergelijking 2x + 3y + z = 0. Welk van onderstaande punten ligt in dat vlak ?

(A) ( 0, 1, –1) (B) ( 0, 1, 0) (C) ( 0, 1, 1) (D) ( 0, 1, 2)

IJkingstoets basiskennis wiskunde handelsingenieur juli 2022, oefening 28

Gegeven de punten P( 2, 0, 0), Q( 0, –3, 0) en R( 0, 0, 6) in de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel xyz . Het vlak v is het vlak door de punten P, Q en R. Welk van de volgende punten ligt in het vlak v ?

(A) A ( 1, 1, 1) (B) B( 1, 1, 2) (C) C( 0, 1, 3) (D) D( 1, 1, 4) (E) E( 1, 1, 5)

Oefenmodules ijkingstoets 2022–2023, faculteit ingenieurswetenschappen KU Leuven, oefening 2.29

Vergelijkingen van rechten en vlakken 3

Ik

Ik

Ik

opstellen door drie niet-collineaire punten.

Ik kan de cartesische vergelijking van een vlak opstellen door drie niet-collineaire punten.

Ik weet wat een vlakkenwaaier is en kan die toepassen.

Ik kan de onderlinge ligging van een rechte en een vlak bepalen : rechte ligt in het vlak, rechte is evenwijdig met het vlak, rechte snijdt het

4 Hoeken tussen rechten en vlakken

Deze kubuswoningen zijn een van de eyecatchers van Rotterdam. Ze werden gebouwd tussen 1982 en 1984 en zijn van de hand van de Nederlandse architect Piet Blom. Het idee dat er gebouwd wordt op kolommen zodat de ruimte onder de bebouwing openbaar kan blijven, is afkomstig van zijn Franse collega Le Corbusier.

Deze woningen zijn gebouwd in de vorm van een kubus waarvan een hoekpunt rust op een paal. Een ervan (de Kijk-Kubus Museumwoning) kun je bezoeken, dan zie je meteen hoe onhandig het is om meubels te plaatsen of een televisie tegen de muur op te hangen. Alle vlakken staan immers erg bizar tegenover elkaar.

Hoeken tussen rechten en vlakken

4.1

4.2

4.3 Analytische behandeling van hoeken tussen rechten en

4.1 Hoeken tussen rechten en vlakken

1 Hoek tussen twee rechten

a Definitie

– Als de rechten a en b snijdend zijn, dan liggen ze in eenzelfde vlak. Uit de vlakke meetkunde weten we dat de hoek van a en b de scherpe of de rechte hoek is die in hun snijpunt wordt gevormd. Als de hoek van a en b recht is, dan zeggen we dat a en b elkaar loodrecht of orthogonaal snijden.

– De hoek van twee evenwijdige rechten is altijd de nulhoek (en dus gelijk aan 0°).

– In de ruimte zijn er ook rechtenparen die noch snijdend, noch evenwijdig zijn, nl. kruisende rechten. Twee kruisende rechten vormen geen hoek, want ze hebben geen snijpunt (hoekpunt). Toch willen we een betekenis geven aan de hoek van twee kruisende rechten : de hoek van twee kruisende rechten bekomen we door een van die rechten te verschuiven (evenwijdig met zichzelf) tot ze de andere rechte snijdt. hoek tussen twee kruisende rechten S

b

a a ′

(a , b )=(a , b ) met a a en a ∩ b = {S}

Doordat (a , b ) 90 ◦ isook (a , b ) 90 ◦

Voorbeeld :

Beschouw de kubus EFGH ABCD met ribben van 6 cm. We berekenen de hoek tussen de kruisende rechten DF en BC.

(DF,BC)=(FD,DA)= FDA DevierhoekAFGDiseenrechthoek.

∆AFDisrechthoekiginA

| AF | kunnenweberekeneninderechthoekigedriehoekAEFmetAEF = 90 ◦

| AF | = | AE |2 + | EF |2 stellingvanPythagoras

= √36 + 36

= √72

= 6√2

InderechthoekigedriehoekAFDgeldt:

tan(FDA)= | AF | | AD |

= 6√2

6

= √2

b Loodrechte stand van twee rechten

loodrechte rechten in woorden : Twee rechten staan loodrecht op elkaar als hun hoek recht is.

in symbolen :

a ⊥ b ⇐⇒ (a , b )= 90 ◦

Als in de ruimte twee rechten loodrecht staan op elkaar, dan kunnen ze elkaar loodrecht snijden of elkaar loodrecht kruisen.

Voorbeeld :

In de kubus tonen we aan dat DF loodrecht staat op AC. We verschuiven AC tot in D, zo ontstaat het parallellogram ACDS.

=⇒ (DF,AC)=(FD,DS)=(FDS)

We berekenen de zijden van de driehoek FDS.

| DS | = | AC |

= 6√2

| DF | = | AF |2 + | AD |2 stellingvanPythagorasin ∆AFD

= √72 + 36

= √108

= 6√3

| FS | = | FB |2 + | BS |2 stellingvanPythagorasin ∆FBS

= √36 + 144

= √180

= 6√5

Hieruitvolgt: | FS |2 = 180en | DS |2 + | DF |2 = 72 + 108

A S G 6

B C

Dus: | FS |2 = | DS |2 + | DF |2 =⇒ ∆FDSisrechthoekiginD

2 Hoek tussen een rechte en een vlak

a Loodrechte stand van een rechte en

Een verlichtingspaal, toren of windmolen staat steeds (lood)recht op de grond (het grondvlak), of toch meestal. De bovenste toren (die je zeker herkent) begon na de bouw van de derde verdieping niet meer loodrecht op het grondvlak te staan. Maar ook de kerktoren daaronder staat niet zoals het hoort. Die vind je terug in Leeuwarden (Nederland), en zo vind je er nog wel enkele terug in Europa …

Beschouw een loodlijn p op een vlak, bijvoorbeeld een potlood op een tafel. Met behulp van een tekendriehoek kun je de hoek bepalen tussen het potlood en een rechte op je tekenblad. Door de tekendriehoek rond het potlood te draaien kun je nagaan dat eender welke lijn op het tafelblad die door het voetpunt S van de loodllijn p wordt getrokken, een hoek van 90° vormt met het potlood.

een vlak

We kunnen die vaststelling veralgemenen : als een rechte loodrecht staat op een vlak, dan staat ze loodrecht op elke rechte van dat vlak die door haar voetpunt gaat.

Als a een rechte is van het vlak die niet door S gaat, beschouw dan de evenwijdige a ′ aan a door S. De rechte p zal loodrecht op a ′ staan en dus ook loodrecht op a

loodrechte stand rechte-vlak

p a a ′

S

Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als ze loodrecht staat op elke rechte van dat vlak.

De rechte a staat loodrecht op het vlak α : Notatie : a ⊥ α

We noemen a de loodlijn op α en noemen α het loodvlak op a . Het snijpunt S van a en α noemen we het voetpunt van de loodlijn.

a

S α

b Enkele eigenschappen

Beschouw de kubus EFGH ABCD :

– Hoeveel rechten door F staan loodrecht op het grondvlak ?

– Welke ribben van de kubus staan loodrecht op het grondvlak ?

– Wat weet je over hun onderlinge stand ?

– Hoeveel vlakken gaan door D en staan loodrecht op GC ? Welke ?

– Welke zijvlakken van de kubus staan loodrecht op DC ?

– Wat weet je over de onderlinge stand van die zijvlakken ?

Algemeen gelden de volgende eigenschappen :

1 Er bestaat juist één loodlijn uit een punt op een vlak. Het voetpunt A’ van de loodlijn uit A op α noemen we ook de loodrechte projectie van A op α

a is de loodlijn uit A op α (a ⊥ α)

2 Er bestaat juist één loodvlak uit een punt op een rechte.

α is het loodvlak uit B op a

3 Loodlijnen op eenzelfde vlak zijn evenwijdig.

a ⊥ α en b ⊥ α ⟹ a ⫽ b α

4 Loodvlakken op eenzelfde rechte zijn evenwijdig.

b a

α ⊥ p en b ⊥ p ⟹ α ⫽ b p α b

5 Staat een van twee evenwijdige rechten loodrecht op een vlak, dan staat ook de andere loodrecht op dat vlak. a ⫽ b en a ⊥ α ⟹ b ⊥ α

6 Staat een van twee evenwijdige vlakken loodrecht op een rechte, dan staat ook het andere vlak loodrecht op die rechte.

α ⫽ b en α ⊥ p ⟹ b ⊥ p

c Hoek tussen een rechte en een vlak

Inleiding :

We kijken naar de loodrechte projectie van een rechte op een vlak

Beschouw een stok a die schuin in de grond steekt. Stel dat de zon in het zenit staat. De zonnestralen zijn dan loodlijnen op de aarde. De schaduw a ′ noemen we dan de loodrechte projectie van a op de grond.

Algemeen :

Beschouwen we een rechte a en een vlak α zodat a ⊥\ α

Uit de punten van a laten we de loodlijnen (projectoren) neer op α (projectievlak). Die loodlijnen zijn evenwijdig (als loodlijnen op α).

Al die projectoren liggen dus in eenzelfde vlak b b = vl( a , AA′) noemen we het projecterend vlak van α. Merk op dat b ⊥ α (waarom ?)

De projecties van alle punten van a liggen dus zowel in α als in b, ze liggen dus op de snijlijn a ′ van α en b.

a ′ is de loodrechte projectie van a op α : p ( a ) = a ′

Opmerkingen :

• a ⊥ α,danis p (a )= {A} enAishetsnijpuntvan a met α

• a α ⇐⇒ a a

•∀a ⊥\ α, b ⊥\ α : a b =⇒ a b

Maak een tekening bij de laatste twee opmerkingen en probeer die eigenschappen te bewijzen.

Taak :

Beschouw een balk EFGH ABCD met lengte 8, breedte 6 en hoogte 4.

De rechte DF sluit met het grondvlak meerdere hoeken in.

a Bereken de volgende hoeken :

ADF,MDF,BDF,PDFenCDF (gebruik hiervoor de cosinusregel).

b Welke rechte is de loodrechte projectie van de rechte FD op het grondvlak ?

c Is de hoek die de rechte FD insluit met haar loodrechte projectie op het grondvlak de kleinste of de grootste onder de hoeken die je in a berekend hebt ?

stelling

Als een rechte a een vlak α niet loodrecht snijdt, dan is de hoek die a vormt met haar loodrechte projectie op α kleiner dan elke andere hoek die a insluit met een rechte van α

Gegeven : a ⊥\ α en a ∩ α = {S}

a = p (a )

S ∈ b en b ⊂ α

Te bewijzen : aa < ab

Bewijs : Uit een punt A van a trekken we

AA′ loodrecht op α ⟹ A′ ∈ a ′ .

Op de rechte b nemen we het punt B zodat | SA′| = | SB|

AA′ ⊥ α ⟹ AA′ ⊥ A′B

A α b B

S A′

In de rechthoekige driehoek AA′B geldt : | AA′| < | AB|.

a a ′

// //

In de driehoeken SAA′ en SAB zijn de zijden SA en SA′ respectievelijk gelijk aan SA en SB.

De zijden AA′ en AB zijn ongelijk. Volgens een eigenschap uit de vlakke meetkunde (hebben 2 driehoeken twee zijden gelijk en de derde zijde ongelijk, dan ligt tegenover een grotere zijde een grotere hoek) is de hoek ASA tegenover AA′ kleiner dan de hoek ASB tegenover AB.

Dus : aa < ab

Als een rechte a een vlak α snijdt en niet loodrecht op α staat, dan is de hoek van de rechte en dat vlak deze die α insluit met haar loodrechte projectie a ′ op α.

Dus : a α < aa

– Als a loodrecht staat op α, dan is de hoek van a met α recht : a α = 90 ◦

– Als a en α evenwijdig zijn, dan is a α = 0 ◦

Opmerking :

a α = aa = 90 ◦ (a ,AA ) metAA ⊥ α

Voorbeeld :

Beschouw een kubus EFGH ABCD met ribbe 6.

We berekenen de hoek tussen de ruimtediagonaal [ DF] en het grondvlak ( ABCD).

–

De loodrechte projectie van [ DF] op het grondvlak ( ABCD) is [ DB] =⇒ α =(DF,ABCD)=(DF,DB)

De driehoek DBF is rechthoekig in B. Waarom ?

tan α = | BF | | BD | = 6 | BD | (1)

– We berekenen | BD| in de rechthoekige driehoek DAB met behulp van de stelling van Pythagoras.

| BD |2 = | AB |2 + | AD |2

| BD |2 = 36 + 36

| BD |2 = 72

| BD | = √72

| BD | = 6√2

(1) wordt:tan α = 6 6√2 = √2 2

α = 35 ◦ 15 52

3 Kenmerk van loodrechte stand van een rechte en een vlak

Omgekeerd stelt zich de vraag :

wanneer kunnen we met zekerheid beweren dat een rechte a loodrecht op een vlak α staat ? We kunnen onmogelijk nagaan of a loodrecht op alle rechten van α zou staan.

We gaan onderzoeken op hoeveel rechten van α de rechte a loodrecht moet staan opdat a een loodlijn op α zou zijn.

– Op hoeveel rechten door A, gelegen in het grondvlak, staat AF loodrecht ?

– Welke ?

– Staat AF loodrecht op het grondvlak ?

We zien dat de loodrechte stand van een rechte t.o.v. één rechte in een vlak niet volstaat opdat de eerste loodrecht op dat vlak zou staan.

– De rechte AE staat loodrecht op de rechten AB en AD. We weten dat AE loodrecht staat op het grondvlak.

Opdracht :

B D C E F H

A

Teken op een blad papier twee snijdende rechten a en b . Leg je tekendriehoek in het vlak van het blad zodanig dat een rechthoekszijde langs a valt. t

t b a

b a

De andere rechthoekszijde t van de tekendriehoek staat dus loodrecht op a, maar niet loodrecht op b . Je ziet duidelijk dat t niet loodrecht op het vlak (of het blad) staat. Draai nu de tekendriehoek rond a totdat hij ook loodrecht staat op b .

