Nando 5 D Economie/Wetenschappen - Leerboek A - inkijk methode

Nando 5

D-finaliteit

Economie/wetenschappen

Auteurs

Tanja Bex, Björn Carreyn, Sarah Eeckhaudt, Kim Houben en Dries Vrijsen

AAN DE SLAG MET NANDO

Nando bestaat uit verschillende hoofdstukken. Naast de gewone hoofdstukken is er een consolidatiehoofdstuk. Dit bevat herhalingsoefeningen in de verschillende pepercategorieën over de voorgaande hoofdstukken.

Elk hoofdstuk is opgebouwd volgens dezelfde principes.

De cover

Aan het begin van een hoofdstuk vind je aan de rechterkant welke leerstof je al moet kennen vanuit de voorbije hoofdstukken/jaren en welke leerstof je in het hoofdstuk zult leren. Er onder staat een vaardigheid uit het hoofdstuk in de kijker en de wiskundetaal die aan bod komt in het hoofdstuk.

De leerinhoud

Elk hoofdstuk begint met een instap

Deze opdrachten zijn een opstap naar de nieuwe leerstof die aan bod zal komen.

Na de instap wordt de nieuwe leerstof behandeld in verschillende onderdelen.

Elk stuk nieuwe leerstof eindigt met een aantal verwerkingsopdrachten.

Deze opdrachten zijn bedoeld om de leerstof in te oefenen en te verwerken. Bij het begin van de verwerkingsopdrachten staat in de rechterbovenhoek een verwijzing naar de bijhorende signaaloefeningen.

Na alle leerstofonderdelen volgen de signaaloefeningen.

Deze oefeningen toetsen een doelstelling en zijn een maatstaf om te zien of je de leerstof onder de knie hebt. Bij elke signaaloefening staat een verwijzing naar de bijhorende differentiatieoefeningen.

In het differentiatietraject staan oefeningen per onderdeel in verschillende pepercategorieën.

Je stippelt een individueel oefentraject uit, afhankelijk van je resultaat bij de signaaloefeningen.

Deze oefeningen zijn een aanzet om de leerstof beter te verwerven.

( ) Deze oefeningen zijn ideaal om de leerstof verder in te oefenen.

( ) Deze oefeningen dagen je extra uit om je in de leerstof te verdiepen.

De studiewijzer

De studiewijzer helpt je om een eigen oefentraject uit te stippelen. Gebruik de tabel om de oefeningen aan te duiden die jij zal maken. Onder de tabel vind je bij elke doelstelling een handige studeertip en een verwijzing naar de bijhorende oefeningen.

Handig om te weten

Dit logo verwijst naar STEM-oefeningen.

Dit logo verwijst naar opdrachten waarbij computationeel denken aan bod komt.

Dit logo verwijst naar een statistische onderzoeksvraag.

Dit logo verwijst naar het gebruik van Python.

Wat je al kunt

– hoofdbewerkingen met rationale getallen

– vierkantswortels van reële getallen berekenen met en zonder ICT

– rekenen met machten met gehele exponenten

– getallen vergelijken en ordenen

– getallen omzetten van de ene vorm naar de andere met behulp van ICT: decimale vorm, breuk, wortelvorm en procent

– afronden, benaderen en schatten

Wat je leert in dit hoofdstuk

– n-de machtswortels berekenen met en zonder ICT in zuiver wiskundige en realistische problemen

– machten met rationale exponent berekenen met en zonder ICT, in zuiver wiskundige en realistische problemen

– het verband tussen machtsverheffing en worteltrekking

In de kijker

Je zet getallen om van de ene vorm naar de andere

Wiskundetaal

– macht

– grondtal

– exponent

– n-de machtswortel met n ∈ {0,1}

– machten met rationale exponenten

– machtsverheffing

– worteltrekking

Instap

Opdracht 1

Vul aan.

a) … en … zijnvierkantswortelsvan16want ( … )2 =( … )2 = 16.

√16 = … isdepositievevierkantswortel.

√16 = … isdenegatievevierkantswortel.

b) … en … zijnvierkantswortelsvan81want ( … )2 =( … )2 = 81.

√81 = … isdepositievevierkantswortel.

√81 = … isdenegatievevierkantswortel.

c) √12en √12zijnvierkantswortelsvan … want …

d) √6en √6zijnvierkantswortelsvan … want …

Opdracht 2

Een vierkante pop-it fidget toy bevat 256 bolletjes. Hoeveel bolletjes heeft één zijde?.

1 Vierkantswortels en derdemachtswortels

1.1 Vierkantswortel van een positief reëel getal

Als we de waarde van X willen berekenen in deze evenredigheid stellen we vast dat er twee oplossingen zijn.

Er zijn twee reële getallen waarvan het kwadraat 16 is : namelijk 4 en -4.

√16isde positievevierkantswortel uit16.

√16isde negatievevierkantswortel uit16.

definitie in woorden

8 x = x 2

x2 = 16

x = √16of x = √16

x = 4of x = 4

b is de positieve vierkantswortel uit een positief reëel getal a als en slechts als het kwadraat van b > 0 gelijk is aan a in symbolen

a, b > 0: √a = b ⇔ b2 = a

definitie in woorden

b is de negatieve vierkantswortel uit een positief reëel getal a als en slechts als het kwadraat van b < 0 gelijk is aan a. in symbolen

a > 0, b < 0: √a = b ⇔ b2 = a

Merk op

• Je kan van elk strikt positief getal een positieve en een negatieve vierkantswortel bepalen. Als we spreken over de vierkantswortel van een positief reëel getal, bedoelen we de positieve vierkantswortel van dat getal.

• De positieve en negatieve vierkantswortel van 0 is gelijk aan 0. √0 = 0 = √0

• Je kan geen vierkantswortel bepalen van een strikt negatief getal. Je kan bijvoorbeeld geen reële x-waarden vinden waarvoor x2 = 25

• 72 = √49 = 7

( 7)2 = √49 = 7

Algemeen: a2 = |a|

• De vierkantswortel trekken is de inverse bewerking van het kwadraat nemen.

Bij het rekenen met vierkantswortels benader je het resultaat vaak met een decimale vorm. Er zijn drie decimale vormen: vorm voorbeeld

eindig

oneindig met repeterend deel (= periode)

oneindig niet repeterend

2,25 = 1,5

2,25 = 1,5

2,25 = 1,5

1 9 = 1 3 = 0,333…

1 9 = 1 3 = 0,333…

1 9 = 1 3 = 0,333…

(de periode is 3)

√3 = 1,732050808…

√3 = 1,732050808…

√3 = 1,732050808…

Oneindig decimale vormen rond je vaak af tot de gewenste nauwkeurigheid. Hiervoor pas je de afrondingsregels toe.

Voorbeelden

• Weronden √3afop6decimalenendoendatalsvolgt:

Neemhet7e decimalecijfer.

→ Isditcijfergroterdanofgelijkaan5,danrondjehet6e decimalecijferafnaarboven.

→ Isditcijferkleinerdan5,dankapjededecimalevormafnahet6e decimalecijfer.

√3 = 1,732050 8 08…

√3 ≈ 1,732051

• Weronden √3afop3decimalenendoendatalsvolgt:

Neemhet4e decimalecijfer.

→ Isditcijfergroterdanofgelijkaan5,danrondjehet3e decimalecijferafnaarboven.

→ Isditcijferkleinerdan5,dankapjededecimalevormafnahet3e decimalecijfer.

√3 = 1,732 0 50808…

√3 ≈ 1,732

Ineenvraagstukzietdaterzouit:

Delengtevandezijdevanditvierkantisexact √15cm.

Ditresultaatkanjeafronden: √15 = 3,872983… ≈ 3,87

Jeformuleert:Delengtevandezijdevanhetgegevenvierkantisongeveer3,87cm.

15 cm2

√

Let op: in wetenschapsvakken gelden de regels van de beduidende cijfers . De nauwkeurigheid van je eindresultaat wordt bepaald door de nauwkeurigheid van je metingen, je benadering van natuurconstanten, …

9,81 → 3 beduidende cijfers (9, 8 en 1)

1500 → 4 beduidende cijfers (1, 5, 0 en 0)

Het resultaat van een product of een quotiënt krijgt evenveel beduidende cijfers als de factor met het kleinste aantal beduidende cijfers

Merk op

Het resultaat van een optelling of aftrekking krijgt evenveel cijfers na de komma als de term met het kleinste aantal cijfers na de komma.

Voorbeeld

De snelheid van een tsunami daalt in ondiep water terwijl de hoogte van de golf toeneemt. Je kan de snelheid v van de golf in m/s benaderen met de formule v = 9,81 ⋅ d met d de diepte in meter.

Wat is de snelheid van een tsunami bij een diepte van 1500 m?

Berekening:

v = 9,81d

v = 9,81 ⋅ 1500 ≈ 121

Het kleinste aantal beduidende cijfers in deze berekening is 3 (9,81). Bij het afronden houden we dus rekening met dit aantal beduidende cijfers.

De snelheid van de golf is ongeveer 121 m/s.

1.2 Derdemachtswortels

Om een vergelijking van de vorm x3 = 27 op te lossen, zoek je een getal dat, als je het tot de derde macht verheft, 27 oplevert. Het is in dit voorbeeld niet moeilijk om in te zien dat dat getal 3 is.

