VBTL 5/6 D-gevorderde wiskunde - Module predicatenlogica - inkijk methode (materiaal vbtl)

Module predicatenlogica

D-finaliteit gevorderde wiskunde

Predicatenlogica

Alle mensen communiceren met elkaar. Meestal gebruiken ze daarvoor de taal. In dat geval is er een zender, die een boodschap brengt tot bij de ontvanger. De zender kan je wiskundeleerkracht zijn die volgende boodschap voor jou (als ontvanger) heeft : “Als je slaagt voor wiskunde, dan gaan we met de klas naar Rock Werchter of naar Pukkelpop.” Daar kun je je uiteraard heel wat vragen bij stellen.

Als je slaagt, ga je dan naar Rock Werchter én naar Pukkelpop ? Kunnen we met de klas toch nog ergens naartoe als er iemand niet slaagt ? In de predicatenlogica redeneren we verder op wat je al eerder leerde in de logica. Je herhaalt de kwantoren en leert enkele eigenschappen en definities die erg handig zullen blijken om die communicatie wiskundig correct te interpreteren.

1 Predicaten

1 Even herhalen: propositielogica

De uitspraken ‘Luka eet een appel’ of ‘Julie eet een banaan’ konden we in de propositielogica weergeven door propositieletters.

p : Luka eet een appel.

q : Julie eet een banaan.

Met behulp van connectieven konden we met die proposities nieuwe uitspraken maken.

¬p : Luka eet geen appel.

¬q : Julie eet geen banaan.

p ∧ q : Luka eet een appel én Julie eet een banaan.

p ∨ q : Luka eet een appel of Julie eet een banaan.

p ⟹ q : Als Luka een appel eet, dan eet Julie een banaan.

p ⟺ q : Luka eet een appel enkel en alleen als Julie een banaan eet.

Of bovenstaande uitspraken waar of onwaar zijn, hangt af van Luka die al dan niet een appel eet en Julie die al dan niet een banaan eet. Herhalen we even de waarheidstafels van de gebruikte connectieven.

2 Predicaten

UITSPRAAK

18 is even (deze uitspraak is waar)

37 is deelbaar door 12 (deze uitspraak is vals)

12 + 13 > 15 (deze uitspraak is waar)

PREDICAAT

x is even (1)

x is deelbaar door 12 (2)

x + y > 15 (3)

In (1) en (2) wordt x het argument genoemd, x is een vrije variabele

In (3) worden x en y de argumenten genoemd, x en y zijn vrije variabelen.

Als we aan het argument een concrete waarde geven, dan krijgen we een uitspraak

x is een priemgetal groter dan 70. < PREDICAAT

73 is een priemgetal groter dan 70. < UITSPRAAK

Een uitspraak als ‘Luka eet een appel’ kunnen we in de predicatenlogica weergeven als A ( l ) waarbij:

A ( x ) staat voor de eigenschap ‘x eet een appel’

l staat voor de constante ‘Luka’

De uitspraak ‘eet een banaan’ kunnen we voorstellen door B ( x ) waarbij x een variabele voorstelt.

Een predicaat hangt dus af van een of meerdere variabelen (ook argumenten genoemd).

B ( x ) is een predicaat.

A ( l ) is echter geen predicaat maar een uitspraak (propositie), die waar is afhankelijk van het feit of Luka een appel eet of niet.

3 Voorbeelden

Voorbeeld 1:

De bewering x > 0 zou je in de predicatenlogica kunnen noteren als P ( x ) waarbij P staat voor de eigenschap ‘x is strikt positief’.

Als we aan x een waarde geven, dan krijgen we een uitspraak (propositie) met een waarheidsgehalte.

P ( 4) is een ware uitspraak.

P ( –3) is een onware uitspraak.