Je merkt dat t nu wel loodrecht op het vlak staat.

kenmerk loodrechte stand rechte - vlak

in woorden :

Een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als ze loodrecht staat op twee snijdende rechten van dat vlak.

in symbolen :

a b α G

We bewijzen dat kenmerk van de loodrechte stand.

Gegeven : vlak α a en b in α met a ∩ b = { S}

rechte p ( ⊄ α)

Te bewijzen : p ⊥ α ⟺ p ⊥ a en p ⊥ b

Bewijs : ⟹ (nodige voorwaarde)

p ⊥ α ⟹ p staat loodrecht op elke rechte van α (definitie), dus p ⊥ a en p ⊥ b .

⟸ (voldoende voorwaarde)

We moeten bewijzen dat p loodrecht staat op elke rechte van α.

We nemen een willekeurige rechte c van α niet evenwijdig met a of met b

We moeten nu bewijzen dat p ⊥ c .

Stel p ∩ α = { T}

Neem P ∈ p en Q ∈ p zodat | PT| = | QT|. Trek in α en door T de rechten a ′ , b ′ en c ′ respectievelijk evenwijdig met de rechten a, b en c

Beschouw in α een rechte d die a ′ , b ′ en c ′ snijdt in respectievelijk A, B en C. p ⊥ a en a a =⇒ p ⊥ a p ⊥ b en b b =⇒ p ⊥ b

WeverbindenPenQmetA,BenC. a isdemiddelloodlijnvan [PQ] in hetvl(p ,A) =⇒| PA | = | QA | b isdemiddelloodlijnvan [PQ] in hetvl(p ,B) =⇒| PB | = | QB |

Dus:

• ∆PAB ∼ = ∆QAB ZZZ

PAB = QAB

Nugeldt:

• ∆PAC ∼ = ∆QAC ZHZ | PC | = | QC | (1)

Uit (1) volgt: CTisdemiddelloodlijn van [PQ] inhetvl (p ,C) p ⊥ c c c p ⊥ c

Opmerking

Kan in de formulering van de stelling het woord ‘snijdende’ weggelaten worden ?

4 Hoek tussen twee vlakken

a Definitie

Omdehoek (α, β ) vandevlakken α en β teconstrueren,zullenwetweerechtenmoetenkiezendiedehoek bepalen.Hetligtvoordehanddatwedierechten a en b respectievelijkin α enin β zullenkiezen.

Voor a (in α)en b (in β )hebbenwenatuurlijkoneindigveelmogelijkheden.

Beschouwdesnijdendevlakken α en β metsnijlijn d . DooreenpuntSvan d trekkenwederechten a en b zodat a ⊥ d en a ⊂ α b ⊥ d en b ⊂ β

KiezenweeenanderpuntS’op d entrekkenwe derechten a en b zodat a ⊥ d en a ⊂ α b ⊥ d en b ⊂ β dangeldt: ab = a b (probeerditzelftebewijzen).

Dehoek ab noemenwedehoekgevormddoor devlakken α en β : ab = αβ

hoek van 2 vlakken

De hoek van twee snijdende vlakken α en b met snijlijn d is de hoek gevormd door twee loodlijnen op d door een punt van d , respectievelijk in α en in b gelegen.

Opmerking :

Omdat de hoek van 2 rechten scherp of recht is, is ook de hoek van twee vlakken scherp of recht.

Voorbeeld :

Beschouw een kubus EFGH ABCD . We willen de hoek bepalen van :

1 het grondvlak ABCD en het rechterzijvlak DHGC

2 het grondvlak ABCD en het diagonaalvlak AFGD

Oplossing :

1 vl( ABCD) ∩ vl( DHGC) = DC

In D : AD ⊥ DCenAD ⊂ vl (ABCD)

DH ⊥ DCenDH ⊂ vl (DHGC)

(ABCD,DHGC)=(AD,DH)= 90 ◦

vl (DHGC) ⊥ vl (ABCD)

2 vl( ABCD) ∩ vl( AFGD) = AD

In A : AB ⊥ ADenAB ⊂ vl (ABCD)

AF ⊥ ADenAF ⊂ vl (AFGD)

(wantAD⊥vl (ABFE) =⇒ AD⊥AF)

Dus: (ABCD,AFGD)=(AB,AF)= 45 ◦

b Loodrechte stand van twee vlakken

Als de hoek van twee vlakken 90° is, zeggen we dat de twee vlakken loodrecht op elkaar staan. Zo zie je dat alle zijvlakken van de balk ofwel evenwijdig zijn, ofwel loodrecht op elkaar staan.

Het bovenvlak (EFGH) staat loodrecht op het voorvlak (AEHD).

vl( EFGH) ⊥ vl( AEHD)

Merk op dat de rechte AE een loodlijn is op dat bovenvlak. Je kunt ook nagaan dat alle vlakken die de rechte AE bevatten loodrecht zullen staan op het bovenvlak.

loodrechte vlakken in woorden :

E

F H

G A

B C D

Twee vlakken staan loodrecht op elkaar als en slechts als het ene vlak een loodlijn op het andere vlak omvat. in symbolen :

α ⊥ b ⟺ ∃ a : a ⊂ α en a ⊥ b

Twee vlakken die loodrecht op elkaar staan, noemen we loodvlakken α b

c Enkele eigenschappen

a

In de balk hierboven staat het grondvlak (ABCD) loodrecht op het voorvlak (AEHD). Maar ook het bovenvlak (EFGH) staat loodrecht op het voorvlak (AEHD). Wat weet je over de onderlinge ligging van het bovenvlak en het grondvlak ?

eigenschap 1

Een vlak dat loodrecht staat op een ander vlak, staat ook loodrecht op elk daarmee evenwijdig vlak.

α ⊥ b en b ⫽ g ⟹ α ⊥ g

Bewijs :

α ⊥ β =⇒∃a ⊂ α : a ⊥ β

a ⊥ β en γ β =⇒ a ⊥ γ =⇒ α ⊥ γ α b g

a

In de balk staan de vlakken (AEFB) en (AEHD) loodrecht op het grondvlak.

Wat weet je over de onderlinge ligging van de snijlijn van het vlak (AEFB) met het vlak (AEHD) en het grondvlak ?

eigenschap 2

De snijlijn van twee loodvlakken op eenzelfde vlak staat loodrecht op dat vlak.

α ⊥ g en b ⊥ g en α ∩ b = d ⟹ d ⊥ g

Bewijs

α ⊥ γ =⇒∃a ⊂ α : a ⊥ γ

β ⊥ γ =⇒∃ b ⊂ β : b ⊥ γ

a ⊥ γ en b ⊥ γ =⇒ a b eig.3blz.112

a b =⇒ a β eig.2blz.20

a ⊂ α =⇒ a α

a α en a β =⇒ a d eig.4blz.21

a d en a ⊥ γ =⇒ d ⊥ γ eig.5blz.112

eigenschap 3

Staan twee vlakken loodrecht op elkaar, dan staan twee rechten, respectievelijk loodrecht op die vlakken, ook loodrecht op elkaar.

α ⊥ b en a ⊥ α en b ⊥ b ⟹ a ⊥ b

Ook het omgekeerde van die eigenschap is waar.

eigenschap 4

Staan twee rechten loodrecht op elkaar, dan staan twee vlakken, respectievelijk loodrecht op die rechten, ook loodrecht op elkaar.

a ⊥ b en α ⊥ a en b ⊥ b ⟹ α ⊥ b α

a

5 Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten

Bestaan er (één of meerdere) kortste verbindingen tussen twee kruisende rechten a en b ?

Zal een eventuele kortste verbinding van a naar b loodrecht staan op a , of op b , of op a en b ?

Taak :

Beschouw in deze kubussen met ribbe 6 de in kleur getekende rechtenparen.

We zoeken een gemeenschappelijke loodlijn van deze paren kruisende rechten. Dat is een rechte die de beide kruisende rechten loodrecht snijdt. Tezelfdertijd bepalen we de afstand tussen de voetpunten van de gemeenschappelijke loodlijn. Dat zijn de snijpunten van die loodlijn met de gegeven kruisende rechten. Ten slotte zoeken we een verband tussen de afstand tussen die voetpunten en de afstand tussen de evenwijdige vlakken waarin de gegeven kruisende rechten verpakt zijn.

Vul hiertoe de volgende tabel in.

gegeven kruisende rechten

gemeenschappelijke loodlijn l

afstand tussen de voetpunten op l

evenwijdige vlakken waarin de gegeven rechten verpakt zijn

afstand van deze evenwijdige vlakken

AF en HC

Uit deze taak vermoeden we dat elk paar kruisende rechten één en juist één gemeenschappelijke loodlijn heeft. En dat de afstand tussen de voetpunten gelijk is aan de afstand tussen de evenwijdige vlakken waarin de rechten verpakt zijn. We gaan dit nader onderzoeken.

Beschouw twee kruisende rechten a en b en het unieke paar evenwijdige vlakken ( α, b) waarin a en b verpakt zijn. Beschouw nu een aantal loodrechte verbindingen van α en b. Die zijn allemaal evenwijdig en even lang.

We vragen ons af of er één loodrechte verbinding (van α en b) bestaat die a en b snijdt.

Beschouw de loodrechte verbinding [ RS] waarbij R op a ligt en S in b

Verschuif nu [ RS] evenwijdig met zichzelf zodat R op a beweegt.

We zoeken de stand [ AB] van [ RS] waarbij A op a en B op b ligt.

Ondertussen schuift S mee langs een rechte c ⫽ a c ∩ b = { B}

De verbinding [ AB] is zoals elke stand [RS] een loodrechte verbinding van α en b

AB ⊥ α ⟹ AB ⊥ a omdat …

AB ⊥ b ⟹ AB ⊥ b omdat …

stelling

Twee kruisende rechten hebben precies één gemeenschappelijke loodlijn.

Hoe construeer je de gemeenschappelijke loodlijn l = AB van twee kruisende rechten a en b ?

– Construeer het paar evenwijdige vlakken ( α, b) waarin a en b verpakt zijn.

– Neem een punt R op a en construeer de loodrechte verbinding [ RS] van de vlakken α en b. ( RS ⊥ b en S ∈ b)

– Trek de rechte c door S en evenwijdig met a

– Bepaal het snijpunt B van de rechten b en c

– Trek de rechte l door B en evenwijdig met RS.

– Noem A het snijpunt van a en l

– d ( a , b ) = | AB |

Toepassing : Zoek de gemeenschappelijke loodlijn van de kruisende rechten FB en AC in de kubus EFGH ABCD .

Bepaal daarna de afstand tussen de rechten FB en AC.

• FB ⊥ vl (ABCD)=⇒ FB ⊥ AC =⇒ FBenACzijnloodrechtkruisenderechten

• BM ⊥ AC(diagonalenvaneenvierkant) FB ⊥ BM(BM ⊂ vl (ABCD)) =⇒ BMisdegemeenschappelijke loodlijnvanFBenAC

• d (FB,AC)= | BM | = 1 2 | BD | = 1 2 √72 = 3√2

6 Samenvatting

• Je weet hoe je de hoek van twee rechten moet vinden in de ruimte.

b

1 S

a a ′ a , b = a , b met a a en a ∩ b = {S} en a , b 90 ◦

2 a ⊥ b ⇐⇒ a , b = 90 ◦

• Je kent de betekenis van de hoek van een rechte en een vlak en de hoek van twee snijdende vlakken. Als een rechte a een vlak α snijdt en niet loodrecht staat op α, dan is de hoek van de rechte en dat vlak deze die a insluit met haar loodrechte projectie a ′ op α. Dus : a α = aa . De hoek van twee snijdende vlakken α en b met snijlijn d is de hoek gevormd door twee loodlijnen op d door een punt van d , respectievelijk in α en in b gelegen.

• Je kent het kenmerk van loodrechte stand van een rechte en een vlak. in woorden : een rechte staat loodrecht op een vlak als en slechts als ze loodrecht staat op twee snijdende rechten van dat vlak.

in symbolen : a , b ⊂ α en {S} = a ∩ b p ⊥ a en p ⊥ b ⇐⇒ p ⊥ α

• Je weet dat twee vlakken loodrecht staan op elkaar als en slechts als het ene vlak een loodlijn op het andere vlak omvat.

in symbolen : α ⊥ b ⟺ ∃a : a ⊂ α en a ⊥ b

• Je kent de eigenschappen i.v.m. de loodrechte stand van een rechte en een vlak.

1 Er bestaat juist één loodlijn uit een punt op een vlak.

2 Er bestaat juist één loodvlak uit een punt op een rechte.

3 Loodlijnen op eenzelfde vlak zijn evenwijdig.

4 Loodvlakken op eenzelfde rechte zijn evenwijdig.

5 Staat een van twee evenwijdige rechten loodrecht op een vlak, dan staat ook de andere rechte loodrecht op dat vlak.

6 Staat een van twee evenwijdige vlakken loodrecht op een rechte, dan staat ook het andere vlak loodrecht op die rechte.

• Je kent de eigenschappen i.v.m. de loodrechte stand van 2 vlakken.

1 Een vlak dat loodrecht staat op een ander vlak, staat ook loodrecht op elk daarmee evenwijdig vlak.

2 De snijlijn van twee loodvlakken op eenzelfde vlak staat loodrecht op dat vlak.

3 Staan twee vlakken loodrecht op elkaar, dan staan twee rechten, respectievelijk loodrecht op die vlakken, ook loodrecht op elkaar.

4 Staan twee rechten loodrecht op elkaar, dan staan twee vlakken, respectievelijk loodrecht op die rechten, ook loodrecht op elkaar.

• Je weet dat de gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten een rechte is die beide rechten loodrecht snijdt.

7 Oefeningen

Twee vlakken α en b staan loodrecht op elkaar. Je snijdt α en b met een derde vlak γ en noemt a en b de snijlijnen. Geldt : a ⊥ b ?

