Nando 6 D&A - Module 2 Logaritmen - inkijk methode

1 Logaritmen

2 Rekenregels voor logaritmen

3 Problemen oplossen met logaritmen

4 Logaritmische schaal en het getal e Computationeel denken

Signaaloefeningen

Differentiatietraject

Studiewijzer

wat je al kunt

–rekenen met machten met rationale exponenten –berekenen van n-de machtswortels

–de principes van benaderen, afronden en schatten toepassen

wat je leert in deze module

–logaritmen met willekeurig grondtal berekenen met en zonder ICT

–het verband uitleggen tussen machtsverheffing en logaritme

–gegevens voorgesteld op een as met logaritmische schaal interpreteren

–gegevens voorgesteld in een assenstelsel met een logaritmische schaal op één van de assen interpreteren

in de kijker

Je legt het verband tussen machtsverheffing en logaritme.

wiskundetaal

–logaritme –grondtal

–logaritmische schaal –Briggse logaritme

Instap

Opdracht 1

Bacteriën vermenigvuldigen zich snel buiten de koelkast. Op al ons voedsel zitten bacteriën. Soms vergeten we dat ze zich snel kunnen vermenigvuldigen als we bederfelijk voedsel buiten de koelkast laten liggen. Onderstaande afbeelding toont hoe snel 1 bacterie groeit bij kamertemperatuur en bij koelkasttemperatuur. In werkelijkheid zitten er meestal veel meer bacteriën op ons voedsel en als we het een paar uur buiten de koeling bewaren, zullen er nog veel meer bacteriën bij komen.

a) Welk verband herken je tussen de aantallen?

b) Stel een formule op waarmee je het aantal bacteriën kan berekenen in beide gevallen. Vul aan.

c) Stel: we bewaren ons voedsel gekoeld.

• Zet de tabel uit in een grafiek. Verbind de punten met een stippellijn.

• Na hoeveel tijd zijn er 8 bacteriën? En 16 bacteriën?

Duid met pijlen aan hoe je deze tijdstippen moet aflezen in de grafiek.

• Hoeveel bacteriën zijn er na 2 uur? En na 3 uur?

Opdracht 2

Bereken zonder ICT.

Opdracht 3

Bepaal de waarde van n. a)2n = 128

1 Logaritmen

1.1 Definitie

Voorbeelden

2r = 128

r = log2 128 = 7

2r = 120

r = log2 120 ≈ 6,90689

Merk op

3r = 81

r = log3 81 = 4

3r = 80

r = log3 80 ≈ 3,98869

log2 120 ∈ \ log3 80 ∈ \ 26,90689 ≈ 119,99995 33,98869 ≈ 79,99978

Bij de logaritme log2 120 is 2 het grondtal en 120 het argument. Je leest ‘de logaritme in grondtal 2 van 120’. Met log2 120 bereken je de exponent die je het grondtal 2 moet geven om het argument 120 te krijgen.

log2 120 argument

grondtal

definitie in woorden

De logaritme van een gegeven reëel getal b (argument) met gegeven grondtal a is het reëel getal r waarvan de r-de macht van a gelijk is aan b.

In symbolen beperken we de definitie: definitie in symbolen

∀ a ∈ + 0 , b ∈ + , c ∈ :loga b = r ⇔ ar = b

Uit een gegeven macht en een gegeven grondtal bereken je de exponent met de logaritme. We stellen dit schematisch voor:

grondtal a macht b } loga b = r ar = b exponent

Uit deze definitie volgt dadelijk door r te vervangen door loga b dat:

aloga b = b

1.2 Briggse logaritmen

Logaritmen met grondtal 10 noemen we tiendelige of Briggse logaritmen. We noteren die verkort: log10 p = log p

definitie in symbolen

∀ p ∈ + 0 , q ∈ :log p = q ⇔ 10q = p

Uit deze definitie volgt dan ook dat: 10log p = p

1.3 Afronden en schatten

We schatten logaritmen met behulp van machten van het grondtal.

4 < log2 18 < 5want24 = 16en25 = 32

0 < log5 < 1want100 = 1en101 = 10

3 < log0,005 < 2want10 3 = 0,001en10 2 = 0,01

3 < log4 200 < 4want43 = 64en44 = 256

Verwerkingsopdrachten

Schrijf de gegeven macht als een logaritme.

a)24 = 16 ⇒ log 16 =

b) Å 1 3 ã 5 = 243 ⇒ =

c)105 = 100000 ⇒ =

Bereken indien mogelijk zonder ICT. Vul aan.

1, 2

Vereenvoudig zonder ICT.

a)2log2 8 =

b) Å 1 7 ãlog 1 7 9 =

Bereken zonder ICT.

a)log10 = d)log1 =

b)log 1 1000000 =

c)log10 7 =

e)log √10 =

f)log100√10 =

Schat tussen welke 2 gehele getallen de gegeven logaritme ligt.

a)log3 150

c)log2 45

b)log950

d)log0,0074

2 Rekenregels voor logaritmen

Voorbeelden

B) Verschil en quotiënt

C) Macht en product

Uit deze voorbeelden kunnen we drie belangrijke rekenregels voor logaritmen afleiden:

rekenregel in woorden

De logaritme van een product is de som van de logaritmen.

in symbolen

∀ p, q ∈ + 0 :log (p q) = log p + log q

Voorbeeld

log 6 = log ( 2 ⋅ 3) = log 2 + log 3

rekenregel in woorden

De logaritme van een quotiënt is het verschil van de logaritmen.

in symbolen

∀ p, q ∈ + 0 :log p q = log p log q

Voorbeeld

log2 = log 10 5 = log10 log5

rekenregel in woorden

De logaritme van een macht is het product van de exponent met de logaritme van het grondtal.