Je zal verderop (met grotere getallen en breuken en dergelijke) echter nood hebben om de inverse bewerking toe te passen. In bovenstaande vergelijking heb je dus de inverse bewerking nodig van ‘tot de derde macht verheffen’. Die bewerking noem je de derdemachtswortel nemen . Je bepaalt hier dus de derdemachtswortel van 27 om de waarde van x te bepalen, en die is 3!

definitie in woorden

b is de derdemachtswortel van een reëel getal a als en slechts als de derde macht van b gelijk is aan a in symbolen

3 √a = b ⇔ b3 = a

Het symbool 3 √… lees je als ‘de derdemachtswortel van… ’ Voorbeelden

3

3

Merk op

• Je kan van elk reëel getal één derdemachtswortel bepalen. Vermits ( -3) 3 = -27 kan je in tegenstelling tot bij de vierkantswortel ook van negatieve getallen een derdemachtswortel bepalen. Bovendien is 33 = 27 niet gelijk aan ( -3) 3 = -27 en dus heeft elke derdemachtswortel slechts één resultaat.

• De derdemachtswortel van een positief getal is positief. De derdemachtswortel van een negatief getal is negatief.

• Bij vraagstukken zal je soms je eindresultaat moeten afronden tot op een bepaalde nauwkeurigheid.

3 √5 = 1,709975947… ≈ 1,71

Voorbeeld

Een kubusvormig vat heeft een inhoud van 600 liter.

Hoe lang is de ribbe van dit vat?

z3 = V

z3 = 600l

z3 = 600dm3

z = 3 600dm3

z ≈ 8,43dm

De ribbe van het vat is ongeveer 8,43 dm lang.

Verwerkingsopdrachten

2 3

Een vierkante tegel heeft een oppervlakte van 36 cm2. Hoe lang is de zijde van deze tegel?

Een speciale soort rubiks-kubus heeft 64 draaibare kubusjes.

a) Hoeveel draaibare kubusjes heeft een ribbe van deze kubus?

b) Welke bewerking heb je moeten uitvoeren om deze uitkomst te bekomen?

2 n -de machtswortels

Analoog aan het verhaal van de derdemachtswortel kan je de n-de machtswortel invoeren.

Om een vergelijking van de vorm x5 = 243 op te lossen, zoek je een getal dat tot de vijfde (macht) 243 oplevert. In dit voorbeeld is het niet moeilijk om in te zien dat dat getal 3 is.

Je zal verderop (met grotere getallen en breuken en dergelijke) echter nood hebben aan de inverse bewerking We hebben een bewerking nodig, toegepast op de oplossing (hier 243), om x (hier 3) te vinden. Die bewerking noem je de n -de machtswortel nemen (in dit geval de vijfdemachtswortel). √

… 5 3 243

In het geval van bovenstaande vergelijking bepaal je dus de vijfdemachtswortel van 243, en die is 3!

2.1 Begrippen

3 is de vijfdemachtswortel van 243 want 35 = 243.

Je noteert: 5 √243 = 3

Hierbij is 5 de wortelexponent en 243 het grondtal

We moeten een onderscheid maken bij de n-de machtswortels waarbij n even is en waarbij n oneven is.

√16 = 4 → positievevierkantswortel

√16 = 4 → negatievevierkantswortel

even wortelexponent oneven wortelexponent

Vierkantswortel of tweedemachtswortel ( n = 2)

4 en -4 zijn vierkantswortels van 16 want

42 = 16 en ( -4) 2 = 16

Notatie:

√16 = 4 → positievevierkantswortel

√16 = 4 → negatievevierkantswortel

Derdemachtswortel ( n = 3)

3 is de derdemachtswortel van 27 want

4 √16 = 4 → positievevierdemachtswortel

33 = 27

√16 = 4 → positievevierkantswortel

4 √16 = 4 → negatievevierdemachtswortel

√16 = 4 → negatievevierkantswortel

Notatie:

3 √27 = 3

4 √16 = 4 → positievevierdemachtswortel

4 √16 = 4 → negatievevierdemachtswortel

5 √ 243 = 3 Vierdemachtswortel ( n = 4)

Vijfdemachtswortel ( n = 5)

4 √16 = 4 → positievevierdemachtswortel

2 en -2 zijn vierdemachtswortels van 16 want

√16 = 4 → positievevierkantswortel

24 = 16 en ( -2) 4 = 16

-3 is de vijfdemachtswortel van -243 want

√16 = 4 → negatievevierkantswortel

4 √16 = 4 → negatievevierdemachtswortel

Notatie:

3 √27 = 3

4 √16 = 4 → positievevierdemachtswortel

4 √16 = 4 → negatievevierdemachtswortel

5 √ 243 = 3

3 √27 = 3

Vaststellingen

3 √27 = 3

( -3) 5 = -243

Notatie:

5 √ 243 = 3

• Bij een n-de machtswortel is n een natuurlijk getal verschillend van 0 en 1 (n ∈ \{0,1}).

• Een tweedemachtswortel noemen we ook wel een vierkantswortel: 2 √4 = √4

5 √ 243 = 3

• Als n oneven is, kun je van elk reëel getal een n-de machtswortel bepalen.

Is het grondtal een negatief reëel getal, dan is de n-de machtswortel van dat getal ook negatief.

Is het grondtal een positief reëel getal, dan is de n-de machtswortel van dat getal ook positief.

• Als n even is, kun je enkel een n-de machtswortel bepalen van een positief reëel getal. Er is van dat positief reëel getal zowel een positieve als een negatieve n-de machtswortel.

Merk op

De vierdemachtswortel van -64 is niet gedefinieerd. Het grondtal moet immers positief zijn. Er bestaat geen reëel getal b zodat b4 = 64 4 √ 64 ∉ of met andere woorden b4 = 64 4 √ 64 ∉

definitie in woorden

Een n-de machtswortel van een reëel getal a, is elk reëel getal b waarvan de n-de macht gelijk is aan dat reëel getal a. in symbolen

a, b > 0: n √a = b ⇔ bn = a

2.2 Binomiaalvergelijkingen

Een vergelijking van de vorm xn = a met onbekende x ∈ enmacht n ∈ \{0,1} en a ∈ , noemen we een binomiaalvergelijking .

Je hebt al geleerd dat de vergelijking x2 = 16 twee verschillende oplossingen heeft: 4 en -4

In symbolen noteer je:

x1 = √16en x2 = √16

= 4 = 4

De oplossingenverzameling is V = {−4,4}

Je kunt de oplossingen eenvoudig controleren:

• 42 = 16

• ( -4) 2 = 16

Met ICT lees je de oplossingen van deze vergelijking af als snijpunten van de grafiek van f(x)= x2 en g(x)= 16 .

We bekijken nog twee andere voorbeelden voor n > 2.

Voorbeeld 1: n is even

x4 = 256 heeft twee verschillende oplossingen: de vierdemachtswortel van 256 en het tegengestelde van de vierdemachtswortel van 256.

In symbolen noteer je:

x1 = 4 √256en x2 = 4 √256

= 4 = 4

De oplossingenverzameling is V = {−4,4}

Controle:

• 44 = 256

• ( -4) 4 = 256

Met ICT lees je de oplossingen van deze vergelijking af als snijpunten van de grafiek van f(x)= x2 en g(x)= 256

Merk op

De vergelijking x4 = -256 heeft geen oplossingen, want een even macht van x is altijd positief. We kunnen geen n-de machtswortel trekken van een negatief getal als n even is.

y

Dit zie je ook grafisch: x

f(x)= x4

g(x)= 256

Voorbeeld 2: n is oneven

x5 = 1024 heeft één oplossing: de vijfdemachtswortel van 1024.

In symbolen noteer je:

x = 5 √1024 = 4

De oplossingenverzameling is V = {4}

Controle: 45 = 1024

Met ICT lezen we de oplossingen van deze vergelijking af als snijpunten van de grafiek van f(x)= x5 en g(x)= 1024

Merk op

De vergelijking x5 = -1024 heeft als oplossing x = -4. We kunnen een n-de machtswortel trekken van een negatief getal als n oneven is, in tegenstelling tot n even is. Je kunt hierboven de grafiek tekenen van h( x) = -1024 en je zal zien dat er 1 snijpunt is met de grafiek van f.

Besluit

• De vergelijking xn = a heeft 2 tegengestelde oplossingen als n ∈ \{0,1} even is en a ∈ + : de n-de machtswortel van a en het tegengestelde van de n-de machtswortel van a. De oplossingenverzameling is V = n √a, n √a .

• De vergelijking xn = a heeft 1 oplossing als n ∈ \{0,1} oneven is en a ∈ : de n-de machtswortel van a. De oplossingenverzameling is V = n √a .

Vul de schema's aan met machtswortels en n-de machtswortels.

Bereken indien mogelijk zonder ICT.

Bereken met ICT. Rond af op 4 decimalen.

Juist of fout?

a) 7 √2187 = 3want37 = 2187.

b)Devijfdemachtswortelvan77760 is6.

c)Deoplossingenvan x7 = 128zijn2en 2.

d) 8 371293 ( 2197)= 14

Los de volgende binomiaalvergelijkingen op.

a)

3 Problemen oplossen met n -de machtswortels

3.1 Optimale bestelhoeveelheid

Met behulp van de Economic Order Quantity formule kan je de optimale bestelhoeveelheid bepalen om opslag- en bestelkosten in balans te houden.