Onderzoek of de volgende uitspraken waar of vals zijn. Tip : maak een schets om je redenering te ondersteunen, bijvoorbeeld in een kubus of balk.

a Staan twee vlakken loodrecht op elkaar en je trekt door een punt van het ene vlak de loodlijn op de snijlijn van beide vlakken, dan staat die loodlijn loodrecht op het andere vlak.

b Staan twee vlakken loodrecht op elkaar en je trekt door een punt van het ene vlak de loodlijn op het andere vlak, dan ligt die loodlijn in het eerste vlak.

c Als twee loodrechte vlakken gesneden worden door een derde vlak, dan staan de snijlijnen ook loodrecht op elkaar.

d Als een rechte loodrecht staat op de snijlijn van twee vlakken, dan staat ze loodrecht op beide vlakken.

e Door een punt, niet op een rechte gelegen, bestaan er verschillende loodlijnen op die rechte die de gegeven rechte loodrecht snijden of kruisen.

Toon aan dat in de kubus AF ⊥ vl( BEHC)

Bewijs dat de diagonaalvlakken van de balk loodrecht staan op elkaar als AEFB een vierkant is. Illustreer dit ook met ICT.

Beschouw de kubus EFGH ABCD

a Toon aan dat de rechte DG loodrecht staat op het vl( BHC)

b Toon aan dat de rechte EC loodrecht staat op het vl( DBG)

7 *

Beschouw de vierzijdige piramide TABCD.

ABCD is een rechthoek met | AD | = 4 en | DC | = 3.

TB ⊥ BA en TB ⊥ BC

| TB | = 4

a Bereken de hoek tussen de kruisende rechten TB en DC.

b Bereken de hoek tussen de kruisende rechten AD en TC.

c Bereken de hoek A T C.

Beschouw een regelmatige vierzijdige piramide TABCD. Het grondvlak ABCD is een vierkant en TM is een loodlijn op dat grondvlak.

N is het midden van [ CD]

a Toon aan dat de rechte TM de rechte CD loodrecht kruist.

b Toon aan dat het vl( TMN) loodrecht op de rechte CD staat.

c Staat het vl( TMN) ⊥ vl( TCD)?

d Construeer in DTMN de loodlijn uit M op de rechte TN. Toon aan dat die rechte de loodlijn is vanuit het punt M op het vl( TCD) Los dit ook op met ICT.

Beschouw de balk EFGH ABCD

a Teken een vlak dat loodrecht staat op het vl( ACF) en de rechte DH bevat.

b Hoeveel vlakken kun je zo tekenen ?

Een rechte a staat loodrecht op een vlak α We noemen A het voetpunt en C een willekeurig punt van a . In α nemen we een rechte b en een punt B ∈ b Bewijs : b ⊥ BC ⟺ b ⊥ AB.

We noemen deze stelling de stelling van de 3 loodlijnen omdat we uit twee loodrechte standen, van a op α en van BC of AB op b , een derde loodrechte stand afleiden, nl. van AB of BC op b

11

In de volgende figuur is een model te zien van een molecule methaangas ( CH4)

De vier waterstofatomen H vormen vier van de acht hoekpunten van een kubus.

a Blijkbaar is de afstand tussen twee waterstofatomen overal dezelfde. Als je de afstand tussen twee waterstofatomen gelijkstelt aan 1, wat is dan de afstand tussen koolstofatoom C en een waterstofatoom ?

b De hoek waaronder je twee waterstofatomen ziet vanuit het koolstofatoom wordt de valentiehoek of bindingshoek (van methaan) genoemd.

Bereken die hoek.

Tip : bereken de hoek AMC in D AMC met de cosinusregel.

Gegeven : a en b zijn kruisende rechten.

l = AB is de gemeenschappelijke loodlijn van a en b .

Gevraagd : Toon aan dat [ AB] de kortste verbinding is van a naar b

12

[ AB] is het gemeenschappelijke loodlijnstuk van de kruisende rechten a en b

Bepaal | PQ | als :

a g = 90°

b g = 60°

Los dit ook op met ICT.

13

[ AB] is het gemeenschappelijke loodlijnstuk van de kruisende rechten a en b .

We nemen C ∈ a en D ∈ b zodat | AC | = | BD |

Bewijs : ACD = CDB

14 *

Gegeven is een regelmatig viervlak ABCD met | AB | = 6. Z is het zwaartepunt van het grondvlak.

a Bereken de hoek van de ribbe AB en het grondvlak BCD.

b Bereken de hoek van het vlak ACD en het vlak BCD.

c Als M het midden is van [ CD] en N het midden is van [ AB], toon dan aan dat MN de gemeenschappelijke loodlijn is van de kruisende rechten AB en CD.

Tip : beschouw MN in de driehoeken ABM en CDN.

d Bereken | MN |.

Los dit ook op met ICT.

Beschouw de kubus EFGH ABCD met ribbe 4.

a Bewijs dat BMC = AFC,AFB

b Bereken die hoek.

Gegeven : Kubus EFGH ABCD

Gevraagd : Bepaal | MF |

Een kist heeft de vorm van een balk met afmetingen

12 m, 4 m en 3 m. In deze kist moet een kostbare staaf met maximale lengte verpakt worden.

a Als het ene uiteinde van de staaf in A wordt geplaatst, waar ligt dan het andere uiteinde van de staaf ?

b Bereken de lengte van de staaf.

Los dit ook op met ICT.

In de kubus hiernaast zijn twee rechten a en b getekend die elk door 2 hoekpunten gaan.

Er geldt :

(A) a en b zijn snijdend met een snijpunt binnen de kubus.

(B) a en b zijn snijdend met een snijpunt buiten de kubus.

(C) a en b zijn evenwijdig.

(D) a en b zijn kruisend, maar niet loodrecht kruisend.

(E) a en b zijn loodrecht kruisende rechten.

VWO 2010 eerste ronde, vraag 10 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

De ruimtediagonalen van een kubus snijden elkaar in een punt M (zie figuur). Dan is tan BMD gelijk aan

(A) 2√2 (B) √3 (C) 1 3 (D) √2 (E) 2√2

VWO 2010 eerste ronde, vraag 23 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Nevenstaand veelvlak is opgebouwd uit vier vierkanten en vier gelijkzijdige driehoeken. Wat is de hoek tussen de twee ingekleurde vlakken ?

(A) 120° (B) 135° (C) 140° (D) 150° (E) 160°

VWO 2023 tweede ronde, vraag 21 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Hoe groot is de hoek tussen de getekende zijvlakdiagonalen van de kubus hiernaast ?

(A) 0° (B) 30° (C) 45° (D) 60° (E) 90°

VWO 2013 tweede ronde, vraag 23 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

22

Syntheseopdracht 1 : vul (indien mogelijk) aan met ⫽ of ⊥. Formuleer (indien mogelijk) de eigenschap in woorden.

a p ⊂ α ∧ q p =⇒ q α

b p q ∧ q r =⇒ p r

c α ⊥ β ∧ p ⊥ α ∧ q ⊥ β =⇒ p q

d α = vl(p , q ) ∧ p ∩ q = {S}∧ r ⊥ p ∧ r ⊥ q ⇐⇒ r ... α

e α β ∧ α ⊥ p =⇒ β ... p

f p ⊥ q ∧ α ⊥ p ∧ β ⊥ q =⇒ α β

g α ∩ β = d ∧ p α ∧ p β =⇒ p d

h ∃p : p ⊂ α ∧ p ⊥ β =⇒ α ... β

i p q ∧ p ⊥ α =⇒ q ... α

j p α ∧ p ⊂ β ∧ α ∩ β = d =⇒ p d

k α ⊥ γ ∧ β ⊥ γ ∧ α ∩ β = d =⇒ d γ

l α ⊥ p ∧ β ⊥ p =⇒ α β

m p ∩ q = {S}∧ p ⊂ α ∧ q ⊂ α ∧ p β ∧ q β =⇒ α ... β

n α ⊥ β ∧ β γ =⇒ α γ

o p ⊥ α ∧ q ⊥ α =⇒ p q

p α β ∧ α ∩ γ = p ∧ β ∩ γ = q =⇒ p q

conjunctie

∧ lees je als : … en …

disjunctie

∨ lees je als : … of …

23

Syntheseopdracht 2 : welke van volgende uitspraken zijn altijd waar, welke uitspraken zijn soms waar (geef een concreet voorbeeld) en welke uitspraken zijn nooit waar ?

Formuleer telkens in woorden wat er staat.

a e = α ∩ β ∧ d ⊥ e =⇒ d ⊥ α

b e ⊥ d ∧ α ⊥ e ∧ β ⊥ d =⇒ α β

c d e ∧ α d ∧ α ∩ d = {S} =⇒ α e

d d α ∧ P ∈ α ∧ P ∈ e ∧ e d =⇒ e ⊂ α

e d e ∧ e f =⇒ d ⊥ f

f d α ∧ e α =⇒ d e

g d α ∧ α β =⇒ d β

h α ∩ β = d ∧ e α ∧ e β =⇒ e d

i α ⊥ β ∧ β ⊥ γ =⇒ α ⊥ γ

j d ⊥ α ∧ α ⊥ β =⇒ d β

k α ⊥ γ ∧ β ⊥ γ =⇒ α β

l α β ∧ α ⊥ γ ∧ γ δ =⇒ β ⊥ δ

m d ⊂ α ∧ d β =⇒ α β

n d α ∧ d β =⇒ α β

o d α ∧ β ⊥ α =⇒ β ⊥ d

p d e ∧ α ⊥ d ∧ β ⊥ e =⇒ α β

q d ⊥ f ∧ e ⊥ f =⇒ d ⊥ e

r d ⊥ f ∧ d ⊥ e =⇒ e f

s α β ∧ γ δ ∧ α ∩ γ = d ∧ β ∩ δ = e =⇒ d e

t α ⊥ β ∧ α ∩ γ = d ∧ β ∩ γ = e =⇒ d ⊥ e

4.2 Inproduct van twee vectoren

1 Definities

Het inproduct (of scalair product) van twee vectoren in de ruimte wordt gedefinieerd zoals dat ook voor vectoren in het vlak is gebeurd. Twee vectoren die hetzelfde beginpunt hebben, liggen immers altijd in hetzelfde vlak.

Norm van een vector

Herinnerje: −→ ABisdeverzamelingvanallegeoriënteerdelijnstukkendiegelijkzijnaanhetgeoriënteerde lijnstuk −→ AB.Gelijkegeoriënteerdelijnstukkenhebbendezelfdelengte.Dielengtestellenwegelijkaandenorm vandevector.

norm van een vector

De norm van een vector −→ AB is de afstand tussen de punten A en B. in symbolen : −→ AB = | AB |

Gevolgen : voor elke vector u = −→ AB

1 u 0,wanteenafstandissteedspositief

2 u = 0 ⇐⇒ u = o

3 A = OA = | OA | (ineenruimtemetoorsprongO)

4 k u = | k |· u (k ∈ R ) A

eenheidsvector

B u

Een genormeerde vector of een eenheidsvector is een vector waarvan de norm gelijk is aan 1. in symbolen : u iseengenormeerdevector ⇐⇒ u = 1

Hoek van twee vectoren

B C D u v

A

Wezoekendehoekdiedevectoren u en v maken.HiervoorkiezenweOenwetekenenXenYzodat −→ OX = u en −→ OY = v

u v

B C D

X

(u , v )

O

Inproduct van twee vectoren

inproduct

Het inproduct van twee vectoren, verschillend van de nulvector, is het product van de normen van die vectoren met de cosinus van de ingesloten hoek.

Het inproduct van twee vectoren waarvan er ten minste één de nulvector is, is gelijk aan nul.

in symbolen : ∀(u , v ) = o : u v = u · v · cos (u , v )

∀u : u · o = 0 = o · u

Voorbeelden

1 u u

2

v v

60° 135°

Is u = 4, v = 3en (u , v ) = 60 ◦ , danis u v = 4 3 cos60 ◦ = 6

60° 135°

v v

u u

Is u = 3, v = 3en (u , v ) = 135 ◦ ,

danis u v = 3 3 cos135 ◦ = 9 √2 2 ≈−6,364

Opmerkingen

1 Het inproduct van twee vectoren geeft als resultaat een reëel getal (zowel de norm van een vector als de cosinus van een hoek zijn reële getallen).

Dus ∀u , v : u · v ∈ R

2 Als we werken in een ruimte met oorsprong O, dan wordt de definitie :

∀ A, B = O: A · B = A · B · cos ( A, B )

∀ A: A · O = 0 = O · A

2 Eigenschappen

Het scalair kwadraat

Het scalair kwadraat van een vector is het scalair product van die vector met zichzelf.

Notatie : v v = v 2

Uit de definitie van het scalair product volgt :

∀v = 0: v v = v · v · cos (v , v ) = v 2 cos0 ◦ = v 2 > 0

scalair kwadraat

v v = v 2

Het scalair kwadraat van een vector is gelijk aan het kwadraat van de norm van die vector.

Kenmerk van de loodrechte stand

AB ⊥ CD ⇐⇒ ( −→ AB, CD)= 90 ◦ cos90 ◦ = 0

−→ AB −→ CD = 0

A B C

∀u , v = o : u ⊥ v ⇐⇒ u · v = 0

Het scalair product is commutatief

commutatief

∀u , v : u · v = v · u

Ga die eigenschap na.

3 Afstand tussen twee punten

Afstand van een punt tot de oorsprong

We nemen t.o.v. een georthonormeerd assenstelsel het punt P( x 1, y 1, z 1)

We veronderstellen dat P niet in een van de coördinaatvlakken ligt.

De driehoeken OPP′ en OP′P″ zijn rechthoekig (ga dit na).

Hieruit volgt : | OP |2 = | OP |2 + | P’P |2 (stellingvanPythagorasin ∆OPP )

1

Bijgevolg :

= | P P |2 + | OP |2 + | P P |2 (stellingvanPythagorasin ∆OP P )

| OP |2 = x 2 1 + y 2 1 + z 2 1

Dus : | OP |= x 2 1 + y 2 1 + z 2 1 of P = x 2 1 + y 2 1 + z 2 1 (1)

| OP | = −→ OP = P

Taak : ga na of deze formule ook geldt als P in een coördinaatvlak ligt.

Voorbeeld :

VoorP(6,2,3) vindenwe | OP |= √36 + 4 + 9 = √49 = 7of P = 7.