in symbolen

∀ p ∈ + 0 , ∀ r ∈ :log pr = r ⋅ log p

Voorbeeld

log 16 = log 24 = 4 ⋅ log 2

De waarde van het grondtal heeft geen belang, maar meer algemeen kunnen we stellen dat voor a ∈ + 0 \{1} :

rekenregel ∀ p, q ∈ + 0 :loga (p ⋅ q) = loga p + loga q

∀ p, q ∈ + 0 :loga p q = loga p loga q

∀ p ∈ + 0 , ∀ r ∈ :loga pr = r loga p

We motiveren deze rekenregels in drie stappen:

(1) definitie van de logaritme

(2) rekenregels van machten

(3) definitie van de logaritme

loga (p ⋅ q) = loga Äaloga p ⋅ aloga q ä (1)

= loga Äaloga p+loga q ä (2)

= loga p + loga q (3)

loga p q = loga Ç aloga p aloga q å (1)

= loga Äaloga p loga q ä (2)

= loga p loga q (3)

loga pr = loga Äaloga p är (1)

= loga Äar loga p ä (2)

= r ⋅ loga p (3)

Verwerkingsopdrachten

6 7

Gebruik de rekenregels van logaritmen om de gegeven formule te schrijven als 1 logaritme.

a)log3 + log7 =

3, 4

e)3 (log2 5 log2 3) =

b)log2 6 + log2 3 =

f) 2 (log3 4 + log3 2) =

c)log3 2 2 =

g) 3 (log2 6 log2 4) =

d)2 ⋅ log5 11 =

Toon aan.

a)log12 4 log12 48 = 1

b)log4 1 8 = 3 log4 2

3 Problemen oplossen met logaritmen

3.1 De orde van grootte

Om een ruwe vergelijking te maken van afmetingen, ronden we getallen af naar de dichtstbijzijnde macht van 10.

Als je 1,78 m lang bent, dan ronden we je lengte af naar 100 m. Voor een mug van 6 mm (0,006 m) wordt dat dan 10–2 m.

De hoogte van het Atomium, 102 m, ronden we af naar 102 m.

De orde van grootte voor lengtes is respectievelijk 0, -2 en 2.

Het basisidee: een voorwerp dat 10 keer groter is dan een ander, behoort tot een andere orde.

Je kunt logaritmen gebruiken om de orde van grootte te berekenen. De logaritme log p geeft de orde van grootte van p aan in machten van 10.

log p bepaalt de macht van 10 in p.

1,78 ≈ 100,25 ≈ 100 want log 1,78 ≈ 0,25 ≈ 0

0,006 ≈ 10–2,22 ≈ 10–2 want log 0,006 ≈ -2,2

102 ≈ 102 want log 102 ≈ 2

TIP

Verwar de orde van grootte niet met de wetenschappelijke schrijfwijze. Bv. Een mug is 6 · 10–3 m groot, maar de orde van grootte is hier -2.

Hieronder zie je dat de orde van grootte de vergelijking van deze objecten veel gemakkelijker weergeeft.

Orde van grootte

3.2 De schaal van Richter

Met een seismograaf meet je trillingen in de aardkorst. Trillingen zorgen ervoor dat de seismograaf uitwijkt. Hoe sterker de trilling, hoe groter de uitwijking. De maximale uitwijking noemen we de amplitude.

Om de grootte of de magnitude M van een aardbeving te bepalen, vergelijkt de schaal van Richter de amplitude A (in mm) van de golf op het seismogram met de amplitude A0 (in mm) van de kleinst waarneembare trilling:

M = log Å A A0 ã

Stel A0 = 0,001 mm.

a) De magnitude van de aardbeving uit de figuur is dan:

M = log Å 1,9 0,001 ã ≈ 3,28

b) De magnitude van de kleinst waarneembare trilling is M = log 1 = 0.

c) De meteodienst van Taiwan meldde een eerste beving met een kracht van 5,4 om 1.06 u (18.06 u Belgische tijd), gevolgd om 1.41 u door een aardbeving met een kracht van 6,6. Twee minuten later volgde een naschok met magnitude 6,1.

Wat weten we over A1.41u A1.06u ?

Webepalen A1.41u metbehulpvandeformule:

6,6 = log Å A1.41u 0,001 ã

⇕ rekenregellogaritmevaneendeling

6,6 = log A1.41u log0,001

log A1.41u = 6,6 + log0,001

log A1.41u = 6,6 3

log A1.41u = 3,6

⇕ definitielogaritme

A1.41u = 103,6 ≈ 3981mm

A1.41u

A1.06u = 3981mm 251mm ≈ 15,86

Webepalen A1.06u metbehulpvandeformule:

5,4 = log Å A1.06u 0,001 ã

⇕ rekenregellogaritmevaneendeling

5,4 = log A1.06u log0,001

log A1.06u = 5,4 + log0,001 ⇕

log A1.06u = 5,4 3

log A1.06u = 2,4

⇕ definitielogaritme

A1.06u = 102,4 ≈ 251mm

3.3 Tijdstip van overlijden

Er is een moord gepleegd. Een wetsdokter wil het tijdstip van de moord achterhalen. Hij meet om 9.00 u de lichaamstemperatuur van het lijk: 29,8 °C. De temperatuur in de kamer is op dat moment 20 °C. Een half uur later is de lichaamstemperatuur verder gezakt naar 28,2 °C, terwijl de temperatuur in de kamer constant bleef. We gebruiken de afkoelingswet van Newton om het tijdstip van overlijden te berekenen en gaan ervan uit dat de lichaamstemperatuur bij overlijden gelijk was aan 36,6 °C.

De afkoelingswet:

k ⋅ t = log Å θ S θ0 S ã

met k een constante, S de kamertemperatuur (in °C) en t de tijd (in uur) die nodig was om af te koelen van θ0 (= 36,6 °C) tot θ.

• Meting1:

k ⋅ t = log Å 29,8 20 36,6 20 ã ≈ 0,2289

• Meting2:

k 2 = log Å 28,2 20 29,8 20 ã ≈ 0,0774

We zoeken hieruit t:

t ≈ 0,2289 2 ⋅ ( 0,0774) ≈ 1,479

De persoon overleed 1 uur en 29 minuten vóór de wetsdokter de eerste meting heeft uitgevoerd. Dat was dus rond 7.31 u.