De EOQ-formule luidt als volgt:

Q = 2DS H

met Q de optimale hoeveelheid te bestellen eenheden, D de (jaar)vraag naar het product (eenheden), S de bestelkost per bestelling en H de opslagkost per eenheid per jaar.

Voorbeeld

Stel dat de jaarvraag naar een bepaald product 250 eenheden is, dat de kost per bestelling 2,30 euro is, en dat de opslagkost per eenheid per jaar 0,72 euro bedraagt. Dan kunnen we de optimale bestelhoeveelheid Q berekenen door deze gegevens in te vullen in de formule:

Q = 2 250 2,30 0,72 ≈ 39,97

Als men dus op jaarbasis 250 keer naar het product vraagt, de bestelkost 2,30 euro per bestelling is en er 0,72 euro naar opslag per eenheid per jaar gaat, dan kan je best 39,97 (dus afgerond 40) items per keer bestellen om de bestel- en opslagkosten te balanceren.

3.2 Traagheids- en weerstandsmomenten, doorbuiging in de bouw

3.2.1 Traagheids- en weerstandsmomenten

Bij het bouwen van huizen en andere constructies is het natuurlijk erg belangrijk dat de structuur stevig is. Om na te gaan hoeveel last een bepaalde constructie kan dragen zonder te gaan buigen of breken, worden traagheidsen weerstandsmomenten (van profielen) berekend.

Het traagheidsmoment geeft de weerstand tegen doorbuiging aan van een bepaalde doorsnede van een balk of profiel. Hoe groter het traagheidsmoment, hoe minder het profiel zal doorbuigen onder belasting.

Het weerstandsmoment wordt gebruikt voor het bepalen van spanning in een belaste constructie.

Hieronder zie je een tabel met de formules van de traagheids- en weerstandsmomenten van de meest gangbare profielvormen.

Merk op

Een weerstandsmoment bekomt men algemeen door het traagheidsmoment te delen door de afstand van de neutrale lijn (door het zwaartepunt) tot de uiterste vezel (= de buitenste rand van het materiaal). Vandaar dat de formules enig verband vertonen.

Voorbeeld

Gegeven: Het traagheidsmoment (ten opzichte van de y-as) van een rechthoekig profiel (een balk) is 7 916 667 mm4

De breedte van de balk is b = 95,0 mm.

Gevraagd: Bepaal de hoogte van het profiel.

Oplossing: Iy = 1 12 ⋅ b ⋅ h3

We vormen de formule om naar h en vullen in:

h = 3 12I b

= 3 12 7916667

95,0 ≈ 100

Antwoord: De hoogte van het profiel is ongeveer 100 mm.

3.2.2 Doorbuiging

Als er dan toch doorbuiging optreedt, dan kan die voor een (rechthoekige) balk berekend worden met behulp van onderstaande formule:

D = 50 q l3

384 E I (*)

Daarin is q de belasting per meter in kg per meter, l de lengte van de balk in meter, E de elasticiteitsmodulus in Pascal en I het traagheidsmoment in m4. De doorbuiging drukken we uit in %.

De elasticiteitsmodulus is een waarde die afhangt van het materiaal waaruit de balk is gemaakt. Je kan deze waarden terugvinden in tabellen. Voor een houten balk bijvoorbeeld is E = 1 ∙ 109 Pa.

Als we E en I vervangen in (*) wordt de formule voor de doorbuiging D van een houten rechthoekige balk:

D = 600 ⋅ q ⋅ l3

384 109 b h3

Daarin is q de totale belasting per meter in kg, l de lengte, b de breedte en h de hoogte van de balk in meter.

Voorbeeld 1

Gegeven: Een rechthoekige houten balk heeft de volgende afmetingen: l = 10 m, b = 20 cm, h = 20 cm.

Gevraagd: De balk moet een object van minstens 1050 kg kunnen dragen. Hoe groot zal de doorbuiging maximaal zijn?

Oplossing: Invullen van de gegevens in de formule geeft ons meteen het gevraagde:

D =

600 1050 10 103 384 109 0,20 0,203 = 0,10

Antwoord: Er is een maximale doorbuiging van 10%, hetgeen een erg sterke doorbuiging is.

Voorbeeld 2

Gegeven: Een houten balk van 15 cm breed en hoog vertoont een doorbuiging van 3,5% bij een last van 200 kg per meter.

Gevraagd: Wat is de lengte van de balk?

Oplossing: Oplossing: Wevormendeformuleomnaar l:

l = 3 384 ⋅ 109 ⋅ b ⋅ h3 ⋅ D

600q

Wevullendegegevensin:

0,15

0,153

0,035

Antwoord: De balk moet dus ongeveer 3,84 meter lang zijn.

Vergelijk dit resultaat met de situatie uit het eerste voorbeeld.

3.3 Zwarte lichamen in de sterrenkunde

In de natuurkunde spreekt men van een zwart lichaam als een object alle elektromagnetische straling die erop valt absorbeert i.p.v. reflecteert. Hierdoor zal de temperatuur van het object toenemen en wel volgens onderstaande wet:

q = σ ⋅ T4

Dit is de wet van Stefan-Boltzmann waarbij q de warmtestroomdichtheid is in W m2 ,

σ de constante van Stefan-Boltzmann en T de absolute temperatuur in Kelvin.

De constante σ is daarbij gelijk aan:

σ = 5,67 10 8 W m2 K4

De wet zegt dat de warmtestroomdichtheid (de warmtestroom die per vierkante meter door een object gaat) van een zwart lichaam recht evenredig is met de absolute temperatuur tot de vierde macht.

Voorbeeld

Gegeven: de warmtestroomdichtheid q

q = 35437500 W m2

Gevraagd: Bepaal de absolute temperatuur T.

Oplossing:

We vormen de formule om naar T en vullen in:

T = 4 q

= 4 35437500

5,67 10 8

≈ 5000

Antwoord: De absolute temperatuur is ongeveer 5000 K.

Verwerkingsopdrachten

12, 13, 14

Pieter doet regelmatig een bestelling van 100 items bij de groothandel om te verkopen in zijn webshop. Gemiddeld verkoopt hij zo’n 750 items per jaar. De bestelkost bedraagt telkens 3,40 euro.

Hoeveel opslagkosten moet Pieter maken per item per jaar?

Het weerstandsmoment (t.o.v. de z-as) van een rechthoekig profiel is 150 417 mm

De hoogte h is 100 mm. Bepaal de breedte van het profiel.

Het traagheidsmoment van een rechthoekige balk is 3 195 000 mm4. Het betreft een balk gemaakt uit staal. De elasticiteitsmodulus van staal is 210 ∙ 109 Pa. De balk draagt een belasting van 1025 kg per meter en vertoont een doorbuiging van 0,85%. Hoe lang is de balk?

Gegeven: de warmtestroomdichtheid q = 12562319 W m2

Gevraagd: Bepaal de absolute temperatuur T

Josef Stefan Ludwig Boltzmann

4 Machten met een rationale exponent

4.1 Rekenregels voor machten met een rationale exponent

Je kent de rekenregels voor machten met gehele exponenten al. Deze rekenregels gelden ook voor machten met rationale exponenten. Hieronder zie je een aantal voorbeelden waar deze rekenregels worden toegepast bij machten met rationale exponenten.

rekenregel in woorden

Om machten met eenzelfde grondtal te vermenigvuldigen, behoud je het grondtal en tel je de exponenten bij elkaar op.

rekenregel in woorden

Om machten met eenzelfde grondtal te delen, behoud je het grondtal en trek je de exponenten van elkaar af.

rekenregel in woorden

Om een macht van een macht te bepalen, behoud je het grondtal en vermenigvuldig je de exponenten met elkaar.

in symbolen am n = am n

Voorbeelden

(81) 5 4 = 34 5 4 = 34 5 4 = 35 = 243

b 7 5 1 7 = b 7 5 1 7 = b 1 5 = 5 √b

rekenregel in woorden

Om een product tot een macht te verheffen, verhef je elke factor van dat product tot die macht.

in symbolen

(ab)m = am bm

Voorbeelden

(3c) 1 3 = 3 1 3 c 1 3 = 3 √3 3 √c

(25k) 7 2 = 25 7 2 k 7 2 = 52 7 2 k 7 2 = 57 k7

rekenregel in woorden

Om een breuk tot een macht te verheffen, verhef je de teller en de noemer tot die macht.

in symbolen a b m = am bm

rekenregel in woorden

Om het minteken van een negatieve exponent weg te werken, keer je het grondtal om.

in symbolen a m = 1 am

4.2 Oplossen van vergelijkingen van de vorm n x m = a met x > 0

Voorbeeld 1

Losop: 5 x6 = 4met x > 0

algebraïsch grafisch

5 x6 = 4

⇕ omzettennaareenmachtmetrationaleexponent

x 6 5 = 4

⇕ wegwerkenvandeexponentinLLdoor:a)keerdemachtom b)verhefLLenRL totdiemacht

Voorbeeld 2

algebraïsch grafisch

Losop: x 6 √x = 2met x > 0

x x 1 6 = 2

⇕ vermenigvuldigingvanmachtenmethetzelfdegrondtal

x1+ 1 6 = 2 ⇕

x 7 6 = 2

⇕ wegwerkenvandeexponentinLL

x 7 6 6 7 = 2 6 7 ⇕ x

Pas de rekenregels toe en werk uit.