Afstand tussen twee willekeurige punten

We beschouwen t.o.v. een georthonormeerd assenstelsel de punten A( x 1, y 1, z 1) en B( x 2, y 2, z 2)

| AB | = −→ AB = B A

Wewetendatco( B A )=( x 2 x 1 , y2 y1 , z 2 z 1 ).

Uit het voorgaande geval volgt dus :

| AB | = B A = ( x 2 x 1 )2 +( y2 y1 )2 +( z 2 z 1 )2 (2)

Merk op dat (1) een bijzonder geval is van (2) waarbij B in O valt.

Besluit

B

1 1 1 y x O

T.o.v.eengeorthonormeerdassenkruisvindenwedeafstandtussendepuntenA ( x 1 , y1 , z 1 ) enB ( x 2 , y2 , z 2 ) metdeformule | AB |= ( x 2 x 1 )2 +( y2

Voorbeeld :

4 Analytische uitdrukking van het inproduct of scalair product

Gegeven :

– een georthonormeerd assenstelsel

– puntvectoren A ( x 1 , y1 , z 1 ) en B ( x 2 , y2 , z 2 )

Te bewijzen :

A · B = x 1 x 2 + y1 y2 + z 1 z 2

Bewijs :

Wegevenhetbewijsvoorhetalgemeengevaldat A = O, B = Oen A = k · B (k ∈ R )

• A B = A · B · cos ( A, B ) definitiescalairproduct = | OA |·| OB |· cosAOB (1) definitienormendefinitiehoekvan2vectoren

• In DOAB passen we de cosinusregel toe. | AB |

| OA |·| OB |· cosAOB =

• Taak :

(2) in (1) :

Bewijsdatdeformulevoordeanalytischeuitdrukkingvanhetscalairproduct A · Bookgeldt als: 1 A = Oof B = O

2 A = O, B = Oen A = k · B(ofO,AenBzijncollineair)

Besluit :

∀

Voorbeeld :

T.o.v.eengeorthonormeerdassenstelselhebben A ( 1,2, 3) en B ( 4,5, 6) hetvolgendescalairproduct:

A B = 4 + 10 + 18 = 32.

Toepassing :

Gegeven :

T.o.v. een georthonormeerd assenstelsel ligt het viervlak ABCD met A( 1, 2, 0), B( 0, –1, 2), C( 2, 0, 2) en D( –1, 5, 8)

Gevraagd :

Ga na of de overstaande ribben [ AB] en [ CD] van het viervlak loodrecht op elkaar staan.

Oplossing :

−→

AB · −→

CD =( B A ) (D C )

= 3 15 + 12

= 0

Bijgevolg:AB ⊥ CD

co( B A )=( 1, 3,2)

co(D C )=( 3,5,6)

5 Samenvatting

• Je weet wat de norm van een vector is.

|| u || = || −→ AB || = | AB |

B u

A

• Je weet wat een genormeerde vector (of eenheidsvector) is.

u iseengenormeerdevector ⇐⇒ u = 1

• Je kent de definitie van het scalair product van twee vectoren.

∀(u , v ) = o : u v = u · v · cos (u , v )

∀u : u o = 0 = o u

• Je kent de volgende eigenschappen van het scalair product.

∀v = o : v v = v 2

∀u , v : u v = v u

∀u , v = o : u ⊥ v ⇐⇒ u v = 0

• Je kunt de afstand tussen 2 punten A( x 1, y 1, z 1) en B( x 2, y 2, z 2) berekenen.

| AB | = ( x 2 x 1 )2 +( y2 y1 )2 +( z 2 z 1 )2

• Je kent de analytische uitdrukking van het scalair product.

A B = x 1 x 2 + y1 y2 + z 1 z 2 metco( A )=( x 1 , y1 , z 1 ) enco( B )=( x 2 , y2 , z 2 )

6 Oefeningen

We werken steeds in een georthonormeerd of orthonormaal assenstelsel, ook al wordt dat niet steeds expliciet vermeld.

Gegeven : A (2,3, 1) ; B ( 1,4,3) ; C (0,0,2)

Bereken : a A · B

b B C

c C ( A B )

d −→ AB

e A 2

f A + B

g AOB

Is −→ ABeengenormeerdevectorindevolgendegevallen?

aA 1 2 ,0,0 ;B 0, 1 2 , √2 2

bA 1,0, 1 2 ;B 1 2 ,0, 1 2

A, B, C en D zijn vier willekeurige punten in de ruimte.

Bewijs: −→ AB −→ CD + −→ AC −→ DB + −→ AD −→ BC = 0(Euler)

Los dit ook op met ICT.

In een viervlak ABCD geldt : AD ⊥ BC.

Bewijs : a −→ AB · −→ CD = −→ AC · −→ BD

b −→ AB 2 + −→ CD 2 = −→ AC 2 + −→ BD 2

Beschouwt.o.v.eengeorthonormeerdassenstelseldevectoren U ( x 1 , y1 , z 1 ), V ( x 2 , y2 , z 2 ) en W ( x 3 , y3 , z 3 ) Bewijsanalytischdathetscalairproductbilineairis.

Insymbolen:

∀ U, V, W; ∀ r , s ∈ R: U ( r V + s W)= r (U V )+ s (U W) ( r V + s W) · U = r · ( V · U)+ s · (W · U)

Noemenwe v deloodrechteprojectievan v op u ,dangeldt: u v = ±|| u ||·|| v ||.Bewijs. Hetisdieinterpretatievanhetscalairproductdieindefysicagebruiktwordt.

Gegeven zijn de punten A( 0, 0, 0), B( 4, 0, –4) en C( 0, 4, –4). Bewijs dat DABC gelijkzijdig is.

8

Gegeven : P1( 6, –2, 3), P2( 5, 0, –1), P3( 0, 8, 1)

P4( k , 2, –3), P5( l –2, m + 1, 4), P6( 3, q , 4) en P7( 2, r , 1 – s )

Gevraagd : richtingsgetallenvan −−→ P2 P3

a richtingsgetallenvan −−→ P2 P3

b −→ P1

c −−→ P2 P3

d −−→ P1 P2 P3

e P2 + P3

f −→ P1 + −→ P3

g −→ P2 , −−→ P1 P3

9

h −→ P1 2 −→ P2 + 3 P 4 −→ P3 = 0 =⇒ co ( P ) = ...

i −−→ P1 P2 −→ P5 =⇒ l = ... m = ...

j −−→ P1 P3 ⊥ −→ P4 =⇒ k =

k −→ P6 vl (P1 P2 P3 )=⇒ q =

l −→ P7 ⊥ vl (P1 P2 P3 )=⇒ r = s =

In R 3 beschouwenwetweevectoren v en w dievoldoenaandevolgendevoorwaarden:

v = 3, v ⊥ w en (v +w ) ⊥ (2v w ).

Bepaal w

(A) w = √6

(B) w = 3√2

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2021, oefening 13

(C) w = 6

(D) w = 18

Gegevendedriedimensionaleruimtemeteencartesiaansassenstelsel xyz ,hetpuntP( 1,2,3) enhetpunt Q(12,10, 1).Welkevandevolgendevectorenstaatloodrechtopdevector −→ PQ?

(A) ( –8, 12, 1) (B) ( –8, 12, 2)

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2020, oefening 4

(C) ( 8, –12, 1)

(D) ( 8, –12, 2)

Gegevendedriedimensionaleruimtemeteencartesiaansassenstelsel xyz ,oorsprongOen hetpuntP(13,12, 2).Welkevandevolgendevectorenstaatloodrechtopdevector −→ OP?

(A) −→ OA ( 6,7,1) (B) −→ OB ( 6,7,2)

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2018, oefening 2

(C) −→ OC ( 6,7,3) (D) −→ OD ( 6,7,4)

15 20

4.3

Analytische behandeling van

hoeken

tussen rechten en vlakken

1 Analytische behandeling van de hoek tussen twee rechten

a Hoek tussen twee rechten

Gegeven :

Een rechte a met richtingsvector A (a 1 , b1 , c 1 )

Een rechte b met richtingsvector B (a 2 , b2 , c 2 )

Gevraagd :

Een formule voor de hoek van a en b .

Oplossing :

Uit A B = A · B · cos ( A, B ) volgtdat

cos ( A, B ) = A B −→ A · −→ B

Omdat ab 90 ◦ enduscos (ab ) 0,iscos (ab )= | cos (AOB) |

Bijgevolg :

Voorbeeld

cos(ab )= | a 1 a 2 + b1 b2 + c 1 c 2 |

Bepaal de hoek van de twee rechten a en b als.

Voorbeeld :

Bepaal de hoek van twee rechten a en b als :

a ↔ 4 x = y 6 = z 7 2 en b ↔

Richtingsvectorvan a : A ( 1,1,2)

a a a

A B

1 1 1 O

z b y x

0 ⫽ b 0 ⫽b

We werken steeds in een georthonormeerd assenstelsel.

2 y + 3 = 0

0

Richtingsvectorvan b : B (2,1, 1) (gaditna)

Jebekomt:cos(ab )= |−2 + 1 2 | √1 + 1 + 4

= 3 6 = 1 2

=

1

b Loodrechte stand van twee rechten

e ⊥ f ⟺ a 1a 2 + b 1b 2 + c 1c 2 = 0 z f e y 1 1

S

1 x

O

R

Gegeven :

Eenrechte e metrichtingsvector R (a 1 , b1 , c 1 )

Eenrechte f metrichtingsvector S (a 2 , b2 , c 2 )

Te bewijzen :

e ⊥ f ⟺ a 1a 2 + b 1b 2 + c 1c 2 = 0

Bewijs : e ⊥ f

OR ⊥ OS

R S = 0 analytischeuitdrukkingvanhetscalairproduct

a 1 a 2 + b1 b2 + c 1 c 2 = 0

Voorbeeld :

e ↔ x + 2 2 = y 3 3 = z 4

f ↔ 2 x 5 y + 19 = 0 y 2 z 9 = 0

De rechte e heeft als stel richtingsgetallen ( –2, 3, 4) en de rechte f heeft als stel richtingsgetallen ( 5, 2, 1)

Er geldt : e ⊥ f want –2 5 + 3 2 + 4 1 = 0

2 Analytische behandeling van de hoek tussen twee snijdende vlakken

a Normaalvector van een vlak normaalvector

Een normaalvector van een vlak is een van de nulvector verschillende vector die loodrecht staat op dat vlak. in symbolen :

−→

ABiseennormaalvectorvan α ⇐⇒ AB ⊥ α

In het bijzonder geldt :

Opmerkingen :

1 Een vlak heeft oneindig veel normaalvectoren.

Niseennormaalvectorvan α

ON ⊥ α

Denormaalvector N (= O) isgelegenop deloodlijn e doorOop α

2 Niseennormaalvectorvan α ⇐⇒ k Niseennormaalvectorvan α (k = 0)

Tenopzichtevaneengeorthonormeerdebasisheefthetvlak α ↔ ux + vy + wz + t = 0 devector N( u , v , w ) alsnormaalvector.

Bewijs :

We trekken door O het vlak α0 ⫽ α. Dit vlak α0 heeft dan als vergelijking : ux + vy + wz = 0 (1)

In α0 nemen we een willekeurig punt P( x 0, y 0, z 0), verschillend van O.

Dan geldt :

P ∈ α0 (1)

ux 0 + vy0 + wz 0 = 0

analytischeuitdrukkingvanhetscalairproductmet N ( u , v , w ) en P ( x 0 , y0 , z 0 )

N P = 0

N ⊥ P

ON ⊥ OP

y

OPiseenwillekeurigerechtein α0

DerechteONstaatdusloodrechtopelkerechteOPvan α0

ON ⊥ α0

α0 α

ON ⊥ α

Bijgevolgis N( u , v , w ) eennormaalvectorvanhetvlak α ↔ ux + vy + wz + t = 0. Eennormaalvectorvaneenvlaklegtderichtingloodrechtophetvlakvast.

b Hoek van twee snijdende vlakken

Dit probleem kan herleid worden tot het vorige want op blz. 116 hebben we de hoek van twee vlakken als volgt gedefinieerd :

hoek van twee snijdende vlakken

De hoek van twee snijdende vlakken α en b met snijlijn d is de hoek gevormd door twee loodlijnen op d door een punt van d , respectievelijk in α en b gelegen.

Opmerking :

S′ S b′ b d b α

a ′ a

Aangezien de hoek van twee rechten scherp of recht is, is ook de hoek van twee vlakken scherp of recht.

Er bestaat ook een kortere weg om de hoek van twee vlakken te bepalen. Hierbij steunen we op de volgende eigenschap.

De hoek van twee vlakken is de hoek van twee (willekeurige) loodlijnen op de respectievelijke vlakken.

Bewijs :

α ∩ β = d enP / ∈ α enP / ∈ β d P

S A B

α b

WeconstruerenPA ⊥ α (A ∈ α) PB ⊥ β (B ∈ β )

{S} = d ∩ vl(PAB)

=⇒ PASBiseenvlakkevierhoek

PA ⊥ α =⇒ PA ⊥ d

PB ⊥ β =⇒ PB ⊥ d d ⊥ vl(PAB)

vl(PAB) ∩ α = AS;vl(PAB) ∩ β = BS Omdat d ⊥ vl(PAB) geldtdat d ⊥ SAen d ⊥ SB.

Dus: αβ definitie = (SA,SB) (1)

DevierhoekPASBheefttweerechtehoeken,bijgevolgzijndetweeanderehoekenASBenAPB

supplementair:ASB + APB = 180 ◦

Omdatdehoekvantweerechteneenniet-stompehoekisgevormddoordierechten,volgthieruit: (SA,SB)=(PA,PB)

Wegens (1) geldt: αβ =(PA,PB)

Opmerking :

Deeigenschapgeldtookvoortweewillekeurigeloodlijnen k en m opderespectievelijkevlakken α en β .

Stel: k ⊥ α en m ⊥ β

ConstrueerdoorP: a ⊥ α en b ⊥ β .