3.4 14 C-dateringsmethode

De 14C-dateringsmethode is een wetenschappelijke methode die op een nauwkeurige manier de ouderdom kan bepalen van organismen. Het wordt vooral gebruikt voor historische studies en binnen de archeologie.

De techniek is gebaseerd op het verval van de koolstof-14-isotoop. Een organisme (plant/dier) neemt tijdens zijn leven voortdurend koolstof (12C en 14C) op. Op het moment dat het doodgaat, stopt die opname en begint het verval van de 14C-isotoop. De hoeveelheid 12C blijft gelijk. De verhouding tussen 14C en 12C in het organisme wordt dus na zijn dood alsmaar kleiner.

De formule:

t = 5730 log2 Å N N0 ã

met t de tijd in jaren, gemeten vanaf het moment van overlijden tot het moment van de datering, N0 = aantal 14 C aantal 12 C = 1,21 10 12 en N degemetenverhouding aantal 14 C aantal 12 C ophetmomentvandedatering.

Ötzi is een heel erg goed bewaard menselijk skelet dat werd gevonden in 1991 aan de Oostenrijks-Italiaanse grens. Men vond in de restanten van Ötzi een verhouding N van 0,637 ⋅ 10–12

t = 5730 ⋅ log2 Ç 0,637 ⋅ 10 12 1,21 10 12 å ≈ 5303

We kunnen er dus van uit gaan dat Ötzi op het moment van de vondst ongeveer 5303 jaar oud was.

©Utzli

Vul de tabel aan.

vliegdekschip

elektron

35 000 000

911 · 10–29

In de Amerikaanse staat Alaska vond op 16 juli 2023 een zware aardbeving plaats. Volgens het Amerikaanse geologische instituut had de schok een magnitude van 7,2. De beving deed zich voor om 22.48 u lokale tijd.

M = log Å A A0 ã met M de magnitude, A de amplitude (in mm) en A0 de amplitude (in mm) van de kleinst waarneembare trilling.

Stel A0 = 0,001 mm. Wat was de amplitude van de golf? Rond af op 1 mm.

Wat was het tijdstip van overlijden als je weet dat de temperatuur in de kamer constant blijft en gelijk is aan 20,3 °C en de volgende metingen plaatsvonden:

• 18.35 u: temperatuur lijk = 30,6 °C

• 19.20 u: temperatuur lijk = 29,5 °C

We gaan ervan uit dat de lichaamstemperatuur bij overlijden gelijk was aan 36,6 °C.

Afkoelingswet van Newton: k t = log Å θ S θ0 S ã met k een constante, S de kamertemperatuur (in °C) en t de tijd (in uur) die nodig was om af te koelen van θ0 (= 36,6 °C ) tot θ

Je schudt een pak kaarten om ervoor te zorgen dat de verschillende kaartsoorten volledig willekeurig verdeeld zitten over het pak.

Het aantal keer a dat je een pak van n kaarten moet schudden om dit te bekomen, bereken je met de formule van Gilbert-Shannon-Reeds:

an = 3 2 log2 n

De formule gaat er wel van uit dat je een perfecte riffle shuffle uitvoert.

a) Hoeveel keer moet je een standaard pak van 52 kaarten schudden?

b) Het spel UNO bevat 108 kaarten. Elise beweert dat je het pak UNO-kaarten twee keer zoveel moet schudden als een standaard pak. Klopt haar redenering? Leg uit met een berekening.

4 Logaritmische schaal en het getal e

4.1 Logaritmische schaal

Voorbeeld

In de grafiek zetten we het Bruto Nationaal Product (BNP) van 2015 uit voor de 26 landen met het grootste BNP. De bedragen worden uitgedrukt in dollar. Ze zijn niet alleen bijzonder groot, maar verschillen ook erg per land. We stellen dezelfde gegevens driemaal anders voor. Bestudeer aandachtig de schaal van de x−as.

BNP per land 2015

België

BNP per land 2015

België

BNP per land 2015

België

Elke x-as loopt tot 20 000 miljard dollar. Door de schaal van de x-as aan te passen slagen we er in om de verschillen tussen de landen met een lager BNP beter in kaart te brengen in grafiek 3. Het is niet nodig om de VS en China uit de grafiek te knippen. We stellen hier het BNP van elk land voor door de logaritme in grondtal 10 van het BNP en laten de x-as starten bij 100 miljard dollar. De maatstrepen zijn achtereenvolgens 100 miljard, 1000 miljard en 10 000 miljard. 1 eenheid extra komt dus overeen met een vertienvoudiging van het BNP. We rekenen even uit:

1 = log (1000 109 ) log (100 109 ) = log (10000 109 ) log (1000 109 ) = …

1 = 12 11 = 13 12 =

De logaritmische schaal is een schaal waarin de afstanden van de punten 1, 2, 3, 4, … tot de oorsprong recht evenredig zijn met de logaritmen van deze getallen. 1 komt dus op de oorsprong te staan.

Op de logaritmische schaal is de afstand tussen 1 en 10 gelijk aan de afstand tussen 10 en 100, de afstand tussen 100 en 1000, …

Dat komt omdat

1 = log10 log1 = log100 log10 = log1000 log100 = …

1 = 1 0 = 2 1 = 3 2 = …

Merk op

Negatieve getallen uit de gewone schaal kunnen we niet voorstellen op de logaritmische schaal met grondtal 10. De logaritme van negatieve getallen bestaat niet.

4.2 Het getal e

Voorbeeld

Als je € 1 op je rekening zet aan een intrest van 100% per jaar, dan staat er na 1 jaar € 2 op je rekening. Maar wat gebeurt er als je intrest uitkeert per half jaar, of per kwartaal of ... en telkens de rente toevoegt aan het gespaarde bedrag?