Bereken met ICT. Rond af op 4 decimalen.

Zet om naar een macht (met een zo klein mogelijk

met een positieve breuk in de exponent.

Zet om naar een wortelvorm.

5 Problemen oplossen met machten met een rationale exponent

5.1 Gevoelstemperatuur

Waarschijnlijk heb je al eens opgemerkt dat het in de wind een stuk kouder aanvoelt dan uit de wind. Hoe kouder het is en hoe harder het waait, des te kouder voelt het aan. We kunnen dat gepercipieerde warmteverschil uitdrukken met behulp van de gevoelstemperatuur G:

G = 13,12 + 0,6215T 13,96W 0,16 + 0,4867TW 0,16 met T de temperatuur in °C op 1,50 meter hoogte en W de gemiddelde windsnelheid in de afgelopen tien minuten in m/s op 10 meter hoogte.

De formule is gebaseerd op het warmtetransport van het lichaam naar de huid en werkt voor een luchttemperatuur (in de schaduw) tussen -46°C en +10 °C en voor een gemiddelde windsnelheid tussen 1,3 en 49,0 m/s.

Voorbeeld

Bij een temperatuur van -10°C en een windsnelheid van 20 m/s, is de gevoelstemperatuur:

G = 13,12 + 0,6215 ⋅ ( 10) 13,96 ⋅ 200,16 + 0,4867 ⋅ ( 10) ⋅ 200,16 ≈ 23,5°C

5.2 Fiscaal vermogen

Vanaf het begin van de 20ste eeuw maakt men gebruik van het fiscale vermogen om de belasting op voertuigen te berekenen. Het systeem was gebaseerd op het vermogen van een voertuig.

Door de ontwikkeling van de techniek, werd het verschil tussen het werkelijke en het berekende vermogen steeds groter. Tegenwoordig wordt de berekening gemaakt op basis van de emissie van koolstofdioxide (CO2) en het maximale motorvermogen.

Het fiscale vermogen (cv) werd berekend aan de hand van onderstaande formule:

cv = C 45 + P 40 1,6

met C de uitstoot aan CO2 in kg km en P het vermogen in kW.

Voorbeeld

De Citroën B2 is de tweede auto die gebouwd werd door André Citroën in 1920. Deze wagen zou, op basis van de huidige formules en de cilinderinhoud, een fiscaal vermogen van 8 pk hebben. Met behulp van bovenstaande formule kunnen we bepalen wat het fiscale vermogen in 1920 (ongeveer) zou geweest zijn. Stel dat het vermogen van de B2 55 kW was en neem aan dat hij een CO2-uitstoot van325 10 3 kg km had. Dan is:

cv = 325 ⋅ 10 3 45 + 55 40 1,6 = 1,67 ≈ 2

Besluit: De wagen zou een fiscaal vermogen van ongeveer 2 pk hebben gehad.

5.3 De schaal van Beaufort

De schaal van Beaufort geeft een verband tussen windsnelheid en windkracht. In formulevorm uitgedrukt:

B = v 0,8360 2 3 met v de gemiddelde windsnelheid in m/s gedurende 10 minuten op 10 meter boven de grond en B de windkracht in Beaufort.

Merk op

De schaal van Beaufort is geen continue schaal: er bestaat niet zoiets als windkracht 8½ of windkracht 8,3.

Windkracht in Bft

Windgemiddelde snelheid over 10 minuten (km/h)

Windgemiddelde snelheid over 10 minuten (m/s)

0 windstil 0 - 1 0 - 0,2

Uitwerking boven land/bij de mens

Rook stijgt recht of bijna recht omhoog.

1 zwak 1 - 5 0,3 - 1,5 De windrichting is goed af te leiden uit rookpluimen.

2 zwak 6 - 11 1,6 - 3,3 De wind is merkbaar in het gezicht.

3 matig 12 - 19 3,4 - 5,4

4 matig 20 - 28 5,5 - 7,9

5 vrij krachtig 29 - 38 8,0 - 10,7

6 krachtig 39 - 49 10,8 - 13,8

7 hard 50 - 61 13,9 - 17,1

8 stormachtig 62 - 74 17,2 - 20,7

Stof waait op, bladeren en takken van bomen zijn constant in beweging.

Haar is in de war, kleding flappert, papier waait in het rond.

Opwaaiend stof is hinderlijk voor de ogen, vuilcontainers waaien om, kleine bomen en bladeren waaien flink heen en weer.

Paraplu's zijn met moeite vast te houden, grote takken zijn in beweging.

Het is lastig om tegen de wind in te lopen of fietsen, grote bomen zijn in beweging.

Voortbewegen is erg moeilijk, takken breken van de bomen af.

9 storm 75 - 88 20,8 - 24,4 Schoorsteenkappen en dakpannen waaien weg.

10 zware storm 89 - 102 24,5 - 28,4 Er is grote schade aan gebouwen, bomen waaien om.

11 zeer zware storm 103 - 117 28,5 - 32,6 Er is enorme schade aan bossen.

12 orkaan >117 >32,6

Voorbeeld

Gegeven: De windsnelheid is 20 m/s (72 km/h).

Gevraagd: Bepaal de windkracht volgens de schaal van Beaufort.

Oplossing:

Invullen in de formule geeft:

B = 20 0,8360 2 3 ≈ 8,3

Verwoestingen

Antwoord: Deze windsnelheid komt dus overeen met een 8 op de schaal van Beaufort hetgeen stormachtig weer aankondigt.

5.4 Productiefuncties in de economie

In de economie vindt men het belangrijk om de productie-output van een bedrijf in functie van de ingezette middelen aan kapitaal en arbeid te kennen.

Een bekende productiefunctie wordt gegeven door:

Q = a bK α +(1 b)L α 1 α met Q de productie-output, K het ingezette kapitaal, L de ingezette arbeid, en a, b en α reële constanten.

Een voorbeeld van zo’n functie ziet er zo uit:

Q = 5 0,65K 1 10 + 0,35L 1 10 10

Voorbeeld

Gegeven: Men vindt voor Q de waarde 16,75 met een inzet van 200 eenheden aan arbeidskapitaal L

Gevraagd: Bepaal de waarde aan ingezet kapitaal K

Oplossing:

We vormen de formule om naar K en vullen in: K

Antwoord: De waarde aan ingezet kapitaal is ongeveer 0,14. Dat betekent dat je bij een ingezette arbeid van 200 eenheden; 0,14 eenheden kapitaal moet inzetten om een output van 16,75 eenheden te krijgen.

Een speciaal geval van deze productiefunctie is de Cobb-Douglas functie die in de oefeningen aan bod zal komen.

Verwerkingsopdrachten

Eskimo’s zijn wel wat gewend. Zij vinden gevoelstemperaturen van -10°C en -20°C de gewoonste zaak van de wereld. Echter als het hard waait en de gevoelstemperatuur komt in de buurt van -30°C, dan durven zij ook al eens in de iglo onder een lekker warm ijsberenvelletje kruipen. Er staat die nacht een stevige poolwind van 90,00 km/h op het programma. Hoe koud zal het die nacht in werkelijkheid zijn? Rond af op 2 decimalen.

21, 22

Gegeven is de functie Q = 2 0,65K 1 8 + 0,35L 1 8 8

Stel dat men voor Q de waarde 151,08 vindt met een inzet van K gelijk aan 500. Bepaal dan de waarde aan ingezette arbeid L.

Computationeel denken

Toepassing rekenen met machten

Je kunt voor de zevenkamp en de tienkamp de behaalde punten per onderdeel eenvoudig berekenen met de volgende formules:

Punten = Rond.af.naar.onder A * (B x)c voor baanonderdelen

Punten = Rond.af.naar.onder A * (x B)c voor veldonderdelen

A, B en C zijn parameters die per discipline verschillen. x is de gemeten tijd of afstand.

Bij de dames gelden deze parameters:

Dit vraagt wel wat tijd. Hoe pak je dit aan met een tekstueel programma in een taal als Python?

STAP 1

We starten met het maken van een keuzemenu. Op die manier kunnen er later nog punten van andere disciplines worden berekend. We houden het simpel om te starten.

STAP 2

In de wiskunde noteren we math.floor() als volgt:

Begrijp je de code?

a) Voer het programma uit. Wat doet dit programma?

b) Markeer ongekende functies en zoek hun betekenis op.

STAP 3

Begrijp je de code?

Voer het programma uit. Wat doet dit programma?

Begrijp je de code?

a) Waarom wordt de while-structuur gebruikt?

b) Werk de code verder uit zodat je van elk onderdeel op vraag de score kunt berekenen.

c) Als je 30 seconden nodig hebt op de 100 m horden loopt het fout. Waar zit het probleem in de code en hoe kan je dit oplossen?