Wegenseigenschap3opblz.114isdan k a en m b .Hieruitvolgtdan km = ab = αβ .

Gevolg :

Dehoektussendevlakken α ↔ u 1 x

v1

w 1 z + t 1 = 0en β ↔ u 2 x + v2 y + w 2 z + t 2 = 0berekenenwemet denormaalvectorenvandevlakken,dusmetdeformule:

cos(αβ )= | u 1 u

Voorbeeld :

Bepaaldehoekvandevlakken α ↔ 2 x + 2 y z + 7 = 0en β ↔ x + 4 y + z 5 = 0.

Webeschouweneenloodlijn a op α.Denormaalvector A (2,2, 1) van α iseenrichtingsvectorvan a .

Webeschouweneenloodlijn b op β .Denormaalvector B (1,4,1) van β iseenrichtingsvectorvan b

Hieruitvolgt:

cos(αβ )= cos(ab )= | 2 + 8 1 |

4 + 4 + 1 √1 + 16 + 1

= 9

c Loodrechte stand van twee vlakken

Gegeven : α ↔ u 1 x + v1 y + w 1 z + t 1 = 0

β ↔ u 2 x + v2 y + w 2 z + t 2 = 0

Te bewijzen : α ⊥ β ⇐⇒ u 1 u 2 + v1 v2 + w 1 w 2 = 0

Bewijs : Beschouweenloodlijn a op α eneenloodlijn b op β

a ⊥ α ⇐⇒ R ( u 1 , v1 , w 1 ) iseenrichtingsvectorvan a

b ⊥ β ⇐⇒ S ( u 2 , v2 , w 2 ) iseenrichtingsvectorvan b

Volgenseigenschappen3en4(blz.120)staan tweevlakkenloodrechtopelkaar alsenslechtsalsloodlijnenopdie vlakkenloodrechtopelkaarstaan.

Wevindendus: α ⊥ β a ⊥ b

Voorbeeld : α ↔−2

+ 3 = 0staanloodrechtopelkaar, want ( 2) · 3 +(

Taak :

Toon aan : als twee vlakken loodrecht op elkaar staan, dan is een normaalvector van het ene vlak een richtingsvector van het andere vlak.

3 Analytische behandeling van de hoek tussen een rechte en een vlak

a Hoek van een rechte en een vlak

Op blz. 114 werd de hoek van een rechte en een vlak als volgt gedefineerd.

hoek van een rechte en een vlak

Als een rechte a een vlak α snijdt en niet loodrecht op α staat, dan is de hoek van de rechte en dat vlak deze die a insluit met haar loodrechte projectie a ′ op α

Dus: a α = aa

–Als a loodrechtstaatop α, danisdehoekvan a met α recht: a α = 90 ◦

–Als a en α evenwijdigzijn,danis a α = 0 ◦ .

–In ∆SAA’geldt: a α = aa = 90 ◦ (a ,AA ) metAA’ ⊥ α.

Gevolg :

a a ′

A S α

m A′

De hoek van een rechte a en een vlak α is het complement van de hoek gevormd door die rechte en een (willekeurige) loodlijn m op dat vlak.

in symbolen :

a α = 90 ◦ am

Formule : α ↔ ux + vy + wz + t = 0

eneenstelrichtingsgetallenvan a is (a , b , c ), dangeldt:cos(am )= | ua + vb + wc | a 2 + b 2 + c 2 u 2 + v 2 + w 2 en a α = 90 ◦ am

Voorbeeld :

Bepaaldehoekvan a ↔ x 2 = y + 6 3 = 2 z en α ↔ x + 4 y + z 4 = 0.

Denormaalvector N(1,4,1) van α iseenrichtingsvectorvaneenloodlijn m op α

Eenstelrichtingsgetallenvanderechte a is (2,3, 1).

Dus:cos(am )= | 2 + 12 1 |

√1 + 16 + 1 · √4 + 9 + 1 = 13 6√7

am = 35 ◦ 01 22

a α = 90 ◦ 35 ◦ 01 22 = 54 ◦ 58 38

b Loodrechte stand van een rechte en een vlak

e ⊥ α ⇐⇒ a = k · u en b = k · v en c = k · w (k = 0)

Gegeven : Rechte e metrichtingsvector R (a , b , c )

Vlak α ↔ ux + vy + wz + t = 0

Te bewijzen : e ⊥ α ⇐⇒ a = k u en b = k v en c = k w (k = 0)

Bewijs : Uitblz.139volgtdat N( u , v , w ) eennormaalvectorisvanhetvlak α

Bijgevolg: ON ⊥ α

e ⊥ α

ON ⊥ α

e ON ∃k ∈ R 0 : a = ku en b = kv en c = kw

Opmerkingen : ➀ Hetvoorgaandekunjeookalsvolgtvinden:

e ⊥ α ⇐⇒ R = k N ⇐⇒ (a , b , c )= k ( u , v , w )

➁ Als u , v en w verschillenvan0,dangeldt:

e ⊥ α ⇐⇒ a u = b v = c w

Voorbeeld : e ↔ x 1 2 = y + 1 3 = z

α ↔−4 x + 6 y 2 z + 3 = 0

e heeftalsstelrichtingsgetallen (2, 3,1),

α heeft N( 4,6, 2) alsnormaalvector.

Nugeldt e ⊥ α want 2 4 = 3 6 = 1 2 .

z e y x

R

α N O

4 Toepassingen

Toepassing 1 : loodlijn op een vlak

Zoekeenstelselvergelijkingenvandeloodlijn m uitP( x 1 , y1 , z 1 ) ophetvlak α ↔ ux + vy + wz + t = 0.

Oplossing :

Omdat m ⊥ α,wetenweuitblz.139dat N( u , v , w ) eennormaalvectorvanhetvlak α is.

Bijgevolg is ( u , v , w ) een stel richtingsgetallen van m .

Een stelsel parametervergelijkingen van m is dus :

x = x 1 + ku

y = y1 + kv



z = z 1 + kw

Een stelsel cartesische vergelijkingen van m :

x x 1 u = y y1 v = z z 1 w (als u , v , w ∈ R 0 )

Toepassing :

BepaaldeloodrechteprojectievanP(0,4,6)ophetvlak α ⇐⇒ 4 x + 2 y = 13.

Deloodlijn m uitPop α heeft N(4,2,0) alsrichtingsvector.

Eenparametervoorstellingvan m isdus

x = 0 + 4k

y = 4 + 2k

z = 6

HetsnijpuntP’van m met α isbepaalddoor:

4(4k )+ 2(4 + 2k )= 13

20k = 5

k = 1 4

P’isdegevraagdeloodrechteprojectievanPop α.

Bijgevolg:co(P’) = 1, 9 2 ,6

Eigenschap :

Op blz. 117 hebben we meetkundig bewezen dat het voldoende is dat een rechte loodrecht staat op twee snijdende rechten van een vlak opdat ze loodrecht zou staan op dat vlak. Die eigenschap kunnen we ook bewijzen met vectoren en met het inproduct.

Gegeven : Vlak α

Rechten a en b in α met { S} = a ∩ b m ⊥ a en m ⊥ b

Te bewijzen : m ⊥ α

Bewijs :

Steldat Aen Brichtingsvectorenzijnvan a respectievelijk b endat Meenrichtingsvectorisvan m

Aangezien m ⊥ a en m ⊥ b is M · A = 0en M · B = 0.

Omdat a en b snijdenderechtenzijn,zijnhun richtingsvectoren Aen Blineaironafhankelijk. Eenrichtingsvector Cvaneenwillekeurigerechte c van α is daneenlineairecombinatievan Aen B.

C = r A + s B

A s ·

x z b m0 0 c0 b0 m y α S

O B r ·

Nugeldtdat M · ( r · A + s · B )= r · (M · A )+ s · (M · B )= r · 0 + s · 0 = 0zodat m ⊥ c

Aangezienbovenstaanderedeneringgeldtvoorelkerechte c van α,is m ⊥ α.

Toepassing 2 : loodvlak op een rechte

Oplossing :

Eengevraagdecartesischevergelijkingvan α heeftdegedaante ux + vy + wz + t = 0.

Omdat e ⊥ α geldt: u = k a en v = k b en w = k c (k ∈ R 0 )

Dus: α ↔ kax + kby + kcz + t = 0 (1)

P ∈ α

kaz 1 + kby1 + kcz 1 + t = 0

t = kax 1 kby1 kcz 1

Brengenwedezewaardein (1),danbekomenwe:

α ↔ kax + kby + kcz kax 1 kby1 kcz 1 = 0 of (k = 0) :

a a z e0

C

Zoek een vergelijking van het loodvlak α uit P( x 1, y 1, z 1) op een rechte e met ( a , b , c ) als stel richtingsgetallen.

e 1 1 O

α

P 1 y x

R(a , b , c )

Toepassing 3 : middelloodvlak van een lijnstuk

middelloodvlak van een lijnstuk

Het middelloodvlak van een lijnstuk is het vlak dat door het midden van een lijnstuk gaat en loodrecht staat op dat lijnstuk.

Voorbeeld :

Bepaal een cartesische vergelijking van het middelloodvlak m van het lijnstuk [ AB] met A( –2, 1, –2) en B( 4, 3, –2).

Het midden van [ AB] is : M( 1, 2, –2)

EenrichtingsvectorvanABis: R (3,1,0).

Bijgevolg: µ ↔ 3( x 1)+( y 2)+ 0( z + 2)= 0

of µ ↔ 3 x + y 5 = 0

Opmerking :

Het middelloodvlak m kan ook bepaald worden als de verzameling van de punten die even ver van A en B liggen.

P ( x , y , z ) ∈ µ

↔

5 Samenvatting

• We vatten de belangrijkste formules samen over loodrechte stand, afstanden en hoeken t.o.v. een georthonormeerd assenstelsel.

– Loodrechte stand van twee rechten e en f met respectievelijke richtingsgetallen ( a 1, b 1, c 1) en ( a 2, b 2, c 2): e ⊥ f ⇐⇒ a 1 a 2 + b1 b2 + c 1 c 2 = 0

– Normaalvector van een vlak α ↔ ux + vy + wz + t = 0: N( u , v , w )

– Loodrechte stand van een rechte e met richtingsgetallen ( a , b , c ) en een vlak

α ↔ ux + vy + wz + t = 0: e ⊥ α ⇐⇒ a = k u en b = k v en c = k w (k ∈ R 0 )

– Loodrechte stand van twee vlakken

α ↔ u 1 x + v1 y + w 1 z + t 1 = 0 en β ↔ u 2 x + v2 y + w 2 z + t 2 = 0: α ⊥ β ⇐⇒ u 1 u 2 + v1 v2 + w 1 w 2 = 0

↔ u 2 x + v2 y + w 2 z + t 2 = 0: α ⊥ β ⇐⇒ u 1 u 2 + v1 v2 + w 1 w 2 = 0

– Stelsel vergelijkingen van de loodlijn m uit P( x 1, y 1, z 1) op het vlak α ↔ ux + vy + wz + t = 0: m ↔ x x 1 u = y

α ↔ ux + vy + wz + t = 0: m ↔ x x 1 u = y y1 v = z z 1 w met u , v , w ∈ R 0

– Vergelijking van het loodvlak α uit P(x 1, y 1, z 1) op een rechte e met (a , b , c ) als stel richtingsgetallen :

α ↔ a ( x x 1 )+ b ( y y1 )+ c ( z z 1 )= 0

– De hoek van twee rechten a en b met respectievelijke richtingsgetallen ( a 1, b 1, c 1) en ( a 2, b 2, c 2):

cos(ab )= | a 1 a 2 + b1 b2 + c 1 c 2 | a 2 1 + b 2 1

Dehoekvantweevlakken α ↔ u 1 x + v1 y + w 1 z + t 1 = 0en β ↔ u 2 x + v2 y + w 2 z + t 2 = 0is dehoekvantweeloodlijnenopderespectievelijkevlakken.

cos(αβ )=

– De hoek van een rechte a en een vlak α is het complement van de hoek gevormd door de rechte a en de loodlijn m op dat vlak.

a met stel richtingsgetallen ( a, b, c )

α ↔ ux + vy + wz + t = 0

cos(am )= | au + bv + cw | a

a α = 90 ◦ am

• Je weet wat het middelloodvlak van een lijnstuk is. Het middelloodvlak van een lijnstuk is het vlak dat door het midden van een lijnstuk gaat en loodrecht staat op dat lijnstuk.

6 Oefeningen

Bepaal in de volgende gevallen de gevraagde hoek en controleer je antwoord met ICT. GEGEVEN

a a ↔

x 1 6 = y 6 = z 4 7 en b ↔

x + 2 y + 2 = 0

GEVRAAGD

x z + 1 = 0 ab

b α ↔ y z 3 = 0en β ↔ y x + 1 = 0 αβ

c a ↔ y = 0 y + 2 z 3 = 0 en α = yz -vlak a α

d a ↔  













Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel heb je de volgende rechten en vlakken. Onderzoek telkens of deze rechten en/of vlakken loodrecht op elkaar staan. Los dit ook op met ICT.

a e ↔ x = y = z en f ↔ x + y = 0 z = 0

b e ↔

2 x + y z + 3 = 0

2 x y 5 z + 11 = 0 en f ↔   

   

z = 5 + 3 r

c e ↔− x + 1 = y 3 = z 1 en α ↔ 2 x 6 y 2 z + 5 = 0

d e ↔ x = 0 2 y 3 z = 0

e α ↔ x + y 3 z + 8 = 0

en α ↔ x 4 y + 6 z 1 = 0

en β ↔ 3 y + z 2 = 0

f α ↔ 2 x y + 2 z + 5 = 0 en β ↔− x + 2 y z = 0

Bepaal een parametervoorstelling en een stelsel cartesische vergelijkingen van de loodlijn m uit het punt P op het vlak α

aP(1,3, 2) en α ↔ x 2 y + 3 z + 32 = 0

bP(0,2,3) en α ↔ 2 x + y 13 = 0

en α ↔   x y z   = k   1 1 2   + l   4 1 0   (k , l ∈ R )

Bepaal een vergelijking van het loodvlak α uit P op de rechte a . Los dit ook op met ICT.

en

a ↔   x y z

a ↔

a

5 6 7 8 9

Bepaal een vergelijking van het middelloodvlak van [ AB]

a A( –4, 2, 0) en B( 8, –6, 2)

b A( –1, 2, 3) en B(2, –1, 3)

Zoek in de volgende gevallen een vergelijking van het vlak dat door A en B gaat en loodrecht op α staat.

a A( 1, 1, 1) B( 0, 0, 2)

b A( 3, 2, 1) B( 1, 1, –1)

α ↔ x 2 y + 3 z 7 = 0

α ↔ 2 x y + 5 = 0

Geef een vergelijking van het vlak dat door A gaat en loodrecht op α en b staat. Los dit ook op met ICT.

a A( 1, –2, 0) α ↔ x y + z = 5

β ↔ 2 x + y 3 z = 1

b A( 0, 3, 0) α ↔ x + y 2 z = 9 β ↔ 2 x z = 2

Bepaal een parametervoorstelling en een stelsel vergelijkingen van de rechte die het punt A bevat en loodrecht staat op de rechten e en f .