Voorbeeld 2:

De bewering x + y ⩽ 20 kunnen we noteren als S ( x , y ). Dat is een predicaat met twee argumenten waarbij S staat voor ‘de som is kleiner dan of gelijk aan 20’. Stellen we hierin bijvoorbeeld y = 2, dan krijgen we het predicaat S ( x , 2) afhankelijk van één argument x , equivalent met de bewering x + 2 ⩽ 20 of x ⩽ 18.

S ( 5, 2) is geen predicaat maar een ware uitspraak.

Voorbeeld 3:

Beschouw volgende predicaten:

L ( x ): x leest een boek.

Z ( x ): x gaat deze middag zwemmen.

B ( x , y ): x is een broer of zus van y.

O ( x , y ): x is ouder dan y.

Beschouw ook deze constanten:

d : Daan

e : Evi

f : Fanny

g : Guus

Dan lees je

L ( f ) als: Fanny leest een boek.

Z ( d ) als: Daan gaat deze middag zwemmen.

B ( g , f ) als: Guus is een broer van Fanny.

O ( d , e ) als: Daan is ouder dan Evi.

Op die uitspraken kun je connectieven toepassen:

L ( f ) ⟹ Z ( g ) lees je als:

Als Fanny een boek leest, dan gaat Guus deze middag zwemmen.

B ( d , f ) ∨ B ( g , f ) lees je als:

Daan of Guus is een broer van Fanny.

Z ( g ) ∧ Z ( d ) lees je als:

Guus en Daan gaan deze middag zwemmen.

¬O ( f , e ) lees je als:

Fanny is niet ouder dan Evi.

B ( d , e ) ⟺ B ( e , d ) lees je als:

Daan is een broer van Evi als en slechts als Evi een zus is van Daan.

Zinnen (uitspraken) kun je met behulp van de predicaten ook formaliseren.

‘Als Evi gaat zwemmen, dan gaan Guus en Daan ook zwemmen’ formaliseer je als :

Z ( e ) ⟹ ( Z ( g ) ∧ Z ( d ))

‘Fanny is niet ouder dan Daan maar Evi wel’ formaliseer je als:

¬O ( f , d ) ∧ O ( e , d )

4 Oefeningen

Gegeven:

PREDICATEN CONSTANTEN

F ( x ): x gaat naar de film.

W ( x ): x gaat wandelen.

P ( x ): x koopt popcorn.

A ( x ): x eet een appel.

Gevraagd:

Hoe lees je volgende uitspraken?

a F (a ) ∧ F ( b )

b ¬ (W ( c ) ∨ W (d ))

c W (a )=⇒ (W ( b ) ∧ A ( b ))

Formaliseer volgende zinnen:

a : Tjebbe

b : Amir

c : Noor

d : Karima

d ( F ( c ) ∧ P ( c )) =⇒ F (d )

e ( F (a ) ∧ P (a )) ∨ ( F (d ) ∧ P (d ))

f ¬ A ( c ) =⇒¬ A ( b )

g Als Tjebbe gaat wandelen, dan gaat Noor naar de film.

h Als Karima naar de film gaat en popcorn koopt, dan gaan Amir en Noor wandelen.

i Amir eet een appel als en slechts als Tjebbe en Noor ook een appel eten.

j Het is niet waar dat Noor en Karima popcorn kochten.

Gegeven:

PREDICATEN CONSTANTEN

R ( x ): x is rood.

G ( x ): x is geel.

B ( x ): x is blauw.

Gevraagd:

Hoe lees je volgende uitspraken?

a R (a )

b ¬G ( b )

c B ( c ) ∧ R ( b )

Formaliseer volgende zinnen:

g Tok is rood en Tik is geel.

a : Tik

b : Tak c : Tok

h Als Tak blauw is, dan is Tik of Tok rood.

i Als Tik en Tak geel zijn, dan is Tok ook geel.

j Het is niet waar dat Tok en Tak beide rood zijn.

k Tik is blauw als en slechts als Tok niet geel is.

l Als Tik rood is, dan is, als Tak geel is, Tok blauw.

d G (a ) ∨ B (a )

e R ( c ) =⇒ B ( b )

f ¬ (R ( b ) ∧ G ( c ))