Signaaloefeningen

1

Bereken indien mogelijk zonder ICT.

a) √ 25 = …

b) √225 = …

c) √49 = …

d) √196 = …

e) √64 = …

2

Bereken met ICT. Rond af op 4 decimalen.

a) √7 ≈ …

b) 3,56 ≈ …

c) √ 4589 ≈ …

d) √135894 ≈ …

e) √58945 ≈ …

3

4

5

6

7

8

f) 3 √1000 = …

g) 3 √ 343 = …

h) 3 √ 512 = …

i) 3 √729 = …

j) 3 √64000 = …

>>> Verder oefenen : D1 t.e.m. D19

f) 3 √3 ≈ …

g) 3 √ 113 ≈ …

h) 3 0,07 ≈ …

i) 3 25,3489 ≈ …

j) 3 √ 1236486 ≈ …

>>> Verder oefenen : D1 t.e.m. D19

Julie heeft een vierkante tafel met een oppervlakte van 1,4 m2. Ze koopt een tafelkleed met een oppervlakte van 2,4 m2. Hoeveel cm van het tafelkleed hangt er aan elke kant over de rand?

>>> Verder oefenen : D1 t.e.m. D19

Kathy kocht 196 plantjes en wil ze in een vierkant perk planten. Als ze slechts 13 plantjes in een rij zet, kan ze dan de overblijvende plantjes in een tweede vierkant perk zetten? Indien ja, hoeveel plantjes staan er dan in het tweede perk in een rij?

>>> Verder oefenen : D1 t.e.m. D19

In een vierkante boomgaard staan 3136 appelbomen. Als elke boom een oppervlakte van 4 m2 nodig heeft om goed te groeien, hoe lang moet dan de zijde van de boomgaard zijn?

>>> Verder oefenen : D1 t.e.m. D19

De volledige oppervlakte van een kubus is 486 m2. Hoeveel kubusjes van 1 m3 kan je uit de kubus halen zonder overschot te hebben?

>>> Verder oefenen : D1 t.e.m. D19

Bepaal de zijde van de kubus met hetzelfde volume als een balk met lengte 9 cm, breedte 6 cm en hoogte 4 cm. Rond je resultaat af op 2 decimalen.

>>> Verder oefenen : D1 t.e.m. D19

Jeroen verzamelt knikkers en wil de straal van een bepaalde soort knikker kennen. Hij vult een kubusvormige container met 512 even grote knikkers. Als de kubus een volume heeft van 1331 cm³, wat is dan de straal van een knikker? Rond je resultaat af op 2 decimalen.

>>> Verder oefenen : D1 t.e.m. D19

9

Het volume van een kubus is 4913 cm3. Wat is de oppervlakte?

>>> Verder oefenen : D1 t.e.m. D19

10

Vul aan.

a) 5 √… = 3

b) √1024 = 4

c) 3 √729 = …

11

Los de volgende binomiaalvergelijkingen op.

a)2x4 1250 = 0

b) 4x3 = 20002

12

13

14

d) √4096 = 8

e) 4 √… = 5

>>> Verder oefenen : D20 t.e.m. D35

c)27x5 = 1 9

d) 25 36 x5 + 216 125 = 0

>>> Verder oefenen : D20 t.e.m. D35

Pieter heeft een bedrag gespaard in zijn spaarvarken, maar hij weet niet meer hoeveel. Hij wil zijn spaarvarken pas stukslaan als het helemaal vol is. Zijn vader echter heeft Pieters spaargedrag op de voet gevolgd en weet precies hoeveel er in het spaarvarken van zijn zoon zit. Hij wil het bedrag niet zomaar prijsgeven en verzint een wiskundig raadsel dat met n-de machtswortels te maken heeft. Pieters vader beweert het volgende: als je het bedrag vijf keer met zichzelf vermenigvuldigt en dan deelt door de achtste macht van tien, dan heb je vier tot de achtste macht keer het bedrag dat in je spaarpot zit. Hoeveel heeft Pieter gespaard?

>>> Verder oefenen : D36 t.e.m. D47

Het traagheidsmoment Iz van een bepaald buisprofiel is 257 ⋅ 104 mm4. De buitendiameter is D = 114,3 mm.

Bepaal de binnendiameter d van de buis als je weet dat Iz = π 64 D4 d4 .

>>> Verder oefenen : D36 t.e.m. D47

Bepaal de dikte van een rechthoekige houten lat met een lengte van 2 meter, een breedte van 25 cm, een doorbuiging van 2,3% en een totale belasting van 300 kg per meter.

D = 600 q l3 384 109 b h3

met q de totale belasting per meter in kg, l de lengte, b de breedte en h de hoogte van de balk in meter.

>>> Verder oefenen : D36 t.e.m. D47

15

Bereken indien mogelijk zonder ICT.

a) 16 3 4 = … e) ( 125) 4 3 = …

b) ( 49) 3 2 = …

c) 1 36 3 2 = …

f)27 1 0,75 = …

g)0,001 2 3 = …

d) 1 100 3 2 = … h) 1 729 5 6 = …

>>> Verder oefenen : D48 t.e.m. D64

16

Schrijf indien mogelijk als een positieve macht van 2.

a) 28 227 = … d)

b) ( 64) 3 2 = …

c)256 7 8 = … f) 3 1

√256

>>> Verder oefenen : D48 t.e.m. D64

17

Bereken met ICT. Rond af op 4 decimalen.

a)105 4 3 ≈ … d) 8 121 16 2 ≈ …

b) 1 22 1 7 ≈ …

c)28 1 14 ≈ …

18

Herschrijf tot een uitdrukking zonder rationale exponent. a)2

1 15 ≈ …

>>> Verder oefenen : D48 t.e.m. D64

>>> Verder oefenen : D48 t.e.m. D64

19

Herschrijf in de vorm a · xn

a) 3 √7x = … c)5 ⋅ 16 243 4 5 x = …

b) 5 1024x 10 3 = …

7 128 5 x2 = …

>>> Verder oefenen : D48 t.e.m. D64

20

Los op voor x ∈ +. Rond af op 4 decimalen.

a) x 11 3 = 4 c) x3 5 √x = 5 3

b) x ⋅ x 7 3 2 = 8

21

>>> Verder oefenen : D48 t.e.m. D64

Het is -10°C. Hoe hard mag het waaien opdat we een gevoelstemperatuur van -4°C gewaarworden als je weet dat G = 13,12 + 0,6215T 13,96W 0,16 + 0,4867TW 0,16 met T de temperatuur in °C op 1,50 meter hoogte en W de gemiddelde windsnelheid in de afgelopen tien minuten in m/s op 10 meter hoogte?

>>> Verder oefenen : D65 t.e.m. D82

22

Gegeven is de productiefunctie Q = 3 0,45K6 + 0,55L6 1 6

Stel dat men voor Q de waarde 153,18 vindt met een kapitaalinzet van K = 25. Bepaal de waarde aan ingezette arbeid L.

>>> Verder oefenen : D65 t.e.m. D82

Vierkantswortels en derdemachtswortels

Differentiatietraject

Vul aan.

a) √4 = … want … 2 = 4

b) √16 = … want … 2 = 16

c) √0 = … want … 2 = 0

d) √9 = … want … 2 = 9

e) √1 = … want … 2 = 1

f) 3 √64 = … want … 3 = 64

g) 3 √0 = … want … 3 = 0

h) 3 √8 = … want … 3 = 8

i) 3 √1 = … want … 3 = 1

j) 3 √27 = … want … 3 = 27

Plaats onderstaande vierkantswortels en derdemachtswortels op de getallenas. Maak gebruik van ICT.

Bereken indien mogelijk x. Rond af op 2 decimalen.

a) x 8 = 5 x

b) 12 x = x 5

c) x2 27 = 3 x

d) x 8 = 12 x2

Tussen welke twee opeenvolgende gehele getallen ligt de vierkantswortel/derdemachtswortel?

Los op zonder ICT.

a) 5,36

b) √37

c) √92

d) 70,56

e) √48

f) 3 √67

g) 3 √222

h) 3 1,98

i) 3 511,43

j) 3 √83

a) Vader wil de vloer in de garage opnieuw betegelen met vierkante tegels. De oppervlakte van een tegel is 900 cm². Hoe lang is de zijde van de tegel?

b) Een cirkel heeft een oppervlakte van 804,25 cm². Wat is de straal van de cirkel?

Een kubus heeft een inhoud van 216 cm³. Hoe lang is de ribbe van de kubus?

Bereken met ICT. Rond af op 4 decimalen.

a) 1024 1089 ≈ …

b) √27 √19 ≈ …

c) 1 523 ≈ …

d) 3 √8123 ≈ …

e) √1849 ⋅ √1936 ≈ …

f) 3 √1728 ≈ …

g) 3 √3,5 3 √85 ≈ …

h) 3 1 57 ≈ …

i) 8 3 √ 349 ≈ …

j) 3 √37 ⋅ √21 ≈ …

Vereenvoudig. Schrijf zonder negatieve exponenten.

a) 36a2 = …

b) 300b3 = …

c) a9 b 13 c12 = …

Een balk heeft een inhoud van 4374 cm3. Bereken a.

d) 3 64x3 = …

e) 3 √72z6 = …

f) 35a 10b5 = …

Matthias wil een cilindervormige regenwaterput plaatsen met een volume van 15 000 l. De hoogte van de put is 1,8 meter. Het volume van zo’n put kan je berekenen met de formule Vput = πr 2h waarbij V het volume is in m3, r de straal in m en h de hoogte in m.

Wat is de straal van de regenwaterput?