A(1,0,1) e ←→ 

Bepaal een vergelijking van het vlak p dat de rechte a ↔ x + 3 y 5 = 0

3 y 2 z + 3 = 0 omvat en loodrecht staat op het vlak α ↔ x 2 y + 3 z + 7 = 0.

a Doe dit eerst door p te beschouwen als een exemplaar van een vlakkenwaaier door a ;

b Vind nu een tweede manier.

Gegeven : π ↔ 2 x + 3 y + 4 z 5 = 0

a ↔ x 5 2 = y = z 7 2

b ↔ 3 x 4 y + 15 = 0

x 2 z + 5 = 0

a Stel de vergelijkingen op van de vlakken α en b, die respectievelijk door de rechten a en b gaan en beide loodrecht staan op het vlak p

b Verifieer door berekening dat de snijlijn van α en b ook loodrecht op het vlak p staat.

Beschouw de punten A( 2, –1, 2), B( 3, k , 0), C( –2, 1, 2) en D( 0, 3, –2)

a Voor welke k ∈ R geldt : AB ⫽ CD ?

b Voor welke k ∈ R geldt : AB ⊥ CD ?

Gegeven : A (2,4,2) ;B (1, 4,0) en a ↔

Gevraagd : Bepaal C ∈ a zodat DABC rechthoekig is in C. Er zijn twee oplossingen.

16

Een vliegtuig stijgt op vanuit de oorsprong van een georthonormeerd assenkruis.

Eén minuut na het opstijgen bevindt het vliegtuig zich in het punt P 18 7 , 36 7 , 12 7 (coördinaatgetallen in km).

Met welke snelheid (in km/h) stijgt het vliegtuig op ?

a Een spin kruipt over een kubus met ribbe 6.

M is het midden van [ EF]. Bepaal t.o.v. het gekozen orthonormaal assenstelsel (zie onderstaande figuur) de coördinaat van het punt S van [ EH] waarlangs de spin moet passeren om het kortste traject van D naar M over het oppervlak van de kubus te volgen.

b Bereken ook de lengte van die kortste weg.

Hint : druk uit dat | DS| + | SM| minimaal moet zijn.

Dat minimum vind je met ICT.

Los dit ook op met ICT.

17

r ↔ 

x = 1 + t

y = 2 + t

z = 3 + t ,met t ∈ R

C(0, 6, 0) x

0, 0)

Beschouw de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel xyz en de rechte r met parametervergelijking

y

Verder hebben we twee vlakken v 1 en v 2 met vergelijkingen v 1 ⟷ x + 2y + 3z = 3 en v 2 ⟷ x + y + z = 6.

(A)

De rechte r is evenwijdig met het vlak v 1

(B)

De rechte r is evenwijdig met het vlak v 2

IJkingstoets burgerlijk ingenieur augustus 2021, oefening 5

(C)

De rechte r staat loodrecht op het vlak v 1

(D)

De rechte r staat loodrecht op het vlak v 2

Beschouwdedriedimensionaleruimtemeteencartesiaansassenstelsel xyz enderechte r metvolgendeparametervoorstelling:        x = t y = t + 1 z = t 1 met t ∈ R .

Welkevanonderstaandevergelijkingeniseenvergelijkingvaneenvlakloodrechtopderechte r ?

(A) y + z = 0

IJkingstoets burgerlijk ingenieur augustus 2022, oefening 8

Beschouw in R3 de rechte t met vergelijking x 1 5 = 2 y 3 = z 4

Welke van de volgende uitspraken is waar ?

(A)

De rechte is evenwijdig met de vector met beginpunt ( 1, 1, 1) en eindpunt ( 11, –5, 9)

(B)

De rechte staat loodrecht op het vlak 5x – 3y + 4z = 7 en gaat door het punt ( 1, 2, 0).

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2023, oefening 14

(C)

De rechte is evenwijdig met het vlak 5x – 3y – 4z = 7 en gaat door het punt ( 6, 5, 4).

(D)

De rechte ligt in het vlak 5x – 3y – 4z = 7.

Hoeken tussen rechten en vlakken 4

Afstanden in de ruimte en vergelijkingen van een bol 5

Tijdens de tweede eeuw na Christus werd er gebouwd aan het Pantheon (vrij vertaald : ‘gewijd aan alle goden’), dat nu nog steeds een toeristische trekpleister is in Rome. Die basiliek herbergt ook een van de grootste bolvormige koepels ter wereld. Om de koepel bestand te maken tegen aardbevingen zorgden de makers voor een gat bovenaan.

Ook werden verschillende uitsparingen voorzien om het gewicht te beperken en werd een mengsel van puimsteen gebruikt als cement. Of de Romeinen in staat waren de vergelijking van het boloppervlak te bepalen, is niet geweten …

Afstanden in de ruimte en vergelijkingen van een bol

5.1 Afstand van een punt tot een vlak of een rechte

1

5.2

5.3

5.4

5.1 Afstand van een punt tot een vlak of een rechte

1 Afstand van een punt tot een vlak

We weten dat de afstand van een punt A tot een vlak α de kortste verbinding is tussen beide. Dat is de afstand tussen het punt en zijn loodrechte projectie op het vlak.

AA ⊥ α enA ∈ α =⇒ d (A, α)= | AA |

We zoeken analytisch een formule waarmee we die afstand in alle gevallen kunnen bepalen.

We beschouwen t.o.v. een georthonormeerd assenstelsel een vlak α met vergelijking ux + vy + wz + t = 0 en een punt A( x 1, y 1, z 1)

We laten uit A de loodlijn m neer op α en we noemen A′ het voetpunt.

m ⊥ α =⇒ ( u , v , w ) iseenstelrichtingsgetallenvan m

Eenparametervoorstellingvan m isdus:

r

AlsA deloodrechteprojectieisvanAop α,danligtA op m enheeftA eencoördinaatvandevorm (1) waarbij r eenbepaaldewaarde r heeft.

Dus:A ( x 1 + r u , y1 + r v , z 1 + r w )

Bijgevolg: d (A, α)= | AA | = ( x 1 + r u x 1 )2 +( y1 + r v y1 )2 +( z 1 + r w z 1 )2

= √ r 2 u 2 + r 2 v 2 + r 2 w 2

=| r |·√ u 2 + v 2 + w 2 (2)

Maar : A ∈ α

u ( x 1 + r u )+ v ( y1 + r v )+ w ( z 1 + r w )+ t = 0

( ux 1 + vy1 + wz 1 + t )+ r ( u 2 + v 2 + w 2 )= 0

ux 1 + vy1 + wz 1 + t

r =

Vervangen we deze waarde in (2), dan bekomen we :

d (A, α)= | ux 1 + vy1 + wz 1 + t |

u 2 + v 2 + w 2

Besluit :

u 2 + v 2 + w 2

TenopzichtevaneengeorthonormeerdassenstelselvindenwedeafstandvanhetpuntA( x 1 , y1 , z 1 ) tot hetvlak α ↔ ux + vy + wz + t = 0metdeformule

d (A, α)= | ux 1 + vy1 + wz 1 + t | u 2 + v 2 + w 2

Voorbeeld :

Gegeven : α ↔ 2 x y + 2 z 3 = 0enA( 1,0, 2)

α ↔ 2 x y + 2 z 3 = 0enA( 1,0, 2)

Gevraagd : d (A, α)

Oplossing :

Toepassing :

d (A, α)= |−2 4 3 | √4 + 1 + 4 = 9 3 = 3

d (A, α)= |−2 4 3 |

Gegeven : Debalk EFGH ABCD metA(4,0,0) ;C(0,5,0) ; F(0, 0, 6) t.o.v. een georthonormeerd assenstelsel

Gevraagd : Bereken het volume van het viervlak AFHC door als grondvlak ( = α) de driehoek AFC en als hoogte d ( H, α) te nemen.

F(0, 0, 6) G

B D C(0,

Oplossing:

VolumeviervlakAFHC = 1 3 opp. ∆AFC d (H, α) met

α = vl(AFC)

| AC | = √41; | AF | = √52; | FC | = √61

• opp. ∆AFC = √ s ( s a )( s b )( s c ) formulevanHeroon

ICT = 1 4 √7504 rekenditna

α ↔ x 4 + y 5 + z 6 = 1 vlakopdeassegmenten

↔ 15 x + 12 y + 10 z 60 = 0

co(H) = (4,5,6)

• d (H, α)= | 60 + 60 + 60 60 | 152 + 122 + 102 = 120 √469

• VolumeviervlakAFHC = 1 3 · 1 4 · √7504 · 120 √469 = 40

2 Afstand van een punt tot een rechte

Om de afstand van een punt A tot de rechte a te bepalen, beschouwen we het loodvlak α uit A op a .

Noem B het snijpunt van a met α

A

α B a

x 6

2

a :

α ↔ 2

B} = α ∩ a

Besluit: d (A, a )= d (A,B)= (2 1)2 +( 2 2)2 +(2 0)2 = √21

2e methode

AB is de loodlijn uit A op a ( B ∈ a )

Omdat B op a ligt, heeft B een coördinaat van de gedaante co( B) = ( 6 + 2r , r , 4 + r ) met r ∈ R (1)

Een stel richtingsgetallen van de rechte AB is bijgevolg : ( 5 + 2r , –2 + r , 4 + r )

AB ⊥ a 2(5 + 2 r )+( 2 + r )+(4 + r )= 0

Uit (1) volgt nu de coördinaat van B: ( 2, –2, 2)

Besluit : d (A, a )= d (A,B)= √21

r = 2

5.2 Toepassingen

1 Afstand van twee kruisende rechten

Op blz. 122 werd aangetoond dat twee kruisende rechten precies één gemeenschappelijke loodlijn hebben. Dat is een rechte die beide kruisende rechten loodrecht snijdt en de kortste verbinding tussen de twee kruisende rechten realiseert.

Beschouw twee kruisende rechten a en b met hun gemeenschappelijke loodlijn AB ( A ∈ a en B ∈ b ). We kunnen de afstand tussen a en b op verschillende manieren bepalen :

– Het is de afstand van de loodrechte verbinding (gemeenschappelijke loodlijn) van de twee rechten.

d ( a , b ) = | AB |

– Het is de afstand tussen de twee evenwijdige vlakken waarin de rechten verpakt kunnen worden.

d ( a , b ) = d ( α, b) = | RS | ( = | AB |) met RS ⊥ b

– Het is de afstand van een punt van de ene rechte tot het vlak door de tweede rechte en evenwijdig met de eerste.

d ( a , b ) = d ( a , b) = | RS | ( = | AB |)

Voorbeeld :

Gegeven : Twee boven elkaar geplaatste kubussen met ribben die een lengte hebben van 3 meter. AB is een lichaamsdiagonaal van de onderste kubus. CD is een lichaamsdiagonaal van de bovenste kubus.

lichaamsdiagonaal

Een lichaamsdiagonaal of ruimtediagonaal van een kubus verbindt twee hoekpunten van de kubus die niet in eenzelfde zijvlak van die kubus liggen.

Gevraagd : a Bereken de afstand tussen AB en CD.

b Construeer de gemeenschappelijke loodlijn van AB en CD.

Oplossing : MEETKUNDIG

a De twee kruisende rechten AB en CD liggen in de evenwijdige vlakken HBFA en CIDL. De gevraagde afstand is bijgevolg gelijk aan de afstand tussen deze evenwijdige vlakken. Dat is ook de afstand van A tot het vlak CIDL.

AM ⊥ LD

AM ⊥ DI constructie

DI ⊥ vl(ALKD)enAM ⊂ vl(ALKD) kenmerkloodrechtestand

AM ⊥ vl(CIDL)

Afstanden in de ruimte en vergelijkingen van

Blijkbaar is d ( A, CIDL) = d ( A, LD) = | AM |

Ergeldtin ∆ALD: | AM | = 1 2 | LD | = 1 2 √9 + 9 = 3√2 2

DeafstandtussenABenCDis 3√2 2 meter.

b Verschuif het lijnstuk [ AM] over AB.

De rechte door M, evenwijdig met AB, snijdt CD in het punt Q.

De rechte door Q, evenwijdig met AM, snijdt AB in het punt P. PQ is de gemeenschappelijke loodlijn van AB en CD want PQ ⊥ AB en PQ ⊥ CD.

d ( AB, CD) = | PQ | = | AM |

ANALYTISCH

We kiezen eerst een georthonormeerd assenstelsel, zie figuur.