Gegeven:

PREDICATEN CONSTANTEN

P ( x , y ): x gaat naar y

V ( x , y ): x gaat met y

Gevraagd:

Hoe lees je volgende uitspraken?

a : Arne

b : Belle

c : Charlotte

d : school

e : sportclub

f : de bus

g : de fiets

a P (a , d ) d P ( c , e ) ∧ V ( c , f )

b V ( c , g ) e V (a , d ) ∨ V (a , e )

c ¬P ( b , e ) f P ( b , e )=⇒ V ( b , g )

Formaliseer volgende zinnen:

g Charlotte gaat niet naar school.

h Arne neemt de bus enkel en alleen als hij naar school gaat.

i Charlotte gaat met de fiets naar school.

j Belle gaat niet met de bus naar de sportclub.

Gegeven:

PREDICATEN CONSTANTEN

E ( x , y ): x eet een y .

D ( x , y ): x drinkt y

Gevraagd:

Hoe lees je volgende uitspraken?

c : Charlie d : Daisy

e : Ellen

t : tomaat

w : wortel

f : frisdrank

k : koffie

a E (d , w ) ∧ D (d , f ) d E ( c , t ) =⇒ D ( c , k )

b E ( e , t ) ∨ E ( c , w ) e D ( c , k ) =⇒ (D (d , k ) ∧ D ( e , k ))

c ¬ (D (d , k ) ∧ D ( e , k )) f ( E ( c , w ) ∨ E ( e , w )) =⇒ E (d , w )

Formaliseer volgende zinnen:

g Daisy, Ellen en Charlie eten een tomaat.

h Ellen drinkt frisdrank en Charlie koffie of Ellen drinkt koffie en Charlie frisdrank.

i Het is niet waar dat als Charlie en Daisy een tomaat eten, Ellen dan een wortel eet.

j Als het niet waar is dat Charlie of Daisy een tomaat eet, dan eet Ellen een wortel.

Gegeven zijn volgende predicaten:

PREDICATEN

A ( x ): x is positief (of nul).

B ( x ): x is even.

C ( x ): x is deelbaar door 3.

D ( x ): x is deelbaar door 6.

Gevraagd:

Hoe lees je volgende uitspraken?

a ( A (a ) ∧ A ( b ))=⇒ A (a + b )

b ¬ A (a ) ∧¬ A ( b )=⇒ A (a b )

c B (a ) ∧¬ B ( b )=⇒¬ B (a + b )

d B (a ) ∧ C (a ) ⇐⇒ D (a )

e B (a ) ∧ C ( b )=⇒ D (a · b )

a ( A (a ) ∧ A ( b ))=⇒ A (a + b )

Formaliseer volgende zinnen:

b ¬ A (a ) ∧¬ A ( b )=⇒ A (a b )

f a en b zijn oneven als en slechts als hun product ook oneven is.

c B (a ) ∧¬ B ( b )=⇒¬ B (a + b )

d B (a ) ∧ C (a ) ⇐⇒ D (a )

g Als a + b even is, dan zijn a en b beide even of beide oneven.

e B (a ) ∧ C ( b )=⇒ D (a · b )deelbaar is door 6, dan is a of b deelbaar door 3.

6

h Als

i Als a niet deelbaar is door 6 en deelbaar is door 3, dan is a oneven.

Gegeven zijn volgende predicaten:

PREDICATEN

G ( x , y ) ⟺ x > y: x is groter dan y.

D ( x , y ) ⟺ x | y : x is een deler van y

Gevraagd:

Hoe lees je volgende uitspraken?

a G ( x , y ) ∧ G ( y , z )=⇒ G ( x , z )

b G ( x , y ) ⇐⇒ G ( y , x )

c D (7, x ) ∧ D (3, x )=⇒ D (21, x )

d D ( x , y ) ∧ D ( x , z )=⇒ D ( x , y + z )

Formaliseer volgende zinnen:

e Als x een deler is van 48 en x is een deler van 75, dan is x een deler van 30.

f Als 1 x 1 y groter is dan 1 x 1 y , dan is x niet groter dan y .

g Als x een deler is van y, dan is y groter dan x – 1.

h x is groter dan y als en slechts als x + z groter is dan y + z

i Als 3 een deler is van x, dan is x geen deler van 20.