Ruben wil betonnen bollen maken voor in de tuin. Hij koopt een zak van 25 kg beton. Hiermee maak je volgens de fabrikant 13 liter beton. Wat is de maximale diameter van de bol die Ruben kan maken met 1 zak beton? Geef je antwoord op 1 cm nauwkeurig.

Vbol = 4 3 πr3 TIP

13 14

Vereenvoudig. Schrijf zonder negatieve exponenten.

a) 368a8 b16

726c12 d20 = …

b) 256k17 l 13

729m 15 n11 = …

c)

3 96y7 12z2 = …

d) 3 x9 y13 z 12 = …

Hoe lang is de zijde van een vierkant als de oppervlakte van het vierkant gelijk is aan de oppervlakte van een cirkel met straal 13,7 cm? Rond af op 2 decimalen.

Hoe lang is de ribbe van een kubus als de inhoud van de kubus gelijk is aan de inhoud van een bol met straal 17,6 cm? Rond af op 2 decimalen.

15

Aan welke voorwaarden moet x voldoen in de volgende gevallen?

a) √x e) 3 √x

b) √x + 5

f) 3 √x + 5

c) 1 x + 5 g) 3 1 x + 5

d) x2 5 h) 3 x2 5

16

Bereken zonder ICT.

a)

Welk getal is het grootst?

4 √625 1 5 √1024 of 3 √100 3 √1000 + 3?

Uit een kubus van 64 000 cm3 wil men een zo groot mogelijke kegel halen. Bepaal de straal en de daarbij horende hoogte en het volume van deze kegel.

We benaderen zeepbellen met bollen.

Het volume van een zeepbel: Vbel = 4 3 πr3

De oppervlakte van een zeepbel: Abel = 4πr2

a) Schrijf het volume van een zeepbel in functie van haar oppervlakte.

b) Vbel ≈ 0,09402 Abel Abel

Wat is het volume van een zeepbel met een oppervlakte van 2 m²?

c) Bepaal de constante factor 0,09402 op 7 decimalen nauwkeurig.

n -de machtswortels

Bereken zonder ICT.

a) 4 √81 = … want … 4 = 81

b) 4 √1 = … want … 4 = 1

c) 4 √16 = … want … 4 = 16

d) 4 √0 = … want … 4 = 0

e) 4 √256 = … want … 4 = 256

f) 5 √32 = … want … 5 = 32

g) 5 √1024 = … want … 5 = 1024

h) 5 √0 = … want … 5 = 0

i) 5 √243 = … want … 5 = 243

j) 5 √1 = … want … 5 = 1

21

Bereken indien mogelijk zonder ICT.

a) 4 √625 = …

b) 4 √ 1296 = …

c) 5 √ 243 = …

22

Bereken met ICT. Rond af op 4 decimalen.

a) 4 √ 4 ≈ …

b) 4 √84326 ≈ …

c) 5 1 12895 ≈ …

d) 5 √ 1024 = …

e) 6 √729 = …

f) 6 √ 46656 = …

d) 3 5 √123 ≈ …

e) 6 √ 6000 ≈ …

f) 2023√2024 ≈ …

23

Tussen welke twee opeenvolgende gehele getallen liggen de volgende n-de machtswortels?

a) 4 √85

d) 5 √22

b) 6 √77 e) 3 √112

c) 5 √43

f) 4 √228

Los de volgende binomiaalvergelijkingen op.

a) x4 160000 = 0

b) x3 = 270002

c) x5 = 1

32 Bereken met ICT. Rond af op 4 decimalen.

a) 4 1024 1089 ≈ …

b) 5 √17 √26 ≈ …

c) 16 1 7312 ≈ …

Vereenvoudig.

a) 4 81a4 = …

b) 5 243b6 = …

c) 6 a9 b 13 c12 = …

Los de onderstaande binomiaalvergelijkingen op.

a) 9x3 6561 = 0

b)7x3 1000 = 0

c)6x3 = 582

Reken uit.

a) 4 √x + 4 x2 2 = …

Vereenvoudig.

a)6 4 648x5 y7 z2 = …

b) 6 4 405a5 b8 c = …

d) 4 1 4 √7312 ≈ …

e) 82 7 √ 34009 ≈ …

f) 123√45 ⋅ √67 ≈ …

d) 5 3072x11 = …

e) 4 72z6 = …

f) 6 35a 10b5 = …

d)8x3 204 = 0

e)6x3 + 1296 = 0

f)9x3 243 = 0

b) 3 √x 3 √x + 2 3 x4 = …

e) 5 224p5 q10 r15 = …

f) 6 256x6 y6 z7 = …

c) 5 224n3 p7 q5 = … g) 3 7 896rs7 t14 = …

d) 5 96x3 y6 z5 = … h) 8 7 384b8 c7 d6 = …

Los de onderstaande vergelijkingen op.

a)5x4 5120 4 = 0

b)8(2 + x)3 5 = 3

c)7 x3 = 71

d) (x + 3)2 = 64

e) 3x + 2 4 √256 3 = 125

f) ( x)4 + 25 = 106

Gegeven is de formule om de golfsnelheid te berekenen.

v = m l p ⋅ F q

a) Zoek p en q met behulp van de informatie die je krijgt in verband met de eenheden.

v is de golfsnelheid in m/s, m is de massa in kg, l de lengte in meter en F de spankracht in Newton.

b) Bepaal l als je weet dat ...

v = 25 m s

F = 2,0N

m = 12kg

Zijn onderstaande beweringen juist of fout?

a) 3 7 3 √343 =

Bereken zonder ICT.

kg

√2401 b) 6 √4095 + 1 = 5 √7776 1

Los de onderstaande vergelijkingen exact op. Je mag gebruik maken van ICT.

a) 4 √x = 10 √1048576

59049

29791

Gegeven zijn de formules voor de gravitatiekracht Fg = G M ⋅ m r2 , de middelpuntzoekende kracht Fmiddelpuntzoekend = m v2 r

en de snelheid (van een eenparig cirkelvormige beweging) v = 2πr T

met G de gravitatieconstante, M de massa van de aarde in kg, m de massa van het voorwerp in kg, r de straal in m, v de snelheid in m/s en T de temperatuur in Kelvin.

a) Bepaal hieruit een formule voor r in functie van T

b) Gegeven is de temperatuur

T = 300 K, degravitatieconstante

G = 6,674 10 11 N m2 kg2 endemassavandeaarde

M = 5,972 ⋅ 1024 kg

Bepaal r met behulp van de bekomen formule in a).

TIP

De gravitatiekracht is gelijk aan de middelpuntzoekende kracht in situaties waarin een object een cirkelvormige of elliptische baan beweegt onder invloed van de zwaartekracht van een ander object, bv� een planeet die om een ster draait of een maan die om een planeet draait�

Het traagheidsmoment Iy van een bepaald rond profiel is 361 ∙ 104 mm4. Bepaal de diameter van het profiel. Gebruik hiervoor de formule uit hoofdstuk 3.

Gegeven is de warmtestroomdichtheid q = 16 243 654 W m2 . Bepaal de absolute temperatuur T. Gebruik hiervoor de formule uit hoofdstuk 3.

Voor een megatruck met 7 assen is N = 0,77. Wat is de massa van zo’n vrachtwagen als je weet dat N = W 8 4 met W = aslast (= massa per as in ton)? Geef je antwoord op 1 ton nauwkeurig.

Het traagheidsmoment Iz van een rechthoekig profiel is 102 ∙ 104 mm4. De hoogte is h = 132 mm. Bepaal de breedte van het profiel. Gebruik de formule uit hoofdstuk 3.

36

37

38

39

41

De derde wet van Kepler geeft het verband tussen de gemiddelde afstand van een planeet tot de zon en de omlooptijd van die planeet om de zon. De Aarde heeft een omlooptijd van 1 jaar of 365 dagen. Mercurius heeft een omlooptijd van 88 dagen.

DederdewetvanKeplersteltdat: r = 3 T2 Gm 4π2 methierin:

• r degemiddeldeafstandvandeplaneettotdezoninm;

• T deomlooptijdvandeplaneetomdezonins;

• m demassavandezon: m = 1,99 1030 kg;

• G degravitatieconstante: G = 6,67 10 11 Nm2 kg2

Watisdegemiddeldeafstandvandeaardetotdezon?

Ieder tweelichamensysteem (zoals de aarde en de zon) dat rond een gemeenschappelijk zwaartepunt draait heeft vijf Lagrangepunten. In een Lagrangepunt kan een klein object een vaste relatieve positie behouden ten opzichte van die twee hemellichamen. Deze eigenschap is zeer interessant wat betreft de plaatsing van ruimtestations en dergelijke.

Drie van die vijf Lagrangepunten van een tweelichamensysteem liggen op de verbindingslijn tussen de twee hemellichamen.

Het eerste Lagrangepunt L1 van het aarde-zonsysteem ligt dus op de rechte lijn tussen aarde en zon.

Men kan afleiden dat de afstand x van L1 tot de aarde x = maarde 3mzon

1 3 ⋅ d is.

maarde = 5,972 1024 kg, mzon = 1,989 1030 kgenafstandaarde-zon d = 149600000km.

Bepaal de afstand x van L1 tot de aarde.

42

Het weerstandsmoment Wy van een bepaald buisprofiel is 312 ∙ 103 mm3

De buitendiameter is D = 172,3 mm. Bepaal de dikte van de buis. Gebruik hiervoor de formule uit hoofdstuk 3.