Probleem begrijpen:

Probleem oplossen:

opstellen van de kwartaalformule:

kwartaal1:1 + 1 4 1

kwartaal2: Å

kwartaal3: Å

kwartaal4: Å

De formule voor n periodes wordt dan:

kn = Å1 + 1 n ãn

Vooreenintrestvan i krijgenwe: kn = Å1 + i n ãn

Vooreenstartkapitaal k0 wordtdat: kn = k0 Å1 + i n ãn

Na t jaarwordtdit: kn = k0 Å1 + i n ãtn

25

Stel nu dat je elke seconde intrest zou uitkeren, dan vinden we met ICT een eindbedrag van € 2,72.

Blijven we dit proces herhalen, dan krijgen we:

n → +∞: k = k0 · eit met e ≈ 2,71…

2,71… is het getal e of het getal van Euler

Continu samengestelde intrest

Nemen we als startkapitaal k0 en als jaarlijkse intrestvoet i, dan kunnen we het eindbedrag k na t jaar berekenen met de formule:

k = k0 ⋅ eit

We spreken in dat geval over continu samengestelde intrest.

Om nu de vraag te kunnen beantwoorden na hoeveel jaar een startkapitaal van € 5000 in waarde verdubbeld is bij een continu samengestelde intrest van 2%, moeten we volgend probleem oplossen:

10000 = 5000 ⋅ e0,02t

2 = e0,02t loge 2 = loge e0,02t loge 2 = 0,02t ln 2 = 0,02t

t ≈ 34,657

Om het beginkapitaal te verdubbelen, zullen we bijna 35 jaar moeten wachten.

Merk op

De logaritme met grondtal e noemen we de natuurlijke logaritme en noteren we met ln. Het getal e kunnen we niet schrijven als een breuk. Het decimale gedeelte is immers oneindig lang en niet repeterend. Om e te benaderen, gebruiken we Å1 + 1 n ãn . De echte waarde van e verkrijg je door n oneindig groot te nemen.

Wiskundige ICT-tools voorzien een button om ex en ln x te berekenen voor een geschikt reëel getal x. Alle eigenschappen en regenregels van logaritmen in grondtal a blijven natuurlijk geldig voor de logaritme in grondtal e

12

Vul aan en schrap wat niet past.

De afstand tussen twee positieve getallen in de gewone schaal is steeds groter/kleiner dan de afstand tussen deze twee getallen op de logaritmische schaal.

De logaritmische schaal bevat ook negatieve getallen. Deze vind je terug in de gewone schaal tussen en

Op de logaritmische schaal is de afstand tussen 1 en 1000 even groot als tussen 1000 en .

De logaritmische schaal is wel/niet geschikt om kleine positieve getallen voor te stellen.

13

Welk startkapitaal levert na 5 jaar € 10 000 bij een intrestvoet van 2% per jaar die maandelijks samengesteld wordt?

14

Bereken met ICT tot op 3 decimalen nauwkeurig.

a) en ≈ c) √e ≈

b) e0,4 ≈ d) e 1 ≈

15

Bereken zonder ICT.

a)ln e = d)ln0 =

b)ln1 = e)ln e2 =

c)ln 1 √e = f)ln 3 √e =

Signaaloefeningen

Bereken indien mogelijk zonder ICT. Vul aan.

a)log3 0 = want3 = 0

b)log6 216 = want6 = 216

c)log8 83 = want8 = 83

d)log4 1 64 = want4 = 1 64

e)log13 13 = want13 = 13

f)log1 3 = want1 = 3

2

Bereken zonder ICT.

a)log10000 =

c)log √1000 =

b)log0,01 = d)log Ä1000√10ä =

3

Vereenvoudig tot één logaritme.

a)2 log5 + log3 = d)1 log√2 3 =

b) 1 2 log6 4 log6 3 = e)3 log7 5 log2 =

c) 1 3 log2 5 + log2 (3) 2 =

f)9 + log3 2 =

5

Toon aan.

a) log3 54 = 3 + log3 2

b) log2 6 + log2 3 - 1 = 2 · log2 3

6

Als je een getal digitaal wil opslaan, dan gebeurt dit in binaire vorm. Elke bit (0 of 1) neemt één geheugenplaats in.

a) Vul het schema verder aan.

getal ( x ) binaire voorstelling aantal plaatsen log

b) Hoeveel geheugenplaatsen moet je voorzien voor het getal 11213112512213?

a) Bereken met de 14C-dateringsmethode (zie 3.4) de ouderdom van een fossiel die gevonden werd met een gemeten 14C/12Cverhouding van 0,355 ⋅ 10–12 op het moment van de vondst.

>>> Verder oefenen : D12 t.e.m. D16

b) Wat zou de gemeten 14C/12C-verhouding zijn van een fossiel die 10 000 jaar oud is op het moment van de vondst?

Richter besefte al snel dat aardbevingen zeer divers zijn in sterkte. Om de getallen klein te houden, gebruikte hij de logaritmische schaal.

In de grafiek wordt de magnitude van de beving weergegeven in functie van de lengte van de pieken op de seismograaf (in μm).

Vul aan.

a) Als de seismografische pen 1 mm uitwijkt, dan is de magnitude van de aardbeving gelijk aan

b) Als de pen 10 keer zo veel uitwijkt, dan is de magnitude van de aardbeving gelijk aan .

c) Als de orde van grootte van de uitwijking met 3 orden stijgt, dan wijkt de pen keer zoveel uit en is de magnitude van de aardbeving gelijk aan Vereenvoudig zonder ICT. a)

Differentiatietraject

a) De logaritme is een alternatieve schrijfwijze voor een macht. Je hebt 4 factoren van 3 nodig om als product 81 te krijgen, want 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81. Hoeveel factoren van 2 heb je nodig om als product 64 te krijgen?

b) Vul de schema’s aan.

2 3

c) Vul de tekst aan. Lees af uit de schema’s: Het resultaat van de macht wordt het … van de logaritme. De … van de macht wordt het resultaat van de logaritme. Het … van de macht en het … van de logaritme blijven steeds hetzelfde.

d) Vul aan.

log7 343 = 3 ⇔ 73 = 343

Uit de macht … met grondtal … bereken je met de logaritme in grondtal … de exponent … .