D A z (0, 0, 3)

– De punten A, B, C en D hebben als coördinaat

A( 0, 0, 0), B( 3, 3, –3), C( 3, 0, 3) en D( 0, 3, 0)

Een stel richtingsgetallen van de rechten

AB en CD vinden we als volgt :

co( −→ AB)=(3,3, 3) enco ( −→ CD)=( 3,3, 3)

of:co( −→ AB)=(1,1, 1) enco ( −→ CD)=(1, 1,1)

C(3, 0, 3)

A(0, 0, 0) (3, 0, 0)

Q P

M2 M1

D(0, 3, 0)

y x

De rechten AB en CD hebben als parametervergelijkingen

   x = r y = r z = r

enCD ↔   



B(3, 3, –3)

met r , s ∈ R

– Het kortste verbindingslijnstuk vinden we op de gemeenschappelijke loodlijn van AB en CD. We zoeken dus een verbinding die loodrecht staat op de twee gegeven rechten. We zoeken een punt P van AB en een punt Q van CD zodanig dat PQ ⊥ AB en PQ ⊥ CD. Met P( r , r , –r ) en Q( s, 3 – s , s ) vinden we : co( −→ PQ)=( s r ,3 s r , s + r )

PQ ⊥ AB

( s

)+ 1 (3 s r ) 1 ( s

+

1

(

2

Weberekenen r en s uithetstelselgevormddoordevoorwaarden (1) en (2).

3 r + s = 3

+ 3 s = 3

BijgevolgisP 3 4 ,

Taak :

Bepaal een stelsel parametervergelijkingen en een stelsel cartesische vergelijkingen van de rechte PQ.

Opmerkingen :

– We kunnen de kortste afstand van AB en CD ook bepalen door de afstand te zoeken van het punt A tot een vlak α door CD en evenwijdig met AB.

– De analytische oplossing uit het vorige punt sluit echter meer aan bij de echte betekenis van de afstand tussen twee kruisende rechten. We maken verbindingen van een punt van de ene rechte met een punt van de andere rechte.

Vervolgens zoeken we naar een verbinding die loodrecht staat op de twee gegeven rechten.

2 Bissectorvlakken van twee vlakken

bissectorvlak

De punten waarvoor de afstand tot een vlak α gelijk is aan de afstand tot een vlak b liggen op twee vlakken d1 en d2 (als α en b snijdend zijn).

Die vlakken noemen we de bissectorvlakken of deelvlakken van α en b

middenparallelvlak

b

α P d1

Als α ⫽ b, dan bekomen we slechts één vlak : het middenparallelvlak van α en b α d2 b

We zoeken de vergelijking van de bissectorvlakken van de snijdende vlakken α en b.

Gegeven : α

α ∩ β = s

Gevraagd : De verzameling V van de punten die even ver van α als van b liggen.

Oplossing : P( x 1 , y1 , z 1 ) ∈ V d (P, α)= d (P, β )

P behoort tot een van de vlakken

Bijgevolg : V = d1 ∪ d2

– Uit (1) volgt dat d1 en d2 tot de vlakkenwaaier behoren die door α en b wordt bepaald. Dus d1 en d2 omvatten de snijlijn s van α en b.

– Uit (1) volgt ook dat d1 ⊥ d2 want u

= 1 1 = 0

Naar analogie met de deellijnen van een hoek in de vlakke meetkunde noemen we d1 en d2 de deelvlakken of de bissectorvlakken van de vlakken α en b

Taak :

Toon aan dat als α ⫽ b, je slechts één deelvlak bekomt.

Voorbeeld :

Bepaal de vergelijkingen van de bissectorvlakken van de vlakken α en b

α ↔ 2 x + 2 y z + 6 = 0

β ↔ 6 x 2 y + 3 z 12 = 0

Oplossing :

Omdat r 22 1 6 23 = 2(gaditna),zijn α en β snijdend.

Erzijndustweebissectorvlakken δ1 en δ2 .

δ

δ

Taak : ga na of d1 ⊥ d2.

5.3 Boloppervlakken

1 Vergelijking van een boloppervlak

Het boloppervlak of de bol

– Beschouw het punt M en het positieve getal r . bol

Een bol met middelpunt M en straal r is de verzameling van alle punten die op een afstand r van M gelegen zijn.

Notatie : ℬ( M, r )

– Een koorde van een bol is elk lijnstuk waarvan de eindpunten tot de bol behoren.

– Een middellijn of diameter van een bol is elke koorde van de bol die het middelpunt bevat. Elke middellijn van de bol ℬ( M, r ) heeft 2r als lengte. Met middellijn kun je ook een rechte door het middelpunt bedoelen.

Opmerking :

Met ‘bol’ bedoelen we hier dus alleen het boloppervlak. Soms wordt hiervoor ook het woord sfeer gebruikt.

Middelpuntsvergelijking van een bol

We nemen een georthonormeerd assenkruis en we beschouwen het boloppervlak ℬ met middelpunt

M( x 1, y 1, z 1) en straal r

We vinden nu onmiddellijk P( x , y , z ) ∈ (M , r )

Dus : (M, r ) ←→ ( x x 1 )2 +( y y1 )2 +( z z 1 )2 = r 2 (1)

We noemen dit de middelpuntsvergelijking van een bol. Bijzonder geval : (O, r ) ←→ x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Voorbeeld :

Het boloppervlak met middelpunt M( –1, –2, 3) en straal 3 heeft als vergelijking : (M,3) ←→ ( x + 1)2 +( y + 2)2 +( z 3)2 = 9of (M,3) ←→ x 2 + y 2 + z 2 + 2 x + 4 y 6 z + 5 = 0

Deze bol gaat door het punt P( 0, –4, 1) want 0

16

Deze bol gaat niet door het punt Q( 1, 1, 0) want 1

Algemene vergelijking van een bol

– Werken we de vergelijking (1) uit, dan bekomen we :

(M, r ) ←→ x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2 by + 2 cz + d = 0

Stellenwe a = x 1 , b = y , c = z 1 en d = x 2 1 + y 2 1 + z 2 1 r 2 ,dankrijgenwe:

(M, r ) ←→ x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2 by + 2 cz + d = 0 (2)

– Omgekeerd onderzoeken we of x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 altijd een bol voorstelt, m.a.w. of die vergelijking altijd in de vorm (1) gebracht kan worden.

x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2 by + 2 cz + d = 0

( x + a )2 a 2 +( y + b )2 b 2 +( z + c )2 c 2 + d = 0

( x + a )2 +( y + b )2 +( z + c )2 = a 2 + b 2 + c 2 d

a Is a 2 + b 2 + c 2 – d < 0, dan is de vorige vergelijking vals. Een som van kwadraten kan immers niet strikt negatief zijn.

b Is a 2 + b 2 + c 2 – d ⩾ 0, dan kan (2) in de vorm (1) gebracht worden door a 2 + b 2 + c 2 – d = r 2 te stellen. Devergelijking ( x + a )2 +( y + b )2 +( z + c )2 = r 2 steltdaneenbolvoormetmiddelpuntM( a , b , c ) enstraal r = a 2 + b 2 + c 2 d

Besluit :

Als a 2 + b 2 + c 2 d 0,dansteltdevergelijking x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2 by + 2 cz + d = 0eenbolvoor metmiddelpuntM( a , b , c ) enstraal r = a 2 + b 2 + c 2 d .

Opmerking :

Is a 2 + b 2 + c 2 – d = 0, dan is r = 0. We spreken dan van een puntbol

Voorbeelden :

Onderzoek of de volgende verzamelingen bollen voorstellen.

Bepaal in dat geval het middelpunt en de straal.

V1 ←→ x 2 + y 2 + z 2 4 x + 2 z 4 = 0

a 2 + b 2 + c 2 d = 4 + 0 + 1 + 4 = 9 > 0

V1 iseenbolmetmiddelpuntM(2,0, 1) enstraal3.

V2 ←→ x 2 + y 2 + z 2 x + y + z + 1 = 0

a 2 + b 2 + c 2 d = 1 4 + 1 4 + 1 4 1 = 1 4 < 0

V2 steltgeenbolvoor.

V3 ←→ 2 x 2 + y 2 + z 2 3 x + 2 y

Devergelijkingkannietindevorm x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2 by + 2 cz + d = 0gebrachtworden.

V3 steltgeenbolvoor.

V4 ←→ 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 4

a

V4 iseenbolmetmiddelpuntM(1, 1,1) enstraal2.

Afstanden

Toepassing :

Bepaal de vergelijking van de bol door de volgende vier niet-coplanaire punten.

P1( –6, 0, –1), P2( –2, 7, 4), P3( 6, 3, –4) en P4( –2, 6, –1)

Oplossing :

Stel : ℬ( M, r ) is de bol met (onbekend) middelpunt M( –a , –b , –c ) en (onbekende) straal r

Dus : ←→ x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2 by + 2 cz + d = 0met r 2 = a 2 + b 2 + c 2 d

We willen nu de onbepaalde coëfficiënten a , b , c en d bepalen zodat ℬ de gegeven punten P1, P2, P3 en P4 bevat.

P1 ∈ ⇐⇒ 37 12a 2 c + d = 0

P2 ∈ ⇐⇒ 69 4a + 14 b + 8 c + d = 0

P3 ∈ ⇐⇒ 61 + 12a + 6 b 8 c + d = 0

P4 ∈ ⇐⇒ 41 4a + 12 b 2 c + d = 0

a , b , c en d vormen dus een oplossing van het stelsel

12a + 2 c d = 37

4a 14 b 8 c d = 69

12a + 6 b 8 c + d = 61

4a 12 b + 2 c d = 41 ICT

a = 2

b = 1

c = 3

d = 67

Aangezien a 2 + b 2 + c 2 – d = 4 + 1 + 9 + 67 = 81 > 0, is de straal r = 9.

Het middelpunt van de bol is M( 2, –1, 3)

De gevraagde vergelijking is dus : x 2 + y 2 + z 2 – 4x + 2y – 6z – 67 = 0

Dit voorbeeld illustreert de volgende stelling.

Door vier niet-coplanaire punten gaat juist één bol.

Taak : bewijs de vorige stelling zuiver meetkundig.

2 Onderlinge ligging van een bol en een vlak

Om de onderlinge ligging van een bol ℬ en een vlak α te onderzoeken, kiezen we een georthonormeerd assenstelsel zodat :

– de oorsprong O het middelpunt van de bol ℬ is ;

– de z -as loodrecht staat op het gegeven vlak α.

Als r de straal is van de bol en S( 0, 0, h ) het snijpunt van α met de z -as, dan geldt (O, r ) ←→ x 2 + y 2 + z 2 = r 2

α ←→ z = h met h 0

| h | is de afstand van het middelpunt van ℬ tot α.

De gemeenschappelijke punten van ℬ en α hebben een coördinaat die een oplossing is van het stelsel :

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

z = h

x 2 + y 2 = r 2 h 2 (1)

z = h

Geval1: r 2 h 2 < 0 ⇐⇒ r <| h |

Inditgevalis (1) eenvalsevergelijking. Hetstelselheeftgeenoplossingenin R 3 .

Bijgevolggeldt: ∩ α = ∅

Wezeggendathetboloppervlak enhetvlak α gescheiden zijn.

Merk op dat in dit geval de afstand van het middelpunt van de bol tot het vlak α groter is dan de straal van de bol.

Geval2: r 2 h 2 = 0 ⇐⇒ r =| h |

(1) heeftéénenkeleoplossingin R 2 : (0,0) Hetstelselheeftduséénenkeleoplossing in R 3 : (0,0, h )

Bijgevolggeldt: ∩ α = {S(0,0, h )}

Wezeggendathetboloppervlak en hetvlak α elkaarrakeninSofdat α hetraakvlakisinSaan .

Afstanden

raakvlak

Een raakvlak aan een bol heeft met de bol juist één punt gemeen : het raakpunt.

eigenschappen

1. Het raakvlak in een punt van een bol staat loodrecht op de middellijn door dat punt.

2. Een vlak is een raakvlak aan een bol als en slechts als de afstand van het middelpunt van de bol tot dat vlak gelijk is aan de straal van de bol.

Geval3: r 2 h 2 > 0 ⇐⇒ r >| h |

(1) heeftoneindigveeloplossingenin R 2 Hetstelselheeftdusoneindigveel oplossingenin R 3

∩ α = {P( x , y , h ) | x 2 + y 2 = r 2 h 2 }

= {P( x , y , h ) || PS |2 = r 2 h 2 = r 2 }

= c (S, √ r 2 h 2 )

α

1 1 O 1 y x

Als de afstand van het middelpunt van de bol ℬ tot het vlak α kleiner is dan de straal van de bol, dan snijden ℬ en α elkaar volgens een cirkel waarvan het middelpunt de loodrechte projectie is van het middelpunt van de bol ℬ op het vlak α

(M, r ) ∩ α = ∅ ⇐⇒ d (M, α) > r

(M, r ) ∩ α = {S}⇐⇒ d (M, α)= r

(M, r ) ∩ α = c ⇐⇒ d (M, α) < r

Toepassing :

Zoekdevergelijkingvanhetraakvlakaandebol ←→ x 2 + y 2 + z 2 4 x + 6 y 12 z = 0 inhetpuntO(0,0,0) vandebol.

Hetmiddelpuntvan isM(2, 3,6)

EenstelrichtingsgetallenvanderechteMOis (2, 3,6).

Devergelijkingvanhetraakvlak α,loodvlakdoorOopMO,isdus: α ←→ 2( x 0) 3( y 0)+ 6( z 0)= 0of α ←→ 2 x 3 y + 6 z = 0

Opmerking:

Destraalvandebolkunjeoptweemanierenberekenen:

① r = d (M, α)= | 4 + 9 + 36 | √4 + 9 + 36 = 49 7 = 7

② r = a 2 + b 2 + c 2 d = √4 + 9 + 36 = 7

5.4 Samenvatting en oefeningen

1 Samenvatting

• Je kunt de afstand bepalen van een punt A( x 1, y 1, z 1) tot het vlak α ↔ ux + vy + wz + t = 0

d (A, α)= | ux 1 + vy1 + wz 1 + t |

u 2 + v 2 + w 2

• Je kunt de afstand van een punt tot een rechte bepalen.

• Je kunt de afstand van twee kruisende rechten bepalen.

• Je weet wat een bissectorvlak (of deelvlak) is.

De punten waarvoor de afstand tot een vlak α gelijk is aan de afstand tot een vlak b, liggen op twee vlakken d1 en d2 (als α en b snijdend zijn).

Die vlakken noemen we bissectorvlakken of deelvlakken van α en b

• Je weet dat een bol met middelpunt M en straal r de verzameling is van alle punten die op een afstand r van M gelegen zijn.