43

44

Het traagheidsmoment van een rechthoekige balk is 1 347 500 mm4. Het betreft een balk gemaakt uit gietijzer. De elasticiteitsmodulus van gietijzer is 100 ∙ 109 Pa. De balk draagt een belasting van 2000 kg per meter en vertoont een doorbuiging van 5,00%. Bepaal de lengte van de balk. Gebruik hiervoor de formule uit hoofdstuk 3.

45

Bekijk de informatie in oefening 40. Wat is de omlooptijd van Mars om de zon? Neem 2,2794 ⋅ 1011 m als gemiddelde afstand van Mars tot de zon.

planeet omloop om de zon

Mercurius 88 dagen

Venus 225 dagen

Aarde 365,25636 dagen

Mars … dagen

Jupiter 4332,71 dagen

Saturnus 10 757,73 dagen

Uranus 30 687,15 dagen

Neptunus 60 190 dagen

Pluto 90 593 dagen

Bepaal de verhouding van de lengte en de hoogte van een rechthoekige stalen balk met een breedte van 30 cm, een doorbuiging van 1,3% en een totale belasting van 300 kg per meter. De elasticiteitsmodulus van staal is 210 ∙ 109 Pa. Gebruik de formule uit hoofdstuk 3.

De wet van Stefan-Boltzmann (zie hoofdstuk 3) kan ook gebruikt worden om de straling tussen twee platen te meten. De formule voor de netto stralingsflux (uitgestraald vermogen) tussen twee evenwijdige grijze platen wordt gegeven door: Q = σ A ε1 T4 1 ε2 T4 2 met:

• σ de constante van Stefan-Boltzmann: σ = 5,67 ⋅ 10 8 W m2 ⋅ K4

• A de oppervlakte van de platen in m2,

• Ԑ1 en Ԑ2 de emissiviteit van respectievelijk de eerste en de tweede plaat,

• T1 en T2 de absolute temperaturen van de respectievelijke platen in K

Voorbeeld

Gegeven:

Q = 3651,48 W

A = 1 m2

Ԑ1 = 0,5

Ԑ2 = 0,5

T2 = 600 K

Gevraagd: Bepaal T1.

Oplossing:

De formule omvormen naar T1 en invullen:

TIP

De emissiviteit of de emissiegraad van een oppervlak is de mate van effectiviteit in het uitstralen van energie als warmtestraling

⋅ 6004 ⋅ 1 0,5 = 713K

Gegeven: Q = 12 400 W

A = 2,6 m2

Ԑ1 = 0,3

Ԑ2 = 0,9

T1 = 780 K

Gevraagd: Bepaal T2

De wet voor welzijn op het werk vraagt werkgevers dat ze het risico op een arbeidsongeval in kaart brengen en terugdringen tot een aanvaardbaar niveau. In een bedrijf waar werknemers zware arbeid verrichten, brengt men soms de energetische belasting voor een werknemer in kaart. Dat is het risico op vermoeidheid: een groot risico betekent een grote kans op een arbeidsongeval.

Hoe zwaarder het werk, hoe hoger de intensiteit en hoe minder lang je het kan volhouden. De intensiteit van het werk kan je meten met een hartslagmeter. Je hartslag wordt via een berekening omgezet naar een natuurlijk getal I tussen 0 en 100 dat de energetische belasting van het werk voorstelt. Het getal I wordt berekend met de formule:

I = HSw HSr HSm HSr 100 met hierin

• HSw = de gemiddelde hartslag gemeten over de hele werkperiode;

• HSr = de laagst gemeten hartslag na 10 minuten zitten;

• HSm = 220 - leeftijd.

Onderzoek stelt de volgende grenzen voor I:

I Omschrijving

I ⩽ 25 licht werk

25 < I < 35 halfzwaar werk

I ⩾ 35 zwaar werk

De volhoudduur in uur van een werktaak kan je berekenen met de formule V = 26,12 ⋅ cI met c de constante en I de intensiteit van de taak.

Je collega is 28 jaar oud en heeft bij het uitvoeren van zijn werktaak een gemiddelde hartslag van 99 en een laagst gemeten hartslag na 10 minuten zitten van 68. Hij kan die taak 8 uur volhouden. Bereken hoelang je volgens deze formules een werktaak kunt volhouden met een intensiteit van 41.

Bereken met ICT. Rond af op 4 decimalen.

Bepaal zonder ICT. Geef je antwoord zonder negatieve of rationale exponenten. Noteer je eindresultaat met behulp van wortelvormen indien mogelijk.

53

Bereken met ICT. Rond af op 4 decimalen.

Schrijf de n-de machtswortels met rationale exponenten en zo klein mogelijke grondtallen.

a) √216 = …

b) 5 √625 = …

c) 4 343 729 = …

d) 8 7 √128

5 √1024 = …

e) 7 3 √125

4 √256 = …

f) 3 16x17 = …

g) 6 128y11 = …

h) x3 y17 z4 = …

i) 4 729x3 y20 z5 = …

j) 3 4x2 y3 3 10x5 y2 = …

Bereken zonder ICT. Geef je antwoord, indien mogelijk, in wortelvorm.

a) x 1 4 b 1 5 = …

b) a 1 2 ⋅ a 1 3 ⋅ a 1 4 = …

c) p 2 q 4 3 2 = …

e) m 7 3 ⋅ n 5 4 8 9 = …

f) 8 3 2k 1 2 l 1 3 4 = …

g) w 2 16v 1 2

1 4 = …

d) x 3 4 x2 x 1 3 3 2 = … h) a3 b 1 4 2 3 = …

Los exact op voor x ∈ +. Schrijf je oplossing, indien mogelijk in wortelvorm.

a) 7 x2 7 = 4 3

b) 8 x4 + 10 = 16

c)11 7 x3 = 121

d)27 3 x4 = 256

e)5 3 x2 9 = 14

f)7 6 x2 + 2 = 51

Welk getal hoort er thuis op de plaats van het vraagteken?

? 644 = 16

Bereken zonder ICT. Geef je antwoord zonder negatieve of rationale exponenten.

a) 8 27 35 1 35 = … c) 8 1 3 16 1 4 4 1 2

b) 1 3 4 + 1 4 3 1,5 = … d) 22 3 3 2

12 = …

59

Schrijf de n-de machtswortels met rationale exponenten en zo klein mogelijke grondtallen.

a) √3x ⋅ √6x ⋅ √14x

b) 4 1024x7 yz13

c) 4 2xy3 4 32x2 y2

60

Vereenvoudig. Geef je antwoord zonder negatieve of rationale exponenten. Schrijf je resultaat, indien mogelijk, in wortelvorm.

a)

b)

c) a5 c10

61

© VWO eerste ronde, jaargang 2014

62

Bereken zonder ICT. Geef je antwoord zonder negatieve of rationale exponenten.

a)

b) q3 ⋅ p

c) x2 y 2 3

d) x 3 4 y

e)

63

Zoek de waarde van x waarvoor de gelijkheid klopt.

81

Problemen oplossen met machten met een

64

Rationale exponenten patroon puzzel

Zoek de bewerkingen in de twee linkse rechthoeken die de getallen boven en onder verbinden met de uitkomst in het midden. Pas dan dezelfde bewerkingen toe in de rechtse rechthoek en los op naar x.

65

Gegeven is een temperatuur van -5°C en een windsnelheid van 15 m/s. Wat is dan is de gevoelstemperatuur?

Gebruik hiervoor de formule uit hoofdstuk 5.

66

Een benzinewagen heeft een CO2-uitstoot van 172 10 3 kg km en een vermogen van 80 kW. Bereken het (vroegere) fiscale vermogen. Gebruik hiervoor de formule uit hoofdstuk 5.

67

Je belegt een kapitaal van € 7000 tegen een rente van 1,75%. De waarde van je kapitaal is dan na x jaren gelijk aan: K = 7000 · 1,0175x

Wat is de waarde van je kapitaal na ...

a) 6 maanden?

b) 7 jaar en 9 maanden?

Bepaalde zoogdieren, zoals een edelhert, verspreiden zich over het land. Onderzoekers vonden een verband tussen de massa van zoogdieren en de maximale verspreidingsafstand:

D = 5,97 ⋅ 5 m3 met D de maximale verspreidingsafstand in km en m de massa in kg.

Informatie over de verspreiding van zoogdieren is belangrijk bij onderzoek naar de instandhouding van de soort. Deze formule geldt voor herbivoren en omnivoren, niet voor carnivoren.

a) Wat is de maximale verspreidingsafstand voor een edelhert van 100 kg? Geef je antwoord op 2 decimalen nauwkeurig.

b) Hoe groot schat je de massa van een edelhert met een maximale verspreidingsafstand van 120 km? Geef je antwoord op 2 decimalen nauwkeurig.

Stel dat we van onszelf weten dat we gevoelstemperaturen onder de 0 °C niet goed verdragen. Hoe warm moet het dan vanavond minstens worden opdat we onze neus buiten durven steken? Je mag aannemen dat er een zwak windje van 5,00 m/s zal waaien. Gebruik hiervoor de formule uit hoofdstuk 5.

Een benzinewagen heeft een vermogen van 65 kW en een fiscaal vermogen van 2,18 pk. Bereken de CO2-uitstoot van de wagen. Gebruik hiervoor de formule uit hoofdstuk 5.