Schrijf de gegeven macht als een logaritme. Vul aan.

a) π9 ≈ 29809,09933 ⇒ logπ … = …

b)35 = 343 ⇒ … = …

c)10 3 = 0,001 ⇒ … = …

4 5

Vereenvoudig zonder ICT.

a)3log3 5

b) Å 1 5 ãlog 1 5 2

Leg in je eigen woorden uit waarom je geen logaritme kan berekenen van een negatief getal.

Schat tussen welke 2 gehele getallen de gegeven logaritme ligt.

a)log9870

b)log3 500

c)log2 97

d)log5 1200

Bereken zonder ICT.

a)log0,001 = …

b)log 1 1000 = …

c)log1000000 = …

d)log 5 √100

10 = …

e)log 100√10

4 √1000 = …

Vereenvoudig zonder ICT.

a)10log2

b)10log7,35

c)0,1log3

d) 5 log 1 5 2

8

Gebruik ICT om het gegeven reëel getal te schrijven in de vorm 10* met * tot op vier decimalen nauwkeurig.

Voorbeeld: 7 = 10log 7 ≈100,8451

a) 5

b) 70

c) 3000

d) 0,4

e) 0,004

f) 13

g) 1212

h) 0,75

i) 0,35

j) 0,000035

9

Bereken met ICT de logaritmen en leg het verband uit.

log 3 ≈ 0,477 log 30 = 1,477 log ( 3) + 1 = log 30

log30 = log(3)+ 1want:

log30 = log(3 10)

= log (100,477 ⋅ 101 )

= log101,477

= 1,477

= 0,477 + 1

= log3 + 1

a)log2 log200 log(2)+ 2

b)log3 log30000 log(3)+ 4

c)log2 log0,00002 log(2) 5

d)log5 log0,005 log(5) 3

10

Bereken het getal p met behulp van de definitie van de logaritme.

a)log p = 0

b)log p = 1

c)log p = 2

d)log p = 3

e)log p = 1 2

11

f)log p = 1 3

g)log p ≈ 0,84509804

h)log p ≈ 0,903089987

i)log p ≈ 0,6989700043

j)log p = π

Je weet dat √2 niet kan geschreven worden als een echte breuk van de vorm p q met p, q ∈ en q ≠ 0 Algemeen kan je zeggen dat √a alleen rationaal is indien a het kwadraat is van een breuk. Maar hoe zit dat met logaritmen?

log2 5 = p q ⇒ 2 p q = 5 ⇕

2p = 5q

eindigtop eindigtop5 2,4,6of8

a)Totwelkeverzamelingbehoortlog2 5?

b)Argumenteerzelfdatlog2 3 ∈ \

c)Wanneerisloga b rationaal?

12

Vereenvoudig tot één logaritme.

a)3 ⋅ log4 5 ⋅ log2

b)2 log3 (2)+ 4

c)log3 + log7

d)log5 + log2

e)log30 log5

f)log3 log4

g)log5 3 log5 7

13

Vereenvoudig tot 1 logaritme of schrijf als één rationaal getal.

a)log3 5 + log3 0,3

b)log2 3 + log2 4 + log2 5

c)1 + log0,9 5

d)1 log√2 3

e) log125 log25

14

Vereenvoudig tot 1 logaritme.

a)3log5 + 5log3

b) 1 5 log3 1 32

c)1 + 2log2 + log 1 4

d) 1 3 ⋅ log2 5 + log2 3 + 2

e)loga 30 2

f)log 1 3 + log6 + 1

15

Vereenvoudig tot 1 logaritme.

a)logm 60 4

b)2 log3 p

c)7 1 3 logn 4 logn 5

16

Als x = log3 p, y = log3 q en z = log3 r, herschrijf dan de gegeven uitdrukkingen uitsluitend in x, y en z

a)log3 (pq)

b)log3 Å p rq ã

c)log3 Ç p2 q3 r å

d)log3 (p 3 q2 )

e)log3 Å √pq r4 ã

f)log3 Å 3 √p 4 √q 5 √r ã

17

Vul de tabel aan.

object afmeting (in m) orde van grootte plantencel

foetus van 20 weken

vliegdekschip

diameter zon

4,5 · 10–5

2,5 · 10–1

337

696 340 000

18

Bepaal de magnitude M van een aardbeving als je weet dat A0 = 0,001 mm en A = 450 mm.

Rond af op 4 decimalen.

M = log Å A A0 ã

19

Je meet de sterkte van een geluid, of het geluidsniveau L, in decibel (dB), met de formule:

L = (10 log I) + 120met I deintensiteitin W m2

a) In een discotheek is I = 10 2 W m2 . Hoeveel dB is dat?

b) Als een eigenaar de geluidsinstallatie tweemaal krachtiger maakt, hoeveel decibel kan hij dan extra produceren? Vul de vuistregel aan: “Een verdubbeling van de intensiteit komt overeen met een verhoging van het geluidsniveau met … dB.”

c) In onderstaande folder lees je hoelang je veilig naar luide muziek mag luisteren. Hoelang is het veilig voor je oren op een festivalweide waar L = 100 dB?

Geluiden onder de 75 dB zijn veilig. Bij sterkere geluiden, moet je ervoor zorgen dat je je oren niet te lang blootstelt. Zo bereik je bij geluiden van 85 dB na 8 uur de geluidsgrens. Per 3 dB die er bij komt, krijg je ongeveer een verdubbeling van de geluidsdruk op je trommelvlies.

88 dB is dus slechts 4 uur veilig, 91 dB slechts 2 uur.

De pH is een logaritmische schaal om de zuurtegraad van een vloeistof te beschrijven en bereikt waarden tussen 1 en 14. Elk punt van de schaal betekent een tienvoudige verandering van de waarde. De pH is het negatief logaritme van de evenwichtsconcentratie aan H3O+-ionen (in mol/liter). In formulevorm kunnen we de pH-waarde als volgt definiëren:

ammoniakoplossing

batterij

maagzuur citroen limonade tomaat koffie

bleekwater maagtabletten

melk water bloed eiwit zeep ontstopper

zuur neutraal basisch

a) Wat is de pH-waarde van een oplossing met een H3O+-concentratie van 6,23 ⋅ 10–4 mol/liter?

b) Wat is de H3O+-concentratie van Coca-Cola als je weet dat Coca-Cola een pH-waarde heeft van 2,8? Geef je antwoord in wetenschappelijke schrijfwijze en in mol/liter.