• Je kunt de middelpuntsvergelijking bepalen van een bol met middelpunt M( x , y , z ) en straal r .

(M, r ) ↔ ( x x 1 )2 +( y y1 )2 +( z z 1 )2 = r 2

• Je kunt de algemene formule bepalen van een bol met middelpunt M( –a , –b , –c ) en straal

r = a 2

(M, r ) ↔ x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2 by + 2 cz + d = 0

• Je weet dat door vier niet-coplanaire punten juist één bol gaat.

• Je kent de mogelijke liggingen van een vlak tegenover een bol.

2 Oefeningen

Bepaal in de volgende gevallen de afstand van het punt P tot het vlak α

aP(0,2,1) en α ↔ z = 0

bP(1,2, 3) en α ↔ 3 x + 4 y 2 = 0

cP( 2,0,5) en α ↔−2 x + y + 2 z + 2 = 0

dP(5, 5,11) en α ↔−2 x + y + 2 z + 2 = 0

Controleer je antwoord met ICT.

Bepaal de afstand van de evenwijdige vlakken α en b

α ↔−4 x + 3 y + 5 z 3 = 0en β ↔−4 x + 3 y + 5 z + 17 = 0

Controleer je antwoord met ICT.

Bepaal in de volgende gevallen de afstand van het punt P tot de rechte e . Los dit ook op met ICT.

aP(1,2,0) en e ←→   x y z

  =   6 0 4   + r ·   2 1 1   ( r ∈ R

bP(7,4,2) en

cP(1,2,3) en e ←→

= y = z + 2

dP(1,2,0) en e ←→ x 6 2 = y = z 4

eP(3,0,2) en e ←→

fP(0,2, 1) en e ←→

x = 2 7k y = 3 + 2k z = 5 + k

2 x + y 3 z + 13 = 0 4 x y z + 3 = 0

Gegeven zijn de rechten a en b . Ga na of a en b kruisende rechten zijn, bepaal een stelsel cartesische vergelijkingen van hun gemeenschappelijke loodlijn m , zoek de snijpunten A en B van m met a en b en bereken d ( a , b ).

a a ↔ x 1

Controleer je antwoord met behulp van ICT.

5 6 7 8 9 * 10

Bepaal een cartesische vergelijking van het vlak dat evenwijdig is met α ↔ 7 x 4 y 4 z + 2 = 0 en op een afstand 2 van het punt D( 0, 2, 2) gelegen is. Los dit ook op met ICT.

Bepaal een cartesische vergelijking van het vlak dat door de rechte a ↔ 7 x + 4 y + 21 = 0 15 y + 7 z + 91 = 0 gaat en op een afstand 5 van O ligt.

Bepaaleencartesischevergelijkingvanhetvlakdatloodrechtopdevlakken α ↔− x + 4 y z = 0en β ↔ 7 x + 4 y 9 z = 4staatenopeenafstand10vanhetpuntP(0,1, 1)gelegenis.

Bepaal de afstand van de evenwijdige rechten e en f . e ↔   x y z

  =   4 3 0   + r   2 3 2   en f ↔ x + 1 2 = y + 5 3 = z 2 ( r ∈ R )

Controleer je antwoord met ICT.

Gegeven:HetpuntP( 6,3, 4)

Hetvlak α ↔− x + 2 y + 2 z + 4 = 0

Derechte a ↔ x = 3 y = z + 3

Gevraagd:Totderechte a behorentweepuntendieopgelijkeafstandvanhetpuntPenhetvlak α liggen. Berekendecoördinatenvandiepunten.

Bepaal een punt P op de y -as van een orthonormaal assenstelsel dat even ver van A( 2, 5, 6) als van B( –2, 1, 8) ligt. Los dit ook op met ICT.

Bepaal de coördinaat van het punt P dat op de rechte a ↔ x + 6 = y + 1 = z ligt en even ver van de punten A( 5, 3, 6) en B( –3, –1, –2) verwijderd is.

Gegeven : a ←→ x + 2 y 3 z = 0 x 2 y + 3 z = 10 enP(1,3, 5)

Gevraagd : a Noteer een parametervoorstelling van de rechte a

b Bepaal de punten Q van a waarvan de afstand tot P gelijk is aan 9. Los dit ook op met ICT.

Bepaal in de volgende gevallen de vergelijkingen van de bissectorvlakken van α en b.

a α ↔− x + 2 y + 2 z + 6 = 0en β ↔ 3 x + 6 y 2 z 12 = 0

b α ↔ 4 x + y 3 z + 3 = 0en β ↔− x + 3 y 4 z + 1 = 0

a Bepaal de verzameling van de punten die even ver van de evenwijdige vlakken α en b liggen als

α ↔ 2 x + y + 2 z 1 = 0en β ↔ 2 x + y + 2 z + 15 = 0 .

b Ga na of die verzameling het middenparallelvlak van α en b is.

Afstanden

a Bepaal de verzameling van de punten die op gelijke afstand liggen van A( 1, 2, 0), B( –1, 0, 3) en O( –2, 1, 1)

b Ga na of die verzameling een rechte is die loodrecht staat op het vlak van de driehoek ABC en die gaat door het middelpunt van de omgeschreven cirkel van de driehoek.

c Geef een meetkundig bewijs van b .

* 17

Gegeven : A( 1, 0, 2), B( 1, 3, 0), C( 0, 5, 4) en D( 4, 6, 3)

Gevraagd : a d ( A, B)

b d ( C, AB)

c d ( D, vl(ABC))

d het volume van het viervlak ABCD Los dit ook op met ICT.

Bepaal de cartesische vergelijkingen van de bollen met de volgende gegevens.

amiddelpuntM(1,2, 1) enstraal √3

bmiddelpuntM(1,0, 1) engaandedoorP(3,4,3)

cmiddellijn [AB] metA(2, 3,1) enB( 4, 1,4)

dmiddelpuntM( 2,3,4) enrakendaanhetvlak xy

emiddelpuntopde x -as,straal6engaandedoorP(1,4,2) (2oplossingen)

fgaandedoordepuntenA(1,1,1),B(2,3,0),C(2,0, 3) enD(4, 4, 1)

Bepaal het middelpunt en de straal van volgende boloppervlakken.

Los dit ook op met ICT.

Zoek een cartesische vergelijking van het raakvlak in het punt A( 3, –2, 6) aan het boloppervlak met middelpunt O en straal | OA |.

Zoek een cartesische vergelijking van het raakvlak in het punt A( 1, 1, 1) aan het boloppervlak met vergelijking

Bepaal in de volgende gevallen een cartesische vergelijking van het boloppervlak met gegeven middelpunt M en rakend aan het vlak α aM(2, 3,6) en α ↔ 2 x 3 y + 6 z = 0

bM(1,0,3) en α ↔ 2 x + 2 y z 8 = 0

22

Gegeven :

het vlak α : 4x – 2y + 4z = 1 en het punt P( 1, 1, 1). Er zijn twee vlakken b evenwijdig met α zodat de afstand van het vlak α tot het vlak b gelijk is aan de afstand tussen het punt P en het vlak α. Welke van onderstaande vergelijkingen is een cartesiaanse vergelijking van een van die vlakken b ?

(A) 4x – 2y + 4z = –8 (B) 4x – 2y + 4z = –4 (C) 4 x 2 y + 4 z = 1 6 (D) 4 x 2 y + 4 z = 11 6

IJkingstoets burgerlijk ingenieur juli 2021, oefening 17

23

Beschouw de driedimensionale ruimte met een cartesiaans assenstelsel xyz , het punt P( 0, 1, –1) en de rechte r met parametervergelijking

r ↔   

   x = 3 t y = 2 t z = 1 + 2 t , t ∈ R

Wat is de x-coördinaat van het punt op de rechte r dat het dichtst bij het punt P ligt ?

(A) 1 14

24

(B) 3 14 (C) 1 (D) 3

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2020, oefening 9

Beschouwdedriedimensionaleruimtemetcartesiaansassenstelsel xyz enoorspronginO.

Watishetvolumevanhetgebieddatbegrensdwordtdoordevlakken x = 0, y = 0, z = 0en x 3 + y 4 + z 5 = 1?

(A) 10

(B) 20 (C) 40 (B) 60

IJkingstoets burgerlijk ingenieur september 2020, oefening 14

Syntheseoefeningen

Vaneenkubus EFGH ABCD metribbe6vallendrieribbenlangsdepositievecoördinaatassenvan eengeorthonormeerdassenstelsel(ziefiguur).Voerdevolgendeopdrachtenanalytischuit.

25 z y x

a Bewijs dat de vlakken EBD en FCH evenwijdig zijn.

b Bewijs dat de zijvlakdiagonaal ED loodrecht staat op de ruimtediagonaal BH.

c Bereken de hoek van de zijvlakdiagonalen ED en EG. Geef ook een meetkundige verklaring van je antwoord.

d Bewijs dat de diagonaal [ AG] loodrecht staat op het vlak EBD.

e Bereken de hoek van de vlakken AHC en AFC.

f Bereken de oppervlakte van de driehoek EBD.

g Bereken | AG |.

h Bereken de afstand van de diagonaal [ BH] en de ribbe [ AD]

F( 0, 0, 6)

G B( 0, 0, 0) A( 6, 0, 0)

E H

C( 0, 6, 0)

i De bol ℬ1, die door de acht hoekpunten van de kubus gaat, wordt de omgeschreven bol van de kubus genoemd. Zoek een vergelijking van ℬ1

j De bol ℬ2, die de zes vlakken van de kubus raakt, wordt de ingeschreven bol van de kubus genoemd. Zoek een vergelijking van ℬ2

In de figuur is een model te zien van een molecule methaangas ( CH4) De vier waterstofatomen H zijn de hoekpunten van een kubus. Het koolstofatoom C bevindt zich precies in het middelpunt M van de kubus. Plaats de figuur in een georthonormeerd assenstelsel en kies de ribbe van de kubus als lengte-eenheid.

a Bereken analytisch de hoek waaronder je twee waterstofatomen ziet vanuit het koolstofatoom. Die hoek wordt de valentiehoek of bindingshoek van methaan genoemd.

b Bereken analytisch de afstand tussen twee waterstofatomen.

c Bereken analytisch de afstand tussen het koolstofatoom C en een waterstofatoom.

Opdekubus EFGH ABCD staateenvierzijdigepiramideTEFGH.Alleribben,zowelvandekubusalsvan depiramide,hebbendezelfdelengte6.Weplaatsendefiguurineengeorthonormeerdassenstelsel, zodatderibbeABopde x -asligt,ADopde y -asenAEopde z -as.

aBerekenanalytischdehoektussenderibbeTGenhetvlakEFGH.Controleerjeuitkomstlangsmeetkundigeweg. bBerekenanalytischdehoektussenhetvlakEFGHenhetvlakTGH.

cBerekendeoppervlakteenhetvolumevandevoorgesteldefiguur.

Los dit ook op met ICT.

Gegevenzijndepunten

A(0,0,2√6),B( 2√3,0,0),C(√3,3,0) enD(√3, 3,0) HetvoetpuntvandeloodlijnuitAophetvlakBCDstellenwe voordoorhetpuntE(0,0,0).

aToonaandatABCDeenregelmatigviervlakis.

bBerekendehoekvanderibbeABenhetgrondvlakBCD.

cBerekendehoekvanhetvlakACDenhetvlakBCD.

dAlsMhetmiddenisvan [CD] enNhetmiddenvan [AB], toondanaandatMNdegemeenschappelijkeloodlijnis vandekruisenderechtenABenCD.

eBerekendeafstandvandekruisenderechtenABenCD.

fBepaalhetvolumevanhetviervlakABCD.

Ten opzichte van een georthonormeerd assenstelsel krijg je de punten A( 3, 1, 0), B( 1, 2, 0) en C( 2, 2, 4) Bereken het volume van het parallellepipedum met ribben [ OA], [ OB] en [ OC]

TenopzichtevaneengeorthonormeerdassenstelselkrijgjedepuntenA(1,4,3),B(1,3,7),C(2,4,9) enE(0,7,5)

aTekenhetparallellepipedum EFGH ABCD metICT.

bBerekenhetvolumevanhetparallellepipedum EFGH ABCD

Een regelmatige piramide, afgebeeld op onderstaande figuur, heeft als grondvlak het vierkant ABCD. Het vierkant heeft zijde 2a . De top van de piramide is het punt T. De vier opstaande zijden zijn even lang en hebben eveneens als lengte 2a . Bij de berekeningen moet je gebruikmaken van het op de figuur aangegeven assenkruis.

a Duid op de figuur de coördinaten van de vijf hoekpunten aan.

b Bepaal de vergelijking van het vlak dat de piramide doorsnijdt, daarbij door het midden M van [DT] gaat en bovendien loodrecht op DT staat.

c Bepaal de coördinaten van de snijpunten van dit vlak met de opstaande ribben en met de zijden van het grondvlak. Geef die snijpunten een naam, duid die punten aan op de figuur en teken de doorsnedeveelhoek.

d Bereken de oppervlakte van de doorsnedeveelhoek.

Vraag uit de toenmalige toelatingsexamens burgerlijk ingenieur 2003

Afstanden

Gegeven zijn de punten A( 3, 1, 2), B( 0, –1, –2) en C( –4, –1, 1)

a Toon aan dat de driehoek ABC rechthoekig is.

b Bepaal een punt D met de volgende eigenschappen :

– D ligt op de rechte door B loodrecht op het vlak ABC.

– het volume van de piramide die je bekomt door de punten A, B, C en D met elkaar te verbinden, bedraagt 145 6

Modelvragen uit de toenmalige toelatingsexamens burgerlijk ingenieur

Gegeven : De punten A( 3, 2, 1), B( –2, 1, 1), C( 1, 2, –1) en D( –4, 2, 3)

Derechte a ↔

x y + 7 = 0

z = 2

Gevraagd : Bereken de coördinaat van het punt P dat tot de rechte a behoort zodanig dat het volume van het viervlak ABCP gelijk is aan het volume van het viervlak ABCD. Er zijn twee oplossingen.

5

Afstanden in de ruimte en vergelijkingen van een bol