Een speciaal geval van de productiefunctie uit de theorie is de Cobb-Douglas productiefunctie. Deze geeft een verband tussen Q, K en L door: Q(K, L)= aKα Lβ met a, α en β positieve reële constanten.

Stel dat α = β = 1 2 en a = 1.

a) Schrijf het voorschrift van Q in functie van K en L met deze gegeven parameters.

b) Zet de uitdrukking voor Q om in wortelvormen.

c) Bereken Q voor K = 40 en L = 10.

d) Vorm de formule om zodat je een uitdrukking krijgt voor K in functie van Q en L.

We grijpen terug naar de productiefunctie uit de theorie. Met a = 1, b = 0,50 en α = 1 4 krijgen we:

Q = 0,50K 1 4 + 0,50L 1 4 4

Gevraagd: Stel dat men voor Q de waarde 19,06 vindt met een inzet van 120 eenheden aan arbeidskapitaal L Bepaal dan de waarde aan ingezet kapitaal K.

a) Het is 10 °C. Hoe hard moet het waaien opdat we een gevoelstemperatuur van 6 °C gewaarworden?

b) Hoeveel is dat op de schaal van Beaufort? Bereken met de formule uit hoofdstuk 5 en lees af uit de tabel.

76

Een benzinewagen heeft een CO2-uitstoot van 226 ∙ 10–3 kg km en een fiscaal vermogen van 6 pk. Bereken het vermogen van de wagen in kW. Hoeveel pk’s zijn dat? Bereken met behulp van de formule uit hoofdstuk 5.

77

Een speciaal geval van de productiefunctie uit de theorie is de Cobb-Douglas productiefunctie. Deze geeft een verband tussen Q, K en L door: Q(K, L)= aKα Lβ met a, α en β positieve reële constanten. Stel dat α = 4 5 , β = 3 4 en a = 7 .

a) Schrijf het voorschrift van Q in functie van K en L met deze gegeven parameters.

b) Zet de uitdrukking voor Q om in wortelvormen.

c) Bereken Q voor K = 40 en L = 10.

d) Vorm de formule om zodat je een uitdrukking krijgt voor K in functie van Q en L. Geef de uitdrukking zowel in rationale exponenten als in wortelvormen.

We grijpen terug naar de productiefunctie uit de theorie. Met a = 1, b = 0,25 en α = 1 3 krijgen we:

Q = 0,25K 1 3 + 0,75L 1 3 3

Gevraagd: Stel dat men voor Q de waarde 1,74 vindt met een kapitaalinzet van K gelijk aan 250. Bepaal dan de waarde aan ingezette arbeid L.

BSA-formules (Body Surface Area) benaderen je lichaamsoppervlakte. BSA blijkt nuttig in de geneeskunde en de fysiologie. Voor mannen blijkt een lichaamsoppervlakte van meer dan 1,9 m2 een voorspeller op slagaderverkalking. De gemiddelde lichaamsoppervlakte bij vrouwen is 1,6 m2; bij mannen 1,9 m2.

Er zijn verschillende formules opgesteld voor het schatten van je lichaamsoppervlakte.

a) Schat jouw lichaamsoppervlakte met de formule van Dubois.

b) Schrijf de formule van Dubois uit met machtswortels. Wat stel je vast? Geldt dit ook voor de andere formules?

c) Bereken met de formule van Takahira de massa van een man met een BSA van 1,9 m2 en een lengte van 1,84 m. Rond af op 2 decimalen.

Als je een som geld k belegt op samengestelde intrest dan wordt het kapitaal dat je na x jaren vergaart, gegeven door de functie:

K = k ⋅ 1 + i 100 x

waarbij i de intrestvoet is op jaarbasis.

a) Stel je belegt een som van 2500 euro tegen een intrest van 3%. Hoeveel geld heb je dan na 3 jaar?

b) Je wil echter een aankoop doen van 3459 euro, liefst binnen de 5 jaar. Wat zal de intrestvoet moeten zijn om dit doel te behalen? Vorm eerst de formule om en vul dan de gegevens in.

De mannetjeskrabben van de soort Uca pugnax hebben aan één kant een grote schaar. Ze gebruiken deze schaar om andere mannetjes te bedreigen of om er mee te vechten. Hoe groter de schaar, hoe groter de aantrekkingskracht voor de vrouwtjes.

Voor deze soort geldt: ms = 0,036 m1,356 met ms de massa van de schaar in mg en m de massa van de krab in g

a) Schrijf de formule voor ms uit met een machtswortel en vereenvoudig.

b) Wat gebeurt er met ms als de massa van de krab halveert?

c) Een krab is 10% zwaarder dan zijn soortgenoot. Wat is de te verwachten procentuele toename van de massa van zijn schaar? Reken uit in het algemeen.

d) De formule voor de lengte in functie van de breedte van het schild is: lp = 0,182 b1,753 s Wat is de procentuele toename van de breedte van het schild als de lengte 70% groter wordt?

De Amerikaanse veearts en bioloog Kleiber ontdekte dat de minimale energie die een dier nodig heeft recht evenredig is met zijn massa.

Wet van Kleiber: E ∼ m 3 4

a) Hoeveel keer meer energie heeft een dier van 150 g nodig in vergelijking met een dier van 10 g?

b) Voor de mens geven deze formules een goede schatting:

Man: E = 71,2 m 3 4

Vrouw: E = 65,8 ⋅ m 3 4

Hoeveel keer meer energie heeft een man van 85 kg nodig als je hem vergelijkt met een vrouw van 72 kg?

c) Wat is de massa van een vrouw waarvoor E = 1365?

82

De bioloog Meeh ontdekte volgend verband tussen de massa m in kg en de huidoppervlakte h in dm2:

H = c m 2 3 waarbij c een constante is die uniek is voor elke diersoort.

a) Vergelijk de oppervlakte van een loden bol met zijn massa.

Enkele formules die je kan gebruiken zijn:

m = ρ V

V = 4 3 πr3

A = 4πr2

ρPb = 11,3 kg dm3 = dedichtheidvanlood

b) Druk de oppervlakte van een loden bol uit in functie van zijn massa.

c) Vergelijk jouw formule voor de loden bol met het verband van Meeh.

d) Vergelijk de huidoppervlakte van een mens van 75 kg en die van een vleermuis van 1,6 kg als je weet dat: cmens ≈ 11,2

cvleermuis ≈ 57,5

e) Met hoeveel procent neemt je huidoppervlakte toe als je massa met 5% toeneemt?

f) Beschouw een mens van 184 cm met een massa van 75 kg. Bereken het verschil tussen de schattingen Hmens volgens Meeh en BSAmens volgens Dubois (zie oef. 77).

We grijpen terug naar de productiefunctie uit de theorie. Met a = 10, b = 0,75 en α = 1 11 krijgen we:

Q = 10 0,75K 1 11 + 0,25L 1 11 11

Gevraagd: Stel dat men voor Q de waarde 21,80 vindt met een inzet van L gelijk aan 100. Bepaal dan de waarde aan ingezet kapitaal K.

Studiewijzer

Differentiatietraject

Doelen

Ik kan rekenen met vierkantswortels en derdemachtswortels.

Ik kan n-de machtswortels berekenen en binomiaalvergelijkingen oplossen.

Ik kan problemen oplossen met n-de machtswortels.

Ik kan machten met een rationale exponent berekenen en kan rekenen met machten met een rationale exponent. Ik kan vergelijkingen oplossen van de vorm n xm = a met x > 0

Ik kan problemen oplossen met machten met een rationale exponent.

Doelstellingen

Ik kan rekenen met vierkantswortels en derdemachtswortels.

Hou bij wetenschappelijke vraagstukken steeds rekening met de afrondingsregels en het aantal beduidende cijfers.

verwerking : 1, 2, 3 signaal : 1 t.e.m. 9

Ik kan n-de machtswortels berekenen en binomiaalvergelijkingen oplossen.

differentiatie : 1 t.e.m. 19

Onthou: een binomiaalvergelijking heeft twee oplossingen als n = even en slechts één oplossing als n = oneven.

Maak gebruik van grafieken via ICT om de oplossingen van binomiaalvergelijkingen te controleren. verwerking : 4, 5, 6, 7, 8 signaal : 10, 11

differentiatie : 20 t.e.m. 35

Ik kan problemen oplossen met n-de machtswortels.

Maak gebruik van de rekenregels voor n-de machtswortels bij het omvormen van formules.

verwerking : 9, 10, 11, 12 signaal : 12, 13, 14

differentiatie : 36 t.e.m. 47

Ik kan machten met een rationale exponent berekenen en kan rekenen met machten met een rationale exponent.

Ik kan vergelijkingen oplossen van de vorm n xm = a met x > 0 .

Ga voor elke opgave na welke rekenregel(s) je kan toepassen. Volg bij vergelijkingen het stappenplan en vereenvoudig waar mogelijk.

verwerking : 13, 14, 15, 16, 17 signaal : 15 t.e.m. 20

Ik kan problemen oplossen met machten met een rationale exponent.

differentiatie : 48 t.e.m. 64

Werk zo lang mogelijk exact. Dat lukt het best als je eerst de formule omvormt naar de onbekende en dan pas de berekening uitvoert.

verwerking : 18, 19

signaal : 21, 22

differentiatie : 65 t.e.m. 82