De absolute helderheid M van een ster is de helderheid die ze zou hebben als ze op een afstand van 10 parsec, ongeveer 32,6 lichtjaren, van de aarde zou staan.

M = m + 5 - 5 ⋅ log d met m de schijnbare helderheid van de ster en d de afstand t.o.v. de aarde, uitgedrukt in parsec

a) Wat is de absolute helderheid van de ster Rigel met een schijnbare helderheid van 0,18 en een afstand van 265,12 parsec? Rond af op 2 decimalen.

b) 1 parsec ≈ 3,26 lichtjaren ≈ 3,1 ⋅ 1013 km Wat is de absolute helderheid van de ster Pollux die op een afstand van 33,785 lichtjaren van de aarde ligt en een schijnbare helderheid heeft van 1,14? Rond af op 2 decimalen.

TIP

c) Wat is de afstand van de ster Mintaka tot de aarde (in kilometer) als je weet dat zijn schijnbare helderheid gelijk is aan 2,23 en zijn absolute helderheid -4,99 bedraagt? Geef je antwoord in wetenschappelijke schrijfwijze.

Je lanceert een weerballon vanaf zeeniveau met een barometer aan boord. De luchtdruk gaat van 1013 hPa naar 600 hPa. Benader de luchtdruk met de formule p = 1013 10 h 8,4 met h de hoogte in meter.

a) Wat is de eenheid van p ?

b) Wat is de betekenis van p(5)?

c) Hoeveel meter is de ballon gestegen?

Een parsec is een astronomische eenheid die wordt gebruikt om afstanden in de ruimte te meten, voornamelijk buiten ons zonnestelsel.

Hermann Ebbinghaus onderzocht van 1880 tot 1885 hoe snel je in de loop der tijd informatie vergeet als je de informatie niet herhaalt. Hij registreert de tijd die je nodig hebt om een reeks lettergrepen te memoriseren. Vervolgens wacht hij t minuten.

Je mag in deze periode de lettergrepen niet opnieuw inoefenen. Tenslotte meet hij opnieuw de tijd die je nodig hebt om diezelfde reeks te memoriseren en berekent de tijdswinst b in procent. Een percentage van 75% betekent dat je één vierde van je oorspronkelijke tijd nodig hebt om alle lettergrepen opnieuw te memoriseren. Ebbinghaus benadert zijn vergeetcurve met deze formule:

b = 184

4 »(log (t + 1))5 + 1,84

a) Je doet er 10 minuten over om een nieuwe reeks lettergrepen te memoriseren. Hoeveel minuten zal het je kosten als je na 20 minuten de lettergrepen opnieuw moet instuderen?

b) En na 1 uur?

Volgens de wet van Benford is er in de begincijfers van getallen in grote dataverzamelingen een bepaalde regelmaat te ontdekken. Verrassend vaak is het begincijfer van dergelijke getallen een 1, namelijk ongeveer één op de drie getallen. Iets minder vaak is het begincijfer een 2, nog iets minder vaak 3 enzovoort. Zo stelt de wet van Benford dat de kans dat een getal in een dataverzameling start met het cijfer d gelijk is aan:

P(D = d)= log Å1 + 1 d ã.

We bekijken het begincijfer van het aantal inwoners van alle gemeenten in België in 2022.

a) Vul de tabel aan.

b) Teken met ICT beide grafieken.

c) Analyseer de wet van Benford op de bevolkingsaantallen van de Belgische gemeenten? Komt het waargenomen aantal overeen met de wet?

Je meet de sterkte van een geluid, of het geluidsniveau L, in decibel (dB), met de formule:

L = (10 log I) + 120met I deintensiteitin W m2 .

a) Welke intensiteit If heeft een fluistergesprek?

b) Welke intensiteit Ig heeft een gewoon gesprek?

c) Behoren If en Ig tot dezelfde orde van grootte? Verklaar.

d) Tijdens een voetbalwedstrijd moedigen 50 000 supporters hun team aan. De scheidsrechter draagt oordopjes met een demping van 15 dB. Hoeveel supporters zou je naar huis moeten sturen om dezelfde demping te bekomen, zonder oordopjes?

Je berekent de luchtdruk in hPa met de formule

p = 103 ⋅ (0,9665904) h θ+273,15 met h dehoogteinm, θ detemperatuurin°Cen p dedrukinhPa

a) Wat is de atmosferische druk op zeeniveau?

b) Als je je op 6000 m hoogte bevindt bij een temperatuur van 5 °C, hoeveel bedraagt dan de atmosferische druk? Rond af op 2 decimalen.

c) Hoeveel meter moet je stijgen opdat de atmosferische druk halveert?

Radioactieve tracers worden gebruikt in de geneeskunde. Ze worden geïnjecteerd in of doorgeslikt door de patiënt. Zieke weefsels zoals tumoren nemen de tracer sneller op. Op die manier zullen ze als heldere vlekken verschijnen op scans. Dit soort van radioactieve tracers hebben een korte halfwaardetijd om de stralingsdosis voor de patiënt te beperken.

tracer halfwaardetijd gebruik

Jodium - 131 8 dagen lokaliseren hersentumoren, monitoren hart- en leveractiviteit

Koolstof - 14 5730 jaar bestuderen van veranderingen in het metabolisme

Koolstof - 11 20 minuten gebonden aan glucose om organen te monitoren tijdens een PET-scan

Natrium - 24 15 uur bloedcirculatie

Thallium - 201 73 uur beschadigd hartweefsel

Technetium - 99 6 uur opsporen hersentumoren en beschadigde cellen in het hart

a) De halfwaardetijd van een radioactief materiaal is 12 uur. Hoelang duurt het tot er nog maar 1 g overblijft?

b) Hoeveel % van elke tracer is nog actief na 36 uur? En na 1 week? En 1 maand? Neem als starttijd het moment van injectie of inname. Ga ervan uit dat op dat moment 100% van de hoeveelheid opgenomen tracers actief is.