Gegeven:

PREDICATEN CONSTANTEN

M ( x , y ): x speelt y.

L ( x , y ): x is lid van y

g : gitaar

p : piano

f: fietsclub

b : badmintonclub

a : Arthur

e : Emma

k : Kasper

Verder weet je het volgende:

• Arthur is lid van een fietsclub, niet van een badmintonclub en hij speelt gitaar en piano.

• Emma is lid van een fietsclub en van een badmintonclub, maar speelt geen muziekinstrument.

• Kasper is lid van een badmintonclub, niet van een fietsclub en hij speelt gitaar maar geen piano.

Gevraagd:

Bepaal de waarheidswaarde van volgende uitspraken.

Tip : gebruik de waarheidstafels van pagina 3.

a L (a , f )=⇒¬ (M (a , p ) ∨ M ( e , g ))

b ¬ ( L (k , f ) ∧ L (a , b )) ∨ M ( e , g ) ⇐⇒ L ( e , f ) ∧¬ (M (k , p ) ∨ M ( e , g ))

c M (k , g )=⇒ ( L ( e , f )=⇒ (M (a , p ) ∨ M (a , g )))

d (¬ L (k , f ) ∧ M (a , p ))=⇒ ( L ( e , f ) ∨ M (k , p ))

Gegeven:

PREDICATEN CONSTANTEN

L ( x , y ): x is lid van y . R ( x , y ): x gaat deze zomer op reis naar y

Verder weet je het volgende:

j : jeugdbeweging

h : hockeyclub

p : padelclub

f : Frankrijk

n : Nederland

g : Griekenland

k : Kyan

l : Levi

m : Mila

• Kyan is lid van de padelclub en gaat deze zomer op reis naar Nederland en Griekenland.

• Levi is lid van de jeugdbeweging en de padelclub. Met de jeugdbeweging gaat hij deze zomer op kamp naar Frankrijk en met de padelclub op stage naar Nederland.

• Mila is lid van de jeugdbeweging en de hockeyclub en gaat samen met Kian op reis naar Griekenland.

Gevraagd:

Bepaal de waarheidswaarde van volgende uitspraken. Tip : gebruik de waarheidstafels van pagina 3.

a L (l , p ) ∧ R (l , n ) =⇒ L (k , p )=⇒ R (k , n )

b ¬ L (k , h ) ∨ R (m , g ) ⇐⇒ ¬R (l , f ) ∨ L (m , j )

c ¬ (R (l , n ) ∨ R (m , g )) ∧ R (k , f ) ∨¬ ( L (k , h ) ∧ L (m , j )) ∨ L (l , p )

d L (m , j )=⇒ R (l , g ) ∨ R (m , g )=⇒ L (k , h )

Cartoons Dave Vanroye

Eerste druk 2023 - SO 2023/692 - Bestelnummer 94 505 0362

ISBN 978 90 4864 761 3 - KB D/2023/0147/275 - NUR 126/128/129 - Thema YPMF

Foto’s Adobe stock, fotostock die Keure en auteurs - Lay-out en druk die Keure Verantwoordelijke uitgever N.V. die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge

Die

9 789048 647613

Auteurs Philip Bogaert, Filip Geeurickx, Marc Muylaert, Roger Van Nieuwenhuyze en Erik Willockx

Keure wil het milieu beschermen. Daarom kiezen wij bewust voor papier dat het keurmerk van de Forest Stewardship Council® (FSC®) draagt. Dit product is gemaakt van materiaal afkomstig uit goed beheerde, FSC®-gecertificeerde bossen en andere gecontroleerde bronnen.