We gaan binair zoeken in een gesorteerde lijst. Denk bijvoorbeeld aan een woordenboek. Neem van de gesorteerde woordenlijst het middelste woord en vergelijk het zoekwoord. Herhaal tot je het zoekwoord gevonden hebt. Als er geen middelste woord is, neem je van de twee middelste woorden het eerste. Voorbeeld

ZOEKWOORD = DANA

Zoekstap 1

Zoekstap 2

Zoekstap 3

Middelste naam Ella

Dana < Ella

Dana > Britt

Dana < Caro

LIJST: Aya – Britt – Caro – Dana – Ella – Fien – Griet – Hilde - Ine

Hoeveel zoekstappen heb je maximaal nodig in een gesorteerde lijst van n woorden?

Britt en Caro

Caro en Dana

De hoofdtabel van Wimbledon bij het enkelspel voor de vrouwen telt 128 speelsters. De winnaar van een duel gaat door naar de volgende ronde. De verliezer valt af.

a) Hoeveel rondes heb je nodig om de winnares van het toernooi te bepalen?

b) Als de organisatoren een hoofdtabel zouden maken van 1024 speelsters, hoeveel rondes hebben ze dan nodig?

c) Hoeveel rondes hebben ze nodig voor n speelsters in de hoofdtabel waarbij n een macht is van 2?

d) Als n geen macht is van 2, dan blijft er in sommige rondes één speelster aan de zijlijn staan. Onderzoek wat er gebeurt in een toernooi met respectievelijk 3, 5 en 7 speelsters en pas de formule aan die je in vraag c) vond.

Om de ouderdom van een rivierenstelsel en de doorlaatbaarheid van de ondergrond weer te geven, kan je de orde van Strahler gebruiken. Elke stroom krijgt een getal. Als twee stromen van dezelfde orde samenvloeien, dan gaat de orde met 1 omhoog. Hiernaast zie je een voorbeeld van een rivierenstelsel met 13 stromen.

a) Wat is de grootste orde voor een rivierenstelsel met 32 stromen?

b) Wat is de grootste orde voor een rivierenstelsel met n stromen?

Bereken zonder ICT of vereenvoudig.

a)ln 1 e c)ln 2 e

b)ln 1 e3 d)ln e4

Bepaal x met behulp van de definitie.

a)ln x = 2

b)ln x = 3

c)ln x = 0

d)ln x = 1

e)ln x = 5,147

f)ln x = 7,195

Schrijf de rekenregels uit voor ln x

a)ln xy = …

b)ln x y = …

c)ln xp = …

Schrijf als 1 logaritme.

a)ln4 + ln9

b)ln9 ln4

c)ln13 + ln2 + ln3

d)ln0,1 + ln2

e)ln4 ln0,25

f)ln4 ln5 + ln6 ln7

De Scoville-schaal is een manier om te meten hoe pittig of heet een chilipeper of een ander pittig voedingsmiddel is. Het idee is om de hoeveelheid capsaïcine te meten, dat is de stof in pepers die het branderig gevoel in de mond veroorzaakt. Op de Scoville-schaal krijgt een peper een getal toegewezen dat aangeeft hoeveel verdunning met water er nodig is voordat mensen de pittigheid niet meer kunnen proeven. Hoe hoger het Scoville-getal, hoe heter de peper.

a) Vul aan de hand van de infographic de klasse aan van onderstaande pepers.

b) Vergelijk de pepers in een staafdiagram. Zet de pepers uit op de y-as en de (maximale) sterkte op de x-as. Gebruik een logaritmische schaal voor de x-as. Deze as hanteer je als vereenvoudigde Scoville-schaal.

c) Vergelijk het Scoville-getal en de vereenvoudigde Scoville-schaal. Zet het Scoville-getal op de y-as en de vereenvoudigde Scovile-schaal op de x-as. Maak een scatterplot van de pepers.

Leg uit waarom je ln (-5) en ln 0 niet kan berekenen.

Je belegt € 6750 aan een samengestelde intrest van 1,5%. Hoeveel bedraagt je eindkapitaal na 7 jaar?

38

Schrijf met behulp van ICT de gegeven getallen in de vorm ep. Geef de waarde van p tot op 3 decimalen.

a) 4

b) 40

c) 400

d) 0,4

e) 0,04

39

Zet in de vorm van ln p

a)5ln2 + 3ln2

b) 1 2 ln9 2ln2

c)ln13 + ln2 + ln3

d) ln0,1

e) ln 1 3 1 2 ⋅ ln 1 9

40

De Wet van Moore zegt dat het aantal kleine onderdeeltjes in computerchips, transistoren, elke twee jaar verdubbelt. Hierdoor worden onze computers steeds sneller en krachtiger, en de prijzen van deze chips dalen. Ondertussen zijn de deeltjes echter zo klein geworden dat wetenschappers stilaan tegen de limieten van de fysica lijken te lopen. Bekijk de grafiek via de QR-code.

a) Hoe wordt deze wet geïllustreerd op de grafiek?

b) Hoe kan je zien dat de schaal op de y-as logaritmisch is met grondtal 10?

c) Hoeveel transistoren moet een microchip op dit moment bevatten om te voldoen aan de Wet van Moore?

d) Zoek op de grafiek twee computerchips die zeer goed beantwoorden aan de regelmaat die de wet van Moore oplegt.

41

Je belegging met een samengestelde intrest van 3% is na 10 jaar € 7890 waard. Wat was je startkapitaal?

42

De ”Vulkaanuitbarstingsindex”(VUI) is een maat waarmee wetenschappers de kracht en omvang van vulkanische uitbarstingen beoordelen. Hoe krachtiger de uitbarsting, hoe meer vulkanisch as en puimsteen de vulkaan uitstoot. De totale uitstoot geeft direct de kracht weer. Als je de figuur bestudeert, merk je dat het moeilijk wordt om deze hoeveelheden, uitgedrukt in km³ te vergelijken.

a) De VUI-schaal lijkt logaritmisch. Waarom wel? En waarom niet? Hoe zou de schaal er moeten uitzien?

b) In januari 2022 barstte de onderzeese vulkaan Hunga Tonga-Hunga Ha’apai uit. De VUI werd geschat op 5. Hoeveel km3 vulkanische as en puimsteen stootte deze vulkaan uit?

VUI Totale uitstoot Voorbeelden

Mount St. Helens (2004)

Mount Helens (1989)

Mount St. Helens (1980)

Merapi, Indonesië (2010)

Mount St. Helens (1980)

Pinatubo (1991) Krakatau (1883)

Tambora (1815)

Mazama (7700 jaar geleden)

Long Valley Caldera (760 000 jaar geleden)

Yellowstone Caldera (600 000 jaar geleden)

c) Zeldzame en zeer grote uitbarstingen maakten Yellowstone beroemd. De grootste uitbarstingen in Yellowstone, zoals de uitbarsting die 631 000 jaar geleden de Yellowstone Caldera vormde, stootte minstens 1000 kubieke kilometer explosieve materialen en enorme aswolken uit in de stratosfeer zoals blijkt uit de wijdverspreide asafzettingen. Wat is de VUI van deze uitbarsting?

43

Niet-levende objecten nemen geen koolstof op. De 14C-dateringsmethode kunnen we niet toepassen om de ouderdom van niet-levende objecten na te gaan. Gelukkig bestaan er andere alternatieven. Eén daarvan is gebaseerd op hetzelfde principe: de kalium-argon datering. Die kan je gebruiken voor het dateren van stollingsgesteenten. In gesteente zit van nature kalium. Hiervan is een gedeelte radioactief. Het radioactieve isotoop 40K vervalt in de tijd tot 40K in gasvorm. Als het gesteente vloeibaar is, zoals bij lava, dan verdampt het aanwezige 40Ar. Eenmaal de lava afgekoeld en gestold, zal het verval wel verdergaan, maar kan het 40Ar niet meer ontsnappen. Het hoopt zich op in het gesteente. Omdat je de halfwaardetijd van 40K kent, kan je uit de verhouding van 40K en 40Ar in een monster de ouderdom van het gesteente berekenen.

Formule: t = t 1 2 ln2 ln Ñ Kf + Arf 0,109 Kf é met

t deverstrekentijdinjaren,

t 1 2 = 1,248 ⋅ 109 ,dehalfwaardetijdvan 40 Kinjaren

Kf deresterendehoeveelheid 40 K-atomenen

Arf dehoeveelheid 40 Ar-atomen

Wat is de ouderdom van een gesteente met een resterende hoeveelheid van 125 40K-atomen en 94 40Ar-atomen?

Gegeven is de rekenregel

logg x = loga x loga g

Toon aan dat onderstaande gelijkheden kloppen.

a)ln x = log x log e = loga x loga e

b)loga x = ln x ln a

Computationeel denken

Toepassingen logaritmen

Toepassing 1

In deze module zag je al dat geluidssterkte wordt uitgedrukt in decibel. Bij festivals is het belangrijk om een goed zicht te hebben op het geluidsniveau op iedere plek van de weide en net daarbuiten.

In dit onderdeel proberen we code te schrijven die voor een vierkant festivalterrein het geluidsniveau aanduidt in kleur. We simuleren ook het effect van het invoeren van geluidswerende panelen op de terreingrenzen voor de omwonenden.

Let op, dit is een sterk vereenvoudigde voorstelling van de werkelijkheid. Zo vereenvoudigen we het podium tot een puntbron en veronderstellen we ook dat er zich geen obstakels bevinden op het terrein.

Toepassing 1

In deze code maken we gebruik van Numpy en Matplotlib. Aan jou om te ontdekken wat je hiermee allemaal kan.

Begrijp je de code?

a) Omschrijf in eigen woorden de werking van volgende commando’s:

- np.linspace(0.01, 10, 100):

- np.arrange(0, 11, 1):

b) Noteer (een stukje van) de variabele y:

c) Wat gebeurt er als we np.arrange(0, 11, 1) vervangen door np.arrange(0, 10, 0.5)?

d) Verbind alle ‘labels’ uit de code met de overeenkomstige titels op de grafiek.

Toepassing 2

Open de bijhorende zipfile via POLPO en bekijk de Pythoncode.

Begrijp je de code?

a) Hoe groot is het festivalterrein?

b) Waar in de code vind je de wet die stelt dat de geluidsintensiteit omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand tot de geluidsbron?

c) Waar in de code vind je de formule L = 10 log ( I) + 120 terug? Wat is het verschil tussen de code en de formule?

d) Pas de code aan zodat je gebruik maakt van de gekende formule voor L.

e) Aan welk geluidsniveau wordt een persoon blootgesteld die zich op (80, 40) bevindt?

f) Op lijn 15 voegen we het volgende toe: intensiteit[(Y>=80)|(x>=80)] /= 10**(2)

- Wat simuleren we met dit stukje code?

- Wat is het effect voor personen die zich in dit gebied bevinden?

Studiewijzer

Differentiatietraject Doelen

Ik

Ik

Ik

Ik

de logaritmische schaal en het getal e en kan deze gebruiken in toepassingen.

verwerking : 12, 13, 14, 15 signaal : 8

: 31 t.e.m. 44

Auteurs Kim Houben en Dries Vrijsen - Met medewerking van Björn Carreyn

Eerste druk 2023 - SO 2023/0797 - Bestelnummer 65 900 0843 (module 02 van 06)

ISBN 978 90 4864 799 6 - KB D/2024/0147/32 - NUR 128/129 - Thema YPMF

Illustrator Jona Jamart - Design en lay-out die Keure

Verantwoordelijke uitgever die Keure, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge

RPR 0405 108 325 - © Copyright die Keure, Brugge